Embed Size (px)
Citation preview
Cuprins
1. Operaţii cu numere reale .................................... 1 1.1. Radicali, puteri .............................................................................. 1 1.1.1. Puteri .......................................................................................... 1 1.1.2. Radicali ...................................................................................... 1 1.2. Identităţi ........................................................................................ 2 1.3. Inegalităţi ...................................................................................... 3
2. Funcţii .................................................................. 6 2.1. Noţiunea de funcţii ....................................................................... 6 2.2. Funcţii injective, surjective, bijective ........................................... 6 2.3. Compunerea funcţiilor .................................................................. 7 2.4. Funcţia inversă .............................................................................. 8
3. Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi ...................... 8 3.1. Ecuaţii de gradul întâi ................................................................... 8 3.2. Inecua¸tii de gradul întâi ............................................................... 9 3.3. Modul unui număr real ............................................................... 10
4. Numere complexe .............................................. 12 4.1. Forma algebrică .......................................................................... 12 4.2. Puterile numărului i .................................................................... 13 4.3. Conjugatul lui z .......................................................................... 13 4.4. Modulul unui număr complex .................................................... 14 4.5. Forma trigonometrică ................................................................. 15 4.6. Formula lui Moivre ..................................................................... 16 4.7. Forma exponenţială .................................................................... 17 4.8. Ecuaţia binomă ........................................................................... 18
5. Progresii ............................................................. 18 5.1. Progresiile aritmetice .................................................................. 18 5.2. Progresiile geometrice ................................................................ 19
6. Logaritmi ........................................................... 20 6.1. Ecuaţii şi inecuaţii logaritmice fundamentale ............................ 22 6.2. Ecuaţii şi inecuaţii exponenţiale fundamentale .......................... 22
7. Geometrie ........................................................... 23 7.1. Vectori ........................................................................................ 23 7.2. Adunarea vectorilor .................................................................... 25 7.3. Teoreme cu vectori ..................................................................... 30 7.4. Geometrie analitică în plan şi în spaţiu ...................................... 34 7.4.1. Plan determinat de un punct şi doi vectori necolinari paraleli cu planul . 34 7.4.2. Plan determinat de trei puncte necolinare ............................... 36 7.4.3. Ecuaţia planului prin tăieturi ................................................... 37 7.4.4. Ecuaţia generală a planului ...................................................... 37 7.4.5. Poziţia planelor ........................................................................ 38 7.5. Ecuaţia dreptei ............................................................................ 39 7.5.1. Ecuaţia dreptei determinat de un punct şi de un vector paralel cu dreapta .. 39 7.5.2. Ecuaţia dreptei determinat de două puncte diferite ................. 41 7.5.3. Ecuaţia generală a dreptei ........................................................ 41 7.5.4. Ecuaţia dreptei în plan ............................................................. 42 7.5.5. Ecuaţia dreptei determinat de două puncte diferite ................. 42 7.5.6. Unghul determinat de două drepte .......................................... 43 7.6. Distanţa la un punct la o dreaptă (în plan) .................................. 44 7.6.1. Ecuaţia bisectoarei (în plan) .................................................... 44 7.7. Distanţa la un punct la o dreaptă (în spaţiu) ............................... 45 7.8. Cercul .......................................................................................... 46 7.9. Elipsa .......................................................................................... 46 7.10. Hiperbola .................................................................................. 48 7.11. Parabola .................................................................................... 49 7.12. Alte aplicaţii cu vectori ............................................................ 50
8. Metoda inducţiei matematice ........................... 51 8.1. Axioma de recurenţă a lui Peano ................................................ 51 8.2. Metoda unducţiei matematice ..................................................... 51 8.3. Variantă a metodei inducţiei matematice ................................... 52
9. Analiză combinatorie ........................................ 52 9.1. Permutări..................................................................................... 52 9.2. Aranjamente ................................................................................ 52 9.3. Combinări ................................................................................... 53 9.4. Binomul lui Newton ................................................................... 54 9.5. Suma puterilor asemenea ale primelor n numere naturale ......... 55
10. Polinoame ......................................................... 56 10.1. Forma algebrică a unui polinom ............................................... 56 10.2. Divizibilitatea polinoamelor ..................................................... 56 10.3. Rădăcinile polinoamelor ........................................................... 57 10.4. Ecuaţii algebrice ....................................................................... 58 10.5. Polinoame cu coeficienţi din R, Q, Z ....................................... 58
11. Permutări, matrici, determinanţi ................... 59 11.1. Permutări .................................................................................. 59 11.2. Matrici....................................................................................... 60 11.3. Determinanţi ............................................................................. 62 11.4. Inversa unei matrici .................................................................. 63 11.4.1. Tr(A) ...................................................................................... 63 11.4.2. Determinantul şi rangul ......................................................... 64
12. Sisteme liniare .................................................. 66 12.1. Notaţii ....................................................................................... 66 12.2. Compatibilitatea ........................................................................ 67 12.3. Sisteme omogene (bi=0) ........................................................... 67
13. Trigonometrie .................................................. 68 13.1. Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie ................................. 71
14. Analiză matematică ......................................... 74 14.1. Recurenţe .................................................................................. 74 14.1.1. Recurenţe de ordin 1 .............................................................. 74 14.1.2. Recurenţe de ordin al doilea .................................................. 74 14.2. Limita de şiruri ......................................................................... 74 14.2.1. Limite generale, criterii de convergenţă ................................ 76 14.3. Limite de funcţii ....................................................................... 80 14.3.1. Operaţii cu limite de funcţii ................................................... 80 14.3.2. Limite tip ............................................................................... 81 14.4. Continuitatea funcţiilor ............................................................. 83 14.4.1. Teoreme pentru continuitatea funcţiilor ................................ 84 14.5. Funcţii derivabile ...................................................................... 86 14.5.1. Definiţia derivatei într-un punct ............................................ 86 14.5.2. Reguli de derivare .................................................................. 86 14.5.3. Derivatele funcţiilor elementare ............................................ 87
14.5.4. Derivatele funcţiilor compuse ............................................... 88 14.5.5. Derivatele de ordin superior ale unor funcţii elementare ...... 90 14.5.6. Proprietăţi ale funcţiilor derivabile ........................................ 91 14.6. Integrale .................................................................................... 91 14.6.1. Primitive ................................................................................ 91
15. Primitivele funcţiilor ....................................... 92 15.1. Reguli pentru integrarea generală a funcţiilor .......................... 92 15.2. Primitivele funcţiilor raţionale ................................................. 93 15.3. Integrale cu r=(x2+a2)1/2 ............................................................ 96 15.4. Integrale cu s=(x2–a2)1/2 ............................................................ 99 15.5. Integrale cu t=(a2–x2)1/2 .......................................................... 100 15.6. Integrale cu R1/2=(ax2+bx+c)1/2 ............................................... 101 15.7. Integrale de funcţii trigonometrice ce conţin numai sin ......... 103 15.8. Integrale cu funcţii trigonometrice ce conţin numai cos ........ 105 15.9. Integrale cu funcţii trigonometrice ce conţin numai tan ........ 107 15.10. Integrale cu funcţii trigonometrice ce conţin atât sin cât şi cos ... 107 15.11. Funcţii logaritmice ................................................................ 109 15.11.1. Proprietăţi ale integralei definite ....................................... 110 15.11.2. Teorema Fundamentală ..................................................... 112 15.11.3. Inegalităţi ........................................................................... 113 15.12. Alte teoreme ......................................................................... 116 15.12.1. Funcţii primitivabile .......................................................... 116 15.12.2. Funcţii integrabile .............................................................. 117 15.12.3. Arii ..................................................................................... 117
16. Structuri algebrice ......................................... 118 16.1. Grupul ..................................................................................... 118 16.1.1. Proprietăţi şi teoreme ........................................................... 119 16.2. Monoid .................................................................................... 121 16.3. Inel .......................................................................................... 122 16.4. Corpuri .................................................................................... 122
17. Spaţii vectoriale ............................................. 124
1 Operatii cu numere reale
1.1 Radicali,Puteri
1.1.1 Puteri
1. am·n = am · an
2. am · bm = (a · b)m
3. am : an
= am−n
4. am : bm
= (a : b)m
5. a−m =1
am
6. (am
)n
= amn.
Puterile numerelor reale se extiind atât pentru exponenţiraţionali pozitivi sau negativi, cât şi pentru puterile realefiind definite cu ajutorul şirurilor de puteri raţionale.Aceste puteri au proprietaţi identice cu exponenţi nu-mere naturale.
1.1.2 Radicali
1. n√a = a
1n , a > 0;
2. n
√1
a=
1n√a
= a− 1m ;
3. ( n√a)n
= a;4. n√a · n√b =
n√ab;
5. (n
√1
a)n
=1
a;
6. n√a · n√b · n√c =
n√abc;
7. n√a :
n√b = n
√a
b;
1
8. m√a · n√a =
nm√an+m;
9. m√a : n√a =
nm√an−m;
10. n√anm = a
m;11. m√
an = anm ;
12. mn√amp =
n√ap;
13. m√ap · n
√bq =
nm√apn · bqm;
14. m√
n√a = nm
√a;
15.√a2 = |a|;
16. 2n+1√−a = − 2n+1√a;
17.√a±√b =
√a+ c
2±√a− c
2,
c2
= a2 − b;
1.2 IdentitatiOricare ar fi x, y, z, t, a, b, c, d ∈ R şi n ∈ N avem:
1. a2 − b2 = (a− b)(a+ b)
2. (a2
+ b2)(x
2+ y
2) = (ax− by)
2+ (ay + bx)
2
3. ab − b3 = (a− b)(a2+ ab+ b
2)
4. a3+ b
3= (a+ b)(a
2 − ab+ b2)
5. a3+b
3+c
3−3abc = (a+b+c)(a2+b
2+c
2−ab−bc−ca)
6. ab + b3
+ c3
= (a+ b+ c)3 − 3(a+ b)(b+ c)(c+ a)
7. a4 − b4 = (a− b)(a+ b)(a2
+ b2)
8. a4+ b
4= (a
2+ b
2 − ab√
2)(a2
+ b2
+ ab√
2)
9. a5 − b5 = (a+ b)(a4
+ a3b+ a
2b2
+ ab3
+ b4)
10. a6+ b
6= (a
3 − 2ab2)2
+ (b3 − 2a
2b)
2
11. an− bn = (a− b)(an−1+a
n−2b+ ...+ab
n−2+ b
n−1)
2
12. a2n+1+ b
2n+1=
(a+ b)(a2n− a2n−1
b+ ...− ab2n−1+ b
2n)
13. (a+ b+ c)2
= a2
+ b2
+ c2
+ 2ab+ 2bc+ 2ac
14.
n∑j=1
a2j
n∑j=1
x2j
− n∑j=1
ajxj
2
=∑
1≤i<j≤n
(aixj − ajxi)2
15. (Hermite)n−1∑k=0
[x+
k
n
]= [nx],
cu [·] notam partea întreaga. Fie x un numar real. Senumeşte parte întreaga a lui x, cel mai apropiat întregmai mic sau egal cu x. Se numeşte parte fracţionarăa lui x, diferenţa dintre numar şi partea lui întreagă.Definiţia este sugerată de Axioma lui Arhimede : Pen-tru orice numar real x, exista un numar întreg n, unic,astfel incat n ≤ x < n+ 1.
1.3 Inegalitati1. [E1(x)]
2+ ...+ [En(x)]
2 ≥ 0;2. x2
+ y2 ≥ 2xy, ∀x, y ∈ R;
3.2
1a + 1
b
≤√ab ≤
a+ b
2≤
√a2 + b2
2
4. (a+ b)(b+ c)(c+ a) ≤ 8abc;
5.a
b+b
a≥ 2
3
6. (a+ b+ c)
(1
a+
1
b+
1
c
)≥ 9,
a, b, c > 0;7. a2
+ b2
+ c2 ≥ ab+ bc+ ca;
8. a3+ b
3+ c
3 ≥ 3abc;
9.a1
a2
+a2
a3
+ ...+an−1
an+an
a1
≥ n;
10. (x2
+ y2)(a
2+ b
2) ≥ (ax+ by)
2;11. (Bernoulli) Pentru orice x ∈ [−1,∞) şi α ∈ Q∗ \ {1}
avem: (1+x)α ≤ 1+αx, daca α ∈ (0, 1) şi (1+x)
α ≥1 + α · x daca α ∈ (−∞, 0) ∪ (1,+∞).
12. Pentru orice ak ∈ R, k = 1, n şibk ∈ {−1, 1} avem ca∣∣∣∣∣n∑k=1
ak · bk
∣∣∣∣∣ ≤n∑k=1
|ak|.
13. Daca un =
(1 +
1
n
)n. Atunci şirul un este strict
descrescator, adica: un > un+1.14. Pentru orice ak ≥ 0 numere reale avem ca:
a1 + a2 + ...+ an
n
≥ n√a1a2 · ... · an ≥
n1a1
+ 1a2
+ ...+ 1an
.
Inegalitatea de mai sus, este numita, inegalitatea medi-ilor. Egalitatea se obţine pentru a1 = ... = an.
15.a1 + a2 + ...+ an
n≤
√a2
1 + a22 + ...+ a2
n
n
4
16. (Cauchy-Buniakovsky-Schwarz) Daca ak, bk ∈ Ratunci (
n∑k=1
a2k
)·(
n∑k=1
b2k
)≥
(n∑k=1
akbk
)2
17. (Cebisev) Pentru orice n ∈ N∗ şi ∀ak, bk ∈ R, k = 1, nesetén (
1
n
n∑k=1
ak
)·(
1
n
n∑k=1
bk
)≤
(1
n
n∑k=1
akbk
).
Egalitatea se obţine daca ai = aj şi bi = bj i 6= j.18. (Huygens) Pentru orice n ∈ N∗ \{1} şi xk ∈ R+ avem
can∏k=1
(1 + xk) ≥ (1 + n√x1...xn)
n
19. (Kantorovici) Fie [a, b] ⊂ R∗+ un interval, atunci dacaxk ∈ [a, b] k = 1, n avem
(n∑k=1
tkxk
)(n∑k=1
tk
xk
)≤
(a+ b)2
4ab
(n∑k=1
tk
)2
.
5
7.5.2 Ecuatia dreptei determinat de douapuncte diferite
Similar, folosim ecuatţia de mai sus, pentru puntul M1,şi pentru vectorul ~M1M2: M1M2 :
x− x1
x2 − x1
=y − y1
y2 − y1
=z − z1z2 − z1
. (23)
7.5.3 Ecuattia generela a drepteiTeorema 7.6. Sistemul:{
A1x+ B1y + C1z +D1 = 0A2x+ B2y + C2z +D2 = 0 (24)
unde (A1 B1 C1 D1A2 B2 C2 D2
)= 2.
reprezinta o dreapta.
41
7.5.4 Ecuatia dreptei în planSimilar ca şi în spacţiu. Fie e o drepata în plan atunciecuatţia canonica este:
x− x0
p=y − y0
q(25)
Daca e nu este paralel cu axa Oy atunci (adica p 6=0), atunci pentru orice vector de direcţie avem ca
q
p= m
este constanta. Numarul m este numita panta dreptei.Avem ca
m = tg α, (26)
unde α este unghiul determinat de dreapta e cu axa Ox.În acest caz daca dreapta trece prin punctul
A(x0, y0) şi are panta m atunci ecuaţia dreptei este:
y − y0 = m(x− x0). (27)
Observatie 7.3. Doua drepte sunt parelele daca si numai daca pantadreptelor sunt egale.
Observatie 7.4. Fie e1, e2 doua drepte perpendiculare. Fie ~d1(p1, q1)
si ~d2(p2, q2) vectorii de directie. Evident ca ~d1 ⊥ ~d2, deci ~v1 ·~v2 = 0. Cea ce înseamna p1p2 + q1q2 = 0. Presupunem cadreptele nu sunt paralele cu axaOy atunci
e1 ⊥ e2 ⇐⇒ m1 ·m2 = −1. (28)
7.5.5 Ecuatia dreptei determinat de douapuncte diferite
FieM1(x1, y1) şiM2(x2, y2) doua puncte în plan. Atunciecuaţia dreptei care trece prin punctele M1 şi M2 are
42
vectorul de direcţie−−−−→M1M2(x2−x1, y2−y1), deci Ecuaţia
canonica a dreaptei M1M2 este
x− x1
x2 − x1
=y − y1
y2 − y1
, (29)
sau: ∣∣∣∣ x y 1x1 y1 1x2 y2 1
∣∣∣∣ = 0. (30)
7.5.6 Unghul determinat de doua drepteFie d1 şi d2 doua drepte. Atunci
m(d1, d2) =
arccos
~d1 · ~d2
||~d1|| · ||~d2||, ~d1 · ~d2 ≥ 0
π − arccos~d1 · ~d2
||~d1|| · ||~d2||, altfel.
Daca luam în considerare ca
π − arccos x = arccos(−x),
pentru orice x ∈ [−1, 1] atunci avem ca:
m(d1, d2) = arccos|~d1 · ~d2|||~d1|| · ||~d2||
, (31)
sau:m(d1, d2) =
arccos|p1p2 + q1q2 + r1r2|√
p21 + q2
1 + r21 ·√p2
2 + q22 + r2
2
.
43
13 Trigonometrie1. sin
2x+ cos
2x = 1;
2. 1 + tan2x =
1
cos2 x;
3. 1 + cot2x =
1
sin2 x;
4. sin x = cos
(π
2− x);
5. cos x = sin
(π
2− x);
6. tan x = cot
(π
2− x);
7. cot x = tan
(π
2− x);
8. tan x > x > sin x, ∀x ∈(
0,π
2
);
9. cos(x+ y) =
cos(x) cos(y)− sin(x) sin(y);
10. sin(x+ y) =
sin(x) cos(y) + sin(y) cos(x);
11. tan(x+ y) =tan(x) + tan(y)
1− tan(x) tan(y);
12. cot(x+ y) =cot(x) cot(y)− 1
cot(x) + cot(y);
13. sin(x− y) =
sin(x) cos(y)− sin(y) cos(x);
68
14. cos(x− y) =
cos(x) · cos(y) + sin(x) · sin(y);
15. tan(x− y) =tan(x)− tan(y)
1 + tan(x) tan(y);
16. cot(x− y) =cot(x) cot(y) + 1
cot(y)− cot(y);
17. sin(2x) = 2 sin(x) cos(x);18. cos(2x) = cos
2x− sin
2x =
1− 2 sin2x = 2 cos
2x− 1;
19. sin 3x = 3 sin x− 4 sin3x;
20. cos(3x) = 4 cos3(x)− 3 cos(x);
21. cos
(x
2
)=
√1 + cos(x)
2;
22. sin
(x
2
)=
√1− cos(x)
2;
23. tan
(x
2
)=
√1− cos x
1 + cos(x);
24. cot
(x
2
)=
√1 + cos x
1− cos(x);
25. sin(p) + sin(q) =
2 sin
(p+ q
2
)· cos
(p− q
2
);
26. sin(x) · cos(y) =
1
2[sin(x+ y) + sin(x− y)];
69
27. sin(p)− sin(q) =
2 sin
(p− q
2
)· cos
(p+ q
2
);
28. cos(p) + cos(q) =
2 cos
(p+ q
2
)· cos
(p− q
2
);
29. cos(x) cos(y) =
1
2[cos(x+ y) + cos(x− y)];
30. cos(p)− cos(q) =
−2 sin
(p− q
2
)· sin
(p+ q
2
);
31. sin(x) sin(y) =
1
2[cos(x− y)− cos(x+ y)];
32. tan(p)± tan(q) =sin(p± q)
cos(p) · cos(q);
33. cot(p) + cot(q) =sin(p+ q)
sin(p) sin q;
34. sin(x) =2 tan( x2 )
1 + tan2( x2 );
35. cos(x) =1− tan2( x2 )
1 + tan2( x2 );
36. tan(x) =2 tan( x2 )
1− tan2( x2 );
37. tan(x
2) =
sin(x)
1 + cos(x)=
1− cos(x)
sin(x);
70
