GHEORGHE ADALBERT SCHNEIDER

MEMORATOR $I INDRUMARDE MATEMATTCA

ANALTzA vrerruerrcAPENTRU LICEU

EDITURA HYPERION

CUPRINS

Limitedefunclii .....1.1 Noliuni elementare despre mullimi de punctepe dreapta real6

l.t Operalii algebrice cu nurnere reale . . .

1.2 Ordonarea nutnerelorreale . .

1.3 Modulul unui numdr real . . .

L4 Opera(ii cu intervale de nutnere reale . .

t.21.3

l. 1.5 MLrl{imi mhrgir.rite

L 1.6 Marginile Lrnei nrultinrii.1.7 Vecinit[ti,punctedeacumulare ... .. .

Functii reale de variabili realiSiruri de nuntere reale1.3.1 Notiunea de sirl.3.2 Limite de qiruri1.3.3 Propriet[li ale qirurilor care au limitl . .

1.3.4 $irLrri monotone qi mirginite1.3.5 Proprietifi ale Eirurilor convergente . . .

1.3.6 Calcutul linritelor unor ;iruri1.3.7 Trecerea la lirniti in inegalitili . . . . . .

1.3.8 Criterii de convergenflI.-1.9 Alte criterii de convergen{d1.3.10 Lema lui Stolz-Cesaro . . . . .

L.l.lINurnarul e ....I.l.l2 ( oustantr lui Euler1.3.13 Operalii cu;iruri corlvergerlte . . . . . .

I .3.14 $iruri definite prin relalii de recurenlE

J

J

445

67

8

8

9

9

9

10

11

t2t213

t4t819

202l21

.2428i.4 Limite de fuirctii

1"13

1.4.1 Limita unei func{ii intr-un putct, lirnitelaterale

1.4.2 Criterii de limitl1.4.3 Operalii cu limite de ftrnclii1.4.4 Limite de flinclii cornpuse1.4.5 Limitele functiilor elementare1.4.6 Limite remarcabile

Funcliicontinue ....2.1 Studiul continuitefli in puncte de pe dreaptarealh2.2 Operalli cu fuirctii continue2.3 Proprietati ale lunctiiltrr conturueFuncliiderivnbile ...3.1 Derivata unei funclii intr-r"ur punct3.2 Derivate latelale3.3 Derivatele unor funclii uzuale .

3.4 Operalii cu funclii derivabile3.4.1 Operalii algebrice cu funclii derivabile . .

3.4.2 Deivarea func{iilor compuse3.4.3 Derivarea func{iilor inverse .

3.4.4 Fonnule de derivare a funcliilor compuse3.4.5 Funclii de n ori derivabile

3.5 Funclii derivabile pe un interval.3.5.1 Puncte de extrem3.5.2 Teorema lui Fermat3.5.3 Teorerna lui Rolle3.5.4 Teorema lui Lagrange

3.6 Regulile lui l'HospitalReprezentarea graficl a lunctiilor4.1 Rolul derivatei ir.rtdi in studiul func{iilor . . . . .

4.2 Rolul derivatei a doua in smdiul functiilor . . .

4.3 Asimptotelefunciiilor .....4.4 Demonstrarea unor inegalitefl

28303l33

JJ4044

44n1

5l-54

54565961

61

63

63OJ

65

666666676869/)t.t7475

78

1.1.4

4.5 Etapelereprezentlriigraficeafunctiilor .... 8iPrirlitive 855.1 l'r'imitivele unei flinctii 85

-5.1.I Notiunea de priniitivl 855.1.2 Integrala nedefinitd 855. i.3 Forrnule ale integralelor nedefinite . . . . 86

5.2 Metode de integrare 885.2.1 Metoda integrArii prin pirti 885.2.2 Metoda integririi prin schimbarea de

variabil[ 905.3 Integrarea flincliilor rationale

5.3 . 1 Detinirea funcliilor ralionale .

5.3.2 Integrarea funcliilor rafionale sirnple . .

5.3.3 Integrarea func{iilol rafionale oarecare .

5.4 Integralea ftlncfiilor trigonometriceIntegrala detlnitA6. I FLrnctii integrabile

6.1.1 Diviziuni6.1.2 Sume Rienrann, sume Darboux . . . . ..6.1.3 Noliunea de integrall definitl6.1.4 Formula lui Leibniz-Newton ... . . . . .

6.1.5 Clase de flrnc{ii integrabile6.1.6 Proprietdfi ale funcliilor integrabile . . .

Metode de calcul pentru integrale definite . . . ^ . .

7.1 Metoda de integrare prin parli7.2 Metoda de integlare plin schimbarea devaliabili .......Aplicalii ale integlalei definite8.1 Aria unei suprafe(e plane8.? Volurnr-rl corpurilor de totalie

929293

9698

100

100

100

l0t101

103

t04105t07107

108109

109

110

115

1. Limite de func{ii1.1 No(iuni elementare despre mul{imi de puncte pe

dreapta realil l.l Opera(ii algebrice cu numere reale

Operatiile algebrice pe multimea numerelor reale sunt: adu-narca gi inrnultilca. Ele se definesc ca extensii ale operafiilorde aclunare qi inmr.rllire din mullirnea numelelor rafionale.

a) Proprietilile adunirii

l) Asociativitatea'. (x + y) + z = x + (y + r) (V)x, y, z e R;2) Comutativitatea'. x + y = y + x (V)x,y e R;3) Elementneutru 0: x * 0 : 0 * x : x (V)x e R;.l) Element opus: : .x + (-x) = (-x) + x (V)x € R; numdrul -xse nunle$te opusul lui x.

b) Proprieti{ileinmul(irii

l) Asociativitarea: (xy)z = x(yz) (Y)x,y,z eR:I ) Comtrtativitatea'. xy : yx (V)x, y e R;3) E,lenrentneutru l: x. 1 : l.x = x (V)x e R;

{) Element inversabil :x'!= i.-=1 (V)x€R, x*0;L

::urnir"ul - se nuneste inversul lui x.x'c) Proprietate de legituri intre inmul(ire qi adunare

I ) Distributivitatea inmullirii fal6 de adunare:x(y + z) = xy + xz (Y)x,y,z eR.

Observa{ie. Ca operatii derivate ale adundrii qi inmullirii se

: ,t clefini opera{iile de sc[dere ;i impi(ire., .r- -y = x+(-y),(V)x,y e R;

- .r:y- *'!,y+0"

1.1.2 Ordonarea numerelor reale

Introdttcem pe R relaliile ( respectiv < astfel:

a) x<ydacdy-x>0;b)x<ydacdy-x>0'

a) Proprietatea de trihotomie. Oricare at fr x,y € R este

adevbrathuna qi numai una din rela$ile , 1y,* = y,x ) !'b) Proprietl{ile relafiei < :

l) x < x,(V)x e R (reflexivitate):2) x < y,y < x - x = Y (antisimetrie);

3) x< y,y<z+x<z (tranzitivitate).

Relalia <, este reflexivh, antisirnetric[ ;i trar-rzitivi qi deci este

o relatie de ordine pe mul{imea R.

Relalia < este tranzitiva, dar nu este reflexivd gi antrsrrnen'ica

qi deci nu este relalie de ordine pe mullimea R.

c) Relafitr ( este o rela{ie de ordine totali,pe R, deoarece

(V)x,y c R avem x < Y satrY < x.d) Proprietl{i de leglturi are relaliei S cu operafiile de

adunare qi inmullire:l) x<y,z €R>r+zSY+zi2'1 x<y,z1t>x+z<Y+ti3) x<y,z>0:)xz<Yzi4) x<Y,2 10:)xz>YZ;5) x < y,z < t, x > O,y > 0,2 > 0,t > 0, implicd'> xz < yt'

I.1.3 Modulul unui numir real

Definitie. Valoarea absolutd sau modulul unui numhr real x

se defineste astfet: lxl = l:;,3::l ; : 3

Proprieti(i:1) lxl > 0, (v)x e R;

2\ lxl=0ex:0;

3) l-xl = lxl, (v)x e R;

$ lxyl = lxl-lyl, (v)x, y e R;

s) l-l = ]t-i, (o)*,v € R,v + o:' lr'l lvl ' '6) llrl * lyll < lx + yl < lxl+ lyl, (v)x,y e R;

{0,dacia=0tl lxl=a<)x= t+a, dacaa>0:8) lxl <a,a)0o-a<x<a;9) lxl >a,a>0ex<-a sau.r>rz.

1.1.4 Operafii cu intervale de numere reale

Fiind date numerele a,b e R, a < b, definim urrl6toarelesubn'rullirni ale lui R pe care le nurnim intervale:

l) la,bl: {x € R la < x < b} - intervalinchisina qi b

2) (a, b) - {x e R l a < x < b} - interval deschis in a qi 6

3) [o,b) = ix e Rla < x <b]- intervalinchisin a, deschisin&a) (o, b I = {x € R I a < x < b} - interval deschis in a, inchis in D

5) frz,m) = {x e Rlx> a} -interval inchislastdngainaqincnrirrginit Ia dreapta6) (a,m): {x € Rl, > a}- interval desclris lastAngainaqincrnlrginit la dreaptzt

tt) (-*, bl= {x e Rlx < b} - interwal nemdrginitlastAngaEiinchis la dreapta in b9) (--, b) = {x € Rlx < b} - intervalnemlrginitlastingaqideschis la dreapta in 6.

Opera{iile cu intervale se definesc la fel ca opera{iile cu

nrullimi.Distanta euclidiani dintre numerele reale a qi 6 se definegte

ca t'iirrd trutnlrul d(a,b) = la- bl.Axioma lui Arhimede, Pentnt orice rr € R, exist6 un numdr

intrcg unic r, astt-el incAtn<x <n * 1". NumIrul r se numeste

l)lrtea intreage a lui r qi se noteazl [x]

1.1.5 Mulfimi mirginite

Definitie. Fiind dati mullimea nevidl 1 c R, numim mino-rant al mu\imiil num[rul m € R astfel itcdtm 3 x,(V)x e A .

Exemplu. Nurnlrul 1 este minorant al mullimii {3,4'511'deoarecel<3,1<4,L<5.

Defini{ie. Fiind dat[ mullimea nevidi ,4 c R, numim majo-rantal nrullirnii I numhrul M E Rastfel incAtr < M,(v)x e A.

Exemplu. Numlrul 8 este tnajorant al r.nirllirril (1,2)deoarece x < B, (V)x e (1,2) .

Defini{ie. O mullime nevidl4 c R se numeEte mirginitlinferior dacd are cel pulin un minorant.

Exemplu. Mullirnea (2,7) este mirginit[ inferiot deoarece 0

este un minorant al ei.

Definifie. O mullime nevidd ,4 c R se numeqte mirginitisuperior dac[ are cel pulin un majorant.

Exemplu. Mullimea (1,9) este rn6rginit6 superior deoarece

10 este un majorant al ei.

Definigie. O rnullime nevidd A c R se numeEte mlrginiticlaci este mdrginit[ superior qi inferior.

Exemplu. Mullimea (2,7) este mirginiti superior dc I5 gi

inferior de 0, deci este mlrginit[.

Defini(ie. O multinre nevidd .4 c R se nunreqte nemlrginitiidac[ nu este mirginiti, .

Exemplu. Mullimea (0, co) este ms,rgiliti infelior qi nr.r este

m[rginitd superior deci nu este mdrginit[.

Teoremi. O mullime nevidd ,4 c R este rndrginitl daci qi

numai dac[ exist[ M ) 0, astfel inc6t lxl < M, (V)x e A.

Consecin{l. O mullime nevidI,4 c R este nemirginit[ dac6 Ei

numai daci (V)M > 0, existi xM e A astfel incAt lxul > f,t.

1.1.6 Marginile unei mul{imi

Detini(ie. Fie rnullimea nevidi / c R. Numdnrl m € R se

nurneste minimul rnullimii I qi se uoteaz[ cu min A dacd:

a) rr este rninorant pentru lllultiltlea,4;b) me .4.

Detini(ie. Fie mullimea nevidh.4 c R. Numlrul M e R se

luulne;te maximul mutlimii I Ei se noteazl cu max / dac6:

u) M este rnajoranl pentru mullitilea l;b\ MeA.

Exemplu. Mullimea A = 17,5] are min,4 = 19i max.A = 5.

Defini{ie. Fie mullimea nevid[.4 c R.

a) Cel mai mare minorant al mulfimii A (dacd exist6 ) se nume$te

inlimum sau margine inferioari pentru mulfimea I gi se noteazlitf A.b) Cel mai rnic majorant al mullimii A ( dacd existd ) se numeqte

supremum sau margine superioari pentru mullimea I qi se

notcaza sup l.Observatie.

a) Daci (l)inf A € /, atunci inf .4 = min,4;b) Daci (3)sup,4 e .4, atunci sup .4 = max.4.

Exemplu. Pentru rnullimea A: (0,4], avem inf A = 0 $i

supl=maxA=4.Axioma lui Cantor. Orice mul{ime nevidi de numere reale,

rnirginitd inferior admite o margine inferioarE.

Consecin([. Orice mullime nevidi de numere reale, mhrginitd

superior adrnite o margine superioar[.

Observatie.a) Daci A c R este o mullirne nem[rginith inf-erior, atunci ea nu

are urinoraut numir real, qi in acest caz vol1l lua inf A = -oo.

b) DacE .4 c R este o rnullime nem[rginitd superior, atunci ea ttu

are majorant num[r real, Ei in acest cazvom lua sup A = *oo.

Nota{ie. Not[m R = P g {-oo,4m}.

1.1.7 Veciniti{i, puncte de acumulare

Defini{ia. Mullimea 7 c R se numegte vecinitate a punctulnia € R dacd existd interval deschis (b,c) astfel incAt a € (b, c)c-V.

Exemplu. Intervalul (1,5) este vecin[tate pentru pLrncttrl 3,

deoarece 3 e (2,a)c(1, 5).

Defini{ia. Mullimea / c R se numeEte vecinitate a lui *oodacl existi interval deschis (a, +a) astfel incAt (a, +cn) c:V.

Defini{ia. Mullimea I/ c R se numeEte vecinitate a lui -codacl exist[ interval deschis (-*, a) astl'el incit (-a, a) cV.

Notafie. Pentru a € R not[rn V (o) mullimea vecin[t[li1orpunctului a.

Defini(ie. Fie mul{imea nevidd.4 c R. Numlrul a e R se

nunreqte punct de acumulare al mutlimii A, dacra pentru oricevecinhtate V e V (a), A i (V - taD + A.

Observalie. Orice punct a € R care ntl este punct de acumu-

lare al lui ,4 se numeste punct izolat al mullimii LExemple. Pentru mullimea A = (1,3) mr"rllimea punctelor de

acurnulare este [1,3], iar pentru mr.rllimea {1,?,3} ntt existlpuncte de acumulare, iar punctele l, 2, 3 sunt puncte izolate.

1.2 Funcfii reale de variabill reali

Definifie. Fiind date mullimile .4, B c R, finc\ia f : A -+ B se

nume$te func{ie reall de variabill reali.

Defini(ie. Functia f : A -'+ R se nume$te funclie mirginiti

8

lnl'eriordacdexistla € &astfelinc6"t f (x)> a,(Y)x eA.

Defini(ie. Funcfia f :A--+R se numeEte funclie mirginitisrrperior daci existl a € R, astfel inc6't f (x) < a, (V)x e A .

Definitie. Funclia f:A-+R se nlu.ne$te func{ie mirginititluci este rnirginitd inferior gi superior.

Exemplu. Func{ia f :11,21+ R,/(x) = x3 este mdrginitd,dcrrarece I < f(x) < B (V)x e U,,2).

1.3 $iruri de numere reale1.3.1 No{iunea de Eir

Defini{ie. Fiind dati o mullime oarecare /, nurnirn qir de

clernente din n.rullirnea ,4 o funclie /: N* -+ .4.

DacL A c R , atunci girul se numelte qir de numere reale.

Noffim /(n) = an,iar qirul de numere reale cu (an)n>r.

Exemple. a) (an)n>t, an = 2n * 3.

b) (ar)r>r, Q1. = &,an+L = an + r,r € R - proglesie aritmetic[.

Defini(ie. Fie (an)n4 un qir de numere reale Ei 9: N* -+ N* o

lirnctie slrict crescAtoare. Sirul (ar6ry)r>1se numeste subgir al

q;irului (ar)n11.Exemplu. Fiind dat qinrl (ar)r'1, e,, = 2n + 5 qi E:N- -+ N-

E(n) = 2n, atunci aq(r) = azn = 4n + 5.

1.3.2 Limite de qiruri

Defini{ie. Un gir de numere reale (ar)r>1 are limita a dacdinaf-ara oricirei veciniti{i a lui a se afl6 un numir finit de termeni ai

girului. Notim lim dn = d,

Exemplu. Siaritdm c5: lim !! ] = t.n-*n*2

Vom ar[ta ci in afara oricirei vecinltd(i V : (1 * e, 1- * e) cu

a ) 0 existi un numlr finit de termer.ri ai Eirului. Din condilian*l n*t L-Zen+2e Toblinem: 1-e( n+2< 1*e<+?1 >- (1).

1Daci e >

Z, atunci (1)este adevarati pentru orice n > 1 gi

atunci in afara vecinitdtii Znu se afl[ nioi Ltn tennen al sirr-r]r.ri.

1 rl-ZetDacie (T,atunciluimn(s) = L l* l qiatLrnciinafara

vecinAtilii V se afld termenii a1, a2,..., an61.

Defini(ie. Un qir de nllmere reale (ar)rrt ale lirnita *co dacirin afara oricirei vecin[tili a lui *co se aflh un numir finit de ter-meni ai girului. Notdm lim c?r = +oo.

n+@

Definilie. Un qir de numere reale (a^),r1 are limita -oo daciin afara oricilei vecindtiti a lui -cr: se afl6 un numlr finit de ter--

meni ai girului. Notim lim at, = -a).n4m

1.3.3 Proprieti{i ale qirurilor care au lirnitiTeoremi. Lirnita unui sil de numere reale daci exista este

unicf,.

Defini(ie. Un ;ir de numere reale care are lirnita finitir se Lrr.r-

rnegte qir convergent.

Exemplu. $ir"ul (a,.)r21, a, = + are limitarl qi este clecin*5;ir convergent.

Defini{ie. Un ;ir de numere reale care are lir-nita +co sau -cose numeEte qir divergent.

Exemplu. $irul (a,,),>1, an = I * (-1)" este de fapt Eilul

10