Memorator si Indrumar de Matematica

  • View
    261

  • Download
    5

Embed Size (px)

Text of Memorator si Indrumar de Matematica

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    1/125

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    2/125

    GHEORGHE ADALBERT SCHNEIDER

    MEMORATORI NDRUMARDE MATEMATIC

    ALGEBR PENTRU LICEU

    EDITURA HYPERION

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    3/125

    Aceast lucrare a fost elaborat n conformitate cu

    programelecolare actuale aprobate de Ministerul Educaieii Cercetrii.

    Comenzi pentru cr ile editurii noastre se potface la urmtoarea adres de e-mail:

    [email protected] la tel. / fax 0251-531133sau la telefon 0744628656

    Copyright Editura Hyperion

    Descrirea CIP a Bibliotecii Naionale a RomnieiSCHNEIDER, GHEORGHE-ADALBERT

    Memorator i ndrumar de matematic: algebr pentru liceu / Gheorghe-Adalbert Schneider, - Craiova: Hyperion, 2012

    Bibliogr.

    ISBN 978-606-589-006-0512(075.35)

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    4/125

    1. Mul imii elemente de logic matematic 1.1 Mulimea numerelor reale

    1.1.1 Numere reale

    1) Mulimea numerelor naturale: = 0,1, 2, ,. 2) Mulimea numerelor ntregi: = ,2,1,0, 1, 2, ,. 3) Mulimea numerelor raionale: = , , 0 . 4) Mulimea numerelor iraionale, format din numerelereprezentate de o fracie zecimal, infinit, neperiodic i pe care onotm . 5) Mulimea numerelor reale:

    = .

    Evident au loc relaiile:a) b) c) = .6) O fracie ordinar este ireductibil dac c.m.m.d.c. , == 1.

    Exemple: , , .7) O fracie ordinar este reductibil dac exist cel puin unnumr prim prin care fracia se poate simplifica.

    Exemple: = , = , = .8) Fraciile ordinare care reprezint numrul raional se

    transform n fracie zecimal dup formula: = , .Exemple: =0, 3 - fracie zecimal periodic simpl

    =0,41(6) - fracie zecimal periodic mixt.

    1.1.2 Operaii algebrice cu numere realeOperaiile algebrice pe mulimea numerelor reale sunt: adu-

    narea i nmulirea. Ele se definesc ca extensii ale operaiilor

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    5/125

    de adunarei nmulire din mulimea numerelor raionale.a) Propriet ile adunrii

    1) Asociativitatea: + + = + + , , ;2) Comutativitatea: + = + , ; 3) Element neutru 0: + 0 = 0+ = ; 4) Element opus: : + = + ; numrul se numete opusul lui.

    b) Propriet ile nmulirii 1) Asociativitatea: = , , ;2) Comutativitatea: = , ; 3) Element neutru 1: 1 = 1 = ; 4) Element inversabil : = 1 , 0; numrul se numete inversul lui .

    c) Proprietate de legtur ntre nmul ire i adunare 1) Distributivitatea nmulirii fa de adunare:

    + = + , , . Observa ie. Ca operaii derivate ale adunrii i nmulirii se

    pot defini operaiile de scderei mpr ire.a) = + , , ; b) : = , 0.

    1.1.3 Calcule cu numere reale reprezentate prin literea) Formule de calcul prescurtat

    1) + = + 2 + ; 2) = 2 + ;3) = + ;4) + = + 3 + 3 + ;

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    6/125

    5) = 3 + 3 ;6) + + = + + + 2 +2 + 2;7) + = + + 2 +2 2;8) + = + + ;9) = + + ;10) = + + + + , 2, ;

    11) + = + + + , 2, , impar.

    b) Alte formule algebrice utile

    1) + = + 2 ; 2) + = + 3 + ;3) + = + 2 = + 2 2 ; 4) + = + + + ; 5) + = + 3 + ;6)

    + + =

    + + 2 2 2 ;

    7. + + = = 12 + + ; 8) + + 3 = + + + + = + + + + . 9) + + = 3 + + + .

    c) Propriet ile puterilor cu exponent ntreg1) = ;2) : = , 0; 3) = ; 4) = ;5)

    = ,

    0.

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    7/125

    Aplicaii1. S se arate c dac , , astfel nct + = 1,atunci:

    a) + = 1 2 b) + = 1 3.Solu ie: Se aplic formulele1) i 2) de la1.1.3 b).2. S se arate c dac , , , astfel nct + + = 0,

    atunci: + + = 3 . Solu ie: Se aplic formula8) de la1.1.3 b).3. S se descompun n factori:

    + + .Solu ie: + + = ++ + = +

    + = + = .

    1.1.4 Ordonarea numerelor realeIntroducem pe relaiile < astfel:

    a) <

    dac > 0;

    b) dac 0.

    a) Proprietatea de trihotomie. Oricare ar fi , esteadevrat unai numai una din relaiile < , = , > .

    b) Propriet ile rela iei : 1) , (reflexivitate);2)

    , = (antisimetrie);

    3) , (tranzitivitate).Relaia , este reflexiv, antisimetric i tranzitiv i deci esteo rela ie de ordine pe mulimeaR.

    Relaia < este tranzitiv, dar nu este reflexiv i antisimetric i deci nu este relaie de ordine pe mulimeaR.

    c) Relaia este orela ie de ordine total pe R, deoarece

    , avem

    sau

    .

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    8/125

    d) Propriet i de legtur ale relaiei cu operaiile deadunarei nmulire:1) , + + ; 2) , + + ; 3) , > 0 ; 4) , < 0 ; 5) , , > 0, > 0, > 0, > 0, implic .

    Aplicaii1. S se compare numerele: = 2 i = 9 . Solu ie: = 2 = 2 = 2048; = 9 = 3 > > 3 = 2187. Atunci = 2048 < 2187 = . Deci < . 2. Fiind dat , s se compare numerele:2 i + 1. Solu ie: 2 + 1 1 i 2 > + 1 > 1.

    Deci, dac 1, ordinea este2 , +1, iar dac > 1, ordineaeste + 1,2 .

    1.1.5 Modulul unui numr realDefiniie. Valoarea absolut sau modulul unui numr real

    se definete astfel: = , dac 0 ,dac < 0 .Propriet i:1)

    0, ;

    2) = 0 = 0; 3) = , ; 4) = , , ;5) = , , ,y 0;6) + +, , ;7) =

    = 0, dac

    = 0 , dac

    > 0 ;

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    9/125

    8) < , > 0 < < ;9) > , > 0

    < sau

    Aplicaii1. Rezolvai nR ecuaiile:a) +2 = 6 b) +1 = 1.Solu ie. a) +2 = 6 +2 = 6 = 4 s b) +1 = 1 +1 = 1 +1 = i +1 = +1

    .1) Dac

    1, ecuaiile devin:

    1 = i

    = +1 cu soluiile = 0 i = 1, corect fiind doar1. 2) Dac > 1, ecuaiile devin: +1 = i +1 +1. Prima ecuaie nu are soluie, iar a doua ecuaie are soluieorice > 1. 1.1.6. Aproximri, trunchieri, rotunjiri1) Fiind dat numrul real pozitiv

    = , atunci:

    a) aproximaia prin lips de ordinul a lui este: = , b) aproximaia prin adaos de ordinul a lui este:

    = , +10 .2) Fiind dat numrul real negativ = , atunci:a) aproximaia prin lips de ordinul a lui este:

    = , 10 b) aproximaia prin adaos de ordinul a lui este: = , .3) Fiind dat numrul real = , atuncitrunchierea de ordinul a lui este = , .4) Fiind dat numrul real = ,

    atuncirotunjirea lui la an-a zecimal se calculeaz astfel:

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    10/125

    a) Dac 0,1,2,3,4, atunci = , .b) Dac 5,6,7,8,9, atunci = , +10.Aplicaii1) Scriei pentru = 3

    i = 3 :a) aproximaiile zecimale de ordinul 2;b) trunchierile de ordinul 3;c) rotunjirile la a 4-a zecimal.

    Solu ie. 3 = 1,7320508 i 3 = 1,7.a) = 1,73,

    = 1,74 i

    = 1,74,

    = 1,73

    b)

    = 1,732 i

    = 1,732. c) = 1,7321 i = 1,7321. 1.1.7 Partea ntreag i partea frac ionar aunui numr real

    Axioma lui Arhimede.Pentru orice numr real , exist ieste unic numrul ntreg astfel nct

    , +1.

    Definiie. Fiind dat numrul real , numim partea ntreag alui i o notm cu , cel mai mare numr ntreg, care este maimic sau egal cu . Definiie. Fiind dat numrul real , numim partea fracionar a lui i o notm cu , diferena dintre numrul i partea lui ntreag (

    .

    Exemple.1,7 = 1,2,3 = 3;5,2 = 0,2,3,1 = 0 Aplicaii1. S se calculeze: +1 i +1 .Solu ie. Se arat c:

    +1 < +1 +1 = .

    +1 = +1 +1 = +1

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    11/125

    2. Fie , . S se demonstreze c: = . Solu ie: = +, =

    + =

    = +. Evident:

    =

    1.1.8 Operaii cu intervale de numere realeFiind date numerele , , < , definim urmtoarelesubmulimi ale lui pe care le numim intervale:

    1) , = | - interval nchis na i b2) , =

    |

    < < - interval deschis na i b

    3) , = | < - interval nchis n

    a,deschis n

    b 4) , = | < - interval deschis na, nchis nb 5) , = | - interval nchis la stnga na inemrginit la dreapta

    6) , = | > - interval deschis la stnga na inemrginit la dreapta8)

    , =

    |

    - interval nemrginit la stngai

    nchis la dreapta nb 9) , = | < - interval nemrginit la stngaideschis la dreapta nb.Operaiile cu intervale se definesc la fel ca operaiile cumulimi.

    Distan a euclidian dintre numerele reale i b se defineteca fiind numrul

    , = .

    Aplicaii1. Scriei sub form de intervale urmtoarele mulimi:

    a) | 3 b) | 1 <

  • 8/12/2019 Memorator si Indrumar de Matematica

    12/125

    Solu ie. ,3 < 5 3 < 5 5 < 2 < < 8. Atunci: | ,3 < 5 = 2,8. 1.1.9 Inegalit i

    Pentru a demonstra inegalit i, ne bazm pe propriet ilerela iei de ordine pe mulimea . Se folosesc transformrileechivalentei se obine o sum de ptrate mai mare sau egal cuzero.

    a) Inegalit i ce pot fi folosite n cadrul demonstrrii altorinegalit i.

    1) Dac , , atunci avem: + 2 . Solu ie. + 2 0. 2) Dac , , atunci avem: + 2 . Solu ie. + 2 0. 3) Dac

    , , atunci avem:

    .

    Solu ie. + 4 0. 4) Dac , , atunci avem: + .Solu ie. + + 4 0.

    5) Dac , , atunci avem: .Solu ie. 22 + 2 + 2 0. 6) Dac , , atunci avem: + . Solu ie.

    +

Search related