DRrurer VdoucuMnnrn Knsn

MEMORATOR

DE MATEMATICA

pentru clasele IX-XII

colecgiaCOM PACT

Editor: Cilin Vlasie

Redactor: Daniel MifianTehnoredactare & prepress: Marius BadeaCoperta colectiei: Ionu! Brogtianu

Descrierea CIP a Bibliotecii Nafionale a RomAnieiVLADUCU,DAIIIEL

Memorator de matematictr pentru clasele IX-X[ /Daniel Vl6ducu, M6rta Kdsa. - Pitegti :Paralela45,2Ol3

ISBN 978-973-47 -t 197 -0

I. Kds4 M6rta

5 l(07s.3s)

Copynght @ Editura Paralela 45, 2Ol3Prezenta lucrare folosegte denumiri ce constifuie mdrci inregistrate,iar continutul este protejat de legislalia privind dreptul de proprietateintelectual6.

-d&,

CUPRINS

r&

2. Clase de funcfii continue ..............61

3. Proprietiilile funcliilor continue........................................61

IV. FUNCTII DERTVABILE ...........................631. No{iuni generale ..............632.Clase de tunc1ii derivabile........ ................633. Reguli de derivare...... ..............................644. Derivata unei funcfii compuse.......... ........645. Derivata unei func1ii inverse............. .....,,,646. Derivatele funcfiilor elementare 9i compuse.,...................65

7. Studiul functiilor cu ajutorul deriva1e1or...........................67

Teorema lui Fermat....... ............................67Teorema lui Rol1e............,,...... .............67

Teorema lui Darboux ........................... 69

,&

GEOMETRTE ANALTTTCA iNPLAN $r iN SPATIU.........93REPER CARTEZTAN tN ereN 5t tN SpATru........................ 93

l. Reperul carte2ian................... ...................932. Distanfa diitre doui puncte in plan ..................................95

ALGEBRi

\ ,o*rurE DE cArcul PBEscuBrAro(atb)2 =o2+zob+bz

o (a t b)3 = o3 + 3o2 b + 3ab2 + b3

o o2 -b2 =(a-n)(a+b)

. o3 -b3 =(a-q(a' +at+a2)

o a3 +b3 =(a+\(az *at+f)

. a'-bn =(a-t)(a"-t +an-Zb+...+b"-t), Vr. N, z ) I

o an +b' =(a+\(a"-\ -an-2b+...+b'-1), Vze zx+t

o (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 +2ab+2bc +2ac

o a3 +b3 +c3 -3obc =(a+b+c)("2 +b2 +c2 -ab-bc-_ ac) sal

o a3 +b3 +c3 -3ags =(a+b+c)|.({"-o)' *{t-")2 +("-Q2);

t a3 + b3 + c3 - 3abc - (a + r + Q(@ + b + c)2 4 (ab + tc + oc));

o a3 +b3 aa3 =(a+b+c)3 -3(a+b)(b+c)(c+a).

\,'",REMAR'ABTE. in = r+2 +3 +...+ n - n(n+l)

t=l 2

. fo' =12 +22 +...+n2 -n(n+lX2n+l)k=t 6

-20'=(ry)'\_X MODULUI-Definitje: Modulul sau valoarea absolutii a unui numir real este

distanJa, pe axa numerelor reale, dintre reprezentarea numirului giongme.

H ={:, ffi :: eip('l = {i',} ffit]::, penru oriceexpresieE(x), xe IR.

Proprietdli:

. lxl > O, Vxe IR;o lxl=O 0 ", c > 0

a

a

,2 +y2 + "2

> ry+ yz+ at, Vx,y,ze IR;

3. (v + y + z) < (x + y + ")2

l+ru, Y ao relR, c>-1, r)0vS rmurnrE DE roctcA MATEMAncA" ilutTtml

o Se numegte propozilie, ln sensul logicii matcmatico, un enunlcare, intr-un context dat, este fie adevtrrat, fie fals.

Valoare de adevlr, tabele de rdevlr

p q lp pvq D/\q It-to DeoI 0 I I I

I 0 0 I 0 0 00 I I I 0 I 00 0 I 0 0 I I

r Se numegte predicat un enunf care depinde de una sau mai multevariabile gi care devine propozilie oricum am inlocui variabilelecu valori alese dintr-o mulfime.

'13

TNDUCT|E MATEMATTCA, PBoBIEME SIMPIE DENUMARARE

o Principiul inducfiei matematicePentru un predicat P(n), n 2 m, n e N gi z c N fixat, avem:

- dacd PQn) este adeviratii gi pentru oice k> m, P(k) -+ P(k + 1)este adevirati, atunci propozifiaY n> m, P(n) este adevirati.o Regula produsuluiDaci obiectele 4, A2,..., An potfi alese, in mod independent, inh, kz, ..- respectiv ft, moduri, atunci ansamblul ordonat (Ar Az, ...,A,) poate fi format in h - kz .... &, moduri.o in cazul in care card (A) = m, card (A) : n, m, n e N-, numirulfunctiilor ce se pot defini pe I cu valori in B este egal cu n' .o Numdrul submullimilor unei mul{imi cu z e N elemente esteegal cu2n.

o Prin convenfie, 0! : I gi, pentru orice n € N', se noteazin!: | '2-3 . ... .n (se citegte nfactorial).VN purenl st BADtcAtlt5te Ridicarea la putere naturall s numerelor realeDacd aelR* qize N',atunci 4n =g'a.-..a.7iara0: l.

z faclori

o Puteri cu exponent in treg: c-,' = l, ".1R*, r e N*."cno Puteri cu exponent rafional:

Drcd a>O,r=2,*eV..ne.|, ,n22,annci t'="+ =f[f .

14

r Proprietifi ale puterilor cu exponent rafional:Dacd a,6e Ri, x, ye Q, atunci;

l\ ax.aY =a'+r

^' a' x-v'al

I (a.)Y =o'tr Proprietifi ale radicalilor:DacL a,6e lR, iar n, ee (2N+l) sau a, De (0, +-) li/t, ne N, atunci:

D \lv =oD 4l"b =