Mic Memorator Matematic

  • View
    342

  • Download
    37

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Memo

Text of Mic Memorator Matematic

CUPRINSALGEBR I. Elemente de logic matematic . 3II. Mulimi . 6III. Relaii binare ... 9IV. Funcii . 11V. Operaii cu numere reale .. 1VI. Ecuaii !i inecuaii de gradul "nt#i ... 1$VII. %umere comple&e .. 16VIII. Ecuaii !i inecuaii de gradul al II'lea ... 1(I). Ecuaii algebrice de gradul III* IV !i V ... $). +ogaritmi .. $)I. Metoda induciei matematice .. 6)II. ,nali- combinatorie . .)III. /rogre0ii ... 9)IV. /olinoame . 31)V. /ermutri* matrici* determinani 3)VI. 2i0teme lineare . 33)VII. 2tructuri algebrice ... 36GEOMETRIE I TRIGONOMETRIEI. 4riung5iul .. 39II. /oligoane con6e&e $1III. Relaii metrice "n triung5i ... $1IV. /atrulatere ... $V. /oligoane "n0cri0e "n cerc . $3VI. 7ercul .. $3VII. 7omplemente de geometrie plan . $$VIII. /oliedre . $3I). 7orpuri rotunde ... $9). Funcii trigonometrice .. 31)I. Formule trigonometrice .. 31)II. In6er0area 8unciilor trigonometrice .. 33)III. 2oluiile ecuaiilor trigonometrice 0imple 3$)IV. Elemente de geometrie analitic 331ANLIZ MATEMATIC I. 2iruri .. 39II. +imite de 8uncii ... 61III. Funcii deri6abile 6$IV. ,0imptote 6.V. /rimiti6e ... 6(VI. Integrale de8inite . .1

ALGEBRI. Elemente de logic mtemticI.!. No"i#ne de $%o$o&i"ie9e8iniia I.1.1. Se numete propoziie un enun despre care se poate spune ceste adevrat sau fals, adr nu i adevrat i fals simultan.2e notea- cu p,q, P, QE&:1; < : ace0ta e0te un enun care e&prim un ade6r* deci o propo-iieade6rat.; & = 3 > 3* &% e0te o propo-iie 8al0* pentru c nu e&i0t nici unnumr natural a0t8el ca & = 3 > 33; & ?* &*?% e0te un enun de0pre care nu 0e poate 0pune nimic. 9ecinu e0te o propo-iie.Valoarea logic sau valoarea de adevr a unei propoziii. 9ac o propo-iie pe0teade6rat0e0punecare6aloarealogic0au6aloareadeade6r: ade6rul@acea0t6aloaredeade6r0enotea-cu0imbolul 10aua!i 0criem v(p)=10au(v)p = a. 9aca o propo-iie qe0te 8al0* 0e 0pune c are 6aloarea de ade6r: 8al0ul@acea0t6aloaredeade6r0enotea-cu0imbolul 10auf!i 0criem v(q) =00auv(q) = f.I.'. O$e%to%i logiciNegaia9e8iniia I.1.. Negaia unei propoziii $ este propoziia care este fals cnd $este adevrat i este adevrat cnd p este fals. 2e notea-: non p, 1 p* p.4abela de ade6r a propo-iieinon p0e "ntocme!te be ba-a relaieiv(non p) = 1 v(p).p non p1 11 1Conjuncia9e8iniia I...Conjunciaa dou propoziii$i(este propoziia care esteadevrat dac i numai dac fiecare propoziie $ i ( este adevrat.2e notea-: p q 34abela de ade6r a propo-iiei p q e0te:p q pq1 1 11 1 11 1 11 1 1Disjuncia9e8iniia I..3.Disjunciaa dou propoziii$ i(este propoziia careeste adevrat dac i numai dac cel puin una din propoziiile $) (esteadevrat.2e notea-: p q4abela de ade6r a propo-iiei p q e0te:p q pq1 1 11 1 11 1 11 1 1mplicaia9e8iniia I..$. mplicaia propoziiilor $ i ( este propoziia care este fals dac i numai dac $ este adevrat i ( este fals.2e notea-: (non p) 0au q, pq !i 0e cite!te: Ap implic qB 0au Adac p* atunciqB. /ropo-iia p e0te ipote-a* iar propo-iia q e0te conclu-ia.4abela de ade6r a propo-iiei pq e0te:p q non p (nonp)q1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1$!c"ivalena logic9e8iniia I..$. #ropoziiile $ i ( sunt ec"ivalente logic, dac i numai dac$) ( sunt adevrate sau false simultan.2enotea-(nonp)q!i(nonq)p@ Cpq; !i Cqp;@pq@ 0ecite!te: Apec5i6alent cu qB 0au Ap dac !i numai dac qB* Ap e0te condiie nece0ar !i 0u8icientpentru qB.4abela de ade6r a propo-iiei compu0e pq e0te:p q non p non q pq qp (pq) (qp)1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1I.*. E+$%e,ii -n clc#l#l $%o$o&i"iilo%/ropo-iiile p,q, r, 8iind date* cu aDutorul operatorilor logici1****putem 8ormula di8erite e&pre0ii* care 0e nume0c formule ale calculului cu propoziiisau e$presii logice. Ele 0e notea- 0au (p,q,r,), (p,q,r,).Enlocuind"npep,q,r,cudi8eritepropo-iii obinemoaltpropo-iie*ade6rat 0au nu* a crei 6aloare de ade6r 0e nume!te valoarea e$presiei * obinutpentru propo-iiile p,q,r, re0pecti6e.9e8iniia I.3.1. % e$presie logic care se reduce la o propoziie adevrat,oricare ar fi propoziiile p,q,r, se numete tautologie.9e8iniiaI.3..Doue$presii logiceisenumescec"ivalentedacinumai dac pentru orice propoziii p,q,r, cele dou e$presii reprezint propoziiicare au aceeai valoare de adevr. &n scris se noteaz .I... No"i#ne de $%edict9e8iniia I.$.1. Se numete predicat sau propoziie cu varia'ile un enun caredepindedeovaria'ilsaudemai multevaria'ilei areproprietateacpentruorice valori date varia'ilelor se o'ine o propoziie adevrat sau o propoziie fals./redicatele0enotea-p(z,y,z,), q(x,y,z,)!i pot 8i unareCdeo6ariabil;*binare Cde dou 6ariabile;* ternare Cde trei 6ariabile;* etc.* 6ariabilelex,y,z, lu#nd6alori "n mulimi date.9e8iniia I.$.. #redicatele p(z,y,z,), q(x,y,z,) se numesc ec"ivalente dac,oricare ar fi valorile pe care le iau x,y,z, (n unul i acelai domeniu, propoziiilecorespunztoare au aceleai valori de adevr. Scriem p(z,y,z,) q(x,y,z,).3I./. C#nti0icto%i9e8iniiaI.3.1.)iep*$+, cuxM, unpredicat. Dace$ist*cel puin+unelementxM, astfel(nct propoziiap(x)esteadevrat, atunciscriem xp(x),Cx;p(x)0auCxM;p(x).Sim'olulsenumetecuantificator e$isteniali secitete ,e$ist-.9e8iniiaI.3..)iep*$+cuxM, unpredicat. Dacp*$+esteopropoziieadevrat pentru oricexM, atunci scriemxpx,Cx;p(x) sauCxM;p(x).Sim'olul se numete cuantificator universal i se citete ,oricare ar fi-.Proprietatea de o!utativitate a uantifiatori"or#1. C&;C?;pC&*?; C?;C&;pC&*?;@. C&;C ?;pC&*?; C?;C &;pC&*?;@$e%u"i de ne%are#1. 1CC&;pC&;; CC&;1CpC&;;@. 1CC&;pC&;; CC&;1CpC&;;@3. 1CC&;C?;pC&*?;;CC&;C?;1pC&*?;;@$. 1CC&;C ?;pC&*?;;CC &;C ?;1pC&*?;;@I.1. Metod de demon,t%"ie $%in %ed#ce%e l 2,#%d,cea0tmetod0eba-ea-petautologia(pq)(nonpnonq)* carenearat c pentru a demon0tra c pq* e0te totuna cu a demon0tra c non pnon q.I.3. P%o$%iet"i 0#ndmentle le o$e%to%ilo% logiciOricare ar 8i propo-iiile p,q,r, a6em:1. non(non p) p&. (pq) (qp) Ccomutati6itatea conDunciei;@3. ((pq)r) (p(qr)) Ca0ociati6itatea conDunciei;@$. (pq) (qp) Ccomutati6itatea di0Dunciei;@3. ((pq) r) (p (qr)) Ca0ociati6itatea di0cDunciei;@6. ((pq)(qr))(pr) Ctran-iti6itatea implicaiei;@.. non(pq) (non p)(non q) legile lui de Morgan@non(pq) (non p)(non q)(. (p(qr)) ((pq)(pr)) conDuncia e0te di0tributi6 "n raport cu di0Duncia !i (p(qr)) ((pq)(pr)) di0Duncia e0te di0tributi6 "n raport cu conDunciaII. M#l"imi6.oduri dedefinireamulimilor. Mulimile 0ede8ine0c8ieprinindicareaelementelor lor Cde pild F1*1*3G 0au F&*?*-G;* 8ie prin 0peci8icarea unei proprieticaracteri0tice a elementelor lor Cde e&emplu F&R&

H 3& => 1G;.Mulimile 0e notea- cu litere mari: ,* I* 7* )* J* K* iar elementele lor culitere mici: a* b* c*/partenenaunui element laomulime. 9acunelementaaparineuneimulimi '* ace0ta 0e notea- a' !i 0e cite!te Aa aparine lui 'B.9e8iniie..ulimeavidestemulimeacarenuarenici unelement. Senoteaz cu .II.!. Eglitte m#l"imlo% / 4i 01C, > I; C&, &I; !i C?I ?,;Propriet()i"e e%a"it()ii#1. ,* , > , Cre8le&i6itatea;@. C, > I; CI > ,; C0imetria;@3. C, > I I > 7; C, > 7; Ctran-iti6itatea;@II.'. Incl#&i#ne m#l"imii / -n m#l"ime 01C, I; C&, & I;Mulimea , 0e nume!te o parte 0au o su*!u")i!e a lui I.Propriet()i"e in"uziunii#1. ,* , , Cre8le&i6itatea;@. C, I; CI ,; C, > I; Canti0imetria;@3. C, I I 7; C, 7; Ctran-iti6itatea;@$. ,* ,Relaia de neinclu-iune 0e notea- , I.II.*. Re#ni#ne m#l"imilo% / 4i 01, I > F&&, &IGPropriet()i"e reuniunii#1. ,* I: , I > I , Cre8le&i6itatea;@. ,* I* 7: C, I; 7; > , CI 7; Ca0ociati6itatea;@3. ,: , , > , Cidempotena;@$. ,: , > ,@3. ,* I: , , I* I , I..II... Inte%,ec"i m#l"imilo% / 4i 01, I > F&&, &IGPropriet()i"e interse)iei#1. ,* I: , I > I , Ccomutati6itatea;@. ,* I* 7: C, I; 7 > , CI 7; Ca0ociati6itatea;@3. ,: , , > , Cidempotena;@$. ,: , > 3. ,* I: , I ,* , I I6. ,* I* 7: C, I; 7 > C, 7; CI 7; Cdi0tributi6itatea inter0eciei 8a dereuniune;@.. ,* I* 7: C, I; 7 > C, 7; CI 7; Cdi0tributi6itatea reuniunii 8a deinter0ecie;@(. ,* I: , C, I; > ,* , C, I; > , Cab0orbia;.9e8iniie..ulimile' i+carenuaunici unelement comunsenumescdisjuncte. #entru ele avem ' + > .II./. 5i0e%en" m#l"imilo% / 4i 01, L I > F&&, &IGPropriet()i"e diferen)ei#1. ,: , L , > @. ,* I* 7: C, L I; 7 > C, 7; L CI 7;@3. ,* I: , L I > , L C, I;@$. ,* I: , > C, I; C, L I;@3. ,* I* 7: , L CI 7; > C, L I; L 7@6. ,* I* 7: , L CI 7; > C, L I; C, L 7;@.. ,* I* 7: C, I; L 7 > C, L 7; CI L 7;@(. ,* I* 7: C, I; L 7 > , CI L 7; > C, L 7; I.II.1. 5i0e%en" ,imet%icm#l"imilo% / 4i 01, I > C, L I; CI L ,;Propriet()i"e diferen)ei si!etrie#1. ,: , , > @. ,* I: , I > I , Ccomutati6itatea;@3. ,: , > , > ,@$. ,* I* 7: C, I; 7 > , CI 7; Ca0ociati6itatea;@3. ,* I* 7: , CI 7; > C, I; C, 7;@(6. ,* I: , I > , I L C, I;II.3. Com$lement% #nei m#l"imi / -n %$o%t c# m#l"ime !1C' 8iind o parte a lui ,* adic ',;7E, > F&&E &,GPropriet()i# C,* IE;1. 7EC7E,; > , Cprincipiul reciprocitii;@. 7E, > E L ,@3. 7E > E@$. 7EE > @3. , 7E, > , Cprincipiul e&luderii teriului;@6. , 7E, > Cprincipiul necontradiciei;@.. , I 7EI 7E,@(. , L I > 7EC, I;.II.6. 7o%m#lele l#i de Mo%gn C,* IE;7EC, I; > 7E, 7EI@ 7EC, I;> 7E, 7EI.II.8. P%od#,#l c%te&indo# m#l"imile / 4i 01, & I > FCa*b;a, bIGPropriet()i"e produsu"ui artezian C ,*I*7*9 a6em;:1. , & I I & ,* dac , I@. C, & I; C, & 7; > , & CI 7;@3. C, I; & 7 > C, & 7; CI & 7;@$. C, I; & 7 > C, & 7; CI & 7;@3. C, L I; & 7 > , & 7 L I & 7@6. C, I; & C7 9; > C, & 7; CI & 9;9e8iniia II.9.1. .ulimile ' i + se numesc ec"ipotente dac e$ist o 'ijecie de la ' la +.9e8iniia II.9.. )ie , o mulime. /ceasta se numete finit dac , =