Embed Size (px)
DESCRIPTION
Zbirka rješenih zadataka hidrostatika , hidraulika, hidromehanika
UNIVERZA V LJUBLJANI
FAKULTETA ZA GRADBENIŠTVO IN GEODEZIJO
MATJAŢ ČETINA
HIDROMEHANIKA
ZBIRKA REŠENIH NALOG
LJUBLJANA 1999
prof. dr. Matjaž Četina, dipl. ing. gradb.
HIDROMEHANIKA
Zbirka rešenih nalog
Recenzent:
Izdala in založila: Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo (FGG)
Univerza v Ljubljani
Tehnično urejanje: Matjaž Četina, Primož Duhovnik
Natisnila:
Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo
Brez soglasja založnika je prepovedano vsakršno reproduciranje ali prepis v katerikoli obliki.
CIP - Kataložni zapis o publikaciji
Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana
532(075.8)
ČETINA, Matjaž
Hidromehanika - zbirka rešenih nalog. Študijsko gradivo / Matjaž Četina. - Ljubljana :
Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, 1999
ISBN
V S E B I N A
stran
1. HIDROSTATIKA 4
1.1 Sila hidrostatičnega pritiska na ravne in krive ploskve in njeno prijemališče 5
1.2 Vzgon in plavanje 76
2. KINEMATIKA IDEALNE NESTISLJIVE TEKOČINE 96
2.1 Potencialni (nevrtinčni) tok 97
3. DINAMIKA IDEALNE NESTISLJIVE TEKOČINE 114
3.1 Primeri uporabe Bernoullijeve in energijske enačbe za stalni tok v cevovodih 115
3.2 Uporaba teorije potencialnega toka za tok podtalnice (filtracija) 166
3.3 Teorem o gibalni količini za stalni tok 206
4. TOK REALNE TEKOČINE 240
4.1 Dinamična podobnost 241
4.2 Upor teles v toku 244
4
1. HIDROSTATIKA
5
1.1 Sila hidrostatičnega pritiska na ravne in krive ploskve in njeno prijemališče
6
1.1.1 Zapornica podane oblike, ki je vrtljiva okrog tečaja A, ločuje olje in vodo višine H in zapira
odprtino v tleh. Določi potrebno težo zapornice G, da ostane zaprta !. Širina odprtine in
zapornice na papir je L.
v = 1000 kg/m3
o = 800 kg/m3
H = 3 m
a = 0.5 m
L = 2 m
Rešitev:
a) Sile (po konponentah):
b) Določitev teže zapornice
ma
M A 25.02
5.0
2r ; 0 G
0***** vHvHGvVvVoVoVoHoH rFrGrFrFrF
G
vVvVoVoVoHoHvHvH
r
rFrFrFrFG
****
N5.5640725.0
4166.0*5.73570833.0*58861*706321*88290=
7
1.1.2 Loputa podane oblike in širine L ( na papir), ki je vrtljiva okrog tečaja A, zapira odprtino v
steni. Določi potrebno težo lopute, da pri podani višini vode ostane zaprta!
a = 2 m
b = 1 m
c = 3 m
L = 2.5 m
l = 5.2 m
v = 1000 kg/m3
Rešitev:
a) Sile
NShgF T 5.613125.2*5.2*81.9*1000*** 111
mb
ahT 5.22
12
21
3
2
1 5.25.2*1* SmLbS
mhS
Jhh
T
TTS 5333.2
5.2*5.2
2083.05.2
* 11
111
3
433
1 2083.012
1*5.2
12
*TT Jm
bLJ
mhbar S 4667.05333.21211
NShgF T 66217515*5.4*81.9*1000*** 222
mc
bahT 5.42
312
22
2
2 155.2*6`* mLcS
mc
c 630sin
3
sin`
8
3029.98= 5769.02.5
3
l
ctg
mhS
Jhh
T
TTS 3333.9
9*15
459
`*``
22
222
mh
h TT 9
30sin
5.4
sin` 2
2
433
2 4512
6*5.2
12
`*m
cLJT
mba
hr S 3333.330sin
123333.9
sin` 22
NShgF T 5.1594125.2*5.6*81.9*1000*** 333
mb
cbahT 5.62
1312
23
mhS
Jhh
T
TTS 5128.6
5.6*5.2
2083.05.6
* 33
333
mbahr S 5128.3125128.633
b) Teža lopute
0AM
0**** 332211 rFrFrFrG G
ml
rG 6.22
2.5
2
N1053317.31=
6.2
4667.0*5.613125128.3*5.1594123333.3*662175*** 113322
Gr
rFrFrFG
9
1.1.3 Bazen širine l ( na papir) je potisnjen čez rob ravne strehe kot kaže skica. Pri kateri višini
vode H se bazen prevrne s strehe?
L1 = 7 m
L2 = 3 m
l = 5 m
= 45
v = 1000 kg/m3
Rešitev:
a) Določitev višine vode H
2r ; **** 1111
LLlHgF
2r ; **** 2222
LLlHgF
3r ; *
2** 23
2
3
HLl
HgF
0AM
332211 *** rFrFrF
3**
2**
2*****
2***** 2
2
22
11
HLl
Hg
LLlHg
LLlHg
3*
2222
2
2
2
1 HL
HLL
3* 2
2
2
2
1
HLHLL
2
2
2
1
2
23
* LLH
HL
0*3**3 2
2
2
12
2 LLHLH
10
2
68.239
2
37*123*93*3
2
*12*9*3 2222
2
2
1
2
22
2,1
LLLLH
m3427.72
685.14H1 Rešitev problema
mH 3427.162
685.322 Fizikalno nemogoč rezultat
11
1.1.4 Stožec teže G pokriva okroglo odprtino na dnu posode. Ugotovi:
a) Ali se pri dani višini vode H stožec dvigne?
b) Minimalno potrebno višino vode Hmin, pri kateri odprtina ravno še ostane odprta!
b = 1 m
D = 2 m
h = 1 m
d = 1 m
G = 4 kN
H= 3 m
v= 1000 kg/m3
Rešitev:
a) Sili, ki delujeta navzdol
NG 4000
mD
dhhDdhh 5.0
2
1*1*' ::'
mhhh 5.05.01'''
NhbHd
gF 13.115575.013*4
1**81.9*1000''*
4
***
22
1
b) Sila, ki deluje navzgor
FD h d h d
h g
N
2
2 2 2
2 2 2
4 3 4 3 4
2
4
1
3
1
4
05
3
05
405 981 1000 513650
**
**
` ** * *
**
**
. * .* . * . * .
"
=
Pri dani višini se stožec ne dvigne, ker je:
12
F G N F N1 21155713 4000 1655713 513650 . . .
c) Minimalna višina vode Hmin
GFFFGF 2121
GFhbHgd
2
"
min
2
***4
*
mhb
gd
GFH 6475.1
1000*81.9*1*
4*400050.5136
****
4*2
"
2
2min
13
1.1.5 Trikotna zapornica teže G, ki je vrtljiva okrog tečaja A, zapira odprtino v steni. Pri kateri
višini vode H se zapornica odpre?
a = 1 m
b = 0.5 m
= 60
v = 1000 kg/m3
G = 3000 N
Rešitev:
a) Sila vode
F g h S g ha b
h hv T v T T T * * * * * **
* . * ** .
. *2
1000 9811 05
224525
b) Prijemališče sile vode
h hJ
h S
h b a
a b h
h a
hh
hS T
T
T
T
T
T
T
T
T
' '' * sin
* * *sin
* * * sin
*sin
*. *
.
3 22
36 60 1811547
0 0481
c) Višina vode, da se zapornica odpre
0 AM
0*cos*3
* FrFa
G
03333.00481.0
**5.2452cos*3
*
T
Th
ha
G
14
3333.00481.0
3333.0*1547.10481.0
*1547.1'' T
T
T
TSFh
hh
hxhr
3333.0*1547.13
1*1547.1cos*
3'' TTT hh
ahx
996.11760cos*3
1*3000*5.817 Th
004.382*5.817 Th
mhT 4673.0
mahH T 0446.160sin*1*3
24673.0sin**
3
2
15
1.1.6 Zapornica teže G zapira trikotno odprtino v steni. Kolikšna sila F je potrebna za dvig
zapornice, ki je vrtljiva okrog tečaja A?
a = 3 m
b = 2 m
H = 10 m
= 30
G = 100 kN
Rešitev:
a) Hidrostatična sila
NShgF T 2648703*9*981.*1000***1
maHhT 930sin*3*3
210sin**
3
2
232
2*3
2
*m
baS
16
mhS
Jhh
T
TTS 0278.18
18*3
5.118
* '
''
mh
h TT 18
30sin
9
sin
'
433
5.136
3*2
36
*m
abJT
b) Sila za odpiranje
0AM
0*** 11 FG rFrFrG
Nr
rFrGF
F
G 75.1381135981.2
0278.1*264870866.0*100000** 11
ma
rG 866.030cos*3
3cos*
3
maH
hr S 0278.1330sin
100278.18
sin
'
1
marF 5981.230cos*3cos*
17
1.1.7 Krožna odprtina v poševni steni je zaprta z zapornico v obliki krožne plošče, teže Gz, ki ima
vrtišče v točki A. Zapornica je z vrvjo povezana s plavačem valjaste oblike dolžine L.
Določi gostoto plavača tako, da se bo zapornica odprla ravno takrat, ko bo valj potopljen do
polovice.
d = 1 m
D = 1 m
L = 2 m
c = 1.6 m
= 30
Gz = 1200 N
Rešitev:
a) Gostota plavača
NShgF T 99.80897854.0*05.1*81.9*1000***
mD
chT 05.130sin*2
16.1sin*
2
222
7854.04
1*
4
*m
DS
mhS
Jhh
T
TTS 1298.2
1.2*7854.0
04909.01.2
* '
''
mD
chT 1.22
16.1
2
'
18
444
04909.064
1*
64
*m
DJT
mchr SF 5298.06.11298.2'
NLd
gFW 75.77042
1*2*
4
1**81.9*1000
2
1**
4
***
22
mDrW 866.030cos*1cos*
mD
rG 433.030cos*2
1cos*
2
PPW FGF
*** GzFWP rGrFrF
Nr
rGrFF
W
GzFP 78.5548
866.0
433.0*12005298.0*99.8089**
NFFG PWP 97.215578.554875.7704
3
22
2
/9119.1392*1**81.9
97.2155*4
***
*4 *
4
*** mkg
Ldg
GL
dgG P
PPP
19
1.1.8 Krožna odprtina je zaprta z zapornico, ki je povezana s kroglastim plavačem. Določi gostoto
krogle tako, da se bo zapornica odprla ravno takrat, ko je krogla potopljena do polovice!
= 30
d = 1 m
c = 1.6 m
D = 1.6 m
Rešitev:
a) Velikost in prijemališče sile na ploskev
NShgF TZ 99.80897854.0*05.1*81.9*1000***
md
chT 05.130sin*2
16.1sin*
2
222
7854.04
1*
4
*m
dS
mhS
Jhh
T
TS 1298.27854.0*1.2
0491.01.2
`*``
md
ch T 1.22
16.1
2`
20
444
0491.064
1*
64
*m
dJ
b) Gostota krogle
VZGV FFF
KKKKG
rgVgF
*0391.21
3
8.0**4*81.9*
3
**4****
33
Nr
gV
gF VVVZ 56.105193
8.0**2*81.9*1000
2*3
**4**
2**
33
KVF *0391.2156.10519
0M
chFdF SZV `*cos**
6.11298.2*99.808930cos*1**0391.2156.10519 K
3/7819.26430cos*0391.21
6.11298.2*99.808930cos*56.10519mkgK
21
1.1.9 Zapornica podane oblike in teže G, ki je vrtljiva okrog tečaja A, zapira varnostno odprtino v
stranski steni bazena. Določi gostoto plavača p če je plavač valjaste oblike premera D ter
višine a in se pri dani višini vode H in dolžini vrvi y zapornica ravno začne odpirati!
a = 1.0 m
D = 3 m
b = 0.6 m
y = 3.6 m
H = 5 m
c = 0.8 m
d = 0.4 m
l = 1 m
= 60
G = 5000 N
v = 1000 kg/m3
Rešitev:
a) Globina potopitve plavača
h H b y m 5 0 6 3 6 08. . .
b) Sila vode na zapornico F1 in njeno prijemališče hS'
NShgF Tv 25.416022.1*534.3*81.9*1000**1
md
cbHhT 534.3sin*2
4.08.06.05sin*
2
22.18.0*11*4.02
**2* m
clldS
mhS
Jhh
T
TTS 084.4
080.4*2.1
8.20.0080.4
'*''
mh
h TT 080.4
60sin
534.3
sin'
4
233233
0.208m=
2
1*8.0*
3
8.0
2
4.0
36
8.0*1
12
4.0*1
2
**
3236
**2
12
*
lccdcldlJT
22
c) Ravnotežni pogoj
N
r
rGrrFrGrM
P
GPPGA
66.442681
5.0*5000004.1*25.41602=
**F F 0***F :0 11
P11
md
chhr TS 004.12
4.08.0080.4084.4
2''1
mcd
rG 5.060cos*8.02
4.0cos*
2
r d c mP 2 0 4 2 08 60 1* *cos . * . *cos
d) gostota plavača
3
2
2
2
60.1611
8.0*1000
1*81.9*3*
4*44268 -=
****
4* ***
4
*
mkg
a
h
agD
Fah
DF v
p
PPvP
23
1.1.10 Zapornica v obliki krožne ploskve, teže GZ, zapira odprtino v poševni steni in se lahko vrti
okrog tečaja A. V točki B je povezana z vertikalno vrvjo z valjastim plavačem s premerom
osnovne ploskve D, višino a in težo GP. Določi dolžino vrvi y, da so bo pri dani višini vode c
zapornica ravno odprla!
d = 1 m
a = 2 m
D = 2.25 m
c = 0.433 m
= 60
GZ = 3000 N
GP = 2000 N
v = 1000 kg/m3
Rešitev:
a) določitev sile vode na zapornico
NShgF T 51.66727854.0*866.0*81.9*1000***
md
chT 866.060sin*2
1433.0sin*
2
222
7854.04
1*
4
*m
dS
b) Prijemališče sile
mSh
Jhh
T
TS 0625.17854.0*1
0491.01
*```
24
mdc
h T 199998.02
1
60sin
433.0
2sin`
444
0491.064
1*
64m
dJ
c) Globina potopitve
0 AM
cos**
`
***4
*cos*
2*
sin`*
2
d
F
gxD
Gd
Gc
hF vPZS
N
dG
chF
dF ZS
58.900660cos*2
1*3000
60sin
433.00625.1*51.6672*
60cos*1
1=
cos*2
*sin
`**cos*
1`
d) Dolžina vrvi y
y d c x m *sin *sin . . . 1 60 0433 02822 10168
25
1.1.11 Zapornica trikotne oblike je preko ročice povezana s plavačem valjaste oblike, teže G in
širine L. Sistem je vrtljiv okrog osi A. Izračunaj, če se pri podanih razmerah zapornica
odpre.
a = 0.5 m
b = 1 m
c = 0.5 m
d = 1.5 m
L = 1 m
D = 1 m
= 60
G = 2350 N
Rešitev:
a) Sila na trikotno ploskev
NShgF T 94.176925.0*7217.0*81.9*1000***
mb
chT 7217.060sin*3
15.0sin*
3
225.02
1*5.0
2
*m
baS
mSh
Jhh
T
TSS 9.0
25.0*8333.0
0139.08333.0
*```
mb
ch T 8333.03
5.05.0
3`
433
0139.036
1*5.0
36
*m
baJT
b) Sila vzgona
26
NLgD
W 38.38521*81.9*1000*2*4
1****
2*4
* 22
NGWV 38.1502235038.3582
c) Možnost odprtja zapornice
NmdD
VM zap 76.30045.12
1*38.1502
2*
NmhFM Sodp 95.15929.0*94.1769`*
odpzap MM
odpre ne se zapornica
27
1.1.12 Določi, če se pri podanih razmerah zapornica odpre. Zapornica je vrtljiva okrog tečaja A.
Plavač (kocka) je preko tečaja B vezan z drogom. Težo plavača zanemari. Širina zapornice
je L ( na papir).
h = 2 m
a = 0.5 m
b = 0.3 m
Gzap = 10 4
N
l = 2 m
v = 1 m
L = 1 m
Rešitev:
a) Sile, ki odpirajo zapornico
Nh
v
lFF
vzg
pl 25.1226
2
21
2*25.1226
2
*
NagFvzg 25.12265.0*81.9*1000** 33
NLbh
gFv 29431*2
3.0*2*81.9*1000*
2
***
Nmb
Fh
FM vpl
A
odp 55.15203
3.0*2943
2
2*25.1226
3*
2*
28
b) Sile, ki zapirajo zapornico
NLh
hFH 196201*2
2*81.9*1000*
2**
22
Nmb
hFM H
A
zap 271603
3.0*100002*
3
2*19620
3*10*
3
2* 4
Mzap > Modp zapornica ostane zaprta
29
1.1.13 Kvadrasta zapornica (h*b*L, kjer je L širina na ravnino papirja) mase m zapira
pravokotno odprtino v bočnem zidu, ki je nagnjen za kot proti horizontali. Zapornico
lahko z žico pomikamo vzdolž vodil, nameščenih v zidu rezervoarja. Kolikšna je najmanjša
sila F, potrebna za dvig zapornice iz začetnega položaja (ko je odprtina zaprta), če je
koeficient med zapornico in vodili k?
h = 1.8 m
b = 0.4 m
L = 2.4 m
H = 10 m
m = 2000 kg
k = 0.35
= 60
Rešitev:
a) Sila v žici
0* 32112 PGkGPPF
NgmG 42.1699160sin*81.9*2000sin**1
NgmG 981060cos*81.9*2000cos**2
NShgP T 65.7855396.0*4412.8*81.9*1000*** 111
mb
hHhT 3412.860cos*2
4.060sin*8.110cos*
2sin*1
30
2
1 96.04.2*4.0* mLbS
NShgP T 24.9323496.0*9.9*81.9*1000*** 122
mb
HhT 9.960cos*2
4.010cos*
22
NShgP T 84.38228432.4*0206.9*81.9*1000*** 33
mh
bHhT 0206.960sin*2
8.160cos*4.010sin*
2cos*3
2
2 32.44.2*8.1* mLhS
N
PGkGPPF
03.13954484.3822849810*35.042.1699124.9323465.78553
* 32121
31
1.1.14 Zapornica krožne oblike premera D, ki je vrtljiva okrog tečaja A, ločuje bazena z alkoholom
in glicerinom. Kolikšna mora biti teža zapornice G, da pri podanih višinah alkohola (H1) in
glicerina (H2) ravno še ostane zaprta?
D = 2 m
H1 = 6 m
H2 = 4 m
= 60
a = 790 kg/m3 (alkohol)
g = 1250 kg/m3 (glicerin)
Rešitev:
a) Sila alkohola in nejno prijemališče
NShgF Ta 03.1249971416.3*134.5*81.9*790*** 111
mD
HhT 134.560sin*2
26sin*
211
222
1 1416.34
2*
4
*m
DS
mSh
Jhh
T
TTS 9704.5
1416.3*9292.5
7854.09282.5
*'''
11
111
mh
h TT 9282.5
60sin
134.5
sin' 1
1
32
444
1 7854.064
2*
64
*m
DJT
mDH
hr S 0422.1260sin
69704.5
sin' 1
11
b) Sila glicerina in njeno prijemališče
NShgF Tg 55.1207321416.3*134.3*81.9*1250*** 222
mD
HhT 134.360sin*2
24sin*
222
222
2 1416.34
2*
4
*m
DS
mSh
Jhh
T
TTS 6879.3
1416.3*6188.3
7854.06188.3
*'''
22
222
mh
h TT 6188.3
60sin
134.3
sin' 2
2
444
2 7854.064
2*
64
*m
DJT
mDH
hr S 0691.1260sin
46879.3
sin' 2
22
c) Teža zapornice
0 AM
0*** 2211 GrGrFrF
Nr
rFrFG
G
25.23905.0
0691.1*55.1207320422.1*03.124997** 2211
mD
rG 5.060cos*2
2cos*
2
33
1.1.15 Polkrožna zapornica AB širine L ( na papir) in teže G je vrtljiva okrog tačeja A. Če jo
podpremo s silo F, zapornica ravno ostane še zaprta. Določi težo zapornice G!
R = 2 m
L = 2.5 m
F = 35000 N
Rešitev:
a) Horizontalna sila na zapornico
NLRR
gShgF TH 490505.2*2
2*2*81.9*1000**
2*****
mR
hSH 3333.13
2*2
3
*2
mR
rH 6667.03
2
3
b) Vertikalna sila na zapornico
NR
LgPgFV 56.770474
*2*5.2*81.9*1000
4
******
22
mR
rV 8488.0*3
2*4
*3
*4
34
c) Določitev teže zapornice
0 AM
0***2
**
VVHH rFrF
RRGRF
NR
R
RFrFrFG VVHH 85.20783
2*22
2*135004467.0*44.210526667.0*49050
*2
***
35
1.1.16 Polkrožna zapornica AB širine L ( na papir) in teže G je vrtljiva okrog tečaja A. Če jo
obremenimo s silo F, zapornica ravno ostane zaprta. Določi težo zapornice G!
R = 2 m
L = 2.5 m
F = 13500 N
Rešitev:
a) Horizontalna sila na zapornico
NLRR
gShgF TH 490505.2*2
2*2*81.9*1000**
2*****
mR
hSH 3333.13
2*2
3
*2
mR
rH 6667.03
2
3
b) Vertikalna sila na zapornico
NR
RLgPgFV 44.210524
*22*5.2*81.9*1000
4
******
22
22
2211 *** SrSrSr VV
mRR
R
RRRR
R
S
SrSrr
V
V 4467.0
4
*2
4
*2*
*3
2*422*
2
2
4
*
4
**
*3
*4*
2**2
2
22
22
22
2211
36
c) Določitev teže zapornice
0 AM
0***2
**
VVHH rFrF
RRGRF
NR
R
RFrFrFG VVHH 85.20783
2*22
2*135004467.0*44.210526667.0*49050
*2
***
37
1.1.17 Določi horizontalno in vertikalno silo HS pritiska na zapornico, ki ima vrtišče v točki A.
Zapornica ima obliko četrtine plašča valja; dolžina je L. Določi tudi prijemališče obeh delnih
sil glede na os A.
H = 10 m
R = 2 m
L = 1 m
Rešitev:
a) Horizontalna sila
NShgF HTHVH 2158202*11*81.9*1000***
mR
HhTH 112
210
2
221*2* mLRSH
mhS
Jhh
TH
THTHSH 0303.11
11*2
6667.011
*
433
6667.012
2*1
12
*m
RLJTH
mHhr SHH 0303.1100303.11
38
b) Vertikalna sila
NPgF VVV 02.2270191416.23*81.9*1000**
322
1416.231*4
*22*10*
4
** mL
RRHPV
2211 *** SrSrSrV
mR
RH
RRRH
R
S
SrSrrV 9795.0
4
*22*10
4**3
*2*2*42*10*
2
2
4
**
4
**
*3
*4**
2**2
2
2
2
2211
c) Skupna sila
F F F NH V 2 2 2 2215820 227019 02 31323459. .
39
1.1.18 Zapornica teže G v obliki polovice plašča valja je vrtljiva okrog tečaja A. S kolikšno silo F
jo moramo podpreti, da se pri dani višini vode H ne odpre?
H = 10 m
R = 2 m
L = 1 m ( na papir)
G = 10 kN
Rešitev:
a) Sili in prijemališča
NShgF TH 3139201*4*8*81.9*1000***
mSh
Jhh
T
TTS 1667.8
4*8
3333.58
*
4
33
3333.512
2*2*1
12
*2*m
RLJT
mRHhT 8210
241*2*2**2 mLRS
mRHhr SH 1667.22*2101667.8*2
NLgR
FV 05.616381*81.9*1000*2
2****
2
* 22
mR
rV 8488.0*3
2*4
*3
*4
mR
rG 2733.12*2*2
40
b) Določitev sile F
0 AM
0*2**** RFrFrGrF VVGHH
NR
rFrGrFF VVGHH 1.160143
2*2
8488.0*05.616382733.1*100001667.2*313920
*2
***
41
1.1.19 Ugotovi, ali se zapornica v danih pogojih odpre (okrog tečaja A v protiurni smeri)! Računaj
na 1m širine, težo zapornice zanemari!
a = 2 m
d = 1 m
L = 1 m
Rešitev:
a) Sile na zapornico
NShgF T 196202*1*81.9*100***1
ma
hT 12
2
2
221*2* mLaS
NLdad
gF 38.234721*1*28
1**81.9*1000**
2*4
***
22
2
3F se medsebojno uničita
42
b) Možnost zasuka zapornice
odpresezapornica
md
r
NmrFM
ma
r
NmrFM
z
5.02
19.117365.0*38.23472*
6667.03
2
3
130806667.0*19620*
2
22
1
110
43
1.1.20 Zapornica v obliki polovice cilindra s širino L ( na papir) in težo G zapira pravokotno
odprtino v zidu. Kolikšna je najmanjša sila F, potrebna za dvig zapornice, ki je vrtljiva okrog
tečeja A?
D = 2 m
L = 3 m
H = 10 m
G = 200 kN
Rešitev:
a) Sile in prijemališča
NShgF TH 5297406*9*81.9*1000***
mD
HhT 92
210
2
263*2* mLDS
mSh
Jhh
T
TTS 037.9
6*9
29
*
433
212
2*3
12
*m
DLJT
44
NLD
gVgFV 54.462283*2*4
2**81.9*1000*
2*4
*****
22
mR
rV 4244.0*3
1*4
*3
*4
b) Potrebna sila za odprtje zapornice
0AM
2
****D
FrFrGDhhF VVVSH
N
D
rFrGDhhFF VVVSH
98.6146002
4244.0*54.462284244.0*200000210037.9*529740*2
****2
45
1.1.21 Polkrožna zapornica polmera R in širine L ( na papir), teže GZ, se lahko vrti okrog tečaja
A. V točki B je povezana z vertikalno vrvjo s plavačem v obliki kocke teže GP. Določi
dolžino vrvi y, da se bo pri dani višini vode c zapornica ravno odprla!
A = 3 m
R = 1.5 m
C = 2 m
GZ = 55000 N
GP = 800 N
v = 103
kg/m3
L = 1 m
Rešitev:
a) Sili na zapornico
NhSgF TH 1030055.3*3*81.9*1000*** 231*5.1*2**2 mLRS
mRchT 5.35.12
mchr SHH 7143.127143.3
mSh
Jhh
T
TTSH 7143.3
3*5.3
25.25.3
*
46
4
33
25.212
5.1*2*1
12
*2*m
RLJT
NPgFV 4.346715343.3*81.9*1000**
322
5343.31*2
*5.1*
2
*mL
RP
mR
rV 6366.0*3
5.1*4
*3
*4
b) Globina potopitve plavača
0AM
0***** HHVZPPVV rFrGrGrFRW
N
R
rFrGrGrFW HHVZPPVV
73.1271471.5
7143.1*1030056366.0*550005.1*8006366.0*4.34671
****
mag
WhhagW 44.1
3*81.9*1000
73.127147
** ***
22
2
c) Dolžina vrvi
y c R h m 2 15 144 20599. . .
47
1.1.22 Polkrožna zapornica širine L je preko ročice, vrtljive okrog osi A, povezana s plavačem
kvadrataste oblike s stranico a in težo GP. Določi globino potopitve plavača h, pri kateri se
zapornica ravno začne odpirati!
a = 2 m
d = 2.5 m
c = 1 m
R = 2 m
G = 2000 N
L = 1 m
Rešitev:
a) Globina potopitve plavača
ZO MM
SHWPVVWW hFrGrFrF ****
hhhagFW *39240*2*81.9*100**** 22
NLR
gFV 51.154091*2
1**81.9*1000*
2
***
22
48
NShgF TH 392402*2*81.9*1000***
mRchT 211*
221*1*2**2 mLRS
mSh
Jhh
T
TTS 1667.2
2*2
6667.02
*
4
33
6667.012
*1*2
12
**2m
aLRJT
ma
drW 5.32
25.2
2
mR
rV 4244.0*3
1*4
*3
*4
mr
rFhFrGh
W
VVSHWP 6224.05.3*39240
4244.0*51.154091667.2*392405.3*2000
*39240
***
49
1.1.23 Določi maksimalno dopustno globino potopitve h valjastega plavača teže Gpl, da bo
polkrožna zapornica teže Gzap, ki se vrti okrog tečaja A, ravno še ostala zaprta. Plavač-valj je
preko tečaja B vezan z drogom d.
R = 1 m
L = 1 m ( na papir)
V = 1 m
Gzap = 104
N
l = 4 m
D = 2 m
c = 1 m
Gpl = 2.5*103
N
Rešitev:
a) Sile, ki odpirajo zapornico
NLR
gFV 51.154091*2
1**81.9*1000*
2
***
22
plvpl GFF 1
RV
lFFRVlF d
*F ** 1
d1
b) Sile, ki zapirajo zapornico
F gR
L NH * **
* * . **1
*14
21000 981
4
219620
2 2
50
c) Globina potopitve plavača
0AM
0**3
*4**2*
3
2* RF
RFGRF dVzapH
0*
*3
4*
3
4* 1
RV
lFFGF VzapH
N
l
RVFGFF VzapH
07.119324
11*
*3
4*51.1540910000
3
4*19620
**3
4*
3
4*1
plvpl GFF 1
plGFhD
g 1
2
*4
***
***
*42
1
Dg
GFh
pl
m
Dg
GFh
pl4683.0
2**81.9*1000
250007.11932*4
***
*422
1
51
1.1.24 Betonska pregrada dane oblike ima širino L ( na papir). Določi faktor varnosti pregrade
proti zdrsu K1 in proti prevrnitvi K2 okrog točke A. Koeficient trenja med podlago in
pregrado je k.
R = 3 m
a = 2 m
b = 1 m
c = 2 m
d = 0.5 m
L = 5 m
k = 0.75
b = 2800 kg/m3
v = 1000k g/m3
rT = 4*R / (3*)
Rešitev:
a) Sile na pregrado
NL
adgF vH 25.1532815*
2
25.0*81.9*1000*
2**
22
1
mda
rH 8333.03
25.0
31
NL
aRgF vH 6131255*
2
23*81.9*1000*
2**
22
2
mRa
rH 6667.13
32
32
NLdc
gF vV 245255*2
5.0*2*81.9*1000*
2
***1
mc
rV 6667.03
2
31
52
NLR
gF vV 02.3467145*4
3**81.9*1000*
4
***
22
2
mR
cbRrV 7268.4*3
3*4213
*3
*42
NLdc
gG b 686705*2
5.0*2*81.9*2800*
2
***1
mcrG 3333.12*3
2*
3
21
NLRbgG b 4120205*3*1*81.9*2800****2
mb
crG 5.22
12
22
NLR
RgG b 75.2652605*4
*33*81.9*2800*
4
***
22
22
3
mrbcr GG 6701.36701.012` 33
mR
R
RR
RRR
r G 6701.0
4
3*3
*3
3*43*
4
3*
2
3*3
4
*
*3
*4*
4
*
2*
`2
2
22
22
22
3
NLcbRagG b 16480805*213*2*81.9*2800****4
mcbR
rG 32
213
24
b) Koeficient proti zdrsu
432121121 ** GGGGFFkFFK VVHH
5101.4
25.153281613125
164808075.2652604120206867002.34671424525*75.0=
*
12
4321211
HH
VV
FF
GGGGFFkK
c) Koeficient proti prevrnitvi
44332211112211222 ********* GGGGHHVVVVHH rGrGrGrGrFrFrFrFK
6345.81021875
967.8822302=
*
*******
22
443322111122112
HH
GGGGHHVVVV
rF
rGrGrGrGrFrFrFK
53
1.1.25 Določi, s kolikšnim faktorjem varnosti proti zdrsu (K1) in prevrnitvi (K2) je zgrajena
betonska pregrada podane oblike in dimenzij. Računaj na širinski meter L ( na papir).
H = 140 m
b = 30 m
a = 60 m
b = 2.8 kg/dm3
v = 1 kg/dm3
k = 0.7 (koeficient
trenja)
L= 1m
Rešitev:
a) Možnost zdrsa
NLH
bagG b 576828001*2
140*3060*81.9*2800*
2***1
mbar 203060*3
2*
3
21
NLbHbgG b 906444001*30140*30*81.9*2800****2
mb
ar 452
3060
22
54
NLbb
gG b 123606001*2
30*30*81.9*2800*
2
***3
mb
ar 403
30*260
3
*23
NLHH
gF vH 961380001*2
140*140*81.9*1000*
2
***
mH
rH 6667.463
140
3
NLbb
gF vV 44145001*2
30*30*81.9*1000*
2
***
mb
arV 503
3060
3
** 3211 kGGGFKF VH
2021.1
96138000
7.0*1236060090644400576828004414500*3211
H
V
F
kGGGFK
b) Možnost prevrnitve
****** 3322112 VVHH rFrGrGrGKrF
3257.16667.46*96138000
50*441450040*1236060045*9064440020*57682800=
*
**** 3322112
HH
VV
rF
rFrGrGrGK
55
1.1.26 V steni med dvema bazenoma je vgrajena pravokotna loputa, ki lahko prosto niha okrog
tečaja T. S kolikšno silo in s katere strani jo moramo podpreti na njenem spodnjem robu, da
se ne bo premaknila iz vertikalnega položaja?
b = 2 m
H1 = 3.5 m
H2 = 4 m
s = 1 m
olj a= 0.7*103
kg/m3
glic = 1.26 kg/m3
Rešitev:
a) Sila in prijemališče glicerina (s pomočjo obtežnega diagrama)
Ns
HbgF glic 68.139051*
2
5.02*81.9*10*26.1*
2**
2
3
2
1
mHHH 5.05.3412
mHbHr 5.15.02*3
25.0*
3
21
b) Sila in prijemališče olja
Nsb
gF olja 137341*2
2*81.9*10*7.0*
2**
23
2
2
56
mbr 3334.12*3
2*
3
22
c) Sila, s katero pritiskamo
0 TM
0*** 32211 bFrFrF
Nb
rFrFF 26.1273
2
5.1*68.13905334.1*13734** 1223
Loputo moramo podpreti s silo 1273.26N s strani olja.
57
1.1.27 Določi, s kolikšnim faktorjem varnosti proti zdrsu (K1) in prevrnitvi (K2) je zgrajena
betonska pregrada podane oblike in dimenzij. Računaj na širinski meter!
H = 140 m
R = 30 m
a = 60 m
b = 2.8 kg/m3
v = 1 kg/m3
k = 0.7
L = 1 m
Rešitev:
a) Sile
NL
HRagG b 576828001*
2
140*3060*81.9*2800*
2
***1
mRar 203060*3
2*
3
21
NLRRHgG b 906444001*30*30140*81.9*2800****2
mR
ar 452
3060
22
NLR
gG b 08.194159851*4
30**81.9*2800*
4
***
22
3
58
mR
Rar 7324.42*3
30*43060
*3
*43
NLH
gF vH 961380001*2
140*81.9*1000*
2**
22
mH
rH 6667.463
140
3
NLR
RgF vV 62.18947191*4
30*30*81.9*1000*
4
***
22
22
mrRar VV 299.53299.233060'
4
*
32' 4
*'*
*3
*4*
4
*
2
*2
2
33
22
22
RR
RR
rR
RrRRRR
VV
mR
rV 299.23
41*6
30
41*6
'
b) Zdrs
** 3211 VH FGGGkKF
2352.1
96138000
62.189471908.194159859064440057682800*7.0*K 321
1
H
V
F
FGGGk
c) Prevrnitev
VVHH FrGrGrGrFrK ****** 3322112
3777.196138000*6667.46
62.1894719*299.5308.19415985*7324.4290644400*4557682800*20
*
**** 3322112
HH
VV
Fr
FrGrGrGrK
59
1.1.28 Zapornica v obliki valja premera D in dolžine L ( na papir) je vrtljiva okrog tečaja A. Pri
kateri višini vode H2 je zapornica zaprta oz v simetričnem položaju (glej sliko), tako da loči
olje od vode?
H1 = 6 m
o = 0.8 kg/m3
v = 1 kg/m3
D = 1.5 m
L = 3 m
rT = 4*R / (3*) (težišče
polkroga)
Rešitev
a) Sile na zapornico
NLD
gF oV 84.208023*2*4
5.1**81.9*800*
2*4
***
22
1
VV rmD
r 21 3183.0*2*3
5.1*4
*3*2
*4
NShgF ToH 1854095.4*25.5*81.9*800*** 111
mD
HhT 25.52
5.16
211
2
2
1 5.43*5.1* SmLDS
mSh
Jhh
T
TTS 2857.5
5.4*25.5
84375.025.5
* 11
111
2
433
1 84375.012
5.1*3
12
*TT Jm
DLJ
mDHhr SH 7857.05.162857.5111
22222 *44145*5.4*81.9*1000*** TTTvH hhShgF
2
2
2
2
22
222
1875.0
*5.4
84375.0
* T
T
T
T
T
TTS
hh
hh
Sh
Jhh
75.01875.0
2
5.11875.0
2
1875.0
22
2
2
2222 TT
T
T
TSHhh
Dh
hhDHhr
NLD
gF VV 55.260033*2*4
5.1**81.9*1000*
2*4
***
22
2
60
b) Višina vode H2
VVVVHHHH rFrFrFrF 11221122 ****
3183.0*84.208023183.0*55.260037875.0*18540975.01875.0
**441452
2
T
Th
h
mhT 2.475.0*444145
1875.0*441453183.0*84.208023183.0*55.260037875.0*1854092
md
hH T 95.42
5.12.4
222
61
1.1.29 V vertikalni steni med dvema rezervoarjema z vodo je nameščena železna zapornica
podanega prereza, ki je vrtljiva okrog tečaja A. Kolikšna je minimalna sila F v jekleni vrvi, s
katero lahko dvigujemo zapornico? Širina zapornice ( na papir) je L.
a = 4 m
b = 2 m
c = 3 m
= 30
L = 5 m
v = 1000 kg/m3
j = 7800 kg/m3
Rešitev:
a) Sile in prijemališča na zapornico
NLc
gF vH 2207255*2
3*81.9*1000*
2**
22
1
mcbrH 43*3
22*
3
21
NShgF TvH 159412525*5.6*81.9*1000*** 222
mcb
ahT 5.62
324
22
2
2 255*32* mLcbS
62
NLc
gF vV 01.1733575*4*2
3**81.9*1000*
2*4
***
22
1
NLc
gG j 68.13521845*8
3**81.9*7800*
2*4
***
22
1
mc
r 6366.02**3
3*4
2**3
*41
NL
ccbgF vV 3678755*
2
3*32*81.9*1000*
2
***2
NL
ccbgG j 28694255*
2
3*32*81.9*7800*
2
***2
mc
r 13
3
32
mhS
Jhh
T
TTSH 8205.6
25*5.6
0833.525.6
* 22
222
4
33
2 0833.5212
32*5
12
*m
cbLJT
NGG 68.4221609286942568.135218421
mGG
rGrGrG 4758.0
**
21
2211
mahr SHH 8205.248205.622
b) Sila za dvigovanje zapornice
0AM
0******* 222211221111 HHVVHHF rFrGrFrFrGrFrF
mdrF 9155.230sin*8309.5sin*
mccbd 8309.5332 2222
F
VHHHHV
r
rFrGrFrFrGrFF 221111222211 ******
N17.18399869155.2
1*
1*3678756366.0*68.13521844*220725
805.2*15941251*28694256366.0*01.173357
63
1.1.30 Zapornica v obliki četrtinke plašča valja (širine L na papir) in teže G je na zgornjem koncu
vrtljiva okrog tečaja A, na spodnjem pa s pomočjo sidra pripeta na zid. Določi vertikalno
silo, ki pri višini vode H deluje na sidro!
a = 1 m
R = 2 m
L = 2 m
G = 10000 N
H = 4.7 m
v = 1000 kg/m3
Rešitev:
a) Horizontalna sila na zapornico in njeno prijemališče
NShgF HTHvH 1059484*7.2*81.9*1000***
mR
aHhTH 7.22
217.4
2
242*2* mLRSH
mhs
Jhh
THH
THTHSH 8235.2
7.2*4
3334.17.2
*
64
433
3334.112
2*2
12
*m
RLJTH
maRHhr SHH 1235.1127.48235.2
b) Vertikalna sila in njeno prijemališče
NPgF VvV 05.1283460832.13*81.9*1000**
322
0832.132*127.44
*2*2*
4
** mRaRH
RLPV
m
RaRHR
RaRHRRR
r v 9274.0
2*127.44
*2
127.4*2
2
3
2
*4
*
*24
**
*3
*4
'2
23
2
2
mrRr vV 0726.19274.02'
c) Vertikalna sila v sidru
0 AM
0**** RFrGrFrF GVVHH
NR
rGrFrFF GVVHH 25.124712
2
7268.0*100009274.0*05.1283461235.1*105948***
mR
r G 2732.12*2*2
'
mrRr GG 7268.02732.12'
65
1.1.31 Zapornica teže G, ki zapira talni izpust, ima obliko polkrožnega loka premera D in širino s
( na papir). Vrtljiva je okrog osi A in preko ročice dolžine L povezana z utežjo mase m.
Določi maso m tako, da se bo zapornica odprla pri višini vode H (lastno težo ročice lahko
zanemariš)!
D = 2 m
L = 3 m
s = 1.5 m
G = 10000 N
H = 2.5 m
v = 1000 kg/m3
Rešitev:
a) Horizontalna komponenta sile hidrostatskega pritiska in njeno prijemališče
NShgF HTHvH 1030053*5.3*81.9*1000***
mD
HhTH 5.32
25.2
2
235.1*2* msDSH
mSh
Jhh
HTH
THTHSH 5952.3
3*5.3
15.3
*
433
112
2*5.1
12
*m
DsJTH
mHhr SHH 0952.15.25952.3
66
b) Vertikalna komponenta sile hidrostatskega pritiska in njeno prijemališče
NPgF VvV 27.231143562.2*81.9*1000***
322
3562.25.1*2*4
2**
2*4
*ms
DPV
m
D
rV 4244.0*3
2
2*4
*3
2*4
c) Težišče teže zapornice
r
D
mG
22
22
20 6366
* *
.
d) Masa uteži
0 AM
0***** LgmrFrGrF VVGHH
kgLg
rFrGrFm VVGHH 32.3716
3*81.9
4244.0*27.231146366.0*100000952.1*103005
*
***
67
1.1.32 S kolikšno silo moramo podpreti v točki C okroglo loputo, ki ima vrtišče v točki A, da ne bo
prišlo do iztekanja vode iz posode?
F0 = 102
N
S0 = 100 cm2
D = 1 m
H = 2 m
= 60
Rešitev:
a) Določitev sile, ki preprečuje odprtje zapornice
barmNS
Fp 1.0/10000
01.0
100 2
0
0
mg
pHh 0194.3
81.9*1000
100002
*
*
NShgF Tv 75.265997854.0*4524.3*81.9*1000***
mD
hhT 4524.32
60sin*10194.3
2
sin**
222
7854.04
1*
4
*m
DS
mhS
Jhh
T
TTS 0021.4
9865.3*7854.0
0491.09865.3
* '
''
mh
h TT 9865.3
60sin
4524.3
sin
'
444
0491.064
1*
64
*m
DJT
mh
hr S 5157.060sin
0194.30021.4
sin
*'
ND
rFFDFrF v
CCv 91.137161
5157.0*75.26599* **
68
1.1.33 Valjasta posoda, ki je na širšem delu zaprta, je s svojim ožjim delom, ki je brez osnovne
ploskve, nameščena v odprti krak rezervoarja, ki je napolnjen z vodo in zrakom pod tlakom
pA. Kolikšna mora biti teža posode, da miruje v narisanem položaju (se ne dviga oz.
spušča)?
pA = -0.3 bar
D = 1.5 m
d = 1 m
H = 5 m
h = 1 m
v = 103
kg/m3
Rešitev:
a) Izračun navidezne gladine
H Hp
gm
A
v
1
5
350 3 10
10 9 8119419
*
. *
* ..
b) Razlika sil hidrostatičnega pritiska, ki deluje navzgor: F1
Nd
HgF v 84.149614
1**9419.1*81.9*100
4
****
22
111
69
c) Razlika sil hidrostatičnega pritiska, ki delujejo navzdol: F2
NdDhgF v 95.963015.1*4
*1*81.9*1000*4
*** 2222
2
d) Ravnotežje sil
12 FGF
NFFG 89.533095.963084.1496121
70
1.1.34 Zapornica trikotne oblike zapira odprtino v vertikalni steni. V bazenu je sloj olja na sloju
vode. Določi silo hidrostatičnega pritiska na zapornico in njeno prijemališče!
h = 4 m
a = 2 m
v = 103
kg/m3
o = 0.8*103
kg/m3
Rešitev:
a) Težišča in vztrajnostni momenti likov
- trapeza
ca
ccaaHJ
ca
caHh TT
223 **4*
36 ;
*2*
3
- trikotnika
36
* ;
3
3HcJ
Hh TT
b) Velikost sile in njeno prijemališče na zgornji polovici zapornice
NShgF To 209283*8889.0*81.9*800*** 111
mca
cahhT 8889.0
12
1*22*
6
4*2*
3*21
2
1 32
4*
2
12
2*
2m
hcaS
mSh
Jhh
T
TTS 934.0
3*8889.0
1204.08889.0
* 11
11
4
22
3
22
3
1 1204.0
2
22
4
2
2
2*2*42
*288
2
2
42**4
*36*8
ma
a
aaaa
hJT
c) Velikost sile in njeno prijemališče na spodnji polovici zapornice
NShgF Tv 222361*2667.2*81.9*1000*** 222
mh
hv
o
6.11000
800*
2
4*
2
'
71
mhh
n 4.06.12
4
2
'
mh
nh
hT 2667.26
44.0
2
4
3*222
2
2 18
4*2
2*2*2
*m
haS
mSh
Jhh
T
TTS 3647.2
1*2667.2
2222.02667.2
* 22
22
4333
2 2222.036*8*2
4*2
36*8*2
*
36
*m
haHcJT
mnhh SdejS 7647.24.03647.222
c) Velikost sile in njeno prijemališče
NFFF 43164222362092821
*** 2211 SdejSS hFhFhF
1.8771m=43164
2.747*22236+0.934*20928=
**=
2211
F
hFhFh
dejSS
S
72
1.1.35 Zapornica podane oblike zapira odprtino v vertikalni steni. V bazenu je sloj olja na sloju
vode. Skolikšno vertikalno silo F moramo zapornico podpirati, da jo zadržimo v vertikalnem
položaju, če je vrtljiva okrog tečaja A?
h = 6 m
a = 3 m
v = 103
kg/m3
o = 0.8*103
kg/m3
Rešitev:
a) Sila na zgornjo polovico zapornice
NShgF To 706325.4*2*81.9*800*** 111
mh
hT 22
6*
3
2
2*
3
21
2
21 5.42*2
6*3
2*2
*m
haSS
mSh
Jhh
T
TTS 25.2
5.4*2
25.22
* 11
111
4
22
21 25.236
2
6*3
36
2*
m
ha
JJ TT
73
b) Sila na spodnjo polovico zapornice (navidezna gladina)
mh
hhgh
gv
ovo 4.2
1000
8.0*
2
6*
2 **
2** *
1
*
1
mhh
h 6.04.22
6
2
*
1
NShgF Tv 1500935.4*4.3*81.9*1000*** 222
mh
hh
hT 4.33
1*
2
66.0
2
6
3
1*
22
*
2
mSh
Jhh
T
TTS 5471.3
5.4*4.3
25.24.3
* 2
*
2
2*
2
*
2
mhhh SS 1471.46.05471.3*
22
c) Sila F
0AM
2211 *** SS hhFhhFhF
N
h
hhFhhFF SS 25.90497
6
1471.46*15009325.26*70632** 2211
74
1.1.36 Zapornica podane oblike zapira odprtino temeljnega izpusta v pregradi. V bazenu je sloj olja
na sloju vode. Določi, s kolikšno silo pritiska zapornica na podlago v točki B, če je vrtljiva
okrog točke A. Teža zapornice je G.
= 60
a = 3 m
b = 4 m
c = 2 m
G = 20 kN
v = 1000 kg/m3
o = 800 kg/m3
Rešitev:
a) Sila na zgornjo polovico zapornice
NShgF To 58.589032*7528.3*81.9*800*** 111
mb
ahT 7528.360sin*2
4*
3
23sin*
2*
3
21
2
1 22*2
2*4
2*2
*m
cbS
mhS
Jhh
T
TTS 3846.4
3333.4*2
4444.03333.4
* '
11
1'
1
'
1
mb
ahT 3333.42
4*
3
23
2*
3
2'
1
4
22
1 4444.036
2
4*2
36
2*
m
bc
JT
75
b) Sila na spodnjo polovico zapornice (navidezna gladina)
**sin*2
** *
1
hg
bag vo
mb
ahv
o 4641.360sin*2
43*
1000
800sin*
2**
1
NShgF Tv 29.792832*0415.4*81.9*1000*** 2
*
22
mb
hhT 0415.460sin*3*2
1*44641.3sin*
3
1*
2
*
1
*
2
2
12 2mSS
mSh
Jhh
T
TTS 7143.4
2*6667.4
4444.06667.4
* 2
* '
2
2* '
2
* '
2
4
12 4444.0 mJJ TT
mh
h TT 6667.4
60sin
0415.4
sin
*
2* '
2
mhb
ahhh 866.04641.360sin*2
43'sin*
2' 111
mh
hh SS 7143.560sin
866.07143.4
sin' ''
22
c) Sila na podlago v točki B
2
*cos****F 0 '
22
'
11
bGbFahFahM BSSA
N
b
bGahFah
FSS
B
86.691954
2
4*60cos*2000037143.5*29.7929333846.4*58.58903
2*cos***F '
22
'
11
76
1.2 Vzgon in plavanje
77
1.2.1 Prizmatična lesena palica gostote p, kvadratnega preseka (stranica a) ter dolžine L plava v
vodi v horizontalnem položaju tako, da je ena diagonala prečnega preseka vertikalna. Določi
globino potopitve h in preveri, če je palvanje stabilno. S kolikšno horizontalno silo F
moramo palico obremeniti, da se nagne za kot ?
p = 0.7 kg/m3
a = 0.1 m
L = 1 m ( na papir)
= 5
Rešitev:
a) Globina potopitve
WG
2
*2*****
2
122 haggLa vP
2
1
22 *** haa vvP
2222
1 003.01
7.01*1.01* mah
v
p
mh 0548.01
mhah 0866.00548.02*1.02* 1
b) Stabilnost plavanja
mha
h
haL
hL
P
JMCW 0156.0
0548.01.0*3
0548.0*2
*12
*8
**12
*2*22
3
2
1
2
3
1
2
1
2
3
1
12
*2*3
1hLJ
78
xa
CC GW 2
2*
2
1
2111
2
*2
*2**
32
2**hax
hhhh
aa
mha
hh
ha
x 0561.00548.01.0
0548.0*3
0548.00866.0
2
2*1.0*
32
2*
22
23
2
1
2
2
11
3
mxa
CC GW 0147.00561.02
2*1.0
2
2*
stabilno je plavanje ... GWW CCMC
c) Kot nagiba
NaLGMCrF GH 67.6881.9*1.0*1*700***g=G *sin** 22
mxamCCMCMC GWWG 0854.0056.02*1.02*r ; 0009.00147.00156.0 H
NGMC
F G 0698.067.68*5sin*0854.0
0009.0*sin*
rH
79
1.2.2 Stožec gostote s je obremenjen s silo F. Preveri stabilnost plavanja in kot nagiba.
s = 0.6 kg/dm3
v = 1 kg/dm3
H = 3 m
R = 2 m
F = 1000 N
Rešitev:
a) Globina potopitve
WGF
3
1*****
3**** 3
2
22 h
H
Rg
hrgGF vv
m
Rg
GFHh
v
5417.22**81.9*1000
66.739651000*3*3
***
**33
2
2
32
2
NH
RgG s 66.739653
3*2**81.9*600
3**** 22
mH
Rhr
H
Rhr
R
H
r
h6944.1
3
2*5417.2* ; *
b) Stabilnost plavanja
mP
JMCW 8472.0
6418.7
4742.6
4
44
4742.664
6944.1*2*
64
*2*m
rJ
322 6418.73
5417.2*6944.1*
3** m
hrP
80
mhH
CC GW 3438.04
5417.2*3
4
3*3
4
*3
4
*3
stabilno je Plavanje 0 5035.03438.08472.0 mCCMCMC GWWG
c) Kot nagiba
sin*** GMCGRF
0787.3 0537.05035.0*66.73965
2*1000
*
*sin
GMCG
RF
81
1.2.3 Splav je sestavljen iz treh lesenih nosilcev dolžine l ( na papir), ki so zgoraj povezani z
deskami, katerih težo lahko zanemarimo. Preveri stabilnost plavanja, če je splav centrično
obremenjen s silo F!
l = 600 kg/m3
v = 1000 kg/m3
a = 1 m
b = 2 m
c = 0.5 m
d = 1.5 m
l = 10 m
F = 10000 N
Rešitev:
a) Globina potopitve
FGW
*2*****2**** Fcadlgcahlg lv
mcalg
Fcadlg
v
l 9408.05.01*2*10*81.9*1000
100005.01*2*5.1*10*81.9*600
*2***
*2****=h
b) Stabilnost plavanja
mh
yCW 4704.02
9408.0
2
md
yCG 75.02
5.1
2
mP
JMCW 5062.6
5194.23
0208.153
35194.235.01*2*10*9408.0*2** mcalhP
4
233
233
0208.1532
1
2
5.02*10*1
12
1*10*2
12
5.0*10=
22**
12
**2
12
*
m
acbla
alclJ
ostabijeplavanjeCCMCMC WGWG ln 0 2265.62796.05062.6
myyCC CWCGWG 2796.04704.075.0
82
1.2.4 Plavač iz homogenega materiala, katerega prerez kaže slika, dolžine L ( na papir),
obremenimo s silo F. Določi težo plavača in gostoto materiala ter preveri stabilnost
plavanja! Za kolikšen kot bi se splav nagnil, če bi sila F delovala na robu splava?
a = 0.2 m
b = 0.8 m
h = 0.5 m
y = 0.4 m
L = 3 m
F = 800 N
Rešitev:
a) Teža in gostota plavača
WGF
NFyLagFWG 8.39088004.0*3*2.0*2*81.9*1000***2**
3/417.25556.1*81.9
8.3908
P*g
G= ** mkgPgG PP
356.13*5.0*2.0*23*2.0*8.0*2***2***2 mLhaLabP
b) Stabilnost plavanja
2
***22
***2**2**2*h
haha
abhaabyG
mhaab
hhah
aab
yG 4654.05.0*2.0*22.0*8.0*2
2
5.0*5.0*2.0*25.0
2
2.0*2.0*8.0*2
**2**2
2***2
2***2
my
yW 2.02
4.0
2
myyCC WGGW 2654.02.04654.0
mP
JMC
P
W 2333.148.0
592.0
4
2323
592.02
2.08.0*2.0*3
12
2.0*3*2
2**
12
**2 m
abaL
aLJ
48.03*4.0*2.0*2***2 3mLyaPP
0 968.02654.02333.1 mCCMCMC GWWG
83
c) Kot nagiba
sin*** GMCGbF
7387.9 1692.0968.0*8.3908
8.0*800
*
*sin
GMCG
bF
84
1.2.5 Lesen splav, sestavljen iz dveh zabojnikov in krova (prečni prerez je podan na skici), dolžine
L, plava na vodi. Za kolikšen kot se nagne, če na njegov skrajni rob stopi človek z maso M.
Pri računu težo krova zanemarimo!
d = 0.05 m
a = 0.5 m
b = 0.4 m
L = 5 m
s = 3 m
M = 90 kg
lesa = 900 kg/m3
Rešitev:
a) Globina potopitve splava (brez človeka)
kg
LdadbVm lesalesalesalesa
7205*05.0*5.0*205.0*24.0*2*2*900
***2*2*2*2**
gmLhag lesa *2*****
mLa
mh 144.0
2*5*5.0*1000
720
2***
b) Globina potopitve splava (s človekom)
gmgmLhag lesa **2*****
mLa
mmh lesa 162.0
2*5*5.0*1000
90720
2***
c) Metacentrična razdalja
mCCMCMC GWWG 8985.13119.00175.14
mhb
CC GW 119.02
162.0
2
4.0
22
1
mP
JMCW 0175.14
81.0
3542.11
4
2323
3542.115*5.0*2
3
12
5.0*5*2**
212
**2 mLa
saLJ
3
1 81.05*162.0*5.0*2***2 mLhaP
85
d) Kot nagiba
Nas
gMMN 08.15452
5.03*81.9*90
2**
NgmG lesa 2.706381.9*720*
sin** MCGM GN
0.9018= 0157.08985.13*2.7063
08.1545
*sin
MCG
M
G
N
86
2.2.6 Plavač iz homogenega materiala gostote p, katerega prerez kaže slika, dolžine l ( na
papir), obremenimo s silo F. Določi globino potopitve in kot nagiba!
a = 0.2 m
b = 0.8 m
c = 0.7 m
l = 1 m
F = 40 N
p = 300 kg/m3
v = 1000 kg/m3
Rešitev:
a) Globina potopitve
FGW
2***** FGlahgv
mlag
FG
v
4602.02*1*2.0*81.9*1000
408.1765
2****=h
NcaablgG p 8.17657.0*2.0*22.0*8.0*2*1*81.9*300**2**2***
b) Kot nagiba
sin*** GMCGbF
4582.1 0255.07121.0*8.1765
8.0*40
*
*sin
GMCG
bF
mCCMCMC WGWG 7121.03599.0072.1
mP
JMCW 072.1
1841.0
1973.0
4
2323
1973.01*2.0*2
2.08.0*2
12
2.0*1*2**
2*2
12**2 mla
ab
alJ
31841.04602.0*1*2.0*2***2 mhlaP
myyCC CGCWWG 3599.02301.059.0
mh
yCW 2301.02
4602.0
2
m
abca
acab
cca
SS
acS
cS
yCG
59.0
2.0*8.0*27.0*2.0*2
2
2.07.0*2.0*8.0*27.0*2.0
**2**2
2***2
2***2
*2
2*
2**2 2
21
21
87
1.2.7 Splav je sestavljen iz treh lesenih nosilcev dimenzij a*a*L, ki so zgoraj povezani z deskami
(težo desk lahko zanemarimo). Za kolikšen kot se splav nagne, če ga obremenimo s silo F?
l = 0.6 kg/dm3
v = 1 kg/dm3
a = 0.5 m
b = 2 m
L = 3 m ( na papir)
F = 3000 N
Rešitev:
a) Globina potopitve
FGW
NgLaG l 5.1324381.9*600*3*5.0*3****3 22
FGlhagv *****3
mlag
FGh
v
368.03*5.0*81.9*1000*3
30005.13243
****3
b) Metacentrična razdalja
mha
CC GW 066.02
368.0
2
5.0
22
mP
JMCW 3804.11
6558.1
8438.18
4333
333
8438.185.02*25.02*25.0*3*12
3
1212
*2
12
*2*3*
m
ababaLJ
36558.13*368.0*5.0*3***3 mlhaP
mCCMCMC GWWG 3144.11066.03804.11
c) Kot nagiba
sin***2
* GMCGba
F
2.5819= 045.03144.11*5.13243
22
5.0*3000
*
*2
*
sin GMCG
ba
F
88
1.2.8 Splav je sestavljen iz treh lesenih nosilcev trikotnega prereza in dolžine L ( na papir).
Nosilci so zgoraj povezani z deskami, katerih težo lahko zanemarimo. Za kolikšen kot se
splav nagne, če na njegov rob stopi človek mase M? Preveri tudi stabilnost plavanja!
l=0.6kg/dm3 (gostota lesa)
v = 1 g/dm3 (gostota vode)
a = 0.5 m
b = 2 m
L = 3 m
M = 120 kg
Rešitev:
a) Globina potopitve
gLhh
gLaa
gM vl ***2
**3***
2
**3*
mLa
ML
h l
v
4203.0600*3*2
5.0*3120*
3*1000*3
2**
2*3*
**3
2 22
b) Metacentrična razdalja
mhaCC GW 0531.04203.05.0*3
2*
3
2*
3
2
mP
JMCW 8963.19
795.0
8176.15
mCCMCMC GWWG 8432.190531.08963.19
423
23
8176.153*4203.0*25.0*212
3*4203.0*3***2
12
**3 mLhba
LhJ
222
795.03*2
4203.0*3*
2*3 mL
hP
c) Stabilnost plavanja
GMCa
bagM G *sin*2
**
1.4118= 0246.075.6621*8432.19
2
5.025.0*81.9*120
*
2**
sin GMC
abagM
G
NgLa
G l 75.662181.9*3*2
5.0*600*3**
2**3
22
89
1.2.9 Splav je sestavljen iz treh lesenih nosilcev dolžine l ( na papir). Dva sta trikotnega, eden pa
pravokotnega prereza. Nosilci so zgoraj povezani z deskami, katerih težo lahko zanemarimo.
Za kolikšen kot se splav nagne, če na njem na narisanem mestu stoji človek z maso M?.
Preveri stabilnost plavanja!
l = 600 kg/m3
v = 1000 kg/m3
a = 0.8 m
b = 1.5 m
c = 1 m
l = 4 m
M = 100 kg
Rešitev:
a) Globina potopitve
gMGW *
gMaca
lghch
lg lv **2
*2****2
*2***22
1001*8.08.0*4*6001**4*1000 22 hh
889.01*2 hh
2
134.21
2
899.0*411h 0889.01* 1,2
2
hh
mh 5672.01
mh 5673.12 fizikalno nerealen rezultat
b) Stabilnost palvanja
stabilno je Plavanje 0 337.71414.04785.7 mCCMCMC GWGG
mP
JMCW 4785.7
556.3
5934.26
4
233
233
5934.262
15.1
2
8.04*5672.0
12
5672.0*4*2
12
1*4=
22**
12
**2
12
*
m
ab
clh
hlclJ
322
556.31*5672.0*42
5672.0*4*2**
2**2 mchl
hlP
90
hchh
hhch
yW **22
**3
2*2*
2*2*
22
m
chh
hchh
yW 3178.015672.0*5672.0
2
5672.0*15672.0*
3
2*5672.0
*
2
**
3
2* 22
acaa
aaca
yG **22
**3
2*2*
2*2*
22
m
caa
acaa
yG 4593.018.0*8.0
2
8.0*18.0*
3
2
*
2
**
3
2* 22
myyCC WGGW 1414.03178.04593.0
c) Kot nagiba
sin**2
** GMCbc
gM G
Nlcaa
gG l 36.339034*1*8.08.0*81.9*600**2
*2** 22
0.452= 10*887.736.33903*337.7
5.12
1*81.9*100
*
2**
sin 3 GMC
bc
gM
G
91
1.2.10 Splav je sestavljen iz štirih lesenih nosilcev pravokotnega prereza in dolžine L ( na papir),
ki so zgoraj povazani s prečnimi deskami (težo desk lahko zanemarimo). Določi globino
potopitve in kot nagiba, če splav obremenimo s silo F!
a = 0.4 m
b = 0.2 m
c = 0.3 m
d = 1 m
L = 5 m
l = 600 kg/m3
v = 1000 kg/m3
F = 1000 N
Rešitev:
a) Globina potopitve
FGW
FGhbLgv ***4**
mbLg
FGh
v
2655.02.0*5*4*81.9*1000
10006.9417
**4**
NbaLgG l 6.94172.0*4.0*5*81.9*600*4*****4
b) Kot nagiba
sin*** GF MCGrF
1.4676= 0256.09022.2*6.9417
7.0*1000
*
*sin
G
F
MCG
rF
mbd
rF 7.02.02
1
2
mCCMCMC GWWG 9022.2067.09694.2
mP
JMCW 9694.2
0619.1
1533.3
4
223
223
1533.32
2.0
2
1
2
2.03.02.0
2
1*5*2.0
12
5*2.0*2*2=
2222**
12
**2*2
m
bdbcb
dLb
LbJ
30619.15*2655.0*2.0*4***4 mLhbP
92
ma
yCG 2.02
4.0
2
mh
yCW 1327.02
2655.0
2
mCC GW 067.01327.02.0
93
1.2.11 Splav je sestavljen iz treh lesenih nosilcev in prečnih desk (težo desk lahko zanemarimo).
Določi kot nagiba, če splav obremenimo s silo F! Širina splava ( na papir) je L.
a = 0.5 m
b = 0.8 m
c = 3 m
d = 0.25 m
F = 1000 N
L = 8 m
l = 0.6 kg/dm3
v = 1 kg/dm3
Rešitev:
a) Globina potopitve
FGGW 21*2
FGGLbhdahgv 21*2****2**
bdLg
FGGhdah
v
***
*2***2 21
NLagG l 117728*5.0*81.9*600*** 22
1
NLdbagG l 6.153038*25.0*8.05.0*81.9*600****2
m
da
bd
daLg
FGGh
v
2462.025.05.0*2
8*25.0
25.05.0*289*81.9*1000
10006.1530311772*2
*2
*
*2***
*2 21
b) Stabilnost plavanja
mGG
bhG
abG
yCG 8424.06.1530311772*2
2
8.02462.0*6.15303
2
5.08.0*11772*2
*2
2*
2**2
21
21
m
dbhah
bhdbhb
hah
yCW
717.025.0*8.02462.05.0*2462.0*2
2
8.02462.0*25.0*8.02462.08.0
2
2462.0*5.0*2462.0*2
=
***2
2**
2***2
mP
JMCW 4775.22
0619.4
3021.91
94
4
233233
91.3021m=
2
5.03
2
25.0*5.0*8
12
5.0*8*2
12
25.0*8
22**
12
**2
12
*
ac
daL
aLdLJ
30619.48*25.0*8.02462.05.0*2462.0*2****2 mLdbhahP
mCCMCMC GWWG 3521.221254.04775.22
myyCC CWCGGW 1254.0717.08424.0
c) Kot nagiba
sin**
2* GMCac
dF G
0.2396= 10*1777.4)6.1530311772*2(*3521.22
5.032
25.0*1000
*
2*
sin 3 GMC
acd
F
G
95
1.2.12 Splav je sestavljen iz prečnih desk in dveh votlih nosilcev dolžine l ( na papir), ki sta do
višine y napolnjena z nafto. Določi kot nagiba splava, če ga obremenimo s silo F! Lastno
težo splava (praznih nosilcev in prečnih desk) lahko zanemariš!
a = 1 m
b = 5 m
l = 10 m
y = 0.8 m
F = 1000 N
n = 860 kg/m3 (nafta)
v = 1000 kg/m3 (voda)
Rešitev:
a) Globina potopitve h
FGW
**2**2
**2**2
22
Fgly
glh
nv
mgl
Fgly
v
n 7487.081.9*1000*10
100081.9*860*10*8.0
**
****=h
22
Ngly
G n 24.5399481.9*860*10*8.0**2**2
22
b) Kot nagiba
sin**2
* GMCGb
F
0.23= 10*0141.45345.11*24.53994*2
5*1000
**2
*sin 3
GMCG
bF
mCCMCMC GWWG 5345.110342.05687.11
mhyyyCC CWCGGW 0342.07487.0*3
28.0*
3
2*
3
2*
3
2
mP
JMCW 5687.11
6059.5
8533.64
4
2323
8533.642
1
2
5*10*8.0*2
12
10*8.0*2
22***2
12
**2 m
ablh
lhJ
322
6059.510*7487.0*2
*2 mlh
P
96
2. KINEMATIKA IDEALNE NESTISLJIVE
TEKOČINE
97
2.1 Potencialni (nevrtinčni) tok
98
2.1.1 V kotu, katerega kraka oklepata kot , imamo točkast izvor jakosti q (debelina toka na
papir je 1 cm). Na razdalji r1 od izvora je hitrost vr1.
a) Določi jakost izvora
b) Določi enačbi tokovne funkcije in potenciala toka , če poznamo:
pri = 0 je = 0
pri r= r0 je = 0
c) Izriši tokovnice = 0, 1, 2 in 3 cm2/s ter ekvipotencialne črte = 0, 1, 2, 3 in 4 cm
2/s!
= 60
r1= 3cm
vr1= 0.955cm/s
r0= 1cm
Rešitev:
a) Jakost izvora
vq
rq
v rcm s
r
r
*
* * *
* * * * . * * * */
360
2
2
360
0955 2 3 60
36031 2
=
b) Enačbi tokovnic in ekvipotencialnih črt
rrr
qvr
****2
360*
*0
rrv
drr
qddr
rd
*
*3
1ln**3
crq
010 ln**3
c 0 rq
rr
0
ln**3
r
rq
qerr *3
*
0 *
99
r [cm]
0 1
1 1.4177
2 2.01
3 2.8497
4 4.0401
d
qddr
rd
*
180*
2*3*
cq
0 00 2 c
*3*q
*
*3
q
[rad]
0 0 0
1 /9 20
2 2*/9 40
3 /3 60
100
2.1.2 V horizontalni ravnini ( debeline 1cm na papir) imamo potencialni tik, kjer se voda iz
izvora jakosti q širi simetrično na obe strani med krakom , ki tvorita kot .
a) Določi enačbi tokovnice in ekvipotencialnih črt , če je:
pri = 0 je = 0
pri r0 = 2 cm je = 0.
b) Izriši tokovnice = 0, 1, 2, 3 ter 12, 13, 14 in 15 cm2/s (označi tudi smer toka)
c) Izriši ekvipotencialne črte = 0, 1, 2 in 3 cm2/s!
= 45
q= 6 cm2/s
Rešitev:
a) Enačbe tokovnic in ekvipotencialnih črt
rrr
q
r
q
r
qvr
**
*2
45*2***2
360*
*2***2
360*
*0
rrv
*2
d
qddr
rd
1**2
= cq
**2
= 00q
q*2
*
101
[rad] []
0 0 0
1 /12 15
2 2*/12 30
3 3*/12 45
12 180
13 13*/12 195
14 14*/12 210
15 15*/12 225
drr
qddr
rd
*
*2
2ln**2
crq
02200 ln**2
ln**2
=0 2r pri 0 rq
ccrq
cm
0
ln**2
r
rq
qerr *2
*
0 *
r [cm]
0 2
1 2.5985
2 3.3762
3 4.3866
102
2.1.3 V kotu horizontalnega kolena, katerega kraka oklepata kot , imamo točkast izvor vode
jakosti q.
a) Določi enačbo tokovnic in ekvipotencialnih črt, če poznamo robne pogoje ( označi še
smer toka):
pri = 0 je r = r0
pri r = 1 m je = 0.
b) Nariši tokovnice = 0, 1, 2 in 3 [m2/s], ter ekvipotencialne črte = 0, 1, 2 in 3 [m
2/s].
c) Določi hitrost vv v točkah A(x= 2m, y= 2m) ter B(x= 4m, y= 1m).
d) Določi tlak v točki B, če je tlak v točki A pA.
= 60
q= 3m2/s
pA= 0.1bar
Rešitev:
a) Enačba tokovnic in ekvipotencialnih črt
rrr
q
r
qvr
**
*3
*3
*0
rrv
d
qddr
rd
*3
*
*3
0= 0
**3
1 qcq
drr
qddr
rd
*
*3
r
rr
drqd
00
**3
103
0
0 ln**3
r
rq
00 r=r 0
0
ln**3
r
rq
Vrednost tokovnic Vrednost ekvipotencialnih črt
[ [rad r m
0 0 0 0 1
1 20 /9 1 1.4177
2 40 2*/9 2 2.01
3 60 /3 3 2.8497
c) Hitrost v točkah A in B
myxr AAA 8284.2822 2222
smr
qv
A
rA /0129.18284.2*
3*3
*
*3
myxr BBB 1231.41714 2222
smr
qv
B
rB /6948.01231.4*
3*3
*
*3
d) Tlak v točki B
2
*2
*22
BB
AA
vp
vp
barmNvvpp BAAB 10271.0/56.102716948.00129.1*2
100010*1.0*
2
222522
104
2.1.4 V kotu kolena, katerega kraka oklepata kot 120, imamo točkast ponor jakosti q. Debelina
toka na papir je 1 cm.
a) Določi enačbi tokovnic in ekvipotencialnih črt , če poznamo:
pri = 0 je = 0 ter pri
r0 = 1 cm je = 0.
b) Nariši tokovnice = -1, -2 in -3 cm2/s (označi smer toka) ter ekvipotencialne črte = -1, -
2 in -3 cm2/s.
c) Določi hitrost v v točkah A(r= 1cm, = 0) ter B(r= 2cm, = 0).
d) Na kakšni razdalji od ponora je tlak enak p= 0.1 N/m2, če je tlak v točki A enak pA= 0?
= 120
q = 4 cm2/s
Rešitev:
a) Enačbi tokovnic
rrr
qvr
***2
3*
*0
rrv
d
qddr
rd
*2
3*
*
*2
3*
0= ,0
**2
3*qc
q
drr
qddr
rd
**2
3*
00
ln**2
3*=
0= ,1
ln**2
3*
r
rq
r
crq
105
b) Vrednosti pri = -1, -2 in -3 cm2/s ter = -1, -2 in -3 cm
2/s
[] r cm
-1 30 -1 1.6881
-2 60 -2 2.8497
-3 90 -3 4.8105
c) Hitrost v točkah A in B
r
qvr
**2
3*
scmr
qv
A
A /9099.11**2
3*4
*2
3*
scmr
qv
B
B /9549.02**2
3*4
**2
3*
d) Tlak v točki C
g
p
g
v
g
p
g
v CCAA
**2**2
22
g
p
g
v
g
v CCA
**20
*2
22
mg
p
g
v
g
v CAC 6222
10*3974.881.9*1000
1.0
81.9*2
0191.0
**2*2
smgvC /0128.081.9*2*10*3974.8*2*10*3974.8 66
cmv
qr
r
qv
C
C
C
C 4879.128.1**2
4*3
**2
3*
**2
3*
106
2.1.5 V kotu pravokotnega kolena imamo točkast ponor jakosti q.
a) Določi enačbo tokovnic in ekvipotencialnih črt, če poznamo robne pogoje:
pri = 0 je = 0 ter
pri r = 1cm je = 0.
b) Nariši tokovnici z vrednostima = -1 in -2 cm2/s ter ekvipotencialni črti = -1 in -2
cm2/s. Na tokovnicah označi tudi smer toka.
c) Določi hitrost vv v točkah A(x = 0, y = 2cm) ter B(x = 0, y = 4cm).
d) Določi tlak v točkah A(x = 0, y = 2 cm) ter B(x = 0, y = 4 cm), če je tlak v točki C(x = 0,
y = 1 cm) enak p0.
q = 3 cm2/s
p0 = 0
Rešitev:
a) Enačbi tokovnic
rrr
q
r
qvr
**
2*
4
**2
*0
rrv
d
qddr
rd
2*
*
2*
0= ,0
*2*
qcq
drr
qddr
rd
*
2*
rq
r
crq
ln*2*
0= ,1
ln*2*
107
b) Vrednosti pri = -1 in -2 cm2/s ter = -1 in -2 cm
2/s
[] r cm
-1 30 -1 1.6881
-2 60 -2 2.8497
c) Hitrost v točkah A in B
r
qvr
*
2*
scmr
qv
A
A /9549.02*
2*3
*
2*
scmr
qv
B
B /4775.04*
2*3
*
2*
d) Tlak v točki C
g
p
g
v
g
p
g
v CCAA
**2**2
22
0*2**2
22
g
v
g
p
g
v CAA
scmr
qv
C
C /9099.11*
2*3
*
2*
mg
v
g
v
g
p ACA 62222
10*9433.1381.9*2
9549.0
81.9*2
9099.1
*2*2*
266 /1368.081.9*1000*10*9433.13**10*9433.13 mNgpA
mg
v
g
v
g
p BCB 62222
10*4291.1781.9*2
004775.0
81.9*2
019099.0
*2*2*
266 /17098.081.9*1000*10*4291.17**10*4291.17 mNgpB
108
2.1.6 Določi enačbo funkcije toka za:
a) Paralelni tok v smeri osi (-x): v1 = 2 cm/s (v koordinatnem izhodišču je 1= 0).
b) Paralelni tok pod kotom 45 glede na x-os: v2 = 1 cm/s (smer SV; v koordinatnem
izhodišču je 2=0).
c) Vsoto obeh tokov.
Nariši tokovnice za vse tri primere in označi smer sestavljenega toka!
Rešitev:
a) paralelni tok v smeri osi (-x): v1 = 2 cm/s
scmxy
uP /211
011 yx
vP
dydyy
dxx
d 20111
ycyx
cy*2 0
0 je 0
*211
1
11
b) Paralelni tok pod kotom 45 glede na x-os: v2= 1cm/s
xyuscmvu DD
22
2 /707.045cos*1cos*
yxvscmvv DD
22
2 /707.045sin*1sin*
yx
jeyx
cdydxdyy
dxx
d*707.0*707.0
0 0
707.0707.02
2
222
2
c) Vsota obeh tokov
3=1+2=-0.707*x - 1.2929*y
1) 1= -2*y 2) 2= -0.707*x + 0.707*y
y 1 2 x y
-0.5 1 1 1 2.41
-1 2 2 2 4.83
-1.5 3 3 3 7.24
-2 4
0.5 -1 -1 -1 0.41
1 -2 -2 -2 0.83
1.5 -3 -3 -3 1.24
2 -4
109
110
2.1.7 Določi potek tokovnic za superpozicijo ponora ob steni in paralelnega toka v negativni smeri
osi X. Določi tokovnico, ki razmejuje pretok iz ponora od paralelnega toka (= -8). Nariši še
tokovnice = -10, = -9, = -7 in = -6. Ugotovi in označi tudi razmejitveno točko na
abscisni osi (zastojna točka).
Paralelni tok: u= -1 cm/s,
pri y = 0 je 1 = 0
Ponor: q= 8 cm2/s, pri = 0 je 2= 0
Rešitev:
a) Paralelni tok
xu
y
11
yv
x
11
dyudyy
dxx
d *111
dyud *1
yyuy
cyu
*
00
*1
1
11
1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7
Y 0 1 2 3 4 5 6 -7
b) Ponor
r
q
rv
rr
**
22
*
22
rv
r
d
qddr
rd 22
2
*
8*
00
*2
2
22
qcq
111
2 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
0 1
8*
2
8*
3
8*
4
8*
5
8*
6
8*
7
8*
8
8*
112
2.1.8 Določi potek tokovnic za superpozicijo ponora v točki x = -2 cm, y = 0 in paralelnega toka v
negativni smeri y-osi. Določi tokovnico, ki razmejuje pretok iz ponora od paralelnega toka
( = 0). Ugotovi in označi tudi razmejitveno točko na ordinatni osi (zastojna točka). Nariši
še tokovnice = -2, -1, 1 in 2.
Paralelni tok: v = -1 cm/s,
pri x = 0 je 1= 2.
Ponor: q = 16 cm2/s; pri = 0 je 2 = -4
Rešitev:
a) Paralelni tok
xu
y
11
yv
x
11
dxvdyy
dxx
d *111
dxvd *1
22* 20
*1
1
11
xxv
x
cxv
1 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
x -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
b) Ponor
r
q
rv
rr
**2*
22
*
22
rv
r
d
qddr
rd
*2
222
4*8
4**2
40
**2 2
2
22
qcq
2 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
12
8*
11
8*
10
8*
9
8*
7
8*
6
8*
5
8*
2
3
8*
2
8*
8
0
8
4
3
8*
2
113
114
3. DINAMIKA IDEALNE NESTISLJIVE
TEKOČINE
115
3.1 Primeri uporabe Bernoullijeve enačbe
116
3.1.1 Po cevi teče voda iz bazena. V točki B vzdržujemo z ventilom stalni tlak. Določi, pri kateri
višini H1 nastopi kavitacija. Nariši tlačno in energijsko črto (upoštevaj idealno tekočino)!
y = 2 m
HB = 2.5 m
d1 = 10 cm
d2 = 20 cm
Rešitev:
g
vHy
g
p
g
vH B
*2**2
2
21
2
11
2
1
2
221 *
d
dvv
v.s.10*
:kavitacije nastop za pogoj 1 mg
p
BHyg
v
g
d
dv
*210
*2
*2
2
2
2
1
2
22
105.22*2
*16 2
2
2
2
g
vv
5.14**2*15 2
2 gv
smv /355.4966.1815
5.14*81.9*22
smd
dvv /42.17
10
20*355.4*
22
1
221
mH 4667.55.2281.9*2
355.4 2
1
117
118
3.1.2 Iz rezervoarja teče voda po cevovodu premera d. Pri B lahko z ventilom spreminjamo
pretok. Določi, v kakšnih mejah se lahko giblje pretok (Qmax in Qmin), če sta pogoja:
a) Pri A voda ne sme iztekati.
b) Pri C ne sme vdirati zrak v cevovod.
Zriši tlačno in energijsko črto za oba primera (idealna tekočina). Določi še maksimalno
možen iztok iz sistema, če cev v točki A zapremo, ventil v točki B pa je popolnoma odprt
(iztok na prosto)!
d = 20 cm
a = 2 m
b = 0.6 m
H = 3 m
Rešitev:
a) Voda ne izteka
smbaHg
v/8014.26.023*81.9*2b+a-H*g*2= v
*2
2
slsmd
vQ / 88/088.04
2.0**8014.2
4
** 3
22
min
b) Zrak se ne vsrkava
smaHg
v/4294.423*81.9*2a-H*g*2= v
*2
2
slsmd
vQ / 2.139/1392.04
2.0**4294.4
4
** 3
22
max
c) Maksimalen možen iztok
smHg
v/672.73*81.9*2H*g*2= v
*2
2
slsmd
vQ / 241/241.04
2.0**672.7
4
** 3
22
max
119
3.1.3 Voda (idealna tekočina) izteka iz rezervoarja po sistemu cevi s premeri d1, d2 in d3. V točki
A imamo iztok na prosto. Določi:
a) Energijsko in tlačno črto.
b) Pretok, ki izteka.
c) Minimalen dopusten premer d2, da ne pride do kavitacije!
d1 = 8 cm
d3 = 10 cm
= 60
L = 2 m
H = 8 m
Rešitev:
a) Energijska in tlačna črta
b) Pretok, ki izteka
Prerez 0-0 in 3-3
g
v
g
pz
g
v
g
pz
*2**2*
2
333
2
000
120
g
vzH
*2000
2
33
smzHgg
vzH /417.71962.58*81.9*2**2 v
*233
2
33
mLz 1962.560sin*2*3sin**33
slsmd
Q / 825.5/05825.04
1.0**417.7
4
**v 3
22
33
c) Določitev premera d2
Prerez 0-0 in 2-2
g
v
g
pz
g
v
g
pz
*2**2*
2
222
2
000
g
vzH
*21000
2
22
smzHgg
vzH /8877.16104641.38*81.9*210**2 v
*210 22
2
22
mLz 4641.360sin*2*2sin**22
mv
QdvQ 06627.0
8877.16*
05825.0*4
*
*4d
4
**
2
2
2
22
121
3.1.4 Kolikšna največ sme biti višina vode v posodi, da ne pride do kavitacije? Kolikšen je
maksimalni pretok pri mejnem stanju? Nariši tlačno in energijsko črto! Kolikšen bi bil
pretok v primeru, če bi vzeli d1=d3= 4 cm in d2 = 10 cm. Nariši tlačno črto tudi za ta primer!
(V točki A je iztok na prosto. Upoštevaj, da je tekočina idealna.)
a = 6 m
d1 = 10 cm
d2 = 4 cm
d1 = d3
Rešitev:
a) Pretok skozi cevovod
g
v
g
pz
g
v
g
pz
*2**2*
2
333
2
222
g
vz
g
vz
*20
*210
2
33
2
22
maz 46*3
2*
3
22
maz 63
25.6*4
10** 3
2
3
2
2
332 vv
d
dvv
sm
gv
g
v/4871.2
0625.38
12*81.9*2
0625.38
12**2 4106
*2
*125.63
2
3
2
smd
vQ /0195.04
1.0**4871.2
4
** 3
22
33
g
v
g
pz
g
v
g
pz
*2**2*
2
333
2
000
g
vaH
*2000
2
3
mg
vaH 3153.6
81.9*2
4871.26
*2
32
3
122
b) Pretok pri d3 = 4 cm
Q vd
m s l sB
a 3
3
2 2
3
42 4871
0 04
40 003125 3125*
*. *
* .. / . /
123
3.1.5 V horizontalno cev premera d1 je vgrajen venturimeter, na katerega je priključen živosrebrni
manometer. Kolikšno razliko višin h manometer pokaže, če teče po cevi pretok Q vode?
Določi tudi tlak v točki 2 (p2), če poznamo tlak v točki 1 (p1) ter izriši tlačno in energijsko
črto!
d1 = 20 cm
d2 = 7 cm
Q = 30 l/s
v = 1 kg/dm3
Hg = 13.6 kg/dm3
p1 = 3 bar
Rešitev:
a) Bernoulijeva enačba za prerez 1 in 2
2
***
2
***
2
222
2
111
vpgz
vpgz v
vv
v
2
*0
2
*0
2
22
2
11
vp
vp vv
g
vv
g
pp
v *2*
2
2
2
121
b) Kontinuitetna enačba
smd
Qv /9549.0
2.0*
4*03.0
*
4*22
1
1
smd
Qv /7953.7
07.0*
4*03.0
*
4*22
2
2
124
c) Razlike tlakov
ghhzgpgzp Hgvv ****** 1211
1**
*
21
v
Hg
v
Hg
v
hhhg
pp
Enačbo (c) vstavimo v (a) in dobimo:
m
g
vvh
g
vvh
v
Hgv
Hg2421.0
11
6.13*81.9*2
9549.07953.7
1*2
*2
1*222
1
2
2
2
1
2
2
d) Določitev tlaka v točki 2 (npr. iz enačbe (a)):
*2**
2
1
2
221
g
vvgpp v
barmNg
vvgpp v 7.2/25.270072
2
9549.07953.7*100010*3
*2** 2
225
2
1
2
212
125
3.1.6 Voda (obravnavaj jo kot idealno tekočino) izteka iz rezervoarja v točki A na prosto. Določi:
a) Pretok, ki izteka iz rezervoarja (izriši tudi energijsko in tlačno črto)
b) Za koliko lahko pretok povečamo, če v točki B namestimo črpalko neomejene moči (izriši
energijsko in tlačno črto)
c) Kolikšna je potrebna moč črpalke pri maksimalnem možnem pretoku iz primera b)?
Izkoristek črpalke je .
H = 6 m
a = 1 m
d1 = 0.18 m
d2 = 0.20 m
v= 1000kg/m3
= 0.85
Rešitev:
a) Prerez 0-0 in 2-2
g
v
g
pz
g
v
g
pz
*2**2*
2
222
2
000
g
vaH
*2000
2
2
smaHgv /9045.916*81.9*2**22
slsmd
vQ / 2.311/3112.04
2.0**9045.9
4
** 3
22
22
b) Črpalka, prerez 0-0 in 1-1
126
g
v
g
pz
g
v
g
pz
*2**2*
2
111
2
00
0
g
vaH
*210*200
2
1
smaHgv /5735.16101*26*81.9*210*2**21
slsmd
vQ / 7.421/4217.04
18.0**5735.16
4
** 3
22
11max
slsmQQQ / 6.110/1106,03112.04217.0 3
max
c) Moč črpalke
kWWEQg
P v 372.2008.2037285.0
1854.4*4217.0*81.9*1000*** maxmax
mEEE 1854.461854.1012
mHE 61
mg
va
g
v
g
pzE 1854.10
81.9*2
4245.131
*20
*2*
22
2
2
2222
smd
dvv /4245.13
20.0
18.0*5735.16*
22
2
112
127
3.1.7 Pri kakšnem d2 bi prišlo do kavitacije? Računaj za idealno tekočino! Nariši tlačno in
energijsko črto!
H1 = 20 m
H2 = 5 m
d1 = 5 cm
Rešitev:
a) Premer cevi 2
smHHgHgv /1552.17520*81.9*2**2**2 211
mEg
v
g
pz 20
*2*
2
111
mg
v
g
p20
*2*0
2
11
mg
v
g
p5
81.9*2
1552.1720
*220
*
22
11
g
v
g
pz
g
v
g
pz
*2**2*
2
222
2
111
g
v
g
v
g
p
*2100
*2*0
2
2
2
11
mg
v
g
p
g
v30102010
*2**2
2
11
2
2
smgv /2611.2430*81.9*230**22
cmv
vdd 2045.4
2611.24
1552.17*5*
2
112
128
b) Tlačna in energijska črta
129
3.1.8 a) Kolikšna mora biti višina HC, da v sistemu ne pride do kavitacije?
b) Kakšen pretok bi tekel po sistemu, če bi obdržali izračunano lego kolena C (za mejno
stanje), zamenjali pa bi premera cevi?
Računaj, kot da je tekočina idealna! Nariši tlačno in energijsko črto za oba primera!
H = 3 m
a = 2 m
d1 = 1.4 m
d2 = 2 m
Rešitev:
a) Določite višine HC
EaHg
v
g
pz
g
v
g
pz BC
*2**2*
2
22
2
11
CC HHaz
10*
1 g
p
ag
p
*
2
smHgvaHg
va /672.73*81.9*2**2
*20 2
2
2
smd
dvv /6572.15
4.1
2*672.7*
22
1
221
aHg
vHHa C
*210
2
1
mg
vHC 4948.210
81.9*2
6572.1510
*2
22
1
b) Pretok skozi sistem, če zamenjamo premera cevi
smd
dvvv /7593.3
2
4.1*672.7* ; 672.7
22
1
2212
130
smd
vQ /8102.114
2**7593.3
4
** 3
22
11
mg
vH
g
pC 7745.1
81.9*2
7593.34948.2
*2*
22
11
c) Tlačna in energijska črta
131
3.1.9 Določi potrebni tlak v hidroforju, da bo iz njega odtekal pretok Q. Kolikšen je maksimalni
možni pretok, če ustrezno povečamo tlak v hidroforju? Koliko ta znaša? Nariši tlačno in
energijsko črto za oba primera!
d1 = 3 cm
d2 = 2 cm
H = 2 m
Q = 3 l/s
a = 1.5 m
Rešitev:
a) Potrebni tlak v hidroforju
g
v
g
pz
g
v
g
pz
g
v
g
pzH
g
p
*2**2**2**
2
33
3
2
22
2
2
11
1
smd
Qv /2444.4
03.0*
003.0*4
*
*422
3
3
418.02*2
2444.45.1
*2*
22
3 mg
Hg
va
g
p
0.041bar=9.81*1000*0.418=g**0.418= p
b) Maksimalen tlak v hidroforju
g
vaH
g
p
*210
*
2
2max
g
v
g
pz
g
v
g
pz
*2**2*
2
333
2
222
g
va
g
va
*20
*210
2
3
2
2
25.2*2
3** 3
2
3
2
2
332 vv
d
dvv
sm
g
g
v
g
v/9495.6
0625.4
10*81.9*2
125.2
10**2 v
*210
*2
25.2*23
2
3
2
3
smvv /6363.1525.2*9495.625.2*32
barmN
g
vHagp
1924.0/11.19243
81.9*2
6363.152105.1*81.9*1000
*210**
2
22
2max
132
3.1.10 Voda izteka iz posode po ceveh s premeroma d1 in d2. V točki A imamo iztok na prosto, v
posodi pa vlada nadtlak p1.
a) Izriši energijsko in tlačno črto
b) Določi pretok iz sistema in kontroliraj možne podtlake
c) Za koliko lahko povečamo iztok iz sistema, če v točki B namestimo črpalko z izkoristkom
in neomejeno močjo? Izriši energijsko in tlačno črto tudi za ta primer
d) Določi maksimalno moč črpalke iz primera c).
p1 = 0.1 bar
H = 2 m
zB = 3 m
d1 = 0.17 m
d2 = 0.2 m
= 0.85
v = 1000 kg/m3
Rešitev:
a) Energijska in tlačna črta
b) Pretok iz sistema in kontrola podtlakov, prerez 0-0 in A-A
g
v
g
pz
g
v
g
pHz
v
AA
v *2**2*
2
2
2
010
g
v
g
pH
v *200
*0
2
21
smg
pHgv
v
/6968.781.9*1000
10*1.02*81.9*2
***2
5
12
133
smd
vQ /2418.04
2.0**6968.7
4
** 3
22
22
Kontrola tlaka (kritična je točka B):
v vd
dm s1 2
2
1
2 2
7 69680 2
01710 6529
* . *
.
.. /
Prerez 0-0 in B-B
g
v
g
pz
g
v
g
pHz
v
BB
v *2**2*
2
1
2
010
*2**
2
11
g
v
g
pz
g
pH
v
BB
v
mmg
vz
g
pH
g
pB
vv
B 10- > 7648.581.9*2
6529.103
81.9*1000
10*1.02
*2**
252
11
c) Pretok iz sistema s pomočjo črpalke
g
v
g
pz
g
v
g
pHz B
v
BB
v *2**2*
2
min
2
010
g
vz
g
pH B
B
v *2100
*0
2
1
smzg
pHgv B
v
B /0207.1410381.9*1000
10*1.02*81.9*210
***2
5
1
smd
vQ B /3182.04
17.0**0207.14
4
** 3
22
1max
134
slsmQQQ / 4.76/0764.02418.03182.0 3
max
d) Moč črpalke
WEQg
P v 03.812085.0
2108.2*3182.0*81.9*1000*** maxmax
mg
pH
g
vE
v
2108.281.9*1000
10*1.02
81.9*2
1299.10
**2
52
1
2
2
smd
Qv /1299.10
2.0*
4*3182.0
*
4*22
2
max2
135
3.1.11 Iz pokritega rezervoarja A, v katerem vlada nadtlak pn, je speljana cev podane oblike. V
točki B je iztok na prosto.
a) Izriši energijsko in tlačno črto,
b) Določi pretok Q iz sistema,
c) Določi minimalni premer cevi d1, da je pretok iz sistema še možen!
a = 3 m
b = 2 m
c = 0.5 m
d2 = 0.2 m
pn = 0.1 bar
Rešitev:
a) Izris energijske in tlačne črte
b) Določitev pretoka iz sistema
g
v
g
pz
g
v
g
pz
*2**2*
2
222
2
000
g
v
g
pba
*2000
*
2
20
smag
pbgva
g
pb
g
v/8674.103
81.9*1000
100002*81.9*2
***2
**2
02
0
2
2
smd
vQ 322
22 3414.0
4
2.0**8764.10
4
**
136
c) Določitev minimalnega premera cevi d1, da je pretok iz sistema še možen
Prerez 0-0 in 1-1
g
v
g
pz
g
v
g
pz
*2**2*
2
111
2
000
g
vcbab
g
pa
*210
*
2
10
10**2
0
2
1 cbabg
pa
g
v
smcg
pgv /0336.15105.0
81.9*1000
10000*81.9*210
***2 0
1
4
**
2
11
dvQ
mv
Qd 17.0
*0336.15
4*3414.0
*
4*
1
1
137
3.1.12 Izračunaj maksimalni možni dotok v zgornjo posodo in potreben podtlak v posodi (idealna
tekočina).
a = 1 m
H = 5 m
d1 = 2 cm
d2 = 4 cm
Rešitev:
a) Maksimalni možni dotok
zg
v
g
pz
g
v
g
pz
g
v
g
pz
g
v
g
pE
*2**2**2**2*
2
2
2
221
2
110
2
00
2*210
2
1 H
g
va
mH
ag
v5.8
2
5110
210
*2
2
1
smgv /9139.1281.9*2*5.8*2*5.81
slsmd
vQ / 057.4/004057.04
02.0**9139.12
4
** 3
22
11
138
b) Podtlak v posodi
2
2
22
*2*z
g
v
g
pa
mzg
va
g
p5313.45
81.9*2
2285.31
*2*
2
2
2
22
smd
dvv /2285.3
4
2*9139.12*
22
2
112
mag
p
g
p
g
pa
g
p5313.515313.4
**
**
22
2/5625.5426181.9*1000*5313.5**5313.5 mNgp
139
3.1.13 Voda izteka iz rezervoarja v točkah 2 in 3 na prosto.
a) Izriši energijsko in tlačno črto in označi vrednosti.
b) Določi polmer cevi d3 tako, da bo v točkah 2 in 3 iztekal enak pretok.
c) Preveri, če je iztok iz sistema pod pogoji iz tč. b) možen!
H = 6 m
d1 = 0.25 m
d2 = 0.2 m
a = 1.5 m
b = 1 m
Rešitev:
a) Energijska in tlačna črta in pomembne vrednosti
b) Iztok v točki 2: presek 0-0 in 2-2
g
v
g
pz
g
v
g
pz
*2**2*
2
222
2
000
smaHgvg
vaH 40.9)5.16(*81.9*2)(**2
*2000 2
2
2
slsmd
vQ 295295.04
2.0**4.9
4
** 3
22
222
140
Iztok v točki 3: presek 0-0 in 3-3
g
v
g
pz
g
v
g
pz
*2**2*
2
333
2
000
smbHgvg
vbH 72.11)16(*81.9*2)(**2
*2000 3
2
3
mv
Qd
dvQQ 179.0
72.11*
4*295.0
*
4*
4
**
3
23
2
3333
c) preveriti moramo podtlak v cevi 1: presek 0-0 in 1-1
g
v
g
pz
g
v
g
pz
*2**2*
2
111
2
000
V.S. 10m- 36.181.9*2
02.126
*2*
*2*000
22
11
2
11 mg
vH
g
p
g
v
g
pH
sm3
2321 590.0295.0*2Q*2QQQ
smd
v 02.1225.0*
4*590.0
*
4*Q22
1
11
Iztok iz sistema je možen
141
3.1.14 Iz posode A odteka Q vode po cevi 1, ki se nato v točki D razcepi v dva kraka. V točkah B in
C voda izteka na prosto. Določi:
a) Kolikšen je minimlno dopusten premer cevi d1?
b) Koliko vode izteka pri B, koliko pri C in kolikšna je višina b?
c) Nariši potek energijske in tlačne črte in označi vrednsoti!
H = 3 m
d2 = 12 cm
d3 = 5 cm
Q = 100 l/s
c = 2 m
Rešitev:
a) Minimalen premer cevi d1
g
v
g
pz
g
v
g
pz
*2**2*
2
111
2
000
g
vH
*210000
2
1
smHgvHg
v/9706.15103*81.9*210**2 10
*21
2
1
mv
Qd
dvQ 08929.0
9706.15*
1.0*4
*
*4
4
**
1
1
2
11
b) Iztok v točki C in višina iztoka B
g
v
g
pz
g
v
g
pz
*2**2*
2
333
2
000
g
vcH
*2000
2
3
smcHgvcHg
v/9045.923*81.9*2**2
*23
2
3
142
smd
vQ CC /0194.04
05.0**9045.9
4
** 3
22
3
smQQQ CB /0806.00194.01.0 3
smd
Qv B /1224.7
12.0*
4*0806.0
*
4*22
2
2
mg
vHb B 4144.0
81.9*2
1224.73
*2
22
c) Energijska in tlačna črta
143
3.1.15 Kolikšna največ sme biti moč črpalke Č, da je črpanje iz bazena B do višjeležeče točke A še
možno? Izračunaj maksimalni pretok za ta primer ter nariši energijsko in tlačno črto. Vodo
obravnavaj kot idealno tekočino.
H1 = 2 m
H2 = 5 m
d1 = d2 = d4 = 12 cm
d3 = 5 cm
= 0.8 (izkoristek črpalke)
Rešitev:
a) Energijska in tlačna črta
b) Maksimalni pretok
g
v
g
pz
g
v
g
pz
*2**2*
2
444
2
333
g
vH
g
vH
*20
*210*
3
2 2
42
2
32
144
smvvd
dvv /3627.156671.2*76.5*76.5
5
12** 4
2
42
3
2
443
10*
3
2
*2
*176.522
2
4
2
HHg
v
smH
gv /6671.2)176.5(
1*10
3
5*81.9*2
)176.5(
1*10
3**2
22
24
smd
vQ /03016.04
12.0**1136.7
4
** 3
22
44max
c) Moč črpalke
kWWEQg
P 723.237.27238.0
3626.7*03016.0*81.9*1000***
mg
vHHE 3626.7
81.9*2
6671.252
*2
22
421
145
3.1.16 Iz nižjeležečega bazena A črpalka Č, nameščena na razdalji LČ od spodnjega bazena, črpa
vodo v višjeležeči bazen B. Ob predpostavki vode kot idealne tekočine določi:
a) Maksimalni pretok Qmax, ki ga črpalka lahko črpa v zgornji bazen.
b) Izriši potek tlačne in energijske črte in označi vrednosti.
c) Kolikšna je je potrebna moč črpalke, če je njen izkoristek ?
H 1= 1 m
H2 = 2 m
L1 = 11 m
L2 = 2 m
LČ = 9.82 m
= 60
d1 = 0.1 m
d2 = 0.2 m
= 0.8
Rešitev:
a) Maksimalni pretok Qmax
g
v
g
pz
g
v
g
pz Č
Č*2**2*
22
211
g
vLHČ
*210sin*00
2
1
sin*10*2
1
2
ČLH
g
v
smLHgvČ
/9974.660sin*81.9101*81.9*2sin*10**2 1
smd
vQ /055.04
1.0**997.6
4
** 3
22
1max
smd
dvv /7494.1
2.0
1.0*9974.6*
22
2
112
146
b) Tlačna in energijska črta
c) Moč črpalke
mg
vHHLLE
Č4143.12
81.9*2
7494.12160sin*211
*2sin*
22
22121
WEQg
P È 25.83668.0
4143.12*055.0*81.9*1000*** max
147
3.1.17 Izračunaj maksimalni možni dotok vode (obravnavaj jo kot idealno tekočino) v zgornjo
posodo in določi potrebno moč črpalke Č. Izriši tudi potek tlačne in energijske črte.
Izkoristek črpalke je !
a = 1 m
H = 5 m
d1 = 2 cm
d2 = 4 cm
= 0.80
Rešitev:
a) Maksimalni pretok (prereza 0-0 in 1-1)
210
*2
2
1 H
g
va
smH
agvH
ag
v/9139.12
2
5110*81.9*2
210**2
210
*21
2
1
slsmd
vQ / 057.4/004057.04
02.0**9139.12
4
** 3
22
11
148
smd
dvv /2285.3
4
2*9139.12*
22
2
112
b) Moč črpalke
WHgQEgQ
P 17.2758.0
5313.5*81.9*1000*004057.0******
mg
vHE 5313.5
81.9*2
2285.35
*2
22
149
3.1.18 Iz pokritega spodnjega bazena A, kjer vlada relativni podtlak pA, črpalka Č črpa pretok Q
vode v višjeležeči bazen B. Ob predpostavki vode kot idealne tekočine določi:
a) Minimalni premer cevi d1, da bo črpanje še možno,
b) Izriši potek tlačne in energijske črte in označi vrednosti,
c) Kolikšna je potrebna moč črpalke, če je njen izkoristek ?
H1 = 1 m
H2 = 2 m
L1 = 11 m
L2 = 2 m
LČ = 8 m
pA = -0.3 bar
= 60
d2 = 0.2 m
Q = 35 l/s
= 0.8
Rešitev:
a) Minimalni premer cevi d1
g
v
g
pz
g
v
g
pz Č
Č*2**2*
2
1
2
00
0
g
vL
g
pH
Č
A
*210sin*0
*0
2
11
sin*10**2
1
2
1
Č
A Lg
pH
g
v
sm
Lg
pHgv
Č
A
/4597.460sin*81081.9*1000
300001*81.9*2
sin*10*
**2 11
mv
Qd
dvQ 09996.0
*4597.4
035.0*4
*
*4
4
**
1
1
2
11
150
b) Tlačna in energijska črta
c) Moč črpalke
WEQg
P 77.66008.0
3797.15*035.0*81.9*1000***
mEEE 3797.150581.23216.1312
mg
vHLLE 3216.13
81.9*2
1141.1260sin*211
*2sin*
22
22212
mg
pHE A 0581.2
81.9*1000
300001
*11
smd
dvv /1141.1
2.0
0999.0*4597.4*
22
2
112
151
3.1.19 Iz pokritega spodnjega bazena A, kjer vlada relativni podtlak pA, črpalka Č črpa pretok Q
vode v višjeležeči bazen B. Ob predpostavki vode kot idealne tekočine določi:
a) Minimalni premer cevi d1, da bo črpanje še možno.
b) Izriši potek tlačne in energijske črte in označi vrednosti.
c) Kolikšna je potrebna moč črpalke, če je njen izkoristek ?
H1 = 1 m
H2 = 2 m
L1 = 11 m
L2 = 2 m
LČ = 8 m
pA = -0.3 bar
= 60
d2 = 0.2 m
Q = 35 l/s
= 0.8
Rešitev:
a) Minimalni premer cevi d1
g
v
g
pz
g
v
g
pz Č
Č*2**2*
2
1
2
00
0
g
vL
g
pH
Č
A
*210sin*0
*0
2
11
sin*10**2
1
2
1
Č
A Lg
pH
g
v
sm
Lg
pHgv
Č
A
/4597.460sin*81081.9*1000
300001*81.9*2
sin*10*
**2 11
mv
Qd
dvQ 09996.0
*4597.4
035.0*4
*
*4
4
**
1
1
2
11
152
b) Tlačna in energijska črta
c) Moč črpalke
WEQg
P 77.66008.0
3797.15*035.0*81.9*1000***
mEEE 3797.150581.23216.1312
mg
vHLLE 3216.13
81.9*2
1141.1260sin*211
*2sin*
22
22212
mg
pHE A 0581.2
81.9*1000
300001
*11
smd
dvv /1141.1
2.0
0999.0*4597.4*
22
2
112
153
3.1.20 Iz nižjeležečega bazena A črpa črpalka pretok Q vode v pokrit višjeležeči bazen B. Pod
pokrovom vlada nadtlak pB (relativni sistem). Ob predpostavki vode kot idealne tekočine
določi:
a) Maksimalni pretok Q, ki ga še lahko črpamo.
b) Izriši tlačno in energijsko črto in označi vrednosti.
c) Kolikšna je potrebna moč črpalke, če je njen izkoristek ?
H1 = 1 m
H2 = 1 m
pB = 0.2 bar
L1 = 11 m
L2 = 2 m
= 60
d1 = 0.1 m
d2 = 0.2 m
L = 9.8 m
= 0.8
Rešitev:
a) Določitev pretoka Q
g
p
g
vLH
**2sin* 2
2
11
10*2
sin*2
11
g
vLH
sin*10*2
1
2
1 LHg
v
smLHgv /0217.760sin*8.9101*81.9*2sin*10**2 11
smd
vQ /0551.04
1.0**0217.7
4
** 3
22
11
154
b) Tlačna in energijska črta
c) Moč črpalke
WEgQ
P 381.90908.0
4540.13*81.9*0551.0*1000***
mg
vHHHzE 4540.13
81.9*2
7554.12583.11110387.2
*2`
22
2221
mLLz 2583.1160sin*211sin*21
mg
pH B 0387.2
81.9*1000
10*2.0
*`
5
2
smd
dvv /7554.1
2.0
1.0*0217.7*
22
2
112
155
3.1.21 Voda (obravnavaj jo kot idealno tekočino) doteka iz spodnje v zgornjo zaprto posodo, kjer
vlada nadtlak prel (relativni sistem). Črpalka Č je nameščena na odseku cevi 1 na razdalji LČ od
spodnjega rezervoarja. Določi:
a) Maksimalni možni pretok Q.
b) Izriši potek energijske in tlačne črte in označi vrednosti.
c) Kolikšna je potrebna moč črpalke, če je njen izkoristek ?
L = 6 m
LČ = 1 m
a = 1.5 m
H = 6 m
d1 = 5 cm
d2 = 10 cm
prel = 0.3 bar
= 0.8
Rešitev:
a) Maksimalni možni pretok
g
v
g
pz
g
v
g
pz
*2**2*
2
111
2
000
g
vLaČ
*210sin*00
2
1
30= 5.012
6
*2sin
L
aHa
sin*10*2
2
1
ČLa
g
v
smaLagvÈ
/6908.1430sin*1105.1*81.9*2sin*10**21
slsmd
vQ / 8.28/0288.04
05.0**6908.14
4
** 3
22
11max
smd
dvv /6727.3
10
5*6908.14*
22
2
112
156
b) Tlačna in energijska črta
c) Moč črpalke
- brez upoštevanja izgube na vtoku v zgornji rezervoar
mg
pHE rel 0581.9
81.9*1000
300006
*
WgQE
P 32048.0
1000*81.9*0288.0*0581.9***
- z upoštevanjem izgube na vtoku v zgornji rezervoar
mg
v
g
pHE rel 7456.9
81.9*2
6727.3
81.9*1000
300006
*2*
22
2
WgQE
P 18.34478.0
1000*81.9*0288.0*7456.9***
157
3.1.22 Vodo črpamo s pomočjo črpalke Č iz odprtega bazena A v zaprt bazen B, kjer živosrebrni
manometer kaže razliko h.
a) Izriši energijsko in tlačno črto.
b) Določi maksimalen možen pretok Qmax.
c) Določi potrebno moč črpalke pri Qmax.
d) Določi tlak pč na sesalni strani črpalke pri Qmax!
a = 2 m
b = 3 m
d1 = 0.1 m
d2 = 0.2 m
h = 0.2 m
Hg = 13.6 kg/dm3
c = 8 m
d = 2.5 m
= 0.8 (izkoristek črpalke)
Rešitev:
a) Izris energijske in tlačne črte
158
b) Določitev maksimalnega možnega pretoka Qmax
Prerez 0-0 in 1-1
g
v
g
pz
g
v
g
pz
*2**2*
2
111
2
000
10*2
*2
100002
1
2
1 bg
v
g
vb
smbgv /9706.15103*81.9*210**21
l/s 4.1251254.04
1.0**9706.15
4
** 3
2
11max sm
dvQ
c) Določitev moči črpalke
mg
v
g
pdcmbE 0325.14
81.9*2
9926.3
81.9*1000
2.6683.25.28
*2*E ; 3
22
2221
smd
dvv /9926.3
2.0
1.0*9706.15*
22
2
112
2
2 2.266832.0*81.9*13600** mNhgp Hg
mEEE 0325.1130325.1412
kWWEQg
N 9693.163034.169698.0
0325.11*1254.0*81.9*1000***max
d) Določitev tlaka na sesalni strani črpalke
Prerez 0-0 in Č-Č
g
v
g
pz
g
v
g
pz ČČ
È*2**2*
22
000
mg
vab
g
p
g
v
g
pab ČČ 8
81.9*2
7906.1523
*2**2*
22
1
2
1
barmNgpČ
7848.07848081.9*1000*8**8 2
159
3.1.23 Kolikšen maksimalni pretok lahko črpamo iz bazena A v bazen B? Kolikšna je potrebna
moč črpalke? Kakšna je razlika v potrebni moči črpalke, če cev v točki C odrežemo? Nariši
tlačno in energijsko črto!
h1 = 7 m
h2 = 0.5 m
h3 = 1.5 m
d = 0.2 m
= 0.8
Rešitev:
a) Pretok in moč črpalke
mg
v
mhhhz
mg
p
g
v
g
pzE
Č
S
S
ČS
1910*2
95.15.07
10*
*2*0
2
321
2
smgv /4294.41*81.9*21**2
smd
vQ /1392.04
2.0**4294.4
4
** 3
22
mg
vhhhh
g
v
g
pzE Č
ČČ5.8
81.9*2
4294.45.07
*2*2*
22
3321
2
mEEE SČ5.805.8
WEQg
P 32.145048.0
5.8*1392.0*81.9*1000***
160
b) Moč črpalke če cev odrežemo
mg
vhhhE 10127
*2
2
3211
WEQg
P 9.170638.0
10*1392.0*81.9*1000*** 1
c) Tlačna in energijska črta
161
3.1.24 Določi Qmax pri neomejeni moči črpalke. Zriši tlačno in energijsko črto ter označi posamezne
vrednosti.
H = 2 m
d1 = 0.8 m
d2 = 1 m
Rešitev:
a) Maksimalni možni pretok
22
2
21
1
2
1
**2**2z
g
p
g
vz
g
p
g
v
00*2
010*2
2
2
2
1 g
v
g
v
5625.1*8.0
1** 2
2
2
2
2
121 vv
d
dvv
10*2
*5625.1 2
2
2
2
2
g
vv
smvv /6669.114414.1
10*81.9*2 10*81.9*2*4414.1 2
2
2
smd
vQ /1632.94
1**6669.11
4
** 3
22
22
162
3.1.25 S črpalko Č poskušamo povečati gravitacijski iztok iz bazena. V točkah B in C izteka voda
(idealna tekočina) na prosto.
a) Izriši tlačno in energijsko črto.
b) Določi maksimalen pretok Qmax, ki lahko izteka iz bazena.
c) Pri Qmax določi iztoka Qc in QB ter potrebno moč črpalke!
H = 5 m
a = 1 m
b = 2 m
d = 0.1 m
= 0.85 (izkoristek črpalke)
v = 1 kg/dm3
Rešitev:
a) Tlačna in energijska črta
163
b) Določitev maksimalnega pretoka iz bazena
g
v
g
pz
g
v
g
pz AA
A*2**2*
22
000
g
vaH A
*21000
2
smaHgvaHg
vA
A /5735.161015*81.9*210**2 10*2
2
l/s 2.1301302.04
1.0**5735.16
4
** 3
22
max smd
vQ A
smaHgvaHg
vB
B /8589.815*81.9*2**2 *2
2
l/s 9.690696.04
1.0**8589.8
4
** 3
22
smd
vQ BB
smvvvd
vvd
v BACCBA /7146.78589.85735.16 4
**
4
**
22
slsmpd
vQ CC / 6.600606.04
1.0**7146.7
4
** 3
22
Preverba tlaka na sesalni strani črpalke
Hg
v
g
pb Č
*2
2
Č
*++a
v.s.10m- 1.0334m *
81.9*2
7146.7215
*2
22
Č
g
vbaH
g
pČ
c) Moč črpalke
WEQg
N 62.72285.0
0334.1*0606.0*81.9*1000***
mbaHg
vE Č 0334.1215
81.9*2
7146.7
*2
22
164
3.1.26 V kanalu pravokotnega preseka teče pretok Q z globino H1. V prerezu 2 se kanal zoži na
širino B2, dno pa ostane horizontalno. Določi globino H2 in hitrost v2 v prerezu 2.
B1 = 2 m
B2 = 1.5 m
H1 = 1.5 m
Q = 5 m3/s
Rešitev:
a) Uporaba Bernoulijeve enečbe
g
v
g
pz
g
v
g
pz
*2**2*
2
222
2
111
g
vH
g
vH
*20
*20
2
22
2
11
g
vH
g
vH
*2*2
2
22
2
11
b) Uporaba kontinuitetne enačbe
QQQ 21
22
2
11
1111111*
in v *
v ****BH
Q
BH
QQBHvBHv
c) Določitev višine H2
2
22
2
2
2
2
22
1
2
1
2
1 *
*2***2** HgBH
QH
gBH
QH
0*2*
**2** 2
2
22
22
1
2
1
2
1
3
2
gB
QH
gBH
QHH
081.9*2*5.1
5*
81.9*2*2*5.1
55.1
2
22
222
23
2
HH
05663.0*6416.1 2
2
3
2 HH
165
H2 f(H2) H2 f(H2)
2 2 0.4 0.36
2.5 5.93 0.5 0.28
1.8 1.080 0.6 0.19
1.6 0.45897 0.7 0.10
1.4 0.0928 0.8 0.027
1.35 0.0349 0.9 -0.0343
1.33 0.0151 0.86 -0.01
1.32 0.006 0.85 -0.005
1.31 -0.0027 0.84 0.000725
166
3.2 Uporaba teorije potencialnega toka za tok podtalnice (filtracija)
167
3.2.1 Preko treh slojev dolžine l, širine b in debeline d ( na papir) ter različne propustnosti k1, k2
in k3 pronica voda. Gladino H0 vzdržujemo konstantno in izmerimo še globino vode v
spodnjem piezometru H3.
a) Določi pretok Q,
b) Določi višino vode H1 in H2 v vmesnih piezometrih!
H0 = 20 cm
H3 = 15 cm
b = 30 cm
d = 1 m
l = 50 cm
k1 = 0.4*10-3
m/s
k2 = 0.3*10-3
m/s
k3 = 0.1*10-3
m/s
Rešitev:
a) Določitev pretoka
s*-k= v1D... ; *
gradkv
321 vvvv
1
11
11 *-= *k
lv
lkvv
2
22
22
l*-= *
kv
lkvv
3
33
33 *-= *k
lv
lkvv
03321 *3 HlH
lHHk
l
k
l
k
lv *3* 03
321
168
sm
k
l
k
l
k
l
HHlv /10*9579.1
0001.0
5.0
0003.0
5.0
0004.0
5.0
2.015.05.0*3*3 4
321
03
l/s 0587.010*8737.51*3.0*10*9579.1** 354 smdbvQ
b) Določitev višine vode v vmesnih piezometrih
1
10
011
1
111 *H
*3*2
* *
k
lvHl
HlHl
k
lv
lkv
mk
lvlHH 4553.0
0004.0
5.0*10*9579.15.02.0* 4
1
01
2
21
122
2
222 *H
*2
* *
k
lvHl
HlHl
k
lv
lkv
mk
lvlHH 6289.0
0003.0
5.0*10*9579.15.04553.0* 4
2
12
169
3.2.2 V navpični okrogli cevi premera D imamo na dolžini L1 pesek prepustnosti k1, na dolžini L2
pa pesek pepustnosti k2. Na vrhu s stalnim dotokom vzdržujemo konstantno gladino vode
H1, v piezometru pri dnu pa izmerimo višino vode H2. V kolikšnem času se prazno vedro
prostornine V napolni do vrha, ko je pretok skozi sistem že ustaljen?
H1 = 50 cm
H2 = 80 cm
D = 20 cm
V = 10 l
L1 = 1 m
L2 = 1.5 m
k1 = 0.4 mm/s
k2 = 0.2 mm/s
Rešitev:
a) Čas polnjenja vedra
vvv 21
gradkv *
1
11
1
11111 *H **
k
Lvv
L
Hkgradkv
2
22
2
22222 *H **
k
Lvv
L
Hkgradkv
21 HHH
mHHLLH 2.28.05.05.112121
sm
k
L
k
L
H
k
L
k
LvH /00022.0
0002.0
5.1
0004.0
1
2.2= v *
2
2
1
12
2
1
1
slsmD
vQ / 00691.0/10*91.64
2.0**00022.0
4
** 36
22
ssVtQ 86.6 min2486.144600691.0
10
Q
V = t *
170
3.2.3 Skozi prepusten sloj debeline h pronica voda. Merjena je globina vode G1 in G2 v dveh
vodnjakih (ni črpanja!). Sloj ima na dolžini L1 koeficient k1 in dalje k2. Določi pretok Q na
1m širine ( na papir).
L1 = 100 m
L2 = 60 m
G1 = 1 m
G2 = 4 m
h = 2 m
k1 = 2 mm/s
k2 = 1 mm/s
Rešitev:
a) Pretok skozi prepustno plast (Darcy-jev zakon)
gradkv *
1 D tok
1
11
1
111
* *
k
Lvv
Lkv
2
22
2
222
* *
k
Lvv
Lkv
vvv 21
12
2211 , GaGa
21
2
2
1
112 *
k
L
k
Lv
sm
k
L
k
L
GG
k
L
k
L
GaGav /10*2727.27
001.0
60
002.0
100
14 6
2
2
1
1
12
2
2
1
1
12
slsmvhQ / 0545.0/10*5455.5410*2727.27*1*2*1* 366
171
3.2.4 Skozi prepusten sloj debeline h pronica voda. Merjena je globina vode G1 in G2 v dveh
piezometrih. Sloj ima na dolžini L1 koeficient prepustnosti k1, na dolžini L2 - k2, in na
dolžini L3 - k3. Določi pretok na 1m širine!
L1 = 100 m
L2 = 60 m
L3 = 80 m
G1 = 1 m
G2 = 4 m
h = 2 m
k1 = 2 cm/s
k2 = 1 cm/s
k3 = 1.5 cm/s
Rešitev:
a) Pretok skozi plasti
12321 GG
3
33
2
22
1
11 ***
Lk
Lk
Lkkonstv
*
; *
; *
3
33
2
22
1
11
k
Lv
k
Lv
k
Lv
mGG 314k
L
k
L
k
L*v 12321
3
3
2
2
1
1
smv /10*8367.1
015.0
80
01.0
60
02.0
100
3
k
L
k
L
k
L
3 4
3
3
2
2
1
1
slsmvmhQ / 3675.0/10*6735.310*8367.1*1*2*1* 344
172
3.2.5 Iz vodnjaka A črpamo pretok Q. Določi, v kakšni razdalji od njega moramo izkopati vodnjak
B ( brez črpanja), da bo v njem gladina vode v globini H1. Izračunaj, v kolikšnem času bo
barvilo iz vodnjaka B doseglo vodnjak A!
T1 = 10 m
T2 = 8 m
H = 6 m
H1 = 3 m
Q = 4 l/s
k = 0.12 mm/s
r0 = 0.3 m
Rešitev:
a) Izpeljava enačbe in izračun oddaljenosti vodnjaka B
***2*2 rrrT
Qvr
rrv
*0
0**2*2
drrT
Qddr
rd
r
r r
dr
T
Qd
00
**2*2
02
0 ln**2* r
r
T
Q
* )*( * kgradkgradvgradkv
11 HTB
HTB 1
02
111 ln**2*
*r
r
T
QHTHTk AB
5239.4
10*4
*2*8*)36(*10*12.0*2***ln
3
3
21
0
Q
THHk
r
rAB
meerrAB 6582.27*3.0* 5239.45239.4
0
173
b) Čas zaznanja onesnaženja
dt
dr
rT
Qvr
**2*2
0
**2*2
0
r
r
T
AB
rdrQ
Tdt
surdnis
rrQ
Tr
Q
TT AB
r
rAB
25min58145548059045
6582.273.0*10*4
*8*
2*
*2*
2*
*2* 22
3
22
02
2
2
0
174
3.2.6 V vodnjaku naletimo na vodo v globini G1. Koeficient propustnosti vodonosnika je K.
a) Določi globino črpanja G2 pri pretoku Q. Nivo podtalnice je pri tem na razdalji R od
vodnjaka znižan za s glede na nivo pred črpanjem,
b) Na razdalji R1 je prišlo do onesnaženja podtalnice. Po kolikšnem času onesnaženje
zaznamo v vodnjaku?
G1 = 1.2 m
s = 0.1 m
a = 9 m
b = 10 m
k = 10-4
m/s
r0 = 0.5 m
R = 200 m
R1 = 30 m
Q = 6 l/s
Rešitev:
Enačba črpanja
rbr
Qvr
***2
*0
rv
0***2
drbr
Qdrdr
rd
drrb
Qd
r
r
1*
**200
0
0 ln***2 r
r
b
Q
sGak 1 ; *
2000 ; * Gak
0
21 ln****2 r
R
bk
QGsG
0
21
ln
****2
r
R
GsGbkQ
175
a) Globina črpanja
**2*
ln*
*
ln
****2 0
2121
0
bk
r
RQ
GsGGsG
r
R
bkQ
mbk
r
RQ
sGG 0214.710**2*10
5.0
200ln*006.0
1.02.1**2*
ln*
4
0
12
b) Čas gibanja onesnaženja
22
***2
2
0
2
1 rRT
b
Q
min38 12 5447110802
5.0
2
30*
006.0
10**2
22*
**2=
222
0
2
1 urdnisrR
Q
bT
176
3.2.7 V vodnjaku naletimo na vodo v gladini G1. Koeficient prepustnosti vodnjaka je k.
a) Določi maksimalni možni pretok, če je s črpalko možno črpati vodo iz globine največ G2
pod terenom. Nivo podtalnice je pri tem na razdalji R od vodnjaka znižan za s glede na
nivo pred črpanjem,
b) Nekje v okolici je prišlo do razlitja onesnaženja v podtalnico, ki smo ga pri
nezmanjšanem črpanju po času T zaznali v vodnjaku. Na kolikšni oddaljenosti od vodnjaka
je prišlo do razlitja?
G1 = 1.2 m
G2 = 7 m
s = 0.1 m
a = 9 m
b = 10 m
k = 10-4
m/s
r0 = 0.5 m
R = 200 m
T = 50 dni
Rešitev:
a) Izpeljava enačbe
***2* rrrb
Qvr
rrv
*0
0**2*
drrb
Qddr
rd
r
r r
dr
b
Qd
00
**2*
0
0 ln**2* r
r
b
Q
* )*( * kgradkgradvgradkv
0
21 ln**2*
**r
R
b
QGaksGak
slsmGsG
r
R
bkQ / 6/005978.0)012.17(*
5.0
200ln
*2*10*0001.0*
ln
*2** 3
21
0
177
b) Mesto razlitja
dt
drvr
dt
dr
rb
Q
**2*
rdrdtb
Q
*2*
0
0*2*
r
r
T
x
rdrdtb
Q
22*
*2*
2
0
2 rrT
b
Q x
mrTb
Qrx 6744.285.03600*24*50*
*10
00597.0*
*
22
0
178
3.2.8 V vodnjak A nalivamo Q vode. Pri tem je voda v vodnjaku A na globini G1, v piezometru B
pa na globini G2.
a) Določi koeficient prepustnosti vodonosnika k.
b) Za koliko lahko povečamo pretok nalivanja. če ohranimo enaki globini vode G1 in G2,
povečamo pa premer vodnjaka A na ro'?
Q = 10 l/s
r0 =0.5 m
G1 = 1 m
G2 = 3 m
R1 = 100 m
a = 10 m
b = 15 m
r0' = 1 m
Rešitev:
a) Izpeljava enačbe, koeficient propustnosti
*0 ;
***2 rv
rbr
Qvr
drbr
Qddr
rd
***2
0
0
0
0 ln***2
ln***2
***2
00
r
R
b
Q
r
R
b
Q
rr
dr
b
Qd
R
*k
210 ; GbaGba B
210 GbaGbaB
0
10 ln*
**2 r
R
b
QB
sm
GG
r
R
r
R
r
R
b
Qk
B
B
4
12
0
1
0
0
1
0
10
10*8108.2)13(*15**2
0.5
100ln*0.010
=
*b**2
ln*Q
*b**2
ln*Q
=k ln***2
*
179
b) Določitev povečanja pretoka če sta globini vode enaki in povečamo premer vodnjaka A
s
r
R
GGbkQ 3
4
'
0
1
12 m0115.0
1
100ln
13*15**2*10*8108.2
ln
***2*'
sQQQ l 5.1105.11'
180
3.2.9 V zaprtem vodonosniku črpamo Q vode iz vodnjaka 1. Pred črpanjem je nivo vode G0 pod
terenom, po črpanju pa G1 v vodnjaku 1 in G2 v piezometru 2.
a) Kolikšna je debelina propustnega sloja T2?
b) Določi globino G3 v piezometru 3!
Q = 15 l/s
T1 = 10 m
G0 = 3 m
G1 = 6 m
G2 = 4.5 m
r1 = 0.4 m
r12 = 50 m
r13 = 80 m
k = 0.15 mm/s
Rešitev:
a) Debelina propustnega sloja
mHHk
r
rQ
HH
r
r
TkQ 23.51
45.5*00015.0**2
4.0
50ln*015.0
***2
ln*
T *
ln
***2
12
1
12
212
1
12
2
mTGTTH 23.5523.514610 21211
mTGTTH 73.5623.515.55.410 22212
b) Globina G3 v piezometru 3
*
ln
***213
1
13
2 HH
r
r
TkQ
mTk
r
rQ
876.5623.51*00015.0**2
4.0
80ln*015.0
23.55***2
ln*
HH2
1
13
13
m354.4875.5623.5110HTTG GTTH 32133213
181
3.2.10 Iz vodnjaka A črpamo pretok Q. Kolikšna je denivelacija H0 v vodnjaku če izmerimo v
piezometrih B in C denivelaciji H1 in H2?
T1 = 12 m
T2 = 5 m
Q = 25 l/s
R1 = 30 m
R2 = 50 m
r0 = 0.5 m
H1 = 2 m
H2 = 1 m
Rešitev:
a) Koeficient propustnosti
*-= ; 2
kT
rr
qvr
*
*0
rv
drr
qddr
rd
*
crq
ln*
0
0 ln*r
rq
0
0 ln**r
rqk
ln**
1
212
r
rqk
sm
r
r/10*13.8
30
50ln*
12**5
025.0ln*
*
q=k 4
1
2
12
182
b) Denivelacija v vodnjku A
ln** 0
202
r
r
k
q
mr
r
k
q9848.1
5.0
50ln*
000813.0**5
025.011ln*
* 0
220
mTH 0152.109848.112010
183
3.2.11 V vodnjak A nalivamo Q vode. S pomočjo barvila ugotovimo, da pride voda do piezometra
B v času t. Poišči Q in določi, v kolikšni razdalji R2 moramo izkopati vodnjak C, da bo voda
v njem H2 pod terenom?
a1 = 10 m
a2 = 6 m
R1 = 40 m
R0 = 0.6 m
H0 = 1.5 m
t = 50 dni
H2 = 6.5 m
k = 2*10-4
m/s
Rešitev:
a) Določitev Q
1
0
***
***
**
0222
R
R
t
r drrdta
Qdrrdt
a
Q
dt
dr
ar
Qv
*2
1*
*
2
0
2
1
2
RRta
Q
slsmRRt
/ 489.3/00348.06.040*3600*24*50*2
*6*
*2
*a=Q 3222
0
2
12
b) Določitev globine H2
** rrr
qvr
rrv
*0
drr
qddr
rd
*
0
2
*2
02
0
202 ln**k- ln* *
2
0
2
0R
R
a
Q
R
Rqd
r
drqR
R
0
2
2
20 ln*** R
R
ak
Q
mHa 5.85.110010
mHa 5.35.610212
meeRQ
ak
R
R Q
ak
0054.133*6.0*R ***
ln5.35.8*
003489.0
**6*0002.0***
02202
0
220
2
184
3.2.12 Podtalnico bogatimo z dolivanjem Q vode v vodnjak A. V kolikšni globini H2 naletimo na
vodo v vodnjaku C, če poznamo denivelaciji H0 in H1 v vodnjakih A in B?
T1 = 12 m
T2 = 5 m
Q = 5 l/s
R1 = 10 m
R2 = 50 m
r0 = 0.5 m
H0 = 1 m
H1 = 2 m
Rešitev:
a) Določitev koeficienta propustnosti
rrT
Qgradkvr
**
2**
2
10
0
1
2
*ln**
2*
k
R
R
T
Q
mHTT 1615120210
mHTT 1525121211
smmsmR
R
T
Qk /9071.1/9071.1
1516
1*
5.0
10ln*
*5
2*005.01*ln*
*
2*
100
1
2
b) Globina vode v vodnjaku C
20
0
2
2
*ln**
2*
k
R
R
T
Q
mR
R
kT
Q4628.14
5.0
50ln*
9071.1**5
2*005.016ln*
**
2*
0
2
2
02
mTTHHTT 5372.24628.1417 22122212
185
3.2.13 Iz vodnjaka A črpamo pretok Q in pri tem izmerimo denivelaciji H1 in H2 v piezometrih B in
C. Določi:
a) Debelino propustnega sloja,
b) Denivelacijo H0 v vodnjaku A,
c) V kolikšnem času bi morebitno onesnaženje v piezometru C deseglo vodnjak A!
Q = 5 l/s
T1 = 9 m
H1 =2.5 m
H2 = 1.5 m
R0 = 0.6 m
R1 = 15 m
R2 = 35 m
= 150
k = 1.5*10-4
m/s
Rešitev:
Izpeljava enačbe črpanja
*0 v;
***2*
360*
2 rrrT
Qvr
drrT
Qddr
rd
***2*
360*
2
1
2
1
2
***2*
360*
2
R
Rr
dr
T
Qd
2
1
2
21 ln***2*
360*
R
R
T
Q
2
1
2
21 ln***2*
360**
R
R
T
Qk
*-k= grad=*k-grad= v * gradkv
111 HT
222 HT
a) Debelina prepustnega sloja T2
186
ln*
**2*
360**
2
1
2
12R
R
T
QHHk
m
R
R
HHk
QT 7881.10
35
15ln*
5.25.1*00015.0*150**2
360*005.0ln*
****2
360*
2
1
12
2
b) Denivelacija H0 v vodnjaku A
ln*
**2*
360**
2
0
2
02R
R
T
QHHk
mR
R
Tk
QHH 299.6
35
6.0ln*
150**2*7881.10*00015.0
360*005.05.1ln*
**2**
360*
2
0
2
20
c) Čas onesnaženja
0
2022
***2*
360*
***2*
360*R
R
t
r rdrdtT
Q
dt
dr
rT
Qv
sdnis
RRQ
Tt
84.22 min46 4084.3458782=
356.0*2*360*005.0
150**2*7881.10*
2*360*
**2* 222
2
2
02
187
3.2.14 V zaprtem vodonosniku črpamo iz vodnjaka A Q vode, pri čemer je voda v piezometru B za
GB pod terenom.
a) Izpelji enačbo črpanja.
b) Določi globino vode GA pod terenom v vodnjaku A.
c) V kolikšnem času onesnaženje iz piezometra C doseže vodnjak A?
= 60
= 30
T1 = 6 m
T2 = 10 m
r0 = 0.5 m
rAB = 100 m
rAC = 50 m
Q = 8 l/s
GB = 2 m
k = 8*10-4
m/s
Rešitev:
a) Enačba črpanja
rTr
Qvr
2*360
***2
*0
rv
drTr
Qdrdr
rd
2***2
4*
r
r
drrT
Qd
00
1*
*
*2
2
02
0 ln**
*2
r
r
T
Q
GTTk 12 ; *
012000 ; * GTTk
02
0 ln***
*2
r
r
Tk
QGG
0
02
ln*2
***
r
r
GGTkQ
b) Določitev globine vode pod terenom v vodnjaku A
188
ln*2
***
0
2
r
r
GGTkQ
AB
BA
mGTk
r
rQ
B
AB
373.5210**0008.0
5.0
100ln*008.0*2
**
ln**2
G 2
0
A
c) Čas gibanja onesnaženja iz vodnjaka C v vodnjak A
dt
dr
Tr
Q
Tr
Qvr
22
**
*2
*360
***2
rdrdtT
Q
2*
*2
0
02
**
*2r
r
T
AB
rdrdtT
Q
2
0
22
2
*2
1
2*
*
*20
rrr
TT
QAB
r
rAB
3.8s42min 9ur 288.24541235.050*2*008.0*2
10**
2**2
1** 222
0
22 dnisrrQ
TT AB
189
3.2.15 Kolikšen kot oklepata neprepustni plasti, če barvilo iz vodnjaka B doseže vodnjak A, iz
katerega črpamo Q vode, v času tAB? Določi tudi, kolikšna je denivelacija HB v vodnjaku B!
T1 = 15 m
T2 = 10 m
HA = 8 m
Q = 5 l/s
k = 2*10-4
m/s
r0 = 0.3 m
tAB = 60 dni
rAB = 50 m
Rešitev:
a) Določitev kota
***2*
360*
2 rT
Q
dt
drvr
***2*
360*
2 *
**2*
360*dr*r
2
2
0
2
02
r0
ABAB
t
r
tT
Qrrdt
T
Q AB
AB
8128.118
3.050**10
3600*24*60*360*005.0
**
*360*=
222
0
2
2
rrT
tQ
AB
AB
b) Določitev HB
****2*
360*
2 rrrT
Qvr
rrv
*0
drrT
Qddr
rd
***2*
360*
2
ABB
A
r
rr
dr
T
Qd
0
***2*
360*
2
02
ln***2*
360*
r
r
T
Q ABBA
*kv
02
ln***2*
360**
r
r
T
Qk AB
AB
190
02
ln****2*
360*
r
r
kT
Q ABAB
mHT AA 78151
mTHHT BBBB 8322.11678.1315 11
mB 1678.133.0
50ln*
0002.0*8128.118**2*10
360*005.07
191
3.2.16 Podtalnico bogatimo z dolivanjem vode Q v vodnjak A. Določi kot , če poznamo
denivalaciji H0 in H2 v vodnjakih A in C. Kolikšna je denivelacija H1 v vodnjaku B?
T1 = 15 m
T2 = 7 m
Q = 6 l/s
R1 = 15 m
R2 = 60 m
r0 = 0.5 m
H0 = 1 m
H2 = 9 m
k =2*10-4
m/s
Rešitev:
a) Izpeljava enačb
rTr
Qvr
****2
360*
2
*0
rv
drr
qddr
rd
***2
360*
2
0
2
0
r
*
**2
360* R
r
drqd
0
202 ln*
**2
360*
r
Rq
0
202 ln*
**2
360***
r
Rqkk
0
202 ln*
**2
360**
r
RqHHk
b) Določitev kota
=
Q
T k H H
R
r
*
* * * **ln
. *
* * * * **ln
..
360
2
0 006 360
2 7 2 10 9 1
60
051469481
2 2 0
2
0
4
c) Določitev H1
mr
R
kT
QHH 6835.5
5.0
15ln*
9481.146*10*2*7**2
360*006.01ln*
****2
360*4
0
1
2
01
192
3.2.17 V vodnjaku ob neprepustnem sloju (glej sliko) naletimo na vodo v globini G1. Določi
maksimalni možni pretok, če s črpalko lahko črpamo vodo iz globine največ G2 pod
terenom. Nivo podtalnice je pri tem na razdalji 200 m od vodnjaka znižan za s glede na
nivo pred črpanjem. Koeficient prepustnosti vodonosnika je k!
G1 = 1.2 m
G2 = 7 m
s = 0.1 m
a = 9 m
b = 10 m
k = 10-4
m/s
r0 = 0.5 m
Rešitev:
a) Izpeljava enačbe
rr
qvr
3
2***2
*0
rv
ddr
rd
r
rdr
r
qd
00 **4
*3
0
0 ln**4
*3
r
rq
0
0 ln**4
*3*
r
rqk
0
0 ln**4
*3*
r
rqk
sm
r
r
kq /10*985.3
5.0
200ln*3
*4*27.7*10
ln*3
*4** 244
0
0
mGa 27920
msGa 7.71.02.191
slsmbqQ / 985.3/10*985.310*10*985.3* 334
193
3.2.18 V vodnjaku ob neprepustnem sloju (glej sliko) naletimo na vodo v globini G1. Določi
maksimalni možni pretok, če s črpalko lahko črpamo vodo iz globine največ G2 pod
terenom. Nivo podtalnice je pri tem na razdalji 200 m od vodnjaka znižan za s glede na
nivo pred črpanjem. Koeficient prepustnosti vodonosnika je k!
G1 = 1.2 m
G2 = 7 m
s = 0.1 m
a = 9 m
b = 10 m
k = 10-4
m/s
r0 = 0.5 m
= 90
Rešitev:
a) Izpeljava enačbe
rr
q
r
qvr
3**
*2
4
3***2
*0
rv
ddr
rd
r
rdr
r
qd
00 **3
*2
0
0 ln**3
*2
r
rq
0
0 ln**3
*2*
r
rqk
0
0 ln**3
*2*
r
rqk
sm
r
r
kq /10*4831.4
5.0
200ln*3
*2*27.7*10
ln*3
*2** 244
0
0
mGa 27920
msGa 7.71.02.191
slsmbqQ / 4831.4/10*4831.410*10*4831.4* 334
194
3.2.19 Med dvema neprepustnima plastema teče podtalnica. Določi globino vode v piezometru G3
in pretok Q! (Prepustni sloj ima dva različna koeficienta prepustnosti.) Merilo 1:200.
G1 = 1 m
G2 = 2 m
k1 = 0.2 mm/s
k2 = 0.1 mm/
Rešitev:
a) Globina vode v piezometru
mGGH 1121221
mH
1667.06
1
6
211
2332 GGH
3221 5.5*8.2* H
2211 ** kkq
mk
k3333.01667.0*
1.0
2.0*
2
112
mGG 3.43333.0*5.51*1667.025.5*8.2* 2123
b) Pretok
mnvq 1**
skgradkv
1
111 **
smkq /10*3333.31667.0*10*2.0* 353
11
slsmqQ / 1333.0/10*3333.110*3333.3*4*4 345
195
196
3.2.20 Podtalnica teče skozi prepustno plast. Podan je nivo vode v dveh vodnjakih. Določi pretok in
silo precejnega pritiska na ploskev AB. Skica je narisana v merilu 1:200. Širina plasti je L.
H1 = 1 m
H2 = 1.2 m
k = 0.3 mm/s
L = 1 m
Rešitev:
a) Določitev pretoka
mn
H1059.0
17
8.1
mHHH 8.12.1212 21
slsmLkmQ / 1271.0/10*2706.11*10*3.0*1059.0*4*** 343
b) Sila na ploskev AB
točka ni I
m
zi m p
g
i
* [m]
Li [m] Fi [N]
A 3.5 2.6 2 0.63
0.75 5.7*103
4 4 2.58 1.66 0.92
1 10.6*103
5 5 2.47 1.22 1.25
0.8 10.8*103
6 6 2.36 0.86 1.5
0.7 11.0*103
7 7 2.26 0.55 1.71
0.62 10.9*103
8 8 2.15 0.27 1.88
0.5 9.5*103
9 9 2.05 0.046 2
0.1 2.0*103
B 9.3 2.015 0 2.015 SF 60.5*10
3
197
3.2.21 Pregrada AB zadržuje vodo, ki pronica skozi prepustno plast pod neprepustnimi zagatnicami
B-C-D-E-F. Podan je tlak v točki E. Določi H1 ter pretok , ki pronica pod zagatnicami v
področju prvih štirih tokovnic (po sliki). (Računajte na 1 širinski meter). Merilo 1:40.
m 0.6
m 1
m 0.8
DE
CD
BC
H2 = 1 m
k = 0.2 cm/s
PE = 26 kN/m2
= 103
kg/m3
Rešitev:
a) Višina H1
2.13n
12* HHn
mzg
pE
EE 6504.11
81.9*1000
10*26
*
3
EH *91
E
HHH
n
HHH
2.13*9*9 12
112
1
EHHH *2.13*9*9*2.13 121
mH
H E 044.32.4
1*96504.1*2.13
2.4
*9*2.13 21
b) Določitev pretoka
198
slsmn
HHkkn
skq / 3097.0/10*0969.3
2.13
044.31*10*2.0**** 34212
slqQ / 9291.03097.0*3*3
199
3.2.22 Pregrada AB zadržuje vodo, ki pronica skozi prepustno zemljino pod neprepustnimi
zagatnicami B-C-D-E-F. Določi sili na ploskvi B-C in C-D ter pretok, ki pronica pod
zagatnicami v področju prvih štirih tokovnic (slika). Sile in pretok računajte na širinski
meter. Merilo 1:40.
m 0.6
m 1
m 0.8
DE
CD
BC
H2 = 1 m
k = 0.2 cm/s
PE = 26 kN/m2
= 103
kg/m3
Rešitev:
a) Pretok pod pregrado
mHHH 21321
2.13n
mn
H1515.0
2.13
2
mns
kmnvSvq 1***1***
smmkq /10*303.01** 3
slsmqQ / 909.0/10*0909.910*303.0*3*3 43
71
200
3.2.23 Določi horizontalno silo vodnega pritiska na zagatno ceno, ki je zabita v prepustno plast.
Določi pretok, ki pronica pod zagatnico! (Vse na širinski meter L.). Merilo 1:200.
H1 = 5 m
H2 = 1 m
y = 4 m
d = 3 m
k = 0.1 mm/s
L = 1 m
Rešitev:
a) Pretok pod zagatnico
mHHH 41521
12n
mn
H3333.0
12
4
slsmkmQ / 1667.0/167.010*1.0*3333.0*5** 33
b) Horizontalna sila vodnega pritiska na zagatnico in njeno prijemališče
FL...sila z leve strani; FD...sila z desne strani (glej sliko)
iii
ii
ii hzg
p
g
pz
*
*
ii hg
p
*
201
mnHnHn
HHnH
nnn iiiiiiii 3333.0*5**** 1
211
01200
mHmH 1 ;5 21210
1 iii zzs (vertikalna površina)
mn
HHkonstH ii 3333.0
12
1521
5
1
1 *2
***i
i
ii
L shh
LgF
12
8
1 *2
***i
i
ii
D shh
LgF
DL FFF
Prijemališče
5) do 1(i *2
*3 1
1
1
ii
iii
iihh
hhszr ; 12) do 8(i
*2*
3 1
1
1
ii
iii
iihh
hhszr
L
i
ii
LF
rF
r
5
1
*
; D
i
ii
DF
rF
r
12
8
*
; F
rFrFr DDLL
F
**
Odčitamo in nato izračunane vrednosti zapišemo v tabeli: Slika Slika
ni zi pi hi Dsi Fi ri
FL,
FD
rL,
rD
F rF
[m] [m] [m] [m] [N] [m] [N] [m] [N] [m]
0 0 5 5.000 1.10 58087.9 0.563
FL=
24
74
92
.3
r L=
2.1
29
F=
10
24
47
.6
r F =
1.6
01
1 -1.10 4.667 5.767
0.99 59189.2 1.604
2 -2.09 4.333 6.423
0.81 52932.9 2.500
3 -2.90 4.000 6.900
0.70 48638.9 3.253
4 -3.60 3.667 7.267
0.40 28643.2 3.800
5 -4.00 3.333 7.333
0 0
6 -4.00 3.000 7.000
0 0
7 -4.00 2.667 6.667
0.45 27698.8 3.779
FD=
14
50
44
.6
r D=
2.5
02
8 -3.55 2.333 5.883
0.65 34378.9 3.235
9 -2.90 2.000 4.900
0.81 34390.7 2.513
10 -2.09 1.667 3.756
0.99 30053.5 1.630
11 -1.10 1.333 2.433
1.10 18522.8 0.627
12 0 1.000 1.000
202
Merilo 1:100
203
3.2.24 Skozi prepustno plast teče pretok Q na 1m širine ( na papir). Določi višino vode v
piezometru 1 (H1), če poznaš višino vode v piezometru 2 (H2)! Merilo 1:200
Q= 0.169 l/s
H2= 1.2m
k= 0.4mm/s
L= 1m ( na papir)
Rešitev:
a) Višina vode v piezometru 1
kLm
nQHkL
n
HmQ
**
* ***
slike iz 4
17
m
n
mH 7956.10004.0*1*4
17*10*169.0 3
mHzzHHHzHzH 9956.02.1247956.1 22112211
204
3.2.25 Podtalnica teče od leve proti desni med dvema neprepustnima plastema. Na podlagi podanih
tokovnic izriši ekvipotencialne črte in določi:
a) Pretok skozi prepustno plast na 1m širine ( na papir).
b) Vertikalno komponento sile na ploskev AB.
H1 = 1 m
H2 = 1.3 m
k = 0.3 mm/s
L = 1 m
Rešitev:
a) Pretok
vnq * ; qmQ *
smmvC /03.0 ; 241*4 mSC
slsmSvQ CC / 12.0/10*12.04*10*03.0* 333
b) H2
HHH 12
21 HzzH DC
skgradkv
'
** ; n
'
17n
na začetku
smmvs A /03.0*1
cmmk
sv101.0
10*3.0
1*10*03.0*3
3'
HmnCD 7.11.0*17* '
mHzzHH DC 3.17.120112
slsmLHn
mkQ / 12.0/12.01*7.1*
17
4*10*3.0*** 33
c) FV
BAV FFFFFFFF ,99,88,77,66,55,44,
2*cos* 4
4,4,
ppnF A
AA
mA 65.01.0*5.31*5.3 '
0
mA 6.0*5.0 '
4
0Az
mz 34.04
205
2*cos* 54
5,45,4
ppnF
2*cos* 65
6,56,5
ppnF
2*cos* 76
7,67,6
ppnF
2*cos* 87
8,78,7
ppnF
2*cos* 98
9,89,8
ppnF
2*cos* 9
,9,9B
BB
ppnF
m5.05
m4.06
m3.07
m2.08
m1.09
mD 07.01.0*3.01.0*3.0 '
9
mz 8.05
mz 15.16
mz 5.17
mz 75.18
mz 95.19
mzB 2
mnA 75.04,
mn 05.15,4
mn 8.06,5
mn 7.07,6
mn 6.08,7
mn 56.09,8
mn B 01.0,9
mABL 47.4
mzhg
pAAA
A 65.0065.0*
mzhg
p94.034.06.0
*444
4
mzhg
p3.18.05.0
*555
5
mzhg
p55.115.14.0
*666
6
mzhg
p8.15.13.0
*777
7
mzhg
p95.175.12.0
*888
8
mzhg
p05.295.11.0
*999
9
mzhg
pBBB
B 07.2207.0*
2*
2*
2*
2*
2*
2*
2*
*cos**9
,9
98
9,8
87
8,7
76
7,6
65
6,5
54
5,44
4,
B
B
AA
Vhh
nhh
nhh
n
hhn
hhn
hhn
hhn
gF
2
07.205.2*01.0
2
05.295.1*56.0
2
95.18.1*6.0
2
8.155.1*7.0
2
55.13.1*8.0
2
3.194.0*05.1
2
94.065.0*75.0
*984.0*81.9*103
VF
NFV 57.55692
206
3.3 Teorem o gibalni količini za stalni tok
207
3.3.1 Določi, s kolikšno silo (velikost in smer) moramo sidrati horizontalno koleno. Cev se v
točkah 1 in 2 nadaljuje.
Q = 100 l/s
d1 = 30 cm
d2 = 15 cm
= 30
p2 = 0.2 bar
Rešitev:
a) Velikost in smer sile
N
SpSpvvQFxxxxrx
07.18207496.24740786.306)4147.19007.4(*1.0*1000=
**** 112212
N
SpSpvvQFyyyyry
66.45907146.17608294.2*1.0*1000=
**** 112212
smd
Qv /4147.1
3.0*
4*1.0
*
4*22
1
1
0 ; /4147.1 111 yx vsmvv
smd
Qv /6588.5
15.0*
4*1.0
*
4*22
2
2
208
smvv x /9007.430cos*6588.5cos*22
smvv y /8294.230sin*6588.5sin*22
2
2
21
2
1
2*
2* p
vp
v
barmNvvpp 3501.0/54.350104147.16588.5*2
100010*2.0*
2
22252
1
2
221
Nd
pSpP 7496.24744
3.0**54.35010
4
***
22
11111
0 ; 7496.2474 111 yx PNPP
NSpP 4292.3534
15.0**10*2.0*
25
222
NPP x 0786.30630cos*4292.353cos*22
NPP y 7146.17630sin*4292.353sin*22
NFFF ryrxr 22.187766.45907.1820 2222
1736.14 2525.007.1820
66.459
rx
ry
F
Ftg
209
3.3.2 Določi smer in velikost sile, s katero moramo sidrati horizontalno koleno cevi, po kateri teče
Q vode. V točki B imamo iztok na prosto.
Q = 100 l/s
d1 = 30 cm
d2 = 15 cm
= 75
Rešitev:
a) Smer in velikost sile
N
SpSpvvQFxxxxxr
0432.1056
03.10614147.14646.1*1.0*1000**** 112212
NSpSpvvQFyyyyyr 6.5460466.5*1.0*1000**** 112212
smd
Qv x /4147.1
3.0*
4*1.0
*
4*22
1
1
01 yv
smd
Qv /6588.5
15.0*
4*1.0
*
4*22
2
2
smvv x /4646.175cos*6588.5cos*22
smvv y /466.575sin*6588.5sin*22
2222
1
2
212
2
21
2
1 55.150104147.1659.5*2
1000*
22*
2* mNvvpp
vp
v
xPNd
pSpP 1
22
11111 0332.1061
4
3.0**55.15010
4
***
01 yP
NFFF yrxrr 11.11896.54604.1056 2222
3658.27 51759.004.1056
6.546
xr
yr
F
Ftg
210
211
3.3.3 Določi silo vode na koleno cevi!
Q = 50 l/s
d1 = 20 cm
d2 = 10 cm
= 60
p1 = 0.4077 bar
Rešitev:
a) Sila na koleno
xxxxax SpSpvvQF 221121 ****
yyyyay SpSpvvQF 221121 ****
smd
Qv /5915.1
2.0*
05.0*4
*
*422
1
1
smd
dvv /3662.6
1.0
2.0*5915.1*
22
2
112
212
g
v
g
p
g
v
g
p
*2**2*
2
22
2
11
222
52
2
2
112 /28.21772
2
3662.65915.1*100010*4077.0
2
*mN
vvpp
222
11 0314.0
4
2.0*
4
*m
dS
2322
11 10*854.7
4
1.0*
4
*m
dS
smvv x /5915.111
01 yv
smvv x /1831.360cos*3662.6cos*22
smvv y /5133.560sin*3662.6sin*22
NSpSpx
83.12800314.0*40770** 1111
0* 11 y
Sp
NSpSpx
5.8560cos*10*854.7*28.21772cos*** 3
2222
NSpSpy
09.14860sin*10*854.7*28.21772sin*** 3
2222
NFax 06.16055.8583.12801831.35915.1*05.0*1000
NFay 75.42309.14805133.50*05.0*1000
NFFF ayaxa 06.166075.42306.1605 2222
7893.14 264.006.1605
75.423
ax
ay
F
Ftg
213
3.3.4 Curek premera d in hitrosti v pada na lopatico, ki je ukrivljena za kot proti horizontali in
pripeta na voziček mase m. Določi silo vozička na podlago, če:
a) Voziček miruje.
b) Voziček se oddaljuje od curka s hitrostjo vvoz. c) Voziček se približuje curku s hitrostjo vvoz.
V vseh treh primerih določi tudi absolutno hitrost vode (smer in velikost), ki odteka z
lopatice.
d = 10 cm
v = 6 m/s
m = 70 kg
= 60
vvoz = 4 m/s
Rešitev:
a) Voziček miruje
NvvQF yyay 86.2441962.50*0471.0*1000** 21
smvd
Q /0471.06*4
1.0**
4
* 322
01 yv
smvv y /1962.560sin*6sin*2
NgmFGFF ayayP 56.93181.9*7086.244*
60 ; /62 smvv
214
b) Voziček se oddaljuje od curka
smvvd
Q voz /0157.046*4
1.0**
4
* 322
smvvv voz /2461
01 yv
smvvv voz /2462
smvvvv vozyay /7321.160sin*46sin*22
NvvQF yyay 21.277321.10*0157.0*1000** 21
NgmFGFF ayayP 91.71381.9*7021.27*
smvvvv vozvozxa /5460cos*46cos*2
smvvv yaxa /2915.57321.15 222
2
2
221
19.1066= 3464.05
7321.1
2
2
xa
ya
v
vtg
c) Voziček se približuje curku
smvvd
Q voz /0785.046*4
1.0**
4
* 322
smvvv voz /10461
01 yv
smvvv voz /10462
smvvvv vozyay /6603.860sin*46sin*22
NvvQF yyay 17.6806603.80*0785.0*1000** 21
NgmFGFF ayayP 87.136681.9*7017.680*
smvvvv vozvozxa /1460cos*46cos*2
smvvv yaxa /7178.86603.81 222
2
2
221
83.4132= 6603.81
6603.8
2
2
xa
ya
v
vtg
215
3.3.5 Dva curka padata na ravno ploščo, ki je vrtljiva krog tečaja A. Na kolikšni razdalji l2 mora
delovati curek 2, da plošča miruje v navpični legi?
d1 = 0.1 m
v1 = 6 m/s
d2 = 0.2 m
v2 = 4 m/s
l1 = 1.2 m
Rešitev:
a) Sila curka na ploščo
NvQF 74.2826*0471.0*10000** 111
smd
vQ /0471.04
1.0**6
4
** 3
22
111
NvQF 65.5024*1257.0*10000** 222
smd
vQ /1257.04
2.0**4
4
** 3
22
222
b) Oddaljenost curka 2
0 AM
mF
lFllFlF 675.0
65.502
2.1*74.282* **
2
1122211
216
3.3.6 Na kvadratno ploščo z robom a in maso m, ki je obešena na tečaju O, udarja horizontalni
curek hitrosti v0 na razdalji l pod tečajem. Določi:
a) Potreben pretok Q, ki zadržuje ploščo v položaju, nagnjenem za kot proti vertikali.
b) Velikost in smer sile na tečaj O!
a = 1 m
m = 30 kg
d = 0.05 m
= 30
l = 0.6 m
= 1000 kg/m3
Rešitev:
a) Določitev pretoka Q
21** vvQF a
cos*1 vv
02 v
0M
2*sin**`*
agmFl a
2*sin**cos****
cos
agmvQ
l
2*sin**
*
4****
2
agm
d
QQl
217
sml
dagmQ /0155.0
4*1000*6.0*2
05.0**1*30sin*981*30
4***2
***sin** 322
b) Smer in velikost sile na tečaj O
0 OM
cos*
2*sin**
lN
agm
Nl
agmN 2.106
6.0*2
30cos*1*30sin*81.9*30
*2
cos**sin**
NNFOx 97.9130cos*2.106cos*
NgmNFOy 2.24181.9*3030sin*2.106*sin*
218
3.3.7 Gasilska cev je pritrjena na vrhu masivnega lesenega stebra višine H in širine l ( na papir),
ki nepritrjen stoji na tleh. Določi potrebno dolžino strebra pri dnu L, da se steber pri
maksimalnem pričakovanem iztoku iz cevi Qmax ne bo prevrnil! Preveri tudi možnost zdrsa!
Os cevi je na razdalji H1 od tal, v točki 2 je iztok na prosto!
d1 = 0.1 m
d2 = 0.03 m
H = 3 m
l = 0.5 m
H1= 3.2 m
Qmax = 20 l\s
l = 800 kg\m3 (gostota lesa)
k = 0.8 (koeficient trenja med stebrom in telmi)
Rešitev:
a) Določitev reakcijske sile na cev in s tem na steber
2601.89N=0.00785*397029.96+
29.2855.2*02.0*1000**** 221121max xxxxax SpSpvvQF
smpdp
Qv x 55.2
1.0*
24*02.0
*
4*22
1
max1
smd
Qv x 29.28
03.0*
4*02.0
*
4*22
2
max2
02 p
2222
1
2
212
2
21
2
1 96.39702955.229.28*2
1000*
2
2
*
2
*mNvvpp
vp
v
222
11 00785.0
4
1.0*
4
*m
dS
b) Možnost prevrnitve
*3
2***
2
**F 0**F 0 1ax1ax Lgl
LHHrGHM GA l*
mglH
H457.1
800*81.9*5.0*3
3*2.3*89.2601
2****
3*2**F=L 1ax
l
glLH
G **2
*l*
*3
2LrG
219
c) Preverimo še možnost zdrsa
F k G kH l
l g NH l * **
* * * . ** .
* . * * . .2
083 1457
205 800 9 81 6860 72 Fax
Zdrs ni kritičen.
220
3.3.8 Voda, ki teče po cevi, ima energijsko višino EC. Curek, ki brizga iz nje, pada na ploščo, ki se
pomika proti cevi s konstantno hitrostjo vpl. Določi silo (velikost in smer) curka na ploščo!
Določi absolutno hitrost vode, ki odteka s plošče!
EC = 1.835 m
vpl = 3 m/s
d = 10 cm
= 30
Rešitev:
a) Hitrost curka
Ev
gv g E m sC C
2
22 2 981 835 6
** * * . *1. /
b) Sila curka na ploščo
NvvQF xxax 23.857942.46*0707.0*1000** 21
NvvQF yyay 09.3185.40*0707.0*1000** 21
smd
vvQ pl /0707.04
1.0**36
4
** 3
22
smvv x /61
01 yv
smvvvv plplx /7942.4330cos*36cos*2
smvvv ply /5.430sin*36sin*2
NFFF ayax 31.32909.31823.85 2222
75= 7321.323.85
09.318
ax
ay
F
Ftg
c) Absolutna hitrost vode, ki odteka s plošče
smvvv yx /5753.65.47942.4 222
2
2
22
43.1868= 9386.07942.4
5.4
2
2
x
y
v
vtg
221
3.3.9 Voda, ki teče po cevi, pritrjena na obali, ima energijsko višino EC. Curek, ki brizga iz nje,
pada na lopatico, ki je pritrjena na lesenem plavaču valjaste oblike. Določi silo F na lopatico
ter izračunaj, za kakšen kot se plavač nagne (težo lopatice lahko zanemariš) !
d = 3 cm
EC = 2 m
a = 1 m
D = 1.7 m
b = 0.3 m
l = 600 kg/m3 (les)
v = 1000 kg/m3 (voda)
Rešitev:
a) Hitrost in pretok iz cevi
smEgvg
vE CC /2642.62*81.9*2**2
*21
2
1
smd
vQ /10*4278.44
03.0**2642.6
4
** 33
22
1
b) Sila na lopatico
NvvQF xxax 47.552642.62642.6*81.9*1000** 21
smv x /2542.61
smv x /2642.62
c) Globina potopitve
GW
mahghD
ghD
v
llv 6.0
1000
600*1* ***
4
****
4
* 22
222
d) Kot nagiba
sin*** GCW MCGyabF
3552.2 04109.0
101.0*05.13360
3.013.0*4742.55
*
*sin
G
CW
MCG
yabF
mCCMCMC GWWG 101.02.0301.0
mP
JMCW 301.0
3619.1
41.0
444
41.064
7.1*
64
*m
DJ
322
3619.16.0*4
7.1**
4
*mh
DP
myyCC CWCGGW 2.03.05.0
ma
yCG 5.02
1
2
mh
yCW 3.02
6.0
2
NaD
gG l 05.133601*4
7.1**81.9*600*
4
***
22
223
3.3.10 Voda izteka po cevi z odsekoma različnimi premeri na prosto. Curek pada na horizontalno
ploščo, ki se premika proti cevi s konstantno hitrostjo vpl.
a) Določi maksimalno možno višino H, pir kateri voda še izteka iz posode in izriši tlačno in
energijsko črto,
b) Določi silo (smer in velikost) curka na ploščo,
c) Določi absolutno hitrost (smer in velikost vode, ki odteka iz plošče!
vpl = 3 m/s
d1 = 0.1 m
d2 = 0.3 m
d3 = 0.2 m
= 30
Rešitev:
a) Maksimalna višina
g
v
g
pz
g
v
g
pz
*2**2*
2
111
2
000
g
vH
*210000
2
1
10*2
2
1 Hg
v
g
v
g
pz
g
v
g
pz
*2**2*
2
333
2
000
g
vH
*20000
2
3
Hg
v
*2
2
3
3
2
3
2
1
331
2
3
2
1
2
3
2
1
*41.0
2.0** 10
*2*2
*2
10*2
vvd
dvv
g
v
g
v
Hg
v
Hg
v
smg
vg
v/6166.3
15
81.9*2*10
15
*2*10 10161*
*23
2
3
mg
vH 6667.0
81.9*2
6166.3
*2
22
3max
224
b) Sila curka
NvvQF xxxa 27.1847302.56166.6*2079.0*1000** 21
NvvQF yyya 69.6873083.30*2079.0*1000** 21
smd
vvQ pl /2079.04
2.0**36166.3
4
** 3
22
33
smvvv plx /6166.636166.331
01 yv
smvvv plx /7302.530cos*36166.3cos*32
smvvv ply /3083.330sin*36166.3sin*32
NFFF yaxaa 95.71169.68727.184 2222
75 7321.327.184
69.687
xa
ya
F
Ftg
c) Absolutna hitrost curka vode
smv ya /3083.32
smvvv plxxa /7302.237302.522
smvvv yaxaa /2894.47302.23083.3 222
2
2
22
469.50 2112.17302.2
3083.3
2
2
xa
ya
v
vtg
225
3.3.11 Vodo iz rezervoarja preko natege dovajamo na horizontalno ploščo, ki se odmika s hitrostjo
vpl. Določi:
a) Iztok iz rezervoarja Q in minimalni dopustni premer d1, da še ne pride do kavitacije (izriši
tudi potek tlačne in energijske črte).
b) Velikost in smer curka na ploščo!
a = 1 m
b = 2 m
d2 = 0.2 m
= 20
vpl = 1.5 m/s
Rešitev:
a) Iztok iz rezervoarja in določitev dopustnega premera d1
g
v
g
pz
g
v
g
pz
*2**2*
2
222
2
000
g
vb
*20000
2
2
smbgg
vb /2642.62*81.9*2**2 v
*22
2
2
slsmd
vQ / 8.196/1968.04
2.0**2642.6
4
** 3
22
22
g
v
g
pz
g
v
g
pz
*2**2*
2
111
2
000
g
va
*210000
2
1
226
smagag
v/2883.13110*81.9*210**2 v 10
*21
2
1
mv
QdvQ 1373.0
*2883.13
1968.0*4
*
*4d
4
**
1
1
2
11
b) Sila curka
smd
vvQ plpl /1497.04
2.0**5.12642.6
4
** 3
22
22
NvvQF xxplax 00.434769.47642.4*1497.0*1000** 21
NvvQF yyplay 88.2436294.10*1497.0*1000** 21
smvvv plx /7642.45.12642.621
smvvv plx /4769.420cos*5.12642.6cos*22
01 yv
smvvv ply /6294.120sin*5.12642.6sin*22
NFFF ayaxa 64.24788.24300.43 2222
80 6713.500.43
88.243
ax
ay
F
Ftg
227
3.3.12 Z hidravlični sistem na sliki določi (vodo upoštevanj kot idealno tekočino):
a) Nariši tlačno in energijsko črto in označi vrednosti,
b) Pretok ter maksimalno dopustno višino kolena z1, ki ta pretok še omogoča,
c) Velikost in smer sile curka na ploščo, ki se približuje cevi s hitrostjo vpl!
H = 4 m
z2 = 1 m
d1 = 0.14 m
d2 = 0.2 m
vpl = 2 m/s
= 30
Rešitev:
a) Tlačna in energijska črta
b) Pretok, ter višina kolena
g
v
g
pz
g
v
g
pz
*2**2*
2
222
2
000
g
vzH
*2000
2
22
smzHgvzHg
v/672.714*81.9*2**2
*2222
2
2
smd
vQ /241.04
2.0**762.7
4
** 3
22
22
228
g
v
g
pz
g
v
g
pz
*2**2*
2
111
2
000
g
vzH
*21000
2
21
smd
dvv /6572.15
14.0
2.0*762.7*
22
1
221
mg
vHz
g
vzH 5052.1
81.9*2
6572.15410
*210
*210
22
21
2
21
c) Velikost in smer sile curka na ploščo
NvvQF xxxa 74.3933762.8672.9*3039.0*1000** 211
NvvQF yyya 45.1469836.40*3039.0*1000** 211
smd
vvQ pl /3039.04
2.0**2672.7
4
** 3
22
221
smvvv plx /672.92672.721
smvvv plx /3762.830cos*2672.7cos*22
smvvv ply /836.430sin*2672.7sin*22
NFFF ayaxa 29.152145.146974.393 2222
75 7321.374.393
45.1469
ax
ay
F
Ftg
229
3.3.13 Pretok Q vode (idelana tekočina) izteka po cevi z odsekoma različnimi premeri na prosto, pri
čemer curek pada na ploščo, ki se približuje s hitrostjo vpl. Na cev 2 priključen piezometer
kaže višino vode hS. Določi:
a) Višino vode v rezervoarju.
b) Premer cevi d2 in minimalni premer d1, da je Q še možen.
c) Izriši tlačno in energijsko črto.
d) Določi silo (smer in velikost ) curka na ploščo!
d3 = 0.2 m
Q = 114 l/s
hS = 0.54 m
= 30
vpl = 2 m/s
Rešitev:
a) Višina vode v rezervoarju
smd
Qv /6287.3
2.0*
4*114.0
*
4*22
3
3
g
v
g
pz
g
v
g
pz
*2**2*
2
333
2
000
g
vH
*20000
2
3
mg
vH 6711.0
81.9*2
6287.3
*2
22
3
230
b) Premer cevi 2 in 1
smghHvg
vhH SS /604.181*.9*2*54.06711.0*2*
*22
2
2
mv
Qd 3008.0
604.1*
4*114.0
*
4*
2
2
10*2
2
1 Hg
v
smHgv /4695.14106711.0*81.9*210**21
mv
Qd 1002.0
4695.14*
4*114.0
*
4*
1
1
c) Sila curka na ploščo
NvvQF xxax 35.1338746.46329.5*1768.0*1000** 21
NvvQF yyay 67.4978144.20*1768.0*1000** 21
smvvd
Q pl /1768.026329.3*4
2.0**
4
* 32
3
2
3
smvvv plx /6329.526329.331
smvvv plx /8746.430cos*26329.3cos*32
01 yv
smvvv ply /8144.2sin*26329.3sin*32
NFFF ayax 23.51567.49735.133 2222
75= 7321.335.133
67.497
ax
ay
F
Ftg
231
3.3.14 Voda izteka pri A na prosto. Iztekajoči curek pada na horizontalni zid, katerega kraka
oklepata kot .
a) Izriši energijsko in tlačno črto ter označi vrednosti.
b) Določi pretok iz sistema.
c) Določi maksimalno dopusten dvig cevi od horizontalne lege (H1).
d) Določi velikost in smer sile curka na zid!
H = 5 m
d1 = 0.2 m
d2 = 0.3 m
d3 = 0.25 m
= 120
Rešitev:
a) Izris energijske in tlačne črte ter označitev vrednosti
b) Pretok iz sistema
prerez 0-0 in A-A
g
v
g
pz
g
v
g
pz A
A*2**2*
2
3
2
000
smHgvg
vH 9045.95*81.9*2**2
*20000 3
2
3
slsmd
vQ 2.4864862.04
25.0**9045.9
4
** 3
22
33
232
c) Maksimalno dopusten dvig cevi od horizontalne lege (H1)
prerez 0-0 in B-B, upoštevamo kavitacijo:p
gmB
* 10
smd
Qv
dvQ 4759.15
2.0*
4*4862.0
*
4*
4
**
22
1
1
2
11
g
v
g
pz
g
v
g
pz B
B*2**2*
2
1
2
000
g
vHH
*21000
2
11
mg
vHH 793.2
81.9*2
4759.15105
*210
22
11
d) Velikost in smer sile curka na zid
NvvQF xxax 8.2407)9523.49045.9(*4862.0*1000)(** 21
NvvQF yyay 3.4170 )776.80(*4862.0*1000)(** 21
0 v; 9045.9 1y31 smvv x
smvv x 9523.460cos*9045.9)180cos(*32
smvv y 5776.860sin*9045.9)180sin(*32
5.48153.41708.2407 2222 NFFF ayaxa
60= 7321.18.2407
3.4170=tg
ax
ay
F
F
233
3.1.15 Voda izteka iz cevi 3 na prosto. Curek pada na ploščo, ki se oddaljuje s hitrosrjo vpl. Določi:
a) Potrtebni tlak v hidroforju, da bo iz njega tekel pretok Q.
b) Maksimalen možen pretok, če ustreno povečamo tlak v hidroforju. Koliko ta znaša?
c) Nariši tlačno in energijsko črto za oba primera.
d) Določi smer in velikost sile curka na ploščo pri pretoku Q iz sistema!
d1 =d2 = 3 cm
d2 = 2 cm
H = 2 m
Q = 3 l/s
a = 1.5 m
= 60
vpl = 1.5 m/s
Rešitev:
a) Prerez 0-0 in 3-3
g
v
g
pz
g
v
g
pz
*2**2*
2
333
2
000
g
va
g
pH n
*200
*0
2
3
*2*
2
3 g
va
g
pH n
barmNgg
vHa 4101.0/33.410181.9*1000*
81.9*2
2441.425.1**
*2p 2
22
3n
smd
Qv /2441.4
03.0*
4*003.0
*
4*22
3
3
Kontrola podtlaka (prerez 0-0 in 2-2)
234
smd
Qv /5493.9
02.0*
4*003.0
*
4*22
2
2
g
v
g
pa
g
pH n
*2**
2
22
mg
v
g
paH
g
p n 7297.381.9*2
5493.9
81.9*1000
33.4101152
*2**
22
22
b) Maksimalni možni pretok
g*2
v10
g*2
v ;
*10
*2
2
3
2
2max
2
2 g
paH
g
v
smv
v/9495.6 81.9*2*10v*4.0625 10=
g*2
v
g*2
*25.23
2
3
2
3
2
3
smvd
dvv /6363.159495.6*25.2
02.0
03.0**
2
3
2
2
332
mHag
v
g
p9615.1215
81.9*2
9495.6
*2*
22
3max
barmNgp 1924.0/69.1924281.9*1000*9615.1**9615.1 2
max
c) Smer in velikost sile curka na ploščo
NvvQF xxax 66.23721.17441.2*00194.0*1000** 21
NvvQF yyay 61.43765.20*00194.0*1000** 21
smd
vvQ pl /00194.04
03.0**5.12441.4
4
** 3
22
33
smvvv plx /7441.25.12441.431
smvvv plx /3721.160cos*5.12441.4cos*32
01 yv
smvvv ply /3765.260sin*5.12441.4sin*32
NFFF ayax 32.561.466.2 2222
60= 7321.166.2
61.4
ax
ay
F
Ftg
235
3.3.16 Vodo (obravnavaj jo kot idealno tekočino) s pomočjo črpalke Č dovajamo na horizontalno
lopatico, ki miruje.
a) Izriši tlačno in energijsko črto.
b) Določi maksimalen pretok, ki ga lahko črpamo in moč črpalke.
c) Pri Qmax določi silo curka (velikost in smer) na lopatico!
H = 6 m
d = 0.2 m
= 60
= 0.85 (izkoristek črpalke)
Rešitev:
a) Tlačna in energijska črta
b) Maksimalni pretok in moč črpalke
g
v
g
pz
g
v
g
pz Č
Č*2**2*
22
00
0
g
vH
*210000
2
236
smHg
v/8589.8610*81.9*2H-10*g*2= v 10
*2
2
kWWEQg
P 1203.3229.3212085.0
10*2783.0*81.9*1000***
mg
vHE 10
81.9*2
8589.86
*2
22
l/s 3.2782783.04
2.0**8589.8
4
** 3
22
max smd
vQ
c) Smer in velikost sile na lopatico
NvvQF xxax 28.36984294.48589.8*2783.0*1000** 21
NvvQF zzaz 2.2135672.70*2783.0*1000** 21
0 ; /8589.8 11 zx vsmvv
smvv x /4294.460cos*8589.8cos*2
smvv z /672.760sin*8589.8sin*2
NFFF azaxa 41.42702.213528.3698 2222
30= 5774.028.3698
2.2135
ax
az
F
Ftg
237
3.3.17 Vodo s črpalko Č izkoristka dovajamo na lopatico podane oblike, ki se odmika s hitrostjo
vL. Določi:
a) Energijsko in tlačno črto.
b) Maksimalni pretok, ki ga lahko zagotavlja črpalka in njeno potrebno moč pri tem.
c) Silo curka na lopatico in absolutno hitrost vode, ki z lopatice odteka!
H = 7 m
a = 2 m
d1 = 0.1 m
d2 = 0.08 m
vL = 10 m/s
= 0.8
Rešitev:
a) Energijska in tlačna črta
b) Določitev pretoka in moči črpalke
g
v
g
pz
g
v
g
pz
*2**2*
2
111
2
000
g
vaH
*21000
2
1
238
smaHgg
vaH /1552.171027*81.9*210**2 v
*210 1
2
1
smd
vQ /1347.04
1.0**1552.17
4
** 3
22
11max
smd
dvv /805.26
08.0
1.0*1552.17*
22
2
112
kWWEQg
P 245.5254.522448.0
6211.31*1347.0*81.9*1000***
mEEE
mHE
mg
vaE
6211.3176221.38
7
6211.3881.9*2
805.262
*2 12
1
22
22
b) Sile curka in absolutna hitrost odtekajoče vode
NvvQF xxa 06.2839805.16805.16*08447.0*1000** 21
smvvd
Q l /08447.010805.26*4
08.0**
4
* 32
2
2
2
smvvv Lx /805.1610805.2621
smvv xx /805.1612
smvvv lxxa /805.610805.1612
239
3.3.18 V pravokotnem kanalu širine b ( na papir) teče pretok Q. S pomočjo impulznega stavka
določi silo na zapornico, če je globina vode pred zapornco H1, za zapornico pa H2.
b = 20 cm
H1 = 60 cm
H2 = 5 cm
Q = 34 l/s
Rešitev:
a) Določitev sile na zapornico
xxxxx vvQPPvvQF 1221x12 **F- ; **
2112a **F :silo aktivno za PPvvQ xx
smbH
Qv x /2833.0
2.0*6.0
034.0
*1
1
smbH
Qv x /4.3
2.0*05.0
034.0
*2
2
NH
bgP 16.3532
6.0*2.0*81.9*1000
2***
22
11
NH
bgP 4525.22
05.0*2.0*81.9*1000
2***
22
22
NFa 74.2444525.216.3534.32833.0*034.0*1000
240
4. TOK REALNE TEKOČINE
241
4.1 Dinamična podobnost
242
4.1.1 Parametre vala, ki bi nastal po porušitvi pregrade, raziskujemo na hidravljičnem modelu v
laboratoriju. Pregrada je v naravi LN gorvodno od mesta, na modelu pa je ta razdalja LM. Na
modelu porušimo pregrado in izmerimo parametre v mestu: višino vode HM, hitrost vM,
pretok QM in čas potovanja vala od pregrade do mesta TM. Določi parametre za naravo(HN,
vN, QN in TN) in izračunaj potrebno višino pregrade na modelu, če je v naravi visoka HprN.
Upoštevaj Froudovo modelno podobnost!
LN= 3 km
vM= 0.5 m/s
HprN= 60 m
QM= 4 l/s
LM= 10 m
TM= 25 s
HM= 2 cm
Rešitev:
a) Modelno merilo
L
L
N
M
3000
10300
b) Froudova modelna podobnost
F FrN rM
- Hitrost:
v
g L
v
g L
v
v
L
L
N
N
M
M
N
M
N
M
2 2
* *
- Čas
L
T
L
T
L T
L T
T
T
N
N
M
M
N M
M N
N
M
*
*
- Pretok
Q
S
Q
S
Q
L
Q
L
Q
Q
L
L
Q
Q
N
N
M
M
N
N
M
M
N
M
M
N
N
M
2
2
2
2* * 25
2
243
Številčne vrednsoti
cmmH
HH
H prN
prM
prM
prN202.0
300
60
smvvv
vMN
M
N /6603.8300*5.0 * 21
smQQQ
QMN
M
N /3829.6235300*004.0 * 325
25
25
ssTTT
TMN
M
N 13min7013.433300*25 * 21
mHHH
HMN
M
N 602.0*300 *
244
4.2 Upor teles v toku
245
4.2.1 Kolikšna je sila vetra hitrosti v na steber višine L ter kvadratnega prereza s stranico a
(koeficient upora odčitaj iz tabel)? Določi dimenzije stebra ter potrebno hitrost vode na
modelu, če bi želeli koeficient upora stebra c določiti na fizičnem modelu z vodo v merilu
1:5 (=5)! Upoštevaj Reynoldsovo modelno podobnost! (dinamičen koeficient
viskoznosti).
v = 10 m/s
L = 10 m
a = 1.5 m
z = 1.27 kg/m3 (zrak)
v = 1000 kg/m3 (voda)
z = 1.778*10-5
kg/ms (zrak)
v = 1*10-3
kg/ms (voda)
Rešitev:
a) Sila upora za zrak
Nv
SCF z 19052
10*27.1*15*0.2
2
***
22
410 )366 , ( 0.2 eRtabelaRajarSkriptaC
OKav
Rz
ze 10 10*0714.1
10*778.1
27.1*5.1*10** 46
5
21510*5.1* mLaS
b) Hitrost vode na modelu
****
z
zNN
v
vMMeNeM
avavRR
sma
avv
vMz
vzNN
M /5714.31000*3.0*10*778.1
10*1*27.1*5.1*10
**
***5
3
ma
aa
a NM
M
N 3.05
5.1
mL
LL
L NM
M
N 25
10
![Mehanika I [statika] - Skripta Resenih Zadataka](https://img.dokumen.tips/doc/110x75/552da4a34a795978658b46d8/mehanika-i-statika-skripta-resenih-zadataka.jpg?t=1695802723)
