Embed Size (px)
Citation preview
8/20/2019 Zbirka Detaljno Resenih Zadataka Za 2 Rezred
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-detaljno-resenih-zadataka-za-2-rezred 1/17
ZBIRKA DETALJNO DETALJNO DETALJNO DETALJNO REŠENIH
ZADATAKA ZA II RAZRED
VLADIMIR BEČEJACOva zbirka ima cilj da se brže i lakše shvate zadaci iz oblasti predviđene planom i programom zaII razred. Skoro svi zadaci iz zbirke su detaljno rešeni. Zbirka će biti u potpunosti gotova nakraju školske godine kada budu pređene sve oblasti. Zelenom bojom su šrafirani zadaci kojemogu rešiti svi učenici (oni su uglavnom za ocene 2 i 3), žutom bojom su šrafirani zadaci zaocene 4 i 5, sa crvenom bojom su označeni za 4 i 5, ali za njihov rad je potrebno malo višerazmišljanja i truda. Tamno zelenom bojom su označena rešenja zadataka. Plavom bojom suoznačene neke pomoćne stvari koji bi pomogle u rešavanju zadatka. Ljubičastom bojom su
označeni predlozi za kontrolne zadatke. Zadaci su uglavnom uzimani iz «Zbirke rešenihzadataka iz matematike 2» mr Venea T. Bogoslavova; i «Zbirke rešenih zadataka za drugi razredsrednjih škola» (treće izdanje) dr Dušana Georgijevića i dr Milutina Obradovića.
OBLAST I: STEPENI I KORENI OBLAST I: STEPENI I KORENI OBLAST I: STEPENI I KORENI OBLAST I: STEPENI I KORENI
1.1.1.1. Izračunaj:
2
0
2
1
3
2
3
23
2
152
233
2
−
−
−
−
−
−
⋅+
⋅+
−
.
Rešenje: 24
3
2121
8
3
21
8
21
4
34
21
8
3
4
9
9
4
13
54
1
8
3
9
4
1
3
2
13
152
1
8
13
3
2
1
3
23
2
152
233
2 11
1
2
2
1
2
2
0
2
1
3
2
==
=
+
=
−
+
+
=
−
⋅+
⋅+
=
−
⋅+
⋅+
−
−−
−
−
−
−
−
−
−
.
2.2.2.2. Uprosti izraz: ( ) ( ) ( )3242336334 −−−−−− ⋅⋅⋅⋅ xy y x xy y x y x .
Rešenje:
( ) ( ) ( ) 261168363312334638123363343242336334 −−−−−−−+−−−−−−−−−−−−−−−−− ===⋅⋅⋅⋅ y x y x y x y x y x y x y x xy y x xy y x y x
8/20/2019 Zbirka Detaljno Resenih Zadataka Za 2 Rezred
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-detaljno-resenih-zadataka-za-2-rezred 2/17
3.3.3.3. Uprosti izraz:4
12
665
3
25
−
−
−
x
y z
z
y x.
Rešenje:23
149
23
24910
48
2424
15
10254
12
665
3
25
x
y z
x
y z y
x
y z
z
y x
x
y z
z
y x −−−−
−
−−
−
−
==⋅=
4.4.4.4. Uprosti izraz:
bab
a
b
a6
2
3
13
2
3 30:
5
9:
5
3−
−
−
−−
−
−
.
Rešenje :
abaab
bba
a
b
a
b
a
ba
b
ab
ab
a
b
a
b
a
b
a
b
b
a
b
ab
a
b
a
b
a
bab
a
b
a
=⋅⋅
⋅⋅=
=⋅⋅=⋅
=⋅
=
=⋅
=⋅
⋅
⋅
⋅
⋅=
−−
−−−−
−
−
−
−−
−
−
626
69
62
6
9
6623
3
3
26
23
3
3
2
6
2
3
3
2
36
2
3
3
2
3
6
2
3
13
2
3
302527
81125
3025
81
125
27
1
30
59
1:
53
1
305
9:
5
3
305
9
:5
3
30
1
15
19
:1
5
13
30:
5
9:
5
3
5.5.5.5. Uprosti izraz :( ) ( ) 1
1
12
1
12
12 −
−−
−+ −− x x x aaa
.
Rešenje :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 2
1
12
1
12
21
1112
1
1112
11
11212
1
11
1
12
1
12
1
1
1
12
1
12
1
2
2
2
22
2
22
2
2
2
2
2
2
=−
−=
−
+−−=
−+
−+
−−−=
−+
−+
+−−=
=−
−−
−+
=
−
−
−−
+=
−−
−−
+ −−
x
x
x
x x
x
x
x x
x x x
x
x
x x
x x x
x
x
x
x
x
x x
x x x x x
a
a
a
aa
a
a
aa
aaa
a
a
aa
aaa
a
a
a
a
a
aa
aaaaa
6.6.6.6. Uprosti izraz :11
111
111
11
11
2 −−
−−−−−−
−−
−− −−
++
+
+
y x
x y y x
yx xy
x y.
Rešenje :
( )
( ) y y x y x y x
y x
y x
y x y x
xy
y x
y x y x
xy
y x
y x
y x
ab
ab
ba
xy
y x
xy
y x
xy
y x
xy
x y y x
x y
y x
x y
y x
x y y x
yx xy
x y
2
2
212
1
11
2
1111
2
2
2211
22
11
22
11
11
111
111
11
11
=+−+=+−+
+=
=+−+
++
+=−−
++
+
+=
−
−
+
+
+
+
=
=
−
−
+
+
+
+
=−
−
++
+
+
−−
−−
−−
−−
−−−−−−
−−
−−
8/20/2019 Zbirka Detaljno Resenih Zadataka Za 2 Rezred
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-detaljno-resenih-zadataka-za-2-rezred 3/17
7.7.7.7. Izračunaj: ( )( )19521952 +− .
Rešenje: ( )( ) ( ) ( ) 1192019521952195222
=−=−=+−
8.8.8.8. Dokazati da je A i B jednako:2
121
a
a A
−−=
( )( )2
31319
a
aaaa B
+−−−+= .
( )a
a
a
a
a
aa
a
a
A
111212
1 2
2
2
2
2
−=
−=
+−=
−−=
( )( ) ( )( )
a
a
a
aa
a
aaaa
a
aaa
a
aaaa B
1
12124891412931319
2
2
2
22
2
2
2
−=
=+−
=++−−
=−−−+
=+−−−
+=
9.9.9.9. Racionališi:7
1
Rešenje:7
7
7
7
7
1=⋅
10.10.10.10. Racionališi:4 25
10
Rešenje: 525
510
5
5
5
10
5
10
25
10
4 24==⋅==
11.11.11.11. Racionališi:32
1
+.
Rešenje: 3234
32
32
32
32
1−=
−
−=
−
−⋅
+
12.12.12.12. Racionališi:1
11+
+−+a
aa .
Rešenje:
( )( )
( )
( )11
1
11)1(
1
)1(11
1
111
1
111
1
1
1
112
−+=+
−++=
=+
+−+⋅+=
+
−−+++=
+
+⋅+−+=
+
+⋅
+
+−+
aa
aa
a
aaa
a
aaaa
a
aaa
a
a
a
aa
13.13.13.13. Racionališi:11 ++a
a.
Rešenje: ( ) 1111
11
1
11
11
11−+=
−+=
−+
−+=
−+
−+⋅
++ a
a
aa
a
aaa
a
a
a
a
14.14.14.14. Racionališi12
43 −
.
Rešenje:( )( )
( )( )
( ) ( )124412
1244
12
1244
122
122
12
4 3333
33
3
33
32
3
32
3
3++=
−
++=
−
++=
++
++⋅
−
8/20/2019 Zbirka Detaljno Resenih Zadataka Za 2 Rezred
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-detaljno-resenih-zadataka-za-2-rezred 4/17
15.15.15.15. Racionališi:7 2
1
x.
Rešenje: x
x
x
x
x
x
x
7 5
7 7
7 5
7 5
7 5
7 2
1==⋅
16.16.16.16. Racionališi:532
1
++.
Rešenje:( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )12
6532
62
6532
6
6
62
532
53622
532
532
532
532
532
532
122
−+=
⋅
−+=
=⋅−+=−++
−+=−+
−+=−+−+⋅
++
17.17.17.17. Skrati razlomak:812
2030
−
−.
Rešenje:
) )
2
10
4
104106
4
160240240360
812
8122030
812
812
812
2030
=
=−
=−+−
=−
+−=
+
+⋅
−
−
18.18.18.18. Izvrši naznačene operacije:422
454 2 11
121
x x x
x x x x −⋅
−
+⋅++
Rešenje:
( )
1
1111
11
11
121
4
45
4
2
2
45
4 2
422
454 2
+=
=+⋅+=+
⋅+=−
⋅−
+⋅+=−⋅
−
+⋅++
x
x x x
x x x
x
x
x
x x x
x x x
x x x x
19.19.19.19. Uprosti izraz:b xa
xab xax xaa 2:
)(81264
2
32023
−+
−+−
Rešenje:
( )( )
442
2
2
3
42
2
2
3
42
320232
2)(
)2(2:
)(
)2(2:
)(
8126
xa
xa
xa
b
xab
xa
b
xa
xab
xa
b
xa
xab
xax xaa
+
−=
−⋅
+
−=
−
+
−=
−
+
−+−
20.20.20.20. Korenovati sledeći koren: 5 4 32
Rešenje: 420 5205 4 223232 ===
21.21.21.21. Izračunaj:
−
+
−−− 2
1
2
12
1
3
2
8
1
9122716 .
Rešenje:
( )( ) ( )( )
792
32323232
9
1
12272
9
122716 3 33
1
8 42
1
2
12
1
3
2
8
1
−=−=
=−+=−+=
−
+=
−
+
−−−
8/20/2019 Zbirka Detaljno Resenih Zadataka Za 2 Rezred
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-detaljno-resenih-zadataka-za-2-rezred 5/17
22.22.22.22. Izračunaj:2
1
2
1
2
1
2
1
ba
ba
ba
ba
−
−+
+
−
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )a
ba
bababa
baba
baba
baba
baba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
2
2
1
2
1
2
1
2
1
=−
−++−=
−+
+−+
−+
−−=
=+
+⋅
−
−+
−
−⋅
+
−=
−
−+
+
−=
−
−+
+
−
23.23.23.23. Obavi naznačene operacije:2
2
2
2
222
2
+
−⋅
−+
+−
+
a
a
aaa
a
a
a.
Rešenje:
( )
2
2
2
2
)2(2
)2(2
2
2
)2(2
42
)2(222422222
)2(22)222()22()2)(222(
2)2(
222
)2(2
22
2
222
2
2
2
222
42
22
2
22
2
2
2
2
2
2
22
22
222
2
2
2
2
2
2
2
222
2
2
22
2
−
−=
+
−⋅
−
+=
+
−⋅
−
+=
− +−−−+=− ⋅++−−−+=
+
−⋅
−
++
−
−−
+=
+
−⋅
−
++
−
−−
+=
+
−⋅
+
+⋅
−+
−
−⋅
+−⋅
+=
+
−⋅
−+
+−
+
a
a
a
a
aa
aa
a
a
aa
aa
aaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaa
a
a
aa
aa
a
aaa
a
aaa
a
a
aa
aa
a
aaa
a
aa
a
a
aa
aa
aaa
a
a
a
a
a
a
a
a
a
aaa
a
a
a
24.24.24.24. Izračunati vrednost izraza 122 −− x x za 21+= x .
Rešenje: ( ) ( ) 0122222211212212
=−−−++=−+−+
25.25.25.25. Izračunaj: 1528246 −+− .
Imati u vidu da je Legranžeova formula: 22
22
B A A B A A B A −−
±−+
=± .
Rešenje: Primenom gore navedene formule dobijamo:
352235242
28
2
28
2
26
2
26
2
60648
2
60648
2
32366
2
323661528246
−+−=−+−=−
−+
+−
−+
=
=−−
−−+
+−−
−−+
=−+−
26.26.26.26. Izračunaj: 5724057240 +−− .
Rešenje: Kako je 57240 <
možemo napisati( ) ( )
10245524
2452455724024057572405724022
−=−−−=
=+−−=+−−=+−−
8/20/2019 Zbirka Detaljno Resenih Zadataka Za 2 Rezred
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-detaljno-resenih-zadataka-za-2-rezred 6/17
27.27.27.27. Uprosti izraz:
42
4
4
22
2
+
−
+
a
aa
a
Rešenje:
( ) ( )
( )2
2
4
4
2
4
4
4
16168
4
44
4
4
44
4
4
4
2
4
4
2
2
22
2
224
2
22
2
22
2
2
22
2
22
2
=+
+=
+
+=
=++−
+=
+⋅−
+=
+−
+=
+
−
+
a
a
a
a
aa
a
aaa
a
a
a
aa
a
a
aa
a
28282828.... Uprosti izraz:244
244
−−+
+−−
x x
x x.
Rešenje:
( )
( ) 4
224
224
224
224
224
24444
24444
244
244
2
2
−
+−−=
−+−
+−−=
−+−
+−−=
−−−++
++−−−=
−−+
+−−
x
x
x
x
x
x
x x
x x
x x
x x
Dati izraz je jednak
≥
<<−
−−
=−
+−−
81
844
44
4
224
x
x x
x
x
x
29.29.29.29. Izračunati vrednost izraza da datu vrednost x:
))(())((
))(())((
b x xab x xa
b x xab x xa
−−−++
+++−− za ab x =
Zamenom x u izraz dobijamo:
44
4
44
44
2
2
)(
)(
)()(
)()(
)()(
)()(
)()()()(
)()()()(
))(())((
))(())((
))(())((
))(())((
b
a
b
a
babaab
babaab
baabbaab
baabbaab
baabbaab
baabbaab
babbaababbaa
babbaababbaa
babababababa
babababababa
b x xab x xa
b x xab x xa
==+−+
++−=
−−+
++−=
=−−+
++−=
−−−++
+++−−=
=−−−++
+++−−=
−−−++
+++−−
30.30.30.30. Uprosti izraz:
2
2
2
2
2
2
2
2
+
−−
−
+
+−+
−+
a
a
a
a
a
a
a
a
Rešenje:24
2
22
22
22
2222
22
2222
2
2
2
2
2
2
2
2
aa
aa
aa
aa
aaaa
aa
aaaa
a
a
a
a
a
a
a
a
==+−+
−++=
+⋅−
−⋅−−⋅+⋅+
+⋅−
−⋅−++⋅+
=
+
−−
−
+
+
−+
−
+
8/20/2019 Zbirka Detaljno Resenih Zadataka Za 2 Rezred
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-detaljno-resenih-zadataka-za-2-rezred 7/17
31.31.31.31. Obavi sledeće operacije: ( )313 23 2
: −⋅
x x x x
Rešenje: ( ) 66 96 46 533 23 53
13 23 2 ::: x x x x x x x x x x x =⋅=⋅=⋅
−−−
32.32.32.32. Izraz ispred korena uneti pod koren i uprostiti:3
4224
22
2 y y x x
y x
x
y
y
x
+−
−
.
Rešenje:( )
( )( )
3
22
3222
22
33
322
3222
223
22
34224
22
2 xy
y x
y x
y x
y x
y x
y x
y x
xy
y x
y y x x
y x
x
y
y
x −=
−⋅
−=
−⋅
−=
+−
−
Primer kontrolnog zadatka iz oblasti STEPENI I KORENI:
1. Izracunaj:
⋅−
+
−
−
−− 3
4
2
1
25,03
4
2
3
4
1
22424
2. Uprosti izraze: a)122
11
22 −
−−
−−
+⋅
+
+
ab
ba
ba
ba b)
( )4
2
22
32
6
22 4:
2
2:
2
44
b
xa
xa
bxab
bxab
xaxa −
−
+
+
+−
3. Racionalisi: a)( )
6 1
11
+
+−
a
aa b)
532
1
++ c)
33 53
1
−
4. Izračunaj vrednost izraza za datu vrednost x: x
x
x
x
−−
−−
++
+
11
1
11
1 za
2
3= x .
5. Izvrši naznačene operacije: a) 6256411 ++− b)3 123 13 13 12 −−−− ⋅⋅⋅ x x x x x x x x x x
OBLAST II: IMAGINARNI I KOMPLEKSNI BROJEVI: OBLAST II: IMAGINARNI I KOMPLEKSNI BROJEVI: OBLAST II: IMAGINARNI I KOMPLEKSNI BROJEVI: OBLAST II: IMAGINARNI I KOMPLEKSNI BROJEVI:
33.33.33.33. Izračunaj: 3i .
Rešenje: iiii −=⋅= 23
34.34.34.34. Izračunaj: 49641636 −−−+−+− .
Rešenje:
( ) ( ) ( ) ( )
iiiii 117846
14916411613649641636
=−++=
=−⋅−−⋅+−⋅+−⋅=−−−+−+−
35.35.35.35. Izračunaj (svedi na oblik bia + ): ( ) ( )ii 8523 +++
Rešenje:( ) ( ) iiiii 10885238523 +=+++=+++
36.36.36.36. Izračunaj (svedi na oblik bia + ): ( )( )ii 2626 −+ .
Rešenje:
( )( ) ( ) 4014364362626 2=−⋅−=−=−+ iii
8/20/2019 Zbirka Detaljno Resenih Zadataka Za 2 Rezred
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-detaljno-resenih-zadataka-za-2-rezred 8/17
37.37.37.37. Izračunaj (svedi na oblik bia + ): ( )( ) ( )21323 iii −−++ .
Rešenje:
( )( ) ( ) ( ) ( ) iiiiiiiiiiiiii 133121352131162139261323 22222+=−⋅++=−+−++=+−−+++=−−++
38.38.38.38. Izračunaj (svedi na oblik bia + ):i
i
+
+
1
23.
Rešenje:( )( )
( )
( )i
iiiiii
i
ii
i
i
i
i
2
1
2
5
2
5
2
23
2
123
11
2323
1
123
1
1
1
23 2
2
−=−
=+−
=−⋅−−
=−−
−−+=
−
−+=
−
−⋅
+
+
39.39.39.39. Odredi module brojeva: a) i34 + b) i27 −
Rešenje: a) 534 22 =+= z b) 53)2(7 22 =−+= z
40.40.40.40. Reši po z jednačinu: ( ) i z i 452 +=+ .
Rešenje:
( ) i z i 452 +=+ Odavde je( )( )
iiiii
i
ii
i
i
i
i z
5
3
5
14
5
4310
14
45810
4
245
2
2
2
45 2
2 +=
++=
+
−−+=
−
−+=
−
−⋅
+
+=
41.41.41.41. Reši jednačinu po nepoznatoj i z += : ( ) ( ) i yi xi 3521 +=+++ .Rešenje:( ) ( )
( ) ii y x y x
iiy yix x
i yi xi
352
352
3521
+=+++
+=+++
+=+++
=
==
=+
−=−=
=+
−=−−=
=+
=+
1
2
3
2
3
52
3
52
x
y
y x
y
y x
y x
y x
y x
Kompleksan broj je: i z 21+=
42.42.42.42. Reši jednačinu po nepoznatoj i z += : ( )( ) i y xi x +=+++ 712 .
Rešenje:( )( )
ii y x y x
iiy yix x x
i y xi x
+=++++=++++
+=+++
7)(3
72
712
=
−==
=
=+=
=
=+=
=
=+=
−=−−
=+=
=+
=+
32
379
373
6273
173
173
x y
x y
x y x
x y x
y x y x
y x y x
Kompleksan broj je: i z 23−=
43.43.43.43. Odredi realne brojeve x i y ako jeiiiy x 42
1
2
11
+−+
+=
+.
Rešenje:
y xii yi xiiiy xii
i
i
iy xiii
i
iy xii
ii
iy xiiiy x
55685568)(568
68
51
4824
51
)42)(2(
)2()42(1
42
1
2
11
2
2
−=+−⇒+=+−⇒+=+−⇒
⇒+−
=+
⇒++−−
=+
⇒+−+
+++−=
+⇒
+−+
+=
+
Odavde je 2,15
6 == x a 6,15
8 =−−= y
8/20/2019 Zbirka Detaljno Resenih Zadataka Za 2 Rezred
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-detaljno-resenih-zadataka-za-2-rezred 9/17
Predlog prvog pismenog zadatka iz oblasti STEPENI, KORENI i KOMPLEKSNI BROJEVI:
1. Uprosti izraz:11
111
111
11
11
2 −−
−−−−−−
−−
−− −−
++
+
+
ba
abba
baab
ab.
2. Racionališi: a)84 23
14
+ b)
322
1
−−
3. Uprosti: 3243244 −+++ .
4. Izračunaj: ( ) 44
175,0
3
2
0 21632
1332 +⋅
−
−−
.
5. Nađi realne brojeve x i y tako da je 1)25()38( −=−+− yi xi .
OBLAST III: KVADRATNA JEDNAČINAOBLAST III: KVADRATNA JEDNAČINAOBLAST III: KVADRATNA JEDNAČINAOBLAST III: KVADRATNA JEDNAČINA
44. Reši jednačinu: 03 2 = x .
Rešenje: 0003 2,1
22 === x x x
45. Reši jednačinu: 012 =− x .
Rešenje: 1101 2,1
22 ±===− x x x
46. Reši jednačinu: 0)32)(12( =++ x x x
Rešenje:2
332032
2
11201200)32)(12( 321 −=⇒−=⇒=+−=⇒−=⇒=+==++ x x x x x x x x x x
47. Reši jednačinu: 0652 =+− x x
Rešenje: Zadatak se može uraditi na dva načina: 1.
230)2)(3(
0)2(3)2(
0632
21
2
===−−
=−−−
=+−−
x x x x
x x x
x x x
2. način: Pomoću diskriminatne kvadratne jednačine:2
15
2
24255
12
614)5()5( 2
2,1
±=
−±=
⋅
⋅⋅−−±−−= x
3
2
151 =
+= x 2
2
152 =
−= x .
8/20/2019 Zbirka Detaljno Resenih Zadataka Za 2 Rezred
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-detaljno-resenih-zadataka-za-2-rezred 10/17
48. Reši jednačinu:1)6(
)3(
11
4
1)6(
37
11
522
2
2 +−
−+
−
−=
+−
−+
−
−
x
x
x
x
x
x
x
x.
Rešenje:1)6(
)3(
11
4
1)6(
37
11
522
2
2 +−
−+
−
−=
+−
−+
−
−
x
x
x
x
x
x
x
x jednačinu množimo sa )1)6)((11( 2 +−− x x odnosno sa
)3712)(11( 2 +−− x x x . Dobijamo:
)11()3()3712)(4()11)(37()3712)(52( 222 −−++−−=−−++−− x x x x x x x x x x
66611148374812433773718574602452 2232232223++−−+−++−−=+−−+−++−− x x x x x x x x x x x x x x x x x
02472621601743332 22 =+−−++− x x x x
015142 =−+ x x
1
154972,1
+±−= x
11 = x 152 −= x
49. Reši jednačinu: 031322 =++−+ x x x .
Rešenje:
−<−−
−≥+=+=++−+
1,1
1,1103132
2
x x
x x x x x x
1)
100)1(
0
03332
1
21
2
2
=∨=⇒=−
=−
=+−−+
−≥
x x x x
x x
x x x
x
Rešenja su 0 i 1.2) 1−< x
23
2
15
2
24255
065
03332
21
2,1
2
2
−=∨−=
±−=
−±−=
=++
=++++
x x
x
x x
x x x
Rešenja su -3 i -2.
50. Reši jednačinu: 128128 22 +−=+− x x x x .
Rešenje: Jednačina 128128 22 +−=+− x x x x je ekvivalentna jednačini 12826 2 +−=−⋅− x x x x .
<+−
≥−
=− 6,6
6,66 x x
x x x
<+−
≥−
=− 2,2
2,22 x x
x x x
1) 2< x 2) 62 <≤ x
1281226
128)2)(6(
22
2
+−=+−−
+−=+−+−
x x x x x
x x x x
024162
1281226
128)2)(6(
2
22
2
=−+−
+−=−++−
+−=−+−
x x x x x
x x x x
Rešenja su )2,(−∞ 262
48
2
48648212,1 =∨=⇒
−
±−=
−
−±−= x x x
Rešenje je samo 2.
8/20/2019 Zbirka Detaljno Resenih Zadataka Za 2 Rezred
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-detaljno-resenih-zadataka-za-2-rezred 11/17
3) 6≥ x
128128
128)2)(6(
22
2
+−=+−
+−=−−
x x x x
x x x x KONAČNO REŠENJE se dobija )3)2)1 ∪∪ a to je ),6[]2,( +∞∪−∞∈ x
Rešenja su [ )+∞,6
51. Reši jednačinu ako su a i b realni parametri: 2=−
+− b x
a
a x
b.
Rešenje: Množenjem jednačine sa ))(( b xa x −− dobija se ))((2)()( b xa xa xab xb −−=−+− . Daljimsređivanjem se dobija:
24
22
4
33
4
44
4
33
4
)()33(
4
233
4
8168918933
4
)(8)33(33
)(;)(3;2
02332
02222
2222
)(2
21
22
222222
2,1
2
222
222
222
222
babababa xba
bababa x
bababababa
babababababababa x
bac xbaba
baba xb xa x
aaxb xbab xb xa x
ab xb xa xaaxb xb
abbxax xaaxb xb
+=
+=
−−+=+=
+=
+++=
+±+=
++±+=
=−−−++±+
=+−−−±+
=
+=+−==
=+++−−
=+−+−+−−
+−−=−+−
+−−=−+−
52. Reši bikvadratnu jednačinu: 014 =− x .
Rešenje: Vrši se smena t x =2 . Dobija se jednačina:
10)1)(1(
01
2,1
2
±==+−
=−
t t t
t
1
1
2,1
2
±=
=
x
x
i x
x
±=
−=
4,3
2 1
53. Reši bikvadratnu jednačinu: 0110 24 =+− x x .
Rešenje: Smena: t x =2 . Dobija se jednačina:
6251
1255
0110
2,1
2
±=−±
=
=+−
t
t t
625
625
2,1
2
+±=
+=
x
x
625
625
4,3
2
−±=
−=
x
x
8/20/2019 Zbirka Detaljno Resenih Zadataka Za 2 Rezred
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-detaljno-resenih-zadataka-za-2-rezred 12/17
54. Reši bikvadratnu jednačinu: 25
5
4
422
=+
++ x
.
Rešenje: Jednačina se može napisati i ovako 214
5
4
422 =
+++
+ x. Smena: t x =+ 42 .
21
54=
++t t
. Množenjem sa )1( +t t dobija se: ⇒=−−⇒+=++ 047222544 22 t t t t t t
7
1
7
8
14
16
14
97
14
32497
212,1 −=∨==⇒±
=+±
=⇒ t t t .
Vraćamo se na smenu i dobijamo:
7
20
07
84
2
2
=
=−+
x
x
55. Reši jednačinu:12
12
21
12
14
342 +
−=
−
++
− x
x
x
x.
Rešenje: Jednačinu množimo sa )12)(12( +− x x za 2
1
≠ x
2
0)2)(2(8
0328
02834
014414434
)12()12(34
12
12
21
12
14
34
2,1
2
2
22
22
2
±=
=+−
=−
=−−
=−+−−−−
−=+−
+
−=
−
++
−
x
x x
x
x
x x x x
x x
x
x
x
x
x
56. Formiraj kvadratnu jednačinu ako su joj koreni:ba
a
+ i
ba
b
−.
Rešenje:ba
a x
+=1 i
ba
b x
−=2 .
0
0
0)(
2222
22
2
2
2121
2
=−+−
+−
=−
⋅+
+
−+
+−
=++−
baab x
baba x
ba
b
ba
a x
ba
b
ba
a x
x x x x x x
57. Skrati razlomak: x
x x x
483
1273
234
−
+−.
34
2
48497
0127
21
2,1
2
==
−±=
=+−
x x
x
x x
Rešenje:)4(3
)3(
)4)(4(3
)4)(3(
)16(3
)127(
483
1272
22
3
234
+
−=
+−
−−=
−
+−=
−
+−
x
x x
x x
x x x
x x
x x x
x x
x x x
8/20/2019 Zbirka Detaljno Resenih Zadataka Za 2 Rezred
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-detaljno-resenih-zadataka-za-2-rezred 13/17
58. Data je kvadratna jednačina 09)3(2)1( 2 =++−+ xm xm . Odredi realni parametar m da rešenja budu
realna i jednaka.Rešenje:
30
0)3(40363636244
09)1(4)62(
04
9,62,10
21
2
2
2
==
=− =−−++
=⋅+−−−
=−
=−−=+==
mm
mmmmm
mm
acb
cmbma D
59. Reši jednačinu: 421 =+⋅− x x .
Rešenje:
<+−
≥−=−
1,1
1,11
x x
x x x
−<−−
−≥+=+
2,2
2,22
x x
x x x
1) 2−< x
32
06
422
4)2)(1(
21
2
2
−==
=−+=−+−
=−−+−
x x
x x
x x x
x x
Rešenje je samo -3 pošto je ono manje od -2.
2) 12 <≤− x
02
0422
4)2)(1(
2
2
=++=−+−+−
=++−
x x
x x x
x x
Rešenja su kompleksni brojevi.
3) 1≥ x
32
060422
4)2)(1(
21
2
2
−==
=−+
=−−+−
=+−
x x
x x x x x
x x
Konačna rešenja su samo brojevi -3 i 2.
Samo je 2 rešenje.
60. U jednačini 013)1(24 22 =−−++− mm xm x odredi parametar m tako da rešenja po x budu jednaka.
Rešenje: Diskriminanta treba da bude jednaka 0.
3
15
3
15
3
87
05143
4:/02056120164816484
0)13(44)22(
04
21
2,1
2
2
22
22
2
−===
±=
=−−
−=++−=++−++
=−−⋅⋅−−−
=−
mm
m
mm
mmmmmm
mmm
acb
8/20/2019 Zbirka Detaljno Resenih Zadataka Za 2 Rezred
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-detaljno-resenih-zadataka-za-2-rezred 14/17
61. Sastavi bar jednu kvadratnu jednačinu čija su rešenja i54 ± .
Rešenje: Koristi se formula 0)( 2121
2 =++− x x x x x x .
0418
025168
0)54)(54()5454(
2
2
2
=+−
=++−
=−++−++−
x
x x
ii xii x
62. Data je jednačina 09)3(2)1(
2 =++−+ xm xm . Odredi realan broj m da rešenja budu a) realna i jednaka b)budu recipročni brojevi.
Rešenje: a) Da bi jednačina imala jednaka rešenja mora diskriminanta da bude jednaka D=0
042 =− acb
30
0)3(4
0124
0363636244
0)1(36)62(
2
2
2
=∨=
=−
=−
=−−++
=+−−−
mm
mm
mm
mmm
mm
b) Da bi rešenja bila recipročna mora2
1 1 x
x = odnosno 121 = x x .
8
19
11
9
1
=
+=
=+
=
m
m
m
a
c
63. U jednačini 0)2()5()1(
2 =+−−+− k xk xk odredi parametar k tako da je 2
11
21
>+ x x .
Rešenje:1
2
1
52121
−
−−=
−
+−=+
k
k x x
k
k x x
Nejednačinu ćemo pomnožiti sa x 1x 2 i dobijamo
2121 2)(2 x x x x >+
94251
22
1
5−>⇔−−>+−⇔
−
−−⋅>
−
+−k k k
k
k
k
k
8/20/2019 Zbirka Detaljno Resenih Zadataka Za 2 Rezred
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-detaljno-resenih-zadataka-za-2-rezred 15/17
64. Konstruiši grafik funkcije 2 x x x y +−= i ispitaj joj tok.
Rešenje: 1+⋅−= x x x y
I: x x y x x x y x x x y x 2)1)((1 22 +−=+−=+−−−=−<
II: x x y x x x y x x x y x 2)1)((01 22 +=++=+−−=<≤−
III: 22)1(0 x y x x x y x x x y x −=−−=+−=≥
I: a) a=-1 b) 14
4
12
2
=−
−
==−
−
= β α c) 200)2(02
2
=∨==+−=+− x x x x x x d) x=0 y=0
II) a) a=1 b) 14
41
2
2==−=
−= β α c) 200)2( −=∨==+ x x x x d) x=0 y=0
III: a) a=-1 b) 00 == β α c) 002 ==− x x f(x)=x-abs(x+x^2)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
8/20/2019 Zbirka Detaljno Resenih Zadataka Za 2 Rezred
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-detaljno-resenih-zadataka-za-2-rezred 16/17
65. Dat je skup funkcija 522 −−= xax y . Odredi parametar a tako da funkcija dostiže maksimum za 2−= y .
Rešenje: 341242084
4202 −=−=−−=−
−−=− aaaa
a
a
66. Reši nejednačinu 112
522
2
−<−−
−+−
x x
x x.
Rešenje:
012
6
012
1252
0112
52
2
2
2
22
2
2
<−−
−+
<−−
−−+−+−
<+−−−+−
x x
x x
x x
x x x x
x x
x x
23
062
−=∨−=
=−+
x x
x x
2
11
012 2
−=∨=
=−−
x x
x x
62 −+ x x + - + + +
12 2 −− x x + + + - +
126
2
2
−−−+
x x x + - + - +
-∞ -3 -2 -2
1 1 +∞
( )
−∪−−∈ 1,
2
12,3 x
67. Reši nejednačinu 1129
1252
2
≤++
++
x x
x x:
Rešenje: Data nejednačina je ekvivalentna sa nejednačinama: 11291251
129125
2
2
2
2
−≥++++∧≤
++++
x x x
x x x .
Date dve nejednačine se rešavaju isto kao u prethodnom zadatku, a kao konačno rešenje se uzima presek rešenjadate dve nejednačine. Konačno rešenje je [ ] ( )+∞∪−−∈ ,03,4 x .
68. Reši sistem jednačina:
=
=+
12
7
2
2
xy
y x.
Rešenje: Ako uvedemo nepoznatu z y =2 , dobijamo
34
34
12)7(
712
7
21
21
==
==
=−
−==
=+
x x
z z
z z
z x xz
z x
)5,1(),1,5(
15
5)6(
66
5
21 ==
=−
−==+
=
y y
y y
y x y x
y
)2,3(),3,2(
6
6
=+
=
y x
xy
8/20/2019 Zbirka Detaljno Resenih Zadataka Za 2 Rezred
http://slidepdf.com/reader/full/zbirka-detaljno-resenih-zadataka-za-2-rezred 17/17
69. Reši sistem jednačina
=++
=+
11
3022
y x xy
xy y x.
Rešenje: Ako uvedemo smene t z y =+= zamenimo u jednačinama dobijamo
)6,5(),5,6(),(
65
56
30)11(11
11
30
21
21
=
==
==
=−
−=
=+
=
z t
z z
t t
t t t z
t z
zt
70. Koji od navedenih grafika pripada skupu funkcija 22 2 x x x x y −−−= .
2 4
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
1 1 2 3
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
1 2 3
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y
-1 1 2 3
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
A B C D
Rešenje: Tačan odgovor je pod A.
![Mehanika I [statika] - Skripta Resenih Zadataka](https://img.dokumen.tips/doc/110x75/552da4a34a795978658b46d8/mehanika-i-statika-skripta-resenih-zadataka.jpg)
