Mat.financiare Si Actuariale - A.G.macoVEI

MINISTERUL EDUCAIEI I CERCETRII Universitatea tefan cel Mare SuceavaFacultatea de tiine Economice i Administra ie PublicStr. Universitii nr. 25 bis, 720225 Suceava, Tel: decanat - 0230 520263, secretar iat 0230 216147/303;304

Forma de nvmnt: I.D. Program de studiu : Contabilitate i informatic de gestiune Anul I, sem I

MATEMATICI FINANCIARE I

ACTUARIALE Curs pentru nvmnt la distan

Lect. univ. dr. Anamaria MACOVEI

2012

CUPRINS

INTRODUCERE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Cap. I. Analiz matematic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.1. IRURI I SERII DE NUMERE REALE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.1.1. iruri de numere reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.1.2. Serii de numere reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 I.1.3. Serii de numere reale cu termeni pozitivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 I.1.4. Serii alternate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 I.2. IRURI I SERII DE FUNCII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 I.2.1. iruri de funcii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 I.2.2. Serii de funcii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 I.2.3. Serii de puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 I.2.4. Seria Taylor i seria MacLaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 I.3. FUNCII REALE DE MAI MULTE VARIABILE REALE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 I.3.1 Mulimi i puncte n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n\ 19 I.3.2. Topologia n spaiul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n\ 20 I.3.3. iruri de puncte din spaiul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n\ 22 I.3.4. Funcii definite pe mulimi din spaiul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n\ 23 I.3.5. Limit funciilor definite pe mulimi din spaiul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n\ 23 I.3.6. Continuitatea funciilor vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 I.3.7. Derivatele funciilor reale de mai multe variabile reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 I.3.8. Difereniala funciilor reale de mai multe variabile reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 I.3.9. Formula lui Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 I.3.10. Extremele funciilor reale de n variabile reale (n 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 I.3.11. Extreme condiionate (cu legturi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Cap. II Elemente de calcule financiare i actuariale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 II.1. DOBNDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 II.1.1. Dobnda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 II.1.2. Dobnda simpl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 II.1.3. Dobnda compus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 II.1.4. Comparaii ntre dobnda simpl i dobnda compus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 II.1.5. Procent i risc de plasare. Devalorizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 II.2. OPERAIUNI DE SCONT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 II.2.1. Noiuni generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 II.2.2. Scont simplu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 II.2.3. Scont compus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 II.3. PLI EALONATE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 II.3.1 Anuiti posticipate temporare (APT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 II.3.2. Anuiti anticipate temporare (AAT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 II.4. RAMBURSAREA MPRUMUTURILOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 II.4.1. Rambursarea mprumuturilor prin anuiti posticipate (rate anuale posticipate), cu procent unic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

II.4.2. Rambursarea mprumuturilor prin anuiti anticipate (rate anuale anticipate), cu procent unic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

II.4.2.1. Rambursarea mprumuturilor prin anuiti anticipate (rate anuale anticipate), cu procent unic, cu dobnda calculat anticipat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

II.4.2.1. Rambursarea mprumuturilor prin anuiti anticipate (rate anuale anticipate), cu procent unic, cu dobnda calculat posticipat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

II.5. OBLIGAIUNI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

1

II.51. Noiuni generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 II.5.2. Rambursarea la paritate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

II.5.2.1 Rambursarea la paritate prin rate anuale egale posticipate . . . . . . . . . . . . . . 78 II.5.2.2 Rambursarea la paritate prin amortismente anuale constante posticipate . . . 79

II.5. 3. Rambursarea supraparitate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 II.5.3.1 Rambursare supraparitate prin rate anuale constante posticipate . . . . . . . . . 80

II.6. ACIUNI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 II.6.1. Noiuni generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 II.6.2. Evaluarea unei aciuni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 II.6.3. Indicatori n burs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 II.6.4. Conversie obligaiuni aciuni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 II.7. TEORIA ASIGURRILOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 II.7. 1. Funcii biometrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 II.7. 2. Calculul asigurrilor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 II.7. 3. Tipuri de asigurri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Testul de verificare final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Rspunsuri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 BIBLIOGRAFIE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

INTRODUCERE

ntr-o economie de pia, unde fenomenele economice sunt din ce n ce mai complexe,

specialistul din acest domeniu are nevoie de o pregtire superioar, constnd n cunotine multiple i profunde n vederea observrii i rezolvrii acestor fenomene pe baze stiinifice. Modelele matematice analizeaz calitatea i cantitatea proceselor economice i evoluia lor. Matematica prin caracterul su general creaz modele abstracte ale fenomenelor economice.

Cursul de MATEMATICI FINANCIARE I ACTUARIALE, elaborat pe baza programei analitice aprobate n cadrul Departamentului de Contabilitate, Finane i Informatic Economic, se adreseaz studenilor care urmeaz specializarea: Contabilitate i Informatic de Gestiune, forma de nvmnt: nvmnt la distan.

Unitatea de studiu este capitolul care, n esen, pune n eviden noiuni i concepte teoretice din baza de cunotine matematice ale unui absolvent de liceu, noiuni i concepte teoretice noi, definiii, teoreme, consecine, proprieti, formule de calcul, exerciii i probleme rezolvate, exerciii i probleme propuse i teste de evaluare.

Scopul cursului este de a sigura studenilor din anul I pregtirea matematic necesar nelegerii noiunilor i tehnicelor de specialitate cu referire la modelarea economic.

Obiectivele principale ale acestui curs sunt: prezentarea aparatului matematic i a unor tehnici de baz specifice irurilor i

seriilor numerice, irurilor i seriilor de funcii, funciilor de mai multe variabile; conceptul de probabilitate cu formule de calcul; noiuni de matematici financiare i anume dobnda, scontul i pli ealonate .

Structura cursului ine seama de problematica tratat pentru aceeai specializare la forma de nvmnt zi, adaptat n funcie de specificul modului de organizare a nvmntului la distan.

Timpul de studiu individual, estimat pentru parcurgerea materialui prezentat n curs este de 3-4 ore/sptmn.

Mod de evaluare: examen scris conform planificrii din sesiunea de examene; nota final se stabilete, procentual, astfel: - test final: 40% - examen scris: 60%.

Recomandare: Manuale de clasa a XI- a i a XII-a din liceu.

2

3

Cap. I. Analiz matematic

n acest capitol sunt prezentate ntr-o sintez accesibil specialitilor n economie cteva elemente de baz din teoria irurilor i seriilor de numere reale, irurilor i seriilor de funcii i din teoria funciilor de mai multe variabile, punndu-se accent pe derivatele pariale a funciilor de mai multe variabile . O seciune important a acestui capitol este cea legat de teoria extremelor cu aplicaii n problema ajustrii analitice care permit elaborarea prognozelor economice i a extremelor condiionate.

I.1. IRURI I SERII DE NUMERE REALE

I.1.1. iruri de numere reale

Fie { }0,1, 2,=` mulimea numerelor naturale i { }* 1, 2,=` .

Definiia I. 1.1[3]: Se numete ir de numere reale o funcie , :f ` \ . Notm valorile ei prin: ( ) ,nf n a n= \ ` .

Se noteaz ( ) ( )n nn na sau a` , unde an este termenul general al irului dac n nu este finit i termenul de rang n (de ordin n) dac n este fixat. Definiia I.1.2: irul ( )n na ` se numete monoton cresctor dac 1, ( )n na a n+ ` i monoton descresctor dac 1, ( )n na a n+ ` . Definiia I.1.3: irul ( )n na ` se numete strict cresctor dac 1, ( )n na a n+< ` i strict descresctor dac 1, ( )n na a n+> ` . Definiia I.1.4: Un ir ( )n na ` este mrginit dac exist un numr real M > 0, astfel nct:

|an| < M, )( n` sau M < an . Definiia I.1.6: Numrul a se numete limita irului i vom scrie lim nn a a = pentru n . Teorema I.1.1 (caracterizarea irurilor convergente): irul ( )n na ` este convergent ctre a\ dac i numai dac, pentru orice 0 > exist un rang ( )N ` , astfel nct, oricare ar fi

( )n N , s avem: na a < . Definiia I.1.7: Un ir care nu este convergent se numete ir divergent . Pentru a = + sau a = , avem:

( ) ( )lim ( ) 0, ( ) , , ( )n nn a N a n N = + > > ` ( ) ( )lim ( ) 0, ( ) , , ( )n nn a N a n N = > < `

Definiia I.1.8: Se numete ir cu limit un ir pentru care, ,lim aann = { },a = + \ \ . Teorema I.1.2: Orice ir monoton are limit. Teorema I.1.3 ( Weierstrass): Orice ir monoton i mrginit este convergent.

4

Exerciii rezolvate:

S se arate c irurile urmtoare sunt convergente i s se afle limitele lor.

a) ( )2

21

1n n

n+ ++ ; b)

222 11...3

11211

n.

Rezolvare:

a) an= ( )2

21

1n n

n+ ++

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

22 2 21

2 22 2

1 3 31 1 1 11

12 2 1n

n

n n nn n naa n nn n n n+ + + ++ + + + += = + ++ + + + an+1 an

an = 1 - ( )21+nn 1 irul este cresctor i mrginit de 1, deci convergent.

lim nn a+ = limn+ ( )22

11

+++

nnn

= 1

b) an =

222 11...311

211

n

( )( ) 11

1111...

311

211

11111...

311

211

2

222

22221 +=

+

=+

nn

nna

an

n an an+1

an =( ) ( )

21

2111...

324

2131...

313

212

2222

2

3

2

2

2

+=+=n

nn

nnn

n

irul este descresctor i mrginit de 1 / 2, deci convergent. limn+ an= limn+

1 12 2

nn+ = .

Teorama I.1.4 (Lema lui Cesaro): Orice ir mrginit conine un subir convergent. Definiia I.1.8: Un ir ( ) INnna se numete fundamental (ir Cauchy) dac i numai dac: pentru orice 0 > , exist ( )N ` astfel nct ( ) , exist

( )N ` astfel nct ( )( ) , ( ) , n p nn N p a a +

5

n p na a+ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sin sin 2 sin sin ( 1) sin ( )... ...1 2 2 3 1 1 2 1

x x n x n x n p xn n n n n p n p

+ ++ + + + + + + + + + + +

( )sin sin 2 sin...1 2 2 3 1

x x n xn n

+ = ( ) ( ) ( ) ( )sin ( 1) sin ( )...

1 2 1n x n p x

n n n p n p+ ++ ++ + + + +

( ) ( ) ( ) ( )1 1...

1 2 1n n n p n p+ ++ + + + +

Dar ( ) ( )1

1n p n p+ + + = 1 1

1n p n p+ + +

Avem npn aa + 1 1 1 1 1 1...1 2 2 3 1n n n n n p n p + + + + + + + + + + =1 1

1 1n n p+ + +

1 11n n

<

6

limn

n

n

ab

= limn

1

1

n n

n n

a ab b

++

=

2 2 2 2 21 2 ... ( 1) 1 2 ...lim( 1) ( 2) ( 3) ( 1) ( 2)n

n n nn n n n n n+ + + + + =+ + + + +

( )[ ]

21lim

( 1) ( 2) ( 3)nn

n n n n+ =+ + +

1 1lim3( 2) 3n

nn+ =+ .

I.1.2. Serii de numere reale

Definiia I.2.1: Fie ( )n na ` un ir de numere reale. Se numete serie de numere reale (serie numeric) un ir de numere reale desprite ntre ele prin semnul +:

1 21 1

... ...not not not not

n n n n nn n n n

a a a a a a a

= + + + + = = = = ` ,

unde an este termenul general al seriei. Fie

1 1 2 1 2 1 2, , ... , ... , ...n nS a S a a S a a a= = + = + + + sau 1 11 , 1n n n

S aS S a n+

= = +

S-a obinut astfel un nou ir ( )n nS ` , numit irul sumelor pariale al seriei. Reciproc, dac sunt cunoscute sumele pariale Sn, se poate forma seria

1n

na

= cu termenii:

1 1 2 2 1 1, , ... , , ...n n na S a S S a S S = = = pentru care, termenul general al irului sumelor pariale este chiar Sn.

Definiia I.2..2: Seria 1

nn

a

= se numete convergent dac irul ( )n nS ` este convergent.

Definiia I.2.3: Dac lim nnS S= , vom spune c S este suma seriei i vom scrie 1 nnS a

== .

Definiia I.2.4: Seria 1

nn

a

= se numete divergent dac irul ( )n nS ` nu este convergent sau irul

( )n nS ` nu are limit. Definiia I.2.5: Dac lim nn S = , vom spune c suma seriei este + sau . Exemplu (seria geometric): Fie seria

01 ... ...n n

nq q q

== + + + + numit serie geometric cu raia q.

( )0

1convergent , cu suma , 1, 11

divergent , pentru q 1 sau q 1

n

n

pentru qqq este

=

Exemplu: Fie seria

1

1 1 112 3n n

== + + + " , numit seria armonic simpl este divergent.

Exemplu (seria armonic generalizat): Fie seria 1 1 11 ... ...2 3 n

+ + + + + , numit serie armonic generalizat. Aceast serie este convergent pentru > 1 i divergent pentru 1 . Proprietatea I.2.1: Modificarea ordinii unui numr finit de termeni ai seriei nu modific natura i nici suma ei ,n caz de convergen. Proprietatea I.2.2: Dac la o serie se adaug sau se scoate un numr finit de termeni, se obine o nou serie de aceeai natur. Pentru seriile convergente, suma se modific.

7

Proprietatea I.2.3: Prin gruparea termenilor unei serii se obine o nou serie care are aceeai natur cu seria dat la nceput. Proprietate I.2.4 (Condiia necesar de convergen) [9]: Dac seria n

na este convergent atunci

irul ( )n na ` este convergent la zero.

Exerciii rezolvate:

S se calculeze limn an: a) 1 11

3 73 7

n n

n nn

+ +

=

++ ; b) 1 3 sin 3n nn

a

= , ( )0, / 2a .

Rezolvare:

a) Notm: an = 1 13 7

3 7

n n

n n+ +++ , limn an = limn 1

1

37 17 1

737 17

nn

nn

++

+ = +

.

b) Notm: an = 3 sin 3n

n

a , limn an = lim 3 sin 3

nnn

a =

sin3lim

3

n

n

n

a

a aa = .

Proprietatea I.2.5: Dac seria n

na este convergent, atunci irul sumelor pariale este mrginit.

Teorema I.2.1 (Criteriul general de convergen al lui Cauchy): Seria nn

a este convergent dac i numai dac irul sumelor pariale ( )n nS ` este fundamental , adic pentru orice 0 > exist

( )N ` astfel nct, pentru orice ( ) *n N i p ` , s avem: 1 2n p n n n n pS S sau a a a + + + + < + + +

8

I.1.3. Serii de numere reale cu termeni pozitivi Definiia I.3.1: O seria n

na se numete cu termeni pozitivi , dac an > 0, ( ) n ` .

Teorema I.3.1 (Criteriul comparaiei): 1. Fie seriile n

na , n

nb , unde an > 0, bn > 0, ( ) n ` . Dac exist un numr natural k, astfel

nct ( ) knba nn , , atunci: dac seria n

nb este convergent, atunci seria n

na este convergent;

dac seria nn

a este divergent, atunci seria nn

b este divergent. 2. Fie seriile n

na , n

nb , unde an > 0, bn > 0, ( ) n ` . Dac exist un numr natural k, astfel

nct ( ) knb

ba

an

n

n

n ++ ,11 , atunci: dac seria n

nb este convergent, atunci seria n

na este convergent;

dac seria nn

a este divergent, atunci seria nn

b este divergent.

Exerciii rezolvate:

S se studieze natura seriilor: a) 1 3 7nn

nn

= + ; b) ( ) ( ) ( )

=

2

3 2...22n

n eee .

Rezolvare:

a) Avem: 13 7 3 3n nn n nn na b

n n= < = = + .

Dar, 13

n

nn n

b = este serie geometric cu raia ( )1 1,13

q = , deci convergent. Conform criteriului comparaiei 1, seria dat va fi convergent. b) Notm: an = ( ) ( ) ( )n eee 2...22 3

=+n

n

aa 1 12 + n e

11 112 1

n n

n

+ + + =1-

n1

=

1

11

n

n =

n

n

bb 1+

Dar 2 2

11nn n

bn

= == este divergent, deci conform criteriului comparaiei 2, seria dat va fi

divergent.

Teorema I.3.2 (Criteriul de comparaie cu limit): Fie seriile nn

a , nn

b , unde an > 0, bn > 0, ( ) n ` i lim n

nn

alb

= . Dac 0 < l < , atunci cele dou serii au aceeai natur. Dac l = 0 i seria n

nb este convergent, atunci n

na este convergent.

Dac l = + i seria nn

b este divergent, atunci nn

a este divergent.

9

Observaie: De obicei, drept serie de comparaie se ia seria armonic generalizat 1n n .

Exerciii rezolvate:

S se studieze natura seriilor: a) 3

21

32 4n

n nn n

= + ; b) 21ln

1nn nn

=

++ .

Rezolvare:

a) Notm: an = 3

2

32 4

n nn n + ; bn = 3 2

1n

. Calculm limn =

n

n

ba

3

22

2

3 2

332 4lim lim 31 2 4n n

n nnn n

n nn

+ = = + .

Deci, conform criteriului comparaie cu limit cele dou serii au aceeai natur. Dar seria 3 2

1 1

1n

n nb

n

= == ,

seria armonic generalizat cu 2 13

= , este divergent i, prin urmare, seria dat va fi divergent.

b) Notm: an = 2ln

1n nn++ ; bn =

1n

; limn =

n

n

ba

limn 2

ln1

n nn++ n = limn

2

22

ln1

11

nnn

nn

+ +

=1

Deci cele dou serii au aceeai natur. Dar 1 1

1n

n nb

n

= == este divergent i, prin urmare, seria dat va

fi divergent. Teorema I.3.3 (Criteriul raportului): Fie seria n

na , unde an > 0, ( ) n ` .

Dac exist un numr natural k i un numr real q, astfel nct 1 1, ( )n

n

a q n ka+ < , atunci seria este convergent.

Dac exist un numr natural k i un numar real q, astfel nct ( ) knq

aa

n

n >+ ,11 , atunci seria este divergent. Teorema I.3.4 (Criteriul raportului cu limit): Fie seria de termeni pozitivi n

na , ( ) n ` i

presupunem c exist 1lim nn

n

ala+

= . Dac l < 1, atunci n

na este convergent.

Dac l > 1, atunci nn

a este divergent.

Exerciii rezolvate:

S se stabileasc natura seriilor: a) ( )( )n nn

!2! 2 ; b)

1

3 !nn

n

nn

= .

Rezolvare:

10

a) Notm: an = ( )( )!2

! 2

nn

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 21

2 2

1 ! 2 ! ! 1 2 ! 1 1lim lim lim lim 1 .2 2 1 42 2 ! ! 2 ! 2 1 2 2 !

nn n n n

n

n n n n na nla nn n n n n n+

+ + + = = = = = 1, deci seria noastr este divergent.

Teorema I.3.5 (Criteriul rdcinii): Fie seria de termeni pozitivi n

na , ( ) n ` .

Dac exist un numr natural k i un numr real q, astfel nct ( ) knqan n ,1 , atunci seria este divergent.

Teorema I.3.6 (Criteriul rdcinii cu limit): Fie seria cu termeni pozitivi nn

a , ( ) n ` i presupunem c exist lim n n

nl a

= .

Dac l < 1, atunci seria este convergent. Dac l > 1, atunci seria este divergent.

Exerciii rezolvate:

S se stabileasc natura seriilor: a) 1

n

n

an tgn

=

, (0, / 2)a ; b) ( )2 21 5 1 2 nn n n n n= + + . Rezolvare:

a) Notm: an = nan tg

n

l = limn

nna = lim lim lim

n

nn n n

atga a nn tg n tg a aan nn

= = =

Dac 1a < , adic ( )0,1a , atunci seria dat este convergent. Dac a > 1 i (0, / 2)a , adic (1, / 2)a , atunci seria dat este divergent. Dac 1a = , se aplic un alt criteriu. b) Notm: an = ( )2 25 1 2 nn n n n+ + l = lim

nn

na = limn ( )2 25 1 2n n n n+ + = limn 2 27 15 1 2nn n n n++ + + = 27 , seria noastr este divergent.

11

Teorema I.3.7 (Criteriul lui Raabe-Duhamel cu limit): Fie seria cu termeni pozitivi nn

a , ( ) n ` i presupunem c exist

1

lim 1nn

n

al na +

= .

Dac l < 1, atunci seria este divergent. Dac l > 1, atunci seria este convergent.

Exerciii rezolvate:

S se studieze natura seriilor: a) ( )1

1 3 5 ... 2 12 4 6 ... 2n

nn

=

; b) ( )( ) ( )1 !2 1 2 2 ... 2n n n

= + + + . Rezolvare:

a) Notm: ( )n

nan 2...64212...531

=

1

2 2 1lim 1 lim 1 lim 12 1 2 1 2

nn n n

n

a n nl n na n n +

+ = = = = 1, deci seria este convergent.

I.1.4. Serii alternate Definiia I.4.1: Se numete serie alternat o serie cu proprietatea c semnele termenilor alterneaz (produsul a doi termeni consecutivi este strict negativ). O serie alternat se scrie

( ) 11 2 3 41

... 1 n nn

a a a a a

= + + = , 0na , ( ) n ` sau

( )1 2 3 41

... 1 n nn

a a a a a

= + + = , 0na , ( ) n `

Teorema I.4.1 (Criteriul lui Leibnitz): Fie seria alternat ( ) 11

1 n nn

a

= , 0na , ( ) n ` . Dac

irul ( )n na ` este descresctor i converge la zero, adic lim 0nn a = , atunci seria este convergent. Exemplu: Fie ( ) 1

1

1 1 1 11 1 ...2 3 4

n

n n

= = + + numit seria armonic alternat, convergent.

Definiia I.4.2: Seria nn

a se numete absolut convergent dac seria modulelor nn

a este convergent. Definiia I.4.3: Seria n

na se numete semiconvergent dac este convergent, iar seria

modulelor nn

a este divergent.

12

Teorema I.4.2: Dac seria nn

a este convergent i 0na , ( ) n ` , atunci seria alternat ( ) 1

11 n n

na

= este convergent.

Exerciii rezolvate:

S se studieze natura seriilor: a) ( ) ( )( )2

31

21

1

nn

nn

nn

++

=

+ + ; b) ( )1

1

11ln

n

n n

+

= .

Rezolvare:

a) Notm: an = ( )( )

2

3

21

n

n

nn

+

+++ ;

321

2

4 3 14 4

n

n

n

a n na n n

++ + += + +

an este un ir descresctor.

limn an = limn

( )( )

2

3

21

n

n

nn

+

+++ = limn

22 1 01 1

nnn n

++ = + + Conform criteriului lui Leibnitz seria noastr este convergent.

b) Fie an = 1 1

ln n n = bn lim

n an = limn1

ln n = 0

Dar 1 1

1n

n nb

n

= == este divergent i, prin urmare, seria dat va fi divergent.

Deci seria noastr este semiconvergent.

Exerciii propuse: S se studieze natura seriilor:

a) 3

1

1n n n

= + ; b) 13 , 0

n

nn

an a

=>+ ; c) 1

3 15nnn

=

+ ; d) 1

, 0!

n

n

a an

= ;

e) ( )1

1n

n

nn

= ; f)

2

1

1 , 0n

n

n a an

=

+ > ; g) 21(2 )!

4 ( !)nnnn

= ; h) 3

1

11 2 3 ... nn n

= + + + + ; i) ( )

=

+ +1

1

2131

nn

n n ; j) ( )1

( 1)( ) , 0n

nn n a n a

=+ + > ; k) ( ) 11 2

1

( 1)1n

nn

n

nn

+ ++

=

+ .

I.2. IRURI I SERII DE FUNCII

I.2.1. iruri de funcii Definiia 2.1.1: Fie A \ o submulime a numerelor reale, nevid i { } , :If f A ` \ , o familie de funcii reale definite pe aceeai mulime A. Dac mulimea indicilor I coincide cu mulimea numerelor naturale ` , atunci spunem c avem un ir de funcie reale i notm ( )n nf ` sau ( )n nf sau ( )( )n nf x . Definiia 2.1.2: Dac irul de numere reale ( )( )0n nf x este convergent, atunci 0x A se numete punct de convergen al irului de funcii ( )n nf ` . Definiia 2.1.3: Totalitatea punctelor de convergen ale irului de funcii ( )n nf ` formeaz mulimea de convergen a irului ( )n nf ` notat cu

13

C = { 0x A ( )( )0n nf x este convergent }. Definiia 2.1.4: Fie funcia :f C \ . Dac ( ) ( )lim ,nnf x f x x A= , atunci funcia f se numete funcie limit, pe mulimea A, a irului de funcii ( )n nf ` . Definiia 2.1.5: irul de funcii ( )n nf ` este simplu convergent (punctual convergent), pe mulimea A ctre funcia :f A\ , dac pentru orice 0 > , exist ( ),N x ` (depinde de i de x), astfel nct:

( ) ( ) ( ) ( ), ,nf x f x n N x < , ( ) x A . Vom nota: sn Af f . Definiia 2.1.6: irul de funcii reale ( )n nf ` este uniform convergent pe mulimea A ctre funcia f, dac pentru orice 0 > , exist ( ) ( )N depinde numai de ` astfel nct:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) AxNnxfxfn , exist ( )N ` astfel nct:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , ,n mf x f x n m N x A < . Teorema 2.1.2 (Criteriul majorrii): irul de funcii ( )n nf ` este uniform convergent pe mulimea A ctre funcia f, dac exist un ir de numere reale ( )n n ,cu proprietile: ( )0,n n ` , lim 0nn = , ( ) ( ) ( ),n nf x f x n ` .

Proprieti ale irurilor uniform convergente

Teorema 2.1.3: Limita unui ir uniform convergent de funcii mrginite este o funcie mrginit. Teorema 2.1.4: Limita unui ir uniform convergent de funcii continue este o funcie continu. Teorema 2.1.5: Fie ( )n nf ` un ir de funcii derivabile pe intervalul I \ . Dac irul ( )n nf ` converge uniform pe I ctre o funcie f i irul derivatelor ( )n nf ` converge uniform ctre o funcie g pe I, atunci f este derivabil pe I i gf = .

I.2.2. Serii de funcii

Definiia 2.2.1: Fie ( )n nf ` un ir de funcii definite pe A. Seria ......21 ++++ nfff se numete serie de funcii. O serie de funcii se noteaz prescurtat :

1 *, ,n n n

n nf f f

=

` .

Pentru 0x A , x0 fixat, obinem seria de numere reale ( ) ( ) ( ) ( ) ...... 002011

0 ++++==

xfxfxfxf nn

n .

Definiia 2.2.2: Funciile ...,,...,, 21 nfff se numesc termeni ai seriei de funcii. Observaie: Se observ c o serie de funcii este echivalent cu o familie de serii numerice. Ca i n cazul seriilor de numere, se pot construi sumele pariale ale seriei de funcii:

1 1 2 1 2 1 2, , ... , ... , ...n nS f S f f S f f f= = + = + + + obinndu-se un ir de funcii ( )n nS . Definiia 2.2.3: irul de funcii ( )n nS , unde 1 2 ...n nS f f f= + + + se numete ir al sumelor pariale ale seriei de funcii.

14

Definiia 2.2.4: Fie ( )n nf ` un ir de funcii definite pe A. Seria de funcii nn

f este convergent ntr-un punct 0x A ,dac irul ( )n nS , al sumelor pariale este un ir de funcii convergent n x0. Punctul 0x A n care seria n

nf este convergent se numete punct de convergen al seriei.

Definiia 2.2.5: Fie ( )n nf ` un ir de funcii definite pe A. Seria de funcii nn

f este convergent ntr-un punct 0x A dac i numai dac seria de numere ( )0n

nf x este convergent. Mulimea

punctelor x A pentru care seria nn

f este convergent se numete mulimea de convergen a seriei de funcii n

nf notat cu C = { 0x A ( )

nn xf 0 este convergent }.

Definiia 2.2.6: Seria nn

f se numete simplu convergent (punctual convergent) pe mulimea A \ ctre funcia f, dac irul sumelor pariale ( )n nS este simplu convergent pe mulimea A ctre funcia f. Definiia 2.2.7: Seria n

nf este simplu convergent pe A ctre funcia f dac pentru orice x A ,

seria de numere ( )nn

f x este convergent ctre f(x). Definiia 2.2.8: Seria de funcii n

nf este simplu convergent pe mulimea A ctre funcia f, dac

pentru orice 0 > , exist ( ),N x ` astfel nct: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , ,nS x f x n N x x A < .

Definiia 2.2.9: Seria de funcii nn

f este uniform convergent pe mulimea A ctre funcia f, dac pentru orice 0 > , exist ( )N ` astfel nct:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , ,nS x f x n N x x A < .

Criterii de convergen uniform a seriilor de funcii Teorema 2.2.1 (Criteriul lui Cauchy): Seria de funcii n

nf este uniform convergent pe mulimea

A dac i numai dac pentru orice 0 > , exist ( )N ` astfel nct: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 ... , , 1,n p n n n pS x S x f x f x n N p x A + + + = + + < .

Teorema 2.2.2 (Criteriul lui Weierstrass): Fie :nf A\ . Seria de funcii nn

f este uniform convergent pe A dac exist o serie de numere pozitive, convergent, n

n astfel nct

( ) ( ) ( ), ,n nf x n x A ` .

Proprieti ale seriilor uniform convergente Teorema 2.2.3: O serie uniform convergent de funcii mrginite are ca sum o funcie mrginit. Teorema 2.2.4: Dac exist limita unei serie uniform convergent de funcii atunci exist i limita sumei acestei serii i are loc relaia:

( ) ( )( )0 01 1

lim limn nx x x xn nf x f x

= ==

Teorema 2.2.5: O serie uniform convergent de funcii continue are ca sum o funcie continu.

15

Teorema 2.2.6: Fie o serie de funcii nn

f derivabile pe intervalul I \ . Dac seria nn

f este uniform convergent pe I ctre f i seria derivatelor

nnf este uniform convergent pe I ctre g,

atunci funcia sum f este derivabil i gf =' .

I.2.3. Serii de puteri Definiia 2.3.1: Se numete serie de puteri o serie de funcii de forma

20 1 2

0... ...n nn n

na x a a x a x a x

== + + + + + ,

unde ( )n na ` este un ir numeric i x \ . Definiia 2.3.2: Numerele an , n ` , se numesc coeficienii seriei de puteri. Teorema 2.3.2 (Teorema lui Abel):

1) Dac seria de puteri 0

nn

na x

= este convergent ntr-un punct 0 0x , atunci ea este absolut

convergent n orice punct x, cu 0x x< . 2) Dac seria de puteri

0

nn

na x

= este divergent ntr-un punct x1, atunci ea este divergent n orice

punct x, cu 1x x> . Observaie. Conform teoremei lui Abel, pot s apar urmtoarele trei situaii: 1) Seria de puteri s convearg numai n x = 0 i pentru orice { }\ 0x\ s fie divergent. 2) Seria de puteri s convearg pentru orice x\ 3) Exist r > 0 astfel nct , dac x r< seria converge, iar dac x r> , seria este divergent Teorema 2.3.3: Pentru orice serie de puteri

0

nn

na x

= exist un numr [ ] ,0R astfel nct:

1) ( ) Rxcux seria este divergent. Definiia 2.3.3: Numrul [ ] ,0R din teorema precedent se numete raza de convergen a seriei de puteri

0

nn

na x

= .

Teorema 2.3.4: Pentru orice serie de puteri 0

nn

na x

= exist un numr [ ] ,0R , unde R este raza

de convergen, astfel nct: 1. seria este absolut convergent pe intervalul (R, R), numit interval de convergen, 2. seria este divergent pe ( ) ( ) ,, RR , 3. seria este uniform convergent pe intervalul [r, r], cu 0 < r < R, fr a preciza comportarea seriei n punctele x =R i x = R.

16

Teorema 2.3.5 ( teorema lui Cauchy - Hadarmard ): Fie seria de puteri 0

nn

na x

= i R raza sa de

convergen. Dac n nn aL = lim (finit sau infinit) atunci:

=++=

+

17

a) Notm an = ( )( )!3

! 3

nn

. Calculm limn

1n

n

aa+ = lim

n( )

( )( )( )31 1 27

3 1 3 2 3 3 27n

Rn n n

+ = =+ + + Pentru x ( )27, 27 seria este absolut convergent.

b) Notm an = ( )

2

11

n nn+ . Calculm limn

1n

n

aa+ = lim

n( )( )( )

2

2

1 11 1

1 1n

n nr

n

+ + = = + +

Pentru x ( )1,1 seria este absolut convergent. Pentru x = 1 avem ( ) 2

1

11

n

n

nn

= +

an = ( )221

1 1 1n n

n n++ + + = an+1

limn an = limn 2 1

nn + = 0, Conform criteriului lui Leibnitz seria noastr este convergent.

Pentru x = -1 avem 21 1n

nn

= + an = 2 1

nn + ; bn =

1n

limn

n

n

ab

= limn 2 1

nn + n = 1

Dar 1 1

1n

n nb

n

= == este divergent i, prin urmare, seria dat va fi divergent.

Mulimea de convergen este ] ]1,1 .

Exerciii propuse:

S se studieze convergena seriilor de puteri:

a) 1

n n

nn x

= ; b)

=1n

n

nx ; c)

4 31

11

n

n

n xn n

=

++ + .

I.2.4. Seria Taylor i seria MacLaurin

O serie de puteri de forma

( ) ( ) ( ) ( ) ...... 020201000

+++++==

nn

n

nn xxaxxaxxaaxxa , ( 2.4.1)

unde x0 este un numr real, oarecare, se numete serie Taylor.

Dezvoltarea funciilor n serii Taylor Definiia 2.4.1: Fie intervalul I i :f I \ o funcie indefinit derivabil n 0x I . Atunci seria de funcii:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ...!

..."!2

'!1 0

00

20

00

0 +++++ xfnxxxfxxxfxxxf n

n

(2. 4.2)

se numete serie Taylor a funciei f n punctul x0.

18

Definiia 2.4.2: Sumele pariale Tn ale seriei Taylor (2.4.2) sunt polinoame definite pe \ , prin: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )000

20

00

0 !..."

!2'

!1xf

nxxxfxxxfxxxfxT n

n

n++++= (2.4.3)

numite polinoame Taylor. Definiia 2.4.3: Egalitatea , ( ) ( ) ( )n nf x T x R x= + sau dezvoltat

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )xRxfnxxxfxxxfxxxfxf n

nn

+++++= 0002

00

00 !

..."!2

'!1

reprezint formula Taylor ataat funciei f n punctul x0, iar Rn(x) se numete restul formulei Taylor. Teorema 2.4.1: Seria Taylor a funciei f n punctul x0 este convergent ntr-un punct x I X , ctre valoarea f(x) a funciei f n punctul x, dac i numai dac valorile n x ale resturilor Rn ale formulei lui Taylor formeaz un ir ( )n nR , convergent ctre zero, adic ( )lim 0nn R x = . Observaie: n ipoteza ( )lim 0nn R x = , are loc egalitatea

( ) ( ) ( ) ( )( ) XIxxfnxxxfxxxfxf n

n

++++= ...,!

...'!1

)( 00000 . (2. 4.4)

Definiia 2.4.4: Egalitatea (2. 4.4) se numete formula de dezvoltare a funciei f n serie Taylor n jurul punctului x0.

Definiia 2.4.5: Egalitatea ( ) ( ) ( ) ( )( ) ...0!

...0'!1

0 ++++= nn

fnxfxfxf se numete formula de

dezvoltare n serie MacLaurin a funciei f.

Definiia 2.4.6: Seria Taylor ( ) ( ) ( ) ( )( ) ...0!

...0"!2

0'!1

02

++++ nn

fnxfxfxf se numete serie

MacLaurin a funciei f. Observaie: Aplicnd formula dezvoltare n serie MacLaurin pentru funciile elementare exp, sin, cos,ln rezult pentru ( ) n ` formulele: ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 3 4 2 3 41

1 02 4 6 2 3 5 7 2 1

0 0

ln 1 ... 1 ; 1 ... ;2 3 4 2! 3! 4! !

cos 1 ... 1 ; sin ... 1 ;2! 4! 6! 2 ! 3! 5! 7! 2 1

n nn x

n nn n

n n

n n

x x x x x x x xx x e xn n

x x x x x x x xx x xn n

+

= =+

= =

+ = + + = = + + + + + =

= + + = = + + = +

( )2 3 2 30 0

2 3

1 11 ... 1 , 1; 1 ... , 1;1 1

1 1 11 1 ....2 8 16

n n n

n nx x x x x x x x x x

x x

x x x x

= == + + = = + + + + = +

+ = + + +

Exerciii rezolvate:

1. S se dezvolte n serie MacLaurin urmtoarele funcii: a) 1ln1

xx

+ ; b)

2xe .

Rezolvare:

a) ( ) ( )( ) ( ) ( )1

ln ln 1 ln 11

xf x x x

x+= = +

( ) ( )1 1 0 21 1

f x fx x

= + =+ ; ( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 0 0

1 1f x f

x x = + =+

.

19

( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )1 11 ! 1 !1 0 1 ! 1 11 1

n nn nn n

n nf x f n

x x+ + = + = + +

( ) ( ) ( )0

02 1 !

n n parfn n impar

== =

( ) ( ) ( )1

2 1

1 1

1 ! 1 12

! 2 1

nn

n

n n

n xf x xn n

+

= =

+ = = , ( )1,1x . b) tim c:

2 3 4

01 ...

2! 3! 4! !

nx

n

x x x xe xn

== + + + + + = i nlocuind x cu x2 obinem:

24 6 8 2

2

01 ...

2! 3! 4! !

nx

n

x x x xe xn

== + + + + + =

Exerciii propuse:

S se dezvolte n serie MacLaurin funciile: a) ln( 2)x + ; b) 2 35 6x

x x+ + .

I.3. FUNCII REALE DE MAI MULTE VARIABILE REALE

I.3.1. Mulimi i puncte n n\

Fie n\ produsul cartezian a n mulimi egale cu dreapta real \ , n` , adic: n\ = \ \ ... \ .

Definiia 3.1.1: Mulimea n\ este mulimea sistemelor ordonate de n numere reale, adic: ( ){ }1 2, , , , 1,n n ix x x x x i n= = =\ \ .

I.3.1.1 Structura de spaiu vectorial

Pe spaiul n\ se pot defini o parte din structurile de pe dreapt i anume structura algebric

i structura topologic. 1) Adunarea vectorilor: Fie x = (x1, x2, ... , xn) i y = (y1, y2, ... , yn) din n\ , atunci

x + y = ( x1 + y1, x2 + y2,, ... , xn + yn). Punctul 0 = (0, 0, ... ,0) n\ se numete punct origine, iar punctul -x = (- x1, - x2, ... , - xn) n\ este opusul punctului x = (x1, x2, ... , xn). Mulimea n\ formeaz un grup comutativ fa de operaia de adunare 2) nmulirea cu un scalar: Fie x = (x1, x2, ... , xn) n\ i \ , atunci x = ( x1, x2, ... , xn) n\ . Proprieti: - (x + y) = x + y; - ( + ) x = x + x;

- ( x) = ( ) x; - 1 x = x. Definiia 3.1.2: Fa de operaiile:

( ) ( )1 1 2 2 1 2, , , , , , , ,n n nx y x y x y x y x x x x + = + + + = \ mulimea n\ se organizeaz ca spaiu liniar (vectorial), iar elementele sale se numesc vectori. 3) nmulirea vectorilor: Fie x = (x1, x2, ... , xn) i y = (y1, y2, ... , yn) din n\ , atunci

20

x y = (x1 y1, x2 y2,, ... , xn yn). Proprieti: - x (y z) = (x y) z; - x y = y x;

- x (y + z) = x y + x z; - (x y) = ( x) y = x ( y).

I.3.1.2. Produsul scalar Definiia 3.1.3: Fie x = (x1, x2, ... , xn) i y = (y1, y2, ... , yn) din n\ . Se definete produsul scalar dintre x i y ca fiind numrul (x, y) dat de egalitatea:

x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn = =

n

iii yx

1 .

Proprieti: - (x, x) 0, (x, x) = 0 x = 0; - (x, y) = (y, x); - (x + y, z) = (x, z) + (y, z); - (x, y) = ( x, y) = (x, y); - (z x, y) = (x, z y).

Definiia 3.1.4: Doi vectori x, y n\ se numesc ortogonali dac produsul lor scalar este zero: (x, y) = 0.

I.3.1.3. Norma spaiului n\ Definiia 3.1.5: Fie x = (x1, x2, ... , xn) n\ . Se numete norma vectorului x numrul pozitiv ( ) 2 2 21 2, ... nx x x x x x= = + + + . Proprieti

0, 0 0; ; ;

; ; ;

, .

x x x x x x y x y

x y x y x x x y x y

x y x y x y x y

= = = + + = + +

I.3.1.4. Distana n spaiul n\ Definiia 3.1.6: Aplicaia [ ]: 0,n nd +\ \ se numete distan dac d(x,y) = yx . Proprieti ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 0, , 0 ; , , ; , , , .d x y d x y x y d x y d y x d x z d x y d y z = = = + Se verific, cu uurin, c ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1

1

, , , ..., , , ...,n

i i n ni

d x y x y x x x y y y=

= = = este o distan n n\ .

I.3.2. Topologia n spaiul n\ Definiia 3.2.1: Fie n intervale pe o dreapt, I1, I2, ... , In, unde ( ), , 1,k k kI a b k n= = . Se numete interval n - dimensional, produsul cartezian In = I1 I2 ... In.

In = {( x1, x2, ... , xn), x1 I1, x2 I2, ... , xn In }. Definiia 3.2.2: Intervalele I1, I2, ... , In se numesc laturile intervalului n dimensional. Definiia 3.2.3: Dac toate intervalele I1, I2, ... , In sunt deschise, nchise sau mrginite atunci In se numete intervalul n dimensional deschis, nchis sau mrginit. Definiia 3.2.4: Fie 0 nx \ i r > 0. Se numete sfer deschis cu centrul n x0 i de raz r mulimea:

( ) ( ){ }0 0, ,nrS x x x d x x r=

21

( ) ( ){ }0 0' , ,nrS x x x d x x r= \ sau ( ) { }0 0' ,nrS x x x x x r= \ . Teorema 3.2.1: Orice sfer deschis cu centrul n x0 coine un interval n-dimensional ce conine pe x0 i reciproc, orice asemenea interval conine o sfer deschis cu centrul n x0. Definiia 3.2.6: Se numete vecintate a punctului 0 nx \ , orice mulime nV \ cu proprietatea c exist o sfer deschis cu centrul n x0 inclus n V, adic: ( )0 0rx S x V . Teorema 3.2.2: O mulime V este vecintate a punctului 0 nx \ dac i numai dac exist un interval n-dimensional In astfel ca VIx n 0 . Definiia 3.2.7: Fie A o submulime a spaiului n\ i Ax 0 . Punctul 0 nx \ se numete punct interior mulimii nA \ , dac exist o vecintate V a lui x0 inclus n mulimea A, adic:

0 0 .nx V A sau x I V

Definiia 3.2.8: Se numete mulime deschis o mulime care conine numai puncte interioare, adic dac este egal cu interiorul su, A = int A. Definiia 3.2.9: Punctul 0 nx \ se numete punct exterior mulimii nA \ , dac x0 este punct interior complementarei lui A, adic exist o vecintate V a punctului 0 0,

cx cu x V A . Definiia 3.2.10: Punctul 0 nx \ se numete punct aderent mulimii nA \ , dac orice vecintate a lui x0 conine cel puin un punct din A, adic: ( )VAV , vecintate a lui x0. Vom nota mulime punctelor aderente cu A . Definiie 3.2.11: O mulime care-i conine toate punctele aderente, adic este egal cu nchiderea sa, A = A , se numete mulime nschis. Teorema 3.2.3: O mulime A este nchis dac i numai dac CA este deschis. Teorema 3.2.4: Reuniunea unei familii de mulimi deschise este o mulime deschis. Teorema 3.2.5: Reuniunea unei familii finite de mulimi nchise este o mulime nschis. Teorema 3.2.6: Intersecia unei familii finite de mulimi deschise este o mulime deschis. Teorema 3.2.7: Intersecia unei familii oarecare de mulimi nchise este o mulime nschis. Definiia 3.2.12: Punctul 0 nx \ se numete punct frontier al mulimii A, dac orice vecintate V a lui x0 conine puncte din A i puncte din CA sau este aderent att lui A, ct i mulimii CA,

VA , VCA . Mulimea punctelor frontier ale mulimii A se noteaz Fr(A) i se numete frontiera mulimii A. Definiia 3.2.13: Punctul 0 nx \ se numete punct de acumulare al mulimii A dac orice vecintate V a lui x0 conine cel puin un punct al mulimii A, diferit de x0, adic: { }( ) ( )VAxV ,0 vecintate a lui x0. Definiia 3.2.14: Punctul 0x A se numete punct izolat al mulimii A dac exist o vecintate V a punctului x0, astfel nct { }0V A x = , adic nu sunt puncte de acumulare. Teorema 3.2.7: Punctul x0 este punct de acumulare a lui A dac i numai dac orice vecintate V a lui x0 conine o infinitate de puncte din A. Teorema 3.2.8: O mulime A este deschis dac i numai dac i conine toate punctele sale de acumulare. Definiia 3.2.15: O mulime nA \ se numete mrginit, dac exist o sfer cu centru n origine, care conine mulimea A, adic exist M astfel nct ( ) MxAx : , sup

x Ax

< + .

Definiia 3.2.16: Mulimile nchise i mrginite din n\ se numesc mulimi compacte.

22

I.3.3. iruri de puncte din spaiul n\ Definiia 3.3.1: O funcie : nf ` \ , ( ) ,nkf k x k= \ ` se numete ir de puncte din spaiul n\ . Se noteaz ( ) 1 2, , ... , , ...k kkx sau x x x` , unde xk este termenul general al irului de puncte. Definiia 3.3.2: Un punct 0 nx \ este limita unui ir ( )k kx ` de puncte din spaiul n\ , dac n afara fiecrei vecinti a lui x0 se afl cel mult un numr finit de termeni ai irului, adic:

00lim xxsauxx kkk = . Definiia 3.3.3: irul ( )k kx ` se numete convergent ctre un numr 0 nx \ , dac orice vecintate a lui x0 conine termenii irului, cu excepia unui numr finit de termeni sau pentru orice 0 > exist ( )N ` astfel nct: ( )0 , ( )kx x k N < . Teorema 3.3.1: Un punct 0 nx \ este limita unui ir ( ) INkkx de puncte din spaiul n\ dac i numai dac pentru orice 0 > exist ( )N ` astfel nct: ( )0 , ( )kx x k N < . Teorema 3.3.2: Avem 0lim xxkk = dac i numai dac 0lim 0 = xxkk . Proprietatea 3.3.1: Limita unui ir convergent este unic. Proprietatea 3.3.2 (Criteriul de convergen): Fie ( )k k ` un ir de numere. Dac

0 , ( )k kx x k < ` i 0k , atunci 0xxk . Proprietatea 3.3.3: Dac 0xxk , atunci 0xxk sau kkkk xx = limlim Proprietatea 3.3.4: Orice ir convergent ( )k kx ` de puncte din spaiul n\ este mrginit, adic:

( )( ) , , ( )kM x M k N < ` . Proprietatea 3.3.5: Dac 0xxk i 0yyk , atunci

a) 00 yxyx kk ++ sau ( ) kkkkkkk yxyx +=+ limlimlim ; b) 00 yxyx kk sau ( ) kkkkkkk yxyx = limlimlim ; c) ( ) ( )00 ,, yxyx kk sau ( ) ( )kkkkkkk yxyx = lim,lim,lim .

Proprietatea 3.3.5: Dac 0xxk i 0 0, ,k k \ , atunci 00 xxkk sau ( ) kkkkkkk xx = limlimlim . Proprietatea 3.3.6: Orice subir al unui ir convergent este convergent i are aceeai limit . Proprietatea 3.3.7: Prin schimbarea ordinei termenilor unui ir convergent se obine tot un ir convergent i cu aceeai limit . Proprietatea 3.3.8: Prin scoaterea sau adugarea unui numr finit de termeni unui ir convergent se obine tot un ir convergent i cu aceeai limit . Proprietatea 3.3.9: Un punct na\ este punct de acumulare al unei mulimi nA\ dac i numai dac exist un ir axk format din puncte distincte din A. Proprietatea 3.3.10: O mulime nA\ este nchis dac i numai dac o dat cu orice ir convergent de puncte din A, limita irului aparine de asemenea lui A. Definiia 3.3.4: Un ir ( )k kx ` de puncte din spaiul n\ se numete fundamental (ir Cauchy) dac i numai dac pentru orice 0 > exist ( )N ` astfel nct: ( ), ( ) ,m nx x m n N < . Teorema 3.3. 3(criteriul lui Cauchy): Un ir ( )k kx ` de puncte din spaiul n\ este convergent dac i numai dac este ir fundamental.

23

Teorema 3.3.4 ( Lema lui Cesaro ): Orice ir mrginit de puncte din spaiul n\ conine un subir convergent. Teorema 3.3.5 ( Weierstrass Bolzano ): Orice mulime mrginit i infinit are cel puin un punct de acumulare.

I.3.4. Funcii definite pe mulimi din spaiul n\

Definiia 3.4.1: Fie E n\ i funcia f : E m\ , aadar argumentul funciei f este un vector din

n\ , iar valorile funciei sunt vectori. Spunem c funcia f este o funcie vectorial de variabil vectorial, notat f (x) sau f ( x1, x2, ... , xn ), unde x este o variabil vectorial din n\ i x1, x2, ... , xn sunt coordonatele lui x. Definiii 3.4.2: Fie E n\ i funciile f : E m\ , g : E m\ . Operaii cu funciile vectoriale sunt: 1) f + g : E m\ definit astfel: (f + g)(x) = f (x) + g (x), x E; 2) f g : E m\ definit astfel: (f g)(x) = f (x) g (x), x E; 3) f : E m\ definit astfel: ( f)(x) = f (x), x E i \ ; 4) f / g : E m\ definit astfel: (f / g)(x) = f (x) / g (x), x E; 5) f : E \ definit astfel: f (x) = )(xf , x E; ( )

===

m

iiffff

1

2, .

Definiia 3.4.3: Fie E n\ , F m\ i funciile f : E F, g : F p\ . Definim compunerea funciilor vectoriale astfel h : E p\ , unde h = g D f sau h (x) = (g D f) (x) = g ( f(x)), x E. Definiia 3.4.4: Fie E n\ , F m\ i funcia biunivoc f : E F. Definim inversa funciei vectoriale f astfel f -1 : F E, cu proprietatea ( f -1 D f ) (x) = x i ( f D f -1 ) (y) = y, y F . Definiia 3.4.5: Fie E n\ i funcia f : E m\ . Se spune c funcia f este mrginit pe mulimea E, dac mulimea valorilor f (E) m\ este mrginit, adic exist Vr(a) m\ care conine mulimea valorilor f (E). Teorema 3.4.1: Fie E n\ i funcia vectorial f : E m\ . Atunci funcia f este mrginit dac i numai dac exist un numr real M astfel nct pentru orice x E s avem ( )f x M . Corolarul 3.4.1: Funcia vectorial f : E m\ este mrginit dac i numai dac ( )x f x definit pe E este mrginit, adic sup ( )

x Ef x

< + .

Teorema 3.4.2: Funcia vectorial f : E m\ este mrginit dac i numai dac toate componentele sale reale sunt mrginite.

I.3.5. Limita funciilor definite pe mulimi din spaiul n\ Definiia 3.5.1: Numim funcie real de n variabile reale o funcie : nf A \ \ . Argumentul funciei f este un vector 1 2( , ,..., )

t nnx x x x A= \ , de aceea f se mai numete

funcie real de variabil vectorial. A este domeniul de definiie al funciei; f (A) este mulimea n care funcia f ia valori; f este legea de coresponden ntre ( )nA i f A \ \ . Vom nota: ( )1 2, , , ny f x x x= .

Fie nA \ , x0 un punct de acumulare pentru mulimea A i : mf A \ . Definiia 3.5.2: Se spune c un vector ml\ este limita funciei f n punctul x0, dac pentru orice ( )U V l ( n m\ ), exist 0( )V V x ( n n\ ) astfel nct ( ) x V A , 0x x , ( )f x U , adica

24

0

lim ( )x x

l f x= . Definiia 3.5.3: Se spune c un vector l\ este limita funciei f n punctul (x0, y0) dac pentru orice ( )U V l , exist 0 0( , )V V x y astfel nct ( ) ( , )x y V A , 0x x , ( , )f x y U , adica

00

lim ( , )x xy y

l f x y

= .

Definiia 3.5.4: Se spune c un vector ml\ este limita funciei f n punctul (x0, y0), dac pentru orice 0 > , exist ( ) 0 > astfel nct 0 0( ) ( , ) ( , )x y x y , ( , )x y A : cu 0 ( )x x < ,

0 ( )y y < s avem ( )f x l < , adica 00

lim ( , )x xy y

l f x y

= .

Proprietile limitei Proprietatea 3.5.1: Limita unei funcii vectoriale ntr-un punct, dac exist, este unic. Proprietatea 3.5.2: Dac

0

lim ( )x x

f x l = , atunci 0lim ( )x x f x l = . Proprietatea 3.5.3: Avem

0

lim ( )x x

f x l = dac i numai dac [ ]0lim ( ) 0x x f x l = . Proprietatea 3.5.4: Dac

0

lim ( ) 0x x

f x , atunci exist 0( )V V x astfel nct ( ) x V A , 0x x , ( ) 0f x .

Proprietatea 3.5.5: Funcia f are limit n x0 dac i numai dac pentru orice 0 > , exist 0( )V V x astfel nct ( ) ,x x V A , 0x x , 0x x atunci are loc relaia ( ) ( )f x f x < .

Proprietatea 3.5.6: Dac : mf A \ i :h A \ , dac 0

lim ( ) 0x x

h x = i dac exist un vector ml\ i o vecintate V a lui x0, astfel nct s avem ( ) ( )f x l h x pentru ( ) x V A , 0x x , atunci

0

lim ( )x x

f x l = . Proprietatea 3.5.7: Dac : mf A \ i : mg A \ , au limite n x0 , atunci funciile

: mf g A+ \ , : mf g A \ au limite n x0 i [ ]

0 0 0

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x x x x x x

f x g x f x g x + = + [ ]

0 0 0


f x g x f x g x = . Proprietatea 3.5.8: Dac : mf A \ i : A \ , au limite n x0, atunci funcia : mf A \ au limite n x0 i [ ]

0 0 0


x f x x f x = . Teorema 3.5.1: Fie funcia : n mf A \ \ i funciile 1 2, ,..., :mf f f A \ , componentele sale reale 1 2: { , ,..., }mf f f f= . Atunci

0

lim ( )x x

f x l = dac i numai dac 0lim ( )i ix x f x l = , 1,i m= , unde 1 2: { , ,..., }

mml l l l= \ .

Limite pariale i iterate

Fie 1 2( , ,..., )nf x x x o funcie vectorial de n variabile, :n mf A \ \ . Din aceast

funcie putem obine funciile sale pariale: 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2: ( , ,..., ), : ( , ,..., ), ... , : ( , ,..., )n n n n nf x f x x x f x f x x x f x f x x x

Atunci 1 2lim ( ) lim ( , ,..., )i i i i

i i nx a x af x f x x x = , 1,i n= dac ai este punct de acumulare al

mulimii { }1 2, ( , ,..., )i i i nA x x x x x A= \ . Limita funciei fi este un numr care depinde de celelalte n 1 variabile reale, diferite de xi. 1 2lim lim ( , ,..., )

j j i inx a x a

f x x x , i j .

25

Aceast limit este un numr care depinde de celelalte n 2 variabile diferite de xi i xj. Se poate considera limita iterat a acestei funcii n raport cu toate variabilele pe rnd. Aceast limit este un numr care nu mai depinde de nici una din variabile. Aceasta se numete limita iterat a funciei f. Observaie: Pornind de la funcii reale de n variabile reale particularizm pentru funcii reale de dou variabile reale. Pentru funcia f (x, y), 2: mf A \ \ i punctul de acumulare (x0 , y0) se pot considera i alte tipuri de limite, numite limite pariale i anume: ( )

00

lim ,x xy y

f x y=

limit parial n raport cu y;

( )0

0

lim ,x xy y

f x y=

limit parial n raport cu x. De asemenea, se pot defini limitele iterate ,adic:

( )0 0

lim lim ,x x y y

f x y sau ( )0 0lim lim ,y y x x f x y . Teorema 3.5.2: Dac exist limita funciei ntr-un punct i una din limitele iterate n acest punct, atunci aceste limite sunt egale. Observaie: Legtura ntre limita funciei n raport cu ansamblul variabilelor i limite iterate: - dac ( )

00

( ) lim ,x xy y

f x y

, precum i una dintre limitele iterate n 0 0( , )x y , atunci cele dou limite coincid; - dac limita nu exist, limitele iterate pot exista. - dac exist una din cele trei limite ( )

00

lim ,x xy y

f x y l

= sau ( )0 0

lim lim ,x x y y

f x y sau ( )0 0lim lim ,y y x x f x y nu rezult c i celelalte dou limite exist. - dac exist limitele iterate ale funciei f n 0 0( , )x y i sunt egale nu rezult c exist limita funciei n (a, b) n raport cu ansamblul variabilelor.

I.3.6. Continuitatea funciilor vectoriale

Definiia 3.6.1: Fie : nf A \ \ , 0x A . Se spune c funcia f este continu n punctul x0, dac pentru orice vecintate U a lui f (x0) exist o vecintate V a lui x0 astfel nct orice x V A s avem ( )f x U . Definiii echivalente: 1) Funcia f este continu n punctul x0 dac i numai dac ( )( ) k kx ` , kx A , 0kx x , 0kx x :

0( ) ( )kf x f x ; 2) Funcia f este continu n punctul x0 dac i numai dac pentru orice 0 > , exist ( ) 0 > astfel nct 0( ) x x , x A : cu 0 ( )x x < s avem 0( ) ( )f x f x < ; 3) Funcia f este continu n punctul x0 dac i numai dac pentru orice 0 > , exist 0( )V V x astfel nct ( ) x V A , 0( ) x x s avem 0( ) ( )f x f x < ; 4) Funcia f este continu n punctul x0 dac i numai dac pentru orice 0( ( ))U V f x , exist

0 > astfel nct ( ) x A , 0( ) x x i 0x x < implic ( )f x U . 5) Funcia f este continu n punctul 0 1 2( , ,..., )nx a a a A= dac i numai dac pentru orice

0 > ( )0( ) ( ( ))U V f x , exist ( ) 0 > astfel nct 1 2( ) ( , ,..., )nx x x x A = cu 1 1 ( )x a < , 2 2 ( )x a < , ... , ( )n nx a < s avem: 1 2 1 2( , ,..., ) ( , ,..., )n nf x x x f a a a <

6) Funcia f este continu n punctul x0 dac i numai dac ( )0

0lim ( )x x f x f x = , ( )

00lim ( ) 0x x f x f x =

26

7) Dac funcia f este continu n toate punctele mulimii A, spunem c f este continu pe mulimea A.

Proprieti: Proprietatea 3.6.1: Dac f este continu n raport cu x0, 0x A atunci ( )f x este continu n raport cu x0. Proprietatea 3.6.2: Dac f este continu n raport cu x0 i 0( ) 0f x , atunci exist V o vecintate a punctului x0 pe care funcia f este diferit de 0. Proprietatea 3.6.3: Dac f este continu n raport cu x0 atunci exist V o vecintate a punctului x0 pe care funcia f este mrginit. Proprietatea 3.6.4: Dac

0

lim ( )x x

f x exist n m\ , atunci funcia f se poate prelungi prin

continuitate n punctul x0, punnd: 0

0( ) lim ( )x xf x f x= Proprietatea 3.6.5: Dac f i g este continu n raport cu x0, iar : A \ este continu n raport cu x0, atunci f + g, f g, ( f, g) i f sunt continue n raport cu x0. n particular funcia f sunt continue n raport cu x0 oricare ar fi \ . Proprietatea 3.6.6: Fie nE \ , mF \ . Dac funcia :f E F este continu n x0, 0x E , iar

: pg F \ este continu n 0 0( )y f x F= , atunci funcia compus : pg f E D \ este continu n x0. Proprietatea 3.6.6: Funcia vectorial f este continu n x0 dac i numai dac fiecare din componentele sale reale 1 2, ,..., :mf f f E \ este continu n x0. Proprietatea 3.6.7: Dac f este continu n raport cu ansamblul variabilelor, atunci ea este continu n acel punct n raport cu fiecare variabil n parte. Reciproca nu este, n general, adevrat.

I.3.7. Derivatele funciilor reale de mai multe variabile reale

III.3.7.1. Derivate pariale Definiia 3.7.1.1: Fie 2:f E \ \ i (x0, y0 ) un punct interior lui E. Funcia f este derivabil parial n raport cu x n punctul (x0, y0 ), dac

( ) ( )0

0 0 0

0

, ,limx x

f x y f x yx x , exist i este finit.

Aceast limit se noteaz cu ( ) ( )0 0' 0 0 ,,x f x yf x y sau x

i se va numi derivata parial de ordinul nti a funcie f n raport cu x n punctul (x0, y0).

( ) ( ) ( ) ( )0

0 0 0 0 0'0 0

0

, , ,, limx x x

f x y f x y f x yf x y

x x x = = .

Analog se definete funcia f este derivabil parial n raport cu y n punctul (x0, y0)

( ) ( ) ( ) ( )0

0 0 0 0 0'0 0

0

, , ,, limy y y

f x y f x y f x yf x y

y y y = = .

Definiia 3.7.1.2: Dac funcia f este derivabil parial n raport cu x (n raport cu y) n fiecare punct al lui A E , vom spune c funcia f este derivabil parial n raport cu x (n raport cu y) pe mulimea A. Observaie: Regul practic de derivare parial: cnd se deriveaz parial n raport cu x, se consider y constant, iar cnd derivm parial n raport cu y, se consider x constant. Observaie: Dac ( ) ( )' '0 0 0 0, ,x yf x y sau f x y sunt + sau , vom spune c f are derivat n punctul (x0, y0 ), dar nu este derivabil n (x0, y0 ). Derivata parial ntr-un punct msoar viteza de variaie a

27

funciei n raport cu variabila respectiv. Derivatele pariale ale funciilor n care intervin sume, produse, cturi de funcii se calculeaz dup regulile stabilite la funcii de o singur variabil real. Teorema 3.7.1.1: Dac derivata parial xf ( respectiv yf ) exist n punctul (x0, y0 ), atunci funcia f este continu n (x0, y0 ) n raport cu x ( respectiv y). Observaie: Dac exist ambele derivate pariale ( )' 0 0,xf x y i ( )' 0 0,yf x y atunci funcia f ( x, y) este continu n (x0, y0 ) n raport cu fiecare variabil n parte, dar nu n mod necesar n raport cu ansamblul variabilelor. Teorema 3.7.1.2: Fie (x0, y0 ) un punct interior al lui E. Dac derivatele pariale xf i yf exit pe o vecintate V a lui (x0, y0 ), atunci pentru orice punct ( , )x y V exist un numr cuprins ntre x0 i x i un numr cuprins ntre y0 i y astfel nct:

0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( )x yf x y f x y f y x x f x y y = + . Teorema 3.7.1.3: Fie (x0, y0 ) un punct interior al lui E. Dac funcia f are derivate pariale mrginite ntr-o vecintate V a lui (x0, y0 ), atunci ea este continu n (x0, y0 ). Consecina 3.7.1.1: Dac derivata parial xf i yf exist pe o vecintate a lui (x0, y0 ), i sunt continue n (x0, y0 ), atunci funcia f este continu n (x0, y0 ). Consecina 4.1.2: Dac derivata parial xf i yf exist pe E i sunt continue sau mrginite pe E, atunci funcia f este continu pe E . Definiia 3.7.1.3: Fie 3:f E \ \ i (x0, y0, z0 ) un punct interior lui E. Funcia f este derivabil parial n raport cu x n punctul (x0, y0, z0 ), dac

( ) ( )0

0 0 0 0 0

0

, , , ,limx x

f x y z f x y zx x , exist

i este finit. Aceast limit se noteaz cu ( ) ( )0 0 0' 0 0 0 , ,, ,x f x y zf x y z sau x

i se va numi derivata parial de ordinul nti a funciei f n raport cu x n punctul (x0, y0, z0 ).

( ) ( ) ( ) ( )0

0 0 0 0 0 0 0 0'0 0 0

0

, , , , , ,, , limx x x

f x y z f x y z f x y zf x y z

x x x = = .

Analog se definete funcia f este derivabil parial n raport cu y n punctul (x0, y0, z0 )

( ) ( ) ( ) ( )0

0 0 0 0 0 0 0 0'0 0 0

0

, , , , , ,, , limy y y


y y y = = .

i funcia f este derivabil parial n raport cu z n punctul (x0, y0, z0 ),

( ) ( ) ( ) ( )0

0 0 0 0 0 0 0 0'0 0 0

0

, , , , , ,, , limz z z


z z z = = .

Definiia 3.7.1.6: Fie 1 2( , ,..., ) :n

nf x x x E \ \ i (x01, x02, ... , x0n) un punct interior lui E. Funcia f este derivabil parial n raport cu xi n punctul (x01, x02, ... , x0n), dac

0

01 02 0 1 0 1 0 01 02 0

0

( , ,..., , , ,..., ) ( , ,..., )limi i

i i i n n

x xi i

f x x x x x x f x x xx x

+

, exist i este finit. Aceast limit se

noteaz cu ' 01 02 001 02 0( , ,..., )( , ,..., )

i

nx n

i

f x x xf x x x saux

i se va numi derivata parial de ordinul

nti a funciei f n raport cu xi n punctul (x01, x02, ... , x0n).

0

' 01 02 0 01 02 0 1 0 1 0 01 02 001 02 0

0

( , ,..., ) ( , ,..., , , ,..., ) ( , ,..., )( , ,..., ) limi

i i

n i i i n nx n x x

i i i

f x x x f x x x x x x f x x xf x x xx x x

+

= = . Definiia 3.7.1.4: Fie 2: mf E \ \ , 1 2( , ,..., )mf f f f= i (x0, y0 ) un punct interior lui E. Funcia f este derivabil parial n raport cu x n punctul (x0, y0 ), dac toate componentele sale au derivat parial n raport cu x n punctul (x0, y0).

28

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 1 0 0 2 0 0 0 0' 0 0 , , , ,, , ,..., m mx f x y f x y f x y f x yf x y x x x x = =

\ .

Definiia 3.7.1.5: Fie 2:f E \ \ i ( )0 0,x y E . Expresia ( ) ( )00 ,, f x yR x y x= se numete valoarea medie a funciei f (x, y) n raport cu x. Expresia ( ) ( )00 ,, f x yR x y y= se numete valoarea medie a funciei f ( x, y) n raport cu y.

Definiia 3.7.1.5: Expresia ( ) ( )0 0, ,fM x y x yx= se numete valoarea marginal a funciei f ( x,

y) n raport cu variabila x. Expresia ( ) ( )0 0, ,fM x y x yy= se numete valoarea marginal a

funciei f ( x, y) n raport cu variabila y. Definiia 3.7.2.6: Se numete elasticitatea parial a funciei f ( x, y) n raport cu variabila x, n

punctul ( 0 0,x y ), expresia ( ) ( ) ( )00 0 0 00 0, ,,xx fE x y x y

f x y x= . Se numete elasticitatea parial a

funciei f ( x, y) n raport cu variabila y, n punctul ( 0 0,x y ), expresia

( ) ( ) ( )00 0 0 00 0, ,,yy fE x y x y

f x y y= .

Exerciii rezolvate:

1. Pornind de la definiie, s se calculeze derivatele pariale de ordinul nti n punctul indicat pentru funcia: 2( , ) ln(2 3 )f x y x y= + n (1,1) Rezolvare:

( ) ( ) ( ) ( )'1

1,1 ,1 1,11,1 lim

1x xf f x f

fx x

= = 2

1

ln(2 3) ln 5lim1x

xx+ = 21

4 4lim2 3 5x

xx

= =+

( ) ( ) ( ) ( )'1

1,1 1, 1,11,1 lim

1y yf f y f

fy y

= = 1ln(3 2) ln 5lim

1yy

y+ = 1

3 3lim3 2 5y y

= =+

2. Fie ( )2 2( , ) xyf x y x y e= + . S se verifice ecuaia: ( , ) ( , ) 2 ( , )f fx x y y x y f x yx y + = Rezolvare:

( ) ( )2 2 2 21 1( , ) 2 2x x xy y yf x y x e x y e x y x ex y y = + + = + +

( ) ( )( ) ( )

2 2 3 3 22

2 22 3 2 3 3 32 2

1 1( , ) ( , ) 2 2

22 2 2 2 ( , )

x xy y

x x xy y y

f fx x y y x y x x y x e y x y x y ex y y y

y x yx y x x y y x x ye e x y e f x yy y

+ = + + + + ++ + + += = = + =

3. Se d funcia 2

: , ( , ) x x yf f x y e + =\ \ \ . S se arate c: M(x,0) M(1,y) = f(x,0) f(1,y). Rezolvare:

( ) ( )2 2 3 3 22 21( , ) 2 2x x xy y yf xx y y e x y e x y x y ey y y = + + = +

29

f (x,0) = ex; f (1,y) = e1+y; 2

( , ) (1 2 ) x x yf x y x y ex

+ = + ; yxxex

yf 22 +=

;

( ) ( ) xexxfxM =

= 0,0, ; ( ) ( ) yeyyfyM +=

= 1,1,1 M(x,0) M(1,y) = f(x,0) f(1,y) = ex e1+y

4. Se d funcia f (x, y) = ln (x2 y + x y2), x,y > 0. S se verifice ecuaia: [ ] [ ] 3( , )x y

E f E ff x y

+ = Rezolvare:

2

2 2

2( , )f x y yx yx x y x y

+= + 2

2 2

2( , )f x y xx yy x y x y

+= +

( ) ( ))()ln(

2,),( 2222

22

xyyxxyyxxyyxyx

xf

yxfxfEx ++

+==

( ) ( ))()ln(

2,),( 2222

22

xyyxxyyxxyyxyx

yf

yxfyfEy ++

+==

[ ] [ ]),(

3)()ln(

332222

22

yxfxyyxxyyxxyyxfEfE yx =++

+=+

Exerciii propuse:

1. S se arate c funcia ( , ) yf x y arctgx

= verific ecuaia: 2 2

2 2( , ) ( , ) 0f fx y x y

x y + =

2. Fie ( , ) ln yf x y x y xx

= + . S se verifice ecuaia: ( , ) ( , ) ( , )f fx x y y x y x y f x yx y

+ = +

3. Se d funcia 2 2( , )f x y x y= + , x, y > 0. Artai c: [ ] [ ] 1=+ fEfE yx . 4. Se d funcia de producie de tip Coob Douglas: 1( , )f x y x y = . S se arate c suma elasticitilor pariale n orice punct este 1.

I.3.7. 2. Derivate pariale de ordin superior Definiia 3.7.2.1: Fie 2:f E \ \ , derivabil parial n raport cu x, respectiv cu y, oricare ar fi ( ),x y E . Dac derivatele pariale ( ) ( )' ', ,x yf x y i f x y definite pe E, exist, sunt la rndul lor derivabile parial n raport cu x i y, derivatele lor pariale se numesc derivate pariale de ordinul doi ale funciei f i se noteaz:

( ) ( )22 "2, ,xf x yf f x yx x x = =

; ( ) ( )22 "2, ,yf x yf f x yy y y = =

;

( ) ( )2 ", ,yxf x yf f x yy x y x = =

; ( ) ( )2 ", ,xyf x yf f x yx y x y = =

.

Definiia 3.7.2.2: Derivatele pariale de ordinul doi 2 2

,f fx y y x se numesc derivate pariale

mixte de ordinul al doilea i, n general, nu sunt egale.

30

Definiia 3.7.2.3: O funcie de n variabile 1 2( , ,..., )nf x x x poate avea n derivate pariale de

ordinul nti i n2 derivate pariale de ordinul doi: i jx x

f , , 1,i j n= . Observaie: Criteriul urmtor d condiii suficiente ca derivatele pariale mixte s fie egale. Teorema 3.7.2.1 (Criteriul lui Schwarz): Dac funcia 2:f E \ \ are derivate pariale mixte de ordinul doi ntr-o vecintate a punctului ( )0 0,x y E i acestea sunt continue n (x0, y0 ), atunci

( ) ( )" "0 0 0 0, ,xy yxf x y f x y= . Consecina 3.7.2.1: Dac derivatele pariale mixte "xyf i

"yxf exist i sunt continue pe E, atunci

ele sunt egale pe E i avem: " "xy yxf f= . Teorema 3.7.2.2 (Criteriul lui Young): Dac funcia f are derivate pariale de ordinul nti xf i

yf ntr- o vecintate V a lui (x0, y0 ) i dac xf i yf sunt difereniale n (x0, y0 ), atunci derivatele pariale mixte de ordinul doi exist n (x0, y0 ) i sunt egale n acest punct: ( ) ( )" "0 0 0 0, ,xy yxf x y f x y= . Consecina 3.7.2.2: Dac derivatele pariale de ordinul nti xf i yf exist i sunt difereniale pe E, atunci toate derivatele pariale de ordinul doi exist pe E, iar derivatele pariale mixte sunt egale pe E i avem: " "xy yxf f= . Consecina 3.7.2.3: Dac derivatele pariale de ordinul n 1 exist pe o vecintate V a lui (x0, y0 ) i sunt difereniabile n (x0, y0 ), atunci exist toate derivatele pariale de ordin n n (x0, y0 ) i derivatele mixte, n care variabilele n raport cu care se deriveaz intervin de acelai numr de ori, sunt egale n (x0, y0 ). Consecina 3.7.2.4: Dac toate derivatele pariale de ordinul doi ale funciei f exist ntr-o vecintate V a lui (x0, y0 ) i dac sunt continue n (x0, y0 ), atunci: ( ) ( )" "0 0 0 0, ,xy yxf x y f x y= . Definiia 3.7.2.4: Fie 3:f E \ \ , derivabil parial n raport cu x, respectiv cu y, respectiv cu z, oricare ar fi ( ), ,x y z E . Dac derivatele pariale ( ) ( ) ( )' ' ', , , , , , ,x y yf x y z f x y z i f x y z definite pe E, exist, sunt la rndul lor derivabile parial n raport cu x, y i z, derivatele lor pariale se numesc derivate pariale de ordinul doi ale funciei f i se noteaz:

( ) ( )22 "2, , , ,xf x y zf f x y zx x x = =

; ( ) ( )22 "2, , , ,yf x y zf f x y zy y y = =

;

( ) ( )22 "2, , , ,zf x y zf f x y zz z z = =

; ( ) ( )2 ", , , ,xyf x y zf f x y zx y x y = =

;

( ) ( )2 ", , , ,yxf x y zf f x y zy x y x = =

; ( ) ( )2 ", , , ,xzf x y zf f x y zx z x z = =

;

( ) ( )2 ", , , ,yzf x y zf f x y zy z y z = =

; ( ) ( )2 ", , , ,zyf x y zf f x y zz y z y = =

;

( ) ( )2 ", , , ,zxf x y zf f x y zz x z x = =

.

Exerciii rezolvate:

1. S se determine derivatele pariale de ordinul doi pentru funciile:

a) ( ) 2,f x y x y= ; b) ( ) ( ), sinf x y x x y= + ; Rezolvare:

31

a) ( )2 2 ( , ) ( , ) 2 2f fx y x y xy yx x x x = = =

, ( )2 22 ( , ) ( , ) 0f fx y x y xy y y y = = = ; ( )2 2( , ) ( , ) 2f fx y x y x xx y x y x = = = , ( )

2

( , ) ( , ) 2 2f fx y x y xy xy x y x y

= = = .

b) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 ( , ) ( , ) sin cos 2cos sinf fx y x y x y x x y x y x x yx x x x = = + + + = + + ( )( ) ( )2 2 ( , ) ( , ) cos sinf fx y x y x y x x yy y y y = = + = + ( )( ) ( ) ( )2 ( , ) ( , ) cos cos sinf fx y x y x x y x y x x y

x y x y x = = + = + +

( ) ( )( ) ( ) ( )2 ( , ) ( , ) sin cos cos sinf fx y x y x y x x y x y x x yy x y x y

= = + + + = + +

Exerciii propuse:

1. S se determine derivatele pariale de ordinul doi pentru funciile: a) ( ) ( )2, cosf x y x y= + ; b) ( ) ( )2, ln 1f x y x y= + + .

I.3.8. Difereniala funciilor reale de mai multe variabile reale Definiia 3.8.1: Fie 2:f E \ \ i 0 0( , )x y un punct interior mulimii E . Funcia f este difereniabil n punctul 0 0( , )x y dac exist dou numere reale i i o funcie

2: E \ \ , continu i nul n punctul 0 0( , )x y , adic ( )00

0 0lim , ( , ) 0x xy y

x y x y

= = , astfel

nct, pentru orice punct ( ),x y E , s existe egalitatea ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 20 0 0 0 0 0, , ,f x y f x y x x y y x y x x y y = + + + . (3.8.1)

Definiia 3.8.2: Dac mulimea E este deschis (format numai din puncte interioare) i dac f este difereniabil n orice punct al mulimii E, spunem c f este difereniabil pe mulimea E. Observaie: Egalitatea (3.8.1) se scrie: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0, , ,f x y f x y x x y y x y d = + + Lema 3.8.1: Dac funcia ( ),x y definit pe E, are limita 0 n punctul 0 0( , )x y , atunci exist dou funcii ( )1 ,x y i ( )2 ,x y definite pe E, au limita 0 n punctul 0 0( , )x y i care verific egalitate:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 2 0, , ,x y d x y x x x y y y = + , ( ),x y E Reciproc, dac funcilei ( )1 ,x y i ( )2 ,x y definite pe E, au limita 0 n punctul 0 0( , )x y , atunci exist o funcie ( ),x y definit pe E, cu limita 0 n punctul 0 0( , )x y , care s verifice egaliatatea precedent.

Proprieti Proprietatea 3.8.1: Funcia f este diferenial n punctul 0 0( , )x y dac i numai dac exist dou numere reale i , i dou funcii ( )1 ,x y i ( )2 ,x y definite pe E, continue n punctul

32

0 0( , )x y i nule n acest punct: ( )00

0 0lim , ( , ) 0i ix xy y

x y x y

= = , 1,2i = , astfel nct pentru orice

( ),x y E s avem egaliatetea: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 1 0 2 0, , , ,f x y f x y x x y y x y x x x y y y = + + + .

Proprietatea 3.8.2: Dac funcia f este difereniabil n punctul 0 0( , )x y ED

, atunci ea are derivate pariale n 0 0( , )x y i , n plus,

' '0 0 0 0( , ), ( , )x yf x y f x y = = . Egalitatea din definiie a

difereniabilitii se scrie atunci astfel: ( ) ( ) ( ) ( )' '0 0 0 0 0 0 0 0, ( , ) ( , ) ( , ) ,x yf x y f x y f x y x x f x y y y x y d = + + ;

sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' '0 0 0 0 1 0 0 0 2 0, ( , ) ( , ) , ( , ) ,x yf x y f x y f x y x y x x f x y x y y y = + + +

Consecina 3.8.1: Dac f este difereniabil pe mulimea E, atunci ea are derivate pariale ' 'x yf i f pe E. Reciproca nu este adevrat. Teorema 3.8.1: Dac funcia f este difereniabil n punctul 0 0( , )x y , atunci ea este continu n acest punct. Teorema 3.8.2 ( Condiie suficient pentru difereniabilitate n punct): Dac funcia f are derivate pariale de ordinul nti n raport cu x i y ntr-o vecintate V a punctului 0 0( , )x y i dac aceste derivate pariale sunt continue n 0 0( , )x y , atunci funcia f este difereniabil n 0 0( , )x y . Aadar, pentru o funcie difereniabil n punctul 0 0( , )x y , putem scrie:

( ) ( ) ( ) ( )' '0 0 0 0 0 0 0 0, ( , ) ( , ) ( , ) ,x yf x y f x y f x y x x f x y y y x y d = + + (3.8.2) Definiia 3.8.3: Diferena ( ) ( )0 0, ,f x y f x y se numete creterea funciei f corespunztoare creterilor 0x x i 0y y ale variabilelor x i y. Pentru creteri mici ale argumentelor x i y, din ( ) ( )

00

0 0lim , , 0x xy y

x y x y

= = , deducem c diferena ( ) ( )0 0, ,f x y f x y poate fi aproximat cu funcia liniar n x, y ,

( ) ( ) ( ) ( )' '0 0 0 0 0 0, ,x yf x y x x f x y y y + . (3.8.3) Definiia 3.8.4: Funcia liniar din (3.8.3) se numete difereniala funciei f n punctul 0 0( , )x y i se noteaz ( )0 0, ; ,df x y x y . Aadar, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' '0 0 0 0 0 0 0 0, ; , , ,x ydf x y x y f x y x x f x y y y= + i reprezint, aproximativ ,creterea funciei f n 0 0( , )x y , adic

( ) ( ) ( )0 0 0 0, ; , , ,df x y x y f x y f x y . Obinem ( ) ( ) ( )' ', , ,x ydf x y f x y dx f x y dy= + sau, dac nu se pun n eviden variabilele x i y,

' 'x y

f fdf f dx f dy dx dyx y

= + = + (3.8.4)

Definiia 3.8.5: Expresia d dx dyx y = + se numete operator de difereniere.

Definiia 3.8.6: Fie 3:f E \ \ i 0 0 0( , , )x y z un punct interior mulimii E . Funcia f este difereniabil n punctul 0 0 0( , , )x y z dac exist trei numere reale , i i o funcie

3: E \ \ , continu i nul n punctul 0 0 0( , , )x y z , adic ( )00

0

0 0 0lim , , ( , , ) 0x xy yz z

x y z x y z

= = ,

astfel nct, pentru orice punct ( ), ,x y z E , s existe egalitatea

33

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

0 0 0 0 0 0

2 2 20 0 0

, , ( , , )

, ,

f x y z f x y z x x y y z z

x y z x x y y z z

= + + ++ + +

.

Definiia 3.8.7: Pentru 3:f E \ \ , avem 1 2 3

1 2 3

f f fdf dx dx dxx x x

= + +

1 2 31 2 3

d dx dx dxx x x = + + , operator de difereniere.

Definiia 3.8.8: Pentru funcia 2 0 0: , ( , )f E i x y E D

\ \ se pot defini i difereniale de ordin superior. Funcia f este difereniabil de k ori n punctul 0 0( , )x y sau f are diferenial de ordinul k n 0 0( , )x y , dac toate derivatele pariale de ordinul k 1 ale lui f exist ntr-o vecintate V a lui 0 0( , )x y i acestea sunt difereniabile n 0 0( , )x y . Difereniala de ordinul k a funciei f n punctul 0 0( , )x y este dat de egalitatea

0 0 0 0( , ) ( , )k

kd f x y dx dy f x yx y

= + (3.8.5)

sau, dac nu punem n eviden punctul 0 0( , )x y ,

k

kd f dx dy fx y

= + (3.8.6)

n aceast egalitate exponentul k indic faptul c binomul din paranteze trebuie dezvoltat n mod formal dup binomul lui Newton, iar rezultatul se nmulete formal cu f. Operatorul din relaia (3.8.6) este operatorul de difereniere de ordinul k i se obine prin ridicarea formal la puterea k a operatorului de difereniere de ordinul unu. Avem, ( )1k kd f d d f= .

2 2 2 22 2 2

2 22f f fd f dx dy f dx dx dy dy

x y x x y y = + = + +

Exerciii rezolvate:

1. S se calculeze ( ),df x y pentru urmtoarele funcii:a) ( ), , 0xf x y yy

= , b) ( ) ( )2 3, lnf x y x y= + Rezolvare:

a) ' ' 21( , ) , ( , )x y

xf x y f x yy y

= = ; ( ) 2 21, x x y dx x dydf x y d dx dyy y y y = = =

b) 2

' '2 3 2 3

2 3( , ) , ( , )x yx yf x y f x y

x y x y= =+ + ; ( ) dyyx

xdxyx

xyxdf 323222, +++=

2. S se calculeze ( ), ,df x y z pentru urmtoarele funcia ( ), , ln( )y z xf x y z x y z= . Rezolvare: ( ), , ln( )y z xf x y z x y z= ln ln lny x z y x z= + +

( , , ) lnf yx y z zx x

= + ; ( , , ) lnf zx y z xy y

= + ; ( , , ) lnf xx y z yz z

= + ;

( ), , ( ln )ydf x y z z dxx

= + + ( ln )z x dyy+ + ( ln )x y dz

z+

34

3. Se d funcia de producie de tip Coob Douglas: 1( , )f x y x y = . Pentru 13

= s se calculeze f ( 2, 2) i df ( 2, 2); Rezolvare:

Pentru 13

= funcia de producie de tip Coob Douglas devine 1 23 3( , )f x y x y=

1 2 2 213 3 3 31 1( , )

3 3f x y x y x yx

= = 1 2 1 113 3 3 32 2( , )

3 3f x y x y x yy

= =

( ) 1 2 2 2 1 13 3 3 3 3 31 2,3 3

df x y d x y x y dx x y dy = = +

( ) 1 2 2 2 1 13 3 3 3 3 31 2 1 22, 2 2 2 2 2 2 23 3 3 3

df d dx dy dx dy = = + = +

4. S se calculeze d2f pentru urmtoarele funcii: a) ( ) 2 2, 3f x y x y= + ; b) ( ),f x y = xarctgy

,

c) ( ) ( ) ( ) 3, , ln , 0, , ,f x y z ax by cz ax by cz x y z= + + + + > \ . Rezolvare:

a)2 2 2 2

2 2 22 2( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , )f f fd f x y dx dy f x y x y dx x y dx dy x y dy

x y x x y y = + = + +

( )2 2 2 2 2 2( , ) 3 2 6d f x y d x y dx dy= + = + , deoarece

2 2 2

2 2( , ) 2 , ( , ) 6 , ( , ) 2, ( , ) 0, ( , ) 6f f f f fx y x x y y x y x y x yx y x x y y

= = = = = .

b) 2 2 2 2 2 22 2

1( , ) [2 ( ) 2 ]xd f x y d arctg xydx y x dxdy xydyy x y

= = + ,

deoarece ( , )f x yx

= 22 yxy+ ; ( , )

f x yy

= 22 yxx+ ;

2

2 ( , )f x y

x = 22

2yx

xy+ ;

2

2 ( , )f x y

y = 22

2yx

xy+ ;

2

( , )f x yx y = 22

22

yxxy

+

.

c) 2

2

2 2 22 2 2

2 2 2

2 2 2

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , ) ( , , )

2 ( , , ) 2 2 ( , , )

d f x y z dx dy dz f x y zx y z

f f fx y z dx x y z dy x y z dzx y z

f f fx y z dx dy dy dz x y z dx dzx y y z x z

= + + = = + + +

+ + +

( ) ( ) ]222[1,, 2222222

2 dxdzacdydzbcdxdyabdzcdybdxaczbyax

zyxfd +++++++=

deoarece:

( )2 2

22 ( , , ) ;f a f ax y z

x x ax by czax by cz = = + ++ + ;

35

( )2 2

22 ( , , ) ; ( , , )f b f bx y z x y z

y y ax by czax by cz = = + ++ +

( )2 2

22 ( , , ) ; ( , , )f c f cx y z x y z

z z ax by czax by cz = = + ++ + ;

( )2

2( , , ) ; ( , , )f ab f bcx y z x y z

x y y z ax by czax by cz = = + ++ +

( )2

2( , , )f acx y z

z x ax by cz = + + . Aceste rezultate se introduc n expresia lui d

2 f .

Exerciii propuse:

1. S se calculeze ( ),df x y pentru urmtoarele funcii:

a) ( ), , 0tgxf x y yy

= b) ( ), , 0yf x y x x= > c) ( ) ( )2 3, cosf x y x y xy= + + 2. S se calculeze difereniala de ordinul nti pentru funcia ( ), , 2y z xf x y z x y z= + ; 3. Fie funcia f : \ 2 \ definit astfel: 22)(),( yxeyxyxf += . S se calculeze

f ( -1, 2), df ( -1, 2) i df ( -1, 2) (1, -1); 4. S se calculeze d2f pentru urmtoarele funcii:

a) ( ) 4 2, 3 sinf x y x y y x= + ; b) ( ),f x y = cosxe y ; c) ( ), ,f x y z = sinxye z .

I.3.9. Formula lui Taylor Definiia 3.10.1: Fie 2:f E \ \ i 0 0( , )x y punct interior mulimii E. Presupunem c funcia f are derivate pariale de ordinul n n 0 0( , )x y , iar n derivatele pariale mixte pn la ordinul n inclusiv, nu are importan ordinea variabilelor cu care se deriveaz. Polinomul

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2

1

' '0 0 0 0 0 0 0 0

2 2" " "0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 00

1, ( , ) ( , ) ( , )1!

1 ( , ) 2 ( , ) ( , )2!

1... ( , )! n

n x y

xyx y

nn i ini

n x yi

T x y f x y f x y x x f x y y y

f x y x x f x y x x y y f x y y y

C f x y x x y yn

=

= + + + + + + +

+ +

sau

( ) ( ) ( ) ( ) ( )20 0 0 0 0 0 0 01 1 1, , , , ... ,1! 2! ! nnT x y f x y df x y d f x y d f x yn= + + + + se numete polinomul lui Taylor ataat funciei f n punctul ( )0 0,x y . Pentru orice ( ),x y E , fie

( ) ( ) ( ), , ,n nR x y f x y T x y= . Definiia 3.10.2: Obinem , ( ) ( ) ( ), , ,n nf x y T x y R x y= + , egalitate numit formula lui Taylor de ordinul n corespunztoare funciei f n punctul 0 0( , )x y . Definiia 3.10.3: Funcia Rn se numete restul de ordinul n al formulei lui Taylor.

36

Observaie: Dac ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0, ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0n nx y x y T x y f x y i R x y= = = . Dac Rn este o funcie continu n 0 0( , )x y , adic ( )

00

0 0lim , ( , ) 0n nx xy y

R x y R x y

= = , rezult c pentru puncte 0 0( , )x y E ,

suficient de apropiate de 0 0( , )x y , diferena ( ) 0 0, ( , )f x y f x y poate fi fcut orict de mic, adic n astfel de puncte ( ),f x y poate fi aproximat prin ( ),nT x y .

Exerciii rezolvate:

S se scrie formula lui Taylor de ordinul al doilea pentru funciile urmtoare n punctele indicate: a) ( ) ( ), 1, 1x yf x y e n+= ; b) ( ) ( )2 2, 2 3 6 2 4 2,1f x y x xy y x y n= + + . Rezolvare:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )

0 0 0 0 0 0

'2

0 0 0 0 2

' 3

2 0 0

1, , ,1!

1 , ,2!

1, ,3!

f x y f x y x x y y f x yx y

x x y y f x y R x yx y

cu R x y x x y y fx y

= + + + + + +

= +

=>

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

0 0 0 00 0 0 0

2 2 22 20 0 0 0 0 0

0 0 0 02 2

3 3 3 33 2 2 3

0 0 0 0 0 03 2 2 3

, ,1, ,1!

, , ,1 22!

, , , ,1 3 33!

f x y f x yf x y f x y x x y y

x y

f x y f x y f x yx x x x y y y y

x x y y

f f f fx x x x y y x x y y y y

x x y x y y

= + + + + + + + + + + +

a) yxexf +=

yxeyf +=

yxex

f +=

2

2

yxey

f +=

2

2

yxeyxf +=

2

yxexf +=

3

3

yxey

f +=

3

3

yxeyx

fyx

f +==

2

3

2

3

( ) 11,1 0 == e

xf

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 21 1 1, 1 1 1 1 2 1 1 1 11! 2! 2

f x y x y x x y y x y x y + + + + + + + + = + + + +

b) ( ) 01,2622 =+=

xfyx

xf

; ( ) 01,2262 =+=

yfyx

yf

222

=

xf

622

=

yf

22

=

yxf

033

=

xf

033

=

yf

023

=

yxf

023

=

yxf

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2

1 1 1, 1 0 2 2 2 2 2 1 6 1 01! 2! 3!11 2 2 4 2 1 6 12

f x y x x y y

x x y y

+ + + + + + + = = + + + + +

Exerciii propuse:

S se scrie formula lui Taylor de ordinul al doilea pentru funciile urmtoare n punctele indicate: a) ( ) 3 3, 2 3f x y x y xy= + n ( 1, 2); b) ( ), sinxf x y e y= n ( 0, 0).

37

I.3.10. Extremele funciilor reale de n variabile reale (n 2)

Fie 2:f E \ \ o funcie real de dou variabile reale i 0 0( , )x y un punct al mulimii E.

Definiia 3.10.1: Punctul 0 0( , )x y E este punct de maxim local (relativ) al funciei ( , )f x y , dac exist o vecintate V a acestui punct astfel nct, ( )0 0( , ) ( , ), ( ) ,f x y f x y x y V E . Definiia 3.10.2: Dac 0 0( , )x y este punct de maxim local al funciei ( , )f x y , atunci valoarea sa

0 0( , )f x y n acest punct se numete maxim local al funcie. Definiia 3.10.3: Punctul 0 0( , )x y E este punct de minim local (relativ) al funciei ( , )f x y , dac exist o vecintate V a acestui punct astfel nct, ( ) ( )0 0, ( , ), ( ) ,f x y f x y x y V E . Definiia 3.10.3: Dac 0 0( , )x y este punct de minim local al funciei ( , )f x y , atunci v

Documents

Mat.financiare Si Actuariale - A.G.macoVEI