of 129/129
Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Editura ASEM

Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHIlib.ase.md/wp-content/uploads/publicatii/Publicatii Asem_2005/CD_2005/1... · special „Matematici financiare şi actuariale”

  • View
    10

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU...

  • Academia de Studii Economice din Moldova

    DUMITRU ZAMBIŢCHI

    Editura ASEM

  • CZU 336.71/.78:330.42(075.8) Z Examinat şi recomandat pentru editare la şedinţa Senatului A.S.E.M. din 26.02.05. (proces-verbal nr.

    6) Manualul prezent este destinat studenţilor de la facultăţile cu profil economic, care studiază cursul

    „Matematici financiare şi actuariale”. Sunt expuse atât temele principale referitoare la operaţiunile financiare certe, cât şi operaţiunile

    financiare aleatorii. Materialul teoretic este ilustrat prin numeroase exemple cu caracter aplicativ. Problemele propuse spre

    rezolvare vor da posibilitate studenţilor să-şi aprofundeze cunoştinţele. Autor: Dumitru Zambiţchi, doctor în ştiinţe fizico-matematice, profesor universitar. Referenţi: Victor Vizitiu, doctor în ştiinţe fizico-matematice, conferenţiar universitar. Ion Pârţachi, doctor în economie, profesor universitar. Ghenadie Ciobanu, doctor în economie, conferenţiar universitar.

    Descrierea CIP a Camerei Naţionale a Cărţii Zambiţchi, Dumitru Matematici financiare şi actuariale: [Man.] / Dumitru

    Zambiţchi; Acad. de Studii Econ. din Moldova. – Ch.: Dep.Ed.-Poligr. al ASEM, 2005. – 231 p.

    Bibliogr. p. 195-196 (22tit.) ISBN 9975-75-306-X 200 ex.

    336.71/.78:330.42(075.8)

    ISBN 9975-75-306-X © Departamentul Editorial-Poligrafic ASEM

    1

  • CUPRINS

    Introducere

    Capitolul I. Costul creditului pe termen scurt. Dobânda simplă 1.1. Dobânda simplă 1.2. Echivalenţa prin dobândă 1.3. Echivalenţa prin valoarea actuală 1.4. Calcularea dobânzii la bonurile de casă, bonurile de trezorerie şi certificatele de depozit 1.5. Dobânda antecalculată echivalentă cu dobânda postcalculată 1.6. Calcularea sumei dobânzii la disponibilităţile depuse în conturile bancare sau pe librete la casele de

    economii 1.7. Calcularea sumei dobânzii la operaţiunile de încasare şi plăţile în contul curent 1.8. Calcularea dobânzii la creditele de scont

    Capitolul II. Costul creditului pe termen lung. Dobânda compusă 2.1. Formula de fructificare în regim de dobândă compusă 2.2. Modalităţile echivalente de plată a dobânzilor 2.3. Operaţiunile financiare echivalente în regim de dobândă compusă 2.4. Plasamentul în condiţiile inflaţioniste. Inflaţia şi rata reală a dobânzii Capitolul III. Plăţile eşalonate (rente) 3.1. Anuităţile posticipate temporare imediate 3.2. Anuităţile posticipate temporare amânate 3.3. Anuităţile posticipate perpetue 3.4. Anuităţile anticipate temporare imediate 3.5. Anuităţile anticipate temporare amânate 3.6. Anuităţile anticipate perpetue 3.7. Echivalenţa în operaţiunile financiare de plăţi eşalonate Capitolul IV. Rambursarea creditelor (împrumuturilor) 4.1. Rambursarea prin anuităţile posticipate temporare imediate 4.2. Rambursarea prin anuităţile anticipate temporare imediate Capitolul V. Împrumuturile cu obligaţiuni 5.1. Rambursarea la paritate (al pari) 5.2. Rambursarea peste paritate (supra pari) 5.3. Uzufructul şi proprietatea nudă Capitolul VI. Plasamentul financiar în acţiuni 6.1. Evaluarea în condiţiile certe 6.2. Modelul lui Gordon şi Shapiro 6.3. Modelul lui Bates 6.4. Modelul cu dividende în progresie aritmetică

    Capitolul VII. Problemele investiţionale deterministe 7.1. Alegerea optimă a unei investiţii 7.2. Alegerea optimă a unor investiţii cu un fond de investiţii limitat 7.3. Rentabilitatea unei investiţii. Procentul rentabilităţii. Rentabilitatea absolută şi rentabilitatea relativă 7.4. Rentabilitatea şi creşterea anuală 7.5. Determinarea momentului optim de înlocuire a unui echipament Capitolul VIII. Modelele liniare de repartizare şi de transfer a fondurilor 8.1. Modelele liniare de repartizare a fondurilor 8.2. Modelele liniare de transfer a fondurilor

    Capitolul IX. Dimensionarea optimă a fondului bănesc disponibil

    2

  • 9.1. Modelul de stocare fără ruptură (fără lipsă de stoc) 9.2. Modelul de stocare cu ruptură (cu lipsă de stoc) 9.3. Dimensionarea optimă a fondului bănesc disponibil cu cerere aleatoare 9.4. Un model de creditare cu o rezervare riscată Capitolul X. Elementele de matematici actuariale. Operaţiile financiare aleatorii 10.1. Asigurările de viaţă. Funcţiile biometrice 10.2. Probabilitatea de viaţă şi de deces. Funcţia de supravieţuire. Viaţa medie. Viaţa probabilă 10.3. Asigurarea unei sume în caz de supravieţuire la împlinirea termenului de asigurare. Plata viageră

    unică 10.4. Anuităţile viagere constante posticipate imediate. Calculul primei unice 10.5. Anuităţile viagere constante anticipate imediate. Calculul primei unice 10.6. Anuităţile viagere imediate limitate la n ani. Calculul primei unice 10.7. Anuităţile viagere amânate. Calculul primei unice 10.8. Anuităţile de pensie. Calculul primelor 10.9. Asigurările de deces. Calculul primei unice 10.10. Asigurările mixte. Calculul primei unice 10.11. Rezerva matematică pentru diferite tipuri de asigurări Capitolul XI. Asigurările de bunuri materiale 11.1. Primele nete şi primele brute 11.2. Modelul de risc colectiv pentru o singură perioadă de timp

    Bibliografie Glosar Anexe

    3

  • INTRODUCERE

    În condiţiile economiei de piaţă, moneda, creditul, băncile, bursele, societăţile de asigurări au un rol important în desfăşurarea proceselor economice, în menţinerea la o anumită valoare a caracteristicilor de funcţionare a economiei la nivel micro şi macroeconomic, a lichidităţii unităţilor economice, a economiei, în ansamblul ei.

    Deoarece eforturile şi efectele unei activităţi economice, direct sau indirect, se măsoară în bani, apare, în mod natural, şi conceptul de operaţiune financiară.

    În lucrare ne vom referi la anumite operaţiuni financiare, care reprezintă modalităţile de plasare a unor sume de bani în anumite condiţii, cu anumite reguli şi cu un anumit scop, de către un partener (creditor) către un alt partener (debitor) care, la rândul lor, pot fi persoane fizice sau juridice (bănci, burse, întreprinderi, instituţii etc.).

    Fundamentarea deciziilor cât mai bune (optime) de investire şi de finanţare necesită ca fiecare întreprindere, în fiecare exerciţiu financiar, să-şi aprecieze prin metode matematice atât eforturile, cât şi rezultatele financiare scontate, în vederea minimizării riscurilor şi maximizării profiturilor (beneficiilor).

    Aceste operaţiuni financiare interesează deopotrivă instituţiile financiare, băncile, bursele, întreprinderile, societăţile de asigurări, societăţile comerciale sau pe acţiuni, precum şi pe particulari. Şi unii şi alţii pot să-şi plaseze anumite sume de bani sau să facă anumite împrumuturi pentru investiţiile industriale, agricole, social-culturale şi, de aceea, sunt interesaţi în alegerea unui plasament financiar cât mai bun.

    Obiectul matematicilor financiare şi actuariale constă în prezentarea şi studiul modelelor economico-matematice ale operaţiunilor financiare prin care se plasează anumite sume de bani şi se caută analiza rentabilităţii unor astfel de plasamente.

    Dacă plata unor sume de bani se face, în momentul indicat, în mod sigur, fără a impune condiţii suplimentare, atunci se spune că avem de a face cu operaţiuni financiare certe, iar dacă plata unor sume de bani se face numai în urma realizării unor evenimente întâmplătoare, atunci spunem că avem operaţiuni financiare aleatorii.

    Spre deosebire de operaţiunile financiare certe, în operaţiunile financiare aleatorii plăţile sumelor de bani se vor face numai în cazul în care se realizează anumite evenimente legate de viaţa sau decesul unei persoane (la asigurările de persoane) şi, respectiv, la producerea unor daune (la asigurările de bunuri materiale). Plăţile sumelor de bani vor avea loc în aceste cazuri nu în mod cert, dar numai cu anumite probabilităţi. Ramura matematicilor care se ocupă cu rezolvarea problemelor puse de practica operaţiilor financiare de asigurări este cunoscută sub denumirea „Matematici actuariale”.

    Prezenta lucrare a fost elaborată pentru a veni în ajutor studenţilor, care studiază cursul special „Matematici financiare şi actuariale”. Lucrarea este structurată în 11 capitole, în care sunt prezentate temele principale referitor la operaţiunile financiare certe şi la operaţiunile financiare aleatorii.

    Pe tot parcursul lucrării sunt prezentate exemple, probleme rezolvate şi probleme propuse spre rezolvare care pot constitui adevărate criterii de evaluare a înţelegerii materialului expus.

    Lucrarea se adresează atât studenţilor de la facultăţile cu profil economic, cât şi tuturor celor interesaţi în studierea şi aprofundarea cunoştinţelor în domeniul analizei rentabilităţii operaţiunilor financiare.

    4

  • CAPITOLUL I. Costul creditului pe termen scurt. Dobânda simplă Folosirea pe larg a creditelor pe termen scurt de către majoritatea unităţilor economice ridică

    problema determinării costului acestei surse de finanţare. Partea principală care determină costul creditului pe termen scurt este dobânda. Dobânda reprezintă o sumă de bani plătită de către debitor creditorului său pentru folosirea capitalului împrumutat în diferite activităţi economice. Sursa dobânzii constituie o parte din rezultatele financiare obţinute, ca urmare a investirii capitalului împrumutat.

    Dobânda se plăteşte pentru depunerile făcute de unităţile economice la instituţiile financiar-bancare, pentru împrumuturile acordate de bănci clienţilor lor şi obligaţiunile emise de stat sau de diferite societăţi comerciale.

    Dobânda constituie o recompensă pentru riscul pe care şi-l asumă creditorul prin cedarea temporară a capitalului său. Nivelul dobânzii diferă, în dependenţă de conjunctura economică, de cererea şi oferta capitalului de împrumut, de posibilităţile de refinanţare a băncilor comerciale.

    Cea mai mare parte a creditelor pe termen scurt sunt creditele de mobilizare a efectelor comerciale (credite de scont). Luând drept punct de bază taxa scontului, băncile adaugă o cotă, care reprezintă cheltuielile administrative şi profitul, formând, astfel, rata dobânzii la care oferă credite pe termen scurt clienţilor. La toate creditele pe termen scurt, determinarea cheltuielilor cu dobândă se realizează aplicând formula de bază a dobânzii simple.

    1.1. Dobânda simplă Fie S0 o sumă de bani care se împrumută în anumite condiţii, cu un anumit scop, de către

    creditor debitorului sau pe o durată de timp t. Perioada de împrumut (sau de depunere) se consideră de durata t, măsurată în ani. La terminarea duratei de timp t, creditorului îi revine suma

    , care este o funcţie de sumă plasată S( tSSSt ,0= ) 0 şi de durata de timp t. Evident că suma St trebuie să fie mai mare decât suma împrumutată S0.

    Diferenţa dintre aceste două sume St şi S0 poartă denumirea de dobândă. Dobânda ( ) ( ) 0000 ,, StSSSStSDD tt −=−== este o funcţie strict crescătoare, în raport cu

    fiecare din variabilele independente S0 şi t. Dobânda calculată asupra aceleiaşi sume S0 pe toată durata împrumutului, se numeşte

    dobândă simplă. Evident că dobânda , ce se cuvine creditorului pentru suma împrumutată S( tSDDt ,0= ) 0 pe

    durata t, în regim de dobândă simplă, este direct proporţională cu acestea. Notăm cu i factorul de proporţionalitate, atunci putem scrie formula de bază a operaţiei

    financiare de dobândă simplă: ( ) tSitSDDt ⋅⋅== 00 ,0

    . Factorul de proporţionalitate i are următorul sens economic: reprezintă dobânda pentru suma 1=S (unitate monetară) pe perioada t = 1an, cu alte cuvinte, i este o dobândă unitară anuală.

    În practica financiară, în locul dobânzii unitare anuale se utilizează procentul, adică dobânda ce se cuvine pentru 100 unităţi monetare (u.m.) pe timp de 1 an. Dacă notăm cu p procentul anual, atunci avem: . În acest caz, când se utilizează procentul, formula de bază a operaţiei

    financiare, în regim de dobândă simplă, este:

    ip ⋅= 100

    ( ) tS100

    pt,SDD 00t ⋅⋅== . Mărimea procentului

    anual p depinde de cererea şi oferta capitalului de împrumut pe piaţa financiar-bancară. Stabilirea de către bănci a procentului anual, în mod corect, este o problemă economică de mare importanţă. Dacă procentul anual are o valoare prea mare, atunci se poate produce o stopare în folosirea creditelor pentru activităţile economice productive şi, dimpotrivă, un procent anual redus al dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului.

    Aşadar, apare necesitatea să se găsească, de fiecare dată, acel procent anual de dobândă, care să corespundă unui punct de optim în funcţionarea resurselor disponibile de capital.

    5

  • Din cele spuse mai sus, rezultă că dobânda Dt depinde nu numai de suma împrumutată S0 şi de durata de timp t, dar şi de procentul anual p, adică avem: ( ) 000 ,, StpSSSSD tt −=−= .

    Dar, atunci suma totală obţinută de creditor (capitalul valorificat):

    ( )it1St100

    p1StS100

    pSDSS 0000t0t +⋅=

    ⋅+⋅=⋅⋅+=+= .

    Această formulă ne permite să calculăm una din mărimile , în dependenţă de celelalte. Din relaţia anterioară, de exemplu, dacă se cunoaşte valoarea finală S

    tpSSt ,,, 0t, putem determina

    valoarea actuală ti1

    SS t0 += .

    Exemplul 1. Posesorul unui capital de 16000 u.m. îl dă cu împrumut pe un interval de 1,5 ani. Procentul anual de dobândă la acest împrumut este de 18%. Să se afle ce dobândă încasează investitorul şi care este suma finală (capitalul valorificat).

    Rezolvare. Avem:

    43205,11001816000t

    100pSD 0t =⋅⋅=⋅⋅= u.m.;

    St = S0 + Dt = 16000 + 4320 = 20320 u.m. Exemplul 2. Să se determine ce capital trebuie să avanseze, cu împrumut, un investitor pentru

    ca după un interval de timp de 2 ani şi la un procent anual de dobândă de 16% să se obţină o dobândă de 6800 u.m.

    Rezolvare. Avem:

    t100

    pSD 0t ⋅⋅= . Din această relaţie, obţinem:

    212502161006800

    tp100D

    S t0 =⋅⋅

    =⋅⋅

    = u.m.

    Exemplul 3. Un capital în valoare de 26000 u.m. este dat cu împrumut pe un interval de 0,5 ani, cu un procent anual de dobândă p. Dobânda încasată este de 1820 u.m. Să se determine procentul anual de dobândă cu care a fost împrumutat capitalul.

    Rezolvare. Avem: %140,526000

    1001820tS

    100Dp0

    t =⋅⋅

    =⋅⋅

    = .

    Exemplul 4. Un capital în valoare de 80000 u.m. a fost dat cu împrumut pe un interval de timp t, la un procent anual de dobândă de 12%. Dobânda încasată este de 14400 u.m. Să se determine perioada de timp pentru care s-a acordat împrumutul.

    Rezolvare. Avem: ani5,11280000

    10014400pS

    100D

    0

    t =⋅

    t ⋅=⋅⋅

    = .

    Perioada de timp (numărul anilor) t poate fi număr natural, dar poate fi şi număr fracţionar

    ktt k= . Astfel, dacă

    k = 12, atunci tk reprezintă numărul de luni pentru care s-a acordat împrumutul. Aşadar, avem: tk = k · t. Dacă, de exemplu, t = 3 ani şi k = 2, atunci t2 = 2 ·3 = 6 (semestre), iar dacă k = 4 şi t = 3 ani, atunci t4 = 4 ·3 = 12 (trimestre). La fel, dacă k = 4 şi t = 1,5 ani, atunci t2 = 12 ·1,5 =18 (luni).

    Notăm prin ik dobânda unitară corespunzătoare subperioadei anuale. Pentru ca prin formula de

    bază a operaţiei financiare de dobândă simplă să se obţină aceeaşi dobândă trebuie ca kiik = .

    Într-adevăr, avem: tSitkSkitSiD 00k0k ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= .

    Aşadar, am obţinut că ik · tk = i · t.

    6

  • Dobânzile i şi ik sunt dobânzile unitare echivalente, deoarece ele produc aceeaşi dobândă D pentru aceeaşi sumă plasată S0 pe aceeaşi perioadă de timp, măsurată în ani (t), respectiv, în fracţiuni de an (tk). În mod analog, se consideră procente echivalente p (anual) şi pk (al subperioadei).

    În practica financiară, cel mai des caz întâlnit este acela, când unitatea de măsură a timpului

    este ziua. În acest caz, 360tt 360= , unde tk = t360 reprezintă numărul de zile al perioadei considerate.

    Exemplul 5. Să se calculeze dobânda pentru un capital de 25000 u.m., ce a fost dat, cu împrumut, pe un interval de 150 zile, cu procentul anual de dobândă de 18%. De determinat dobânda şi procentul trimestrial de dobândă echivalent cu cel anual.

    Rezolvare. Avem:

    1875360150

    1001825000

    360t

    100pSD 3600t =⋅⋅=⋅⋅= u.m.

    Mai departe, deoarece 18,010018

    100pi === , iar k = 4, obţinem: 045,0

    418,0

    4ii4 ===

    %5,4

    .

    Dar, atunci procentul trimestrial echivalent cu cel anual va fi: i100p 44 =⋅= . Să presupunem, acuma, că plasamentul sumei de bani S0 nu are loc cu acelaşi procent pe toată

    durata de plasare t. Dacă suma S0 se plasează pe durata t, în regim de dobândă simplă şi dacă

    , astfel că pe fiecare perioadă ∑=

    =m

    kkt

    1θ kθ plasarea se face cu procentul anual pk, atunci dobânda

    ( ) ( ) km

    1k

    k0

    m

    1kk00t θ100

    pSθ,SDt,SDD ∑∑==

    ⋅=== .

    Exemplul 6. Un capital în valoare de 54000 u.m. a fost dat, cu împrumut, pe un an de zile, în regim de dobândă simplă, cu procentele anuale de 10, 12, 15, 18 şi 20% pentru duratele consecutive de 30, 45, 60, 75 şi, respectiv, 150 zile. Să se determine dobânda aferentă acestui împrumut.

    Rezolvare. Avem:

    =⋅⋅= ∑=

    m

    1kk

    k0t θ100

    pSD

    u.m. 9135360100

    15020751860154512301054000 =⋅

    ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅=

    Dacă suma iniţială plasată S0 şi procentul anual p de dobândă sunt fixate, atunci obţinem că

    suma finală (capitalul valorificat) ( ti1St100

    p1SDSS 00t0t +⋅=

    ⋅+⋅=+= )este o funcţie liniară,

    faţă de durata de timp t. În schimb, dacă se cunoaşte suma finală St, atunci suma iniţială

    ti1SS t0 +

    = este o funcţie raţională, faţă de t.

    Dintre aceste două sume, S0 şi St, una se consideră dată (cunoscută), iar cealaltă urmează să se determine. Suma cunoscută se mai numeşte suma nominală. Dacă suma iniţială S0 = 1 u.m. şi durata de timp t = 1an, atunci avem: u = S1 = 1 + i. La fel, dacă suma finală St = 1 u.m. şi t = 1an, atunci

    avem: u1

    i11Sv 0 =+

    == , unde u şi v sunt, corespunzător, factor de fructificare (de capitalizare) şi

    factor de actualizare. Noţiunile introduse până acuma au fost definite, pornind de la suma iniţială S0. În mod analog,

    pot fi definite noţiunile asemănătoare, pornind de la suma finală St. În practica financiară, pentru a deosebi aceste două cazuri (situaţii), se foloseşte termenul de „decursiv” în primul caz şi, respectiv, „anticipat”, în al doilea caz.

    Aşadar, vom avea procentul decursiv p, când se aplică asupra sumei iniţiale S0 şi, respectiv, procentul anticipat q, când se aplică asupra sumei finale St. Dobânda unitară i va fi decursivă, iar

    7

  • dobânda unitară anticipată se notează cu r. Procentele p şi q se numesc conforme, dacă dobânzile unitare i şi r sunt conforme, adică pe 1 an dau valori actuale egale şi, deci, dobânzi (decursivă şi anticipativă) egale.

    Din definiţia dobânzilor unitare conforme putem stabili relaţia dintre dobânda unitară decursivă i şi dobânda unitară anuală anticipată r. Avem: D1 = S0 · i, pe de o parte, iar pe de altă

    parte, D1 = S1 · r = S0 (1 + i) · r. Aşadar, am obţinut S0 · i = S0 (1 + i) · r. Deci, i1

    i+

    =r .

    Exemplul 7. Un capital în valoare de 32000 u.m. a fost dat, cu împrumut, pe durata de timp 240 zile, în regim de dobândă simplă, cu procentul anual de dobândă de 20%. Cunoscând procentul decursiv, să se determine procentul anticipat conform acestuia.

    Rezolvare. Se dă: S0 = 32000 u.m.; p = 20%; t = 240 zile. Calculăm dobânda

    4267360240

    1002032000

    360t

    100pSD 0t =⋅⋅=⋅⋅= u.m. Suma finală va fi:

    36267426732000DSS t0t =+=+= u.m. Procentului decursiv p = 20% îi corespunde dobânda unitară anuală decursivă i = 0,2. Dobânda unitară anuală anticipată

    1667,02,01

    2,0i

    i=

    +=

    +1r = şi, deci, procentul anticipat, conform cu procentul decursiv p = 20%,

    este q = 16,67%.

    Într-adevăr, pentru 32

    360240

    ==t , avem:

    =⋅+

    ⋅=

    +=

    323

    2

    2,01

    2,0

    i1i

    r1

    11 şi, respectiv, dobânda 11765,0= =⋅= 1t rSD 426711765,036267 ≈⋅=

    u.m. În practica financiară, se întâlnesc cazuri, când un sistem de împrumuturi se înlocuieşte cu alt

    sistem de împrumuturi. Înlocuirea este posibilă, dacă aceste două sisteme de împrumuturi sunt echivalente.

    1.2. Echivalenţa prin dobândă Se spune că două sisteme de împrumuturi date, cu valorile iniţiale, sunt echivalente, în regim

    de dobândă simplă, în raport cu dobânda, ş scriem i ( ){ } ( ){ }

    njjjjmjjjjtpStpS

    ,1,1,,~,,

    ==′′′ , în cazul dacă ele conduc la aceeaşi dobândă

    simplă totală, adică are loc

    ∑∑==

    ′′′=

    n

    j

    jjjm

    j

    jjj tpStpS

    11 100100.

    Dacă , atunci avem echivalenţa a două împrumuturi, iar dacă şi n oarecare, atunci avem echivalenţa unui împrumut cu un sistem de împrumuturi.

    1== nm 1=m

    Pe baza echivalenţei a două sistem de împrumuturi pot fi introduse aşa numitele valori medii. Fie dat un sistem de împrumuturi

    e( ){ }

    njjjjtpS

    ,1,,

    =. Se numeşte suma medie înlocuitoare al

    sumelor împrumutate suma S determinată pe baza echivalenţei nSSS ,,, 21 L( ){ } ( ){ }

    njjjnjjjjtpStpS

    ,1,1,,~,,

    ==.

    Aşadar, dacă ne punem scopul să înlocuim un sistem de împrumuturi, cu sumele , printr-un alt sistem de împrumuturi, cu suma unică S, astfel încât suma dobânzilor

    aduse de sumele să fie egală cu dobânda adusă de suma S, atunci avem: nSSS ,,, 21 L

    nSSS ,,, 21 L

    +++⋅=+++

    100tp

    100tp

    100tpS

    100tpS

    100tpS

    100tpS nn2211nnn222111 LL sau ∑∑

    ==

    =n

    1jjj

    n

    1jjjj tptpSS .

    8

  • Exemplul 8. Să se determine suma medie înlocuitoare a sumelor 6000S1 = u.m., 80002 =S u.m., u.m., plasate pe duratele respective t110003 =S 11 = an, t 22 = ani, t ani şi cu procentele anuale de dobândă ,

    5,1=3%161 =p %202 =p , %183 =p .

    Rezolvare. Avem:

    8590,45,118220116

    5,1181100022080001166000S =⋅+⋅+⋅

    ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= u.m.

    Se numeşte procentul mediu al procentelor procentul p determinat pe baza echivalenţei sistemelor de împrumuturi

    nppp ,,, 21 L( ){ } ( ){ }

    njjjnjjjjtpStpS

    ,1,1,,~,,

    ==

    nttt ,,, 21 L

    . Fie sumele

    , sunt plasate, respectiv, pe duratele şi cu procentele anuale de dobândă . Ne punem scopul şi determinăm procentul mediu anual p, pentru care aceste sume,

    plasate pe aceleaşi durate, să ne dea aceeaşi dobândă totală.

    nSSS ,,, 21 L

    nppp ,,, 21 L

    Aşadar, avem:

    1001001001001001002211222111 nnnnn tpStpStpStpStpStpS +++=+++ LL sau ∑∑

    ==

    =n

    jjj

    n

    jjjj tStpSp

    11.

    Exemplul 9. Să se determine procentul mediu de plasament (de depunere) al sumelor: u.m., u.m., 120001 =S 150002 =S 90003 =S u.m., 125004 =S u.m., plasate pe duratele

    respective: zile, zile, 901 =t 452 =t 8013 =t zile, 1204 =t zile, cu procentele anuale respective: , , , . %201 =p % 233 =p182 =p % %214p =

    Rezolvare. Avem:

    .%21120 12500180 900045 1500090 12000

    120 21 12500 180 23 900045 181500090 20 12000p

    =

    ⋅+⋅+⋅+⋅

    ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

    Se numeşte scadenţă durata de timp t pentru care s-a împrumutat o sumă de bani. Se numeşte scadenţă comună a duratelor durata t determinată pe baza echivalenţei sistemelor de împrumuturi

    nttt ,,, 21 L( ){ } ( ){ }

    njnjjjjtpS

    ,1,1,,

    == jjtpS ,,~ .

    Aşadar, avem:

    +++⋅=+++

    1001001001001001002211222111 nnnnn pSpSpSttpStpStpS LL sau ∑∑

    ==

    =n

    jjj

    n

    jjjj pStpSt

    11.

    Dacă avem deja procentul mediu anual p, atunci scadenţa comună ∑∑==

    =n

    jj

    n

    jjj StSt

    11 poartă

    numele de scadenţă medie. Exemplul 10. Se împrumută sumele de bani: 45001 =S u.m., 62002 =S

    90u.m., u.m.,

    cu acelaşi procent anual de dobândă p, pe duratele respective: 55003 =S

    1 =t zile, zile, 120=2t 2403 =t zile. Să se determine scadenţa medie.

    Rezolvare. Scadenţa medie:

    zile., 4152550062004500

    24055001206200904500SSS

    tStStSt

    321

    332211

    ≈++

    ⋅+⋅+⋅=

    =++++

    =

    1.3. Echivalenţa prin valoarea actuală Să presupunem, acum, că debitorul urmează să achite creditorului său sumele ,

    evaluate, respectiv, cu procentele anuale la scadenţele respective t . Plăţile sunt datorii finale (datorii plus dobânzi), iar scadenţele t sunt măsurate faţă

    de un acelaşi moment iniţial.

    ∗∗∗nSSS ,,, 21 L

    nt,,2 Lnppp ,,, 21 L t,1∗∗∗nSSS ,,, 21 L ntt ,,, 21 L

    9

  • În aceste condiţii, suma medie înlocuitoare se va determina în baza echivalenţei ∗S( ){ } ( ){ }

    njjjnjjjjtpStpS

    ,1,1,,~,,

    =∗

    =∗ .

    Aşadar, dacă ne punem scopul să înlocuim un sistem de împrumuturi (datorii), cu sumele finale , printr-un alt sistem, cu suma finală unică , astfel încât ele conduc la aceeaşi valoare actuală totală, atunci avem:

    ∗∗∗nSSS ,,, 21 L

    ∗S

    ∑∑=

    =

    +⋅=

    +

    n

    jj

    jn

    jj

    jj t

    pSt

    pS

    1

    1

    1

    1

    1001

    1001 sau

    ∑∑=

    =

    ∗∗

    +

    +=

    n

    jj

    jn

    jj

    jj t

    pt

    pSS

    1

    1

    1

    1

    1001

    1001 .

    Procentul mediu înlocuitor p se determină rezolvând ecuaţia de gradul n, faţă de necunoscuta p:

    ∑∑=

    −∗

    =

    +=

    +

    n

    jjj

    n

    jj

    jj t

    pStp

    S1

    1

    1

    1

    1001

    1001 .

    Scadenţă medie înlocuitoare t se determină rezolvând ecuaţia de gradul n, în raport cu necunoscuta t :

    ∑∑=

    =

    +=

    +

    n

    j

    jj

    n

    jj

    jj t

    pSt

    pS

    1

    1

    1

    1

    1001

    1001 .

    Exemplul 11. Debitorul urmează să achite creditorului suma u.m. peste 30 zile, evaluată cu procentul anual de dobândă

    120001 =∗S

    %101 =p şi suma u.m. peste 45 zile, evaluată cu procentul anual . Ambele plăţi sunt datorii finale (datorii plus dobânzi), iar scadenţele sunt măsurate, faţă de un acelaşi moment iniţial.

    200002 =∗S

    %122 =p

    Se cere de aflat suma medie înlocuitoare , scadenţa medie t şi procentul mediu anual în ipoteza echivalenţei, în regim de dobândă simplă, prin valori actuale a operaţiunilor financiare considerate.

    ∗S

    Rezolvare. Avem:

    3,31605

    3604512,01

    20000

    360301,01

    12000100

    12

    1

    1

    =⋅+

    +⋅+

    =

    +∑

    =

    jj

    jj t

    pS u.m.;

    977,1

    3604512,01

    1

    360301,01

    1100

    12

    1

    1

    =⋅+

    +⋅+

    =

    +∑

    =

    jj

    j tp

    .

    Suma medie 5,15986977,1

    3,31605==∗S u.m.

    Pentru a afla scadenţa medie, rezolvăm ecuaţia

    ;12,01

    200001,01

    120003,31605tt ⋅+

    +⋅+

    = ( )( ) =⋅+⋅+⋅ t12,01t1,013,31605

    ( ) ( t1,0120000t12,0112000 )⋅+⋅+⋅+⋅= . Rezolvând această ecuaţie, obţinem scadenţa medie înlocuitoare 111,0=t ani zile. 40≈

    Pentru a afla procentul mediu, rezolvăm ecuaţia

    360451

    20000

    360301

    120003,31605⋅+

    +⋅+

    =ii

    a cărei

    soluţie este i şi, deci, procentul mediu anual de înlocuire este .

    1142,0≈,111142, = %420100100 ⋅=⋅= ip

    10

  • Dacă sistemul de împrumuturi (datorii), cu sumele finale , se înlocuieşte printr-o operaţiune unică de suma finală , scadenţa t şi procentul anual

    ∗∗∗nSSS ,,, 21 L

    ∗S p , prin echivalenţa, în regim de dobândă simplă, prin valoarea actuală, atunci relaţia de echivalenţă are forma:

    1

    1

    1

    1001

    1001

    −∗

    =

    +⋅=

    +∑ tpSt

    pS

    n

    jj

    jj .

    În acest caz, fiind date două dintre elementele înlocuitoare , t şi p, putem, în mod unic, determina pe al treilea element.

    ∗S

    Exemplul 12. La data de 01.06, dintr-un anumit an, un debitor discută cu bancherul său, în condiţiile de echivalenţă, în regim de dobândă simplă prin valoarea actuală, înlocuirea unei plăţi de valoare finală u.m., evaluată cu procentul anual de dobândă , scadentă pe 30.06, în acelaşi an, şi a unei plăţi de valoare finală u.m., evaluată cu procentul

    , scadentă pe 15.07, în acelaşi an, printr-o plată unică de valoare finală , care să fie evaluată cu procentul unic şi să fie scadentă pe 30.07, în acelaşi an.

    60001 =∗S %81 =p

    S10000S2 =

    %122 =p∗

    %10=pDacă banca acceptă această înlocuire, atunci care este suma unică înlocuitoare ? ∗SRezolvare. Avem:

    u.m. 16076

    3604512,01

    10000

    3603008,01

    60001221,01

    t100p

    1St100

    p1S2

    1j

    1

    jj*

    j

    =

    ⋅++

    ⋅+

    ⋅+=

    =

    +⋅

    += ∑

    =

    1.4. Calcularea dobânzii la bonurile de casă, bonurile de trezorerie şi certificatele de

    depozit Bonurile de casă sunt titlurile de îndatorare pe termen scurt, emise de băncile sau societăţile

    comerciale şi subsemnate de diverse unităţi economice sau bănci. Suma dobânzii se antecalculează, astfel încât la cumpărare se achită valoarea nominală micşorată, cu suma dobânzii, iar la scadenţă se restituie valoarea nominală. Scadenţa, în acest caz, de regulă, este până la 3 luni.

    Bonurile sau biletele de trezorerie sunt titlurile de credit pe termen scurt emise de societăţile comerciale. Scadenţa se stabileşte, de regulă, după un număr fix de săptămâni, care poate varia între 13, 26 sau 52 săptămâni. În anumite situaţii scadenţa poate fi extinsă până la 2 ani.

    Certificatele de depozit sunt eliberate de bănci, în sume fixe, pentru primirea unor sume spre fructificare din partea cetăţenilor sau a unor persoane juridice.

    Dobânda simplă postcalculată. Suma dobânzii se calculează şi se plăteşte investitorului la scadenţa creditului sau certificatelor de depozit. Prin urmare, valoarea de rambursare a creditului sau a certificatelor de depozit va fi egală cu creditul acordat plus suma calculată a dobânzii.

    Exemplul 13. Să se determine suma anuală a dobânzii, capitalul final, dacă se cunoaşte valoarea nominală a titlului u.m., rata anuală (procentul anual) a dobânzii 750000 =S %16=p , timpul ce se scurge până la scadenţă zile. 45=t

    Rezolvare. Avem: 150036000

    451675000360100

    0 =⋅⋅

    =⋅⋅⋅

    =tpSDt u.m.;

    765001500750000 =+=+= tt DSS u.m. Dobânda simplă antecalculată. Suma dobânzii se calculează şi se bonifică investitorului în

    momentul procurării bonului de casă sau biletului de trezorerie, ceea ce înseamnă că preţul plătit în momentul încheierii contractului (capitalul efectiv investit, ) este egal cu valoarea nominală a bonului minus dobânda antecalculată. La scadenţă, investitorul primeşte valoarea nominală a bonului care, în acest caz este capitalul final .

    0S tS

    tS

    11

  • Exemplul 14. Cunoscând valoarea nominală a bonului 50000=tS u.m., rata anuală a dobânzii , timpul ce se scurge %20=p 90=t zile, să se determine capitalul investit.

    Rezolvare. Avem:

    u.m. 475003601009020150000

    36010090205000050000DSS tt0

    =

    ⋅⋅

    −⋅=

    =⋅

    ⋅⋅−=−=

    Rata efectivă a dobânzii. Randamentul unui plasament, cu dobândă simplă antecalculată, nu este egal cu rata nominală a dobânzii. Investitorul utilizează un capital mai mic decât valoarea nominală a bonului de casă procurat, în schimb beneficiază de o sumă a dobânzii calculată la valoarea nominală. Prin urmare, rata efectivă a dobânzii este mai mare decât rata nominală

    . ep

    ( )ppe >

    Rata efectivă a dobânzii se determină din formula:

    3601001

    ⋅−

    = tpppe , deoarece

    tpStptpS tet ⋅⋅=⋅

    ⋅−

    3601001 .

    Exemplul 15. Să se calculeze rata efectivă a dobânzii dacă se ştie valoarea nominală a titlului u.m., rata nominală a dobânzii 48000=tS %15=p , timpul ce se scurge până la scadenţa 200=t

    zile. Rezolvare. Capitalul efectiv investit

    4400036010020015148000

    36010010 =

    ⋅⋅

    −⋅=

    ⋅−⋅=

    tpSS t u.m.

    Dobânda 360100360100

    0

    ⋅⋅⋅

    =⋅

    ⋅⋅=

    tpStpSD tet .

    Aşadar, avem: 360100

    2001548000360100

    20044000⋅

    ⋅⋅=

    ⋅⋅⋅ ep sau %4,16

    440001548000pe ≈⋅

    = .

    1.5. Dobânda antecalculată echivalentă cu dobânda postcalculată Exemplul 16. Două plasamente A şi B, egale ca valoare şi cu aceeaşi scadenţă, diferă doar

    prin ratele de dobândă şi prin metoda de calculare (postcalcul sau anticalcul), se prezintă astfel: - plasamentul A are rata dobânzii %5,19=p (postcalcul), scadenţa de 90 zile; - plasamentul B are rata dobânzii %5,18=p (antecalcul), scadenţa de 90 zile.

    Investitorul îşi pune următoarele întrebări: 1. Care este cel mai avantajos plasament? 2. Care trebuie să fie rata dobânzii antecalculată pentru ca plasamentul B să fie echivalent cu

    plasamentul A ? Rezolvare. Calculăm rata efectivă a plasamentului B cu dobânda antecalculată.

    Avem: %40,1904625,01

    5,18

    360100905,181

    5,18

    3601001

    =−

    =

    ⋅⋅

    −=

    ⋅−

    = tpppe .

    După cum se vede, plasamentul B comportă o rată efectivă mai mică decât rata nominală a plasamentului A. Prin urmare, plasamentul A este mai avantajos.

    Pentru a da răspuns la întrebarea a doua, calculăm rata dobânzii antecalculată pentru plasamentul B, echivalentă cu rata nominală a plasamentului A, din condiţia:

    12

  • pp

    pp

    −⋅

    =

    ⋅⋅

    −=

    400400

    360100901

    5,19 .

    Avem: ( ) %6,185,419

    7800;5,4197800;4004005, ====− pppp19 .

    Prin urmare, rata dobânzii antecalculate la plasamentul B ar trebui să fie de 18,6% pentru ca acest plasament să fie echivalent cu plasamentul A.

    1.6. Calcularea sumei dobânzii la disponibilităţile depuse în conturile bancare sau pe

    librete la casele de economii Remuneraţia la depozitele bancare şi la casele de economii se calculează în funcţie de

    numărul de chenzine (factorul timp). Orice depunere reprezintă un credit acordat instituţiei financiare pentru care aceasta bonifică

    dobânzi, iar orice retragere din cont semnifică, dimpotrivă, un împrumut acordat de instituţia respectivă, pentru care se cuvine dobândă.

    Dobânda se calculează din formula: 24100

    0

    ⋅⋅= q

    NpSD , unde – numărul de chenzine

    (retribuţia primită pentru o jumătate de lună);

    qN

    Numărul de chenzine se determină din formula: ( ) tLNq −−= 132 , unde: L – luna depunerii sau retragerii din cont de pe libret; t – coeficientul de timp. Pentru stabilirea numărului de chenzine instituţiile financiare aplică următoarele reglamentări:

    La depunere. Dacă ziua este între 1-15 ale lunii, atunci 1=t , iar dacă ziua depunerii este între 16-30 ale lunii, atunci 2=t . La retragere. Dacă ziua retragerii este între 1-15 ale lunii, atunci t , iar dacă ziua retragerii este între 16-30 ale lunii, atunci

    0=1=t .

    Exemplul 17. Pe data de 9 martie a fost depusă în cont pe libret de economii suma de 20000 u.m., cu rata dobânzii de 16%. Să se calculeze dobânda şi suma la sfârşitul anului.

    Rezolvare. Avem: ( ) ;1913132 =−−=qN

    33,253324100

    191620000=

    ⋅⋅⋅

    =D u.m.;

    33,2253333,253320000 =+=S u.m. Sistemul de calculare a dobânzilor, utilizat de instituţiile financiare, la care factorul timp se

    determină în funcţie de numărul chenzinelor, creează un oarecare avantaj bănesc instituţiilor respective; comparativ cu calcularea dobânzilor, în funcţie de numărul de zile, la fiecare depunere se bonifică un volum mai mic de dobândă, iar la fiecare retragere – un volum ceva mai mare de dobândă.

    În exemplul precedent, volumul dobânzii calculate, în funcţie de , este de 2533,33 u.m., în timp ce, calculat după numărul de zile până la sfârşitul anului (numărul de zile de rămânere în sold), volumul dobânzii ar fi fost:

    qN

    56,2595360100

    2921620000=

    ⋅⋅⋅

    =D u.m.

    Diferenţa ( 2595 u.m.) reprezintă echivalentul aşa-numitelor „zile-valori”, folosite de bănci în relaţiile de credit şi decontări cu unităţile economice.

    23,6233,253356, =−

    Exemplul 18. Să se calculeze volumul dobânzii la un cont deschis la bancă, în care s-au efectuat următoarele operaţiuni:

    12.II – Depunere 35000 u.m. 16.III – Depunere 15000 u.m. 21.IV – Retragere 17000 u.m. 08.V – Retragere 12000 u.m.

    13

  • Rata dobânzii este de 18%. Termenul pentru calcularea dobânzii se consideră sfârşitul anului. Rezolvare. Calculăm numărul de chenzine ( ) pentru fiecare operaţiune financiară: qN

    ( ) ( ) ;1823132;2112132 21 =−−==−−= qq NN ( ) ( ) .1605132;1714132 43 =−−==−−= qq NN

    Pentru fiecare operaţiune financiară calculăm volumul dobânzii bonificate şi a celor percepute:

    ;u.m. 252024100

    181815000D

    ;u.m. 5,551224100

    211835000D

    2

    1

    =⋅

    ⋅⋅=

    =⋅

    ⋅⋅=

    u.m. 144024100

    161812000D

    ;u.m. 5,216724100

    171817000D

    4

    3

    =⋅

    ⋅⋅=

    =⋅

    ⋅⋅=

    Suma totală a dobânzilor va fi: 39304321 =−−+= DDDDD u.m.

    Dacă suma dobânzii s-ar fi calculat după numărul de zile, rezultatele ar fi fost următoarele:

    ;u.m. 5,2137360100

    2851815000D

    ;u.m. 5,5582360100

    3191835000D

    2

    1

    =⋅

    ⋅⋅=

    =⋅

    ⋅⋅=

    u.m. 1398360100

    2331812000D

    ;u.m. 5212360100

    2501817000D

    4

    3

    =⋅

    ⋅⋅=

    =⋅

    ⋅⋅=

    Suma totală a dobânzilor ar fi fost: 41974321 =−−+= DDDDD u.m.

    Diferenţele de dobândă în favoarea băncii se prezintă astfel:

    Operaţiuni financiare Suma (u.m.) Dobânda în funcţie de

    qNDobânda în funcţie de

    numărul de zile

    Diferenţa favorabilă pentru bancă

    Depunere Depunere Retragere Retragere

    35000 15000 17000 12000

    5512,5 2025,0 2167,5 1440,0

    5582,5 2137,5 2125,0 1398,0

    +70,0 +112,5 +42,5 +42,0

    3930,0 4197,0 +267,0 1.7. Calcularea sumei dobânzii la operaţiunile de încasare şi plăţile în contul curent Calcularea dobânzilor este o operaţiune periodică, anuală, trimestrială sau la alte termene

    stabilite în prealabil cu banca, în baza formulei dobânzii simple, adoptată pentru punerea pe calculator a acestor operaţiuni financiare.

    La contul curent sumele sau soldurile produc dobânzi debitoare sau creditoare, după natura soldurilor, pornind de la o anumită dată numită „zi-valoare” şi care corespunde înscrierii operaţiunii de cont de către bancă. Termenul până la care se calculează dobânzile (sau data închiderii contului curent) se numeşte epocă.

    Pot fi utilizate metode de calculare a dobânzilor: metoda curentă, metoda indirectă şi metoda hamburgheză sau în scară. De fiecare dată pentru calculul dobânzii se foloseşte formula:

    14

  • i

    n

    ii

    n

    ii tS

    pNpD ∑∑==

    ⋅⋅

    =⋅⋅

    =11 360100360100

    ,

    unde: – numere debitoare sau creditoare, iar – sume debitoare sau creditoare şi – numărul de zile până la operaţiunea următoare sau până la epocă.

    iii tSN ⋅= iS it

    Metoda directă cu dobânzi reciproce se caracterizează prin faptul că rata dobânzii este aceeaşi atât pentru numerele debitoare, cât şi pentru cele creditoare, precum şi prin faptul că numerele se obţin înmulţind sumele debitoare şi cele creditoare cu numărul de zile de la înregistrarea operaţiunilor de cont, până la epocă. După aceea, se totalizează numerele debitoare şi, separat, numele creditoare, se face diferenţa dintre ele, obţinându-se soldul numerelor care poate fi debitor sau creditor. Se înmulţeşte

    soldul numerelor cu 360100 ⋅

    p şi ca rezultat se obţine volumul dobânzii cu care se caracterizează soldul

    contului curent. Exemplul 19. Să se calculeze suma dobânzii la contul curent, după metoda directă, cu

    dobânda reciprocă de 20% şi să se stabilească soldul contului curent (ct. crt.) la epocă, pe baza extrasului de cont alăturat.

    Debit ct. crt.(epoca 15.IX) Credit 30.VI 22000 20.VI 25000 16.VII 40000 03.VII 35000 29.VII 15000 18.VII 15000 21.VIII 18000 29.VII 30000 02.IX 90000 17.VIII 40000 24.VIII 18000 30.VIII 20000 Total debit 185000 Total credit 183000

    Calculăm numerele debitoare şi creditoare: 22 000 · 75 = 1 650 000 25 000 · 85 = 2 125 000 40 000 · 59 = 2 360 000 35 000 · 72 = 2 520 000 15 000 · 46 = 690 000 15 000 · 57 = 855 000 18 000 · 24 = 432 000 30 000 · 46 = 1 380 000 90 000 · 13 = 1 170 000 40 000 · 28 = 1 120 000 18 000 · 21 = 378 000 20 000 · 15 = 300 000 ____________________________________________________________________

    ∑ = 0003026ii tS ∑ = 0006788ii tSSuma dobânzii va fi:

    ( 13206302000867800036000

    20tS36000

    pD in

    1ii =−⋅=⋅= ∑

    =

    ) u.m. (Credit).

    Acum, putem stabili soldul contului curent la epocă (corectarea soldului contului curent cu suma dobânzii):

    Sold ct. crt. = 185 000 – 183 000 = 2 000 u.m. (Debit). Sold ct. crt. la epocă = 2 000 – 1 320 = 680 u.m. (Debit). Metoda directă cu dobânzi diferite. Procedeul de calcul este asemănător cu cel utilizat la

    metoda directă cu dobânzi reciproce. Caracteristic este faptul că nu se mai stabileşte soldul numerelor, ci se aplică rate diferite de dobândă separat pentru numerele debitoare şi separat pentru cele creditoare. În final, se obţine suma dobânzii cuvenite numerelor debitoare şi suma cuvenită numerelor creditoare, se face diferenţa dintre ele, obţinându-se soldul dobânzilor care poate fi debitor sau creditor.

    Exemplul 20. Să se calculeze suma dobânzii la contul curent, după metoda directă, cu dobânzi diferite: şi să se stabilească soldul contului curent la epocă, pe baza extrasului de cont alăturat.

    %4,22,%5,19 == CD pp

    15

  • Debit ct. crt.(epoca 25.IX) Credit 10. IV 12500 05.IV 35000 25. IV 14000 18.IV 15000 27. IV 20500 22.V 35000 17. V 25000 30.V 26000 01. VI 34000 17.VI 30000 08. VI 19000 29.VI 40000 Total debit 125000 Total credit 181000

    Calculăm numerele debitoare şi creditoare: 12 500 · 135 = 1 687 500 35 000 · 140 = 4 900 000 14 000 · 121 = 1 694 000 15 000 · 127 = 1 905 000 20 500 · 118 = 2 419 000 35 000 · 93 = 3 255 000 25 000 · 98 = 2 450 000 26 000 · 85 = 2 210 000 34 000 · 84 = 2 856 000 30 000 · 68 = 2 040 000 19 000 · 77 = 1 463 000 40 000 · 56 = 2 240 000 ______________________________________________ ∑ = 50056912iitS ∑ = 00055016iitSCalculăm suma dobânzii:

    5,680836000

    5,1912569500 =⋅=D u.m. (Debit).

    8,1029736000

    4,2216550000 =⋅=D u.m. (Credit).

    Soldul dobânzilor este 10297 3,34895, 68088, =− u.m. (Credit). Acum, putem stabili soldul contului curent la epocă: Sold ct. crt. = 181 000 – 125 000 = 56 000 u.m. (Credit) Sold ct. crt. la epocă = 56 000 + 3489,3 = 59489,3 u.m. (Credit).

    Metoda hamburgheză sau în scară. Particular este faptul că operaţiunile din extrasul de cont se ordonează cronologic, ceea ce ne permite să determinăm soldul după fiecare operaţiune. Un sold oarecare generează dobânzi de la data operaţiunii următoare. Din cele spuse mai sus, rezultă că numerele se calculează înmulţind soldul cu numărul de zile de la o operaţiune la alta (şi nu până la epocă, cum se procedează în cazul metodei directe). Metoda hamburgheză permite aplicarea unor rate de dobânzi diferite (pentru solduri debitoare şi creditoare) şi variabile de la o etapă la alta.

    Exemplul 21. Să se calculeze suma dobânzii la contul curent, după metoda hamburgheză, cu dobânda de 18% şi să se stabilească soldul contului curent la epocă, în baza extrasului de cont alăturat.

    Debit ct. crt.(epoca 15.IX) Credit 10.V 50000 15.V 20000 30.V 10000 17.V 24000 14.VI 36000 02.VI 14000 28.VI 4000 18.VI 40000 15.VII 16000 02.VII 18000 04.VIII 6000 04.VIII 12000 12.IX 28000 17.VIII 8000 06.IX 10000 Total debit 150000 Total credit 146000

    Calcularea soldurilor şi a numerelor:

    16

  • Nr. crt. Data-valoare Debit (D) Credit (C) Soldul (S)

    Natura soldului Zile Numerele (Ni)

    1. 10.V 50000 - 50000 D 5 250000 2. 15.V - 20000 30000 D 2 60000 3. 17.V - 24000 6000 D 13 78000 4. 30.V 10000 - 16000 D 2 32000 5. 02.VI - 14000 2000 D 12 24000 6. 14.VI 36000 - 38000 D 4 152000 7. 18.VI - 40000 2000 C 10 20000 8. 28.VI 4000 - 2000 D 4 8000 9. 02.VII - 18000 16000 C 13 208000

    10. 15.VII 16000 - - - - - 11. 04.VIII 6000 12000 6000 C 13 78000 12. 17.VIII - 8000 14000 C 19 266000 13. 06.IX - 10000 24000 C 6 144000 14. 12.IX 28000 - 4000 D 4 16000

    150000 146000 4000 D - 96000(C) Calcularea sumei dobânzii:

    489600036000

    18=⋅=D u.m. (Credit).

    Stabilirea soldului contului curent la epocă: 3952484000 =− u.m. (Debit).

    1.8. Calcularea dobânzii la creditele de scont Scontarea reprezintă o operaţiune financiară prin care o bancă comercială cumpără o cambie sau

    un bilet la ordin de la beneficiarul ei înainte ca aceasta să ajungă la scadenţă. Aşadar, beneficiarul unei cambii sau emitentul unui bilet la ordin pot prezenta efectele comerciale

    respective unei bănci comerciale spre scontare, primind imediat, în schimb, contravaloarea lor mai puţin cu taxa de scont.

    Scontul este, de fapt, un credit pe termen scurt (credit de mobilizare) acordat de bancă prezentatorilor de efecte comerciale spre scontare. Scontul poate fi: comercial şi raţional.

    Scontul comercial (Sc) reprezintă costul operaţiunii de scontare, adică suma dobânzii la creditele de scont, suportată de prezentatorul efectului comercial. Scontul comercial, practic, reprezintă o dobândă simplă antecalculată.

    Exemplul 22. Să se calculeze scontul comercial (Sc) şi valoarea actuală a efectului (Va), cunoscând:

    - Valoarea nominală a efectului scontat Vn = 250000 u.m.; - Scadenţa efectului comercial t = 90 zile; - Taxa nominală a scontului Tx = 18% . Rezolvare. Avem:

    1125036000

    9018250000360100

    =⋅⋅

    =⋅⋅⋅

    =tTVS xnc u.m.;

    23875036000

    90181250000360100

    1 =

    ⋅−⋅=

    ⋅⋅

    −⋅=tTVV xna u.m.

    Scontul raţional (Sr) reprezintă diferenţa dintre valoarea tratei în ziua prezentării la scontare şi valoarea sa la scadenţă. Scontul raţional este mai mic decât scontul comercial, deoarece se calculează asupra valorii actuale a tratei şi nu asupra valorii nominale.

    Exemplul 23. Să se determine scontul raţional în baza datelor iniţiale din exemplul 22. Rezolvare. Avem:

    6,10765

    3600090181

    250000250000

    3601001

    =⋅

    +−=

    ⋅⋅

    +−= tT

    VVSx

    nnr u.m.

    17

  • Taxa (rata) efectivă a scontului (T ). Deoarece creditul de scont este un credit pe termen scurt, cu dobândă antecalculată şi reţinută de bancă în momentul scontării, rezultă că creditul efectiv, obţinut de prezentatorul tratei la scontare, este inferior valorii nominale a acesteia şi, prin urmare, taxa efectivă a scontului (T ) este mai mare decât taxa nominală.

    ex

    ex

    Pentru a determina taxa efectivă a scontului se utilizează aceeaşi formulă ca şi în cazul ratei efective a dobânzii (pe ).

    Avem: tV

    StT

    T

    a

    c

    x

    xex ⋅

    ⋅=

    ⋅⋅

    −=

    36000

    3601001

    T .

    Exemplul 24. Să se determine scontul comercial (Sc), scontul raţional (Sr) şi taxa efectivă a scontului (T ), cunoscând: ex

    - Valoarea nominală a tratei scontate Vn = 150000 u.m.; - Taxa nominală a scontului Tx = 16,5%; - Scadenţa tratei t = 60 zile. Rezolvare. Avem:

    412536000

    605,16150000360100

    =⋅⋅

    =⋅⋅⋅

    =tTVS xnc u.m.;

    1458754125150000 =−=−= cna SVV u.m.;

    6,4014

    36000605,161

    11150000

    3601001

    =

    ⋅+

    −=

    ⋅⋅

    +−= tT

    VVSx

    nnr u.m.

    %97,16

    36000605,161

    5,16

    3601001

    =⋅

    −=

    ⋅⋅

    −= tT

    TTx

    xex .

    Dobânda reală. Rata nominală a dobânzii este cea înscrisă în contractul de credit şi depinde de factorii variaţi, precum: cererea şi oferta de capital de împrumut, de dobândă şi imobilizare, de gradul de eficienţă a valorificării capitalului etc.

    În condiţii de instabilitate economică, adică în cazul când au loc procese inflaţioniste, creditorul îşi pune problema recuperării capitalului împrumutat şi obţinerii remuneraţiei de o manieră care să-i asigure cel puţin aceeaşi putere de cumpărare existentă în momentul acordării împrumutului.

    În acest context, apare indicatorul „dobânda reală”, care exprimă gradul de apărare a intereselor creditorului şi care se stabileşte, în funcţie de evoluţia ratei nominale a dobânzii şi a ratei inflaţiei.

    Rata dobânzii reale se calculează din formula:

    110011001

    100−

    +

    += I

    ppr , unde: p – rata nominală a dobânzii;

    I – rata inflaţiei; – rata dobânzii reale. Dobânda reală poate fi: real pozitivă sau real negativă .

    rp ( Ip > )

    ]

    ( )Ip < Exemplul 25. Să se stabilească rata dobânzii reale ( ), pentru perioada [ , cunoscând

    evoluţia ratei nominale a dobânzii şi a ratei inflaţiei: rp 5; +tt

    t t + 1 t + 2 t + 3 t + 4 t + 5 p 18,5 20,4 22,6 24,2 25,6 26,8 I 3,2 6,8 4,8 6,3 8,4 5,4

    Rezolvare. Pentru perioada t , avem:

    18

  • %.8,14;148,01032,01185,01

    100==−

    ++

    = rr p

    p

    Pentru celelalte perioade: pr = 12,7%; pr = 17%; pr = 16,8%; pr = 15,9%; pr = 20,3%. Dobânda simplă. Problemele rezolvate 1. Să se afle dobânda şi valoarea finală a unui împrumut de 4500 u.m., cu procentul anual 20%, pe

    timp de 180 zile şi, respectiv, 270 zile.

    Rezolvare. Avem: Dobânda 450360

    180450010020

    1 =⋅

    ⋅=D u.m. şi valoarea finală

    u.m., respectiv, 495045045001 =+=S 6753602704500

    10020

    2 =⋅

    ⋅=D u.m. şi 517567545002 =+=S

    u.m. 2. Se consideră un împrumut cu valoarea finală de 13000 u.m., cu procentul anual de dobândă

    12%, scadent peste 180 zile. Să se determine valoarea iniţială şi respectiv dobânda. Rezolvare.

    Avem: 15,12264

    360180

    100121

    13000

    1001

    0 =⋅+

    =⋅+

    =tp

    SS t

    85,73515,12264130000 =−=

    u.m. şi, res-pectiv, dobânda

    u.m. −= SSD tt3. Să se determine procentul trimestrial de dobândă echivalent cu procentul anual de 18%, în

    cazul operaţiei financiare de dobândă simplă. Să se calculeze apoi factorii de fructificare şi de actualizare, corespunzător, celor două procente de dobândă echivalente.

    Rezolvare. Deoarece , avem: titi kk ⋅=⋅ =⋅

    =⋅

    =4

    1 18,0t

    ti

    44i 045,0= . Dar, atunci procentul

    trimestrial echivalent cu cel anual este %5,44 =p . Factorul de fructificare =+= i1u

    18,1100181

    100p1 =+=+= şi, respectiv, =+= 4i1 14u 045,1045,0 =+= . Factorul de actualizare

    =+

    =i1

    1v

    847,018,11

    18,011

    ==+

    = şi, respectiv, 957,0045,111

    44 === u

    v .

    4. Să se determine, în condiţii de echivalenţă, în raport cu dobânda, suma medie, procentul mediu, scadenţa comună şi scadenţa medie, în cazul următoarelor împrumuturi care se depun spre fructificare:

    30000 u.m., cu procentul anual 12%, pe timp de 180 zile; 40000 u.m., cu procentul anual 15%, pe timp de 250 zile; 20000 u.m., cu procentul anual 20%, pe timp de 200 zile. Rezolvare. Avem: Volumul mediu al sumelor

    u.m. 73,29747200202501518012

    200202000025015400001801230000S

    =

    =⋅+⋅+⋅

    ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

    Procentul mediu de dobândă:

    %2,15200200002504000018030000

    200202000025015400001801230000=

    ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅

    =p .

    Scadenţa comună:

    zile. 217202000015400001230000

    200202000025015400001801230000t =⋅+⋅+⋅

    ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

    Scadenţa medie:

    19

  • 216200004000030000

    200200002504000018030000t =++

    ⋅+⋅+⋅= zile.

    5. Ce sumă a fost plasată, cu dobândă simplă pe data 15 martie, cu procentul anual de dobândă de 7%, pentru a putea dispune la 15 august acelaşi an de suma 18000 u.m. ?

    Rezolvare. Avem:

    17493029,01

    18000

    360150

    10071

    18000

    3601001 360

    0 =+=

    ⋅+=

    ⋅+= tp

    SS t u.m.

    6. Cu ce procent anual trebuie plasată suma de 15000 u.m., timp de 6 luni, cu dobândă simplă, pentru a putea dispune de suma de 16500 u.m.?

    Rezolvare. Avem: ( ) ( )

    %.20615000

    121001500615000

    121001500016500tS

    12100SStS

    12100Dp

    120

    0t

    120

    t

    =⋅⋅⋅

    =

    =⋅

    ⋅⋅−=

    ⋅⋅⋅−

    =⋅⋅⋅

    =

    Dobânda simplă. Problemele propuse 1. Să se calculeze dobânda şi valoarea finală a unui împrumut de 15000 u.m., cu procentul anual

    de 12%, pe timp de 250 zile. Răspuns: u.m.; u.m. 1250=tD 16250=tS2. Să se afle suma şi dobânda unui împrumut, pe timp de 200 zile, cu procentul anual de dobânda

    de 22%, dacă suma finală este 42000 u.m. Răspuns: u.m.; u.m. 374260 =S 4574=tD3. Pe ce durată de timp ar trebui plasată, în regim de dobândă simplă, suma de 4000 u.m., cu

    procentul anual de 10%, pentru a avea o dobândă de 200 u.m.? Răspuns: t ani. 5,0=4. Ce sumă a fost plasată, în regim de dobândă simplă, pe data de 15 aprilie, cu procentul anual de

    16%, pentru a putea dispune la 20 iunie acelaşi an de suma de 30000 u.m.? Răspuns: u.m. 4,287720 =S5. Să se determine scadenţa sumei de 15000 u.m., care produce o dobândă egală cu suma

    dobânzilor produse de: 16000 u.m., pe timp de 100 zile; 5000 u.m., pe timp de 142 zile; 34000 u.m., pe timp de 50 zile; 12500 u.m., pe timp de 80 zile. Răspuns: t zile. 334=6. Să se determine scadenţa medie a unei sume care produce o dobândă egală cu suma dobânzilor

    produse de: 1000 u.m., pe timp de 80 zile; 1200 u.m., pe timp de 100 zile; 1400 u.m., pe timp de 120 zile; 1600 u.m., pe timp de 160 zile. Răspuns: t zile. 120=7. Să se determine, în condiţii de echivalenţă, în raport cu dobânda, suma medie, procentul anual

    mediu, scadenţa comună şi scadenţa medie pentru următoarele împrumuturi: 30000 u.m., cu procentul anual 12%, pe timp de 60 zile; 45000 u.m., cu procentul anual 6%, pe timp de 72 zile; 60000 u.m., cu procentul anual 9%, pe timp de 120 zile. Răspuns: u.m.; ; 35,47419=S %65,8=p 46,90=comt zile; 7,90=medt zile.

    20

  • 8. Începând cu data de 1 ianuarie, o persoană plasează la fiecare început de lună câte 1200 u.m., cu un procent anual de dobândă de 14%, iar la 31 decembrie îşi retrage banii depuşi.

    Să se determine dobânda simplă totală aferentă acestei operaţiuni financiare. Răspuns: u.m. 1092=D9. Diferenţa dintre două capitaluri este de 9000 u.m. Cel mai mare capitol a fost plasat pe 7 luni,

    cu procentul anual de dobândă 8%, iar al doilea – pe 5 luni, cu procentul anual de dobândă 6%, conducând la o dobândă simplă totală în valoare de 1200 u.m. Care sunt cele două capitaluri?

    Răspuns: u.m.; 72,1988301 =S 72,1088302 =S u.m. 10. Două capitaluri a căror sumă este de 80000 u.m. sunt plasate cu dobândă simplă astfel: primul

    capital – 60 de zile cu 4%, iar al doilea – 80 de zile cu 6%. Dobânda primului capital este dublă dobânzii celui de al doilea.

    Să se determine cele două capitaluri şi dobânzile lor respective. Răspuns: u.m.; S u. m.; 6400001 =S 1600002 =

    7,4261 =D u.m.; u.m. 33,2132 =D

    21

  • CAPITOLUL II. Costul creditului pe termen lung. Dobânda compusă

    Întreprinderile au nevoie de împrumuturi pe termen lung pentru a acoperi nevoile durabile

    legate de dezvoltări, modernizări, de la care se scontează o rentabilitate înaltă, pe viitor. Costul capitalului împrumutat poate fi acceptat de către întreprindere numai în măsura în care

    rentabilitatea proiectelor sale, finanţate prin credit, este înaltă (acoperitoare). Pentru un credit bancar pe termen lung sau mijlociu, costul se reduce la plata dobânzilor, la nivelul ratei dobânzii stabilite prin contract. Prin contract pot fi stabilite diferite acorduri: pentru un număr de ani, debitorul nu va rambursa creditul, procesul de rambursare poate începe numai după un număr de ani de la obţinerea creditului etc.

    În aceste condiţii (perioade îndelungate de creditare), apare necesitatea calculării dobânzii compuse, ceea ce presupune că la sfârşitul fiecărui an suma dobânzilor neplătite se adaugă la capitalul împrumutat, generând ea însăşi dobândă. Se spune că o sumă de bani este plătită cu dobândă compusă dacă, la sfârşitul primei perioade, dobânda simplă a acestei perioade se adaugă la suma împrumutată pentru a produce, la rândul ei, dobândă în perioada următoare ş.a.m.d.

    Aşadar, dacă perioada de timp pe care este împrumutată suma depăşeşte perioada de timp la care se referă procentul de dobândă, atunci avem de afacere cu operaţiuni financiare de dobândă compusă. În operaţiunile financiare pe termen lung, unitatea de timp cel mai des folosită este anul (uneori, semestrul sau trimestrul).

    2.1. Formula de fructificare în regim de dobândă compusă Să presupunem că suma iniţială este depusă (împrumutată) pe o perioadă de t ani, unde t –

    număr natural. Aplicând conceptul de dobândă compusă, avem: 0S

    ( iSSiSS + )⋅=⋅⋅+= 11 0001 , unde 100pi = – dobânda unitară, corespunzătoare unei perioade,

    iar p – procentul de dobândă; ( ) ( ) ( ) ( ) ;11111 2001112 iSiiSiSSiSS +⋅=+⋅+⋅=+⋅=⋅⋅+= ( ) ( ) ( ) ( ) ;11111 30202223 iSiiSiSSiSS +⋅=+⋅+⋅=+⋅=⋅⋅+=

    ( ) ( ) ( ) ( ) ;11111................................................................................................................1

    02

    02221−−

    −−−− +⋅=+⋅+⋅=+⋅=⋅⋅+=tt

    tttt iSiiSiSSiSS

    ( ) ( ) ( ) ( ) .11111 010111 tttttt iSiiSiSSiSS +⋅=+⋅+⋅=+⋅=⋅⋅+= −−−−

    Aşadar, am obţinut că suma finală (capitalul valorificat) , unde ( ) ttt uSiSS ⋅=+⋅= 00 1

    10011 piu +=+=

    tu

    este factorul de fructificare. În tabelele financiare speciale se poate găsi valorile

    calculate ale lui pentru diferite procente anuale de dobândă. Deoarece , avem pentru dobânda compusă

    tt DSS += 0( )10000 −⋅=−⋅=−= tttt uSSuSSSD .

    Valoarea iniţială a împrumutului se exprimă prin valoarea finală astfel 0S tS

    ( )t

    ttt vSi

    SS ⋅=+

    =10

    , unde i+

    =1

    1v este factorul de actualizare. Valorile lui pot fi, de asemenea,

    găsite în tabelele financiare speciale.

    tv

    Exemplul 1. Se depune spre fructificare suma de 25000 u.m., pe timp de 5 ani, cu procentul anual de dobândă de 12%. Să se determine suma finală (capitalul valorificat) şi dobânda compusă.

    Rezolvare. Avem: u.m.; 250000 =S 5=t ani; p = 12%; ;12,0100==

    pi

    . Dar atunci suma finală este ,12,11 =+= iu 7623,1=12,1 55 =u

    22

  • 440587623,125000505 =⋅=⋅= uSS u.m., iar dobânda compusă este −=−= 44058SSD 055

    ki

    tSk

    u.m. 1905825000 =−

    ki

    ( ) ( )tktkt iSiSS +⋅=+⋅= 11 00 11 −+= k ikki

    10016

    100==

    pi

    116,1116,01 444 −=−+=i%78,34 =p

    khnt +=

    ( ) ( ) ⋅+⋅=+⋅==+

    n0

    hkn

    kh

    nt i1Si1SSS

    ( ) ( )i1i1S n0 +⋅+⋅=

    ( )tt iSS +⋅= 10

    = SSt 10

    Să presupunem, acuma, că anul este împărţit în k subperioade şi fie i dobânda unitară anuală, iar – dobânda unitară corespunzătoare subperioadei. Dobânzile unitare i şi sunt echivalente dacă pentru aceeaşi sumă iniţială , pe acelaşi interval de timp t, conduc la aceeaşi sumă finală şi, deci, la aceeaşi dobânda compusă . Deoarece t ani conţin subperioade, avem:

    , adică sau

    0S

    tDk =

    t ⋅

    ( ) iik ++ 11 ;1kk ii +=+1 kip

    . Dobânzilor unitare echivalente i şi le corespund procentele echivalente p (anual) şi (al subperioadei).

    Exemplul 2. Să se determine procentul trimestrial echivalent cu procentul anual de dobândă de 16%, în cazul operaţiei financiare de dobândă compusă.

    Rezolvare. Avem:

    k = 4; p = 16%; ;16,0=

    0378,010378,1 =−= . Astfel, procentul trimestrial echivalent cu cel anual este .

    Observăm că dobânzile unitare echivalente i şi nu sunt proporţionale ca în cazul dobânzii simple. Suma finală, calculată cu procentul proporţional, va fi, totdeauna, mai mare ca suma finală calculată cu procentul echivalent.

    ki

    În baza noţiunii de procente echivalente, putem extinde formula de fructificare, în regim de dobânda compusă, în cazul când perioada de timp t este un număr fracţionar.

    Fie . Timp de n ani suma iniţială plasată devine: . Pe o fracţiune a

    anului, o unitate monetară devine 1 , iar pe h fracţiuni vom avea:

    0S ( nn iSS +⋅= 10 )

    ki+ ( )hki+1 . Din cele spuse mai sus rezultă că

    ( ) =+ hki1 ( ) ( ) =

    +⋅+⋅

    h

    k1

    n0 i1i1S

    ( ) ( ) .i1Si1S t0kh

    n0k

    h+⋅=+⋅= +

    Aşadar, am obţinut că formula de bază a operaţiunilor financiare de dobândă compusă se aplică şi în cazul când perioada de timp t este un număr fracţionar. Această soluţie

    se numeşte comercială. Formula de fructificare, în regim de dobândă compusă, poate fi aplicată şi în

    varianta ( )

    ⋅+⋅+

    khii n 1 , ceea ce înseamnă că pentru partea întreagă a anilor se utilizează

    formula dobânzii compuse şi apoi formula dobânzii simple pentru partea fracţionară. Această soluţie se numeşte raţională.

    Exemplul 3. Să se determine, folosind soluţia raţională şi soluţia comercială, valoare finală (capitalul valorificat) a sumei de 18000 u.m., plasată timp de 2 ani şi 3 luni, cu procentul anual de dobândă de 15%.

    Rezolvare. Avem:

    ( ) ( ) =⋅⋅=

    ⋅+⋅+=

    +0375,115,118000

    12315,0115,0118000 22

    123

    2S 69,24697= u.m.;

    ( ) ( )

    u.m. 46,24561

    15,13225,11800015,0115,118000S 412/32123

    2

    =

    =⋅⋅=+⋅=+

    23

  • Observăm că valoarea finală , folosind soluţia comercială, este mai mică decât valoarea finală, folosind soluţia raţională, deoarece dacă

    tS1t 21 pp >

    0tD S

    Exemplul 4. Suma iniţială u.m. se plasează pe timp de 2 ani şi conduce la o dobândă u.m. Cu ce procent anual s-a făcut plasamentul?

    260000 =S5200=D

    Rezolvare. Dacă plasamentul s-a făcut, în regim de dobândă simplă, atunci

    52002100

    26000 1 =⋅⋅ p sau , iar dacă plasamentul s-a făcut, în regim de dobândă

    compusă, atunci

    %101 =p

    22

    1001520026000

    +⋅+

    p26000=

    sau ;100

    126000312002

    2

    +⋅=

    p

    ;2,1100

    12

    2 =

    +

    p ;2,1100

    1 2 =+ p ;09545,1100

    1 2 =+ p

    09545,0100p2 = şi ca urmare, %.54,92 ≈p

    Exemplul 5. Suma iniţială este plasată cu procentul anual de dobândă de 18%, în regim de dobândă compusă, pe durata de 4 ani. Pe ce durată de timp trebuie efectuat plasamentul, în regim de dobândă simplă, cu acelaşi procent anual, pentru a obţine aceeaşi dobândă?

    0S

    Rezolvare. Avem: ( ) ;18,018,01 0040 tSSS ⋅⋅=−+⋅ ( ) ;18,0118,1 4 t⋅=−

    0,9388 = 0,18t; t = 5,22 ani. 2.2. Modalităţile echivalente de plată a dobânzilor Fie – suma iniţială plasată, sub formă de credit pe durata t, cu procentul anual de dobândă p. 0SSe spune că operaţiunea financiară de plasament este cu dobândă precalculată (anticipată), dacă

    dobânda se reţine la începutul duratei operaţiunii din capitalul împrumutat , cu condiţia că . La fel, se spune că operaţiunea financiară de plasament are loc cu dobândă postcalculată

    0S

    0SDt <

    24

  • (posticipată), dacă dobânda se plăteşte la sfârşitul duratei operaţiunii împreună cu capitalul împrumutat . 0S

    1+

    1⋅

    2

    1

    p

    100 ⋅

    15⋅

    Aşadar, în cazul dobânzii anticipate se împrumută în realitate suma şi se rambursează suma , iar în cazul dobânzii posticipate se împrumută suma şi se rambursează suma

    tDS −00S 0S tDS +0 .

    Se spune că procentele anuale de precalculare şi, respectiv, de postcalculare a dobânzilor

    sunt echivalente dacă:

    1p

    ( )2p

    02

    0 1001 StpS =

    ⋅+⋅− Dt , în regim de dobândă simplă sau

    ( ) 020 100 SpDS

    t

    t =

    ⋅− , în regim de dobândă compusă.

    Relaţiile de mai sus pot fi scrise şi aşa:

    1100100

    1 21 =⋅+

    ⋅− tptp , în regim de dobândă simplă sau 1

    10011

    10011 21 =

    +⋅

    +

    +−

    tt pp , în

    regim de dobândă compusă. Aşadar, între procentele anuale echivalente de postcalcul şi de precalcul au loc relaţiile

    respective: 2p 1p

    +−

    ⋅=

    .compusã dobândã de regimîn ,1100

    1

    ;simplã dobândã de regimîn ,

    100

    100

    100 11

    1

    1

    2

    ttp

    tpp

    Exemplul 6. Suma u.m. este împrumutată pe o durată de timp de 9 luni, cu procentul anual de 14% şi cu dobânda precalculată (anticipată). Să se determine procentul anual echivalent de postcalcul (posticipat).

    160000 =S

    Rezolvare. Avem:

    ;1564,017928

    179200

    507

    20021200

    507

    43

    5071

    507

    129

    100141

    10014

    t100p1

    100p

    100p

    1

    1

    2

    ==⋅=

    =−

    =⋅−

    =⋅−

    =⋅−

    =

    %64,151564,02 ==p .

    Dobânda precalculată 1680129

    10014160001 =⋅⋅=D u.m., iar dobânda postcalculată

    8,1876129

    10064,160002 =⋅=D u.m.

    Valoarea scontată a sumei 1876,8, cu scont comercial simplu şi cu procentul anual de scont

    , este 1680, adică %141 =p

    ⋅−⋅=

    129

    1001418,18761680 .

    Exemplul 7. Suma u.m. este plasată, în regim de dobândă compusă, pe durata de 4 ani, cu procentul anual de 8% şi cu dobânda precalculată. Să se afle procentul anual echivalent de postcalcul.

    240000 =S

    25

  • Rezolvare. Avem:

    ( )( ) ( ); 118,01118,11

    8944,01

    164,0

    1136,12

    1108,12

    1100p

    441414

    2

    =−=−=

    =−=−−

    =−−

    =

    %8,11100118,02 =⋅=p .

    Dobânda precalculată ( )[ ] ( ) 864036,024000136,124000108,124000 41 =⋅=−⋅=−⋅=D( )

    u.m., iar dobânda postcalculată [ ]=−⋅= 1118,124000 42D ,134955623,024000 2=⋅= u.m.

    Valoarea scontată a sumei 13495,2, cu scont comercial simplu şi cu procentul anual de scont , este 8640, adică %8,112 =p ( ) 4118,012,134958640 −+⋅= .

    Exemplul 8. O întreprindere are nevoie de un credit în sumă de 200000 u.m., pe o perioadă de 90 zile şi se adresează la două bănci. Prima bancă îi propune un procent anual de 8%, cu dobânda precalculată, iar a doua îi propune un procent anual de 8,1%, cu dobânda postcalculată. Care din variante va fi acceptat de întreprindere?

    Rezolvare. Vom calcula procentul anual echivalent de postcalcul a primei bănci. Avem:

    ;082,0494

    4950

    252

    41

    10081

    1008

    36090

    1001

    100100 1

    1

    2 ==⋅=⋅−

    =⋅−

    = p

    pp %2,8082,01002 =⋅=p .

    Deoarece , rezultă că, postcalculat, între dobânzile celor două bănci are loc relaţia şi prin urmare, întreprinderea va accepta creditul de la banca a doua.

    %1,8%2,82 >=p

    21 DD > 2.3. Operaţiunile financiare echivalente în regim de dobândă compusă Să presupunem că este necesar de a înlocui un sistem de împrumuturi (datorii), cu sumele finale

    , evaluate, respectiv, cu procentele anuale , la scadenţele respective , printr-un alt sistem cu suma finală unică .

    ∗∗∗nSSS ,,, 21 L

    nttt ,,, 21 Lnppp ,,, 21 L

    ∗SSuma medie înlocuitoare , procentul mediu şi scadenţa medie se vor determina în baza

    echivalenţei operaţiunilor financiare, în regim de dobândă compusă, prin valoarea actuală totală. ∗S

    Aşadar, avem: ∑∑=

    =

    +⋅=

    +

    n

    j

    tj

    n

    j

    tj

    j

    jj pS

    pS

    11 1001

    1001 sau

    ∑∑=

    =

    ∗∗

    +

    +=

    n

    j

    tj

    n

    j

    tj

    j

    jj ppSS

    11 1001

    1001 .

    Procentul mediu înlocuitor p se determină rezolvând ecuaţia, în raport cu necunoscuta p :

    ∑∑=

    −∗

    =

    +=

    +

    n

    j

    t

    j

    n

    j

    tj

    j

    jj pSp

    S11 100

    1100

    1 .

    Scadenţa medie înlocuitoare t se determină rezolvând ecuaţia, în raport cu necunoscuta t :

    ∑∑=

    =

    +=

    +

    n

    j

    tj

    j

    n

    j

    tj

    j

    pS

    pS

    j

    11 1001

    1001 .

    Dacă sistemul de împrumuturi (datorii), cu sumele finale , se înlocuieşte printr-o operaţiune financiară unică de suma finală , scadenţa t şi procentul anual p prin echivalenţa, în regim de dobândă compusă, prin valoarea actuală, atunci relaţia de echivalenţă are forma:

    ∗∗∗nSSS ,,, 21 L

    ∗S

    tn

    j

    tj

    jpS

    pS

    j −∗

    =

    +=

    +∑ 100110011

    .

    26

  • În acest caz, fiind date două dintre elementele înlocuitoare , t şi p, putem determina pe al treilea element.

    ∗S

    Exemplul 9. Să presupunem că faţă de momentul actual, ca urmare a unui împrumut, în regim de dobândă compusă, trebuie rambursată suma finală u.m. peste 3 ani, cu un procent anual şi suma finală u.m. peste 4 ani, cu un procent anual . Să se afle suma medie înlocuitoare .

    4200001 =∗S

    %121 =p 5700002 =∗S

    %152 =pS

    Rezolvare. Dacă dorim ca de fiecare dată să rambursăm aceeaşi sumă, atunci, potrivit relaţiei de mai sus, obţinem:

    =

    +

    += ∑∑

    =

    =

    ∗∗n

    j

    tj

    n

    j

    tj

    j

    jj ppSS

    11 1001

    1001

    ( ) ( ) ( ) ( )u.m. 87,681748

    15,011

    12,011

    15,01570000

    12,01420000

    4343

    =

    =

    ++

    +

    ++

    +=

    Dacă, însă, dorim o rambursare unică a întregii datorii, să zicem peste 5 ani, cu un procent anual de dobândă % , atunci vom plăti suma finală unică 14=p

    ( ) ( )u.m. 4,1203089

    15,1570000

    12,1420000

    100141

    100p

    1S100

    p1S

    43

    5

    tj

    n

    1jj

    t j

    =

    +⋅

    +=

    =

    +⋅

    +=

    =

    ∗∗ ∑

    2.4. Plasamentul în condiţiile inflaţioniste. Inflaţia şi rata reală a dobânzii

    În economia de piaţă există inflaţia. Prin inflaţie se înţelege creşterea generală şi continuă a preţurilor la bunuri şi servicii. De aceea, pentru a determina efectul real al operaţiunii financiare, de rând cu rata nominală (rata fără a lua în consideraţie inflaţia), este necesar să ne referim şi la rata reală a dobânzii.

    Rata dobânzii reale pentru o investiţie reprezintă o măsură a venitului pentru acea investiţie exprimat în bunuri şi servicii şi nu în masă monetară. Să urmărim relaţia dintre rata dobânzii reale (r) şi rata dobânzii nominale (i) pentru o investiţie, atunci când ne confruntăm cu o anumită rată a inflaţiei (a).

    Să presupunem că avem următoarea situaţie: investiţia este de 1 u.m., rata dobânzii nominale i şi rata inflaţiei este 22,0= 08,0=a (în cadrul perioadei de 1 an). Pentru a menţine

    puterea de cumpărare constantă fiecare unitate monetară ar trebui să fie înlocuită peste un an cu 08,11 08,01 =+=+ a u.m.

    Aceasta înseamnă că valoarea reală a unei unităţi monetare peste 1 an va fi: 1 , iar valoarea reală a sumei totale de care beneficiază investitorul va fi:

    926,008,1: =

    ( ) ( ) 13,1926,022,108,1122,1

    08,01122,01

    111 =⋅=⋅=

    +⋅+=

    +⋅+

    ai .

    Aşadar, rata dobânzii reale este 1 13,0113, =− (sau 13%). În caz general, dacă se plasează suma , în regim de dobândă compusă, atunci valoarea finală a operaţiunii financiare peste t ani,

    va fi:

    0S

    ( tt

    rSaiS +⋅=

    ++

    ⋅= 111

    00 )tS . Pentru 1=t , avem:

    ( rSaiS +⋅=

    ++

    ⋅ 111

    00 ) sau rai

    +=++ 1

    11 , de unde obţinem formula ratei dobânzii reale:

    aair

    +−

    =1

    . În

    contextul celor de mai sus relatate, rezultă că: , dacă ; 0SSt > ai > 0SSt = , dacă şi a St=i 0S< ,

    27

  • dacă . Coeficientul ai <a+1

    1 se numeşte factor de devalorizare, iar coeficientul ( se numeşte factor anual de compensare a inflaţiei.

    )a+1

    1+−

    =ir

    =t SS

    =t SS

    p =

    t SS =

    0=t SS

    0=t SS

    ,489857

    ) S ⋅= 10

    1 =+ k 01 =−

    Exemplul 10. Să presupunem că suma 2000000 =S u.m. este plasată pe timp de 3 ani, în regim de dobândă compusă, cu un procent anual de 20%. Să se determine rata reală a dobânzii şi valoarea finală (capitalul valorificat) a plasamentului, ştiind că procentul anual al inflaţiei va fi de 5%.

    Rezolvare. Rata reală a dobânzii va fi:

    142857,005,115,0

    05,0105,02,0

    ==+−

    =aa (sau 14,29%).

    Dar, atunci valoarea finală ( ) ( ) 298542142857,012000001 30 =+⋅=+⋅ tr u.m.

    Am fi putut calcula valoarea finală şi astfel:

    29854205,012,01200000

    11

    3

    0 =

    ++

    ⋅=

    ++

    ⋅t

    ai u.m.

    Să presupunem, acum, că suntem în condiţiile unei inflaţii controlabile. În acest caz, pentru compensarea inflaţiei de rata anuală a, o unitate monetară, plasată pe timp de 1 an, cu procentul anual , trebuie să devină prin revalorizare i⋅100 ( )( )ai ++ 11 şi ca urmare, vom avea:

    ( ) ( ) ( ttt kSai +⋅=+⋅+⋅ 11̀1 00 , unde k este rata anuală a dobânzii aparente. )Exemplul 11. Se plasează suma 2500000 =S u.m., în regim de dobândă compusă, timp de 5

    ani, cu procentul anual de 10%. Să se afle capitalul valorificat a operaţiunii financiare dacă: a) nu există inflaţie (sau este mică şi este neglijabilă); b) există o inflaţie anuală de 4% neluată în seamă în procentul anual; c) există o inflaţie anuală de 4% şi se compensează integral.

    Rezolvare. În condiţiile problemei avem: a) u.m. ( ) ( ) 5,4026271,012500001 5 =+⋅=+⋅ ti

    b) 45,33093004,011,01250000

    11

    5

    =

    ++

    ⋅=

    ++

    ⋅t

    ai u.m.

    c) ( ) ( ) ( ) ( ) =+⋅+⋅=+⋅+⋅= 55tt0t 04,011,01250000a1i1SS u.m. 87=

    În afara posibilităţii de apariţie a inflaţiei, se mai poate lua în consideraţie şi unele evenimente imprevizibile care ar putea face ca unele credite să nu poată fi rambursate niciodată. Pentru a-şi acoperi şi un astfel de risc, creditorul mai include, în afara coeficienţilor i şi a, încă un coeficient b, căruia îi corespunde un procent anual de risc b⋅100 şi ca urmare, o sumă , în aceste condiţii,

    devine după t ani în regim de dobândă compusă 0S

    ( ) ( ) ( ( ttt kaiS ++⋅+⋅+⋅ 1110 )tbtS = , unde este factorul anual de fructificare aparentă, iar

    k – rata anuală a dobânzii aparente. k+1

    Exemplul 12. O bancă acordă împrumuturi, cu un procent anual de 20%. Dacă intervine o inflaţie anuală controlată de 6% şi se estimează un risc catastrofic de 5%, cu ce procent ar trebui acordate creditele?

    Rezolvare. Avem: ( ) ( ) ( ) 3356,105,106,12,1111 =⋅⋅=+⋅+⋅+ bai . Dar, atunci 3356,3356,1=k ,

    ceea ce înseamnă că procentul anual aparent trebuie să fie de 33,56%.

    Dobânda compusă. Problemele rezolvate 1. Să se calculeze dobânda aferentă plasării sumei de 32000 u.m., în regim de dobândă

    compusă, timp de 3 ani şi 6 luni, cu procentul anual de dobândă de 9%.

    28

  • Rezolvare. Avem: ; 0SSD tt −=

    ( ) ( ) =⋅⋅=

    +⋅=

    +⋅=

    +

    21312

    63t

    0t 09,109,1320001009132000

    100p1SS 60,43265= u.m.;

    60,112653200060,43265 =−=tD u.m. 2. Se plasează suma de 75000 u.m., în regim de dobândă compusă, pe timp de 5 ani, cu

    procentele anuale consecutive de 6%, 8,5%, 11%, 14% şi 15,5% . Să se afle suma finală (capitalul valorificat) şi dobânda aferentă.

    Rezolvare. Avem:

    =

    +⋅

    +⋅

    +⋅

    +⋅

    +⋅=

    1001

    1001

    1001

    1001

    1001 543210

    pppppSSt

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 52, 126068155,114,111,1085,106,175000

    =⋅⋅⋅⋅⋅= u.m. =−= 0SSD tt 126068 52,510687500052, =− u.m.

    3. Ce sumă a fost plasată în urmă cu 6 ani, în regim de dobândă compusă, cu procentul anual de 8%, pentru ca, acum, să se dispună de suma de 82000 u.m.?

    Rezolvare. Avem: ( ) ( )

    9,5167308,1

    82000100p1

    S6t

    t0 ==

    +=S u.m.

    4. Ce sumă va avea o persoană peste 5 ani, dacă depune în bancă, acum, 25000 u.m., după 2 ani retragere 12000 u.m., iar după alţi 2 ani depune 18000 u.m., în regim de dobândă compusă, cu un procent anual de dobândă de 7%?

    Rezolvare. Avem: ( )( ) ( )[ ] 28,3396207,11800007,11200007,125000 22 =⋅+⋅−⋅=tS u.m.

    5. Cu ce procent anual de dobândă trebuie plasată suma de 32000 u.m., timp de 4 ani, în regim de dobândă compusă, pentru a se ajunge, în final, la suma de 80000 u.m.?

    Rezolvare. Avem:

    ;3200080000

    1001;

    1001;

    1001

    4

    00 =

    +=

    +

    +⋅=

    pSSppSS t

    tt

    t ;2574,15,21001 4 ≈=+ p

    ;2574,0100

    =p %74,251002574,0 =⋅=p .

    6. În cât timp suma de 27500 u.m., plasată cu procent anual de 6%, în regim de dobândă compusă, devine 32280 u.m.?

    Rezolvare. Avem:

    ;2750032280

    10061;

    1001;

    1001

    00 =

    +=

    +

    +⋅=

    tt

    tt

    t SSppSS ( ) ;1738,106,1 =t = 2 ani 9

    luni.

    75,2=t

    7. O sumă de 22000 u.m., plasată în regim de dobândă simplă, cu un procent anual, pe o anumită perioadă de timp, a condus la o dobândă de 3120 u.m. Aceeaşi sumă, plasată în regim de dobândă compusă, cu procentul anual de 18%, pe aceeaşi perioadă de timp, a condus la o dobândă de 2908 u.m. Să se determine durata de plasare a celor două operaţiuni financiare şi procentul anual al primei operaţiuni.

    29

  • Rezolvare. Avem: ;100

    101 t

    pSD ⋅⋅= tp ⋅⋅=100

    220003120 1 sau 182,141 =⋅ tp , pe de o parte, iar

    pe de altă parte, în regim de dobândă compusă, dobânda ;100

    1 020 Sp t

    +⋅2 SD =

    ;22000100181220002908 −

    +⋅=

    t

    ( ) ;220002908118,1 =−t ( ) 1322,01+=t 1322,118,1 = .

    Din ultima relaţie, obţinem 43

    =t . Dar, atunci procentul anual de dobândă

    .%9,1843

    182,141 ==p

    8. O persoană plasează la 1 martie într-un anumit an suma de 27000 u.m., în regim de dobândă compusă. Doi ani mai târziu retrage 8000 u.m. Patru ani după plasament retrage restul sumei şi dispune de 39644 u.m. Să se determine procentul anual de dobândă.

    Rezolvare. Avem: ( )( ) ( ) 3964418000127000 22 =+⋅−+⋅ ii . Notăm ( ) xi =+ 21 . Obţinem ecuaţia pătratică:

    ( ) ;39644800027000 =− xx ;039644800027000 2 =−− xx;3689,1=x

    . Rezolvând această ecuaţie, obţinem:

    0644,39827 2 =−− xx( ) ,11 2 =+ i ;3689 17,11 = ;+ i ;17,0=i

    . %1717,0100100 =⋅=⋅= ip9. Unui investitor i se oferă o rată lunară a dobânzii compuse de 1,8% pentru plasamentul pe

    care doreşte să-l facă. Investitorul este interesat să cunoască pentru ce rate de dobânzi compuse trimestriale, semestriale şi anuale acestea devin echivalente ratei lunare oferite.

    Rezolvare. Avem:

    ( )[ ] %;5,5100055,01001018,11001

    1008,111001

    100p1p

    3

    33l

    .trim

    =⋅=⋅−=

    =⋅

    +=⋅

    +=

    ( )[ ] 100113,01001018,11001100

    1 66

    . ⋅=⋅−=⋅

    += lsem

    pp %;3,11=

    ( )[ ] 1002387,01001018,11001100

    1 1212

    =⋅=⋅−=⋅

    += l

    pp .%87,23

    10. Să se calculeze capitalul final, suma totală a dobânzii şi rata medie a dobânzii la un contract de plasament cu următoarele caracteristici: suma iniţială 600000 =S u.m., pentru primii 3 ani, pentru ultimii 5 ani,

    %141 =p%182 =p 8=t ani.

    Rezolvare. Calculăm capitalul final după trei ani şi apoi, după opt ani.

    Avem: =

    +⋅=

    +⋅=

    331

    03 10014160000

    100p1SS

    u.m., 888904815,160000 =⋅=

    u.m., 54,203362

    2878,28889010018188890

    100p1SS

    552

    38

    =

    =⋅=

    +⋅=

    +⋅=

    Suma totală a dobânzii D8 = S8 – S0 = 143362,54 u.m. Calculăm rata medie a dobânzii.

    Avem: ;100p1S

    8

    08

    +⋅=S ;

    10016000054,203362

    8

    +⋅=

    p

    30

  • ;3894,3100

    18

    =

    +

    p ;165,13894,3100

    1 8 ==+ p

    ;165,0100

    =p %.5,16100165,0 =⋅=p

    11. Să se determine suma totală a dobânzii compuse, la un capital de 48000 u.m., cu rata trimestrială de 3,5%, pe un termen de 2 ani şi 9 luni, ştiind că dobânda se capitalizează trimestrial.

    Rezolvare. Avem:

    =−

    +⋅=−

    +⋅=−= 4800

    1005,3148000

    1001

    11

    000 SpSSSD

    t

    tt

    ( ) =−⋅=−⋅= 4800046,14800048000035,148000 11 48000

    2208046,0 =⋅= u.m. 12. O persoană are de achitat următoarele datorii: 6000 u.m. peste 2 ani şi 3 luni; 4000 u.m.

    peste 1 an şi 6 luni; 8000 u.m. peste 2 ani şi 9 luni. Persoana doreşte să achite aceste datorii printr-o plată unică peste 4 ani. Să se determine valoarea acestei plăţi unice, procentul anual de dobândă fiind de 10%, în ipoteza echivalenţei, prin valori actuale a operaţiunilor financiare considerate.

    Rezolvare. În baza echivalenţei prin valori actuale, avem:

    ( ) ( ) ( ) ( );

    1111 321321

    tttt iS

    iS

    iS

    iS

    ++

    ++

    +=

    +

    ( ) ( ) ( ) ( );

    1,1

    8000

    1,1

    4000

    1,1

    60001,1S

    1292

    1261

    12324 +++

    ++=

    ;7298,1

    80001537,1

    400024,1

    60004641,1S

    ++= ;6,129304641,1S

    =

    S = 18931,7 u.m.

    Dobânda compusă. Problemele propuse 1. Să se determine valoarea finală (capitalul valorificat) şi dobânda respectivă a sumei de 46000

    u.m., plasată timp de 3 ani, în regim de dobândă compusă, cu procentul anual de dobândă de 12%. Răspuns: u.m.; u.m. 646273 =S 186273 =D2. Ce sumă a fost plasată în urmă cu 5 ani, în regim de dobândă compusă, cu procentul anual de

    dobândă de 9%, pentru ca acum să se dispună de suma de 30000 u.m.? Răspuns: u.m. 194980 =S3. Cu ce procent anual trebuie plasată suma de 50000 u.m., timp de 8 ani, în regim de dobândă

    compusă, pentru a se ajunge, în final, la suma de 85910 u.m.? Răspuns: . %7=p4. Pe ce termen trebuie să plasăm o sumă de bani, în regim de dobândă compusă, cu procentul

    anual de dobândă de 10%, pentru ca suma s