129
Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Editura ASEM

Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

  • Upload
    others

  • View
    5

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Academia de Studii Economice din Moldova

DUMITRU ZAMBIŢCHI

Editura ASEM

Page 2: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

CZU 336.71/.78:330.42(075.8) Z Examinat şi recomandat pentru editare la şedinţa Senatului A.S.E.M. din 26.02.05. (proces-verbal nr.

6) Manualul prezent este destinat studenţilor de la facultăţile cu profil economic, care studiază cursul

„Matematici financiare şi actuariale”. Sunt expuse atât temele principale referitoare la operaţiunile financiare certe, cât şi operaţiunile

financiare aleatorii. Materialul teoretic este ilustrat prin numeroase exemple cu caracter aplicativ. Problemele propuse spre

rezolvare vor da posibilitate studenţilor să-şi aprofundeze cunoştinţele. Autor: Dumitru Zambiţchi, doctor în ştiinţe fizico-matematice, profesor universitar. Referenţi: Victor Vizitiu, doctor în ştiinţe fizico-matematice, conferenţiar universitar. Ion Pârţachi, doctor în economie, profesor universitar. Ghenadie Ciobanu, doctor în economie, conferenţiar universitar.

Descrierea CIP a Camerei Naţionale a Cărţii Zambiţchi, Dumitru Matematici financiare şi actuariale: [Man.] / Dumitru

Zambiţchi; Acad. de Studii Econ. din Moldova. – Ch.: Dep.Ed.-Poligr. al ASEM, 2005. – 231 p.

Bibliogr. p. 195-196 (22tit.) ISBN 9975-75-306-X 200 ex.

336.71/.78:330.42(075.8)

ISBN 9975-75-306-X © Departamentul Editorial-Poligrafic ASEM

1

Page 3: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

CUPRINS

Introducere

Capitolul I. Costul creditului pe termen scurt. Dobânda simplă 1.1. Dobânda simplă 1.2. Echivalenţa prin dobândă 1.3. Echivalenţa prin valoarea actuală 1.4. Calcularea dobânzii la bonurile de casă, bonurile de trezorerie şi certificatele de depozit 1.5. Dobânda antecalculată echivalentă cu dobânda postcalculată 1.6. Calcularea sumei dobânzii la disponibilităţile depuse în conturile bancare sau pe librete la casele de

economii 1.7. Calcularea sumei dobânzii la operaţiunile de încasare şi plăţile în contul curent 1.8. Calcularea dobânzii la creditele de scont

Capitolul II. Costul creditului pe termen lung. Dobânda compusă 2.1. Formula de fructificare în regim de dobândă compusă 2.2. Modalităţile echivalente de plată a dobânzilor 2.3. Operaţiunile financiare echivalente în regim de dobândă compusă 2.4. Plasamentul în condiţiile inflaţioniste. Inflaţia şi rata reală a dobânzii Capitolul III. Plăţile eşalonate (rente) 3.1. Anuităţile posticipate temporare imediate 3.2. Anuităţile posticipate temporare amânate 3.3. Anuităţile posticipate perpetue 3.4. Anuităţile anticipate temporare imediate 3.5. Anuităţile anticipate temporare amânate 3.6. Anuităţile anticipate perpetue 3.7. Echivalenţa în operaţiunile financiare de plăţi eşalonate Capitolul IV. Rambursarea creditelor (împrumuturilor) 4.1. Rambursarea prin anuităţile posticipate temporare imediate 4.2. Rambursarea prin anuităţile anticipate temporare imediate Capitolul V. Împrumuturile cu obligaţiuni 5.1. Rambursarea la paritate (al pari) 5.2. Rambursarea peste paritate (supra pari) 5.3. Uzufructul şi proprietatea nudă Capitolul VI. Plasamentul financiar în acţiuni 6.1. Evaluarea în condiţiile certe 6.2. Modelul lui Gordon şi Shapiro 6.3. Modelul lui Bates 6.4. Modelul cu dividende în progresie aritmetică

Capitolul VII. Problemele investiţionale deterministe 7.1. Alegerea optimă a unei investiţii 7.2. Alegerea optimă a unor investiţii cu un fond de investiţii limitat 7.3. Rentabilitatea unei investiţii. Procentul rentabilităţii. Rentabilitatea absolută şi rentabilitatea relativă 7.4. Rentabilitatea şi creşterea anuală 7.5. Determinarea momentului optim de înlocuire a unui echipament Capitolul VIII. Modelele liniare de repartizare şi de transfer a fondurilor 8.1. Modelele liniare de repartizare a fondurilor 8.2. Modelele liniare de transfer a fondurilor

Capitolul IX. Dimensionarea optimă a fondului bănesc disponibil

2

Page 4: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

9.1. Modelul de stocare fără ruptură (fără lipsă de stoc) 9.2. Modelul de stocare cu ruptură (cu lipsă de stoc) 9.3. Dimensionarea optimă a fondului bănesc disponibil cu cerere aleatoare 9.4. Un model de creditare cu o rezervare riscată Capitolul X. Elementele de matematici actuariale. Operaţiile financiare aleatorii 10.1. Asigurările de viaţă. Funcţiile biometrice 10.2. Probabilitatea de viaţă şi de deces. Funcţia de supravieţuire. Viaţa medie. Viaţa probabilă 10.3. Asigurarea unei sume în caz de supravieţuire la împlinirea termenului de asigurare. Plata viageră

unică 10.4. Anuităţile viagere constante posticipate imediate. Calculul primei unice 10.5. Anuităţile viagere constante anticipate imediate. Calculul primei unice 10.6. Anuităţile viagere imediate limitate la n ani. Calculul primei unice 10.7. Anuităţile viagere amânate. Calculul primei unice 10.8. Anuităţile de pensie. Calculul primelor 10.9. Asigurările de deces. Calculul primei unice 10.10. Asigurările mixte. Calculul primei unice 10.11. Rezerva matematică pentru diferite tipuri de asigurări Capitolul XI. Asigurările de bunuri materiale 11.1. Primele nete şi primele brute 11.2. Modelul de risc colectiv pentru o singură perioadă de timp

Bibliografie Glosar Anexe

3

Page 5: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

INTRODUCERE

În condiţiile economiei de piaţă, moneda, creditul, băncile, bursele, societăţile de asigurări au un rol important în desfăşurarea proceselor economice, în menţinerea la o anumită valoare a caracteristicilor de funcţionare a economiei la nivel micro şi macroeconomic, a lichidităţii unităţilor economice, a economiei, în ansamblul ei.

Deoarece eforturile şi efectele unei activităţi economice, direct sau indirect, se măsoară în bani, apare, în mod natural, şi conceptul de operaţiune financiară.

În lucrare ne vom referi la anumite operaţiuni financiare, care reprezintă modalităţile de plasare a unor sume de bani în anumite condiţii, cu anumite reguli şi cu un anumit scop, de către un partener (creditor) către un alt partener (debitor) care, la rândul lor, pot fi persoane fizice sau juridice (bănci, burse, întreprinderi, instituţii etc.).

Fundamentarea deciziilor cât mai bune (optime) de investire şi de finanţare necesită ca fiecare întreprindere, în fiecare exerciţiu financiar, să-şi aprecieze prin metode matematice atât eforturile, cât şi rezultatele financiare scontate, în vederea minimizării riscurilor şi maximizării profiturilor (beneficiilor).

Aceste operaţiuni financiare interesează deopotrivă instituţiile financiare, băncile, bursele, întreprinderile, societăţile de asigurări, societăţile comerciale sau pe acţiuni, precum şi pe particulari. Şi unii şi alţii pot să-şi plaseze anumite sume de bani sau să facă anumite împrumuturi pentru investiţiile industriale, agricole, social-culturale şi, de aceea, sunt interesaţi în alegerea unui plasament financiar cât mai bun.

Obiectul matematicilor financiare şi actuariale constă în prezentarea şi studiul modelelor economico-matematice ale operaţiunilor financiare prin care se plasează anumite sume de bani şi se caută analiza rentabilităţii unor astfel de plasamente.

Dacă plata unor sume de bani se face, în momentul indicat, în mod sigur, fără a impune condiţii suplimentare, atunci se spune că avem de a face cu operaţiuni financiare certe, iar dacă plata unor sume de bani se face numai în urma realizării unor evenimente întâmplătoare, atunci spunem că avem operaţiuni financiare aleatorii.

Spre deosebire de operaţiunile financiare certe, în operaţiunile financiare aleatorii plăţile sumelor de bani se vor face numai în cazul în care se realizează anumite evenimente legate de viaţa sau decesul unei persoane (la asigurările de persoane) şi, respectiv, la producerea unor daune (la asigurările de bunuri materiale). Plăţile sumelor de bani vor avea loc în aceste cazuri nu în mod cert, dar numai cu anumite probabilităţi. Ramura matematicilor care se ocupă cu rezolvarea problemelor puse de practica operaţiilor financiare de asigurări este cunoscută sub denumirea „Matematici actuariale”.

Prezenta lucrare a fost elaborată pentru a veni în ajutor studenţilor, care studiază cursul special „Matematici financiare şi actuariale”. Lucrarea este structurată în 11 capitole, în care sunt prezentate temele principale referitor la operaţiunile financiare certe şi la operaţiunile financiare aleatorii.

Pe tot parcursul lucrării sunt prezentate exemple, probleme rezolvate şi probleme propuse spre rezolvare care pot constitui adevărate criterii de evaluare a înţelegerii materialului expus.

Lucrarea se adresează atât studenţilor de la facultăţile cu profil economic, cât şi tuturor celor interesaţi în studierea şi aprofundarea cunoştinţelor în domeniul analizei rentabilităţii operaţiunilor financiare.

4

Page 6: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

CAPITOLUL I. Costul creditului pe termen scurt. Dobânda simplă Folosirea pe larg a creditelor pe termen scurt de către majoritatea unităţilor economice ridică

problema determinării costului acestei surse de finanţare. Partea principală care determină costul creditului pe termen scurt este dobânda. Dobânda reprezintă o sumă de bani plătită de către debitor creditorului său pentru folosirea capitalului împrumutat în diferite activităţi economice. Sursa dobânzii constituie o parte din rezultatele financiare obţinute, ca urmare a investirii capitalului împrumutat.

Dobânda se plăteşte pentru depunerile făcute de unităţile economice la instituţiile financiar-bancare, pentru împrumuturile acordate de bănci clienţilor lor şi obligaţiunile emise de stat sau de diferite societăţi comerciale.

Dobânda constituie o recompensă pentru riscul pe care şi-l asumă creditorul prin cedarea temporară a capitalului său. Nivelul dobânzii diferă, în dependenţă de conjunctura economică, de cererea şi oferta capitalului de împrumut, de posibilităţile de refinanţare a băncilor comerciale.

Cea mai mare parte a creditelor pe termen scurt sunt creditele de mobilizare a efectelor comerciale (credite de scont). Luând drept punct de bază taxa scontului, băncile adaugă o cotă, care reprezintă cheltuielile administrative şi profitul, formând, astfel, rata dobânzii la care oferă credite pe termen scurt clienţilor. La toate creditele pe termen scurt, determinarea cheltuielilor cu dobândă se realizează aplicând formula de bază a dobânzii simple.

1.1. Dobânda simplă Fie S0 o sumă de bani care se împrumută în anumite condiţii, cu un anumit scop, de către

creditor debitorului sau pe o durată de timp t. Perioada de împrumut (sau de depunere) se consideră de durata t, măsurată în ani. La terminarea duratei de timp t, creditorului îi revine suma

, care este o funcţie de sumă plasată S( tSSSt ,0= ) 0 şi de durata de timp t. Evident că suma St trebuie să fie mai mare decât suma împrumutată S0.

Diferenţa dintre aceste două sume St şi S0 poartă denumirea de dobândă. Dobânda ( ) ( ) 0000 ,, StSSSStSDD tt −=−== este o funcţie strict crescătoare, în raport cu

fiecare din variabilele independente S0 şi t. Dobânda calculată asupra aceleiaşi sume S0 pe toată durata împrumutului, se numeşte

dobândă simplă. Evident că dobânda , ce se cuvine creditorului pentru suma împrumutată S( tSDDt ,0= ) 0 pe

durata t, în regim de dobândă simplă, este direct proporţională cu acestea. Notăm cu i factorul de proporţionalitate, atunci putem scrie formula de bază a operaţiei

financiare de dobândă simplă: ( ) tSitSDDt ⋅⋅== 00 ,

0

. Factorul de proporţionalitate i are următorul sens economic: reprezintă dobânda pentru suma 1=S (unitate monetară) pe perioada t = 1an, cu alte cuvinte, i este o dobândă unitară anuală.

În practica financiară, în locul dobânzii unitare anuale se utilizează procentul, adică dobânda ce se cuvine pentru 100 unităţi monetare (u.m.) pe timp de 1 an. Dacă notăm cu p procentul anual, atunci avem: . În acest caz, când se utilizează procentul, formula de bază a operaţiei

financiare, în regim de dobândă simplă, este:

ip ⋅= 100

( ) tS100

pt,SDD 00t ⋅⋅== . Mărimea procentului

anual p depinde de cererea şi oferta capitalului de împrumut pe piaţa financiar-bancară. Stabilirea de către bănci a procentului anual, în mod corect, este o problemă economică de mare importanţă. Dacă procentul anual are o valoare prea mare, atunci se poate produce o stopare în folosirea creditelor pentru activităţile economice productive şi, dimpotrivă, un procent anual redus al dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului.

Aşadar, apare necesitatea să se găsească, de fiecare dată, acel procent anual de dobândă, care să corespundă unui punct de optim în funcţionarea resurselor disponibile de capital.

5

Page 7: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Din cele spuse mai sus, rezultă că dobânda Dt depinde nu numai de suma împrumutată S0 şi de durata de timp t, dar şi de procentul anual p, adică avem: ( ) 000 ,, StpSSSSD tt −=−= .

Dar, atunci suma totală obţinută de creditor (capitalul valorificat):

( )it1St100

p1StS100

pSDSS 0000t0t +⋅=

⋅+⋅=⋅⋅+=+= .

Această formulă ne permite să calculăm una din mărimile , în dependenţă de celelalte. Din relaţia anterioară, de exemplu, dacă se cunoaşte valoarea finală S

tpSSt ,,, 0

t, putem determina

valoarea actuală ti1

SS t0 += .

Exemplul 1. Posesorul unui capital de 16000 u.m. îl dă cu împrumut pe un interval de 1,5 ani. Procentul anual de dobândă la acest împrumut este de 18%. Să se afle ce dobândă încasează investitorul şi care este suma finală (capitalul valorificat).

Rezolvare. Avem:

43205,11001816000t

100pSD 0t =⋅⋅=⋅⋅= u.m.;

St = S0 + Dt = 16000 + 4320 = 20320 u.m. Exemplul 2. Să se determine ce capital trebuie să avanseze, cu împrumut, un investitor pentru

ca după un interval de timp de 2 ani şi la un procent anual de dobândă de 16% să se obţină o dobândă de 6800 u.m.

Rezolvare. Avem:

t100

pSD 0t ⋅⋅= . Din această relaţie, obţinem:

212502161006800

tp100D

S t0 =

⋅⋅

=⋅⋅

= u.m.

Exemplul 3. Un capital în valoare de 26000 u.m. este dat cu împrumut pe un interval de 0,5 ani, cu un procent anual de dobândă p. Dobânda încasată este de 1820 u.m. Să se determine procentul anual de dobândă cu care a fost împrumutat capitalul.

Rezolvare. Avem: %140,526000

1001820tS

100Dp0

t =⋅⋅

=⋅⋅

= .

Exemplul 4. Un capital în valoare de 80000 u.m. a fost dat cu împrumut pe un interval de timp t, la un procent anual de dobândă de 12%. Dobânda încasată este de 14400 u.m. Să se determine perioada de timp pentru care s-a acordat împrumutul.

Rezolvare. Avem: ani5,11280000

10014400pS

100D

0

t =⋅

t ⋅=

⋅⋅

= .

Perioada de timp (numărul anilor) t poate fi număr natural, dar poate fi şi număr fracţionar

ktt k= . Astfel, dacă

k = 12, atunci tk reprezintă numărul de luni pentru care s-a acordat împrumutul. Aşadar, avem: tk = k · t. Dacă, de exemplu, t = 3 ani şi k = 2, atunci t2 = 2 ·3 = 6 (semestre), iar dacă k = 4 şi t = 3 ani, atunci t4 = 4 ·3 = 12 (trimestre). La fel, dacă k = 4 şi t = 1,5 ani, atunci t2 = 12 ·1,5 =18 (luni).

Notăm prin ik dobânda unitară corespunzătoare subperioadei anuale. Pentru ca prin formula de

bază a operaţiei financiare de dobândă simplă să se obţină aceeaşi dobândă trebuie ca kiik = .

Într-adevăr, avem: tSitkSkitSiD 00k0k ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= .

Aşadar, am obţinut că ik · tk = i · t.

6

Page 8: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Dobânzile i şi ik sunt dobânzile unitare echivalente, deoarece ele produc aceeaşi dobândă D pentru aceeaşi sumă plasată S0 pe aceeaşi perioadă de timp, măsurată în ani (t), respectiv, în fracţiuni de an (tk). În mod analog, se consideră procente echivalente p (anual) şi pk (al subperioadei).

În practica financiară, cel mai des caz întâlnit este acela, când unitatea de măsură a timpului

este ziua. În acest caz, 360tt 360= , unde tk = t360 reprezintă numărul de zile al perioadei considerate.

Exemplul 5. Să se calculeze dobânda pentru un capital de 25000 u.m., ce a fost dat, cu împrumut, pe un interval de 150 zile, cu procentul anual de dobândă de 18%. De determinat dobânda şi procentul trimestrial de dobândă echivalent cu cel anual.

Rezolvare. Avem:

1875360150

1001825000

360t

100pSD 360

0t =⋅⋅=⋅⋅= u.m.

Mai departe, deoarece 18,010018

100pi === , iar k = 4, obţinem: 045,0

418,0

4ii4 ===

%5,4

.

Dar, atunci procentul trimestrial echivalent cu cel anual va fi: i100p 44 =⋅= . Să presupunem, acuma, că plasamentul sumei de bani S0 nu are loc cu acelaşi procent pe toată

durata de plasare t. Dacă suma S0 se plasează pe durata t, în regim de dobândă simplă şi dacă

, astfel că pe fiecare perioadă ∑=

=m

kkt

1θ kθ plasarea se face cu procentul anual pk, atunci dobânda

( ) ( ) k

m

1k

k0

m

1kk00t θ

100pSθ,SDt,SDD ∑∑

==

⋅=== .

Exemplul 6. Un capital în valoare de 54000 u.m. a fost dat, cu împrumut, pe un an de zile, în regim de dobândă simplă, cu procentele anuale de 10, 12, 15, 18 şi 20% pentru duratele consecutive de 30, 45, 60, 75 şi, respectiv, 150 zile. Să se determine dobânda aferentă acestui împrumut.

Rezolvare. Avem:

=⋅⋅= ∑=

m

1kk

k0t θ

100pSD

u.m. 9135360100

15020751860154512301054000 =⋅

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅=

Dacă suma iniţială plasată S0 şi procentul anual p de dobândă sunt fixate, atunci obţinem că

suma finală (capitalul valorificat) ( ti1St100

p1SDSS 00t0t +⋅=

⋅+⋅=+= )este o funcţie liniară,

faţă de durata de timp t. În schimb, dacă se cunoaşte suma finală St, atunci suma iniţială

ti1SS t

0 += este o funcţie raţională, faţă de t.

Dintre aceste două sume, S0 şi St, una se consideră dată (cunoscută), iar cealaltă urmează să se determine. Suma cunoscută se mai numeşte suma nominală. Dacă suma iniţială S0 = 1 u.m. şi durata de timp t = 1an, atunci avem: u = S1 = 1 + i. La fel, dacă suma finală St = 1 u.m. şi t = 1an, atunci

avem: u1

i11Sv 0 =+

== , unde u şi v sunt, corespunzător, factor de fructificare (de capitalizare) şi

factor de actualizare. Noţiunile introduse până acuma au fost definite, pornind de la suma iniţială S0. În mod analog,

pot fi definite noţiunile asemănătoare, pornind de la suma finală St. În practica financiară, pentru a deosebi aceste două cazuri (situaţii), se foloseşte termenul de „decursiv” în primul caz şi, respectiv, „anticipat”, în al doilea caz.

Aşadar, vom avea procentul decursiv p, când se aplică asupra sumei iniţiale S0 şi, respectiv, procentul anticipat q, când se aplică asupra sumei finale St. Dobânda unitară i va fi decursivă, iar

7

Page 9: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

dobânda unitară anticipată se notează cu r. Procentele p şi q se numesc conforme, dacă dobânzile unitare i şi r sunt conforme, adică pe 1 an dau valori actuale egale şi, deci, dobânzi (decursivă şi anticipativă) egale.

Din definiţia dobânzilor unitare conforme putem stabili relaţia dintre dobânda unitară decursivă i şi dobânda unitară anuală anticipată r. Avem: D1 = S0 · i, pe de o parte, iar pe de altă

parte, D1 = S1 · r = S0 (1 + i) · r. Aşadar, am obţinut S0 · i = S0 (1 + i) · r. Deci, i1

i+

=r .

Exemplul 7. Un capital în valoare de 32000 u.m. a fost dat, cu împrumut, pe durata de timp 240 zile, în regim de dobândă simplă, cu procentul anual de dobândă de 20%. Cunoscând procentul decursiv, să se determine procentul anticipat conform acestuia.

Rezolvare. Se dă: S0 = 32000 u.m.; p = 20%; t = 240 zile. Calculăm dobânda

4267360240

1002032000

360t

100pSD 0t =⋅⋅=⋅⋅= u.m. Suma finală va fi:

36267426732000DSS t0t =+=+= u.m. Procentului decursiv p = 20% îi corespunde dobânda unitară anuală decursivă i = 0,2. Dobânda unitară anuală anticipată

1667,02,01

2,0i

i=

+=

+1r = şi, deci, procentul anticipat, conform cu procentul decursiv p = 20%,

este q = 16,67%.

Într-adevăr, pentru 32

360240

==t , avem:

=⋅+

⋅=

+=

323

2

2,01

2,0

i1i

r1

11 şi, respectiv, dobânda 11765,0= =⋅= 1t rSD 426711765,036267 ≈⋅=

u.m. În practica financiară, se întâlnesc cazuri, când un sistem de împrumuturi se înlocuieşte cu alt

sistem de împrumuturi. Înlocuirea este posibilă, dacă aceste două sisteme de împrumuturi sunt echivalente.

1.2. Echivalenţa prin dobândă Se spune că două sisteme de împrumuturi date, cu valorile iniţiale, sunt echivalente, în regim

de dobândă simplă, în raport cu dobânda, ş scriem i ( ){ } ( ){ }

njjjjmjjjj tpStpS,1,1

,,~,,==

′′′ , în cazul dacă ele conduc la aceeaşi dobândă

simplă totală, adică are loc

∑∑==

′′′=

n

j

jjjm

j

jjj tpStpS

11 100100.

Dacă , atunci avem echivalenţa a două împrumuturi, iar dacă şi n oarecare, atunci avem echivalenţa unui împrumut cu un sistem de împrumuturi.

1== nm 1=m

Pe baza echivalenţei a două sistem de împrumuturi pot fi introduse aşa numitele valori medii. Fie dat un sistem de împrumuturi

e( ){ }

njjjj tpS,1

,,=

. Se numeşte suma medie înlocuitoare al

sumelor împrumutate suma S determinată pe baza echivalenţei nSSS ,,, 21 L

( ){ } ( ){ }njjjnjjjj tpStpS

,1,1,,~,,

==.

Aşadar, dacă ne punem scopul să înlocuim un sistem de împrumuturi, cu sumele , printr-un alt sistem de împrumuturi, cu suma unică S, astfel încât suma dobânzilor

aduse de sumele să fie egală cu dobânda adusă de suma S, atunci avem: nSSS ,,, 21 L

nSSS ,,, 21 L

+++⋅=+++

100tp

100tp

100tpS

100tpS

100tpS

100tpS nn2211nnn222111 LL sau ∑∑

==

=n

1jjj

n

1jjjj tptpSS .

8

Page 10: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Exemplul 8. Să se determine suma medie înlocuitoare a sumelor 6000S1 = u.m., 80002 =S u.m., u.m., plasate pe duratele respective t110003 =S 11 = an, t 22 = ani, t ani şi cu procentele anuale de dobândă ,

5,1=3

%161 =p %202 =p , %183 =p . Rezolvare. Avem:

8590,45,118220116

5,1181100022080001166000S =⋅+⋅+⋅

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= u.m.

Se numeşte procentul mediu al procentelor procentul p determinat pe baza echivalenţei sistemelor de împrumuturi

nppp ,,, 21 L

( ){ } ( ){ }njjjnjjjj tpStpS

,1,1,,~,,

==

nttt ,,, 21 L

. Fie sumele

, sunt plasate, respectiv, pe duratele şi cu procentele anuale de dobândă . Ne punem scopul şi determinăm procentul mediu anual p, pentru care aceste sume,

plasate pe aceleaşi durate, să ne dea aceeaşi dobândă totală.

nSSS ,,, 21 L

nppp ,,, 21 L

Aşadar, avem:

1001001001001001002211222111 nnnnn tpStpStpStpStpStpS

+++=+++ LL sau ∑∑==

=n

jjj

n

jjjj tStpSp

11.

Exemplul 9. Să se determine procentul mediu de plasament (de depunere) al sumelor: u.m., u.m., 120001 =S 150002 =S 90003 =S u.m., 125004 =S u.m., plasate pe duratele

respective: zile, zile, 901 =t 452 =t 8013 =t zile, 1204 =t zile, cu procentele anuale respective: , , , . %201 =p % 233 =p182 =p % %214p =

Rezolvare. Avem:

.%21120 12500180 900045 1500090 12000

120 21 12500 180 23 900045 181500090 20 12000p

=

⋅+⋅+⋅+⋅

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

Se numeşte scadenţă durata de timp t pentru care s-a împrumutat o sumă de bani. Se numeşte scadenţă comună a duratelor durata t determinată pe baza echivalenţei sistemelor de împrumuturi

nttt ,,, 21 L

( ){ } ( ){ }njnjjjj tpS

,1,1,,

== jj tpS ,,~ .

Aşadar, avem:

+++⋅=+++

1001001001001001002211222111 nnnnn pSpSpSttpStpStpS

LL sau ∑∑==

=n

jjj

n

jjjj pStpSt

11.

Dacă avem deja procentul mediu anual p, atunci scadenţa comună ∑∑==

=n

jj

n

jjj StSt

11 poartă

numele de scadenţă medie. Exemplul 10. Se împrumută sumele de bani: 45001 =S u.m., 62002 =S

90u.m., u.m.,

cu acelaşi procent anual de dobândă p, pe duratele respective: 55003 =S

1 =t zile, zile, 120=2t 2403 =t zile. Să se determine scadenţa medie.

Rezolvare. Scadenţa medie:

zile., 4152550062004500

24055001206200904500SSS

tStStSt

321

332211

≈++

⋅+⋅+⋅=

=++++

=

1.3. Echivalenţa prin valoarea actuală Să presupunem, acum, că debitorul urmează să achite creditorului său sumele ,

evaluate, respectiv, cu procentele anuale la scadenţele respective t . Plăţile sunt datorii finale (datorii plus dobânzi), iar scadenţele t sunt măsurate faţă

de un acelaşi moment iniţial.

∗∗∗nSSS ,,, 21 L

nt,,2 Lnppp ,,, 21 L t,1∗∗∗nSSS ,,, 21 L ntt ,,, 21 L

9

Page 11: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

În aceste condiţii, suma medie înlocuitoare se va determina în baza echivalenţei ∗S( ){ } ( ){ }

njjjnjjjj tpStpS,1,1

,,~,,=

∗=

∗ .

Aşadar, dacă ne punem scopul să înlocuim un sistem de împrumuturi (datorii), cu sumele finale , printr-un alt sistem, cu suma finală unică , astfel încât ele conduc la aceeaşi valoare actuală totală, atunci avem:

∗∗∗nSSS ,,, 21 L ∗S

∑∑=

=

+⋅=

+

n

jj

jn

jj

jj t

pSt

pS

1

1

1

1

1001

1001 sau

∑∑=

=

∗∗

+

+=

n

jj

jn

jj

jj t

pt

pSS

1

1

1

1

1001

1001 .

Procentul mediu înlocuitor p se determină rezolvând ecuaţia de gradul n, faţă de necunoscuta p:

∑∑=

−∗

=

+=

+

n

jjj

n

jj

jj tpSt

pS

1

1

1

1

1001

1001 .

Scadenţă medie înlocuitoare t se determină rezolvând ecuaţia de gradul n, în raport cu necunoscuta t :

∑∑=

=

+=

+

n

j

jj

n

jj

jj t

pSt

pS

1

1

1

1

1001

1001 .

Exemplul 11. Debitorul urmează să achite creditorului suma u.m. peste 30 zile, evaluată cu procentul anual de dobândă

120001 =∗S%101 =p şi suma u.m. peste 45 zile, evaluată

cu procentul anual . Ambele plăţi sunt datorii finale (datorii plus dobânzi), iar scadenţele sunt măsurate, faţă de un acelaşi moment iniţial.

200002 =∗S

%122 =p

Se cere de aflat suma medie înlocuitoare , scadenţa medie t şi procentul mediu anual în ipoteza echivalenţei, în regim de dobândă simplă, prin valori actuale a operaţiunilor financiare considerate.

∗S

Rezolvare. Avem:

3,31605

3604512,01

20000

360301,01

12000100

12

1

1

=⋅+

+⋅+

=

+∑

=

jj

jj t

pS u.m.;

977,1

3604512,01

1

360301,01

1100

12

1

1

=⋅+

+⋅+

=

+∑

=

jj

j tp

.

Suma medie 5,15986977,1

3,31605==∗S u.m.

Pentru a afla scadenţa medie, rezolvăm ecuaţia

;12,01

200001,01

120003,31605tt ⋅+

+⋅+

= ( )( ) =⋅+⋅+⋅ t12,01t1,013,31605

( ) ( t1,0120000t12,0112000 )⋅+⋅+⋅+⋅= . Rezolvând această ecuaţie, obţinem scadenţa medie înlocuitoare 111,0=t ani zile. 40≈

Pentru a afla procentul mediu, rezolvăm ecuaţia

360451

20000

360301

120003,31605⋅+

+⋅+

=ii

a cărei

soluţie este i şi, deci, procentul mediu anual de înlocuire este .

1142,0≈,111142, = %420100100 ⋅=⋅= ip

10

Page 12: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Dacă sistemul de împrumuturi (datorii), cu sumele finale , se înlocuieşte printr-o operaţiune unică de suma finală , scadenţa t şi procentul anual

∗∗∗nSSS ,,, 21 L

∗S p , prin echivalenţa, în regim de dobândă simplă, prin valoarea actuală, atunci relaţia de echivalenţă are forma:

1

1

1

1001

1001

−∗

=

+⋅=

+∑ tpSt

pS

n

jj

jj .

În acest caz, fiind date două dintre elementele înlocuitoare , t şi p, putem, în mod unic, determina pe al treilea element.

∗S

Exemplul 12. La data de 01.06, dintr-un anumit an, un debitor discută cu bancherul său, în condiţiile de echivalenţă, în regim de dobândă simplă prin valoarea actuală, înlocuirea unei plăţi de valoare finală u.m., evaluată cu procentul anual de dobândă , scadentă pe 30.06, în acelaşi an, şi a unei plăţi de valoare finală u.m., evaluată cu procentul

, scadentă pe 15.07, în acelaşi an, printr-o plată unică de valoare finală , care să fie evaluată cu procentul unic şi să fie scadentă pe 30.07, în acelaşi an.

60001 =∗S %81 =p

S10000S2 =

%122 =p ∗

%10=pDacă banca acceptă această înlocuire, atunci care este suma unică înlocuitoare ? ∗SRezolvare. Avem:

u.m. 16076

3604512,01

10000

3603008,01

60001221,01

t100p

1St100

p1S2

1j

1

jj*

j

=

⋅++

⋅+

⋅+=

=

+⋅

+= ∑

=

1.4. Calcularea dobânzii la bonurile de casă, bonurile de trezorerie şi certificatele de

depozit Bonurile de casă sunt titlurile de îndatorare pe termen scurt, emise de băncile sau societăţile

comerciale şi subsemnate de diverse unităţi economice sau bănci. Suma dobânzii se antecalculează, astfel încât la cumpărare se achită valoarea nominală micşorată, cu suma dobânzii, iar la scadenţă se restituie valoarea nominală. Scadenţa, în acest caz, de regulă, este până la 3 luni.

Bonurile sau biletele de trezorerie sunt titlurile de credit pe termen scurt emise de societăţile comerciale. Scadenţa se stabileşte, de regulă, după un număr fix de săptămâni, care poate varia între 13, 26 sau 52 săptămâni. În anumite situaţii scadenţa poate fi extinsă până la 2 ani.

Certificatele de depozit sunt eliberate de bănci, în sume fixe, pentru primirea unor sume spre fructificare din partea cetăţenilor sau a unor persoane juridice.

Dobânda simplă postcalculată. Suma dobânzii se calculează şi se plăteşte investitorului la scadenţa creditului sau certificatelor de depozit. Prin urmare, valoarea de rambursare a creditului sau a certificatelor de depozit va fi egală cu creditul acordat plus suma calculată a dobânzii.

Exemplul 13. Să se determine suma anuală a dobânzii, capitalul final, dacă se cunoaşte valoarea nominală a titlului u.m., rata anuală (procentul anual) a dobânzii 750000 =S %16=p , timpul ce se scurge până la scadenţă zile. 45=t

Rezolvare. Avem: 150036000

451675000360100

0 =⋅⋅

=⋅⋅⋅

=tpSDt

u.m.;

765001500750000 =+=+= tt DSS u.m. Dobânda simplă antecalculată. Suma dobânzii se calculează şi se bonifică investitorului în

momentul procurării bonului de casă sau biletului de trezorerie, ceea ce înseamnă că preţul plătit în momentul încheierii contractului (capitalul efectiv investit, ) este egal cu valoarea nominală a bonului minus dobânda antecalculată. La scadenţă, investitorul primeşte valoarea nominală a bonului care, în acest caz este capitalul final .

0S tS

tS

11

Page 13: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Exemplul 14. Cunoscând valoarea nominală a bonului 50000=tS u.m., rata anuală a dobânzii , timpul ce se scurge %20=p 90=t zile, să se determine capitalul investit.

Rezolvare. Avem:

u.m. 475003601009020150000

36010090205000050000DSS tt0

=

⋅⋅

−⋅=

=⋅

⋅⋅−=−=

Rata efectivă a dobânzii. Randamentul unui plasament, cu dobândă simplă antecalculată, nu este egal cu rata nominală a dobânzii. Investitorul utilizează un capital mai mic decât valoarea nominală a bonului de casă procurat, în schimb beneficiază de o sumă a dobânzii calculată la valoarea nominală. Prin urmare, rata efectivă a dobânzii este mai mare decât rata nominală

. ep

( )ppe >

Rata efectivă a dobânzii se determină din formula:

3601001

⋅−

= tpppe , deoarece

tpStptpS tet ⋅⋅=⋅

⋅−

3601001 .

Exemplul 15. Să se calculeze rata efectivă a dobânzii dacă se ştie valoarea nominală a titlului u.m., rata nominală a dobânzii 48000=tS %15=p , timpul ce se scurge până la scadenţa 200=t

zile. Rezolvare. Capitalul efectiv investit

4400036010020015148000

36010010 =

⋅⋅

−⋅=

⋅−⋅=

tpSS t u.m.

Dobânda 360100360100

0

⋅⋅⋅

=⋅

⋅⋅=

tpStpSD tet .

Aşadar, avem: 360100

2001548000360100

20044000⋅

⋅⋅=

⋅⋅⋅ ep

sau %4,1644000

1548000pe ≈⋅

= .

1.5. Dobânda antecalculată echivalentă cu dobânda postcalculată Exemplul 16. Două plasamente A şi B, egale ca valoare şi cu aceeaşi scadenţă, diferă doar

prin ratele de dobândă şi prin metoda de calculare (postcalcul sau anticalcul), se prezintă astfel: - plasamentul A are rata dobânzii %5,19=p (postcalcul), scadenţa de 90 zile; - plasamentul B are rata dobânzii %5,18=p (antecalcul), scadenţa de 90 zile.

Investitorul îşi pune următoarele întrebări: 1. Care este cel mai avantajos plasament? 2. Care trebuie să fie rata dobânzii antecalculată pentru ca plasamentul B să fie echivalent cu

plasamentul A ? Rezolvare. Calculăm rata efectivă a plasamentului B cu dobânda antecalculată.

Avem: %40,1904625,01

5,18

360100905,181

5,18

3601001

=−

=

⋅⋅

−=

⋅−

= tpppe .

După cum se vede, plasamentul B comportă o rată efectivă mai mică decât rata nominală a plasamentului A. Prin urmare, plasamentul A este mai avantajos.

Pentru a da răspuns la întrebarea a doua, calculăm rata dobânzii antecalculată pentru plasamentul B, echivalentă cu rata nominală a plasamentului A, din condiţia:

12

Page 14: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

pp

pp

−⋅

=

⋅⋅

−=

400400

360100901

5,19 .

Avem: ( ) %6,185,419

7800;5,4197800;4004005, ====− pppp19 .

Prin urmare, rata dobânzii antecalculate la plasamentul B ar trebui să fie de 18,6% pentru ca acest plasament să fie echivalent cu plasamentul A.

1.6. Calcularea sumei dobânzii la disponibilităţile depuse în conturile bancare sau pe

librete la casele de economii Remuneraţia la depozitele bancare şi la casele de economii se calculează în funcţie de

numărul de chenzine (factorul timp). Orice depunere reprezintă un credit acordat instituţiei financiare pentru care aceasta bonifică

dobânzi, iar orice retragere din cont semnifică, dimpotrivă, un împrumut acordat de instituţia respectivă, pentru care se cuvine dobândă.

Dobânda se calculează din formula: 24100

0

⋅⋅= qNpS

D , unde – numărul de chenzine

(retribuţia primită pentru o jumătate de lună);

qN

Numărul de chenzine se determină din formula: ( ) tLNq −−= 132 , unde: L – luna depunerii sau retragerii din cont de pe libret; t – coeficientul de timp. Pentru stabilirea numărului de chenzine instituţiile financiare aplică următoarele reglamentări:

La depunere. Dacă ziua este între 1-15 ale lunii, atunci 1=t , iar dacă ziua depunerii este între 16-30 ale lunii, atunci 2=t . La retragere. Dacă ziua retragerii este între 1-15 ale lunii, atunci t , iar dacă ziua retragerii este între 16-30 ale lunii, atunci

0=1=t .

Exemplul 17. Pe data de 9 martie a fost depusă în cont pe libret de economii suma de 20000 u.m., cu rata dobânzii de 16%. Să se calculeze dobânda şi suma la sfârşitul anului.

Rezolvare. Avem: ( ) ;1913132 =−−=qN

33,253324100

191620000=

⋅⋅⋅

=D u.m.;

33,2253333,253320000 =+=S u.m. Sistemul de calculare a dobânzilor, utilizat de instituţiile financiare, la care factorul timp se

determină în funcţie de numărul chenzinelor, creează un oarecare avantaj bănesc instituţiilor respective; comparativ cu calcularea dobânzilor, în funcţie de numărul de zile, la fiecare depunere se bonifică un volum mai mic de dobândă, iar la fiecare retragere – un volum ceva mai mare de dobândă.

În exemplul precedent, volumul dobânzii calculate, în funcţie de , este de 2533,33 u.m., în timp ce, calculat după numărul de zile până la sfârşitul anului (numărul de zile de rămânere în sold), volumul dobânzii ar fi fost:

qN

56,2595360100

2921620000=

⋅⋅⋅

=D u.m.

Diferenţa ( 2595 u.m.) reprezintă echivalentul aşa-numitelor „zile-valori”, folosite de bănci în relaţiile de credit şi decontări cu unităţile economice.

23,6233,253356, =−

Exemplul 18. Să se calculeze volumul dobânzii la un cont deschis la bancă, în care s-au efectuat următoarele operaţiuni:

12.II – Depunere 35000 u.m. 16.III – Depunere 15000 u.m. 21.IV – Retragere 17000 u.m. 08.V – Retragere 12000 u.m.

13

Page 15: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Rata dobânzii este de 18%. Termenul pentru calcularea dobânzii se consideră sfârşitul anului. Rezolvare. Calculăm numărul de chenzine ( ) pentru fiecare operaţiune financiară: qN

( ) ( ) ;1823132;2112132 21 =−−==−−= qq NN ( ) ( ) .1605132;1714132 43 =−−==−−= qq NN

Pentru fiecare operaţiune financiară calculăm volumul dobânzii bonificate şi a celor percepute:

;u.m. 252024100

181815000D

;u.m. 5,551224100

211835000D

2

1

=⋅

⋅⋅=

=⋅

⋅⋅=

u.m. 144024100

161812000D

;u.m. 5,216724100

171817000D

4

3

=⋅

⋅⋅=

=⋅

⋅⋅=

Suma totală a dobânzilor va fi: 39304321 =−−+= DDDDD u.m.

Dacă suma dobânzii s-ar fi calculat după numărul de zile, rezultatele ar fi fost următoarele:

;u.m. 5,2137360100

2851815000D

;u.m. 5,5582360100

3191835000D

2

1

=⋅

⋅⋅=

=⋅

⋅⋅=

u.m. 1398360100

2331812000D

;u.m. 5212360100

2501817000D

4

3

=⋅

⋅⋅=

=⋅

⋅⋅=

Suma totală a dobânzilor ar fi fost: 41974321 =−−+= DDDDD u.m.

Diferenţele de dobândă în favoarea băncii se prezintă astfel:

Operaţiuni financiare Suma (u.m.)

Dobânda în funcţie de qN

Dobânda în funcţie de numărul de zile

Diferenţa favorabilă pentru bancă

Depunere Depunere Retragere Retragere

35000 15000 17000 12000

5512,5 2025,0 2167,5 1440,0

5582,5 2137,5 2125,0 1398,0

+70,0 +112,5 +42,5 +42,0

3930,0 4197,0 +267,0 1.7. Calcularea sumei dobânzii la operaţiunile de încasare şi plăţile în contul curent Calcularea dobânzilor este o operaţiune periodică, anuală, trimestrială sau la alte termene

stabilite în prealabil cu banca, în baza formulei dobânzii simple, adoptată pentru punerea pe calculator a acestor operaţiuni financiare.

La contul curent sumele sau soldurile produc dobânzi debitoare sau creditoare, după natura soldurilor, pornind de la o anumită dată numită „zi-valoare” şi care corespunde înscrierii operaţiunii de cont de către bancă. Termenul până la care se calculează dobânzile (sau data închiderii contului curent) se numeşte epocă.

Pot fi utilizate metode de calculare a dobânzilor: metoda curentă, metoda indirectă şi metoda hamburgheză sau în scară. De fiecare dată pentru calculul dobânzii se foloseşte formula:

14

Page 16: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

i

n

ii

n

ii tSpNpD ∑∑

==

⋅⋅

=⋅⋅

=11 360100360100

,

unde: – numere debitoare sau creditoare, iar – sume debitoare sau creditoare şi – numărul de zile până la operaţiunea următoare sau până la epocă.

iii tSN ⋅= iS it

Metoda directă cu dobânzi reciproce se caracterizează prin faptul că rata dobânzii este aceeaşi atât pentru numerele debitoare, cât şi pentru cele creditoare, precum şi prin faptul că numerele se obţin înmulţind sumele debitoare şi cele creditoare cu numărul de zile de la înregistrarea operaţiunilor de cont, până la epocă. După aceea, se totalizează numerele debitoare şi, separat, numele creditoare, se face diferenţa dintre ele, obţinându-se soldul numerelor care poate fi debitor sau creditor. Se înmulţeşte

soldul numerelor cu 360100 ⋅

p şi ca rezultat se obţine volumul dobânzii cu care se caracterizează soldul

contului curent. Exemplul 19. Să se calculeze suma dobânzii la contul curent, după metoda directă, cu

dobânda reciprocă de 20% şi să se stabilească soldul contului curent (ct. crt.) la epocă, pe baza extrasului de cont alăturat.

Debit ct. crt.(epoca 15.IX) Credit 30.VI 22000 20.VI 25000 16.VII 40000 03.VII 35000 29.VII 15000 18.VII 15000 21.VIII 18000 29.VII 30000 02.IX 90000 17.VIII 40000 24.VIII 18000 30.VIII 20000 Total debit 185000 Total credit 183000

Calculăm numerele debitoare şi creditoare: 22 000 · 75 = 1 650 000 25 000 · 85 = 2 125 000 40 000 · 59 = 2 360 000 35 000 · 72 = 2 520 000 15 000 · 46 = 690 000 15 000 · 57 = 855 000 18 000 · 24 = 432 000 30 000 · 46 = 1 380 000 90 000 · 13 = 1 170 000 40 000 · 28 = 1 120 000 18 000 · 21 = 378 000 20 000 · 15 = 300 000 ____________________________________________________________________

∑ = 0003026ii tS ∑ = 0006788ii tSSuma dobânzii va fi:

( 13206302000867800036000

20tS36000

pD i

n

1ii =−⋅=⋅= ∑

=

) u.m. (Credit).

Acum, putem stabili soldul contului curent la epocă (corectarea soldului contului curent cu suma dobânzii):

Sold ct. crt. = 185 000 – 183 000 = 2 000 u.m. (Debit). Sold ct. crt. la epocă = 2 000 – 1 320 = 680 u.m. (Debit). Metoda directă cu dobânzi diferite. Procedeul de calcul este asemănător cu cel utilizat la

metoda directă cu dobânzi reciproce. Caracteristic este faptul că nu se mai stabileşte soldul numerelor, ci se aplică rate diferite de dobândă separat pentru numerele debitoare şi separat pentru cele creditoare. În final, se obţine suma dobânzii cuvenite numerelor debitoare şi suma cuvenită numerelor creditoare, se face diferenţa dintre ele, obţinându-se soldul dobânzilor care poate fi debitor sau creditor.

Exemplul 20. Să se calculeze suma dobânzii la contul curent, după metoda directă, cu dobânzi diferite: şi să se stabilească soldul contului curent la epocă, pe baza extrasului de cont alăturat.

%4,22,%5,19 == CD pp

15

Page 17: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Debit ct. crt.(epoca 25.IX) Credit 10. IV 12500 05.IV 35000 25. IV 14000 18.IV 15000 27. IV 20500 22.V 35000 17. V 25000 30.V 26000 01. VI 34000 17.VI 30000 08. VI 19000 29.VI 40000 Total debit 125000 Total credit 181000

Calculăm numerele debitoare şi creditoare: 12 500 · 135 = 1 687 500 35 000 · 140 = 4 900 000 14 000 · 121 = 1 694 000 15 000 · 127 = 1 905 000 20 500 · 118 = 2 419 000 35 000 · 93 = 3 255 000 25 000 · 98 = 2 450 000 26 000 · 85 = 2 210 000 34 000 · 84 = 2 856 000 30 000 · 68 = 2 040 000 19 000 · 77 = 1 463 000 40 000 · 56 = 2 240 000 ______________________________________________ ∑ = 50056912iitS ∑ = 00055016iitSCalculăm suma dobânzii:

5,680836000

5,1912569500 =⋅=D u.m. (Debit).

8,1029736000

4,2216550000 =⋅=D u.m. (Credit).

Soldul dobânzilor este 10297 3,34895, 68088, =− u.m. (Credit). Acum, putem stabili soldul contului curent la epocă: Sold ct. crt. = 181 000 – 125 000 = 56 000 u.m. (Credit) Sold ct. crt. la epocă = 56 000 + 3489,3 = 59489,3 u.m. (Credit).

Metoda hamburgheză sau în scară. Particular este faptul că operaţiunile din extrasul de cont se ordonează cronologic, ceea ce ne permite să determinăm soldul după fiecare operaţiune. Un sold oarecare generează dobânzi de la data operaţiunii următoare. Din cele spuse mai sus, rezultă că numerele se calculează înmulţind soldul cu numărul de zile de la o operaţiune la alta (şi nu până la epocă, cum se procedează în cazul metodei directe). Metoda hamburgheză permite aplicarea unor rate de dobânzi diferite (pentru solduri debitoare şi creditoare) şi variabile de la o etapă la alta.

Exemplul 21. Să se calculeze suma dobânzii la contul curent, după metoda hamburgheză, cu dobânda de 18% şi să se stabilească soldul contului curent la epocă, în baza extrasului de cont alăturat.

Debit ct. crt.(epoca 15.IX) Credit 10.V 50000 15.V 20000 30.V 10000 17.V 24000 14.VI 36000 02.VI 14000 28.VI 4000 18.VI 40000 15.VII 16000 02.VII 18000 04.VIII 6000 04.VIII 12000 12.IX 28000 17.VIII 8000 06.IX 10000 Total debit 150000 Total credit 146000

Calcularea soldurilor şi a numerelor:

16

Page 18: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Nr. crt. Data-valoare Debit (D) Credit (C) Soldul (S) Natura

soldului Zile Numerele (Ni)

1. 10.V 50000 - 50000 D 5 250000 2. 15.V - 20000 30000 D 2 60000 3. 17.V - 24000 6000 D 13 78000 4. 30.V 10000 - 16000 D 2 32000 5. 02.VI - 14000 2000 D 12 24000 6. 14.VI 36000 - 38000 D 4 152000 7. 18.VI - 40000 2000 C 10 20000 8. 28.VI 4000 - 2000 D 4 8000 9. 02.VII - 18000 16000 C 13 208000

10. 15.VII 16000 - - - - - 11. 04.VIII 6000 12000 6000 C 13 78000 12. 17.VIII - 8000 14000 C 19 266000 13. 06.IX - 10000 24000 C 6 144000 14. 12.IX 28000 - 4000 D 4 16000

150000 146000 4000 D - 96000(C) Calcularea sumei dobânzii:

489600036000

18=⋅=D u.m. (Credit).

Stabilirea soldului contului curent la epocă: 3952484000 =− u.m. (Debit).

1.8. Calcularea dobânzii la creditele de scont Scontarea reprezintă o operaţiune financiară prin care o bancă comercială cumpără o cambie sau

un bilet la ordin de la beneficiarul ei înainte ca aceasta să ajungă la scadenţă. Aşadar, beneficiarul unei cambii sau emitentul unui bilet la ordin pot prezenta efectele comerciale

respective unei bănci comerciale spre scontare, primind imediat, în schimb, contravaloarea lor mai puţin cu taxa de scont.

Scontul este, de fapt, un credit pe termen scurt (credit de mobilizare) acordat de bancă prezentatorilor de efecte comerciale spre scontare. Scontul poate fi: comercial şi raţional.

Scontul comercial (Sc) reprezintă costul operaţiunii de scontare, adică suma dobânzii la creditele de scont, suportată de prezentatorul efectului comercial. Scontul comercial, practic, reprezintă o dobândă simplă antecalculată.

Exemplul 22. Să se calculeze scontul comercial (Sc) şi valoarea actuală a efectului (Va), cunoscând:

- Valoarea nominală a efectului scontat Vn = 250000 u.m.; - Scadenţa efectului comercial t = 90 zile; - Taxa nominală a scontului Tx = 18% . Rezolvare. Avem:

1125036000

9018250000360100

=⋅⋅

=⋅⋅⋅

=tTVS xn

c u.m.;

23875036000

90181250000360100

1 =

⋅−⋅=

⋅⋅

−⋅=tTVV x

na u.m.

Scontul raţional (Sr) reprezintă diferenţa dintre valoarea tratei în ziua prezentării la scontare şi valoarea sa la scadenţă. Scontul raţional este mai mic decât scontul comercial, deoarece se calculează asupra valorii actuale a tratei şi nu asupra valorii nominale.

Exemplul 23. Să se determine scontul raţional în baza datelor iniţiale din exemplul 22. Rezolvare. Avem:

6,10765

3600090181

250000250000

3601001

=⋅

+−=

⋅⋅

+−= tT

VVSx

nnr u.m.

17

Page 19: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Taxa (rata) efectivă a scontului (T ). Deoarece creditul de scont este un credit pe termen scurt, cu dobândă antecalculată şi reţinută de bancă în momentul scontării, rezultă că creditul efectiv, obţinut de prezentatorul tratei la scontare, este inferior valorii nominale a acesteia şi, prin urmare, taxa efectivă a scontului (T ) este mai mare decât taxa nominală.

ex

ex

Pentru a determina taxa efectivă a scontului se utilizează aceeaşi formulă ca şi în cazul ratei efective a dobânzii (pe ).

Avem: tV

StT

T

a

c

x

xex ⋅

⋅=

⋅⋅

−=

36000

3601001

T .

Exemplul 24. Să se determine scontul comercial (Sc), scontul raţional (Sr) şi taxa efectivă a scontului (T ), cunoscând: ex

- Valoarea nominală a tratei scontate Vn = 150000 u.m.; - Taxa nominală a scontului Tx = 16,5%; - Scadenţa tratei t = 60 zile. Rezolvare. Avem:

412536000

605,16150000360100

=⋅⋅

=⋅⋅⋅

=tTVS xn

c u.m.;

1458754125150000 =−=−= cna SVV u.m.;

6,4014

36000605,161

11150000

3601001

=

⋅+

−=

⋅⋅

+−= tT

VVSx

nnr u.m.

%97,16

36000605,161

5,16

3601001

=⋅

−=

⋅⋅

−= tT

TTx

xex .

Dobânda reală. Rata nominală a dobânzii este cea înscrisă în contractul de credit şi depinde de factorii variaţi, precum: cererea şi oferta de capital de împrumut, de dobândă şi imobilizare, de gradul de eficienţă a valorificării capitalului etc.

În condiţii de instabilitate economică, adică în cazul când au loc procese inflaţioniste, creditorul îşi pune problema recuperării capitalului împrumutat şi obţinerii remuneraţiei de o manieră care să-i asigure cel puţin aceeaşi putere de cumpărare existentă în momentul acordării împrumutului.

În acest context, apare indicatorul „dobânda reală”, care exprimă gradul de apărare a intereselor creditorului şi care se stabileşte, în funcţie de evoluţia ratei nominale a dobânzii şi a ratei inflaţiei.

Rata dobânzii reale se calculează din formula:

110011001

100−

+

+= I

ppr , unde: p – rata nominală a dobânzii;

I – rata inflaţiei; – rata dobânzii reale. Dobânda reală poate fi: real pozitivă sau real negativă .

rp ( Ip > )

]

( )Ip < Exemplul 25. Să se stabilească rata dobânzii reale ( ), pentru perioada [ , cunoscând

evoluţia ratei nominale a dobânzii şi a ratei inflaţiei: rp 5; +tt

t t + 1 t + 2 t + 3 t + 4 t + 5 p 18,5 20,4 22,6 24,2 25,6 26,8 I 3,2 6,8 4,8 6,3 8,4 5,4

Rezolvare. Pentru perioada t , avem:

18

Page 20: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

%.8,14;148,01032,01185,01

100==−

++

= rr p

p

Pentru celelalte perioade: pr = 12,7%; pr = 17%; pr = 16,8%; pr = 15,9%; pr = 20,3%. Dobânda simplă. Problemele rezolvate 1. Să se afle dobânda şi valoarea finală a unui împrumut de 4500 u.m., cu procentul anual 20%, pe

timp de 180 zile şi, respectiv, 270 zile.

Rezolvare. Avem: Dobânda 450360

180450010020

1 =⋅

⋅=D u.m. şi valoarea finală

u.m., respectiv, 495045045001 =+=S 675360

270450010020

2 =⋅

⋅=D u.m. şi 517567545002 =+=S

u.m. 2. Se consideră un împrumut cu valoarea finală de 13000 u.m., cu procentul anual de dobândă

12%, scadent peste 180 zile. Să se determine valoarea iniţială şi respectiv dobânda. Rezolvare.

Avem: 15,12264

360180

100121

13000

1001

0 =⋅+

=⋅+

=tp

SS t

85,73515,12264130000 =−=

u.m. şi, res-pectiv, dobânda

u.m. −= SSD tt

3. Să se determine procentul trimestrial de dobândă echivalent cu procentul anual de 18%, în cazul operaţiei financiare de dobândă simplă. Să se calculeze apoi factorii de fructificare şi de actualizare, corespunzător, celor două procente de dobândă echivalente.

Rezolvare. Deoarece , avem: titi kk ⋅=⋅ =⋅

=⋅

=4

1 18,0t

ti

44i 045,0= . Dar, atunci procentul

trimestrial echivalent cu cel anual este %5,44 =p . Factorul de fructificare =+= i1u

18,1100181

100p1 =+=+= şi, respectiv, =+= 4i1 14u 045,1045,0 =+= . Factorul de actualizare

=+

=i1

1v

847,018,11

18,011

==+

= şi, respectiv, 957,0045,111

44 ===

uv .

4. Să se determine, în condiţii de echivalenţă, în raport cu dobânda, suma medie, procentul mediu, scadenţa comună şi scadenţa medie, în cazul următoarelor împrumuturi care se depun spre fructificare:

30000 u.m., cu procentul anual 12%, pe timp de 180 zile; 40000 u.m., cu procentul anual 15%, pe timp de 250 zile; 20000 u.m., cu procentul anual 20%, pe timp de 200 zile. Rezolvare. Avem: Volumul mediu al sumelor

u.m. 73,29747200202501518012

200202000025015400001801230000S

=

=⋅+⋅+⋅

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

Procentul mediu de dobândă:

%2,15200200002504000018030000

200202000025015400001801230000=

⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅

=p .

Scadenţa comună:

zile. 217202000015400001230000

200202000025015400001801230000t =⋅+⋅+⋅

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

Scadenţa medie:

19

Page 21: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

216200004000030000

200200002504000018030000t =++

⋅+⋅+⋅= zile.

5. Ce sumă a fost plasată, cu dobândă simplă pe data 15 martie, cu procentul anual de dobândă de 7%, pentru a putea dispune la 15 august acelaşi an de suma 18000 u.m. ?

Rezolvare. Avem:

17493029,01

18000

360150

10071

18000

3601001 360

0 =+

=⋅+

=⋅+

= tpSS t u.m.

6. Cu ce procent anual trebuie plasată suma de 15000 u.m., timp de 6 luni, cu dobândă simplă, pentru a putea dispune de suma de 16500 u.m.?

Rezolvare. Avem: ( ) ( )

%.20615000

121001500615000

121001500016500tS

12100SStS

12100Dp

120

0t

120

t

=⋅⋅⋅

=

=⋅

⋅⋅−=

⋅⋅⋅−

=⋅⋅⋅

=

Dobânda simplă. Problemele propuse 1. Să se calculeze dobânda şi valoarea finală a unui împrumut de 15000 u.m., cu procentul anual

de 12%, pe timp de 250 zile. Răspuns: u.m.; u.m. 1250=tD 16250=tS2. Să se afle suma şi dobânda unui împrumut, pe timp de 200 zile, cu procentul anual de dobânda

de 22%, dacă suma finală este 42000 u.m. Răspuns: u.m.; u.m. 374260 =S 4574=tD3. Pe ce durată de timp ar trebui plasată, în regim de dobândă simplă, suma de 4000 u.m., cu

procentul anual de 10%, pentru a avea o dobândă de 200 u.m.? Răspuns: t ani. 5,0=4. Ce sumă a fost plasată, în regim de dobândă simplă, pe data de 15 aprilie, cu procentul anual de

16%, pentru a putea dispune la 20 iunie acelaşi an de suma de 30000 u.m.? Răspuns: u.m. 4,287720 =S5. Să se determine scadenţa sumei de 15000 u.m., care produce o dobândă egală cu suma

dobânzilor produse de: 16000 u.m., pe timp de 100 zile; 5000 u.m., pe timp de 142 zile; 34000 u.m., pe timp de 50 zile; 12500 u.m., pe timp de 80 zile. Răspuns: t zile. 334=6. Să se determine scadenţa medie a unei sume care produce o dobândă egală cu suma dobânzilor

produse de: 1000 u.m., pe timp de 80 zile; 1200 u.m., pe timp de 100 zile; 1400 u.m., pe timp de 120 zile; 1600 u.m., pe timp de 160 zile. Răspuns: t zile. 120=7. Să se determine, în condiţii de echivalenţă, în raport cu dobânda, suma medie, procentul anual

mediu, scadenţa comună şi scadenţa medie pentru următoarele împrumuturi: 30000 u.m., cu procentul anual 12%, pe timp de 60 zile; 45000 u.m., cu procentul anual 6%, pe timp de 72 zile; 60000 u.m., cu procentul anual 9%, pe timp de 120 zile. Răspuns: u.m.; ; 35,47419=S %65,8=p 46,90=comt zile; 7,90=medt zile.

20

Page 22: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

8. Începând cu data de 1 ianuarie, o persoană plasează la fiecare început de lună câte 1200 u.m., cu un procent anual de dobândă de 14%, iar la 31 decembrie îşi retrage banii depuşi.

Să se determine dobânda simplă totală aferentă acestei operaţiuni financiare. Răspuns: u.m. 1092=D9. Diferenţa dintre două capitaluri este de 9000 u.m. Cel mai mare capitol a fost plasat pe 7 luni,

cu procentul anual de dobândă 8%, iar al doilea – pe 5 luni, cu procentul anual de dobândă 6%, conducând la o dobândă simplă totală în valoare de 1200 u.m. Care sunt cele două capitaluri?

Răspuns: u.m.; 72,1988301 =S 72,1088302 =S u.m. 10. Două capitaluri a căror sumă este de 80000 u.m. sunt plasate cu dobândă simplă astfel: primul

capital – 60 de zile cu 4%, iar al doilea – 80 de zile cu 6%. Dobânda primului capital este dublă dobânzii celui de al doilea.

Să se determine cele două capitaluri şi dobânzile lor respective. Răspuns: u.m.; S u. m.; 6400001 =S 1600002 =

7,4261 =D u.m.; u.m. 33,2132 =D

21

Page 23: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

CAPITOLUL II. Costul creditului pe termen lung. Dobânda compusă

Întreprinderile au nevoie de împrumuturi pe termen lung pentru a acoperi nevoile durabile

legate de dezvoltări, modernizări, de la care se scontează o rentabilitate înaltă, pe viitor. Costul capitalului împrumutat poate fi acceptat de către întreprindere numai în măsura în care

rentabilitatea proiectelor sale, finanţate prin credit, este înaltă (acoperitoare). Pentru un credit bancar pe termen lung sau mijlociu, costul se reduce la plata dobânzilor, la nivelul ratei dobânzii stabilite prin contract. Prin contract pot fi stabilite diferite acorduri: pentru un număr de ani, debitorul nu va rambursa creditul, procesul de rambursare poate începe numai după un număr de ani de la obţinerea creditului etc.

În aceste condiţii (perioade îndelungate de creditare), apare necesitatea calculării dobânzii compuse, ceea ce presupune că la sfârşitul fiecărui an suma dobânzilor neplătite se adaugă la capitalul împrumutat, generând ea însăşi dobândă. Se spune că o sumă de bani este plătită cu dobândă compusă dacă, la sfârşitul primei perioade, dobânda simplă a acestei perioade se adaugă la suma împrumutată pentru a produce, la rândul ei, dobândă în perioada următoare ş.a.m.d.

Aşadar, dacă perioada de timp pe care este împrumutată suma depăşeşte perioada de timp la care se referă procentul de dobândă, atunci avem de afacere cu operaţiuni financiare de dobândă compusă. În operaţiunile financiare pe termen lung, unitatea de timp cel mai des folosită este anul (uneori, semestrul sau trimestrul).

2.1. Formula de fructificare în regim de dobândă compusă Să presupunem că suma iniţială este depusă (împrumutată) pe o perioadă de t ani, unde t –

număr natural. Aplicând conceptul de dobândă compusă, avem: 0S

( iSSiSS + )⋅=⋅⋅+= 11 0001 , unde 100

pi = – dobânda unitară, corespunzătoare unei perioade,

iar p – procentul de dobândă; ( ) ( ) ( ) ( ) ;11111 2

001112 iSiiSiSSiSS +⋅=+⋅+⋅=+⋅=⋅⋅+=

( ) ( ) ( ) ( ) ;11111 30

202223 iSiiSiSSiSS +⋅=+⋅+⋅=+⋅=⋅⋅+=

( ) ( ) ( ) ( ) ;11111

................................................................................................................1

02

02221−−

−−−− +⋅=+⋅+⋅=+⋅=⋅⋅+= tttttt iSiiSiSSiSS

( ) ( ) ( ) ( ) .11111 01

0111tt

tttt iSiiSiSSiSS +⋅=+⋅+⋅=+⋅=⋅⋅+= −−−−

Aşadar, am obţinut că suma finală (capitalul valorificat) , unde ( ) ttt uSiSS ⋅=+⋅= 00 1

10011 piu +=+=

tu

este factorul de fructificare. În tabelele financiare speciale se poate găsi valorile

calculate ale lui pentru diferite procente anuale de dobândă. Deoarece , avem pentru dobânda compusă

tt DSS += 0

( )10000 −⋅=−⋅=−= tttt uSSuSSSD .

Valoarea iniţială a împrumutului se exprimă prin valoarea finală astfel 0S tS

( )t

ttt vSi

SS ⋅=+

=10 , unde

i+=

11v este factorul de actualizare. Valorile lui pot fi, de asemenea,

găsite în tabelele financiare speciale.

tv

Exemplul 1. Se depune spre fructificare suma de 25000 u.m., pe timp de 5 ani, cu procentul anual de dobândă de 12%. Să se determine suma finală (capitalul valorificat) şi dobânda compusă.

Rezolvare. Avem: u.m.; 250000 =S 5=t ani; p = 12%; ;12,0100

==pi

. Dar atunci suma finală este ,12,11 =+= iu 7623,1=12,1 55 =u

22

Page 24: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

440587623,125000505 =⋅=⋅= uSS u.m., iar dobânda compusă este −=−= 44058SSD 055

ki

tSk

u.m. 1905825000 =−

ki

( ) ( )tktkt iSiSS +⋅=+⋅= 11 00 11 −+= k i

kki

10016

100==

pi

116,1116,01 444 −=−+=i

%78,34 =p

khnt +=

( ) ( ) ⋅+⋅=+⋅==+

n0

hkn

kh

nt i1Si1SSS

( ) ( )i1i1S n0 +⋅+⋅=

( )tt iSS +⋅= 10

= SSt 10

Să presupunem, acuma, că anul este împărţit în k subperioade şi fie i dobânda unitară anuală, iar – dobânda unitară corespunzătoare subperioadei. Dobânzile unitare i şi sunt echivalente dacă pentru aceeaşi sumă iniţială , pe acelaşi interval de timp t, conduc la aceeaşi sumă finală şi, deci, la aceeaşi dobânda compusă . Deoarece t ani conţin subperioade, avem:

, adică sau

0S

tDk =

t ⋅

( ) iik ++ 11 ;1kk ii +=+1 ki

p. Dobânzilor

unitare echivalente i şi le corespund procentele echivalente p (anual) şi (al subperioadei). Exemplul 2. Să se determine procentul trimestrial echivalent cu procentul anual de dobândă de

16%, în cazul operaţiei financiare de dobândă compusă. Rezolvare. Avem:

k = 4; p = 16%; ;16,0=

0378,010378,1 =−= . Astfel, procentul trimestrial echivalent cu cel anual este .

Observăm că dobânzile unitare echivalente i şi nu sunt proporţionale ca în cazul dobânzii simple. Suma finală, calculată cu procentul proporţional, va fi, totdeauna, mai mare ca suma finală calculată cu procentul echivalent.

ki

În baza noţiunii de procente echivalente, putem extinde formula de fructificare, în regim de dobânda compusă, în cazul când perioada de timp t este un număr fracţionar.

Fie . Timp de n ani suma iniţială plasată devine: . Pe o fracţiune a

anului, o unitate monetară devine 1 , iar pe h fracţiuni vom avea:

0S ( nn iSS +⋅= 10 )

ki+ ( )hki+1 . Din cele spuse mai sus rezultă că

( ) =+ hki1 ( ) ( ) =

+⋅+⋅

h

k1

n0 i1i1S

( ) ( ) .i1Si1S t0k

hn

0kh

+⋅=+⋅= + Aşadar, am obţinut că formula de bază a operaţiunilor financiare de dobândă compusă

se aplică şi în cazul când perioada de timp t este un număr fracţionar. Această soluţie se numeşte comercială. Formula de fructificare, în regim de dobândă compusă, poate fi aplicată şi în

varianta ( )

⋅+⋅+

khii n 1 , ceea ce înseamnă că pentru partea întreagă a anilor se utilizează

formula dobânzii compuse şi apoi formula dobânzii simple pentru partea fracţionară. Această soluţie se numeşte raţională.

Exemplul 3. Să se determine, folosind soluţia raţională şi soluţia comercială, valoare finală (capitalul valorificat) a sumei de 18000 u.m., plasată timp de 2 ani şi 3 luni, cu procentul anual de dobândă de 15%.

Rezolvare. Avem:

( ) ( ) =⋅⋅=

⋅+⋅+=

+0375,115,118000

12315,0115,0118000 22

123

2S 69,24697= u.m.;

( ) ( )

u.m. 46,24561

15,13225,11800015,0115,118000S 412/32

123

2

=

=⋅⋅=+⋅=+

23

Page 25: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Observăm că valoarea finală , folosind soluţia comercială, este mai mică decât valoarea finală, folosind soluţia raţională, deoarece dacă

tS1<t an, atunci dobânda simplă este mai mare decât

dobânda compusă. Problemele privind echivalenţa sistemelor de împrumuturi pot fi formulate şi în cazul

operaţiunilor financiare de dobândă compusă. Pot fi şi aici examinate cazurile particulare de echivalenţă a sistemelor de împrumuturi, când se cere de determinat suma medie înlocuitoare a sumelor plasate, procentul mediu, scadenţa comună şi scadenţa medie.

Două operaţiuni financiare de plasare (de depunere) a sumei , pe durata t, prima, în regim de dobândă simplă, cu procentul anual şi cea de a doua, în regim de dobândă compusă, cu procentul

, vor fi echivalente dacă determină aceeaşi dobândă şi, deci, are loc:

0S

1p

2p

+⋅=⋅⋅ 1

1001

1002

01

0

tpStpS sau

;1100

1100

21 −

+=

tptp ;100

1100

1 21tptp

+=+

;100

1100

1 12 t tpp⋅+=+ 1

1001

10012 −⋅+= t tpp .

După cum se vede, pentru , avem , ceea ce ne arată că pentru a realiza aceeaşi dobândă , prin plasarea sumei iniţiale , pe durata de timp t, procentul anual, în regim de dobândă simplă, este mai mare decât cel de dobândă compusă.

1>t 21 pp >

0tD S

Exemplul 4. Suma iniţială u.m. se plasează pe timp de 2 ani şi conduce la o dobândă u.m. Cu ce procent anual s-a făcut plasamentul?

260000 =S5200=D

Rezolvare. Dacă plasamentul s-a făcut, în regim de dobândă simplă, atunci

52002100

26000 1 =⋅⋅p sau , iar dacă plasamentul s-a făcut, în regim de dobândă

compusă, atunci

%101 =p

22

1001520026000

+⋅+

p26000=

sau ;100

126000312002

2

+⋅=

p

;2,1100

12

2 =

+

p ;2,1100

1 2 =+p ;09545,1

1001 2 =+

p

09545,0100p2 = şi ca urmare, %.54,92 ≈p

Exemplul 5. Suma iniţială este plasată cu procentul anual de dobândă de 18%, în regim de dobândă compusă, pe durata de 4 ani. Pe ce durată de timp trebuie efectuat plasamentul, în regim de dobândă simplă, cu acelaşi procent anual, pentru a obţine aceeaşi dobândă?

0S

Rezolvare. Avem: ( ) ;18,018,01 00

40 tSSS ⋅⋅=−+⋅ ( ) ;18,0118,1 4 t⋅=−

0,9388 = 0,18t; t = 5,22 ani. 2.2. Modalităţile echivalente de plată a dobânzilor Fie – suma iniţială plasată, sub formă de credit pe durata t, cu procentul anual de dobândă p. 0SSe spune că operaţiunea financiară de plasament este cu dobândă precalculată (anticipată), dacă

dobânda se reţine la începutul duratei operaţiunii din capitalul împrumutat , cu condiţia că . La fel, se spune că operaţiunea financiară de plasament are loc cu dobândă postcalculată

0S

0SDt <

24

Page 26: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

(posticipată), dacă dobânda se plăteşte la sfârşitul duratei operaţiunii împreună cu capitalul împrumutat . 0S

1+

1⋅

2

1

p

100 ⋅

15⋅

Aşadar, în cazul dobânzii anticipate se împrumută în realitate suma şi se rambursează suma , iar în cazul dobânzii posticipate se împrumută suma şi se rambursează suma

tDS −0

0S 0S tDS +0 . Se spune că procentele anuale de precalculare şi, respectiv, de postcalculare a dobânzilor

sunt echivalente dacă:

1p

( )2p

02

0 1001 StpS =

⋅+⋅− Dt , în regim de dobândă simplă sau

( ) 02

0 100SpDS

t

t =

⋅− , în regim de dobândă compusă.

Relaţiile de mai sus pot fi scrise şi aşa:

1100100

1 21 =⋅+

⋅− tptp , în regim de dobândă simplă sau 1

10011

10011 21 =

+⋅

+

+−

tt pp , în

regim de dobândă compusă. Aşadar, între procentele anuale echivalente de postcalcul şi de precalcul au loc relaţiile

respective: 2p 1p

+−

⋅=

.compusã dobândã de regimîn ,1100

1

;simplã dobândã de regimîn ,

100

100

100 1

1

1

1

2

ttp

tpp

Exemplul 6. Suma u.m. este împrumutată pe o durată de timp de 9 luni, cu procentul anual de 14% şi cu dobânda precalculată (anticipată). Să se determine procentul anual echivalent de postcalcul (posticipat).

160000 =S

Rezolvare. Avem:

;1564,017928

179200

507

20021200

507

43

5071

507

129

100141

10014

t100p1

100p

100p

1

1

2

==⋅=

=−

=⋅−

=⋅−

=⋅−

=

%64,151564,02 ==p .

Dobânda precalculată 1680129

10014160001 =⋅⋅=D u.m., iar dobânda postcalculată

8,1876129

10064,160002 =⋅=D u.m.

Valoarea scontată a sumei 1876,8, cu scont comercial simplu şi cu procentul anual de scont

, este 1680, adică %141 =p

⋅−⋅=

129

1001418,18761680 .

Exemplul 7. Suma u.m. este plasată, în regim de dobândă compusă, pe durata de 4 ani, cu procentul anual de 8% şi cu dobânda precalculată. Să se afle procentul anual echivalent de postcalcul.

240000 =S

25

Page 27: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Rezolvare. Avem:

( )( ) ( )

; 118,01118,118944,01

164,0

1136,12

1108,12

1100p

441414

2

=−=−=

=−=−−

=−−

=

%8,11100118,02 =⋅=p .

Dobânda precalculată ( )[ ] ( ) 864036,024000136,124000108,124000 4

1 =⋅=−⋅=−⋅=D

( ) u.m., iar dobânda postcalculată

[ ]=−⋅= 1118,124000 42D ,134955623,024000 2=⋅= u.m.

Valoarea scontată a sumei 13495,2, cu scont comercial simplu şi cu procentul anual de scont , este 8640, adică %8,112 =p ( ) 4118,012,134958640 −+⋅= .

Exemplul 8. O întreprindere are nevoie de un credit în sumă de 200000 u.m., pe o perioadă de 90 zile şi se adresează la două bănci. Prima bancă îi propune un procent anual de 8%, cu dobânda precalculată, iar a doua îi propune un procent anual de 8,1%, cu dobânda postcalculată. Care din variante va fi acceptat de întreprindere?

Rezolvare. Vom calcula procentul anual echivalent de postcalcul a primei bănci. Avem:

;082,0494

4950

252

41

10081

1008

36090

1001

100100 1

1

2 ==⋅=⋅−

=⋅−

= p

pp %2,8082,01002 =⋅=p .

Deoarece , rezultă că, postcalculat, între dobânzile celor două bănci are loc relaţia şi prin urmare, întreprinderea va accepta creditul de la banca a doua.

%1,8%2,82 >=p

21 DD > 2.3. Operaţiunile financiare echivalente în regim de dobândă compusă Să presupunem că este necesar de a înlocui un sistem de împrumuturi (datorii), cu sumele finale

, evaluate, respectiv, cu procentele anuale , la scadenţele respective , printr-un alt sistem cu suma finală unică .

∗∗∗nSSS ,,, 21 L

nttt ,,, 21 L

nppp ,,, 21 L∗S

Suma medie înlocuitoare , procentul mediu şi scadenţa medie se vor determina în baza echivalenţei operaţiunilor financiare, în regim de dobândă compusă, prin valoarea actuală totală.

∗S

Aşadar, avem: ∑∑=

=

+⋅=

+

n

j

tj

n

j

tj

j

jj pS

pS

11 1001

1001 sau

∑∑=

=

∗∗

+

+=

n

j

tj

n

j

tj

j

jj ppSS

11 1001

1001 .

Procentul mediu înlocuitor p se determină rezolvând ecuaţia, în raport cu necunoscuta p :

∑∑=

−∗

=

+=

+

n

j

t

j

n

j

tj

j

jj pSp

S11 100

1100

1 .

Scadenţa medie înlocuitoare t se determină rezolvând ecuaţia, în raport cu necunoscuta t :

∑∑=

=

+=

+

n

j

tj

j

n

j

tj

j

pS

pS

j

11 1001

1001 .

Dacă sistemul de împrumuturi (datorii), cu sumele finale , se înlocuieşte printr-o operaţiune financiară unică de suma finală , scadenţa t şi procentul anual p prin echivalenţa, în regim de dobândă compusă, prin valoarea actuală, atunci relaţia de echivalenţă are forma:

∗∗∗nSSS ,,, 21 L

∗S

tn

j

tj

jpS

pS

j −∗

=

+=

+∑ 100

1100

11

.

26

Page 28: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

În acest caz, fiind date două dintre elementele înlocuitoare , t şi p, putem determina pe al treilea element.

∗S

Exemplul 9. Să presupunem că faţă de momentul actual, ca urmare a unui împrumut, în regim de dobândă compusă, trebuie rambursată suma finală u.m. peste 3 ani, cu un procent anual şi suma finală u.m. peste 4 ani, cu un procent anual . Să se afle suma medie înlocuitoare .

4200001 =∗S%121 =p 5700002 =

∗S∗

%152 =pS

Rezolvare. Dacă dorim ca de fiecare dată să rambursăm aceeaşi sumă, atunci, potrivit relaţiei de mai sus, obţinem:

=

+

+= ∑∑

=

=

∗∗n

j

tj

n

j

tj

j

jj ppSS

11 1001

1001

( ) ( ) ( ) ( )u.m. 87,681748

15,011

12,011

15,01570000

12,01420000

4343

=

=

++

+

++

+=

Dacă, însă, dorim o rambursare unică a întregii datorii, să zicem peste 5 ani, cu un procent anual de dobândă % , atunci vom plăti suma finală unică 14=p

( ) ( )u.m. 4,1203089

15,1570000

12,1420000

100141

100p

1S100

p1S

43

5

tj

n

1jj

t j

=

+⋅

+=

=

+⋅

+=

=

∗∗ ∑

2.4. Plasamentul în condiţiile inflaţioniste. Inflaţia şi rata reală a dobânzii

În economia de piaţă există inflaţia. Prin inflaţie se înţelege creşterea generală şi continuă a preţurilor la bunuri şi servicii. De aceea, pentru a determina efectul real al operaţiunii financiare, de rând cu rata nominală (rata fără a lua în consideraţie inflaţia), este necesar să ne referim şi la rata reală a dobânzii.

Rata dobânzii reale pentru o investiţie reprezintă o măsură a venitului pentru acea investiţie exprimat în bunuri şi servicii şi nu în masă monetară. Să urmărim relaţia dintre rata dobânzii reale (r) şi rata dobânzii nominale (i) pentru o investiţie, atunci când ne confruntăm cu o anumită rată a inflaţiei (a).

Să presupunem că avem următoarea situaţie: investiţia este de 1 u.m., rata dobânzii nominale i şi rata inflaţiei este 22,0= 08,0=a (în cadrul perioadei de 1 an). Pentru a menţine

puterea de cumpărare constantă fiecare unitate monetară ar trebui să fie înlocuită peste un an cu 08,11 08,01 =+=+ a u.m.

Aceasta înseamnă că valoarea reală a unei unităţi monetare peste 1 an va fi: 1 , iar valoarea reală a sumei totale de care beneficiază investitorul va fi:

926,008,1: =

( ) ( ) 13,1926,022,108,1122,1

08,01122,01

111 =⋅=⋅=

+⋅+=

+⋅+

ai .

Aşadar, rata dobânzii reale este 1 13,0113, =− (sau 13%). În caz general, dacă se plasează suma , în regim de dobândă compusă, atunci valoarea finală a operaţiunii financiare peste t ani,

va fi:

0S

( tt

rSaiS +⋅=

++

⋅= 111

00 )tS . Pentru 1=t , avem:

( rSaiS +⋅=

++

⋅ 111

00 ) sau rai

+=++ 1

11 , de unde obţinem formula ratei dobânzii reale:

aair

+−

=1

. În

contextul celor de mai sus relatate, rezultă că: , dacă ; 0SSt > ai > 0SSt = , dacă şi a St=i 0S< ,

27

Page 29: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

dacă . Coeficientul ai <a+1

1 se numeşte factor de devalorizare, iar coeficientul ( se numeşte

factor anual de compensare a inflaţiei.

)a+1

1+−

=ir

=t SS

=t SS

p =

t SS =

0=t SS

0=t SS

,489857

) S ⋅= 10

1 =+ k 01 =−

Exemplul 10. Să presupunem că suma 2000000 =S u.m. este plasată pe timp de 3 ani, în regim de dobândă compusă, cu un procent anual de 20%. Să se determine rata reală a dobânzii şi valoarea finală (capitalul valorificat) a plasamentului, ştiind că procentul anual al inflaţiei va fi de 5%.

Rezolvare. Rata reală a dobânzii va fi:

142857,005,115,0

05,0105,02,0

==+−

=aa (sau 14,29%).

Dar, atunci valoarea finală ( ) ( ) 298542142857,012000001 3

0 =+⋅=+⋅ tr u.m. Am fi putut calcula valoarea finală şi astfel:

29854205,012,01200000

11

3

0 =

++

⋅=

++

⋅t

ai u.m.

Să presupunem, acum, că suntem în condiţiile unei inflaţii controlabile. În acest caz, pentru compensarea inflaţiei de rata anuală a, o unitate monetară, plasată pe timp de 1 an, cu procentul anual , trebuie să devină prin revalorizare i⋅100 ( )( )ai ++ 11 şi ca urmare, vom avea:

( ) ( ) ( ttt kSai +⋅=+⋅+⋅ 111 00 , unde k este rata anuală a dobânzii aparente. )Exemplul 11. Se plasează suma 2500000 =S u.m., în regim de dobândă compusă, timp de 5

ani, cu procentul anual de 10%. Să se afle capitalul valorificat a operaţiunii financiare dacă: a) nu există inflaţie (sau este mică şi este neglijabilă); b) există o inflaţie anuală de 4% neluată în seamă în procentul anual; c) există o inflaţie anuală de 4% şi se compensează integral.

Rezolvare. În condiţiile problemei avem: a) u.m. ( ) ( ) 5,4026271,012500001 5 =+⋅=+⋅ ti

b) 45,33093004,011,01250000

11

5

=

++

⋅=

++

⋅t

ai u.m.

c) ( ) ( ) ( ) ( ) =+⋅+⋅=+⋅+⋅= 55tt0t 04,011,01250000a1i1SS

u.m. 87= În afara posibilităţii de apariţie a inflaţiei, se mai poate lua în consideraţie şi unele evenimente

imprevizibile care ar putea face ca unele credite să nu poată fi rambursate niciodată. Pentru a-şi acoperi şi un astfel de risc, creditorul mai include, în afara coeficienţilor i şi a, încă un coeficient b, căruia îi corespunde un procent anual de risc b⋅100 şi ca urmare, o sumă , în aceste condiţii,

devine după t ani în regim de dobândă compusă 0S

( ) ( ) ( ( ttt kaiS ++⋅+⋅+⋅ 1110 )tbtS = , unde este factorul anual de fructificare aparentă, iar

k – rata anuală a dobânzii aparente. k+1

Exemplul 12. O bancă acordă împrumuturi, cu un procent anual de 20%. Dacă intervine o inflaţie anuală controlată de 6% şi se estimează un risc catastrofic de 5%, cu ce procent ar trebui acordate creditele?

Rezolvare. Avem: ( ) ( ) ( ) 3356,105,106,12,1111 =⋅⋅=+⋅+⋅+ bai . Dar, atunci 3356,3356,1=k ,

ceea ce înseamnă că procentul anual aparent trebuie să fie de 33,56%.

Dobânda compusă. Problemele rezolvate 1. Să se calculeze dobânda aferentă plasării sumei de 32000 u.m., în regim de dobândă

compusă, timp de 3 ani şi 6 luni, cu procentul anual de dobândă de 9%.

28

Page 30: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Rezolvare. Avem: ; 0SSD tt −=

( ) ( ) =⋅⋅=

+⋅=

+⋅=

+

21312

63t

0t 09,109,132000100

9132000100

p1SS 60,43265= u.m.;

60,112653200060,43265 =−=tD u.m. 2. Se plasează suma de 75000 u.m., în regim de dobândă compusă, pe timp de 5 ani, cu

procentele anuale consecutive de 6%, 8,5%, 11%, 14% şi 15,5% . Să se afle suma finală (capitalul valorificat) şi dobânda aferentă.

Rezolvare. Avem:

=

+⋅

+⋅

+⋅

+⋅

+⋅=

1001

1001

1001

1001

1001 54321

0pppppSSt

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 52, 126068155,114,111,1085,106,175000

=⋅⋅⋅⋅⋅= u.m. =−= 0SSD tt 126068 52,510687500052, =− u.m.

3. Ce sumă a fost plasată în urmă cu 6 ani, în regim de dobândă compusă, cu procentul anual de 8%, pentru ca, acum, să se dispună de suma de 82000 u.m.?

Rezolvare. Avem: ( ) ( )

9,5167308,1

82000100p1

S6t

t0 ==

+=S u.m.

4. Ce sumă va avea o persoană peste 5 ani, dacă depune în bancă, acum, 25000 u.m., după 2 ani retragere 12000 u.m., iar după alţi 2 ani depune 18000 u.m., în regim de dobândă compusă, cu un procent anual de dobândă de 7%?

Rezolvare. Avem: ( )( ) ( )[ ] 28,3396207,11800007,11200007,125000 22 =⋅+⋅−⋅=tS u.m.

5. Cu ce procent anual de dobândă trebuie plasată suma de 32000 u.m., timp de 4 ani, în regim de dobândă compusă, pentru a se ajunge, în final, la suma de 80000 u.m.?

Rezolvare. Avem:

;3200080000

1001;

1001;

1001

4

00 =

+=

+

+⋅=

pSSppSS t

tt

t ;2574,15,2100

1 4 ≈=+p

;2574,0100

=p %74,251002574,0 =⋅=p .

6. În cât timp suma de 27500 u.m., plasată cu procent anual de 6%, în regim de dobândă compusă, devine 32280 u.m.?

Rezolvare. Avem:

;2750032280

10061;

1001;

1001

00 =

+=

+

+⋅=

tt

tt

t SSppSS ( ) ;1738,106,1 =t = 2 ani 9

luni.

75,2=t

7. O sumă de 22000 u.m., plasată în regim de dobândă simplă, cu un procent anual, pe o anumită perioadă de timp, a condus la o dobândă de 3120 u.m. Aceeaşi sumă, plasată în regim de dobândă compusă, cu procentul anual de 18%, pe aceeaşi perioadă de timp, a condus la o dobândă de 2908 u.m. Să se determine durata de plasare a celor două operaţiuni financiare şi procentul anual al primei operaţiuni.

29

Page 31: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Rezolvare. Avem: ;100

101 tpSD ⋅⋅= tp

⋅⋅=100

220003120 1 sau 182,141 =⋅ tp , pe de o parte, iar

pe de altă parte, în regim de dobândă compusă, dobânda ;100

1 02

0 Sp t

+⋅2 SD =

;22000100181220002908 −

+⋅=

t

( ) ;220002908118,1 =−t ( ) 1322,01+=t 1322,118,1 = .

Din ultima relaţie, obţinem 43

=t . Dar, atunci procentul anual de dobândă

.%9,1843

182,141 ==p

8. O persoană plasează la 1 martie într-un anumit an suma de 27000 u.m., în regim de dobândă compusă. Doi ani mai târziu retrage 8000 u.m. Patru ani după plasament retrage restul sumei şi dispune de 39644 u.m. Să se determine procentul anual de dobândă.

Rezolvare. Avem: ( )( ) ( ) 3964418000127000 22 =+⋅−+⋅ ii . Notăm ( ) xi =+ 21 . Obţinem ecuaţia pătratică:

( ) ;39644800027000 =− xx ;039644800027000 2 =−− xx;3689,1=x

. Rezolvând această ecuaţie, obţinem:

0644,39827 2 =−− xx( ) ,11 2 =+ i ;3689 17,11 = ;+ i ;17,0=i

. %1717,0100100 =⋅=⋅= ip9. Unui investitor i se oferă o rată lunară a dobânzii compuse de 1,8% pentru plasamentul pe

care doreşte să-l facă. Investitorul este interesat să cunoască pentru ce rate de dobânzi compuse trimestriale, semestriale şi anuale acestea devin echivalente ratei lunare oferite.

Rezolvare. Avem:

( )[ ] %;5,5100055,01001018,1

1001100

8,111001100p1p

3

33l

.trim

=⋅=⋅−=

=⋅

+=⋅

+=

( )[ ] 100113,01001018,11001100

1 66

. ⋅=⋅−=⋅

+= l

sempp %;3,11=

( )[ ] 1002387,01001018,11001100

1 1212

=⋅=⋅−=⋅

+= lpp .%87,23

10. Să se calculeze capitalul final, suma totală a dobânzii şi rata medie a dobânzii la un contract de plasament cu următoarele caracteristici: suma iniţială 600000 =S u.m., pentru primii 3 ani, pentru ultimii 5 ani,

%141 =p%182 =p 8=t ani.

Rezolvare. Calculăm capitalul final după trei ani şi apoi, după opt ani.

Avem: =

+⋅=

+⋅=

331

03 10014160000

100p1SS

u.m., 888904815,160000 =⋅=

u.m., 54,203362

2878,28889010018188890

100p1SS

552

38

=

=⋅=

+⋅=

+⋅=

Suma totală a dobânzii D8 = S8 – S0 = 143362,54 u.m. Calculăm rata medie a dobânzii.

Avem: ;100p1S

8

08

+⋅=S ;

10016000054,203362

8

+⋅=

p

30

Page 32: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

;3894,3100

18

=

+

p ;165,13894,3100

1 8 ==+p

;165,0100

=p %.5,16100165,0 =⋅=p

11. Să se determine suma totală a dobânzii compuse, la un capital de 48000 u.m., cu rata trimestrială de 3,5%, pe un termen de 2 ani şi 9 luni, ştiind că dobânda se capitalizează trimestrial.

Rezolvare. Avem:

=−

+⋅=−

+⋅=−= 4800

1005,3148000

1001

11

000 SpSSSDt

tt

( ) =−⋅=−⋅= 4800046,14800048000035,148000 11 48000

2208046,0 =⋅= u.m. 12. O persoană are de achitat următoarele datorii: 6000 u.m. peste 2 ani şi 3 luni; 4000 u.m.

peste 1 an şi 6 luni; 8000 u.m. peste 2 ani şi 9 luni. Persoana doreşte să achite aceste datorii printr-o plată unică peste 4 ani. Să se determine valoarea acestei plăţi unice, procentul anual de dobândă fiind de 10%, în ipoteza echivalenţei, prin valori actuale a operaţiunilor financiare considerate.

Rezolvare. În baza echivalenţei prin valori actuale, avem:

( ) ( ) ( ) ( );

1111 321

321tttt i

Si

Si

Si

S+

++

++

=+

( ) ( ) ( ) ( );

1,1

8000

1,1

4000

1,1

60001,1S

1292

1261

12324

+++++=

;7298,1

80001537,1

400024,1

60004641,1S

++= ;6,129304641,1S

=

S = 18931,7 u.m.

Dobânda compusă. Problemele propuse 1. Să se determine valoarea finală (capitalul valorificat) şi dobânda respectivă a sumei de 46000

u.m., plasată timp de 3 ani, în regim de dobândă compusă, cu procentul anual de dobândă de 12%. Răspuns: u.m.; u.m. 646273 =S 186273 =D2. Ce sumă a fost plasată în urmă cu 5 ani, în regim de dobândă compusă, cu procentul anual de

dobândă de 9%, pentru ca acum să se dispună de suma de 30000 u.m.? Răspuns: u.m. 194980 =S3. Cu ce procent anual trebuie plasată suma de 50000 u.m., timp de 8 ani, în regim de dobândă

compusă, pentru a se ajunge, în final, la suma de 85910 u.m.? Răspuns: . %7=p4. Pe ce termen trebuie să plasăm o sumă de bani, în regim de dobândă compusă, cu procentul

anual de dobândă de 10%, pentru ca suma să se dubleze? Răspuns: ani = 7 ani 3 luni 5 zile. 264,7=t5. Care este valoarea finală a sumei de 35000 u.m., plasată cu dobânda compusă timp de 2 ani

şi 3 luni, cu rata anuală de 15%? Răspuns: Soluţia comercială 4,47933

123

2=

+S u.m.;

Soluţia raţională 3,48023123

2=

+S u.m.

6. Să se determine procentul semestrial echivalent, cu procentul anual de dobândă de 8,5%, în cazul operaţiunii financiare de dobândă compusă.

Răspuns: . %16,42 =p7. Să se determine procentul lunar echivalent, cu procentul anual de dobândă de 7,5%, în cazul

operaţiunii financiare de dobândă compusă.

31

Page 33: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Răspuns: . %6,012 =p8. Debitorul are de achitat creditorului sau următoarele datorii: 20000 u.m. peste 3 ani; 50000

u.m. peste 2 ani şi 9 luni; 35000 u.m. peste 4 ani şi 6 luni. Debitorul doreşte să achite aceste datorii printr-o plată unică peste 5 ani. Se cere de determinat valoarea acestei plăţi unice, procentul anual de dobândă fiind de 7%, în ipoteza echivalenţei, prin valori actuale a operaţiunilor financiare considerate.

Răspuns: u.m. 114443=S9. Să se determine scadenţa comună a sumei de 80000 u.m. destinată să înlocuiască datoriile: 40000

u.m. peste 2 ani şi 38400 u.m. peste 3 ani, procentul anual al dobânzii fiind de 4%. Răspuns: ani. 3

2

%

=comt10. Să se calculeze scadenţa medie a sumei de 65000 u.m. destinată să înlocuiască următoarele

datorii: 23000 u.m. peste 1 an, 18000 u.m. peste 2 ani şi 24000 u.m. peste 3 ani, procentul anual de dobândă fiind 5%.

Răspuns: ani. =medt11. Se plasează suma de 16000 u.m. pe 3 ani, cu procentul anual de dobândă de 7%, apoi pe

timp de 2 ani rata devine 9%, iar pe următorii 4 ani rata va fi de 12%. Care va fi suma finală la sfârşitul celor 9 ani?

Răspuns: u.m. 45,36643=S12. Se plasează pe 5 ani suma de 14000 u.m., cu procentul anual de dobândă de 7%. La

sfârşitul primului an se adaugă 1300 u.m., la capitalul constituit. Care va fi capitalul final, ştiind că rata dobânzii devine 10%, începând de la sfârşitul anului al treilea?

Răspuns: u.m. 16,22553=S13. Unui investitor i se oferă o rată anuală a dobânzii compuse de 18%, pentru plasamentul pe

care doreşte să-l facă. El este interesat să cunoască pentru ce rate ale dobânzii compuse semestriale, trimestriale şi lunare acestea devin echivalente ratei anuale oferite.

Răspuns: 39,1;%2,4;%63,8 .. === ltrimsem ppp . 14. În urmă cu 5 ani a fost contractat un împrumut în valoare de 60000 u.m., cu un procent

anual de 12%. Acum, după 5 ani, s-a constatat că a avut loc o inflaţie anuală medie de 3,5%. Cât ar trebui să plătească debitorul, în plus, astăzi, pentru a compensa pierderea datorită inflaţiei, dacă o astfel de clauză ar fi fost prevăzută la data efectuării împrumutului?

Răspuns: ( ) 5,16709890315,1057401 =−=−=∆ tt SSS u.m.

32

Page 34: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

CAPITOLUL III. Plăţile eşalonate (rente) Prin plată se va înţelege o operaţiune financiară între doi parteneri de afaceri (creditorul şi

debitorul), prin care unul din ei plasează celuilalt o anumită sumă de bani în anumite condiţii şi cu un anumit scop.

Plasarea sumei de bani poate fi efectuată o singură dată sau fragmentat, la anumite intervale de timp egale sau nu, cu sume egale sau nu şi cu procente egale sau nu. Se spune că avem de afacere cu plăţi eşalonate, dacă operaţiunea de plată constă în plasarea unor sume de bani la anumite intervale de timp.

După clasificarea pe tipuri a variabilităţii sumei plasate sau plătite, avem: plăţi eşalonate constante (se plăteşte de fiecare dată aceeaşi sumă); plăţi eşalonate variabile (nu se plăteşte de fiecare dată aceeaşi sumă). După momentul când se face plata/plasamentul, avem: plăţi eşalonate anticipate (când plata se face la începutul perioadei); plăţi eşalonate posticipate (când plata se face la sfârşitul perioadei). După procentul, cu care se operează, avem: plăţi eşalonate cu procentul constant pe întreaga durată a eşalonării ; plăţi eşalonate cu procent variabil de la o perioadă la alta. După momentul, de la care începe eşalonarea, avem: plăţi eşalonate imediate (plăţile încep imediat); plăţi eşalonate amânate (plăţile încep cu o întârziere, faţă de un moment luat ca reper sau ca bază de evaluare). După numărul de plăţi (sau de plasamente), avem: plăţi eşalonate temporare (număr de plăţi finit stabilit între parteneri); plăţi eşalonate perpetuie (număr de plăţi nelimitat).

În practica financiară sunt situaţii când plata (sau plasamentul) unor sume de bani nu se face o singură dată, ci eşalonat, în rate, la date fixate. Dacă operaţiunea financiară de plată constă în plasarea unor sume de bani la anumite momente de timp, atunci se spune că avem plăţi eşalonate.

3.1. Anuităţile posticipate temporare imediate Se spune că avem de afacere cu anuităţi posticipate temporare imediate, dacă operaţiunile de

plată (sau de plasament) se efectuează în următoarele condiţii: anual, la sfârşit de an; prin sume (anuităţi) constante sau nu de la un an la altul; un anumit număr de ani bine precizaţi; imediat ce a fost fixat începutul plăţilor; cu un procent anual constant sau variabil de la un an la altul.

Vom nota: n – numărul de plăţi (sau de plasamente) anuale;

ka – valoarea sumei plătite (sau plasate) în anul n,1k,k = ;

kp – procentul anual de dobândă din anul nkk ,1, = ; ( )0V – valoarea iniţială (sau actualizată în momentul fixat pentru începerea plăţilor) a

operaţiunii financiare de plăţi eşalonate desfăşurate în regim de dobândă compusă; ( )nV – valoarea finală (acumulativă) a operaţiunii financiare de plăţi eşalonate (evaluată la

sfârşitul ultimului an de plată) desfăşurată în regim de dobândă compusă. Dacă operaţiunea financiară de plăţi eşalonate se desfăşoară în condiţiile expuse mai sus şi în

regim de dobândă compusă, atunci valoarea finală (acumulată) a tuturor plăţilor, evaluată

(apreciată) la sfârşitul ultimului an de plată, este egală cu: ( ) ∑ ∏−

= +=

+

+⋅=

1

1 1 1001

n

k

n

kjn

jk a

panV , iar

valoarea actuală (iniţială) a tuturor plăţilor, evaluată la începutul primului an de plată, este egală cu :

( ) ∑ ∏= =

+⋅=

n

k

k

j

jk

paV

1 1

1

10010 .

Exemplul 1. La sfârşit de an, în trei ani consecutivi, se va plasa sumele 1500, 3500 şi 5000 u.m., cu procentele anuale respective 8, 10 şi 12%. Care este valoarea fondului acumulat la finele celui de al treilea an şi care este valoarea actualizată la începutul primului an de plată a acestor plasamente ?

Rezolvare. Avem:

33

Page 35: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

( ) ( ) ( ) 10768500012,1350012,110,115003 =+⋅+⋅⋅=V

( ) u.m.;

83,809212,110,108,1

500010,108,1

350008,1

15000 =⋅⋅

+⋅

+=V u.m.

În caz particular, dacă procentul anual este constant, adică pppp n ==== L21 , atunci avem:

( ) ;100

11

knn

kk

panV−

=∑

+⋅= ( )

kn

kk

paV−

=∑

+⋅=

1 10010 .

Exemplul 2. La finele fiecărui din cei trei ani consecutivi se va plasa sumele, respective, 1600, 3600 şi 5200 u.m., cu procentul anual unic %7=p . Să se afle valoarea finală şi valoarea actuală pentru aceste plasamente.

Rezolvare. Avem: ( ) ( ) 84,10883520007,1360007,116003 2 =+⋅+⋅=V u.m.;

( )( ) ( )

46,888407,1

520007,1

360007,1

16000 32 =++=V u.m.

Ţinând cont de cele relatate mai sus, pot fi deduse formulele:

( ) ( ) ( )00100

1 VuVpnV nn

⋅=⋅

+= , unde i1u += ;

( ) ( ) ( )nVvnVp

V nn ⋅=⋅

+

=

1001

10 , unde i

v+

=1

1 .

Pentru cazul general, avem:

( ) ( ) ;100

101

∏=

+⋅=

n

j

jpVnV ( ) ( ) ∏

= +⋅=

n

j jpnVV1

1001

10 .

Observaţie. Produsul

FFGpppp n

j

jn =

+=

+⋅⋅

+⋅

+ ∏

=1

21

1001

1001

1001

1001 L se numeşte factor de fructificare

globală, iar inversul său

FAG100p

1

100p

1

1

100p1

100p1

100p1

1

1n

1j

j

n

1j jn21

=

+=

=+

=

+⋅⋅

+⋅

+

=

=

∏L

se numeşte factor de actualizare globală. Dacă anuităţile sunt egale între ele, adică ka aaaa n ==== L21 , atunci valoarea finală ( )nV

şi valoarea actuală V se determină conform formulelor: (0)

( ) ;100

111

1 1

++⋅= ∑ ∏

= +=

n

k

n

kj

jpanV ( )

1

11 10010

==∏∑

+⋅=

k

j

jn

k

paV .

Exemplul 3. La finele fiecărui din cei trei ani consecutivi se va plasa una şi aceeaşi sumă u.m., cu procentele anuale, respective, 8,10 şi 12%. Să se determine valoarea finală şi

valoarea actuală pentru aceste plasamente. 8000=a

Rezolvare. În baza formulelor de mai sus, avem, respectiv, cele două capitaluri: ( ) [ ] 2681612,112,110,1180003 =+⋅+⋅=V u.m.

34

Page 36: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

( ) 92,2015312,110,108,1

110,108,1

108,1180000V =

⋅⋅

+⋅

+⋅= u.m.

Dacă, însă şi procentele anuale sunt egale între ele, atunci valoarea finală şi valoarea actuală sunt, respectiv:

( ) [ ]( )

=

+−

−⋅=

−−⋅

⋅=

=++++⋅=

+⋅= −

=∑

10011

1111

1100

1 12

1

pua

uua

uuuapanV

nn

nknn

kL

( ) iua

iua

iua

nnn 1111

1 −⋅=

−−

⋅=+−

−⋅= ;

( ) [ ]

[ ] =−−

⋅⋅=+++⋅⋅=

=+++⋅=

+⋅=

=∑

vvvavvva

vvvapaV

nn

nkn

k

111

10010

1

2

1

L

L

( )( ) ( )( )iva

iivva

iivva

nnn −⋅=

+−⋅⋅=

−++−

⋅⋅=111

1111 .

Exemplul 4. Să presupunem că la finele anului, timp de 5 ani, se plasează câte o sumă u.m., în regim de dobândă compusă, cu procentul anual 70000=a %8=p . Să se afle valoarea

finală şi valoarea actuală a acestei operaţiuni financiare. Rezolvare. Avem:

( ) ( ) 41066208,0

108,17000055

=−

⋅=V u.m.;

( ) ( ) 7,27948908,008,11700000

5

=−

⋅=−

V u.m.

3.2. Anuităţile posticipate temporare amânate Caracteristic pentru anuităţile posticipate temporare amânate (întârziate) este faptul că are loc o

întârziere, în raport cu momentul fixat pentru începerea plăţilor. Notăm prin r – numărul de ani după care începe plata sau plasamentul ( )nr < .

Dacă operaţiunea financiară de plăţi eşalonate se desfăşoară în condiţiile unor anuităţi posticipate temporare amânate şi în regim de dobândă compusă, atunci valoarea finală şi valoarea actuală a tuturor plăţilor se determină conform formulelor:

( ) ;100

1;1

1 1∑ ∏−

+= +=

+

+⋅=

n

rk

n

kjn

jk a

parnV ( ) ∑ ∏

+= =

+⋅=

n

rk

n

j

jk

parV

1 1

1

1001;0 .

Exemplul 5. La data de 31.12.20 (N) s-a hotărât constituirea unui fond prin anumite plasamente timp de 5 ani de zile, cu procentele anuale respective 8, 10, 12, 14 şi 15%, efectuate la finele fiecărui an, începând cu 31.12.20 (N+1). Din anumite motive plasamentele încep cu o întârziere de doi ani, adică la 31.12.20 (N+3) şi durează trei ani, plasând sumele 6000, 14000 şi 18000 u.m.

În aceste condiţii, care va fi valoarea fondului la 31.12.20 (N+5) şi cât reprezintă aceasta la data luării deciziilor de constituire a fondului?

Rezolvare. Potrivit formulelor de mai sus, avem: ( ) ( ) ( ) ( ) 419661800015,11400015,114,160002;5V =+⋅+⋅⋅= u.m.;

35

Page 37: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

( )

u.m., 05,2405815,114,112,110,108,1

1800014,112,110,108,1

1400012,110,108,1

60002;0V

=⋅⋅⋅⋅

+

+⋅⋅⋅

+⋅⋅

=

Dacă , atunci valoarea finală şi valoarea actuală sunt, corespunzător, egale cu:

pppp n ==== L21

( ) ;100

1;1

∑+=

+⋅=

n

rk

kn

kparnV ( ) ∑

+=

+⋅=

n

rk

k

k

parV

1 1001;0 .

Dacă, însă, şi a aaa nrr ==== ++ L21 , atunci:

( ) ( ) =+⋅=

+⋅= ∑∑

+=

+=

− n

1rk

knn

1rk

kn

i1100

p1r;nV aa ( )[ ]1rn2 uuu1 +−++++⋅= La

( )( ) i

uai

uarnrn 1

1111 −

⋅=+−

−⋅⋅=

−−

;

( ) [ ]( )[ ]=++++⋅⋅=

=+++⋅=

+⋅=

+−+

++

+=

∑1rn21r

n2r1rn

1rk

k

vvv1v

vvv100

p1r;0V

L

L

a

aa

( ) ( )

( ) =+⋅−

⋅+

⋅⋅=

⋅−

⋅⋅=

+−

−⋅⋅=

−−⋅

⋅⋅=

−+

−+

−+

i1iv1

i11v

iv1v

i111

v1vv1v11v

rnr

rn1r

rn1r

rn1r

a

aaa =+ i1

ivua

ivva

rnr

rnr

−−

− −⋅⋅=

−⋅⋅=

11 .

Exemplul 6. Să presupunem că se plasează anual timp de 10 ani cu o începere de peste 3 ani şi

cu un procent anual de 8%, suma 16000 u.m. Să se afle valoarea finală şi valoarea actuală a acestei operaţiuni financiare.

Rezolvare. Avem:

( ) ( ) 92,23178408,0

108,1160003;1310

=−

⋅=V u.m.;

( ) ( ) ( ) 86,8522608,008,1108,1160003;0

103 =

−⋅⋅=

−−V u.m.

3.3. Anuităţile posticipate perpetue Acest tip de plăţi constituie un caz particular de plăţi prezentate în paragrafele 3.1 şi 3.2, în

sensul că au aceleaşi elemente definitorii, cu excepţia numărului de anuităţi n care, acum, este oricât de mare (nelimitat). Deoarece durata operaţiunii este destul de mare, determinarea valorii finale nu are sens, aceasta crescând nemărginit. Are sens doar valoarea actuală a operaţiunii financiare.

Aşadar, în cazul anuităţilor posticipate imediate, avem: ( ) ∑ ∏∞

= =

+⋅=

1 1

1

10010

k

k

j

jk

paV , iar dacă

operaţiunea financiară se desfăşoară prin anuităţi posticipate amânate, atunci valoarea actuală

acestora este: ( ) ∑ ∏∞

+= =

+⋅=

1 1

1

1001;0

rk

k

j

jk

parV .

36

Page 38: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Se observă că, în expresiile de mai sus, avem de afacere cu serii numerice cu termeni pozitivi. Convergenţa acestor serii poate fi cercetată, folosind criteriile D’Alembert şi Cauchy. Dacă anuităţile sunt egale, atunci seriile vor fi convergente indiferent dacă plăţile sunt efectuate cu procente anuale egale sau nu de la un an la altul.

Ţinând cont de cele expuse mai sus, putem afirma că dacă plăţile sunt efectuate cu anuităţi egale ( şi cu procente anuale egale )aaaa k ===== LL21 ( )pppp k ===== LL21 , atunci valoarea actuală a tuturor plăţilor este egală cu:

( ) ( )iaiapaV

k

k

k

k

=+⋅=

+⋅= ∑∑

=

−∞

=

111

10010

( )

, în cazul plăţilor imediate şi cu

( ) r

rk

k

iiaparV −

+=

+⋅=

+⋅= ∑ 1

1001;0

1, în cazul plăţilor amânate.

Exemplul 7. Plasând într-un anumit scop la fiecare sfârşit de an câte 4 mln u.m. în perpetuitate cu un procent anual mediu de 10%, o fundaţie dispune, în acest sens, de un anumit capital. Să se afle valoarea actuală a capitalului fundaţiei dacă plăţile încep imediat precum şi dacă acestea încep cu o întârziere de 5 ani.

Rezolvare. Dacă plăţile încep imediat, atunci capitalul actual a fundaţiei trebuie să fie

( ) 4000000010,0

40000000V == u.m.

Dacă plăţile încep cu o întârziere de 5 ani, atunci capitalul actual al fundaţiei trebuie să fie

( ) ( ) =+⋅= −51,0110,0

40000005;0V u.m. 24836852

3.4. Anuităţile anticipate temporare imediate Operaţiunile financiare de plăţi eşalonate anticipate diferă de cele cu plăţile posticipate doar

prin faptul că plăţile se fac anticipat (la începutul fiecărei perioade de plată sau plasament). Dacă operaţiunea financiară de plăţi eşalonate se desfăşoară prin anuităţile anticipate temporare

imediate, în regim de dobândă compusă, atunci valoarea finală a tuturor plăţilor, evaluată la sfârşitul

ultimului an de plată, este: ( ) ∑ ∏= =

+⋅=

n

k

n

kj

jk

pan

1 1001

( )

W , iar valoarea actuală a tuturor plăţilor,

evaluată la începutul primului an de plată este: ∑ ∏=

=

+⋅+=

n

k

k

j

jk

paa

2

1

1

1

1 10010 .W

Exemplul 8. Achitarea unor datorii a fost stabilită pentru cinci ani, cu plata anuală anticipată, în varianta: anual câte 6000, 8000, 10000, 12000 şi 9000 u.m., cu procentele anuale, respective, de 6, 8, 10, 7 şi 9 %. Să se afle valoarea actuală a datoriei.

Rezolvare. Valoarea actuală a operaţiunii financiare, sau suma unică ce ar putea înlocui şirul de plăţi este egală cu:

( ) ( ) ( ) ( )+⋅⋅⋅+

+⋅⋅+⋅+=−−−

−−−

111

111

)10,1()08,1()06,1(1200008,106,11000006,1800060000W

( ) ( ) ( ) ( ) 3849107,110,108,106,19000 1111 =⋅⋅⋅⋅+ −−−− u.m. Valoarea finală a datoriei va fi: ( ) +⋅⋅⋅⋅⋅= 09,107,110,108,106,160005W

+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+ 10,11000009,107,110,108,18000 09,107,1 09,1900009,107,112000 ⋅+⋅⋅+6,56531= u.m.

37

Page 39: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

În particular, dacă procentul anual este constant ( )pppp n ==== L21 , atunci valoarea finală şi, respectiv, valoarea actuală a tuturor plăţilor se calculează conform relaţiilor:

( )( )

∑=

−−

+⋅=

n

k

kn

kpanW

1

1

1001 ; ( ) ∑

=

+⋅=

n

k

k

kpa

1

1

10010 .W

Dacă anuităţile sunt egale ( )aaaa n ==== L21 , atunci avem:

( ) ∑∏= =

+⋅=

n

k

n

kj

jpanW

1 1001 ; ( )

++⋅= ∑∏

=

=

−n

k

k

j

jpa

2

1

1

1

100110W . Şi în sfârşit, dacă procentul anual este

constant şi anuităţile sunt egale, atunci avem:

( )i

uuanWn 1−

⋅⋅= ; ( )ivua

n−⋅⋅=10W , unde

ipu +=+= 1100

1 , iar ( ) 111

1 −+=+

= ii

v .

Exemplul 9. La fiecare început de an, timp de 12 ani, se plasează suma în valoare u.m., cu un procent anual . Să se determine valoarea finală şi valoarea actuală a întregii operaţiuni financiare.

75000=a%8=p

Rezolvare. La sfârşitul ultimului an de plată fondul acumulat se ridică la valoarea:

( ) ( ) 8,153714608,0

108,108,1750001212

=−

⋅⋅=W u.m.

Valoarea actuală a întregii operaţiuni ar fi:

( ) ( ) 3,61042208,008,1108,1750000

12

=−

⋅⋅=−

W u.m.

3. 5. Anuităţile anticipate temporare amânate Dacă operaţiunea financiară de plăţi eşalonate se desfăşoară prin anuităţile anticipate temporare

amânate, în regim de dobândă compusă, atunci valoarea finală a tuturor plăţilor, evaluată la sfârşitul ultimului an de plată, este:

( ) ∑ ∏+= =

+⋅=

n

rk

n

kj

jk

parnW

1 1001; , iar valoarea actuală a plăţilor, evaluată la începutul primului

an de plată, este:

( ) ∑ ∏+=

=

+⋅=

n

rk

k

j

jk

parW

1

1

1

1

1001;0 .

Dacă , atunci valoarea finală şi valoarea actuală sunt, respectiv, egale cu:

( pppp n ==== L21 )

( )( )

∑+=

−−

+⋅=

n

rk

kn

kparnW

1

1

1001; ; ( )

( )

∑+=

−−−

+⋅=

n

rk

kr

kpar

1

1

1001;0 .W

În cazul când a aaa nrr ==== ++ L21 şi pppp n ==== L21 , atunci avem:

( )i

uuarnWrn 1; −

⋅⋅=−

; ( ) rrn

vivuar ⋅

−⋅⋅=

−1;0 .W

Exemplul 10. O anumită datorie a fost eşalonată, pe timp de 10 ani, cu începere peste cinci ani, plătind anticipat suma 12000=a u.m., cu un procent anual de 8%. Să se afle valoarea finală şi actuală a datoriei eşalonate.

Rezolvare. Avem:

38

Page 40: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

( ) ( ) 78,18774508,0

108,108,1120005;1510

=−

⋅⋅=W

( ) ( )

u.m.;

( ) 5918508,108,008,1108,1120005;0 5

10

=⋅−

⋅⋅= −−

W 32, u.m.

3.6. Anuităţile anticipate perpetue Deoarece durata operaţiunii financiare este oricât de mare (nelimitată), determinarea valorii

finale nu are sens, deoarece aceasta creşte nemărginit. Are sens doar valoarea actuală a operaţiunii financiare.

În cazul anuităţilor anticipate imediate, avem:

( )i

iapaWk

k +⋅=

+⋅= ∑

=

− 1100

101

1

,

iar în cazul anuităţilor anticipate amânate, avem:

( ) ( )iiapparW

r

k

kr −∞

=

−− +⋅=

+⋅

+⋅= ∑

1

1

1 1100

1100

1;0 .

Observaţie. Problema are sens, practic, în cazul utilizării unor capitaluri ale unor fondaţii care operează pe termen lung.

3.7. Echivalenţa în operaţiunile financiare de plăţi eşalonate Conceptul de echivalenţă, în regim de dobândă simplă sau compusă şi de elemente înlocuitoare,

îşi găseşte aplicaţie şi în cazul operaţiunilor financiare de plăţi eşalonate. Se spune că două modele de plăţi eşalonate referitoare la un acelaşi efort economic sunt

echivalente, la un moment dat oarecare, dacă la acest moment au aceeaşi valoare actuală (sau actualizată).

Ne vom referi numai la unele variante de echivalenţă în operaţiunile financiare de plăţi eşalonate, care prezintă interes practic.

Fie că avem un model de plăţi eşalonate anuale posticipate cu anuităţile a şi procentele variabile şi un al doilea model formal identic cu acesta, dar în care anuităţile sunt constante, adică

k kp

nkaak ,1, ==n

kY=∑

=1

. Atunci, în condiţiile de echivalenţă, rata medie înlocuitoare a se determină din

formula: a , unde kk a⋅ ∑∏∏=

=

=

+

+=

n

k

k

j

jk

j

jk

pp

1

1

1

1

1 1001

1001 .Y

Dacă faţă de modelul de plăţi eşalonate anuale posticipate, cu anuităţile şi procentele variabile vom examina un alt model formal identic cu acesta, dar în care procentele sunt constante, adică

nkppk ,1, == , atunci, în condiţiile de echivalenţă, procentul mediu înlocuitor se va determina din ecuaţia:

kn

kk

n

k

k

j

jk

pap

a−

=

= =∑∑ ∏

+⋅=

+⋅

1

1

1 1 1001

1001 .

Exemplul 11. Să presupunem că timp de trei ani consecutiv se plătesc posticipat sumele de câte 10000, 20000 şi 50000 u.m., cu procentele anuale, respective, de 8,12 şi 15%. Care ar fi suma medie înlocuitoare, în regim de echivalenţă, dacă restul elementelor rămân neschimbate? Dar procentul mediu înlocuitor, dacă restul elementelor rămân neschimbate?

Rezolvare. Avem:

( ) +⋅

+=

+⋅= ∑ ∏

= =

12,108,120000

08,110000

10010

1 1

1n

k

k

j

jk

paV

39

Page 41: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

8617315,112,108,1

50000=

⋅⋅+ u.m., pe de o parte, iar pe de

altă parte ( ) ∑∏= =

+⋅=

n

k

k

j

jpa

1 1

1

10010 sV au

⋅⋅

+⋅

+⋅=15,112,108,1

112,108,1

108,1186173 a .

De aici rezultă suma (rata) medie

6,92497471532,2:86173 ==a u.m. Pentru a afla procentul mediu anual p avem ecuaţia: 10000 sau,

care are soluţie

861735000020000 32 =++ vvv

9004952,0++ 23 v4,0v 023476,1v2,0 =−+ =v . Deoarece i

v+

=1

1 , avem:

1105,19004952

1=

,011 ==+v

i ;

i = 1,1105 – 1 = 0,1105. Dar, atunci procentul mediu anual p = 100 i = 100 0,1105 = 11,05%.

Şi în sfârşit, dacă faţă de modelul de plăţi eşalonate anuale posticipate, cu anuităţile şi procentele variabile vom examina alt model identic formal cu acesta, dar în care avem: aak = şi

nkppk ,1, == , atunci, în condiţiile de echivalenţă, la începutul primului an de plată, va avea loc

relaţia: iva

pa

nn

k

k

j

jk

−⋅=

+⋅∏

= =

−1

1001

1 1

1

∑ . Din această relaţie putem determina unul din elementele

sau a100

pi = , presupunându-l pe celălalt dat.

Exemplul 12. Să reluăm plăţile eşalonate din exemplul precedent. Să se afle suma medie a pe care debitorul doreşte să o plătească de fiecare dată în ipoteza unui procent anual unic . %10=p

Rezolvare. Pentru 1,010010

100===

pi dat, deducem că 48686,21 3

=−iv şi rata constantă

7,5248248686,2

86173==a u.m. Analog, dacă debitorul propune o rată constantă u.m.,

atunci procentul anual va fi .

65,25925=a

%5,12=p

Plăţile eşalonate. Problemele rezolvate 1. Un client al băncii doreşte să ştie ce sumă ar trebui să depună anual anticipat, timp de 10 ani,

în regim de dobândă compusă, cu procentul anual %12=p pentru ca, apoi, în perpetuitate, el şi urmaşii lui să poată retrage, la fiecare început de semestru, câte 15000 u.m.

Rezolvare. Fie – fondul acumulat, iar S – fondul din care se vor face retrageri. Are loc

relaţia de echivalenţă 10SS S=10 , unde:

40

Page 42: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

( ) ( ) ( ) ;6546,1912,0

112,112,111010

10 ⋅=−

⋅⋅=−

⋅⋅== ai

uuaWSn

α ;1150002

2

iiS +

⋅=

;0583,0112,011i1i2 ==−+=−+= 87,2722890583,0

0583,0115000 =+

⋅=S u.m. Aşadar, avem:

87,2722896546,19 =⋅a sau rata anuală

75,138536546,19

87,272289==a u.m.

2. Dispuneţi, azi, de suma de 50000 u.m. şi o plasaţi pe 10 ani, în regim de dobândă compusă,

cu un procent anual . Doriţi ca, apoi, în perpetuitate, să se retragă, la fiecare început de an, câte 10000 u.m., evaluarea acestei sume efectuându-se cu procentul anual de 11%. Precizaţi, dacă operaţiunea financiară poate avea loc şi justificaţi răspunsul.

%10=p

Rezolvare. Fie – valoarea finală a fondul acumulat, iar S – fondul disponibil, în

perpetuitate. Are loc relaţia de echivalenţă 10S

SS =10 , unde ( ) 12,1296871,0150000 1010 =+⋅=S u.m.,

1,10090911,0

11,0110000 +⋅=S = u.m. Deoarece , rezultă că fondul acumulat este suficient

pentru realizarea acestei operaţiuni financiare.

S>S10

3. O persoană depune, în regim de dobândă compusă, la fiecare început de semestru, timp de 12 ani, o sumă de 6000 u.m., cu un procent anual %10=p , în scopul realizării unui fond din care, apoi, să poată cheltui, în perpetuitate, la finele fiecărui an o anumită sumă constantă. Care este rata anuală de care va putea beneficia debitorul, dacă evaluarea sumelor cheltuite se va realiza cu acelaşi procent anual ca şi plasamentul?

Rezolvare. Fie – fondul acumulat, iar S – fondul ce se va cheltui, în întregime, în

perpetuitate. Are loc relaţia de echivalenţă

12S

SS =12 , unde ( )[ ] ;11,0116000 12

2

212 −+⋅

+⋅=

iiS

;04881,011,01112 =−+=−+= ii

( )[ ] ( ) =−⋅⋅=−⋅⋅= 1138428,304881,004881,1600011,1

04881,004881,16000S 12

12

parte altã de peiar parte, o de pe u.m., 16,275698= iaS =

82,275691,016,275698iSa

sau rata anuală

=⋅=⋅= u.m. 4. La îndeplinirea vârstei de 48 de ani o persoană se gândeşte să-şi suplimenteze fondul de

pensie şi, în acest scop, se hotărăşte să depună la fiecare sfârşit de trimestru, timp de 14 ani, în regim de dobândă compusă, câte 800 u.m., cu un procent anual unic %5,13=p . Din fondul acumulat doreşte să cheltuiască, în perpetuitate, la fiecare început de an, o sumă constantă cu acelaşi procent anual ca şi plasamentul. Care este valoarea acestei rate?

Rezolvare. Fie – fondul acumulat, iar S – fondul ce se va cheltui, în întregime, în

perpetuitate. Are loc relaţia de echivalenţă

14S

SS =14 , unde ( ) ;11,018004

14

14 iS −+

⋅=

;0321645,01135,111 444 =−=−+= ii ( ) 28,121566

0321645,01135,1800

14

14 =−

⋅=S u.m., pe de o parte,

iar pe de altă parte 4074,8135,0135,11

⋅=⋅=+

⋅= aai

iaS sau rata anuală

44,144594074,8

28,1215664074,84074,8

14 ====SSa u.m.

41

Page 43: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

5. Se efectuează un control şi se constată că o societate comercială a aplicat incorect normele de impozitare pe profit şi ca urmare, nu a plătit statului posticipat, timp de 5 ani, sumele: 10000, 20000, 50000, 40000 şi 30000 u.m. Azi, când se constată acest lucru, se decide achitarea sumei de 100000 u.m. şi, apoi, reţinerile semestriale posticipate, timp de 3 ani, de aceeaşi valoare fiecare. Evaluarea pagubelor se efectuează cu procentul anual de 8%, 9%, 10% şi 11%, respectiv, pentru fiecare sumă. Despăgubirea se evaluează cu procentul anual . Să se determine rata semestrială fixată pentru despăgubire. %5,9=p

Rezolvare. Fie – valoarea finală a impozitelor neplătite şi S – valoarea actuală a reţinerilor eşalonate. Are loc relaţia de echivalenţă

5SSS += 1000005 , unde ( ) +⋅= 4

5 08,110000S

( ) ( ) ( ) 3000011,1 =+⋅ u.m., 47, 174405

400001,109,120000 23

=+⋅+⋅+ 50000 ( ) ;095,11

2

3

i

−−⋅aS =

;04641095,012 −+=i ,0= ;13677,50464

238346⋅= a

,0,0

0464,761654,

⋅= a

;47,74405001−

⋅= aS

10000047,1000005 174405 =−=−= SS 13677,547,74405 ⋅= a . Rata semestrială fixată

pentru despăgubire 87,1448413677

47,=

,574405

=a u.m.

6. Se plasează o sumă de 25000 u.m., timp de 10 ani, în regim de dobândă compusă, cu procentele de 10% pe primii 5 ani, 12% – pe următorii 3 ani şi 14% – pe ultimii 2 ani, pentru a crea un fond de investiţii din care, apoi, în perpetuitate, să se retragă, la fiecare început de semestru, câte 8000 u.m. Evaluarea acestei rate se face cu procentul anual %15=p . Este suficient fondul acumulat, în acest scop? Dacă nu este suficient, cu cât ar mai trebui suplimentat?

Rezolvare. Fie – valoarea finală a fondului iniţial, iar S – fondul care se va dispune, în

perpetuitate. Are loc relaţia de echivalenţă: 10S

SS =10 , unde ( ) ( ) ( ) =⋅⋅⋅= 23510 14,112,110,125000S

1,735132996,140492861051,125000 ,1 =⋅⋅= ⋅ u.m.;

;180002

2

iiS +

⋅= ;07238,0115,1112 =−=−+= ii 8,11852707238,007238,18000 =⋅=S u.m.

Deoarece , rezultă că fondul acumulat este insuficient, el ar trebui suplimentat cu 7 u.m., ceea ce înseamnă un supliment de fond iniţial egal

cu

SS <10

−8,

( )=− 118527SS 10 ,450141,73513 =−

( ) ( )[ ]=⋅ 23 141,121,⋅5101,:745014, 4,15308= u.m. Aşadar, ar mai trebui suplimentat 15308,4 u.m. 7. O persoană doreşte ca la ieşirea la pensie să dispună, în regim de perpetuitate, împreună cu

urmaşii săi de un fond anual anticipat în valoare de 3000 u.m. Ce sumă ar trebui să depună, în regim de dobândă compusă, în acest scop, cu 8 ani înainte de pensionare, dacă toate calculele se fac cu procentul anual ? Dar, dacă aţi constitui acest fond, prin rate anuale posticipate egale, în primii 5 ani din cei 8 consideraţi?

%12=p

Rezolvare. Fie şi – fondurile acumulate, respectiv, în prima şi a doua variantă, iar S – fondul de care se va dispune, în perpetuitate. Au loc relaţiile de echivalenţă: S , în prima

variantă şi , în a doua variantă a operaţiunii financiare, unde

8S SS=8

SS =ˆ

( ) ( ) ;476,2121 08

08

08 SSS ⋅=⋅⋅= ,112,0+ S= 28000,00130001300012

12,=

+⋅=

+⋅=

iiS u.m.

Aşadar, avem: 2 280000476, =⋅ S sau 56,11308476,

28000=

20 =S u.m. În varianta a doua, avem:

( ) ( ) ( ) ( ) aaiiiaS ⋅=⋅

−⋅=+⋅

−+⋅= − 9253,812,1

12,0112,1111ˆ 3

558

5

42

Page 44: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

sau 15,31379253,8

28000;280009253, ===⋅ aa8 u.m.

8. Ce sumă ar trebui depusă, în regim de dobândă compusă, la fiecare sfârşit de trimestru, timp de 15 ani, pentru a constitui un fond din care, apoi, în perpetuitate, să poată fi alocate, într-un anumit scop, la fiecare început de semestru, câte 25000 u.m., evaluarea efectuându-se cu procentul anual ? %5,12=p

Rezolvare. Fie – valoarea finală a fondului acumulat, iar S – fondul din care se vor face retrageri, în perpetuitate. Are loc relaţia de echivalenţă:

15S

SS =15 , unde: ( ) ;11

4

15

15 iiaS −+

⋅=

;0299,01125,0111 444 =−+=−+= ii ( ) ;256,162

0299,01125,1 15

15 α⋅=−

⋅= aS ;1250002

2

iiS +

⋅=

;06066,01125,012 =−+=i 2,43713306066,0

06066,0125000 =+

⋅=S . Aşadar, avem:

2,437133256,162 =⋅ a sau 1,2694256,162

2,437133==a u.m.

Plăţile eşalonate. Problemele propuse

1. La sfârşit de an, în trei ani consecutivi, se va plasa sumele 3000, 7000 şi 10000 u.m., cu procentele anuale, respective, 10, 12 şi 15%. Să se determine valoarea fondului acumulat la finele celui de al treilea an şi care este valoarea actualizată la începutul primului an de plată a acestor plasamente.

Răspuns: V u.m.; ( ) 219143 = ( ) 3,154670 =V u.m. 2. La finele anului, timp de 5 ani, se plasează câte o sumă 25000=a u.m., în regim de

dobândă compusă, cu procentul anual %10=p . Să se afle valoarea finală şi valoarea actuală a acestei operaţiuni financiare.

Răspuns : V u.m.; ( ) 5,1526275 = ( ) 941500 =V u.m. 3. Achitarea unor datorii a fost stabilită pentru patru ani, cu plata anuală anticipată, în varianta :

anual câte 5000, 7000, 10000 şi 12000 u.m., cu procentele anuale, respective, de 8, 10, 12 şi 14%. Să se determine valoarea actuală şi valoarea finală a datoriei.

Răspuns : W u.m.; ( ) 5,289170 = ( ) 56,438634 =W u.m. 4. O datorie a fost eşalonată, pe timp de 6 ani, cu începere peste 2 ani, plătind anticipat suma

u.m., cu un procent anual de 10%. Să se afle suma finală şi valoarea actuală a datoriei eşalonate.

8000=a

Răspuns: W u.m.; ( ) 3,678972;8 = ( ) 6,316742;0 =W u.m. 5. La finele anului, timp de 3 ani, se va plasa sumele 2000, 4000 şi 10000 u.m., cu procentele

anuale, respective, de 8, 12 şi 15%. Să se afle suma medie pe care debitorul doreşte să o plătească de fiecare dată, cu un procent anual unic %10=p .

Răspuns: u.m. 86,4964=a

43

Page 45: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

CAPITOLUL IV. Rambursarea creditelor (împrumuturilor) Operaţiunea financiară prin care debitorul plăteşte creditorului suma de bani de care a

beneficiat, precum şi dobânzile aferente acestei sume de bani, conform contractului de creditare, se numeşte rambursare (sau amortizare) a împrumutului. Împrumutul apare ca o operaţiune financiară vectorială, una din componente fiind creditarea, iar cealaltă – rambursarea.

Fiecare componentă a operaţiunii financiare vectoriale reprezintă o operaţiune de plăţi eşalonate şi, de aceea, toate consideraţiile din capitolul precedent rămân valabile şi în continuare. Clasificarea plăţilor eşalonate ne conduce la o anumită clasificare a împrumuturilor, atât după modul în care se face creditarea, cât şi după modul în care se face rambursarea.

Dacă cele două operaţiuni, respectiv, de creditare şi de rambursare, se desfăşoară succesiv (nu se suprapun, în timp), atunci valoarea finală a creditării coincide cu valoarea actuală a rambursării. Aici apare, firesc, problema operaţiilor financiare echivalente şi, în particular, a plăţilor echivalente.

Restituirea (rambursarea, amortizarea) împrumutul se poate face: o singură dată (printr-o plată unică) sau în rate (prin plăţi eşalonate, amortizate). Sumele băneşti rambursate anual, care au rolul de a amortiza treptat suma împrumutată, se numesc amortismente.

4.1. Rambursarea prin anuităţile posticipate temporare imediate Se spune că rambursarea se efectuează prin anuităţile posticipate temporare imediate dacă

plăţile, respective, se fac în următoarele condiţii: anual, la sfârşit de an; prin sume (anuităţi) constante sau nu de la un an la altul; într-un număr de ani bine precizat; imediat ce s-a fixat începerea rambursării; cu procente egale sau nu de la un an la altul.

Fie – suma împrumutată; t – durata împrumutului (durata de timp pe care urmează a se face amortizarea, care, de obicei, se ia un număr întreg n de ani); p – procentul, cu care a fost împrumutată suma şi utilizat, în regim de dobândă simplă sau compusă; – momentele de timp în care se vor plăti ratele (în regim de anuităţi), de obicei

0S

0S ktktk = .

Dacă este rata aferentă perioadei k (anuitatea plăţilor posticipat în anul k), – partea din datoria amortizată în anul k (sau amortismentul care se plăteşte la sfârşitul anului k), iar este dobânda corespunzătoare datoriei rămase la începutul anului k, atunci are loc:

kr kQ

kD

==+= 0kkk S;n,1k,Qr D

;MSR;Q k0k

n

1kk −== ∑

=∑=

=k

iik QM

1,

unde este suma amortismentelor plătite, iar este valoarea datoriei rămase de plătit după achitarea amortismentului . Aşadar, avem:

kM kR

1kQ ;0SR = ;1 kkk QRR −=+

;nQnR = ;iRD kk ⋅= n,1k = . Pentru a determina aceste mărimi, mai avem nevoie de o relaţie

dedusă în baza echilibrului financiar: , unde unk

kv −

n

kr=∑

1

nuS =⋅0 ;1 i+= ;1

1i+

=v100

pi = .

Există diferite modele de amortizare a împrumuturilor, prin anuităţile posticipate temporare imediate, cu dobânda posticipată evaluată cu acelaşi procent ip ⋅= 100 .

Modelul I. În acest caz, debitorul plăteşte toată datoria ( )nt iSS +⋅= 10 , o singură dată, la

scadenţă. Ratele şi cotele sunt: ;01 SR = ;1,1 −n =n SQ,0 === kQr kk

.

( ) ;1 10

−+⋅ ni

( )nn iSr +⋅= 10

Modelul II. În acest model, amortizarea se face prin achitarea sumei iniţiale la scadenţă şi plata periodică a dobânzilor. Debitorul plăteşte periodic (anual) dobânzile, iar suma împrumutată o va plăti la scadenţă (la sfârşitul ultimei perioade). În acest caz, se poate spune că este vorba de un împrumut repetat pe n ani. Relaţiile în baza cărora se întocmeşte planul de amortizare sunt:

0S

44

Page 46: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

;;1,1,0;,1, 00 SQnkQnkSR nkk =−==== ( )iSrnkiSrnkiSD nkk +⋅=−=⋅==⋅= 1;1,1,;,1, 000

Modelul III. În acest model se prevede amortizarea împrumutului prin cote constante. Debitorul plăteşte, la sfârşitul fiecărei perioade, o cotă constantă din împrumut, împreună cu dobânda, corespunzătoare, pentru sumele nerambursate. În acest caz, relaţiile cu care se determină elementele din planul de amortizare sunt:

;,1,0 nknSQk == ;01 SR = ;1,1,0

01 −=⋅−=+ nknSkSRk

( ) ;,1,1 00 nki

nSkiSiRD kk =⋅⋅−−⋅=⋅=

( ) .,1,1 00

00 nkinSkiS

nSD

nSr kk =⋅⋅−−⋅+=+=

După cum se vede, dobânzile şi ratele sunt în progresie aritmetică cu raţia kD kr inS

⋅− 0 .

Dobânzile sunt legate între ele prin următoarea relaţie de recurenţă: =⋅−=+ inSDD 0

k1k

( ) 1n,1k,inS

kiSinS

inS

1kiS 00

000 −=⋅⋅−⋅=⋅−⋅⋅−−⋅= .

Exemplul 1. Împrumutul de 1 mln u.m., cu procentul anual de dobândă % , pe timp de 4 ani, se amortizează prin plata anuală a unei cote constante şi a dobânzii pentru sumele neamortizate. Să se întocmească planul de amortizare.

25=p

Rezolvare. După cum se vede, suntem în condiţiile modelului III. Avem:

2500004

10000000 ==nS u.m. Aplicând formulele, ce corespund modelului III, obţinem tabelul de

amortizare (rambursare) a împrumutului:

Perioada de plată (k)

Valoarea împrumutului la începutul perioadei k

(Rk)

Dobânda pe datoria rămasă la începutul

perioadei k (Dk)

Amortismentul în perioada k

(Qk)

Plata efectuată (rata aferentă)

din perioada k (rk) 1 2 3 4

1000000 750000 500000 250000

250000 187500 125000 62500

250000 250000 250000 250000

500000 437500 375000 312500

- 625000 1000000 1625000 Modelul IV. În acest model, amortizarea se face prin rate constante. Debitorul plăteşte, la

sfârşitul fiecărei perioade, o rată constantă care acoperă atât o parte din împrumut, cât şi dobânda pentru suma nerambursată. Valoarea ratei constante r se determină în baza relaţiei ce exprimă

principiul echilibrului financiar, adică: ivrS

n−⋅=1

0 şi ca rezultat, obţinem rata constantă

nviSr

−⋅

=1

0 . În acest caz, relaţiile cu care se determină elementele din planul de rambursare a

împrumutului sunt:

;01 SR = ;,1,1 1

nki

vrRkn

k =−

⋅=+−

( ) ;,1,1 1 nkvrD knk =−⋅= +−

;,1,11

1 nkuQvrQ kknk =⋅=⋅= −+− nkrrk ,1, == .

Exemplul 2. Să se întocmească planul de rambursare (amortizare) a unui împrumut de 5 mln u.m., luat de o Societate pe acţiuni, pe timp de 3 ani, cu procentul anual %20=p , prin plata

45

Page 47: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

periodică a unei rate constante care acoperă atât o parte din împrumut, cât şi dobânda pentru suma nerambursată.

Rezolvare. Problema se încadrează în modelul de rambursare IV. Calculăm mai întâi rata constantă

2373630

2,111

2,050000001 3

0 =

⋅=

−⋅

= nviSr u.m.

Celelalte elemente ale planului de amortizare, înscrise în tabel, se calculează astfel: 13736302,05000000237363011 =⋅−=−= DrQ

362637013736305000000112 =−=−= QRRu.m.;

u.m. ş.a.m.d. Planul de rambursare a împrumutului va fi:

Perioada de plată (k)

Valoarea împrumutului la începutul perioadei k

(Rk)

Dobânda pe datoria rămasă la începutul perioadei k (Dk)

Amortismentul în perioada k

(Qk)

Plata efectuată (rata aferentă)

din perioada k (rk) 1 2 3

5000000 3626370 1978014

1000000 725274 395603

1373630 1648356 1978027

2373630 2373630 2373630

- 2120877 5000013 7120890

În practica financiară se aplică modelele de amortizare a creditelor (cu amortismente în progresie aritmetică şi cu amortismente în progresie geometrică).

În cazul amortismentelor, prin anuităţile posticipate în progresie aritmetică, cunoscând valoarea creditului , valoarea primului amortisment Q , procentul anual de dobândă, putem întocmi planul de rambursare a împrumutului în baza relaţiilor:

0S 1

( ) ;,1,11 nkdkQQk =⋅−+= , unde d – raţia progresiei aritmetice.

Din formula de mai sus, se determină raţia şi, apoi, celelalte elemente ale planului de rambursare.

( )[∑∑==

⋅−+==n

k

n

kk dkQQS

11

10 1 ]

Dacă, însă, rambursarea împrumutului se efectuează în progresie geometrică, atunci planul de rambursare se calculează în baza formulelor: ;,1,1

1 nkqQQ kk =⋅= −

, unde q – raţia progresiei geometrice. ∑∑∑=

=

=

⋅=⋅==n

k

kn

k

kn

kk qQqQQS

1

11

1

11

10

4.2. Rambursarea prin anuităţile anticipate temporare imediate Se spune că rambursarea se efectuează prin anuităţile anticipate temporare imediate dacă

plăţile, respective, se fac în următoarele condiţii: anual, la început de an; prin sume (anuităţi) constante sau nu de la un an la altul; într-un număr de ani bine precizat; imediat ce s-a fixat începerea rambursării; cu procente egale sau nu de un an la altul.

Dacă amortizarea (rambursarea) împrumutului se efectuează prin anuităţile anticipate temporare imediate (prin plăţi anticipate), cu dobânda anticipată evaluată, cu acelaşi procent anual

şi cu anuităţile egale şi amortismentele egale, atunci pentru orice an avem: ip ⋅= 100

amortismentul anual nSQk

0= ; rata anuală ( )0

1 Sn

iknrk ⋅+⋅−

= ; datoria rămasă ( )0S

nknRk ⋅

−= ;

dobânda anuală ( ) nkSin

knDk ,1,0 =⋅⋅−

= .

Dacă amortizarea împrumutului se efectuează prin anuităţile anticipate temporare imediate, cu dobânda posticipată evaluată, cu acelaşi procent anual ip ⋅= 100 şi cu anuităţile egale şi

amortismentele egale, atunci pentru orice an, avem: amortismentul anual nS

k0=Q ;

46

Page 48: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

rata anuală ( )

=⋅+⋅+−

==

;,2pentru ,11;1pentru ,

0

0

nrSn

iknknS

kr

datoria rămasă 0Sn

knRk ⋅−

= ;

dobânda anuală

=⋅⋅+−

==

.,2pentru ,i1;1pentru ,0

0 nkSnkn

kDk

Rambursarea creditelor. Problemele rezolvate

1. La cumpărarea unui utilaj în valoare de 500000 u.m. s-a plătit un avans de 25% din preţ, iar restul a fost eşalonat, pe 5 ani, prin plăţile anuale posticipate şi cu amortismentele egale. Să se întocmească planul de amortizare a creditului, dacă procentul anual de dobândă este de 10%.

Rezolvare. Datoria rămasă este −= 500000S0 37500050000025,0 =⋅− u.m. Aplicând formulele ce corespund modelului III de rambursare, obţinem tabelul de amortizare a împrumutului:

k kR kD kQ kr 1 2 3 4 5

375000 300000 225000 150000 75000

37500 30000 22500 15000 7500

75000 75000 75000 75000 75000

112500 105000 97500 90000 82500

- 112500 375000 487500 2. Datoria de 250000 u.m. contractată, azi, va fi rambursată, cu începere de peste 3 ani, prin

anuităţile egale posticipate, timp de 4 ani şi cu un procent anual mediu %8=p de evaluare, pe toţi cei 7 ani. Să se întocmească planul de rambursare a împrumutului.

Rezolvare. La data începerii rambursării valoarea datoriei acumulate va fi: u.m. Problema se încadrează în modelul IV de rambursare.

Calculăm mai întâi rata constantă

( ) 31492808,1250000 30 =⋅=S

3,95083

08,111

08,03149281 4

0 =

⋅=

−⋅

= nviSr

=08, 6988924,251943,95083

u.m. Celelalte elemente ale

planului de amortizare, înscrise în tabel, se calculează astfel: ⋅0−=−= 3149283,95083DrQ 11 06,=−= u.m.;

94,24503806,69889314928112 =−=−= QRR u.m. ş.a.m.d. Planul de rambursare a împrumutului este:

k kR kD kQ kr 1 2 3 4

314928,00 245038,94 169558,76 88040,20

25194,24 19603,12 13564,70 7043,21

69889,06 75480,18 81518,60 88040,10

95083,3 95083,3 95083,3 95083,3

- 65405,27 314927,94 380333,2 3. Un împrumut de 750000 u.m. urmează a fi rambursat, în 5 ani, prin plăţile posticipate

anuale cu amortismentele în progresie aritmetică, cu primul amortisment egal cu 120000 u.m. şi procentul anual de dobândă 10%. Să se întocmească planul de rambursare a împrumutului.

Rezolvare. Avem: ( ) ;5,1,11 =⋅−+= kdkQkQ

( )[ ] ;1051 1

5

11

5

10 dQdkQQS

kkk ⋅+⋅=⋅−+== ∑∑

==

;101200005750000 d⋅+⋅=

47

Page 49: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

;15000010 =⋅ d 15000=d u.m. Planul de rambursare a împrumutului este:

k kR kD kQ kr 1 2 3 4 5

750000 630000 495000 345000 180000

75000 63000 49500 34500 18000

120000 135000 150000 165000 180000

195000 198000 199500 199500 198000

- 240000 750000 990000 4. Un credit în valoare de 240000 u.m. se rambursează, în 4 ani, prin plăţile posticipate şi cu

amortismentele în progresie aritmetică. Să se întocmească planul de amortizare a creditului, dacă primul amortisment este 90000 u.m., iar procentul anual de dobândă este . %5,9=p

Rezolvare. Avem: ( ) ;4,1,11 =⋅−+= kdkQkQ

( )[ ] ;641 1

4

11

4

10 dQdkQQS

kkk ⋅+⋅=⋅−+== ∑∑

==

;6900004240000 d⋅+⋅=

;1200006 −=⋅ d 20000−=d u.m. Planul de rambursare a împrumutului este:

k kR kD kQ kr 1 2 3 4

240000 150000 80000 30000

22800 14250 7600 2850

90000 70000 50000 30000

112800 84250 57600 32850

- 47500 240000 287500 5. Un împrumut de 162500 u.m. urmează a fi rambursat, în 4 ani, prin plăţile anuale

posticipate cu amortismentele în progresie geometrică, cu raţia 1,5. Să se întocmească planul de rambursare a creditului, dacă procentul anual de dobândă este %12=p .

Rezolvare. Avem:

;4,1,11 =⋅= − kqQQ k

k ;4

1

11

4

1

11

4

10 ∑∑∑

=

=

=

⋅===k

k

k

k

kk qQqQQS

( ) ( )[ ];5,15 32 +,15,11162500 1 ++⋅= Q ;125,8162500 1 ⋅= Q 200001 =Q u.m.;( ) 4,1,5,120000 1 =⋅= − kQ k

k . Planul de rambursare a împrumutului este:

k kR kD kQ kr 1 2 3 4

162500 142500 112500 67500

19500 17100 13500 8100

20000 30000 45000 67500

39500 47100 58500 75600

- 58200 162500 220700 6. Întocmiţi planul de amortizare pentru un împrumut în valoare de 300000 u.m., rambursabil

prin cinci anuităţi posticipate în progresie aritmetică, cu primul termen egal cu prima anuitate de valoare r u.m. şi procentul anual de dobândă 500001 = %10=p .

Rezolvare. Avem:

( ) ( )[ ] ( ) ;1115

11

5

10

k

k

k

kk idkrirS −

=

=

+⋅−+=+= ∑∑

48

Page 50: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

( ) ( ) ( ) ;1,111,1500003000005

1

5

1

k

kk

k kd −

==

− ∑∑ −⋅+⋅= 16098=d .

Planul de rambursare a creditului este:

k kR kD kQ kr 1 2 3 4 5

300000 280000 241900 183900 103990

30000 28000 24190 18390 10399

20000 38098 58006 79904

103992

50000 66098 82196 98294

114391 - 110979 300000 410979

7. Se cere de întocmit planul de amortizare pentru un împrumut de 50000 u.m., rambursabil

prin cinci anuităţi posticipate în progresie geometrică de primul termen egal cu prima anuitate de valoare r şi raţie . Procentul anual de dobândă este 1 21,1=q %10=p .

Rezolvare. Avem:

( ) ( )

( ) ;1,121,1

1,11r i1qr

i1qri1rS

5

1k

1k

1

5

1k

k1k1

k1k5

1k1

k5

1kk0

∑∑

∑∑

=

=

−−

−−

=

=

⋅⋅=+⋅=

=+=+=

( ) ;1,0

11,11,1

500005

1 −⋅=

r ;55,550000 1 ⋅= r 90091 =r u.m.

Planul de amortizare este:

k kR kD kQ kr 1 2 3 4 5

50000 45991 39689 30468 17555

5000 4599 3969 3047 1756

4009 6302 9221

12913 17555

9009 10901 13190 15960

19311 - 18371 50000 68371

8. În urmă cu 4 ani a fost dată, cu împrumut, suma de 400000 u.m. Valoarea datoriei este,

acum, de 515420 u.m. şi urmează să fie rambursată, prin trei plăţi anuale posticipate egale şi cu un procent anual de dobândă . %

;

8=pSă se determine: a) procentul anual mediu cu care s-a evaluat datoria în cei patru ani; b) planul de amortizare a creditului. Rezolvare. Avem:

a) 515420 1( ) ;1400000 4i+⋅= ( ) ;28855,11 4 =+ i 065431,1=+ i ;065431,0=i 100 =⋅ %543,6= ip ;

b) ( ) ;08,15154203

1∑=

−⋅=k

kr ;5771,2515420 ⋅= r ;5771,2515420 ⋅= r

u.m. 200000=r Planul de amortizare a creditului este:

k kR kD kQ kr

1 515420,0 41233,6 158766,4 200000,0

49

Page 51: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

2 3

356653,6 185186,0

28532,314814,9

171467,7 185185,1

200000,0200000,0

- 84580,8 515419,2 600000,0 9. Despre acordarea unui împrumut aveţi următoarele informaţii: se rambursează, în 5 ani,

prin anuităţile posticipate evaluate, cu un procent anual de dobândă de 10% şi se plătesc dobânzile anuale u.m.; u.m.; 500001 =D 450002 =D 375003 =D u.m.; 175004 =D u.m.; u.m. Să se întocmească planul de amortizare a creditului.

25005 =D

Rezolvare. Avem: ;kk RiD ⋅= kk Di

R ⋅=1 şi

5,1,1 =−= + kRRQ kkk . Planul de amortizare a creditului este:

k kR kD kQ kr 1 2 3 4 5

500000 450000 375000 175000 25000

50000 45000 37500 17500 2500

50000 75000

200000 150000 25000

100000 120000 237500 167500 27500

- 152500 500000 652500

Rambursarea creditelor. Problemele propuse 1. Un împrumut de 9 mln u.m., timp de 5 ani, cu procentul anual de 10% trebuie rambursat

(amortizat) în felul următor: debitorul plăteşte peste 2 ani suma de 3 mln u.m., peste 3 ani – 2 mln u.m. şi peste 4 ani – 3 mln u.m. Ce sumă trebuie rambursată peste 5 ani pentru a achita toate datoriile?

Răspuns: mln. u.m. 7832,4=x2. Un împrumut de 6 mln u.m., pe timp de 4 ani, cu procentul anual de 12%, trebuie amortizat

cu una şi aceeaşi sumă la sfârşitul fiecărui an. Să se afle această sumă ? Răspuns: mln u.m. 9752,1=x3. Debitorul ia împrumuturi, cu procentul anual de 13%, de la unul şi acelaşi creditor: de la

început 7 mln u.m., peste un an încă 5 mln u.m., peste 3 ani – 3 mln u.m. Schema de rambursare este următoarea: peste 5 ani – 4 mln u.m., peste 6 ani – 5 mln u.m., peste 7 ani – 7 mln u.m., peste 8 ani – 6 mln u.m., peste 9 ani – 5 mln u.m. Ce sumă trebuie rambursată peste 10 ani pentru a achita toate datoriile?

Răspuns: mln u.m. 064,7=x4. Un împrumut trebuie să fie rambursat în sistem clasic, prin patru plăţi anuale posticipate, cu

amortismentele, în ordine, 50000, 90000, 150000 şi, respectiv, 230000 u.m. Evaluarea dobânzilor este posticipată şi se face cu procentele anuale, în ordine, 8, 9, 10 şi 11%. Să se întocmească planul de amortizare a creditului şi să se determine valoarea actuală totală a tuturor dobânzilor, la începutul primului an de plată.

Răspuns: Valoarea actuală a tuturor dobânzilor

u.m. 4,12139811,110,109,108,1

25300

10,109,108,138000

09,108,142300

08,141600Dact.

total

=⋅⋅⋅

+

+⋅⋅

+⋅

+=

5. La cumpărarea unui utilaj în valoare de 320000 u.m. s-a plătit un avans de 30% din preţ, iar

restul a fost eşalonat, în 4 ani, prin plăţile anuale posticipate şi cu amortismentele egale. Să se întocmească planul de amortizare a creditului, dacă procentul anual de dobândă este de

16%.

50

Page 52: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

6. O datorie de 125000 u.m. contractată, azi, trebuie să fie rambursată, cu începerea de peste 2 ani, prin anuităţile posticipate egale, timp de 3 ani şi cu un procent mediu de evaluare, pe toţi cei 5 ani. Să se întocmească planul de rambursare a creditului.

%10=p

7. Se acordă un credit de valoarea 4000000 =S u.m., rambursabil prin cinci anuităţi posticipate, cu amortismentele în progresie aritmetică de primul termen egal cu primul amortisment

şi având în vedere că amortismentul din anul trei ( 1Q ) ( )3Q este dublu celui din primul an . Dobânda anuală este evaluată cu procentele anuale, respective, de 8, 9, 10, 11 şi 12%.

Să se întocmească planul de amortizare a creditului şi să se determine valoarea tuturor dobânzilor, la începutul primului an de plată (uzufructul creditului).

( 12 Q⋅= )3Q

Răspuns: Valoarea actuală a tuturor dobânzilor

+⋅⋅⋅

+⋅⋅

+⋅

+=11,110,109,108,1

2420010,109,108,1

3000009,108,1

3240008,1

32000act.totalD

53,10610012,111,110,109,108,1

14400=

⋅⋅⋅⋅+ u.m.

51

Page 53: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

CAPITOLUL V. Împrumuturile cu obligaţiuni În capitolele precedente au fost analizate operaţiunile financiare, corespunzătoare, aşa-

numitelor împrumuturi (sau credite) de tip bancar. Adeseori, multe societăţi pe acţiuni şi întreprinderi au nevoie să împrumute sume foarte mari de

bani pe care banca nu le poate pune la dispoziţie. Într-o astfel de situaţie se poate folosi alte mijloace cum ar fi împrumuturile cu obligaţiuni, pe termen mediu sau lung, realizându-se fondurile băneşti sau capitalurile importante.

În schimbul acestor fonduri băneşti, beneficiarul împrumutului acordă anumite documente de valoare, denumite obligaţiuni. Obligaţiunea este un titlu de creanţă (dreptul creditorului de a pretinde debitorului executarea unei obligaţii) reprezentativ al unei datorii. Pe piaţa financiară obligaţiunile reprezintă o modalitate destul de răspândită şi atrăgătoare pentru creditarea a multor activităţi economice.

Pe fiecare obligaţiune sunt menţionate regulile împrumutului, cu drepturile şi îndatoririle partenerilor, înscriindu-se, în mod obligatoriu: numărul obligaţiei; valoarea nominală a obligaţiunii; procentul nominal al împrumutului; condiţiile împrumutului; tabloul de amortizare; cupoanele dobânzii; alte date privind amortizarea.

După modul în care se face plata dobânzilor pentru fiecare obligaţiune, există diferite tipuri de împrumuturi. Dobânzile pot fi plătite sub forma unui venit anual fix pentru fiecare obligaţiune sau sub forma de câştig.

Rambursarea obligaţiunilor poate fi efectuată, în general, de-a lungul întregii durate a împrumutului, prin fracţiuni constante sau nu din numărul de titluri, sau prin amortismente constante sau nu, prin anuităţi constante aproape egale, o singură dată la sfârşitul duratei împrumutului sau după alte reguli stabilite la data emiterii împrumutului.

Vom nota: 0V – valoarea nominală totală a împrumutului (sau capitalul total) pe care îl primesc

subscriptorii (societăţile comerciale) la care se mai putea adăuga unele prime în afara dobânzilor; V – valoarea nominală a unei obligaţiuni, care reprezintă o cotă-parte din valoarea nominală

totală a împrumutului; 0C – preţul total sau valoarea totală de emisiune a împrumutului, sau capitalul total pe care îl

primeşte emitentul sau pe care îl plătesc subscriptorii; C – preţul sau valoarea de emisiune a unei obligaţiuni, care reprezintă o cotă-parte din valoarea

de emisiune totală; 0W – preţul sau valoarea de rambursare a împrumutului, sau capitalul total pe care îl

rambursează emitentul şi pe care îl primesc subscriptorii, exceptând dobânzile; W – preţul sau valoarea de rambursare a unei obligaţiuni, care reprezintă cotă-parte din

capitalul total rambursat; N – numărul total al obligaţiunilor emise sau puse în circulaţie; n – numărul de ani sau durata împrumutului;

kN – numărul de obligaţiuni amortizate în anul nkk ,1; = ;

kQ – amortismentul sau cota-parte din valorea, care se plăteşte în anul k; i – dobânda anuală unitară nominală sau de emisiune a împrumutului ( ip ⋅= 100 –

reprezintă procentul nominal anual al obligaţiunii financiare); kd – dobânda nominală plătită în anul k;

kS – anuitatea sau rata plătită în anul k. Se spune că împrumutul cu obligaţiuni este emis: a) sub paritatea (sub pari), dacă ; VC <b) la paritatea (al pari), dacă . VC =

52

Page 54: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

În practică, valoarea de emisie C poate fi egală cu valoarea nominală V sau cel mai adesea inferioară acesteia (C ), pentru a oferi un avantaj subscriptorilor şi de a-i cointeresa să cumpere obligaţiunile propuse.

V<

De exemplu, dacă 2800=C şi V , subscriptorul sau cumpărătorul plăteşte 2800 u.m. şi va primi la scadenţă 3000 u.m., suma căreia îi corespund şi cupoanele anuale. În aşa mod, apare o dublă încurajare a cumpărătorilor de obligaţiuni.

3000=

Se spune că împrumutul cu obligaţiuni este rambursat: a) la paritate (al pari), dacă W ; V=b) peste paritate (supra pari), dacă W . V>În practică, titlul poate fi rambursat la valoarea nominală (W V= ), dar pentru a cointeresa mai

mult pe cumpărătorii de obligaţiuni, preţul de rambursare poate fi mai mare (W ). De exemplu, dacă şi W , atunci dobânzile se calculează pentru

V>1800=V 1830= 1800=V u.m., iar la scadenţă

deţinătorul obligaţiunii primeşte W u.m. 1830=Pentru încurajarea cumpărătorului de obligaţiuni, emitentul unui împrumut, cu obligaţiuni,

adoptă, de regulă, strategia de emisie C WV ≤≤ . În baza notaţiilor de mai sus, putem scrie următoarele relaţii:

WNWCNCVNVNNn

kk ⋅=⋅=⋅== ∑

=000

1;;; .

Relaţiile de mai sus, pot fi prezentate şi în cazul mai general, când se emit obligaţiunile, de diferite valori. Dacă se emit m tipuri de obligaţiuni, având în total Mj obligaţiuni cu valoarea nominală Vj, valorile de emisiune Cj şi rambursare mjj ,1, =W , atunci putem scrie:

;1∑=

=m

jjMN ;

10 j

m

jj VMV ⋅= ∑

=

;1

0 j

m

jj CMC ⋅= ∑

=j

m

jj WMW ⋅= ∑

=10 .

5.1. Rambursarea la paritate (al pari) Să considerăm un împrumut cu N obligaţiuni, fiecare din ele fiind de valoarea nominală V,

valoarea reală (sau de emisie) C şi valoarea de rambursare W. Se spune că rambursarea împrumutului este la paritate (al pari) dacă W V= . Rambursarea împrumuturilor cu obligaţiuni se face, de regulă, anual.

Se spune că amortizarea obligaţiunilor este anuală, dacă: plăţile se fac anual, anticipat sau posticipat; durata de amortizare este un număr de ani bine precizat; sumele sau numărul de obligaţiuni amortizate anual sunt egale sau nu; plăţile încep imediat (anul emisiunii sau cel următor) sau cu o întârziere de câţiva ani; procentul nominal al obligaţiunii este unic sau nu de la un an la altul.

Dacă amortizarea împrumutului se desfăşoară prin anuităţile posticipate, cu dobândă posticipată, cu procentul nominal p = 100 i unic pe durata rambursării şi cu:

1) anuităţile constante ( nkSk ,1, ==S ), atunci pentru orice an de plată nkk ,1, = , avem următoarele elemente ale rambursării:

amortismentul anual: ( )( ) 0

1

111 Vi

iiQ n

k

k ⋅⋅−+

+=

;

rata anuală: ( )( ) 011

1 Vii

iS n

n

k ⋅⋅−+

+= ;

dobânda anuală: ( ) ( )( ) 0

1

1111 Vi

iiid n

kn

k ⋅⋅−++−+

=−

;

datoria rambursată după k ani: ( )( ) 011

11 ViiR n

k

k ⋅−+−+

= ;

datoria rămasă după k ani: ( ) ( )( ) 011

11 Vi

iin

kn

k ⋅−++−+

=V ;

53

Page 55: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

numărul de obligaţiuni amortizate anual: ( )( )

NiiiN n

k

k ⋅⋅−+

+=

111 1

.

2) amortismentele constante ( nkQk ,1, ==Q ), atunci pentru orice an de plată nkk ,1, = , avem:

amortismentul anual: n

VQk0= ;

rata anuală: ( )0

11 Vn

iknSk ⋅++−

= ;

dobânda anuală: ( )0

1 Vinkndk ⋅⋅+−

= ;

datoria rambursată după k ani: 0VnkRk ⋅= ;

datoria rămasă după k ani: 0Vn

knk ⋅

−=V ;

numărul de obligaţiuni amortizate anual: nNNk = .

Notăm: – numărul de obligaţiuni rambursate (sau ieşite din circulaţie) după k ani de plată pentru achitarea împrumutului;

( kRN )( )kVN – numărul de obligaţiuni rămase de rambursat (sau care

se mai află în circulaţie) după k ani de rambursare.

Avem: ( ) ;1∑=

=k

ppk NRN ( ) ;

1∑

+=

=n

kppk NVN

( ) ( kk VNRNN += ) . În cazul anuităţilor egale, avem: ( ) ( )( )

;1111 N

iiRN n

k

k ⋅−+−+

=

( ) ( ) (( )

) Nk

⋅i

iiVN n

n

k −++−+

=11

11

iar în cazul amortismentelor egale, avem: ( ) ;NnkRN k ⋅= ( ) N

nknVN k ⋅

−= . Având în vedere

numărul de obligaţiuni rambursate anual , avem (în cazul anuităţile constante): kNnumărul de obligaţiuni amortizate anual:

( )( )

NiiiN n

k

k ⋅⋅−+

+=

111 1

;

amortismentul anual: ; VNQ kk ⋅=

rata anuală: ( )( ) 11

1−+

⋅⋅⋅+= n

n

k iiVNiS ;

datoria rambursată: ( )( )

VNii

iR kk

k

k ⋅⋅⋅+−+

= −1111 ;

datoria rămasă: ( ) ( )( )

VNiiii

kk

kn

k ⋅⋅⋅++−+

= −1111V ;

dobânda anuală: ( ) ( )( )

VNi

iid kk

kn

k ⋅⋅+

+−+= −

1

1

111 .

Pentru cazul amortismentele constante, avem:

54

Page 56: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

numărul de obligaţiuni amortizate anual: nNNk = ;

amortismentul anual: ; VNQ kk ⋅=rata anuală: ( )[ ] VNiknS kk ⋅⋅+⋅+−= 11 ; datoria rambursată: R ; VNk kk ⋅⋅=datoria rămasă: ( ) VNkn kk ⋅⋅−=V ; dobânda anuală: ( ) VNiknd kk ⋅⋅⋅+−= 1 . Exemplul 1. Să se întocmească planul de amortizare a unui împrumut cu valoarea nominală

totală V u.m., cu obligaţiunile cu valoarea nominală 6000000000 = 1000=V u.m., rambursabil, în şase ani, cu un procent anual , posticipat, atât cu amortismente constante, cât şi cu anuităţi constante.

%10=p

Rezolvare. Avem: 6000001000:600000000 ==N obligaţiuni. Dacă anuităţile sunt egale, avem:

;7776443,777641 ≈=N ;8554187,855402 ≈=N ;9409596,940943 ≈=N

;10350545,1035044 ≈=N ;11385589,1138545 ≈=N .12524037,1252406 ≈=N

5.2. Rambursarea peste paritate (supra pari) Presupunem că avem un împrumut cu N obligaţiuni, fiecare dintre ele de valoarea nominală V,

valoarea reală (sau de emisiune) C şi valoarea de rambursare W. Se spune că rambursarea este peste paritate, dacă V W< . În ipoteza anuităţilor posticipate cu

dobândă posticipată, avem:

dobânda anuală: ∑=

− ⋅⋅=⋅=n

kppkk NViVid 1

amortismentul anual: CNVNWNQ kkkk ⋅≥⋅≥⋅= ;

55

Page 57: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

rata anuală (anuitatea): . ∑=

⋅⋅+⋅=n

kppkk NViNWS

Se poate uşor de dedus relaţia:

=

⋅⋅+⋅−⋅⋅+⋅=− ∑∑

=+=++

n

kppk

n

1kpp1kk1k NViNWNViNWSS

−⋅⋅+⋅= ∑

+=+

n

1kpp1k N

WViNW =

⋅⋅− ∑

=

n

kppk N

WViN

n,1k,NWVi1NWN

WViNNW k1kkk1k =

⋅+−⋅=

⋅⋅−−⋅= ++ .

Dacă vom nota prin WVir ⋅= , atunci avem:

( )[ ] nkNrNWSS kkkk ,1,111 =⋅+−⋅=− ++ . Formulele care descriu elementele (parametrii) ale rambursării la paritate rămân valabile şi în

cazul rambursării peste paritate, înlocuind peste tot i prin r , V prin W şi i WrV ⋅=⋅ . Exemplul 2. Să se întocmească tabloul de amortizare a unui împrumut cu valoarea nominală

totală u.m., cu obligaţiuni cu valoarea nominală 6000000000 =V 1000=V

1200

u.m., rambursabil, în şase ani, cu un procent anual , posticipat, atât cu amortismente constante, cât şi cu anuităţi constante. Se presupune că rambursarea este peste paritate cu

%10=p=W u.m. (deci, rambursarea

este de 120%, faţă de nominal). Rezolvare. Avem obligaţiuni. Dacă amortismentele sunt constante

, atunci şi 600000=N

21( )621 QQQ === L 1000006 ==== NN NL . Indicele de paritate

121

12001000

10010

100=⋅=⋅=

WVpr .

În cazul anuităţilor constante ( )621 SSS === L , pentru orice an de plată 6,1, =kk , avem următoarele elemente ale rambursării:

Numărul de obligaţiuni rambursate (amortizate) anual se determină din formula ( )( )

6,1;11

1 1

=⋅⋅−+

+=

kNrrrN n

k

k .

Avem:

( );8110556,81104600000

121

112111

61 ≈=⋅⋅−+

=N

( ) ( ) ;8786327,87863121181105112 ≈=+⋅=+⋅= rNN ( ) ;95186206,951861 2

13 ≈=+⋅= rNN

( ) ;1031173,1031171 314 ≈=+⋅= rNN ( ) ;1117104,1117101 4

15 ≈=+⋅= rNN

( ) .12102059,1210191 516 ≈=+⋅= rNN

Deoarece , se renunţă la ultima rotunjire, luând . 600001621 =+++ NNN L 1210196 =NRata anuală (anuitatea) constantă ar trebui să fie egală cu

( )( )

( )( )

( )

u.m. 157325430

1200600000121

112111211Wr

1r1r1S 6

6

0n

n

k

=

=⋅⋅⋅−+

+=⋅⋅

−++

=

56

Page 58: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

5.3. Uzufructul şi proprietatea nudă Fie un împrumut cu obligaţiuni cu: valoarea nominală VNV ⋅=0 , valoarea de emisie

, valoarea de rambursare WCNC ⋅=0 WN ⋅=0 , procentul anual nominal sau de emisiune şi durata de rambursare n ani se amortizează prin anuităţile posticipate , definite de

relaţia fundamentală:

ip ⋅= 100 kS

n,1kdQS kkk , =+= , în care Q este amortismentul, iar este dobânda în anul k.

k kd

Se numeşte uzufruct al unei obligaţiuni, al unei creanţe sau al împrumutului, în general, evaluată la o anumită dată şi cu un anumit procent, valoarea actuală (sau actualizată) a tuturor dobânzilor, ce urmează a fi plătite de la acea dată până la rambursarea completă a împrumutului.

Dacă evaluarea se face cu procentul anual jq ⋅= 100 , atunci vom avea:

( ) ( )∑+=

−+⋅=n

tk

ktk jdtUZU

11 .

Se numeşte nudă proprietate a unei obligaţiuni, a unei creanţe sau a împrumutului, în general, evaluată la o anumită dată şi cu un anumit procent, valoarea actuală a tuturor amortismentelor, ce urmează a fi plătite de la acea dată până la rambursarea completă a împrumutului.

Dacă evaluarea se face cu procentul anual jq ⋅= 100 , atunci avem egalitatea:

( ) ( )∑+=

−+⋅=n

tk

ktk jQtNUP

11 .

Din cele spuse mai sus, rezultă că ( ) =tCURS ( ) ( )tNUPtUZU += , ceea ce înseamnă că pentru orice împrumut şi, în particular, şi pentru cel cu obligaţiuni, cursul sau preţul împrumutului, la un moment dat pe durata rambursării sale, este egal cu suma dintre uzufructul şi nuda proprietate ale împrumutului, evaluate la momentul considerat.

Împrumuturile cu obligaţiuni. Problemele rezolvate

1. S-a emis un împrumut, cu obligaţiuni de valoarea nominală 1000=V u.m. Emisiunea este de 98%, faţă de nominal, iar rambursarea este de 102%, faţă de nominal. Amortizarea are loc în

57

Page 59: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

timp de 10 ani, cu amortismentele supra pari în progresie aritmetică de prim-termen u.m. şi raţie anuală u.m. Să se determine:

20400001 =Q

%10

510000=R

=p

20001020

2040000=

; 200010 =N

102

10 =⋅+ N

42500 ⋅=⋅V

0 42598,0 ⋅=V

0 42502,1 ⋅=

( )⋅⋅+ ~31 WRN=⋅= Vid 34

510351000 ⋅=

+= 44 dQS

1000=

5001q1qn

1 =−−

511500=⋅VN96,00 ⋅=V

03,10 ⋅=

100003, =⋅

( ++− NNN 21 74400000908866 =+ dQ

7500000= %12=p

a) numărul de obligaţiuni puse în circulaţie; b) valorile: nominală, de emisiune şi de rambursare totale; c) sumele rambursate în anul al patrulea, dacă procentul anual de evaluare este .

Rezolvare. Avem: 1020100002,102,1 =⋅=⋅= VW u.m.; 11 ==

WQN

obligaţiuni. Raţia progresiei numerelor de obligaţiuni amortizate anual este

5001020

510000~ ==R ( ) 650045002000500110 =+=⋅−+ obligaţiuni;

a) 42500102

650020001 =⋅+

=NN obligaţiuni;

b) u.m.; 50 104251000 ⋅== NV

450 1041651098,0 ⋅=⋅⋅=C u.m.;

450 1043351002,1 ⋅=⋅⋅= VW u.m.;

c) amortismentul anual ( ) =⋅⋅+==⋅= 10205003200044 WNQ u.m.; 41035710203500 ⋅=⋅=

dobânda anuală ( )[ ] =⋅++−⋅ VNNNNi 321 ( )7500425001,0 ⋅−⋅= u.m.; rata anuală =+= 350000035700004

410707 ⋅ u.m. 2. Un împrumut, cu obligaţiuni, a fost emis 96%, faţă de nominal şi se rambursează 103%, faţă

de nominal, timp de 10 ani, prin plăţile anuale posticipate. Numerele obligaţiunilor amortizate anual formează o progresie geometrică cu 5001 =N obligaţiuni şi raţia 2=q . Valoarea nominală a unei obligaţiuni este V u.m., iar cuponul anual al dobânzii este =⋅Vi 150 u.m.

Să se determine: a) numărul de obligaţiuni puse în circulaţie; b) valorile: nominală, de emisiune şi de rambursare totale; c) sumele rambursate în anul al şaselea. Rezolvare. Avem:

a) 5115001212NN

10

=−−

⋅= obligaţiuni;

b) 51150000010000 =⋅=V u.m.; 49104000051150000096,00 =⋅=C u.m.;

52684500051150000003,10 =⋅= VW u.m.; c) amortismentul anual =⋅⋅=⋅= NQ

u.m.; V03,1NW 666

1648000012500 5 ⋅⋅=dobânda anuală

[ =⋅++⋅=⋅= V)]NNN15,0Vid 54356 ( ) 10001550051150015,0 =⋅−⋅= u.m.; rata anuală 00006 =S u.m.

3. S-a emis un împrumut cu obligaţiuni, rambursabil 120%, faţă de nominal, prin cinci plăţi anuale posticipate egale. S-au pus în circulaţie 25000=N obligaţiuni. Valoarea totală de rambursare este W u.m., iar procentul anual al operaţiunii financiare este . Să se determine:

0

a) numărul de obligaţiuni amortizate anual; b) sumele plăţilor în primul an de rambursare.

58

Page 60: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Rezolvare. Avem: 30025000

75000000 ===N

WW u.m.;

;20,1 VW ⋅= ;30020,1 =⋅V 25020,1

300==V u.m.;

6250000250250000 =⋅=⋅= VNV u.m. a) Deoarece plăţile anuale sunt egale, avem:

( ) 11 1 −+⋅= k

k rNN , unde 1,030025012,0 =⋅=⋅=

WVir .

( );4095250001,0

11,1151 =⋅⋅−

=N ( ) ( ) ;45051,014095112 =+⋅=+⋅= rNN

( ) ;49551 213 =+⋅= rNN ( ) ;54501 3

14 =+⋅= rNN ( ) .59951 415 =+⋅= rNN

b) 1228500300409511 =⋅=⋅= WNQ u.m.; 750000625000012,001 =⋅=⋅= Vid u.m.; 1978500111 =+= dQS u.m.

4. Un împrumut, cu obligaţiuni, se amortizează prin trageri la sorţi anuale. S-a stabilit ca în primul an să se amortizeze 50000 obligaţiuni şi, apoi, câte 10000 obligaţiuni mai puţin de la un an la altul. Rambursarea este 120%, faţă de nominal, fiecare obligaţiune fiind rambursată cu 5000 u.m. Procentul nominal anual al obligaţiunii este %10=p . Să se determine:

a) durata împrumutului; b) numărul de obligaţiuni puse în circulaţie; c) sumele care se vor plăti în ultimul an al operaţiunii; d) durata medie de viaţă a unei obligaţiuni. Rezolvare. Avem:

a) ( ) ( )n6100001n1000050000Nn −⋅=−⋅−= . Pentru 6=n , avem . Deci, durata împrumutului este ani;

06 =N5=n

b) ( ) 100001510000500005 =−⋅−=N obligaţiuni; numărul de obligaţiuni puse în circulaţie

15000052

6000052

100005000052

NNN 51 =⋅=⋅

+=⋅

+= ;

c) amortismentul anual 5000000050001000055 =⋅=⋅= WNQ u.m.;

d) dobânda anuală 50000005000100001,045 =⋅⋅=⋅= Vid u.m.;

e) rata anuală 55000000dQS 555 =+= u.m.;

f) durata medie de viaţă a unei obligaţiuni

( ) ∑∑==

=⋅⋅=⋅=5

1

5

1

1k

kk

k NkN

pkXM

( ) =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅= 100005200004300003400002500001150000

1 33,2150000350000

== ani.

5. O bancă a pus în circulaţie obligaţiuni emise 98%, faţă de nominal şi rambursabile 103%, faţă de nominal, cu un procent anual nominal

5000000=N%10=p . Rambursarea se face

în zece ani, prin tragere la sorţi anuale şi cu plăţi posticipate anuale egale. Se ştie că prima de rambursare W u.m. 100=−C

Să se determine: a) valorile: nominală, de emisiune şi de rambursare totale;

59

Page 61: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

b) probabilitatea ca o obligaţiune să se amortizeze în anul al treilea; c) probabilitatea ca o obligaţiune să nu fie amortizată mai devreme de patru ani. Rezolvare. Avem:

a) ==⋅=⋅−⋅=−05,0

100V;V05,0100;V98,0V03,1CW

⋅=⋅= 5000000VNV;2000 0 =⋅== 0010 98,0;102000 VC 8

008 10103V03,1W;1098 ⋅=⋅=⋅= ;

b) deoarece plăţile anuale sunt egale, avem: ( ) 1

1 1 −+⋅= kk rNN , unde

( );3043045000000097,0

11,11N

;097,003,11,0

200003,120001,0

WVir

101 =⋅⋅−

=

==⋅

⋅=⋅=

( ) ;333821112 =+⋅= rNN ( ) 3662021 213 =+⋅= rNN .

Probabilitatea ca o obligaţiune să se amortizeze în anul al treilea

073,050000003662023

3 ===NNP ;

c) probabilitatea ca o obligaţiune să nu fie amortizată mai devreme de patru ani va fi:

8,02,015000000100432711 321 =−=−=

++−=

NNNNP .

Împrumuturile cu obligaţiuni. Problemele propuse

1. S-a emis un împrumut cu obligaţiuni de valoare nominală 1000=V u.m. Emisiunea este 98%, faţă de nominal iar rambursarea este 104%, faţă de nominal. Amortizarea va avea loc, în timp de 15 ani, cu amortismentele supra pari în progresie aritmetică de prim termen Q u.m. şi raţia anuală u.m. Să se determine:

12480001 =260000=R

a) numărul de obligaţiuni puse în circulaţie; b) valorile: nominală, de emisie şi de rambursare totale; c) sumele rambursate în anul al treilea, dacă procentul anual de evaluare este %8=p . Răspuns: a) obligaţiuni; 44250=N

b) V u.m.; C u.m.; 40 104425 ⋅= 3

0 1043365 ⋅=4

0 104602 ⋅=W u.m.; c) u.m.; 17680003 =Q31920003 =d u.m.; u.m. 4

333 10496 ⋅=+= dQS2. Un împrumut cu obligaţiuni a fost emis 96%, faţă de nominal şi se rambursează 102%, faţă

de nominal timp de 12 ani prin plăţi anuale posticipate. Numerele obligaţiunilor amortizate anual formează o progresie geometrică cu 2501 =N obligaţiunişi şi raţia 2=q . Valoarea nominală a unei obligaţiuni este V u.m., iar cuponul anual al dobânzii este 1000= 150=⋅Vi u.m. Să se determine:

a) numărul obligaţiunilor puse în circulaţie; b) valorile: nominală, de emisie şi de rambursare totale; c) sumele rambursate în anul al doilea. Răspuns:

a) obligaţiuni; 1023750=Nb) V u.m.; C u.m.; 4

0 10102375 ⋅= 50 109828 ⋅=

10442250000 =W u.m.; c) Q u.m.; u.m.; 5100002 = 1535250002 =d

154035000222 =+= dQS u.m.

60

Page 62: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

3. S-a emis un împrumut cu obligaţiuni rambursabil 112%, faţă de nominal, prin cinci plăţi anuale posticipate egale. S-au pus în circulaţie 20000=N obligaţiuni. Valoarea totală de rambursare este W u.m., iar procentul anual ai operaţiunii financiare este . Să se determine:

45000000 = %10=p

a) numerele de obligaţiuni amortizate anual; b) sumele plătite în primul şi al doilea an de rambursare.

Răspuns: a)

4;4328;3970;3643;3342 54321 ===== NNNNN;

b) 7519501 =Q u.m.; d u.m.;

4020001 =

1153950111 =+= dQS u.m.; 8196752 =Q u.m.; 3348262 =d u.m.; 1154501222 =+= dQS u.m.

4. Un împrumut cu obligaţiuni se rambursează prin trageri la sorţi anuale. S-a stabilit ca în primul an să se amortizeze 35000 obligaţiuni şi, apoi, câte 7000 obligaţiuni mai puţin de la un an la altul. Rambursarea este 114%, faţă de nominal, fiecare obligaţiune fiind rambursată cu 3600 u.m. Procentul nominal anual al obligaţiunii este %12=p . Să se determine:

a) durata împrumutului; b) numărul de obligaţiuni puse în circulaţie; c) sumele care se vor plăti în ultimul an al operaţiunii financiare. Răspuns: a) n ani; b) obligaţiuni; 5= 105000=Nc) Q u.m.; u.m.; 252000005 = 30240005 =d

28224000555 =+= dQS u.m. 5. O bancă a pus în circulaţie obligaţiuni emise 97%, faţă de nominal şi

rambursabile 105%, faţă de nominal, cu un procent anual nominal 1000000=N

%12=p . Rambursarea se face în zece ani, prin tragere la sorţi anuale şi cu plăţi posticipate anuale egale. Se ştie că prima de rambursare W u.m. 150=−C

Să se determine: a) valorile: nominală, de emisiune şi de rambursare totale; b) probabilitatea ca o obligaţiune să se amortizeze în anul al patrulea; Răspuns: a) V u.m.; u.m.; W u.m.; b)

.

60 101875 ⋅=

075,04 =p

40 10181875 ⋅=C 4

0 10196875 ⋅=

61

Page 63: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

CAPITOLUL VI. Plasamentul financiar în acţiuni Ca şi obligaţiunea din împrumuturile cu obligaţiuni, acţiunea este un titlu financiar, care se

emite pe termen lung. Deosebirea dintre obligaţiuni şi acţiuni constă în faptul că obligaţiunile se rambursează după un anumit număr de ani, iar acţiunile nu se rambursează niciodată.

A investi într-o acţiune (a deveni acţionar) înseamnă a plăti preţul (sau cursul) acesteia, la un moment dat, pentru a putea obţine un flux de venituri viitoare. Fluxurile de venituri pe care le scontează acţionarii se compun din anumite părţi de dobândă sau din profituri, precum şi din valoarea de revânzare a acţiunii, la un moment dat.

Vom nota: 0C – cursul (valoarea acţiunii) la momentul cumpărării;

0D – dividendul plătit exact înaintea aprecierii valorii C a acţiunii; 0

n – durata de ani a investiţiei într-o acţiune;

kD – dividendul plătit în anul nk ,1, =k ;

nC – valoarea de revânzare a acţiunii după n ani de la cumpărare;

kp – procentul anual de apreciere a cursului acţiunii în anul k.

6.1. Evaluarea în condiţiile certe În conformitate cu principiul fundamental al echivalenţei angajamentelor financiare reciproce

(cheltuieli şi venituri ale emitentului şi ale acţionarului), corespunzătoare investiţiei în acţiuni, trebuie să aibă loc relaţia de credibilitate a operaţiunii financiare

∑ ∏ ∏= = =

−−

+⋅+

+=

n

k

k

j

n

j

jn

jk

pC

pDC

1 1 1

11

0 1001

1001 ,

cu condiţia că plăţile eşalonate ale dividendelor au loc posticipat. Dacă evaluarea are loc cu procent anual unic ( )pppp n ==== K21 , atunci avem:

n

n

n

k

k

kpCpDC

=

+⋅+

+= ∑ 100

1100

11

0 .

Relaţiile de mai sus se referă la egalitatea dintre cursul unei acţiuni la cumpărare şi valorile ei viitoare, dividende şi valoarea de revânzare, prin intermediul procentului de actualizare (sau de rentabilitate a operaţiunii financiare).

Relaţiile:

∑ ∏∏−

= +==

+−

+⋅=

1

1 110 100

1100

1n

k

n

kjn

jk

n

j

jn D

pD

pCC şi

∑=

+−

+⋅=

n

k

kn

k

n

npDpCC

10 100

1100

1

ne permit evaluarea (stabilirea) preţului de revânzare, cunoscând preţul de cumpărare şi dividendele încasate (sau incasabile, dacă problema se pune înainte de revânzare).

Exemplul 1. În urmă cu trei ani s-a cumpărat o acţiune cu preţul 20000 =C u.m., încasându-se dividendele anuale: u.m., u.m. şi 801 =D 1002 =D 1253 =D u.m.

Dacă procentele anuale de evaluare sunt, respectiv, %10,%8 21 == pp şi , cu ce preţ se poate revinde, azi, această acţiune?

%123 =p

Rezolvare. Avem: ( ) =+⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅= 12512,110012,110,18012,110,108,12000C3 56,2325= u.m.

Exemplul 2. O acţiune se cumpără, azi, cu 10000 u.m. şi se evaluează cu procentul anual de 12%, timp de 4 ani, pentru ca, apoi, să se revândă. Să se afle dividendul anual constant maxim ce poate fi acordat acţionarului.

62

Page 64: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Rezolvare. Avem: ( ) ( ) ( )[ ]

. 779,4D2,15735112,112,112,1D12,110000C 234

4

⋅−==+++⋅−⋅=

Vom avea efectiv un preţ de revânzare C , dacă 04 > 3292779,4

2,15735=<D u.m.

6.2. Modelul lui Gordon şi Shapiro Gordon şi Shapiro au adus modelul general la o anumită îmbunătăţire, întroducând ipoteza unei

creşteri anuale constante a dividendelor, cu un coeficient anual α (sau procent anual α⋅100 ).

În acest caz, avem: ( ) ( ) 011 11 DDD kk

k ⋅+=⋅+= − αα ; ( )n

nn

k

k

iC

iDC

++

++

⋅= ∑= 11

11

00α ;

( ) ( ) ∑=

++

⋅+n

k

kn

ii

1 11 α

⋅−+⋅= nn DiCC 00 11 , unde

100p

=i .

Exemplul 3. O acţiune poate fi cumpărată, azi, cu preţul 25000 =C u.m., ultimul dividend fiind u.m. La ce preţ se va revinde acţiunea peste 3 ani, dacă dividendele urmează o creştere anuală de 15%, iar procentul anual al operaţiunii financiare este

1500 =D%12=p .

Rezolvare. Avem:

( ) ( ) =

+

+⋅⋅−⋅=

3233

3 12,115,1

12,115,1

12,115,112,115012,12500C

( ) 62,284508253,105429,102679,174,21032, 3512

=++⋅−= u.m. Exemplul 4. La ce preţ poate fi cumpărată o acţiune, azi, ştiind că peste 3 ani ea se va revinde

cu 3000 u.m., ultimul dividend înainte de cumpărare este 1600 =D u.m., procentul anual al operaţiunii este 10%, iar dividendele anuale vor avea o creştere anuală constantă de 15%.

Rezolvare. Avem:

( )=+

+

+⋅= 3

32

0 10,13000

10,115,1

10,115,1

10,115,1160C ( )0243,26,1265,1160 ++⋅=

29,3036331,1

3000=+ u.m.

6.3. Modelul lui Bates Bates a adus modelul general de apreciere a valorii (cursului) unei acţiuni, făcând două

presupuneri: a) beneficiul anual pe acţiune creşte anual într-un ritm constant (în progresie geometrică), adică

( ) K,3,2,1,1 1 =⋅+= − kBB kk α , unde α – rata anuală (coeficientul anual de creştere a beneficiilor).

b) beneficiul anual pe acţiune se distribuie, în mod constant, în dividendul anual, corespunzător, adică K,3,2,1,1 =⋅= − kBdD kk , unde d – reprezintă coeficientul de distribuire a beneficiilor pe acţiune.

În condiţiile ipotezelor lui Bates, avem: ( ) K,3,2,1,1 0 =⋅+= kBB k

k α

( ) .,3,2,1,1 01

K=⋅⋅+= − kBdD kk α

Dacă procentul anual de actualizare este ip ⋅= 100 , atunci preţul de cumpărare al unei acţiuni, în ipotezele lui Bates, se determină din formula:

63

Page 65: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

( )nn

n

k

k

iC

idBC

++

++

⋅+⋅

= ∑= 11

11 1

00

αα

,

iar preţul de revânzare după n ani de la cumpărare devine:

( ) ( ) ∑=

++

⋅+⋅+⋅

−+⋅=n

k

knn

n iidBiCC

1

00 1

111

1 αα

.

Exemplul 5. Cu ce preţ poate fi cumpărată, azi, o acţiune care se poate revinde peste 3 ani cu 12000 u.m., ştiind că beneficiile sale anuale cresc într-un ritm anual constant de 12%, dividendele anuale reprezintă 36% din beneficiile anuale, ultimul beneficiu înainte de cumpărare a fost

u.m., iar procentul anual de actualizare 8000 =B %8=p ? Rezolvare. Avem:

1,1035608,1

1200008,112,1

08,112,1

08,112,1

12,0136,0800C 3

32

0 =+

+

+⋅

+⋅

= u.m.

Exemplul 6. La ce preţ se revinde, azi, o acţiune cumpărată cu 5 ani în urmă cu preţul u.m. ale cărei beneficii anuale au crescut anual într-un ritm constant de 26%,

dividendele anuale au reprezentat 40% din beneficii, ultimul beneficiu înainte de cumpărare a fost u.m., iar procentul anual de actualizare

75000 =C

25000 =B %10=p ? Rezolvare. Avem:

( ) ( ) ⋅+⋅+

⋅−+⋅= 55

5 1,0126,01

4,025001,017500C

22961,126,1

1,126,1

1,126,1

1,126,1

1,126,1

5432

=

+

+

+

+⋅ u.m.

6.4. Modelul cu dividende în progresie aritmetică În cazul modelelor Gordan-Shapiro şi Bates de evaluare a acţiunilor, dividendele anuale cresc

în progresie geometrică. Să presupunem, acum, că dividendele anuale au o creştere mai lentă (o evoluţie în progresie

aritmetică). În acest caz, dividendele anuale pot fi calculate din formula , unde este dividendul din primul an, iar R este creşterea anuală a dividendelor.

( ) RkDDk ⋅−+= 11

1DDacă procentul anual de actualizare este ip ⋅= 100 , atunci preţul de cumpărare a unei acţiuni

este

( )[ ] ( ) ( ) =+⋅++⋅⋅−+= −

=

−∑ nn

n

k

k iCiRkDC 1111

10

( ) nn

nnn

vCi

vnvnRivD ⋅+

+⋅−⋅−⋅+

−⋅=

2

1

1111 , iar preţul de revânzare după n ani de la cumpărare

devine:

( ) ( )[ ] ( ) −−

⋅−⋅=+⋅⋅−+−+⋅= ∑=

iuDuCiRkDiCC

nn

n

k

knnn

1111 101

10

2

1i

nunuRn −+⋅−

⋅− , unde u şi i+= 1i

v+

=1

1 .

Exemplul 7. La ce preţ se revinde, azi, o acţiune cumpărată cu 4 ani în urmă, cu preţul u.m., dividendul în primul an fiind 168000 =C 18001 =D u.m., iar creşterea anuală a dividendelor

u.m., dacă procentul anual de actualizare este 750=R %10=p ? Rezolvare. Avem:

64

Page 66: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

( ) ( ) ( )( )

u.m. 6,114351,0

141,141,17501,0

11,118001,116800C 2

444

4

=

=−+⋅−

⋅−−

⋅−⋅=

I. Plasamentul financiar în acţiuni. Problemele rezolvate 1. Preţul de cumpărare a unei acţiuni este 32000 =C

1303

u.m. Timp de 4 ani se vor încasa dividendele anuale: u.m., u.m., 901 =D 1202 =D =D u.m. şi 1454 =D u.m. Să se determine preţul de revânzare după 4 ani, dacă procentele anuale de evaluare sunt, respectiv, egale cu:

%15,%13,%10 321 === ppp şi %184 =p . Rezolvare. Avem:

u.m. 36,4798)14518,113018,115,112018,115,113,190(18,115,113,110,13200C4

=+⋅+⋅⋅++⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=

2. O acţiune se revinde, azi, după 3 ani de la cumpărare cu 4800 u.m., timp în care a produs dividendele anuale de 260, 320 şi 400 u.m. Procentele anuale de evaluare (de actualizare) fiind de 9,

12 şi 16%, la ce preţ a fost cumpărată acţiunea? Rezolvare. Avem:

64, 417216,112,109,1

480016,112,109,1

40012,109,1

32009,1

260C0 =⋅⋅

+⋅⋅

+⋅

+= u.m.

3. O acţiune se poate cumpăra acum cu preţul 46000 =C u.m., ultimul dividend fiind u.m. Se apreciază că dividendele urmează o creştere anuală de 10%. Procentul anual de

evaluare (de actualizare) fiind , cu ce preţ se poate revinde o astfel de acţiune peste 5 ani? 2800 =D

%15=pRezolvare. Avem:

( ) ( )

u.m. 45,677815,11,1

15,11,1

15,11,1

15,11,1

15,11,1

15,128015,14600C5432

555

=

+

+

+

+⋅

⋅⋅−⋅=

4. La ce preţ poate fi cumpărată, azi, o acţiune care peste 4 ani se revinde cu 4500 u.m., ultimul dividend înainte de cumpărare este 2500 =D u.m., dividendele anuale cresc într-un ritm anual de

12%, iar procentul anual de actualizare este de 16%? Rezolvare. Avem:

( )3402

16,14500

16,112,1

16,112,1

16,112,1

16,112,1250 4

432

0 =+

+

+

+⋅=C u.m.

5. Azi, cumpăraţi o acţiune cu 62000 =C u.m. şi aflaţi că ultimul beneficiu anual a fost u.m. Se apreciază că beneficiile anuale vor avea un ritm anual constant de creştere de

18%, iar dividendele anuale vor reprezenta 42% din beneficiile anuale. Dacă procentul anual de actualizare este , cu ce preţ veţi revinde acţiunea peste 3 ani? (Bates).

8000 =B

%12=pRezolvare. Avem:

( ) ( ) u.m. 57,7377215,118,1

12,118,1

12,118,112,1

18,142,080012,16200

3233

3 =

+

+⋅⋅⋅

−⋅=C

65

Page 67: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

II. Plasamentul financiar în acţiuni. Problemele propuse 1. O acţiune se cumpără cu preţul 120000 =C u.m. şi aduce dividende anuale de forma

. Procentul anual mediu de actualizare este ( ) RkDDk ⋅−+= 11 %13=p . Să se determine preţul de revânzare al acţiunii peste 6 ani, dacă 18000 =D u.m. şi creşterea anuală a dividendelor u.m. 500=R

Răspuns : u.m. 23,10686 =C2. O acţiune este cumpărată pentru 5 ani şi are dividendele anuale de forma

. Procentul de actualizare este ( ) RkDDk ⋅−+= 11 %15=p1200

. Să se determine preţul de cumpărare al acţiunii dacă: u.m., 50001 =D =R u.m. şi 90005 =C u.m.

Răspuns : u.m. 34,286330 =C3. La ce preţ poate fi cumpărată, azi, o acţiune care să aducă timp de 5 ani dividendele anuale

de 200, 240, 300, 400 şi 600 u.m. şi, apoi, să fie revândută cu preţul de 5000 u.m., dacă procentele anuale de evaluare sunt respectiv de 8, 9, 10, 12 şi 15%?

Răspuns : C 42540 = u.m. 4. O acţiune se poate cumpăra, acum, cu preţul 60000 =C u.m.; ultimul dividend fiind

u.m. Să se determine preţul de revânzare a acţiunii peste 5 ani, dacă dividendele vor urma o creştere anuală de 15%, iar procentul anual al operaţiunii va fi

3600 =D%12=p .

Răspuns: u.m. 6,71375 =C5. La ce preţ poate fi cumpărată, azi, o acţiune care se poate revinde peste 5 ani cu 15000 u.m.,

ştiind că beneficiile sale anuale cresc într-un ritm anual de 15%, dividendele anuale reprezintă 40% din beneficiile anuale, ultimul beneficiu înainte de cumpărare a fost 9000 =B u.m., iar procentul anual de actualizare este ? %9=p

Răspuns: u.m. 45,115920 =C

66

Page 68: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

CAPITOLUL VII. Problemele investiţionale deterministe Un rol important în procesul de organizare a oricărei activităţi economice îl are elementul

decizional pe care-l implică investiţiile, atât la nivel micro, cât şi nivel macroeconomic. Investiţia este un angajament de capitaluri pe mult timp, în scopul menţinerii sau ameliorării situaţiei economice al întreprinderilor.

Indiferent de natura şi scopul investiţiei, ea reprezintă un anumit efort care conduce la anumite efecte, măsurabile direct sau indirect în bani. Dacă operaţiunea financiară constă în investirea periodică a unor sume de bani, atunci valoarea finală (capitalul valorificat) reprezintă efortul final al investiţiei, iar valoarea actuală reprezintă valoarea totală a investiţiei actualizată la momentul începerii investiţiei.

În mod asemănător, pot fi interpretate valoarea finală şi valoarea actuală în cazul în care operaţiunea financiară constă în încasarea sau aprecierea veniturilor şi ca urmare, a beneficiilor datorate investiţiei respective.

Analiza şi compararea efortului şi efectelor unei investiţii, precum şi a mai multor proiecte de investiţii între ele, constituie una din problemele al căror scop este repartizarea optimă a fondurilor băneşti.

7.1. Alegerea optimă a unei investiţii Având mai multe proiecte de investiţii, se pune problema determinării celui mai bun proiect,

aplicând diferite criterii.

Metoda beneficiului brut actualizat Se consideră m proiecte de investiţii comparabile msPs ,1, = , fiecare cu costul său ,

beneficiile anuale brute sI

nkBsk ,1, = şi cu valoarea reziduală (valoarea la sfârşitul duratei de

funcţionare) . Beneficiile anuale brute sunt diferenţa dintre veniturile anuale de pe seama investiţiei şi cheltuielile de funcţionare ale acesteia.

snV s

kB

Beneficiul total net actualizat pentru fiecare proiect de investiţii , se calculează astfel: sP

( ) ( ) ( )∑=

−− −+⋅++⋅=n

ks

nsn

ksks IiViBPB

111

∗sP

, unde i este dobânda anuală unitară (indicele de

actualizare). Luând drept criteriu de optimizare beneficiul net actualizat, vom spune că proiectul de investiţii este cel mai bun, dacă are loc: ( ) ( ){ }smss PBPB

≤≤=∗

1max .

Exemplul 1. La o întreprindere pentru a produce o nouă marcă de produs trebuie aleasă una din cele două variante de investiţii. Prima variantă de investiţie costă 340000 u.m., durata de expluatare 5 ani, valoarea reziduală 20400 u.m. şi aduce un beneficiu anual brut de 122000 u.m. A doua variantă de investiţii costă 365000 u.m., durata de exploatare 6 ani, valoarea reziduală 22500 u.m. şi aduce un beneficiu anual brut de 118000 u.m.

Să se determine proiectul de investiţie cel mai bun, dacă procentul anual de actualizare . %10=p

Rezolvare. Avem:

( ) −⋅+

++++⋅= 554321 1,1

1204001,11

1,11

1,11

1,11

1,11122000PB 340000−

=−⋅+⋅= 34000062,02040078974,3122000 3,134996= u.m.;

( ) +

+++++⋅= 654322 1,1

11,11

1,11

1,11

1,11

1,11118000PB

3650001,1122500 6 −⋅+ −⋅+⋅= ,02250035474,4118000 565

67

Page 69: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

8,161571365000 =− u.m. Deoarece ( ) ( )12 PBPB > , putem face concluzia că proiectul este mai preferat decât proiectul

. 2P

1PDacă costul al proiectului de investiţii este cert, iar beneficiile anuale şi valoarea

reziduală V sunt variabile aleatoare (discrete sau continue), atunci drept criteriu de optimizare se ia valoarea medie a beneficiului total net actualizat calculată pentru fiecare proiect:

sI sP skB

sn

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) msiVMiBMIPBM nsn

n

k

kskss ,1,11

1=+⋅++⋅+−= −

=

−∑ .

Luând drept criteriu de optimizare valoarea medie a beneficiului total net actualizat, vom spune că proiectul de investiţii este cel mai bun dacă are loc: ∗s

P( )[ ] ( )[ ]{ }smss

PBMPBM≤≤

=∗1max .

Drept criteriu de optimizare poate fi luată dispersia beneficiului total net actualizat calculată pentru fiecare proiect:

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] msPBMPBMPBD sss ,1,22 =−= . Vom spune că proiectul este cel mai bun, în sensul dispersiei beneficiului total net

actualizat, da ă: ∗s

Pc

( )[ ] ( )[ ]{ }smssPBDPBD

≤≤=∗

1min .

Conform dublei comparaţii absolute, se spune că proiectul de investiţii este cel mai bun dintre cele m proiecte analizate, dacă aceasta conduce la cel mai mare profit total mediu net actualizat şi are cea mai mică dispersie a profitului.

∗sP

Metoda beneficiului net (contabil) actualizat Fie că avem m proiecte de investiţii comparabile msPs ,1, = , fiecare cu costul său ,

beneficiile anuale brute sI

nkBsk ,1, = şi cu valoarea reziduală . Fie, deasemenea, –

amortismentele anuale ale investiţiilor , iar – dobânzile anuale, corespunzătoare,

investiţiilor neamortizate după plata amortismentelor anuale.

snV s

kQ

∑=

=n

ks

sk IQ

1

skD

Calculul beneficiilor anuale are loc la sfârşitul de an şi se presupune că amortizarea investiţiei se face prin plăţi anuale posticipate, cu procent anual unic. Dacă notăm cu rata anuală, atunci beneficiul total net (contabil) actualizat cu procentul anual unic de amortizare, se calculează astfel:

sk

sk

sk DQR +=

( ) ( ) ( ) ( )∑=

−− +⋅++⋅−=n

k

nsn

ksk

sksc iViRBPB

111 .

Luând drept criteriu de optimizare beneficiul net (contabil) actualizat, se spune că proiectul de investiţii este cel mai bun, dacă are loc: ∗s

P ( ) ( ){ }scmssc PBPB≤≤

=∗1max . Se poate demonstra că criteriile

de alegere optimă a unei investiţii prin metoda beneficiului brut actualizat şi prin metoda beneficiul net (contabil) actualizat sunt echivalente, adică

( ) ( ) msPBPB scs ,1, == .

Metoda coeficientului de rentabilitate globală Coeficientul de rentabilitate globală al proiectului se calculează din formula: sP

( ) ( ) ( )

+⋅++⋅= ∑

=

−−n

k

nn

ksk

ss iViB

IPC

1111 .

Se spune că proiectul este cel mai bun, dacă are loc: ∗sP ( ) ( ){ }smss PCPC

≤≤=∗

1max .

68

Page 70: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Metoda duratei de amortizare (timpului de recuperare) Vom nota cu t – numărul de ani pentru care are loc egalitatea ( sA

sA Pt= )

( ) m,1=siBIsAt

k

ksks ,1

1+⋅= ∑

=

− . Numărul t este durata de amortizare a proiectului de investiţii . sA sP

Se spune că proiectul de investiţii este cel mai bun, dacă are loc: ∗sP ( ) ( ){ }sAmssA PtP

≤≤=∗

1mint .

Exemplul 2. Se consideră proiectul de investiţii (cu un cost de 750000 u.m., durata de funcţionare de 4 ani şi cu beneficiile anuale brute estimate de câte 375000 u.m.) şi proiectul (cu un cost de 500000 u.m., durata de funcţionare de 5 ani şi cu beneficiile anuale brute de câte 250000 u.m.). Ambele nu au valoare reziduală.

1P

2P

Să se determine proiectul cel mai bun, dacă procentul anual de actualizare . %10=pRezolvare. Calculând beneficiul total net actualizat, obţinem:

( ) 4386537500001,11

1,11

1,11

1,11 375000PB 4321 =−

+++= u.m.;

( ) −

++++= 54322 1,1

11,11

1,11

1,11

1,11250000PB

447435500000 =− u.m. Deoarece ( ) ( )12 PBPB > , rezultă că prin prisma beneficiului total net actualizat

(proiectul este mai preferat decât proiectul ). 12 PP f

2P 1PMai departe calculăm coeficientul de rentabilitate globală. Avem:

( ) 585,116974,321

1,11

1,11

1,11

1,11

750000375000

4321 =⋅=

+++⋅=PC ;

( ) 895,178974,321

1,11

1,11

1,11

1,11

1,11

500000250000

54322 =⋅=

++++⋅=PC .

Deoarece ( ) ( )12 PCP >C , rezultă că (proiectul este mai preferat decât proiectul ). 12 PP f 2P 1PAplicând metoda timpului de recuperare, obţinem: ( ) ( ) 25,221 == PtPt AA ani şi ca urmare,

(proiectele de investiţii şi sunt egal preferabile). 21 ~ PP 1P 2P 7.2. Alegerea optimă a unor investiţii cu un fond de investiţii limitat Se consideră m proiecte de investiţii ale căror costuri sunt sP msIs ,1, = şi cu volumul total I

disponibil pentru investiţii. Vom presupune că : a) fondul de investiţii este limitat, adică numai o parte din proiecte pot fi

realizate; b) investiţiile sunt indivizibile (nu pot fi realizate parţial); c) proiectele sunt compatibile (investiţiile pot fi realizate simultan); d) proiectele sunt independente între ele (investiţiile nu se condiţionează

reciproc). Fie C – coeficientul de rentabilitate globală a proiectului de investiţii . Atunci beneficiul

total net actualizat va fi: ( )sP sP

( ) ( )[ 1]−⋅= sss PCIPB . Coeficientul de rentabilitate C se estimează în baza unor date statistice.

(P )s

Se spune că proiectul de investiţii este preferat proiectul şi se scrie dacă 1sP

2sP21 ss PP f

( ) ( )21 ss PBPB > , şi ca urmare, putem stabili numărul şi ordinea a din cele m proiecte examinate

astfel că: 1m

( ) ( ) ∑=

+ ≤−=≥≥1

11 ;1,1;0

m

llll IImlPBPB .

69

Page 71: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Exemplul 3. O întreprindere, care posedă un buget anual de investiţii de 396000 u.m., caută să facă un plasament cât mai rentabil. În acest scop, trebuie să se aleagă unele dintre următoarele şapte proiecte de investiţii ale căror costuri şi, respectiv, coeficienţi de rentabilitate sI ( )sPC se estimează a fi: (80000; 1,15), (60000; 1,12), (90000; 1,2), (75000; 1,1), (46000; 1,11), (65000; 1,18), (85000; 1,16).

Rezolvare. Calculând pentru fiecare proiect de investiţii beneficiul total actualizat, obţinem: ( ) ( ) 12000115,1800001 =−⋅=PB u.m.; ( ) ( ) 7200112,1600002 =−⋅=PB u.m.; ( ) ( ) 1800012,1900003 =−⋅=PB u.m.; ( ) ( ) 750011,1750004 =−⋅=PB u.m.; ( ) ( ) 5060111,1460005 =−⋅=PB u.m.; ( ) ( ) 11700118,1650006 =−⋅=PB u.m.; ( ) ( ) 13600116,1850007 =−⋅=PB u.m.

Ca urmare, putem stabili următoarea prioritate a proiectelor de investiţii: . 5246173 PPPPPPP ffffff

Deoarece 39600039500046173 <=++++ IIIII

6431 ,,, PPPP 7P, rezultă că cele mai preferate proiecte de

investiţii sunt proiectele şi , care acoperă fondul total de investiţii şi aduc un beneficiu total net actualizat de 62800 u.m.

7.3. Rentabilitatea unei investiţii. Procentul rentabilităţii. Rentabilitatea absolută şi

rentabilitatea relativă Fie că avem o investiţie al cărei cost este I şi al cărei beneficii anuale brute estimate sunt

nkBk ,1, = , având după n ani de funcţionare şi o valoare reziduală V . n

Se numeşte procent de rentabilitate (randament intern) al investiţiei considerate procentul

pentru care are loc egalitatea: , dacă investiţia se face o

singură dată sau

r⋅100 ( ) ( )∑=

−− +⋅++⋅=n

k

nn

kk rVrBI

111

( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑=

=

−−+− +⋅

+⋅++⋅=+⋅

m

k

mn

k

nn

kk

kk rrVrBrS

1 1

1 1111 , dacă investiţia se face în rate anuale

timp de m ani, iar amortizarea va avea loc timp de n ani, începând cu sfârşitul anului m de investiţii. Exemplul 4. La o întreprindere este posibilitatea să se investească suma de 120000 u.m.

(investiţia se va face o singură dată) pentru un utilaj a cărui amortizare va avea loc timp de 10 ani (fără a avea valoare reziduală).

Să se determine procentul de rentabilitate absolută, dacă beneficiile anuale brute calculate, la finele fiecărui an (posticipat), se estimează a fi de 20000 u.m.

Rezolvare. Procentul de rentabilitate absolută se determină în baza relaţiei:

( )∑=

−+⋅=10

1120000120000

k

kr .

Dacă vom nota , atunci obţinem: ( ) zr =+ −11;6 1032 zzzz ++++= L ( ) ;16 92 zzzz ++++= L

;1

1610

zzz−−

⋅= ;66 11zzz −=− 06711 =+− zz . Aşadar, pentru a afla procentul de

rentabilitate absolută trebuie să rezolvăm ecuaţia: . Drept soluţie putem lua 06711 =+− zz

70

Page 72: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

( 1;091,0 ∈=z ) . Dar atunci ( ) ;91,01 1 =+ −r ;91,01

1=

+ r ;

91,011 =+ r

;0989,11 =+ r r ;0989,0= %9,9100 =⋅= rp

rVB nk ,,,

.

r⋅100

n

( ) ( )∑=

− +n

k

kr1

11∑=

+⋅=n

kkB

1

−krB

( ) ( ) ( )∑=

+−− +m

i

km r1

1− ⋅++ nk Vr 1

( ) 797601,011,09600010

1

44

1=++⋅= ∑∑

=

−−

= k

k

kB 11,01 1+ +−k

Rentabilitatea introdusă prin relaţiile de mai sus se numeşte rentabilitate absolută, iar procentul este numit procent de rentabilitate absolută. Conceptul de rentabilitate absolută se aplică

atunci când este necesar de a verifica optimalitatea unui anumit program de producţie şi de desfacere. Programul de producţie şi de desfacere este rentabil, dacă beneficiul total brut actualizat depăşeşte investiţia.

Dacă se cunosc mărimile şi m, atunci beneficiul anual brut mediu se calculează

din formula: . Dacă investiţia se va face în rate (eşalonat), timp de

m ani, atunci costul mediu al investiţiei este:

( )∑=

⋅=

n

kkBS 1

11 .− +⋅

n rr 1+

Exemplul 5. La o întreprindere există posibilitatea că, timp de 4 ani, să se investească, la început de fiecare an (anticipat), suma de 96000 u.m., pentru un anumit utilaj a cărui amortizare va avea loc timp de 10 ani de la ultima investiţie (fără a avea valoare reziduală).

Să se determine: a) beneficiul mediu anual astfel ca procentul de rentabilitate să fie de 10%; b) investiţia medie anuală, care să conducă astfel la un beneficiu mediu anual de 72000 u.m., cu un procent de rentabilitate de 10%.

Rezolvare. Vom avea : a) beneficiul mediu anual

( ) ( ) u.m.

b) investiţia medie anuală va fi:

( ) ( ) ( ) 5,866471,011,011,01720004

1

110

1

4 =++⋅+⋅= ∑∑=

+−

=

−−

k

k

k

kS u.m.

Paralel cu conceptul de rentabilitate absolută, apare şi conceptul de rentabilitate relativă care se aplică atunci când este necesar să se compare două sau mai multe variante de realizare a unei investiţii apreciată, deja, ca rentabilă. Cu alte cuvinte, conceptul de rentabilitate relativă permite alegerea mijloacelor pentru punerea în aplicaţii a proiectului ales.

Fie că avem două investiţii posibile (sau două variante ale proiectului ales) de costuri şi şi cu cheltuielile respective de funcţionare (sau de exploatare)

1I 2I( )kF1 şi ( )kF2

I în anul k. Trecând de

la o variantă de investiţie la alta, vom avea costul suplimentar de realizare şi economia de cost de exploatare anuală

12 I−

( ) ( ) nkkFkF ,1,21 =− . Se numeşte procent de rentabilitate relativă, procentul ρ⋅100 pentru care are loc egalitatea:

( ) ( )[ ] ( )∑=

−+⋅−=−n

k

kkFkFII1

2112 1 ρ . Relaţia de mai sus, poate fi scrisă şi sub forma:

( ) ( ) ( ) ( )∑∑=

=

− +⋅+=+⋅+n

k

kn

k

k kFIkFI1

111

22 11 ρρ , ceea ce ne indică că procentul de rentabilitate

relativă ρ⋅100 este procentul pentru care cheltuielile totale actualizate (costul de realizare plus cheltuielile de exploatare) ale celor două variante de investiţii sunt egale.

Exemplul 6. Un proiect de investiţie considerat rentabil, în raport cu alte proiecte, poate fi realizat în două variante. Prima variantă de investiţie are costul I1 = 60000 u.m., iar cheltuielile de funcţionare anuală estimate vor fi ( ) 150001 =kF u.m., timp de 10 ani, cât acesta va funcţiona. A doua variantă de investiţie are costul I2 =110000 u.m., dar cheltuielile de funcţionare anuală estimate vor fi u.m., ( ) 50002 =kF 10,1=k . Să se afle procentul de rentabilitate relativă.

71

Page 73: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Rezolvare. Procentul de rentabilitate relativă ρ⋅100 se determină rezolvând ecuaţia:

( ) (∑=

−+⋅−=−10

1150001500060000110000

k

kρ)

)

.

Dacă vom nota , atunci obţinem ecuaţia: , cu soluţie admisibilă

. Dar, atunci, avem:

( ) z=+ −11 ρ 05611 =+− zz

( 1;087,0 ∈=z ( ) 87,01 1 =+ −ρ ; ;87,01

1=

+ρ 15,1

87,011 ==+ ρ ;

%15100 =15,0100 ⋅=⋅;15,0 == ρρ p . 7.4. Rentabilitatea şi creşterea anuală Fie că avem o investiţie de cost I, beneficiile anuale brute estimate nkBk ,1, = şi fără valoare

reziduală . Dacă suma I va fi plasată, în regim de dobândă compusă, cu procentul anual de

dobândă , atunci valoarea sa finală, după n ani, va fi:

( 0=nV

r⋅100

)( ) ( nrIr +⋅= 1 )nI , . La fel, dacă

beneficiile anuale brute vor fi replasate imediat ce s-au încasat, cu acelaşi procent anual, atunci

valoarea finală a acestora va fi: ( ) ( )∑=

−+⋅=n

k

knk rBrnB

11, .

Deoarece pentru valoarea reziduală 0=nV

( )r1 n+

, costul investiţiei , obţinem:

.

( )∑=

−+⋅=n

k

kk rBI

11

( )r,nB=( ) ( ) =+⋅= nr1Ir,nI ( ) ( )r1Br1Bn

1k

knk

n

1k

kk +⋅=⋅+⋅= ∑∑

=

=

Din cele spuse mai sus, rezultă că vom avea o creştere anuală a valorii investiţiei, cu procentul anual , dacă beneficiile anuale brute (încasările de pe urma funcţionării investiţiei minus cheltuielile de funcţionare) sunt replasate imediat, cu acelaşi procent anual.

r⋅100

Dacă, însă, replasarea se va face cu un alt procent anual r~100 ⋅ , atunci: 1) pentru rr >~ , rezultă ( ) ( )rnIrnB ,~, > şi prin urmare, avem o creştere a valorii investiţiei;

~ ~2) pentru rr < , rezultă ( ) ( )rnIrnB ,, < şi, deci, nu avem o creştere a valorii investiţiei. Aşadar, dacă fondul de investiţii este împrumutat, cu procentul anual de dobândă ip ⋅= 100 ,

conducând la o datorie finală , atunci: ( nt iIS +⋅= 1 )

a) dacă ir > , atunci proiectul de investiţie se acoperă (este rentabil); b) dacă ir < , atunci proiectul de investiţie se respinge (nu este rentabil). Exemplul 7. La o întreprindere trebuie aleasă una din cele două variante de investiţie. Prima

variantă de investiţie are costul de 80000 u.m., durata de funcţionare 10 ani şi aduce un beneficiu anual brut estimat în valoare de 16000 u.m. A doua variantă de investiţie costă 120000 u.m., durata de funcţionare, de asemenea, 10 ani şi aduce un beneficiu anual brut de 20000 u.m. Ambele variante de investiţii nu au valori reziduale. Pentru finanţare întreprinderea trebuie să se împrumute sumele, corespunzătoare, cu un procent anual de dobândă de 12%. Care variantă de investiţie ar trebui aleasă?

Rezolvare. Vom calcula procentul de rentabilitate unitar r pentru fiecare variantă de investiţie.

Pentru prima variantă de investiţie avem: 80000 sau ( )∑=

−+⋅=10

1116000

k

kr

( )zzz

−−⋅

=115

10

, unde ( ) 11 −+= rz

)

. Aşadar, am obţinut ecuaţia: . Drept soluţie putem

lua şi, deci,

05611 =+− zz

( 1;087,0 ∈=z 15,011=−=

zr . Deoarece ir =>= 12,015,0 , rezultă că prima

variantă de investiţie se acceptă, iar varianta a doua nu se acceptă, pentru că vom avea i=< 12,010,0 .r =

72

Page 74: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

7.5. Determinarea momentului optim de înlocuire a unui echipament În activitatea economică a întreprinderilor, utilajele (echipamentele) suferă, în timpul utilizării

lor, un proces de uzură, numită uzura fizică. Uzura fizică este determinată de utilizarea diferitelor elemente ale capitalului fix. Uzura fizica, sub aspect tehnic, nu poate fi un criteriu suficient pentru determinarea duratei de funcţionare a activelor materiale imobilizate şi a momentului scoaterii lor definitive din funcţiune.

Pentru aceasta este necesar de avut în vedere şi factorul economic, deoarece menţinerea în funcţiune a unui echipament, o perioadă de timp prea îndelungată, în raport cu caracteristicile sale, presupune, totdeauna, cheltuieli suplimentare pentru întreţinere şi reparaţii care, la un moment dat, îl poate face nerentabil.

Alături de uzura fizică, activele imobilizate sunt supuse, de regulă, unui proces de uzură morală, care influenţează atât asupra valorii, cât şi asupra duratei de funcţionare a echipamentelor respective. Uzura morală este cauzată de progresul tehnic, respectiv, de apariţia unor maşini, utilaje, instalaţii mai bune, care au caracteristici tehnice, economice, funcţionale mai superioare celor existente. Uzura morală a echipamentelor poate determina o decizie de modernizare, dacă investiţiile modernizării se dovedesc a fi efective.

Atât uzura morală, cât şi cea fizică se reflectă în deprecierea capitalului fix. Expresia bănească a uzurii mai poartă denumirea de amortizare. Aceasta se include în costul de producţie şi se recuperează prin vânzarea bunurilor. Mărimea deprecierii (amortizării) capitalului fix se determina în baza mai multor metode: metoda cotelor anuale proporţionale, metoda cotelor regresive şi metoda costului de înlocuire.

Fondul de amortizare trebuie să exprime valoarea transferată, ca urmare a uzurii fizice, iar pierderile, generate de uzura morală, trebuie reduse la maximum. Costurile care trebuie luate în considerare la întocmirea modelelor de uzură şi înlocuire a echipamentelor sunt: valoarea de achiziţionare a echipamentului, valoarea de recuperare, precum şi cheltuielile de întreţinere şi exploatare.

Deoarece diversele costuri sunt evaluate la diferite momente de timp, este necesară actualizarea valorilor, în funcţie de procentul de dobândă.

Vom nota: V0 – valoarea echipamentului la începutul activităţii sale, valoare care scade anual din diferite

motive; Vt – valoarea de recuperare a echipamentului la sfârşitul anului t de funcţionare, valoare ce

reflectă uzura fizică şi morală a echipamentului; DVt – devalorizarea echipamentului în anul t de funcţionare; Ct – cheltuielile de exploatare şi întreţinere a echipamentului în cursul anului t; Fk – cheltuielile totale implicate de utilizarea echipamentului de la început şi până la sfârşitul

anului k. Se consideră că durata de viaţă a echipamentului este de n ani. Conform celor spuse, putem

scrie: .1,0,11 −=−= ++ ntVVDV ttt

Actualizând costul total cumulat al utilizării echipamentului cu un procent anual p = 100 i⋅ , obţinem:

( )( )∑

= +⋅+=

k

ttttk i

CDVF1 1

1 .

Dar, atunci, costul mediu anual de utilizare a echipamentului, în primii k ani ( , va fi: )nk ≤

( )( )∑

= +⋅+⋅=⋅=

k

ttttkk i

CDVk

Fk

f1 1

111 .

Luând drept criterii de optimizare cheltuielile medii minime, momentul optim de înlocuire a echipamentului va fi cel mai mic număr natural , pentru care are loc: ∗k

∗∗ >− kk

ff1

şi . 1+∗∗ < kk

ff

73

Page 75: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Aplicaţie. Cercetările efectuate de specialiştii Centrului Business ne arată ca majoritatea întreprinderilor din Republica Moldova procurau peste hotare etichete, birce şi diferite cataloage necesare pentru mărfurile produse. Din cauza transportării lor la distanţe mari plus taxa vamală costul lor se mărea cu circa 25%.

Cele mai potrivite utilaje de acest tip sunt produse de compania engleză EDALE. Costul utilajului este de circa 250 mii dolari. Durata de viaţă a echipamentului este de 12 ani.

În baza datelor prezentate în tabelul 1 referitor la devalorizarea DV şi cheltuielile C , de t tfuncţionare din anul t, să se determine momentul optim de înlocuire a echipamentului, luând în consideraţie valorile actualizate, cu un procent anual de 8%.

Tabelul 1 t 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 12

t 38500 30500 28500 26500 23500 21000 18500 16500

Situaţia care s-a creat a deschis perspective noi pentru multe tipografii din republică, orientându-se spre producţia poligrafică multicoloră. Pentru a trece la un astfel de produs era necesar de procurat utilaje noi.

4

DV 14500 12000 11000 9000

Ct 25000 30000 33000 35500 39000 43000 47000 50000 54000 66000 94000 105000

Calculele necesare pentru determinarea momentului optim de înlocuire a echipamentului sunt

prezentate în tabelul 2.

Tabelul 2

t tC tDV tV tCtDV + ( )ti1

1

+

( )ti1

tCtDV

+

+ kF kf

1 25000 38500 211500 63500 0,92593 58796,6 58796,6 58796,6 2 30000 30500 181000 60500 0,85735 51869,7 110666,3 55333,2 3 33000 28500 152500 61500 0,79384 48821,2 159487,5 53162,5 4 35500 26500 126000 62000 0,73504 45572,5 205060,0 51265,0 5 39000 23500 102500 62500 0,68060 42537,5 247597,5 49519,5 6 43000 21000 81500 64000 0,63019 40332,2 287929,7 47988,3 7 47000 18500 63000 65500 0,58351 38219,9 326149,6 46592,8 8 50000 16500 46500 66500 0,54029 35929,3 362078,9 45259,9 9 54000 14500 32000 68500 0,50027 34268,5 396347,4 44038,6 10 66000 12000 20000 78000 0,46322 36131,2 432478,6 43247,9 11 94000 11000 9000 105000 0,42890 45034,5 477513,1 43410,3 12 105000 9000 0 114000 0,39714 45274,0 522787,1 43565,6

Din tabel se vede că 9 şi, deci, momentul optim de înlocuire a echipamentului

este .

,43247min =kkf

10=∗k

Problemele investiţionale deterministe (probleme rezolvate şi propuse)

1. Se analizează trei proiecte de investiţii într-un anumit sector economic despre care avem informaţiile:

Beneficii anuale brute (mii u.m.)

I. Proiect Cost total anticipat

(mii u.m.)

Durata de

exploatare (ani)

1 2 3 4 5

Valoarea reziduală (mii u.m.)

1P

2P

3P

300 200 500

4 5 5

150 100 400

150 100 200

150 100 120

150 100

80

- 100

40

20 10

0

Să se determine proiectul de investiţie cel mai bun, ţinând cont de beneficiul total net

actualizat, dacă procentul anual de actualizare %12=p . Rezolvare. Beneficiul total net actualizat pentru fiecare proiect este:

74

Page 76: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

( ) u.m.), (mii 3,16812,120

12,1150

12,1150

12,1150

12,1150300PB 44321 =+++++−=

( )

u.m.), (mii 14,16612,110

12,1100

12,1100

12,1100

12,1100

12,1100200PB

5

54322

=+

++++++−=

( )

u.m.), (mii 53, 17512,140

12,180

12,1120

12,1200

12,1400500PB 54323 =+++++−=

Deoarece ( ) ( ) ( 213 PBPBPB >> ), avem ordinea de preferinţă a proiectelor de investiţie: . Proiectul cel mai bun este . 213 PPP ff 3P

2. În baza datelor (din problema 1) să se determine proiectul de investiţie cel mai bun, aplicând criteriul de rentabilitate imediată.

Rezolvare. Avem: ( ) ( ) ;5,0300150

1

1111 ===

IPBPC

( ) ( ) ;5,0200100

2

2121 ===

IPBPC ( ) ( ) 8,0

500400

3

3131 ===

IPBPC . Deoarece ( ) ( ) ( )211131 PCPCPC => ,

avem ordinea de preferinţă: . Proiectul cel mai bun este . 21 ~ PPf3P 3P3. La o întreprindere există posibilitatea ca, timp de 4 ani, să se investească, la început de

fiecare an (anticipat), suma de 90000 u.m., pentru un anumit utilaj a cărui amortizare este prevăzută în 10 ani de la ultima investiţie (fără a avea valoare reziduală).

Să se determine procentul de rentabilitate absolută al investiţiei, dacă beneficiile anuale brute, calculate la finele fiecărui an (posticipat), se estimează a fi de 18000 u.m.

Răspuns: . %15=p4. Un proiect de investiţie poate fi realizat în două variante. Prima variantă de investiţie are costul

u.m., iar cheltuielile de funcţionare anuală estimate vor fi 750001 =I ( ) 275001 =kF180000

u.m., timp de 5 ani, cât acesta va funcţiona. A doua variantă de investiţie are costul 2 =I u.m., dar cheltuielile de funcţionare anuală estimate vor fi ( ) 100002 =kF u.m. Să se afle procentul de rentabilitate relativă.

Răspuns: . %10=p5. La o întreprindere există posibilitatea, ca timp de 4 ani, să se investească, la început de

fiecare an, suma de 120000 u.m., pentru un anumit utilaj a cărui amortizare va avea loc timp de 10 ani de la ultima investire (fără a avea valoare reziduală).

Să se determine: a) beneficiul mediul anual astfel ca procentul de rentabilitate să fie de 10%; b) investiţia medie anuală, care să conducă la un beneficiu mediu anual de 80000 u.m., cu un procent de rentabilitate de 10%.

Răspuns: a) 99700=B u.m.; b) 96275=S u.m. 6. Un echipament poate fi procurat cu 700000 u.m. Valoarea V de recuperare a echipamentului

după t ani de funcţionare şi cheltuielile de exploatare şi întreţinere în anul respectiv t sunt date în următorul tabel:

t

tC

t (ani) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Vt (mii u.m.) 540 470 390 310 250 200 140 80 20 0 Ct (mii u.m.) 50 55 60 70 80 100 120 140 170 200

Să se determine momentul optim de înlocuire a echipamentului, luând în consideraţie valorile

actualizate, cu un procent anual de 5%. Răspuns: 8 ani. =∗k

75

Page 77: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

CAPITOLUL VIII. Modelele liniare de repartizare şi de transfer a fondurilor

8.1. Modelele liniare de repartizare a fondurilor Fie S o sumă de bani care trebuie să fie repartizată într-un anumit domeniu, în mod eşalonat,

sau în mai multe domenii, la un moment dat. Dacă vom nota cu suma care revine domeniului k,

la un moment dat şi cu beneficiul unitar realizat prin plasarea sumei , kx

kc kx nk ,1= , atunci beneficiul total va fi:

( ) ∑=

=+++=n

kkknn xcxcxcxcxZ

12211 L .

Dacă repartizarea fondurilor se face, la un moment dat, între n domenii (sectoare economice), atunci avem de rezolvat următoarea problemă de programare liniară:

=≥

=∑=

nkx

Sx

k

n

kk

,1,0

,1

( ) .max1

→= ∑=

n

kkk xcxZ

Dacă plasarea sumelor se face, la momente diferite de timp, atunci restricţiile problemei se modifică prin considerarea sumelor actualizate şi, deci, avem de rezolvat o problemă de programare liniară:

kx

=≥

=∑=

nkx

Sxv

k

n

kk

k

,1,0

,1

1

( ) ,max1

1 →= ∑=

−n

kk

kk xvcxZ

unde v este factorul de actualizare. ( ) 11 −+= iModelul expus mai sus poate conţine şi alte restricţii, care reflectă cerinţele suplimentare ce se

referă la situaţiile practice concrete. De obicei, se consideră restricţiile de tipul: ,kkk bxa ≤≤ nk ,1= . Problema poate fi rezolvată prin metoda simplex.

Exemplul 1. O bancă dispune, la un moment dat, de suma 320000 u.m. pe care trebuie să o repartizeze la trei debitori. Beneficiile, care revin băncii la fiecare mie de u.m., sunt de 230, 300 şi 280 u.m., respectiv, la cei trei debitori. Să se determine o repartiţie optimă a fondului, aşa încât beneficiul total să fie maxim, ştiind că sumele repartizate trebuie să satisfacă condiţiile:

,kkk bxa ≤≤ 3,1=k , unde u.m., 600001 =a 1300001 =b u.m.; 400002 =a u.m., 1600002 =b u.m.; u.m., b u.m. 8003 =a 00 2000003 =

Rezolvare. Modelul matematic al problemei este:

≤≤≤≤≤≤=++

200000800001600004000013000060000320000

3

2

1

321

xxxxxx

( ) .max28,03,023,0 321 →++= xxxxZ Dacă vom nota: ;6000011 −= xξ ;4000022 −= xξ ,8000033 −= xξ atunci obţinem modelul

matematic sub forma:

76

Page 78: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

≥≥≥≤≤≤

=++

0;0;012000012000070000

140000

321

3

2

1

321

ξξξξξξ

ξξξ

( ) .max4820028,03,023,0 321 →+++= ξξξξZ Rezolvând această problemă de programare liniară prin metoda simplex, obţinem:

şi ;01 =∗ξ ;1200002 =∗ξ 200003 =∗ξ 898004820041600max =+=Z . Dar, atunci, avem: u.m., u.m., u.m. şi 600001 =∗x 1600002 =

∗x 1000003 =∗x 89800max =Z

u.m. Exemplul 2. O bancă poate da, cu împrumut, unui agent economic, în mod eşalonat, la

începutul fiecărui din cei trei ani, o sumă în valoare actuală de 285240 u.m. Beneficiile care revin băncii, la fiecare mie de unităţi monetare, sunt de 250, 280 şi 300 u.m., respectiv, pentru fiecare din cei trei ani.

Să se determine o repartiţie optimă a împrumutului, pe cei trei ani, aşa încât beneficiul total actualizat să fie maxim, ştiind că sumele repartizate anual trebuie să satisfacă condiţiile:

,kkk bxa ≤≤ 3,1=k , u.m., 450001 =a 975001 =b u.m.; 300002 =a u.m., u.m.; u.m., u.m. Procentul anual de actualizare este de 10%.

1200002 =b600003 =a 1500003 =b

Rezolvare. Modelul matematic al problemei este:

≤≤≤≤≤≤

=++

15000060000120000300009750045000

2852401,11

1,11

3

2

1

3221

xxx

xxx

( ) .max1,113,0

1,1128,025,0 3221 →⋅+⋅+= xxxxZ

Dacă vom nota: ;30000x;45000x 2211 −=ξ−=ξ ,60000x33 −=ξ atunci obţinem:

≥≥≥≤≤≤

=++

0;0;0900009000052500

16314083,091,0

321

3

2

1

321

ξξξξξξ

ξξξ

( ) .max33780248,0255,025,0 321 →+++= ξξξξZ Rezolvând această problemă, obţinem:

90000;90000;6540 321 === ∗∗∗ ξξξ şi 80685max =z . Prin urmare, avem: u.m.; u.m.; u.m. şi 515401 =∗x 1200002 =

∗x 1500003 =∗x 80685max =z

u.m. 8.2. Modelele liniare de transfer a fondurilor Fie că m creditori dispun la un moment dat de anumite sume de bani

pe care le pot împrumuta (transfera) la n debitori , care au nevoie de sumele .

mCCC ,,, 21 L

maaa ,,, 21 L

bb , 21

nDDD ,,, 21 L

nb,,L

77

Page 79: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Cunoscând beneficiile unitare njmic ji ,1,,1, == pe care băncile le obţin în urma creditării, se pune problema realizării unui transfer optim, care ar asigura un beneficiu total maxim.

Dacă vom nota cu njmix ji ,1,,1, == cantitatea (suma) de bani pe care creditorul C o dă debitorului , atunci modelul problemei formulate mai sus este:

i

jD

==≥

==

=≤

=

=

njmix

njbx

miax

ji

m

ijji

n

jiji

,1;,1,0

,1,

,1,

1

1

∑∑= =

→=m

i

n

jjiji xcZ

1 1.max

Pentru ca problema să aibă soluţie trebuie ca . Dacă , atunci cel puţin

un debitor nu va fi satisfăcut de creditul necesar. Rezolvarea problemei, în acest caz, se poate face

prin introducerea unui creditor fictiv, care „dispune” de suma de bani egală cu .

∑ ∑= =

≥m

i

n

jji ba

1 1∑ ∑= =

<m

i

n

jji ba

1 1

∑=

n

jjb

1∑=

−m

iia

1

Dacă, însă, , atunci problema are soluţie şi la cel puţin un creditor va rămâne o

sumă de bani nesolicitată. Pentru a rezolva problema, în acest caz, se poate considera un debitor

fictiv, care „are nevoie” de o sumă de bani egală cu .

∑ ∑= =

>m

i

n

jji ba

1 1

∑ ∑= =

−m

i

n

jji ba

1 1

Exemplul 3. Să presupunem că trei bănci dispun de anumite sume de bani pe care le pot împrumuta, la un moment dat, la patru debitori în anumite condiţii. Disponibilul fiecărei bănci, necesarul fiecărui debitor, precum şi beneficiile unitare pe care băncile le au de pe urma creditării sunt date în tabelul 1.

Tabelul 1 0,3 0,5 0,6 0,5 Debitorii

Creditorii D1 D2 D3 D4

Disponibilul (mii u.m.)

C1 0,3 0,5 0,2 0,2 0 220 – 80 + 300

C2 0,2 0,3 0,4 0,3 – 0,2 80 – 230 40 + 350

C3 0,4 0,2 0,3 0,4 – 0,1 + 250 – 250

Necesarul

(mii u.m.) 220 160 230 290

900 900

Să se determine un transfer optim care ar asigura un beneficiu total maxim. Rezolvare. Determinăm o soluţie de bază admisibilă prin metoda „nord-vest”. Beneficiul total

pentru această soluţie este egal cu:

.3340002500004.040003.02300004.0800003.0800005.02200003.0Z0

=⋅+⋅++⋅+⋅+⋅+⋅=

Pentru a rezolva problema de transfer optim vom utiliza metoda potenţialelor, care în cazul dat, ne spune că soluţia de bază admisibilă va fi optimală, dacă există numerele miui ,1, = şi

njv j ,1, = încât: a) u pentru ; jiji cv =+ 0>jix

78

Page 80: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

b) pentru . jiji cvu ≥+ 0=jixPentru a afla numerele (potenţialele) u şi vom scrie sistemul de ecuaţii: i jv

=+=+=+=+=+=+

4,03,04,03,05,03,0

43

42

32

22

21

11

vuvuvuvuvuvu

O soluţie particulară a acestui sistem de ecuaţii este:

5,0v 6,0v1,0u5,0v2,0u3,0v 0u

433

22

11

==−==−===

Soluţia de bază admisibilă iniţială nu este optimală, deoarece 4,02,03,01,013 <=+−=+ vu . Pentru celula (3;1) construim ciclul de recalculare.

Aflăm { 80220;80;250min == }θ . Efectuând calculele necesare, obţinem o nouă soluţie de bază admisibilă (vezi tabelul 2).

Tabelul 2 0,3 0,5 0,6 0,5 Debitorii

Creditorii D1 D2 D3 D4

Disponibilul (mii u.m.)

C1 0,3 0,5 0,2 0,2 0 140 160 300

C2 0,2 0,3 0,4 0,3 0 230 120 350

C3 0,4 0,2 0,3 0,4 0.1 80 170 250

Necesarul (mii u.m.)

220 160 230 290 900

900

Soluţia obţinută este optimală, deoarece am găsit aşa numere (potenţiale) şi , încât se îndeplinesc toate condiţiile de tipul a) şi b).

iu jv

Aşadar, am determinat soluţia optimă de transfer al fondurilor băneşti: u.m.; u.m.; u.m.; u.m.; u.m.; u.m.

14000011 =∗x

00016000012 =∗x 23000023 =

∗x 12000024 =∗x 8000031 =

∗x 17034 =∗x

Beneficiul maximal total este 350000max =Z u.m. La un model matematic asemănător se ajunge şi în cazul următoarelor tipuri de probleme de

transfer a fondurilor: 1) O bancă dispune de o sumă de bani pe care o poate plasa eşalonat, în timp de m ani, la n

debitori; 2) Un număr de m bănci urmează să crediteze eşalonat în n ani o investiţie. 3) În cadrul unei convenţii interbancare m bănci pot coopera cu alte n bănci

pentru transfer reciproc de fonduri, în caz de necesitate. mCCC ,,, 21 L

nDDD ,,, 21 L

Pentru toate modelele de probleme expuse mai sus, se presupune existenţa unei cooperări între partenerii din aceeaşi clasă încât să aibă sens noţiunea de optim global.

79

Page 81: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Modelele de transfer a fondurilor. Problemele propuse 1. O bancă dispune de o anumită sumă de bani pe care o poate plasa eşalonat, timp de trei ani,

către patru debitori. Necesarul anual şi pe debitori, precum şi beneficiile unitare anuale care îi revin băncii sunt prezentate în tabelul 3.

Tabelul 3 Debitorii Anii D1 D2 D3 D4

Disponibilul (mii u.m.)

1 0,35 0,45 0,25 0,2 280

2 0,25 0,35 0,4 0,3 340

3 0,4 0,25 0,3 0,4 240

Necesarul pe debitor (mii u.m.)

210 150 220 290 860

860

Se cere să se realizeze o plasare eşalonată optimă, adică necesarul pe ani să fie asigurat,

necesarul pentru debitori, la fel, să fie asigurat, iar beneficiul total realizat să fie maxim. 2. Trei bănci analizează posibilitatea de creditare a unei investiţii eşalonat, timp de patru ani.

Disponibilul fiecărei bănci, necesarul anual, precum şi beneficiile unitare anuale, care revin băncilor sunt prezentate în tabelul 4.

Tabelul 4 Anii Creditorii D1 D2 D3 D4

Disponibilul (mii u.m.)

C1 0,4 0,3 0,2 0,3 260

C2 0,3 0,4 0,5 0,4 330

C3 0,4 0,2 0,3 0,5 230

Necesarul

anual (mii u.m.)

200 140 210 270

820 820

Se cere să se realizeze o plasare eşalonată optimă, adică necesarul pe ani să fie asigurat, disponibilul creditorilor să fie realizat, iar beneficiul total să fie maxim.

3. În cadrul unei convenţii interbancare trei bănci C şi pot coopera cu alte patru bănci şi pentru transfer reciproc de fonduri în cazuri de necesitate. Fondurile de siguranţă

cu care băncile pot lua parte la acest transfer atât în calitate de creditori, cât şi în calitate de debitori grupaţi, precum şi cheltuielile unitare (la o mie de u.m.) ocazionate de o astfel de operaţiune financiară sunt prezentate în tabelul 5.

21 , C 3C

321 ,, DDD 4D

Tabelul 5 Bănci Bănci D1 D2 D3 D4

Fond (mii u.m.)

C1 8 6 5 7 330

C2 6 7 4 6 390

C3 5 4 3 5 280

Fond (mii u.m.)

250 170 260 320 1000

1000

Să se determine un transfer optim care asigură cheltuielile de transfer minime.

80

Page 82: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

CAPITOLUL IX. Dimensionarea optimă a fondului bănesc disponibil

Fondul bănesc al fiecărei unităţi economice se compune din bani lichizi pe care aceasta îi

deţine, precum şi din depozitele sale bancare la cerere. Depozitele bancare constituie, în general, partea majoră a fondului bănesc. Dacă la un moment dat unitatea economică dispune de un surplus de fond bănesc, atunci ea poate să plaseze anumite sume pe termen scurt pentru a nu „bloca” banii săi. Astfel de plasamente sunt cunoscute sub denumirea de titluri negociabile.

Soldul fondului bănesc poate varia considerabil de la o unitate economică la alta, în funcţie de condiţiile specifice în care îşi desfăşoară activitatea, precum şi de gradul de aversiune pentru risc al gestionărilor unor astfel de fonduri. Există mai multe motive pentru deţinerea unui fond bănesc lichid sau depozitat în bancă, printre care: plăţi de facturi, dividende, salarii, impozite etc.

Existenţa fondului bănesc disponibil lichid pune, în mod firesc, şi problema determinării dimensiunii optime a acestuia. Unitatea economică transferă, în mod regulat, o anumită sumă de bani în contul său la bancă pentru a face faţă angajamentelor sale financiare în cursul unei perioade date. Cantitatea de bani provine din vânzări de plasamente sau din împrumuturi. Banii ţinuţi în casă nu aduc dobândă, ceea ce implică renunţarea la un câştig şi ca rezultat, apar nişte pierderi.

Vânzarea şi cumpărarea de plasamente antrenează cheltuielile directe de tranzacţie, precum şi cheltuielile de gestiune datorate timpului pe care funcţionarii unităţii economice îl alocă pentru efectuarea acestor plasamente. Aceste cheltuieli se consideră fixe.

9.1. Modelul de stocare fără ruptură (fără lipsă de stoc) Orice gestiune de stoc presupune intrări în stoc sau aprovizionări şi ieşiri din stoc, determinate

de cererea aleatoare, cu o repartiţie cunoscută statistic. Elementele principale care intervin în activitatea de management a stocurilor sunt: cererea de

bunuri, nivelul stocului, volumul comenzii de reaprovizionare, perioada de reaprovizionare, costuri de stocare, de penalizare, de lansare a comenzii şi altele.

In continuare, pentru a descrie modelul matematic de stocare a fondului bănesc disponibil lichid, ne vom folosi de următoarele notaţii:

Cl – cheltuielile de tranzacţie şi de gestiune, corespunzătoare, vânzării de plasamente sau a împrumutului;

τ – perioada de timp la care se referă planul de cheltuieli şi, deci, pe care se consideră gestiunea fondului bănesc (de regulă, un an);

T – durata de timp dintre două tranzacţii consecutive; n – numărul de tranzacţii în perioada τ; CT – cheltuielile totale legate de gestiune pe perioada T; Q – fondul bănesc lichid total de care unitatea economică are nevoie în perioada τ;

τC – cheltuielile totale legate de gestiunea fondului bănesc considerat; i – dobânda unitară anuală pe care unitatea economică ar putea să o obţină asupra acestor

plasamente pe termen scurt; ea este un cost unitar de renunţare legat de menţinerea fondului lichid unitar;

w – fondul lichid necesar la începutul fiecărei perioade de timp T. Se presupune că cheltuirea fondului bănesc lichid este uniformă şi ca urmare, în perioada de

timp T soldul lichid mediu va fi 2w . Având în vedere cele de mai sus, se constată că modelul descris este analog cu modelul de gestiune

a stocurilor cu perioada fixată, cerere constantă fără ruptură (fără lipsă de stoc).

În acest caz, au loc relaţiile: wQ

Tn ==

τ ; TwiCC lT 2⋅+= .

Funcţia obiectiv a modelului cuprinde toate cheltuielile legate de managementul stocului şi anume

81

Page 83: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

( ) ττ 2wiC

wQCnwC lT ⋅+=⋅= .

Scopul este de a determina valoarea optimă a fondului bănesc lichid, pentru care ∗wcheltuielile totale C să fie minime. Valoarea optimă se obţine din condiţiile de minim ( )wτ

∗w

pentru funcţia . ( )wCτ

Avem: ( ) ττ iCQw

wC l 211

2 +⋅−=′ , respectiv

( ) lCQw

wC ⋅=′′3

2τ . Din , rezultă ( ) 0=′ wCτ τ⋅

⋅=∗

iCQw l2 şi deoarece ( ) 0>′′ ∗wτC , avem pentru

valoarea extremul minim (s-a luat pentru numai valori pozitive ţinând cont de sensul ∗w ∗weconomic).

Dar, atunci cheltuielile totale minime sunt: ( ) τττ ⋅⋅=⋅⋅⋅= ∗∗ wiiCQwC l2 .

Cunoscând volumul optim al fondului bănesc lichid, putem determina şi celelalte elemente ∗wce caracterizează dimensionarea optimă:

Qw

nT

wQn

∗∗

∗∗ ⋅

===ττ; .

Exemplul 1. O unitate economică cheltuieşte într-un an 450000 u.m. pentru diferite angajamente financiare. Întreprinderea îşi poate plasa fondurile lichide într-o bancă, cu un procent anual de dobândă de 25%. Se ştie că cheltuielile de tranzacţie sunt de 40 u.m. Să se determine elementele ce caracterizează gestiunea optimă a fondului lichid.

Rezolvare. Avem: u.m.; 450000=Q 1;25,0 == τi an; 40=lC u.m. Dar, atunci folosind

formulele de mai sus, obţinem: 1200025,0

40450000=

⋅⋅

12 ⋅

=∗w u.m.;

u.m.; 3812000450000

==∗n ori;

zile.

300011200025,0 =⋅⋅=∗τC

5,938

360==∗T

9.2. Modelul de stocare cu ruptură (cu lipsă de stoc) În unele modele de gestiune ale stocurilor este posibilă ruptura de stoc (lipsa de stoc). Tot aşa şi

la gestiunea fondului bănesc este posibilă o astfel de ruptură (ruptura de fond lichid disponibil), pentru care apare un cost de penalizare unitar anual de aceeaşi natură ca şi dobânda unitară. pC

Perioada de timp T dintre două tranzacţii se împarte în două subperioade T pe care nivelul 1

soldului lichid este pozitiv, respectiv T , când nivelul soldului este zero. 2

Dacă vom nota cu S fondul bănesc necesar pe perioada T, iar w este fondul bănesc lichid pe care îl va avea unitatea economică la începutul perioadei, atunci S – w reprezintă lipsa de fond lichid de pe urma căreia există penalizarea (pierderea) anuală C . p

Păstrând notaţiile celelalte de la modelul fără ruptură (fără lipsa de stoc) putem scrie:

21 22; TwSCTwiCC

SQ

Tn plT ⋅

−⋅+⋅+===

τ , unde

TSwT ⋅=1 şi T

SwS⋅

−=2T .

Funcţia obiectiv a modelului cuprinde toate cheltuielile legate de managementul stocului şi anume:

82

Page 84: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

( ) ( ) τττ ⋅−

⋅+⋅⋅+⋅=SwSC

Swi

SQCSwC pl 22

,22

.

Aşadar, avem de rezolvat o problemă de extrem pentru o funcţie de două variabile independente w şi S. Minimizând cheltuielile totale se obţin următoarele rezultate (soluţia optimă):

;2

p

pl

CiC

iCQw

+⋅

⋅⋅

=∗

τ;2

p

pl

CCi

iCQS

+⋅

⋅⋅

=∗

τ ∗∗

∗∗ ==

nT

SQn τ; .

Cheltuielile totale minime sunt:

( ) τττ ⋅⋅=+

⋅⋅⋅⋅= ∗∗∗ wiCi

CiQCSwC

p

pl2, .

Exemplul 2. O unitate economică cheltuieşte anual 1,2 milioane u.m. pentru diferite angajamente financiare. În general, unitatea economică îşi poate plasa fondurile lichide în bancă, cu procentul anual de dobândă de 12%. În caz de lipsă de fond la cerere se apreciază o penalizare anuală de 18%. Să se determine elementele ce caracterizează gestiunea fondului bănesc lichid, dacă cheltuielile la o tranzacţie sunt de 225 u.m.

Rezolvare. Avem cazul modelului de stocare cu ruptură (cu lipsă de stoc). Datele iniţiale: 1200000=Q u.m.; 1=τ an; 225;12,0 == lCi u.m.; 18,0=pC . Utilizând formulele precedente, obţinem:

5200018,012,0

18,0112,0

22512000002=

+⋅

⋅⋅⋅

=∗w u.m.;

8660018,0

18,012,0112,0

22512000002=

+⋅

⋅⋅⋅

=∗S u.m.;

14== ∗∗

SQn ori; 26

14360

=== ∗∗

nT τ zile.

Cheltuielile totale minime: ( ) 624015200012,0, =⋅⋅=⋅⋅= ∗∗∗ ττ wiSwC u.m.

9.3. Dimensiunea optimă a fondului bănesc disponibil cu cerere aleatoare Vom considera o bancă oarecare al cărei fond bănesc, disponibil la un moment dat pentru

efectuarea unor plăţi, ne interesează. Să presupunem că cererea de bani de la bancă într-o anumită perioadă T este variabilă aleatoare cu repartiţia:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∞

=

=≥

01,0,

210210

:r

rprprpppp

rR

KK

KK.

Să notăm cu S fondul bănesc de care banca dispune la un moment dat (sau într-o anumită perioadă) pentru efectuarea unor plăţi, prevăzute sau neprevăzute. Este evident că un astfel de fond nu trebuie să fie nici prea mare pentru că ar putea constitui o imobilizare care ar aduce anumite pierderi băncii, dar nici prea mici, pentru că atunci banca, fiind nevoită să facă anumite plăţi şi neavând fondul bănesc necesar, ar putea avea alte tipuri de pierderi şi poate chiar mai mari.

Astfel, apar două situaţii şi anume: a) dacă cererea de bani este mai mică decât fondul disponibil, r S< , atunci banca rămâne cu

un fond imobilizat, care duce la o pierdere unitară în valoare de u.m.; 1cb) dacă cererea de bani este mai mare decât fondul disponibil, atunci banca nu poate onora

anumite plăţi, faţă de clienţii săi, ceea ce ar implica o pierdere unitară de u.m. 2cÎn cadrul modelului examinat costul stocării (cheltuielile legate de păstrarea fondului bănesc

disponibil) este mic, în comparaţie cu cheltuielile şi c şi, în consecinţă, se neglijează, iar durata T nu 1c 2

mai intervine şi se poate afirma că gospodărirea este independentă de timp. Costul global al stocării, depinzând de cerere, este tot o variabilă aleatoare. Vom optimiza valoarea medie a costului global. Dacă

83

Page 85: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Sr ≤ , atunci se plăteşte preţul unitar , pentru stocul suplimentar 1c rS − , iar dacă , se plăteşte Sr >preţul unitar c , pentru lipsa de stoc . 2 S−r

( ) ( )S

SC :

⋅pSc1

p0

)⋅− pS∑=

⋅S

r 01c

∗S([CM

Smin

[CM

∑∞

=0Q ( )

r =

( ) =S )

([ S )C ∗S

( )−

1

S

S

1+S( )[ ] )

0r ∑

=

=S

r

t

[M dM

t

) ∗= S

( )[ tC[ ,∗ SS

∗= St

( )+ c2⋅c1 1

) ≤≤ ρ

∗S

Având în vedere cele de mai sus, putem scrie o variabilă aleatoare reprezentând costul aferent imobilizării sau lipsei fondului bănesc la un moment dat:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+

−⋅⋅−⋅−⋅KKKK

KKKK

rpSprppSrccrScSc

11011 2211

a cărei valoare medie

( )[ ] ( ) ( ) ( ( )∑∞

+=

⋅+⋅−=1

2Sr

rrcrprSSCM

reprezintă costul mediu legat de managementul stocului. Ne interesează determinarea valorii optime a fondului bănesc disponibil pentru care

)] ( )[ SCMS =∗ , adică acea valoare a lui S pentru care costul mediu corespunzător

imobilizării sau, dimpotrivă, lipsei unor fonduri să fie minim. Observăm că funcţia obiectiv ( )]S poate fi scrisă şi în felul următor:

]

( )[ ] ( ) −⋅=r

rSrSCM , unde ( )( ) <⋅

≤⋅.pentru ,

pentru ,

2

1

SrrpcSrrpc

Q

Funcţia M este o funcţie convexă şi liniară pe porţiuni. ( )[ SC ]Fie – funcţia de repartiţie a probabilităţilor. Are loc teorema. { } (∑

=

=≤S

rrpSrPF

0

Teorema. Funcţia obiectiv îşi atinge valoarea minimală în punctul , dacă şi numai Mdacă se îndeplinesc inegalităţile:

]

( ) ( )( )( )( )

−⋅⋅

−−⋅≤⋅∗

.1

,11

21

21

SFcFc

SFcFc (1)

Demonstraţie. Pentru S , avem: t <<

( ) ( ( ) ( )∑∑∞

+=

=

−−⋅=10 Srr

rQrQtsignrQdtCdM . (2)

Dacă în punctul funcţia ∗= St ( )]tC ia valoarea minimală, atunci derivata ( )[ ]dt

tC îşi

schimbă semnul din minus în plus, adică au loc inegalităţile (1). Este evident şi invers, dacă inegalităţile (1) se îndeplinesc pentru , atunci conform (2) derivata îşi schimbă semnul în ∗= Sacest punct din minus în plus, adică funcţia ( )[ ]tCM ia valoarea sa minimală în punctul t . Dar ∗= S,deoarece funcţia de repartiţie este o funcţie nedescrescătoare, rezultă că t este un punct (SFde minimum absolut.

Consecinţă. Mulţimea punctelor t , pentru care funcţia obiectiv ia valoare ∗= S Mminimală, este compusă dintr-un singur element t , sau din toate punctele ∗= S ]1+∗∈t .

]

Condiţiile necesare şi suficiente ca funcţia ( )[ ]tCM în punctul să aibă minim absolut pot fi scrise şi sub altă formă.

Avem: ( ) ( )∗∗ ⋅≤≤− SFccSF 21

sau ( ( )∗∗ − SFSF 1 , unde 21

2

ccc+

=ρ . (3)

Această inegalitate stă la baza algoritmului de determinare a valorii optime a fondului bănesc disponibil.

Aşadar, pentru a afla nivelul optim al fondului bănesc disponibil este necesar ca, în procesul de calculare a funcţiei de repartiţie (probabilităţile cumulate) ( )SF a cererii, să verificăm de fiecare

84

Page 86: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

dată inegalitatea (3). Valoarea S pentru care se satisface inegalitatea dublă (3) şi este nivelul optim ∗

al fondului disponibil.

8.1

X

<≥

jj

Exemplul 3. Să presupunem că într-un anumit interval de timp, cererea zilnică de bani la o bancă (în sute de mii u.m.) este o variabilă aleatoare cu repartiţia:

r 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

( )rp 0,01 0,04 0,05 0,12 0,17 0,30 0,19 0,08 0,03 0,01

Ştiind că în cazul imobilizării de fonduri banca are o pierdere unitară de 0,25 u.m., iar în caz de neputinţă de a efectua anumite plăţi suferă o penalizare unitară (pierderi din cauza lipsei de fond bănesc) de 1,8 u.m.

Să se determine nivelul optim al fondului bănesc disponibil şi costul mediu corespunzător. Rezolvare. În baza relaţiei (3) deducem că:

{ } { 6RP88,0878,025,0

8.169,05RP ≤=<=+

<=≤ şi prin urmare, nivelul optim al

fondului disponibil ar trebui să fie u.m. Costul mediu minim va fi: 600000=∗S

}

( )[ ] 67100=∗SCM u.m. Remarca 1. Impunând şi alte condiţii legate de managementul stocului, pot fi deduse şi alte

modele de dimensionare a fondului bănesc disponibil. Se poate accentua că problema dimensionării optime a fondului bănesc disponibil pentru

efectuarea unor plăţi are un caracter general, fiind valabilă nu numai băncilor, ci şi altor deţinători de fonduri băneşti lichide.

9.4. Un model de creditare cu o rezervare riscată Să considerăm şi să presupunem că o bancă dispune, în mod cert, de un fond de creditare de m

milioane de u.m. pe care le poate acorda sub formă de credite la un anumit moment dat, fixat şi cunoscut. Banca primeşte numai cereri pentru sume de câte un milion de u.m. fiecare şi fixează un termen până la care clienţii trebuie să se decidă, dacă dorinţa lor este fermă sau se anulează automat după aceea. In acelaşi timp, banca reţine şi unele cereri de rezervă sau, altfel zis, mai face şi unele rezervări suplimentare, având în vedere unele anulări de cereri. Atât anularea unei rezervări de către un posibil debitor, cât şi rezervarea peste capacitatea de plată a unei bănci pot aduce acesteia anumite pierderi băneşti.

Să notăm cu:

( ) ( ) ( ) ( )

mpppp

mK

K

210210

:

variabila aleatoare corespunzătoare numărului de anulări de rezervări de câte un milion de u.m., unde este probabilitatea de a avea i anulări de rezervări a câte un milion de u.m. sau ca ( )iprezervarea a i milioane u.m. să se anuleze prin renunţarea de către clientul sau clienţii care le-au solicitat. Prevăzând eventualitatea unor anulări de rezervări, banca poate face n rezervări suplimentare în milioane u.m.

Să notăm, de asemenea, cu: CA – costul unitar exprimat în u.m. al anulării rezervării unui milion u.m.; CR – costul unitar exprimat în u.m. al rezervării suplimentare a unui milion unităţi monetare; Cij – costul unitar corespunzător anulării rezervării a i milioane u.m. şi rezervării a j milioane

u.m. spre creditare.

Avem: C ( )( )

−⋅−⋅

=ijiCiijC

A

Rij ,

,

Dar, atunci costul total mediu al rezervării suplimentare a j milioane u.m. este

( ) ( ) njCipjCm

iji ,1,

0== ∑

=

.

85

Page 87: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Scopul este de a determina numărul optim de milioane u.m. rezervate sau încă fondul optim rezervat suplimentar, astfel încât pierderea totală medie, datorită anulării unor rezervări, precum şi unor rezervări suplimentare, să fie minimă.

Având în vedere cele de mai sus, rezultă că :

( )( )( ) ( ) ( )

( )( )

+=−⋅

=−⋅⋅+−⋅=

∑ ∑

=

= +=

.n,1mj,ijipC

m,0j,jiipCijipCjC

j

0iR

j

0i

m

1jiAR

Ne punem scopul să determinăm fondul optim rezervat suplimentar , astfel încât 0j( ) ( jCjC

jmin0 = ) . Problema se rezolvă uşor. Soluţionarea unor probleme, de acest tip, a fost, deja,

examinată. Aşadar, fondul optim rezervat suplimentar este determinat de relaţia: 0j

( ) ( )∑∑=

=

≤+

≤00

0

1

0

j

i

j

i RA

A ipCC

Cip.

Remarca 2. Problema şi modelul deciziilor de mai sus au fost prezentate pentru cererea de fonduri de împrumut sau credite la o bancă. Acest model rămâne valabil pentru orice situaţie de cerere cu o rezervare de servicii cum ar fi, spre exemplu, agenţiile de voiaj.

Exemplul 4. Să presupunem că, din experienţa pe care o are, o bancă afirmă că variabila aleatoare reprezentând numărul de anulări de rezervări a câte un milion de u.m. are repartiţia:

01,002,003,004,005,005,01,01,01,02,03,0

109876543210:Y

.

Se ştie, de asemenea, că o anulare de ultim moment îi aduce băncii o pierdere de 180 u.m., iar o rezervare suplimentară neonorabilă direct îi aduce o pierdere de 40 u.m. Să se afle numărul optim de rezervări suplimentare.

şi ţinând cont de inegalitatea dublă de mai sus,

rezultă că . 5j0 =

Rezolvare. Avem: C şi C180=A 40R = şi, deci, 82,0220180

CCC

RA

A ==+

. Observăm că:

( ) ( )∑∑==

=<=+

<=5

0i

4

0i RA

A ip85,082,0CC

C8,0ip

Aşadar, se pot face cinci rezervări suplimentare a câte un milion fiecare. Costul total mediu va fi:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1835180540510

6

5

0=−⋅⋅+−⋅⋅= ∑∑

==

iipiipCii

u.m.

Exemplul 5. Pentru a ilustra aplicarea acestui model şi în alte domenii, decât cel de creditare, să considerăm o companie de aviaţie care a observat, în baza datelor statistice, că numărul de persoane care anulează o rezervare urmează o lege Poisson de parametru λ , adică 5,0=

( ) K,2,1,0,!

5.0 5.0

=⋅

=−

ii

ipi λ .

Calculele economice constată că un loc liber în avion reprezintă o pierdere de 850 u.m., iar neacceptarea unui pasager prin neonorarea rezervării sale din lipsa de locuri aduce o pierdere de 450 u.m. în afara unor daune sau prejudicii morale privind onoarea companiei. Să se afle numărul optim de rezervări suplimentare.

Rezolvare. Avem repartiţia :

0002,00016,00126,00758,03033,06065,0

543210:Z .

86

Page 88: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

( ) ( ) ( )1p0p65,0CC

C6065,00pRA

A +<=+

<= şi deci 1j0 = .

Cu datele de mai sus, obţinem că :

Aşadar, pierderea minimală este asigurată în cazul unei singure rezervări suplimentare.

Dimensionarea optimă a fondului bănesc. Problemele propuse 1. Se constată că, într-o anumită perioadă a anului, cererea zilnică de bani lichizi la o anumită

bancă (în sute de mii u.m.) este o variabilă aleatoare X cu repartiţia:

01,001,002,004,006,018,032,019,011,005,001,0

109876543210:X

.

Dacă banca imobilizează inutil banii lichizi are o pierdere unitară de 0,8 u.m., iar dacă nu poate satisface cererea de bani are o pierdere unitară de două ori mai mare. Să se afle fondul disponibil optim pe care trebuie să îl aibă banca şi cât costă un astfel de program optim.

Răspuns : u.m.; 400000=∗S ( )[ ] 145600=∗SCM u.m. 2. Din experienţa pe care o are, o bancă, având în activitatea sa şi operaţiuni de creditare,

constată că numărul de anulări de rezervări de fonduri a câte 1 milion u.m. este o variabilă aleatoare Y cu repartiţia:

01,001,003,004,005,008,012,016,02,03,0

9876543210:Y .

Se mai ştie că o anulare de ultim moment aduce băncii un prejudiciu unitar CA = 15000 u.m., iar o rezervare suplimentară neonorabilă direct îi aduce o pierdere de 5000=RC u.m. Să se determine fondul optim rezervat suplimentar.

Răspuns: u.m. 3000000=∗S3. În baza informaţiilor pe care le are în organizarea unor excursii o societate de turism

constată că numărul de anulări de rezervări de locuri într-un anumit sezon turistic este o variabilă aleatoare Z cu repartiţia:

01,003,005,01,02,022,02,01,005,003,001,0109876543210

:Z .

Se mai ştie că anularea de ultim moment aduce societăţii de turism o pierdere unitară 2550=AC u.m., iar o rezervare suplimentară neonorabilă direct îi aduce o pierdere unitară 280=RC u.m. Să se afle numărul optim de rezervări suplimentare pe care trebuie să le facă

societatea de turism. Răspuns: . 7=∗N

87

Page 89: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

CAPITOLUL X. Elementele de matematici actuariale. Operaţiile financiare aleatorii Spre deosebire de operaţiile financiare certe, în cazul celor aleatoare plăţile sumelor de bani se

vor face numai în situaţia în care se realizează anumite evenimente. Aici este vorba de evenimentele aleatoare legate de viaţa sau decesul unei persoane (la asigurările de persoane) şi, respectiv, la producerea unor daune (la asigurările de bunuri materiale).

Ramura matematicilor care se ocupă cu rezolvarea problemelor puse de practica operaţiilor financiare de asigurări de persoane este cunoscută sub denumirea „matematici actuariale”. Termenul de actuarial semnifică normele în baza cărora se fac calculele de asigurări, aplicând conceptele de bază ale teoriei probabilităţilor şi ale statisticii matematice.

Contractul de asigurare determină existenţa a două părţi distincte: instituţia de asigurare (asiguratorul) şi asiguratul, care poate fi o persoană fizică sau juridică (instituţie). Asiguratul are obligaţiunea să plătească la scadenţele fixate taxele de asigurare, iar asiguratorul, la termenul stabilit sau la ivirea riscului asigurat, să plătească suma asigurată.

Operaţia de asigurare trebuie să fie o operaţie financiară echitabilă şi, de aceea, este necesar să se stabilească un echilibru financiar între obligaţiile celor două părţi (asiguratul şi asiguratorul) privind plăţile pe care sunt obligaţi a le efectua.

Scopul asigurărilor de persoane este să ofere oamenilor garanţii materiale, în caz de apariţie a unor evenimente aleatoare, cum sunt: scăderea capacităţii de muncă, pierderea parţială sau totală a capacităţii de muncă, decesul. Astfel de evenimente pot să apară datorită accidentelor sau altor cauze.

În cazul asigurărilor de persoane, asiguratul plăteşte taxele de asigurare atât timp, cât este în viaţă sau până la expirarea termenului de asigurare. Asiguratorul plăteşte suma asigurată numai dacă va apărea un accident.

Taxele plătite de asigurat instituţiei de asigurare pentru sumele asigurate se numesc prime de asigurare. Primele de asigurare sunt unice, dacă sunt plătite odată pentru tot timpul asigurării şi periodice, dacă se plăteşte periodic (anual, semestrial, trimestrial sau lunar).

La determinarea primei de asigurare se ţine seama atât de probabilitatea plăţilor care urmează să fie făcute de asigurator, cât şi de faptul că fondurile constituite, fiind temporar disponibile, se află în circuitul economic, aducând un venit. Acest venit asiguratorul îl foloseşte în favoarea asiguraţilor, micşorând corespunzător prima de plată.

10.1. Asigurările de viaţă. Funcţiile biometrice Asigurările de persoane se împart în două grupe: asigurări, în caz de accident, şi asigurări de

viaţă. În calcule ce privesc diferite feluri de asigurări de viaţă intervin mai mulţi factori. Unii dintre factorii reprezentaţi prin constante statistice au un rol determinat în calculul primelor de asigurări. Aceste constante sunt modificate permanent, pe măsură ce se obţin date statistice mai noi şi mai exacte. Cel mai de bază factor utilizat la calculul asigurărilor de viaţă este mortalitatea indivizilor, care depinde, la rândul său, de alţi factori cum ar fi: vârsta, sexul, profesia, regiunea, gradul de civilizaţie etc.

Pentru realizarea unor studii referitoare la tipurile de plăţi aleatorii se introduce un şir de caracteristici (funcţii biometrice) prin intermediul cărora se studiază fenomenele de viaţă şi de deces. Funcţiile biometrice au, de obicei, ca variabilă independentă vârsta. Efectuând calculele actuariale, trebuie de ţinut cont şi de ceilalţi factori. Se ţine seama de sex, întocmindu-se tabele de supravieţuire separate pentru bărbaţi şi pentru femei. În această lucrare ne vom folosi de tabelul standard de supravieţuire (anexa 1).

Caracteristicile privitoare la fenomenele de viaţă şi de deces, care vor fi examinate în cele ce urmează, sunt: probabilitatea de viaţă şi de deces, funcţia de supravieţuire, viaţa medie şi viaţa probabilă.

88

Page 90: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

10.2. Probabilitatea de viaţă şi de deces. Funcţia de supravieţuire. Viaţa medie. Viaţa probabilă

Să considerăm o populaţie formată din persoane de aceeaşi vârstă de x ani. Se numeşte probabilitate de viaţă, şi se notează cu ( )yxp , , probabilitatea evenimentului ca o

persoană în vârstă de x ani să fie în viaţă şi la vârsta de y ani. Probabilitatea evenimentului contrar, notată cu , se numeşte probabilitate de deces. Evident că are loc: ( yxq , )

( ) ( ) 1,, =+ yxqyxp , unde yx ≤ . Dacă în definiţia de mai sus nxy +=

) xn q, unde n – număr natural, atunci se vor folosi notaţiile:

q . Pentru cazul ( ) xn pnxxp =+, ; ( nxx =+, 1=n , vom avea: ( ) xpxxp =+1, şi ( ) xqxxq =+1, .

Fie, acum, z o vârstă cuprinsă între x şi y ani. Pentru ca o persoană, având vârsta de x ani, să fie în viaţă la împlinirea vârstei de y ani, este necesar ca mai întâi să fie în viaţă la împlinirea vârstei de z ani. Dacă vom nota cu A – evenimentul ca persoana să fie în viaţă la împlinirea vârstei de z ani, iar cu B – evenimentul ca persoana să fie în viaţă la împlinirea vârstei de y ani, atunci, conform teoremei înmulţirii probabilităţilor, vom avea:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )yzpzxpBpApBApyxp A ,,, ⋅=⋅== I . Acest rezultat poate fi generalizat în felul următor:

( ) ( ) ( ) ( ). pppp

y,1yp2x,1xp1x,xpy,xp

1y2x1xx −++ ⋅⋅⋅⋅==−⋅⋅++⋅+=

K

K

Aşadar, dacă nxy += , atunci probabilitatea de viaţă 11 −++ ⋅⋅⋅= nxxxxn pppp K şi, respectiv, probabilitatea de deces 1111 −++ ⋅⋅⋅−=− nxxxxn pppp K=xn q .

În teoria asigurărilor de persoane una din cele mai importante caracteristici numerice este funcţia de supravieţuire. Variabila independentă x a funcţiei de supravieţuire este vârsta persoanei.

Să considerăm o populaţie formată dintr-un număr de persoane de aceeaşi vârstă de a ani. Numărul de persoane, care ajung la vârsta de x ani

aL( )ax > din cele persoane considerate, este o

variabilă aleatoare discretă: aL

aLk

a

pppppLk

XKK

KK

210

210: ,

unde şi ∑ . ak Lkp ,,2,1,0,0 K=≥=

=aL

kkp

01

Presupunem că fiecare persoană în vârstă de a ani are aceeaşi probabilitate de a fi în viaţă la împlinirea vârstei de x ani, atunci variabila aleatoare discretă X urmează o repartiţie binomială, ceea ce înseamnă că probabilitatea

( xap , )

( )[ ] ( )[ ] kLkkLk

a

axaqxapCp −⋅⋅= ,, . Se numeşte funcţie de supravieţuire

şi se notează cu valoarea medie a numărului de persoane ale colectivităţii, care vor fi în viaţă la vârsta de x ani.

xL

Aşadar, avem: . ( ) ∑ ∑= =

⋅=⋅==a aL

k

L

kkkx pkpkXML

0 1

Deoarece în cazul repartiţiei binomiale valoarea medie ( ) pnXM ⋅=

( ), rezultă că

. Din această relaţie putem afla probabilitatea de viaţă ( xapLL ax ,⋅= )a

x

LLxap =, , exprimată

prin funcţia de supravieţuire. Fie yxa << , atunci din relaţia

( ) ( ) ( yxpxapyap ,,, ⋅= ) rezultă probabilitatea

89

Page 91: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

( ) ( )( ) x

y

x

a

a

y

ax

ay

LL

LL

LL

LLLL

xapyapyxp =⋅===

,,,

( )

. Aşadar, dacă se cunosc valorile şi , atunci se

poate calcula probabilitatea ca o persoană în vârstă de x ani să fie în viaţă la împlinirea vârstei de y

ani, utilizând formula:

xL yL

x

y

LL

yxp =, .

Funcţia de supravieţuire este descrescătoare ( )1+> xx LL , în raport cu vârsta, lucru firesc, deoarece viaţa este limitată. Dacă notăm cu ω vârsta limitată, atunci 0=ωL . Practic, se ia 100=ω ani. Valorile funcţiei de supravieţuire sunt determinate experimental (în baza datelor statistice) şi sunt întocmite tabele pentru diferite valori ale lui x. Tabela de supravieţuire conţine valorile

. În aplicaţii se pot determina, prin interpolarea liniară, valorile funcţiei de supravieţuire pentru vârste x neîntregi.

1121 ,,,,,,, −−+++ ωωLLLLLL xxaaa KK 2 , L

Cunoscând valorile funcţiei de supravieţuire , putem determina rapid probabilităţile de viaţă sau de deces. Într-adevăr, dacă ne referim la probabilitatea de viaţă (de supravieţuire), atunci avem

xL

( )x

mx

LLmxxp +=+,

( )

, dar, atunci probabilitatea de deces

( )x

x

LL mx

x

mx LL

Lmxxpmxxq ++ −=−=+−=+ 1,1, .

În particular, pentru , avem: 1=m

x

x

x

xxx

x

xx L

dL

LLqL

Lp =−

== ++ 11 ;

1+x

, unde reprezintă numărul mediu de persoane care au decedat între

x şi ani.

xd

Mulţimea valorilor alcătui-esc tabelul de supravieţuire, iar mulţimea valorilor q alcătuiesc tabelul de deces. Din cele expuse mai sus, rezultă că dacă se cunoaşte tabelul de supravieţuire, atunci se poate determina şi valorile respective ale tabelului de deces şi invers.

KK ,,,,,, 121 +++ xxaaa pppppKK ,,,,, 121 +++ xxa qqq, aa q

Exemplul 1. Să se afle probabilitatea ca o persoană (un bărbat) în vârstă de 26 ani să fie în vârstă de 70 ani.

Rezolvare. Avem: ( )26

7070,26LLp = ; Folosind datele 11663070 =L şi , luate din

tabelul de supravieţuire, obţinem

17930926 =L

( ) 65,0=17930911663070,26 2644 == pp .

Exemplul 2. Să se afle probabilitatea ca o persoană (un bărbat) de 35 ani: a) să moară în următorii 5 ani; b) să supravieţuiască încă după 34 ani.

Rezolvare. Avem:

a) ( ) 012,0176443

17431517644340,3535

4035355 =

−=

−==

LLL

qq ;

b) ( ) 686,017644312100769,35

35

693534 ====

LLpp . Mai departe, vom nota prin xnm q probabilitatea ca

o persoană în vârstă de x ani să decedeze la o vârstă cuprinsă între mx + şi nx + ani. Avem: ( ) ( ) =++⋅+= nx,mxqmx,xpq xnm

L

LLL

LLL

L

x

nxmx

mx

nxmx

x

mx ++

+

+++ −=

−⋅=

Dacă , obţinem: 1+= mnx

mx

x

nxmxxmm L

dL

LLq ++++ =

−=1 .

90

Page 92: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Exemplul 3. Pentru o persoană (un bărbat) de 36 ani să se determine probabilitatea ca să moară între vârstele 45 şi 70 ani.

Rezolvare. Avem:

31,0176071

116630171212

36

704536349 =

−=

−=

LLLq .

Exemplul 4. O persoană (o femeie) în vârstă de 36 ani are un fiu de 6 ani. Care este probabilitatea ca peste 30 ani ambii să fie în viaţă?

Rezolvare. Notăm prin A – evenimentul că peste 30 ani ambii vor fi în viaţă. Avem:

( ) ( ) ( ) 796,0184210176071

626695221136,666,36

6

36

36

66 =⋅=⋅=⋅=LL

LL

ppAp .

Probabilitatea şi funcţia de supravieţuire , deoarece servesc la măsurarea duratei vieţii, sunt numite funcţii biometrice. Alte funcţii biometrice destul de importante, utilizate în studiul de viaţă şi deces, sunt viaţa medie şi viaţa probabilă.

xp xL

Se numeşte viaţa medie şi se notează cu valoarea medie a variabilei aleatoare ce reprezintă numărul de ani pe care are să-i mai trăiască o persoană în vârstă de x ani.

0xe

Luând în consideraţie faptul că decesele sunt distribuite uniform în timpul anului, pentru a simplifica calculele se face presupunerea că decesul persoanei are loc la mijlocul anului şi atunci variabila aleatoare X, a cărei valoare medie reprezintă viaţa medie, are repartiţia:

+++

+ KK

KK

xkkxxx qqqq

kX

)1/(3/22/1

21

212

211

21

: ,

unde k reprezintă probabilitatea că persoana să decedeze între xk q)1/( + kx + şi ani. 1++ kxPornind de la cele expuse mai sus, avem:

( ) =+⋅

+++⋅+==

+

KK x1k

kx21x0x q

21kq

23q

21XMe

∑−ω

= +

=⋅

+=

x

0kx

1kk q

21k ∑

−ω

=

+++ =−

+

x

0k x

1kxkx

LLL

21k

∑∑−ω

=+

−ω

=+ ⋅+=⋅⋅+=

x

1kkx

x

x

1kkx

x

LL1

21dk

L1

21 .

Dacă se neglijează 21 se obţine viaţa medie redusă: ∑∑

=+

=+ ⋅=⋅⋅=

x

kkx

x

x

kkx

xx L

Ldk

L

ωω

11

11e .

Pentru a uşura calculele privind asigurările de viaţă sunt întocmite tabelele de supravieţuire care cuprind, pe lângă vârsta x, şi alte valori ale unor caracteristici expuse mai sus, cum ar fi:

. 0,,,, xxxxx edqpLExemplul 5. Să se determine viaţa medie a unei persoane (a unei femei) în vârstă de 75 ani. Rezolvare. Avem:

3,1041433942215

1211

21 75100

175

7575 =⋅+=⋅+= ∑

=+

kkL

Le ani.

Se numeşte viaţa probabilă a unei persoane de vârsta x, acel număr m de ani (care depinde de x

şi, deci, îl vom nota cu ), astfel ca probabilitatea xm ( )mxxp +, să fie egală cu 21 .

Având tabelul de supravieţuire, viaţa probabilă poate fi determinată din relaţia xmx LLx

⋅=+ 21 .

Pentru a determina viaţa probabilă se caută două vârste consecutive mx + şi , astfel ca 1+m+x

91

Page 93: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

xL21

1+m

să fie cuprins între valorile şi . Viaţa probabilă m este un număr cuprins între m şi

şi poate fi determinată aproximativ prin interpolare liniară. Din cele spuse mai sus, rezultă că viaţa probabilă este mediana repartiţiei de supravieţuire între vârstele x şi

1++mxL mxL + x

ω .

5,68126=

78L<

L

79 =L <

,0+66967

5,=65

658178 −=xm

xn

n

pvS

xn q0

( ) nS⋅xnn pv ⋅SX =

x

nx

LvLv⋅⋅+

nxn E =

xD = xx D

D=

xn E

⋅20000

05,01

20000 145270⋅34185,0⋅

Exemplul 6. Să se determine viaţa probabilă a unei persoane (a unui bărbat) de 65 ani. Rezolvare. Avem:

13625321

21

6565 ⋅=⋅=+ Lxm

66967 6579 LLxm< +

. Din tabelul de supravieţuire aflăm şi

. Deci, sau 78

7310078 =L

7965 <+ xm . Prin interpolare liniară, obţinem:

81,78817873100

681267310078 =−−

+=+ xm .

Dar, atunci viaţa probabilă 81,13, = ani. 10.3. Asigurarea unei sume în caz de supravieţuire la împlinirea termenului de asigurare. Plata

viageră unică Prin plăţi viagere se înţelege plăţile unor sume de bani pe care le face o persoană, dacă este în

viaţă, unei instituţii de asigurare, sau plăţile unor sume de bani pe care le primeşte o persoană, dacă este în viaţă, de la o instituţie de asigurare. După numărul plăţilor viagere avem plată viageră unică şi anuităţi viagere.

Să presupunem că o persoană în vârstă de x ani contractează o asigurare în valoare de S u.m., urmând ca această sumă să i se plătească, dacă va fi în viaţă peste n ani. Se pune problema să se determine valoarea primei unice, ce urmează să o plătească asiguratul pentru această asigurare.

Pentru ca operaţiunea financiară să fie echitabilă este necesar ca suma (prima unică), ce urmează să o plătească asiguratul instituţiei de asigurare şi pe care trebuie să o aibă iniţial instituţia de asigurare pentru a plăti la termen suma asigurată trebuie să fie egală cu valoarea medie a

variabilei aleatoare discrete , unde X;;

:i

v+

=1

1 .

Aşadar, prima unică pe care trebuie să o plătească asiguratul pentru această asigurare se

determină din formula: xx

nxn EL

LvSM =⋅⋅=⋅= + , unde

x

xx

x

x

nxn

x

nxn

vv

LLv

LLv =⋅⋅=⋅ +++

xx Lv ⋅

se numeşte factor de actualizare viager. Dacă vom nota

, atunci obţinem x

nn E + , unde este un număr de comutaţie, care se găseşte în

tabelele actuariale pentru toate vârstele şi pentru diferitele procente anuale de dobândă (anexa 2).

xD

Factorul de actualizare viager , are în operaţiunile financiare viagere un rol asemănător cu factorul de actualizare în operaţiunile financiare certe. nv

Exemplul 7. O persoană (un bărbat) în vârstă de 40 ani contractează o asigurare în valoare de 20000 u.m. pe care trebuie să o primească, în caz de supravieţuire, la împlinirea vârstei de 62 ani. Să se calculeze prima unică, pe care asiguratul trebuie să o plătească pentru această asigurare, dacă procentul anual de actualizare este de 5%.

Rezolvare. Avem:

=⋅

+

=⋅⋅= ++

40

224022

x

nxn

LL

1LL

vS

40

62

22

LL

05,011

+

⋅ 3, 5691174315

20000 == u.m.

92

Page 94: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Acelaşi rezultat vom obţine, dacă vom folosi numerele de comunaţie (anexa 2). Într-adevăr:

=⋅=⋅=⋅ ++

40

62

40

2240

x

nx

DD20000

DD20000

DDS =

8,5697693,24760

064,705420000 =⋅= u.m.

Deosebirea dintre plăţile periodice certe şi plăţile periodice viagere constă în aceea că pentru primele, plăţile se fac, în mod cert, la scadenţă, iar pentru cele viagere, plăţile se fac tot la scadenţă, însă numai în condiţia ca persoana care trebuie să le încaseze să fie în viaţă.

Plăţile periodice viagere pot fi şi ele posticipate sau anticipate (când plăţile se fac la sfârşitul fiecărei perioade sau, respectiv, la începutul fiecărei perioade).

Pensiile sunt plăţi periodice viagere ale căror rate se plătesc lunar. Dacă sumele asigurate se plătesc anual, atunci plăţile periodice viagere cu rate constante se numesc anuităţi viagere.

10.4. Anuităţile viagere constante posticipate imediate. Calculul primei unice Dacă plăţile periodice viagere se fac la sfârşitul anului, atunci se spune că anuitatea viageră este

posticipată. În dependenţă de numărul de plăţi viagere putem considera următoarele tipuri de anuităţi posticipate: anuităţi viagere imediate, anuităţi viagere imediate limitate şi anuităţi viagere amânate.

Se spune că anuitatea viageră este imediată şi nelimitată, dacă plata ratelor viagere se face la sfârşitul fiecărui an, pe toată durata vieţii.

Se pune problema de determinat prima unică pe care trebuie să o plătească o persoană (un asigurat) în vârstă x ani, pentru a primi S u.m. la sfârşitul fiecărui an, pe toată durata vieţii sale. Prima unică pe care trebuie să o plătească un asigurat în vârstă de x ani este:

+++⋅=⋅++⋅+⋅= ++

−xx

x

x

xxxxxP D

DD

DD

DSESESES ω

ω LL 2121)( , unde ω este vârsta limită a vieţii

( 100=ω ani). Dacă vom nota ωDDDN xxx +++= + L1 , numărul de comutaţie, care deasemenea se găseşte în

tabelele actuariale (anexa 2), atunci avem: xx

xP S

DN

S α⋅=⋅= +1)( , unde

x

xx D

N 1+=α este valoarea

actuală a anuităţii, cu rata viageră de 1 u.m. Cu alte cuvinte, xα este prima unică pe care trebuie să o plătească un asigurat în vârsta de x ani în momentul contractării asigurării, pentru a primi tot restul vieţii, la sfârşitul fiecărui an, câte o unitate monetară.

Exemplul 8. Să se determine prima unică pe care trebuie să o plătească un asigurat (un bărbat) în vârstă de 25 ani, în momentul contractării asigurării, pentru a primi tot restul vieţii, la sfârşitul fiecărui an, câte 1600 u.m., procentul anual de actualizare fiind 7%.

Rezolvare. Avem:

=⋅=⋅=⋅= ++

25

26

25

125

x

1x)P( D

N1600D

N1600D

NS

84,21231127,33096398,4391821600 =⋅= u.m.

10.5. Anuităţile viagere constante anticipate imediate. Calculul primei unice Dacă plăţile periodice viagere se fac la începutul anului, atunci spunem că anuităţile viagere

sunt anticipate. Se pune problema de calculat prima unică pe care urmează să o plătească o persoană în vârstă de x ani, pentru a primi câte S u.m., la începutul fiecărui an, pe toată durata vieţii sale. Prima unică pe care trebuie să o plătească un asigurat în vârstă de x ani este:

( =⋅++⋅+⋅+⋅= −ω xxx2x1x0)P ESESESES L

93

Page 95: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

xx

x

xx

2x

x

1x

x

x aSDNS

DD

DD

DD

DDS ⋅=⋅=

++++⋅= ω++ L ,

unde x

xx D

Na = este prima unică pe care trebuie să o plătească un asigurat în vârstă de x ani pentru a

primi tot restul vieţii, la începutul fiecărui an, câte o unitate monetară. Evident că xxa α+= 1 . Exemplul 9. Să se calculeze prima unică pe care trebuie să o plătească un asigurat (o femeie) în

vârstă de 46 ani, în momentul contractării asigurării, pentru a primi tot restul vieţii sale, la începutul fiecărui an, câte 900 u.m., procentul anual de actualizare fiind 5%.

Rezolvare. Avem:

14502323,6473735,104305900900

46

46)( =⋅=⋅=⋅=

DN

DN

Sx

xA u.m.

10.6. Anuităţile viagere imediate limitate la n ani. Calculul primei unice Se pune problema de calculat prima unică pe care urmează să o plătească o persoană (un

asigurat) în vârstă de x ani, pentru a primi câte S u.m., la sfârşitul fiecărui an, timp de n ani, dacă va fi în viaţă.

În acest caz, prima unică este: ( ) =+++⋅= xnx2x1)p( EEES L

x

1nx1x

x

nx

x

2x

x

1x

DNNS

DD

DD

DDS ++++++ −

⋅=

+++⋅= L .

Pentru anuităţile viagere anticipate limitate la n ani, avem: ( ) =++++⋅= − x1nx2x1x0)A EEEES L(

x

nxx

x

1nx

x

2x

x

1x

x

x

DNNS

DD

DD

DD

DDS +−+++ −

⋅=

++++⋅= L .

Exemplul 10. Să se determine prima unică pe care trebuie să o plătească o persoană (un bărbat) în vârstă de 55 ani pentru a încasa, la sfârşitul fiecărui an, până la împlinirea vârstei de 65 ani, suma de 1500 u.m., procentul anual de actualizare fiind 10%.

Rezolvare. Avem:

=−

⋅= +++

x

1nx1x)P( D

NNS

=−

⋅−

⋅= +++

55

6656

55

11055155

DNN1500

DNN

1500

13,8651730,846

327,1796772,66791500 =−

⋅= u.m.

Exemplul 11. Care este prima unică pe care urmează să o plătească o persoană (o femeie) în vârstă de 50 ani, pentru a putea încasa până la împlinirea vârstei de 60 ani, câte 1200 u.m., la începutul fiecărui an, procentul anual de actualizare fiind 7%?

Rezolvare. Avem:

=−

⋅=−

⋅=−

⋅= ++

50

6050

50

105050) 12001200

DNN

DNN

DNN

Sx

nxxA(

8,8808631,2038

575,1066549,256301200 =−

⋅= u.m.

10.7. Anuităţile viagere amânate. Calculul primei unice

94

Page 96: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Se pune problema de calculat prima unică pe care urmează să o plătească un asigurat în vârstă de x ani, pentru a primi S u.m., la sfârşitul fiecărui an, după trecerea unei perioade de n ani, dacă va fi în viaţă.

În acest caz, prima unică este: ( ) =+++⋅= −ω++ xxx2nx1n)P( EEES L

x

1nx

xx

2nx

x

1nx

DNS

DD

DD

DDS ++ω++++ ⋅=

+++⋅= L .

Pentru anuităţile viagere anticipate limitate la n ani, prima unică este: ( ) =+++⋅= −ω+ xxx1nxn)A( EEES L

x

nx

xx

1nx

x

nx

DNS

DD

DD

DDS +ω+++ ⋅=

+++⋅= L .

Exemplul 12. Să se determine prima unică pe care urmează să o plătească o persoană (un bărbat) în vârstă de 55 ani pentru a încasa, după împlinirea vârstei de 62 ani, tot restul vieţii, câte 1800 u.m., la sfârşitul fiecărui an, procentul anual de actualizare fiind de 5%.

Rezolvare. Avem:

=⋅=⋅=⋅= ++++

55

63

55

1755

x

1nx)P( D

N1800D

N1800

DN

S

11,11439827,10937571,695101800 =⋅= u.m.

Exemplul 13. Să se afle suma de bani pe care trebuie să o primească o persoană (o femeie) în vârstă de 50 ani, la începutul fiecărui an, începând cu vârsta de 60 ani, dacă în momentul contractării asigurării depune prima unică de 10000 u.m., procentul anual de actualizare fiind 5%.

Rezolvare. Avem:

S = =⋅=⋅=⋅++ 60

50

1050

50

nx

x)A( N

D10000ND10000

ND

86,1345199,38910758,523610000 =⋅= u.m.

10.8. Anuităţile de pensie. Calculul primelor Problema care se pune în asigurările de pensie este de a determina prima pe care asiguratul o

plăteşte o singură dată sau eşalonat viager până la un moment dat, anterior celui de la care începe să primească anual sau pe fracţiuni de an o anumită sumă S u.m. (pensia) din partea asiguratorului.

Dacă vom nota această primă cu x sau Rx, după cum plata pensiei se va face la începutul sau

sfârşitul anului, atunci avem: x

xx

x

xx D

NSR

DN

S 1)( ; +⋅=⋅= .

Cel mai des pensiile se achită pe fracţiuni de an şi, mai ales, lunar. Să presupunem pentru

simplificare că pe fiecare fracţiune de an asiguratul va primi suma mS u.m. În acest caz, valoarea

primei de care asiguratul trebuie să dispună la începutul asigurării este egală cu:

( )

−−⋅=

mm

DN

Sx

xmx 2

1 , în cazul anticipat şi ( )

−+⋅= +

mm

DNSR

x

xmx 2

11 , în cazul posticipat.

Dacă asiguratul doreşte să i se plătească o pensie lunară de u.m., atunci prima unică corespunzătoare va fi:

12S

( )

+⋅⋅=

−⋅⋅= +

241112;

241112 1

1212

12)12(

x

xx

x

xx D

NSR

DN

S .

95

Page 97: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Cele mai des întâlnite cazuri de asigurare de pensie sunt acelea în care asiguratul, în vârstă de x ani, se angajează să plătească prime, timp de n ani, după care instituţia de asigurare urmează să-i plătească o pensie viageră anuală de S u.m., până la sfârşitul vieţii. De regulă, atât plata primelor, cât şi plata pensiilor se face lunar (la sfârşitul lunii).

În acest caz, are loc: ( )

( ) ( )nxxnxx

nxnxx DDNN

DNSR++++

+++

−⋅+−⋅⋅+⋅

⋅=1124

1124

11

112

12 .

Exemplul 14. Să se determine prima pe care urmează să o plătească o persoană (o femeie) în vârstă de 50 ani, la sfârşitul fiecărei luni, până la împlinirea vârstei de 57 ani, pentru a putea încasa la sfârşitul fiecărei luni o pensie viageră de 350 u.m., procentul anual de actualizare fiind de 10%.

Rezolvare. Avem: ( )

( ) ( ) 46,30011241124350

57505851

57581250 =

−⋅+−⋅⋅+⋅

⋅=DDNN

DNR u.m.

Exemplul 15. Să se determine pensia viageră pe care urmează să o primească, la sfârşitul fiecărei luni, o persoană (un bărbat) în vârstă de 45 ani, după împlinirea vârstei de 62 ani, în schimbul primei de 250 u.m., plătită la sfârşitul fiecărui luni (până la 62 ani), procentul anual de actualizare fiind de 13%.

Rezolvare. Avem: ( ) ( ) 87,2562

11241124250

6263

6245634612 =

⋅+⋅−⋅+−⋅

⋅=DN

DDNNS u.m.

10.9. Asigurările de deces. Calculul primei unice Problema care se pune în asigurările de deces este de a determina prima unică pe care trebuie să

o plătească o persoană în vârstă de x ani, pentru ca, la data morţii sale, instituţia de asigurare să plătească urmaşilor săi o anumită sumă de bani fixată în contractul de asigurare.

Suma pe care trebuie să o plătească instituţia de asigurare urmaşilor, la data decesului asiguratului, este suma asigurată.

Deoarece riscurile asiguratului şi asiguratorului sunt egale, prima unică trebuie să fie egală cu valoarea actuală a sumei asigurate.

Aşadar, dacă instituţia de asigurare urmează să plătească, în momentul decesului, suma de S u.m., atunci prima unică pe care trebuie să o plătească asiguratul va fi egală cu valoarea medie a variabilei aleatoare X cu repartiţia:

−−−⋅⋅⋅

++++++

++

KK

K

x

nxnx

x

xx

x

xx

n

LLL

LLL

LLL

vSvSvSX

1211

21

21

121

: .

Aşadar, avem:

( ) ∑−ω

=

++++ =⋅

−⋅==

x

0n

21

n

x

1nxnxx v

LLLSXM

( ) ∑∑−ω

=

+−ω

=

++

+++ ⋅=⋅

⋅−⋅=

x

0n x

nxx

0nx

x

21

nx

1nxnx

DCS

vLvLLS ,

unde ( ) 21

1

+

+ ⋅−=x

xxx vLLC . Dacă introducem un număr nou de comutaţie ωCCCCM xxxx ++++= ++ L21 , atunci avem:

xx

xx AS

DM

S ⋅=⋅= , unde x

xx D

MA = .

96

Page 98: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Exemplul 16. Să se calculeze prima unică pe care trebuie să o plătească o persoană (un bărbat) în vârstă de 56 ani, pentru ca, în momentul decesului, urmaşii să primească 20000 u.m., dacă procentul anual de actualizare p = 7%.

Rezolvare. Avem:

34,6149274,3583738,11012000020000

56

5656 =⋅=⋅=

DM

u.m.

Dacă asigurarea de deces se face numai pe un termen limitat de n ani, de la data contractării asigurării, atunci prima unică se determină astfel:

x

nxxx D

MMS +−⋅= .

Exemplul 17. Să se calculeze prima unică pe care trebuie să o plătească o persoană (un bărbat) în vârstă de 58 ani, pentru ca, în momentul decesului, urmaşii să primească 25000 u.m., dacă decesul va avea loc până a împlinirea vârstei de 65 ani, procentul anual de actualizare fiind de 10%.

Rezolvare. Avem:

=−

⋅=−

⋅= +

58

6558

x

nxxx D

MM25000D

MMS

55,2109514,614

652,93506,14525000 =−

⋅= u.m..

10.10. Asigurările mixte. Calculul primei unice În practica de asigurări pe larg se aplică asigurarea mixtă, care reprezintă, în acelaşi timp,

asigurarea unei sume pe termen fix şi o asigurare de deces, în cadrul aceluiaşi termen. În cazul acestei forme de asigurare, dacă durata asigurării este de n ani, instituţia de asigurare

plăteşte suma asigurată, dacă asiguratul este în viaţă la expirarea acestui termen, iar dacă asiguratul a decedat înaintea acestui termen, asiguratorul plăteşte, la data decesului, urmaşilor (fixaţi în contractul de asigurare), suma asigurată.

Prima unică pe care trebuie să o plătească o persoană (un asigurat) în vârstă de x ani, în cazul asigurărilor mixte, se determină din formula:

x

nxnxx

x

nx

x

nxxx D

DMMS

DD

DMM

S ++++ +−⋅=

+

−⋅= .

Exemplul 18. Să se determine prima unică pe care trebuie să o plătească o persoană (un bărbat) în vârstă de 55 ani, în momentul contractării asigurării, pentru a încasa, dacă va fi în viaţă la împlinirea vârstei de 62 ani, suma de 18000 u.m., iar dacă decesul va avea loc în acest interval de timp, atunci suma asigurată de 18000 u.m., să fie încasată de urmaşi (procentul anual de actualizare fiind de 7%).

Rezolvare. Avem:

=+−

⋅=55

62625555 D

DMM18000

1147367,3874

685,2189953,860955,114018000 =+−

⋅= u.m.

Dacă asiguratul contractează o asigurare mixtă, pe durata de n ani, dar nu achită la contractare prima unică, dorind să plătească pentru această asigurare prime anuale egale, atunci prima anuală se determină astfel:

nxx

nxnxxx NN

DMMS

+

++

−+−

⋅= .

Exemplul 19. Să se afle prima anuală pe care trebuie să o plătească o persoană (un bărbat) de 50 ani pentru a încasa, dacă va fi în viaţă la vârstei de 65 ani, suma de 23000 u.m., în caz contrar să încaseze urmaşii aceeaşi sumă în momentul decesului (procentul anual de actualizare fiind 5%).

97

Page 99: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Rezolvare. Avem:

=−

+−⋅=

6550

65655050 NN

DMM23000

2,1152075,56778975,205963

334,5715986,3085227,484423000 =−

+−⋅= u.m.

Şi în sfârşit, dacă asiguratul contractează o asigurare mixtă pe durata de n ani, dorind să plătească pentru această asigurare prime lunare egale, atunci prima lunară se determină din formula:

( )

( ) ( )nxxnxx

nxnxxx DDNN

DMMS

++

++

−⋅+−⋅+−⋅

⋅=1124

2)12( .

Exemplul 20. Care este prima pe care trebuie să o plătească în fiecare lună o persoană (o femeie) în vârstă de 50 ani, pentru a încasa suma de 26000 u.m. dacă va fi în viaţă la împlinirea vârstei de 60 ani, iar în caz de deces, în acest interval de timp, să încaseze această sumă urmaşii (procentul anual de actualizare fiind 7%).

Rezolvare. Avem:

( )( ) ( ) 149

11242

2600060506050

606050)12( =−⋅+−⋅50

+−⋅⋅=

DDNNDMM

u.m.

10.11. Rezerva matematică pentru diferite tipuri de asigurări În instituţia de asigurare, în vederea satisfacerii cererii unor sume de bani necesari efectuării

plăţilor, la diferite tipuri de asigurări, se constituie un fond, numit rezerva matematică. Rezervele matematice se stabilesc pentru fiecare asigurat, iar rezerva totală se obţine ca suma rezervelor, corespunzătoare, fiecărei asigurări.

Se numeşte rezerva matematică, la momentul t a asigurării, diferenţa dintre valoarea actuală medie a obligaţiunilor pe care le mai are instituţia de asigurări tD ′′ şi valoarea actuală medie a obligaţiunilor rămase ale asiguratului tD′ , adică: ttt DDR ′−′′= . Pentru un grup de asiguraţi care au contracte de asigurare, în vigoare, la un moment t, capitalul egal cu suma rezervelor matematice ale acestor asigurări, la care se adaugă primele plătite de asiguraţi, va permite instituţiei de asigurări să facă faţă obligaţiunilor pe care le are, faţă de grupul de asiguraţi.

În cazul asigurării de viaţă, rezerva matematică se calculează din forma:

=−

⋅−

⋅−⋅=+

++

+

+

+

+

tx

nxtx

nxx

nx

tx

nxt D

NNNN

DSDDSR

nxx

txx

tx

nx

nxx

nxtx

tx

nx

NNNN

DDS

NNNN1

DDS

+

+

+

+

+

++

+

+

−−

⋅⋅=

−−

−⋅⋅= .

Pentru asigurările de pensii, dacă asiguratul plăteşte prime anuale timp de n ani, iar plata pensiei se va face anual după această dată, rezerva matematică se determină astfel:

nxx

txx

tx

txt DN

MMDNSR

+

+

+

+

−−

⋅⋅= .

II. Matematici actuariale. Problemele rezolvate 1. Să se calculeze probabilitatea ca o persoană (un bărbat) în vârstă de 35 ani va fi în viaţă

peste 20 de ani.

Rezolvare. Se ştie că ( )x

nx

LLnxxp +=+, . Folosind tabelul de supravieţuire, avem:

( ) 9073,017644316008255;35

35

55 ===LLp .

2. Să se afle probabilitatea ca o persoană (un bărbat) în vârstă de 62 ani să nu fie în viaţă la 80 ani.

98

Page 100: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Rezolvare. Se ştie că ( )x

yx

LLL

yx−

=,q . Folosind tabelul de supravieţuire, obţinem:

( ) 58,014527084400

1452706087014527080;62

62

8062 ==−

=−

=L

LLq .

3. Care este probabilitatea ca o persoană (o femeie) în vârstă de 30 ani să decedeze între 57 şi 80 ani?

Rezolvare. Probabilitatea ca o persoană în vârstă de x ani să decedeze, la o vârstă cuprinsă între

mx + şi nx + ani, se calculează din formula x

nxmxxnm L

LLq ++ −=

6323030

. Din tabelul de supravieţuire,

pentru femei aflăm şi 57494;32934 5780 == LL =L . Aşadar, avem:

3884,063230

3293457494

30

8057305027 =

−=

−=

LLL

q .

4. Să se calculeze probabilitatea ca un bărbat în vârstă de 36 ani să fie în viaţă la 65 ani.

Rezolvare. Avem: ( ) 774,017607113625365;36

36

65 ===LLp .

5. Să se calculeze prima netă pe care trebuie să o plătească o persoană (o femeie) în vârstă de 30 ani, în momentul semnării contractului de asigurare pentru a primi, în caz de supravieţuire la împlinirea vârstei de 72 ani, suma de 80000 u.m. (procentul anual de actualizare fiind 7%).

Rezolvare. Avem:

8,3416343,8306

764,354800008000030

72 =⋅=⋅=⋅= +

DD

DD

Sx

nx u.m.

6. O familie (soţul în vârstă de 45 ani şi soţia în vârstă de 40 ani), încheie o asigurare prin care urmează să încaseze, peste 15 ani, suma de 50000 u.m. Aplicând procentul anual de actualizare de 10%, să se determine prima netă unică aferentă asigurării dacă:

a) asiguratorul plăteşte suma numai dacă ambii membri ai familiei sunt în viaţă;

b) asiguratorul plăteşte suma, dacă cel puţin un membru al familiei este în viaţă.

Rezolvare. Avem:

a) =⋅⋅

+

⋅=⋅⋅⋅=⋅= ++++

40

1540

45

154515

11

LL

LL

iS

LL

LL

vSESy

ny

x

nxnxyn

=⋅⋅⋅=⋅⋅

⋅=

6217658347

17121215028123939,050000

LL

LL

1,1150000

40

55

45

60

15

27,9859= u.m.

b) ( ) =

−+⋅=−+⋅ ++

xyny

ny

x

nxxynynxn E

DD

DDSEEES=

=

−+⋅= xy15

40

55

45

60 EDD

DD50000

=

−+⋅= 1972,0

774,1373618,308

894,2348563,49350000

( ) 118901972,0225,021,050000 =−+⋅= u.m. Se poate şi astfel:

=

−⋅

−−⋅

40

5540

45

604515

11,1

150000L

lLL

lL=

99

Page 101: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

=

⋅−

−⋅⋅=62176

5834762176171212

150281171212123939,050000 11890= u.m.

7. O familie de trei persoane, având vârstele 40 ani (tatăl), 36 ani (mama) şi respectiv, 15 ani (fiica), încheie o asigurare prin care urmează să primească 65000 u.m., dacă cel puţin un membru al familiei va fi în viaţă peste 25 de ani.

Să se determine prima netă unică, dacă procentul anual de actualizare este de 13%. Rezolvare. Avem:

=

−⋅

−⋅

−−⋅

15

4015

36

6136

40

654025

113,1165000

LlL

LlL

LlL

=

=

⋅−

⋅−

−⋅64270

621766427062669

5551262669174315

13625317431513055

=

3055

=

⋅⋅−

642702094

626697157

174315380621

( ) ( ) =−⋅=⋅⋅−⋅= 0008,01305503258,01142,021835,013055 52,3052= u.m.

Matematicile actuariale. Problemele propuse 1. Să se afle probabilitatea ca un bărbat în vârstă de 33 ani să fie în viaţă peste 29 ani. Răspuns: ( ) 82,062;33 =p . 2. Să se determine probabilitatea ca o femeie în vârstă de 57 ani să nu mai fie în viaţă la 80 ani. Răspuns: ( ) 43,080;57 =q . 3. Să se afle probabilitatea ca o persoană (un bărbat) în vârstă de 62 ani să decedeze între 70 şi

75 ani. Răspuns: 176,062138 =q . 4. Să se calculeze probabilitatea ca două femei având respectiv, vârstele 26 şi 32 ani, să fie în

viaţă peste 35 ani. Răspuns: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 712,067;3261;262121 =⋅=⋅= ppApApAAp I . 5. Un bărbat în vârstă de 32 ani contractează o asigurare în valoare de 25000 u.m. Această

sumă el trebuie să o primească, în caz de supravieţuire, la împlinirea vârstei de 62 ani. Să se determine prima unică pe care trebuie să o plătească pentru această asigurare, dacă

procentul anual de actualizare este 10%. Răspuns: = 1172,83 u.m. 6. Care este suma pe care urmează să o primească o persoană (un bărbat) în vârstă de 35 ani, la

împlinirea vârstei de 62 ani, în schimbul primei de 50000 u.m., plătite la momentul încheierii contractului de asigurare, dacă procentul anual de actualizare este 5%?

Răspuns: u.m. 3,226730=S

100

Page 102: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

CAPITOLUL XI. Asigurările de bunuri materiale Fie N – numărul de bunuri materiale, de acelaşi tip, asigurate pe perioada T; W – valoarea de

asigurare a bunului de ordin j; W – valoarea totală de asigurare; V - valoarea medie de asigurare pentru un bun materiale; n – numărul de bunuri materiale care au fost despăgubite pe perioada T;

– valoarea de despăgubire a bunului material de ordin j; v – valoarea medie de despăgubire pe un material pe perioada T; S – suma totală a despăgubirilor plătite pentru cele n bunuri materiale pe perioada T.

j

jw

Valoarea totală de asigurare W, valoarea medie de asigurare pentru un bun material V, suma totală a despăgubirilor S plătite pentru cele n bunuri şi valoarea medie de despăgubire v pe un bun

material se determină, respectiv, astfel: W ;1∑=

=N

jjW ;

NWV = ;

1∑=

=n

jjwS

nSv = .

Indicele mediu de despăgubire al unui bun pe perioada dată este raportul dintre suma totală a

despăgubirilor şi valoarea totală de asigurare a bunurilor, adică: VNvn

VNSI

⋅⋅

=⋅

= .

Vom considera, acum, că perioada de timp este de T ani şi că asigurarea bunurilor materiale este anuală. În acest caz, vom avea indicele mediu anual de despăgubire

TtVNvn

VNSI

tt

tt

tt

tt ,,2,1, K=

⋅⋅

=⋅

= .

Cunoscând valorile , putem scrie repartiţia variabilei statistice „Indice mediu

anual de despăgubire”

TtIt ,,2,1, K=

:21

21

fffIII

K

K,

Tt

Tt

fI

IK

K

unde este frecvenţa relativă cu care apare valoarea . tf tIFrecvenţa relativă poate fi determinată în diferite moduri, cu diferite semnificaţii economice

concrete, ca, spre exemplu: a)

tf

∑=

=T

tttt nnf

1; b) ∑

=

=T

tttt NNf

1;

c) ∑=

=T

tttt VVf

1; d) ∑

=

=T

tttt vvf

1; e) ∑

=

=T

tttt SSf

1;

f) T

ft1

= .

Valorile medie a variabilei aleatoare I , este, de asemenea, un indice mediu anual de despăgubire numit indice anual mediu agregat de despăgubire.

( )IM

Indicele mediu global de despăgubire pentru un bun material asigurat pe perioada de T ani este raportul dintre suma totală a despăgubirilor şi valoarea totală de asigurare a bunurilor, de acelaşi

timp, asigurate pe perioada respectivă, adică ∑∑==

⋅=T

ttt

T

tt VNSJ

11.

11.1. Primele nete şi primele brute Prima netă unitară reprezintă suma plătită pentru asigurarea unui bun material, cu valoarea de

asigurare de 1 u.m. şi se calculează astfel: ( ) ( )IσIMunitarănetă += ,

unde este valoarea medie iar ( )IM ( )Iσ este abaterea medie pătratică pentru variabila aleatoare I. În cazul acesta, ( )Iσ este un „adaos de risc”.

Prima brută unitară se determină din formula: brută unitară = netă unitară + A = M(I) + σ(I) + A,

unde A este un adaos (supliment) la prima netă, datorat fondului suplimentar, ce acoperă parţial cheltuielile de funcţionare şi dezvoltare ale asiguratorului.

101

Page 103: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Dacă V este valoarea de asigurare a bunului material, atunci prima netă totală şi, respectiv, prima brută totală a asigurării bunului, se determină în modul următor: ( ) ( )[ ] VIσIMnetă ⋅+= şi

. ( ) ( )[ ] VAIσIMbrută ⋅++=Exemplul 1. În baza datelor statistice cu privire la o anumită asigurare de bunuri, de acelaşi tip,

pe o perioadă de 5 ani, să se determine: a) indicele mediu anual agregat de despăgubire; b) indicele mediu global de despăgubire; c) prima netă unitară; d) prima netă a asigurării unui bun material, de acest tip, cu valoarea de asigurare de 162 mii u.m.

Anul t 1 2 3 4 5

Nt 5000 5500 5700 6000 6100 Vt (mii u.m.) 120 145 150 170 180 nt 795 1050 905 1130 1210 vt (mii u.m.) 18,2 24,3 32,6 34,5 36,5

Rezolvare. Avem: a) indicele mediu anual agregat de despăgubire:

;024,060000014469

12050002,18795

11

111 ==

⋅⋅

=⋅⋅

=VNvn

I

;032,079750025515

14555003,241050

22

222 ==

⋅⋅

=⋅⋅

=VNvn

I

;0345,085500029503

15057006,32905

33

333 ==

⋅⋅

=⋅⋅

=VNvn

I

;0382,01020000

389851706000

5,341130

44

444 ==

⋅⋅

=⋅⋅

=VNvn

I

.04,01098000

441651806100

5,361210

55

555 ==

⋅⋅

=⋅⋅

=VNvn

I

b) Indicele mediu global de despăgubire:

035,04370500152637

11=== ∑∑

==

T

ttt

T

ttt VNvnJ .

c) Pentru a afla prima netă unitară, vom afla mai întâi frecvenţele relative cu care apare : tf tI

;1562,05090795

1

11 ===

∑=

T

ttn

nf ;2063,050901050

1

22 ===

∑=

T

ttn

nf

;1778,05090905

1

33 ===

∑=

T

ttn

nf ;222,0

50901130

1

44 ===

∑=

T

ttn

nf

.2377,050901210

1

55 ===

∑=

T

ttn

nf

Ca urmare, putem scrie repartiţia:

.2377,02220,01778,02063,01562,0

04,00382,00345,0032,0024,0:

I

Valoarea medie . Dispersia ( ) 03447,01

== ∑=

T

ttt IfIM

( ) ( ) ( ) 0000288,0001188,00012168,022 =−=−= IMIMID( ) ( )

. Abaterea medie pătratică 005367,0== IDIσ . Dar atunci, prima netă unitară

102

Page 104: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

( ) ( ) 039837,0005367,003447,0 =+=+= IIMunitarănetă σ . d) Prima netă a asigurării unui bun material, de acest tip, cu valoarea de asigurare de 162 mii

u.m., va fi: u.m. 66453,1620000398370,unitarănetă =⋅=

11.2. Modelul de risc colectiv pentru o singură perioadă de timp Pentru un portofoliu de poliţe de asigurare vom nota cu: N – numărul solicitărilor de despăgubire în perioada dată;

iX – mărimea celei dea i-a solicitare de despăgubire (solicitările individuale sunt considerate variabile aleatoare independente şi identic repartizate);

S – mărimea solicitării totale de despăgubire. Au loc relaţiile:

( ) ( ) ( ) ;NMXMSM;XSN

1ii ⋅== ∑

=

( ) ( ) ( ) ( ) (NDXMNDXDSD 2 ⋅+⋅= ) , unde X este o

variabilă aleatoare identic repartizată cu variabilele aleatoare NiX i ,1, = . Exemplul 2. Într-un portofoliu sunt trei tipuri de poliţe, având solicitările de despăgubire date

de variabilele aleatoare:

65,035,0

8050:;

3,04,03,0403010

:;4,06,0

3020: 321 XXX ,

iar numărul solicitărilor de despăgubire urmează repartiţii Poisson de parametrii: 321 ,, NNN6;5;8 321 === λλλ .

Să se determine: a) media, dispersia şi abaterea standard a solicitării totale (agregate) de despăgubire pe portofoliu; b) prima netă de încasat stabilită, folosind despăgubirea totală (agregată) medie şi o încărcare de siguranţă relativă de 17%.

Rezolvare: Avem: a) Solicitarea totală de despăgubire

∑∑∑===

++=321

13

12

11

N

ii

N

ii

N

ii XXXS ;

Valoarea medie

( ) ( ) ( ) ( ) =λ=⋅= ∑∑==

3

1jjj

3

1jjj XMNMXMSM

7445,696275248 =⋅+⋅+⋅= u.m.

Dispersia: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )=⋅+⋅=∑=

3

1jjj

2jj NDXMNMXDSD

( ) 393605035687056008XM3

1j

2jj =⋅+⋅+⋅=λ= ∑

=

.

Abaterea medie pătratică (abaterea standard) ( ) 4, 198S =σ u.m. b) netă = (1 + �) . M(S) = (1 + 0,17) . 744 = 1,17 . 744 =

= 870,48 u.m.

Asigurările de bunuri materiale. Problemele propuse 1. Informaţiile cu privire la o anumită asigurare de bunuri, de acelaşi tip, pe o perioadă de

5 ani, sunt date în tabelul următor: Anul t 1 2 3 4 5

Nt 2800 3200 3400 3300 3500 Vt (mii u.m.) 110 123 125 136 140 nt 220 285 300 320 360 vt (mii u.m.) 24 26 30 33 35

103

Page 105: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Să se determine: a) indicele mediu anual agregat de despăgubire; b) indicele mediu global de

despăgubire; c) prima netă unitară; d) prima netă a asigurării unui bun material, de acest tip, cu valoarea de asigurare 130 mii u.m., ştiind că 4% din prima netă este destinat suplimentar pentru dezvoltarea asiguratorului.

Răspuns: a) ;0235,0;0212,0;0188,0;0171,0 4321 ==== IIII

0257,05 =I ; b) ; 0217,0=Jc) net ; 0247680,unitarăă =

d) ( ) 643348,040,10247680,130000netă =+⋅= . 2. La un tip de poliţă, solicitarea de despăgubire este identic repartizată cu variabila

aleatoare:

03,004,008,015,07,0

302015105:X ,

iar numărul solicitărilor este dat de variabila aleatoare:

01,001,001,001,0

100321:

L

LN

. Să se determine: a) media, dispersia şi abaterea standard a solicitării totale de despăgubire; b)

prima netă, calculată cu adaos de risc, plătită pentru o poliţă dintr-un portofoliu de 500 poliţe de acest tip.

Indicaţie. Fie S – solicitarea totală de despăgubire. Avem: ( ) ( ) ( )NMXMSM ⋅= ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( )NDXMXDNMSD ⋅+⋅= 2 ;

( ) ( )[ ]⋅+= XDXMnetă ( )K

NM , unde K – numărul de poliţe, de acelaşi tip, din portofoliu.

Răspuns : a) ( ) 95,398=SM u.m.; ( ) 53573=SD u.m.; ( ) 46,231=Sσ u.m.; b) netă = 1,36 u.m. 3. Într-un portofoliu sunt trei tipuri de contracte de asigurare, având solicitările de

despăgubire date de variabilele aleatoare:

5,05,0

6040:;

2,04,04,0403530

:;3,07,0

3520: 321 XXX ,

iar numărul solicitărilor de despăgubire urmează repartiţii Poisson de parametrii: 8,7,10 321 === λλλ . Să se determine media, dispersia şi abaterea standard a solicitării totale de

despăgubire şi să se stabilească prima de încasat, folosind solicitarea totală medie şi o încărcare de siguranţă relativă de 12%.

Răspuns: u.m.; ( ) 883=SM ( ) 42955=SD u.m.; ( ) 26,207=Sσ u.m.; netă = 988,96 u.m.

4. Un fermier a cumpărat o poliţă de asigurare pentru o perioadă de 5 ani, din care i se plăteşte, în caz de distrugere a roadei. Fermierul primeşte un beneficiu egal cu 30 în fiecare an, când grindina a distrus roada.

La sfârşitul a 5 ani fermierul primeşte un beneficiu maxim până la trei mărimi (adică până la 30x3). Probabilitatea că grindina distruge roada este egală cu 0,5, pentru fiecare an şi fiecare an este independent, faţă de altul. Să se determine beneficiul aşteptat de fermier după cinci ani.

Răspuns: 52. 5. O companie vinde poliţe de asigurare. Plata de despăgubire fiecărui deţinător de poliţă

de asigurare este independentă şi identic repartizată cu legea normală ( )250;2475N .

104

Page 106: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Calculaţi numărul minim de poliţe de asigurare care trebuie să fie vândute pentru ca media plăţii de despăgubire pe fiecare poliţă să nu depăşească valoarea 2500, cu probabilitatea cel puţin 0,99.

Răspuns: 664.

Bibliografie:

1. Octavian Popescu ş. a. Matematici aplicate în economie, Editura Didactică şi Pedagogică, vol. II. Bucureşti, 1993.

2. Ion Purcaru. Matematici financiare. vol. I şi II, Editura Economică, Bucureşti, 1992, 1993. 3. Anton Mureşan. Optimizarea operaţiunilor financiare, Editura Transilvania – press, Cluj-

Napoca, 1995. 4. M. Toma, P. Brezeanu. Finanţe şi gestiune financiară. Aplicaţii practice. Bucureşti, 1996. 5. Mihai Toma, Felicia Alexandru. Finanţe şi gestiunea financiară de întreprindere, Editura

Economică, Bucureşti, 1998. 6. Ion Purcaru, Oana-Gabriela Purcaru. Matematici financiare. Teorie şi aplicaţii. Editura

Economică, Bucureşti, 2000. 7. Ion Purcaru, I. Berbec, D. Sorin. Matematici financiare. Decizii în afaceri, Editura

Economică, Bucureşti, 1996. 8. Ion Purcaru. Matematică şi asigurări, Editura Economică, Bucureşti, 1994. 9. Ion Purcaru, Iulian Mircea, Gheorghe Lazăr. Asigurări de persoane şi bunuri. Editura

Economică, Bucureşti, 1998. 10. Gabriela Beganu. Metode probabilistice. Aplicaţii în economie şi asigurări. Editura Tehnică,

Bucureşti, 1996. 11. Gh. Mihoc ş. a. Teoria matematică în operaţiuni financiare. Bucureşti, 1959. 12. Vlad Tomozei, Igor Enicov, Iurie Oboroc. Diversitatea dobânzilor. Evrica, Chişinău, 2003. 13. C. Basno, N. Dardac, C. Floricel. Monedă, credit, bănci. Editura Didactică şi Pedagogică,

Bucureşti, 1994. 14. Oleg Verejan, Ion Pârţachi. Statistica actuarială în asigurări. Editura Economică, Bucureşti,

2004. 15. В. В. Ковалёв. Основы финансового менеджмента. М., Финансы и статистика, 1999. 16. В. В. Ковалёв. Сборник задач по финансовому анализу. М., Финансы и статистика, 1997. 17. В. Малыхин. Финансовая математика. М., 1999. 18. В. Б. Кутуков. Основы финансовой и страховой математики. Москва, Дело, 1998. 19. Е. М. Четыркин. Методы финансовых и коммерческих расчётов. М., 1995. 20. С. Н. Капельян. Основы коммерческих и финансовых расчётов. Минск, 1999. 21. Г. Бирман, С. Шмидт. Экономический анализ инвес-тиционных проектов. М., Банки и

биржи, 1997. 22. Г. П. Башарин. Начало финансовой математики. М., ИНФРА-М, 1997.

105

Page 107: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

GLOSAR Active financiare. Bani, depozite bancare, acţiuni, obligaţiuni sau alte titluri de valoare care

aduc venituri. Actualizare. Operaţia matematică sau procedeu de evaluare a unui capital la un moment dat

anterior unui moment în care este cunoscut acest capital. Actuariat. Totalitatea operaţiilor şi normelor financiare de calcul specifice proceselor

financiare aleatorii, îndeosebi, în domeniul asigurărilor. Acţionar. Persoana fizică sau juridică proprietară a unui sau mai multor acţiuni emise de o

societate comercială, cu drept de a emite acţiuni. Acţiune. Titlul de valoare care atestă partea pe care o deţine posesorul său din capitalul unei

societăţi comerciale. Aleator. Termenul asociat unor evenimente ale căror realizări au loc cu anumite probabilităţi. Alocare optimă de capital. Repartizarea unui capital bănesc între mai multe obiective posibile,

în anumite condiţii, care să conducă la realizarea unui anumit scop (cost total minim, beneficiu total maxim etc.).

Amortisment. Cota parte din datoria nominală care se plăteşte periodic. Amortizare optimală. Cea mai bună variantă de amortizare a unui împrumut în anumite

condiţii. Amortizare prin tragere la sorţi. În cazul împrumuturilor cu obligaţiuni, atunci când

obligaţiunile care ies din circulaţie anual prin tragere la sorţi. Amortizarea împrumuturilor. Reducerea şi, în final, stingerea unei datorii (a unui împrumut)

prin plăţi eşalonate. Anuităţi. Sume de bani plătite anual. Asigurare. Procedeu prin care o persoană (asiguratul) subscrie la un contract de protecţie

împotriva unui anumit risc (care îi poate afecta sănătatea sau averea) pe lângă o societate de asigurări (asiguratorul). Achitând o sumă de bani (primă de asigurare) asiguratul va beneficia de protecţia asiguratorului, care îl va despăgubi, conform contractului, dacă se va realiza evenimentul împotriva căruia s-a încheiat asigurarea.

Bani. Activ special folosit, în mod convenţional, ca mijloc de intermediere a schimburilor şi ca măsură a unei activităţi economice.

Beneficiul (Profit). Rezultat financiar pozitiv al unei activităţi economice. Beneficiul actualizat. Valoarea actuală (actualizată) a beneficiului la momentul analizei

economice a unei investiţii. Beneficiul aleator. Atunci când beneficiul realizabil de pe urma unui plasament financiar este

o variabilă aleatoare. Beneficiul anual brut. Diferenţa dintre veniturile de pe seama investiţiei şi cheltuielile de

funcţionare ale acesteia pentru anul considerat. Beneficiul anual net. Diferenţa dintre beneficiul anual brut şi rata de amortizare anuală a

investiţiei. Beneficiul brut total. În investiţii, suma beneficiilor anuale brute de pe durata de viaţă a

investiţiei. Beneficiul net total. În investiţii, suma beneficiilor anuale nete. Bonuri de casă. Sunt titluri de creanţă, cu scadenţă până la 3 luni, purtătoare de dobânzi care

se plătesc anticipat. Bunuri de capital. Bunuri care se folosesc în procesul de producţie (maşini, unelte, clădiri

etc.). Capital final. Suma de bani care revine după o perioadă de timp de pe urma plasamentului

unui capital iniţial şi care se mai numeşte suma finală, capital valorificat etc. Capital iniţial. Suma de bani plasată într-o anumită operaţiune financiară şi care se mai

numeşte suma iniţială, valoarea actuală (actualizată) etc.

106

Page 108: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Capital scontat. Suma primită de către deţinătorul poliţei de la banca scontatoare şi care se mai numeşte valoarea scontată.

Cerere de capital. Noţiuni care exprimă necesarul de capital bănesc sau de altă natură. Coeficient de rentabilitate globală. În investiţii, reprezintă raportul dintre beneficiul total brut

şi costul investiţiei. Coeficient de rentabilitate imediată. În investiţii, reprezintă raportul dintre beneficiul brut din

primul an şi costul investiţiei. Cost al investiţiei. Cheltuieli totale de realizare a unei investiţii. Creanţă. Dreptul patrimonial al unei persoane fizice sau juridice (creditor) asupra altei

persoane fizice sau juridice (debitor) la executarea unei obligaţiuni de restituire a unui bun sau a unei sume de bani, de realizare a unui serviciu etc.

Credit. Rezultatul creditării. Credit bancar. Creditul acordat unei persoane fizice sau juridice în anumite condiţii. Creditor. Persoana fizică sau juridică beneficiară contractual de dreptul de a pretinde altei

persoane fizice sau juridice, denumită debitor, executarea unor obligaţiuni (plăţi) bine determinate. Cursul de revânzare al unei acţiuni. Suma de bani pe care trebuie şă o achite o persoană

fizică sau juridică deţinătorului unei acţiuni după un număr de ani de deţinere a acţiunii pentru a o putea cumpăra.

Cursul de vînzare al unei acţiuni. Preţul de achiziţionare. Datorie. Obligaţia asumată de către o persoană fizică sau juridică (debitor) faţă de o altă

(creditor) cu privire la rambursarea până la o anumită dată, în anumite condiţii, a unei sume de bani, a unor bunuri sau servicii.

Datoria nominală. Suma efectivă sau valoarea nominală a unui credit (împrumut) de care beneficiază o persoană fizică sau juridică din partea unui creditor.

Datoria rambursată. Suma tuturor amortismentelor plătite. Datoria rămasă. Diferenţa dintre datoria nominală şi datoria rambursată. Debit. Datoria unui debitor faţă de o persoană fizică sau juridică. Debitor. Persoana fizică sau juridică obligată contractual faţă de o altă persoană fizică sau

juridică, denumită creditor, pentru plata unor sume de bani bine determinate. Depozit bancar. Fonduri (capitaluri) plasate într-o bancă, casă de economii, evaluate cu

dobândă la vedere sau pe termen şi care pot fi puse la dispoziţia posesorului la cerere. Dimensionarea optimă a lichidităţilor. Determinarea celui mai bun nivel al fondului bănesc

disponibil lichid de care trebuie să dispună o anumită societate comercială in anumite condiţii. Discont. Cotă-parte sau procent din valoarea titlurilor de credit care se încasează de către

bănci, ca urmare a cumpărării acestora înainte de scadenţă. Discontare. Operaţiunea de determinare a discontului. Dividendul. Reprezintă remuneraţia cuvenită unei acţiuni în decurs de un an şi este singura

formă de participare a acţionarilor la împărţirea profiturilor societăţii comerciale pe acţiuni. Dobânda. Suma de bani pe care debitorul o plăteşte creditorului pentru împrumutarea unei

anumite sume de bani. Dobânda aparentă. Dobânda calculată în prezenţa inflaţiei şi cu luarea în consideraţie (şi,

deci, în calcul) a inflaţiei. Dobânda compusă. Preţul plătit de cel ce se împrumută atât pentru capitalul împrumutat

pentru o anumită perioadă de timp, cât şi pentru dobânda aferentă capitalului. Dobânda postcalculată. Dobânda calculată şi reţinută la scadenţa unui credit pentru valoarea

creditului acordat. Dobânda precalculată. Dobânda calculată şi reţinută la data acordării unui credit pentru

valoarea creditului acordat. Dobânda simplă. Preţul plătit de cel ce se împrumută numai pentru capitalul împrumutat, pe

durata împrumutului. Dobânda unitară. Dobânda simplă corespunzătoare unei unităţi monetare pentru o perioadă de

timp, cel mai adesea un an.

107

Page 109: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Emisiune al pari. Atunci când valoarea de emisiune a unei obligaţiuni este egală cu valoarea nominală.

Emisiune sub pari. Atunci când valoarea de emisiune a unei obligaţiuni este mai mică decât valoarea nominală.

Emisiune supra pari. Atunci când valoarea de emisiune a unei obligaţiuni este mai mare decât valoarea nominală.

Emitentul împrumutului obligatar. Acel care pune în circulaţie obligaţiunile. Factor de actualizare. Coeficientul cu ajutorul căruia, înmulţind valoarea finală (acumulată),

se obţine valoarea iniţială (actualizată) a capitalului. Factor de fructificare. Coeficientul cu ajutorul căruia, înmulţind un capital iniţial, se obţine

valoarea finală (acumulată) a capitalului iniţial. Finanţare. Acţiunea de asigurare a mijloacelor băneşti necesare acoperirii cheltuielilor cerute

de realizarea unei activităţi economice. Lichiditate. Capacitatea unui agent economic de a-şi plăti obligaţiile faţă de terţi la scadenţă. Lichiditate bancară. Mijloace de plată pe care o bancă le poate utiliza imediat pentru a onora

un angajament financiar. Model de evaluare a unei acţiuni. Expresia analitică de calculare a preţului de cumpărare (de

revâzare), în funcţie de dividende, preţ de revânzare (de cumpărare), procente de evaluare şi durata de deţinere.

Nuda proprietate a unui împrumut. Valoarea actuală totală a tuturor amortismentelor periodice evaluată la începutul rambursării.

Obligaţiune. Titlul de creanţă reprezentativ pentru un împrumut contractat de către o persoană juridică pentru o sumă de bani şi o durată, determinate de la diferite persoane fizice sau juridice. Ca titlu de valoare, obligaţiunea are înscrise pe ea numeroase informaţii: număr de ordine, valoarea nominală, valoarea de rambursare, procentul de evaluare, tabloul de amortizare a întregului împrumut, când şi cum se achită cupoanele dobânzii, garanţiile de proprietate etc.

Operaţiuni financiare echivalente prin dobândă. Operaţiuni financiare care conduc la aceeaşi dobândă.

Operaţiuni financiare echivalente prin valoarea actuală. Operaţiuni financiare care conduc la aceeaşi valoare actuală.

Operaţiuni financiare. Ansamblul de activităţi desfăşurate de către persoane fizice sau juridice, prin care sunt plasate anumite sume de bani, în anumite condiţii, pentru o anumită perioadă de timp şi cu anumite scopuri.

Plăţi amânate. Atunci când începerea plăţilor are loc cu o anumită întârziere faţă de un moment bine precizat de referinţă.

Plăţi anticipate. Atunci când plăţile au loc la fiecare început de perioadă de plată, Plăţi anuale. Atunci când intervalul dintre două plăţi consecutive este un an de zile. Plăţi constante. Atunci când de fiecare dată se plăteşte aceeaşi sumă de bani. Plăţi de amortizare. Atunci când un debitor plăteşte eşalonat pentru a amortiza un credit. Plăţi de creditare. Atunci când un creditor finanţează eşalonat o anumită activitate economică. Plăţi eşalonate. Operaţiuni financiare prin care anumite sume de bani sunt plasate în anumite

scopuri (plăţi, depuneri bancare etc.) la anumite intervale de timp. Plăţi eşalonate echivalente. Atunci când două sau mai multe modele de plăţi eşalonate au

aceeaşi valoare actuală evaluată la acelaşi moment de actualizare. Plăţi fracţionate. Atunci când intervalul dintre două plăţi consecutive este o fracţiune de an

(plăţi lunare, trimestriale, semestriale). Plăţi imediate. Atunci când plăţile încep la un moment dat bine precizat. Plăţi perpetue. Atunci când numărul plăţilor este practic nemărginit. Plăţi posticipate. Atunci când plăţile au loc la fiecare sfârşit de perioadă de plată. Plăţi temporare. Atunci când se efectuează un număr de plăţi bine precizat într-o perioadă de

timp dată. Plăţi viagere. Atunci când plăţile se fac pe durata de viaţă a unei persoane (în asigurări).

108

Page 110: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Preţ al unei obligaţiuni. Valoarea de emisiune a obligaţiunii (suma de bani pe care emitentul o primeşte efectiv din partea subscriptorului).

Preţul de achiziţionare al unei acţiuni. Suma efectivă plătită de către o persoană fizică sau juridică pentru a intra în posesia acţiunii.

Preţul de revânzare al unei acţiuni. Cursul de revânzare al acţiunii. Preţul de vânzare al unei acţiuni. Cursul de vânzare al acţiunii. Prima netă. Suma pe care un asigurat o plăteşte asiguratorului pentru a primi prima brută. Prima netă eşalonată. Atunci când prima netă se achită eşalonat. Prima netă unică. Atunci când prima netă se achită o singură dată. Rambursarea împrumuturilor. Operaţiunea prin care, după un anumit procedeu de plată, un

debitor întoarce creditorului său anumite sume de bani împreună cu dobânzile aferente. Rambursarea anuală. Atunci când rambursarea se face prin rate anuale. Rambursarea al pari. Atunci când valoarea de rambursare este egală cu valoarea nominală a

unei obligaţiuni. Rambursarea sub pari. Atunci când valoarea de rambursare este mai mică decât valoarea

nominală a unei obligaţiuni. Rambursarea supra pari. Atunci când valoarea de rambursare este mai mare decât valoarea

nominală a unei obligaţiuni. Scadenţa unui plasament. Momentul sau durata la care se plăteşte capitalul final,

corespunzător, unui capital iniţial. Scont. Suma de bani egală cu dobânda, care se cuvine băncii pentru achitarea anticipată a unei

poliţe, cambii etc., inclusiv comisionul perceput pentru compensarea cheltuielilor efectuate cu operaţiuni de scontare şi care se reţine din valoarea nominală a efectelor de comerţ. Prin scont, creanţa este transformată înainte de scadenţă în capitalul bănesc.

Scont comercial. Atunci când se aplică o soluţie comercială a scontului. Scont compus. Atunci când scontul se evaluează ca o dobândă compusă. Scont raţional. Atunci când scontul se calculează ca o procedură raţională de evaluare. Scont simplu. Atunci când scontul se evaluează ca o dobândă simplă. Scontare. Operaţiunea efectuată prin cumpărarea efectelor de comerţ (cambie, trate, bilete de

ordin etc.) de către bănci. Scontarea este un mijloc prin care un întreprinzător, care a vândut mărfurile pe credit, îşi procură mijloacele de plată atunci când are nevoie fără a mai aştepta scadenţa înscrisă în documentele de credit. Tehnica utilizată se bazează nu pe acordarea unui împrumut, ci pe transferul dreptului de proprietate asupra unui efect de comerţ.

Trată (cambie). Titlul de credit pe termen scurt utilizat ca instrument de plată prin care un creditor dă dispoziţie debitorului său să plătească o anumită sumă unui beneficiar la o anumită dată. În relaţiile de afaceri termenul de trată este sinonim cu cel de cambie.

Uzufructul unui împrumut. Valoarea actuală totală a tuturor dobânzilor periodice, evaluată la începutul rambursării.

109

Page 111: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Anexa 1 Tabelul de supravieţuire (de mortalitate) a populaţiei. Tabelul standard

Vârsta Masculin Vârsta Feminin x xL xd xq⋅1000 x xL xd xq⋅10000 185890 777 4,180 0 65135 188 2,8861 185113 200 1,080 1 64947 57 0,8782 184913 181 0,979 2 64890 53 0,8173 184732 181 0,980 3 64837 51 0,7874 184551 175 0,948 4 64786 50 0,7725 184376 166 0,900 5 64736 49 0,7576 184210 158 0,858 6 64687 47 0,7277 184052 147 0,799 7 64640 47 0,7278 183905 140 0,761 8 64593 45 0,6979 183765 136 0,740 9 64548 45 0,697

10 183629 134 0,730 10 64503 44 0,68211 183495 141 0,768 11 64459 44 0,68312 183354 156 0,851 12 64415 46 0,71413 183198 181 0,988 13 64369 48 0,74614 183017 210 1,147 14 64321 51 0,79315 182807 243 1,329 15 64270 55 0,85616 182564 276 1,512 16 64215 58 0,90317 182288 304 1,668 17 64157 61 0,95118 181984 324 1,780 18 64096 63 0,98319 181660 338 1,861 19 64033 65 1,01520 181322 345 1,903 20 63968 67 1,04721 180977 345 1,906 21 63901 68 1,06422 180632 342 1,893 22 63833 70 1,09723 180290 335 1,858 23 63763 71 1,11324 179955 328 1,823 24 63692 73 1,14625 179627 318 1,770 25 63619 74 1,16326 179309 310 1,729 26 63545 76 1,19627 178999 306 1,710 27 63469 77 1,21328 178693 304 1,701 28 63392 80 1,26229 178389 305 1,710 29 63312 82 1,29530 178084 308 1,730 30 63230 85 1,34431 177776 316 1,778 31 63145 88 1,39432 177460 325 1,831 32 63057 91 1,44333 177135 338 1,908 33 62966 94 1,49334 176797 354 2,002 34 62872 99 1,57535 176443 372 2,108 35 62773 104 1,65736 176071 394 2,238 36 62669 110 1,75537 175677 422 2,402 37 62559 118 1,88638 175255 452 2,579 38 62441 127 2,03439 174803 488 2,792 39 62314 138 2,21540 174315 526 3,018 40 62176 150 2,41341 173789 572 3,291 41 62026 164 2,64442 173217 617 3,562 42 61862 178 2,87743 172600 668 3,870 43 61684 261 4,23144 171932 720 4,188 44 61493 204 3,31745 171212 779 4,550 45 61289 218 3,55746 170433 839 4,923 46 61071 232 3,79947 169594 902 5,319 47 60839 246 4,04348 168692 968 5,738 48 60593 262 4,32449 167724 1042 6,213 49 60331 279 4,624

110

Page 112: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Vârsta Vârsta Feminin x 50 166682 1118 50 60052 298 4,96251 1209 7,302 51 59754 317 5,30552 164355 1308 7,958 52 59437 5,70453 163047 1420 8,709 59098 363 6,14254 161627 1545 54 58735 388 6,60655 1676 10,470 55 58347 414 7,09556 158406 1815 11,458 56 57933 7,57857 156591 1956 12,491 57494 462 8,03658 154635 2101 58 57032 483 8,46959

Masculin

xL xd xq⋅1000 xL xd xq⋅1000

95 2728 900 329,912 95 2598 825 317,55296 1828 703 384,573 96 1773 666 375,63597 1125 540 480,000 97 1107 526 475,158

585 385 658,120 98 581 381 655,76699 200 200 1000,000 99 200 200 1000,000

x 6,707

165564 339

53 9,559

160082 439

57 13,587

152534 2253 14,770 59 56549 506 8,94860 150281 2417 16,083 60 56043 531 9,47561 147864 2594 17,543 61 55512 562 10,12462 145270 2788 19,192 62 54950 602 10,95563 142482 3001 21,062 63 54348 653 12,01564 139481 3228 23,143 64 53695 711 13,24165 136253 3464 25,423 65 52984 773 14,58966 132789 3698 27,849 66 52211 835 15,99367 129091 3930 30,444 67 51376 895 17,42168 125161 4154 33,189 68 50481 951 18,83969 121007 4377 36,171 69 49530 1008 20,35170 116630 4608 39,510 70 48522 1073 22,11471 112022 4851 43,304 71 47449 1150 24,23772 107171 5107 47,653 72 46299 1244 26,86973 102064 5373 52,643 73 45055 1357 30,11974 96691 5626 58,185 74 43698 1483 33,93775 91065 5845 64,185 75 42215 1614 38,23376 85220 6011 70,535 76 40601 1745 42,97977 79209 6109 77,125 77 38856 1867 48,04978 73100 6133 83,899 78 36989 1977 53,44879 66967 6097 91,045 79 35012 2078 59,35180 60870 6016 98,834 80 32934 2173 65,98081 54854 5896 107,485 81 30761 2264 73,60082 48958 5740 117,243 82 28497 2348 82,39583 43218 5543 128,257 83 26149 2420 92,54784 37675 5284 140,252 84 23729 2463 103,79785 32391 4954 152,944 85 21266 2469 116,10186 27437 4557 166,090 86 18797 2430 129,27687 22880 4108 179,545 87 16367 2346 143,33788 18772 3628 193,267 88 14021 2218 158,19189 15144 3139 207,277 89 11803 2053 173,93990 12005 2662 221,741 90 9750 1860 190,76991 9343 2214 236,969 91 7890 1648 208,87292 7129 1807 253,472 92 6242 1428 228,77393 5322 1448 272,078 93 4814 1211 251,55894 3874 1146 295,818 94 3603 1005 278,934

98

111

Page 113: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Numere de comutaţie Anexa 2

Numere de comutaţie Rata anuală – 5 % Masculin

x Dx Nx Cx Mx ax Ax 1 2 3 4 5 6 7 0 185890,000 3692285,115 758,274 10315,501 19,863 0,055 1 176298,095 3506395,115 185,886 9557,227 19,889 0,054 2 167721,542 3330097,020 160,216 9371,341 19,855 0,056 3 159578,447 3162375,478 152,586 9211,125 19,817 0,058 4 151830,564 3002797,031 140,503 9058,539 19,777 0,060 5 144463,420 2850966,467 126,931 8918,036 19,735 0,062 6 137460,338 2706503,047 115,061 8791,105 19,689 0,064 7 130802,320 2569042,709 101,952 8676,044 19,641 0,066 8 124474,143 2438240,389 92,474 8574,092 19,588 0,069 9 118456,557 2313766,246 85,554 8481,618 19,533 0,072 10 112732,277 2195309,689 80,282 8396,064 19,474 0,074 11 107285,726 2082577,412 80,453 8315,782 19,412 0,078 12 102098,368 1975291,686 84,773 8235,329 19,347 0,081 13 97153,811 1873193,318 93,675 8150,556 19,281 0,084 14 92436,022 1776039,507 103,508 8056,881 19,214 0,087 15 87933,293 1683603,485 114,070 7953,373 19,146 0,090 16 83634,672 1595670,192 123,392 7839,303 19,079 0,094 17 79531,651 1512035,520 129,438 7715,911 19,012 0,097 18 75618,111 1432503,869 131,384 7586,473 18,944 0,100 19 71889,031 1356885,758 130,535 7455,089 18,875 0,104 20 68338,355 1284996,727 126,893 7324,554 18,803 0,107 21 64960,312 1216658,372 120,851 7197,661 18,729 0,111 22 61749,026 1151698,060 114,095 7076,810 18,651 0,115 23 58697,251 1089949,034 106,438 6962,715 18,569 0,119 24 55798,271 1031251,783 99,251 6856,277 18,482 0,123 25 53044,351 975453,512 91,643 6757,026 18,389 0,127 26 50428,995 922409,161 85,083 6665,383 18,291 0,132 27 47944,581 871980,166 79,986 6580,300 18,187 0,137 28 45583,447 824035,585 75,680 6500,314 18,078 0,143 29 43338,951 778452,138 72,313 6424,634 17,962 0,148 1 2 3 4 5 6 7 30 41204,622 735113,187 69,547 6352,321 17,841 0,154 31 39174,626 693908,565 67,955 6282,774 17,713 0,160 32 37242,850 654733,939 66,563 6214,819 17,580 0,167 33 35404,422 617491,089 65,929 6148,256 17,441 0,174 34 33654,158 582086,667 65,762 6082,327 17,296 0,181 35 31987,402 548432,509 65,815 6016,565 17,145 0,188 36 30399,964 516445,107 66,388 5950,750 16,988 0,196 37 28887,559 486045,143 67,719 5884,362 16,825 0,204 38 27445,873 457157,584 69,080 5816,643 16,657 0,212 39 26071,512 429711,711 71,030 5747,563 16,482 0,220 40 24760,693 403640,199 72,915 5676,533 16,302 0,229 41 23510,454 378879,506 75,516 5603,618 16,115 0,238 42 22317,213 355369,052 77,578 5528,102 15,924 0,248 43 21178,780 333051,839 79,991 5450,524 15,726 0,257 44 20092,203 311873,059 82,112 5370,533 15,522 0,267 45 19055,298 291780,856 84,611 5288,421 15,312 0,278 46 18065,331 272725,558 86,788 5203,810 15,097 0,288 47 17120,381 254660,227 88,862 5117,022 14,875 0,299

112

Page 114: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

1 2 3 4 5 6 7 48 16218,405 237539,846 90,823 5028,160 14,646 0,310 49 15357,466 221321,441 93,110 4937,337 14,411 0,321 50 14535,292 205963,975 95,144 4844,227 14,170 0,333 51 13750,284 191428,683 97,989 4749,083 13,922 0,345 52 12999,881 177678,399 100,965 4651,094 13,668 0,358 53 12282,307 164678,518 104,390 4550,129 13,408 0,370 54 11595,561 152396,211 108,171 4445,739 13,143 0,383 55 10937,827 140800,650 111,755 4337,568 12,873 0,397 56 10307,916 129862,823 115,261 4225,813 12,598 0,410 57 9704,580 119554,907 118,300 4110,552 12,319 0,424 58 9127,008 109850,327 121,019 3992,252 12,036 0,437 59 8574,287 100723,319 123,594 3871,233 11,747 0,451 60 8045,372 92149,032 126,277 3747,639 11,454 0,466 61 7539,025 84103,660 129,071 3621,362 11,156 0,480 62 7054,064 76564,635 132,118 3492,291 10,854 0,495 63 6589,222 69510,571 135,440 3360,173 10,549 0,510 64 6143,274 62921,349 138,747 3224,733 10,242 0,525 65 5715,334 56778,075 141,801 3085,986 9,934 0,540 66 5304,792 51062,741 144,171 2944,185 9,626 0,555 67 4911,486 45757,949 145,920 2800,014 9,317 0,570 68 4535,203 40846,463 146,892 2654,094 9,007 0,585 69 4175,888 36311,260 147,408 2507,202 8,695 0,600 70 3833,181 32135,372 147,797 2359,794 8,383 0,616 71 3506,413 28302,191 148,182 2211,997 8,072 0,631 72 3194,830 24795,778 148,574 2063,815 7,761 0,646 73 2897,702 21600,948 148,869 1915,241 7,455 0,661 74 2614,435 18703,246 148,456 1766,372 7,154 0,676 75 2345,061 16088,811 146,890 1617,916 6,861 0,690 76 2090,041 13743,750 143,868 1471,026 6,576 0,704 77 1850,114 11653,709 139,251 1327,158 6,299 0,717 78 1626,118 9803,595 133,141 1187,907 6,029 0,731 79 1418,751 8177,477 126,057 1054,766 5,764 0,743 80 1228,173 6758,726 118,459 928,709 5,503 0,756 81 1054,084 5530,553 110,568 810,250 5,247 0,769 82 895,986 4476,469 102,517 699,682 4,996 0,781 83 753,274 3580,483 94,284 597,165 4,753 0,793 84 625,392 2827,209 85,599 502,881 4,521 0,804 85 512,075 2201,817 76,431 417,282 4,300 0,815 86 413,102 1689,742 66,958 340,851 4,090 0,825 87 328,085 1276,640 57,487 273,893 3,891 0,835 88 256,361 948,555 48,352 216,406 3,700 0,844 89 196,967 692,194 39,843 168,054 3,514 0,853 90 148,705 495,227 32,179 128,211 3,330 0,862 91 110,220 346,522 25,489 96,032 3,144 0,871 92 80,096 236,302 19,813 70,543 2,950 0,881 93 56,947 156,206 15,121 50,730 2,743 0,891 94 39,479 99,259 11,397 35,609 2,514 0,902

59,780 8,524 24,212 2,258 0,914 96 16,897 33,303 6,341 15,688 1,971 0,928 97 9,904 16,406 4,639 9,347 1,657 0,944 98 4,905 6,502 3,150 4,708 1,326 0,960 99 1,597 1,597 1,558 1,558 1,000 0,976

95 26,477

113

Page 115: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Numere de comutaţie Rata anuală – 5 % Feminin

x Dx Nx Cx Mx ax Ax 1 2 3 4 5 6 7

0 65135,000 1309041,257 183,469 2868,839 20,097 0,044 1 61854,286 1243906,257 52,977 2685,370 20,110 0,043 2 58857,143 1182051,971 46,914 2632,393 20,083 0,045 3 56008,638 1123194,828 42,994 2585,479 20,054 0,046 4 53299,603 1067186,190 40,144 2542,485 20,022 0,048 5 50722,350 1013886,587 37,468 2502,341 19,989 0,049 6 48270,435 963164,237 34,227 2464,873 19,954 0,051 7 45938,441 914893,802 32,597 2430,646 19,916 0,053 8 43719,085 868955,361 29,724 2398,049 19,876 0,055 9 41608,216 825236,276 28,308 2368,325 19,833 0,057 10 39599,247 783628,060 26,361 2340,017 19,789 0,059 11 37687,842 744028,813 25,106 2313,656 19,742 0,061 12 35868,682 706340,971 24,997 2288,550 19,692 0,064 13 34136,255 670472,289 24,842 2263,553 19,641 0,066 14 32486,476 636336,034 25,138 2238,711 19,588 0,069 15 30914,969 603849,558 25,818 2213,573 19,533 0,072 16 29417,631 572934,589 25,930 2187,755 19,476 0,074 17 27991,487 543516,958 25,973 2161,825 19,417 0,077 18 26633,212 515525,471 25,547 2135,852 19,356 0,080 19 25340,032 488892,259 25,103 2110,305 19,293 0,083 20 24108,866 463552,227 24,643 2085,202 19,227 0,086 21 22936,776 439443,361 23,820 2060,559 19,159 0,090 22 21821,303 416506,585 23,353 2036,739 19,087 0,093 23 20759,403 394685,282 22,558 2013,386 19,012 0,097 24 19748,845 373925,879 22,089 1990,828 18,934 0,101 25 18786,867 354177,034 21,326 1968,739 18,852 0,105 26 17871,443 335390,167 20,859 1947,413 18,767 0,109 27 17000,065 317518,724 20,127 1926,554 18,678 0,113 28 16170,896 300518,659 19,916 1906,427 18,584 0,118 29 15381,417 284347,763 19,441 1886,511 18,486 0,123 30 14629,996 268966,346 19,193 1867,070 18,385 0,128 31 13914,599 254336,350 18,924 1847,877 18,278 0,133

1 2 3 4 5 6 7 32 13233,531 240421,751 18,638 1828,953 18,168 0,138 33 12585,174 227188,220 18,335 1810,315 18,052 0,144 34 11967,987 214603,046 18,391 1791,980 17,931 0,150 35 11380,135 202635,059 18,400 1773,589 17,806 0,156 36 10820,268 191254,924 18,535 1755,189 17,676 0,162 37 10286,929 180434,656 18,936 1736,654 17,540 0,169 38 9778,596 170147,727 19,410 1717,718 17,400 0,176 39 9294,006 160369,131 20,086 1698,308 17,255 0,183 40 8831,832 151075,125 20,793 1678,222 17,106 0,190 41 8390,977 142243,293 21,651 1657,429 16,952 0,198 42 7970,277 133852,316 22,381 1635,778 16,794 0,205 43 7568,898 125882,039 22,872 1613,397 16,631 0,213 44 7186,154 118313,141 23,265 1590,525 16,464 0,221 45 6821,252 111126,987 23,678 1567,260 16,291 0,230 46 6473,323 104305,735 23,999 1543,582 16,113 0,238 47 6141,649 97832,412 24,235 1519,583 15,929 0,247 48 5825,539 91690,763 24,582 1495,348 15,739 0,257 49 5524,142 85865,224 24,931 1470,766 15,544 0,266

3 4 5 6 7 1 2

114

Page 116: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

50 5236,758 80341,082 25,360 1445,835 15,342 0,276 75104,324 25,693 1420,475 15,134 0,286

52 4701,250 70141,684 26,167 1394,782 14,920 0,297 53 4451,844 65440,434 26,686 1368,615 14,700 0,307 54 4213,809 60988,590 27,165 1341,929 14,474 0,318 55 3986,641 56774,781 27,605 1314,764 14,241 0,330 56 3769,860 52788,140 27,878 1287,159 14,003 0,341 57 3563,137 49018,280 27,942 1259,281 13,757 0,353 58 3366,195 45455,143 27,821 1231,339 13,503 0,366 59 3178,749 42088,948 27,758 1203,518 13,241 0,379

38910,199 27,742 1175,760 12,969 0,392 61 2830,347 35909,908 27,964 1148,018 12,687 0,406 62 2668,278 33079,561 28,528 1120,054 12,397 0,420 63 2513,378 30411,283 29,471 1091,526 12,100 0,434 64 2364,932 27897,905 30,560 1062,055 11,796 0,449 65 2222,492 25532,973 31,643 1031,495 11,488 0,464 66 2085,779 23310,481 32,554 999,852 11,176 0,479 67 1954,687 21224,702 33,231 967,298 10,858 0,495 68 1829,176 19270,015 33,629 934,067 10,535 0,511 69 1709,254 17440,839 33,947 900,438 10,204 0,527 70 1594,732 15731,585 34,416 866,491 9,865 0,543 71 1485,206 14136,853 35,129 832,075 9,518 0,560 72 1380,200 12651,647 36,191 796,946 9,167 0,577 73 1279,158 11271,447 37,598 760,755 8,812 0,595 74 1181,554 9992,289 39,133 723,157 8,457 0,612 75 1087,100 8810,735 40,561 684,024 8,105 0,629 76 995,749 7723,635 41,765 643,463 7,757 0,646 77 907,574 6727,886 42,557 601,698 7,413 0,663 78 822,825 5820,312 42,919 559,141 7,074 0,680 79 741,758 4997,487 42,963 516,222 6,737 0,696 80 664,509 4255,729 42,788 473,259 6,404 0,712 81 591,109 3591,220 42,457 430,471 6,075 0,728 82 521,527 3000,111 41,935 388,014 5,753 0,744 83 455,767 2478,584 41,163 346,079 5,438 0,759 84 393,893 2022,817 39,900 304,916 5,135 0,774 85 336,198 1628,924 38,092 265,016 4,845 0,788

1292,726 35,705 226,924 4,568 0,802 87 234,693 1009,711 32,830 191,219 4,302 0,815 88 191,479 775,018 29,560 158,389 4,048 0,827 89 153,513 583,539 26,058 128,829 3,801 0,839 90 120,772 430,026 22,484 102,771 3,561 0,851 91 93,079 309,254 18,973 80,287 3,322 0,863 92 70,131 216,175 15,657 61,314 3,082 0,874 93 51,511 146,044 12,646 45,657 2,835 0,886 94 36,717 94,533 9,995 33,011 2,575 0,899 95 25,215 57,816 7,814 23,016 2,293 0,913 96 16,388 32,601 6,008 15,202 1,989 0,928 97 9,745 16,213 4,519 9,194 1,664 0,943 98 4,871 6,468 3,117 4,675 1,328 0,960 99 1,597 1,597 1,558 1,558 1,000 0,976

51 4962,640

60 3000,291

86 283,015

115

Page 117: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Numere de comutaţie Rata anuală – 7 %

Masculin x Dx Nx Cx Mx ax Ax 1 2 3 4 5 6 7

2763742,707 751,154 5259,345 14,868 0,028 1 173002,804 2577852,707 180,698 4508,191 14,901 0,026 2 161510,176 2404849,903 152,834 4327,493 14,890 0,027 3 150796,339 2243339,727 142,835 4174,659 14,877 0,028 4 140793,074 2092543,388 129,066 4031,824 14,863 0,029

1951750,314 114,419 3902,758 14,847 0,030 6 122746,901 1820292,774 101,780 3788,339 14,830 0,031 7 114618,335 1697545,873 88,499 3686,559 14,810 0,032 8 107034,384 1582927,538 78,771 3598,060 14,789 0,034 9 99955,984 1475893,154 71,514 3519,289 14,765 0,035 10 93347,672 1375937,170 65,853 3447,775 14,740 0,037 11 87177,153 1282589,498 64,760 3381,922 14,712 0,039 12 81411,369 1195412,345 66,962 3317,162 14,684 0,041 13 76020,657 1114000,976 72,610 3250,200 14,654 0,043 14 70977,148 1037980,319 78,733 3177,590 14,624 0,045 15 66257,670 967003,171 85,145 3098,857 14,595 0,047 16 61840,743 900745,501 90,381 3013,712 14,566 0,049 17 57707,712 838904,758 93,037 2923,331 14,537 0,051 18 53842,499 781197,046 92,671 2830,294 14,509 0,053 19 50230,504 727354,547 90,351 2737,623 14,480 0,055 20 46857,050 677124,043 86,189 2647,272 14,451 0,056 21 43708,314 630266,993 80,550 2561,083 14,420 0,059 22 40771,020 586558,679 74,626 2480,533 14,387 0,061 23 38031,614 545787,659 68,317 2405,907 14,351 0,063 24 35477,520 507756,045 62,513 2337,590 14,312 0,066 25 33096,127 472278,525 56,642 2275,077 14,270 0,069 26 30876,202 439182,398 51,605 2218,435 14,224 0,072 27 28806,375 408306,196 47,607 2166,830 14,174 0,075 28 26875,823 379499,821 44,201 2119,223 14,120 0,079 29 25074,860 352623,998 41,446 2075,022 14,063 0,083 30 23394,382 327549,138 39,115 2033,576 14,001 0,087 31 21826,094 304154,756 37,506 1994,461 13,935 0,091 32 20361,961 282328,662 36,050 1956,955 13,865 0,096 33 18995,018 261966,701 35,040 1920,905 13,791 0,101 34 17718,479 242971,683 34,298 1885,865 13,713 0,106 35 16526,170 225253,204 33,684 1851,567 13,630 0,112 36 15412,455 208727,034 33,342 1817,883 13,543 0,118 37 14371,931 193314,579 33,375 1784,541 13,451 0,124 38 13399,447 178942,648 33,409 1751,166 13,354 0,131 39 12490,550 165543,201 33,710 1717,757 13,253 0,138 40 11640,822 153052,651 33,958 1684,047 13,148 0,145 41 10846,445 141411,829 34,512 1650,089 13,038 0,152 42 10103,500 130565,384 34,792 1615,577 12,923 0,160 43 9408,889 120461,884 35,203 1580,785 12,803 0,168 44 8759,322 111052,995 35,461 1545,582 12,678 0,176 45 8152,001 102293,673 35,857 1510,121 12,548 0,185 46 7584,028 94141,672 36,092 1474,264 12,413 0,194 47 7052,985 86557,644 36,264 1438,172 12,272 0,204 48 6556,516 79504,659 36,372 1401,908 12,126 0,214

0 185890,000

5 131457,540

49 6092,424 72948,143 36,591 1365,536 11,974 0,224

116

Page 118: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

1 2 3 4 5 6 7 50 5658,480 66855,719 36,691 1328,945 11,815 0,235 51 5252,829 61197,239 37,082 1292,254 11,650 0,246 52 4873,337 55944,410 37,494 1255,172 11,480 0,258 53 4518,274 51071,073 38,041 1217,678 11,303 0,270 54 4185,910 46552,799 38,682 1179,637 11,121 0,282 55 3874,670 42366,889 39,217 1140,955 10,934 0,294 56 3583,274 38492,219 39,691 1101,738 10,742 0,307 57 3310,484 34908,945 39,976 1062,047 10,545 0,321 58 3055,264 31598,461 40,131 1022,071 10,342 0,335 59 2816,591 28543,197 40,219 981,940 10,134 0,349 60 2593,447 25726,606 40,323 941,721 9,920 0,363 61 2384,800 23133,159 40,445 901,398 9,700 0,378 62 2189,685 20748,359 40,626 860,953 9,475 0,393 63 2007,160 18558,674 40,869 820,327 9,246 0,409 64 1836,341 16551,514 41,085 779,458 9,013 0,424 65 1676,488 14715,173 41,204 738,373 8,777 0,440 66 1526,978 13038,685 41,110 697,169 8,539 0,457 67 1387,340 11511,707 40,831 656,059 8,298 0,473 68 1257,107 10124,367 40,335 615,228 8,054 0,489 69 1135,873 8867,260 39,720 574,893 7,807 0,506 70 1023,165 0,523 7731,387 39,080 535,173 7,556 71 918,449 6708,222 38,450 496,093 7,304 0,540 72 821,193 5789,773 37,830 457,643 7,050 0,557 73 730,898 4968,580 37,197 419,813 6,798 0,574 74 647,123 4237,682 36,401 382,616 6,548 0,591 75 569,598 3590,559 35,343 346,215 6,304 0,608 76 498,166 3020,961 33,969 310,872 6,064 0,624

2522,795 32,265 276,903 5,830 0,640 78 373,235 2090,058 30,272 244,638 5,600 0,655 79 319,553 1716,823 28,126 214,366 5,373 0,671 80 271,457 1397,270 25,937 186,240 5,147 0,686 81 228,624 1125,813 23,756 160,303 4,924 0,701 82 190,701 897,189 21,615 136,547 4,705 0,716 83 157,330 706,488 19,507 114,932 4,490 0,731 84 128,179 549,158 17,379 95,425 4,284 0,744 85 102,992 420,979 15,228 78,046 4,087 0,758 86 81,533 317,987 13,091 62,818 3,900 0,770 87 63,543 236,454 11,029 49,727 3,721 0,783 88 48,723 172,911 9,103 38,698 3,549 0,794 89 36,735 124,188 7,361 29,595 3,381 0,806 90 27,216 87,453 5,834 22,234 3,213 0,817 91 19,795 60,237 4,535 16,400 3,043 0,828 92 14,116 40,442 3,459 11,865 2,865 0,841 93 9,849 26,326 2,591 8,406 2,673 0,853 94 6,700 16,477 1,916 5,815 2,459 0,868 95 4,409 9,777 1,406 3,899 2,218 0,884 96 2,761 5,368 1,027 1,944 0,903 97 1,588 2,607 0,737 1,466 1,642 0,923 98 0,772 1,019 0,491 0,729 1,320 0,944 99 0,247 0,247 0,238 0,238 1,000 0,964

77 432,737

2,493

117

Page 119: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Numere de comutaţie Rata anuală – 7 %

Feminin x Dx Nx Cx Mx ax Ax 1 2 3 4 5 6 7

0 65135,000 974993,502 181,746 1396,840 14,969 0,021 1 60698,131 909858,502 51,499 1215,094 14,990 0,020 2 56677,439 849160,371 44,752 1163,595 14,982 0,021 3 52926,305 792482,932 40,246 1118,843 14,973 0,021 4 49424,929 739556,627 36,876 1078,597 14,963 0,022 5 46155,873 690131,698 33,774 1041,721 14,952 0,023 6 43103,679 643975,825 30,276 1007,947 14,940 0,023 7 40254,543 600872,146 28,296 977,671 14,927 0,024 8 37593,714 560617,603 25,319 949,375 14,913 0,025 9 35109,835 523023,889 23,663 924,056 14,897 0,026 10 32790,054 487914,054 21,623 900,393 14,880 0,027 11 30624,007 455124,000 20,209 878,770 14,862 0,029 12 28601,030 424499,993 19,745 858,561 14,842 0,030 13 26710,847 395898,963 19,256 838,816 14,822 0,031 14 24944,793 369188,116 19,121 819,560 14,800 0,033 15 23294,406 344243,323 19,271 800,439 14,778 0,034 16 21751,842 320948,917 18,993 781,168 14,755 0,036 17 20310,463 299197,075 18,669 762,175 14,731 0,038 18 18963,694 278886,612 18,019 743,506 14,706 0,039 19 17705,658 259922,918 17,375 725,487 14,680 0,041 20 16530,547 242217,260 16,738 708,112 14,653 0,043 21 15432,928 225686,713 15,877 691,374 14,624 0,045 22 14407,948 210253,785 15,274 675,497 14,593 0,047 23 13450,606 195845,837 14,479 660,223 14,560 0,049 24 12556,663 182395,231 13,913 645,744 14,526 0,051 25 11721,748 169838,568 13,181 631,831 14,489 0,054 26 10942,163 158116,820 12,652 618,650 14,450 0,057 27 10214,089 147174,657 11,979 605,998 14,409 0,059 28 9534,297 136960,568 11,632 594,019 14,365 0,062 29 8899,313 127426,271 11,143 582,387 14,319 0,065 30 8306,343 118526,958 10,795 571,244 14,269 0,069 31 7752,502 110220,615 10,445 560,449 14,217 0,072 32 7235,231 102468,113 10,094 550,004 14,162 0,076 33 6752,140 95232,882 9,745 539,910 14,104 0,080 34 6300,991 88480,742 9,592 530,165 14,042 0,084 35 5879,504 82179,751 9,417 520,573 13,977 0,089 36 5485,760 76300,247 9,309 511,156 13,909 0,093 37 5117,879 70814,487 9,332 501,847 13,837 0,098 38 4774,043 65696,608 9,387 492,515 13,761 0,103 39 4452,647 60922,565 9,533 483,128 13,682 0,109 40 4152,137 56469,918 9,684 473,595 13,600 0,114 41 3871,140 52317,781 9,895 463,911 13,515 0,120 42 3608,322 48446,641 10,037 454,016 13,426 0,126 43 3362,560 44838,319 10,066 443,979 13,335 0,132 44 3132,849 41475,759 10,047 433,913 13,239 0,139 45 2918,183 38342,910 10,034 423,866 13,139 0,145 46 2717,573 35424,727 9,980 413,832 13,035 0,152 47 2530,140 32707,154 9,890 403,852 12,927 0,160 48 2355,055 30177,014 9,844 393,962 12,814 0,167 49 2191,469 27821,959 9,797 384,118 12,696 0,175

118

Page 120: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

1 2 3 4 5 6 7 50 2038,631 25630,490 9,780 374,321 12,572 0,184 51 1895,808 23591,859 9,723 364,541 12,444 0,192 52 1762,384 21696,051 9,717 354,818 12,311 0,201 53 1637,693 19933,667 9,725 345,101 12,172 0,211 54 1521,153 18295,974 9,714 335,376 12,028 0,220 55 1412,247 16774,821 9,687 325,662 11,878 0,231 56 1310,492 15362,574 9,600 315,975 11,723 0,241 57 1215,478 14052,082 9,442 306,375 11,561 0,252 58 1126,833 12836,604 9,226 296,933 11,392 0,264 59 1044,196 11709,771 9,033 287,707 11,214 0,276 60 967,152 10665,575 8,859 278,674 11,028 0,288 61 895,316 9698,423 8,763 269,815 10,832 0,301 62 828,273 8803,107 8,772 261,052 10,628 0,315 63 765,606 7974,834 8,893 252,280 10,416 0,330 64 706,923 7209,228 9,049 243,387 10,198 0,344 65 651,927 6502,305 9,195 234,338 9,974 0,359 66 600,389 5850,378 9,283 225,143 9,744 0,375 67 552,137 5249,989 9,299 215,860 9,508 0,391 68 507,027 4697,852 9,234 206,561 9,265 0,407 69 464,930 4190,825 9,147 197,327 9,014 0,424 70 425,671 3725,895 9,100 188,180 8,753 0,442 71 389,026 3300,224 9,115 179,080 8,483 0,460 72 354,764 2911,198 9,215 169,965 8,206 0,479 73 322,647 2556,434 9,394 160,750 7,923 0,498 74 292,457 2233,787 9,595 151,356 7,638 0,518 75 264,048 1941,330 9,760 141,761 7,352 0,537 76 237,339 1677,282 9,861 132,001 7,067 0,556 77 212,279 1439,943 9,861 122,140 6,783 0,575 78 188,859 1227,664 9,758 112,279 6,500 0,595 79 167,070 1038,805 9,586 102,521 6,218 0,614 80 146,873 871,735 9,368 92,935 5,935 0,633 81 128,208 724,862 9,122 83,567 5,654 0,652 82 111,002 596,654 8,842 74,445 5,375 0,671 83 95,192 485,652 8,517 65,603 5,102 0,689 84 80,731 390,460 8,101 57,086 4,837 0,707 85 67,618 309,729 7,589 48,985 4,581 0,724 86 55,858 242,111 6,981 41,396 4,334 0,741 87 45,455 186,253 6,299 34,415 4,098 0,757 88 36,392 140,798 5,565 28,116 3,869 0,773 89 28,631 104,406 4,814 22,551 3,647 0,788 90 22,104 75,775 4,076 17,737 3,428 0,802 91 16,717 53,671 3,376 13,661 3,211 0,817 92 12,360 36,954 2,734 10,285 2,990 0,832 93 8,909 24,594 2,167 7,551 2,761 0,848 94 6,231 15,685 1,680 5,384 2,517 0,864

9,454 1,289 3,704 2,251 0,882 96 2,678 5,255 0,973 2,415 1,962 0,902 97 1,563 2,577 0,718 1,442 1,649 0,923 98 0,767 1,014 0,486 0,724 1,322 0,944 99 0,247 0,247 0,238 0,238 1,000 0,964

95 4,199

119

Page 121: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Numere de comutaţie Rata anuală – 10%

Masculin x Dx Nx Cx Mx ax Ax 1 2 3 4 5 6 7

0 185890,000 2013716,881 740,840 2962,702 10,833 0,016 1 168284,545 1827826,881 173,357 2221,862 10,862 0,013 2 152820,661 1659542,336 142,625 2048,505 10,859 0,013 3 138791,886 1506721,675 129,659 1905,880 10,856 0,014 4 126050,816 1367929,789 113,965 1776,221 10,852 0,014 5 114482,990 1241878,973 98,276 1662,256 10,848 0,015 6 103981,743 1127395,983 85,036 1563,980 10,842 0,015 7 94447,778 1023414,240 71,924 1478,944 10,836 0,016 8 85793,040 928966,462 62,272 1407,020 10,828 0,016 9 77934,299 843173,422 54,993 1344,748 10,819 0,017 10 70796,929 765239,123 49,259 1289,755 10,809 0,018 11 64313,878 694442,194 47,120 1240,496 10,798 0,019 12 58422,235 630128,316 47,393 1193,376 10,786 0,020 13 53065,935 571706,081 49,989 1145,983 10,774 0,022 14 48194,096 518640,146 52,726 1095,994 10,761 0,023 15 43762,542 470446,050 55,465 1043,268 10,750 0,024 16 39731,246 426683,508 57,270 987,803 10,739 0,025 17 36064,709 386952,262 57,346 930,533 10,729 0,026 18 32731,422 350887,553 55,562 873,187 10,720 0,027 19 29702,862 318156,131 52,694 817,625 10,711 0,028 20 26952,360 288453,269 48,896 764,931 10,702 0,028 21 24455,525 261500,909 44,450 716,035 10,693 0,029 22 22189,914 237045,384 40,058 671,585 10,683 0,030 23 20134,455 214855,470 35,671 631,527 10,671 0,031 24 18270,039 194721,015 31,751 595,856 10,658 0,033 25 16578,853 176450,976 27,984 564,105 10,643 0,034 26 15045,003 159872,123 24,800 536,121 10,626 0,036 27 13653,629 144827,120 22,255 511,321 10,607 0,037 28 12391,171 131173,491 20,099 489,066 10,586 0,039 29 11245,537 118782,320 18,332 468,967 10,563 0,042 30 10205,736 107536,783 16,830 450,635 10,537 0,044 31 9261,896 97331,047 15,697 433,805 10,509 0,047 32 8404,939 88069,151 14,676 418,108 10,478 0,050 33 7626,860 79664,212 13,876 403,432 10,445 0,053 34 6920,279 72037,352 13,212 389,556 10,410 0,056 35 6278,566 65117,073 12,621 376,344 10,371 0,060 36 5695,753 58838,507 12,152 363,723 10,330 0,064 37 5166,371 53142,754 11,833 351,571 10,286 0,068 38 4685,418 47976,383 11,522 339,738 10,240 0,073 39 4248,486 43290,965 11,309 328,216 10,190 0,077 40 3851,477 39042,479 11,081 316,907 10,137 0,082 41 3490,778 35191,002 10,955 305,826 10,081 0,088 42 3162,989 31700,224 10,742 294,871 10,022 0,093 43 2865,203 28537,235 10,573 284,129 9,960 0,099 44 2594,649 25672,032 10,360 273,556 9,894 0,105 45 2348,894 23077,383 10,190 263,196 9,825 0,112 46 2125,642 20728,489 9,977 253,006 9,752 0,119 47 1922,889 18602,847 9,751 243,029 9,674 0,126 48 1738,784 16679,958 9,513 233,278 9,593 0,134 49 1571,642 14941,174 9,310 223,765 9,507 0,142

120

Page 122: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

1 2 3 4 5 6 7 50 1419,889 13369,532 9,081 214,455 9,416 0,151 51 1282,150 11949,643 8,927 205,374 9,320 0,160 52 1157,080 10667,493 8,780 196,447 9,219 0,170 53 1043,519 9510,413 8,665 187,667 9,114 0,180 54 940,392 8466,894 8,571 179,002 9,004 0,190 55 846,730 7526,502 8,452 170,431 8,889 0,201 56 761,695 6679,772 8,321 161,979 8,770 0,213 57 684,516 5918,077 8,152 153,658 8,646 0,224 58 614,514 5233,561 7,961 145,506 8,517 0,237 59 551,059 4619,047 7,761 137,545 8,382 0,250 60 493,563 4067,988 7,569 129,784 8,242 0,263 61 441,478 3574,425 7,384 122,215 8,096 0,277 62 394,302 3132,947 7,215 114,831 7,946 0,291 63 351,577 2738,645 7,060 107,616 7,790 0,306 64 312,884 2387,068 6,904 100,556 7,629 0,321 65 277,857 2074,184 6,735 93,652 7,465 0,337 66 246,176 1796,327 6,537 86,917 7,297 0,353 67 217,564 1550,151 6,315 80,380 7,125 0,369 68 191,764 1332,587 6,068 74,065 6,949 0,386 69 168,545 1140,823 5,813 67,997 6,769 0,403 70 147,680 972,278 5,563 62,184 6,584 0,421 71 128,950 824,598 5,324 56,621 6,395 0,439 72 112,151 695,648 5,096 51,297 6,203 0,457 73 97,097 583,497 4,874 46,201 6,009 0,476 74 83,623 486,400 4,639 41,327 5,817 0,494 75 71,598 402,777 4,382 36,688 5,626 0,512 76 60,911 331,179 4,096 32,306 5,437 0,530 77 51,468 270,268 3,785 28,210 5,251 0,548 78 43,181 218,800 3,454 24,425 5,067 0,566 79 35,962 175,619 3,122 20,971 4,883 0,583 80 29,716 139,657 2,800 17,849 4,700 0,601 81 24,344 109,941 2,495 15,049 4,516 0,618 82 19,753 85,597 2,208 12,554 4,333 0,636 83 15,852 65,844 1,938 10,346 4,154 0,653 84 12,562 49,992 1,680 8,408 3,980 0,669 85 9,819 37,430 1,432 6,728 3,812 0,685 86 7,561 27,611 1,197 5,296 3,652 0,700 87 5,732 20,050 0,981 4,099 3,498 0,715 88 4,275 14,318 0,788 3,118 3,349 0,729 89 3,135 10,043 0,620 2,330 3,204 0,743 90 2,260 6,908 0,478 1,710 3,057 0,757 91 1,599 4,648 0,361 1,232 2,907 0,770 92 1,109 3,049 0,268 0,871 2,749 0,785 93 0,753 1,940 0,195 0,603 2,576 0,801 94 0,498 1,187 0,140 0,408 2,384 0,819 95 0,319 0,689 0,100 0,268 2,160 0,840 96 0,194 0,370 0,071 0,168 1,907 0,866 97 0,109 0,176 0,050 0,097 1,615 0,890 98 0,051 0,922 0,067 0,032 0,047 1,314 99 0,016 0,016 0,015 0,015 1,000 0,938

121

Page 123: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Numere de comutaţie Rata anuală – 10%

Feminin x Dx Nx Cx Mx ax Ax 1 2 3 4 5 6 7

0 65135,000 708354,853 179,251 775,177 10,875 0,012 1 59042,727 643219,853 49,407 595,926 10,894 0,010 2 53628,099 584177,126 41,763 546,519 10,893 0,010 3 48712,998 530549,027 36,534 504,756 10,891 0,010 4 44249,710 481836,029 32,561 468,222 10,889 0,011 5 40195,963 437586,319 29,009 435,661 10,886 0,011 6 36514,125 397390,356 25,296 406,652 10,883 0,011 7 33170,541 360876,231 22,996 381,356 10,879 0,011 8 30133,111 327705,690 20,016 358,360 10,875 0,012 9 27374,653 297572,579 18,196 338,344 10,870 0,012 10 24868,699 270197,926 16,174 320,148 10,865 0,013 11 22592,486 245329,227 14,704 303,974 10,859 0,013 12 20524,604 222736,741 13,975 289,270 10,852 0,014 13 18645,406 202212,137 13,257 275,295 10,845 0,015 14 16937,730 183566,731 12,805 262,038 10,838 0,015 15 15385,727 166629,001 12,554 249,233 10,830 0,016 16 13975,055 151243,274 12,035 236,679 10,822 0,017 17 12693,120 137268,219 11,507 224,644 10,814 0,018 18 11528,229 124575,099 10,804 213,137 10,806 0,018 19 10469,907 113046,870 10,133 202,333 10,797 0,019 20 9508,436 102576,963 9,496 192,200 10,788 0,020 21 8634,979 93068,527 8,761 182,704 10,778 0,021 22 7841,627 84433,548 8,199 173,943 10,767 0,022 23 7120,934 76591,921 7,560 165,744 10,756 0,023 24 6466,368 69470,987 7,066 158,184 10,743 0,024 25 5871,779 63004,619 6,512 151,118 10,730 0,026 26 5331,772 57132,840 6,080 144,606 10,716 0,027 27 4841,268 51801,068 5,600 138,526 10,700 0,029 28 4395,814 46959,800 5,289 132,926 10,683 0,030 29 3991,151 42563,986 4,929 127,637 10,665 0,032 30 3623,620 38572,835 4,645 122,708 10,645 0,034 31 3289,771 34949,215 4,371 118,063 10,624 0,036 32 2986,533 31659,444 4,109 113,692 10,601 0,038 33 2711,112 28672,911 3,859 109,583 10,576 0,040 34 2460,968 25961,799 3,695 105,724 10,549 0,043 35 2233,721 23500,831 3,529 102,029 10,521 0,046 36 2027,291 21267,110 3,393 98,500 10,490 0,049 37 1839,757 19239,819 3,309 95,107 10,458 0,052 38 1669,352 17400,062 3,237 91,798 10,423 0,055 39 1514,506 15730,710 3,198 88,561 10,387 0,058 40 1373,774 14216,204 3,160 85,363 10,348 0,062 41 1245,873 12842,430 3,141 82,203 10,308 0,066 42 1129,617 11596,557 3,099 79,062 10,266 0,070 43 1023,970 10466,940 3,023 75,963 10,222 0,074 44 927,999 9442,970 2,935 72,940 10,176 0,079 45 840,837 8514,971 2,852 70,005 10,127 0,083 46 761,678 7674,134 2,759 67,153 10,075 0,088 47 689,804 6912,456 2,659 64,394 10,021 0,093 48 624,559 6222,652 2,575 61,735 9,963 0,099 49 565,326 5598,093 2,493 59,160 9,902 0,105

122

Page 124: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

1 2 3 4 5 6 7 50 511,556 5032,767 2,420 56,667 9,838 51 462,743 4521,211 2,341 54,247 9,770 52 418,444 4058,468 2,276 51,906 9,699 53 378,234 3640,024 2,215 49,630 9,624 54 341,737 3261,790 2,152 47,415 9,545 55 308,618 2920,053 2,088 45,263 9,462 56 278,571 2611,435 2,013 43,175 9,374 57 251,327 2332,864 1,926 41,162 9,282 58 226,643 2081,537 1,830 39,236 9,184 59 204,294 1854,894 1,743 37,406 9,080 60 184,060 1650,600 1,663 35,663 8,968 61 165,742 1466,540 1,600 34,000 8,848 62 149,149 1300,798 1,558 32,400 8,721 63 134,105 1151,649 1,536 30,842 8,588 64 120,449 1017,544 1,521 29,306 8,448 65 108,049 897,095 1,503 27,785 8,303 66 96,793 789,046 1,476 26,282 8,152 67 86,587 692,253 1,438 24,806 7,995 68 77,344 605,666 1,389 23,368 7,831 69 68,988 528,322 1,339 21,979 7,658 70 61,440 459,334 1,295 20,640 7,476

397,894 1,262 19,345 72 48,451 343,275 1,241 18,083 7,085 73 42,862 294,824 1,231 16,842 6,878 74 37,792 251,962 1,223 15,611 6,667 75 33,191 214,170 1,210 14,388 6,453 76 29,020 180,979 1,189 13,178 6,236 77 25,248 151,959 1,157 11,989 6,019 78 21,850 126,711 1,113 10,832 5,799 79 18,802 104,861 1,064 9,719 5,577 80 16,078 86,059 1,011 8,655 5,353 81 13,652 69,981 0,958 7,644 5,126 82 11,497 56,329 0,903 6,686 4,899 83 9,591 44,832 0,846 5,783 4,674 84 7,912 35,241 0,783 4,937 4,454 85 6,446 27,329 0,714 4,154 4,240 86 5,180 20,883 0,638 3,440 4,031 87 4,100 15,703 0,560 2,802 3,830 88 3,193 11,603 0,482 2,242 3,634 89 2,444 8,410 0,405 1,760 3,441 90 1,835 5,966 0,334 1,355 3,251 91 1,350 4,131 0,269 1,021 3,060 92 0,971 2,781 0,212 0,752 2,864 93 0,681 1,810 0,163 0,540

0,111 0,117 0,124 0,131 0,139 0,147 0,155 0,164 0,173 0,183 0,194 0,205 0,217 0,230 0,243 0,257 0,272 0,286 0,302 0,319 0,336 0,354 0,373 0,393 0,413 0,433 0,454 0,475 0,496 0,517 0,538 0,560 0,582 0,603 0,624 0,644 0,664 0,683 0,702 0,720 0,738 0,756 0,774

2,658 0,793 94 0,463 1,129 0,123 0,377 2,438 0,814 95 0,304 0,666 0,092 0,254 2,191 0,836

0,362 0,067 0,162 1,926 0,862 97 0,107 0,174 0,095 1,626 0,888 98 0,051 0,067 0,032 0,047 1,314 0,922 99 0,016 0,016 0,015 0,015 1,000 0,938

71 54,619 7,285

96 0,188 0,048

123

Page 125: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Numere de comutaţie Rata anuală – 13%

Masculin x Dx Nx Cx Mx ax Ax 1 2 3 4 5 6 7

0 185890,000 1597869,425 730,940 2194,399 8,596 0,012 1 163816,814 1411979,425 166,499 1463,459 8,619 0,009 2 144814,003 1248162,611 133,347 1296,960 8,619 0,009 3 128028,543 1103348,608 118,006 1163,613 8,618 0,009 4 113188,585 975320,065 100,968 1045,607 8,617 0,009 5 100071,906 862131,480 84,757 944,639 8,615 0,009 6 88479,476 762059,574 71,392 859,882 8,613 0,010 7 78233,262 673580,098 58,780 788,490 8,610 0,010 8 69177,679 595346,836 49,541 729,710 8,606 0,011 9 61172,581 526169,157 42,589 680,169 8,601 0,011 10 54094,964 464996,576 37,135 637,580 8,596 0,012 11 47836,716 410901,612 34,579 600,445 8,590 0,013 12 42300,847 363064,896 33,857 565,866 8,583 0,013 13 37402,529 320764,049 34,763 532,009 8,576 0,014 14 33066,880 283361,520 35,693 497,246 8,569 0,015 15 29229,149 250294,640 36,550 461,553 8,563 0,016 16 25832,120 221065,491 36,738 425,003 8,558 0,016 17 22825,723 195233,371 35,810 388,265 8,553 0,017 18 20166,068 172407,648 33,775 352,455 8,549 0,017 19 17814,305 152241,580 31,181 318,680 8,546 0,018 20 15735,539 134427,275 28,165 287,499 8,543 0,018 21 13898,761 118691,736 24,925 259,334 8,540 0,019 22 12276,341 104792,975 21,866 234,409 8,536 0,019 23 10843,449 92516,634 18,954 212,543 8,532 0,020 24 9578,142 81673,185 16,423 193,589 8,527 0,020 25 8460,782 72095,043 14,091 177,166 8,521 0,021 26 7474,163 63634,261 12,156 163,075 8,514 0,022 27 6602,868 56160,098 10,619 150,919 8,505 0,023 28 5833,257 49557,230 9,336 140,300 8,496 0,024 29 5153,392 43723,973 8,289 130,964 8,485 0,025 30 4552,727 38570,581 7,407 122,675 8,472 0,027 31 4021,994 34017,854 6,725 115,268 8,458 0,029 32 3552,960 29995,860 6,121 108,543 8,442 0,031 33 3138,454 26442,900 5,634 102,422 8,425 0,033 34 2772,093 23304,446 5,222 96,788 8,407 0,035 35 2448,268 20532,353 4,856 91,566 8,386 0,037 36 2162,041 18084,085 4,551 86,710 8,364 0,040 37 1909,029 15922,044 4,314 82,159 8,340 0,043 38 1685,348 14013,015 4,089 77,845 8,315 0,046 39 1487,612 12327,667 3,907 73,756 8,287 0,050 40 1312,795 10840,055 3,727 69,849 8,257 0,053 41 1158,260 9527,260 3,586 66,122 8,225 0,057 42 1021,635 8369,000 3,423 62,536 8,192 0,061 43 900,882 7347,365 3,280 59,113 8,156 0,066 44 794,155 6446,483 3,129 55,833 8,117 0,070 45 699,849 5652,328 2,995 52,704 8,076 0,075 46 616,517 4952,479 2,855 49,709 8,033 0,081 47 542,905 4335,962 2,716 46,854 7,987 0,086 48 477,891 3793,057 2,580 44,138 7,937 0,092 49 420,486 3315,166 2,457 41,558 7,884 0,099

124

Page 126: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

1 2 3 4 5 6 7 50 369,800 2894,680 2,333 39,101 7,828 0,106 51 325,061 2524,880 2,233 36,768 7,767 0,113 52 285,564 2199,819 2,138 34,535 7,703 0,121 53 250,701 1914,255 2,054 32,397 7,636 0,129 54 219,927 1663,554 1,978 30,343 7,564 0,138 55 192,765 1443,627 1,899 28,365 7,489 0,147 56 168,802 1250,862 1,819 26,466 7,410 0,157 57 147,671 1082,060 1,735 24,647 7,328 0,167 58 129,050 934,389 1,649 22,912 7,241 0,178 59 112,652 805,339 1,565 21,263 7,149 0,189 60 98,219 692,687 1,486 19,698 7,052 0,201 61 85,522 594,468 1,411 18,212 6,951 0,213 62 74,355 508,946 1,342 16,801 6,845 0,226 63 64,538 434,591 1,279 15,459 6,734 0,240 64 55,911 370,053 1,217 14,180 6,619 0,254 65 48,333 314,142 1,156 12,963 6,500 0,268 66 41,685 265,809 1,092 11,807 6,377 0,283 67 35,862 224,124 1,027 10,715 6,250 0,299 68 30,771 188,262 0,961 9,688 6,118 0,315 69 26,327 157,491 0,896 8,727 5,982 0,331 70 22,455 131,164 0,835 7,831 5,841 0,349 71 19,087 108,709 0,778 6,996 5,695 0,367 72 16,160 89,622 0,724 6,218 5,546 0,385 73 13,619 73,462 0,674 5,494 5,394 0,403 74 11,418 59,843 0,625 4,820 5,241 0,422 75 9,516 48,425 0,575 4,195 5,089 0,441 76 7,881 38,909 0,523 3,620 4,937 0,459 77 6,482 31,028 0,470 3,097 4,787 0,478 78 5,294 24,546 0,418 2,627 4,637 0,496 79 4,292 19,252 0,368 2,209 4,486 0,515 80 3,452 14,960 0,321 1,841 4,334 0,533 81 2,753 11,508 0,278 1,520 4,180 0,552 82 2,175 8,755 0,240 1,242 4,025 0,571 83 1,699 6,580 0,205 1,002 3,873 0,590 84 1,311 4,881 0,173 0,797 3,723 0,608 85 0,997 3,570 0,143 0,624 3,581 0,626 86 0,747 2,573 0,117 0,481 3,444 0,644 87 0,552 1,826 0,093 0,364 3,308 0,659 88 0,401 1,274 0,073 0,271 3,177 0,676 89 0,286 0,873 0,056 0,198 3,052 0,692 90 0,201 0,587 0,042 0,142 2,920 0,706 91 0,138 0,386 0,031 0,100 2,797 0,725 92 0,093 0,248 0,022 0,069 2,667 0,742 93 0,062 0,155 0,016 0,047 2,500 0,758 94 0,040 0,093 0,011 0,031 2,325 0,775 95 0,025 0,053 0,008 0,020 2,120 0,800 96 0,015 0,028 0,005 0,012 1,867 0,800 97 0,008 0,013 0,004 0,007 1,625 0,875 98 0,004 0,005 0,002 0,003 1,250 0,750 99 0,001 0,001 0,001 0,001 1,000 1,000

125

Page 127: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Numere de comutaţie Rata anuală – 13%

Feminin x Dx Nx Cx Mx ax Ax 1 2 3 4 5 6 7

0 65135,000 561458,788 176,856 576,576 8,620 0,009 1 57475,221 496323,788 47,452 399,720 8,635 0,007 2 50818,388 438848,567 39,046 352,268 8,636 0,007 3 44935,293 388030,179 33,250 313,222 8,635 0,007 4 39734,467 343094,886 28,848 279,972 8,635 0,007 5 35136,107 303360,419 25,019 251,124 8,634 0,007 6 31070,365 268224,312 21,237 226,105 8,633 0,007 7 27475,920 237153,947 18,794 204,868 8,631 0,007 8 24297,294 209678,027 15,924 186,074 8,630 0,008 9 21487,050 185380,733 14,092 170,150 8,628 0,008 10 19001,832 163893,683 12,194 156,058 8,625 0,008 11 16804,310 144891,851 10,791 143,864 8,622 0,009 12 14860,920 128087,541 9,983 133,073 8,619 0,009 13 13141,865 113226,621 9,219 123,090 8,616 0,009 14 11621,296 100084,756 8,668 113,871 8,612 0,010 15 10276,179 88463,460 8,273 105,203 8,609 0,010 16 9086,181 78187,281 7,720 96,930 8,605 0,011 17 8033,606 69101,100 7,186 89,210 8,602 0,011 18 7102,626 61067,494 6,567 82,024 8,598 0,012 19 6279,332 53964,868 5,996 75,457 8,594 0,012 20 5551,290 47685,536 5,470 69,461 8,590 0,013 21 4907,500 42134,246 4,913 63,991 8,586 0,013 22 4338,299 37226,746 4,475 59,078 8,581 0,014 23 3834,993 32888,447 4,017 54,603 8,576 0,014 24 3390,020 29053,454 3,655 50,586 8,570 0,015 25 2996,579 25663,434 3,279 46,931 8,564 0,016 26 2648,755 22666,855 2,980 43,652 8,558 0,016 27 2341,228 20018,100 2,672 40,672 8,550 0,017 28 2069,369 17676,872 2,457 38,000 8,542 0,018 29 1828,989 15607,503 2,228 35,543 8,533 0,019 30 1616,478 13778,514 2,044 33,315 8,524 0,021 31 1428,589 12162,036 1,873 31,271 8,513 0,022 32 1262,476 10733,447 1,714 29,398 8,502 0,023 33 1115,623 9470,971 1,567 27,684 8,489 0,025 34 985,803 8355,348 1,460 26,117 8,476 0,026 35 871,018 7369,545 1,358 24,657 8,461 0,028 36 769,536 6498,527 1,271 23,299 8,445 0,030 37 679,810 5728,991 1,206 22,028 8,427 0,032 38 600,467 5049,181 1,149 20,822 8,409 0,035 39 530,306 4448,714 1,105 19,673 8,389 0,037 40 468,258 3918,408 1,063 18,568 8,368 0,040 41 413,388 3450,150 1,028 17,505 8,346 0,042 42 364,863 3036,762 0,988 16,477 8,323 0,045 43 321,958 2671,899 0,938 15,489 8,299 0,048 44 284,037 2349,941 0,886 14,551 8,273 0,051 45 250,526 2065,904 0,838 13,665 8,246 0,055 46 220,916 1815,378 0,789 12,827 8,218 0,058 47 194,758 1594,462 0,741 12,038 8,187 0,062 48 171,655 1399,704 0,698 11,297 8,154 0,066 49 151,250 1228,049 0,658 10,599 8,119 0,070

126

Page 128: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

1 2 3 4 5 6 7 50 133,231 1076,799 0,622 9,941 8,082 0,075 51 117,318 943,568 0,585 9,319 8,043 0,079 52 103,271 826,250 0,554 8,734 8,001 0,085 53 90,869 722,979 0,525 8,180 7,956 0,090 54 79,921 632,110 0,497 7,655 7,909 0,096 55 70,259 552,189 0,469 7,158 7,859 0,102 56 61,735 481,930 0,440 6,689 7,806 0,108 57 54,219 420,195 0,410 6,249 7,750 0,115 58 47,596 365,976 0,379 5,839 7,689 0,123 59 41,763 318,380 0,352 5,460 7,623 0,131 60 36,628 276,617 0,326 5,108 7,552 0,139 61 32,107 239,989 0,306 4,782 7,475 0,149 62 28,126 207,882 0,290 4,476 7,391 0,159 63 24,617 179,756 0,278 4,186 7,302 0,170 64 21,524 155,139 0,268 3,908 7,208 0,182 65 18,795 133,615 0,258 3,640 7,109 0,194 66 16,390 114,820 0,247 3,382 7,005 0,206 67 14,273 98,430 0,234 3,135 6,896 0,220 68 12,411 84,157 0,220 2,901 6,781 0,234 69 10,776 71,746 0,206 2,681 6,658 0,249 70 9,342 60,970 0,194 2,475 6,526 0,265 71 8,085 51,628 0,184 2,281 6,386 0,282 72 6,981 43,543 0,176 2,097 6,237 0,300 73 6,012 36,562 0,170 1,921 6,082 0,320 74 5,160 30,550 0,165 1,751 5,921 0,339 75 4,411 25,390 0,159 1,586 5,756 0,360 76 3,755 20,979 0,152 1,427 5,587 0,380 77 3,180 17,224 0,144 1,275 5,416 0,401 78 2,679 14,044 0,135 1,131 5,242 0,422 79 2,244 11,365 0,125 0,996 5,065 0,444 80 1,868 9,121 0,116 0,871 4,883 0,466 81 1,544 7,253 0,107 0,755 4,698 0,489 82 1,266 5,709 0,098 0,648 4,509 0,512 83 1,028 4,443 0,089 0,550 4,322 0,535 84 0,825 3,415 0,081 0,461 4,139 0,559 85 0,655 2,590 0,072 0,380 3,954 0,580 86 0,512 1,935 0,062 0,308 3,779 0,602 87 0,395 1,423 0,053 0,246 3,603 0,623 88 0,299 1,028 0,045 0,193 3,438 0,645 89 0,223 0,729 0,036 0,148 3,269 0,664 90 0,163 0,506 0,029 0,112 3,104 0,687 91 0,117 0,343 0,023 0,083 2,932 0,709 92 0,082 0,226 0,018 0,060 2,756 0,732 93 0,056 0,144 0,013 0,042 2,571 0,750 94 0,037 0,088 0,010 0,029 2,378 0,784 95 0,024 0,051 0,007 0,019 2,125 0,792 96 0,014 0,027 0,005 0,012 1,929 0,857 97 0,008 0,013 0,004 0,007 1,625 0,875 98 0,004 0,005 0,002 0,003 1,250 0,750

0,001 0,001 0,001 1,000 99 0,001 1,000

127

Page 129: Academia de Studii Economice din Moldova DUMITRU ZAMBIŢCHI Asem_2005/CD... · dobânzii nu-i încurajează pe creditori în plasarea capitalului. Aşadar, apare necesitatea să se

Redactor – Maria Năstase Rectificare computerizată – Tatiana Boico Procesare computerizată – Feofan Belicov

Semnat pentru tipar 13.06.05 Format 60 × 84 1/16. Rotaprint. Coli editoriale 10.2

Coli de tipar 14,7. Tirajul 200 ex. Comanda

Tipografia Departamentului Editorial-Poligrafic al A.S.E.M. Str. Mitropolit Bănulescu-Bodoni 59,

Tel: 22-27-68

128