Matematici Financiare Si Actuariale SC - ID

MATEMATICI FINANCIARE SI ACTUARIALE

ANUL I Semestrul II

Cluj-Napoca 2013

UNIVERSITATEA ” BABES-BOLYAI” CLUJ-NAPOCAFACULTATEA DE STIINTE ECONOMICE SI GESTIUNEAAFACERILORTRUNCHI COMUN ANUL I IDANUL UNIVERSITAR 2013/2014SEMESTRUL II

SUPORT DE CURS

Anul I

Semestrul 2

Intocmit de:Anton S. Muresan

Diana Andrada FilipPaula Curt

Rodica Ioana Lung

Cluj Napoca,2013

Cuprins

1 MODULUL I. ALGEBRA LINIARA 71.1 UNITATEA 1. Aplicatii economice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 UNITATEA 2. Sisteme de ecuatii liniare. Solutii admisibile de baza . . . . . . . . . . . 81.3 UNITATEA 3. Programare liniara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4 UNITATEA 4. Problema de repartitie (de transport) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.6 Teme de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2 MODULUL II. MATEMATICI FINANCIARE 452.1 UNITATEA 1. Dobanzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.1.1 Dobanda simpla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.1.2 Factor de fructificare. Factor de actualizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.1.3 Dobanda compusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.1.4 Echivalenta sistemelor de ımprumuturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.2 UNITATEA 2. Imprumuturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.2.1 Notiuni introductive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.2.2 Anuitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.2.3 Amortizarea ımprumuturilor indivizibile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.3 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.4 Teme de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3 MODULUL III. MATEMATICI ACTUARIALE 783.1 UNITATEA 1. Functii biometrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.2 UNITATEA 2. Plati viagere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.3 UNITATEA 3. Plati ın caz de deces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.4 UNITATEA 4. Asigurari de persoane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.4.1 Principiul echilibrului financiar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.4.2 Asigurarea de viata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.4.3 Asigurarea de pensii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.4.4 Asigurare de deces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.4.5 Asigurare mixta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.5 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.6 Teme de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

2

Informatii generaleDate de contact ale titularilor de curs:

1. Muresan Anton S., Birou: Cabinetul 229, Etajul II, E-mail: [email protected]; tel0264 418 652/int.5809.

2. Curt Paula, Birou: Cabinetul 229, Etajul II, E-mail: [email protected]; tel 0264 418652/int.5809.

3. Filip Diana Andrada, Birou: Cabinetul 229, Etajul II, E-mail: [email protected]; tel0264 418 652/int.5809.

4. Lung Rodica Ioana, Cabinetul 230, Etajul II, E-mail: [email protected]; tel 0264 418652/int.5810.

5. Radu Voichita, Cabinetul 230, Etajul II, E-mail: [email protected]; tel 0264 418652/int.5810.

6. Rosca Alin, Cabinetul 231, Etajul II, E-mail: [email protected]; tel 0264 418652/int.5857. Fax: 0264-412570

Contact tutori:

1. Muresan Anton, [email protected]

2. Filip Diana Andrada, [email protected]

3. Curt Paula, [email protected]

4. Lung Rodica Ioana, [email protected]

5. Radu Voichita, [email protected]

6. Rosca Alin, [email protected]

7. Filip Darius, [email protected]

8. Coconet Tiberiu, [email protected]

9. Pop Flaviu, [email protected]

10. Sipos Kinga, [email protected]

3

Obiective

• Sa familiarizeze studentii cu tehnicile si metodele matematice utilizate in economie.

• Formarea capacitatii de a recunoaste, de a pune ın forma matematica si a rezolva probleme deprogramare liniara de transport (de repartitie).

• Deprinderea de a lucra cu notiunile de baza ale matematicii financiare, cum sunt operatiunilede dobnda precum si rambursarile de credite si ımprumuturi.

• Fundamentarea unor notiuni de matematici actuariale care sa constituie pentru studenti in-strumente pentru tratarea unor probleme ce privesc diverse tipuri de plati viagere si de decesprecum si asigurari de persoane.

Competente profesionale

• Sa ısi ınsuseasca conceptele de baza si sa-si creeze deprinderea de a le utiliza.

• Capacitatea de a culege, analiza si interpreta date si informatii referitoare la problemeleeconomico-financiare.

• Studentul trebuie sa fie capabil sa aplice ın practica notiunile studiate pentru analiza unorsituatii concrete din economie, cum ar fi: programarea productiei, transportul cu costul totalminim, sisteme de ımprumuturi echivalente si rambursari de credite si ımprumuturi, respectivprincipalele tipuri de asigurari de persoane.

Competente transversale

• Aplicarea principiilor, normelor si valorilor eticii profesionale ın cadrul propriei strategii demunca riguroasa, eficienta si responsabila.

• Studentul trebuie sa fie capabil sa aplice ın practica notiunile studiate pentru analiza unorsituatii concrete din economie, cum ar fi de exemplu deschiderea unui cont de economii, ram-bursarea unui credit sau ıncheierea diferitelor tipuri de asigurari de persoane.

Locul de desfasurare a cursului: Cladirea Campus, sali etajul II .Programarea ın orar a activitatilor (la ınvatamantul de zi): Saptamanal 1 ora de curs + 2 ore de

seminar, conform orarului afisat la sediul facultatii; (la ınvatamatul ID): 8 ore activitati tutoriale

Conditionari si cunostinte prerechizite: - Cursul de Matematici aplicate in economie

CERINTE PENTRU EXAMEN: Nota la examen se compune din nota obtinuta pentru lucrarea scrisa(maxim 7 puncte) la care se adauga maxim 3 puncte pentru activitatea individuala.

Pentru obtinerea celor 3(trei) puncte pentru activitatea individuala la examen se vor prezentaurmatoarele:

1. Un caiet de teme cu toate problemele propuse din acest syllabus;

4

2. Referatul 1: “Dobanda simpla; Dobanda compusa; Echivalenta sistemelor de ımprumuturi”

3. Referatul 2: “Rezerva matematica”.

Bibliografia pentru referate: Colectiv, Elemente de matematici financiare si actuariale. Teorie si probleme,Editura Mega 2013;

Organizarea temelor (partilor) in cadrul cursului: Cursul va avea urmatoarele trei parti:1. Algebra liniara2. Matematici financiare3. Matematici actuarialeOrganizarea temelor s-a facut avand in vederea ordinea fireasca si gradul de dificultate sa ur-

meze o ordine crescatoare. Informatia relevanta referitoare la fiecare tema (parte) se gaseste in listabibliografica ce va fi prezentata ulterior, iar accesul va fi realizat direct.

Formatul si tipul activitatilor implicate de curs: Formatul va fi unul clasic, permitand studentu-lui de a-si gestiona singur, fara constrangeri, parcurgerea cursului. De sigur o participare la activi-tatile planificate va usura intelegerea tematicii cursului. Tipurile de activitati ce vor fi abordate incadrul cursului vor fi atat cele clasice cat si proiecte de grup.

Materiale bibliografice obligatorii: Principalele materiale bibliografice pe care le vom utiliza, sicare se vor gasi la biblioteca facultatii, iar unele vor putea fi accesate prin internet, sunt:

1. Colectiv, Elemente de matematici financiare si actuariale. Teorie si probleme, Editura Mega2013.

2. Colectiv, Matematici aplicate ın economie, Ed. Mega 2012.

Bibliografie completa 1. Muresan A.S., Matematici aplicate in finante, asigurare, banci, burse, Ed.Risoprint, Cluj-Napoca, 2000.

2. Muresan A.S., si colectiv, Matematici pentru economisti, vol. 1,2, Ed. Dacia, Cluj-Napoca, 2000.3. Muresan A.S., Lung I.R., Matematici aplicate in economie (cercetari operationale), Ed. Media-

mira, Cluj-Napoca, 2005.4. Muresan A.S., Filip D.A., Ban I.M., Hangan A., Operatiuni financiare, Ed. Mediamira, Cluj-

Napoca, 2005.5. Rosca A., si colectiv, Probleme de matematici financiare si actuariale, Ed. Mega, Cluj-Napoca,

2011

Materiale si instrumente necesare pentru curs : Vom folosi: suport electronic de curs, materialemultiplicate, calculator, videoproiector.

Calendarul cursului: este prezentat in calendarul disciplinei

Politica de evaluare si notare: Evaluarea si notarea finala se va face prin rezolvarea de probleme,intocmirea unor teme de casa. Toate acestea se vor realiza pe parcursul semestrului. Intrarea in exa-menul final este conditionata de realizarea sarcinilor ce rezulta din temele de control de la sfarsitul

5

fiecarui modul al suportului de curs. Studentii vor primi feed-back la rezultatele realizate in exame-nul final prin comunicare directa cu cei care solicita. In cazul cand studentul doreste sa revina la unexamen de marire a notei, acest nou examen se va desfasura in aceleasi conditii, cu aceleasi cerinte,ca si examenul initial.

Elemente de deontologie academica: Pentru a evita situatiile care pun in discutie onestitatea stu-dentilor facem de la inceput precizarea ca se interzice categoric frauda, iar tentativele de frauda sevor trata conform reglementarilor in vigoare elaborate la nivelul facultatii si universitatii. Este nor-mal ca atunci cand se utilizeaza anumite date, texte, formulari, etc. luate din alte surse, sa se facacitarea, si astfel sa se asume meritele doar pentru munca si contributia proprie. Se va cere studentu-lui sa aiba un comportament academic fata de profesori si fata de colegi.

Studentii cu dizabilitati: Nu vor avea nici o problema in a se incadra in cerintele cursului si acelorlalte activitati, sansele in pregatire si obligatiile lor fiind de aceeasi factura ca si pentru studentiifara dizabilitati.

Strategii de studiu recomandate: Recomandam studentilor sa se pregateasca mai intai din aspec-tele teoretice, asa incat, mai intai, din curs, sa fie studiate modulele cu teoria si exemplele ilustrativeformulate, apoi sa se abordeze problemele rezolvate, iar apoi si problemele formulate spre rezolvare.Pentru tot cursul, apreciem ca fondul de timp necesar insusirii complete este de 56 de ore, din care40 pentru suportul de curs, 8 pentru activitatile directe cu tutorii, iar 12 pentru sarcinile individualede studiu al bibliografiei si realizarea temelor de control.

II. Suportul de curs propriu-zis Cursul va fi structurat pe module, iar dorinta este de a seobtine o prezentare gradata a notiunilor si rezultatelor.

6

1 MODULUL I. ALGEBRA LINIARAObiective

• Familiarizarea cu notiunile de transformari elementare, rezolvarea sistemelor de ecuatii liniareprin metoda lui Gauss;

• Definirea solutiei admisibile de baza pentru un sistem de ecuatii liniare;

• Formularea si rezolvarea unei probleme de programare liniara;

• Formularea si rezolvarea unei probleme de transport.

Concepte de baza

• Transformari elementare, solutii pentru sisteme de ecuatii liniare, solutii admisibile de baza;

• Problema de programare liniara, algoritmul simplex;

• Problema de transport, algoritmul distributiv.

Rezultate asteptateIn urma parcurgerii acestui modul se asteapta ca studentii sa cunoasca si sa opereze cu notiunile

introduse, sa fie in stare sa le aplice la problemele concrete: modelul matematic al unei problemesimple de programare liniara, respectiv al unei probleme de transport.

Sinteza

1.1 UNITATEA 1. Aplicatii economice

Formulam cateva exemple de probleme economice care se modeleaza cu ajutorul unor elemente dealgebra liniara, respectiv matematici financiare si actuariale.

Exemplul 1. O firma intentioneaza sa produca n tipuri de produse stiind ca poate sa utilizezem tipuri de resurse. Se cunosc elementele: cantitatile disponibile din fiecare resursa pe o perioadaprecizata (bi cantitatea din resursa Ri , i = 1,m), beneficiile unitare nete pentru fiecare produs (cjpentru valorificarea unei bucati din Pj , j = 1,n), coeficientii tehnologici aij - care reprezinta cantitateadin resursa Ri ce se foloseste pentru o unitate din produsul Pj , i = 1,m, j = 1,n.

Se cere sa se determine cantitatile ce urmeaza a fi realizate din fiecare produs xj =?, j = 1,n, astfelıncat sa fie consumate toate cantitatile disponibile din resursele existente si sa se obtina beneficiultotal maxim.

Modelul matematic al acestei probleme este:xj =?, j = 1,n astfel ıncat

a11x1 + ...a1nxn = b1

...............................

am1x1 + ...+ amnxn = bm

sistem de restrictii

xj ≥ 0, j = 1,conditii de nenegativitate

solutie admisibila

de baza.

f = c1x1 + ...+ cnxn→maxima (functia scop, de eficienta).

7

Exemplul 2. La m furnizori (producatori) se afla un tip de produs care va fi solicitat de catre nbeneficiari (consumatori).

Se cunosc:-cantitatile disponibile existente la fiecare furnizor, astfel daca furnizorul este Fi , notam cu

ai , i = 1,m cantitatea disponibila la furnizorul Fi ;-cantitatea solicitata de fiecare beneficiar Bj , atunci bj este cantitatea solicitata, j = 1,n;-costurile unitare de transport de la fiecare furnizor la fiecare beneficiar cij de la Fi la Bj .

Se cer: cantitatile(xij

)ce urmeaza a fi transportate de la fiecare furnizor la fiecare beneficiar astfel

ıncat:-toata cantitatea disponibila sa fie transportata;-toata cantitatea solicitata de fiecare beneficiar sa fie primita;-costul total al transportului sa fie minim.

Modelul matematic al acestei probleme se va obtine prin evidentierea tuturor cerintelor formu-late economic prin relatii matematice.

In problema economica formulata nu au fost evidentiate din anumite motive si alte aspecte refe-ritoare la problema de transport, cum ar fi costurile de achizitie.

Cautam necunoscutele: xij =? i = 1,m, j = 1,n astfel ıncatn∑j=1xij = ai i = 1,m - toata cantitatea de la Fi sa fie transportata

m∑i=1xij = bj j = 1,n - toata cantitatea solicitata de Bj sa fie primita

xij ≥ 0 i = 1,m, j = 1,n - conditii de nenegativitate.

f ′ =m∑i=1

n∑j=1cijxij sa fie minima→min.

Exemplul 3. O persoana ımprumuta de la o banca suma de 50 000 u.m., pe timp de 6 ani, cu pro-centul anual de 9%, urmand ca la sfarsitul fiecarui an sa se ramburseze aceeasi cota din ımprumut,la care se adauga dobanda aferenta acelei perioade. Sa se ıntocmeasca planul de amortizare cores-punzator acestui ımprumut.

Exemplul 4. Sa se calculeze valoarea primei lunare pe care trebuie sa o plateasca o persoana ınvarsta de 36 ani, timp de 26 ani, pentru ca dupa aceea sa primeasca o pensie lunara de 250 u.m. Sase gaseasca prima lunara si in cazul cand persoana plateste prime lunare numai timp de un an.

1.2 UNITATEA 2. Sisteme de ecuatii liniare. Solutii admisibile debaza

Sisteme de ecuatii liniareMulte din problemele economice, respectiv din aplicatiile matematicii ın alte domenii se repre-

zinta prin intermediul unor sisteme de ecuatii liniare.O ecuatie liniara este aceea care contine una sau mai multe necunoscute, toate fiind la puterea

I.

8

Forma generala a unui sistem de ecuatii liniare este:a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2

. . .

am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm

unde ai j sunt coeficienti reali, aij ∈ R, , i = 1,m, j = 1,n, bi ∈ R, i = 1,m sunt termeni liberi iar xjsunt necunoscutele, j = 1,n.

Problema este de a determina necunoscutele xj astfel ıncat sa fie verificate toate ecuatiile siste-mului.

Transformari elementare ın matrici. Daca A este matricea coeficientilor, b coloana termenilor li-beri si x coloana necunoscutelor atunci sistemul se poate scrie sub forma unei ecuatii matriceale

A · x = b.

Pentru a introduce transformarea vom considera matricea A reprezentata ıntr-o forma ın care seevidentiaza liniile sale

A =

L1

L2...

Lm

, Li = (ai1, ai2, . . . , ain) .

Principalele doua tipuri de transformari elementare sunt:t1) ınmultirea unei linii cu o constanta λ nenula: λ,Li : λ Li → Li ;t2) adunarea la elementele unei linii a elementelor corespunzatoare unei alte linii: Li ,Lk :

Li +Lk→ Li .

Regula dreptunghiului. Reprezinta un algoritm de reducere a coloanelor unei matrici pentru aobtine o forma simplificata, echivalenta a acesteia. O coloana este redusa daca are toate elementeleegale cu 0, mai putin unul egal cu 1. Elementul pe a carui pozitie va ramane valoarea 1 se numesteelement pivot. Regula dreptunghiului implementeaza o succesiune de transformari liniare pe linii.

Regula dreptunghiului se aplica dupa cum urmeaza:

1. Se alege un element pivot diferit de zero. Acesta se marcheaza prin ıncercuire. Fie (i, j) pozitiaacestuia.

2. Elementele de pe coloana pivotului vor deveni 0.

3. Elementele de pe linia pivotului se ımpart la elementul pivot.

4. Restul elementelor matricii se calculeaza dupa regula dreptunghiului, adica:

alk←aijalk − aljaik

aij

9

Figura 1.1: Regula dreptunghiului

unde alj si aik reprezinta ’colturile’ dreptunghiului format din elementul pivot aij si elementulde calculat alk dupa cum se vede ın figura de mai jos.

Observatie 1 Daca pe linia pivotului avem elemente egale cu 0 atunci coloana respectiva se poate copia;Daca pe coloana pivotului avem elemente de 0 atunci putem copia linia respectiva.

Metoda eliminarii complete pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare. Are la baza faptulca solutiile unui sistem de ecuatii liniare nu se schimba daca o ecuatie a sistemului este ınlocuitacu ecuatia obtinuta prin ınmultirea acelei ecuatii cu o constanta nenula sau cu ecuatia obtinuta prinadunarea ei membru cu membru la o alta ecuatie a sistemului.

Este evident ca acestor transformari care nu schimba solutiile sistemului le corespund trans-formari elementare pe linii ın matricea extinsa a sistemului respectiv.

Fie sistemul de ecuatii liniarea11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2

. . .

am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm

a carui matrice extinsa este

Ae =

a11 . . . a1n b1

a21 . . . a2n b2

. . . . . . . . . . . .

am1 . . . amn bm

Sa presupunem ca numerotarea necunoscutelor si ordinea ın care sunt scrise ecuatiile sunt asa ıncatprin efectuarea unor transformari elementare pe linii ın Ae sa ajungem la matricea

A′e =

1 . . . 0 α1,r+1 . . . α1n β1

. . . . . . . . . . . . . . .

0 . . . 1 αr,r+1 . . . αrn βr0 . . . 0 0 . . . 0 βr+1

. . . . . . . . . . .

0 . . . 0 0 . . . 0 βm

10

care este matricea extinsa a sistemului

(2)

x1 + α1,r+1xr+1+ . . . +α1nxn = β1

. . . . . .

xr + αr,r+1xr+1+ . . . +αrnxn = βr. . . . 0 = βr+1

. . . . . .

. . . . 0 = βm

Transformarile elementare pe linii care duc de la matricea Ae la matricea A′e corespund trecerii dela sistemul (1) la sistemul (2) prin transformari ce nu schimba solutiile sistemului. Deci solutiilesistemului (2) sunt solutiile sistemului (1) .

Rezulta astfel ca:

(i) daca cel putin unul dintre numerele βr+1, . . . ,βm este diferit de zero atunci sistemul de ecuatii(1) este incompatibil si

(ii) daca βr+1 = . . . = βm = 0 atunci solutia generala a sistemului (1) este:

(3)

x1 = β1 −(α1,r+1xr+1 + . . .+α1nxn

). . . . . . . . . . . .

xr = βr −(αr,r+1xr+1 + . . .+αrnxn

)xr+1 ∈ R. . . . . . . . . . . .

xn ∈ R

Din cele de mai sus rezulta urmatorul procedeu practic de rezolvare a oricarui sistem de ecuatiiliniare, procedeu care poarta numele de metoda eliminarii complete:

A. Se asociaza sistemului dat un tabel (de fapt matricea extinsa a sistemului) care are pe prima co-loana termenii liberi ai ecuatiilor sistemului si ın continuare coeficientii necunoscutelor x1, . . . ,xndin ecuatiile sistemului. (Cum se va vedea, scrierea la ınceput a coloanei termenilor liberi estemai convenabila pentru utilizarea acestei metode ın algoritmul de rezolvare a problemelor deprogramare liniara.)

B. In tabelul astfel obtinut se efectueaza, ın pasi succesivi, transformari elementare pe linii (cu re-gula dreptunghiului) alegand la fiecare pas pivotul dintr-o linie din care n-a fost ales pivot la unpas anterior (ın caz contrar zerourile ,,constituite” la acel pas anterior s-ar ,,distruge” si nu s-arprogresa ın rezolvare),

C. Transformarile de la B. continua pana cand nu mai poate fi ales un nou pivot. Atunci cand numai poate fi ales un nou pivot este posibil unul si numai unul din urmatoarele cazuri:

(a) au fost alesi pivoti din toate liniile tabelului,

(b) exista linii din care nu s-a putut alege pivot (deci linii care pe coloanele coeficientilor necu-noscutelor contin numai zerouri) si toate aceste linii au pe coloana termenilor liberi zerouri,

11

(c) exista linii din care nu s-a putut alege pivot si cel putin una are pe coloana termenilor liberiun element diferit de zero.

Este clar (vezi forma (3) a solutiei generale) ca ecuatiile ce corespund liniilor din care au fost alesipivotii sunt ecuatiile principale, iar necunoscutele ce corespund coloanelor din care au fost alesipivotii sunt necunoscutele principale ale rezolvarii respective a sistemului.

In cazul a) sistemul este compatibil, el neavand ecuatii secundare.In cazul b) sistemul este compatibil deoarece toate ecuatiile secundare au forma 0 = 0,In cazul c) sistemul este incompatibil deoarece una din ecuatiile secundare are forma 0 = β, unde

β , 0.Un sistem compatibil este compatibil determinat daca nu are necunoscute secundare si este com-

patibil simplu (dublu, triplu, . . . ) nedeterminat daca are una (doua, trei, . . . ) necunoscute secundare.Pentru a scrie usor solutia generala (ın cazul in care sistemul este compatibil) este convenabil ca

dupa alegerea fiecarui pivot sa fie scrisa ın stanga liniei de unde a fost ales pivotul, necunoscuta dincoloana coeficientilor careia a fost ales acel pivot.

Atunci solutia se poate scrie astfel: fiecare necunoscuta principala (scrisa ın stanga tabelului) esteegala cu elementul din coloana termenilor liberi a liniei acelor necunoscute minus combinatia li-niara a necunoscutelor secundare (daca asemenea necunoscute secundare exista, deci daca sistemulcontine si necunoscute care nu ajung sa fie scrise ın stanga tabelului) cu coeficienti egali cu elemen-tele situate ın linia acelei necunoscute principale pe coloanele respectivelor necunoscute secundare(vezi (3))

Exemplul 1 Sa se rezolve sistemul x1 + 2x2 − x3 + x4 = 2x1 − x2 + 5x3 − 2x4 = 82x1 + x2 + 4x3 − x4 = 10

Rezolvare: Rezolvarea acestui sistem cu metoda eliminarii complete este:

b x1 x2 x3 x4

2 1 2 −1 18 1 −1 5 −2

10 2 1 4 −1→ x1 2 1 2 −1 1

6 0 −3 6 −36 0 −3 6 −3

x1 6 1 0 3 −1→ x2 −2 0 1 −2 1

0 0 0 0 0

Din ultimul tabel obtinut se constata ca din linia din care nu poate fi ales pivot (linia a treia) arepe coloana termenilor liberi zero (ne aflam ın cazul b)) deci sistemul este compatibil. Necunoscutele

12

principale ale rezolvarii date aici sunt x1 si x2 deci necunoscutele x3 si x4 vor fi secundare. Astfelsistemul este compatibil dublu nedeterminat. Solutia generala este:

x1 = 6− 3x3 + x4

x2 = −2 + 2x3 − x4

x3 ∈ Rx4 ∈ R

Solutii admisibile de baza. Din multimea tuturor solutiilor unui sistem de ecuatii liniare se poateextrage o submultime de solutii care are o calitate speciala, si anume fiecare solutie are necunoscutelesecundare cu valoarea egala cu 0, iar necunoscutele principale cu valorile mai mari sau egale cu 0.Aceste solutii se numesc solutii admisibile de baza.

La o astfel de solutie admisibila de baza se poate ajunge utilizand metoda eliminarii complete lacare alegerea pivotului se face cu respectarea unor conditii.

Sa presupunem ca sistemul considerat are m necunoscute principale, iar restul n−m sunt necu-noscutele secundare. Presupunem si ca primele m necunoscute sunt cele principale. Asta revine la aspune ca trebuie asociat sistemului un tabel care, dupa utilizarea transformarilor elementare (reguladreptunghiului), are urmatoarea forma:

b x1 x2 . . . xm xm+1 . . . xnβ1 1 0 . . . 0 α1,m+1 . . . α1,n

β2 0 1 . . . 0 α2,m+1 . . . α2,n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

βm 0 0 . . . 1 αm,m+1 . . . αm,n

Din tabel se observa ca prima solutie admisibila de baza este:

X1 =

β1

β2...

βm0...

0

, βi ≥ 0, i = 1,m

In continuare, cu ajutorul unor transformari elementare convenabile, vrem sa trecem de la aceastasolutie admisibila de baza la o alta solutie admisibila de baza. Consideram ca elementul pivot este

13

α1,m+1; aplicand regula dreptunghiului obtinem urmatorul tabel:

b x1 x2 . . . xm xm+1 . . . xnβ1

α1,m+1

1α1,m+1

0 . . . 0 1 . . .α1,nα1,m+1

β′2 −α2,m+1α1,m+1

1 . . . 0 0 . . . α′2,n

β′m −αm,m+1α1,m+1

0 . . . 1 0 . . . α′m,n

undeβ′2 = β2−

β1

α1,m+1·α2,m+1,

β′m = βm−β1

α1,m+1·αm,m+1,

α′2,n = α2,n−α1,n

α1,m+1·α2,m+1,

iarα′m,n = αm,n−

α1,n

α1,m+1·αm,m+1.

Prima conditie asupra pivotului este:

α1,m+1, 0 .

Acum necunoscutele principale sunt cele care au coloanele cu 0 si anume x2,x3 . . . ,xm+1 , celelaltefiind necunoscute secundare. Noua solutie admisibila de baza este:

X2 =

0β2 −

β1α1,m+1

α2,m+1

...

βm −β1

α1,m+1·αm,m+1

β1α1,m+1

0...

0

Solutia X2 este solutie admisibila de baza daca sunt ındeplinite conditiile:

β1

α1,m+1≥ 0, β2 −

β1

α1,m+1α

2,m+1 ≥ 0, . . . ,βm −β1

α1,m+1·αm,m+1 ≥ 0

Din prima inegalitate rezulta ca α1,m+1> 0, deci pivotul trebuie sa fie pozitiv.Daca α2,m+1≤ 0 a doua conditie este automat ındeplinita iar daca

α2,m+1> 0

14

trebuie caβ2

α2,m+1≥

β1

α1,m+1.

In mod analog tragem concluzia ca daca αm,m+1> 0 trebuie ca

βmαm,m+1

≥β1

α1,m+1.

Din inegalitatile de mai sus deducem cea de a doua conditie esentiala pentru pivot: raportul dintretermenul liber β1 si pivotul α1,m+1 este cel mai mic dintre toate rapoartele care se obtin ımpartindtermenii liberi la elementele pozitive corespunzatoare din coloana pivotului, adica β1

α1,m+1este cel

mai mic dintre rapoartele βiαi ,m+1

, cuαi ,m+1> 0.

Exemplul 2 Sa se determine o solutie admisibila de baza pentru urmatorul sistem de ecuatii liniare:{2x1 + x2 + x3 − x4 = 3x1 − x2 + x3 + x4 = 4

b x1 x2 x3 x4 Rapoarte3 2 1 1 −1 3/2←4 1 −1 1 1 4/1

→ x1 3/2 1 1/2 1/2 −1/2 -5/2 0 −3/2 1/2 3/2 5/2←

x1 7/3 1 0 4/3 0→ x4 5/3 0 −1 1/3 1

In prima etapa s-a dorit alegerea pivotului de pe prima coloana, asa ca s-au construit rapoartele ıntretermenii liberi si elementele acesteia: 3/2 si 4/1, din care se alege cel mai mic, 3/2, si ın consecintapivotul este 2. Astfel x1 devine necunoscuta principala. In continuare alegem element pivot de pecoloana lui x4. In final se citeste solutia: x1 = 7/3, x2 = 0, x3 = 0 si x4 = 5/3 tinand cont ca necunos-cutele principale iau valorile corespunzatoare de pe coloana termenilor liberi iar cele secundare auvaloarea 0.

Observatie 1 Un sistem compatibil nedeterminat poate avea mai multe sotutii admisibile de baza. Pentrua determina si altele se poate continua calculul alegand element pivot de pe una din coloanele corespunzatoare necunoscutelor secundare. In exemplul anterior putem continua astfel:

x1 7/3 1 0 4/3 0 7/4←→ x4 5/3 0 −1 1/3 1 5/1→ x3 7/4 3/4 0 1 0x4 13/12 −1/4 −1 0 1

Noua solutie admisibila de baza este: x1 = 0 (secundara), x2 = 0 (secundara), x3 = 7/4 si x4 = 13/12 fiindnecunoscutele principale.

15

1.3 UNITATEA 3. Programare liniara

Formularea problemei canonice In cadrul domeniului economic sunt adesea ıntalnite problemecare ın formulare matematica sunt niste probleme de programare liniara.

O firma intentioneaza sa produca n tipuri de produse stiind ca poate sa utilizeze m tipuri deresurse. Se cunosc elementele: cantitatile disponibile din fiecare resursa pe o perioada precizata (bicantitatea din resursa Ri , i = 1,m), beneficiile unitare nete pentru fiecare produs (cj pentru valorifi-carea unei bucati din Pj , j = 1,n), coeficientii tehnologici aij - care reprezinta cantitatea din resursaRi ce se foloseste pentru o unitate din produsul Pj , i = 1,m, j = 1,n.

Se cere sa se determine cantitatile ce urmeaza a fi realizata din fiecare produs xj =?, j = 1,n, astfelıncat sa se obtina beneficiul total maxim.

Modelul matematic acestei probleme este:xj =?, j = 1,n astfel ıncat

a11x1 + ...a1nxn = b1

...............................

am1x1 + ...+ amnxn = bm

sistem de restrictii

xj ≥ 0, j = 1,conditii de nenegativitate

solutie admisibila

de baza.

f = c1x1 + ...+ cnxn→maxima (functia scop, de eficienta).

Problema canonica de programare liniara, ın scriere matriciala se prezinta astfel:Se cauta coloana necunoscutelor X astfel ıncat

AX = b,X ≥ 0,f = CX→max

Rezolvarea problemei canonice Pentru rezolvarea problemei de programare liniara vom utilitarezultatele obtinute pana acum in legatura cu solutiile admisibile de baza. Cele doua solutii sunt:

X1 =

β1

β2

..

βm0..

0

X2 =

0β2 −

β1α1,m+1

α2,m+1

...

βm −β1

α1,m+1·αm,m+1

β1α1,m+1

0...

0

α1,m+1> 0 β1

α1,m+1= min

{βi

αi ,m+1

},cu αi ,m+1> 0.

Calculam pentru cele 2 solutii X1,X2 valorile functiei si comparam aceste valori. Avem

16

f (X1) = c1β1 + c2β2 + ...+ cmβm, si

f (X2) = c2

(β2 −

β1

α1,m+1α2,m+1

)+ ...+ cm

(βm −

β1

α1,m+1αm,m+1

)+

+cm+1β1

α1,m+1,

f (X2) = c2β2 + ...+ cmβm + cm+1β1

α1,m+1−

−β1

α1,m+1(c2α2,m+1 +...+ cmαm,m+1 ).

f (X2) = f (X1)− c1β1 +β1

α1,m+1[cm+1 − (c2α2,m+1 +...+ cmαm,m+1 )]

f (X2) = f (x1) +β1

α1,m+1

cm+1 −

not. fm+1︷︸︸︷

c1α1,m+1 +c2α2,m+1 +...+ cmαm,m+1

.

Notam fm+1 = c1α1,m+1 +c2α2,m+1 +...+ cmαm,m+1 . Atunci

f (X2) = f (X1) +β1

α1,m+1(cm+1 − fm+1)

In aceasta relatie cm+1este coeficientul lui xm+1 care este necunoscuta principala din X2. Se vededin ultima relatie ca solutia X2 este mai buna decat X1 daca

β1

α1,m+1(cm+1 − fm+1) > 0

Deoarece β1α1,m+1 ≥ 0, pentru ca relatia de mai sus sa aiba loc trebuie ca (cm+1 − fm+1) > 0, adica

cm+1 > fm+1.In concluzie imbunatatirea este posibila numai atunci cand diferenta (cm+1 − fm+1) > 0.Caatare conditiile de optimalitate sunt

cj − fj ≤ 0,∀j = 1,n.

Tinand cont de toate cele spuse mai sus, putem enunta etapele algoritmului simplex:Etapa 1. Se determina o solutie admisibila de baza.Etapa 2. Se verifica optimalitatea solutiei. (Daca solutia este optima se trece la etapa 5, daca nu

este optima se trece la etapa 3.)Etapa 3. Se imbunatateste solutia (alegand o noua necunoscuta principala, aceea pentru care nu

a fost indeplinita conditia de optimalitate).Etapa 4. Se repeta etapele 2 si 3 (pana cand toate conditiile de optimalitate sunt indeplinite).Etapa 5. Se scrie solutia optima (necunoscutele principale au valorile corespunzatoare din co-

loana termenilor liberi, necunoscutele secundare au toate valoarea egala cu zero, iar valoarea optimaa functiei scop se extrage din tabel).

17

1.4 UNITATEA 4. Problema de repartitie (de transport)

Formularea problemei O problema de programare liniara de o structura speciala este problemade repartitie. La o astfel de problema se evidentiaza grupul de restrictii care se ımparte ın doua,conditiile de negativitate si functia scop care de obicei trebuie minimizata.

Pentru comoditate vom scrie necunoscutele cu doi indici ın scopul evidentierii celor doua tipuride parteneri. Ilustram modelul matematic al unei probleme de repartitie sub forma unei problemede transport.

Formularea economica. La m furnizori (producatori) se afla un tip de produs care va fi solicitat decatre n beneficiari (consumatori).

Se cunosc:-cantitatile disponibile existente la fiecare furnizor, astfel daca furnizorul este Fi , notam cu

ai , i = 1,m cantitatea disponibila la furnizorul Fi ;-cantitatea solicitata de fiecare beneficiar Bj , atunci bj este cantitatea solicitata, j = 1,n;-costurile unitare de transport de la fiecare furnizor la fiecare beneficiar cij de la Fi la Bj .

Se cer: cantitatile(xij

)ce urmeaza a fi transportate de la fiecare furnizor la fiecare beneficiar astfel

ıncat:-toata cantitatea disponibila sa fie transportata;-toata cantitatea solicitata de fiecare beneficiar sa fie primita;-costul total al transportului sa fie minim.

Modelul matematic al acestei probleme se va obtine prin evidentierea tuturor cerintelor for-mulate economic prin relatii matematice. Avem de determinat niste necunoscute care sa satisfacarestrictiile iar functia scop sa aiba valoarea minima.

Observatie. In problema economica formulata nu au fost evidentiate din anumite motive si alteaspecte referitoare la problema de transport, cum ar fi costurile de achizitie.

Cautam necunoscutele: xij =?, i = 1,m, j = 1,n astfel ıncatn∑j=1xij = ai i = 1,m - toata cantitatea de la Fi sa fie transportata

m∑i=1xij = bj j = 1,n - toata cantitatea solicitata de Bj sa fie primita

xij ≥ 0 i = 1,m, j = 1,n - conditii de nenegativitate.

f ′ =m∑i=1

n∑j=1cijxij sa fie minima→min.

Observatie. La modelul formulat se mai alatura de obicei asa zisa conditie de echilibrare:

m∑i=1

ai =n∑j=1

bj

care arata ca totalul cantitatilor disponibile coincide cu totalul cantitatilor necesare solicitate.Daca problema nu este echilibrata atunci ea se poate echilibra prin considerarea unui furnizor

fictiv ın primul caz sau a unui beneficiar fictiv ın al doilea caz astfel ıncat problema sa devina echi-librata.

18

In continuare ne vom ocupa doar de cazul problemei echilibrate.Pentru rezolvarea problemei enuntate se va enunta un algoritm numit algoritmul distributiv,

etapele caruia se parcurg comod prin considerarea unui tabel asociat problemei de transport. In ta-belul cu doua intrari se evidentiaza pe linie datele referitoare la furnizori si pe coloane se evidentiazadatele referitoare la beneficiari.

La intersectia unei linii Fi cu coloana Bj apare ın tabel ceea ce se numeste ,,casuta cu 4 camere”ın fiecare camera urmand a fi ınregistrat un anumit element.

Bj

Ficij ui + vj± xij

Exemplu. La doi furnizori se afla acelasi tip de produs ın cantitate 80 buc. la primul (F1) si 140buc. la al doilea (F2). Trei beneficiari solicita acest produs ın cantitatile 60, 90, 70 bucati. Problemaeste echilibrata. In plus costurile unitare de transport sunt prezentate mai jos:

C =(

2 3 54 1 2

)Sa se determine cantitatile ce vor fi transportate de la fiecare furnizor la beneficiari astfel ıncatcerintele sa fie ındeplinite.

Modelul matematic:

Exemplul 1 xij =? , i = 1,2, j = 1,3 astfel ıncat{x11 + x12 + x13 = 80

x21 + x22 + x23 = 140x11 + x21 = 60x12 + x22 = 90

x13 + x23 = 70xij ≥ 0 i = 1,2, j = 1,3f = 2x11 + 3x12 + 5x13 + 4x21 + x22 + 2x23→min

Tabelul asociat acestei probleme:

B�F B1 B2 B3 Cant

Fi2

x11

3x12

5x13

80

F214

x21

1x22

2x23

140

Cant 60 90 70 220�220

Rezolvarea problemei de transport Modelul matematic al problemei de transport xij =? , i = 1,m,j = 1,n (m - furnizori, n - beneficiari) astfel ıncat:

19

n∑j=1xij = ai i = 1,m

m∑i=1xij = bj j = 1,n

xij ≥ 0 i = 1,m, j = 1,n

f =m∑i=1

n∑j=1cijxij →min.

cu conditia de echilibru:

m∑i=1

ai =n∑j=1

bj

Examinand modelul matematic rezulta ca avemmn necunoscute sim+n ecuatii. Vom aveam+n−1ecuatii principale (din cauza conditiilor de echilibru rezulta ca o ecuatie e secundara)

Din cele mn necunoscute numai m + n − 1 vor fi necunoscute principale, toate celelalte fiindnecunoscute secundare.

Cum determinam care sunt necunoscutele principale?Utilizam ın continuare o metoda de a gasi necunoscutele principale (m + n − 1 ) prin asocierea

la problema de transport a tabelului cu doua intrari. Pe linii vom preciza toate datele referitoarela furnizori iar pe coloane vom trece toate elementele ce corespund beneficiarilor. La interecttialiniei de indice i vom trece datele despre Fi (furnizorii Fi ) iar pe coloane cu indice j datele desprebeneficiarul Bj . La intersectia (i, j) vom avea ın tabel o asa zisa ,,casuta cu 4 camere”

cij ui + vj± xij

Avem 23 = 6 - necunoscute; 2 + 3 = 5 - restrictii; 2 + 3− 1 = 4 - necunoscute principale.Algoritmul distributiv pentru rezolvarea problemelor de transporteste similar cu algoritmul simplex, etapele fiind ca formulare teoretica identice, diferind doar ın

modul lor concret de parcurgere.Algoritmul distributiv:

Etapa 1. Se determina o solutie initiala de baza.Etapa 2. Se verifica optimalitatea solutiei.Etapa 3. Se ımbunatateste solutia.Etapa 4. Se repeta etapele 2;3 pana cand toate conditiile de optimalitate vor fi ındeplinite.Etapa 5. Se scrie solutia optima si se calculeaza valoarea minima a lui f .Metoda de determinare a unei solutii initiale de baza(Metoda Nord-Vest) Atribuim valori necunoscutelor problemei ın ordinea N-V din tabelul aso-

ciat problemei de transport sau ın subtabelele ramase. Incepem cu x11 = min {a1,b1} = 60.In acestcaz x21trebuie sa ia valoarea 0, devenind necunoscuta secundara. Continuam completarea tabeluluicu coltul NV ramas liber, adica x12 = min {a1 − b1,b2} = 20 (scadem din valoarea lui a1 pe x11 -seconsidera ca furnizorul F1 trimite catre beneficiarul B1 60 de bucati, ramanand ın stoc doar cu 20).Rationamentul continua ın acelasi mod.

Ilustram ın tabelul de solutii calculele si rationamentele precizate mai sus.

20

v1 = 2 v2 = 3 v3 = 4

u1 = 02 2

603 3

205 4·

80 20 0

u2 = −24 0·

1 170

2 270

140 70 0

60 90 700 70 0

0

Convenim ca ın tabelul de solutii necunoscutele secundare sa le ınscriem cu punct (valorile lorsunt zero). Casutele ocupate sunt casutele ce corespund necunoscutelor principale (acelea la care amınscris valorile). Celelalte casute (cu ·) care corespund necunoscutelor secundare se numesc casutelibere.

Pentru Etapa 2, verificarea optimalitatii se face cu ajutorul unor necunoscute ,,duale”:ui → care corespund furnizorilorvj → care corespund beneficiarilor

Aceste necunoscute sunt solutii ale sistemului de ecuatii

ui + vj = cij , unde indicii i si j sunt ai necunoscutelor principale (casute ocupate).

Conditia de optimalitate: trebuie sa aiba loc inegalitatile

cij ≥ ui + vj , unde indicii i si j sunt ai necunoscutelor secundare (casutele libere).

Daca toate conditiile de optimalitate vor fi ındeplinite atunci de la etapa a 2-a a algoritmuluidistributiv se trece la etapa a 5-a .

Daca ınsa cel putin o conditie de optimalitate nu este ındeplinita atunci se va trece la etapa a 3-a(de ımbunatatire).

La exemplul nostru avem urmatorul sistem:u1 + v1 = 2u1 + v2 = 3u2 + v2 = 1u2 + v3 = 2

4 necunoscute principale =⇒ 4 ecuatii; 5 necunoscute

In cazul general sistemul ui + vj = cij , are m + n − 1 ecuatii (cate necunoscute principale avem)cu m+n necunoscute. Avem o necunoscuta duala secundara careia ıi putem da orice valoare. Pentrucomoditate i se da valoarea zero si astfel se va putea rezolva sistemul obtinandu-se o solutie.

In exemplul nostru presupunem u1 = 0 =⇒ v1 = 2, v2 = 3, u2 = −2, v3 = 4.Calculul pentru obtinerea acestor valori ale necunoscutelor duale se poate face pe tabel.Se testeaza optimalitatea solutiei gasite. Pentru aceasta vom calcula sumele ui + vj ın casutele

libere.cij ≥ ui + vj , xij necunoscute secundare

5 ≥ 44 ≥ 0

} =⇒ sunt ındeplinite conditiile de optimalitate astfel

21

ıncat se va trece direct la la etapa a 5-a.Scriem solutia optima:

xopt =(

60 20 00 70 70

)fmin = 120 + 60 + 70 + 140 = 390(costul total minim al transportului).

Etapa 3. Daca cel putin o conditie de optimalitate nu este ındeplinita ci0j0 < ui0 + vj0 ınseamna casolutia nu este optima si ea trebuie ımbunatatita ın sensul ca necunocuta secundara xi0j0 (care arevaloarea zero), trebuie sa devina necunoscuta principala. Aceasta se realizeaza prin adunarea la zeroa unei cantitati α unde α se determina astfel ıncat toate ecuatiile care au necunoscuta xi0j0 sa ramanasatisfacute, xi0j0 = 0 +α.

Deci daca se aduna α ıntr-un loc atunci α trebuie sa se scada din alt loc.Sigur scaderile se vorputea face doar de la necunoscutele care au valori pozitive (sunt necunoscute principale). De faptacestor operatii de adunare / scadere se vor face ıntr-un asa zis ,,ciclu de casute” format dintr-o suc-cesiune de casute, prima de la care se pleaca fiind casuta libera, toate celelalte fiind casute ocupate.In acest mod se obtine o noua solutie care este mai buna decat vechea solutie, adica valoarea functieipentru noua solutie este mai mica decat valoarea functiei pentru solutia anterioara.

Exemplu. Sa se rezolve problema de transport data prin tabelul:

v1 = 1 v2 = 5 v3 = 10

u1 = 34 4

1002 8·

3 13·

100

u2 = 01 1

505 5− 250

2 10+ ·

300 250

u3 = −33 −2

·2 2+ 0

7 7− 200

200

150 250 20050 0

atentie la x′ij = x32 = 0, necunoscuta principala.Trebuie sa fie m+ n− 1 - necunoscute principale.Am gasit o solutie initiala. Avem

f1 = 400 + 50 + 1250 + 1400 = 3100

Etapa 2. Verificam optimalitatea (efectuand calculele direct pe tabel). Deoarece 2 ≥ 10 este fals,solutia nu este optima, deci trebuie facuta imbunatatirea (etapa a 3-a), adica acel zero (punctul dincasuta libera) trebuie modificat. Pentru aceasta vom adauga (” + ”). si vom scadea (−) un total de 200care este minimul din casutele notate cu −. (Plec de la casuta libera merg pe linii / coloane tinandseama ca daca adun ceva pe o coloana trebuie sa scad din alta parte).

α =? (dar nu pot scadea mai mult decat 200→ ....se ia minim de la casutele notate cu ”−” pentrua nu face ca unele valori sa devina negative) =⇒ ..sol. =⇒ α = 200 =⇒ verificam optimalitatea

Obtinem o noua solutie. Etapa a 4-a consta in repetarea etapelor 2 si 3. Astfel avem:

22

v1 = 4 v2 = 8 v3 = 5

u1 = 04 4− 100

2 8· 0

3 5·

u2 = −31 1

+ 505 5- 50

2 2200

u3 = −63 −2

·2 2

2007 −1

·Deoarece 2 > 8este fals, solutia imbunatatita nu este optima, iar f2 = 1500. Continuam succesiv(conform cu etapa a 4-a) si obtinem urmatoarele tabele :

α = 50v1 = 4 v2 = 2 v3 = 5

u1 = 04 4− 50

2 250

3 5+ ·

u2 = −31 1

+ 1005 −1

·2 2− 200

u3 = 03 4·

2 2200

7 5·

α = 50v1 = 0 v2 = 0 v3 = 1

u1 = 24 2·

2 250

3 350

u2 = 11 1

1505 1·

2 2150

u3 = 23 2·

2 2200

7 3·

Solutia este optima si trecem deci la Etapa 5.

Xopt =

0 50 50

150 0 1500 200 0

fmin = 100 + 150 + 150 + 300 + 400 = 1100 u.m

1.5 Probleme rezolvate

Problema 1. Folosind metoda eliminarii complete sa se rezolve urmatorul sistem de ecuatii:2x1 +x2 +3x3 = −2x1 −x2 + x3 = −2−x1 + x3 = −1

.

23

Rezolvare. Vom reduce pe rand coloanele matricii asociate sistemului alegand elementele pivotnumere pozitive intotdeauna de pe o linie sau coloane de pe care nu au mai fost alese alte elementepivot. Vom aseza matricea sistemului intr-un tabel in felul urmator:

b x1 x2 x2 Transformarea:I. −2 2 1 3

−2 1 −1 1 L1 +L2→ L2

−1 −1 0 1II. −2 2 1 3 (−3)L3 +L1→ L1

−4 3 0 4 (−4)L3 +L2→ L2

−1 −1 0 1III. 1 5 1 0 1

7L2→ L2

0 7 0 0 (−5)L2 +L1→ L1

−1 −1 0 1 L2 +L3→ L3

IV. 1 0 1 00 1 0 0−1 0 0 1

..

Prin transformarile elementare efectuate am obtinut o matrice echivalenta cu matricea sistemului,de forma:

A ∼ A′ =

0 1 01 0 00 0 1

10−1

Din aceasta matrice ne este usor sa citim solutia (unica, sistemul este compatibil determinat):

x1 = 0x2 = 1x3 = −1

.

Problema 2. Sa se rezolve urmatorul sistem de ecuatii:{2x1 + x2 − x3 = 0x1 − x2 + 4x3 = 3

.

Rezolvare. Vom folosi metoda eliminarii complete:

b x1 x2 x3

I. 0 2 1 −13 1 −1 4

II. 0 2 1 −13 3 0 3

III. −2 0 1 −31 1 0 1

..

24

In tabelul III observam ca nu a mai ramas nici o line de pe care sa alegem element pivot. Sistemulnostru a fost redus la un sistem echivalent de forma:{

x2 − 3x3 = −2x1 + x3 = 1

Sistemul este compatibil nedeterminat, x3 (a carui coloana nu a fost redusa) este necunoscuta secun-dara iar solutia se scrie astfel:

x1 = −α + 1x2 = 3α − 2x3 = α ∈ R

..

Problema 3. Sa se rezolve sistemul de ecuatii liniare:x1 − x2 + x3 = 6

2x1 + x2 − x3 = 7x1 + x2 − x3 = 10

..

Rezolvare. Folosim metoda eliminarii complete:

b x1 x2 x3

I. 6 1 −1 17 2 1 −1

10 1 1 −1II. 6 1 −1 1

13 3 0 016 2 0 0

III. −2 0 −1 1−11 0 0 0

8 1 0 0

Dupa cum se observa in tabelul III nu mai putem alege pivot si de pe lina a 2-a deoarece toateelementele sale sunt nule. In aceasta situatie verificam coloana termenilor liberi. Daca si acolo avemtot zero, atunci inseamna ca ecuatia corespunzatoare liniei respective este o ecuatie secundara. Dacainsa termenul liber corespunzator nu ese nul, ca si in cazul nostru, inseamna ca avem o situatieimposibila, ecuatia respectiva fiind de forma:

0 = −11.

Spunem ca sistemul este incompatibil.Problema 4. Sa se rezolve sistemul:

x1 + x2 + x3 = 2a+ 1x1 − x2 − x3 = 1

2x1 + x2 − 2x3 = 2− 3b..

25

a,b numere reale.Rezolvare. Construim tabelul corespunzator sistemului:

b x1 x2 x3

I. 2a+ 1 1 1 11 1 −1 −1

2− 3b 2 1 −2II. 2a+ 1 1 1 1

2a+ 2 2 0 01− 2a− 3b 1 0 −3

III. a 0 1 1a+ 1 1 0 0−3a− 3b 0 0 −3

IV −b 0 1 0a+ 1 1 0 0a+ b 0 0 1

Citim solutia din tabelul IV si avem: x1 = a+ 1x2 = −bx3 = a+ b

..

Problema 5. Sa se determine o solutie admisibila de baza pentru urmatorul sistem de ecuatiiliniare: {

2x1 + 3x2 − x3 = 9x1 − x2 + x3 = 2

..

Rezolvare. Pentru gasirea unei solutii admisibile de baza elementul pivot trebuie ales astfel incatsa respecte cele doua reguli: sa fie strict pozitiv si raportul intre termenul liber si pivot sa fie minimulrapoartelor dintre termenii liberi si celalte elemente pozitive corespunzatoare de pe coloana sa.

b x1 x2 x3 RapoarteI. 9 2 3 −1 9

2 = 4.52 1 −1 1 2

1 = 2.0II. 5 0 5 −3 5

5 = 12 1 −1 1 -

III. 1 0 1 −3/53 1 0 2/5

In primul tabel (I.), pentru a alege un element pivot din prima coloana, vom construi rapoarteledintre termenii liberi si elementele coloanei: 9

2 si 21 . Il alegem pe cel cu valoarea cea mai mica, adica

21 , deci element pivot va fi 1. In tabelul al doilea putem alege element pivot de pe coloana lui x2 saua lui x3. In coloana lui x2 avem o singura varianta de algere a pivotului, deoarece avem un singur

26

element pozitiv pe coloana. Tabelul III ne furnizeaza o solutie admisibila de baza pe care o citimastfel: necunoscutele secundare (corespunzatoare coloanelor nereduse) vor lua valoarea 0, iar celeprincipale (corespunzatoare coloanelor reduse) se citesc de pe coloana termenilor liberi. Astfel, osolutie de baza a sistemului va fi:

x1 = 3x2 = 1x3 = 0 - necunoscuta secundara

..

Problema 6. Sa se rezolve urmatoarea problema de programare liniara:

x1 + 2x2 + 2x3 − x4 = 6x1 + x2 + 2x4 = 5

2x1 − x2 + x3 + x4 = 8xj ≥ 0, j = 1,4f = 2x1 + x2 + 5x3 + 3x4 −→max

Rezolvare. Vom rezolva problema folosind algoritmul simplex. Vom construi un tabel similar cucel pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii, doar ca vom mai adauga niste linii si niste coloane:

- deasupra coloanelor corespunzatoare necunoscutelor mai adaugam o linie care sa contina valo-rile coeficientilor functiei f corespunzatoare fiecarei necunoscute.

- ın stanga tabelului vom mai adauga doua coloane, una ın care vom trece necunoscutele prin-cipale gasite iar cealalta ın care vom scrie coeficientii functiei corespunzatori acestor necunoscuteprincipale.

Primul tabel va arata ın felul urmator:

2 1 5 3CB B b x1 x2 x3 x4

− − 6 1 2 2 −1− − 5 1 1 0 2− − 8 2 −1 1 1

Pentru ınceput nu vom completa coloana B a necunoscutelor principale deoarece nu avem ınmatricea sistemului nici o coloana redusa (nici o necunoscuta nu este inca principala).

Trecem acum la prima etapa a algoritmului simplex, adica determinarea unei solutii admisibilede baza. Pentru aceasta vom avea ın vedere ca elementul pivot sa respecte cele doua reguli: sa fiepozitiv iar raportul dintre termenul liber si pivot sa fie minimul rapoartelor similare de pe coloana

27

respectiva:2 1 5 3

CB B b x1 x2 x3 x4 Rapoarte:− − 6 1 2 2 −1 6

2 = 3I − − 5 1 1 0 2 5

1 = 5− − 8 2 −1 1 1 −1 x2 3 1/2 1 1 −1/2 3

12

= 6

II − − 2 1/2 0 −1 5/2 212

= 4

− − 11 5/2 0 2 1/2 1152

= 225

1 x2 1 0 1 2 −3 12

III 2 x1 4 1 0 −2 5 −− − 1 0 0 7 −12 1/71 x2 5/7 0 1 0 3/7 5

3IV 2 x1 30/7 1 0 0 11/7 30

115 x3 1/7 0 0 1 −12/7

fj 10 2 1 5 −5cj − fj − 0 0 0 8

3 x4 5/3 0 7/3 0 1V 2 x1 5/3 0 7/3 0 1

5 x3 3 0 4 1 0fi 70/3 2 59/3 5 3

cj − fj 0 −56/3 0 0

In tabelul IV observam ca s-a determinat o prima solutie admisibila de baza. Se trece de aceea laetapa urmatoare a algoritmului, adica la verificarea optimalitatii acestei solutii. Pentru aceasta avemnevoie sa calculam diferentele cj − fj , unde cj- coeficientul lui xj ın f iar fj se calculeaza ca si sumaproduselor elementelor de pe coloana coeficientilor bazei CB si elementele fiecarei coloane j, j = 1,4.

Se observa ca ın tabel vom trece o linie noua pentru valorile lui fj si ınca una pentru diferentelecj −fj . Pe linia lui fj si coloana termenilor liberi vom obtine valoarea functiei f pentru solutia testata.

Daca solutia ar fi optima atunci toate diferentele cj −fj ar trebui sa fie negative. Se observa ınsa cape coloana lui x4, c4 − f4 = 8 > 0. Trecem la urmatoarea etapa, adica ımbunatatirea solutiei de bazagasite. Acest lucru se realizeaza prin reducerea coloanei pentru care avem diferenta cj − fj pozitiva(ın cazul nostru coloana lui x4), alegand elementul pivot cu respectarea celor doua reguli.

In tabelul V obtinem astfel o noua solutie admisibila de baza. Calculand si pentru aceastadiferentele cj−fj constatam ca sunt toate negative sau zero, de unde deducem ca noua solutie obtinutaeste optima. O ,,citim” din tabelul V tinand cont de faptul ca necunoscutele principale vor lua valo-rile corespunzatoare de pe coloana termenilor liberi, adica x1 = 5

3 , x3 = 3 si x4 = 53 iar cele secundare,

ın cazul nostru x2 va fi zero. Solutia optima se scrie:

Xtopt =(53, 0, 3,

53

)28

Valoarea optima a functiei apare ın tabelul V pe linia lui fj si coloana termenilor liberi:

f(xopt

)= fmax =

703.

Problema 7. Sa se rezolve problema de programare liniara canonica:

−3x1 + x3 + 6x4 = 112x2 − x3 + 4x4 = 8

3x1 − x3 + 4x4 = 8xj ≥ 0, j = 1,4

f = 4x1 + 2x2 − x3 + 4x4

Rezolvare. Vom folosi algoritmul simplex:

4 2 −1 4CB B b x1 x2 x3 x4

− − 11 −3 0 1 6 −I − − 8 0 2 −1 4 8

2− − 8 3 0 −1 4 −− − 11 −3 0 1 6 −

II 2 x2 4 0 1 −1/2 2 −− − 8 3 0 −1 4 8/3− − 19 0 0 0 10 19/10 = 1,9

III 2 x2 4 0 1 −1/2 2 4/2 = 24 x1 8/3 1 0 −1/3 4/3 8/4 = 24 x4 19/10 0 0 0 1

IV 2 x2 1/5 0 1 −1/2 04 x1 2/15 1 0 −1/3 0

fj12815 4 2 −7

3 4cj − fj − 0 0 4/3 0

In tabelul IV obtinem o solutie admisibila de baza a carei optimalitate o verificam. Observamınsa ca pe coloana lui x3 diferenta c3 − f3 = 4

3 > 0 deci solutia nu e optima. Daca ınsa vrem sa oımbunatatim observam ınsa ca pe coloana lui x3 nu e nici un element pozitiv care sa poata fi alespivot. Ne aflam ıntr-un caz special ın care functia de optimizat are maxim infinit.

Observatie: Chiar daca mai avem si alte diferente pozitive pentru care coloanele corespunzatoarene pot furniza un element pivot, existenta unei singure coloane pentru care diferenta cj−fj e pozitivaiar elementele coloanei sunt negative implica faptul ca maximul functiei e infinit.


29

x1 + 3x2 + x3 + x4 = 7x1 + x2 + 2x3 + x4 = 7

3x1 + 2x2 + x3 = 8xj ≥ 0, j = 1,4

f = 5x1 + x2 + 4x3 + 2x4 −→max

Rezolvare. Aplicam algoritmul simplex

5 1 4 2CB B b x1 x2 x3 x4

− − 7 1 3 1 1 7/1 = 7I − − 7 1 1 2 1 7/2 = 3,5− − 8 3 2 1 0 8/1 = 8− − 7/2 1/2 5/2 0 1/2 7/5

II 4 x3 7/2 1/2 1/2 1 1/2 7/1− − 9/2 5/2 3/2 0 −1/2 9/31 x2 7/5 1/5 1 0 1/5 7/1

III 4 x3 14/5 2/5 0 1 2/5 14/2 = 7− − 12/5 11/5 0 0 −4/5 12/111 x2 13/11 0 1 0 3/11 13/3

IV 4 x3 26/11 0 0 1 6/11 13/35 x1 12/11 1 0 0 −4/11

fj17711 5 1 4 7/11

cj − fj − 0 0 0 15/111 x2 0 0 1 −1/2 0

V 2 x4 13/3 0 0 11/6 15 x1 8/3 1 0 2/3 0

fi 22 5 1 396 2

cj − fj 0 0 −156 0

In tabelul IV observam ca rapoartele minime necesare pentru alegerea pivotului sunt egale intreele. In acest caz, pentru a alege pivotul vom folosi ordonarea lexicografica pentru a compara celedoua linii. Pentru aceasta vom scrie cele doua linii, fiecare ımpartita la posibilul pivot corespunzator:

L1 =(0,

113, 0, 1

)si L2 =

(0, 0,

116, 1

)In ordonarea lexicografica se compara elementele celor doua linii 2 cate 2. Este declarata mai

mica si aleasa ca si linie pivot linia pentru care apare primul element mai mic decat corespondentulsau de pe cealalta linie.

In cazul nostru avem 0 = 0, 113 > 0 de unde rezulta ca linia a doua e mai mica ın ordine lexico-

logica decat prima si deci alegem pivot pe 611 . Solutia gasita ın tabelul V este optima deoarece toate

30

diferentele cj − fj sunt negative. Citim solutia si avem:

Xtopt =(83, 0, 0,

133

)iar

fmax = 22

Observatie: Faptul ca am avut nevoie de ordonarea lexicografica pentru a alege ıntre 2 rapoarteminime egale ne indica faptul ca solutia pe care o vom obtine este degenerata, adica vom avea necu-noscute principale cu valoarea zero. Intr-adevar, ın xopt avem x2 = 0 chiar daca x2 este necunoscutaprincipala.


3x1 + 2x2 + 3x3 + x4 + 2x5 = 10−x2 + x1 + 2x3 − 6x4 + 3x5 = 5x1 + x2 + x3 − 2x4 + 2x5 = 4

xj ≥ 0, j = 1,5f = 5x1 + 4x2 + 8x3 + 2x4 + 3x5 −→max

Rezolvare. Folosim algoritmul simplex

31

5 4 8 2 3CB B b x1 x2 x3 x4 x5

− − 10 3 2 3 1 2 10/2I − − 5 −1 1 2 −6 3 5/1− − 4 1 1 1 −2 2 4/1

− 2 1 0 1 5 −2 2/1II − 1 −2 0 1 −4 1 −

4 x2 4 1 1 1 −2 2 4/15 x1 2 1 0 1 5 −2 2/1

III − − 5 0 0 3 6 −3 5/34 x2 2 0 1 0 −7 45 x1 1/3 1 0 0 3 −1 −

IV 8 x3 5/3 0 0 1 2 −1 −4 x2 2 0 1 0 −7 4 2/4

fj 23 5 4 8 3 3cj − fj − 0 0 0 −1 0

5 x1 5/6 1 1/4 0 5/4 0V 8 x3 13/6 0 1/4 1 1/4 0

3 x5 1/2 0 1/4 0 −7/4 1fj 23 5 4 8 3 3

cj − fj 0 0 0 −1 0

Observam ca ın tabelul IV solutia admisibila de baza obtinuta este solutia optima, deoarece toatediferentele cj − fj sunt negative. Putem scrie aceasta solutie

Xtopt1 =(13, 2,

53, 0, 0

)iar

fmax = 23

Studiind linia cj − fj observam ca pe coloana necunoscutei secundare x5 avem c5 − f5 = 0. Acestlucru indica faptul ca problema are mai multe solutii optime pe care le putem gasi reducand coloanalui x5.

Observatie: Intodeauna cand numarul zerourilor de pe linia cj − fj , ın cazul unei solutii optime,este mai mare decat numarul necunoscutelor principale ınseamna ca problema poate avea mai multesolutii optime.

Reducand coloana lui x5 obtinem o noua solutie:

Xtopt2 =(56, 0,

136, 0,

12

)pentru care valoarea functiei f este tot 23.

32

Observatie: Solutia generala a problemei de programare liniara se scrie ca si combinatie liniaraconvexa a solutiilor optime.

In cazul nostru solutia generala se scrie:

Xtopt = α1Xtopt1 +α2X

topt2, α1,α2 ≥ 0, α1 +α2 = 1

adica

Xtopt =(α1

3+

5α2

6, 2α1,

5α1

3+

13α2

6, 0,

α2

2

)iar

fmax = 23

Problema 10. Sa se rezolve urmatoarea problema de programare liniara generala:

2x1 + x2 + x3 ≤ 50−x1 + 4x2 + x4 ≤ 60x1 + x4 = 15

x3 + x4 = 20xj ≥ 0, j = 1,4f = 2x3 − 5x4→maxima

.

Rezolvare. Observam ca diferenta dintre forma in care este prezentata problema data si formacanonica a problemei de programare liniara consta in acest caz in faptul ca in sistem apar atat ecu-atii cat si inecuatii. Deoarece nu putem aplica algoritmul simplex decat pentru problema canonicade programare liniara, va trebui sa transformam problema data intr-una echivalenta, dar scrisa informa canonica. Pentru aceasta vom transforma inecuatiile in ecuatii introducand niste variabile noi,de compensare in fiecare inecuatie. Variabilele de compensare trebuie sa se supuna conditiilor de nenegati-vitate, si de aceea, in functie de semnul inecuatiilor, le vom aduna sau le vom scadea la membrul stang alinecuatiei pentru a obtine egalitate.

Astfel, in prima inecuatie vom adauga variabila de compensare x5 iar in a doua x6. Problemanoastra va deveni:

2x1 + x2 + x3 + x5 = 50−x1 + 4x2 + x4 + x6 = 60x1 + x4 = 15

x3 + x4 = 20xj ≥ 0, j = 1,6f = 2x3 − 5x4→maxima

.

Obsevam ca variabilele de compensare nu modifica expresia functiei de optimizat.

33

Avand acum problema scrisa in forma canonica, putem sa aplicam algoritmul simplex:

0 0 2 −5 0 0 RapoartecB B b x1 x2 x3 x4 x5 x6

I 0 x5 50 2 1 1 0 1 0 502 = 25

0 x6 60 −1 4 0 1 0 1 -− − 15 1 0 0 1 0 0 15

1 = 15− − 12 0 0 1 1 0 0 -

II. 0 x5 20 0 1 1 −2 1 0 201 = 20

0 x6 75 0 4 0 2 0 10 x1 15 1 0 0 1 0 0− − 20 0 0 1 1 0 0 20

1 = 20III. 0 x5 0 0 1 0 −3 1 0 0

1 = 00 x6 75 0 4 0 2 0 1 75

40 x1 15 1 0 0 1 0 0 -2 x3 20 0 0 1 1 0 0 -

fj 40 0 0 2 2 0 0cj − fj 0 0 0 −7 0 0

IV. 0 x2 0 0 1 0 −3 1 00 x6 75 0 0 0 14 −4 10 x1 15 1 0 0 1 0 02 x3 20 0 0 1 1 0 0

fj 40 0 0 2 2 0 0cj − fj 0 0 0 −7 0 0

In tabelul numarul II observam ca solutia problemei este degenerata, deoarece avem rapoarteminime egale. Pentru alegerea pivotului am aplicat ordonarea lexicografica. Din tabelul III, datoritafaptului ca avem mai multe zerouri pe linia diferentelor cj − fj decat numarul de coloane reduse, de-ducem ca problema s-ar putea sa aiba mai multe solutii. Prin reducerea coloanei respective observamca solutia nu se modifica. Astfel, avem:

Xtoptim = (15,0,20,0,0,75) si fmax = 40.

Observatie. Problema generala in care se cere minimul functiei obiectiv se rezolva in acelasi moddoar ca vom schimba conditia de optimalitate, adica o solutie va fi optima daca toate diferentelecj − fj sunt > 0.

Problema 11. Sa se rezolve problema de transport data in tabelul:

4 2 140

2 1 325

10 35 20

34

Rezolvare. In primul rand, verificam daca problema data este echilibrata. Avem

10 + 35 + 20 = 40 + 25 = 65.

In acest caz putem aplica algoritmul distributiv pentru rezolvarea problemei de transport. Vom folosimetoda Nord-Vest pentru determinarea unei solutii initiale a problemei:

410

230

1·

40 30 0

2·

15

320

25 20 0

10 35 200 5 0

0

In continuare verificam optimalitatea solutiei rezolvand sistemul de ecuatii de forma

ui + vj = cij,

xij sunt necunoscutele principale. In cazul nostru acest sistem are 2 + 3 − 1 = 4 ecuatii si 2 + 3 = 5necunoscute. Inseamna ca putem alege una din necunoscute ca fiind secundara si sa-i dam o valoareoarecare. Pentru comoditate ii dam valoarea 0 lui u1. Tot pentru comoditate vom rezolva sistemul deecuatii direct pe tabel, scriind pe bordura din stanga a tabelului valorile lui ui iar deasupra tabeluluivalorile pentru vj . Pentru rezolvarea sistemului aflam pe rand fiecare necunoscuta pornind de la ceala care i-am dat valoare si avand grija ca pentru casutele ocupate sa aiba loc egalitatea ui + vj = cij . Pemasura ce aflam valorile lui ui si vj completam coltul din dreapta sus al fiecarei casute ocupate cusuma lor ui + vj .

v1 = 4 v2 = 2 v3 = 4

u1 = 04 4

102 2- 30

1 4+ ·

40 30 0

u2 = −12 3·

1 1+ 5

3 3- 20

25 20 0

10 35 200 5 0

0

Dupa rezolvarea sistemului vom completa si pentru casutele neocupate coltul din dreapta suscu sumele ui + vj . Solutia determinata este optima daca pentru toate casutele neocupate aveminegalitatea ui + vj ≤ cij . Verificam asadar casutele neocupate (cu punct) si constatam ca avemu1 + v3 = 4 > 1 = c13 si u2 + v1 = 3 > 2 = c21. Deducem ca solutia nu este optima, deci trebuie sao imbunatatim.

Imbunatatirea solutie se face pornind de la casuta libera care nu satisface conditia de optimalitatesi diferenta dintre ui + vj si cij este cea mai mare. In cazul nostru, aceasta este casuta (1,3). Formam

35

ciclul pornind de la aceasta casuta, trecand pe linii sau pe coloane doar prin casute ocupate si mar-cand alternativ cu + si − casutele prin care trecem. Cautam minimul valorilor din casutele cu semn−, adica min{30,20} = 20. Aceasta este valoarea pe care o vom adauga, respectiv scadea din casuteleciclului pentru a obtine o solutie imbunatatita. Intr-una din casutele ciclului va ramane valoarea 0.In loc de 0 vom trece ·, necunoscuta respectiva va deveni necunoscuta secundara, iar necunoscutade la care am pornit ciclul va deveni necunoscuta principala. Urmatorul tabel va arata in forma:

v1 = 4 v2 = 2 v3 = 1

u1 = 04 4- 10

2 2+ 10

1 420

u2 = −12 3+ ·

1 1- 25

3 0·

Verificam optimalitatea noii solutii si constatam ca inca nu am ajuns la final deoarece in casuta(2,1) avem u2 + v1 ≤ c21 (2 < 3). Pornim un ciclu de la aceasta casuta si trecem la solutia urmatoareadunand, respectiv scazand valorilor din casutele din ciclu pe α = 10 = min{10,25}.

v1 = 3 v2 = 2 v3 = 1

u1 = 04 3·

2 220

1 120

u2 = −12 2

101 1

153 0·

Pentru noua solutie se verifica conditiile de optimalitate, asadar putem scrie solutia

Xoptim =(

0 20 2010 15 0

)pentru care costul total de transport este minim, si anume:

fmin = 2 · 20 + 1 · 20 + 2 · 10 + 1 · 15 = 95.

Problema 12. Sa se rezolve problema de transport data in tabelul:

4 2 5 1110

6 5 4 4170

6 8 1 5140

50 150 70 150

..

Rezolvare. In primul rand verificam daca problema este echilibrata. Avem:

50 + 150 + 70 + 150 = 110 + 170 + 140 = 420.

36

Putem sa aplicam algoritmul distributiv. La primul pas determinam o solutie a problemei folosindmetoda Nord-Vest.

v1 = 4 v2 = 2 v3 = 1 v4 = 1

u1 = 04 4

502 2

605 1·

1 1·

110 60 0

u2 = 36 7·

5 590

4 4- 70

4 4+ 10

170 80 10 0

u3 = 46 8·

8 6·

1 5+ ·

5 5- 140

140 0

50 150 70 1500 90 0 140

0 0

Constatam ca solutia gasita nu este optima asa ca vom aplica procedeul de imbunatatire. Vom formaun ciclu pornind de la casuta (3,3), trecand doar prin casute ocupate, mergand pe linii si pe coloanesi marcand alternativ fiecare casuta cu +, respectiv −.Alegem minimul valorilor din casutele cu semnnegativ α = 70 si trecem la tabelul urmator adaugand, respectiv scazand α din casutele ciclului infunctie de semnul fiecareia.

v1 = 4 v2 = 2 v3 = −3 v4 = 1

u1 = 04 4- 50

2 2+ 60

5 -3·

1 1·

u2 = 36 7·

5 5- 90

4 0·

4 4+ 80

u3 = 46 8+ ·

8 6·

1 170

5 5- 70

Nu am gasit inca solutia optima asa ca vom continua procesul de imbunatatire. Formam ciclul por-nind de la casuta (3,1) si trecand prin (1,1), (1,2), (2,2),(2,4) si (3,4). Avem α = 50 si putem trece lasolutia urmatoare:

v1 = 2 v2 = 2 v3 = −3 v4 = 1

u1 = 04 2·

2 2- 110

5 -3·

1 1+ ·

u2 = 36 5·

5 5+ 40

4 0·

4 4- 130

u3 = 46 6

508 6·

1 170

5 520

37

Solutia gasita este optima:

Xoptim1 =

0 110 0 00 40 0 130

50 0 70 20

iar

fmin = 220 + 200 + 520 + 300 + 70 + 100 = 1410.

Faptul ca in casuta (1,4) avem egalitatea u1 + v4 = c14 (1=1) inseamna ca problema poate aveamai multe solutii optime (la fel de bune). Pentru a determina si cealalta solutie vom modifica solutiaobtinuta pornind ciclul de casute de la cea in care are loc egalitatea ( ui + vj = cij ). Obtinem o nouasolutie

v1 = 2 v2 = 2 v3 = −3 v4 = 1

u1 = 04 2·

2 2·

5 -3·

1 1110

u2 = 36 5·

5 5150

4 0·

4 420

u3 = 46 6

508 6·

1 170

5 520

care este tot optima:

Xoptim2 =

0 0 0 1100 150 0 20

50 0 70 20

.Putem verifica acest lucru calculand valoarea lui f pentru Xoptim2 si constatand ca obtinem tot fmin

f = 110 + 750 + 80 + 300 + 70 + 100 = 1410.

Observam ca in casuta (1,2) avem din nou egalitate intre u1+v2 si c12. Daca insa am trece la o nouasolutie am observa ca de fapt revenim la Xoptim1. Inseamna ca problema nu mai are si alte solutii, deciputem scrie solutia generala ca si combinatie convexa a solutiilor obtinute, adica

Xoptim =

0 110α1 0 110α2

0 40α1 + 150α2 0 130α1 + 20α2

50α1 + 50α2 0 70α1 + 70α2 20α1 + 20α2

iar

fmin = 1410.

38

Problema 13. Sa se rezolve urmatoarea problema de transport:

4 3 1100

2 4 3200

1 2 6300

500 50 50

..

Rezolvare. Vom aplica algoritmul distributiv. Avem:

v1 = 4 v2 = 5 v3 = 9

u1 = 04 4- 100

3 5·

1 9+ ·

100 0

u2 = −22 2

2004 3·

3 7·

200 0

u3 = −31 1+ 200

2 250

6 6- 50

300 100 50 0

500 50 50400 0 0200

0

α = 50 si trecem la solutia urmatoare:

v1 = 4 v2 = 5 v3 = 1

u1 = 04 4- 50

3 5+ ·

1 150

u2 = −22 2

2004 3·

3 -1·

u3 = −31 1+ 250

2 2- 50

6 -2·

avem α = 50 iar tabelul urmator arata astfel:

v1 = 3 v2 = 3 v3 = 1

u1 = 04 4

03 3

501 1

50

u2 = −22 2

2004 1·

3 -1·

u3 = −31 1

3002 0·

6 -2·

39

Observam ca la construirea noii solutii apare · in doua casute deoarece in casutele cu semn − aleciclului aveam doua valori minime egale. Este esential insa sa se pastreze numarul de necunoscuteprinicipale constant (numarul de casute ocupate) si de aceea, in una din casutele ciclului in care artrebui sa apara · vom trece valoarea 0 si o vom considera casuta ocupata.

Solutia la care ajungem este o solutie degenerata. In cazul nostru am ajuns la solutia optima:

Xoptim =

0 50 50

200 0 0300 0 0

iar

fmin = 150 + 50 + 400 + 300 = 900.

1.6 Teme de control

Problema 1. Sa se rezolve sistemul de ecuatii:−x1 + x3 = 4x1 + x2 − x3 = −4

10x2 + x3 = 3..

Raspuns. x1 = −1;x2 = 0;x3 = 3.Problema 2. Sa se rezolve sistemul de ecuatii:

x1 + 2x2 + 3x3 = 2−x1 − x2 = −3x1 + x3 = 0

..

Raspuns. x1 = 1;x2 = 2;x3 = −1.Problema 3. Sa se rezolve sistemul de ecuatii:

x1 + x3 + x4 = 1−x1 + x2 + x4 = 2x1 + 3x2 + 2x3 − x4 = −1−x1 + 7x2 − x3 = −5

..

Raspuns. x1 = −95 ;x2 = − 7

10 ;x3 = 1910 ;x4 = 9

10 .Problema 4. Sa se rezolve sistemul de ecuatii:

−2x1 + x2 − x3 + x4 = 4x1 + x2 + 2x3 − x4 = 1

3x1 − 2x2 + 5x3 = −5−x1 − x2 + x3 − x4 = −1

..

Raspuns. x1 = −1;x2 = 116 ;x3 = 1

3 ;x4 = 12 .

40

Problema 5. Sa se rezolve sistemul de ecuatii:x1 + x2 + x3 = 7x1 + 2x2 + x3 = 6−x1 − 10x2 − x3 = 20

..

Rezolvare. Sistemul este incompatibil.Problema 6. Sa se rezolve urmatoarea problema de programare liniara standard:

−x1 + x2 + 2x3 + 2x4 = 8x1 + 3x2 − x3 + x4 = 10

xj ≥ 0, j = 1,4f = x1 + 4x2 + 6x3 + 3x4→maxima

Raspuns. xtoptim = (28,0,18,0), fmax = 136.Problema 7. Sa se rezolve urmatoarea problema de programare liniara standard:

2x1 + x2 + 3x3 + x4 = 12x1 + x2 + x3 + 2x4 = 7

xj ≥ 0, j = 1,4f = 2x1 + 8x2 + 5x3 + x4→maxima

Raspuns. xtoptim = (53 ,

263 ,0,0), fmax = 218

3 .Problema 8. Sa se rezolve urmatoarea problema de programare liniara standard:

x1 + 2x2 + x3 + x4 = 53x1 + x3 + 2x4 = 7x1 + x2 + x3 + 2x4 = 4

xj ≥ 0, j = 1,4f = 4x1 + x2 + 3x3 + 6x4→maxima

Raspuns. xtoptim = (34 ,0,

154 ,

12 ), fmax = 69

4 .Problema 9. Sa se rezolve urmatoarea problema de programare liniara standard:

x1 + 3x2 − x3 − x4 = 62x1 + x2 + x3 − x5 = 8xj ≥ 0, j = 1,5f = 2x1 + x2 + 3x3→maxima

Raspuns. fmax =∞.Problema 10. Sa se rezolve urmatoarea problema de programare liniara standard:

3x1 + x2 + 2x3 = 103x1 + x3 + x4 = 45x1 + 2x3 + x5 = 8xj ≥ 0, j = 1,5f = x1 + 2x3→maxima

41

Raspuns. xtoptim = (0,10,0,4,8), fmax = 20.Problema 11. Sa se rezolve urmatoarea problema de programare liniara standard:

x1 + 2x2 + x4 + x5 = 124x1 + 2x2 − 2x3 − x4 = 13x1 + x2 + x3 + x4 = 7

xj ≥ 0, j = 1,5f = x1 + 2x3 + x4→maxima

Raspuns. xtoptim = (34 ,

458 ,

58 ,0,0), fmax = 101

8 .Problema 11. Sa se rezolve urmatoarea problema de transport:

8 3 5 21000

4 1 6 71500

1 9 4 32500

500 1000 2000 1500

..

Raspuns. fmin = 14000, Xoptim =

0 0 0 10000 1000 500 0

500 0 1500 500

.Problema 12. Sa se rezolve urmatoarea problema de transport:

2 3 1 170

3 2 3 1240

2 1 4 1190

50 100 250 100

..


0 0 70 00 0 180 60

50 100 0 40

.

42

Problema 13. Sa se determine solutia generala a urmatoarei probleme de transport:

2 3 2 4700

2 1 3 4100

5 3 2 1200

250 500 150 100

..

Rezolvare. fmin = 2200,

Xoptim =

250α1 + 250α2 400α1 + 300α2 50α1 + 150α2 0

0 100α1 + 100α2 0 00 100α1 0 100α1 + 100α2


8 3 5 216

4 1 6 718

1 9 4 326

5 20 20 15

..


0 2 0 140 18 0 05 0 20 1


2 2 1 3250

1 2 3 4150

3 2 3 2100

100 150 50 200

..


0 100 50 100

100 50 0 00 0 0 100

.43

Bibliografie1. Muresan A. S., Lung R. I., Matematici aplicate in economie (cercetari operationale), Editura Medi-

amira, Cluj-Napoca, 20052. Muresan A. S., Filip D. A. , Ban I. M., Hangan A., Operatiuni financiare, Editura Mediamira,

Cluj-Napoca, 2005

44

2 MODULUL II. MATEMATICI FINANCIAREObiective

• Familiarizarea cu tehnicile si metodele utilizate in cadrul matematicilor financiare

• Definirea notiunilor de dobanda, anuitati, credite si imprumuturi

Concepte de baza

• Dobanda simpla, dobanda compusa

• Anuitati

• Imprumuturi-rambursari directe, indirecte


introduse, sa fie in stare sa le aplice la problemele concrete: sisteme de imprumuturi echivalente,rambursari de credite si imprumuturi.

Sinteza

2.1 UNITATEA 1. Dobanzi

2.1.1 Dobanda simpla

Dobanda simpla este una dintre cele mai importante si des folosite operatiuni financiare. In gene-ral, dobanda este o suma de bani pe care o plateste o persoana fizica sau juridica (numita DEBI-TOR) unei alte persoane fizice sau juridice (numita CREDITOR) pentru folosirea unei sume de baniımprumutate cu un anumit procent, pe o perioada de timp. Altfel spus, dobanda este pretul la carese vinde sau se cumpara capitalul ımprumutat pe piata capitalului.

Formula de bazaDe obicei, operatia de dobanda simpla se foloseste pentru ımprumuturi sau depozite pe termen

scurt (mai mici de un an), cand suma initiala s ramane invariabila pe toata durata ımprumutului saudepozitului si, ın final produce o dobanda platita ın totalitate la scadenta. In continuare, vom folosiurmatoarele notatii:

s = suma initiala exprimata ın unitati monetare (u.m.)p = procentul anual (%)t = durata de timp exprimata ın aniz, l etc. = durata de timp exprimata ın zile, luni etc.D = dobandaDefinitie. Dobanda este o functie D : [0,∞) × [0,∞) → [0,∞), (s, t) 7−→ D (s, t), care satisface

cerintele:- este strict crescatoare ın raport cu fiecare dintre argumentele sale,

45

- este continua ın raport cu fiecare dintre argumentele sale. �In definitie sunt precizate conditiile naturale (firesti) din punct de vedere financiar. De asemenea,

daca aceasta functie este si derivabila, atunci vor fi ındeplinite inegalitatile:

∂D∂s

> 0,∂D∂t

> 0

Pentru a exprima concret dependenta dobanzii ın raport cu cele doua argumente ale sale existamai multe formule, ınsa cel mai adesea este folosita o relatie foarte simpla, aproape unanim accep-tata.

Dupa cum este firesc, dobanda este direct proportionala cu suma initiala s si cu durata de timp t.Daca notam cu i factorul de proportionalitate, obtinem imediat

D(s, t) =D = i · s · t

Cateva variante ale acestei formule pentru diverse unitati de masura ale timpului sunturmatoarele:

D =i · s · z360

, D =i · s · l

12care au fost obtinute din formula, avand ın vedere urmatoarele:

1 an · · · 360 zile · · · 12 lunit ani · · · z zile · · · l luni

Observatia 1. Se constata ca i = D(1,1), adica este dobanda produsa de o unitate monetara petimp de un an si de aceea se numeste dobanda unitara anuala. �

Observatia 2. In aplicatiile practice ale operatiei de dobanda simpla, cel mai adesea ın loculdobanzii unitare anuale i, se foloseste procentul. Acesta este tot o dobanda pentru 100 u.m. pe timpde 1 an, deci p =D(100,1). Altfel spus, p = 100 · i sau i = p/100. �

Exemplu. O persoana fizica a depus ın contul sau deschis la o banca suma de 3000 u.m. ın datade 19 februarie 2005 si suma de 5000 u.m. ın data de 10 martie 2005. Care este dobanda pentrusumele depuse, la data de 25 septembrie 2005, daca procentul anual este 9%.

Rezolvare. Calculam duratele celor doua plasamente (sume initiale):s1 = 3000 u.m., z1 = 218 ziles2 = 5000 u.m., z2 = 199 zileDobanda totala este D =D1 +D2, unde

D1 =s1 · i · z1

360=

=3000 · 0,09 · 218

360= 163,5 (u.m.)

D2 =s2 · i · z2

360=

=5000 · 0,09 · 199

360= 248,75 (u.m.)

46

deci obtinem D = 412,25 u.m. �Dobanzi unitare echivalente ın cazul operatiei de dobanda simplaSa consideram, ın cele ce urmeaza, ca un an se ımparte ın m subperioade, unde m ≥ 2 este un

numar natural. Astfel, pentru m = 2 obtinem ımpartirea anului ın 2 semestre, pentru m = 4 obtinemımpartirea anului ın 4 trimestre, pentru m = 12 obtinem ımpartirea anului ın 12 luni, iar pentrum = 360 obtinem ımpartirea anului ın 360 zile (1an = 360 zile ın domeniul financiar-bancar). Panaacum am notat cu t durata ın ani a ımprumutului sau a depunerii. Notam prin tm aceeasi durata detimp, exprimata cu ajutorul subperioadelor si avem relatia tm =m · t (daca tinem cont de faptul ca 1an = m subperioade si atunci t ani = m · t subperioade). De asemenea, notam cu im dobanda unitaracorespunzatoare subperioadei.

Definitie. Dobanzile unitare i si im se numesc echivalente daca pentru aceeasi suma initiala, peacelasi interval de timp, conduc la aceeasi suma finala (produc aceeasi dobanda) ın regim de dobandasimpla. �

Dobanda pentru suma initiala s depusa pe perioada t se scrie

D = i · s · tsau

D = im · s · tm = im · s ·m · tde unde se obtine relatia de legatura ıntre i si im

im =im�

Observatie. Relatia de mai sus arata faptul ca dobanda unitara anuala, i, si dobanda unitaracorespunzatoare subperioadei, im, care sunt echivalente sunt si proportionale. Aceasta se va dovedia fi o situatie specifica doar operatiei de dobanda simpla. �

2.1.2 Factor de fructificare. Factor de actualizare

In continuare vom considera ca unitatea de masura a timpului este anul si introducem notatia Spentru suma finala. Aceasta, din punct de vedere matematic este o functie, S : [0,∞)×[0,∞)→ [0,∞),(s, t) 7−→ S (s, t), obtinuta cumuland suma initiala cu dobanda. Avem urmatoarele relatii de calcul:

S = s+D sau S = s · (1 + i · t)Folosind formula de mai sus, cunoscand suma initiala, dobanda unitara anuala si durata de timpputem determina suma finala. Invers, cunoscand suma finala, dobanda unitara anuala si durata detimp putem determina suma initiala folosind formula:

s =S

1 + i · tSuma initiala, la randul ei, este o functie: s : [0,∞)× [0,∞)→ [0,∞), (S, t) 7−→ s (S,t) .

Cazuri particulare importante1) Daca s = 1 u.m., t = 1 an, atunci notam cu u suma finala corespunzatoare, deci u = S(1,1),

de unde obtinem u = 1 + i, pe care ıl numim factor de fructificare. Avem urmatoarea reprezentareintuitiva:

47

1 u.m.————————————————–> u u.m.—————+———————————————+———>

0 1 anu este valoarea de peste un an a unei unitati monetare de azi.2) Daca S = 1 u.m., t = 1 an, atunci notam cu v suma initiala corespunzatoare, deci v = s(1,1), de

unde obtinem v = 11+i = 1

u , pe care ıl numim factor de actualizare. Avem urmatoarea reprezentareintuitiva:

v u.m.¡————————————– 1 u.m.—————+———————————————+———>

0 1 anv reprezinta valoarea de azi a unei unitati monetare de peste un an. �

2.1.3 Dobanda compusa

De obicei, pentru aceasta operatiune se mai foloseste denumirea de dobanda capitalizata sau”dobanda la dobanda”. Dobanda compusa apare atunci cand suma initiala s este depusa pe o peri-oada de timp mai mare decat 1 an. Pentru a atrage depunatorii, bancile acorda acest tip de dobandasi pentru fractiuni de timp mai mici decat un an, cum ar fi depozitele pe 1 luna, 3 luni, 6 luni, 9 lunisau alte variante ın functie de banca.

Formula de bazaSa consideram ca suma initiala s este depusa pe o perioada de n ani (n ∈ N∗). Notand cu sk suma

de la sfarsitul anului k, k = 1,n, putem scrie urmatoarele relatii de calcul:

s1 = s+ i · s · 1 = s · (1 + i) = s ·us2 = s1 + i · s1 · 1 = s1 · (1 + i) = s1 ·u = s ·u2

...

sn = s ·un .

Ultima relatie este usor justificabila prin metoda inductiei matematice. Daca depozitul a fost facutpe n ani, atunci suma finala este data de relatia S = sn, deci avem

S = s ·un

relatie care este numita formula de baza a operatiei de dobanda compusa. Prin aceasta formula esteilustrata fructificarea sumei initiale s.

Din formula de baza obtinem imediat exprimarea sumei initiale

s = S · 1un

= S · vn

relatie care ilustreaza actualizarea sumei finale.Se stie, de asemenea, ca S = s+D, de unde obtinem, pentru dobanda compusa formula de calcul:

D = s · (un − 1)

48

Observatie. Semnificatia dobanzii unitare anuale i se pastreaza si ın cazul operatiei de dobandacompusa. Intr-adevar, pentru s = 1 u.m., n = 1 an se obtine D = u−1 = i, deci i este dobanda compusaunitara anuala. �

Dobanzi unitare echivalente ın cazul operatiei de dobanda compusaConsideram, ın continuare, ca anul este ımpartit ın m subperioade si notam prin im dobanda

unitara corespunzatoare subperioadei.Definitie. Dobanzile unitare i si im se numesc echivalente daca pentru aceeasi suma initiala,

pe acelasi interval de timp, conduc la aceeasi suma finala (aceeasi dobanda) ın regim de dobandacompusa. �

Daca 1 an = m subperioade, rezulta ca n ani = n ·m subperioade. Exprimam egalitatea dintresumele finale obtinute ın cele doua moduri si avem

s ·un·mm = s ·un⇒umm = u⇒

im = m√

1 + i − 1

Din relatia obtinuta ıntre im si i se observa imediat ca dobanzile unitare echivalente nu suntproportionale ın cazul operatiei de dobanda compusa.

Observatie. Folosind procentele echivalente se poate considera durata depunerii t si cand aceastanu este un numar ıntreg de ani. In consecinta, din punct de vedere matematic, S : [0,+∞)× [0,+∞)→[0,+∞), (s, t) 7−→ S (s, t) , unde S (s, t) = sut.De asemenea s va fi privita ca functia s : [0,+∞)×[0,+∞)→[0,+∞), (S, t) 7−→ s (S,t) , data prin s (S, t) = Svt. �

2.1.4 Echivalenta sistemelor de ımprumuturi

Definitie. Se numeste ımprumut un triplet format din:- o suma nominala (initiala s sau finala S),- un procent (p),- o durata (un moment t al nominalizarii sumei). �Astfel, ımprumutul va fi (s,p, t) sau (S,p, t).In orice problema financiara trebuie sa rezulte daca folosirea sumei este anterioara sau posteri-

oara datei nominalizarii. Mai multe ımprumuturi formeaza un sistem de ımprumuturi. Sunt situatiiın care un sistem de ımprumuturi se schimba cu alt sistem de ımprumuturi. Schimbarea este posibilanumai daca cele doua sisteme sunt echivalente. Aceasta echivalenta se bazeaza pe principiul echili-brului financiar, potrivit caruia doua sisteme de ımprumuturi sunt echivalente daca si numai dacasuma valorilor actuale ale valorilor nominale de la primul sistem este egala cu suma valorilor actualeale valorilor nominale de la al doilea sistem. Aici, prin valori actuale ıntelegem:

- valorile finale daca au fost nominalizate valorile (sumele) initiale,- valorile initiale daca au fost nominalizate valorile (sumele) finale.Toate consideratiile care urmeaza sunt valabile atat ın cazul operatiei de dobanda simpla, cat si ın

cazul operatiei de dobanda compusa. Ilustram rationamentele ın cazul operatiei de dobanda simpla.Consideram sistemele de ımprumuturi date cu valorile finale ca valori nominale, primul sistem

fiind format din m imprumuturi, iar cel de-al doilea sistem din n imprumuturi, adica:

49

{(S ′k ,p

′k , t′k

)}k=1,m

si {(Sk ,pk , tk)}k=1,n

Definitie. Spunem ca cele doua sisteme de ımprumuturi sunt echivalente si scriem{(S′

k ,p′k , t′k

)}k=1,m

≈ {(Sk ,pk , tk)}k=1,n

daca si numai daca are loc egalitatea:

m∑k=1

s′k =n∑k=1

sk

adica

m∑k=1

S ′k1 + i′k t

′k

=n∑k=1

Sk1 + ik tk

Analog, daca sistemele sunt date cu valorile initiale, ca valori nominale ele vor fi echivalente siscriem {(

s′k ,p′k , t′k

)}k=i,m

≈ {(sk ,pk , tk)}k=i,n

daca si numai daca are loc egalitatea:

m∑k=1

S ′k =n∑k=1

Sk

adica

m∑k=1

s′k ·(1 + i′k t

′k

)=

n∑k=1

sk · (1 + ik tk)

Cazuri particulare:1) m = n = 1 echivalenta a doua ımprumuturi.(S′,p′, t′)≈ (S,p, t) daca si numai daca s′ = s adica

S ′

1 + i′t′=

S1 + it

respectiv (s′,p′, t′)≈ (s,p, t) daca si numai daca S′= S adica:

s ′ · (1 + i′ t′) = s · (1 + i t)

2) m = 1 si n - oarecare, echivalenta unui ımprumut cu un sistem de ımprumuturi

(S ′,p′, t′)≈ {(Sk ,pk , tk)}k=1,n

50

daca si numai daca s′ =n∑k=1

sk adica

S ′

1 + i′t′=

n∑k=1

Sk1 + iktk

respectiv (s′,p′, t′) ≈ {(sk ,pk , tk)}k=1,n daca si numai daca S ′ =n∑k=1

Sk adica:

s′ · (1 + i′t′) =n∑k=1

sk · (1 + iktk)

3) m = n si se fixeaza unul dintre elementele ımprumuturilor. Se obtin valorile medii:- volumul mediu al sumelor;- procentul mediu;- scadenta comuna;- scadenta mijlocie.3.1) Volumul mediu al sumelorConsideram sistemul de ımprumuturi

{(sk ,pk,tk

)}k=1,n fixam s′k = s si luam p′k = pk si t′k = tk, deci

avem echivalenta:

{(s,pk , tk)}k=1,n ≈ {(sk ,pk , tk)}k=1,n

In aceasta echivalenta, s poarta numele de volumul mediu al sumelor sk .Conform principiului de echivalenta avem relatia:

n∑k=1

s · (1 + iktk) =n∑k=1

sk · (1 + iktk)

astfel

s =

n∑k=1

sk · (1 + iktk)

n∑k=1

(1 + iktk)

3.2) Procentul mediuConsideram sistemul de ımprumuturi

{(sk ,pk,tk

)}k=1,n fixam p′k = p si luam s′k = sk si t′k = tk, deci

avem echivalenta

{(sk ,p, tk)}k=1,n ≈ {(sk ,pk , tk)}k=1,n

In aceasta echivalenta, p poarta numele de procentul mediu al procentelor pk .Principiul de echivalenta ne conduce la egalitatea:

n∑k=1

sk · (1 + itk) =n∑k=1

sk · (1 + iktk)

51

astfel

i =

n∑k=1

sk · (1 + iktk)−n∑k=1

sk

n∑k=1

sktk

In concluzie,

p = 100

n∑k=1

sk · (1 + iktk)−n∑k=1

sk

n∑k=1

sktk

3.3) Scadenta comunaConsideram sistemul de ımprumuturi

{(sk ,pk,tk

)}k=1,n fixam t′k = t si luam s′k = sk si p′k = pk, deci

avem echivalenta:

{(sk ,pk , t)}k=1,n ≈ {(sk ,pk , tk)}k=1,n

In aceasta echivalenta, t poarta numele de scadenta comuna pentru scadentele tk .Conform principiului de echivalenta avem relatia:

n∑k=1

sk · (1 + ikt) =n∑k=1

sk · (1 + iktk)

astfel

t =

n∑k=1

sk · (1 + iktk)−n∑k=1

sk

n∑k=1

skik

3.4) Scadenta mijlocieConsideram sistemul de ımprumuturi {(sk ,pk , tk)}k=1,n fixam t′k = t, p′k = p (procentul mediu) si

luam s′k = sk deci avem echivalenta:{(sk ,p,t

)}k=1,n ≈ {(sk ,pk , tk)}k=1,n

In aceasta echivalenta, t poarta numele de scadenta mijlocie pentru scadentele tk .Conform principiului de echivalenta avem relatia:

n∑k=1

sk · (1 + it) =n∑k=1

sk · (1 + iktk)

astfel

t =

n∑k=1

sk · (1 + iktk)−n∑k=1

sk

n∑k=1

ski

52

Observatia 1. Pentru a obtine scadenta mijlocie t se poate pleca de la echivalenta: n∑k=1

sk ,p, t

≈ {(sk ,pk , tk)}k=1,n

unde p este procentul mediu. �Observatia 2. Valori medii similare se pot defini si ın cazul cand sistemul de ımprumuturi este

dat prin valorile (nominale) finale, adica {(Sk ,pk , tk)} . �Toate consideratiile pot fi reluate ın cazul operatiei de dobanda compusa.

2.2 UNITATEA 2. Imprumuturi

2.2.1 Notiuni introductive

Definitie. Prin ımprumut ıntelegem un triplet de forma (s,p,t), unde s reprezinta suma initiala carese ımprumuta debitorului de catre creditor, cu procentul anual p, pe durata de timp t.�

Intuitiv, avem situatia reprezentata mai jos(s,p, t)

CREDITOR———————>DEBITORDebitorul poate rambursa suma ımprumutata ımpreuna cu dobanda aferenta ın urmatoarele

doua moduri:- o singura data⇒ plata unica- esalonat, prin plata unor sume de bani la niste momente dinainte precizate.Pentru primul caz situatia este simpla. Se calculeaza dobanda aferenta, se adauga la suma initiala

si se ramburseaza suma finala la momentul ıntelegerii.In al doilea caz avem nevoie de niste calcule intermediare, pentru a putea determina care este

dobanda pentru suma nerambursata la un moment dat si a vedea care sunt sumele care se rambur-seaza de fiecare data, cu alte cuvinte sa calculam ratele. Pentru a usura ıntelegerea modalitatilor decalcul vom introduce si studia notiunea de anuitate.

2.2.2 Anuitati

Definitie si clasificariSa consideram ca se cumpara un bun material, iar plata lui se va face ın rate. Astfel, la diverse

momente de timp dinainte precizate, se vor face anumite plati. Consideram ca se vor plati n rate rk ,k = 1,n, la momentele de timp tk , k = 1,n, dupa cum se poate observa mai jos:

r1 r2 ... rn sume de bani——+——+—————–+———>

t1 t2 ... tn timpDefinitie. Se numeste anuitate ansamblul format din rate si momentele de timp la care se platesc

ratele respective.�Anuitatile se mai ıntalnesc si sub denumirile de plati ın rate sau plati esalonate.Deoarece ratele se platesc la diverse momente de timp si, avand ın vedere ca sumele, pe anumite

perioade de timp, produc dobanzi, este dificil sa facem aprecieri sau calcule daca nu ne referim la

53

acelasi moment de timp. Din aceasta cauza, se considera un moment de timp, notat prin t, si toatesumele se vor evalua (actualiza) ın acest moment. Suma tuturor ratelor actualizate la momentul t seva numi valoarea anuitatii la momentul t.

r1 r2 ... rk−1 V(t) rk ... rn sume de bani——+——–+———–+——–+——+———+——————–>

t1 t2 tk−1 t tk tn timpRaportate la momentul de evaluare t, ratele r1, r2, ..., rk−1 sunt sume initiale si astfel, la momentul

t ele vor deveni rj · ut−tj = rj · vtj−t, j = 1, k − 1, ın timp ce ratele rk , rk+1, ..., rn sunt sume finale siele, actualizate la momentul t vor fi rj · vtj−t, j = k,n. Atunci, conform definitiei valorii anuitatii lamomentul t, avem

V (t) =n∑j=1

rj · vtj−t

Anuitatile, fiind formate atat din rate cat si din momentele de plata ale acestor rate, se pot clasificadupa mai multe criterii, cum ar fi:

• dupa rate

– cu rate constante: r1 = r2 = ... = rn– cu rate oarecare

• dupa momentele de plata

– cu intervale constante: tk − tk−1 = const

* anuitate ıntreaga, ın cazul cand const = 1 an* anuitate fractionata, ın cazul cand const = 1

m ani = 1 subperioada (1 an = m subperi-oade, m ∈ N∗, m ≥ 2)

– cu intervale oarecare

• dupa numarul platilor n

– anuitate temporara, daca n are valoare nu prea mare (finit)

– anuitate perpetua, daca n are valoare foarte mare (teoretic +∞)

• dupa momentul de evaluare t

– anuitate imediata, daca t = t1– anuitate amanata, daca t < t1– anuitate avansata, daca t > t1

54

Anuitati constanteDefinitie. Anuitatea se numeste constanta daca atat ratele, cat si intervalele dintre plati sunt

constante, adica avem urmatoarele relatii:

r1 = r2 = ... = rn = r

tk − tk−1 = const �

Anuitati constante ıntregi posticipateDefinitie. Anuitatea constanta se numeste ıntreaga si posticipata daca tk − tk−1 = 1 an si tk = k.

�Cu alte cuvinte intervalul dintre doua plati consecutive este de 1 an, iar ratele se platesc la

sfarsitul fiecarui an.r r ... r r sume de bani

———+——+——+————–+——+—————>0 1 2 n− 1 n timp

In cele ce urmeaza dorim sa determinam valoarea la un moment t a anuitatii constante ıntregiposticipate. In acest scop vom particulariza elementele ce intervin ın relatia referitoare la valoareaanuitatii la momentul t, si anume rk = r, tk = k, k = 1,n. Atunci obtinem

V (t) =n∑k=1

r · vk−t =n∑k=1

r · vk · v−t =

= r · v−tn∑k=1

vk = r ·ut(v + v2 + ...+ vn

)=

= r ·ut · v − vn · v

1− v= r ·ut · v · (1− v

n)1− v

=

= r ·ut · 1− vn

1v − 1

= r ·ut · 1− vn

u − 1=

= r · 1− vn

i·ut

In final putem scrie, pentru valoarea anuitatii constante ıntregi posticipate, la un moment t,urmatoarea relatie de calcul:

V (t) = r · 1− vn

i·ut

Particularizand momentul de evaluare t, obtinem cateva cazuri importante, cum ar fi:

• valoarea initiala a anuitatii constante ıntregi posticipate, daca t = 0 : V (0) = IN = r · 1−vni

• valoarea finala a anuitatii constante ıntregi posticipate, daca t = n : V (n) = FIN = r · 1−vni · u

n =r · un−1

i

55

Daca n→∞, atunci obtinem valoarea anuitatii constante ıntregi posticipate perpetue, la momen-tul t, adica V∞(t) = r · 1

i ·ut

Anuitati constante ıntregi anticipateDefinitie. Anuitatea constanta se numeste ıntreaga si anticipata daca tk−tk−1 = 1 an si tk = k−1.�Cu alte cuvinte intervalul dintre doua plati consecutive este de 1 an, iar ratele se platesc la

ınceputul fiecarui an.r r r ... r sume de bani

———+——+——+————–+——+—————>0 1 2 n− 1 n timp

In cele ce urmeaza determinam valoarea la un moment t a anuitatii constante ıntregi anticipate.Daca fiecare rata de cate r u.m. (unitati monetare), care se plateste la ınceputul fiecarui an, se eva-lueaza la sfarsitul fiecarui an, obtinem n rate de cate ru u.m. care se platesc la sfarsitul fiecarui an,dupa cum se poate observa ın reprezentarea urmatoare:

ru ru ... ru ru sume de bani———+——+——+————–+——+—————>

0 1 2 n− 1 n timpAplicam acum formula referitoare la valoarea anuitatii constante intregi posticipate la momentul

t, ın care ınlocuim rata r cu ru si obtinem urmatoarea relatie de calcul pentru valoarea anuitatiiconstante ıntregi anticipate, la un moment t:

V (t) = ru · 1− vn

i·ut

V (t) = r · 1− vn

i·ut+1

Particularizand momentul de evaluare t, obtinem cateva cazuri importante, cum ar fi:

• valoarea initiala a anuitatii constante ıntregi anticipate, daca t = 0 : V (0) = IN = r · 1−vni ·u

• valoarea finala a anuitatii constante ıntregi anticipate, daca t = n : V (n) = FIN = ru · 1−vni ·u

n =ru · un−1

i

Daca n→∞, atunci obtinem valoarea anuitatii constante, ıntregi, anticipate perpetue, la momen-tul t, adica V∞(t) = r · 1

i ·ut+1

Anuitati constante fractionate posticipateDefinitie. Anuitatea constanta se numeste fractionata si posticipata daca tk − tk−1 = 1

m ani siratele se platesc la sfarsitul fiecarei subperioade.�

Cu alte cuvinte intervalul dintre doua plati consecutive este de 1m ani = 1 subperioada, unde anul

a fost ımpartit ın m subperioade, m ∈ N∗, m ≥ 2. Se noteaza cu rm rata corespunzatoare subperioadei.rm rm ... rm rm sume de bani

—–+——–+——–+—————–+——–+—————>0 1

m2m ... m−1

m 1 timpFolosind formula referitoare la valoarea anuitatii constante intregi posticipate la momentul t,

obtinem valoarea anuitatii constante fractionate posticipate, la momentul t ca fiind:

56

Vm(t) = rm ·1− vnmmim

·utmm

unde n reprezinta numarul anilor, nm numarul subperioadelor, im dobanda unitara a subperioadei,um = 1 + im, vm = 1

um.

Anuitati constante fractionate anticipateDefinitie. Anuitatea constanta se numeste fractionata si anticipata daca tk−tk−1 = 1

m ani si ratelese platesc la ınceputul fiecarei subperioade.�

Cu alte cuvinte intervalul dintre doua plati consecutive este de 1m ani = 1 subperioada, unde anul

a fost ımpartit ın m subperioade, m ∈ N∗, m ≥ 2. Se noteaza cu rm rata corespunzatoare subperioadei.rm rm rm ... rm sume de bani

—–+——–+——–+—————–+——–+—————>0 1

m2m ... m−1

m 1 timpValoarea la momentul t a anuitatii constante fractionate anticipate este


·utm+1m

daca se tine seama de formulele obtinute mai sus.Observatie. Se poate considera, pentru simplificare, ca rata corespunzatoare unui an este

proportionala cu rata corespunzatoare unei subperioade, astfel ca r = mrm. Se obtine astfel ca dacar = 1 u.m., avem rm = 1

m u.m. De asemenea, pot fi avute ın vedere si alte legaturi ıntre cele doua rate:anuala si a subperioadei. �

2.2.3 Amortizarea ımprumuturilor indivizibile

Amortizarea ımprumuturilor indivizibile, facandu-se cel mai adesea esalonat, se bazeaza ın principalpe anuitati. Pentru a putea pune ın evidenta diferitele modele de amortizare, vom avea nevoie ıncele ce urmeaza de notatii, relatii ıntre elementele care intervin, precum si de tabele de amortizare.Consideram ın continuare (fara a restrange generalitatea), ca rambursarea are loc prin intermediulunor anuitati ıntregi posticipate.

Pentru a amortiza un ımprumut (s,p, t), vom avea nevoie sa cunoastem, pentru fiecare an:- suma nerambursata la ınceputul fiecarui an k, notata prin Rk , k = 1,n, unde t = n este durata ın

ani a ımprumutului,- dobanda pentru datoria nerambursata Rk ın anul k, notata prin Dk , k = 1,n,- amortismentul aferent anului k (cota din ımprumut care urmeaza a se rambursa la sfarsitul

anului k), notata prin Qk , k = 1,n,- rata corespunzatoare anului k (suma de bani care se va plati la sfarsitul anului k), notata prin

rk , k = 1,n.Intre elementele precizate mai sus au loc, ın general, cateva relatii, cum ar fi:

R1 = s

ceea ce ne spune ca la ınceput, ın primul an, datoria debitorului fata de creditor este sumaımprumutata initial s;

57

Rk+1 = Rk −Qk , k = 1,n,

adica, suma nerambursata la ınceputul anului k+1 se obtine din diferenta dintre suma nerambursatala ınceputul anului k si partea din ımprumut rambursata la sfarsitul anului k;

Dk = i ·Rk , k = 1,n,

ceea ce ınseamna ca dobanda pentru datoria ramasa nerambursata la ınceputul anului k se calculeazadupa formula operatiunii de dobanda simplaD = i ·Rk ·1, deoarece datoria ramane neschimbata timpde un an, iar i reprezinta dobanda unitara anuala. Dupa ce a trecut perioada ımprumutului, datoriadebitorului devine zero, deci

Rn+1 = 0

ceea ce ınseamna ca

Rn =Qn

De asemenea, ın fiecare an, rata se va calcula cu formula

rk =Qk +Dk , k = 1,n

Asa cum am precizat, aceste relatii au loc ın general. In cazurile cand una dintre aceste relatii nuva avea loc, se va face precizarea respectiva.

Relatiile de mai sus nu sunt ıntotdeauna suficiente pentru a putea determina toate elementele ceintervin ıntr-un plan de amortizare. Ceea ce ne va ajuta ın acele situatii va fi principiul echilibruluifinanciar, care se exprima printr-o egalitate a datoriilor celor doua parti (debitor si creditor) la unacelasi moment de timp t. De exemplu, pentru t = n, acest principiu se scrie ın felul urmator

sun =n∑k=1

rk vk−n

Tinand cont de toate relatiile de mai sus, la fiecare amortizare se va ıntocmi un plan (tabel) deamortizare care va contine cel putin urmatoarele coloane:

k Rk Dk Qk rksi care va avea atatea linii cat este numarul de ani ın care se face rambursarea.

Ca o particularitate a amortizarii ımprumuturilor indivizibile este faptul ca aceasta poate avealoc ın mod direct sau indirect si anume:

- ın cazul amortizarilor directe, debitorul ramburseaza direct creditorului datoria pe care o arefata de el;

- ın cazul amortizarilor indirecte, debitorul constituie la o terta parte fie toata datoria pe careo are catre creditor, fie numai o parte din ea, urmand ca la scadenta debitorul sa ridice de la tertaparte suma constituita pe care o va da creditorului. Cum depunerile de sume la terta parte de catredebitor sunt ınsotite si de o dobanda, este evident ca prin acest procedeu debitorul poate fi avantajat,ın sensul ca pe seama tertei parti debitorul ısi micsoreaza datoria fata de creditor.

58

Amortizari directeModelul 1D (modelul de amortizare prin plata unica la scadenta)Acest model este un model degenerat de amortizare, ın care debitorul restituie creditorului o

singura data, la scadenta, ıntreaga sa datorie egala cu S = sun (operatiunea de dobanda compusa).Cu notatiile adoptate, tabelul de amortizare se va completa ın felul urmator:

k Rk Dk Qk rk1 s s i 0 02 su su i 0 0... ... ... ... ...

n-1 sun−2 sun−2 i 0 0n sun−1 sun−1 i sun−1 sun

Observatie. In acest caz de amortizare, relatia rk =Qk +Dk nu are loc pentru k = 1,n− 1 si are locnumai pentru k = n (ultimul an). De asemenea, Rk+1 = Rk +Dk , k = 1,n− 1, deoarece, dobanda Dkdesi a fost calculata, nu s-a platit, si deci trebuie cumulata. �

Modelul 2D (modelul de amortizare prin achitarea sumei la scadenta si plata periodica adobanzilor)

In acest caz tabelul de amortizare se prezinta ın felul urmator:

k Rk Dk Qk rk1 s s i 0 s i

2 s s i 0 s i

... ... ... ... ...

n-1 s s i 0 s i

n s s i s su

Ca o particularitate a acestui model este faptul ca liniile corespunzatoare anilor k = 1,n− 1 suntidentice si asta indiferent de cati ani intermediari sunt.

Pentru a vedea daca tabloul este bine ıntocmit, se poate scrie principiul echilibrului financiarpentru un anumit moment de timp t. De exemplu, sa consideram t = 0, momentul la care creditorula ımprumutat debitorului suma s, si la acest moment de timp actualizam platile facute de debitorcatre creditor si anume rk , k = 1,n. Egaland cele doua valori actuale, obtinem

s =n−1∑k=1

s i vk + su vn

Efectuand calculele ın membrul drept al relatiei de mai sus obtinem identitatea s = s.Modelul 3D (modelul de amortizare prin cote constante)Caracteristica acestui model de amortizare este faptul ca ın fiecare an se ramburseaza cote egale

din ımprumut, ınsotite bineınteles de dobanzile aferente pentru datoriile nerambursate. Aceastaınseamna ca sunt adevarate urmatoarele relatii de calcul

59

Q1 =Q2 = ... =Qn

Qk =Q =sn, k = 1,n

s = nQ

Atunci, tabelul de amortizare se prezinta ın felul urmator:

k Rk Dk Qk rk1 nQ nQi Q (ni + 1)Q2 (n− 1)Q (n− 1)Qi Q [(n− 1) i + 1]Q... ... ... ... ...

k+1 (n− k)Q (n− k)Qi Q [(n− k ) i + 1]Q... ... ... ... ...

n Q Qi Q (i + 1)Q

La acest model se observa ca atat dobanzile Dk , k = 1,n, cat si ratele rk , k = 1,n, sunt termenii uneiprogresii aritmetice cu primul termen D1 = s i = nQi si respectiv r1 = s i +Q = (ni + 1)Q si cu aceeasiratie −Qi. De aceea, putem scrie

Dk+1 =Dk −Qi, k = 1,n

rk+1 = rk −Qi, k = 1,n

Prin urmare, la acest model de amortizare, rata corespunzatoare primului an este cea mai mare,celelalte fiind din ce ın ce mai mici. Acest fapt poate constitui un avantaj, dar ın acelasi timp si undezavantaj ın functie de posibilitatile pe care la are debitorul.

Facem precizarea ca acest model mai este cunoscut si sub denumirea de ”model de amortizareprin rate descrescatoare”.

Evaluand la acelasi moment t = 0 datoriile celor doua parti, cu alte cuvinte suma s pe de o partesi ratele rk , k = 1,n pe de alta parte, principiul echilibrului financiar se scrie sub forma

s =n∑k=1

{[s − (k − 1)Q] i +Q} vk

Efectuand calculele ın membrul drept se va ajunge la identitatea s = s.Modelul 4D (modelul de amortizare prin rate constante)La acest model, debitorul plateste la sfarsitul fiecarui an o aceeasi rata rk , k = 1,n, prin interme-

diul careia acopera atat o parte din ımprumut, cat si dobanda pentru suma nerambursata. Deoarecela ınceput suma nerambursata este mai mare, urmand ca ea sa scada pe masura ce se platesc coteleın fiecare an, acest fapt atrage dupa sine dobanzi diferite, cu valoare mai mare ın primul an si ındescrestere ın anii urmatori. Cum suma dintre dobanda si cota formeaza rata, care ın acest caz esteconstanta, vom avea cote din ce ın ce mai mari pentru fiecare an. Insa datele pe care le avem nu suntsuficiente pentru a putea ıntocmi planul (tabelul) de amortizare si prin urmare vom avea nevoie de o

60

relatie suplimentara care este principiul echilibrului financiar. La momentul t = 0 cele doua datoriisunt suma initiala s si suma ratelor r actualizate. Ratele r formeaza o anuitate constanta ıntreagaposticipata, pentru care valoarea initiala este data de relatia V (0) = IN = r · 1−vn

i . Astfel, obtinemurmatoarea relatie pentru rata constanta necunoscuta

s = r · 1− vn

ide unde obtinem

r =s i

1− vnCunoscand acum suficiente elemente, putem construi tabloul de amortizare

k Rk Dk Qk rk1 s = r · 1−vn

i s i = r (1− vn) r −D1 = r vn r

2 s − r vn = r · 1−vn−1

i r(1− vn−1

)r vn−1 r

... ... ... ... ...n r · 1−v

i r (1− v) r v r

Se constata ca ın acest caz de amortizare, cotele corespunzatoare fiecarui an sunt termenii unei pro-gresii geometrice cu primul termen Q1 = r vn si ratia 1

v = u. Cotele corespunzatoare anilor k = 2,n sepot calcula folosind urmatoarea relatie

Qk =Q1uk−1, k = 2,n

Se observa din tabelul de amortizare ca

Rn = r · 1− vi

= r ·1− 1

1+i

i

= r ·i

1+i

i= rv

=Qn

Amortizari indirecteLa acest tip de amortizari, dupa cum am mai subliniat, intervine ınca o persoana (asa numita

terta parte) pe langa creditor si debitor. Schematic, problema se prezinta ın felul urmator:(s,p,t) p’

CREDITOR——————>DEBITOR——————>TERTA PARTE<———————————————————————

In timp ce ıntre creditor si debitor se lucreaza cu procentul anual p, ıntre debitor si terta parte sefoloseste, de obicei, un procent p′. Daca p = p′, acest caz ne conduce la asa-numitul sistem francez.Daca ınsa p , p′, suntem condusi la sistemul american de amortizare. Se demonstreaza matematicfaptul ca daca p′ > p atunci debitorul iese ın avantaj fata de creditor, pe seama tertei parti. Atat ıntrecreditor si debitor pe de o parte, cat si ıntre debitor si terta parte pe de alta parte, va avea loc cate o

61

amortizare directa efectuata dupa unul dintre modelele de amortizare directa prezentate mai sus. Sepot imagina diverse combinatii. Dintre acestea, prezentam ın cele ce urmeaza cateva.

Modelul 1I (modelul de amortizare prin plata periodica a dobanzilor catre creditor si consti-tuirea sumei ımprumutate la terta parte prin plati periodice constante)

Acest model de amortizare indirecta este constituit din doua modele de amortizare directa, dupacum urmeaza

CREDITOR2D↗

DEBITOR4D↘

TERTA PARTE

Corespunzator modelului de amortizare directa 2D, debitorul va plati anual creditorului dobanzile(calculate cu procentul p), urmand sa restituie suma ımprumutata s la scadenta. In paralel, debito-rul va constitui aceasta suma s la terta parte (folosind procentul p′) prin plati periodice constante(conform modelului de amortizare directa 4D). Daca ın final suma s va fi constituita la terta parteatunci, la momentul t = 0, aceasta suma va fi s′ = sv′n (pentru a afla datoria la momentul t = 0 fatade terta parte, se actualizeaza suma s prin intermediul procentului p′). Rata constanta pe care o vaplati debitorul tertei parti ın fiecare an se va calcula dupa formula

r ′ =s′ i′

1− v′nsau

r ′ =sv′n i′

1− v′n

Modelul 2I (modelul de amortizare printr-o unica plata catre creditor si constituirea ıntregiisume datorate la terta parte prin plati periodice constante)

Aceste model de amortizare indirecta este constituit din doua modele de amortizare directa, dupacum urmeaza

CREDITOR1D↗

DEBITOR4D↘

TERTA PARTE

Corespunzator modelului de amortizare directa 1D, debitorul nu va plati nimic creditorului decat ınultimul an, la scadenta, cand va ınapoia ıntreaga datorie (calculata cu procentul p), si anume sumaS = sun. In paralel, debitorul va constitui aceasta suma S la terta parte (folosind procentul p′) prinplati periodice constante (conform modelului de amortizare directa 4D). Daca ın final suma S va ficonstituita la terta parte, atunci la ınceput (la momentul t = 0) aceasta suma va fi S ′ = S v′n = sun v′n

(pentru a afla datoria la momentul t = 0 fata de terta parte, se actualizeaza suma S prin intermediulprocentului p′). Atunci rata constanta pe care o va plati debitorul tertei parti ın fiecare an se vacalcula dupa formula

62

r ′ =S ′ i′

1− v′nsau

r ′ =sun v′n i′

1− v′n


Problema 1. Sa se calculeze dobanda care s-a obtinut ca urmare a depunerii unei sume initiale de2500 u.m. cu procentul anual de 11% din data de 10 martie 2005 pana ın data de 25 iulie 2005 ınfunctie de:

a) numarul de zile;b) numarul de chenzine ıntregi (o chenzina = 15 zile);c) numarul de luni ıntregi.Rezolvare.a) calculam numarul de zile z = 137 zile

Dz =s · i · z360

=

=2500 · 0,11 · 137

360=

= 104,65 (u.m.)

b) ıntre 10 martie 2005 si 25 iulie 2005 sunt 9 chenzine ıntregi

Dq =s · i · q

24=

=2500 · 0,11 · 9

24=

= 103,125 (u.m.)

c) ıntre 10 martie 2005 si 25 iulie 2005 sunt 4 luni ıntregi

Dl =s · i · l

12=

=2500 · 0,11 · 4

12=

= 91,67 (u.m.)

Problema 2. O persoana dispune de doua sume de bani s1 si s2 astfel ıncat prima suma este decinci ori mai mare decat a doua. Persoana plaseaza prima suma pe timp de 135 zile cu procentulanual de 10% si a doua suma pe timp de 3 luni cu procentul anual de 9%. Stiind ca dobanda adusa

63

de prima suma este mai mare cu 66 u.m. decat cea produsa de a doua suma, sa se determine valorilecelor doua sume initiale.

Rezolvare. Notam cu D1 si D2 dobanzile corespunzatoare celor doua sume initiale. Din dateleproblemei putem scrie ca:

s1 = 5 · s2

D1 =s1 · 0,1 · 135

360

D2 =s2 · 0,09 · 3

12D1 =D2 + 66

Se observa ca avem, de fapt, de rezolvat urmatorul sistem de doua ecuatii cu doua necunoscute:{s1 = 5 · s20,0375 · s1 = 0,0225 · s2 + 66

Inlocuind s1 = 5 · s2 ın cea de a doua ecuatie, obtinem

(0,1875− 0,0225) · s2 = 66

de unde gasim

s2 = 400 u.m.s1 = 2 000 u.m.

Problema 3. O persoana depune la o banca suma de 300 u.m.. Stiind ca procentul anual estede 15% pe an, sa se calculeze ce suma va avea persoana respectiva dupa 4 ani si care este valoareadobanzii.

Rezolvare. Se cunosc s = 300 u.m., p = 15%, n = 4 ani. Se va folosi operatia de dobanda compusadeoarece n = 4 > 1 an. Pentru suma finala S avem formula S = s · un, iar u = 1 + i. In cazul de fata,dobanda unitara anuala este i = p

100 = 0,15, iar factorul de fructificare este u = 1,15 si avem

S = 300 · (1,15)4 = 300 · 1,749 = 524,7 (u.m.)

D = S − s = 524,7− 300 = 224,7 (u.m.)

Problema 4. O persoana primeste mostenire un libret de economii ıntocmit ın urma cu 6 ani.Procentul anual a fost ın primii doi ani 15%, iar ın ultimii patru ani de 12%. Suma finala care sepoate ridica de pe libretul respectiv este de 2080,98 u.m.. Ce suma initiala a fost depusa?

Rezolvare. Se cunosc n = 6 ani, n1 = 2 ani, n2 = 4 ani, p1 = 15%, p2 = 12% si S = 2080,98 u.m..Suma initiala s este necunoscuta. Folosind formula dobanzii compuse, putem scrie:

- dupa primii doi ani suma initiala s devine S1 = s · u21 = s · (1 + i1)2; aceasta suma devine suma

initiala pentru urmatoarea perioada;

64

- dupa ultimii patru ani obtinem suma finala S = S1 · u42 = s · u2

1 · u42 = s · (1 + i1)2 · (1 + i2)4 . De aici

obtinem imediat ca

s =S

(1 + i1)2 · (1 + i2)4 =

=2080,98

(1,15)2 · (1,12)4 =

= 1000(u.m.)

In concluzie, ın urma cu 6 ani s-a depus suma de 1000 u.m.Problema 5. Se considera cazul unei banci care ofera o rata anuala a dobanzii de 10% pentru

depozitele pe termen de 1 luna. Sa se calculeze dobanda primita la scadenta de catre o persoanacare a depus suma de 10000 u.m. pe timp de 1 luna. Presupunand ca persoana doreste capitaliza-rea dobanzii, sa se calculeze ce suma va avea persoana respectiva peste 5 luni si peste 1 an. Sa secalculeze, de asemenea, care este dobanda unitara anuala echivalenta.

Rezolvare. Se cunosc urmatoarele elemente s = 10000 u.m., p = 10%, i = 0,1, i12 = i12 = 0,008(3),

t5 = 5 luni, t12 = 12 luni. Notam prin D1 dobanda dupa o luna, S5 suma finala dupa 5 luni, S12 sumafinala dupa 12 luni si prin P1 procentul anual echivalent.

Dobanda pe care o primeste persoana dupa o luna este

D1 = s · i12 · 1 = 83, (3) (u.m.)

Daca dobanda se capitalizeaza, peste 5 luni persoana va putea ridica suma

S5 = s ·u512 = s · (1 + i12)5 =

= 10000 · (1 + 0,008(3))5 == 10000 · 1,042196 == 10 421,96 (u.m.)

Deci, dobanda aferenta este de

D5 = 10 421,96− 10000 = 421,96 (u.m.)

Daca se capitalizeaza dobanda, peste 12 luni persoana va putea ridica suma

S12 = s ·u1212 = s · (1 + i12)12 =

= 10000 · (1 + 0,008(3))12 == 10000 · 1,104274 == 11042,74 (u.m.)

Pentru a afla procentul anual echivalent, avem

65

s ·u1212 = s ·u1

(1 + i12)12 = 1 + I1

unde cu I1 s-a notat P1100

I1 = (1 + i12)12 − 1 =

= (1 + 0,008(3))12 − 1 == 0,104274

si deci avem P1 = 10,42%.Problema 1. O persoana achizitioneaza un bun ın valoare de 1000 u.m., plata acestui bun urmand

a se efectua ın rate egale pe timp de doi ani. Se cunoaste procentul anual p = 10% si se considera cadobanda unitara corespunzatoare unei subperioade nu este proportionala cu dobanda unitara anuala(suntem ın cazul operatiei de dobanda compusa). Sa se calculeze care este valoarea unei rate dacaplata are loc:

a) la sfarsitul fiecarui an;b) la ınceputul fiecarui an;c) la sfarsitul fiecarei luni;d) la ınceputul fiecarei luni;e) la sfarsitul fiecarui trimestru;f) la ınceputul fiecarui trimestru;Care este valoarea acumulata a ratelor la sfarsitul celor doi ani, ın fiecare caz ın parte?Rezolvare. Fiind vorba despre o plata ın rate, avem, de fapt, pentru fiecare caz ın parte cate o

anuitate, dupa cum urmeaza:a) anuitate constanta ıntreaga posticipata;b) anuitate constanta ıntreaga anticipata;c) si e) anuitate constanta fractionata posticipata;d) si f) anuitate constanta fractionata anticipata.Pentru fiecare caz ın parte, pretul bunului achizitionat (1000 u.m.) reprezinta valoarea initiala a

anuitatii (V (0) = IN ), iar valoarea acumulata a ratelor la sfarsitul celor doi ani reprezinta valoareafinala a anuitatii (V (n) = V (2) = FIN ). Prin urmare, rata constanta se va gasi, de fiecare data, dinformula valorii initiale a anuitatii respective.

a) In acest caz avem n = 2 si

V (t) = r · 1− vn

i·ut

V (0) = r · 1− vn

i

V (n) = r · un − 1i

p = 10%; i = 0,1; u = 1,1; v = 0, (90)

66

de unde, ınlocuind elementele cunoscute, obtinem

103 = r · 1−(0, (09))2

0,1care este o ecuatie de gradul ıntai ın necunoscuta r. Solutia acestei ecuatii se exprima astfel

r =0,1 · 103

1− (0, (90))2

de unde rata constanta ce se va plati la sfarsitul fiecarui an este

r = 576,19 u.m.

In acest caz, valoarea finala a anuitatii este

V (2) = r · u2 − 1i

= 576,19 · (1,1)2 − 10,1

= 1210 (u.m.)

b) Daca plata ratelor constante se va face la ınceputul fiecarui an, suntem condusi la urmatoarelevalori ale anuitatii constante ıntregi anticipate

V (t) = r · 1− vn

i·ut+1

V (0) = r · 1− vn

i·u

V (n) = r · un − 1i·u

p = 10%; i = 0,1; u = 1,1; v = 0, (90)

Inlocuind elementele cunoscute ın valoarea initiala a anuitatii, obtinem rata ın acest caz:

103 = r · 1,1 · 1−(0, (90))2

0,1

r =0,1 · 103

1,1(1− (0, (90))2

)r = 523,81 u.m.

Valoarea finala a anuitatii este

67

V (2) = r · u2 − 1i·u =

= 523,81 · 1,1 · (1,1)2 − 10,1

=

= 1210 u.m.

c) In acest caz, persoana va plati lunar, la sfarsitul fiecarei luni, timp de doi ani aceeasi suma debani (rata). Fiind vorba de luna,m = 12 (numarul subperioadelor ın care se ımparte anul). Suntem ıncazul unei anuitati constante fractionate si posticipate, iar valoarea ei la un anumit moment de timpt este


·utmm

Vm(0) = rm ·1− vnmmim

Vm(nm) = rm ·unmm − 1im

nm = 24, i12 = 12√

1 + i − 1 = 0,0079,u12 = 1,0079, v12 = 0,9920

Inlocuind datele cunoscute, obtinem

103 = r12 ·1− (0,9920)24

0,0079

r12 =0,0079 · 103

1− (0,9920)24

r12 = 45,95 u.m.

Valoarea finala este

V12(24) = r12 ·u24

12 − 1i12

=

= 45,95 ·(1,0079)24 − 1

0,0079=

= 1210 u.m.

d) In acest caz, persoana va plati lunar, la ınceputul fiecarei luni, timp de doi ani o aceeasi suma debani (rata). Fiind vorba de luna,m = 12 (numarul subperioadelor ın care se ımparte anul). Suntem ıncazul unei anuitati constante, fractionate si anticipate, iar valoarea ei la un anumit moment de timpt este

68

Vm(t) = rm ·1− vn·mmim

· u(t+1)mm

Vm(0) = rm ·1− vn·mmim

·um

Vm(nm) = rm ·un·mm − 1im

·um

nm = 24, i12 = 12√

1 + i − 1 = 0,0079,u12 = 1,0079, v12 = 0,9920


103 = r12 · 1,0079 · 1− (0,9920)24

0,0079

r12 =0,0079 · 103

1,0079 ·(1− (0,9920)24

)r12 = 45,58 u.m.


V12(24) = r12 ·u24

12 − 1i12

·u12 =

= 45,58 · 1,0079 ·(1,0079)24 − 1

0,0079=

= 1210 u.m.

e) In acest caz, persoana va plati trimestrial, la sfarsitul fiecarui trimestru, timp de doi ani oaceeasi suma de bani (rata). Fiind vorba de trimestru, m = 4 (numarul subperioadelor ın care seımparte anul). Suntem ın cazul unei anuitati constante fractionate si posticipate, iar valoarea ei la unanumit moment de timp t este


·utmm

Vm(0) = rm ·1− vnmmim

Vm(nm) = rm ·unmm − 1im

nm = 8, i4 = 4√

1 + i − 1 = 0,0241,u4 = 1,0241, v4 = 0,9764

69


103 = r4 ·1− (0,9764)8

0,0241

r4 =0,0241 · 103

1− (0,9764)8

r4 = 138,94 u.m.


V4(8) = r4 ·u8

4 − 1i4

=

= 138,94 ·(1,0241)8 − 1

0,0241=

= 1210 u.m.

f) In acest caz, persoana va plati trimestrial, la ınceputul fiecarui trimestru, timp de doi ani oaceeasi suma de bani (rata). Fiind vorba de trimestru, m = 4 (numarul subperioadelor ın care seımparte anul). Suntem ın cazul unei anuitati constante fractionate si anticipate, iar valoarea ei la unanumit moment de timp t este

Vm(t) = rm ·1− vn·mmim

·u(t+1)mm

Vm(0) = rm ·1− vn·mmim

·um

Vm(nm) = rm ·un·mm − 1im

·um

nm = 8, i4 = 4√

1 + i − 1 = 0,0241,u4 = 1,0241, v4 = 0,9764


103 = r4 · 1,0241 · 1− (0,9764)8

0,0241

r4 =0,0241 · 103

1,0241(1− (0,9764)8

)r4 = 135,67 u.m.


70

V4(8) = r4 ·u8

4 − 1i4·u4 =

= 135,67 · 1,0241 · (1,00241)8 − 10,0241

=

= 1210 u.m.

Problema 2. O persoana ımprumuta suma de 500 u.m., negociind scadenta ımprumutului la 6ani si dobanda anuala la valoarea de 25%. De asemenea, la momentul efectuarii ımprumutului sestabileste ca ıntreaga datorie (suma ımprumutata si dobanda aferenta) se va plati la scadenta. Sa seıntocmeasca planul de amortizare corespunzator rambursarii acestui ımprumut.

Rezolvare. Este vorba de modelul de amortizare directa 1D. Se cunosc urmatoarele date:

s = 500, n = 6, p = 12%

de unde obtinem, pentru factorul de actualizare u valoarea 1,12. La momentul scadentei (sfarsitulcelui de-al patrulea an) se va rambursa suma S = sun = 986,91 u.m.; la sfarsitul celorlalti ani nu seplateste nimic. Tabloul de amortizare se prezinta dupa cum urmeaza

k Rk Dk Qk rk1 500 60 0 02 560 67.2 0 03 627.2 75.26 0 04 702.46 84.3 0 05 786.76 94.41 0 06 881.17 105.74 881.17 986.91

�Problema 3. Se considera acelasi ımprumut de 500 u.m. (ca si la Problema 2), rambursabil pe

timp de 6 ani cu dobanda anuala 12%.De aceasta data, la sfarsitul fiecarui an, vor fi platite dobanzileaferente, iar suma ımprumutata se va restitui la scadenta. Sa se prezinte tabloul de amortizare.

Rezolvare. Este vorba de modelul de amortizare directa 2D. Tabloul de amortizare urmatorul:

k Rk Dk Qk rk1 500 60 0 602 500 60 0 603 500 60 0 604 500 60 0 605 500 60 0 606 500 60 500 560

�Problema 4. O persoana ımprumuta de la o banca suma de 500 u.m., pe timp de 6 ani, cu dobanda

anuala 12%, urmand ca la sfarsitul fiecarui an sa se ramburseze aceeasi cota din ımprumut, la care

71

se adauga dobanda aferenta acelei perioade. Sa se ıntocmeasca tabloul de amortizare corespunzatoracestui ımprumut.

Rezolvare. Este vorba de modelul de amortizare directa 3D pentru care cota corespunzatoarefiecarui an este aceeasi si anume

Qk =Q =sn, k = 1,n

In acest caz avem:

s = 500, n = 6, p = 12%

si atunci obtinem

i = 0,12, u = 1,12

Qk =Q = 83, (3), k = 1,6

Tabloul de amortizare este:

k Rk Dk Qk rk1 500 60 83.33 143.332 416.67 50 83.33 133.333 333.33 40 83.33 123.334 250 30 83.33 113.335 166.67 20 83.33 103.336 83.33 10 83.33 93.33

�Problema 5. Sa se ıntocmeasca planul de amortizare pentru un ımprumut de 500 u.m., pe timp

de 6 ani, cu dobanda anuala de 12%, daca rambursarea are loc prin plati periodice constante (lasfarsitul fiecarui an).

Rezolvare. Platile periodice constante care vor avea loc sunt, de fapt, rate constante, deci estevorba de modelul de amortizare directa 4D. Datele problemei sunt:

s = 500, n = 6, p = 12%

Rata constanta se calculeaza considerand ca suma ımprumutata s este valoarea initiala a unei anuitaticonstante, ıntregi, posticipate cu ratele constante r. Atunci are loc urmatoarea relatie:

s = r · 1− vn

ide unde rezulta formula de calcul pentru rata constanta si anume:

r =s i

1− vn

72

Prin urmare, la sfarsitul fiecarui an se va rambursa rata constanta r cu care se acopera atat o partedin ımprumut, cat si dobanda pentru suma nerambursata corespunzatoare fiecarui an. In acest cazavem:

r =500 · 0,12

1−(

11,12

)6

r = 121,61 (u.m.)

Tabloul de amortizare este urmatorul:

k Rk Dk Qk rk1 500 60 61.61 121.612 438.39 52.61 69.01 121.613 369.38 44.33 77.29 121.614 292.09 35.05 86.56 121.615 205.53 24.66 96.95 121.616 108.58 13.03 108.58 121.61

�Problema 6. O persoana (creditorul) ımprumuta de la o banca suma de 2500 u.m., pe timp

de 5 ani, cu dobanda anuala 11%. Persoana ın cauza (debitorul) urmeaza sa restituie creditoruluidobanzile la sfarsitul fiecarui an, iar suma necesara restituirii sumei ımprumutate o va constitui la oalta banca (terta parte) prin plati periodice constante pe timp de 5 ani, cu dobanda anuala 12%. Sase ıntocmeasca planurile de amortizare pentru rambursarea acestui ımprumut.

Rezolvare. Intre debitor si creditor va avea loc o amortizare directa de tipul 2D, cu procentul p,iar ıntre debitor si terta parte, o amortizare directa de tipul 4D, cu procentul p′, ceea ce ınseamna caeste vorba, de fapt de o amortizare indirecta dupa modelul 1I. Se cunosc:

s = 2500, n = 5, p = 11%, p′ = 12%

La scadenta, debitorul trebuie sa aiba constituita la terta parte suma s care, actualizata la momentulcontractarii ımprumutului, cu procentul corespunzator tertei parti, p′, este

s′ = sv′n

s′ = 1418,57(u.m.)

Aceasta suma este valoarea initiala a unei anuitati constante ıntregi posticipate cu rata constanta r ′.Deci, putem scrie

sv′n = r ′1− v′n

i′

Astfel, rata constanta r ′ ce va trebui platita la sfarsitul fiecarui an tertei parti este data de relatia

73

r ′ =sv′n i′

1− v′n

r ′ =2500 ·

(1

1,12

)5· 0,12

1−(

11,12

)5

r ′ = 393,52(u.m.)

Tabloul de amortizare debitor-creditor (2D) este urmatorul

k Rk Dk Qk rk1 2500 275 0 2752 2500 275 0 2753 2500 275 0 2754 2500 275 0 2755 2500 275 2500 2775

Tabloul de amortizare debitor-terta parte (4D) este:

k Rk Dk Qk rk1 1418.57 170.23 223.3 393.522 1195.27 143.43 250.09 393.523 945.18 113.42 280.1 393.524 665.08 79.81 313.72 393.525 351.36 42.16 351.36 393.52

Se observa ca sumele depuse la terta parte, vor deveni la scadenta:

r ′(u′3 +u′2 +u′ + 1

)= 393,52(1,4049 + 1,2544 + 1,12 + 1) =

= 1 880,75 (u.m.) �

Problema 7. Sa se ıntocmeasca planul de amortizare a unui ımprumut ın valoare de 2 500 u.m.,rambursabil pe timp de 5 ani, cu dobanda anuala 11%, prin achitarea la scadenta a ıntregii dato-rii catre creditor si constituirea sumei datorate la o terta parte cu dobanda anuala 12%, prin platiperiodice constante.

Rezolvare. Se cunosc

s = 2500, n = 5, p = 11%, p′ = 12%

Intre debitor si creditor procentul este p, iar modelul de amortizare directa este 1D; ıntre debitor siterta parte procentul este p′, iar modelul de amortizare directa este 4D. In concluzie, este vorba de oamortizare indirecta dupa modelul 2I.

Tabloul de amortizare debitor-creditor (1D) este

74

k Rk Dk Qk rk1 2500 275 0 02 2775 305.25 0 03 3080.25 338.83 0 04 3419.08 376.1 0 05 3795.18 417.47 3795.18 4212.65

La scadenta, debitorul trebuie sa aiba constituita la terta parte suma sun care este datoria pe careo are fata de creditor si care, actualizata la momentul initial (ın raport cu procentul p′) este sun v′n.Deci, la momentul initial, datoria debitorului fata de terta parte este sun v′n, suma care reprezinta va-loarea initiala a unei anuitati constante, ıntregi, posticipate, cu rata constanta r ′. Are loc urmatoarearelatie:

sun v′n = r ′1− v′n

i′

sun v′n = 2390,37 u.m.

de unde obtinem formula de calcul pentru rata r ′ si anume

r ′ =sun v′n i′

1− v′n

r ′ =2500 · (1,11)5 ·

(1

1,12

)5· 0,12

1−(

11,12

)5

r ′ = 663,11 (u.m.)

Tabloul de amortizare debitor-terta parte (4D) este

k Rk Dk Qk rk1 2390.37 286.84 376.27 663.112 2014.1 241.69 421.42 663.113 1592.68 191.12 471.99 663.114 1120.69 134.48 528.63 663.115 592.06 71.05 592.06 663.11

�

2.4 Teme de control

Dobanzi

Problema 1. Care sunt dobanzile si sumele finale obtinute ın urma depunerii spre fructificare aunui capital de 1000 u.m. pe timp de 150 zile, ın regim de dobanda simpla, calculate ın functie de

75

numarul de zile, chenzine si luni, stiind ca rata trimestriala a dobanzii este de 9%.R: Dz =Dq =Dl = 150 u.m., Sz = Sq = Sl = 1150 u.m. �Problema 2. Se depun spre fructificare urmatoarele sume:s1 = 162 u.m. pe timp de 150 zile cu p = 15% (anual)s2 = 320 u.m. pe timp de 135 zile cu p = 15% (anual)s3 = 400 u.m. pe timp de 120 zile cu p = 15% (anual)s4 = 80 u.m. pe timp de 90 zile cu p = 12% (anual)s5 = 270 u.m. pe timp de 85 zile cu p = 12% (anual)s6 = 125 u.m. pe timp de 50 zile cu p = 12% (anual)s7 = 240 u.m. pe timp de 30 zile cu p = 12% (anual)Sa se afle dobanzile pentru fiecare suma depusa si apoi sa se afle dobanda totala obtinuta.R: D1 = 10,125 u.m., D2 = 18 u.m., D3 = 20 u.m., D4 = 2,4 u.m., D5 = 7,65 u.m., D6 = 2,0833

u.m., D7 = 2,4 u.m., D = 62,66 u.m. �Problema 3. Se considera procentul anual 8%.Se cere: procentul anticipativ conform, respectiv procentul decursiv conform.R: q = 7,4%, p = 8,7% �Problema 4. Se depune spre fructificare suma de 105 u.m.. Cat devine aceasta suma peste 6 ani

daca ın primii patru ani procentul anual este de 20%, iar ın urmatorii doi ani procentul anual estede 15% ?

R: S = 287,95 u.m. �Problema 5. La sfarsitul lunii aprilie 2004 s-a depus spre fructificare suma de 500 u.m., pe termen

de 1 luna, cu rata anuala a dobanzii de 15%. Cat a devenit aceasta suma la sfarsitul anului 2004 ? Darla sfarsitul anului 2005 ? Mentionam ca la sfarsitul fiecarei luni dobanda s-a capitalizat. Cat devinesuma de 500 u.m. dupa 1 an de la data depunerii ? Care este procentul anual echivalent ?

R: S8 = 552,24 u.m., S20 = 641,02 u.m., S12 = 580,38 u.m., P = 16,07%. �

Anuitati. Rambursari de credite

Problema 1. O persoana doreste sa cumpere un autoturism ın valoare de 5100 u.m., achitand unavans de 20% din pret si urmand ca restul sumei de bani sa o achite prin plati periodice constantepe timp de 5 ani. Se cunoaste procentul anual p = 10% si se considera ca dobanda unitara cores-punzatoare unei subperioade nu este proportionala cu dobanda unitara anuala (suntem ın cazuloperatiei de dobanda compusa). Sa se calculeze care este valoarea unei rate daca plata are loc:

a) la sfarsitul fiecarui an;b) la ınceputul fiecarui an;c) la sfarsitul fiecarei luni;d) la ınceputul fiecarei luni;e) la sfarsitul fiecarui trimestru;f) la ınceputul fiecarui trimestru;Care este valoarea acumulata a ratelor la sfarsitul celor 5 ani, ın fiecare caz ın parte.R: a) r = 1076,29u.m., V (5) = 6570,88u.m.b) r = 978,45u.m., V (5) = 6570,88u.m.c) r12 = 85,83u.m., V (5) = 6570,88u.m.d) r12 = 85,15u.m., V (5) = 6570,88u.m.

76

e) r4 = 259,53u.m., V (5) = 6570,88u.m.f) r4 = 253,42u.m., V (5) = 6570,88u.m. �Problema 2. O persoana ımprumuta suma de 6000 u.m., pe timp de 4 ani cu un procent anual

de 9%. La momentul efectuarii ımprumutului se stabileste ca ıntreaga datorie (suma ımprumutata sidobanda aferenta) se va rambursa la scadenta. Sa se ıntocmeasca tabloul de amortizare corespunzatoracestui ımprumut.

R: Este vorba de modelul de rambursare 1D, rk = 0 pentru k = 1,3, iar r4 = 8469,49 u.m. �Problema 3. Se considera un ımprumut de 4500 u.m., rambursabil pe timp de 5 ani cu un procent

anual de 11%. La sfarsitul fiecarui an, vor fi platite dobanzile aferente, iar suma ımprumutata se varestitui la scadenta. Sa se construiasca tabloul de amortizare.

R: Este vorba de modelul de rambursare 2D, Dk = 495 u.m., unde k = 1,5. �Problema 4. O persoana ımprumuta de la o banca suma de 20000 u.m., ın vederea achizitionarii

unei locuinte, pe timp de 10 ani, cu un procent anual de 10%, urmand ca la sfarsitul fiecarui an sase ramburseze aceeasi cota din ımprumut, la care se adauga dobanda aferenta acelei perioade. Sa seıntocmeasca tabloul de amortizare corespunzator acestui ımprumut.

R: Este vorba de modelul de rambursare 3D, Qk = 2 000 u.m., k = 1,10. �Problema 5. Sa se ıntocmeasca planul de amortizare pentru un ımprumut ın valoare de 2500

u.m., pe timp de 6 ani, cu un procent anual de 11%, daca rambursarea are loc prin plati periodiceconstante (la sfarsitul fiecarui an).

R: Este vorba de modelul de rambursare 4D, rk = 316,98 u.m., k = 1,6. �Problema 6. O persoana ımprumuta de la o alta persoana suma de 7500 u.m., pe timp de 5

ani, cu un procent anual de 12%. Debitorul urmeaza sa restituie Creditorului dobanzile la sfarsitulfiecarui an, iar suma necesara restituirii sumei ımprumutate o va constitui la o banca (Terta parte)prin plati periodice constante pe timp de 5 ani, cu dobanda anuala 15%. Sa se ıntocmeasca tablourilede amortizare.

R: Este vorba de modelul de rambursare 1I, Dk = 900 u.m., unde k = 1,5, iar R′1 = 3 728,83 u.m.,

rk = 1 112,37 u.m., k = 1,5, �Problema 7. Sa se ıntocmeasca planul de amortizare pentru un ımprumut ın valoare de 12000

u.m., rambursabil pe timp de 10 ani, cu un procent anual de 12%, prin achitarea la scadenta a ıntregiidatorii catre Creditor si constituirea sumei datorate la o Terta parte cu dobanda anuala 9%, prin platiperiodice constante.

R: Este vorba de modelul de rambursare 2I, r10 = 37 270,18 u.m., R′1 = 11 004,53 u.m., rk =

2453,13 u.m., k = 1,10. �

Bibliografie 1. Colectiv, Elemente de matematici financiare si actuariale. Teorie si probleme, Edi-tura Mega 2013.

2. Muresan A. S., Filip D. A. , Ban I. M., Hangan A., Operatiuni financiare, Editura Mediamira,Cluj-Napoca, 2005.

77

3 MODULUL III. MATEMATICI ACTUARIALEObiective

• Familiarizarea cu tehnicile si metodele utilizate in cadrul matematicilor actuariale

• Definirea notiunilor de plata viagera unica, anuitati viagere, plati in caz de deces, asigurari depersoane si bunuri

Concepte de baza

• Functii biometrice (probabilitati de viata si de deces, functia de supravietuire, viata medie,tabele de mortalitate)

• Plati viagere (plata viagera unica, anuitati viagere)

• Plati in caz de deces (plata unica in caz de deces, anuitati de deces)

• Asigurari de persoane. Rezerva matematica.

• Asigurari de bunuri


introduse, sa fie in stare sa le aplice la problemele concrete.Sinteza

3.1 UNITATEA 1. Functii biometrice

1.1. IntroducereNotiunea de asigurare de persoane vizeaza modurile ın care se poate face o plata, nu ın mod cert

ci numai probabil, daca se realizeaza anumite evenimente ce privesc viata sau decesul unei persoaneasigurate. Studiul acestor fenomene de viata si de deces poate fi realizat datorita unor caracteristicice li se pot atribui. Cea mai importanta caracteristica este mortalitatea. Intensitatea mortalitatii estedata de anumiti coeficienti numerici. Acestia pot lua mai multe valori, variatia fiecaruia prezentandun aspect functional ın sensul ca ın general variabila independenta este varsta, iar functia (variabiladependenta) este mortalitatea.

1.2. Probabilitatile de viata si de decesSe considera o colectivitate ın care toti indivizii au aceeasi varsta - x ani. Se poate pune ıntrebare:

care este probabilitatea ca o persoana ın varsta de x ani sa fie ın viata la varsta de y ani, y ≥ x.Raspunsul este exprimat prin probabilitatea de viata, notata prin simbolul p (x,y). Probabilitateaevenimentului contrar, ca persoana ın varsta de x ani sa nu fie ın viata la y ani, este probabilitateade deces pe care o vom nota cu simbolul q (x,y). Intre cele doua notatii are loc relatia corespunzatoareprobabilitatilor unor evenimente contrare

78

p (x,y) + q (x,y) = 1

Cazuri particulare:1) Daca y = x+1 vom scrie p (x,y) = p(x,x+1) = px care este probabilitatea ca persoana ın varsta de

x ani sa fie ın viata peste 1 an, respectiv q (x,y) = q(x,x + 1) = qx, care este probabilitatea ca persoanaın varsta de x ani sa nu mai fie ın viata peste 1 an. Evident, avem: px + qx = 1.

2) Daca y = x+n vom scrie p (x,y) = p(x,x+n) =n px care este probabilitatea ca persoana ın varstade x ani sa fie ın viata peste n an, respectiv q (x,y) = q(x,x + n) =n qx care este probabilitatea capersoana ın varsta de x ani sa nu mai fie ın viata peste n an. Evident, avem: npx +n qx = 1. �

Observatie: Probabilitatile de viata si de deces se determina pe cale experimentala studiind omare colectivitate de persoane care traiesc ın aceleasi conditii. Cu aceste probabilitati se ıntocmesctabele.

1.3. Functia de supravietuireUna dintre cela mai importante caracteristici ce se regasesc ın teoria asigurarilor este functia de

supravietuire.Consideram o colectivitate de persoane, toate avand aceeasi varsta de a ani si notam cu la volumul

colectivitatii (numarul de persoane ce formeaza respectiva colectivitate).Definitie. Se numeste functie de supravietuire lx numarul mediu de persoane din cele la care vor

fi ın viata la varsta de x ani (a ≤ x).�Observatie. Functia de supravietuire depinde deci de varsta persoanei asigurate si se defineste ca

valoarea medie a numarului de persoane care ajung la varsta de x ani dintr-un numar de la persoaneın varsta de a ani �

Pentru a exprima valoarea functiei lx vom construi o variabila aleatoare Z pentru care M(Z) = lx.Notam cu z numarul persoanelor ın viata la x ani si cu p (a,x) probabilitatea ca o persoana ın varstade a ani sa fie ın viata la varsta de x ani. Persoanele din colectivitate traiesc ın aceeasi zona, ın aceleasiconditii si astfel putem aprecia ca distributia variabilei aleatoare Z este o distributie binomiala (dacaexperienta se repeta de mai multe ori ın aceleasi conditii, deci daca probabilitatea de a se realizaun eveniment nu se modifica la diverse repetari ale experientei, atunci distributia binomiala estecea care trebuie realizata, iar pentru variabila aleatoare, Z, p(a,x) are aceeasi valoare pentru oricepersoana din colectivitate).

Facem precizarea ca distributia binomiala, ın general, are forma:

X :[

x

Cxnpxqn−x

]x=0,n

pentru care valoarea medie este: M(X) = np, iar dispersia este D2(X) = npq.In cazul nostru, variabila este notata cu Z, valorile variabilei sunt z, n = la, p = p(a,x), q =

q(a,x).Astfel obtinem

Z :

z

Czla (p (a,x))z (q (a,x))la−z

z=0,la

Conform formulei de mai sus pentru media distributiei binomiale, obtinem

M(Z) = lx = p (a,x) · la

79

de unde rezulta imediat

p (a,x) =lxla�

Consideram ın cele ce urmeaza a ≤ x ≤ y. Extinzand rezultatele, putem spune ca evenimentul cao persoana ın varsta de a ani sa fie ın viata la varsta de y ani este dat de intersectia a doua evenimentedependente si anume: primul, ca persoana ın varsta de a ani sa fie ın viata la x ani si al doilea, capersoana ın varsta de a ani (si care a ajuns la varsta de x ani) sa fie ın viata si la y ani. Respectandformula pentru probabilitatea intersectiei a doua evenimente dependente se poate scrie:

p (a,y) = p (a,x) · p (x,y)

unde p(x,y) este de fapt o probabilitate conditionata. Din aceasta relatie, se obtine

p (x,y) =p (a,y)p (a,x)

adica obtinem exprimarea probabilitatii de viata cu ajutorul functiei de supravietuire

p (x,y) =lylx

daca s-a facut simplificarea cu la. �1.4. Viata medieA treia functie biometrica importanta este viata medie. Pentru a o defini consideram o persoana

ın varsta de x ani. Trebuie evidentiat ın cele ce urmeaza numarul de ani cati mai are de trait aceastapersoana. Pentru simplificarea calculelor, admitem urmatoarea ipoteza simplificatoare: persoana,oricare ar fi ea, decedeaza la jumatatea unui an, deci admitem ca o persoana de o anumita varsta dex ani mai are de trait un numar ıntreg de ani si jumatate.

Notam cu Z variabila aleatoare ce reprezinta numarul de ani si jumatate cati mai are de trait opersoana ın varsta de x ani.

Z :[n+ 1

2

n/n+1qx

]n=0,1,...

unde n/n+1qx este probabilitatea ca persoana sa decedeze ıntre x + n si x + n + 1 ani (la jumatateaanului), adica

n/n+1qx = p (x,x+n) · qx+n =lx+n

lx·(1− lx+n+1

lx+n

)=lx+n − lx+n+1

lx

Definitie. Viata medie, notata cu simbolul ex, se defineste ca valoarea medie a numarului de anicati mai are de trait o persoana ın varsta de x ani. �

Prin urmare, ex =M (Z) si are valoarea

ex =∑n≥0

(n+

12

)· lx+n − lx+n+1

lx

sau, dezvoltand suma, obtinem expresia

80

ex =12

+1lx·∑n≥1

lx+n.�

Observatie: Lipsa indicelui superior la semnul sumei semnifica faptul ca ınsumarea este limitatanumai la acei indici ai elementelor constitutive pentru care varsta x+n nu depaseste limita de varsta(practic 100 ani).�

1.5. Tabele de mortalitatePentru a dispune de valorile functiilor utilizate, ın teoria asigurarilor de persoane, se ıntocmesc

tabele de mortalitate fundamentate pe date statistice si pe ajustarea acestor date prin diferite me-tode de calcul. De regula, tabelele contin urmatoarele valori: x - numarul de ani, lx - functia desupravietuire, dx - numarul persoanelor decedate ıntre varsta de x si x + 1 ani, px - probabilitateade viata, qx - probabilitatea de deces, ex - viata medie. De asemenea, tabelele contin si o serie de,,numere de comutatie” la care vom face referire ın cele ce urmeaza.

Toate numerele utilizate ın teoria asigurarilor de persoane se pot deduce prin calcul, pornind, deexemplu, de la numerele lx.

1.6. Arborescenta viagera si de decesPentru ilustrarea momentelor ın care se efectueaza diferite categorii de plati, vom construi o

arborescenta (un graf simplificat) ce evidentiaza fenomenul de viata, respectiv de deces. Varfurilearborescentei simbolizeaza anii, iar arcele arata faptul ca persoana ramane ın viata de la un an laaltul (arcele superioare) sau ca decedeaza ın anul respectiv (acul inferior).

Vom exemplifica arborescenta viagera si de deces pentru urmatoarea situatie: persoana ın varstade x ani va fi ın viata la varsta de x + n ani si nu va fi ın viata la varsta de x + n + 1 ani. Astfel vomputea calcula probabilitatea n/n+1qx, folosita la determinarea vietii medii. Asadar, avem:

px px+n−1|−−−−−−↓|− ... −−−−↓|−−−−−−−−−−↓x x+ 1 ... x+n− 1 x+n x+n+ 1

|−−−−−−−−−−−−↑qx∗n

Pe arcele superioare s-au ınscris probabilitatile px, ..., px+n−1, iar pe arcul inferior probabilitateaqx+n. Deci, evenimentul ca persoana ın varsta de x ani sa fie ın viata la x+n ani are probabilitatea

px · px+1 · ... · px+n−2 · px+n−1 =lx+1

lx· lx+2

lx+1· ... · lx+n−1

lx+n−2· lx+n

lx+n−1=lx+n

lx= p (x,x+n) =n px

Atunci, evenimentul ca persoana ın varsta de x ani sa decedeze ıntre x + n si x + n + 1 ani areprobabilitatea

npx · qx+n =lx+n

lx·(1− lx+n+1

lx+n

)=lx+n − lx+n+1

lx=n/n+1 qx

Observatie. Daca ıntr-o arborescenta viagera si de deces pot exista mai multe arce superioare,fiecare simbolizand ca persoana este ın viata ıntre cei doi ani consecutivi, exista un singur arc inferiorsi anume cel care corespunde anului ın care are loc decesul. �

81

Exemplu. Sa se construiasca arborescenta viagera si de deces ın cazul x = 49 si n = 2. Sa se explicesemnificatiile probabilitatilor p49 , p50 , 2p49 si q51.

Rezolvare: Varfurile arborescentei sunt reprezentate de 49,50,51 si 52 si cu ajutorul arcelor vomcalcula probabilitatile mentionate. Vom avea urmatoarea arborescenta:

p49 p50|−−−−−−−−↓|−−−−−−−−↓

49 50 51 52

|−−−−−−−−−−−−↑q51

Astfel, probabilitatile cerute vor avea urmatoarele semnificatii:

• p49- este probabilitatea ca persoana ın varsta de 49 ani sa fie ın viata peste un an, deci la 50 ani;

• p50- este probabilitatea ca persoana ın varsta de 50 ani sa fie ın viata la 51 ani;

• q51- este probabilitatea ca persoana ın varsta de 51 ani sa nu fie ın viata peste un an, la 52 ani;

• 2p49 - este probabilitatea ca persoana ın varsta de 49 ani sa fie ın viata peste doi an, deci la 51ani.

Vom calcula aceste probabilitati cu ajutorul valorilor functiei de supravietuire luate din tabelelede mortalitate, obtinand:

p49 =l50

l49=

8107781603

= 0,9935541,

p50 =l51

l50=

8050181077

= 0,9928956,

q51 = 1− p51 = 1− l52

l51= 1− 79867

80501= 0,0078757

In cazul probabilitatii evenimentului ca persoana ın varsta de 49 ani sa fie ın viata peste 2 ani,adica la 51 ani, se poate utiliza relatia

2p49 = p49 · p50 = 0,9935541 · 0,9928956 = 0,9864954

sau relatia

2p49 =l51

l49=

8050181603

= 0,9864955 �

3.2 UNITATEA 2. Plati viagere

2.1. GeneralitatiAsa cum am mai precizat, ın cadrul asigurarilor de persoane, platile efectuate de cele doua parti

au un caracter aleator. In ceea ce ıl priveste pe asigurat, plata are loc doar daca este ın viata la mo-mentul efectuarii platii, iar asiguratorul va efectua operatiunea doar daca se realizeaza evenimentul

82

stabilit prin contractul de asigurare. Plata se considera ca fiind o variabila aleatoare cu distributiestabilita. Pentru ca ıntre obligatiile partilor contractante sa se realizeze principiul echilibrului finan-ciar, se impune egalitatea valorilor medii actuale ale celor doua variabile aleatoare: plata efectuatade catre asigurator si plata efectuata de catre asigurat, ambele actualizate. In practica, valoarea me-die actuala a platii (platilor) efectuate de catre asigurat se numeste prima de asigurare si poate fiunica sau periodica, iar valoarea medie actuala a platii (platilor) efectuate de catre asigurator senumeste suma asigurata si poate fi, de asemenea, unica sau periodica. Primele, rezultate din compa-rarea obligatiilor celor doua parti ın momentul semnarii contractului de asigurare, se numesc primematematice (nete), la acestea putandu-se adauga, ınsa, unele plusuri ca urmare a unor cheltuieli deadministrare.

Daca notam cu Z1,Z2, ...,Zn variabilele aleatoare corespunzatoare platilor efectuate ın cazul maimultor asigurari si cu Z variabila suma a acestor variabile, avem egalitatea:

Z = Z1 +Z2 + ...+Zn

Pentru valorile medii avem relatia

M (Z) =M (Z1) +M (Z2) + ...+M (Zn)

Notand cu P - prima, obtinem urmatoarele relatii

P =M (Z) , P1 =M (Z1) , ..., Pn =M (Zn)

Astfel, putem scrie egalitatea

P = P1 + P2 + ...+ Pn

ce exprima principiul cumularii contractelor.2.2. Tipuri de plati viagereDefinitie. Plata viagera reprezinta acel tip de plata care se efectueaza de (sau catre) o persoana

atat timp cat ea este ın viata la momentul efectuarii platii.Plata viagera unicaVom ilustra aceasta plata prin formularea unei probleme.Consideram o persoana ın varsta de x ani careia urmeaza sa i se plateasca peste n ani o unitate

monetara, daca va fi ın viata atunci. Daca persoana nu va fi ın viata la x + n ani, atunci nu se vaefectua nici o plata. Ne propunem sa aflam care este valoarea medie actuala a acestei plati, acum,cand persoana este ın varsta de x ani.

Notand cu Z variabila aleatoare care reprezinta plata efectuata, ea va avea urmatoarea distributie

Z :[vn 0

npx nqx

]n=0,1,...

Valorile variabilei aleatoare Z sunt sumele actualizate ce se vor plati dupa modelul descris maisus, iar probabilitatile cu care variabila ia aceste valori sunt precizate pe linia a doua. Practic, ıncazul nostru, vn reprezinta valoarea actuala a unitatii monetare (v este factorul de actualizare ınoperatia de dobanda compusa) pentru situatia ın care persoana va fi ın viata peste n ani, iar 0 estevaloarea actuala a 0 unitati monetare, daca persoana nu este ın viata peste n ani. De asemenea, avem

83

npx - probabilitatea ca o persoana de x ani sa fie ın viata peste n ani, iar nqx reprezinta probabilitateaevenimentului contrar.

Definitie. Valoarea medie a variabilei aleatoare Z se numeste factor de actualizare viager si senoteaza cu simbolul nEx. �

Deci,

nEx =M (Z) = vn ·n pxsau, folosind relatia

npx =lx+n

lxfactorul de actualizare viager poate fi scris si sub forma

nEx = vn · lx+n

lx=vx+n · lx+n

vx · lxSe introduce urmatoarea notatie:

Dx = vx · lxsi Dx se numeste numar de comutatie. Deci, mai putem scrie factorul de actualizare viager astfel

nEx =Dx+n

Dx�

Anuitati viagereDaca platile se fac ın mai multe transe, fiecare aferenta unui anumit moment de timp, atunci

putem extinde problema astfel:Care este valoarea medie actuala a platilor viagere (rate) S1,S2, ...,Sk platibile peste n1,n2, ...nk

ani, ın conditiile ın care acestea se efectueaza daca persoana de x ani este ın viata peste n1,n2, ...,nkani? Aceste plati se fac fie de catre asigurat, fie de catre asigurator si sunt egale cu S1 la ımplinireavarstei de x+n1 ani,..., Sk la ımplinirea varstei de x+nk ani.

Definitie: Se numeste anuitate viagera cu ratele S1,S2, ...,Sk ansamblul format din momentele deplata x+n1, x+n2, ..., x+nk si ratele anuitatii. �

Daca notam cu Zi variabila ce exprima efectuarea platii viagere corespunzatoare varstei de x +ni ani si cu Z variabila ce exprima suma platilor viagere efectuate, se poate scrie

M (Z) =M (Z1) +M (Z2) + ...+M (Zk)

sau, conform relatiilor de mai sus,

M (Z) = S1 ·n1Ex + ...+ Sk ·nk Ex

unde, M (Z) reprezinta valoarea actuala a anuitatii viagere.Anuitati viagere constante ıntregi

• Anuitati viagere constante ıntregi posticipate

84

Definitie: Spunem ca anuitatea viagera este constanta ıntreaga posticipata daca ratele viageresunt constante, se platesc la intervale de cate un an, la sfarsitul fiecarui an. �

Astfel S1 = S2 = ... = Sk = S = 1 u.m., n2 −n1 = n3 −n2 = ... = nk −nk−1 = 1 an, nj = j, j = 1, k.

• – Anuitatea viagera constanta ıntreaga posticipata imediata nelimitata

Definitie: Spunem ca anuitatea viagera constanta ıntreaga posticipata este imediata si nelimitata,daca ratele viagere se platesc ıncepand cu primul an, nelimitat (practic pana la decesul persoanei). �

Notand cu ax valoarea medie actuala a unei anuitati viagere constante ıntregi posticipate imediatenelimitate, vom obtine

ax =1 Ex +2 Ex + ... =Dx+1

Dx+Dx+2

Dx+ ...

Introducand numarul de comutatieNx =Dx +Dx+1 + ...

anuitatea viagera constanta ıntreaga posticipata imediata nelimitata se mai poate scrie

ax =Nx+1

Dx

• – Anuitate viagera constanta ıntreaga posticipata amanata cu n ani, nelimitata.

Definitie: Anuitatea viagera constanta ıntreaga posticipata spunem ca este amanata cu n ani sinelimitata daca ratele viagere se platesc dupa al n-lea an de la ıncheierea contractului pana la decesulpersoanei. �

Astfel notand cu n/ax valoarea medie actuala a acestei anuitati putem scrie

n/ax =n+1 Ex +n+2 Ex + ...

sau

n/ax =Dx+n+1

Dx+Dx+n+2

Dx+ ...

deci

n/ax =Nx+n+1

DxExemplu. Vom prezenta solutia pentru exemplul 1.Rezolvare. Din enuntul problemei deducem ca nepotul va primi la sfarsitul fiecarui an suma

constanta de 10 000 u.m. ıncepand cu varsta de 25 ani. In conditiile ın care acesta are acum doar 12ani, vorbim despre o anuitate viagera constanta ıntreaga posticipata amanata cu 13 ani, nelimitata.Deci pentru ca ıncepand cu varsta de 25 ani, nepotul sa primeasca o suma de 10 000 u.m. la sfarsitulfiecarui an, ın prezent bunicul va trebui sa plateasca suma (prima) P care este data de

P = S ·13/ a12 = 10000 · N12+13+1

D12

85

Numerele de comutatie necesare se iau din tabelul cu procentul 5%, si avem: D12 = 49 785,16respectiv N26 = 447 220,98 Rezulta ca

P = 10000 · 447 220,9849 785,16

= 89830,2 u.m. �

• – Anuitate viagera constanta ıntreaga posticipata imediata, limitata la n ani.

Anuitatea viagera constanta ıntreaga posticipata imediata si limitata la n ani daca ratele viagerese platesc ıncepand cu primul an, timp de n ani. �

Notand cu simbolul /nax valoarea medie actuala a acestei anuitatii avem relatia

/nax =1 Ex +2 Ex + ...+n Ex

De fapt avem

/nax = ax −n/ axadica

/nax =Nx+1 −Nx+n+1

Dx

• Anuitati viagere constante ıntregi anticipate

Deosebirea ıntre anuitatea viagera constanta ıntreaga anticipata si cea posticipata consta ın faptulca la cea anticipata ratele viagere se platesc la ınceputul fiecarui an.

In acest caz vom folosi aceleasi tipuri de anuitati, dar pentru care vom folosi litera ”a”.Astfel avem urmatoarele relatii

ax =NxDx

ın cazul anuitatii viagere constante ıntregi anticipate imediate si nelimitate,

n/ax =Nx+n

Dxpentru anuitatea viagera constanta ıntreaga anticipata amanata cu n ani, nelimitata, respectiv

/nax =Nx −Nx+n

Dxpentru anuitatea viagera constanta ıntreaga anticipata imediata, limitata la n ani.

Anuitati viagere constante fractionateDefinitie: Spunem ca anuitatea viagera constanta este fractionata daca ratele viagere se platesc

pentru fiecare subperioada ın care se ımparte anul. �La aceste anuitati fractionate se ımparte anul ın m intervale egale, m ∈ N, m ≥ 2. In plus, consi-

deram ca la sfarsitul fiecarei subperioade astfel obtinute, se platesc cate 1m u.m..

86

• Anuitati viagere constante fractionate posticipate

Definitie: Spunem ca anuitatea viagera constanta fractionata este posticipata daca ratele viagerese platesc la sfarsitul fiecarei subperioade. �

Pentru simplificarea calculelor vom presupune ca, ın decursul unui an, factorul de actualizareviager variaza liniar. Cu alte cuvinte, punctul de coordonate

(x+n+ j

m ,n+j/mEx)

apartine dreptei de-terminata de punctele: (n,nEx) si (n+ 1,n+1Ex) ,adica

n+j/mEx −n Exjm

= n+1Ex −n Ex1

Rezulta ca

n+j/mEx =j

m· (n+1Ex −n Ex) +n Ex, n ≥ 0

• – Anuitatea viagera constanta fractionata posticipata imediata nelimitata

Definitie: Spunem ca anuitatea viagera constanta fractionata posticipata este imediata nelimitatadaca ratele viagere de cate 1

m u.m. se platesc la sfarsitul fiecarei subperioade ıncepand cu primul anpana la decesul persoanei. �

Daca notam valoarea medie actuala a unei anuitati viagere constante fractionate posticipate ime-diate nelimitate cu a(m)

x , obtinem

a(m)x =

1m· (1/m Ex +2/m Ex + ...) =

1m·∑n≥0

m∑j=1

n+j/mEx =

=m+ 12m

· Nx+1

Dx+m− 12m

· NxDx

=NxDx− m+ 1

2m

deci

a(m)x = ax −

m+ 12m

Notand cu:

N(m)x =Nx −

m− 12m

·Dx

vom obtine:

a(m)x =

N(m)x

Dx− 1m

• – Anuitatea viagera constanta fractionata posticipata amanata cu n ani

87

Definitie: Spunem ca anuitatea viagera constanta fractionata posticipata este amanata cu n anidaca ratele viagere de cate 1

m u.m. se platesc ıncepand cu al n-lea an pana la decesul persoanei. �

Notand cu n/a(m)x valoarea medie actuala a acestei anuitati si tinand cont ca

a(m)x =

m+ 12m

· Nx+1

Dx+m− 12m

· NxDx

vom putea scrie

n/a(m)x =

1m· (n+1/mEx +n+2/m Ex + ...) = a(m)

x+n ·n Ex

Sau daca avem ın vedere ca

a(m)x+n = ax+n +

m− 12m

rezulta

n/a(m)x = ax+n ·n Ex +

m− 12m

·n Ex

Stiind ınsa ca

ax+n ·n Ex =n/ ax

expresia finala este

n/a(m)x =n/ ax +

m− 12m

·n Ex

• – Anuitatea viagera constanta fractionata posticipata imediata limitata la n ani

Definitie: Spunem ca anuitatea viagera constanta fractionata posticipata este imediata si limitatala n ani daca ratele viagere de cate 1

m u.m. se platesc ıncepand cu primul an, timp de n ani. �

Notam cu /na(m)x valoarea medie actuala a acestei anuitati si ea va fi data de relatia

/na(m)x = a(m)

x −n/ a(m)x

• Anuitati viagere constante fractionate anticipate

Deosebirea ıntre anuitatea viagera constanta fractionata anticipata si cea posticipata consta ınfaptul ca la cea anticipata ratele viagere de cate 1

m u.m. se platesc la ınceputul fiecarei subperioadedin fiecare an.

Deoarece plata ratelor se face ınca de la ınceputul primei subperioade, avem

a(m)x =

1m

+ a(m)x

Folosind relatia de calcul a anuitatii viagere constante fractionate posticipate imediate nelimitatevom putea scrie urmatoarea expresie

88

a(m)x =

N(m)x

DxAnalog, pentru anuitatea constanta fractionata anticipata amanata cu n ani nelimitata, putemscrie

n/a(m)x =n/ ax −

m− 12m

·n Ex

Pentru anuitatea viagera constanta fractionata anticipata imediata limitata la n ani avem

n/a(m)x = a(m)

x −n/ a(m)x

3.3 UNITATEA 3. Plati ın caz de deces

Daca ın cazul platilor viagere evenimentul aleator care conditiona efectuarea acestora a fost ca per-soana sa fie ın viata la momentele efectuarii platilor viagere, acum, la platile ın caz de deces eveni-mentul aleator presupune ca decesul persoanei are loc ıntr-un interval precizat.

3.1. Plata unica ın caz de decesNe fixam din nou atentia asupra unei persoane ın varsta de x ani. Pentru simplificarea calculelor

se face urmatoarea presupunere: persoana, oricare ar fi ea, decedeaza exact la mijlocul unui an. Cualte cuvinte, o persoana mai are de trait n ani si jumatate. Daca persoana ın cauza decedeaza ıntrex + n si x + n + 1 ani, la jumatatea anului (conform conventiei de mai sus), familia sa (sau persoanaindicata de aceasta) va primi 1 u.m. Daca persoana nu decedeaza la momentul indicat, atunci nu seva efectua nici o plata.

Problema care se pune aici consta ın a determina care este valoarea medie actuala a platii unice ıncaz de deces descrisa mai sus. In acest sens consideram variabila aleatoare Z care are drept valori, va-lorile actualizate ale sumelor ce se platesc ın caz de deces. Aceasta variabila aleatoare are urmatoareadistributie

Z :[

0 vn+1/2

1−n/n+1 qx n/n+1qx

]unde vn+1/2 reprezinta valoarea actuala a unei unitati monetare platibile peste n ani si jumatate, iar

n/n+1qx =n px · qx+n

reprezinta probabilitatea ca o persoana ın varsta de x ani sa decedeze ıntre x+n si x+n+ 1 ani, exactla jumatatea anului.

Definitie: Se numeste factor de actualizare ın caz de deces valoarea medie a variabilei aleatoareZ de mai sus. �

Notam cu simbolul nDx acest factor si avem

89

nDx =M (Z) = vn+1/2 ·n/n+1 qx

= vn+1/2 · lx+n − lx+n+1

lx

=vx+n+1/2 · (lx+n − lx+n+1)

vx · lx

=v1/2 · vx+n · lx+n −u1/2 · vx+n+1 · lx+n+1

vx · lx

=v1/2 ·Dx+n −u1/2 ·Dx+n+1

Dx

=u1/2 · (v ·Dx+n −Dx+n+1)

Dx

Introducem numarul de comutatie

Cx = u1/2 · (v ·Dx −Dx+1) ,

si, astfel, se poate scrie

nDx =Cx+n

Dx3.2. Anuitati de decesAnuitatile de deces sunt acelea pentru care plata ın caz de deces se efectueaza oricand are loc

decesul persoanei, ıntre doi ani dinainte precizati. Aici vom ıntalni numai cazul ıntreg, deoareceintervalul dintre doua momente cand ar fi posibila efectuarea platii este de un an si decesul persoaneise considera, conform ipotezei, ca va avea loc peste un numar ıntreg de ani si jumatate.

Prin intermediul acestei notiuni suntem interesati sa vedem care este valoarea medie actuala amai multor posibilitati de plata ın caz de deces, de cate o unitate monetara si care urmeaza a fi platiteo singura data ın cazul ın care persoana decedeaza ın anul respectiv.

• Anuitate de deces imediata si nelimitata

Definitie: Spunem ca anuitatea de deces este imediata si nelimitata daca plata sumei se va faceoricand survine decesul persoanei. �

Variabila aleatoare Z aferenta acestei anuitati se va descompune ın variabile aleatoare, Zk , k ≥ 0,Z =

∑k≥0

Zk , Zk fiind variabile care reprezinta plata unica ce se va efectua pentru doi ani consecutivi,

k, k + 1.Trecand la valorile medii, putem scrie.

M (Z) =∑k≥0

M(Zk) =∑k≥0

kDx =∑k≥0

Cx+k

Dx

Introducem un nou numar de comutatie Mx

90

Mx =∑k≥0

Cx+k =∑k≥0

u1/2 · (v ·Dx+k −Dx+k+1)

Mx = u1/2 · (v ·Nx −Nx+1)

Astfel, putem scrie

M (Z) =∑k≥0

Cx+k

Dx=Mx

Dx

Notand Ax =M (Z), adica valoarea actuala medie a anuitatii de deces imediata nelimitata, avem

Ax =Mx

Dx

• Anuitate de deces dublu limitata inferior la m ani (inclusiv) si superior la n ani (exclusiv)

Definitie: Anuitatea de deces spunem ca este dublu limitata inferior lam ani (inclusiv) si superiorla n ani (exclusiv) daca plata se va efectua oricand are loc decesul ıntre x +m ani (inclusiv) si x + nani (exclusiv). �

Daca notam cu m/nAx valoarea medie actuala a acestei anuitati de deces dublu limitata, vomobtine

m/nAx =M (Z) =n−1∑k=m

kDm =n−1∑k=m

Cx+k

Dx=Mx+m −Mx+n

Dx

Astfel avem

m/nAx =Mx+m −Mx+n

DxObservatii:Pentru m = 0 se obtine anuitatea de deces imediata limitata la n ani si anume

/nAx =Mx −Mx+n

Dx

Pentru intervalul [n, .) se va obtine anuitatea de deces amanata cu n ani nelimitata (practic panala limita de varsta)

n/Ax =Mx+n

Dx

In scrierea [n, .), ”.” simbolizeaza limita de varsta.

91

3.4 UNITATEA 4. Asigurari de persoane

3.4.1 Principiul echilibrului financiar

Din cele prezentate pana ın acest punct deducem ca exista o relatie bine determinata ıntre suma asi-gurata, S si prima P , aceasta relatie avand la baza tocmai principiul echilibrului financiar. Legaturadintre cele doua variabile are loc indiferent daca platile efectuate de/catre o persoana se realizeazaıntr-o singura transa sau esalonat. Pentru cazul concret al asigurarilor de persoane, acest principiuse reflecta ın egalitatea (la un acelasi moment de timp) dintre valorile medii actuale ale platilor alea-toare platibile fie ın cazul cand asiguratul este ın viata, fie ca a decedat, conform prevederilor dincontractul de asigurare. Acesta contract este un ınscris ce ia nastere ın urma acordului de vointa acelor doua parti contractante (asiguratul si institutia de asigurare) si ın care sunt stipulate o serie deelemente.

3.4.2 Asigurarea de viata

In contractul de asigurare se stabileste, ıntre altele, ca:Obligatiile asiguratului Obligatiile institutiei de

asigurare

Asiguratul, ın varsta de x ani Asiguratorul va plati asi-plateste periodic, anticipat o guratului o suma, S, candprima de asigurare, P , timp acesta ımplineste x+n ani.

de k ani. Daca la aceasta varsta asi-guratul nu este ın viata,

institutia de asigurare nu arenici o obligatiefinanciara.

In vederea aplicarii principiului echilibrului financiar, trebuie sa stabilim mai ıntai valorile mediiactualizate ale obligatiilor celor doua parti. Astfel, avem

Valoarea medie actuala a Valoarea medie actualaunei unitati monetare ce a unei unitati monetare ce

urmeaza a fi platita antici- se plateste peste n anipat, timp de k ani este /kax, este: nEx, ıntrucat avemıntrucat avem de-a face cu de-a face cu o plata viagera

o anuitate viagera anticipata unica.cu rata de 1 u.m. Deoarece se plateste o su-

Deoarece se platesc P u.m. ma, S, vom avea dreptanticipat, vom avea drept valoarea medie actuala,

valoare medie actuala S ·n Ex.P ·/kax.

Conform principiului echilibrului financiar, putem scrie egalitatea

92

P ·/k ax = S ·n ExDaca exprimam anuitatea ıntreaga constanta anticipata limitata, /kax, respectiv factorul de actu-

alizare viager, nEx, cu ajutorul numerelor de comutatie, obtinem

P · Nx −Nx+k

Dx= S · Dx+n

Dxsi atunci, expresia primei P va fi

P = S · Dx+n

Nx −Nx+k

Cazuri particulare:

1. Pentru k = 1 prima se plateste o singura data, altfel spus, avem prima unica. In aceste conditiidiferenta Nx −Nx+1 =Dx, deci vom obtine

P = S · Dx+n

Dx

2. Pentru k = n (de obicei k ≤ n) si k > 1, adica atunci cand prima nu este unica, ea se va plati,de obicei, periodic pana cand asiguratul ımplineste cei x + n ani, deci pe tot timpul asigurarii.In acest moment el va primi de la asigurator suma S. In aceasta situatie, prima se exprima subforma

P = S · Dx+n

Nx −Nx+n

3.4.3 Asigurarea de pensii

Contractul de asigurare prevede, printre altele, urmatoarele:

93

Obligatiile asiguratului Obligatiile institutiei de

asigurare

Asiguratul, ın varsta de Asiguratorul va platix ani plateste periodic, periodic asiguratului oanticipat o prima, P , suma (pensie anuala), S,

timp de k ani. din momentul ın careacesta ımplineste x+n

ani pana la decesul sau.Daca asiguratul dece-

deaza ınaintea ımpliniriivarstei stabilite prin

contract, institutia deasigurare nu are nici oobligatie financiara.

Valoarea medie actuala Valoarea medie actualaa unei unitati monetare a obligatiilor asiguratoruluice urmeaza a fi platita esten/ax ın cazul unei uni-anticipat, timp de k ani tati monetare, ıntrucat esteeste/kax, ıntrucat avem vorba de anuitate viagerade-a face cu o anuitate amanata cu n ani.

viagera cu rata de 1 u.m. Deoarece se plateste oDeoarece se platesc P pensie anuala, S, vom

u.m. anticipat vom avea avea drept valoarea mediedrept valoare medie actuala S ·n/ ax.

actuala P ·/k ax.Conform principiul echilibrului financiar putem scrie

P ·/k ax = S ·n/ ax

Procedand analog ca si ın cazul asigurarilor de viata prin folosirea numerelor de comutatie, vomobtine

P · Nx −Nx+k

Dx= S · Nx+n

Dxde unde rezulta

P =Nx+n

Nx −Nx+k

Cazuri particulare:

94

1. Daca prima este unica (k = 1) si cum Nx −Nx+1 =Dx, suntem condusi la urmatoarea formula

P = S · Nx+n

Dx

In situatia speciala ca pensia ıncepe a fi platita de catre asigurator chiar din primul an (n = 0)rezulta

P = S · NxDx

2. Si la asigurarea de pensii putem ıntalni cazul ın care primele se platesc pana ın momentul ıncare institutia de asigurare va ıncepe sa plateasca pensia anuala. De aceasta data (k = n) avem

P = S · Nx+n

Nx −Nx+n

3. In multe situatii concrete platile se fac fractionat, pe subperioade ale perioadei de baza. Deexemplu, perioada de baza este de 1 an, iar platile se fac lunar. Din acest motiv, vom consideraca avem de-a face cu m subperioade de plata (m = 12 la platile lunare), caz ın care vom utilizaexpresia

P = S · N(m)x+n

N(m)x −N (m)

x+n

In aceasta relatie, numerele de comutatie se vor calcula cu ajutorul formulei

N(m)x =Nx −

m− 12m

·Dx

Exemplu. Ca si aplicatie la acest tip de asigurare vom rezolva exemplul al doilea prezentat chiarla ınceputul acestui capitol.

Rezolvare. Suntem ın cazul unei asigurari de pensii pentru care cunoastem: m = 12, x = 40,k = n = 30, S = 100 $, p = 5%. Inlocuind aceste date ın formula

P = S · N(m)x+n

N(m)x −N (m)

x+n

vom obtine

P = 100 ·N

(12)70

N(12)40 −N

(12)70

Din tabelul cu numerele de comutatie, avem: N40 = 193 870,81, N70 = 13 775,38,D40 =12 053,29,D70 = 1 776,45. Cu ajutorul acestora vom calcula N (12)

70 respectiv N (12)40 astfel

N(12)70 =N70 −

12− 12 · 12

·D70 = 13 775,13− 1124· 1 776,45 = 12 961,17

95

iar

N(12)40 =N40 −

12− 12 · 12

·D40 = 193 870,81− 1124· 12 053,29 = 188 346,38

Revenind ın relatia de calcul pentru determinarea primei, obtinem

P = 100 · 12 961,17188 346,38− 12 961,17

= 7,39 $

In concluzie, pentru ca pensia lunara sa fie de 100 $, dupa 30 ani de la momentul semnarii con-tractului, asiguratul va trebui sa plateasca, tot lunar, institutiei de asigurare 7,39 $ timp de 30 ani.�

3.4.4 Asigurare de deces

In contractul de asigurare sunt stipulate, ıntre altele, urmatoarele:


asigurare

Asiguratul, ın varsta de x Daca asiguratul decedeazaani plateste anual, antici- ıntre varsta de x+m ani

pat o prima P , timp de (inclusiv) si x+n ani (ex-k ani. clusiv), atunci asiguratorul

va plati unei persoane indi-cate de asigurat suma S.

Valoarea medie actuala a Valoarea medie actuala asumelor platite este P ·/k ax. sumei platite de asigurator

este S ·m/nAx.Conform principiului echilibrului financiar putem scrie

P ·/k ax = S ·m/nAxDin aceasta egalitate, folosind numerele de comutatie pentru cele doua anuitati, obtinem

P = S ·Mx+m −Mx+n

Nx −Nx+k

Cazuri particulare:

1. Daca prima este unica, k = 1, atunci Nx −Nx+1 =Dx de unde rezulta

P = S ·Mx+m −Mx+n

Dx

96

2. Daca m = 0 si k = n, ceea ce ınseamna ca prima se plateste pe tot timpul asigurarii, plata sumeiS realizandu-se doar daca decesul survine ın acest interval, atunci:

P = S ·Mx −Mx+n

Nx −Nx+n

3. Daca prima platita de asigurat este unica, urmand sa se primeasca suma asigurata, S, oricandar avea loc decesul, de la momentul ıncheierii contractului si pana la limita de varsta, adica:m = 0 si n→∞ (teoretic), avem

P = S ·Mx

Dx

Exemplu. Vom rezolva exemplul al treilea prezentat la ınceputul capitolului.Rezolvare. Suntem ın situatia unei asigurari de deces pentru care: x = 45, S = 1 000 u.m., n = 35,

m = 0, p = 5%, k = 1 ın primul caz si k = 35 ın al doilea caz.In primul caz, formula de calcul este

P = S ·Mx −Mx+n

Dxadica

P = 1 000 ·M45 −M80

D45= 1 000 · 2 699,55− 399,23

9 274,34= 248,03 u.m.

In al doilea caz, cand prima se plateste anual, folosim relatia

P = S ·Mx −Mx+n

Nx −Nx+k

Utilizand datele din ipoteza, obtinem

P = 1 000 ·M45 −M80

N45 −N80= 1 000 · 2 699,55− 399,23

139 436,85− 2 452,23= 16,79 u.m.�

3.4.5 Asigurare mixta

Asa cum s-a putut desprinde din prezentarea anterioara a primelor doua tipuri de contracte deasigurare, exista situatii ın care institutia de asigurare este exonerata de la plata sumei asigurate saua pensiei anuale. Pentru a ınlatura acest neajuns, exista posibilitatea ıncheierii unei asigurari mixtece combina elementele asigurarilor de viata si de deces.

97


asigurare

Asiguratul, ın varsta de Asiguratorul va platix ani plateste periodic, asiguratului suma S, daca

anticipat o prima, P , timp acesta este ın viata lade k ani. x+n ani sau altor per-

soane indicate de asigurat,daca acesta din urma de-cedeaza pana la x+n ani.

Pentru o unitate monetara, Valoarea medie actuala avaloarea medie actuala unei unitati monetare ce

corespunzatoare este /kax. urmeaza a fi platita pesteDeoarece se platesc P u.m. n ani, daca persoana va fianticipat, valoarea medie ın viata atunci, este nEx.

actuala va fi: P ·/kax. Daca are loc decesul, panala ımplinirea varstei de x+nani, atunci valoarea medieactuala este /nAx.Cumu-

land cele doua situatii avem

nEx +/nAx.Deoarece estevorba de S u.m., valoarea

medie actuala va fiS · (nEx +/nAx) .

Conform principiului echilibrului financiar, rezulta egalitatea

P ·/k ax = S · (nEx +/nAx)

de unde

P = S · nEx +/nAx/kax

Exprimand cu numerele de comutatie, dupa simplificari obtinem rezultatul final

P = S · Dx+n +Mx −Mx+n

Nx −Nx+k

Cazuri particulare:

1. Daca prima este unica, deci k = 1, deoarece Nx −Nx+1 =Dx obtinem


Dx

98

2. Cand k , 1, avem ın cele mai multe cazuri k = n, si astfel


Nx −Nx+n

4.6. Rezerva matematicaMetode de calculInstitutia de asigurare constituie un fond banesc, numit rezerva matematica, care va fi utilizat

pentru efectuarea platilor catre persoanele asigurate. Pentru a evalua valoarea acestui fond se fixeazaun moment de evaluare si se stabileste cat reprezinta rezerva aferenta fiecarui asigurat la momentulrespectiv. Rezerva totala se obtine prin ınsumarea tuturor acestor rezerve actualizate la momentulde evaluare stabilit. In principal, exista doua metode fundamentale de determinare a rezervei ma-tematice: metoda prospectiva si cea retrospectiva. In vederea prezentarii celor doua metode vomintroduce urmatoarele notatii relatii:

t−momentul de evaluare, la care se calculeaza rezerva matematica,D′0− datoria institutiei de asigurare, actualizata la momentul zero,

D′′0− datoria asiguratului, actualizata la momentul zero,

D′t− datoria institutiei de asigurare, actualizata la momentul t,

D′′t − datoria asiguratului, actualizata la momentul t,

Rt− cuantumul rezervei matematice la momentul t,/tD

′0− valoarea actuala a obligatiilor asiguratorului pana la momentul t, evaluata la momentul

zero,/tD

′′0− valoarea actuala a obligatiilor asiguratului pana la momentul t, evaluata la momentul zero,

t/D′0− valoarea actuala a obligatiilor asiguratorului ulterioare momentului t, evaluata la momen-

tul zero,t/D

′′0− valoarea actuala a obligatiilor asiguratului ulterioare momentului t, evaluata la momentul

zero.Rezerva matematica calculata prin metoda prospectiva este data de:

Rt =D′t −D

′′t ,

iar prin cea retrospectiva:

Rt = /tD′′0 −/t D

′0

tE0

Indiferent de metoda folosita, rezerva matematica are aceeasi valoare. Pe de o parte, obligatiile an-terioare si posterioare datei de evaluare a rezervei actualizate, ın total dau valoarea actuala a ıntregiiobligatii:

/tD′0 +t/ D

′0 =D

′0,

/tD′′0 +t/ D

′′0 =D

′′0 ,

iar pe de alta parte, obligatiile actualizate ale celor doua parti sunt egale:

99

D′0 =D

′′0

Deoarece

t/D′0 =D ′t ·t E0 si t/D

′′0 =D

′′t ·t E0,

rezulta:

Rt = /tD′′0 −/t D

′0

tE0=

(D′′0 −t/ D

′′0

)−(D′0 −t/ D

′0

)tE0

= t/D′0 −t/ D

′′0

tE0=D′t ·t E0 −D

′′t ·t E0

tE0=D

′t −D

′′t

Exemplul 1. Sa se calculeze rezerva matematica ın cazul unei asigurari de viata ın urmatoareleconditii:

- asiguratul are varsta de x ani,- plata primelor P se va face anual anticipat, timp de n ani, din momentul ıncheierii contractului

de asigurare,- suma asigurata de S u.m. se va ıncasa peste n ani, de catre asigurat, daca acesta va fi ın viata

atunci.Rezolvare.Fiind vorba de o asigurare de viata ın conditiile din enunt, avem:

P ·/n ax = S ·n Ex

⇒ P = S · Dx+n

Nx −Nx+n

————+————–+——————+————–>0 t n moment de timp (ani)x x+t x+n varsta asiguratului

Consideram ca momentul de evaluare t ∈ [0,n].Folosind metoda prospectiva datoriile celor doua parti evaluate la momentul t sunt:

D′t = S ·n−t Ex+t, D

′′t = P ·/n−t ax+t

Atunci:

Rt = S ·n−t Ex+t − P ·/n−t ax+t

= S · Dx+n

Dx+t− S · Dx+n

Nx −Nx+n· Nx+t −Nx+n

Dx+t

= S · Dx+n

Dx+t·(1− Nx+t −Nx+n

Nx −Nx+n

)= S · Dx+n

Dx+t· Nx −Nx+t

Nx −Nx+n

100

In cazul metodei retrospective

/tD′′0 = P ·/t ax, /tD

′0 = 0

deci

/tD′′0 = Rt ·t Ex

Rt =P ·/t axtEx

= S · Dx+n

Nx −Nx+n· Nx −Nx+t

Dx· 1Dx+tDx

=

= S · Dx+n

Dx+t· Nx −Nx+t

Nx −Nx+n�

Exemplul 2. Sa se calculeze rezerva matematica ın cazul unei asigurari de deces ın urmatoareleconditii:

- asiguratul are varsta de x ani,- plata primelor P se va face anual anticipat, pe tot timpul vietii asiguratului, din momentul

ıncheierii contractului de asigurare,- suma asigurata de S u.m. se va ıncasa de catre o persoana desemnata de catre asigurat, dupa

decesul asiguratului.Rezolvare. In acest caz avem

P · ax = S ·AxFolosind numerele de comutatie

P · NxDx

= S ·Mx

Dxdeci

P = S ·Mx

NxCalculand apoi rezerva matematica prin metoda prospectiva vom obtine

Rt = S ·Ax+t − P · ax+t = S ·(Mx+t

Dx+t−Mx

Nx· Nx+t

Dx+t

)�

Exemplul 3. Sa se calculeze rezerva matematica ın cazul unei asigurari de pensii ın urmatoareleconditii:

- asiguratul are varsta de x ani,- plata primelor P se va face anual anticipat, timp de n ani, din momentul ıncheierii contractului

de asigurare,- pensia anuala de S u.m. se va ıncasa de catre asigurat, peste n ani, pe tot parcursul vietii sale.Rezolvare. Prima neta anuala o vom exprima cu ajutorul relatiei

101

P ·/n ax = S ·n/ ax

⇒ P = S · Nx+n

Nx −Nx+n

Folosind metoda retrospectiva ın calcularea rezervei matematice, vom avea

Rt =P ·/t axtEx

= S · Nx+n


Dx+t�

4.7. Alte tipuri de asigurari de persoanePe piata asigurarilor din Romania exista peste 40 de companii care au dreptul de a incheia asi-

gurari, o parte dintre acestea ıncheie si asigurari de persoane, altele decat cele studiate pana acum.Fiecare companie are o oferta proprie de astfel de asigurari. Informatii referitoare la tipurile de asi-gurari oferite se pot obtine vizitand site-ul www.1asig.ro. De asemenea se face si o diferenta ıntrepersoanele fizice si cele juridice ın oferta de asigurari. Astfel avem asigurari pentru

- vanatori si/sau pescari sportivi, persoane fizice care contracteaza credite bancare, asiguraremedicala pentru calatorii ın strainatate, a calatorilor prin societati specializate de transport calatori,a turistilor prin societati specializate de turism sau prin structuri de cazare, a persoanelor dinautovehicule ınchiriate, a componentilor echipelor sportive, a avocatilor, notarilor, medicilor liber-profesionisti cu cabinet propriu, a personalului medical, asigurarea individuala de accidente, asi-gurarea colectiva de accidente, asigurarea managerului, asigurarea de accidente a persoanelor dinautovehicul, asigurarea de accidente a taximetristilor si a persoanelor transportate de acestia, asi-gurarea de accidente a pompierilor, asigurarea facultativa a pasagerilor pe timpul transportului cunave maritime/ape interioare, asigurarea suplimentara pentru spitalizare si interventii chirurgicaleın caz de ımbolnavire si/sau accident.

4.8. Asigurari de bunuriSub acest titlu generic includem urmatoarele tipuri de asigurari:- Asigurari de autovehicule, Asigurari maritime si de transport, Asigurari de aviatie, Asigurari de

bunuri, Asigurari de raspundere civila, Asigurari de credite si garantii, Asigurari de pierderi finan-ciare din riscuri asigurate Asigurari agricole, Asigurare Auto Obligatorie (RCA), Asigurari complexe

Pentru exemplificare, la asigurarile de bunuri putem ıntalni:- asigurarea locuintei (incendiu, explozie, cutremur, inundatii, vandalism, furt prin efractie si

altele) - suplimentar se pot asigura bunuri casabile, bani si/sau valori; asigurarea complexa a gos-podariei - se asigura: bunurile din gospodarie; persoanele pentru riscuri de accidente; raspundereacivila legala decurgand din prejudicii produse tertilor, pentru riscurile ıntamplate ın gospodariaasigurata; asigurarea bunurilor apartinand persoanelor juridice; alte asigurari de bunuri, cum arfi: de avarii accidentale a masinilor, utilajelor, echipamentelor si instalatiilor; de pierdere de profitdin ıntreruperea activitatii; a bunurilor casabile; a echipamentelor electronice; a banilor si/sau va-lorilor; a lucrarilor de constructii-montaj; asigurarea de avarii si furt a autovehicolelor (CASCO);asigurarea de accidente a conducatorilor si a altor persoane aflate ın autovehicul; asigurarea deraspundere a transportatorului ın calitate de caraus, pentru marfurile transportate (CMR); asigu-rarea de raspundere a transportatorului ın calitate de caraus, pentru marfurile transportate nu-mai pe teritoriul Romaniei; asigurarea de raspundere civila obligatorie auto (RCA); asigurarea deraspundere civila excedent peste limitele raspunderii la asigurare obligatorie; asigurarea culturilor

102

pentru riscuri generale - se asigura: culturile de cereale; plantele tehnice; culturile de legume si car-tofi; plantele medicinale si aromatice; culturile furajere; rodul viilor, pomilor fructiferi si hameiului;

se mai pot asigura: animalele, culturile pentru riscuri specificate prin clauze speciale, serele siculturile din sere,

- asigurarea bunurilor pe timpul transportului; asigurarea de raspundere a transportatoruluipentru pagube produse calatorilor prin accidente de transport; asigurarea facultativa a navelor;asigurarea facultativa a navelor fluviale, navelor de pescuit si navelor colectoare, precum si a al-tor ambarcatiuni, instalatii si utilaje plutitoare, asimilate navelor; asigurarea navelor pe timpulconstructiei; asigurarea facultativa a unitatilor de foraj marin; asigurarea aeronavelor aviatiei civile;asigurarea riscurilor ce decurg din contractele de leasing ıncheiate de societatea de leasing cu utiliza-torii; asigurarea riscurilor ce decurg din contractele comerciale (de vanzare-cumparare/ distributie/consignatie) cu plata la termen, integral, sau ın rate; asigurarea riscurilor ce decurg din contrac-tele de credit bancar si/sau comercial, ce au ca destinatie achizitionarea de catre persoanele fizice abunurilor casnice, a automobilelor sau locuintelor;

asigurari de garantii: garantii de plata a creditului furnizor, garantii pentru licitatii, garantareaplatii avansurilor.

La aceste tipuri de asigurari, evenimentul aleator care conditioneaza efectuarea platii sumei asi-gurate, este evenimentul de producere a daunei. Dupa cum foarte usor se poate constata, unele din-tre asigurarile mentionate mai sus sunt obligatorii pentru categoriile de persoane la care se refera, ıntimp ce alte sunt facultative. Astfel, din categoria celor obligatorii mentionam RCA si asigurarile demalpraxis (pentru medici, asistenti medicali, farmacisti).

De remarcat faptul ca societatile de asigurare ıncearca sa-si fidelizeze persoanele asigurate ofe-rind polite complexe de asigurare (combinand diverse tipuri de asigurare), sau extinderea valabi-litatii politei Casco pentru extern daca aceasta este ıncheiata la aceeasi firma de asigurare ca si RCA.

De mentionat este faptul ca din anul 2005 apare o modificare cu privire la asigurarea RCA,aceasta devine o asigurare pe timp nelimitat, cu plata primelor de asigurare semestrial sau anual.De asemenea a aparut obligativitatea unei ınstiintari scrise din partea asiguratului catre companiade asigurare, daca doreste sa schimbe compania, precum si o declaratie pe proprie raspundere ca nua asigurat bunul la ınca o companie de asigurari.

In ceea ce priveste cota de prima de asigurare, companiile de asigurare ısi stabilesc cota de primaindividual, luand ın calcul diverse date. Exista ınsa o asigurare de bunuri, si anume RCA, pentrucare prima de asigurare se stabileste la nivel guvernamental si este aceeasi pentru toate companiilede asigurare.

De la un an la altul, ın functie de datoriile pe care companiile de asigurare le au catre firmele deservice unde se repara masinile care au avut dauna, lista cu companiile de asigurare care au dreptulsa ıncheie RCA se modifica. Este important de mentionat ca o companie de asigurari care ıncheienumai RCA, este pusa usor ın imposibilitate de plata, deoarece prima de asigurare acopera daunefoarte mici.

Din anul 2004 a aparut sistemul BONUS-MALUS atat pentru RCA, cat si pentru Casco. Aceastaınseamna ca daca ıntr-un an asiguratul a avut dauna, ın anul urmator va trebui sa plateasca o primamajorata. In functie de compania de asigurare, sistemul BONUS functioneaza aplicand reduceri lacota de prima pentru reınnoirea contractului de asigurare, daca asiguratul nu a avut dauna ın anulanterior, iar sistemul MALUS functioneaza fie aplicand cate o majorare pentru fiecare dauna, fieaplicand diverse cote de majorare ın functie da rata daunei.

103


Problema 1. Sa se calculeze probabilitatile ca o persoana ın varsta de 45 ani sa fie ın viata la 65 ani,respectiv sa nu fie ın viata la aceasta varsta. Care este viata medie?

Rezolvare. Probabilitatea ca o persoana ın varsta de 45 ani sa fie ın viata la 65 ani este data de

p (45,65) =20 p45

Cealalta probabilitate ceruta se refera la evenimentul contrar si are forma

q (45,65) =20 q45

Vom exprima probabilitatea ca o persoana ın varsta de 45 ani sa fie ın viata peste 20 ani utilizandfunctia de supravietuire, astfel

p (45,65) =l65

l45=

65 06883 330

= 0,780847233

si

q (45,65) = 1− p (45,65) = 0,219152767

�Problema 2. Care este probabilitatea ca o persoana ın varsta de 24 ani sa decedeze ıntre 65 si 70

ani?Rezolvare. Probabilitatea ceruta ın enuntul problemei (P ) se determina ca probabilitate a doua

evenimente dependente. Primul eveniment consta ın faptul ca persoana trebuie sa fie ın viata la 65de ani, iar cel de-al doilea - ca persoana sa decedeze ıntre 65 si 70 ani. Deci

P = p (24,65) · q (65,70)

Dar,

p (24,65) =l65

l24=

65 06888 010

= 0,739325076

respectiv:

q (65,70) = 1− p(65,70) = 1− l70

l65= 1− 54 051

65 068= 0,169315178

Facand produsul valorilor celor doua probabilitati, obtinem

P = 0,125178956 ≈ 0,125

�Problema 3. Sa se calculeze viata medie a unei persoane ın varsta de 90 ani.Rezolvare. Folosind formula pentru viata medie si anume

ex =12

+1lx·∑n≥1

lx+n

104

precum si valorile functiei de supravietuire obtinem rezultatul

e90 = 0,5 +1

3 059· (2 168 + 1 487 + 985 + 628 + 384 + 224 + 125+

= +66 + 33 + 15) = 0,5 + 1,9990192 = 2,4990192 ≈ 2,5

�Problema 4. Sa se construiasca arborescenta viagera si de deces ın cazul x = 70 si n = 3. Sa se

determine probabilitatile p70, p71, p72, si 3/4q70.Rezolvare.Arborescenta viagera si de deces corespunzatoare acestui caz este

p70 p71 p72|−−−−−−−−↓|−−−−−−−−↓|−−−−−−−−↓

70 71 72 73 74

|−−−−−−−−−−−−↑q73

Unde:

p70 =l71

l70=

51 36354 051

= 0,950266919

p71 =l72

l71=

48 60751 363

= 0,946342698

p72 =l73

l72=

45 78648 607

= 0,941963091

q73 = 1− p73 = 1− l74

l73= 1− 42 920

45 786= 0,062595553

respectiv

3/4q70 =3 p70 · q73 = p70 · p71 · p72 · q73 = 0,053023995 �

Problema 5. Sa se calculeze factorul de actualizare viager 22E50 cu procentul de actualizare 5%.Rezolvare. Folosind numerele de comutatie, obtinem

22E50 =D70

D50=

1 4497 070,22

= 0,204944117

De asemenea, mai putem calcula factorul de actualizare viager pornind de la definitia sa

22E50 = v22 · l72

l50=

( 11 + 0,05

)22· 48 607

81 077= 0,204944641

Asa cum era de asteptat, cele doua rezultate coincid. �Problema 6. Care este valoarea actuala medie a anuitatii viagere constante ıntregi posticipate

respectiv anticipate ın cazul unei persoane de 43 ani care plateste ratele viagere de 50 u.m. timp de7 ani.

105

Rezolvare. Presupunem initial ca plata este de o unitate monetara. In aceste conditii anuitateaviagera posticipata limitata la 7 ani este

/7a43 = a43 −7/ a43 =N44

D43− N51

D43=

149 214,05− 90 603,8210 304,22

=

= 5,687983176

Daca tinem cont de faptul ca ratele viagere sunt formate din 50 u.m., atunci

50 ·/7 a43 = 284,4 (u.m.)

Anuitatea anticipata limitata la 7 ani este

/7a43 =N43 −N50

D43=

159 518,28− 97 674,0310 304,22

= 6,001837111

respectiv

50 ·/7 a43 = 300,09 (u.m.) �

Problema 7. Sa se determine valoarea medie actuala a anuitatii fractionate anticipate imediatenelimitata, a(12)

38 .Rezolvare. Cunoscand ca

a(12)38 =

N(12)38

D38

unde

N(12)38 =N38 −

1124·D38

Cautand apoi valorile numerelor de comutatie ın tabele, avem: N38 = 219 942,02 respectiv D38 =13 373,94. Rezulta ca N (12)

38 = 213 812,29, deci

a(12)38 =

213 812,2913 373,94

= 15,98

�Problema 8. Sa se calculeze factorul de actualizare ın caz de deces 18D52, considerand procentul

5%.Rezolvare. Expresia acestui factor de actualizare ın functie de numerele de comutatie este

18D52 =C70

D52

In aceasta relatie

C60 = u1/2 · (v ·D60 −D61)

106

Cunoscand D70 = 1 776,45, D71 = 1 607,72 si D52 = 6 317,19 putem calcula

C70 = (1,05)1/2 ·( 11,05

· 1 776,45− 1 607,72)

= 86,21491605

Rezulta

18D52 =86,21491605

6 317,19= 0,013647668

Aceasta problema se mai poate rezolva si exprimand factorul de actualizare ın caz de deces con-form definitiei sale, astfel

18D52 = v18+ 12 ·18/19 q52

unde

v18+ 12 =

( 11,05

)18,5= 0,405506636

iar

18/19q52 =l70 − l71

l52=

54 051− 51 36379 867

= 0,033655953

In final, obtinem aproximativ acelasi rezultat ca si ın cazul primei variante, 18D52 =0,013647712.�

Problema 9. Care este valoarea medie actuala a anuitatii de deces 5/10A65?Rezolvare. In acest caz este vorba de o anuitate de deces dublu limitata pe care o putem scrie

5/10A65 =M65+5 −M65+10

D65

Cum M70 = 1 148,15, M75 = 739,88 si D65 = 2 729,37 obtinem

5/10A65 =1 148,15− 739,88

2 729,37= 0,149583969

�Problema 10. O persoana de 32 ani se asigura sa i se plateasca peste 18 ani, daca este ın viata o

suma de 1 500 u.m.a) Care este valoarea primei unice?b) Care este valoarea primei anuale platibile pana la expirarea termenului de asigurare?Rezolvare.

a) Daca prima se plateste o singura data, atunci

P = S · Dx+n

Dx= 1 500 · D50

D32

= 1 500 · 7 070,2218 190,78

= 583,005 (u.m.)

b) Daca asiguratul prefera sa plateasca anual obligatiile sale catre asigurator, atunci k = 18 si

107

P = S · Dx+n

Nx −Nx+n= 1 500 · D50

N32 −N50

= 1 500 · 7 070,22316 364,4− 97 674,03

= 48,49 (u.m.)

Ca si o concluzie, daca asiguratul plateste o singura data, atunci va trebui sa achite o suma de 583u.m., iar daca plateste esalonat, suma este de 48,5 u.m. �

Problema 11. Sa se calculeze valoarea primei lunare pe care trebuie sa o plateasca o persoana ınvarsta de 36 ani, timp de 26 ani, pentru ca dupa aceea sa primeasca o pensie lunara de 250 u.m. Sase rezolve problema si ın cazul cand persoana plateste rate lunare numai timp de un an.

Rezolvare. In primul caz, cunoastem ca: x = 36, n = k = 26, iar S = 250 u.m. Prima se va calculaastfel

P = S ·N

(12)36+26

N(12)36 −N

(12)36+26

= 250 ·N

(12)62

N(12)36 −N

(12)62

Dar

N(12)36 =N36 −

1124·D36 = 248 852,74− 11

24· 14 827,30 = 242 056,8942

respectiv

N(12)62 =N62 −

1124·D62 = 34 934,10− 11

24· 3 396,02 = 33 377,5908

Valoarea primei este

P = 250 · 33 377,59242 056,89− 33 377,59

= 39,9867 (u.m.)

Deci, asiguratul va plati lunar, timp de 26 ani suma de 39,9867 u.m.In cel de-al doilea an cunoastem ca: x = 36, n = 26, k = 1, m = 12 si S = 250 u.m.Formula primei de asigurare ın acest caz va fi

P = S ·N

(12)36+26

N(12)36 −N

(12)36+1

= 250 ·N

(12)62

N(12)36 −N

(12)37

Deoarece

N(12)37 =N37 −

1124·D37 = 234 025,44− 11

24· 14 083,42 = 227 570,53

obtinem

P = 250 · 33 377,59242 056,89− 227 570,53

= 576,01 (u.m.)

Cu alte cuvinte, daca persoana asigurata doreste sa plateasca prima lunar doar pe timp de un an,atunci suma se va ridica la 576,01 u.m.

108

�Problema 12. O persoana ın varsta de 48 ani ısi asigura familia cu o suma de 2 000 u.m. care

urmeaza sa fie platita de catre institutia de asigurare daca decesul are loc ın decurs de 20 ani.a) Care este valoarea primei unice?b) Care este valoarea primei anuale ce urmeaza a fi platita pe tot timpul asigurarii?Rezolvare.a) In acest caz avem urmatoarele date: x = 48, n = 20, S = 2 000, iar k = 1.Expresia primei este

P = S ·Mx −Mx+n

Dx= 2 000 ·M48 −M68

D48

Inlocuind numerele de comutatie cu valorile corespunzatoare, obtinem

P = 2 000 · 2 571,32− 1 313,227 892,11

= 318,82 (u.m.)

b) Pentru situatia ın care prima este platita anual pe tot timpul asigurarii, adica k = 20, avem

P = S ·Mx −Mx+n

Nx −Nx+n= 100000 ·M48 −M68

N48 −N68

= 2 000 · 2 571,32− 1 313,22113 038,04− 17 857,36

= 26,43 (u.m.)

Asa cum era de asteptat, ın cel de-al doilea caz cuantumul primei este mai mic decat ın primulcaz cand se plateste o singura data. �

Problema 13. O persoana ın varsta de 52 ani doreste sa primeasca, daca va fi ın viata, la varstade 67 ani suma de 3 200 u.m., iar daca decedeaza ınaintea ımplinirii acestei varste, suma o va primifamilia sa.

a) Care este prima unica?b) Care este prima anuala platibila pe tot timpul asigurarii?Rezolvare. Asa cum se poate observa suntem ın cazul unei asigurari mixte.a) Deoarece prima este unica ınseamna ca valoarea lui k este 1. In plus, din datele problemei

rezulta ca: x = 52, n = 15, S = 3 200 u.m. Atunci


Dx= 3 200 · D67 +M52 −M67

D52

Cunoscand ca: D67 = 2 322,22,60, D52 = 6 317,19, M52 = 2 378,41 si M67 = 1 394,90 valoareaprimei va fi

P = 3 200 · 2 322,22 + 2 378,41− 1 394,906 317,19

= 1 674,53 (u.m.)

b) In conditiile ın care prima este platita pe tot timpul asigurarii (k = 15), relatia de calcul va fi


Nx −Nx+n= 3 200 · D67 +M52 −M67

N52 −N67

109

Cum N52 = 83 918,12 si N67 = 20 179,58 vom avea

P = 3 200 · 2 322,22 + 2 378,41− 1 394,9083 918,12− 20 179,58

= 165,96 (u.m.)

Deci prima anuala este: P = 165,96 u.m.�Problema 14. Sa se calculeze folosind metoda prospectiva rezerva matematica ın cazul asigurarii

de deces daca asiguratul plateste prime anuale pe tot timpul asigurarii.Rezolvare. Conform metodei prospective, rezerva matematica are urmatoarea expresie

Rt =D′t −D

′′t

Daca asiguratul ın varsta de x ani plateste prime anuale pe tot timpul asigurarii ınseamna ca:m = 0, k →∞, iar n→∞ (pana la limita de varsta). In aceste conditii, prima este: P = Mx

Nx. Datoria

institutiei de asigurare actualizata ın momentul t este: D′t = Ax+t deoarece obligatia sa consta ın a

plati o unitate monetara (consideram S = 1 u.m.) oricand are loc decesul persoanei, care ın momentult este ın varsta de x + t ani. Cu alte cuvinte avem de-a face cu o anuitate de deces imediata (dinmomentul t) si nelimitata. Datoria asiguratului actualizata la momentul t este D

′′t = P ·ax+t, ıntrucat

are obligatia de a plati anticipat prima pana la decesul sau.Folosind numerele de comutatie ın exprimarea anuitatilor de mai sus, obtinem

D′t =

Mx+t

Dx+t, D

′′t =

Mx

Nx· Nx+t

Dx+t

Rezerva matematica este data, ın consecinta, de relatia

Rt =Mx+t

Dx+t−Mx

Nx· Nx+t

Dx+t�

Problema 15. Sa se calculeze, cu metoda retrospectiva, rezerva matematica ın cazul asigurariide pensii daca asiguratul plateste prima anuala timp de n ani, iar plata pensiei anuale, de o unitatemonetara, se va face dupa aceasta data.

Rezolvare. Formula rezervei matematice prin aceasta a doua metoda de calcul este

Rt = /tD′′x −/t D

′x

tExunde presupunem ca 0 ≤ t ≤ n.Conform enuntului avem: x - varsta persoanei asigurate, S = 1 u.m. si k = n. Stiind ca suntem ın

cazul unei asigurari de pensii, prima va fi

P =Nx+n

Nx −Nx+n

Pentru calcularea rezervei matematice prin metoda retrospectiva, obligatiile celor doua parti vorfi actualizate la momentul zero, acela al ıncheierii contractului de asigurare, deci cand asiguratul arex ani. Datoria asiguratului consta ın a plati anticipat prima, P pana ın momentul t, deci: /tD

′′x = P ·/tax.

Institutia de asigurare nu are nici o obligatie pana la momentul t, ıntrucat t ≤ n, deci: /tD′x = 0.

110

Rezulta

Rt =P ·/t axtEx

Daca exprimam anuitatea si factorul de actualizare viager cu ajutorul numerelor de comutatie sifacem simplificarile corespunzatoare, obtinem

Rt =Nx+n


Dx+t�

Problema 16. Sa se calculeze rezerva matematica ın cazul cand doua persoane se asigura ınurmatoarele conditii:

- prima persoana, ın varsta de 30 ani, ıncheie o asigurare de viata de 8 000 u.m. pe timp de 20 anicu plata unor prime anuale platibile pe tot timpul asigurarii;

- a doua persoana, ın varsta de 40 ani, ıncheie o asigurare de deces cu plata anuala a primelortimp de 15 ani, cu conditia ca, daca ea decedeaza ın acest rastimp, familia sa primeasca 10 000 u.m.

Cele doua contracte au fost ıncheiate cu un decalaj de 3 ani, iar momentul ın care se cere rezervaeste de 5 ani dupa ıncheierea primului contract.

Rezolvare. Pentru asigurarea de viata avem: x1 = 30, n1 = 20, S1 = 8 000, t1 = 5.Cu aceste date, rezerva este:

Rt1 = S1 ·D50

D35· N30 −N35

N30 −N50

= 8 000 · 7 070,2215 607,64

· 35 5643− 264 460,3835 5643− 97 674,03

= 1 280,94

Datele cunoscute ın cazul asigurarii de deces sunt: x2 = 40, n2 = 15, S2 = 10 000, t2 = 2.Atunci:

Rt2 = S2 ·[M42 −M55

D42−

(M40 −M55) · (N42 −N55)D42 · (N40 −N55)

]=

= 10 000 ·[2 812,97− 2 212,27

10 858,35−

−(2 891,02− 2 212,27) · (170 376,62− 66 010,99)

10 858,35 · (193 870,81− 66 010,99)

]=

= 42,98

Rezerva totala este suma celor doua rezerve, deci

Rt = Rt1 +Rt2 = 1 280,94 + 42,98 = 1 323,924 (u.m.) �

111

3.6 Teme de control

Precizare: Rezultatele date mai jos au fost obtinute, considerand numerele de comutatie calculate cuprocentul 5%.

Problema 1. Se considera o persoana ın varsta de 25 ani. Sa se calculeze: a) probabilitatea capersoana sa fie ın viata la 80 ani; b) probabilitatea ca persoana sa nu fie ın viata la varsta de 80 ani.

R: a) p(25,80) = 0,29 b) q(25,80) = 0,71 �Problema 2. Sa se calculeze viata medie a unei persoane de 85 ani.R: e85 = 3,62 ani �Problema 3. Sa se construiasca arborescenta viagera si de deces ın cazul x = 43 si n = 4. Sa se

calculeze probabilitatile: p43, p44, p45, p46 respectiv 4/5q43.R: p43 = 0,9962965, p44 = 0,9959959, p45 = 0,9954518, p46 = 0,994997 respectiv 4/5q43 =

0,0053348 �Problema 4. Sa se calculeze factorul de actualizare viager 13E26.R: 13E26 = 0,5148745 �Problema 5. Sa se calculeze factorul de actualizare ın caz de deces 13D26.R: 13D26 = 0,0016345 �Problema 6. O persoana ın varsta de 22 ani se asigura sa i se plateasca peste 10 ani, daca va fi ın

viata, o suma de 5 000 u.m. Sa se determine: a) Care este valoarea primei unice? b) Care este valoareaprimei anuale platibile pana la expirarea termenului de asigurare?

R: a) P = 3012,43 u.m. b) P = 374,22 u.m. �Problema 7. O persoana ın varsta de 34 ani doreste sa primeasca peste 26 ani o pensie lunara de

300 u.m. Care este valoarea primei semestriale daca aceasta va fi platita pe tot timpul asigurarii?R: P = 51,87 u.m. �Problema 8. O persoana ın varsta de 40 ani ısi asigura familia cu o suma de 5 000 u.m. care

urmeaza sa fie platita de catre institutia de asigurare daca decesul are loc ın urmatorii 30 ani. a) Careeste valoarea primei unice? b) Care este valoarea primei lunare ce urmeaza a fi platita pe tot timpulasigurarii?

R: a) P = 722,98 u.m. b) P = 49,68 u.m. �Problema 9. O persoana ın varsta de 25 ani doreste sa primeasca, daca va fi ın viata la varsta

de 60 ani, suma de 6 000 u.m., iar daca decedeaza ınaintea ımplinirii acestei varste, familia sa pri-measca jumatate din aceasta suma. a) Care este valoarea primei unice? b) Care este prima trimestrialaplatibila pe tot timpul asigurarii?

R: a) P = 1081,85 u.m. b) P = 132,87 u.m. �Problema 10. Sa se calculeze, folosind metoda retrospectiva, rezerva matematica ın cazul asi-

gurarii de deces daca asiguratul plateste prime anuale pe tot timpul asigurarii.R: Rt = Mx+t

Dx+t− MxNx· Nx+tDx+t�

Problema 11. Sa se calculeze, folosind metoda prospectiva, rezerva matematica ın cazul asigurariide pensii daca asiguratul plateste prime anuale timp de n ani, iar plata pensiei se va face anual, dupaaceasta data.

R: Rt = Nx+tDx+t· Nx−Nx+tNx−Nx+n

�Problema 12. Sa se calculeze rezerva matematica ın cazul unei asigurari de deces daca persoana,

care are varsta de 40 ani, se obliga sa plateasca prime anuale timp de 15 ani, iar daca decesul se

112

produce ın acest rastimp familia sa primeasca 50 000 u.m. Rezerva se va calcula peste 2 ani.R: R2 = 214,9 u.m. �Problema 13. Sa se calculeze rezerva matematica ın cazul unei asigurari mixte daca persoana

plateste prime anuale pe tot timpul asigurarii.R: Rt = Dx+t+Mx+t−Mx+n

Dx+t− Dx+n+Mx−Mx+n

Dx+t· Nx+t−Nx+nNx−Nx+n

�

Bibliografie

1. Muresan A. S., Filip D. A. , Ban I. M., Hangan A., Operatiuni financiare, Editura Mediamira, Cluj-Napoca, 2005.

2. Colectiv, Elemente de matematici financiare si actuariale. Teorie si probleme, Editura Mega2013.

113

Numere de comutatie cu 10%

x Lx Dx Nx Mx x Lx Dx Nx Mx

0 100000 100000.00 994613.18 10048.24 51 80501 623.41 5729.17 107.581 91992 83629.09 894613.18 2412.91 52 79867 562.27 5105.76 102.902 91000 75206.61 810984.09 1553.06 53 79172 506.71 4543.49 98.243 90545 68027.80 735777.48 1194.53 54 78418 456.26 4036.73 93.644 90286 61666.55 667749.68 1008.98 55 77603 410.47 3580.52 89.115 90101 55945.63 606083.13 888.52 56 76735 368.98 3170.05 84.746 89951 50774.99 550137.49 799.71 57 75810 331.39 2801.07 80.507 89837 46100.59 499362.50 738.36 58 74815 297.31 2469.68 76.358 89735 41862.04 453261.91 688.45 59 73741 266.40 2172.36 72.289 89644 38017.81 411399.87 647.97 60 72581 238.38 1905.96 68.28

10 89562 34530.03 373382.07 614.82 61 71320 212.94 1667.58 64.34

11 89484 31363.60 338852.04 586.14 62 69937 189.83 1454.64 60.4012 89407 28487.83 307488.44 560.41 63 68438 168.87 1264.82 56.5213 89330 25875.72 279000.62 537.02 64 66817 148.88 1095.94 52.7114 89250 23502.31 253124.90 514.92 65 65068 132.69 946.06 48.9615 89165 21345.39 229622.58 493.58 66 63112 117.00 813.37 45.1616 89070 19384.23 208277.19 471.90 67 61036 102.87 696.37 41.1917 88967 17601.65 188892.96 450.53 68 58836 90.14 593.50 37.9618 88856 15981.53 171291.32 429.59 69 56508 78.71 503.35 34.5619 88737 14509.21 155309.78 409.18 70 54051 68.44 424.65 31.29

20 88607 13170.87 140800.58 388.91 71 51363 59.12 356.21 28.05

21 88470 11955.00 127629.71 369.50 72 48607 50.87 297.08 25.0222 88322 10850.00 115674.71 350.43 73 45786 43.56 246.22 22.2123 88167 9846.33 104824.71 332.27 74 42920 37.12 202.66 19.6124 88010 8935.27 94978.38 315.55 75 40025 31.47 165.54 17.2225 87844 8107.65 86043.11 299.49 76 37138 26.54 134.07 15.0626 87686 7357.33 77935.46 285.58 77 34184 22.21 107.53 13.0427 87527 6676.36 70578.13 272.86 78 31175 18.42 85.31 11.1828 87368 6058.39 63901.77 261.30 79 28136 15.11 66.90 9.4729 87205 5497.35 57843.38 250.52 80 25097 12.25 51.79 7.91

30 87036 4987.91 52346.03 240.36 81 22097 9.81 39.54 6.52

31 86860 4525.29 47358.12 230.75 82 19178 7.74 29.73 5.2832 86678 4105.28 42832.83 221.71 83 16384 6.01 21.99 4.2133 86488 3723.89 38727.55 213.13 84 13758 4.59 15.98 3.2934 86295 3377.80 35003.65 205.20 85 11338 3.44 11.40 2.5235 86092 3063.51 31625.85 197.63 86 9155 2.52 7.96 1.8936 85877 2778.05 28562.35 190.33 87 7230 1.81 5.44 1.3837 85647 2518.74 25784.29 183.24 88 5575 1.27 3.63 0.9938 85399 2283.13 23265.56 176.28 89 4188 0.87 2.36 0.6839 85132 2069.08 20982.43 169.48 90 3059 0.58 1.49 0.46

40 84855 1874.87 18913.34 163.06 91 2168 0.37 0.91 0.30

41 84571 1698.72 17038.48 157.08 92 1487 0.22 0.54 0.1942 84278 1538.94 15339.76 151.46 93 985 0.14 0.31 0.1243 83976 1394.02 13800.62 146.21 94 628 0.08 0.17 0.0744 83665 1262.60 12406.80 141.28 95 384 0.04 0.09 0.0445 83330 1143.22 11144.20 136.46 96 224 0.02 0.05 0.0246 82951 1034.57 10000.98 131.51 97 125 0.01 0.02 0.0147 82536 935.81 8966.41 126.57 98 66 0.01 0.01 0.0148 82088 846.12 8030.60 121.73 99 33 0.00 0.00 0.0049 81603 764.65 7184.48 116.96 100 15 0.00 0.00 0.00

50 81077 690.66 6419.88 112.26

114

Documents

Matematici Financiare Si Actuariale SC - ID