of 139/139
[Iulian Stoleriu] Matematici Financiare - Note de Curs - 20 mai 2015

Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · Ultimul capitol al acestui curs se preocupă de metode de optimizare a portofoliilor. • etc. Punctul zero al Matematicilor

  • View
    25

  • Download
    7

Embed Size (px)

Text of Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · Ultimul capitol al acestui curs se...

  • Universitatea "Al. I. Cuza" Iai

    Facultatea de Matematic

    [Iulian Stoleriu]

    Matematici Financiare

    - Note de Curs -

    20 mai 2015

  • MF1 [Dr. Iulian Stoleriu]1 Matematici financiare (C1)

    Introducere

    Matematicile financiare (en., Financial mathematics) constituie o ramur a Matematicilor Aplicate care sepreocup de analiza pieelor financiare. Aceasta ramur este n strns legatur cu Economia financiar, dareste mai restrns i mult mai abstract. Obiectul Matematicilor financiare const n utilizarea raionamen-tului matematic riguros sau a metodelor numerice n vederea studierii modelelor economico-matematice aleoperaiunilor financiare ce apar n Economia financiar. Matematicile financiare urmresc s impun logica irigoarea raionamentului matematic n introducerea, prezentarea i studiul modelelor economico-matematiceale operaiunilor financiare, prin care se plaseaz anumite sume de bani n anumite condiii i se urmretei analizeaz rentabilitatea unor astfel de plasamente. Matematicile financiare sunt nrudite cu Ingineriafinanciar (en., Financial engineering or Computational finance), cu care de multe ori chiar se confund.Totui, Matematicile financiare se preocup cu derivarea modelelor matematice aplicabile Finane, pe cndIngineria financiar se preocup mai ales de aplicaii. Operaiunile financiare pe care Matematicile financiarei le propune s le studieze intereseaza att instituiile financiare (bnci, burse, case de pensii i economii,societi de asigurri, societi de aciuni), ct i pe particulari, care se preocup de investiii. Mai toatlumea urmrete s-i plaseze banii ct mai convenabil sau s fac anumite mprumuturi pentru investiiiindustriale, agricole, pentru a cumpra o main, o locuin etc. Cu ajutorul teoriei Matematicilor financiareputem estima preul unui titlu de valoare sau putem determina preul valorilor derivate, e.g. contracte futu-res, opiuni, sau putem gsi un portofoliu optimal n concordan cu nevoile fiecarui investitor. Matematicafinanciar este matematica investiiilor i a riscului. Se preocup de decizii ce trebuiesc luate azi, avnd nvedere cteva informaii incerte despre viitor.Exemple de ntrebri la care aceast disciplin i propune s raspund sunt: Cum definim riscul financiar? Fr a intra n detalii, prin risc financiar nelegem orice evenimentsau aciune care poate avea un efect negativ n ndeplinirea obligaiilor i atingerea obiectivelor uneianumite organizaii. Exist metode de a acoperi riscul financiar? Sigur c exist! n acest curs vom discuta unele metodede acoperire a riscului financiar rezultat n urma tranzacionrii contractelor cu opiuni. Aceste metodesunt numite metode de hedging. Cum am putea evalua valoarea unor aciuni sau chiar a unei intreprinderi? Care este valoarea actual a unei opiuni de a comercializa un titlu de valoare? n aceste note vomdiscuta metode de evaluare a valorii actuale a unor contracte cu opiuni. Cum ar trebui gestionat portofoliul de opiuni n vederea reducerii riscului n afaceri? Ultimul capitolal acestui curs se preocup de metode de optimizare a portofoliilor. etc.Punctul zero al Matematicilor financiare se consider a fi anul 1900, atunci cnd matematicianul francez LouisBachelier i-a prezentat teza de doctorat intitulat Thorie de la spculation, n care a utilizat metode dinAnaliza stochastic, mai precizs micarea Brownian, n evaluarea preului unor contracte financiare. Dezvol-tarea Matematicilor financiare a cptat amploare n secolul XX, odat cu apariia teoriei probabilitilor,de care este strns legat.1

  • MF1 [Dr. Iulian Stoleriu]O persoan implicat n analiza financiar se mai numete i analist cantitativ (en., quantitative analist sau,pe scurt, quant). Preocuprile unui quant vor fi legate de modelarea i analiza unor fenomene economico-financiare, dar i de investiii, schimburi financiare. Un consultant finaciar ce are cunotine solide dematematic i programare se numete n limbajul colocvial rocket scientist. De la o astfel de persoan seateapt inventarea de noi derivate financiare complicate sau construirea de modele matematice sofisticate.n mod curent, un rocket scientist nu construiete rachete pentru a se ntreine.Ce ai putea face cu banii?

    Aadar ai muli bani i totui eti nefericit; nu tii ce s faci cu ei. Eti n cutare de un sfat?* Un om "strngtor" i-ar lua un "ciorap ncptor" i "depozita" averea acolo, ceea ce nu sftuiesc penimeni. Dac "depozitul" s-ar face pe o perioad mare, atunci ai avea numai de pierdut.* Sau, ai putea s-i pui foarte bine ntr-un cont de economii cu dobnda mare. Este o investiie sigur,ns nu ai acces la bani pe o perioad destul de mare i nu poi face dect s-i priveti cum senmulesc. Nu prea mult totui, dac ai lua n calcul i alte opiuni. Nu uita c banii care tocmaii-ai depus n contul bancar sunt folosii de alte persoane, sub forma de mprumut din banc, ce iifolosesc s-i cumpere o cas, main, teren, sau s-i investeasc n studii etc., sau de administraialocal pentru a repara oselele. Ce face banca de fapt? mprumut de la tine i apoi d sub formde mprumut altora. Ea constituie astfel o pia financiar (pia monetar, dup cum vom vedea maitrziu), un loc de ntlnire ntre oferta de capital i cerere.* Banii pot fi foarte profitabil folosii n investiii. Poi s investeti banii n proprieti ale cror valorisunt cresctoare n timp, sau ntr-o instituie oferindu-te s le imprumui bani (asta se poate face princumprarea de obligaiuni, engl. bonds), sau cumprnd o parte din companie (sub form de aciuni,engl. shares).

    Obligaiunile (bonds) sunt titluri de crean reprezentative unor datorii. Sunt instrumente financiarepurttoare de dobnd, emise de guvern, de corporaii sau de alte organisme, i vndute investitorilorn scopul acumulrii de capital. Acestea se angajeaz s fac pli periodice (sub form de cupoane)ctre deintorii obligaiunilor i s le rscumpere la maturitate. Putem avea obligaiuni emise de stat,obligaiuni municipale, obligaiuni ale unor corporaii sau euro-obligaiuni. Un astfel de document vaoferi deintorului dreptul de a primi o sum de bani predeterminat, la un moment viitor predeterminat(maturitate). Suma de bani obinut n viitor se numete valoare nominal. Diferena dintre valoareanominal i suma pltit iniial de creditor se numete dobnd. Prile implicate ntr-un contract detip obligaiune sunt: debitorul, este partea ce promite plata valorii nominale i creditorul, cel careurmeaz s fie pltit. n general, obligaiunile sunt considerate a fi contracte financiare lipsite derisc, n sensul c printr-un astfel de contract se garanteaz o sum de bani la maturitate, sum careeste cunoscut a priori de ctre ambele pri contractante. Banii (en., cash) pot fi interpretai ca fiindun bond, cu rata dobnzii zero i maturitatea momentul zero (imediat). Cel care deine banii va ficreditorul iar debitorul este reprezentat de instituiile guvernamentale, care garanteaza acceptarea lorca mod de plat.Aciunile sunt titluri financiare obinuite (comune) ce reprezint drepturi de proprietate ale deinto-rului asupra unei (unor) pri dintr-o companie, drept obinut n schimbul investirii de capital.Un instrument financiar este un document ce dovedete proprietatea asupra unui activ financiar; depild un certificat de depozit, o aciune, o obligaiune guvernamental etc. Activul financiar esteo valoare emis de stat sau de ctre o unitate administrativ-teritorial ce confer drepturi bneti

    2

  • MF1 [Dr. Iulian Stoleriu]deintorului acestuia, precum i drepturi asupra veniturilor viitoare rezultate din valorificarea unorfonduri. Activele financiare includ: certificate de trezorerie, valori mobiliare, efecte de comer emise dectre o societate comercial, indici bursieri, rata dobnzii, instrumente sintetice care au la baz ratadobnzii, instrumente avnd la baz moneda naional, contracte futures, contracte cu opiuni.

    * Dac te pricepi, poi investi ntr-o mic (sau mare) afacere (business). Afacerile sunt de diverse formei dimensiuni. Dac eti singur n afacere, atunci toate veniturile ii revin, dar eti expus la riscuri sauii va veni greu s faci rost de ndeajuns capital.i vine idea s te uneti cu alte afaceri i forma un parteneriat. ns acum nu eti singurul beneficiarde ctiguri i s-ar putea ca profiturile s nu fie foarte mari. i vrei mai muli bani, aa nct caui,mpreun cu partenerii, s dezvoltai afacerea. Ce se poate face? O variant e s folosii profitul dreptcapital. Sau putei face un mprumut din banc. Acum c suntei mai muli, avei mai multe anse dea fi credibili i putei obine un mprumut bunicel.* Cum? Tot nu-i ajung banii? Ei, atunci poi ncerca un alt tip de mprumut, prin emiterea de obligaiuni.n felul sta poi acumula capital bun (n caz c afacerea e credibil), dar la maturitatea contractului(cel puin dup 6 luni) va trebui s plteti investitorilor partea de capital cu care a contribuit, pluso dobnd sau alte premii. Cine poate emite obligaiuni: societile pe aciuni cu minimum doi anivechime i ale cror bilanuri au fost aprobate n mod regulat de acionari, sau diverse grupuri desocieti de acest tip.* O alt variant este s-i vinzi o parte din afacere sub form de aciuni (termenul englezesc consacrateste go public). Compania ta va trebui s angajeze un bancher de investiii (broker) care s acionezeca intermediar ntre companie i investitori. Totodat, el va trebui s determine preul aciunilor prinevaluarea companiei. Aici va trebui sa apeleze la Matematicile financiare. Cnd titlurile de valoare aleunei companii sunt vndute pentru prima oar, aceasta se va face pe piaa primar. Ulterior, e posibilca deintorii de aciuni s doreasc s "scape" de ele i le vor tranzaciona pe piaa secundar (burs).Prin vnzarea de aciuni, o afacere privat devine una public, deinut de un numr mare de persoane.

    Cum atragi investiiile?

    Toate investiiile au loc pe piaa financiar. Piaa financiar poate fi definit ca fiind locul de ntlnire alofertei de capitaluri cu cererea de capitaluri, iar preurile de schimb sunt stabilite ntr-un mod eficient (sespune c aceste preuri verific aa-numita ipotez de pia eficient). Este locul (fizic sau intr-un mediuvirtual) unde firme i persoane specializate se ntlnesc i cumpr sau vnd produse specifice, e.g. diversebunuri materiale (stock), aciuni (shares), obligaiuni (bonds), opiuni (options), contracte futures etc. Existinstituii specializate, numite intermediari financiari, care ajut i simplific foarte mult ntlnirea cererii ia ofertei de capitaluri sau fonduri bneti att n spaiu (evitnd deplasarea fizic a celor interesai, adeseacostisitoare) ct i n timp (reducnd la minimul posibil perioada necesar cutrii contrapartidei interesate).Prin intermediul acestor instituii, utilizatorul de fonduri, ct i deintorul de fonduri (investitorul), carecaut un plasament pentru ele, pot intra n contact ntr-un timp foarte scurt i cu costuri minime. Costurilesunt, n general, reprezentate de comisionul intermediarului i, uneori, de cheltuielile legate de ncheiereatranzaciilor (se poate face o analogie cu piaa de legume/fructe).De ce se apeleaz la pieele financiare? Pentru c pieele financiare creeaz un mediu propice pentru asigu-rarea sau majorarea capitalul necesar derulrii unor activiti. De exemplu, prin intermediul pieei financiare,administraiile locale pot face rost de anumite mprumuturi pe diverse perioade, ceea ce le-ar facilita bunadesfurare a anumitor activiti.

    3

  • MF1 [Dr. Iulian Stoleriu]Funciile pieei financiare

    facilitarea schimbului de active. Pieele financiare permit transferul de fonduri de la un agent financiarla altul, n vederea investiiilor sau pentru consum; determinarea (negocierea) preului activelor. Prin intermediul pieei financiare sunt stabilite preurileactivelor financiare. strngerea de informaii i coordonare. Piaa financiar acioneaz ca i colector de informaii desprecotarea activelor financiare i despre transferul de fonduri. n acest fel, piaa financiar reduce costulde cutare de informaii. reducerea costurilor de cutare a partenerilor de afaceri.Componente ale pieei financiare

    n funcie de perioada de timp pentru care aceste capitaluri sunt mobilizate, pieele financiare sunt formatedin dou componente: piee monetare (money market, cu maturitate pe termen scurt, sub 1 an); piee de capital (capital market, cu maturitate pe termen lung, de regul de peste 1 an).Piaa monetar este locul de ntlnire al ofertei de capitaluri disponibile pe termen scurt i foarte scurt(sub un an) cu cererea pentru astfel de capitaluri. Aceast pia foarte dinamic asigur finanarea petermen scurt a nevoilor temporare care apar la societile care deruleaz activiti n interes public i aladministraiile centrale i locale. La piaa monetar fac apel bncile (pentru a-i acoperi deficitul bugetar),persoanele fizice (care apeleaz, n general, la bnci pentru anumite mprumuturi). Principalii intermediari i,totodat, utilizatori i ofertani de resurse care acioneaz pe aceast pia sunt bncile comerciale. Acesteaconcentreaz n bun msur capitalurile, n special sub forma depozitelor bancare i pe care le ofer spreutilizare celor care caut astfel de resurse. Nivelul de dezvoltare al oricrei piee monetare depinde denivelul de dezvoltare economic al rii pe care este grefat.Piaa de capital este acea component a pieei financiare care asigur ntlnirea ofertei de capitaluri cucererea pentru capitaluri pe termen mediu i lung (1 10 ani). Mobilizarea capitalurilor pe aceast piase face folosind titluri de valoare (engl. securities) (valori mobiliare) specifice: aciuni, obligaiuni, titluri derent, obligaiuni de stat pe termen mediu i lung. Piaa de capital asigur pentru investitori individuali iinstituionali posibiliti variate de plasare a capitalurilor disponibile, n funcie de interesele urmrite. Caurmare, ea asigur finanrile pe termen mediu i (sau) lung necesare agenilor economici, administraiilorcentrale i locale pentru o bun derulare a activitilor lor.n cadrul pieelor de capital se pot face speculaii privind modificarea ulterioar a preurilor activelor tranzac-ionate, n vederea obinerii de profit. n funcie de momentul n care tranzaciile pe aceste piee suntefectuate, putem vorbi despre: piaa primar; piaa secundar.Piaa primar este piaa pe care se tanzacioneaz instrumentele financiare imediat dup emiterea lor,ncasarile rezultate din acest proces revenind direct emitentului. Este piaa de pe care societile comercialei formeaz capitalul social sau i majoreaz capitalul social pe termen mediu sau lung. Tot de pe aceastpia, administraiile centrale i cele locale obin prin mprumuturi banii necesari pentru acoperirea nevoilor

    4

  • MF1 [Dr. Iulian Stoleriu]lor temporare. Intermediarii specializai care opereaz pe piaa primar pot fi: societile de valori mobiliare,bncile comerciale autorizate.Piaa secundar (sau piaa bursier, dup unii specialiti, care le identific). Este o pia utilizat pentrupentru tranzacionarea instrumentelor financiare "la mna a doua". La emiterea lor, instrumente de tipulaciunilor, obligaiunilor i al certificatelor de depozit sunt vndute pe piaa primar. n mare parte, atraciape care acestea o exercit asupra investitorilor rezid n lichiditatea asigurat de pieele secundare, pe careinstrumentele financiare cumprate pot fi vndute apoi din nou. Odat ce valorile mobiliare au fost emise ise afl n posesia investitorilor, acetia s-ar putea s nu doreasc s le mai dein pentru toat durata lor devia (care este uneori foarte lung n cazul unor obligaiuni sau nedefinit pentru aciunile obinuite), dindiverse motive. Ca urmare, dup un timp mai lung sau mai scurt de la achiziionare, investitorii s-ar puteas doreasc s transforme n bani valorile mobiliare pe care le dein sau s doreasc s le schimbe cu altevalori mobiliare. Pentru ca acest lucru s se poat realiza la cel mai bun pre att pentru deintorul valoriimobiliare ct i pentru viitorul cumprtor a fost necesar organizarea unei piee specializate n acest tipde comer. Ca urmare, pieele organizate n scopul asigurrii revnzrii valorilor mobiliare ce au fost dejapuse n circulaie prin intermediul pieei primare, s-au numit piee secundare. O pia secundar asigurconcentrarea cererii i ofertei de valori mobiliare deja emise. Cu timpul, pieele secundare s-au transformatntr-un barometru al interesului publicului investitor pentru valorile mobiliare (n special aciunile) emise deo companie, un grup de companii, un sector industrial sau pentru alte titluri de valoare. Spre deosebire depiaa primar, care canalizeaz capitalurile spre emitenii de valori mobiliare, piaa secundar intermediazdoar un schimb de bani, respectiv de valori mobiliare, ntre cei care doresc s dein, respectiv s vnd,valorile mobiliare. Tipuri de piee secundare: burse de valori (engl. stock exchanges), sunt burse unde se negociaz titluri; piee inter-dealeri (Over-The-Counter ). Acestea sunt piee deschise (cunoscute i sub numele de"piee la ghieu"), pe care se tranzacioneaz titlurile de valoare necotate la bursa oficial. PieeleOTC permit companiilor mici - care nu-i pot permite cheltuielile impuse de listarea la o burs major- s obin un pre de pia pentru aciunile emise. De asemenea, constituie o modalitate prin carefondatorii unei companii ii pot compensa o parte din investiia efectuat. Tranzaciile OTC au loc, ngeneral, prin reeaua de Internet sau prin telefon.Tipuri de piee financiare, depinznd de ceea ce vrei s cumperi sau vinde: piaa titlurilor de valoare (stock market pentru aciuni i bond market pentru obligaiuni); piaa derivatelor financiare (derivatives market), unde sunt tranzacionate contracte futures, opiuni,swaps; piaa de mrfuri (commodity market) - metale preioase, crbuni, produse alimentare (suc, ulei etc); piaa cu venit garantat fix (fixed-income market), unde sunt tranzacionate obligaiuni. piaa asigurrilor (insurance market) piaa schimburilor valutare (foreign exchange market sau FOREX)

    Piaa titlurilor de valoare a aprut din mici ntlniri ntre persoane ce doreau s vnd sau s cumperestocurile lor. Un potenial cumprtor merge la broker i plaseaz o cerere de cumprare pentru o valoaremobiliar. Brokerul va cuta pe piaa de schimb pe cineva care dorete s vnd respectivul activ, iartranzacia are loc dac cei doi se ineleg la pre. Dup ce un investitor a cumprat activul, primete uncertificat de proprietate, pe care-l poate revinde/pstra, sau chiar lsa brokerului pentru a-l ine n numelesu. Piee de stocuri: New York (NYSE), Chicago, Boston, London, Tokio. n Romania: Bucureti (BucharestStock Exchange), Sibiu (Bursa Monetar financiar i de mrfuri), Iai (Bursa Moldovei Iai).5

  • MF1 [Dr. Iulian Stoleriu]Piaa derivatelor financiare (sau a titlurilor de valoare derivate, engl. financial derivatives). Aceast piaeste o component aparte a pieei financiare. Piaa derivatelor financiare este relativ nou sosit n sceni dezvoltarea ei s-a realizat mai ales pe parcursul ultimilor 40 ani, dei tranzacii cu derivate (contractela termen - futures sau forward - ncheiate mai ales asupra mrfurilor) s-au nregistrat n mod constantncepnd cel puin cu sfritul secolului al XVIII-lea. Aceast pia confer posibilitatea unui investitor dea-i acoperi riscul n afaceri (hedging) sau pentru speculaii financiare. Cumprtorul poate obine protecieasupra unei creteri viitoare de preuri, iar vnztorul se poate proteja n vederea unei posibile scderi alepreurilor.Derivatele financiare pot fi definite ca fiind valori mobiliare (sau titluri de valoare) ale cror pre este de-pendent de preul activului de baz (numit i activ suport). Exemple de active suport: o aciune (asset), oobligaiune (bond ), un indice bursier (de regul pentru aciuni), o valut, un contract futures, vremea. Maitrebuie s precizm c derivatele financiare, i aici ne referim exclusiv la contractele futures i la contractelecu opiuni, permit ncheierea de tranzacii la termen asupra activului suport. Cu alte cuvinte, la achiziionareasau vnzarea contractului futures sau a celui de tip opiune se stabilete att preul cu care activul suportva fi cumprat sau vndut, cantitatea de activ suport ce urmeaz a fi cumprat sau vndut, ct i datla care tranzacia urmeaz s se ncheie efectiv, adic dat la care activul suport va fi livrat i banii vor fipltii (cu alte cuvinte tranzacia va fi lichidat). Derivatele financiare sunt oferite pe piee organizate detipul burselor sau a pieelor OTC, i ca urmare ele sunt standardizate din punctul de vedere al cantitiitranzacionate i al scadenei.Exemplu de instrument financiar derivat

    Vrei s cumprai o main nou ct mai curnd, cci ai auzit zvonuri cum c preurile ar crete n curnd.n salonul de prezentare al furnizorului, v decidei asupra specificaiei exacte a autoturismului (culoare,motor, mrime etc) i, ceea ce este mai important, stabilii preul. Nu avei totui banii necesari cumprriimainii, dar v gndii c ai putea mprumuta de la banc, ns acest proces ia ceva timp. Furnizorul vspune c, dac dai comanda astzi i constituii un depozit, putei prelua maina n trei luni. Nici dac nacest interval de trei luni, furnizorul acord un discount de 10 procente pentru toate mainile noi, nici dacpreul modelului crete, aceasta nu conteaz pentru dvs. Preul pe care l pltii la livrare a fost conveniti fixat ntre dvs. i furnizor. Tocmai ai intrat ntr-un contract la termen (forward ), deci avei dreptul iobligaia de a cumpra automobilul n trei luni de zile la preul convenit.Piaa asigurrilor faciliteaz redistribuirea riscului financiar. Exemple de astfel de piee: asigurri delocuine, asigurri auto, asigurri de credite, de snatate, de via sau de omaj etc.Piaa schimburilor valutare este una descentralizat i disponibil n toat lumea, ce se preocup de co-mercializarea valutelor. Aceast pia determin valorile relative ale diverselor valute. Dintre participanimenionm: bncile, companiile private, firme de investiii, companiile de transfer de moned (e.g., WesternUnion), i alii.Dac preurile scad, ai pierdut o parte din bani, dar dac vor crete, atunci suntei n ctig. Pentru a fi nprofit ar trebui s nimerii att preul corect, ct i momentul scadenei.Piee bull i bear : sunt termeni ce descriu anumite tendine de pia. O pia bull e o perioad n carepreurile de stoc n general cresc, iar ntr-o pia bear preurile scad. Fiecare dintre aceste tendine suntalimentate de percepia investitorilor asupra direciei pieei sau a economiei. Dac investitorii se simt a fintr-o pia bull, atunci simt nevoia de a investi, pentru ca apoi s vnd activele la preuri mari. "Taurii"cumpr azi aciuni, spernd s le poata vinde ulterior la un pre mai mare. Cei care pierd n urma unorastfel de previziuni sunt numii "tauri rsuflai".

    6

  • MF1 [Dr. Iulian Stoleriu]"Ursul" vinde diverse valori mobiliare, spernd s le poat cumpra ulterior la un pre mai mic. Piaa subsemnul "ursului" e o pia n scdere de preuri. Aceste tendine ale pieei se pot ns schimba rapid.

    Instituiile pieei financiare

    Instituiile care particip la crearea i schimbul de active financiare sunt: brokerii (agenii de schimb),dealerii, bancherii de investiii, intermediarii financiari.Brokerul (agent de schimb) este o persoan fizic sau o firm care tranzacioneaz instrumente financiaren numele altora. Brokerul este un agent care lucreaz pentru investitori i pentru instituiile financiare,serviciile fiindu-i rspltite sub forma unui comision stabilit n funcie de valoarea tranzaciilor efectuate.Aceast modalitate de plat creeaz condiii pentru apariia aa-numitei practici de churn (practica de atranzaciona excesiv aciunile unui client , astfel nctbrokerul s obin un venit mai mare din comision). n multe ri aceast practic este ilegal.Dealerul, ca i brokerul, faciliteaz tranzaciile de active ntre vnzatori i cumprtori, ns acetia se potimplica ei nii n tranzacie, adic pot s-i fac un stoc de active pe care le pot tranzaciona. Spredeosebire de broker, acesta nu ia comisioane din vnzri. Acetia fac profit din cumprarea de active ieftinei vnzarea lor mai scump (e.g. car dealers). Dealerii sunt supui la un risc mai mare dect brokerii, datoratfluctuaiilor de pre.Factori care influeneaz piaa financiar

    aciunile investitorilor (instituii, persoane fizice) pot afecta preurile activelor. De exemplu, dac maimulte persoane vor s cumpere acelai produs, atunci preul produsului poate crete, exact ca atunci cndar licita; condiiile de afaceri (volumul de vnzri, perioada din an, cantitatea de profituri); aciunile guvernamentale (dobnzi, taxe, politica); indicii economici. Investitorii urmresc ndeaproape indicii economici pentru a prezice viitorul unor active.(e.g. GNP gross national product, rata inflaiei, ct de repede se schimb preurile, deficitul bugetar (ctde mult cheltuie guvernul), rata omajului etc); evenimentele interne i internaionale (rzboaie, dezastre naturale, schimbri pe plan valutar etc).Piee financiare majore n lume

    USA: New York Stock Exchange (NYSE) (tranzacioneaz stocuri, obligaiuni, futures, opiuni), AMEX (Ame-rican Stock Exchange), CBOT (Chicago Board Of Trade) (futures), IMM (International Monetary Market)(futures n moned strin), CBOE (Chicago Board Options Exchange) (opiuni), NASDAQ (National Associ-ations of Securities Dealers Automated Quotations) (OTC stocuri i obligaiuni).UK: LSE (London Stock Exchange) Canada: Toronto Stock ExchangeFrana: Paris Boursealtele: Japan, Germany, Australia, Singapore, Hong Kong etc.

    7

  • MF1 [Dr. Iulian Stoleriu]

    Principalele preocupri ale matematicilor financiare (relativ la investiii bneti) cotarea derivatelor financiare; strategii de hedging pentru derivative; managementul riscului pentru portofolii; optimizarea portofoliilor;Dobnda

    Dobnda are rdcinile n Evul Mediu, cnd termenul de dobnd a nlocuit pe cel de camt (o dobndexorbitant). Ea este justificat prin existena unui risc privind rambursarea mprumuturilor sau cu privire lancheierea operaiunilor financiare.Dobnda este astfel o remuneraie pentru un mprumut bnesc, este plata de care beneficiaz creditorulpentru o sum de bani mprumutat. Dac o persoan A mprumut o sum de bani unei persoane B, atunciA va fi privat de a folosi suma respectiv pe perioada mprumutului (n investiii, pentru consum propriu),ceea ce atrage n mod firesc o remuneraie pentru acest serviciu.Exist multe polemici n ceea ce privete formarea, rolul i determinarea dobnzilor unitare (procentul ntlnitn calculul financiar), ceea ce denot faptul c stabilirea dobnzilor nu e un lucru tocmai uor.Factorii care influeneaz dobnda sunt: factori politici, riscul, inflaia etc.

    Dobnda simpl

    Este dobnda care se calculeaz asupra aceleai sume, S0, pe toat perioada mprumutului. Vom spune cS0 a fost plasat n regim de dobnd simpl. n practic, se stabilete mai nti dobnda care urmeaz sse plteasc pentru suma de 100 de lei (uniti monetare) plasat pe timp de 1 an, care poart numele deprocent, i pe care l vom nota n cele ce urmeaza cu p.Dobnda calculat la unitatea monetar (i.e. pentru 1 leu) se numete dobnd unitar i este r = p100 .S notm cu: S0 suma depus (sau mprumutat), care mai este numit i principal;

    St suma cumulat la momentul t > 0;t timpul n ani;p procentul (dobnda pentru 100 de lei);r dobnda unitar (sau rata, dobnda pentru 1 leu);Dt dobnda simpl.

    Atunci, dobnda pentru 1 leu pe o perioada de t ani este rt = pt100 . Dac n loc de 1 leu considerm sumaS0, atunci Dt este

    Dt = S0rt = S0 p100 t (formula dobnzii simple).n cazul n care dobnda rmne aceeai pn la momentul t > 0, suma final la momentul t va fi:St = S0(1 + rt).

    Fie m un numr de diviziuni (pri) egale ale anului (m = 1 nseamn 1 an, m = 2 nseamn dou semestre,m = 4 nseamn 4 trimestre etc).

    8

  • MF1 [Dr. Iulian Stoleriu]Atunci dobnda pentru suma S0 pentru un plasament de tm (din m) diviziuni ale anului va fi:

    Dt = S0r tmm = S0 p100 tmm .ntr-un caz particular, se poate obine dobnda pentru un anumit numr de zile (e.g., dobnda pentru S0,plasat simplu cu rata anual r , pentru 120 de zile, n cazul n care anul are 366 de zile este dat deDt = 2061S0r).Dac dobnda pentru suma S0, plasat pe o perioad t , nu se face cu acelai procent pe toat perioada(adic apar diverse procente de-a lungul perioadei t), s zicem rk = pk100 (k = 1, n), atunci dobnda Dt vafi (presupunem c t = n

    k=1 tk ):Dt = n

    k=1 Dtk = S0nk=1 rk tk = S0

    nk=1 pk

    tk100 .Suma final la momentul t > 0 va fi:

    St = S0(1 + nk=1 rk tk

    ).

    Definiia 1.1. Vom spune c dou operaiuni sunt echivalente n regim de dobnd simpl n raport cudobnda dac genereaz aceeai dobnd.(Vom mai spune, de asemenea, c M i N sunt substituibile.)

    Dobnda compus

    Spunem c plasarea sumei S0 s-a efectuat n regim de dobnd compus dac S0 se modific periodic pedurata de timp, ntre dou modificri consecutive i se aplic o dobnd simpl, iar n perioada urmtoaremodalitatea de calcul a dobnzii tine cont i de dobnzile anterioare (i.e. dobnda acumulat n fiecareperioad se adun la principal).Presupunem c momentul final t = nk=1 tk , iar n perioada de lungime tk se aplic dobnda unitar rk(k = 1, n). La sfritul perioadei tk avem:

    Stk = Stk1 + Dtk ,unde Dtk = Stk1rk tk , k = 1, n i St0 = S0, Dt0 = 0.Aici Dtk este dobnda simpl corespunztoare plasrii n regim de dobnd simpl a sumei Stk1 pe tk .Propoziia 1.2. n aceste condiii avem:

    St = S0 nk=1(1 + rk tk ).

    9

  • MF1 [Dr. Iulian Stoleriu]Demonstraie. (se arat prin inducie matematic complet dup k )

    (k = 1) St1 = S0 + Dt1 = S0(1 + r1t1);(k = 2) St2 = St1 + Dt2 = St1 + St1r2t2 = St1 (1 + r2t2) = S0(1 + r1t1)(1 + r2t2);etc. . . . . . . . . .

    Observaia 1.3. Dobnda compus este astfel Dt = S0 [ nk=1(1 + rk tk ) 1

    ].

    Cazuri particulare

    (i) tk = 1 (un an) i rk = r, () k , atunci suma acumulat dup n ani va fiSt = S0(1 + r)n.

    (ii) t = n+ tmm (n ani i o fraciune dintr-un an, i.e., tk = 1, () k = 1, n i tk+1 = tmm ), atunciSt = S0( n

    k=1(1 + rk ))(1 + rk+1 tmm

    ).

    (iii) Dac, n plus fa de (ii), rk = r, () k , atunciSt = S0(1 + r)n(1 + r tmm

    ).

    n cazul n care St este dat de (iii), atunci, innd cont c n general r 1, putem aproxima(1 + r tmm)' (1 + r) tmm ,

    deciSt = S0(1 + r)n+ tmm = S0(1 + r)t .Aadar, suma final rezultat n urma unui plasament al sumei S0 n regim de dobnd compus anual, curata unitar anual r este, pe o perioad de t ani, poate fi calculat folosind urmtoarea formul (numit i

    formula practic de calcul n cazul dobnzii compuse):St = S0(1 + r)t .

    n general,Propoziia 1.4. Suma final dup t ani, rezultat n urma unui plasament al sumei S0 n regim de dobndcompus de n ori pe an, cu rata unitar r pentru o singur perioad de compunere, este

    St = S0 (1 + rn)nt .

    10

  • MF1 [Dr. Iulian Stoleriu]Exerciiu 1.1. Care este suma cumulat dup 18 luni de pe urma unui plasament n regim de dobndcompus trimestrial al sumei de 10000 cu rata anual unitar de 4%?

    S3/2 = 10000(1 + 0.044)6 = 10615.

    Observaia 1.5. (a) De regul, dac t nu e numr ntreg, atunci utilizm formula St = S0(1 + r)t pentrucalculul valorii finale n regim de dobnd compus.(b) Deoarece (1 + r tmm)> (1 + r) tmm , (0 6 tm 6 m),

    s-ar putea spune c soluia raional, care este St = S0(1 + r)n(1 + r tmm), convine celui care ncaseazdobnda, n timp ce soluia practic convine celui care pltete dobnda.(c) Egalitatea ntre formula raional i cea practic are loc dac t Z.(d) Diferena dintre folosirea dobnzii simple i cele compuse pe perioade fracionare (t Z) este mic(i.e., (1 + r)t ' 1 + rt).

    Dobnda compus continuu

    Plecm de la formula sumei finale pentru dobnda compus,St = S0 n

    k=1(1 + rk tk )i presupunem c rk = r, tk = tn , () k , atunci

    St = S0(1 + r tn)n

    .

    Dac dobnda se calculeaz foarte des n perioada de t ani (aproape n fiecare moment), atunci, trecnd lalimit n relaia anterioar cnd n, obinemSt = S0ert .

    Procent nominal, procent efectiv, dobnda instantanee

    Presupunem c avem urmtoarele dou operaiuni bancare:(O1) Plasamentul sumei S0 pe 1 an cu dobnda unitar r . La sfritul perioadei vom avea suma:S1 = S0(1 + r).

    (O2) Presupunem c anul este fracionat n m pri egale i r(m) este o dobnd unitar corespunztoarefracionrii. Valoarea final n regim de dobnd compus va fiS1 = S0 (1 + r(m)m )m .

    11

  • MF1 [Dr. Iulian Stoleriu]Definiia 1.6. Spunem c operaiunile (O1) i (O2) sunt echivalente din punct de vedere al sumei finale dac,

    S0(1 + r) = S0 (1 + r(m)m )m (m N).De aici rezult c

    r = (1 + r(m)m )m 1,saur(m) = m [(1 + r)1/m 1] .Numim r rata anual efectiv sau RAE (100r este procentul anual efectiv sau real) i r(m) este rata

    nominal aferent perioadei (100r este procentul nominal).Rata anual efectiv denumete rata anual care genereaz aceeai dobnd la sfritul anului ca i o ratanual nominal.Se numete dobnd unitar instantanee numrul

    r = limm r(m) (< r).Exerciiu 1.2. Banca A ofer un credit cu o dobnd de 6% compus semestrial, iar banca B ofer un creditcu o dobnd de 5.8%, compus zilnic. Care dintre cele dou oferte este mai profitabil?Retele anuale efective sunt:

    rA = (1 + 0.062)2 1 = 0.0609 > 0.0597 = rB = (1 + 0.058365

    )365 1.

    Aadar, creditul oferit de banca B este mai avantajos (avei de pltit o dobnd mai mic).Exerciiu 1.3. Presupunem c ai ctigat la loterie un premiu aparte, prin care primii anual suma de1200 RON, n aceeai zi a anului, pentru tot restul vieii. n plus, aceast sum va fi pltit la infinit, copiilor,nepoilor, str-nepoilor .a.m.d. Totui, v gndii c ar fi mai potrivit s profitai de acest ctig acum icerei s vi se plteasc valoarea prezent a tuturor ctigurilor pe care urmeaz s le primii. tiind crata anual unitar a dobnzii este de 10%, care rmne fix, calculai ce sum v revine acum.- Valoarea prezent este egal cu:

    PV = 1200 + 12001 + r + 1200(1 + r)2 + . . .+ 1200(1 + r)n + . . . = 1200 k=0

    1(1 + r)k = 1200(1 + 1r

    )Pentru r = 0.1, obinem c PV = 13200.Cu alte cuvinte, dac acum investim suma de 13200 RON ntr-un cont bancar ce ofer o dobnd cu rataanual efectiv de 0.1, atunci vom putea primi din acel cont cte 1200 RON n fiecare an (pn la infinit),fr ca acest cont s devin falimentar. Plasament n condiii inflaioniste

    Inflaia este o noiune legat de masa banilor aflai n circulaie i oglindit de faptul c atunci cnd ncirculaie se afl o mas de bani excesiv n raport cu nevoile circulaiei bneti va avea loc o depreciere amonedei n raport cu aurul, precum i cu alte bunuri sau servicii. Inflaia poate aprea atunci cnd salariilesunt mrite, fr ca productivitatea s creasc n aceeai msur cu salariile. Inflaia este variabil n timp12

  • MF1 [Dr. Iulian Stoleriu]i rata inflaiei poate depinde de muli factori, e.g., factori politici, economici, internaionali etc.Inflaia poate fi: controlat (ntre anumite limite), galopant sau necontrolat.Dup un plasament pe 1 an, n regim de inflaie cu rata a, o unitate monetar devine

    S1 =1 + r, fr inflaie1 + r1 + a, cu inflaie.Valoarea 100a este procentul anual de inflaie.

    ! Inflaia nu e tot una cu devalorizarea. Ultima este determinarea valorii monedei naionale fa de etalonuln care aceast este exprimat, n general, prin scderea cursului de schimb pe piaa valutar. Totui, attinflaia, ct i devalorizarea au aceleai consecine asupra nivelului de trai: srcire, saturaie, nemunc,lumea vrea s scape de bani etc.Dac a este cunoscut i poate fi controlat, atunci avem de a face cu o inflaie controlat. n cazul unuiplasament a lui S0 cu r pentru t n regim DC , suma final va fi:St =

    S0(1 + r)t , fr inflaieS0( 1 + r1 + a

    )t, cu inflaie.

    Se observ cu usurint c limt

    S(S0, r, a, t) = 0 dac a > r.Dac a r , atunci avem o inflaie galopant.

    Figura 1.1: Dobnda simpl vs. dobnda compus.Plasament cu DS sau DC

    Presupunem c S0 este plasat cu rata anual a dobnzii r pe durat t . Vom avea:Dt = {S0rt , n regim de DSS0[(1 + r)t 1] , n regim de DC.

    13

  • MF1 [Dr. Iulian Stoleriu]Din figura (1.1) observm c:(a) dac t < 1 an, atunci dobnda simpl este mai avantajoas;(b) dac t = 1 an, atunci DS (t) = DC (t);(c) dac t > 1 an, atunci dobnda compus este mai avantajoas;Inflaie i risc catastrofic

    Riscul catastrofic apare n caz de rzboaie, atentate, cataclisme naturale. Asemenea evenimente trebuieluate n considerare, deoarece se poate ntmpla c unele credite s nu poat fi rambursate niciodat. Dacinem cont de riscul catastrofal, atunci suma final a unui plasament cu S0, r = rata anual de dobnd,a = rata anual de inflaie, b = rata anual de risc catastrofic, pe t ani este

    St = S0( 1 + r(1 + a)(1 + b))t.

    Observm c dac (1 + a)(1 + b) > 1 + r , atuncilimt

    St = 0.Probleme propuse

    Exerciiu 1.4. Pe 1 Martie 2012, Ionel a depus suma de 5000 RON ntr-un cont bancar ce ofer dobndsimpl de 10% p.a.. Ce sum s-a acumulat pn pe 31 Decembrie 2012? Cai ani va trebui s atepte pni se va dubla suma? (Presupunem ca Ionel nu a mai efectuat alte tranzacii bancare legate de acel cont).Exerciiu 1.5. O banc ofer un cont de depozit cu o rat nominal a dobnzii de 3.3% p.a., compustrimestrial. Calculai rata anual efectiv a dobnzii. n ci ani o sum depozitat n acest cont se vadubla?Exerciiu 1.6. Banca A ofer mprumuturi cu o rat nominal a dobnzii de 5%, compus semestrial, darutilizeaz dobnd simpl pentru perioade fracionare n ani. Banca B ofer mprumuturi cu o rat nominala dobnzii de 5%, compus anual. Dorim s investim suma de 2000 RON.(i) Calculai suma final dup 3 trei ani i dou luni pentru depozite n fiecare dintre cele dou bnci.(ii) Calculai suma final dup 3 trei ani i dou luni i 10 zile pentru depozit n fiecare dintre cele doubnci.Exerciiu 1.7. Cu ce rat nominal compus lunar vom obine aceeai sum final dup 1 an echivalent cucompunerea de 8% trimestrial?Exerciiu 1.8. Calculai suma final dup 11 ani pentru un principal de 500 RON plasat n regim de dobndcompus cu rata de 6%, compus semestrial pentru primii 5 ani, i n regim de dobnd compus cu rata de8%, compus trimestrial pentru ultimii 6 ani.Exerciiu 1.9. Suma acumulat dup 17 ani ntr-un cont bancar, plecnd de la un principal de 1000 RON, estede 5054.47 RON. Determinai rata dobnzii unitare anuale n cazul n care dobnda oferit este compus(i) anual;(ii) semestrial.Exerciiu 1.10. n ultima zi a fiecrui an dintre 2007 i 2012 (inclusiv), Maria a depozitat ntr-un cont sumade 1000 RON. tiind c dobnda oferit de acest cont este de 5% pe an, compus semestrial, i c nu au maifost efectuate alte tranzacii, s se determine suma pe care a gsit-o Maria n cont pe 1 Ianuarie 2013.

    14

  • MF1 [Dr. Iulian Stoleriu]Exerciiu 1.11. O banc ofer un cont de economii cu dobnda de 3% compus lunar. Un client dorete sdepoziteze n acest cont o sum fix, la nceputul fiecrei luni, astfel nct dup 3 ani s acumuleze suma de5000 RON. Determinai aceast sum lunar.Exerciiu 1.12. Pe 1 Ianuarie 2009, Andrei a deschis un cont bancar n care a depus 2000 RON. Dup exactun an, el a scos din cont 500 RON, iar pe 1 Iulie 2012 a depus n cont suma de 1500 RON. tiind c pentruacel cont banca ofer o dobnd de 7.5%, compus semestrial, i c nu au mai fost efectuate alte operaiunibancare legate de acel cont, s se determine ci bani a gsit Andrei n cont pe 1 Ianuarie 2014.Exerciiu 1.13. Pentru un anumit cont bancar, o banc ofer dobnd de 6.4%, compus semestrial.(i) Ce sum ar trebui depus azi n acel cont, astfel nct suma fructificat dup doi ani s fie de 1000 RON?Determinai RAE pentru acest cont.(ii) Aceeai ntrebare n cazul n care dobnda se calculeaz continuu.

    15

  • MF2 [Dr. Iulian Stoleriu]2 Matematici financiare (C2)

    Derivate financiare

    Un instrument financiar reprezint un document fizic sau electronic care are valoare monetar intrinsec orinregistreaz o tranzacie financiar. Exemple: numerar (cash), o cambie (cec), un certificat de depozit, oobligaiune, o opiune, o aciune, carte de debit sau de credit etc.Activul financiar (asset) este orice activ deinut (care e n posesie sau urmeaz a fi n posesie, prin drept) ceare o valoare de schimb. Exemple: o valoare mobiliar emis de stat sau de ctre o unitate administrativ-teritorial, o aciune, o obligaiune, cash, un portofoliu de valori mobiliare, terenuri, imobile.Activele financiare pot fi riscante (e.g. aciuni, valut), a cror pre la un anumit timp n viitor este necunoscut(stochastic) astzi, sau lipsite de risc (sau sigure) (e.g. aur, depozite n banc, obligaiuni), a cror pre(valoare) n viitor este determinist. Ansamblul activelor financiare care aparin unei persoane se numeteportofoliu. Un portofoliu diversificat conine o gam larg de instrumente financiare, ca aciuni, depozitebancare, aur i obligaiuni guvernamentale.Un instrument financiar derivat este un instrument financiar (un contract financiar sau o nelegere ntredou sau mai multe pri) a crui valoare viitoare (la scaden) este determinat de preul (sau de preurile)unui activ de referin sau activ suport (underlying asset).Exemple de active suport: valori mobiliare, aciuni, rate de schimb, titluri de creane, comoditi, rate aledobnzilor, indici bursieri, valute, vremea etc.Derivatele financiare au schimbat faa finanelor prin crearea a noi ci de nelegere, msurare i gestionarea riscului. Specialitii cred c piaa derivatelor o submineaz pe cea a activelor originale. Derivatele finan-ciare cele mai simple i mai utilizate se mai numesc i plain vanilla (valinie simpl), iar pe lng acestease mai ntlnesc i derivate exotice. La bursele de valori sunt inventate n fiecare zi noi tipuri de derivatefinanciare, care de fapt sunt bazate pe patru tipuri principale de derivate. Scopul acestor noi invenii este,n special, de a oferi o mai bun gestiune a riscului n condiii incerte.Derivatele financiare nu sunt gselnie noi. Primele descrieri ale acestor instrumente financiare au aprutla Aristotel, care a redat povestea lui Thales, un filozof srac din Milet. El povestete cum Thales a inventatun mecanism financiar care are la baz un principiu de aplicaie universal. Oamenii l mustrau pe Thalesc era srac din cauza c era filozof, filosofia fiind vzut ca o ocupaie fr folos i care nu aducea nici unvenit. ns Thales avea s le dovedeasc contrariul, artnd c nelepciunea poate aduce bani. Povesteazice c Thales era foarte dibaci n a prezice cum va fi cultura de msline de anul ce va urma. ncreztor npreviziunile sale, a fcut nelegeri cu cei ce deineau prese pentru ulei de msline de a le inchiria pentrutoamna urmtoare n ideea de a le putea utiliza, n mod exclusiv. Pentru c deintorii preselor nu tiau cusiguran ce an va urma i i doreau s ctige ceva n caz c nu va urma un an bun, au acceptat repedeafacerea propus de Thales, chiar pentru un pre mic. Povestea lui Aristotel se ncheie exact aa cum bnuii.Anul ce a urmat a fost unul excepional de bun pentru cultura de msline, iar cum numai Thales avea presede nchiriat, le-a oferit pentru preuri mari i i-a facut o avere din asta. Astfel, Thales a aratat lumii cfilosofii pot face i bani dac vor, dar ambiia lor este totui de o cu totul alt natur. Thales din Milet i-aexercitat primul contract cu opiuni cunoscut. Dac nu ar fi fost o cultur aa cum prezicea, nu avea dects nu onoreze contractele i s minimizeze pierderile la suma de bani pltit pentru opiuni. Opiunile (saucontractele cu opiuni) sunt doar un tip de derivate financiare.Un alt exemplu de instrument financiar derivat:Ionel cumpr de obicei preparate din carne de la un magazin local. Ionel are un prieten patron de super-market care susine ca preurile la marketul lui sunt cele mai joase pentru preparatele respective. Ba chiar edispus s-i plteasc diferena de pre dac gseste aceleai produse la un pre mai mic altundeva. Aceast

    16

  • MF2 [Dr. Iulian Stoleriu]nelegere ntre cei doi prieteni este un instrument financiar derivat, n sensul c valoarea ei depinde depreul preparatelor n discuie.Bine-bine, ai putea spune c sta nu-i dect un pariu pe preul preparatelor din carne. Aa i este, instru-mentele financiare derivate pot fi gndite ca fiind nite "pariuri" pe preul altor active. De fapt, noiunea deinstrument financiar derivat poate fi vzut ca pe un nume cochet al jocului de noroc.Aceast nelegere confer pentru Ionel asigurarea c pltete cel mai mic pre pe produsele respective i,astfel, economisete ceva bani. i pentru prietenul su nelegerea e benefic; i vinde marfa i, totodat,Ionel poate aduce noi clieni la supermarket, ceea ce nseamn ca-i va spori veniturile. Alte persoane(investitori) s-ar putea folosi de aceast informaie i ar putea specula preurile pieei.Principalele instrumente financiare derivate: contracte forward i futures, opiuni, swaps.Un contract forward este un acord ncheiat astzi, care prevede achiziionarea unei cantiti specificate demrfuri sau de moned n viitor, la o dat (maturitate) i pentru un pre (preul de livrare) bine precizate.Un contract futures este similar cu un contract forward, cu deosebirea c primul este standardizat i, laintrarea ntr-un astfel de contract, se pltete o sum de bani (marj).Printr-un contract cu opiune (sau, simplu, opiune) se nelege un contract ce confer unei persoane (de-ntorului) dreptul, dar nu i obligaia, de a vinde (put) (sau cumpra ) o cantitate determinat dintr-omarf, un activ monetar, financiar sau un contract futures, la un pre convenit, denumit pre de exerciiu,ntr-un termen definit sau la expirarea acestuia, n schimbul plii unei prime. Cel ce deine o opiune poates-i exercite dreptul pn la scaden contractului, s abandoneze opiunea pn la scaden, sau s-icompenseze contractul. Tipuri de opiuni: call (de cumprare) i put (de vnzare).Un swap (credit ncruciat) este o tranzacie prin intermediul creia dou pri schimb ntre ele activefinanciare, de regul, dobnzi i valute.Aceste contracte vor fi prezentate mai pe larg mai trziu.

    Arbitraj (free lunch)Arbitrajul este modalitatea de a realiza un profit fr a fi expus la risc, adic a scoate profit din diferenelede preuri de pe piaa financiar (e.g. a cumpra valuta sau comoditi de pe o piaa i a o vinde n aproapeacelai timp la un pre diferit pe o alt piaa).O glum din care reiese bine ideea esenial a arbitrajului: Un profesor de Finane i copilul su se plimbaupe o strad aglomerat. La un moment dat, copilul sau vede pe jos o bancnot de 100 $. Uite, tat, obancnot de 100 pe strad! Cnd copilul se apleac s o ridice, tatl i spune: "E inutil sa te apleci. Nuexist nicio bancnot acolo, cci dac ar fi existat, ar fi ridicat-o altcineva naintea ta."Arbitrajul st la baza teoriei de evaluare a activelor prin arbitraj (Asset Pricing T heory). Pentru a puteamodela evaluarea preurilor activelor financiare ne vom limita la piaa financiar n echilibru, adic o piape care nu exist oportuniti de arbitraj. Este foarte dificil de modelat aceste evaluri n cadrul unei pieecare nu e n echilibru. Arbitrageurii vor cuta s obin cantiti nelimitate de cstiguri lipsite de risc, ceeace implic o piaa dezordonat, imposibil de modelat matematic. Absena arbitrajului de pe piaa este unatuu minimal i suficient n modelarea pieei financiare, care este i indeajuns de realistic. Oportuniti dearbitraj exist pe piaa dar ele dispar foarte repede. De ndata ce un agent observ posibilitatea arbitrajului,o va exploata la maximum, pn discrepana ntre preuri dispare. Principiul inexistenei arbitrajului zice cao piaa financiar nu ar trebui s permit posibiliti de arbitraj. n capitolele urmtoare vom vedea cumputem exprima lipsa arbitrajului n termeni matematici. O pia financiar n care nu exist oportuniti dearbitraj se numete pia financiar viabil.

    17

  • MF2 [Dr. Iulian Stoleriu]Utilitatea derivatele financiare

    1. Gestionarea riscului (hedging). Sunt unelte pentru persoane fizice sau companii pentru a reduce riscul.Spre exemplu, un fermier ce produce porumb intr ntr-un contract forward nc din primvar pentrua-i acoperi riscul unei eventuale pierderi n toamn, cnd preurile ar putea scdea foarte mult. Oaciune de hedging este util atunci cnd se dorete minimizarea riscului generat de incertitudineadobnzilor, a ratelor de schimb sau de alte variabile de pia. Pe de alt parte, riscul poate creteatunci cnd se recurge la o aciune de hedging iar competitorii direci nu o fac.2. Speculaie. Derivatele financiare pot servi ca modalitti de investiie. Un speculator preia riscul dela hedger cu scopul de a scoate un profit mai trziu cnd preurile pe piaa se vor schimba favorabil.3. Arbitraj. Prin tranzacionarea acestor instrumente financiare poi obine profituri fr a risca nimic,prin specularea diferenelor de pre existente pe pia pentru acelai activ financiar. Acesta suntnumite aciuni de arbitraj.4. Schimbarea naturii responsabilitii. n locul deinerii efective a unui activ riscant, un investitorpoate achiziiona doar dreptul de a deine activul, evitnd eventualele pierderi foarte mari. Printranzacionarea derivatelor financiare, o persoan poate vinde active i, totodat, s continue s ledein fizic, se poate pstra dreptul de vot n cazul unor aciuni sau elimina riscul deinerii unor activeale cror preuri pot scdea. De asemenea, exist posibilitatea de a scpa de plata unor taxe.5. Schimbarea naturii investiiei, fr a fi nevoie de a vinde un portofoliu i de a cumpra un altul, faptce atrage costuri suplimentare. Spre exemplu, n cazuri derivatelor de tip swaps, putem schimba douactive financiare ntre ele, reducnd astfel costurile de tranzacionare.Actorii de pe piaa derivatelor financiare

    Putem categorisi persoanele care tranzacioneaza derivate financiare n trei mari categorii:1. Hedgerii. Hedgingul (acoperirea riscului) este ncercarea de a acoperi (asigura mpotriva) posibilele(-lor) riscuri rezultate din fluctuaiile de pre pe piaa financiar.2. Speculatorii iau poziia opus hedgerilor. Ei preiau riscul pe care hedgerii l transmit. Nu existspeculaie fr hedging i vice-versa. n procedeul de speculaie, fondurile disponibile sunt plasatestrategic n scopul de a scoate profit.3. Arbitrajeurii intra n dou sau mai multe tranzacii echivalente n acelai timp, n care preurile con-tractelor sunt diferite. Ei urmresc a scoate profit din nimic, adic fr a se expune la risc. Vi-i puteiimagina ca persoane cu cel puin dou telefoane n mana i cu panouri electronice n fa.

    Presupuneri de modelare

    Dac dorim s crem modele matematice pentru aceste derivate financiare, atunci e necesar s facemurmtoarele presupuneri, care ne-ar uura lucrul: costurile de tranzacionare, comisioanele, taxele sunt neglijate (pentru simplicitate, cci toate pieelereale implic astfel de costuri). A nelege pieele fr friciuni e un pas inainte n a inelege pe celecu friciuni; nu sunt restricii asupra cantitilor tranzacionate i c aceasta nu va schimba preul activelor tranzac-18

  • MF2 [Dr. Iulian Stoleriu]ionate; aceeai rata a dobnzii, r , att pentru mprumut ct i pentru credit; investitorii prefer tot mai mult; lipsa arbitrajului pe piaa financiar;Problema fundamental a matematicii instrumentelor derivate financiare este stabilirea preului lor. Primelemodele de evaluare au aprut n 1973, in lucrarile scrise de Black, Scholes i Merton.

    Valoarea n timp a banilor (time value of money)

    n cele ce urmeaz, vom utiliza dobnda unitar r , ca fiind rata lipsit de risc a profitului unei companii, iva fi considerat constant n timp. De asemenea, vom considera c dobnda se calculeaz n mod continuu.Asta nseamn c suma S0 la timpul t = 0, va valora S0ert la momentul t (timp ce l vom msura n ani).Invers, orice sum ST la timpul viitor t = T valoreaz ST erT n momentul de fa, adic la t = 0, ivaloreaz ST er(Tt) la momentul t [0, T ].Contracte forward

    Este cel mai simplu derivat financiar. Este o nelegere (obligaie) de a cumpra sau vinde un activ financiarla o dat pre-stabilit n viitor (maturitate sau dat livrrii sau scadena), pentru un pre (pre de livrare)stabilit la semnarea contractului. A se face distincie ntre un contract forward i un contract spot, pentrucare livrarea are loc astzi, la momentul nelegerii. ntr-un astfel de contract sunt implicate dou pri: celcare cumpra activul (se spune c el deine o poziie long) i cel care l vinde (care deine o poziie short).Aceste contracte sunt tranzacionate pe piaa OTC (Over-The-Counter sau inter-dealeri).Poziia cumprtorul contractului futures se numete long forward (LF). Cel care intr ntr-o poziie LF vactig din tranzacie dac preul viitor al activului cumprat va crete fa de momentul intrrii n poziie.Cumprtorul unui contract futures urmrete ori s se protejeze mpotriva unor creteri viitoare ale preuluirespectivului activ pe piaa spot (la vedere), ori dorete s speculeze o astfel de cretere la momentul saumomentele pe care le considera potrivite. Poziia cumpratorului este considerat acoperit deoarece elurmeaz s achiziioneze activul de baz.Poziia vnztorului este considerat descoperit (deoarece cel care vinde activul suport s-ar putea s nul dein n momentul intrrii n contract, astfel la scadena el va trebui fie s cumpere activul suport pepiaa spot, pentru a-l vinde i a-i onora obligaiile contractuale, fie va trebui s-l mprumute, i n acest cazva aprea, mai trziu obligaia rambursrii mprumutului. n limbaj de specialitate, poziia vnztorului senumete short forward (SF) i este o poziie n oglind fa de poziia LF. Atunci cnd poziia LF nregistreazun ctig, poziia SF va nregistra o pierdere i invers; cu alte cuvinte, investitorul care intr ntr-o poziieSF urmrete fie s se protejeze mpotriva unei eventuale scderi a preului activului suport, fie dorete sspeculeze scderea preului la momentul potrivit.Caracteristici ale contractelor forward: contractul forward este o nelegere privat, ncheiat ntre doi parteneri care, de obicei, se cunosc; contractele forward (la termen) nu sunt tranzacionate la burs (sunt contracte nestandardizate); un contract forward implic un risc de credit pentru ambele pri, similar celui de pe piaa la vedere

    19

  • MF2 [Dr. Iulian Stoleriu](spot). Astfel, prile contractuale pot solicita o garanie; activul suport sau obiectul contractului poate fi orice marf sau orice activ financiar pentru care ceidoi parteneri i manifest interesul; tranzaciile se fac numai pe pieele OTC; livrarea este specificat la momentul iniierii contractului; nu se face nici o plat la momentul scrierii contractului; valutele sunt cele mai tranzacionate prin contracte forward.

    Vnzri prin lips (short selling)

    Este procedeul prin care se poate vinde un activ pe care nu-l deii. Etapele: ia cu mprumut activul ivinde-l. La maturitate cumpra activul i napoiaz-l de unde l-ai mprumutat plus, eventual, o dobndpentru mprumut. n acest caz, profitul va fi: pozitiv, dac preurile scad i negativ, dac preurile cresc.n cazul vnzrilor short, investitorii sper c preurile pe piaa spot s scad pentru a face un profit. ngeneral, vnzrile short sunt utilizate pentru a profit de o scdere asteptat de preuri anumite active. Sunttrei motive pentru a vinde short: speculaie (obii un profit dac preurile scad). De exemplu, George Soros, 1992, "the man who brokethe Bank of England", a anticipat c pound-ul britanic va scdea i a pariat 10 miliarde de dolari peaa ceva, scond numai ntr-o zi un profit de cca 2 miliarde dolari americani. finanare (e o modalitate de a mprumuta bani, folosit mai ales la obligaiuni); hedging (pentru acoperirea riscului deinerii unor active).n practic, cnd vinzi short un activ brokerul tu i va mprumut activul respectiv din contul firmei sau alaltei firme de brokeraj. Apoi activul e vndut i banii i revin, dar mai trziu sau mai devreme va trebui snchizi poziia short prin napoierea mprumutului fcut. Se pot plti sau nu dividende pentru activul deinut.

    Preul forward (forward price)Dac preul de livrare este mai mare dect preul spot, atunci e de preferat de a fi ntr-o poziie short, iardac este mai mic, atunci o poziie long e preferat. Aadar va trebui s existe un pre unic de livrare pentrucare nici una dintre cele dou poziii nu e avantajat. Un astfel de pre se numete pre forward. Cu altecuvinte, preul forward este preul (unic) de livrare pentru care nu e nevoie de nici un schimb de bani lamomentul iniierii contractului (i.e. nu ne cost nimic pentru a ntra ntr-un astfel de contract). Vom derivan continuare o formula pentru preul forward, bazat pe principiul absenei arbitrajului.Vom utiliza urmtoarele notaii: K = preul de livrare; St = preul (spot) al activului la momentul t;(S0 e preul la momentul t = 0, care e cunoscut, i ST la momentul t = T , necunoscut); T = momentul livrrii sau scadena; t = ctigul (profitul) net la momentul t .

    20

  • MF2 [Dr. Iulian Stoleriu] F0 preul forward la momentul t = 0 (acesta se modific n timp).Pentru un investitor ce deine o poziie long forward (i.e., ne punem n poziia cumprtorului) cu preul delivrare K i scdena T , profitul este T = ST K , iar pentru unul ce deine o poziie short forward (i.e.suntem pe poziia vnztorului), T = K ST (vezi Figura 2.1).

    Profit

    K ST K S

    T

    Profit

    (a) (b)

    Figura 2.1: Profitul pentru un long forward (a) i un short forward (b).ntrebrile la care ne propunem s rspundem sunt:* Cum va trebui s-l alegem pe K astfel nct nu este nevoie de schimb de bani la momentul t = 0, intreprile implicate in contract?Cu alte cuvinte, aceasta intrebare ne cere sa determinam preul forward.* Care este preul corect al contractului forward la momentul iniierii lui, dac preul de livrare nu estepreul forward?

    Pentru a rspunde la (1) s punem problema preului corect astfel: considerm contractul futures ca fiind unjoc avnd urmtoarea regul. La timpul t = T juctorul J1 (care se afl pe poziia long futures) primete dela J2 (poziia short futures) suma ST K n cazul n care acesta este pozitiv, altfel pltete suma K ST .ntrebarea (1) reformulat este:Care este preul corect, V , pe care juctorul J1 ar trebui s-l plteasc pentru a participa la joc?Observaia 2.1. Deoarece suma V trebuie pltit la t = 0 dar plile mai sus amintite se fac la t = T , vatrebui s lum n calcul valoarea banilor n timp (dobnd).S presupunem c rata unitar anual a dobnzii este r , aceeai pentru mprumut i credit, i c dobnd secalculeaz compus continuu. Aadar, suma V platit la momentul t = 0 valoreaz V erT la momentul t = T .D.p.d.p. al teoriei jocurilor, acest joc este cinstit dac valoarea medie asteptat a sumei tranzacionate lat = T este 0.ns, valoarea sumei tranzacionate la t = T este ST K V erT , deci avem

    E[ST K V erT ] = 0,adic V = erT (E[ST ] K ).n concluzie, pentru a prticipa la joc J1 va trebui s plateasc la t = 0 sumaV = erT (E[ST ] K ),

    21

  • MF2 [Dr. Iulian Stoleriu]dac aceast e pozitiva, altfel J2 va trebui s-i plateasc

    V = erT (K E[ST ]).Mai mult, valoarea lui K pentru care nu trebuie platit nici o prim la intrarea n joc este K = E[ST ]. Decipare rezonabil de a alege un astfel de K ce s reprezinte preul forward.ns, sunt dou obiecii majore pentru aceast alegere: prima V depinde de E[ST ], adic de valoarea asteptat a preurilor viitoare, care sunt aleatorii, decinecunoscute investitorilor.Putem doar prezice valoarea lui ST . Dup cum vom vedea mai trziu, n capitolele viitoare, seobinuiete ca ST s fie ales astfel nct s urmeze o anumit repartiie probabilistic, de regularepartiia lognormal.Reamintim, Y logN (m, ) dac ln Y N (m, ), adic densitatea de repartiie a lui Y este

    fY (x) = { 1x2 e (ln xm)222 , dac x > 00 , dac x 6 0Media i dispersia sunt date de E(Y ) = em+ 2/2, D2(Y ) = e2m+ 2 (e 2 1).. alegnd K = E[ST ], pot aparea oportuniti de arbitraj.- Intr-adevar, s presupunem c E[ST ] = S0, deci K = S0. Un investitor poate proceda astfel:La t = 0 vinde short n unitti din activ i investete banii obinui (i.e. nS0) ntr-un cont bancar sauobligaiuni. Pentru a acoperi poziia short, n acelai timp intra ntr-un contract forward prin care seangajeaz s cumpere n active la preul spot la t = T , adic pentru S0. Aadar, la t = T va avean cont nS0erT . Onoreaz poziia long i cumpra n active, pentru care pltete nS0, le returneaz,mpreu cu dobnd pentru deinerea lor pana la scdena. Facnd balant la t = T , va rmne cu:nS0(e(rq)T 1) (n general, r > q). n plus, dac q = 0 (nu se iau n considerare taxele de deinerea unui activ), atunci va avea un profit garantat nS0(erT 1) > 0, deci oportuniti de arbitraj. -

    Ingredientul esential in evaluarea valorii contractului forward este presupunerea ca piata financiara esteviabila (lipsita de arbitraj).Propoziia 2.2. Preul forward pentru un activ aflat n proprietate i care nu genereaz dividende este

    K = S0erT . (2.1)Demonstraie. Cazul I: K < S0erT .La t = 0: Vindem short n active, banii obinui nS0 n punem ntr-un cont bancar cu rat r i intrm ntr-uncontract forward n care ne angajm s cumpram n active la t = T cu preul K , pentru a acoperi poziiashort.La t = T : Cumpram n active i nchidem poziia short. Profitul net va fi: nS0erT nK > 0.Cazul II: K > S0erT .La t = 0: mprumutm suma de nS0, cumprm n active i intrm ntr-un contract forward de vnzare a lorla t = T , cu preul K .La t = T : Vindem cele n active i pltim mprumutul. Profitul net: nK nS0erT > 0.Observaia 2.3. S notm c preul stabilit prin lipsa arbitrajului este tocmai valoarea la scdena t = T asumei S0 dac aceasta este investit ntr-un cont bancar pe toat perioada contractului.

    22

  • MF2 [Dr. Iulian Stoleriu]Propoziia 2.4. Preul forward pentru un activ aflat n proprietate i care produce dividende cu o rat q este

    K = S0e(rq)T .Aici q reprezint rata medie ateptat de plat dividendelor.Propoziia 2.5. Preul forward pentru un activ mprumutat i care nu produce dividende este

    K = (S0 I)erT .Aici I este suma fructificat ce trebuie pltit pentru activul mprumutat.Observaia 2.6. Dei, n general, valoarea K este aleas astfel nct contractul forward nu cost nimic lamomentul iniierii, n cazul n care K nu e preul forward, atunci contractul va avea o anumit valoare iniiala.Aceasta este:

    (F0 K )erT , pentru cel care deine o poziie long forward, i(K F0)erT , pentru cel care deine o poziie short forward.

    Contracte futures

    Un contract futures este un acord contractual ferm ntre dou pri, negociat ntr-o piaa organizat, careoblig ambele pri s cumpere sau s vnd o cantitate de bunuri, obligaiuni, aciuni etc la o dat viitoare,pentru un pre stabilit la dat semnrii contractului. Preul contractului va varia n funcie de localizareapieei, dar este fixat atunci cnd tranzacia este ncheiat. Contractul futures este, de fapt, un contractforward standardizat.Exemplu 2.7. 1. Cumprare de 500 g de aur @ RON180/g n Decembrie 2013;2. Vnzare de e50 000 @ 4.35 e/RON n August 2014;Trasturi comune ale contractelor futures: sunt standardizate (anumite maturitti, dimensiuni ale contractelor, tipuri de active suport etc) iorganizate de casele de compenstaie. Implicarea casei de compensaie implic fatul c nu exist uncontract ntre vnztor i cumprator, ci un contract ntre fiecare dintre acetia i cas de compensaie.Casa de compensare actioneaz astfel ca o contrapartida pentru ambele pri, care confer protecieacestora i permite ca tranzacionarea s aib loc mai liber; preul este stabilit prin mecanismul cerere/ofert pentru contractul futures pe un anumit activ suporti este influenat i de scadena anuntat pentru acest; sunt tranzacionate la burs; la momentul semnrii contractului se cere fiecrei pri depunerea unei sume de bani numit marjasau garanie. Aceast marj este ajustat zilnic, pentru a minimiza posibilele pierderi. marcarea la piaa: nregistrarea preului unui activ n fiecare zi n vederea calculrii profiturilor i apierderilor.

    23

  • MF2 [Dr. Iulian Stoleriu] sunt utilizate n special de: hedgeri, speculatori i arbitrageuri.Din punctul de vedere al modelrii matematice, putem considera contractele forward i cele futures a fiidentice.

    Probleme propuse

    Exerciiu 2.1. Un investitor a semnat un contract forward cu scadena de 6 luni, prin care va cumpra unpachet de aciuni ale unei companii cu suma total de 200 RON. Preul actual al pachetului de aciuni estede 194 RON. tiind c nu exist oportuniti de arbitraj i c pentru aceste aciuni nu se pltesc dividendepentru perioada contractual, s se determine rata anual unitar (efectiv) lipsit de risc.Exerciiu 2.2. Determinai preul forward pentru un contract forward cu scadena de 1 an, bazat pe unportofoliu de active ce valoreaz 1.1 milioane RON i care are o rat anual de plat a activelor de 5% p.a.,pltibile n mod continuu. Rata anual unitar lipsit de risc este de 5% p.a..Exerciiu 2.3. Pe piaa aurului, preul spot al unui gram de Au (1XAU) este de 140 RON. Pe aceast piase comercializeaz contracte forward cu scadena de jumtate de an, ce ofer posibilitatea vnzrii gramuluide aur cu 150 RON (r = 0.05).(a) Determinai dac exist oportuniti de arbitraj pe pia. n caz afirmativ, construii o strategie dearbitraj.(b) Determinai preul forward pentru un contract forward de vnzare a 1g Au cu 150 RON, cu scadena de6 luni.(c) Care este preul corect al unui contract forward considerat mai sus?Exerciiu 2.4. ntr-o anumit ar, guvernul a decretat urmtoare band de variaie pentru rata de schimbdintre valuta autohton ($LOC) n raport cu EUR:

    0.95 EUR 6 1$LOC 6 1.05 EUR.Presupunem c acest decret are aplicabilitate pentru cel puin un an. Tot n aceast ar, guvernul emitetitluri de valoare (obligaiuni) cu scadena de 1 an, n valuta autohton, i care pltesc dobnd de 30% p.a..Dac dobnda pentru depozite n EUR este de 6% p.a., investigai dac exist oportuniti de arbitraj.Exerciiu 2.5. Un activ financiar cost $152 n New York i 100 n Londra. tiind c rata de schimb este/$ = 1.55, construii o strategie de arbitraj.

    24

  • MF3 [Dr. Iulian Stoleriu]3 Matematici financiare (C3)

    Contracte cu opiuni

    Printr-un contract cu opiune sau, simplu, opiune (n englez, option) se nelege un contract ce conferunei persoane (deintorului) dreptul, dar nu i obligaia, de a tranzaciona in viitor un anumit activ financiar,la un pre convenit, ntr-un termen definit sau la expirarea acestuia, n schimbul plii unei prime. Dacprin acest contract se vinde activul suport, atunci avem o opiune de tip put, iar dac se cumpr activul,avem o opiune de tip call. Preul convenit pentru tranzacionarea activului se numete pre de exerciiu,iar termenul limit de valabilitate a opiunii este denumit scaden (sau maturitate). Activele suport pot fifoarte variate. De exemplu, pot fi: aciuni, devize, indici bursieri, contracte futures, rate ale dobnzii.Cel ce deine o opiune poate s-i exercite dreptul pn la scaden contractului, s abandoneze opiuneapn la scaden, sau s-i compenseze contractul.n funcie de timpul cnd se face exercitarea, opiunile pot fi: europene (opiunea este exercitat doar lamaturitate), americane (opiunea poate fi exercitat oricnd ntre semnarea contractului i maturitate), exotice(bermudiene, asiatice, ruseti) etc. Cele mai multe opiuni tranzacionate la burs sunt cele de tip american,deoarece pot conferi flexibilitate celor ce tranzaioneaz.Cumpratorul unui call nu e obligat s cumpere, dar dac acesta dorete, atunci vnzatorul e obligat svnd, indiferent dac la momentul exercitrii contractului piaa este sau nu favorabil lui. Asumarea acestuirisc de ctre vnzatorul opiunii se face n schimbul ncasrii la t = 0 a unei prime, care de altfel estepreul opiunii. Astfel, vnzatorul obine ctiguri limitate, dar certe, la nivelul primei ncasate, n schimbulasumrii unor riscuri nelimitate. n acelai timp, opiunea reprezint pentru cumprtor o poli de asigurare.Prima pltit poate s-i aduc ctiguri teoretic nelimitate, n cazul unei piee favorabile la scaden, saus-l apere ntr-o pia defavorabil. Tranzaciile cu opiuni sunt operaiuni de vnzare/cumprare de riscuri.Cumprtorul opiunii are aversiune fa de risc (riscofob), iar vnztorul este riscofil (prefer riscul).Opiunile pot fi oferite n cadrul unor burse specializate sau pe pieele OTC. n primul caz, contractele suntstandardizate i ofer un grad sczut de flexibilitate n alegerea termenilor. n cel de al doilea caz, contrac-tele se ncheie, n general, prin negociere ntre cele dou pri contractante.ntre anii 1970 1980, opiunile erau inaccesibil de scumpe pentru majoritatea investitorilor. Acum preurilesunt accesibile i, de multe ori, chiar sub-evaluate. Detintorul unei opiuni poate obine un profit de multeori mai mare dect ceea ce ar obine dac ar deine activul suport. Exist astfel posibiliti de a realizaprofituri foarte mari cu investiii mici.Elementele componente ale unei opiuni:

    Elemente intrinseci: prima C0 pentru call (call to purchase) i P0 pentru put (put to sell); preul de exerciiu (preul de lovire - strike price) K ; durata de valabilitate T (scaden - maturity); preul spot (de pia) al activului suport, St (S0 este preul actual al activului); rata dobnzii anuale, r , unic pentru vnzri i cumprri; rata de plat a dividendelor, q, dac acestea se pltesc.

    25

  • MF3 [Dr. Iulian Stoleriu]Opiunea are i o variabil necunoscut, volatilitatea (volatility) preului activului suport, dar care poatefi estimat. Aceasta volatilitate este, de fapt, dispersia valorilor activului suport pe perioada de via aopiunii i este un factor important n determinarea valorii primei opiunii. Volatilitatea preului unor aciunila compania X poate fi de dou ori mare dect a companiei Y , determinnd astfel o valoare dubl a primeiopiunii de cumprare a aciunilor primei firme.n continuare, vom nota prin CEt = Ct i prin PEt = Pt valorile pentru un call, respectiv, put european lamomentul t . De asemenea, vom nota prin CAt i PAt valorile corespunztoare pentru call i put americane,la momentul t . Dac nu este pericol de confuzie, vom prefera notaiile Ct i Pt pentru opiuni europene.Valorile pentru call i put (att europene, ct i americane) pot fi privite ca fiind nite funcii de urmtoarelevariabile:

    Ct = C (K , St , T , q, r), Pt = P(K , St , T , q, r).Factori determinani ai preului unei opiuni

    preul activului suport, St . Spre exemplu, valoarea opiunii de tip call va fi mai mare cu ct diferenantre preul activului suport i preul de exerciiu este mai mare. preul de exerciiu, K . Acesta are o influen invers fa de preul activului suport. intervalul de timp pn la scaden, T . Cu ct acesta este mai mare, cu att valoarea opiunii crete,deoarece ofer o flexibilitate mai mare de a exercit opiunea n mod favorabil. rata dobnzii fr risc (risk-free rate), r . dividendele (dividends). Valoarea opiunilor de tip call va scdea n cazul plii dividendelor n perioadade via a opiunii, pe cnd preul unei opiuni put va crete. volatilitatea preului activului suport, . Aceasta este greu de determinat n practic. Este o msur aincertitudinilor legate de evoluia preului activului suport. Un activ cu o volatilitate ridicat prezintfluctuaii accentuate ale preului.Preul de exerciiu este stabilit n jurul preului activului suport, S0. Pentru un call european cu preul deexerciiu K , vom spune c preul activului suport la maturitate este: sub-paritate (in-the-money), dac K < S0.Se spune c, n acest caz, opiunea are valoare tangibil. n plus, aceast opiune are valoare n timp,aceasta fiind asigurare pentru cazul n care valoarea activului suport scade sub valoarea preului deexerciiu.Spre exemplificare, s presupunem c valoarea unui activ este astzi S0 = 30 $ i valoarea unui calleuropean de cumprare a acestui activ cu K = 27.50 $ la momentul viitor T = 1/4 (3 luni) este

    C0 = 3.15 $. Deinnd un astfel de derivat financiar, poi pierde maximum 3.15 $, adic tocmai primapltit pentru call, i aceasta se ntmpl n cazul n care opiunea expir neexercitat. Din cei 3.15 $,suma de 2.50 $ reprezint valoarea intrinseca (tangibil) a opiunii (i.e., diferena ntre S0 si K ), iar0.65 $ reprezint valoarea timp a opiunii. Nivelul cu care preul opiunii depete la un moment datvaloarea intrinsec se numete valoare timp. La scaden valoarea timp este nul. la paritate (at-the-money), dac K = S0.n cazul activului anterior, o opiune call european la paritate ar semnifica un pre de exerciiu K = 30 $.Prima pentru un astfel de call ar fi de, s zicem, 1.35 $. Se poate observ c valoarea n timp a opiuniieste mai mare dect n cazul precedent, deoarece acest call poate fi privit ca asigurare pentru cazurilen care preul activului ar scdea sub preul de exerciiu K sau c l-ar depi pe K . supra-paritate (out-of-the-money), dac K > S0.26

  • MF3 [Dr. Iulian Stoleriu]De exemplu, un call european cu K = 33 $ i T = 1/4 (3 luni) asupra activului precedent este lasupra-paritate.Valoarea unui call (put) european la maturitate e dat de

    CT = (ST K )+, respectiv, PT = (ST K ) = (K ST )+.Vom nota prin FV (C0) valoarea viitoare la momentul T (future value) pentru C0. Similar, vom nota prinFV (P0) valoarea viitoare la momentul T pentru P0. n funcie de modul cum este calculat dobnda, FV (X0)poate fi una dintre urmtoarele valori: X0(1 + rT ), X0(1 + r)T sau X0erT .innd cont de prima pltit la semnarea contractului, profitul net de cumprare a (sau rezultatul cumprrii)unui call (long call) este cT = (ST K )+ FV (C0),iar al unui put (long put) este pT = (K ST )+ FV (P0).Acestea sunt profiturile ce le poate obine cumprtorul de opiuni call sau put. Din punctul de vedere alvnztorului, profit pentru cumprtor nseamn pierdere pentru vnztor. Aadar, profiturile pentru vnzarede call (short call) i put (short put) sunt, respectiv, cT = FV (C0)(STK )+ ipT = FV (P0)(KST )+(vezi Figurile 3.1 i 3.2 unde, pentru simplitate, am luat r = 0, de unde FV (C0) = C0 i FV (P0) = P0).

    0 0

    Profit Profit

    S(t) S(t) C0 P

    0

    abandon exercitare exercitare abandon

    K

    K+C0

    KP0 K

    Figura 3.1: Profitul pentru un long call (a) i un long put (b).Terminologie:

    - a vinde o opiune call (en., to write (or sell) a call option) = a avea obligaia de a vinde un activ la unpre prestabilit. Dac un investitor este n aceast poziie, el va trebui s livreze activul suport la scadenn cantitatea convenit i la preul convenit, n cazul n care cumprtorul i exercit dreptul;- a cumpra o opiune call (en., to buy a call option) = a avea dreptul de a cumpra un activ la un preprestabilit, de la cel care a scris (vndut) opiunea;- a cumpra o opiune put = a avea dreptul de a vinde un activ la un pre prestabilit;- a vinde o opiune put = a avea obligaia de a cumpra un activ la un pre prestabilit;- pre de exerciiu (de lovire) = preul stabilit la momentul scrierii opiunii (convenit de ambele pri);27

  • MF3 [Dr. Iulian Stoleriu]

    0 0

    Profit Profit

    S(t) S(t)

    C0

    P0

    abandon exercitare exercitare abandon

    K K+C0 KP

    0 K

    Figura 3.2: Profitul pentru un short call (a) i un short put (b).- scadena (maturitatea) = dat cnd contractul expir;- premium (sau prima) = taxa ncasat de cel care scrie opiunea (emite contractul), de la cumprtor.Gndii-v la aceast prim ca fiind o asigurare pentru luarea unor eventuale decizii financiare greite.n continuare, vom determina limite pentru preurile opiunilor la orice timp ntre 0 i T . Presupunem cavem opiuni put i call europene cu acelai pre de exerciiu, acelai activ suport (al crui pre la t este Sti pentru care nu se pltesc dividende) i acelai T . Mai mult, considermexistena unei rate unitare unice,r , compus continuu. Putem demonstra urmtoarea propoziie:Propoziia 3.1. (paritatea put-call) ntr-o pia financiar viabil (i.e., n care nu exist oportuniti dearbitraj), are loc relaia:

    St + PEt CEt = Ker(Tt), () t [0, T ]. (3.1)Demonstraie. Considerm un portofoliu compus dintr-un activ S , un put P i o poziie short pentru un call(cel care deine portofoliul a scris call-ul). Fie Vt valoarea portofoliului. Avem:

    Vt = St + PEt CEt , () t [0, T ].Dar la t = T avemVT = ST + (ST K ) (ST K )+ = K .Aadar, acest portofoliu garanteaz profitul K la t = T . Folosind principiul lipsei arbitrajului (care negaranteaz c dou active ce au un acelai pre la un anumit moment, atunci ele vor valora la fel n oricealt moment), gsim c

    Vt = Ker(Tt), () t [0, T ].Observaia 3.2. (1) Pentru t = 0, obinem relaia:

    S0 + P0 C0 = KerT . (3.2)

    28

  • MF3 [Dr. Iulian Stoleriu](2) n cazul opiunilor de tip american ce au la baz acelai activ suport pentru care nu se pltesc dividendei aceeai scaden, o relaie similar cu cea anterioar (care uneori poart denumirea de paritatea put-callpentru opiuni americane) este:

    S0 K 6 CA0 PA0 6 S0 KerT . (3.3)Propoziia 3.3. n aceleai condiii ca n propoziia anterioar, putem arata c:

    max{St Ker(Tt), 0} 6 CEt 6 St , () t [0, T ].Demonstraie. Rezult din propoziia anterioar.Evident, CEt > 0, deoarece CEt < 0 genereaz oportuniti de arbitraj (obinem un profit la timpul T , cndCET = (ST K )+ > 0). n mod similar, trebuie s avem Ct 6 St , altfel ar nsemna c dreptul de a cumpraun activ are o valoare mai mare dect deinerea efectiv a activului, ceea ce e fals. Deinerea activului oferbeneficii suplimentare, e.g. dobnd.Din (3.1) obinem c

    St Ker(Tt) = CEt PEt 6 CEt ,ceea ce ncheie demonstraia.Observaia 3.4. E clar c o opiune american cost mai mult dect una european, deoarece are n pluscaracteristica de a putea fi exercitat oricnd nainte de termen. Aadar, n general avem

    CAt > CEt , () t [0, T ].Propoziia 3.5. ntr-o pia financiar viabil, pentru un activ financiar pentru care nu se pltesc dividende,avem

    CAt = CEt , () t [0, T ].Demonstraie. Artm c CAt 6 CEt , () t [0, T ]. tim c:

    CAt = max{St K , CEt }, () t [0, T ].Dar, dac nu se pltesc dividende, atunci, folosind Propozitia 3.3, obinem:St K 6 St Ker(Tt) 6 CEt ,de unde rezult inegalitatea

    CAt 6 CEt , () t [0, T ].Observaia 3.6. Sunt dou motive pentru care exercitarea unei opiuni americane de tip call pentru care nuse pltesc dividende mai devreme de maturitate nu e indicat:(i) investitorul care deine un call american n locul activului suport este asigurat mpotriva unei cderi avalorii activului. Dac exercit mai devreme, atunci pierde asigurarea.(ii) Cnd deintorul unui call exercit opiunea, atunci el cumpr activul pltind preul de exerciiu K .Cumprnd mai devreme, el va pierde dobnda ctigat pentru K pentru perioada rmas pn la maturi-tate.

    29

  • MF3 [Dr. Iulian Stoleriu]Observaia 3.7. (1) Putem determina valori maxime i minime i pentru un put european. Astfel, ntr-opia viabil avem:

    max{Ker(Tt) St ; 0} 6 PEt 6 Ker(Tt), () t [0, T ].Demonstraia este similar cu cea pentru Propoziia 3.3.(2) n cazul opiunilor de tip american, putem arta doar c:CEt 6 CAt 6 S0 i PEt 6 PAt 6 K , () t [0, T ].

    Strategii de investiii cu opiuni

    Piaa opiunilor poate fi o pia ideal pentru cei ce doresc s obin ctiguri nelimitate, speculnd preurileopiunilor, sau pentru investitorii care doresc s se asigure mpotriva riscului financiar. Opiunile pot fi folositei in aciuni de arbitraj. Vom discuta aici strategii ce includ doar opiuni call i put europene.Opiunile pot fi utilizate pentru: speculaie; hedging (acoperirea riscului sau asigurare); arbitraj.Aceste operaiuni sunt posibile datorit versatilitii opiunilor. Putem vorbi despre strategii bull, n careinvestitorii anticipeaz o cretere viitoare a preului activului suport, sau strategii bear, cnd acest pre esteanticipat a fi n scdere. Strategiile de investiie cu opiuni sunt nenumrate; amintim aici doar cateva, maiuzuale: strategii simple. De exemplu, cumprare de opiuni call i put neacoperite, n funcie de anticiprileinvestitorilor asupra evoluiei viitoare a cursului activului suport. combinaii. Aceste strategii sunt combinaii de opiuni asupra aceluiai activ suport. De exemplu:salturile (en., spreads), prima dubl (en., stellage) sau gtuirile (en., strangles). cumprarea de portofolii formate din opiuni call i put i active suport, n vederea lurii unei poziiict mai bune pe pia la scaden.

    Pentru simplitate, vom considera aici c r = 0. Dac r 6= 0, atunci C0 si P0 vor fi nlocuite cu FV (C0),respectiv FV (P0).Strategii simple cu opiuni cumprare de opiuni call (naked long call). Alturi de cumprarea de opiuni put, acestea sunt celemai simple strategii speculative. Aceast aciune poate fi propice n cazul n care se anticipeaz ocretere importan a cursului activului suport pn la maturitate. Dac anticiprile nu se adeveresc,se pierde prima platit pentru achizitionarea opiunii call. n cazul n care apar pierderi, atunci spunemc ele au efect de levier (sunt limitate). Profitul net la maturitate este

    cT = (ST K )+ C0.30

  • MF3 [Dr. Iulian Stoleriu] cumprare de opiuni put (naked long put). Este o aciune speculativ, ce poate fi propice n cazuln care se anticipeaz o scdere important a cursului activului suport pe durat de via a opiunii.Dac anticiparile nu se adeveresc, se pierde prima platit pentru achizitionarea opiunii call. i nacest caz, eventualele pierderi au efect de levier. Profitul net la maturitate estepT = (K ST )+ P0. vnzare de opiuni call (naked short call). Este tot o aciune speculativ, propice n cazul n care seanticipeaz c valoarea activului suport nu va crete pe durata de via a opiunii. Dac anticiprile nuse adeveresc, se pot produce pierderi nelimitate, mult mai mari dect primele ncasate. Dac pierdereasurvine, atunci vom spune c are efect de mciuc. Profitul net la maturitate este egal cu cT . vnzare de opiuni put (naked short put). Aciunea poate fi propice n cazul in care se anticipeaz cvaloarea activului suport nu va scdea pe durata de via a opiunii. Dac anticiprile nu se adeveresc,se pot produce pierderi mari, mult mai mari dect primele ncasate. i n acest caz, aceasta este oaciune speculativa, cu profitul net la maturitate pT i pierderea maxim n valoare de K P0. vnzare de opiune call i deinere de activ suport (covered call). Prin strategia call acoperit, in-vestitorul i stabilete o poziie short pentru un call i deine un numr de active suport cte suntvndute prin short call. Valoarea profitului n acest caz este (vezi i figura 3.3):

    cT + ST = {C0 + K , ST > K ;C0 + ST , ST < K.

    C

    0

    K S(T)

    K

    Figura 3.3: Profitul pentru un call acoperit.

    K P0

    K S(t)

    Figura 3.4: Profitul pentru un put protectiv. cumprare de put i deinere de activ suport (protective put). E o strategie de acoperire a riscului.Un investitor procednd astfel pltete premium pentru put i se protejeaz mpotriva scderii preuluiactivului suport. Profitul total pentru aceast strategie este (vezi figura 3.4):

    PT P0 + ST = {K P0, ST < K ;ST P0, ST > K . cumprare de put i cumprare activ suport (married put). E o strategie de hedging (acoperire ariscului). Un investitor cumpr active suport la un moment viitor T i le protejeaz n eventualitatea

    31

  • MF3 [Dr. Iulian Stoleriu]deprecierii preului lor prin cumprarea unui put asupra aceluiai numr de active suport cte au fostcumprate i cu acelai pre de exerciiu, K . Profitul total pentru aceast strategie este:

    ST K + PT P0 = {P0, ST < K ;ST P0 K , ST > K .Combinaiile

    Sunt combinaii de mai multe serii de opiuni asupra aceluiai activ-suport. Aceste strategii se bazeazpe anticipri foarte exacte ale evoluiei cursului activului suport. Dac anticiprile sunt corecte, atuncictigurile pot fi mult mai mari dect profiturile realizate prin strategii simple. salturile (en., spreads). Gestionarul de portofoliu cumpr i vinde n acelai timp dou opiuni call(sau dou opiuni put) asupra aceluiai activ suport, dar cu preuri de exerciiu diferite. Salturile pot ficresctoare (n cazul n care se anticipeaz o cretere a lui St ) sau descresctoare (dac se anticipeazo scdere a lui St ). S presupunem c avem un salt cu dou opiuni call, cu preurile de exerciiuK c si K v i primele C c0 si C v0 (indicii c i v sunt pentru cumprare si vnzare, respectiv). Salturilecresctoare sunt strategii bull, denumite i bull spreads), iar cele descresctoare sunt strategii bear(bear spreads). Exemplu de bull-spread: un 100 call 110 call, ce semnific: cumprarea unui callcu K c = 100 la T i vnzarea simultan a unui call asupra aceluiai activ, cu K v = 110, la T .Profitul n cazul unui salt cresctor (K v > K c) este (vezi Figura 3.5):

    (ST K c)+ C c0 (ST K v )+ + C v0 =C v0 C c0 , ST 6 K c ;ST K c C c0 + C v0 , ST (K c, K v );K v K c + C v0 C c0 , ST > K v

    butterfly spreads. Sunt strategii de tip salt care folosesc o combinaie de bull i bear spreads. Are3 preuri de exerciiu. Investitorul ce dorete utilizarea unei astfel de tehnici anticipeaz ca preulactivului suport va rmne ntr-o anumit regiune, K1 < ST < K3. Prezentm n continuare unexemplu de butterfly spread cu opiuni call. Fie K1, K2, K3 preurile de exerciiu pentru 3 diferiteopiuni de tip call, C1, C2, C3, asupra unui aceluiai activ suport, cu aceeai scaden. Suntem npoziia long C1, short 2C2, long C3. Diagrama profitului va fi (vezi figura 3.6):T = C1 2C2 + C3 (C 01 2C 02 + C 03 )= (ST K1)+ C 10 2(ST K2)+ + 2C 20 + (ST K3)+ C 30 .

    prima dubl (en., straddle, fr., stellage). Este o strategie prin care se cumpr sau se vinde simultanopiuni call-put pentru acelai activ suport, acelai pre de exerciiu i aceeai scaden. Foarteimportant n aceast strategie este volatilitatea preului activului suport. Se sper ntr-o variaieputernic (la cumprare), sau o variaie foarte mic (la vnzare) a preului activului suport, fr a tiexact n ce direcie este variaia. De exemplu, un 100 call & 100 put semnific: cumprarea unui callcu K = 100 la T , cumprarea simultan a unui put cu K = 100.n general, pentru un K call & K put , diagrama profitului este (vezi figura 3.7):(ST K )+ C0 + (K ST )+ P0 = {ST K C0 P0, ST > K ;K ST C0 P0, ST < K.

    32

  • MF3 [Dr. Iulian Stoleriu]

    Kc Kv S(t)

    Figura 3.5: Profitul pentru un bull-spread. Figura 3.6: Profitul pentru un butterfly-spread.

    Figura 3.7: Profitul pentru o prima dubl. gatuirea (en., strangle). Este o operaiune similara cu prima dubl, n care una dintre caracteristicilepentru call i put , de exemplu preul de exercitiu K , este diferit.

    Opiunile ca asigurare

    Opiunile pot fi folosite ca asigurare n situaii nesigure ale pieei. Este uor de neles faptul c opiunilevin cu asigurare, deoarece opiunea este exercitat doar dac aceasta aduce un avantaj deintorului. Deexemplu, s presupunem c ai ezitat la un moment dat s cumparai aciuni la o anumit firm, prndu-sen acel moment ceva neprofitabil sau chiar prea riscant. Dar, n schimbul cumprrii acelor aciuni, ai puteaachizitiona o opiune de tip call, care sa va confere dreptul (nu si obligatia) de a le cumpra peste 3 luni.n cazul n care firma devine foarte profitabil i actiunile cresc in valoare, atunci nu vei mai putea spune:"Acum mi-a fi dorit s fi cumparat acel pachet de aciuni cnd am avut ocazia". Pe de alta parte, dac aceleaciuni se devalorizeaza n timp, atunci nu nu mai putei spune: "mi doresc s nu fi cumprat acel activ". nmod similar, dac deii o opiune de tip put, nu vei mai fi la un moment viitor n situaia de a spune: "Mi-afi dorit s fi pastrat acel activ" sau "Ar fi trebuit s vnd acel activ la momentul potrivit".

    33

  • MF3 [Dr. Iulian Stoleriu]Probleme propuse

    Exerciiu 3.1. Un investitor cumpr un put european pentru un pachet de aciuni cu 2 RON. Preul pachetuluide aciuni este acum 50 RON i preul de exerciiu este 49 RON.(a) n ce situaie va avea cumprtorul profit?(b) Cnd va fi opiunea exercitat?(c) Desenai o diagram care s reprezinte profitul cumprtorului la maturitate.Exerciiu 3.2. Un investitor vinde un call european pentru un pachet de aciuni cu 2 RON. Preul pachetuluide aciuni este acum 49 RON i preul de exerciiu este 50 RON.(a) n ce situaie va avea cumprtorul profit?(b) Cnd va fi opiunea exercitat?(c) Desenai o diagram care s reprezinte profitul cumprtorului la maturitate.Exerciiu 3.3. Descriei i reprezentai grafic profitul pentru urmtorul portofoliu de investiii asupra aceluiaiactiv suport: un contract long forward (LF), o poziie long ntr-un put european (PO), cu aceeai maturitateca i LF, cu preul de exerciiu egal cu preul forward stabilit pentru livrarea prin LF.Artai c, n acest caz, prima pentru contractul put european este aceeai cu prima pentru un call Europeanstabilit la momentul iniierii portofoliului, asupra aceluiai activ suport, cu acelai pre de exercitare imaturitate ca PO.Exerciiu 3.4. Determinai o margine inferioar pentru o opiune call cu maturitatea de 4 luni asupra unuiactiv suport ce nu genereaz dividende, tiind c preul actual al activului suport este 30 RON, preul deexerciiu este 27 RON i rata unitar anual lipsit de risc este de 5% pe an.Exerciiu 3.5. Determinai o margine inferioar pentru o opiune put european cu maturitatea de 3 luniasupra unui activ suport ce nu genereaz dividende, tiind c preul actual al activului suport este 27 RON,preul de exerciiu este 30 RON i rata unitar anual lipsit de risc este de 5% pe an.Exerciiu 3.6. Desenai diagrama pentru funcia de plat (pay-off) pentru o prim dubl 100 call & 100 putcu C0 = 3, P0 = 4.Exerciiu 3.7. Creai valoarea unui contract forward folosind constracte opiuni.Exerciiu 3.8. Determinai i reprezentai grafic funcia de plat (pay-off) pentru un 100 call 110 call bullspread, cu C c0 = 3, C v0 = 2.Exerciiu 3.9. Considerm trei opiuni de tip put european, P1, P2 i P3, avnd acelai activ suport i aceeaiscaden. Pentru aceste opiuni, preurile de exerciiu sunt K1 = 50, K2 = 60, K3 = 70, iar preurile detranzacionare sunt P