139
[Iulian Stoleriu] Matematici Financiare - Note de Curs - 20 mai 2015

Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

Universitatea "Al. I. Cuza" Ia³i

Facultatea de Matematic

[Iulian Stoleriu]

Matematici Financiare

- Note de Curs -

20 mai 2015

Page 2: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF1 [Dr. Iulian Stoleriu]1 Matematici financiare (C1)

Introducere

Matematicile financiare (en., Financial mathematics) constituie o ramură a Matematicilor Aplicate care sepreocupă de analiza pieţelor financiare. Aceasta ramură este în strânsă legatură cu Economia financiară, dareste mai restrânsă şi mult mai abstractă. Obiectul Matematicilor financiare constă în utilizarea raţionamen-tului matematic riguros sau a metodelor numerice în vederea studierii modelelor economico-matematice aleoperaţiunilor financiare ce apar în Economia financiară. Matematicile financiare urmăresc să impună logica şirigoarea raţionamentului matematic în introducerea, prezentarea şi studiul modelelor economico-matematiceale operaţiunilor financiare, prin care se plasează anumite sume de bani în anumite condiţii şi se urmăreşteşi analizează rentabilitatea unor astfel de plasamente. Matematicile financiare sunt înrudite cu Ingineriafinanciară (en., Financial engineering or Computational finance), cu care de multe ori chiar se confundă.Totuşi, Matematicile financiare se preocupă cu derivarea modelelor matematice aplicabile Finanţe, pe cândIngineria financiară se preocupă mai ales de aplicaţii. Operaţiunile financiare pe care Matematicile financiareşi le propune să le studieze intereseaza atât instituţiile financiare (bănci, burse, case de pensii şi economii,societăţi de asigurări, societăţi de acţiuni), cât şi pe particulari, care se preocupă de investiţii. Mai toatălumea urmăreşte să-şi plaseze banii cât mai convenabil sau să facă anumite împrumuturi pentru investiţiiindustriale, agricole, pentru a cumpăra o maşină, o locuinţă etc. Cu ajutorul teoriei Matematicilor financiareputem estima preţul unui titlu de valoare sau putem determina preţul valorilor derivate, e.g. contracte futu-res, opţiuni, sau putem găsi un portofoliu optimal în concordanţă cu nevoile fiecarui investitor. Matematicafinanciară este matematica investiţiilor şi a riscului. Se preocupă de decizii ce trebuiesc luate azi, având învedere câteva informaţii incerte despre viitor.Exemple de întrebări la care această disciplină îşi propune să raspundă sunt:• Cum definim riscul financiar? Fără a intra în detalii, prin risc financiar înţelegem orice evenimentsau acţiune care poate avea un efect negativ în îndeplinirea obligaţiilor şi atingerea obiectivelor uneianumite organizaţii.• Există metode de a acoperi riscul financiar? Sigur că există! În acest curs vom discuta unele metodede acoperire a riscului financiar rezultat în urma tranzacţionării contractelor cu opţiuni. Aceste metodesunt numite metode de hedging.• Cum am putea evalua valoarea unor acţiuni sau chiar a unei intreprinderi?• Care este valoarea actuală a unei opţiuni de a comercializa un titlu de valoare? În aceste note vomdiscuta metode de evaluare a valorii actuale a unor contracte cu opţiuni.• Cum ar trebui gestionat portofoliul de opţiuni în vederea reducerii riscului în afaceri? Ultimul capitolal acestui curs se preocupă de metode de optimizare a portofoliilor.• etc.Punctul zero al Matematicilor financiare se consideră a fi anul 1900, atunci când matematicianul francez LouisBachelier şi-a prezentat teza de doctorat intitulată Théorie de la spéculation, în care a utilizat metode dinAnaliza stochastică, mai precizs mişcarea Browniană, în evaluarea preţului unor contracte financiare. Dezvol-tarea Matematicilor financiare a căpătat amploare în secolul XX, odată cu apariţia teoriei probabilităţilor,de care este strâns legată.1

Page 3: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF1 [Dr. Iulian Stoleriu]O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en., quantitative analist sau,pe scurt, quant). Preocupările unui quant vor fi legate de modelarea şi analiza unor fenomene economico-financiare, dar şi de investiţii, schimburi financiare. Un consultant finaciar ce are cunoştinţe solide dematematică şi programare se numeşte în limbajul colocvial rocket scientist. De la o astfel de persoană seaşteaptă inventarea de noi derivate financiare complicate sau construirea de modele matematice sofisticate.În mod curent, un rocket scientist nu construieşte rachete pentru a se întreţine.Ce ai putea face cu banii?

Aşadar ai mulţi bani şi totuşi eşti nefericit; nu ştii ce să faci cu ei. Eşti în căutare de un sfat?* Un om "strângător" şi-ar lua un "ciorap încăpător" şi "depozita" averea acolo, ceea ce nu sfătuiesc penimeni. Dacă "depozitul" s-ar face pe o perioadă mare, atunci ai avea numai de pierdut.* Sau, ai putea să-i pui foarte bine într-un cont de economii cu dobânda mare. Este o investiţie sigură,însă nu ai acces la bani pe o perioadă destul de mare şi nu poţi face decât să-i priveşti cum seînmulţesc. Nu prea mult totuşi, dacă ai lua în calcul şi alte opţiuni. Nu uita că banii care tocmaii-ai depus în contul bancar sunt folosiţi de alte persoane, sub forma de împrumut din bancă, ce iifolosesc să-şi cumpere o casă, maşină, teren, sau să-i investească în studii etc., sau de administraţialocală pentru a repara şoselele. Ce face banca de fapt? Împrumută de la tine şi apoi dă sub formăde împrumut altora. Ea constituie astfel o piaţă financiară (piaţă monetară, după cum vom vedea maitârziu), un loc de întâlnire între oferta de capital şi cerere.* Banii pot fi foarte profitabil folosiţi în investiţii. Poţi să investeşti banii în proprietăţi ale căror valorisunt crescătoare în timp, sau într-o instituţie oferindu-te să le imprumuţi bani (asta se poate face princumpărarea de obligaţiuni, engl. bonds), sau cumpărând o parte din companie (sub formă de acţiuni,engl. shares).

Obligaţiunile (bonds) sunt titluri de creanţă reprezentative unor datorii. Sunt instrumente financiarepurtătoare de dobândă, emise de guvern, de corporaţii sau de alte organisme, şi vândute investitorilorîn scopul acumulării de capital. Acestea se angajează să facă plăţi periodice (sub formă de cupoane)către deţinătorii obligaţiunilor şi să le răscumpere la maturitate. Putem avea obligaţiuni emise de stat,obligaţiuni municipale, obligaţiuni ale unor corporaţii sau euro-obligaţiuni. Un astfel de document vaoferi deţinătorului dreptul de a primi o sumă de bani predeterminată, la un moment viitor predeterminat(maturitate). Suma de bani obţinută în viitor se numeşte valoare nominală. Diferenţa dintre valoareanominală şi suma plătită iniţial de creditor se numeşte dobândă. Părţile implicate într-un contract detip obligaţiune sunt: debitorul, este partea ce promite plata valorii nominale şi creditorul, cel careurmează să fie plătit. În general, obligaţiunile sunt considerate a fi contracte financiare lipsite derisc, în sensul că printr-un astfel de contract se garantează o sumă de bani la maturitate, sumă careeste cunoscută a priori de către ambele părţi contractante. Banii (en., cash) pot fi interpretaţi ca fiindun bond, cu rata dobânzii zero şi maturitatea momentul zero (imediat). Cel care deţine banii va ficreditorul iar debitorul este reprezentat de instituţiile guvernamentale, care garanteaza acceptarea lorca mod de plată.Acţiunile sunt titluri financiare obişnuite (comune) ce reprezintă drepturi de proprietate ale deţinăto-rului asupra unei (unor) părţi dintr-o companie, drept obţinut în schimbul investirii de capital.Un instrument financiar este un document ce dovedeşte proprietatea asupra unui activ financiar; depildă un certificat de depozit, o acţiune, o obligaţiune guvernamentală etc. Activul financiar esteo valoare emisă de stat sau de către o unitate administrativ-teritorială ce conferă drepturi băneşti

2

Page 4: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF1 [Dr. Iulian Stoleriu]deţinătorului acestuia, precum şi drepturi asupra veniturilor viitoare rezultate din valorificarea unorfonduri. Activele financiare includ: certificate de trezorerie, valori mobiliare, efecte de comerţ emise decătre o societate comercială, indici bursieri, rata dobânzii, instrumente sintetice care au la bază ratadobânzii, instrumente având la bază moneda naţională, contracte futures, contracte cu opţiuni.

* Dacă te pricepi, poţi investi într-o mică (sau mare) afacere (business). Afacerile sunt de diverse formeşi dimensiuni. Dacă eşti singur în afacere, atunci toate veniturile iţi revin, dar eşti expus la riscuri sauiţi va veni greu să faci rost de îndeajuns capital.Îţi vine idea să te uneşti cu alte afaceri şi forma un parteneriat. Însă acum nu eşti singurul beneficiarde câştiguri şi s-ar putea ca profiturile să nu fie foarte mari. Şi vrei mai mulţi bani, aşa încât cauţi,împreună cu partenerii, să dezvoltaţi afacerea. Ce se poate face? O variantă e să folosiţi profitul dreptcapital. Sau puteţi face un împrumut din bancă. Acum că sunteţi mai mulţi, aveţi mai multe şanse dea fi credibili şi puteţi obţine un împrumut bunicel.* Cum? Tot nu-ţi ajung banii? Ei, atunci poţi încerca un alt tip de împrumut, prin emiterea de obligaţiuni.În felul ăsta poţi acumula capital bun (în caz că afacerea e credibilă), dar la maturitatea contractului(cel puţin după 6 luni) va trebui să plăteşti investitorilor partea de capital cu care a contribuit, pluso dobândă sau alte premii. Cine poate emite obligaţiuni: societăţile pe acţiuni cu minimum doi anivechime şi ale căror bilanţuri au fost aprobate în mod regulat de acţionari, sau diverse grupuri desocietăţi de acest tip.* O altă variantă este să-ţi vinzi o parte din afacere sub formă de acţiuni (termenul englezesc consacrateste go public). Compania ta va trebui să angajeze un bancher de investiţii (broker) care să acţionezeca intermediar între companie şi investitori. Totodată, el va trebui să determine preţul acţiunilor prinevaluarea companiei. Aici va trebui sa apeleze la Matematicile financiare. Când titlurile de valoare aleunei companii sunt vândute pentru prima oară, aceasta se va face pe piaţa primară. Ulterior, e posibilca deţinătorii de acţiuni să dorească să "scape" de ele şi le vor tranzacţiona pe piaţa secundară (bursă).Prin vânzarea de acţiuni, o afacere privată devine una publică, deţinută de un număr mare de persoane.

Cum atragi investiţiile?

Toate investiţiile au loc pe piaţa financiară. Piaţa financiară poate fi definită ca fiind locul de întâlnire alofertei de capitaluri cu cererea de capitaluri, iar preţurile de schimb sunt stabilite într-un mod eficient (sespune că aceste preţuri verifică aşa-numita ipoteză de piaţă eficientă). Este locul (fizic sau intr-un mediuvirtual) unde firme şi persoane specializate se întâlnesc şi cumpără sau vând produse specifice, e.g. diversebunuri materiale (stock), acţiuni (shares), obligaţiuni (bonds), opţiuni (options), contracte futures etc. Existăinstituţii specializate, numite intermediari financiari, care ajută şi simplifică foarte mult întâlnirea cererii şia ofertei de capitaluri sau fonduri băneşti atât în spaţiu (evitând deplasarea fizică a celor interesaţi, adeseacostisitoare) cât şi în timp (reducând la minimul posibil perioada necesară căutării contrapartidei interesate).Prin intermediul acestor instituţii, utilizatorul de fonduri, cât şi deţinătorul de fonduri (investitorul), carecaută un plasament pentru ele, pot intra în contact într-un timp foarte scurt şi cu costuri minime. Costurilesunt, în general, reprezentate de comisionul intermediarului şi, uneori, de cheltuielile legate de încheiereatranzacţiilor (se poate face o analogie cu piaţa de legume/fructe).De ce se apelează la pieţele financiare? Pentru că pieţele financiare creează un mediu propice pentru asigu-rarea sau majorarea capitalul necesar derulării unor activităţi. De exemplu, prin intermediul pieţei financiare,administraţiile locale pot face rost de anumite împrumuturi pe diverse perioade, ceea ce le-ar facilita bunadesfăşurare a anumitor activităţi.

3

Page 5: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF1 [Dr. Iulian Stoleriu]Funcţiile pieţei financiare

• facilitarea schimbului de active. Pieţele financiare permit transferul de fonduri de la un agent financiarla altul, în vederea investiţiilor sau pentru consum;• determinarea (negocierea) preţului activelor. Prin intermediul pieţei financiare sunt stabilite preţurileactivelor financiare.• strângerea de informaţii şi coordonare. Piaţa financiară acţionează ca şi colector de informaţii desprecotarea activelor financiare şi despre transferul de fonduri. În acest fel, piaţa financiară reduce costulde căutare de informaţii.• reducerea costurilor de căutare a partenerilor de afaceri.Componente ale pieţei financiare

În funcţie de perioada de timp pentru care aceste capitaluri sunt mobilizate, pieţele financiare sunt formatedin două componente:• pieţe monetare (money market, cu maturitate pe termen scurt, sub 1 an);• pieţe de capital (capital market, cu maturitate pe termen lung, de regulă de peste 1 an).Piaţa monetară este locul de întâlnire al ofertei de capitaluri disponibile pe termen scurt şi foarte scurt(sub un an) cu cererea pentru astfel de capitaluri. Această piaţă foarte dinamică asigură finanţarea petermen scurt a nevoilor temporare care apar la societăţile care derulează activităţi în interes public şi aladministraţiile centrale şi locale. La piaţa monetară fac apel băncile (pentru a-şi acoperi deficitul bugetar),persoanele fizice (care apelează, în general, la bănci pentru anumite împrumuturi). Principalii intermediari şi,totodată, utilizatori şi ofertanţi de resurse care acţionează pe această piaţă sunt băncile comerciale. Acesteaconcentrează în bună măsură capitalurile, în special sub forma depozitelor bancare şi pe care le oferă spreutilizare celor care caută astfel de resurse. Nivelul de dezvoltare al oricărei pieţe monetare depinde denivelul de dezvoltare economică al ţării pe care este grefată.Piaţa de capital este acea componentă a pieţei financiare care asigură întâlnirea ofertei de capitaluri cucererea pentru capitaluri pe termen mediu şi lung (1 − 10 ani). Mobilizarea capitalurilor pe această piaţăse face folosind titluri de valoare (engl. securities) (valori mobiliare) specifice: acţiuni, obligaţiuni, titluri derentă, obligaţiuni de stat pe termen mediu şi lung. Piaţa de capital asigură pentru investitori individuali şiinstituţionali posibilităţi variate de plasare a capitalurilor disponibile, în funcţie de interesele urmărite. Caurmare, ea asigură finanţările pe termen mediu şi (sau) lung necesare agenţilor economici, administraţiilorcentrale şi locale pentru o bună derulare a activităţilor lor.În cadrul pieţelor de capital se pot face speculaţii privind modificarea ulterioară a preţurilor activelor tranzac-ţionate, în vederea obţinerii de profit. În funcţie de momentul în care tranzacţiile pe aceste pieţe suntefectuate, putem vorbi despre:• piaţa primară;• piaţa secundară.Piaţa primară este piaţa pe care se tanzacţionează instrumentele financiare imediat după emiterea lor,încasarile rezultate din acest proces revenind direct emitentului. Este piaţa de pe care societăţile comercialeîşi formează capitalul social sau îşi majorează capitalul social pe termen mediu sau lung. Tot de pe aceastăpiaţă, administraţiile centrale şi cele locale obţin prin împrumuturi banii necesari pentru acoperirea nevoilor

4

Page 6: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF1 [Dr. Iulian Stoleriu]lor temporare. Intermediarii specializaţi care operează pe piaţa primară pot fi: societăţile de valori mobiliare,băncile comerciale autorizate.Piaţa secundară (sau piaţa bursieră, după unii specialişti, care le identifică). Este o piaţă utilizată pentrupentru tranzacţionarea instrumentelor financiare "la mâna a doua". La emiterea lor, instrumente de tipulacţiunilor, obligaţiunilor şi al certificatelor de depozit sunt vândute pe piaţa primară. În mare parte, atracţiape care acestea o exercită asupra investitorilor rezidă în lichiditatea asigurată de pieţele secundare, pe careinstrumentele financiare cumpărate pot fi vândute apoi din nou. Odată ce valorile mobiliare au fost emise şise află în posesia investitorilor, aceştia s-ar putea să nu dorească să le mai deţină pentru toată durata lor deviaţă (care este uneori foarte lungă în cazul unor obligaţiuni sau nedefinită pentru acţiunile obişnuite), dindiverse motive. Ca urmare, după un timp mai lung sau mai scurt de la achiziţionare, investitorii s-ar puteasă dorească să transforme în bani valorile mobiliare pe care le deţin sau să dorească să le schimbe cu altevalori mobiliare. Pentru ca acest lucru să se poată realiza la cel mai bun preţ atât pentru deţinătorul valoriimobiliare cât şi pentru viitorul cumpărător a fost necesară organizarea unei pieţe specializate în acest tipde comerţ. Ca urmare, pieţele organizate în scopul asigurării revânzării valorilor mobiliare ce au fost dejapuse în circulaţie prin intermediul pieţei primare, s-au numit pieţe secundare. O piaţă secundară asigurăconcentrarea cererii şi ofertei de valori mobiliare deja emise. Cu timpul, pieţele secundare s-au transformatîntr-un barometru al interesului publicului investitor pentru valorile mobiliare (în special acţiunile) emise deo companie, un grup de companii, un sector industrial sau pentru alte titluri de valoare. Spre deosebire depiaţa primară, care canalizează capitalurile spre emitenţii de valori mobiliare, piaţa secundară intermediazădoar un schimb de bani, respectiv de valori mobiliare, între cei care doresc să deţină, respectiv să vândă,valorile mobiliare. Tipuri de pieţe secundare:• burse de valori (engl. stock exchanges), sunt burse unde se negociază titluri;• pieţe inter-dealeri (Over-The-Counter ). Acestea sunt pieţe deschise (cunoscute şi sub numele de"pieţe la ghişeu"), pe care se tranzacţionează titlurile de valoare necotate la bursa oficială. PieţeleOTC permit companiilor mici - care nu-şi pot permite cheltuielile impuse de listarea la o bursă majoră- să obţină un preţ de piaţă pentru acţiunile emise. De asemenea, constituie o modalitate prin carefondatorii unei companii işi pot compensa o parte din investiţia efectuată. Tranzacţiile OTC au loc, îngeneral, prin reţeaua de Internet sau prin telefon.Tipuri de pieţe financiare, depinzând de ceea ce vrei să cumperi sau vinde:• piaţa titlurilor de valoare (stock market pentru acţiuni şi bond market pentru obligaţiuni);• piaţa derivatelor financiare (derivatives market), unde sunt tranzacţionate contracte futures, opţiuni,swaps;• piaţa de mărfuri (commodity market) - metale preţioase, cărbuni, produse alimentare (suc, ulei etc);• piaţa cu venit garantat fix (fixed-income market), unde sunt tranzacţionate obligaţiuni.• piaţa asigurărilor (insurance market)• piaţa schimburilor valutare (foreign exchange market sau FOREX)

Piaţa titlurilor de valoare a apărut din mici întâlniri între persoane ce doreau să vândă sau să cumperestocurile lor. Un potenţial cumpărător merge la broker şi plasează o cerere de cumpărare pentru o valoaremobiliară. Brokerul va căuta pe piaţa de schimb pe cineva care doreşte să vândă respectivul activ, iartranzacţia are loc dacă cei doi se inţeleg la preţ. După ce un investitor a cumpărat activul, primeşte uncertificat de proprietate, pe care-l poate revinde/păstra, sau chiar lăsa brokerului pentru a-l ţine în numelesău. Pieţe de stocuri: New York (NYSE), Chicago, Boston, London, Tokio. În Romania: Bucureşti (BucharestStock Exchange), Sibiu (Bursa Monetar financiară şi de mărfuri), Iaşi (Bursa Moldovei Iaşi).5

Page 7: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF1 [Dr. Iulian Stoleriu]Piaţa derivatelor financiare (sau a titlurilor de valoare derivate, engl. financial derivatives). Această piaţăeste o componentă aparte a pieţei financiare. Piaţa derivatelor financiare este relativ nou sosită în scenăşi dezvoltarea ei s-a realizat mai ales pe parcursul ultimilor 40 ani, deşi tranzacţii cu derivate (contractela termen - futures sau forward - încheiate mai ales asupra mărfurilor) s-au înregistrat în mod constantîncepând cel puţin cu sfârşitul secolului al XVIII-lea. Această piaţă conferă posibilitatea unui investitor dea-şi acoperi riscul în afaceri (hedging) sau pentru speculaţii financiare. Cumpărătorul poate obţine protecţieasupra unei creşteri viitoare de preţuri, iar vânzătorul se poate proteja în vederea unei posibile scăderi alepreţurilor.Derivatele financiare pot fi definite ca fiind valori mobiliare (sau titluri de valoare) ale căror preţ este de-pendent de preţul activului de bază (numit şi activ suport). Exemple de active suport: o acţiune (asset), oobligaţiune (bond ), un indice bursier (de regulă pentru acţiuni), o valută, un contract futures, vremea. Maitrebuie să precizăm că derivatele financiare, şi aici ne referim exclusiv la contractele futures şi la contractelecu opţiuni, permit încheierea de tranzacţii la termen asupra activului suport. Cu alte cuvinte, la achiziţionareasau vânzarea contractului futures sau a celui de tip opţiune se stabileşte atât preţul cu care activul suportva fi cumpărat sau vândut, cantitatea de activ suport ce urmează a fi cumpărată sau vândută, cât şi datăla care tranzacţia urmează să se încheie efectiv, adică dată la care activul suport va fi livrat şi banii vor fiplătiţi (cu alte cuvinte tranzacţia va fi lichidată). Derivatele financiare sunt oferite pe pieţe organizate detipul burselor sau a pieţelor OTC, şi ca urmare ele sunt standardizate din punctul de vedere al cantităţiitranzacţionate şi al scadenţei.Exemplu de instrument financiar derivat

Vreţi să cumpăraţi o maşină nouă cât mai curând, căci aţi auzit zvonuri cum că preţurile ar creşte în curând.În salonul de prezentare al furnizorului, vă decideţi asupra specificaţiei exacte a autoturismului (culoare,motor, mărime etc) şi, ceea ce este mai important, stabiliţi preţul. Nu aveţi totuşi banii necesari cumpărăriimaşinii, dar vă gândiţi că aţi putea împrumuta de la bancă, însă acest proces ia ceva timp. Furnizorul văspune că, dacă daţi comanda astăzi şi constituiţi un depozit, puteţi prelua maşina în trei luni. Nici dacă înacest interval de trei luni, furnizorul acordă un discount de 10 procente pentru toate maşinile noi, nici dacăpreţul modelului creşte, aceasta nu contează pentru dvs. Preţul pe care îl plătiţi la livrare a fost convenitşi fixat între dvs. şi furnizor. Tocmai aţi intrat într-un contract la termen (forward ), deci aveţi dreptul şiobligaţia de a cumpăra automobilul în trei luni de zile la preţul convenit.Piaţa asigurărilor facilitează redistribuirea riscului financiar. Exemple de astfel de pieţe: asigurări delocuinţe, asigurări auto, asigurări de credite, de sănatate, de viaţă sau de şomaj etc.Piaţa schimburilor valutare este una descentralizată şi disponibilă în toată lumea, ce se preocupă de co-mercializarea valutelor. Această piaţă determină valorile relative ale diverselor valute. Dintre participanţimenţionăm: băncile, companiile private, firme de investiţii, companiile de transfer de monedă (e.g., WesternUnion), şi alţii.Dacă preţurile scad, aţi pierdut o parte din bani, dar dacă vor creşte, atunci sunteţi în câştig. Pentru a fi înprofit ar trebui să nimeriţi atât preţul corect, cât şi momentul scadenţei.Pieţe bull şi bear : sunt termeni ce descriu anumite tendinţe de piaţă. O piaţă bull e o perioadă în carepreţurile de stoc în general cresc, iar într-o piaţă bear preţurile scad. Fiecare dintre aceste tendinţe suntalimentate de percepţia investitorilor asupra direcţiei pieţei sau a economiei. Dacă investitorii se simt a fiîntr-o piaţă bull, atunci simt nevoia de a investi, pentru ca apoi să vândă activele la preţuri mari. "Taurii"cumpără azi acţiuni, sperând să le poata vinde ulterior la un preţ mai mare. Cei care pierd în urma unorastfel de previziuni sunt numiţi "tauri răsuflaţi".

6

Page 8: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF1 [Dr. Iulian Stoleriu]"Ursul" vinde diverse valori mobiliare, sperând să le poată cumpăra ulterior la un preţ mai mic. Piaţa subsemnul "ursului" e o piaţă în scădere de preţuri. Aceste tendinţe ale pieţei se pot însă schimba rapid.

Instituţiile pieţei financiare

Instituţiile care participă la crearea şi schimbul de active financiare sunt: brokerii (agenţii de schimb),dealerii, bancherii de investiţii, intermediarii financiari.Brokerul (agent de schimb) este o persoană fizică sau o firmă care tranzacţionează instrumente financiareîn numele altora. Brokerul este un agent care lucrează pentru investitori şi pentru instituţiile financiare,serviciile fiindu-i răsplătite sub forma unui comision stabilit în funcţie de valoarea tranzacţiilor efectuate.Această modalitate de plată creează condiţii pentru apariţia aşa-numitei practici de churn (practica de atranzacţiona excesiv acţiunile unui client <termenul se poate traduce prin "a bate untul">, astfel încâtbrokerul să obţină un venit mai mare din comision). În multe ţări această practică este ilegală.Dealerul, ca şi brokerul, facilitează tranzacţiile de active între vânzatori şi cumpărători, însă aceştia se potimplica ei înşişi în tranzacţie, adică pot să-şi facă un stoc de active pe care le pot tranzacţiona. Spredeosebire de broker, acesta nu ia comisioane din vânzări. Aceştia fac profit din cumpărarea de active ieftineşi vânzarea lor mai scump (e.g. car dealers). Dealerii sunt supuşi la un risc mai mare decât brokerii, datoratfluctuaţiilor de preţ.Factori care influenţează piaţa financiară

− acţiunile investitorilor (instituţii, persoane fizice) pot afecta preţurile activelor. De exemplu, dacă maimulte persoane vor să cumpere acelaşi produs, atunci preţul produsului poate creşte, exact ca atunci cândar licita;− condiţiile de afaceri (volumul de vânzări, perioada din an, cantitatea de profituri);− acţiunile guvernamentale (dobânzi, taxe, politica);− indicii economici. Investitorii urmăresc îndeaproape indicii economici pentru a prezice viitorul unor active.(e.g. GNP − gross national product, rata inflaţiei, cât de repede se schimbă preţurile, deficitul bugetar (câtde mult cheltuie guvernul), rata şomajului etc);− evenimentele interne şi internaţionale (războaie, dezastre naturale, schimbări pe plan valutar etc).Pieţe financiare majore în lume

USA: New York Stock Exchange (NYSE) (tranzacţionează stocuri, obligaţiuni, futures, opţiuni), AMEX (Ame-rican Stock Exchange), CBOT (Chicago Board Of Trade) (futures), IMM (International Monetary Market)(futures în monedă străină), CBOE (Chicago Board Options Exchange) (opţiuni), NASDAQ (National Associ-ations of Securities Dealers Automated Quotations) (OTC stocuri şi obligaţiuni).UK: LSE (London Stock Exchange) Canada: Toronto Stock ExchangeFranţa: Paris Boursealtele: Japan, Germany, Australia, Singapore, Hong Kong etc.

7

Page 9: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF1 [Dr. Iulian Stoleriu]

Principalele preocupări ale matematicilor financiare (relativ la investiţii băneşti)• cotarea derivatelor financiare;• strategii de hedging pentru derivative;• managementul riscului pentru portofolii;• optimizarea portofoliilor;Dobânda

Dobânda are rădăcinile în Evul Mediu, când termenul de dobândă a înlocuit pe cel de camătă (o dobândăexorbitantă). Ea este justificată prin existenţa unui risc privind rambursarea împrumuturilor sau cu privire laîncheierea operaţiunilor financiare.Dobânda este astfel o remuneraţie pentru un împrumut bănesc, este plata de care beneficiază creditorulpentru o sumă de bani împrumutată. Dacă o persoană A împrumută o sumă de bani unei persoane B, atunciA va fi privat de a folosi suma respectivă pe perioada împrumutului (în investiţii, pentru consum propriu),ceea ce atrage în mod firesc o remuneraţie pentru acest serviciu.Există multe polemici în ceea ce priveşte formarea, rolul şi determinarea dobânzilor unitare (procentul întâlnitîn calculul financiar), ceea ce denotă faptul că stabilirea dobânzilor nu e un lucru tocmai uşor.Factorii care influenţează dobânda sunt: factori politici, riscul, inflaţia etc.

Dobânda simplă

Este dobânda care se calculează asupra aceleaşi sume, S0, pe toată perioada împrumutului. Vom spune căS0 a fost plasată în regim de dobândă simplă. În practică, se stabileşte mai întâi dobânda care urmează săse plătească pentru suma de 100 de lei (unităţi monetare) plasată pe timp de 1 an, care poartă numele deprocent, şi pe care îl vom nota în cele ce urmeaza cu p.Dobânda calculată la unitatea monetară (i.e. pentru 1 leu) se numeşte dobândă unitară şi este r = p100 .Să notăm cu: S0 − suma depusă (sau împrumutată), care mai este numită şi principal;

St − suma cumulată la momentul t > 0;t − timpul în ani;p − procentul (dobânda pentru 100 de lei);r − dobânda unitară (sau rata, dobânda pentru 1 leu);Dt − dobânda simplă.

Atunci, dobânda pentru 1 leu pe o perioada de t ani este rt = pt100 . Dacă în loc de 1 leu considerăm sumaS0, atunci Dt este

Dt = S0rt = S0 p100 t (formula dobânzii simple).În cazul în care dobânda rămâne aceeaşi până la momentul t > 0, suma finală la momentul t va fi:

St = S0(1 + rt).Fie m un număr de diviziuni (părţi) egale ale anului (m = 1 înseamnă 1 an, m = 2 înseamnă două semestre,m = 4 înseamnă 4 trimestre etc).

8

Page 10: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF1 [Dr. Iulian Stoleriu]Atunci dobânda pentru suma S0 pentru un plasament de tm (din m) diviziuni ale anului va fi:

Dt = S0r tmm = S0 p100 tmm .Într-un caz particular, se poate obţine dobânda pentru un anumit număr de zile (e.g., dobânda pentru S0,plasat simplu cu rata anuală r , pentru 120 de zile, în cazul în care anul are 366 de zile este dată deDt = 2061S0r).Dacă dobânda pentru suma S0, plasată pe o perioadă t , nu se face cu acelaşi procent pe toată perioada(adică apar diverse procente de-a lungul perioadei t), să zicem rk = pk100 (k = 1, n), atunci dobânda Dt vafi (presupunem că t = n∑

k=1 tk ):Dt = n∑

k=1 Dtk = S0 n∑k=1 rk tk = S0 n∑

k=1 pktk100 .

Suma finală la momentul t > 0 va fi:St = S0

(1 + n∑k=1 rk tk

).

Definiţia 1.1. Vom spune că două operaţiuni sunt echivalente în regim de dobândă simplă în raport cudobânda dacă generează aceeaşi dobândă.(Vom mai spune, de asemenea, că M şi N sunt substituibile.)

Dobânda compusă

Spunem că plasarea sumei S0 s-a efectuat în regim de dobândă compusă dacă S0 se modifică periodic pedurata de timp, între două modificări consecutive i se aplică o dobândă simplă, iar în perioada următoaremodalitatea de calcul a dobânzii tine cont şi de dobânzile anterioare (i.e. dobânda acumulată în fiecareperioadă se adună la principal).Presupunem că momentul final t = n∑k=1 tk , iar în perioada de lungime tk se aplică dobânda unitară rk

(k = 1, n). La sfârşitul perioadei tk avem:Stk = Stk−1 + Dtk ,unde Dtk = Stk−1rk tk , k = 1, n şi St0 = S0, Dt0 = 0.

Aici Dtk este dobânda simplă corespunzătoare plasării în regim de dobândă simplă a sumei Stk−1 pe tk .Propoziţia 1.2. În aceste condiţii avem:

St = S0 n∏k=1(1 + rk tk ).

9

Page 11: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF1 [Dr. Iulian Stoleriu]Demonstraţie. (se arată prin inducţie matematică completă după k )

(k = 1) St1 = S0 + Dt1 = S0(1 + r1t1);(k = 2) St2 = St1 + Dt2 = St1 + St1r2t2 = St1 (1 + r2t2) = S0(1 + r1t1)(1 + r2t2);etc. . . . . . . . . .

Observaţia 1.3. Dobânda compusă este astfel Dt = S0[ n∏k=1(1 + rk tk )− 1] .

Cazuri particulare

(i) tk = 1 (un an) şi rk = r, (∀) k , atunci suma acumulată după n ani va fiSt = S0(1 + r)n.

(ii) t = n+ tmm (n ani şi o fracţiune dintr-un an, i.e., tk = 1, (∀) k = 1, n şi tk+1 = tm

m ), atunciSt = S0

( n∏k=1(1 + rk ))(1 + rk+1 tmm

).

(iii) Dacă, în plus faţă de (ii), rk = r, (∀) k , atunciSt = S0(1 + r)n(1 + r tmm

).

În cazul în care St este dat de (iii), atunci, ţinând cont că în general r 1, putem aproxima(1 + r tmm

)' (1 + r) tmm ,

deciSt = S0(1 + r)n+ tm

m = S0(1 + r)t .Aşadar, suma finală rezultată în urma unui plasament al sumei S0 în regim de dobândă compusă anual, curata unitară anuală r este, pe o perioadă de t ani, poate fi calculată folosind următoarea formulă (numită şiformula practică de calcul în cazul dobânzii compuse):

St = S0(1 + r)t .În general,Propoziţia 1.4. Suma finală după t ani, rezultată în urma unui plasament al sumei S0 în regim de dobândăcompusă de n ori pe an, cu rata unitară r pentru o singură perioadă de compunere, este

St = S0 (1 + rn

)nt.

10

Page 12: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF1 [Dr. Iulian Stoleriu]Exerciţiu 1.1. Care este suma cumulată după 18 luni de pe urma unui plasament în regim de dobândăcompusă trimestrial al sumei de 10000 cu rata anuală unitară de 4%?

S3/2 = 10000(1 + 0.044)6 = 10615.

Observaţia 1.5. (a) De regulă, dacă t nu e număr întreg, atunci utilizăm formula St = S0(1 + r)t pentrucalculul valorii finale în regim de dobândă compusă.(b) Deoarece (1 + r tmm

)> (1 + r) tmm , (0 6 tm 6 m),

s-ar putea spune că soluţia raţională, care este St = S0(1 + r)n(1 + r tmm

), convine celui care încaseazădobânda, în timp ce soluţia practică convine celui care plăteşte dobânda.(c) Egalitatea între formula raţională şi cea practică are loc dacă t ∈ Z.(d) Diferenţa dintre folosirea dobânzii simple şi cele compuse pe perioade fracţionare (t ∈ Z) este mică(i.e., (1 + r)t ' 1 + rt).Dobânda compusă continuu

Plecăm de la formula sumei finale pentru dobânda compusă,St = S0 n∏

k=1(1 + rk tk )şi presupunem că rk = r, tk = t

n , (∀) k , atunciSt = S0

(1 + r tn

)n.

Dacă dobânda se calculează foarte des în perioada de t ani (aproape în fiecare moment), atunci, trecând lalimită în relaţia anterioară când n→∞, obţinemSt = S0ert .

Procent nominal, procent efectiv, dobânda instantanee

Presupunem că avem următoarele două operaţiuni bancare:(O1) Plasamentul sumei S0 pe 1 an cu dobânda unitară r . La sfârşitul perioadei vom avea suma:S1 = S0(1 + r).

(O2) Presupunem că anul este fracţionat în m părţi egale şi r(m) este o dobândă unitară corespunzătoarefracţionării. Valoarea finală în regim de dobândă compusă va fiS1 = S0 (1 + r(m)

m

)m.

11

Page 13: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF1 [Dr. Iulian Stoleriu]Definiţia 1.6. Spunem că operaţiunile (O1) şi (O2) sunt echivalente din punct de vedere al sumei finale dacă,

S0(1 + r) = S0 (1 + r(m)m

)m (m ∈ N∗).De aici rezultă că

r = (1 + r(m)m

)m− 1,sau

r(m) = m[(1 + r)1/m − 1] .

Numim r − rata anuală efectivă sau RAE (100r este procentul anual efectiv sau real) şi r(m) este ratanominală aferentă perioadei (100r este procentul nominal).Rata anuală efectivă denumeşte rata anuală care generează aceeaşi dobândă la sfârşitul anului ca şi o ratăanuală nominală.Se numeşte dobândă unitară instantanee numărul

r∞ = limm→∞

r(m) (< r).Exerciţiu 1.2. Banca A oferă un credit cu o dobândă de 6% compusă semestrial, iar banca B oferă un creditcu o dobândă de 5.8%, compusă zilnic. Care dintre cele două oferte este mai profitabilă?Retele anuale efective sunt:

rA = (1 + 0.062)2− 1 = 0.0609 > 0.0597 = rB = (1 + 0.058365

)365− 1.

Aşadar, creditul oferit de banca B este mai avantajos (aveţi de plătit o dobândă mai mică).Exerciţiu 1.3. Presupunem că aţi câştigat la loterie un premiu aparte, prin care primiţi anual suma de1200 RON, în aceeaşi zi a anului, pentru tot restul vieţii. În plus, această sumă va fi plătită la infinit, copiilor,nepoţilor, stră-nepoţilor ş.a.m.d. Totuţi, vă gândiţi că ar fi mai potrivit să profitaţi de acest câştig acum şicereţi să vi se plătească valoarea prezentă a tuturor câştigurilor pe care urmează să le primiţi. Ştiind cărata anuală unitară a dobânzii este de 10%, care rămâne fixă, calculaţi ce sumă vă revine acum.- Valoarea prezentă este egală cu:

PV = 1200 + 12001 + r + 1200(1 + r)2 + . . .+ 1200(1 + r)n + . . . = 1200 ∞∑k=0

1(1 + r)k = 1200(1 + 1r

)Pentru r = 0.1, obţinem că PV = 13200.Cu alte cuvinte, dacă acum investim suma de 13200 RON într-un cont bancar ce oferă o dobândă cu rataanuală efectivă de 0.1, atunci vom putea primi din acel cont câte 1200 RON în fiecare an (până la infinit),fără ca acest cont să devină falimentar. √

Plasament în condiţii inflaţioniste

Inflaţia este o noţiune legată de masa banilor aflaţi în circulaţie şi oglindită de faptul că atunci când încirculaţie se află o masă de bani excesivă în raport cu nevoile circulaţiei băneşti va avea loc o depreciere amonedei în raport cu aurul, precum şi cu alte bunuri sau servicii. Inflaţia poate apărea atunci când salariilesunt mărite, fără ca productivitatea să crească în aceeaşi măsură cu salariile. Inflaţia este variabilă în timp12

Page 14: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF1 [Dr. Iulian Stoleriu]şi rata inflaţiei poate depinde de mulţi factori, e.g., factori politici, economici, internaţionali etc.Inflaţia poate fi: controlată (între anumite limite), galopantă sau necontrolată.După un plasament pe 1 an, în regim de inflaţie cu rata a, o unitate monetară devine

S1 =1 + r, fără inflaţie1 + r1 + a, cu inflaţie.Valoarea 100a este procentul anual de inflaţie.

! Inflaţia nu e tot una cu devalorizarea. Ultima este determinarea valorii monedei naţionale faţă de etalonulîn care această este exprimată, în general, prin scăderea cursului de schimb pe piaţa valutară. Totuşi, atâtinflaţia, cât şi devalorizarea au aceleaşi consecinţe asupra nivelului de trai: sărăcire, saturaţie, nemuncă,lumea vrea să scape de bani etc.Dacă a este cunoscut şi poate fi controlat, atunci avem de a face cu o inflaţie controlată. În cazul unuiplasament a lui S0 cu r pentru t în regim DC , suma finală va fi:St =

S0(1 + r)t , fără inflaţieS0( 1 + r1 + a

)t, cu inflaţie.

Se observă cu usurintă că limt→∞

S(S0, r, a, t) = 0 dacă a > r.Dacă a r , atunci avem o inflaţie galopantă.

Figura 1.1: Dobânda simplă vs. dobânda compusă.Plasament cu DS sau DC

Presupunem că S0 este plasată cu rata anuală a dobânzii r pe durată t . Vom avea:Dt = S0rt , în regim de DS

S0[(1 + r)t − 1] , în regim de DC.13

Page 15: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF1 [Dr. Iulian Stoleriu]Din figura (1.1) observăm că:(a) dacă t < 1 an, atunci dobânda simplă este mai avantajoasă;(b) dacă t = 1 an, atunci DS (t) = DC (t);(c) dacă t > 1 an, atunci dobânda compusă este mai avantajoasă;Inflaţie şi risc catastrofic

Riscul catastrofic apare în caz de războaie, atentate, cataclisme naturale. Asemenea evenimente trebuieluate în considerare, deoarece se poate întâmpla că unele credite să nu poată fi rambursate niciodată. Dacăţinem cont de riscul catastrofal, atunci suma finală a unui plasament cu S0, r = rata anuală de dobândă,a = rata anuală de inflaţie, b = rata anuală de risc catastrofic, pe t ani este

St = S0( 1 + r(1 + a)(1 + b)

)t.

Observăm că dacă (1 + a)(1 + b) > 1 + r , atuncilimt→∞

St = 0.Probleme propuse

Exerciţiu 1.4. Pe 1 Martie 2012, Ionel a depus suma de 5000 RON într-un cont bancar ce oferă dobândăsimplă de 10% p.a.. Ce sumă s-a acumulat până pe 31 Decembrie 2012? Caţi ani va trebui să aştepte pânăi se va dubla suma? (Presupunem ca Ionel nu a mai efectuat alte tranzacţii bancare legate de acel cont).Exerciţiu 1.5. O bancă oferă un cont de depozit cu o rată nominală a dobânzii de 3.3% p.a., compusătrimestrial. Calculaţi rata anuală efectivă a dobânzii. În câţi ani o sumă depozitată în acest cont se vadubla?Exerciţiu 1.6. Banca A oferă împrumuturi cu o rată nominală a dobânzii de 5%, compusă semestrial, darutilizează dobândă simplă pentru perioade fracţionare în ani. Banca B oferă împrumuturi cu o rată nominalăa dobânzii de 5%, compusă anual. Dorim să investim suma de 2000 RON.(i) Calculaţi suma finală după 3 trei ani şi două luni pentru depozite în fiecare dintre cele două bănci.(ii) Calculaţi suma finală după 3 trei ani şi două luni şi 10 zile pentru depozit în fiecare dintre cele douăbănci.Exerciţiu 1.7. Cu ce rată nominală compusă lunar vom obţine aceeaşi sumă finală după 1 an echivalentă cucompunerea de 8% trimestrial?Exerciţiu 1.8. Calculaţi suma finală după 11 ani pentru un principal de 500 RON plasat în regim de dobândăcompusă cu rata de 6%, compusă semestrial pentru primii 5 ani, şi în regim de dobândă compusă cu rata de8%, compusă trimestrial pentru ultimii 6 ani.Exerciţiu 1.9. Suma acumulată după 17 ani într-un cont bancar, plecând de la un principal de 1000 RON, estede 5054.47 RON. Determinaţi rata dobânzii unitare anuale în cazul în care dobânda oferită este compusă(i) anual;(ii) semestrial.Exerciţiu 1.10. În ultima zi a fiecărui an dintre 2007 şi 2012 (inclusiv), Maria a depozitat într-un cont sumade 1000 RON. Ştiind că dobânda oferită de acest cont este de 5% pe an, compusă semestrial, şi că nu au maifost efectuate alte tranzacţii, să se determine suma pe care a găsit-o Maria în cont pe 1 Ianuarie 2013.

14

Page 16: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF1 [Dr. Iulian Stoleriu]Exerciţiu 1.11. O bancă oferă un cont de economii cu dobânda de 3% compusă lunar. Un client doreşte sădepoziteze în acest cont o sumă fixă, la începutul fiecărei luni, astfel încât după 3 ani să acumuleze suma de5000 RON. Determinaţi această sumă lunară.Exerciţiu 1.12. Pe 1 Ianuarie 2009, Andrei a deschis un cont bancar în care a depus 2000 RON. După exactun an, el a scos din cont 500 RON, iar pe 1 Iulie 2012 a depus în cont suma de 1500 RON. Ştiind că pentruacel cont banca oferă o dobândă de 7.5%, compusă semestrial, şi că nu au mai fost efectuate alte operaţiunibancare legate de acel cont, să se determine câţi bani a găsit Andrei în cont pe 1 Ianuarie 2014.Exerciţiu 1.13. Pentru un anumit cont bancar, o bancă oferă dobândă de 6.4%, compusă semestrial.(i) Ce sumă ar trebui depusă azi în acel cont, astfel încât suma fructificată după doi ani să fie de 1000 RON?Determinaţi RAE pentru acest cont.(ii) Aceeaşi întrebare în cazul în care dobânda se calculează continuu.

15

Page 17: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF2 [Dr. Iulian Stoleriu]2 Matematici financiare (C2)

Derivate financiare

Un instrument financiar reprezintă un document fizic sau electronic care are valoare monetară intrinsecă oriînregistrează o tranzacţie financiară. Exemple: numerar (cash), o cambie (cec), un certificat de depozit, oobligaţiune, o opţiune, o acţiune, carte de debit sau de credit etc.Activul financiar (asset) este orice activ deţinut (care e în posesie sau urmează a fi în posesie, prin drept) ceare o valoare de schimb. Exemple: o valoare mobiliară emisă de stat sau de către o unitate administrativ-teritorială, o acţiune, o obligaţiune, cash, un portofoliu de valori mobiliare, terenuri, imobile.Activele financiare pot fi riscante (e.g. acţiuni, valută), a căror preţ la un anumit timp în viitor este necunoscut(stochastic) astăzi, sau lipsite de risc (sau sigure) (e.g. aur, depozite în bancă, obligaţiuni), a căror preţ(valoare) în viitor este deterministă. Ansamblul activelor financiare care aparţin unei persoane se numeşteportofoliu. Un portofoliu diversificat conţine o gamă largă de instrumente financiare, ca acţiuni, depozitebancare, aur şi obligaţiuni guvernamentale.Un instrument financiar derivat este un instrument financiar (un contract financiar sau o înţelegere întredouă sau mai multe părţi) a cărui valoare viitoare (la scadenţă) este determinată de preţul (sau de preţurile)unui activ de referinţă sau activ suport (underlying asset).Exemple de active suport: valori mobiliare, acţiuni, rate de schimb, titluri de creanţe, comodităţi, rate aledobânzilor, indici bursieri, valute, vremea etc.Derivatele financiare au schimbat faţa finanţelor prin crearea a noi căi de înţelegere, măsurare şi gestionarea riscului. Specialiştii cred că piaţa derivatelor o subminează pe cea a activelor originale. Derivatele finan-ciare cele mai simple şi mai utilizate se mai numesc şi plain vanilla (valinie simplă), iar pe lângă acestease mai întâlnesc şi derivate exotice. La bursele de valori sunt inventate în fiecare zi noi tipuri de derivatefinanciare, care de fapt sunt bazate pe patru tipuri principale de derivate. Scopul acestor noi invenţii este,în special, de a oferi o mai bună gestiune a riscului în condiţii incerte.Derivatele financiare nu sunt găselniţe noi. Primele descrieri ale acestor instrumente financiare au apărutla Aristotel, care a redat povestea lui Thales, un filozof sărac din Milet. El povesteşte cum Thales a inventatun mecanism financiar care are la bază un principiu de aplicaţie universală. Oamenii îl mustrau pe Thalescă era sărac din cauza că era filozof, filosofia fiind văzută ca o ocupaţie fără folos şi care nu aducea nici unvenit. Însă Thales avea să le dovedească contrariul, arătând că înţelepciunea poate aduce bani. Povesteazice că Thales era foarte dibaci în a prezice cum va fi cultura de măsline de anul ce va urma. Încrezător înpreviziunile sale, a făcut înţelegeri cu cei ce deţineau prese pentru ulei de măsline de a le inchiria pentrutoamna următoare în ideea de a le putea utiliza, în mod exclusiv. Pentru că deţinătorii preselor nu ştiau cusiguranţă ce an va urma şi îşi doreau să câştige ceva în caz că nu va urma un an bun, au acceptat repedeafacerea propusă de Thales, chiar pentru un preţ mic. Povestea lui Aristotel se încheie exact aşa cum bănuiţi.Anul ce a urmat a fost unul excepţional de bun pentru cultura de măsline, iar cum numai Thales avea presede închiriat, le-a oferit pentru preţuri mari şi şi-a facut o avere din asta. Astfel, Thales a aratat lumii căfilosofii pot face şi bani dacă vor, dar ambiţia lor este totuşi de o cu totul altă natură. Thales din Milet şi-aexercitat primul contract cu opţiuni cunoscut. Dacă nu ar fi fost o cultură aşa cum prezicea, nu avea decâtsă nu onoreze contractele şi să minimizeze pierderile la suma de bani plătită pentru opţiuni. Opţiunile (saucontractele cu opţiuni) sunt doar un tip de derivate financiare.Un alt exemplu de instrument financiar derivat:Ionel cumpără de obicei preparate din carne de la un magazin local. Ionel are un prieten patron de super-market care susţine ca preţurile la marketul lui sunt cele mai joase pentru preparatele respective. Ba chiar edispus să-i plătească diferenţa de preţ dacă găseste aceleaşi produse la un preţ mai mic altundeva. Această

16

Page 18: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF2 [Dr. Iulian Stoleriu]înţelegere între cei doi prieteni este un instrument financiar derivat, în sensul că valoarea ei depinde depreţul preparatelor în discuţie.Bine-bine, aţi putea spune că ăsta nu-i decît un pariu pe preţul preparatelor din carne. Aşa şi este, instru-mentele financiare derivate pot fi gîndite ca fiind nişte "pariuri" pe preţul altor active. De fapt, noţiunea deinstrument financiar derivat poate fi văzută ca pe un nume cochet al jocului de noroc.Această înţelegere conferă pentru Ionel asigurarea că plăteşte cel mai mic preţ pe produsele respective şi,astfel, economiseşte ceva bani. Şi pentru prietenul său înţelegerea e benefică; îşi vinde marfa şi, totodată,Ionel poate aduce noi clienţi la supermarket, ceea ce înseamnă ca-şi va spori veniturile. Alte persoane(investitori) s-ar putea folosi de această informaţie şi ar putea specula preţurile pieţei.Principalele instrumente financiare derivate: contracte forward şi futures, opţiuni, swaps.Un contract forward este un acord încheiat astăzi, care prevede achiziţionarea unei cantităţi specificate demărfuri sau de monedă în viitor, la o dată (maturitate) şi pentru un preţ (preţul de livrare) bine precizate.Un contract futures este similar cu un contract forward, cu deosebirea că primul este standardizat şi, laintrarea într-un astfel de contract, se plăteşte o sumă de bani (marjă).Printr-un contract cu opţiune (sau, simplu, opţiune) se înţelege un contract ce conferă unei persoane (deţî-nătorului) dreptul, dar nu şi obligaţia, de a vinde (put) (sau cumpăra <call>) o cantitate determinată dintr-omarfă, un activ monetar, financiar sau un contract futures, la un preţ convenit, denumit preţ de exerciţiu,într-un termen definit sau la expirarea acestuia, în schimbul plăţii unei prime. Cel ce deţine o opţiune poatesă-şi exercite dreptul pînă la scadenţă contractului, să abandoneze opţiunea pînă la scadenţă, sau să-şicompenseze contractul. Tipuri de opţiuni: call (de cumpărare) şi put (de vânzare).Un swap (credit încrucişat) este o tranzacţie prin intermediul căreia două părţi schimbă între ele activefinanciare, de regulă, dobânzi şi valute.Aceste contracte vor fi prezentate mai pe larg mai târziu.

Arbitraj (free lunch)

Arbitrajul este modalitatea de a realiza un profit fără a fi expus la risc, adică a scoate profit din diferenţelede preţuri de pe piaţa financiară (e.g. a cumpăra valuta sau comodităţi de pe o piaţa şi a o vinde în aproapeacelaşi timp la un preţ diferit pe o altă piaţa).O glumă din care reiese bine ideea esenţială a arbitrajului: Un profesor de Finanţe şi copilul său se plimbaupe o stradă aglomerată. La un moment dat, copilul sau vede pe jos o bancnotă de 100 $. ”Uite, tată, obancnotă de 100 pe stradă!” Când copilul se apleacă să o ridice, tatăl îi spune: "E inutil sa te apleci. Nuexistă nicio bancnotă acolo, căci dacă ar fi existat, ar fi ridicat-o altcineva înaintea ta."Arbitrajul stă la baza teoriei de evaluare a activelor prin arbitraj (Asset Pricing T heory). Pentru a puteamodela evaluarea preţurilor activelor financiare ne vom limita la piaţa financiară în echilibru, adică o piaţăpe care nu există oportunităţi de arbitraj. Este foarte dificil de modelat aceste evaluări în cadrul unei pieţecare nu e în echilibru. Arbitrageurii vor căuta să obţină cantităţi nelimitate de câstiguri lipsite de risc, ceeace implică o piaţa dezordonată, imposibil de modelat matematic. Absenţa arbitrajului de pe piaţa este unatuu minimal şi suficient în modelarea pieţei financiare, care este şi indeajuns de realistic. Oportunităţi dearbitraj există pe piaţa dar ele dispar foarte repede. De îndata ce un agent observă posibilitatea arbitrajului,o va exploata la maximum, până discrepanţa între preţuri dispare. Principiul inexistenţei arbitrajului zice cao piaţa financiară nu ar trebui să permită posibilităţi de arbitraj. În capitolele următoare vom vedea cumputem exprima lipsa arbitrajului în termeni matematici. O piaţă financiară în care nu există oportunităţi dearbitraj se numeşte piaţă financiară viabilă.

17

Page 19: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF2 [Dr. Iulian Stoleriu]Utilitatea derivatele financiare

1. Gestionarea riscului (hedging). Sunt unelte pentru persoane fizice sau companii pentru a reduce riscul.Spre exemplu, un fermier ce produce porumb intră într-un contract forward încă din primăvară pentrua-şi acoperi riscul unei eventuale pierderi în toamnă, când preţurile ar putea scădea foarte mult. Oacţiune de hedging este utilă atunci când se doreşte minimizarea riscului generat de incertitudineadobânzilor, a ratelor de schimb sau de alte variabile de piaţă. Pe de altă parte, riscul poate creşteatunci când se recurge la o acţiune de hedging iar competitorii direcţi nu o fac.2. Speculaţie. Derivatele financiare pot servi ca modalităti de investiţie. Un speculator preia riscul dela hedger cu scopul de a scoate un profit mai târziu când preţurile pe piaţa se vor schimba favorabil.3. Arbitraj. Prin tranzacţionarea acestor instrumente financiare poţi obţine profituri fără a risca nimic,prin specularea diferenţelor de preţ existente pe piaţă pentru acelaşi activ financiar. Acesta suntnumite acţiuni de arbitraj.4. Schimbarea naturii responsabilităţii. În locul deţinerii efective a unui activ riscant, un investitorpoate achiziţiona doar dreptul de a deţine activul, evitând eventualele pierderi foarte mari. Printranzacţionarea derivatelor financiare, o persoană poate vinde active şi, totodată, să continue să ledeţină fizic, se poate păstra dreptul de vot în cazul unor acţiuni sau elimina riscul deţinerii unor activeale căror preţuri pot scădea. De asemenea, există posibilitatea de a scăpa de plata unor taxe.5. Schimbarea naturii investiţiei, fără a fi nevoie de a vinde un portofoliu şi de a cumpăra un altul, faptce atrage costuri suplimentare. Spre exemplu, în cazuri derivatelor de tip swaps, putem schimba douăactive financiare între ele, reducând astfel costurile de tranzacţionare.Actorii de pe piaţa derivatelor financiare

Putem categorisi persoanele care tranzacţioneaza derivate financiare în trei mari categorii:1. Hedgerii. Hedgingul (acoperirea riscului) este încercarea de a acoperi (asigura împotriva) posibilele(-lor) riscuri rezultate din fluctuaţiile de preţ pe piaţa financiară.2. Speculatorii iau poziţia opusă hedgerilor. Ei preiau riscul pe care hedgerii îl transmit. Nu existăspeculaţie fără hedging şi vice-versa. În procedeul de speculaţie, fondurile disponibile sunt plasatestrategic în scopul de a scoate profit.3. Arbitrajeurii intra în două sau mai multe tranzacţii echivalente în acelaşi timp, în care preţurile con-tractelor sunt diferite. Ei urmăresc a scoate profit din nimic, adică fără a se expune la risc. Vi-i puteţiimagina ca persoane cu cel puţin două telefoane în mana şi cu panouri electronice în faţă.

Presupuneri de modelare

Dacă dorim să creăm modele matematice pentru aceste derivate financiare, atunci e necesar să facemurmătoarele presupuneri, care ne-ar uşura lucrul:• costurile de tranzacţionare, comisioanele, taxele sunt neglijate (pentru simplicitate, căci toate pieţelereale implică astfel de costuri). A înţelege pieţele fără fricţiuni e un pas inainte în a inţelege pe celecu fricţiuni;• nu sunt restricţii asupra cantităţilor tranzacţionate şi că aceasta nu va schimba preţul activelor tranzac-18

Page 20: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF2 [Dr. Iulian Stoleriu]ţionate;• aceeaşi rata a dobânzii, r , atât pentru împrumut cât şi pentru credit;• investitorii preferă tot mai mult;• lipsa arbitrajului pe piaţa financiară;Problema fundamentală a matematicii instrumentelor derivate financiare este stabilirea preţului lor. Primelemodele de evaluare au apărut în 1973, in lucrarile scrise de Black, Scholes şi Merton.

Valoarea în timp a banilor (time value of money)

În cele ce urmează, vom utiliza dobânda unitară r , ca fiind rata lipsită de risc a profitului unei companii, şiva fi considerată constantă în timp. De asemenea, vom considera că dobânda se calculează în mod continuu.Asta înseamnă că suma S0 la timpul t = 0, va valora S0ert la momentul t (timp ce îl vom măsura în ani).Invers, orice sumă ST la timpul viitor t = T valorează ST e−rT în momentul de faţă, adică la t = 0, şivalorează ST e−r(T−t) la momentul t ∈ [0, T ].Contracte forward

Este cel mai simplu derivat financiar. Este o înţelegere (obligaţie) de a cumpăra sau vinde un activ financiarla o dată pre-stabilită în viitor (maturitate sau dată livrării sau scadenţa), pentru un preţ (preţ de livrare)stabilit la semnarea contractului. A se face distincţie între un contract forward şi un contract spot, pentrucare livrarea are loc astăzi, la momentul înţelegerii. Într-un astfel de contract sunt implicate două părţi: celcare cumpăra activul (se spune că el deţine o poziţie long) şi cel care îl vinde (care deţine o poziţie short).Aceste contracte sunt tranzacţionate pe piaţa OTC (Over-The-Counter sau inter-dealeri).Poziţia cumpărătorul contractului futures se numeşte long forward (LF). Cel care intră într-o poziţie LF vacâştigă din tranzacţie dacă preţul viitor al activului cumpărat va creşte faţă de momentul intrării în poziţie.Cumpărătorul unui contract futures urmăreşte ori să se protejeze împotriva unor creşteri viitoare ale preţuluirespectivului activ pe piaţa spot (la vedere), ori doreşte să speculeze o astfel de creştere la momentul saumomentele pe care le considera potrivite. Poziţia cumpăratorului este considerată acoperită deoarece elurmează să achiziţioneze activul de bază.Poziţia vânzătorului este considerată descoperită (deoarece cel care vinde activul suport s-ar putea să nuîl deţină în momentul intrării în contract, astfel la scadenţa el va trebui fie să cumpere activul suport pepiaţa spot, pentru a-l vinde şi a-şi onora obligaţiile contractuale, fie va trebui să-l împrumute, şi în acest cazva apărea, mai târziu obligaţia rambursării împrumutului. În limbaj de specialitate, poziţia vânzătorului senumeşte short forward (SF) şi este o poziţie în oglindă faţă de poziţia LF. Atunci când poziţia LF înregistreazăun câştig, poziţia SF va înregistra o pierdere şi invers; cu alte cuvinte, investitorul care intră într-o poziţieSF urmăreşte fie să se protejeze împotriva unei eventuale scăderi a preţului activului suport, fie doreşte săspeculeze scăderea preţului la momentul potrivit.Caracteristici ale contractelor forward:• contractul forward este o înţelegere privată, încheiată între doi parteneri care, de obicei, se cunosc;• contractele forward (la termen) nu sunt tranzacţionate la bursă (sunt contracte nestandardizate);• un contract forward implică un risc de credit pentru ambele părţi, similar celui de pe piaţa la vedere

19

Page 21: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF2 [Dr. Iulian Stoleriu](spot). Astfel, părţile contractuale pot solicita o garanţie;• activul suport sau obiectul contractului poate fi orice marfă sau orice activ financiar pentru care ceidoi parteneri îşi manifestă interesul;• tranzacţiile se fac numai pe pieţele OTC;• livrarea este specificată la momentul iniţierii contractului;• nu se face nici o plată la momentul scrierii contractului;• valutele sunt cele mai tranzacţionate prin contracte forward.

Vânzări prin lipsă (short selling)

Este procedeul prin care se poate vinde un activ pe care nu-l deţii. Etapele: ia cu împrumut activul şivinde-l. La maturitate cumpăra activul şi înapoiază-l de unde l-ai împrumutat plus, eventual, o dobândăpentru împrumut. În acest caz, profitul va fi: pozitiv, dacă preţurile scad şi negativ, dacă preţurile cresc.În cazul vânzărilor short, investitorii speră că preţurile pe piaţa spot să scadă pentru a face un profit. Îngeneral, vânzările short sunt utilizate pentru a profită de o scădere asteptată de preţuri anumite active. Sunttrei motive pentru a vinde short:• speculaţie (obţii un profit dacă preţurile scad). De exemplu, George Soros, 1992, "the man who brokethe Bank of England", a anticipat că pound-ul britanic va scădea şi a pariat 10 miliarde de dolari peaşa ceva, scoţând numai într-o zi un profit de cca 2 miliarde dolari americani.• finanţare (e o modalitate de a împrumuta bani, folosită mai ales la obligaţiuni);• hedging (pentru acoperirea riscului deţinerii unor active).În practică, când vinzi short un activ brokerul tău îţi va împrumută activul respectiv din contul firmei sau alaltei firme de brokeraj. Apoi activul e vândut şi banii îţi revin, dar mai târziu sau mai devreme va trebui săînchizi poziţia short prin înapoierea împrumutului făcut. Se pot plăti sau nu dividende pentru activul deţinut.

Preţul forward (forward price)Dacă preţul de livrare este mai mare decât preţul spot, atunci e de preferat de a fi într-o poziţie short, iardacă este mai mic, atunci o poziţie long e preferată. Aşadar va trebui să existe un preţ unic de livrare pentrucare nici una dintre cele două poziţii nu e avantajată. Un astfel de preţ se numeşte preţ forward. Cu altecuvinte, preţul forward este preţul (unic) de livrare pentru care nu e nevoie de nici un schimb de bani lamomentul iniţierii contractului (i.e. nu ne costă nimic pentru a întra într-un astfel de contract). Vom derivaîn continuare o formula pentru preţul forward, bazată pe principiul absenţei arbitrajului.Vom utiliza următoarele notaţii:• K = preţul de livrare;• St = preţul (spot) al activului la momentul t;(S0 e preţul la momentul t = 0, care e cunoscut, şi ST la momentul t = T , necunoscut);• T = momentul livrării sau scadenţa;• Πt = câştigul (profitul) net la momentul t .

20

Page 22: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF2 [Dr. Iulian Stoleriu]• F0 preţul forward la momentul t = 0 (acesta se modifică în timp).Pentru un investitor ce deţine o poziţie long forward (i.e., ne punem în poziţia cumpărătorului) cu preţul delivrare K şi scădenţa T , profitul este ΠT = ST − K , iar pentru unul ce deţine o poziţie short forward (i.e.suntem pe poziţia vânzătorului), ΠT = K − ST (vezi Figura 2.1).

Profit

K ST K S

T

Profit

(a) (b)

Figura 2.1: Profitul pentru un long forward (a) şi un short forward (b).Întrebările la care ne propunem să răspundem sunt:* Cum va trebui să-l alegem pe K astfel încât nu este nevoie de schimb de bani la momentul t = 0, intrepărţile implicate in contract?Cu alte cuvinte, aceasta intrebare ne cere sa determinam preţul forward.* Care este preţul corect al contractului forward la momentul iniţierii lui, dacă preţul de livrare nu estepreţul forward?

Pentru a răspunde la (1) să punem problema preţului corect astfel: considerăm contractul futures ca fiind unjoc având următoarea regulă. La timpul t = T jucătorul J1 (care se află pe poziţia long futures) primeşte dela J2 (poziţia short futures) suma ST − K în cazul în care acesta este pozitivă, altfel plăteşte suma K − ST .Întrebarea (1) reformulată este:Care este preţul corect, V , pe care jucătorul J1 ar trebui să-l plătească pentru a participa la joc?Observaţia 2.1. Deoarece suma V trebuie plătită la t = 0 dar plăţile mai sus amintite se fac la t = T , vatrebui să luăm în calcul valoarea banilor în timp (dobândă).Să presupunem că rata unitară anuală a dobânzii este r , aceeaşi pentru împrumut şi credit, şi că dobândă secalculează compus continuu. Aşadar, suma V platită la momentul t = 0 valorează V erT la momentul t = T .D.p.d.p. al teoriei jocurilor, acest joc este cinstit dacă valoarea medie asteptată a sumei tranzacţionate lat = T este 0.Însă, valoarea sumei tranzacţionate la t = T este ST − K − V erT , deci avem

E[ST − K − V erT ] = 0,adică V = e−rT (E[ST ]− K ).În concluzie, pentru a părticipa la joc J1 va trebui să platească la t = 0 sumaV = e−rT (E[ST ]− K ),

21

Page 23: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF2 [Dr. Iulian Stoleriu]dacă această e pozitiva, altfel J2 va trebui să-i platească

V = e−rT (K − E[ST ]).Mai mult, valoarea lui K pentru care nu trebuie platită nici o primă la intrarea în joc este K = E[ST ]. Decipare rezonabil de a alege un astfel de K ce să reprezinte preţul forward.Însă, sunt două obiecţii majore pentru această alegere:• prima V depinde de E[ST ], adică de valoarea asteptată a preţurilor viitoare, care sunt aleatorii, decinecunoscute investitorilor.Putem doar prezice valoarea lui ST . După cum vom vedea mai târziu, în capitolele viitoare, seobişnuieşte ca ST să fie ales astfel încât să urmeze o anumită repartiţie probabilistică, de regularepartiţia lognormală.Reamintim, Y ∼ logN (m, σ ) dacă ln Y ∼ N (m, σ ), adică densitatea de repartiţie a lui Y este

fY (x) = 1xσ√2π e− (ln x−m)22σ2 , dacă x > 00 , dacă x 6 0

Media şi dispersia sunt date de E(Y ) = em+σ 2/2, D2(Y ) = e2m+σ 2 (eσ 2 − 1)..• alegând K = E[ST ], pot aparea oportunităţi de arbitraj.- Intr-adevar, să presupunem că E[ST ] = S0, deci K = S0. Un investitor poate proceda astfel:La t = 0 vinde short n unităti din activ şi investeşte banii obţinuţi (i.e. nS0) într-un cont bancar sauobligaţiuni. Pentru a acoperi poziţia short, în acelaşi timp intra într-un contract forward prin care seangajează să cumpere n active la preţul spot la t = T , adică pentru S0. Aşadar, la t = T va aveaîn cont nS0erT . Onorează poziţia long şi cumpăra n active, pentru care plăteşte nS0, le returnează,împreuă cu dobândă pentru deţinerea lor pana la scădenţa. Facând balantă la t = T , va rămâne cu:nS0(e(r−q)T − 1) (în general, r > q). În plus, dacă q = 0 (nu se iau în considerare taxele de deţinerea unui activ), atunci va avea un profit garantat nS0(erT − 1) > 0, deci oportunităţi de arbitraj. -

Ingredientul esential in evaluarea valorii contractului forward este presupunerea ca piata financiara esteviabila (lipsita de arbitraj).Propoziţia 2.2. Preţul forward pentru un activ aflat în proprietate şi care nu generează dividende este

K = S0erT . (2.1)Demonstraţie. Cazul I: K < S0erT .La t = 0: Vindem short n active, banii obţinuţi nS0 în punem într-un cont bancar cu rată r şi intrăm într-uncontract forward în care ne angajăm să cumpăram n active la t = T cu preţul K , pentru a acoperi poziţiashort.La t = T : Cumpăram n active şi închidem poziţia short. Profitul net va fi: nS0erT − nK > 0.Cazul II: K > S0erT .La t = 0: Împrumutăm suma de nS0, cumpărăm n active şi intrăm într-un contract forward de vânzare a lorla t = T , cu preţul K .La t = T : Vindem cele n active şi plătim împrumutul. Profitul net: nK − nS0erT > 0.Observaţia 2.3. Să notăm că preţul stabilit prin lipsa arbitrajului este tocmai valoarea la scădenţa t = T asumei S0 dacă aceasta este investită într-un cont bancar pe toată perioada contractului.

22

Page 24: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF2 [Dr. Iulian Stoleriu]Propoziţia 2.4. Preţul forward pentru un activ aflat în proprietate şi care produce dividende cu o rată q este

K = S0e(r−q)T .Aici q reprezintă rata medie aşteptată de plată dividendelor.Propoziţia 2.5. Preţul forward pentru un activ împrumutat şi care nu produce dividende este

K = (S0 − I)erT .Aici I este suma fructificată ce trebuie plătită pentru activul împrumutat.Observaţia 2.6. Deşi, în general, valoarea K este aleasă astfel încât contractul forward nu costă nimic lamomentul iniţierii, în cazul în care K nu e preţul forward, atunci contractul va avea o anumită valoare iniţiala.Aceasta este:

(F0 − K )e−rT , pentru cel care deţine o poziţie long forward, şi(K − F0)e−rT , pentru cel care deţine o poziţie short forward.

Contracte futures

Un contract futures este un acord contractual ferm între două părţi, negociat într-o piaţa organizată, careobligă ambele părţi să cumpere sau să vândă o cantitate de bunuri, obligaţiuni, acţiuni etc la o dată viitoare,pentru un preţ stabilit la dată semnării contractului. Preţul contractului va varia în funcţie de localizareapieţei, dar este fixat atunci când tranzacţia este încheiată. Contractul futures este, de fapt, un contractforward standardizat.Exemplu 2.7. 1. Cumpărare de 500 g de aur @ RON180/g în Decembrie 2013;2. Vânzare de e50 000 @ 4.35 e/RON în August 2014;Trasături comune ale contractelor futures:• sunt standardizate (anumite maturităti, dimensiuni ale contractelor, tipuri de active suport etc) şiorganizate de casele de compenstaţie. Implicarea casei de compensaţie implică fatul că nu există uncontract între vânzător şi cumpărator, ci un contract între fiecare dintre aceştia şi casă de compensaţie.Casa de compensare actionează astfel ca o contrapartida pentru ambele părţi, care conferă protecţieacestora şi permite ca tranzacţionarea să aibă loc mai liber;• preţul este stabilit prin mecanismul cerere/ofertă pentru contractul futures pe un anumit activ suportşi este influenţat şi de scadenţa anuntată pentru acestă;• sunt tranzacţionate la bursă;• la momentul semnării contractului se cere fiecărei părţi depunerea unei sume de bani numită marjasau garanţie. Această marjă este ajustată zilnic, pentru a minimiza posibilele pierderi.• marcarea la piaţa: înregistrarea preţului unui activ în fiecare zi în vederea calculării profiturilor şi apierderilor.

23

Page 25: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF2 [Dr. Iulian Stoleriu]• sunt utilizate în special de: hedgeri, speculatori şi arbitrageuri.Din punctul de vedere al modelării matematice, putem considera contractele forward şi cele futures a fiidentice.

Probleme propuse

Exerciţiu 2.1. Un investitor a semnat un contract forward cu scadenţa de 6 luni, prin care va cumpăra unpachet de acţiuni ale unei companii cu suma totală de 200 RON. Preţul actual al pachetului de acţiuni estede 194 RON. Ştiind că nu există oportunităţi de arbitraj şi că pentru aceste acţiuni nu se plătesc dividendepentru perioada contractuală, să se determine rata anuală unitară (efectivă) lipsită de risc.Exerciţiu 2.2. Determinaţi preţul forward pentru un contract forward cu scadenţa de 1 an, bazat pe unportofoliu de active ce valorează 1.1 milioane RON şi care are o rată anuală de plată a activelor de 5% p.a.,plătibile în mod continuu. Rata anuală unitară lipsită de risc este de 5% p.a..Exerciţiu 2.3. Pe piaţa aurului, preţul spot al unui gram de Au (1XAU) este de 140 RON. Pe această piaţăse comercializează contracte forward cu scadenţa de jumătate de an, ce oferă posibilitatea vânzării gramuluide aur cu 150 RON (r = 0.05).(a) Determinaţi dacă există oportunităţi de arbitraj pe piaţă. În caz afirmativ, construiţi o strategie dearbitraj.(b) Determinaţi preţul forward pentru un contract forward de vânzare a 1g Au cu 150 RON, cu scadenţa de6 luni.(c) Care este preţul corect al unui contract forward considerat mai sus?Exerciţiu 2.4. Într-o anumită ţară, guvernul a decretat următoare bandă de variaţie pentru rata de schimbdintre valuta autohtonă ($LOC) în raport cu EUR:

0.95 EUR 6 1$LOC 6 1.05 EUR.

Presupunem că acest decret are aplicabilitate pentru cel puţin un an. Tot în această ţară, guvernul emitetitluri de valoare (obligaţiuni) cu scadenţa de 1 an, în valuta autohtonă, şi care plătesc dobândă de 30% p.a..Dacă dobânda pentru depozite în EUR este de 6% p.a., investigaţi dacă există oportunităţi de arbitraj.Exerciţiu 2.5. Un activ financiar costă $152 în New York şi £100 în Londra. Ştiind că rata de schimb este£/$ = 1.55, construiţi o strategie de arbitraj.

24

Page 26: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF3 [Dr. Iulian Stoleriu]3 Matematici financiare (C3)

Contracte cu opţiuni

Printr-un contract cu opţiune sau, simplu, opţiune (în engleză, option) se înţelege un contract ce conferăunei persoane (deţinătorului) dreptul, dar nu şi obligaţia, de a tranzacţiona in viitor un anumit activ financiar,la un preţ convenit, într-un termen definit sau la expirarea acestuia, în schimbul plăţii unei prime. Dacăprin acest contract se vinde activul suport, atunci avem o opţiune de tip put, iar dacă se cumpără activul,avem o opţiune de tip call. Preţul convenit pentru tranzacţionarea activului se numeşte preţ de exerciţiu,iar termenul limită de valabilitate a opţiunii este denumit scadenţă (sau maturitate). Activele suport pot fifoarte variate. De exemplu, pot fi: acţiuni, devize, indici bursieri, contracte futures, rate ale dobânzii.Cel ce deţine o opţiune poate să-şi exercite dreptul până la scadenţă contractului, să abandoneze opţiuneapînă la scadenţă, sau să-şi compenseze contractul.În funcţie de timpul când se face exercitarea, opţiunile pot fi: europene (opţiunea este exercitată doar lamaturitate), americane (opţiunea poate fi exercitată oricând între semnarea contractului şi maturitate), exotice(bermudiene, asiatice, ruseşti) etc. Cele mai multe opţiuni tranzacţionate la bursă sunt cele de tip american,deoarece pot conferi flexibilitate celor ce tranzaţionează.Cumpăratorul unui call nu e obligat să cumpere, dar dacă acesta doreşte, atunci vânzatorul e obligat săvândă, indiferent dacă la momentul exercitării contractului piaţa este sau nu favorabilă lui. Asumarea acestuirisc de către vânzatorul opţiunii se face în schimbul încasării la t = 0 a unei prime, care de altfel estepreţul opţiunii. Astfel, vânzatorul obţine câştiguri limitate, dar certe, la nivelul primei încasate, în schimbulasumării unor riscuri nelimitate. În acelaşi timp, opţiunea reprezintă pentru cumpărător o poliţă de asigurare.Prima plătită poate să-i aducă câştiguri teoretic nelimitate, în cazul unei pieţe favorabile la scadenţă, sausă-l apere într-o piaţă defavorabilă. Tranzacţiile cu opţiuni sunt operaţiuni de vânzare/cumpărare de riscuri.Cumpărătorul opţiunii are aversiune faţă de risc (riscofob), iar vânzătorul este riscofil (preferă riscul).Opţiunile pot fi oferite în cadrul unor burse specializate sau pe pieţele OTC. În primul caz, contractele suntstandardizate şi oferă un grad scăzut de flexibilitate în alegerea termenilor. În cel de al doilea caz, contrac-tele se încheie, în general, prin negociere între cele două părţi contractante.Între anii 1970− 1980, opţiunile erau inaccesibil de scumpe pentru majoritatea investitorilor. Acum preţurilesunt accesibile şi, de multe ori, chiar sub-evaluate. Detinătorul unei opţiuni poate obţine un profit de multeori mai mare decât ceea ce ar obţine dacă ar deţine activul suport. Există astfel posibilităţi de a realizaprofituri foarte mari cu investiţii mici.Elementele componente ale unei opţiuni:

Elemente intrinseci:− prima C0− pentru call (call to purchase) şi P0− pentru put (put to sell);− preţul de exerciţiu (preţul de lovire - strike price) K ;− durata de valabilitate T (scadenţă - maturity);− preţul spot (de piaţă) al activului suport, St (S0 este preţul actual al activului);− rata dobânzii anuale, r , unică pentru vânzări şi cumpărări;− rata de plată a dividendelor, q, dacă acestea se plătesc.

25

Page 27: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF3 [Dr. Iulian Stoleriu]Opţiunea are şi o variabilă necunoscută, volatilitatea (volatility) preţului activului suport, dar care poatefi estimată. Aceasta volatilitate este, de fapt, dispersia valorilor activului suport pe perioada de viaţă aopţiunii şi este un factor important în determinarea valorii primei opţiunii. Volatilitatea preţului unor acţiunila compania X poate fi de două ori mare decât a companiei Y , determinând astfel o valoare dublă a primeiopţiunii de cumpărare a acţiunilor primei firme.În continuare, vom nota prin CEt = Ct şi prin PEt = Pt valorile pentru un call, respectiv, put european lamomentul t . De asemenea, vom nota prin CAt şi PAt valorile corespunzătoare pentru call şi put americane,la momentul t . Dacă nu este pericol de confuzie, vom prefera notaţiile Ct şi Pt pentru opţiuni europene.Valorile pentru call şi put (atât europene, cât şi americane) pot fi privite ca fiind nişte funcţii de următoarelevariabile:

Ct = C (K , St , T , q, r), Pt = P(K , St , T , q, r).Factori determinanţi ai preţului unei opţiuni

• preţul activului suport, St . Spre exemplu, valoarea opţiunii de tip call va fi mai mare cu cât diferenţaîntre preţul activului suport şi preţul de exerciţiu este mai mare.• preţul de exerciţiu, K . Acesta are o influenţă inversă faţă de preţul activului suport.• intervalul de timp până la scadenţă, T . Cu cât acesta este mai mare, cu atât valoarea opţiunii creşte,deoarece oferă o flexibilitate mai mare de a exercită opţiunea în mod favorabil.• rata dobânzii fără risc (risk-free rate), r .• dividendele (dividends). Valoarea opţiunilor de tip call va scădea în cazul plăţii dividendelor în perioadade viaţă a opţiunii, pe când preţul unei opţiuni put va creşte.• volatilitatea preţului activului suport, σ . Aceasta este greu de determinat în practică. Este o măsură aincertitudinilor legate de evoluţia preţului activului suport. Un activ cu o volatilitate ridicată prezintăfluctuaţii accentuate ale preţului.Preţul de exerciţiu este stabilit în jurul preţului activului suport, S0. Pentru un call european cu preţul deexerciţiu K , vom spune că preţul activului suport la maturitate este:• sub-paritate (in-the-money), dacă K < S0.Se spune că, în acest caz, opţiunea are valoare tangibilă. În plus, această opţiune are valoare în timp,aceasta fiind asigurare pentru cazul în care valoarea activului suport scade sub valoarea preţului deexerciţiu.Spre exemplificare, să presupunem că valoarea unui activ este astăzi S0 = 30 $ şi valoarea unui calleuropean de cumpărare a acestui activ cu K = 27.50 $ la momentul viitor T = 1/4 (3 luni) este

C0 = 3.15 $. Deţinând un astfel de derivat financiar, poţi pierde maximum 3.15 $, adică tocmai primaplătită pentru call, şi aceasta se întâmplă în cazul în care opţiunea expiră neexercitată. Din cei 3.15 $,suma de 2.50 $ reprezintă valoarea intrinseca (tangibilă) a opţiunii (i.e., diferenţa între S0 si K ), iar0.65 $ reprezintă valoarea timp a opţiunii. Nivelul cu care preţul opţiunii depăşeşte la un moment datvaloarea intrinsecă se numeşte valoare timp. La scadenţă valoarea timp este nulă.• la paritate (at-the-money), dacă K = S0.În cazul activului anterior, o opţiune call european la paritate ar semnifica un preţ de exerciţiu K = 30 $.Prima pentru un astfel de call ar fi de, să zicem, 1.35 $. Se poate observă că valoarea în timp a opţiuniieste mai mare decât în cazul precedent, deoarece acest call poate fi privit ca asigurare pentru cazurileîn care preţul activului ar scădea sub preţul de exerciţiu K sau că l-ar depăşi pe K .• supra-paritate (out-of-the-money), dacă K > S0.26

Page 28: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF3 [Dr. Iulian Stoleriu]De exemplu, un call european cu K = 33 $ şi T = 1/4 (3 luni) asupra activului precedent este lasupra-paritate.Valoarea unui call (put) european la maturitate e dată de

CT = (ST − K )+, respectiv, PT = (ST − K )− = (K − ST )+.Vom nota prin FV (C0) valoarea viitoare la momentul T (future value) pentru C0. Similar, vom nota prinFV (P0) valoarea viitoare la momentul T pentru P0. În funcţie de modul cum este calculată dobânda, FV (X0)poate fi una dintre următoarele valori: X0(1 + rT ), X0(1 + r)T sau X0erT .Ţinând cont de prima plătită la semnarea contractului, profitul net de cumpărare a (sau rezultatul cumpărării)unui call (long call) este ΠcT = (ST − K )+ − FV (C0),iar al unui put (long put) este ΠpT = (K − ST )+ − FV (P0).Acestea sunt profiturile ce le poate obţine cumpărătorul de opţiuni call sau put. Din punctul de vedere alvânzătorului, profit pentru cumpărător înseamnă pierdere pentru vânzător. Aşadar, profiturile pentru vânzarede call (short call) şi put (short put) sunt, respectiv, −ΠcT = FV (C0)−(ST−K )+ şi−ΠpT = FV (P0)−(K−ST )+(vezi Figurile 3.1 şi 3.2 unde, pentru simplitate, am luat r = 0, de unde FV (C0) = C0 şi FV (P0) = P0).

0 0

Profit Profit

S(t) S(t) − C0

− P0

abandon exercitare exercitare abandon

K

K+C0

K−P0 K

Figura 3.1: Profitul pentru un long call (a) şi un long put (b).Terminologie:

- a vinde o opţiune call (en., to write (or sell) a call option) = a avea obligaţia de a vinde un activ la unpreţ prestabilit. Dacă un investitor este în această poziţie, el va trebui să livreze activul suport la scadenţăîn cantitatea convenită şi la preţul convenit, în cazul în care cumpărătorul îşi exercită dreptul;- a cumpăra o opţiune call (en., to buy a call option) = a avea dreptul de a cumpăra un activ la un preţprestabilit, de la cel care a scris (vândut) opţiunea;- a cumpăra o opţiune put = a avea dreptul de a vinde un activ la un preţ prestabilit;- a vinde o opţiune put = a avea obligaţia de a cumpăra un activ la un preţ prestabilit;- preţ de exerciţiu (de lovire) = preţul stabilit la momentul scrierii opţiunii (convenit de ambele părţi);27

Page 29: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF3 [Dr. Iulian Stoleriu]

0 0

Profit Profit

S(t) S(t)

C0

P0

abandon exercitare exercitare abandon

K K+C0 K−P

0 K

Figura 3.2: Profitul pentru un short call (a) şi un short put (b).- scadenţa (maturitatea) = dată când contractul expiră;- premium (sau prima) = taxa încasată de cel care scrie opţiunea (emite contractul), de la cumpărător.Gândiţi-vă la această primă ca fiind o asigurare pentru luarea unor eventuale decizii financiare greşite.În continuare, vom determina limite pentru preţurile opţiunilor la orice timp între 0 şi T . Presupunem căavem opţiuni put şi call europene cu acelaşi preţ de exerciţiu, acelaşi activ suport (al cărui preţ la t este Stşi pentru care nu se plătesc dividende) şi acelaşi T . Mai mult, considerămexistenţa unei rate unitare unice,r , compusă continuu. Putem demonstra următoarea propoziţie:Propoziţia 3.1. (paritatea put-call) Într-o piaţă financiară viabilă (i.e., în care nu există oportunităţi dearbitraj), are loc relaţia:

St + PEt − CEt = Ke−r(T−t), (∀) t ∈ [0, T ]. (3.1)Demonstraţie. Considerăm un portofoliu compus dintr-un activ S , un put P şi o poziţie short pentru un call(cel care deţine portofoliul a scris call-ul). Fie Vt valoarea portofoliului. Avem:

Vt = St + PEt − CEt , (∀) t ∈ [0, T ].Dar la t = T avem

VT = ST + (ST − K )− − (ST − K )+ = K .Aşadar, acest portofoliu garantează profitul K la t = T . Folosind principiul lipsei arbitrajului (care negarantează că două active ce au un acelaşi preţ la un anumit moment, atunci ele vor valora la fel în oricealt moment), găsim căVt = Ke−r(T−t), (∀) t ∈ [0, T ].

Observaţia 3.2. (1) Pentru t = 0, obţinem relaţia:S0 + P0 − C0 = Ke−rT . (3.2)

28

Page 30: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF3 [Dr. Iulian Stoleriu](2) În cazul opţiunilor de tip american ce au la bază acelaşi activ suport pentru care nu se plătesc dividendeşi aceeaşi scadenţă, o relaţie similară cu cea anterioară (care uneori poartă denumirea de paritatea put-callpentru opţiuni americane) este:

S0 − K 6 CA0 − PA0 6 S0 − Ke−rT . (3.3)Propoziţia 3.3. În aceleaşi condiţii ca în propoziţia anterioară, putem arata că:

maxSt − Ke−r(T−t), 0 6 CEt 6 St , (∀) t ∈ [0, T ].Demonstraţie. Rezultă din propoziţia anterioară.Evident, CEt > 0, deoarece CEt < 0 generează oportunităţi de arbitraj (obţinem un profit la timpul T , cândCET = (ST − K )+ > 0). În mod similar, trebuie să avem Ct 6 St , altfel ar însemna că dreptul de a cumpăraun activ are o valoare mai mare decât deţinerea efectivă a activului, ceea ce e fals. Deţinerea activului oferăbeneficii suplimentare, e.g. dobândă.Din (3.1) obţinem că

St − Ke−r(T−t) = CEt − PEt 6 CEt ,ceea ce încheie demonstraţia.Observaţia 3.4. E clar că o opţiune americană costă mai mult decât una europeană, deoarece are în pluscaracteristica de a putea fi exercitată oricând înainte de termen. Aşadar, în general avem

CAt > CEt , (∀) t ∈ [0, T ].Propoziţia 3.5. Într-o piaţă financiară viabilă, pentru un activ financiar pentru care nu se plătesc dividende,avem

CAt = CEt , (∀) t ∈ [0, T ].Demonstraţie. Arătăm că CAt 6 CEt , (∀) t ∈ [0, T ]. Ştim că:

CAt = maxSt − K , CEt , (∀) t ∈ [0, T ].Dar, dacă nu se plătesc dividende, atunci, folosind Propozitia 3.3, obţinem:

St − K 6 St − Ke−r(T−t) 6 CEt ,de unde rezultă inegalitateaCAt 6 CEt , (∀) t ∈ [0, T ].

Observaţia 3.6. Sunt două motive pentru care exercitarea unei opţiuni americane de tip call pentru care nuse plătesc dividende mai devreme de maturitate nu e indicată:(i) investitorul care deţine un call american în locul activului suport este asigurat împotriva unei căderi avalorii activului. Dacă exercită mai devreme, atunci pierde asigurarea.(ii) Când deţinătorul unui call exercită opţiunea, atunci el cumpără activul plătind preţul de exerciţiu K .Cumpărând mai devreme, el va pierde dobânda câştigată pentru K pentru perioada rămasă până la maturi-tate.

29

Page 31: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF3 [Dr. Iulian Stoleriu]Observaţia 3.7. (1) Putem determina valori maxime şi minime şi pentru un put european. Astfel, într-opiaţă viabilă avem:

maxKe−r(T−t) − St ; 0 6 PEt 6 Ke−r(T−t), (∀) t ∈ [0, T ].Demonstraţia este similară cu cea pentru Propoziţia 3.3.(2) În cazul opţiunilor de tip american, putem arăta doar că:

CEt 6 CAt 6 S0 şi PEt 6 PAt 6 K , (∀) t ∈ [0, T ].

Strategii de investiţii cu opţiuni

Piaţa opţiunilor poate fi o piaţă ideală pentru cei ce doresc să obţină câştiguri nelimitate, speculând preţurileopţiunilor, sau pentru investitorii care doresc să se asigure împotriva riscului financiar. Opţiunile pot fi folositeşi in acţiuni de arbitraj. Vom discuta aici strategii ce includ doar opţiuni call şi put europene.Opţiunile pot fi utilizate pentru:• speculaţie;• hedging (acoperirea riscului sau asigurare);• arbitraj.Aceste operaţiuni sunt posibile datorită versatilităţii opţiunilor. Putem vorbi despre strategii bull, în careinvestitorii anticipează o creştere viitoare a preţului activului suport, sau strategii bear, când acest preţ esteanticipat a fi în scădere. Strategiile de investiţie cu opţiuni sunt nenumărate; amintim aici doar cateva, maiuzuale:• strategii simple. De exemplu, cumpărare de opţiuni call şi put neacoperite, în funcţie de anticipărileinvestitorilor asupra evoluţiei viitoare a cursului activului suport.• combinaţii. Aceste strategii sunt combinaţii de opţiuni asupra aceluiaşi activ suport. De exemplu:salturile (en., spreads), prima dublă (en., stellage) sau gâtuirile (en., strangles).• cumpărarea de portofolii formate din opţiuni call şi put şi active suport, în vederea luării unei poziţiicât mai bune pe piaţă la scadenţă.

Pentru simplitate, vom considera aici că r = 0. Dacă r 6= 0, atunci C0 si P0 vor fi înlocuite cu FV (C0),respectiv FV (P0).Strategii simple cu opţiuni• cumpărare de opţiuni call (naked long call). Alături de cumpărarea de opţiuni put, acestea sunt celemai simple strategii speculative. Această acţiune poate fi propice în cazul în care se anticipează ocreştere importanţă a cursului activului suport până la maturitate. Dacă anticipările nu se adeveresc,se pierde prima platită pentru achizitionarea opţiunii call. În cazul în care apar pierderi, atunci spunemcă ele au efect de levier (sunt limitate). Profitul net la maturitate este

ΠcT = (ST − K )+ − C0.

30

Page 32: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF3 [Dr. Iulian Stoleriu]• cumpărare de opţiuni put (naked long put). Este o acţiune speculativă, ce poate fi propice în cazulîn care se anticipează o scădere importantă a cursului activului suport pe durată de viaţă a opţiunii.Dacă anticiparile nu se adeveresc, se pierde prima platită pentru achizitionarea opţiunii call. Şi înacest caz, eventualele pierderi au efect de levier. Profitul net la maturitate esteΠpT = (K − ST )+ − P0.• vânzare de opţiuni call (naked short call). Este tot o acţiune speculativă, propice în cazul în care seanticipează că valoarea activului suport nu va creşte pe durata de viaţă a opţiunii. Dacă anticipările nuse adeveresc, se pot produce pierderi nelimitate, mult mai mari decât primele încasate. Dacă pierdereasurvine, atunci vom spune că are efect de măciucă. Profitul net la maturitate este egal cu −ΠcT .• vânzare de opţiuni put (naked short put). Acţiunea poate fi propice în cazul in care se anticipează căvaloarea activului suport nu va scădea pe durata de viaţă a opţiunii. Dacă anticipările nu se adeveresc,se pot produce pierderi mari, mult mai mari decât primele încasate. Şi în acest caz, aceasta este oacţiune speculativa, cu profitul net la maturitate −ΠpT şi pierderea maximă în valoare de K − P0.• vânzare de opţiune call şi deţinere de activ suport (covered call). Prin strategia call acoperit, in-vestitorul îşi stabileşte o poziţie short pentru un call şi deţine un număr de active suport câte suntvândute prin short call. Valoarea profitului în acest caz este (vezi şi figura 3.3):

−ΠcT + ST = C0 + K , ST > K ;C0 + ST , ST < K.

C

0

K S(T)

− K

Figura 3.3: Profitul pentru un call acoperit.

K − P0

K S(t)

Figura 3.4: Profitul pentru un put protectiv.

• cumpărare de put şi deţinere de activ suport (protective put). E o strategie de acoperire a riscului.Un investitor procedând astfel plăteşte premium pentru put şi se protejează împotriva scăderii preţuluiactivului suport. Profitul total pentru această strategie este (vezi figura 3.4):PT − P0 + ST = K − P0, ST < K ;

ST − P0, ST > K .

• cumpărare de put şi cumpărare activ suport (married put). E o strategie de hedging (acoperire ariscului). Un investitor cumpără active suport la un moment viitor T şi le protejează în eventualitatea31

Page 33: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF3 [Dr. Iulian Stoleriu]deprecierii preţului lor prin cumpărarea unui put asupra aceluiaşi număr de active suport câte au fostcumpărate şi cu acelaţi preţ de exerciţiu, K . Profitul total pentru această strategie este:

ST − K + PT − P0 = −P0, ST < K ;ST − P0 − K , ST > K .

Combinaţiile

Sunt combinaţii de mai multe serii de opţiuni asupra aceluiaşi activ-suport. Aceste strategii se bazeazăpe anticipări foarte exacte ale evoluţiei cursului activului suport. Dacă anticipările sunt corecte, atuncicâştigurile pot fi mult mai mari decât profiturile realizate prin strategii simple.• salturile (en., spreads). Gestionarul de portofoliu cumpără şi vinde în acelaşi timp două opţiuni call(sau două opţiuni put) asupra aceluiaşi activ suport, dar cu preţuri de exerciţiu diferite. Salturile pot ficrescătoare (în cazul în care se anticipează o creştere a lui St ) sau descrescătoare (dacă se anticipeazăo scădere a lui St ). Să presupunem că avem un salt cu două opţiuni call, cu preţurile de exerciţiuK c si K v şi primele C c0 si C v0 (indicii c şi v sunt pentru cumpărare si vânzare, respectiv). Salturilecrescătoare sunt strategii bull, denumite şi bull spreads), iar cele descrescătoare sunt strategii bear(bear spreads). Exemplu de bull-spread: un 100 call − 110 call, ce semnifică: cumpărarea unui callcu K c = 100 la T şi vânzarea simultană a unui call asupra aceluiaşi activ, cu K v = 110, la T .Profitul în cazul unui salt crescător (K v > K c) este (vezi Figura 3.5):

(ST − K c)+ − C c0 − (ST − K v )+ + C v0 =C v0 − C c0 , ST 6 K c ;ST − K c − C c0 + C v0 , ST ∈ (K c, K v );K v − K c + C v0 − C c0 , ST > K v

• butterfly spreads. Sunt strategii de tip salt care folosesc o combinaţie de bull şi bear spreads. Are3 preţuri de exerciţiu. Investitorul ce doreşte utilizarea unei astfel de tehnici anticipează ca preţulactivului suport va rămâne într-o anumită regiune, K1 < ST < K3. Prezentăm în continuare unexemplu de butterfly spread cu opţiuni call. Fie K1, K2, K3 preţurile de exerciţiu pentru 3 diferiteopţiuni de tip call, C1, C2, C3, asupra unui aceluiaşi activ suport, cu aceeaşi scadenţă. Suntem înpoziţia long C1, short 2C2, long C3. Diagrama profitului va fi (vezi figura 3.6):ΠT = C1 − 2C2 + C3 − (C 01 − 2C 02 + C 03 )= (ST − K1)+ − C 10 − 2(ST − K2)+ + 2C 20 + (ST − K3)+ − C 30 .

• prima dublă (en., straddle, fr., stellage). Este o strategie prin care se cumpără sau se vinde simultanopţiuni call-put pentru acelaşi activ suport, acelaşi preţ de exerciţiu şi aceeaşi scadenţă. Foarteimportantă în această strategie este volatilitatea preţului activului suport. Se speră într-o variaţieputernică (la cumpărare), sau o variaţie foarte mică (la vânzare) a preţului activului suport, fără a ştiexact în ce direcţie este variaţia. De exemplu, un 100 call & 100 put semnifică: cumpărarea unui callcu K = 100 la T , cumpărarea simultană a unui put cu K = 100.În general, pentru un K call & K put , diagrama profitului este (vezi figura 3.7):(ST − K )+ − C0 + (K − ST )+ − P0 = ST − K − C0 − P0, ST > K ;

K − ST − C0 − P0, ST < K.

32

Page 34: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF3 [Dr. Iulian Stoleriu]

Kc Kv S(t)

Figura 3.5: Profitul pentru un bull-spread. Figura 3.6: Profitul pentru un butterfly-spread.

Figura 3.7: Profitul pentru o prima dublă.

• gatuirea (en., strangle). Este o operaţiune similara cu prima dublă, în care una dintre caracteristicilepentru call şi put , de exemplu preţul de exercitiu K , este diferită.Opţiunile ca asigurare

Opţiunile pot fi folosite ca asigurare în situaţii nesigure ale pieţei. Este uşor de înţeles faptul că opţiunilevin cu asigurare, deoarece opţiunea este exercitată doar dacă aceasta aduce un avantaj deţinătorului. Deexemplu, să presupunem că aţi ezitat la un moment dat să cumparaţi acţiuni la o anumită firmă, părându-seîn acel moment ceva neprofitabil sau chiar prea riscant. Dar, în schimbul cumpărării acelor acţiuni, aţi puteaachizitiona o opţiune de tip call, care sa va confere dreptul (nu si obligatia) de a le cumpăra peste 3 luni.În cazul în care firma devine foarte profitabilă şi actiunile cresc in valoare, atunci nu veţi mai putea spune:"Acum mi-aş fi dorit să fi cumparat acel pachet de acţiuni când am avut ocazia". Pe de alta parte, dacă aceleacţiuni se devalorizeaza în timp, atunci nu nu mai puteţi spune: "Îmi doresc să nu fi cumpărat acel activ". Înmod similar, dacă deţii o opţiune de tip put, nu vei mai fi la un moment viitor în situaţia de a spune: "Mi-aşfi dorit să fi pastrat acel activ" sau "Ar fi trebuit să vând acel activ la momentul potrivit".

33

Page 35: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF3 [Dr. Iulian Stoleriu]Probleme propuse

Exerciţiu 3.1. Un investitor cumpără un put european pentru un pachet de acţiuni cu 2 RON. Preţul pachetuluide acţiuni este acum 50 RON şi preţul de exerciţiu este 49 RON.(a) În ce situaţie va avea cumpărătorul profit?(b) Când va fi opţiunea exercitată?(c) Desenaţi o diagramă care să reprezinte profitul cumpărătorului la maturitate.Exerciţiu 3.2. Un investitor vinde un call european pentru un pachet de acţiuni cu 2 RON. Preţul pachetuluide acţiuni este acum 49 RON şi preţul de exerciţiu este 50 RON.(a) În ce situaţie va avea cumpărătorul profit?(b) Când va fi opţiunea exercitată?(c) Desenaţi o diagramă care să reprezinte profitul cumpărătorului la maturitate.Exerciţiu 3.3. Descrieţi şi reprezentaţi grafic profitul pentru următorul portofoliu de investiţii asupra aceluiaşiactiv suport: un contract long forward (LF), o poziţie long într-un put european (PO), cu aceeaşi maturitateca şi LF, cu preţul de exerciţiu egal cu preţul forward stabilit pentru livrarea prin LF.Arătaţi că, în acest caz, prima pentru contractul put european este aceeaşi cu prima pentru un call Europeanstabilit la momentul iniţierii portofoliului, asupra aceluiaşi activ suport, cu acelaşi preţ de exercitare şimaturitate ca PO.Exerciţiu 3.4. Determinaţi o margine inferioară pentru o opţiune call cu maturitatea de 4 luni asupra unuiactiv suport ce nu generează dividende, ştiind că preţul actual al activului suport este 30 RON, preţul deexerciţiu este 27 RON şi rata unitară anuală lipsită de risc este de 5% pe an.Exerciţiu 3.5. Determinaţi o margine inferioară pentru o opţiune put europeană cu maturitatea de 3 luniasupra unui activ suport ce nu generează dividende, ştiind că preţul actual al activului suport este 27 RON,preţul de exerciţiu este 30 RON şi rata unitară anuală lipsită de risc este de 5% pe an.Exerciţiu 3.6. Desenaţi diagrama pentru funcţia de plată (pay-off) pentru o primă dublă 100 call & 100 putcu C0 = 3, P0 = 4.Exerciţiu 3.7. Creaţi valoarea unui contract forward folosind constracte opţiuni.Exerciţiu 3.8. Determinaţi şi reprezentaţi grafic funcţia de plată (pay-off) pentru un 100 call− 110 call bullspread, cu C c0 = 3, C v0 = 2.Exerciţiu 3.9. Considerăm trei opţiuni de tip put european, P1, P2 şi P3, având acelaşi activ suport şi aceeaşiscadenţă. Pentru aceste opţiuni, preţurile de exerciţiu sunt K1 = 50, K2 = 60, K3 = 70, iar preţurile detranzacţionare sunt P01 = 2, P02 = 3, P03 = 5. Construim un portofoliu format din cumpărarea opţiunilor P1şi P3 şi vânzarea a două opţiuni P2.(a) Care este valoarea iniţială a portofoliului? Determinaţi profitul acestui portofoliu la maturitate.(b) Reprezentaţi grafic profitul portofoliului.(c) Folosind paritatea put-call pentru opţiuni europene, arătaţi că preţul acestui portofoliu este identic cupreţul unui portofoliu similar, în care opţiunile put sunt înlocuite cu opţiuni de tip call european.Exerciţiu 3.10. Care dintre următoarele cinci variante vor genera profit pentru vânzător:(a) un call european în care preţul activului suport e mai mare decât preţul de exerciţiu cu cel puţinvaloarea primei plătite iniţial pentru call;(b) un put european în care preţul activului suport e mai mare decât preţul de exerciţiu;(c) un contract futures în care preţul activului suport scade sub valoarea preţului de exerciţiu;

34

Page 36: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF3 [Dr. Iulian Stoleriu](d) un call european în care preţul activului suport e mai mic decât preţul de exerciţiu;(e) o acţiune speculativă de tip butterfly spread cu opţiuni call în care preţul activului suport esteapropiat de preţul de exerciţiu pentru poziţia short;

Exerciţiu 3.11. Care este pierderea maximă pe care o poate avea la scadenţă cel ce vinde un put european(poziţia short put)?Exerciţiu 3.12. Demonstraţi inegalităţile din Observaţia 3.7.

35

Page 37: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF4 [Dr. Iulian Stoleriu]4 Matematici financiare (C4)

Model discret de piaţă financiară

Problema fundamentală în modelarea instrumentelor financiare derivate este stabilirea preţului lor. Primelemodele de evaluare au apărut în 1973, dezvoltate de F. Black, M.S. Scholes şi R. Merton. Ulterior, J. C. Cox,S. A. Ross şi M. E. Rubinstein au introdus un model discret de piaţă financiară, bazat pe arbori binomiali.În cele ce urmează, vom prezenta un model discret de piaţă financiară cu o singură perioadă (i.e., un singurinterval de timp, [0, T ], iar în acest interval tranzacţiile pot fi făcute doar la momentele t = 0 şi t = T ),iniţiat de Arrow şi Debreu. Aici, T > 0 se măsoară în ani (e.g., T = 12 semnifică o jumătate de an). Pebaza acestui model simplu, vom determina ulterior valoarea corectă a unui derivat financiar tranzacţionabilpe această piaţă.Fixăm o rată r > 0 a dobânzii de referinţă, pe care o vom considera ca fiind rata lipsită de risc a profituluiunei companii. Vom nota cu St valoarea unui activ financiar la momentul t ∈ [0, T ]. Deoarece suntemîn cazul unei pieţe în care tranzacţiile se pot realiza doar într-un număr finit de momente, vom consideraca dobânda se calculează în mod compus. Aceasta înseamnă că, după acumularea dobânzii, o sumă S0 lamomentul iniţial t = 0 va valora S0 (1 + r)t la momentul t . Invers, orice sumă St la momentul t > 0 arevaloarea St (1 + r)−t la momentul t = 0. În cazul unui model discret cu o singură perioadă, legăturile dintrevalorile de interes pentru un activ financiar vor fi: S0 = ST (1 + r)−T şi ST = S0 (1 + r)T .Presupuneri de modelare:

• costurile de tranzacţionare, comisioanele, taxele sunt neglijate (pentru simplitate, căci toate pieţele realeimplică astfel de costuri). A înţelege pieţele fără fricţiuni e un pas înainte în a înţelege pe cele cu fricţiuni;• nu sunt restricţii asupra cantităţilor tranzacţionate (e.g., putem tranzacţiona √2 sau −√52 dintr-un activ)şi că această nu va schimba preţul activelor tranzacţionate;• toţi investitorii împrumută sau dau cu împrumut cu aceeaşi dobândă r;• investitorii sunt raţionali (preferă tot mai mult);• lipsa arbitrajului (no free lunch) este o presupunere esenţială;Model de piaţă cu o singură perioadă (Arrow1-Debreu2)Considerăm un model de piaţa în care există un număr finit (posibil mare) de active tranzacţionabile şi doardoi timpi: t = 0 (prezent), timpul la care ştim totul despre piaţă, şi t = T (viitor), este punctul terminuspentru toate activităţile economice considerate. Timpul t = T este timpul la care nu ştim cu certitudine cese va întampla.Vom lua astăzi decizii de investiţii, care vor conduce la rezultate incerte la t = T . Pentru început, urmărimsă găsim o caracterizare matematică a lipsei de arbitraj pentru această piaţă.

1Kenneth Joseph Arrow (n. 23 august 1921- , este un economist american, laureat al Premiului Nobel pentru economie (1972).S-a născut în New York. Mama sa, Lilian, era născută la Iaşi, iar tatăl său, Harry, era din Podu Iloaiei.2Gérard Debreu: 1921-2004, economist francez, laureat al Premiului Nobel pentru economie (1983).

36

Page 38: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF4 [Dr. Iulian Stoleriu]Să presupunem că pe această piaţa se pot tranzacţiona exact N+1 active, pe care le notăm cu a0,a1,a2,. . . ,aN . De regulă, se consideră că activul a0 este un activ sigur (e.g., cont bancar sau obligaţiune), iar activelea1, a2, . . . , aN sunt active riscante. Scopul principal al activului sigur este de a oferi o percepţie a valoriiîn timp a unităţii monetare.La momentul iniţial, un investitor achiziţionează un portofoliu format din cele N + 1 active, pe timpul uneiperioade de timp în care le tranzacţionează (perioada de tranzacţionare), ceea ce-i conferă dreptul de a cere(sau datora) dividende generate de active. Astfel, rezultă un câştig (sau pierdere) de capital.La maturitate, investitorul lichidează poziţia şi va avea un profit (sau pierdere) net(ă) în urma acestortranzacţii. Acest profit (sau această pierdere) este datorat(ă) fluctuaţiilor de preţ de pe piaţă pentru activeledeţinute. Să presupunem că la sfârşitul perioadei de tranzacţionare piaţa financiară considerată se poate aflaîntr-una din următoarele M stări posibile: ω1, ω2, . . . , ωM , iar investitorul nu ştie cu exactitate în momentulinvestiţiei (i.e., la t = 0) care dintre aceste stări va apărea. Presupunem că P(ωj) > 0, pentru oricej ∈ 1, 2, . . . , M (i.e., orice stare este posibilă). Vom nota prin Sit (t = 0 sau T ) valoarea la momentult a activului ai, i ∈ 0, 1, . . . , N. Menţionăm că Si0 sunt cunoscute investitorului iar SiT = SiT (ω) suntnecunoscute la momentul t = 0, ele fiind, în fapt, variabile aleatoare. Modelul va fi specificat în totalitatedacă se cunosc:• preţurile iniţiale pentru active, adică vectorul S0 = (S00 , S10 , . . . , SN0 )tr (aici, v tr semnifică transpusaunui vector v ),• valorile activelor la maturitate, specificate în matricea cash-flow (flux de lichidităţi):

D =

S0T (ω1) S0

T (ω2) . . . S0T (ωM )

S1T (ω1) S1

T (ω2) . . . S1T (ωM )

. . . . . . . . . . . .SNT (ω1) SNT (ω2) . . . SNT (ωM )

.

Elementele matricei D = ST (ω) reprezintă suma obţinută/datorată pentru fiecare activ în fiecare din stărileposibile la maturitate (linia i reprezintă fluxurile posibile asociate cu deţinerea unei unităţi din activul i).Definim un portofoliu de active tranzacţionabile printr-un vector θ = (θ0, θ1, . . . , θN )tr . Aici, θi (i = 0, N)reprezintă numărul de unităţi deţinute din activul i. Pentru simplitate, presupunem că θi ∈ R.Dacă pentru un i fixat avem:1. θi > 0, atunci investitorul deţine o cantitate θi din activ până la scadenţă şi are dreptul la posibiledividende, în valoare de Si(T , ωj ) θij=1, M ;2. θi = 0, atunci investitorul nu investeşte în activul i;3. θi < 0, atunci investitorul vinde short activul (i.e., îl ia cu împrumut şi apoi îl vinde) şi va avea posibileledatorii Si(T , ωj ) θij=1, M până la scadenţă.Preţul iniţial al portofoliului θ este:Str0 θ = N∑

i=0 Si0 θi,

iar profitul/pierderea la maturitate (t = T ) va fi dată de vectorul Dtrθ.

37

Page 39: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF4 [Dr. Iulian Stoleriu]Dinamica pieţei:

La momentul iniţial, t = 0, investim suma Str0 θ = N∑i=0 S

i0 θi.La maturitate, t = T , obţinem un câştig (pierdere) aleator (aleatoare): Dtrθ = N∑

i=0 SiT (ω) θi, care depinde

de starea în care se va afla piaţa la acel moment, i.e., depinde de ω.Notaţie: Pentru un vector x ∈ Rd , vom spune că x > 0 dacă x ∈ Rd+. Vom spune că x > 0 dacă x > 0 şix 6= 0. Menţionăm că x > 0 nu înseamnă că x este pozitiv în toate coordonatele.Definiţia 4.1. Spunem că portofoliul θ generează oportunităţi de arbitraj dacă

(a) Str0 θ = 0 şi Dtrθ > 0, sau(b) Str0 θ < 0 şi Dtrθ > 0. (4.1)Observaţia 4.2. Din (a) observăm că, deşi la momentul iniţial investiţia este zero, la maturitate obţinem unprofit sigur. Condiţia (b) spune că am putea împrumuta bani pentru consum la t = 0 şi să nu avem nimic dereturnat la scadenţă, adică am avut un free lunch la t = 0 pe cheltuiala pieţei.Teorema 4.3. Spunem că piaţa este lipsită de arbitraj dacă şi numai dacă există un vectorψ = (ψ1, ψ2, . . . , ψM )tr , cu ψj > 0, (∀) j = 1, M , astfel încât

S0 = Dψ. (4.2)Observaţia 4.4. Un astfel de vector ψ se numeşte vector de stare. Cu alte cuvinte, lipsa arbitrajului esteechivalentă cu existenţa unui vector de stare. Teorema anterioară spune că într-o piaţă lipsită de arbitrajtrebuie să existe o anumită relaţie între preţurile iniţiale şi fluxul de lichidităţi. Putem rescrie (4.2) în forma

S00S10...SN0

=

S0T (ω1)S1T (ω1)...SNT (ω1)

ψ1 +

S0T (ω2)S1T (ω2)...SNT (ω2)

ψ2 + · · ·+

S0T (ωM )S1T (ωM )...SNT (ωM )

ψM

Vectorul multiplicat cu ψi este vectorul preţ al activului suport în cazul în care acesta se află în starea ωi lamaturitate.Demonstraţie. ”⇐: ” S0 = Dψ implică

Str0 θ = (Dψ)trθ = ψtrDtrθ. (4.3)Dacă presupunem prin absurd că θ e un portofoliu ce generează arbitraj, atunci

Str0 θ < 0 şi Dtrθ > 0 ⇒ ψtrDtrθ > 0,sau

Str0 θ = 0 şi Dtrθ > 0 ⇒ ψtrDtrθ > 0,care conduc la o contradicţie cu (4.3).”⇒: ” Pentru a demonstra această implicaţie ne vom folosi de o lemă. Să considerăm conul convexRM+1+ = x ∈ RM+1; xi > 0, (∀) i = 1, M + 1 ⊂ RM+1.

38

Page 40: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF4 [Dr. Iulian Stoleriu](C este con convex dacă x ∈ C ⇒ λx ∈ C , (∀) λ > 0.)şi fie subspaţiul liniar L ⊂ RM+1, definit prin L = ( −Str0 θDtrθ

), θ ∈ RN+1.

Lema 4.5. Într-o piaţă lipsită de arbitraj avem

L⋂

RM+1+ = 0. (4.4)- Într-adevăr, dacă am presupune prin absurd că a, b ∈ L

⋂RM+1+ , atunci cu siguranţă a > 0 şi

b > 0.Dacă am presupune că a > 0 şi b > 0, aceasta implică −Str0 θ > 0 şi Dtrθ > 0, ceea ce implică oportunitatede arbitraj.Dacă presupunem a = 0 şi b > 0, atunci Str0 θ = 0 şi Dtrθ > 0, ceea ce înseamnă arbitraj.În sfârşit, dacă a > 0 şi b = 0, atunci Str0 θ < 0 şi Dtrθ = 0, adică o oportunitate de arbitraj. √

Acum să trecem la demonstrarea implicaţiei directe. Din faptul că RM+1+ nu e subspaţiu liniar al lui RM+1, Le un subspaţiu liniar al lui RM+1 şi (4.4), obţinem că (folosind o teoremă de separare de tip Hahn-Banach)există un hiperplan H de formaH = x ∈ RM+1; M∑

i=0 λixi = 0 ⊂ RM+1,astfel încât L ⊂ H şi H⋂RM+1+ = 0. Aici, λ = (λ0, λ) ∈ RM+1 şi λ = (λ1, λ2, . . . , λM ).Dar H⋂RM+1+ = 0 ⇒ λi > 0, pentru toţi i, ori λi < 0, pentru toţi i. (λ este direcţia normală la H)Avem succesiv:

L ⊂ H ⇒ −λ0Str0 θ + λDtrθ = 0, (∀) θ ⇒ Str0 = λλ0Dtr .Dacă alegem ψ = 1

λ0 λtr , i = 1, 2, . . . , M, atunci avem S0 = Dψ.Observaţia 4.6. Componentele ψj ale vectorului de stare ψ, j = 1, M , se numesc preţuri de stare.Interpretarea probabilistic a teoremei:

Fie ψ∗ = M∑k=1 ψk şi considerăm

ψ = (ψ1ψ∗ ,

ψ2ψ∗ , . . . ,

ψMψ∗

),

care este un vector ce are drept componente nişte cantităţi pozitive, numite probabilităţi neutre la risc(riskless probabilities) sau probabilităţi ajustate la risc. Mai spunem că ψ defineşte o măsură martingală

echivalentă (MME). Avem: M∑k=1 ψk = 1 şi ψk > 0, (∀) k , deci le putem considera că fiind probabilităţi ale

unei repartiţii discrete,Q(ω) = M∑

j=1 ψjχAj (ω), unde χAj = 1, dacă ω = ωj0, dacă ω 6= ωj .

39

Page 41: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF4 [Dr. Iulian Stoleriu]Vrem să-l găsim pe ψ∗. Să presupunem că piaţa permite împrumuturi lipsite de risc, i.e. există un portofoliuθ astfel încât

Dtr θ =

11...1 ∈MM×1,

(i.e., valoarea portofoliului la maturitate este 1, indiferent de starea în care se află piaţa).Dorim să calculăm preţul iniţial al acestui portofoliu. Deoarece ψ este un vector de stare, atunci folosindteorema anterioară putem scrie:Str0 θ = (Dψ)tr θ = ψtr (Dtr θ) = ψtr

11...1 = M∑

j=1 ψk = ψ∗,

de unde rezultă că ψ∗ este chiar factorul de actualizare (e.g., ψ∗ = (1 + r)−T , în cazul în care dobândase calculează compus sau ψ∗ = e−rT , în cazul în care dobânda se calculează în mod continuu) pentru unîmprumut fără risc. Aşadar, avemStr0 θ = ψ∗.Putem calcula valoarea aşteptată a preţului activului SiT (ω) în raport cu repartiţia de probabilitate dată de

ψ. Folosind (4.2), avem:EQ [SiT (ω)] = M∑

j=1 SiT (ωj )ψjψ∗ = 1

ψ∗M∑j=1 S

iT (ωj )ψj = 1

ψ∗Si0.

Aşadar,Si0 = ψ∗EQ [SiT (ω)] = (1 + r)−TEQ [SiT (ω)], i = 0, 1, 2, . . . , N.Astfel, putem demonstra următoarea teoremă:

Teorema 4.7. Presupunem că într-o piaţă lipsită de arbitraj există oportunităţi de investiţii neriscante(împrumuturi) cu o rată unitară anuală r . Atunci există o măsură de probabilitate astfel încât valoareainiţială a oricărui portofoliu este egală cu valoarea aşteptată actualizată a fluxurilor de lichidităţi viitoarecorespunzătoare investiţiei.Demonstraţie. Pentru un portofoliu θ, valoarea sa iniţială este

Str0 θ = ψ∗(EQ [ST ])tr θ= (1 + r)−T (EQ [S0

T (ω)], EQ [S1T (ω)], . . . , EQ [SNT (ω)])θ

= (1 + r)−T N∑i=0 EQ [SiT (ω)]θi

= (1 + r)−TEQ [ST (ω)θ],unde ST (ω) = [S0

T (ω), S1T (ω), . . . , SNT (ω)].

Observaţia 4.8. Dacă dobânda se calculează în mod compus, atunci avem:Str0 θ = e−rTEQ [ST (ω)θ].

40

Page 42: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF4 [Dr. Iulian Stoleriu]Pentru a înţelege mai bine măsurile neutre la risc, vom prezenta ce înseamnă acestea în cazul pariurilor.Exemplu de piaţă financiară cu oportunităţi de arbitraj. Pariuri sportive (odds)

O casa de pariuri va cota un eveniment cu ”m − n pentru ” (odds in favour) ca el sa se realizeze dacă dinn+m repetitii ale evenimentului, vom astepta ca acel eveniment sa se realizeze de m ori si nu se va realizain celelalte n cazuri. O alta notatie este ”m : n”. In general, scriem

odds in favour = successes : failures.

Astfel, "probabilitatea implicita" de realizare a evenimentului este mm+n . Spre exemplu, odds in favor pentruobtinerea fetei cu 3 puncte la aruncarea unui zar ideal sunt 1 : 5 sau 1− 5.Pe de altă parte, vom spune ca o casa de pariuri va cota un eveniment cu ”m − n împotrivă ” (odds against)ca evenimentul sa se intample atunci cand evenimentul nu are loc in m dintre cele m+ n cazuri, si are locin celelalte n cazuri. O casă de pariuri va folosi mai degrabă ”m − n împotrivă ”, decât cealaltă variantă.In general, scriem

odds against = failures : successes.Spre exemplu, odds against pentru obtinerea fetei cu 3 puncte la aruncarea unui zar ideal sunt 5 : 1 sau5− 1.Presupunem ca un parior va paria €30 pentru ca un cal sa castige o cursa, stiind ca el este cotat cu ”5− 2in favour ”, atunci pentru fiecare €2 pariati primeste €5, plus cei €2 inapoi. Astfel, pariorul va primi in manasuma de €105, profitul sau net fiind de €75.Exerciţiu 4.1. Ion este acum bookmaker. La un meci de fotbal între echipele Olandei şi României, şanselereale pentru o victorie a Olandei sunt de 60%, pentru o victorie a Romaniei sunt de 10%, iar sansa unui egaleste de 30%. Dacă Ion doreste un joc cinstit pentru clienţii casei de pariuri, care ar trebui sa fie cotelecorecte pariurilor? (joc cinstit = joc in care sansa ca cineva sa obtina profit este 0.)- Presupunem ca Ana doreste sa parieze €1 ca Olanda sa castige, care este cotat la casa de pariuricu şansele ”x − 1 against ”. Profitul/pierderea net(ă) al(a) Anei va fi

WA = ( −x 10.6 0.4 ) .Pariul e cinstit dacă E(WA) = 0.6 · (−x)+ 0.4 · 1 = 0, de unde x = 23 . Asadar cota cinstita pentru ca Olandasa castige este ” 23 − 1 against ”, echivalent cu ”2 − 3 against ”.În mod similar, găsim că o cotă cinstită pentru ca Romania să castige este ”9 − 1 against”, iar pentruegalitate cota corectă este ”7 − 3 against”. √

In general, dacă un eveniment se realizeaza cu probabilitatea p, atunci cotarea corecta la casa de pariuri(en., odds against) este′′x − 1 împotrivă”, cu x = 1− p

p .

Insa, in realitate lucrurile stau cu totul diferit. Casa de pariuri doreste sa obtina un profit din pariuri,astfel nu si-ar putea justifica existenta. Mai mult, va dori sa aiba un profit ce sa nu depinda de rezultatulevenimentului. Sa presupunem ca suntem in cazul in care casa de pariuri doreste sa castige un procent, sa41

Page 43: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF4 [Dr. Iulian Stoleriu]spunem 10%, din intreaga suma pariata de pariori. Pentru simplitatea calculelor, sa mai presupunem ca, dacăseful de la pariuri presimte ca sansele Olandei de a castiga sunt de 60%, atunci poate presupune ca 60%din suma pariata va fi pentru ca Olanda sa castige evenimentul. Un rationament similar se poate aplica sipentru celelalte doua cazuri, astfel ca putem presupunem ca 10% din suma totala a fost pariata pe Romaniasa castige, iar 30% din suma pariata pe un rezultat de egalitate.Sa presupunem ca intreaga suma pariata este S iar casa de pariuri doreste sa stabileasca cotele x − 1,y− 1 si z − 1 pentru ca Olanda, Romania, respectiv, niciuna dintre cele doua sa castige meciul, astfel incatsa obtina profit oricare ar fi rezultatul meciului.Dacă Olanda va castiga meciul, atunci casa de pariuri va ramane cu suma S − 0.6 · S(x + 1) = 0.1 · S , deunde x = 12 .Dacă Romania va castiga meciul, atunci casa de pariuri va ramane cu suma S − 0.1 · S(y+ 1) = 0.1 · S , deunde y = 8.Dacă meciul se va termina la egalitate, atunci casa de pariuri va ramane cu suma S−0.3 ·S(z+1) = 0.1 ·S ,de unde z = 2.

Echipa Probabilitati lipsite de risc Cote corecte Probabilitati modificate Cote modificateOlanda 0.6 2− 3 2/3 1− 2Romania 0.1 9− 1 1/9 8− 1Egalitate 0.3 7− 3 1/3 2− 1Tabela 4.1: Cotele corecte si modificate pentru pariuri.

In cazul in care casa de pariuri isi propune sa castige indiferent de rezultat (ceea ce este firesc si se intamplade fiecare dată in realitate), atunci suma probabilitatilor din penultima coloana a tabelului 4.1 este mai maredecat 1.Interpretarea este urmatoarea: piata pariurilor nu este una viabila, adica exista posibilitati de arbitraj. Caaceasta piata sa fie viabila, ar fi trebuit ca inaintea meciului sa apara afisate cotele corecte, adica cele dina treia coloana a tabelului 4.1, implicit, probabilitatile neutre de risc sunt cele din a doua coloana.Piaţă completă

Să presupunem că pe o piaţă pot fi tranzacţionate N + 1 active şi că fiecare activ poate fi, la scadţă, în unadin cele M stări posibile, (ω1, ω2, . . . , ωM ).Definiţia 4.9. (1) Spunem că un activ financiar poate fi protejat împotriva riscului (hegdeable, replicated saureachable) dacă există un portofoliu (θ0, θ1, . . . , θN )tr de active astfel încât activul financiar şi portofoliulgenerează la t = T fluxuri de lichidităţi identice.(2) Un astfel de portofoliu se numeşte portofoliu de acoperire sau reproductibil (replicating sau hedgeableportfolio).(3) O piaţă cu N + 1 active tranzacţionabile şi M stări posibile se numeşte piaţă completă dacă, pentruorice vector de lichidităţi (cash-flow) ∆ = (∆1, ∆2, . . . , ∆M ), există un portofoliu θ = (θ0, θ1, . . . , θN ) deactive ce are valoarea ∆j în starea ωj , j = 1, M .Deoarece portofoliul de acoperire şi activul au fluxuri de lichidităţi identice (la t = T ), lipsa arbitrajului depe piaţă implică faptul că ele au şi aceeaşi valoare iniţială. În caz contrar, putem contrui o oportunitate de

42

Page 44: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF4 [Dr. Iulian Stoleriu]arbitraj ori prin vânzarea short a portofoliului şi cumpărarea activului (în cazul în care valoarea portofoliuluieste mai mare decât cea a activului), ori prin vânzarea short a activului şi cumpărarea portofoliului (dacăvaloarea portofoliului este mai mică decât valoarea activului financiar). Aşadar, putem enunţa următoareapropoziţie:Propoziţia 4.10. Într-o piaţă lipsită de arbitraj, dacă un activ financiar admite un portofoliu reproductibil,atunci valoarea activului este aceeaşi cu cea a portofoliului, în orice moment.

Prin definiţie, o piata financiara viabila este si completa dacă orice activ financiar poate fi replicat printr-unportofoliu de active deja existente pe piata.Aşadar, completitudinea pieţei este echivalentă cu existenţa unui portofoliu θ = (θ0, θ1, . . . , θN ) de activeexistente pe piaţă, astfel încât, pentru orice ∆ = (∆1, ∆2, . . . , ∆M ),Dtr θ = ∆, (4.5)

unde D = (Di j )i=0, Nj=1, M este matricea flux de lichiditati.

Aceasta relaţie este echivalentă cu faptul că sistemulN∑i=0 Di j θi = ∆j , j = 1, M (4.6)

are soluţia θ ∈ RN+1, pentru orice ∆ ∈ RM . Din Algebra liniară ştim că această proprietate este satisfăcutădacă rang D = M. (4.7)Proprietatea de completitudine a pieţei financiare este una foarte tare, care simplifică mult evaluarea preţuluiderivatelor financiare. Folosind relaţia (4.7) pentru sistemul de ecuaţii (4.2) (cu necunoscutele ψj ), regula luiCramer ne dă o soluţie unică (ψ1, ψ2, . . . , ψM ). Aşadar, dacă într-o piaţă financiară nu există oportunitatide arbitraj, atunci există un unic vector de stare, ceea ce implică un unic set de probabilităti neutre la risc.Invers, dacă există un unic vector de stare, atunci piaţa este completă.Cu alte cuvinte, avem:Propoziţia 4.11. O piaţă viabilă (lipsită de arbitraj) este completă dacă şi numai dacă există o unică măsurămartingală echivalentă.

sau,O piaţă viabilă (lipsită de arbitraj) este completă dacă şi numai dacă există un unic sistem de preţuri.

Observaţia 4.12. (a) Dacă într-o piaţă financiară numărul de active tranzacţionabile este mai mic decâtnumărul de stări de incertitudine (N + 1 < M), atunci piaţa nu poate fi completă.(b) Din punct de vedere tehnic, dacă un activ financiar ai din lista celor tranzacţionabile este aşa încâtSit (ωj ) > 0 (i = 0, N, j = 1, M), atunci îl putem alege drept activ de referinţă şi putem determina toatecelelalte preţuri relativ la acest activ (i.e., în unităţi din acest activ). Un astfel de activ de referinţă senumeşte numerar (fr., numéraire).

43

Page 45: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF4 [Dr. Iulian Stoleriu]Probleme propuse

Exerciţiu 4.2. Un call european cu preţul de exerciţiu K = £30 şi scadenţa de 6 luni, asupra unui activsuport ce nu generează dividende, valorează acum cu £1.50. Valoarea spot a activului suport este de £32 şirata unitară anuală lipsită de risc este r = 0.08 p.a. Investigaţi dacă există oportunităţi de arbitraj. În cazafirmativ, construiţi o astfel de strategie.Exerciţiu 4.3. Considerăm un model de piaţă financiară cu o sigură perioadă (T ), în care se pot tranzacţionadoar: o obligaţiune cu B0 = 1 şi BT = 1.1 şi un activ riscant, cu S0 = 100, ST = (99, 154, 88).(a) Cercetaţi viabilitatea pieţei.(b) Este piaţa completă?Exerciţiu 4.4. Considerăm un model de piaţă financiară cu o sigură perioadă (T ), în care se pot tranzacţionadoar o obligaţiune (Bt ) şi două tipuri de acţiuni (S1

t şi S2t ). Presupunem că preţurile actuale ale activelorsunt:

S0 = (1, 140011 , 144011)tr

.

La maturitate vom avea următoarea diagramă de posibile preţuri:D = 1.1 1.1 1.1140 80 200100 150 160

.

(a) Cercetaţi viabilitatea şi completitudinea pieţei;(b) Care este MME în cazul în care activul sigur este numeraire?(c) Care este MME în cazul în care prima acţiune este numeraire?(d) Care este valoarea unei opţiuni care permite să se schimbe S1 cu S2 (i.e., valoarea la scadenţă a opţiuniieste OT = (S2T − S1

T )+)?Exerciţiu 4.5. Considerăm un model de piaţă financiară cu o perioadă şi trei stări de incertitudine ω1, ω2, ω3,în care singurele active tranzacţionabile sunt: un activ sigur (notat aici prin B) şi două active riscante (notateaici prin S1

T şi S2T ). Ştim că B0 = 10, S10 = 24, S20 = 40, iar la scadenţa scadenţă T diagrama de preţurieste:

ω1 ω2 ω3BT 12 12 12S1T 20 26 30S2T 36 42 50

(a) Determinaţi dacă piaţa considerată este lipsită de arbitraj. Este piaţa completă?(b) Determinaţi măsura martingală echivalentă în cazul în care activul sigur este numéraire.(c) Considerăm un activ derivat (notat aici prin Dt ) având activul riscant drept activ suport. Ştiind că lascadenţă valorile derivatului pot fi DT (ω1) = 8, DT (ω2) = 14, DT (ω3) = 22, determinaşi valoarea lipsită dearbitraj a lui D0.

44

Page 46: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF5 [Dr. Iulian Stoleriu]5 Matematici financiare (C5)

Evaluarea opţiunilor

În continuare, abordăm problema evaluării derivatelor financiare tranzacţionate pe o piaţă financiară ideală,modelată ca în paragraful precedent. Reamintim caracteristicile unei pieţe financiare ideale:• costurile de tranzacţionare, comisioanele, taxele sunt neglijate;• nu sunt restricţii asupra cantităţilor tranzacţionate şi că această condiţie nu va schimba preţul activelortranzacţionate;• aceeaşi dobândă pentru împrumut sau credit;• investitorii preferă tot mai mult - sunt nesătui;• lipsa arbitrajului (nu exită free lunch);Să presupunem că r este rata fixă a dobânzii unitare atât pentru împrumut cât şi pentru credit, iar dobândaeste calculată compus continuu. Bineînteles, în cazul în care dobânda se calculează în alt mod, formulele cele vom obţine se pot adapta în mod corespunzător.Problema principala la care dorim sa raspundem in acest capitol este urmatoarea. Dorim sa evaluam preţulunui contract cu opţiune in conditiile in care valoarea activului suport se poate modifica de un numar finit deori in intervalul de timp pana la scadenta, iar valorile posibile ale activului suport la t = T sunt in numarfinit. Pentru a rezolva aceasta problema, vom considera mai intai cazul cel mai simplu, in care modificareade pret ce o poate avea activul suport se face doar la scadenta (adica avem o singura perioada), model pecare il vom generaliza aopoi la mai multe perioade.

Modelul (binomial) cu o perioadă

Punerea problemei

În această secţiune, vom considera cel mai simplu caz particular, netrivial, ce se poate obţine din modelulArrow-Debreu. Folosindu-ne de acest model de piaţă, vom determina preţul corect (lipsit de arbitraj) al unuiderivat financiar. Chiar dacă modelul prezentat mai jos este cel mai simplu model discret de piaţă financiară,el conţine totuşi toate trăsăturile şi elementele modelelor viitoare mai complicate şi este un excelent punctde start. În pofida simplităţii sale, este totuşi un model îndeajuns de riguros.Sa consideram un activ financiar al cărui preţ este St la momentul t şi un contract (derivat financiar) de tipeuropean (i.e. tranzacţia precizată prin contract are loc doar la t = T ) a cărui valoare depinde de preţulactivului, care astfel devine activ suport pentru derivat. (In exemplul 5.1, activul suport este o maşină, iarderivatul financiar este un contract cu opţiune de tip call european, adică dreptul de a cumpăra maşina la unmoment viitor, cu un preţ prestabilit.) Cunoaştem preţul actual, S0, al activului suport (al maşinii în exempluldat) şi faptul că la t = T activul poate avea doar două preţuri posibile, ST = Su, sau ST = Sd (Sd < Su).Cu alte cuvinte, la scadenţa t = T piaţa poate avea doar două stări de incertitudine, ω1 şi ω2.45

Page 47: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF5 [Dr. Iulian Stoleriu]La un moment dat t , valoarea contractului derivat este, sa zicem, ft = f(St ). Dorim să evaluăm valoareaderivatului financiar (contractului) la momentul iniţial (t = 0), adica f0 = f(S0).Dar, înainte de a prezenta modelul, să propunem următoarea problema simplă, care va fi rezolvată ulteriorprin aplicarea modelului binomial.Exemplu 5.1. O anumită maşină costă astăzi S0 = €10000 iar, după exact un an (i.e., T = 1), se estimeazăcostul maşinii a fi ori ST = €12000 ori ST = €9000. Suntem interesaţi de evaluarea unei opţiuni de tip calleuropean ce depinde de costul maşinii, cu preţul de livrare K = €11000, la T = 1 an (considerăm că rataunitară anuală este r = 0.05). Cu alte cuvinte, cât ar trebui să plătiţi pentru dreptul de a cumpăra maşinadupă exact un an, cu preţul K = €11000?

pretul activului suport pretul unui call european cu pretul de livrare K

S1(0)

Su = uS

1(0)

Sd = dS

1(0)

t = 0 t = T

?

Cu = (S

u − K)+

Cd = (S

d − K)+

t = 0 t = T

C0 =

Figura 5.1: Arbore binomial cu o perioadă pentru un call european.Observăm că, la maturitate, sunt doar două variante posibile de preţ pentru maşină: Su = ¿12000 şi Sd =¿9000 şi, deci, două variante de preţ opţiunea de tip call european la scadenţă: Cu not= (Su − K )+ sauCd

not= (Sd−K )+ (vezi diagrama 5.1). Vom prezenta rezolvarea acestui exercitiu mai tarziu, in Observatia 5.6.Observaţia 5.2. Cu alte cuvinte, vrem să evaluăm dreptul de a cumpăra activul la momentul t = T pentrupreţul K . Ne interesează preţul corect, i.e. acel preţ pentru care nici cumpărătorul şi nici vânzatorul nucâstigă sau pierde în urma tranzacţiei (deci nu există oportunităţi de arbitraj).Aşadar, trebuie să evaluăm opţiunea astfel încât să nu creăm oportunităţi de arbitraj. Ideea de bază estecontruirea unui portofoliu format dintr-un activ neriscant (obligaţiune sau depozit în bancă) şi unul riscant(activul suport), astfel încât la fiecare moment t ∈ [0, T ] portofoliul de active şi opţiunea au aceeaşi valoare.De remarcat că ambele active sunt active financiare ce au valori variabile în timp.Să considerăm problema evaluării valorii derivatului financiar din punct de vedere intuitiv. Deoarece lat = T activul financiar poate lua valoarea Su cu probabilitatea p sau valoarea Sd cu probabilitatea 1 − p,atunci derivatul financiar la scadenţă poate lua valoarea f(Su) cu probabilitatea p sau valoarea f(Sd) cuprobabilitatea 1− p. Dacă am determina preţul derivatului financiar folosind principiul valorii aşteptate (i.e.valoarea actuala este valoarea aşteptată la t = T , înmulţită cu factorul de actualizare), atunci am avea orelaţie de genul:

V0 = (1 + r)−T (pf(Su) + (1− p)f(Sd)) . (5.1)Însă, după cum am văzut în cursurile anterioare, un astfel de preţ generează oportunităţi de arbitraj, deci nu46

Page 48: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF5 [Dr. Iulian Stoleriu]este preţul raţional (corect). Mai mult, din moment ce avem libertate în alegerea lui p, nu putem obţine unpreţ V0 unic.Reamintim că, in general, valoarea lui ST nu este cunoscută la momentul încheierii contractului (deci nicif(ST ) nu este cunoscut a priori), ci doar poate fi anticipată (ghicită). Putem astfel considera ST ca fiind ovariabilă aleatoare, care ia diverse valori, în funcţie de starea pieţei la maturitate.Evaluarea prin lipsa arbitrajului

Pentru a rezolva această problemă, vom utiliza modelul Arrow-Debreu, în care considerăm o piaţă lipsită dearbitraj, cu o perioadă, în care se pot tranzacţiona doar două active financiare (i.e., N = 1): un activ riscant(a cărui valoare la momentul t o vom nota prin Bt ) şi unul lipsit de risc (a cărui valoare la momentul t ovom nota prin St ). Menţionăm că, în notaţiile de la modelul Arrow-Debreu, avem: S0t = Bt şi S1

t = St .Cunoaştem preţurile iniţiale ale ambelor active financiare (i.e., B0 şi S0) şi, de asemenea, rata anuală unitară(r) este cunoscută. Activul riscant va avea două variante de preţ la scadenţă, iar preţul activului lipsit derisc la scadenţa va fi preţul iniţial înmulţit cu factorul de fructificare. Vom presupune că valoarea activuluiriscant la t = 0 este S0 şi că preţul lui la t = T > 0 poate creşte cu un factor u la valoarea Su, saupoate scădea cu un factor d la valoarea Sd . Acesta este un model discret (binomial) cu o perioadă şi esteprezentat în detaliu mai jos.Elementele caracteristice modelului cu o singură perioadă:

* o piaţă financiară în care se pot tranzacţiona doar două active: a0− un activ financiar sigur (e.g., oobligaţiune sau un depozit bancar cu o dobândă precizată, fixă) şi a1− este un activ riscant (e.g., acţiune).Ca o observaţie, activul lipsit de risc (sigur) ne ajută la stabilirea valorii în timp a banilor;* un singur interval de timp (perioadă), între t = 0 (actual) şi t = T (scadenţă sau maturitate).* două stări posibile ale pieţei la maturitate: Ω = ω1, ω2, în care preţurile pot scădea sau creşte;* rata dobânzii unitare anuale este r , considerată fixă in toată această perioadă. (Uneori se noteaza cuR factorul de fructificare, deci 1

R este factorul de actualizare. Astfel, dacă dobânda se calculează în modcompus, atunci R = (1 + r)T , iar în cazul continuu este R = erT . Valoarea la t = T a B0 unităţi din activula0, deţinute la t = 0, va fi RB0).* vectorul preţ iniţial pentru un portofoliu format dintr-un singur activ sigur şi un singur activ riscant:

S0 = ( B0S0).

(Aici, B0 > 0, S0 > 0).* fluxul de lichidităţi sau cash-flow (preţurile posibile ale activelor) la t = T :

D = ( BT (ω1) BT (ω2)ST (ω1) ST (ω2)

),

unde ST (ω1) = dS0 not= Sd , ST (ω2) = uS0 not= Su şi BT (ω1) = BT (ω2) = B0(1+ r)T (d < u). Constanta r esterata unitară lipsită de risc.* pentru un portofoliul θ,

θ = ( θ1θ2)

47

Page 49: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF5 [Dr. Iulian Stoleriu](i.e., θ1 unităţi din activul sigur şi θ2 unităţi din activul riscant), valoarea iniţială a acestuia este θ1B0 +θ2S0.* urmarim sa evaluam valoarea un contract derivat, al carui pret depinde de valoarea activului suport. De-oarece la scadenta preţul activului suport are doua preţuri posibile, atunci si derivatul financiar va avea douavalori, fu = f(Su) si fd = f(Sd) (vezi Figura (5.2)).

pretul activului suport pretul unui derivat european cu pretul de exercitiu K

S1(0)

Su = uS

1(0)

Sd = dS

1(0)

t = 0 t = T

?

fu

fd

t = 0 t = T

f0 =

p

1−p

Figura 5.2: Arbore binomial cu o perioadă.Cazuri particulare de derivate financiare

(a) derivatul financiar este un contract forward cu preţul de livrare K şi maturitate T . Atunci f(Sd) = Sd−Kşi f(Su) = Su − K . În acest caz dorim să găsim pe F0.(b) derivatul financiar este o opţiune call europeană cu preţul de livrare K şi maturitate T . Atuncif(Sd) = Cd = (Sd − K )+ şi f(Su) = Cu = (Su − K )+. Căutăm să-l evaluăm pe C0.Următoarea propoziţie este o caracterizare a lipsei arbitrajului:Propoziţia 5.3. Într-o piaţă lipsită de arbitraj (i.e., o piaţă viabilă) trebuie să avem:

d < (1 + r)T < u. (5.2)Demonstraţie. Demonstrăm prin reducere la absurd. Presupunem că d < u < (1+r)T . Considerăm portofoliulΦ = (S0

B0 , −1) (i.e., o poziţie long asupra a S0B0 unităţi din activul sigur şi o poziţie short asupra unei unităţidin activul suport). Valoarea lui iniţială este V0(Φ) = S0

B0B0 + (−1)S0 = 0. Dacă preţul activului la t = Teste Su, atunci valoarea portofoliului Φ în acel moment esteV1(Φ) = S0

B0B0 (1 + r)T − uS0= ((1 + r)T − u)S0> 0,

ceea ce generează arbitraj (avem investiţie zero la t = 0 şi profit la t = T ). Deci (1 + r)T < u.Analog se arată d < (1 + r)T .48

Page 50: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF5 [Dr. Iulian Stoleriu]Observaţia 5.4. Concluzia propoziţiei anterioare se traduce astfel: într-o piaţă financiară o investiţie riscantă(i.e. a investi în acţiuni) poate fi, în cazul unei pieţe favorabile, mai profitabilă decât una lipsită de risc (e.g.depozit în bancă), dar poate fi şi mai puţin profitabilă, când piaţa devine defavorabilă investiţiilor riscante.Acesta este cadrul (modelul de piaţă financiară) în care considerăm instrumentul financiar derivat, de tipeuropean. Valoarea la maturitate a derivatului va depinde (este o funcţie) de preţul activului a1. Aşadar,dacă St este preţul lui a1 la momentul t , atunci valoarea derivatului la momentul t va fi Vt = f(St ). Cumderivatul financiar considerat este de tip european, avem chiar VT = f(ST ). În exemplul nostru, acest derivatfinanciar este o opţiune de tip call european, pentru care, de regulă, notăm valoarea sa prin Ct = f(St ).Mai ştim că CT = maxST − K , 0. Dorim să evaluăm preţul derivatului la t = 0 în condiţiile în care piaţaeste lipsită de arbitraj (viabilă). Cunoaştem doar posibilele (două) valori pe care le poate avea derivatul lat = T , şi anume: f(Su) sau f(Sd).Metoda evaluarii prin lipsa arbitrajului constă în construirea unui portofoliu format din activele tranzacţio-nabile pe piaţă, în cazul nostru activele a0 şi a1, astfel încât valoarea portofoliului să fie egală cu cea aderivatului financiar la scadenţă (t = T ). Un astfel de portofoliu l-am numit portofoliu de acoperire, saureproductibil (replicating portfolio) şi notat prin (θ∗1 , θ∗2 ). Deoarece piaţa e lipsită de arbitraj şi valorileportofoliului şi derivatului la maturitate sunt egale, rezultă că ele trebuie să fie egale la orice moment înperioada considerată, inclusiv la t = 0. Aşadar, valoarea căutată pentru derivatul financiar este valoareainiţială a portofoliului astfel construit. Dacă B0 şi S0 sunt preţurile iniţiale ale activelor a0 şi, respectiv, a1,atunci avem:

V0 = B0θ∗1 + S0θ∗2 (5.3)Intenţionăm să evaluăm valoarea acestui derivat financiar prin crearea unui portofoliu de acoperire (repro-ductibil), i.e., un portofoliu care să aibă în orice moment aceeaşi valoare cu derivatul financiar. Vom construiacest portofoliu reproductibil pe baza celor două active financiare existente pe piaţă. Să notăm prin Vtvaloarea derivatului financiar la momentul t . Scopul nostru este să-l evaluăm pe V0 not= V (0).Fie portofoliul θ format din θ1 unităţi din activul sigur şi θ2 unităţi din activul riscant. Valoarea iniţială aacestui portofoliu este

V0 = θ1B0 + θ2S0. (5.4)Pentru a-l afla pe V0 va trebui să găsim structura portofoliului θ. La maturitate, valoarea derivatului financiarva fluctua în funcţie de starea în care se va află piaţa financiară la acel moment. Putem aveaVd = θ1B0(1 + r)T + θ2Sd,

sauVd = θ1B0(1 + r)T + θ2Su.Dorim ca valoarea portofoliului să fie aceeaşi cu cea a derivatului financiar în orice moment t , adică,

Vd = f(Sd)Vu = f(Su).

Acesta este un sistem cu două ecuaţii şi două necunoscute, care are soluţie unică (deoarece determinantulsistemului este ∆ = B0(1 + r)T (Su − Sd) 6= 0). Soluţia unică a acestui sistem este:θ∗1 = Suf(Sd)− Sdf(Su)

B0(1 + r)T (Su − Sd) , θ∗2 = f(Su)− f(Sd)Su − Sd

. (5.5)

49

Page 51: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF5 [Dr. Iulian Stoleriu]Aşadar, portofoliul (θ∗1 , θ∗2 ) este portofoliul reproductibil pe care-l căutăm. Folosindu-ne de aceste valoriputem afla V0 din (5.4). Acesta este

V0 = θ∗1B0 + θ∗2S0= Suf(Sd)− Sdf(Su)B0(1 + r)T (Su − Sd)B0 + f(Su)− f(Sd)

Su − SdS0

= (1 + r)−T [ψf(Su) + (1− ψ)f(Sd)] ,unde

ψ = (1 + r)T − du− d ∈ (0, 1). (5.6)

((ψ, 1− ψ) sunt, de fapt, probabilităţile neutre la risc, sau MME.)Putem să demonstrăm următoarea teoremă:Teorema 5.5. Într-o piaţă viabilă, preţul unic al unui derivat financiar asupra unui activ suport cu preţul St(ce nu generează dividende) este

V0 = (1 + r)−T [ψf(Su) + (1− ψ)f(Sd)] . (5.7)unde ψ e dat de (5.6).Demonstraţie. Să notăm prin W0 valoarea din membrul drept (i.e., preţul portofoliului construit mai sus).Dacă V0 < W0, atunci putem vinde short portofoliul (θ∗1 , θ∗2 ) şi cumpăra derivate financiare (în valoare deV0). Totodată, intrăm în două contracte forward: primul contract ne permite să vindem derivatele în vedereareturnării împrumutului, iar prin al doilea contract cumpărăm cantitatea de portofoliu ce trebuie returnată.Investiţia la t = 0 generează un profit în valoare de W0 − V0. La scadenţă, t = T vom obţine pe derivateexact cât trebuie să plătim pe portofoliu, adică profitul de la t = 0 a fost obţinut construind o strategie dearbitraj. Aşadar, rămâne cu un profit W0 − V0 > 0, ceea ce este o oportunitate de arbitraj. Deci trebuie saavem V0 6 W0.Similar, se poate arăta că V0 > W0, ceea ce demonstrează rezultatul.Observaţia 5.6. Revenind la problema propusă mai sus, în care

S0 = ¿10000, Su = ¿12000, Sd = ¿9000, r = 0.05, K = ¿11000.Obtinem cad = 0.9, u = 1.2, Cu = 1000, Cd = 0.Folosind formula

V0 = (1 + r)−T [ψ(Su − K )+ + (1− ψ)(Sd − K )+] ,găsim că preţul unei opţiuni de tip call european cu preţul de livrare K , la maturitatea T = 1 este C0 =¿479.65. Structura portofoliului reproductibil este (vezi formulele 5.5):

(θ∗1 , θ∗2 ) = (−856.11, 13).Măsura martingală echivalentă este dată de:

(ψ, 1− ψ) = (0.5042, 0.4958).

50

Page 52: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF5 [Dr. Iulian Stoleriu]Exerciţiu 5.1. Sa consideram o piata financiara cu o perioada, [0, T ], in care avem doar doua active tranzac-tionabile: un activ sigur (e.g., un cont bancar) a carui valoare la momentul t o notam cu Bt , si un activ riscant(e.g., o actiune) a carui valoare la t o notam cu St . Presupunem ca la t = 0 valorile sunt B0 = 1, S0 = 150si la scadenta, t = T , avem: BT = 1 si ST poate lua doua valori, 90 sau 180. Se cere:(a) sa se cerceteze viabilitatea si completitudinea pietei si existenta uni masuri neutre la risc;(b) Consideram un activ financiar derivat, un call de tip european, care are drept activ suport activul riscant,scadenta T si preţul de exercitiu K = 150. Se cere sa se calculeze prima C0 pentru acest call european sivaloarea portofoliului de acoperire (sau replicabil).- (a) Asadar, vectorul pret initial este:

S0 = ( 1150 ) ,iar matricea cash flow esteD = ( 1 190 180 ) .Din teorema fundamentala, piata este lipsita de arbitraj dacă

∃ψ ∈ R2 astfel incat S0 = D ψ.Rezolvând acest sistem pentru ψ, găsim:ψ1 = 13 > 0, ψ2 = 23 > 0,

asadar piata este viabila. Deoarece ψ1 + ψ2 = 1, urmeaza ca acestea sunt si probabilitatile lipsite de risc.Deoarece rang D = 2 = M , rezulta ca piata este si completa.(b) Cautam un portofoliu (θ1, θ2) pentru care(CuCd

) = ( 1 1801 90 )·(θ1θ2),

undeCu = max180− 150; 0 = 30, Cu = max90− 150; 0 = 0.Gasim portofoliul de acoperire: Θ = (θ1, θ2) = (−30, 13).Asadar,

C0 = θ1 · 1 + θ2 · 150 = 20.Aceasi valoare o puteam gasi direct, folosind formula (5.7),C0 = (1 + r)−TEQ [C (T , ω)] = 1 · [ψCu + (1− ψ)Cd ] = 20.

Observaţia 5.7. (a) Dacă notam cu R factorul de fructificare (care depinde de modul cum se calculeazadobânda), atunci relatia (5.7) se poate rescrie astfel:V0 = 1

R [ψf(Su) + (1− ψ)f(Sd)] . (5.8)unde ψ este dat de

ψ = R − du− d ∈ (0, 1). (5.9)

51

Page 53: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF5 [Dr. Iulian Stoleriu](b) Comparând formulele (5.1) şi (5.7), observăm că preţul corect se obţine pentru p = ψ, unde ψ e dat de(5.6). De remarcat faptul ca in formula (5.7), ψ si 1− ψ sunt probabilitatile ca preţul initial S0 al activuluisă crească la Su, respectiv, să scadă la Sd . Probabilitatea ψ se numeşte probabilitate (pondere) lipsită derisc. Dacă notăm cu VT valoarea derivatului financiar european la t = T , atunci (5.7) devine

V0 = (1 + r)−T ψf(Su) + (1− ψ)f(Sd) (5.10)= (1 + r)−TEQ [VT ], (5.11)unde Q este aşa numita măsură martingală echivalentă (MME),Q(ω) = ψχω=ω1 + (1− ψ)χω=ω2.Relaţia (5.11) spune că valoarea prezent a unui derivat nanciar este egal cu valoarea actualizat a

valorii a³teptate a derivatului nanciar la scadenµ , în raport cu m sur martingal echivalent . Acestprincipiu este denumit de economişti ipoteza valorii aşteptate raţionale.Totodată, este interesant de observat că pentru a calcula V0 ne sunt necesare doar valorile posibile alelui f(ST ) (care pot fi simulate ca fiind valorile unei variabile aleatoare ce urmeaza repartitia lognormala) şiprobabilitatea lipsită de risc (vezi (5.10)).(c) Dacă derivatul financiar este un contract forward, atunci f(ST ) = ST − K şi, conform cu (5.7), preţulcontractului este

V0 = (1 + r)−T [ψ(Su − K ) + (1− ψ)(Sd − K )]= (1 + r)−T [RS0 − K ]= S0 − K (1 + r)−T ,adică tocmai valoarea găsită într-un curs anterior.Totodată, putem determina cu uşurinta şi preţul forward pentru un astfel de contract. Reamintim ca preţulforward este preţul de livrare pentru care valoarea iniţială a contractului este 0. Aşadar, preţul forward, F0,se obţine când V0 = 0, şi este dat de relaţiaF0 = S0(1 + r)T ,obtinuta in relaţia (2.1).(d) Dacă derivatul financiar este un call european, atunci f(ST ) = (ST − K )+ s. i

V0 = (1 + r)−T [ψ(Su − K )+ + (1− ψ)(Sd − K )+] . (5.12)Să notăm că, în cazul particular Sd < K < Su, (5.12) devine:

V0 = (1 + r)−T − du− d (Su − K ).

(e) Dacă derivatul financiar este un put european, atunci f(ST ) = (K − ST )+ s. iV0 = (1 + r)−T [ψ(K − Su)+ + (1− ψ)(K − Sd)+] . (5.13)

Să notăm că, în cazul particular Sd < K < Su, (5.13) devine:V0 = u(1 + r)−T − 1

u− d (K − Sd).52

Page 54: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF5 [Dr. Iulian Stoleriu]Modelul binomial pentru o piaţă financiară

Modelul binomial cu două perioade

Sa presupunem ca suntem in cazul unei piete financiare in care preţul unui activ financiar se modifica deexact doua ori in perioada [0, T ], o dată la t = T2 si a doua oara la t = T . Dacă la t = 0 preţul activuluieste S0, atunci preţul acestuia pana la t = T se poate modifica dupa schema din Figura 5.3.

S0

Su = uS

0

Sd = dS

0

t = 0 t = T/2 t = T

p

1−p

Suu

= u2 S0

Sud

= u d S0

Sdd

= d2S0

p

p

1−p

1−p

X X X

(f0)

(fu)

(fd)

(fuu

)

(fud

)

(fdd

)

Figura 5.3: Variaţiile preţului unui activ suport în modelul binomial cu 2 perioade.Să presupunem că dorim să tranzacţionăm un activ financiar derivat la t = T , a cărui valoare depinde depreţul activului considerat mai înainte. Notăm cu f(St ) valoarea acestui derivat financiar la momentul t şifacem următoarele notaţii:

fuu = f(Suu); fud = f(Sud); fdd = f(Sdd).Piaţa considerată este lipsită de arbitraj dacă p = ψ, unde ψ este probabilitatea lipsită de risc (en., risklessprobability),

ψ = (1 + r) T2 − du− d .

Aplicând rezultatul din modelul cu o perioadă, putem scrie:fu = (1 + r)− T2 [ψfuu + (1− ψ)fud ];fd = (1 + r)− T2 [ψfud + (1− ψ)fdd ],

53

Page 55: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF5 [Dr. Iulian Stoleriu]de unde:

f0 = (1 + r)− T2 [ψfu + (1− ψ)fd ]= (1 + r)−T [ψ2fuu + 2ψ(1− ψ)fud + (1− ψ)2fdd ]= (1 + r)−T 2∑

j=0 Cjnψj (1− ψ)n−j f(ujdn−jS0). (5.14)

După cum se observă, derivatul financiar poate lua trei valori la maturitate, şi anume: fuu, fud şi fdd , pe carele ia cu probabilităţile lipsite de risc: ψ2, 2ψ(1− ψ) şi, respectiv, (1− ψ)2. Putem scrie astfel că repartiţiavalorii derivatului la scadenţă este variabila aleatoare cu tabloul de repartiţie următor:fT fuu fud fddQ ψ2 2ψ(1− ψ) (1− ψ)2

Ţinând cont de acest fapt, putem rescrie formula (5.14) sub forma:f0 = (1 + r)−TEQ [fT ].

În cuvinte, valoarea actuală a unui derivat financiar este egală cu media lipsită de risc actualizată a tuturorvalorilor posibile ale acestui derivat la t = T .Probleme propuse

Exerciţiu 5.2. Într-un model de piaţă financiară cu o perioadă singurele active tranzacţionabile sunt: un activsigur (notat prin B) şi un activ riscant (notat prin S). Ştim că B0 = 10, S0 = 50, iar la t = T , BT = 11 şiST poate fi lua dintre valorile 48 sau 56.(a) Determinaţi dacă piaţa considerată este lipsită de arbitraj. Este piaţa completă?(b) Există o unică măsura martingală echivalentă? În caz afirmativ, să se calculeze aceasta.(c) Un investitor cumpără dreptul, dar nu şi obligaţia, de a achiziţiona activul riscant cu preţul K = 52 lat = T . Care este preţul lipsit de risc şi portofoliul de acoperire al unui astfel de contract încheiat astăzi?Exerciţiu 5.3. Considerăm un model de piaţă financiară cu o perioadă, în care singurele active tranzacţionabilesunt: un activ sigur (notat aici prin B) şi un activ riscant (notat aici prin S). Ştim că B0 = 1, S0 = 100, iarla scadenţa T avem: BT = 1.1 şi ST poate fi lua dintre valorile 99, 154 sau 88.(a) Determinaţi dacă piaţa considerată este lipsită de arbitraj. Este piaţa completă?(b) Determinaţi toate măsurile martingale echivalente în cazul în care activul sigur este numéraire.(c) Considerăm un call european cu activul riscant drept activ suport, cu preţul de exerciţiu K = 77 şimaturitatea t = T . Determinaţi valoarea la t = 0 a acestui call şi construiţi un portofoliu replicant formatdin activele (B, S).(d) Considerăm un nou activ derivat, Dt , cu activul riscant drept activ suport, care la scadenţa t = T poateavea valorile posibile 99, 154 sau 66. Care sunt limitele pentru valoarea derivatului la momentul iniţieriicontractului (i.e., ? 6 D0 6 ?), astfel încât această valoare să nu genereze oportunităţi de arbitraj?

54

Page 56: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF5 [Dr. Iulian Stoleriu]Exerciţiu 5.4. Considerăm un model de piaţă financiară cu o perioadă, cu scadenţa de 1 an. Pe aceastăpiaţă pot fi tranzacţionate doar două active financiare: un activ sigur (depozit bancar) şi unul riscant. Preţulactual al activului riscant este de 20, iar la scadenţă acesta poate valora 24 sau 18. Dobânda este calculatăîn mod simplu, cu un procent de 10% pe an.(a) Verificaţi lipsa oportunităţilor de arbitraj şi completitudinea acestei pieţe;(b) Există o unică măsură martingală echivalentă? În caz afirmativ, să se calculeze aceasta.Considerăm o opţiune de tip call european, cu maturitatea de un an şi preţul de exerciţiu K = 21.(c) Care este preţul lipsit de arbitraj şi portofoliul de acoperire al unui astfel de contract încheiat astăzi.Exerciţiu 5.5. Considerăm un model de piaţă financiară cu o perioadă (T = 1), în care pot fi tranzacţionate:un activ sigur, ce oferă o rentabilitate de 10% pe an şi un activ riscant (notat prin S). Ştim că S0 = 30, iarST poate lua doar una dintre valorile 32 sau 35.(a) Verificaţi lipsa arbitrajului şi completitudinea pieţei.(b) Determinaţi preţul de tranzacţionare al unui call european la paritate, cu scadenţa T .(c) Construiţi un portofoliul de acoperire pentru contractul de tip call de mai sus?(d) Determinaţi preţul forward la T pentru activul S .

55

Page 57: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF6 [Dr. Iulian Stoleriu]6 Matematici financiare (C6)

Modelul binomial. Formula Cox-Ross-Rubinstein

Modelul binomial cu n perioade

Putem generaliza modelul binomial cu 2 perioade prezentat în cursul anterior la unul cu n perioade.Considerăm un activ financiar ce urmează a fi tranzacţionat la momentul t = T (scadenţa). Presupunem căpreţul acestuia, St , fluctuează în intervalul de timp [0, T ] de un număr finit de ori şi că acest interval esteîmpărţit în perioade egale, astfel încât la sfârşitul fiecărei perioade sunt doar două variante posibile pentrupreţul activului: în care St poate lua o anumită valoare Su cu probabilitatea p, sau poate lua valoarea Sd ,cu probabilitatea 1− p.În Figura 6.1 am reprezentat grafic cazul în care preţurile activului se modifică de-a lungul a trei perioade.Putem generaliza foarte uşor modelul la unul cu n perioade. O astfel de figură se numeşte arbore binomial.

S0

Su = uS

0

Sd = dS

0

t = 0 t = T/n t = 2T/n t = T

p

1−p

Suu

= u2 S0

Sud

= u d S0

Sdd

= d2S0

Suuu

= u3S0

Suud

= u2 d S0

Sudd

= u d2 S0

Sddd

= d3S0

p

p

p

p

p

1−p

1−p

1−p

1−p

1−p

X X X X

(f0)

(fu)

(fd)

(fuu

)

(fud

)

(fdd

)

(fuuu

)

(fuud

)

(fudd

)

(fddd

)

Figura 6.1: Variaţiile preţului unui activ suport în modelul binomial cu 3 perioade.Din Figura 6.1, se poate observa cu uşurinţă că suma probabilităţilor la fiecare nivel este egală cu 1.Dacă dorim să aflăm, spre exemplu, care este probabilitatea ca preţul activului să fie Sudd la finele celeide a treia perioade, procedăm după cum urmează. Sunt trei drumuri care leagă S0 de Sudd , şi anume:S0 Su Sud Sudd , S0 Sd Sud Sudd şi S0 Sd Sdd Sudd . Probabilitatea căutatăeste astfel suma a trei probabilităţi, pqq+ qpq+ qqp = 3pq2.Considerăm un contract financiar derivat (în engleză este folosit termenul contingent claim) a cărui valoare,f , depinde de preţul activului suport (i.e. f = f(S)). Scopul nostru este să evaluăm acest contract financiar lamomentul iniţierii lui, adică la t = 0. Metoda de evaluare este aşa numita inducţie matematică inversă sauretrogradă (backward induction) şi are la bază metoda de evaluare folosită în cazul unui arbore binomial cu

56

Page 58: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF6 [Dr. Iulian Stoleriu]o singură perioadă. Deoarece cunoaştem valorile derivatului financiar la maturitate, putem determina preţulcontractului la toate momentele imediat anterioare. În Figura 6.1, aceste preţuri sunt scrise cu caractereîngroşate. Spre exemplu, fudd = f(Sudd) = f(ud2S0).Piaţa considerată este lipsită de arbitraj dacă p = ψ, unde ψ este probabilitatea lipsită de risc (en., risklessprobability),

ψ = (1 + r) Tn − du− d ∈ (0, 1).

În cazul unui activ al cărui preţ se modifică după un arbore binomial cu n perioade, preţul raţional al unuicontract de tip call european cu acest activ suport este o simplă extensie a relaţiei (5.14), şi este dat de:f0 = (1 + r)−T n∑

k=0 Cknψk (1− ψ)n−k f(ukdn−kS0). (6.1)

După cum se observă, derivatul financiar poate lua n + 1 valori la maturitate, şi anume: f(ukdn−kS0), cuk = 0, 1, . . . , n. Aceste valori le ia cu probabilităţile lipsite de risc C knψk (1 − ψ)n−k , k = 0, 1, . . . , n.Putem scrie astfel că repartiţia valorii derivatului la scadenţă este variabila aleatoare cu tabloul de repartiţieurmător:

fT f(ukdn−kS0)Q C knψk (1− ψ)n−k (k = 0, 1, . . . , n).

Ţinând cont de acest fapt, putem rescrie formula (6.1) sub forma:f0 = (1 + r)−TEQ [fT ].

În cuvinte, valoarea actuală a unui derivat financiar este egală cu media lipsită de risc actualizată a tuturorvalorilor posibile ale acestui derivat la t = T .Cazuri particulare:(I) Dacă f(s) = s (derivatul financiar este chiar activul suport), atunci f(ukdn−kS0) = ukdn−kS0 şi formula(6.1) devine

f0 = (1 + r)−T n∑k=0 C

knψk (1− ψ)n−kukdn−kS0

= (1 + r)−T n∑k=0 C

kn (ψu)k (d − ψd)n−kS0.

Dar ψu+ d − ψd = ψ(u− d) + d = (1 + r) Tn − d + d = (1 + r) Tn , de unde (ψu) + (d − ψd) = (1 + r) Tn .Găsim căf0 = S0

[ψ u(1 + r) Tn + (1− ψ) d(1 + r) Tn

]n = S0,după cum era de aşteptat.

57

Page 59: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF6 [Dr. Iulian Stoleriu](II) În cazul unui contract forward, avem că f(s) = s− K . Atunci formula (6.1) devine

f0 = (1 + r)−T n∑i=0 C

inψi(1− ψ)n−iuidn−iS0 − (1 + r)−T n∑

i=0 Cinψi(1− ψ)n−iK

= S0 − K (1 + r)−T ,adică tocmai ceea ce am găsit cand am calculat preţul contractului forward. Putem găsi foarte uşor şi preţulforward (preţul de livrare pentru care contractul are valoare nulă). Aşadar, făcând f0 = 0 în relaţia anterioară,găsim că preţul forward este F0 = S0(1 + r)T .(III) În cazul unei opţiuni de tip call european avem f(s) = (s− K )+, de unde:

C0 = (1 + r)−T n∑i=0 C

inψi(1− ψ)n−i(uidn−iS0 − K )+. (6.2)

Fie a = mini ∈ N; uidn−iS0 > K. AtunciC0 = (1 + r)−T n∑

k=a Cinψi(1− ψ)n−i(uidn−iS0 − K )

= (1 + r)−T n∑i=a C

in(ψu)i(d − ψd)n−iS0 − K (1 + r)−T n∑

i=a Cinψi(1− ψ)n−i.

Notez prin B(a, n, ψ) = n∑i=a C

inψi(1−ψ)n−i (funcţia de repartiţie binomială complementară) şi prin B(a, n, ψ∗) =

B(a, n, ψu(1 + r)− Tn ). Găsim astfel că

C0 = S0B(a, n, ψ∗)− K (1 + r)−TB(a, n, ψ). (6.3)Dacă momentul iniţial este un anumit t > 0, atunci preţul unui call european la momentul t este

Ct = S0B(a, n, ψu(1 + r)−(T−t)/n)− K (1 + r)−(T−t)B(a, n, ψ). (6.4)Aceste formule au fost descoperite de Cox, Ross şi Rubinstein în [9].(IV) Pentru evaluarea unui contract de tip put european cu acelaşi preţ de exerciţiu şi cu aceeaşi maturitateca şi contractul call european precedent, ne putem folosi de formula (6.4) şi de paritatea put-call. Într-adevăr,din paritatea put-call, S0 + P0 − C0 = K (1 + r)−T , aflăm cu uşurinţă pe P0,

P0 = S0[B(a, n, ψ∗)− 1]− K (1 + r)−T [B(a, n, ψ)− 1].(V) In calculele precedente am considerat faptul ca preţul unui activ financiar urmeaza un arbore binomial(denumirea de binomial vine din faptul ca in formula (6.1) apare binomul lui Newton). Desigur, se mai potconsidera si alte modele discrete, in care preţul activului suport evolueaza dupa un arbore binar (vezi Figura6.2) sau un arbore trinomial (caz discutat pe scurt mai jos). Dacă modelul trinomial are aplicatii practice (eleste, de fapt, discretizarea ecuatiei cu derivate partiale Black-Scholes), un model binar (in care, de exemplu,Sud 6= Sdu) nu are aplicatii practice importante in evaluarea derivatelor financiare.

* * *

58

Page 60: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF6 [Dr. Iulian Stoleriu]Drift şi Volatilitate

În realitate, rata unitară anuală r nu este o constantă, ci este, de fapt, o variabila aleatoare. Într-un anumitinterval de timp pot exista fluctuaţii în jurul acestei valori. Valoarea medie a acestor fluctuaţii, µ, se numeştedrift.Volatilitatea (sau sensibilitatea) este un termen (măsură statistică) utilizat(ă) pentru a desemna amploarea şifrecvenţa fluctuaţiilor înregistrate de preţul unui activ financiar sau de un indice al pieţei de valori mobiliare(desemnează variaţiile cursului bursier). În termeni statistici, măsoară gradul de împrăştiere a unui set dedate de la valoarea medie. Cu cât datele sunt mai împrăştiate, cu atât deviaţia (implicit volatilitatea) estemai mare. În practică, volatilitatea nu poate fi observată direct şi trebuie să fie estimată. Volatilitatea ereprezentată de deviaţia standard, σ , care este rădăcina pătrată a dispersiei. Aşadar, un activ financiarvolatil va avea o deviaţie standard mare.O legătură între drift, volatilitate şi rata unitară r , este următoarea:

λ = r − µσ ,

numită riscul ratei dobânzii pieţei. Notăm faptul că λ reprezintă scorul statistic.Cum alegem factorii u şi d?

Una dintre dificultăţile modelului binomial este alegerea lui d şi u. Ei bine, în practică alegem aceste valoriastfel încât sa fie în concordanţă cu driftul şi volatilitatea preţului activului financiar. Pentru a vedea exactcum se aleg, să presupunem că preţul unui activ la t = 0 este S0, iar dobânda anuală unitară r este variabilă,calculată în mod simplu, cu media lui r fiind E(r) = µ. Atunci, valoarea medie a acestui activ după o perioadăτ = δT va fi E(Sτ ) = S0(1 + µτ) (i.e., preţul activului suport creşte, în medie, în concordanţă cu rata µ).Volatilitatea preţului activului, σ , este definită aşa încat S20σ 2τ este varianţa ratei de dobânda în perioada τ .Să presupunem că, prin procedee empirice, am determinat probabilitatea p ca preţul activului să devină uS0

Figura 6.2: Arbore binar.

59

Page 61: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF6 [Dr. Iulian Stoleriu]la momentul t = τ , iar cu probabilitatea 1− p acest preţ va fi dS0. Va trebui să egalăm valoarea empiricăaşteptată a preţului cu S0(1 + µτ). Avem:

p uS0 + (1− p)d S0 = S0(1 + µτ).Totodată, egalăm şi valorile pentru dispersie,

pu2S20 + (1− p)d2S20 − (puS0 + (1− p)dS0)2 = S20σ 2τ.Eliminând p din ultimele două relaţii, obţinem:

(u− 1− µτ)(1 + µτ − d) = σ 2τ.Căutăm o soluţie (folosind perturbaţii ordinare pentru τ 1) de forma:

u(τ) = u0 + u1√τ +O(τ), d(τ) = d0 + d1√τ +O(τ)Vom avea: (u0 + u1√τ − 1− µτ)(1 + µτ − d0 + d1√τ) = σ 2τ.Egalăm acum termenii de acelaşi ordin. Vom avea:

O(1) : u0 − u0d0 − 1− d0 = 0, de unde alegem u0 = 1 şi d0 = 1.O(√τ) : u1(1− d0) + (1− u0)d0 = 0, de unde 0 = 0.O(τ) : u1d1 = −σ 2, şi alegem u1 = −d1 = σ.

Astfel, ignorând puterile de ordin superior ale lui τ , găsim că o soluţie a sistemului este (se poate verificauşor!):u = 1 + σ

√τ, d = 1− σ√τ.În teoria Cox-Ross-Rubinstein, u şi d sunt alese în următorul mod:

u = eσ√τ , d = e−σ

√τ ,

care, în cazul în care τ 1, sunt similare cu cele anterioare.(Să notăm încă o dată că σ este volatilitatea anuală, iar τ este timpul scurs între două schimbări de preţuri.)Exemplu 6.1. Preţul curent este S0 = 10, σ = 0.2, T = 2, n = 731, τ = T

n . Atunci,u = eσ

√τ = 1.3269, d = e−σ

√τ = 0.7536.

O posibilă traiectorie a preţului St într-o piaţă în care tranzacţiile se fac zilnic, tot timpul anului (adică cun = 731 de perioade), este reprezentată grafic în Figura 6.3.

60

Page 62: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF6 [Dr. Iulian Stoleriu]

Figura 6.3: Evolutia preţului unui activ financiar.Modelul binomial pentru call/put american

Dorim sa calculăm preţul unui contract american ce are la baza un activ suport a carui valoare se modificadupa un arbore binomial cu n perioade. Vom nota cu St , ft valorile activului suport, respectiv derivatului, lamomentul t . Aici, t ∈ [0, T ]. Presupunem ca valoarea initiala a activului suport este S0 si că ea se modificala fiecare perioada cu factorii d si u, d < u. Discretizam intervalul in n intervale egale si vom considera olatice (i, j ), in care i = 0, n, j = 0, n. La fiecare nod al retelei, definim:fi, j − valoarea opţiunii de tip european în nodul (i, j );Si, j = S0ujdi−j .La scadenţă, avem:

fn, j = maxS0ujdn−j − K , 0, j = 0, 1, . . . , n, pentru un call american;fn, j = maxK − S0ujdn−j , 0, j = 0, 1, . . . , n, pentru un put american.

Cu probabilitatea ψ, valoarea Si, j la momentul i Tn va urca la valoarea Si+1, j+1, la momentul (i + 1)Tn .Cu probabilitatea 1−ψ, valoarea Si, j de la momentul i Tn va coborî la valoarea Si+1, j−1 la momentul (i+1)Tn(vezi Figura 6.4). Dacă opţiunea nu este exercitată, atunci avem:fEi, j = (1 + r)− T

n(ψfi+1, j+1 + (1− ψ)fi+1, j) , i = n− 1, n− 2, . . . , 0, j = 0, 1, . . . , i.

Dacă opţiunea este exercitată, atunci:− pentru un call american, valoarea este:

fAi, j = maxS0ujdi−j − K , (1 + r)− Tn(ψfi+1, j+1 + (1− ψ)fi+1, j) , i = n− 1, 0, j = 0, i.

− pentru un put american, valoarea este:fAi, j = maxK − S0ujdi−j , (1 + r)− T

n(ψfi+1, j+1 + (1− ψ)fi+1, j) , i = n− 1, 0, j = 0, i.

61

Page 63: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF6 [Dr. Iulian Stoleriu]

Figura 6.4: Latice binomiala.Valoarea căutată pentru derivatul financiar de tip american va fi f0, 0.Când n→∞, atunci obţinem valoarea reală, lipsita de arbitraj, a unui call sau put american.Modelul trinomial

Să considerăm un activ financiar ce urmează a fi tranzacţionat la momentul t = T (scadenţa). Presupunemcă preţul acestuia, St , se poate modifică în intervalul de timp [0, T ] de un număr finit de ori şi că acestinterval este împărţit în perioade egale, astfel încât la sfârşitul fiecărei perioade sunt trei variante posibilepentru preţul activului: în care St creşte cu probabilitatea pu, scade cu probabilitatea pd , sau rămâne acelaşicu probabilitatea p0 = 1 − pu − pd . Cu alte cuvinte, în fiecare nod tk al diviziunii, Stk este o variabilăaleatoare ce poate lua una din trei posibile valori. În Figura 6.5 am reprezentat grafic un model trinomial cutrei perioade.Putem construi un arbore trinomial astfel: intervalul pana la scadenţă, [0, T ], îl divizăm echidistant, cuδt = T

n . Dacă plecăm cu valoarea S0 a activului financiar, atunci după fiecare perioadă, această valoarepoate ajunge la Su = uS0 cu probabilitatea pu, poate deveni Sd = dS0 cu probabilitatea pd , sau poaterămâne tot S0, cu p0 = 1− pu − pd . O alegere a factorilor u şi d poate fi:u = eσ

√3 δt , d = 1u.Probabilităţile lipsite de risc sunt:

pu = −√ δt12σ 2(r − σ 22

)+ 16 , p0 = 23 , pd =√ δt12σ 2(r − σ 22

)+ 16 .Dacă vom considera un derivat financiar a cărui valoare depinde de valoarea activului suport, ft = f(St ),atunci putem determina preţul acestui derivat la t = 0 într-o piaţă trinomială cu o perioadă, lipsită dearbitraj, astfel:

f0 = e−rδt [pu f(Su) + p0 f(S0) + pd f(Sd)].

62

Page 64: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF6 [Dr. Iulian Stoleriu]

Figura 6.5: Arbore trinomial.Piaţă completă şi incompletă

Pentru a evalua un activ financiar este important de a verifica dacă piaţa este completă. Reamintim, o piaţăfinanciară este completă dacă orice activ financiar este replicabil, adică dacă există un portofoliu de activeexistente pe acea piaţă care are aceeaşi valoare cu activul la scadenţă. O piaţă financiară in care nu seîntâmplă aşa ceva se numeşte piaţă incompletă.În cazul unei pieţe cu o singură perioadă, am determinat completitudinea pieţei în două moduri: prin existenţaunei unice măsuri neutre la risc (i.e., rang(D) = M), sau dacă numărul de stări de incertitudine la scadenţăeste acelaşi cu numărul de vectori independenţi din matricea cash flow (i.e., M = N + 1).În cazul unui model cu mai multe perioade, o piaţă financiară este completă dacă ea este completă pentrufiecare singură perioadă în parte. Pe de altă parte, completitudinea pieţei pe fiecare perioadă este echivalentăcu existenţa unei măsuri unice neutre la risc pentru fiecare ramură, ceea ce implică existenţa unei măsuriunice neutre la risc pentru modelul cu mai multe perioade. În cazul unei pieţe incomplete bazate pe un modelcu mai multe perioade, există măcar un activ financiar pentru care avem cel puţin două astfel de măsuri.Totuşi, într-o piaţă incompletă pot exista active derivate care sunt replicabile, cu condiţia ca valoarea acestuiactiv la scadenţă, EQ [fT ], să nu depindă de Q. Putem afirma astfel că:Într-o piaţă incompletă, un activ derivat este replicabil (hedgeable) dacă EQ [fT ] = constant, pentru oricemăsură martingală echivalentă Q. În acest caz, f0 = (1 + r)−TEQ [fT ].Exemplu 6.2. (vezi şi Exerciţiul 5.3) Considerăm un model de piaţă financiară cu o sigură perioadă (T ), încare se pot tranzacţiona doar: o obligaţiune cu B0 = 1 şi BT = 1.1 şi un activ riscant, cu S0 = 100,ST = (99, 154, 88).(a) Cercetaţi viabilitatea şi completitudinea pieţei.(b) Ce condiţie ar trebui să verifice un derivat financiar care are activul St drept activ suport şi care poatefi protejat împotriva riscului (replicabil, hedgeable ori marketable).(c) Determinaţi care ar trebui să fie preţul de exerciţiu pentru un call european asupra lui St care estereplicabil.(d) Determinaţi valoarea unui call european asupra lui St cu preţul de exerciţiu K = 77.

63

Page 65: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF6 [Dr. Iulian Stoleriu]- Soluţie: (a) Verificăm dacă există un vector de stare ψ = (ψ1, ψ2, ψ3) astfel încât ψi > 0, i =1, 3 şi formula 4.2 să fie satisfăcută, i.e.:1 = 1.1(ψ1 + ψ2 + ψ3)100 = 99ψ1 + 154ψ2 + 88ψ3.Găsim că

ψ1 = 811 − 65α, ψ2 = 211 + 25α, ψ3 = α.

Piaţa va fi viabilă doar pentru 0 < α < 2033 .Piaţa nu este completă, deoarece ψ nu este unic. Pentru 0 < α < 2033 , familia de măsuri martingaleechivalente (obţinută prin normalizarea vectorului ψ) este

Qα (ω) = (45 − 3325α, 15 + 1150α, 1110α).(b) Considerăm un derivat financiar care are valoarea Xt la momentul t . Acest derivat este hedgeable dacăpoate fi evaluat în mod unic, adică valoarea sa nu depinde de α . Valoarea aşteptată la scadenţă a derivatuluiva fi

EQ [XT ] = (45 − 3325α)X 1T + (15 + 1150α

)X 2T + (1110α

)X 3T = 15(4X 1

T + X 2T ) + 1150(X 2

T + 5X 3T − 6X 1

T )αCondiţia pe care va trebui să o îndeplinească derivatul ca să poate fi evaluat în mod unic este aşadar

X 2T + 5X 3

T = 6X 1T .În acest caz, valoarea sa la t = 0 este

X0 = 1011(15(4X 1

T + X 2T )) = 211 (4X 1

T + X 2T

).

(c) Fie K preţul de exerciţiu pentru un call european având St ca activ suport. Valorile acestui call lat = T trebuie să satisfacă condiţiamax154− K , 0+ 5 max88− K , 0 = 6max99− K , 0.Valorile lui K pentru care această ecuaţie are soluţii sunt K 6 88 şi K > 154.(d) Valoarea 77 este în mulţimea admisibilă de la (c). La scadenţă, avem C 1

T = 22, C 2T = 77, C 3

T = 11.Obţinem căC0 = 211 (4C 1

T + C 2T

) = 30. √

Exemplu 6.3. Considerăm o piaţă financiară cu două perioade în care pot fi tranzacţionate doar două activefinanciare, un bond Bt şi un stock St . Presupunem că: S0 = 10, T = 2, r = 0, K = 10 şi St evolueazădupă modelul:t la t = 0 la t = 1 la t = 2

ω \St S0 S1 S2ω1 5 8 9ω2 5 8 7ω3 5 8 6ω4 5 4 6ω5 5 4 3

64

Page 66: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF6 [Dr. Iulian Stoleriu]Aici, mulţimea tuturor stărilor de incertitudine ale pieţei este Ω = ω1, ω2, ω3, ω4, ω5. La momentul t = 0,un investitor observă preţul S0 = 5; informaţia sa despre piaţă în acest moment este F0 = ∅, Ω. Lamomentul t = 1, observă că S1 = 8 sau S1 = 4, aşadar informaţia sa despre piaţă în acest moment esteF1 = ∅, ω4, ω5, ω1, ω2, ω3, Ω. La momentul t = 2, investitor observă S2 şi informaţia sa desprepiaţă în acest moment devine F2 = P(Ω). Astfel, curgerea informaţiei despre piaţă este: F0 ⊂ F1 ⊂ F2.Pentru a determina măsura neutră la risc, Q(ω) = (Q(ω1), Q(ω2), Q(ω3), Q(ω4), Q(ω5)) not= (q1, q2, q3, q4, q5),rezolvăm sistemul St = (1 + r)−TE[Ss], ∀t, s > 0, i.e.:

t = 0, s = 2 : 5(1 + r)2 = 9q1 + 7q2 + 6q3 + 6q4 + 3q5;t = 0, s = 1 : 5(1 + r) = 8(q1 + q2 + q3) + 4(q4 + q5);t = 1, s = 2 : 8(1 + r)(q1 + q2 + q3) = 9q1 + 7q2 + 6q3;t = 1, s = 2 : 4(1 + r)(q4 + q5) = 6q4 + 3q5;

q1 + q2 + q3 + q4 + q5 = 1.Obţinem soluţia nedeterminată Q(ω) = (q4 , 2− 3q4 , 2q− 14 , 14 , 12), unde 1/2 < q < 2/3. Un derivatfinanciar D(ω) = (D(ω1), D(ω2), D(ω3), D(ω4), D(ω5)) not= (D1, D2, D3, D4, D5) este replicabil în aceastăpiaţă dacă şi numai dacă EQ [DT ] este independentă de q. Obţinem că qD1+(2−3q)D2+(2q−1)D3+D4+2D5este independentă de q, de unde D1 − 3D2 + 2D3 = 0.

Avantaje şi dezavantaje ale modelului discret (binomial & trinomial)

• Avantaje:– deşi este un model simplu, nu este simplist. Modelul discret conferă premizele aplicării modeluluicontinuu.– modelul binomial este foarte uşor de implementat numeric şi oferă o aproximare bună pentrucazul continuu;– derivatele de tip american sunt uşor de evaluat folosind modelul binomial;• Dezavantaje:– la fiecare perioadă preţurile pot lua doar un număr finit de valori posibile ("up" şi "down" în cazulbinomial), pe când în realitate St poate lua orice valoare pozitivă, inclusiv S = 0;– volatilitatea σ este presupusă constantă în tot intervalul [0, T ], însă realitatea poate fi alta.– tranzacţiile se fac într-un număr discret de momente iar perioadele sunt echidistante;– în realitate, tranzacţiile au loc în mod continuu, în fiecare moment.– din punct de vedere calculatoriu, modelul binomial este încet.

Probleme propuse

Exerciţiu 6.1. Preţul actual al unui activ ce nu generează dividende este S0 = 100. Presupunem că preţulSt al activului evoluează după un model binomial cu perioada de 4 luni şi că, la finalul fiecărei perioade, este

65

Page 67: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF6 [Dr. Iulian Stoleriu]de aşteptat ca preţul activului să crească cu un procent de 10% sau să scadă cu 5%. Rata dobânzii lipsitede risc este r = 0.03 p.a. (dobândă simplă).(a) Determinaţi repartiţia preţurilor activului la momentul T = 1 şi calculaţi valoarea aşteptată a lui S1.(b) Care este probabilitatea ca, după 2 ani, valoarea activului să crească cu cel puţin 50%?(c) Determinaţi valoarea unui put european ce conferă dreptul de a vinde la paritate activul S la T = 1.(d) Care este valoarea unui put american la paritate asupra activului S cu scadenţa T = 1?Exerciţiu 6.2. Preţul unui activ financiar evoluează după un model binomial cu u = 1.1, d = 0.9, T =2, K = 100 şi r = 0.1. Considerăm un call european având activul suport considerat mai sus. Calculaţipreţul opţiunii la t = 0 ca o funcţie de S0 şi desenaţi-i graficul.Exerciţiu 6.3. Preţul actual al unui activ financiar ce nu generează dividende este S0 = 10. Presupunemcă preţul activului evoluează după un model binomial cu perioada de 3 luni şi cu u = 1.1, d = 0.9. Ratadobânzii anuale unitare (lipsită de risc) r = 0.06 (dobândă simplă).(a) Determinaţi repartiţia preţurilor activului la T = 0.5. Care este probabilitatea ca preţul activului dupăexact jumătate de an să fie S0?(b) Care este valoarea unui put european cu preţul de exerciţiu K = 10 şi maturitatea T = 1/2?(c) Care este valoarea unui put american cu preţul de exerciţiu K = 10 şi maturitatea T = 1/2?Exerciţiu 6.4. Preţul actual al unui activ financiar (un pachet de acţiuni) ce nu generează dividende esteS0 = 100. Presupunem că preţul St al activului evoluează după un model binomial cu perioada de 4 luni şică, la finalul fiecărui semestru, este de aşteptat ca preţul activului să crească cu un procent de 10% sau săscadă cu 10%. Rata dobânzii lipsite de risc este r = 0.04 p.a. (dobândă simplă).(a) Determinaţi preţul activului pentru fiecare nod al unei reţele binomiale cu 3 perioade.(b) Determinaţi repartiţia preţurilor activului la momentul T = 1. Calculaţi probabilitatea P(S1 > 100).(c) Care este probabilitatea ca preţul pachetului la momentul T = 1 să se afle între 95 şi 105?(d) Determinaţi valoarea actuală unui contract derivat ce conferă dreptul de a vinde la paritate pachetulde acţiuni la T = 1.(e) Determinaţi valoarea actuală unui put american cu K = 100, la T = 1.Exerciţiu 6.5. Preţul actual al unui activ financiar ce nu generează dividende este S0 = 100. Presupunemcă preţul activului se modifică după un model binomial cu perioada de 1 an, cu u = 1.1, d = 0.8 şi ratadobânzii anuale unitare r = 0.05 (compusă continuu).(a) Determinaţi repartiţia preţurilor activului la T = 3. Calculaţi probabilitatea P(S3 > 100).(b) Care este valoarea unui put european cu preţul de exerciţiu K = 100 şi maturitatea T = 3?(c) Care este valoarea unui put american cu preţul de exerciţiu K = 100 şi maturitatea T = 3Exerciţiu 6.6. Într-o piaţă viabilă, preţul unui activ financiar ce nu generează dividende este acum de 50 RON.Presupunem că preţul activului se modifică după un model binomial cu perioada de o lună, iar după fiecarelună este de aşteptat ca preţul să crească cu 20% sau să scadă cu 10%. Rata dobânzii anuale unitare ester = 0.12 p.a. (compusă continuu). Pe această piaţă se tranzacţionează drepturi de vânzare a activului latermen, cu preţul de exerciţiu de 52 RON şi maturitatea de 3 luni.(a) Pentru ce valoare minimă pot fi tranzacţionate aceste drepturi de vânzare?(b) Care este valoarea unui astfel de drept de vânzare şi care este probabilitatea ca el să fie exercitat?(c) Determinaţi valoarea unui put american cu preţul de exerciţiu de 52 RON şi maturitatea de 3 luni.Precizaţi în ce moment(e) până la scadenţă exercitarea opţiunii este avantajoasă pentru deţinător.

66

Page 68: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF7 [Dr. Iulian Stoleriu]7 Matematici financiare (C7)

Modelul discret general pentru o piaţă financiară

În acest capitol, vom generaliza modelul binomial prezentat în paragrafele precedente. Vom introduce unmodel discret general pentru o piaţă financiară ce poate fi generalizat ulterior la un model continuu.Fie (Ω, F , P) un câmp de probabilitate, cu Ω finită, F ⊂ P(Ω) şi P : (Ω, F ) → [0, 1] o probabilitate cuP(ω) > 0, pentru orice ω ∈ Ω.Să presupunem că pe o anumită piaţă financiară există un număr finit (N + 1) de active tranzacţionabile,notate prin a0, a1, . . . , aN . Vom presupune că a0 este un activ sigur (e.g., cont bancar sau obligaţiune) şirestul de active sunt riscante (i.e., valorile lor viitoare nu pot fi cunoscute cu siguranţă). Activul sigur ne vaajuta în stabilirea valorii monetare în timp. De asemenea, presupunem că avem un număr finit de momenteîn care cele N + 1 active pot fi tranzacţionate, şi anume: 0, 1, . . . , T , cu T <∞.Fie I o mulţime ordonată de indecşi. O familie Ftt∈I de sub-σ−algebre ale lui F se numeşte filtrare dacăFs ⊂ Ft pentru orice s 6 t .Observaţia 7.1. (1) În cazul modelului discret de piaţă financiară, vom considera filtrarea

FtTt=0, cu F0 ⊂ F1 ⊂ · · · ⊂ FT , unde F0 = ∅, Ω (la momentul t = 0 nu avem informaţii detaliatedespre piaţa financiară) şi FT = P(Ω) (la scadenţă avem informaţia completă).(2) Filtrările sunt utilizate pentru a modela curgerea informaţiei în funcţie de timp.(3) Şirul de incluziuni se interpretează prin faptul că informaţia creşte cantitativ la fiecare moment.(4) Media condiţionată a unei v.a. X în raport cu Ft , i.e., E[X | Ft ], reprezintă valoarea aşteptată a lui Xpe baza informaţiilor disponibile la momenul t . (vezi Anexa).Vom nota prin Sit valoarea activului ai la momentul t , unde i ∈ 0, 1, . . . , N şi t ∈ 0, 1, . . . , T. Vomnota prin St = (S0

t , S1t , . . . , SNt ) vectorul preţ pentru cele N + 1 active la momentul t . Din faptul că piaţaconsiderată este finită în spaţiul stărilor (card(Ω) = T + 1 < ∞) , mulţimea valorilor pe care le poate lua

St este finită, pentru orice moment t .Deoarece am considerat că a0 este activ sigur, vectorul preţ pentru acesta va fi procesul determinist S0 =S0

t Tt=0 (i.e., S0t nu sunt variabile aleatoare). Este convenabil să presupunem că S0

t > 0 pentru orice t şi,astfel, putem considera acest activ drept numéraire (activ de referinţă). Reamintim, un numéraire este un şir(proces) XtTt=0 ce are toate valorile strict pozitive.Dacă rata dobânzii de referinţă este r > 0, atunci vom avea că S0t = S00 (1 + r)t pentru orice t ∈

0, 1, 2, . . . , T.Pe de altă parte, valorile Sit (i = 1, 2, . . . , N) ale activelor riscante sunt variabile aleatoare, i.e., Sit = Sit (ω).Vom presupune că Sit sunt Ft−măsurabile (spunem astfel că procesul St este un proces adaptat filtrării Ft ),pentru orice i = 1, 2, . . . , N şi t = 0, 1, . . . , T .De îndată ce avem un activ financiar de referinţă, putem defini pentru orice t = 0, 1, . . . , T procesul67

Page 69: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF7 [Dr. Iulian Stoleriu]normalizat S∗t dat prin

S∗t = (S∗0t , S∗1t , . . . , S∗Nt ) = 1S0t(S0t , S1

t , . . . , SNt ).Astfel, găsim că S∗0t = 1 pentru orice t = 0, 1, . . . , T .Vom numi strategie de tranzacţionare (sau portofoliu dinamic) o colecţie de vectori aleatori N+1 dimensionali:

φ = φtTt=1 = (φ0t (ω), φ1

t (ω), . . . , φNt (ω))Tt=1 ,astfel încât pentru orice i = 0, 1, . . . , N , φit sunt variabile aleatoare Ft−1−măsurabile (vom spune astfelcă strategia este previzibilă), pentru orice t = 1, 2, . . . , T . Pentru fiecare i, φit reprezintă cantitatea dinactivul ai deţinută de investitor la momentul t , care este determinată de cantitatea de informaţii conţinutăîn Ft−1. Aceasta semnifică faptul că portofoliul investitorului la momentul t este determinat de preţurileactivelor la momentul t − 1, adică de St−1. Acest portofoliu va fi deţinut până la anunţarea preţurilor lamomentul t , i.e., St .Putem avea valori atât pozitive, cât şi negative pentru φit . Dacă φit > 0 pentru un anumit t şi indice i,atunci investitorul deţine activul ai în intervalul de timp [t − 1, t), în cantitatea φit . Dacă φit < 0 pentru unanumit t şi indice i, atunci investitorul a vândut short (prin lipsă) activul ai în intervalul de timp [t − 1, t),în cantitatea φit . De exemplu, φit = −1 înseamnă că la momentul t − 1 investitorul a împrumutat o sumă debani în valoare de Sit−1 (i.e., tocmai valoarea activului ai la momentul t − 1), cumpără activul ai şi îl vindela momentul t pentru preţul Sit , apoi urmând să returneze împrumutul făcut la momentul t − 1.Prin valoarea unui portofoliu dinamic φtTt=1, notată Vφ(t)Tt=1, înţelegem

Vφ(t) =φ1 · S0 , t = 0;φt · St := N∑

i=0 φitSit , , t = 1, 2, . . . , T ,

unde ”·” reprezintă produsul scalar în RN+1. Valoarea Vφ(0) = φ1 · S0 se numeşte investiţia iniţială.Valoarea φt · St−1 reprezintă valoarea portofoliului dinamic în intervalul [t − 1, t), iar φt · St este valoareaportofoliului dinamic după ce preţurile pentru active au fost anunţate la momentul t . Astfel, putem definiprocesul câştig, notat Gφ(t)Tt=1, prin:

Gφ(t) = t∑τ=1 φτ · ∆Sτ , t = 1, 2, . . . , T (7.1)

unde ∆Sτ = Sτ − Sτ−1.Un portofoliu dinamic φtTt=1 se numeşte portofoliu autofinanţant (sau strategie autofinanţantă) dacăφt · St = φt+1 · St , t = 1, 2, . . . , T − 1. (7.2)

Relaţia (7.2) spune că valoarea portofoliului dinamic la un moment t nu se modifică dacă activele din portofoliusunt actualizate (redistribuite) la acel moment; valoarea portofoliului s-ar schimba doar dacă preţurile lamomentul t se modifică. Pentru un portofoliu autofinanţant, observăm că:Gφ(t) = t∑

τ=1 φτ · ∆Sτ = Vφ(t)− Vφ(0), t = 1, 2, . . . , T (7.3)

68

Page 70: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF7 [Dr. Iulian Stoleriu]Un portofoliu dinamic autofinanţant φ se numeşte admisibil dacă Vφ(t) > 0 pentru orice t = 0, 1, 2, . . . , T .Pe această piaţă financiară, vom spune că X este un intrument financiar derivat de tip european (sau derivatfinanciar european) cu maturitatea T dacă X este o variabilă aleatoare FT−măsurabilă. Termenul în limbaengleză pentru instrument financiar derivat este contingent claim. Un exemplu tipic de derivat financiar esteun call european cu un activ suport ce valorează St la momentul t , cu maturitatea t = T şi cu preţul deexerciţiu K . Valoarea acestui call european la scadenţă va fi C (T ) = maxS(T )− K ; 0.Un instrument financiar derivat X se numeşte replicabil (hedgeable sau attainable) dacă există un portofoliudinamic autofinanţat φ astfel încât valoarea lui X este fT = Vφ(T ). Portofoliul dinamic se va numi portofoliude acoperire (strategie de acoperire) sau portofoliu replicabil (strategie replicabilă).Un portofoliu dinamic φ se numeşte oportunitate de arbitraj dacă una dintre următoarele condiţii esteîndeplinită:

P(Vφ(0) = 0) = 1, P(Vφ(T ) > 0) = 1 şi P(Vφ(T ) > 0) > 0. (7.4)sauP(Vφ(0) < 0) = 1 şi P(Vφ(T ) > 0) > 0. (7.5)O piaţă financiară se numeşte viabilă dacă nu există astfel de oportunităţi de arbitraj. O piaţă viabilă senumeşte piaţă completă dacă orice derivat financiar este replicabil.Pentru a putea determina preţul lipsit de arbitraj pentru orice derivat financiar, va trebui să considerămurmătoarele ipoteze simplificatoare:(1) Nu există oportunităţi de arbitraj pe piaţă;(2) Piaţa este fără fricţiuni, i.e., activele sunt perfect divizibile, nu există restricţii în vânzări short, nuexistă consturi de tranzacţionare sau de depozitare, nu există taxe;(3) Toţi investitorii au aceleaşi informaţii despre piaţă şi cad de acord în ce priveşte stările posibile alepieţei la orice moment t > 0;(4) La momentul t = 0 preţurile sunt cunoscut şi unice pentru fiecare activ în parte şi fiecare investitorpoate investi în orice activ doreşte, în ce cantităţi doreşte;(5) Investitorii cad de acord în ce priveşte evoluţia procesului stochastic St ;(6) Investitorii preferă din ce în ce mai mult (lipsă de saţietate);(7) Rata dobânzii unitare anuale este aceeaşi atât pentru credit, cât şi pentru debit;

Definiţia 7.2. Două măsuri de probabilitate P şi P∗ definite pe (Ω, F , P) sunt echivalente (scriem P ∼ P∗)dacăP(A) = 0⇔ P∗(A) = 0, pentru orice A ∈ F .

Definiţia 7.3. Un proces stochastic discret XtTt=0 (care este o colecţie de variabile aleatoare) cu valorireale, cu E[|Xt |] <∞, se numeşte martingal în raport cu măsura de probabilitate Q dacăEQ [Xt |Xs, Xs−1, . . . , X0] = Xs, pentru orice s, t ∈ 0, 1, . . . , T , s 6 t.

În particular, dacă Xt ar fi valoarea prezentă, atunci valoarea aşteptată a valorii imediat următoare, Xt+1,ţinând cont de istoria de până atunci (i.e., X0, X1, . . . , Xt ) este tocmai valoarea prezentă Xt , adică ultimavaloare din şir, adică:EQ [Xt+1|Xt , Xt−1, . . . , X0] = Xt , pentru orice t ∈ 0, 1, . . . , T − 1.

69

Page 71: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF7 [Dr. Iulian Stoleriu]Definiţia 7.4. O măsură de probabilitate Q definită pe un câmp de probabilitate (Ω, F , P) se numeştemăsură martingală echivalentă (MME) dacă este echivalentă cu P şi, în plus, S∗ este un martingal relativla măsura Q (şi filtrarea FtTt=0), i.e., avem:

EQ [S∗t | Fs] = S∗s pentru orice s, t ∈ 0, 1, . . . , T, s 6 t. (7.6)Teorema 7.5. (teorema fundamentală) Piaţă financiară (construită ca un model discret) este viabilă dacă şinumai dacă există o măsură martingală echivalentă Q.Observaţia 7.6. • Teorema fundamentală spune că o piaţă este viabilă dacă şi numai dacă există omăsură de probabilitate Q în raport cu care procesul S∗t Tt=0 (preţurile normalizate) este martingal,i.e., pentru orice i = 1, 2, . . . , N , avem:

EQ[SitS0t| Fs

] = SisS0s, pentru orice s, t ∈ 0, 1 . . . , T , s 6 t.

• De menţionat că această teoremă nu va mai rămâne validă şi pentru cazul modelului continuu.• Luând s = t − 1 în relaţia (7.6), o putem rescrie în forma:EQ [∆S∗t | Ft−1] = 0, pentru orice t = 1, 2 . . . , T ,

adică, la fiecare moment, valoarea aşteptată condiţionată a variaţiei preţurilor activelor de pe piaţăeste zero.Teorema 7.7. O piaţă financiară viabilă este completă dacă şi numai dacă există o unică măsură martingalăechivalentă.Se pune următoarea problemă:Avem un derivat financiar X a cărui valoare (sau funcţie pay-off, notată aici prin ft la momentul t) la scadenţă(i.e., la t = T ) este variabila aleatoare fT . Cum putem determina valoarea acestui derivat la un momentanterior scadenţei, t < T ?Dacă derivatul financiar este replicabil, atunci ar trebui să existe un portofoliu dinamic unic a cărui valoarela fiecare moment să reproducă valoarea derivatului financiar în acel moment.Teorema 7.8. Considerăm modelul discret de piaţă financiară de mai sus. Dacă piaţa financiară este completă,atunci pentru orice derivat financiar replicabil (cu funcţia de pay-off ft la momentul t) există un unic portofoliureplicant φ format din activele existente pe această piaţă, i.e., ft = Vφ(t) pentru orice t = 0, 1, . . . , T .Teorema 7.9. Considerăm modelul discret de piaţă financiară de mai sus şi presupunem că piaţa financiarăeste viabilă. Atunci, preţul lipsit de arbitraj la momentul t pentru un derivat financiar ce valorează fT lamaturitate este

ft = S0t EQ

[fTS0T| Ft

], t = 0, 1, . . . , T . (7.7)

În particular, dacă r > 0 este rata fixă a dobânzii de referinţă şi S0t = S00 (1 + r)t , pentru t = 0, 1, . . . , T ,atunci formula (7.7) devine

ft = (1 + r)−(T−t) EQ [fT | Ft ] , t = 0, 1, . . . , T .Pentru t = 0, obţinem:

f0 = (1 + r)−T EQ [fT | F0] = (1 + r)−T EQ [fT ].70

Page 72: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF7 [Dr. Iulian Stoleriu]Dacă derivatul financiar este un call de tip european cu scadenţa T , atunci valoarea acestuia la momentult = 0 este:

C0 = (1 + r)−T EQ [CT ] .Am folosit faptul că EQ [CT | F0] = EQ [CT ].Probleme propuse

Exerciţiu 7.1. Preţul actual al unui activ ce nu generează dividende este S0 = 100. Presupunem că preţulSt al activului evoluează după un model binomial cu perioada de 4 luni şi că, la finalul fiecărei perioade, estede aşteptat ca preţul activului să crească cu un procent de 10% sau să scadă cu 5%. Rata dobânzii lipsitede risc este r = 0.03 p.a. (dobândă simplă).(a) Determinaţi repartiţia preţurilor activului la momentul T = 1 şi calculaţi valoarea aşteptată a lui S1.(b) Scrieţi procesele valoare şi câştig la fiecare moment t până la scadenţă;(c) Pentru un call european la paritate, determinaţi valoarea portofoliilor replicante în fiecare nod al reţelei.(d) Care este valoarea derivatului de la (c) în fiecare nod al reţelei?Exerciţiu 7.2. Cotaţia de azi pentru un euro este 1e= 4.5 RON. Presupunem că valoarea monedei uniceeuropene faţă de leu se modifică după un model binomial cu perioada de o zi, cu σ = 0.1. Rata dobânziianuale unitare este r = 0.05 (compusă continuu).(a) Determinaţi repartiţia preţurilor activului după exact o săptămână.(b) Determinaţi valoarea unui drept de cumpărare a 1000e, după exact 3 zile, la cotaţia de azi.(c) Determinaţi valoarea unui drept de vânzare a 1000e, după exact 3 zile, la cotaţia de azi.(d) Generaţi în Matlab o posibilă evoluţie a cursului e/RON pentru următorul an.(e) Pentru derivatele financiare de la (b) şi (c), determinaţi valoarea portofoliilor replicante în fiecare nodal reţelei.(f ) Pentru derivatul financiar de la (c), scrieţi procesele valoare şi câştig la fiecare moment t până lascadenţă;(g) Determinaţi valoarea unui put american, de vânzare a 1000e la cotaţia de azi, cu scadenţa de 4 săp-tămâni.

71

Page 73: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF8 [Dr. Iulian Stoleriu]8 Matematici financiare (C8)

Elemente de analiză stochastică

Mişcarea aleatoare

Mişcarea aleatoare (random walk sau drunkard’s walk) este un formalism matematic al unei traiectorii cereprezintă paşi succesivi. A fost introdus de Karl Pearson în 1905. Are aplicaţii în diverse ştiinţe, dintre caremenţionăm: traiectoria unei molecule suspendate într-un lichid (în Biologie) sau preţul unui activ financiar(în Finanţe) etc. O posibilă evoluţie a preţului unui activ financiar într-un model binomial este o astfel demişcare aleatoare. O reprezentare grafică a acestei mişcări este cea din Figura 6.3, generată în Matlab decodul din Exerciţiul 14.7.Un alt exemplu:Considerăm un joc prin care cineva poate câştiga 1 RON, dacă la aruncarea unei monede ideale apare faţacu stema, şi pierde 1RON dacă apare cealaltă faţă. Fie X variabila aleatoare care ia valoarea 1 dacă aapărut faţa cu stema şi X = −1 altfel. Se aruncă moneda de n ori (experimente independente) şi fie Snsuma cumulată din n aruncări. Atunci, procesul aleator Snn>0 este o mişcare aleatoare.Procesul Wiener (sau mişcarea Browniană)

În 1828, botanistul scoţian Robert Brown a studiat mişcarea particulelor de polen suspendate într-un lichid,observând o mişcare iregulară şi haotică. Această mişcare a rămas în literatură cu numele de mişcareBrowniană. Ea a fost studiată matematic pentru prima oară de matematicianul Louis Bachelier, în tezasa de doctorat Theorie de la Spéculation, susţinută în 1900. Bachelier a utilizat mişcarea Brownianăpentru a modela fluctuaţiile de preţ pentru active financiare riscante. În 1905, Albert Einstein a explicataceastă mişcare ca fiind rezultatul interacţiunii particulelor de polen cu moleculele de fluid întâlnite în cale,derivând astfel ecuaţii de evoluţie pentru această mişcare. Fundaţiile matematice riguroase pentru mişcareaBrowniană au fost stabilite de Norbert Wiener, un matematician american care s-a preocupat de studiulproceselor stochastice si a zgomotului aplicat pe diverse sisteme. De aici şi numele alternativ de procesWiener pentru mişcarea Browniană.Fie (Ω, F , P) un câmp de probabilitate. Vom numi proces stochastic o familie parametrizată de variabilealeatoare definite pe câmpul de probabilitate. Un proces stochastic discret este o familie X1(ω), X2(ω), . . . ,Xn(ω), . . . de variabilele aleatoare. Procesul stochastic se numeşte continuu dacă familia este indexatădupă o mulţime de indici J ⊂ R (scriem Xt (ω), t ∈ J ⊂ R+) şi Xt este continuu P a.s. în raport cu t .Dacă ω este fixat, atunci aplicaţia t −→ Xt (ω) se va numi traiectoria procesului.Definiţia 8.1. Procesul stochastic W : R+ × Ω → R se numeşte proces Wiener (cu o dimensiune) dacăurmătoarele patru condiţii sunt îndeplinite (vom nota prin Wt = W (t, ω)):

(1) W0 = 0, a.s., adică aproape toate traiectoriile pleacă din 0 la momentul zero (este o convenţie);(2) Aplicaţia t −→ Wt (·) este continuă P a.s. (continuitatea traiectoriilor);

72

Page 74: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF8 [Dr. Iulian Stoleriu]

Figura 8.1: O reprezentare a 5 procese Wiener.(3) (∀) 0 6 s 6 t, Wt −Ws ∼ N (0, √t − s), (media 0 şi dispersia t − s);(4) (∀) 0 = t0 < t1 < · · · < tn, variabilele aleatoare

Wt1 −Wt0 , Wt2 −Wt1 , . . . , Wtn −Wtn−1sunt independente stochastic (i.e., creşterile sunt independente).Observaţia 8.2. (1) Procesul Wiener este un proces Gaussian, i.e., pentru orice 0 6 t1 6 t2 6 . . . 6 tk ,vectorul aleator V = (Wt1 , Wt2 , . . . , Wtk ) este un vector aleator ce are repartiţia normală k−dimensională.(2) Pentru orice t > 0, putem scrie ca

Wt+1 −Wt = εt√∆t, unde εt ∼ N (0, 1) sunt v.a. independente stochastic.

Proprietăţi 8.3. (1) Fie Wt = W (t, ω) un proces Wiener şi notăm cu ∆W = Wt −Ws. Atunci, din definiţie,E(∆W ) = 0, D2(∆W ) = t − s, (∀) 0 6 s 6 t.

(2) Dacă 0 = t0 < t1 < · · · < tn = T este o divizare a intervalului [0, T ], atunci:E(WT ) = 0; D2(WT ) = T .

- Putem scrie că:WT −W0 = n∑

k=1 [Wtk −Wtk−1 ] = n∑k=1 εk

√∆t.Dar E(WT ) = E(WT −W0) + E(W0) = 0 şi, utilizând independenţa stochastică, putem scrie:

D2(WT ) = D2(WT −W0) = n∑k=1 D

2(Wtk −Wtk−1 ) = n · ∆t = T . √

73

Page 75: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF8 [Dr. Iulian Stoleriu]Definiţia 8.4. (1) σ-algebra Ws = σ (Wr ); 0 6 r 6 s se numeşte istoria procesului Wiener până lamomentul s sau filtrarea naturală ataşată procesului Wiener.(2) σ-algebra W+

s = σ (Wt −Ws); t > s se numeşte viitorul procesului Wiener după momentul s.Propoziţia 8.5. Proprietăţi ale procesului Wiener (fără demonstraţie):(1) Pentru aproape toţi ω ∈ Ω, traiectoriile procesului Wiener (adică t → Wt (ω)) nu sunt nicăieri diferen-ţiabile.(2) Procesul Wiener are variaţie infinită în orice interval (i.e., distanţa între oricare două puncte Ws şi Wt(s 6= t) ale unui proces Wiener este infinită).(3) Procesul Wiener este un proces Markov, i.e., pentru orice B ∈ B (R) and all 0 6 s 6 t , avem că

P(Wt ∈ B|Ws) = P(Wt ∈ B|Ws) a.s.(4) Procesul Wiener este un fractal.(5) Dacă Wt este un proces Wiener, atunci procesul stochastic −Wt este tot un proces Wiener.(6) Dacă Wt este un proces Wiener, atunci procesul stochastic √αW tα

este tot un proces Wiener.Definiţia 8.6. O familie (filtrare) Ftt de σ−algebre se numeşte non-anticipativă în raport cu Wt dacă:

(i) Fs ⊂ Ft , (∀) 0 6 s 6 t;(ii) Wt ⊂ Ft , (∀) t > 0;(iii) Ft este independentă de σ−algebra W+

t , (∀) t > 0.Definiţia 8.7. (1) Un proces stochastic Xtt>0 se numeşte adaptat filtrării Ft (sau non-anticipativ în raportcu Ft ) dacă Xt este Ft−măsurabil, pentru orice t > 0.Cu alte cuvinte, valorile lui Xt depind doar de informaţia existentă în Ft .(2) Un proces stochastic se numeşte progresiv măsurabil dacă pentru orice timp t , aplicaţia [0, t]× Ω→ Rdefinită prin (s, ω) 7→ Xs(ω) este măsurabilă în raport cu σ−algebra generată de [0, t]× A (cu A ∈ Ft ), i.e.,X (t, ω) este o funcţie măsurabilă în ambele variabile.Se observă cu uşurinţă că Xt progresiv măsurabil implică faptul că Xt este Ft−adaptat.(3) Vom nota prin M2(0, T ) spaţiul proceselor stochastice Xt : Ω× [0, T ] −→ R progresiv măsurabile, astfelîncât ∫ T

0 X 2t dt <∞.(4) Pentru p ∈ N∗, vom nota prin Lp(0, T ) spaţiul proceselor stochastice Xt : Ω × [0, T ] −→ R progresivmăsurabile, astfel încât

E

(∫ T

0 |Xt |p dt)<∞.

Definiţia 8.8. Un proces stochastic Xtt>0 de forma:Xt = x0 + µt + σ Wt , t > 0, (8.1)

cu Wt este proces Wiener, se numeşte proces Wiener generalizat. Punctul de plecare este x0, are mediax0 +µt şi dispersia σ 2. Valoarea medie a modificării în timp a unui proces stochastic se numeşte drift. Driftulunui proces Wiener standard este 0, iar pentru un proces Wiener generalizat este x0 + µt .Se observă că Xt = X (t, Wt ). Dependenţa lui Xt si Wt de ω se subînţelege şi nu va fi scrisă explicit decâtuneori, când este necesar.Spunem că ”x0 + µt” este partea deterministă a procesului stochastic Xtt>0, iar ”σ Wt” este parteaaleatoare. Termenul σ dW poate fi interpretat ca fiind un zgomot adăugat pe sistem.

74

Page 76: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF8 [Dr. Iulian Stoleriu]Considerăm un activ financiar a cărui valoare la momentul t este St . Dacă valoarea activului se modifică întimp doar datorită ratei dobânzii (µ), atunci putem scrie

dStdt = µ St , t > 0, (8.2)

de unde găsim căSt = S0eµ t , t > 0,Însă, cazul determinist este doar un caz ideal. În practică, apar diverse fluctuaţii aleatoare ale preţuluiactivului. Dorim să luam în considerare aceste fluctuaţii şi presupunem că σ este o măsură a variaţieivalorilor în jurul mediei. Adăugăm în ecuaţia (8.2) un factor de perturbare ξt (zgomot alb) care să ţină contde preţul activului şi vom scrie:

dStdt = µ St + σ St ξt , t > 0. (8.3)

Acest factor de perturbare se consideră a fi ξt = dWtdt (scriere formală). Înlocuind în (8.3), obţinem:

dStSt

= µ dt + σ dWt , t > 0, (8.4)sau, altfel scris,

dSt = µ St dt + σ St dWt , t > 0. (8.5)Un proces stochastic ce verifică o relaţie de forma (8.4) sau (8.5) se numeşte mişcare Browniană geometrică.În general, un proces stochastic Xtt>0 ce verifică relaţia:dXt = f(t, Xt )dt + g(t, Xt )dWt , t > 0, (8.6)

se numeşte proces Itô. Driftul acestui proces este f(t, Xt ) iar volatilitatea este g(t, Xt ). Relaţia (8.6) maipoartă numele de ecuaţie diferenţială stochastică.Deoarece aproape toate traiectoriile procesului Wiener sunt nicăieri diferenţiabile, termenul dWt este doaro scriere formală, o notaţie. Cu alte cuvinte, termenul dWt nu are nicio însemnătate de unul singur. Maimult, termenul de ecuaţie diferenţială stochastică este o noţiune formală, căreia în vom da un sens în celece urmează. În acest sens, vom introduce noţiunea de integrală Itô a unui proces stochastic adaptat Xt înraport cu procesul Wiener, notată prin ∫ T

0 Xt dWt .

Următoarea discuţie se doreşte a fi o motivaţie pentru modul în care integrala Itô pentru un proces adaptatoarecare este definită.Observaţia 8.9. Să considerăm un set de N active financiare tranzacţionabile, care au preţurile Sit lamomentul t ∈ [0, T ] (i = 1, N). Presupunem că momentele la care aceste active pot fi tranzacţionate sunt0 = t0 < t1 < · · · < tn = T . Aceste preţuri sunt, de fapt, nişte procese stochastice de tip (8.6) . Intuitiv,ar trebui ca aceste preţuri să depindă doar de istoria până la momentul t şi să nu anticipeze viitorul dupămomentul t . Aşadar, vom cere ca procesul stochastic ce defineşte portofoliul dinamic să fie non-anticipativ.Un investitor investeşte în aceste active, construindu-şi un portofoliu dinamic φtTt=1. Valoarea iniţială aacestui portofoliu dinamic este Vφ(0) = φ1 ·S0. (Aici, ”·” este produsul scalar a doi vectori.) Dacă presupunemcă acest portofoliu dinamic este autofinanţant (i.e., valoarea acestuia se modifică doar datorită fluctuaţiilor

75

Page 77: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF8 [Dr. Iulian Stoleriu]de preţ ale activelor, şi nu pentru că au fost investite sau retrase sume de bani din portofoliu după momentult = 0), atunci variaţia valorii portofoliului la un moment t = 1, 2, . . . , n− 1 este

dVφ(t) = φt · dSt := N∑i=1 φ

it dSit ,

= N∑i=1 φ

it (Sit+1 − Sit ).

(dSt = St+1 − St , dSit = Sit+1 − Sit , i = 1, N .)Astfel, dacă presupunem că norma diviziunii tinde la 0 (i.e., n tinde la ∞), valoarea portofoliului la T poatefi obţinută (formal) prin integrarea relaţiei de mai sus. Formal, vom avea că:Vφ(T ) = Vφ(0) + ∫ T

0 φt dSt ,

unde integrala este interpretată în sensul următor:∫ T

0 φt dSt = limn→∞

n−1∑k=0 φtk (Stk+1 − Stk ).

Folosind argumentele de mai sus, suntem îndreptăţiţi să ne propunem a defini această integrală într-un cadrumai general.Definiţia 8.10. Fie 0 = t0 < t1 < · · · < tn = T este o divizare a intervalului [0, T ] şi Xtt>0 un processtochastic din L2(0, T ). Atunci, variabila aleatoare ∫ T

0 Xt dWt , definită prin∫ T

0 Xt dWt := limn→∞

n−1∑k=0 Xtk (Wtk+1 −Wtk ). (8.7)

se numeşte integrala în sens Itô pe intervalul (0, T ) a procesului stochastic Xt în raport cu procesul Wiener.Observaţia 8.11. (1) Este important ca în suma din definiţie să apară valorile Xtk , deoarece aceste variabilealeatoare sunt non-anticipative, pentru fiecare interval [tk , tk+1). Pentru orice τ ∈ (tk , tk+1), variabilăaleatoare Xτ este o valoare anticipată, care ar depinde de valorile viitoare ale preţurilor (i.e., de Stk+1 ), decifără interes în dinamica pieţei.(2) Integrala stochastică este o variabilă aleatoare, pe când integrala obişnuită Riemann-Stieltjes, dacăexistă, este un număr real. Reamintim că integrala Riemann-Stieltjes se defineşte prin∫ T

0 F (t)dG(t) := limn→∞

n−1∑k=0 F (ξk ) (G(tk+1)− G(tk )). (8.8)

pentru orice puncte intermediare ξk ∈ (tk , tk+1). Aici G(t) este o funcţie cu variaţia mărginită şi F o funcţiecontinuă.Dacă s-ar încerca definirea integralei stochastice în acelaşi mod, pentru orice puncte intermediare ξk , amgăsi în membrul drept o limită ce nu există. Aşadar, ξk trebuie să fie fixate a priori. În definiţia integralei detip Itô se alege ξk = tk , (∀) k . Pentru orice altă alegere, obţinem o altă integrală stochastică, dacă aceasta76

Page 78: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF8 [Dr. Iulian Stoleriu]este definită, şi aceasta va fi diferită de cea de tip Itô. Spre exemplu, putem defini integrala stochastică detip Stratonovich prin ∫ T

0 Xt dWt := limn→∞

n−1∑k=0

Xtk + Xtk+12 (Wtk+1 −Wtk ). (8.9)Această integrală este utilă în aplicaţiile din Fizică, dar nu în Finanţe.Observaţia 8.12. Folosind definiţia anterioară, forma corectă a ecuaţiei (8.6) este:

Xt = X0 + ∫ t

0 f(s, Xs)ds+ ∫ t

0 g(s, Xs)dWs, t > 0 a.s., (8.10)unde prima integrala este integrala în sens Riemann, iar cea de-a doua este integrala în sens Itô.Probleme propuse

Exerciţiu 8.1. Arătaţi că dacă Wt este un proces Wiener, atunci procesul stochastic −Wt este tot un procesWiener.Exerciţiu 8.2. Arătaţi că dacă Wt este un proces Wiener, atunci procesul stochastic √αW t

αeste tot unproces Wiener. Pentru α = 2, simulaţi o posibilă traiectorie a acestui proces.

Exerciţiu 8.3. Considerăm variabila aleatoare ε ∼ N (0, 1) şi definim procesul stochastic Wt = ε√t pentru

t > 0. Verificaţi dacă Wt este un proces Wiener. Simulaţi o posibilă traiectorie a acestui proces.Exerciţiu 8.4. Considerăm procesele Wiener Wt şi Wt . Dacă α ∈ (0, 1) fixat, arătaţi că procesul stochasticαWt +√1− α2Wt este un proces Wiener. Simulaţi o posibilă traiectorie a procesului.Exerciţiu 8.5. Arătaţi că dacă (Wt )t>0 este un proces Wiener, atunci

cov(Wt , Ws) = min(s, t).[[Indicaţie: Pentru s < t , scriem Wt = Ws + (Wt − Ws) şi folosim proprietăţile din definiţia procesuluiWiener]]Exerciţiu 8.6. Arătaţi că dacă Wtt>0 este un proces Wiener, atunci procesul Wtt>0, definit prin Wt =tW1/t , cu W0 = 0 a.s., este tot un proces Wiener. Simulaţi o posibilă traiectorie a acestui proces.

77

Page 79: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF9 [Dr. Iulian Stoleriu]9 Matematici financiare (C9)

Elemente de analiză stochastică (II)

Continuăm discuţia din cursul precedent.Fie Wtt>0 este o mişcare Browniană şi f, g nişte funcţii măsurabile. Un proces stochastic Xtt>0 ceverifică relaţiadXt = f(t, Xt )dt + g(t, Xt )dWt , t > 0, (9.1)se numeşte proces Itô. Relaţia (9.1) mai poartă numele de ecuaţie diferenţială stochastică.În particular, un proces stochastic ce satisface relaţia:

dSt = µ St dt + σ St dWt , t > 0 (µ ∈ R, σ > 0)se numeşte mişcare Browniană geometrică.Deoarece mişcarea Browniană Wt nu este diferenţiabilă, relaţia (9.1) este doar o scriere formală. Formacorectă a ecuaţiei (9.1) este:

Xt = X0 + ∫ t

0 f(s, Xs)ds+ ∫ t

0 g(s, Xs)dWs, t > 0 a.s., (9.2)unde prima integrala este integrala în sens Riemann, iar cea de-a doua este integrala în sens Itô, adică însensul definiţiei următoare:Definiţia 9.1. Fie 0 = t0 < t1 < · · · < tn = T o divizare a intervalului [0, T ] şi Xtt>0 un proces stochasticdin L2(0, T ). Atunci, variabila aleatoare ∫ T

0 Xt dWt , definită prin∫ T

0 Xt dWt := limn→∞

n−1∑k=0 Xtk (Wtk+1 −Wtk ). (9.3)

se numeşte integrala în sens Itô pe intervalul (0, T ) a procesului stochastic Xt în raport cu procesul Wiener.Proprietăţi 9.2. (proprietăţi ale integralei Itô)

(I1) Pentru orice constante reale a şi b şi Xt , Yt ∈ L2(0, T ), avem:∫ T

0 (aXt + bYt )dWt = a∫ T

0 Xt dWt + b∫ T

0 Yt dWt .

(I2) E

(∫ T

0 Xt dWt

) = 0.

78

Page 80: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF9 [Dr. Iulian Stoleriu]

(I3) E

(∫ T

0 Xt dWt

)2 = E

(∫ T

0 X 2t dt

).

Din această proprietate observăm necesitatea ca procesul care se integrează, Xt , să fie din L2(0, T ).Se observă că dispersia v.a. ∫ T

0 Xt dWt esteD2(∫ T

0 Xt dWt

) = E

(∫ T

0 X 2t dt

).

(I4) Pentru oricare procese stochastice Xt şi Yt de pătrat integrabile avem:E

(∫ T

0 Xt dWt ·∫ T

0 Yt dWt

) = E

(∫ T

0 XtYt dt).

Definiţia 9.3. Pentru X ∈ L2(0, T ), variabila aleatoareI(t) = ∫ t

0 Xs dWs

se numeşte integrala Itô nedefinită. Avem că I(0) = 0.Se poate demonstra că procesul stochastic I(t) este un martingal în raport cu istoria procesului Wiener, i.e.,

E[I(t)|Ws] = I(s), 0 6 s 6 t.Lema lui Itô (regulă de diferenţiere stochastică)

Considerăm procesul Itô Xt definit prin relaţiadXt = f(t, Xt )dt + g(t, Xt )dWt , t > 0, (9.4)

şi presupunem că f(t, Xt ) ∈ L1(0, T ), g(t, Xt ) ∈ L2(0, T ).(i.e., sunt progresiv măsurabile şi E(∫ T

0 f(t, Xt (ω))dt) <∞, E(∫ T

0 g2(t, Xt (ω))dt) <∞.)Considerăm funcţia H(t, x), de clasă C 1 în variabila t şi de clasă C 2 în x . Intenţionăm să găsim ecuaţiadiferenţială stochastică (formală) pe care o satisface procesul stochastic compus H(t, Xt ). Dacă factorul dWtar fi determinist, atunci, datorită regulii lanţului, putem scrie:

dH(t, Xt ) = ∂H∂t dt + ∂H

∂x dXt = (∂H∂t + f ∂H∂x

)dt + g ∂H∂x dWt .

În cazul stochastic avem:Lema 9.4. (formula lui Itô) Dacă funcţia H este de clasă C 2 în variabila X şi de clasă C 1 în variabila t ,atunci procesul H(t, Xt ) satisface ecuaţia diferenţială stochastică:

dH(t, Xt ) = (∂H∂t + f ∂H∂x + 12g2 ∂2H∂x2

)dt + g ∂H∂x dWt . (9.5)

79

Page 81: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF9 [Dr. Iulian Stoleriu]Observaţia 9.5. Deoarece procesul Wiener este nicăieri diferenţiabil, ecuaţia (9.5) este doar o scriere formală.Dacă procesul stochastic Xt este scris sub forma (9.2), atunci forma integrală (corectă) a lemei lui Itô este:

H(t, Xt ) = H(0, X0) + t∫0[∂H(s, Xs)

∂s + f(s, Xs) ∂H(s, Xs)∂x + 12g2(s, Xs) ∂2H(s, Xs)

∂x2]ds+

+ t∫0g(s, Xs)∂H(s, Xs)

∂x dWs, a.s. (t > 0) (9.6)Aşadar, în cazul regulii lanţului în varianta stochastică mai apare un termen în plus, şi anume g22 ∂2H

∂x2 dt .Exerciţiu 9.1. Determinaţi diferenţiala stochastică a procesului Wiener generalizat,

Yt = y0 + µt + σWt , t > 0.- lema Itô pentru Xt = Wt şi H(t, x) = y0 + µt + σx . Avem că:

∂H∂t = µ, ∂H

∂x = σ, ∂2H∂x2 = 0,

de unde dH(t, Xt ) = µdt + σdXt şi, astfel, dYt = µdt + σdWt . √

Exerciţiu 9.2. Arătăm că ∫ t

sWτ dWτ = W 2

t −W 2s2 − t − s2 .

În particular, ∫ T

0 Wt dWt = W 2T2 − T2 .

- Aplicăm lema lui Itô pentru Xt = Wt , f ≡ 0, g ≡ 1, H(t, x) = x2. Avem:∂H∂t = 0, ∂H

∂x = 2x, ∂2H∂x2 = 2,

de unde d(W 2t ) = 2Wt dWt+dt . Folosind forma integrală (vezi Exerciţiul 9.5 pentru a integra ultima relaţie),scriem astfel:

W 2t = W 2

s + 2 ∫ t

sWτ dWτ + ∫ t

sdτ

= W 2s + 2 ∫ t

sWτ dWτ + t − s,

de unde relaţia cerută. √

Proprietăţi 9.6. (alte reguli de calcul stochastic)

• d(tWt ) = Wt dt + t dWt , t > 0.• d(W m

t ) = mW m−1t dWt + m(m−1)2 W m−2

t dt, m > 2, t > 0.

80

Page 82: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF9 [Dr. Iulian Stoleriu]• Dacă X1, X2 sunt procese Itô,

dX1 = f1(t, X1)dt + g1(t, X1)dWt , t > 0,dX2 = f2(t, X2)dt + g2(t, X2)dWt , t > 0,

cu fi ∈ L1(0, T ) şi gi ∈ L2(0, T ) (i = 1, 2), atuncid(X1 X2) = X2 dX1 + X1 dX2 + g1g2 dt.

Exerciţiu 9.3. Considerăm un contract forward cu scadenţa T , care are la bază un activ suport ce valoreazăSt la momentul t şi nu generează dividende. Dacă r este rata dobânzii unitare, atunci preţul forward lamomentul t este:

F (t, St ) = St er(T−t), (∀) t ∈ [0, T ].Să presupunem că valoarea activului suport satisface ecuaţia diferenţiala stochastică (8.3). Pentru a calculadF , folosim lema lui Itô pentru F (t, s) = ser(T−t). Mai întâi, calculăm:

∂F∂t = −r St er(T−t), ∂F

∂s = er(T−t), ∂2F∂s2 = 0.

Obţinem ecuaţia diferenţială stochastică:dF = [er(T−t) µ St − r St er(T−t)] dt + er(T−t) σ St dWt ,

sau, rescrisă,dF = (µ − r)Ft dt + σ Ft dWt . (9.7)Observăm că preţul forward (dat de relaţia (9.7) este o mişcare Browniană geometrică cu driftul µ − r şivolatilitatea σ .

Exerciţiu 9.4. Considerăm acum că G(t, St ) = ln(St ). Atunci:∂G∂t = 0, ∂G

∂s = 1St, ∂2F

∂s2 = − 1S2t,

de unde, aplicând lema lui Itô, obţinem:d ln(St ) = (µ − σ 22

)dt + σ dWt , t > 0. (9.8)

Acesta este un proces Wiener generalizat cu driftul µ− σ 22 şi volatilitatea σ . Integrând (9.8) (vezi Exerciţiul9.5 pentru o metodă de integrare), obţinemln(St ) = ln(S0) + (µ − σ 22

)t + σ Wt , t > 0, (9.9)

de undeSt = S0e(µ− σ22 ) t+σ Wt , t > 0, a.s.. (9.10)

81

Page 83: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF9 [Dr. Iulian Stoleriu]Observaţia 9.7. În particular, dacă luăm t = T în relaţia (9.9), atunci deducem că

lnST ∼ N (lnS0 + (µ − σ 22 )T , σ√T) , (9.11)adică preţurile la scadenţă ale unui activ financiar urmează o repartiţie lognormală, i.e.,

ST ∼ logN (lnS0 + (µ − σ 22 )T , σ√T) . (9.12)Mai putem rescrie (9.11) astfel:

ln(STS0)∼ N

((µ − σ 22 )T , σ√T) . (9.13)Valoarea aşteptată şi dispersia procesului ST sunt (vezi repartiţia lognormală):

E(ST ) = S0eµT , D2(ST ) = S20e2µT (eσ 2T − 1) . (9.14)Relaţia (9.14)1 se traduce prin faptul că valoarea aşteptată a preţurilor activului suport la t = T este tocmaisuma ce o vom obţine dacă am depune suma S0 într-un cont bancar cu rata dobânzii unitare anuale µ.Observaţia 9.8. Deoarece este practic imposibil să anticipăm valoarea exactă a activului la momentul T(i.e., ST ) la momentul iniţierii unui contract, putem căuta în schimb un interval de încredere pentru valoareaactivului la scadenţă. Fie α un nivel de semnificaţie apropiat de 0 (de regulă, se ia α = 0.05 sau 0.02sau 0.01). Dacă X este o variabilă aleatoare, atunci un interval de încredere pentru E(X ) la nivelul desemnificaţie α este un interval (a, b) astfel încât:

P(a < EX < b) = 1− α.Dacă X ar fi normal N (µ, σ ), atunci un interval de încredere centrat pentru µ = E(X ) este intervalul aleator[

X − z1− α2 σ√n, X + z1− α2 σ√

n

],

astfel încât:P(X − z1− α2 σ√

n< µ < X + z1− α2 σ√

n

) = 1− α, (9.15)echivalent cu

P(µ − z1− α2 σ√

n< X < µ + z1− α2 σ√

n

) = 1− α, (9.16)unde X este media de selecţie asociată v.a. X şi z1− α2 este cuantila de ordin 1− α2 pentru repartiţia normalăstandard.Să fixăm α = 0.05, de unde z1− α2 = 1.96 .Ţinând cont de relaţia (9.13), dacă în relaţia (9.16) considerăm n = 1 şi în loc de X folosim ln(STS0

) (careare media (µ − σ 22 )T şi abaterea standard σ√T ), atunci găsim că:

P((µ − σ 22 )T − 1.96 σ√T < ln(STS0

)< (µ − σ 22 )T + 1.96 σ√T) = 0.95, (9.17)

82

Page 84: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF9 [Dr. Iulian Stoleriu]de unde

P(S0e

(µ− σ22 )T−1.96 σ√T < ST < S0e

(µ− σ22 )T+1.96 σ√T) = 0.95. (9.18)

Aşadar, am găsit că un interval de încredere pentru valoarea activului la scadenţă este(S0e

(µ− σ22 )T−1.96 σ√T , S0e

(µ− σ22 )T+1.96 σ√T) . (9.19)

Deoarece nu este nimic special în legătură cu alegerea lui t = T , se poate construi astfel câte un intervalde încredere pentru fiecare St , cu t > 0. Forma acestui interval este cea de mai înainte, în care T esteînlocuit cu t . Dacă presupunem că T este mic, atunci putem neglija termenii ce în conţin pe T şi scrie:e(µ− σ22 )T−1.96 σ√T ≈ e−1.96 σ√T ≈ 1− 1.96 σ√T

e(µ− σ22 )T+1.96 σ√T ≈ e−1.96 σ√T ≈ 1 + 1.96 σ√T .

Intervalul de încredere devine: (S0(1− 1.96 σ√T ), S0(1 + 1.96 σ√T )) .

Acest interval de încredere este în concordanţă cu percepţia investitorilor conform căreia, pentru perioademici de timp, riscul unei investiţii creşte proporţional cu rădăcina pătrată a timpului. De regulă, riscul poatefi considerat a fi dispersia posibilelor valori viitoare.Ecuaţii diferenţiale stochastice

Vom prezenta aici o scurtă introducere în teoria ecuaţiilor diferenţiale stochastice. Pentru simplitate, vomlucra într-o singură dimensiune.Definiţia 9.9. Fie Wt un proces Wiener şi X0 o variabilă aleatoare independentă de Wt . Pentru orice t > 0fixat, considerăm următoarea σ−algebră:

Ft = σ(X0, Ws), 0 6 s 6 t,şi o vom numi σ−algebra generată de X0 şi istoria procesului Wiener până la momentul t .Următoarea ecuaţie (scrisă formal)

dXt = f(t, Xt )dt + g(t, Xt )dWt , 0 6 t 6 T , (9.20)cu f şi g funcţii reale (f : R× [0, T ]→ R, g : R× [0, T ]→ R) o vom numi ecuaţie diferenţială stochastică.Scrierea corectă a acestei ecuaţii este:

Xt = X0 + ∫ T

0 f(t, Xt )dt + ∫ T

0 g(t, Xt )dWt , 0 6 t 6 T , a.s. (9.21)Definiţia 9.10. Vom spune că procesul stochastic real Xt este o soluţie a problemei stochastice:

dX = f(t, X )dt + g(t, X )dW , 0 < t 6 T ,X (0) = X0,dacă:

83

Page 85: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF9 [Dr. Iulian Stoleriu]• Xt este progresiv măsurabil în raport cu Ft ;• f(t, Xt ) ∈ L1(0, T ), g(t, Xt ) ∈ L2(0, T );• Xt = X0 + ∫ T

0 f(t, Xt )dt + ∫ T

0 g(t, Xt )dWt , 0 6 t 6 T , a.s.Teorema 9.11. (teorema de existenţă şi unicitate)Să presupunem că funcţiile f : R× [0, T ]→ R, g : R× [0, T ]→ R sunt continue şi există un L > 0 astfelîncât:|f(t, x)− f(t, y)| 6 L |x − y|, |g(t, x)− g(t, y)| 6 L |x − y|, pentru orice 0 6 t 6 T şi x, y ∈ R,

şi|f(t, x)| 6 L (1 + |x|), |g(t, x)| 6 L (1 + |x|), pentru orice 0 6 t 6 T şi x, y ∈ R.Fie X0 o variabilă aleatoare reală cu E(|X0|2) < ∞, pe care o considerăm independentă de σ−algebra

W+(0) = σWt , 0 < t 6 T.În aceste condiţii, problema stochastică (9.20) admite o soluţie unică Xt ∈ L2(0, T ).O metodă de rezolvare a ecuaţiilor diferenţiale stochastice

Căutăm o funcţie h : [0, ∞)× R −→ R astfel încât soluţia ecuaţiei (9.20) este de formaXt = h(t, Wt ), cu Wt proces Wiener. Folosind lema lui Itô (pentru Xt = Wt , H(t, Xt ) = h(t, Wt )), scriem:

Xt := h(t, Wt ) = h(0, 0) + ∫ t

0(∂h∂s + 12 ∂2h

∂x2)ds+ ∫ t

0∂h∂x dWs, t ∈ [0, T ]. (9.22)

Din (9.22) şi (9.21), găsim că X este o soluţie a ecuaţiei (9.20) dacă:12 ∂2h(s, x)

∂x2 + ∂h(s, x)∂s = f(s, x);

∂h(s, x)∂x = g(s, x);

h(0, 0) = X0.Exerciţiu 9.5. Să se rezolve problema stochastică:

dX = µdt + σ dW , 0 < t 6 T ,X (0) = x0 ∈ R

unde µ şi σ sunt constante reale.- Aici f ≡ µ, g ≡ σ . Folosim metoda de mai sus şi găsim sistemul de ecuaţii:

12 ∂2h(s, x)∂x2 + ∂h(s, x)

∂s = µ;∂h(s, x)∂x = σ ;

h(0, 0) = x0.Soluţia acestui sistem este:X (t, Wt ) = x0 + µt + σWt , t ∈ [0, T ]. (9.23)

84

Page 86: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF9 [Dr. Iulian Stoleriu]√

Observaţia 9.12. O formulare echivalentă a problemei de mai sus este: Să se rezolve ecuaţia integralăstochastică:

Xt = X0 + ∫ t

0 µ ds+ ∫ t

0 σ dWs, t ∈ [0, T ],care, evident, are soluţia (9.23).Exerciţiu 9.6. Să se rezolve problema stochastică:

dX = σ XdW , 0 < t 6 T ,X (0) = x0 ∈ R

unde σ este o constantă reală.- Aici f ≡ 0, g ≡ σX . Folosim metoda de mai sus şi găsim sistemul de ecuaţii:

12 ∂2h(s, x)∂x2 + ∂h(s, x)

∂s = 0;∂h(s, x)∂x = σ h(s, x);

h(0, 0) = x0.Din ecuaţia a doua găsim că

h(s, x) = f(s)eσ x , s ∈ [0, T ].Înlocuind în prima ecuaţie, obţinem:f ′(s) = −σ 22 f(s),de unde

f(s) = C e−σ22 s, s ∈ [0, T ].Aşadar, după considerarea condiţiei iniţiale, găsim că soluţia problemei propuse este

Xt = h(t, Wt ) = x0e− σ22 t+σ Wt , t ∈ [0, T ].√

Exerciţiu 9.7. Să se rezolve problema stochastică:dSt = µStdt + σ StdWt , 0 < t 6 T ,S(0) = S0,

unde µ şi σ sunt constante reale.- Metoda 1. Aici f(t, x) = µx, g(t, x) = σx . Folosim metoda de mai sus şi găsim sistemul deecuaţii:

12 ∂2h(s, x)∂x2 + ∂h(s, x)

∂s = µ h(s, x);∂h(s, x)∂x = σ h(s, x);

h(0, 0) = x0.

85

Page 87: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF9 [Dr. Iulian Stoleriu]Din ecuaţia a doua găsim că

h(s, x) = f(s)eσ x , s ∈ [0, T ].Înlocuind în prima ecuaţie, obţinem:f ′(s) = (µ − σ 22

)f(s),

de undef(s) = C e

(µ− σ22 )s, s ∈ [0, T ].Aşadar, după considerarea condiţiei iniţiale, găsim că soluţia problemei propuse este cea din formula (9.10),i.e.,

St = h(t, Wt ) = S0e(µ− σ22 )t+σ Wt , t ∈ [0, T ].

Metoda 2. Aplicăm lema lui Itô pentru H(t, St ) = ln(St ). Obţinem:d(ln(St )) = (µ − σ 22

)dt + σ dWt , t ∈ [0, T ]. (9.24)

Observăm că ecuaţia diferenţială stochastică (9.24) este de forma celei din Exerciţiul 9.5. Scriem directsoluţia acesteia: ln(St ) = ln(S0) + (µ − σ 22)t + σ Wt , t ∈ [0, T ],

de unde găsim că soluţia St este cea găsită mai sus. √

Exerciţii

Exerciţiu 9.8. Determinaţi diferenţiala stochastică pentru procesul Xt = (t + Wt )2 şi, astfel, găsiţi ecuaţiadiferenţială stochastică pe care o satisface Xt .Exerciţiu 9.9. Determinaţi diferenţiala stochastică pentru procesul Xt = C eµt+σWt . Rezolvaţi ecuaţia dife-renţială stochastică

dXt = µXt dt + σXt dWt , t > 0.Exerciţiu 9.10. Rezolvaţi problema diferenţială stochastică

dXt = dt + 2√Xt dWt , t > 0, X (0) = 1.Exerciţiu 9.11. Folosiţi formula lui Itô pentru a găsi diferenţiala stochastică a următorului proces stochastic:

Xt = 2 + t + eWt , t > 0.

86

Page 88: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF10 [Dr. Iulian Stoleriu]10 Matematici financiare (C10)

Modelul Black-Scholes

Consideram un activ financiar care valoreaza S0 la t = 0 şi un call european asupra acestui activ, cu preţulde exercitiu K si scadenta T . Reamintim formula Cox-Ross-Rubinstein pentru un call european, bazată pemodelul binomial. Dacă valoarea activului suport se modifică de un număr finit de ori în intervalul [0, T ],atunci valoarea derivatului financiar, este dată de relaţia:C0 = S0B(a, n, ψ∗)− K (1 + r)−TB(a, n, ψ), (10.1)

unde r este rata dobânzii unitare anuale neutre la risc, u şi d sunt factorii de modificare a preţului activuluisuport la fiecare pas,ψ = (1 + r) Tn − d

u− d , ψ∗ = ψ u (1 + r)− Tn

şiB(a, n, ψ) = n∑

k=a Ckn ψk (1− ψ)n−k .

În acest capitol urmărim să determinăm preţul acestui call european în condiţiile în care tranzacţiile se potface în orice moment, nu doar la anumite momente precizate. Vom preciza mai întâi notaţiile folosite.Notaţii

• S = St este preţul activului suport la momentul t;• K este preţul de exerciţiu (strike price);• r este rata dobânzii unitare anuale;• σ este volatilitatea pieţei (măsură a variaţiei preţului activului suport);• T este scadenţa (momentul terminus al tuturor operaţiunilor financiare considerate. Evident, T > 0);• C = Ct este valoarea la momentul t a unui call european (t ∈ [0, T ]).• f = ft este valoarea la momentul t a unui derivat financiar general, considerat a fi de tip european(t ∈ [0, T ]). Să notăm că fT este cunoscut, în sensul că acesta poate fi determinat pe baza preţuriloractivului suport la scadenţă (se va presupune că ST urmează o repartiţie lognormală).• W = Wt este mişcarea Browniană;Caracteristici ale modelului Black-Scholes:

• Este un model continuu de piaţă financiară, atât în timp, cât şi în spaţiul stărilor (i.e., St = S(t) estecontinuu în t şi poate lua valori într-un interval);

87

Page 89: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF10 [Dr. Iulian Stoleriu]• A fost propus de Fisher Black (matematician) şi Myron Scholes (economist) într-un articol din 1973,"The Pricing of Options and Corporate Liabilities" ([8]). Modelul a fost apoi dezvoltat şi îmbunătăţit deRobert C. Merton (economist) în 1974;• Deşi articolul a fost privit cu mult scepticism în momentul trimiterii spre publicare (el fiind respinsde câteva ori, până să fi fost publicat în 1973), formula Black-Scholes a devenit una dintre cele maifaimoase formule din sfera Matematicilor financiare;• Scholes şi Merton în 1997 au obţinut premiul Nobel în Economie pentru modelul Black-Scholes-Merton(Black murise în 1995);• Printr-o întâmplare fericită, modelul Black-Scholes apare în acelaşi timp cu apariţia CBOE (ChicagoBoard of Options Exchange), prima bursă de opţiuni;• Formula era aşa de populară în acea vreme, încât atunci când bursa americană de active a căzut (în1987), multă lume a dat vina pe formula Black-Scholes. Totuşi, Scholes argumentează că vina e ainvestitorilor, care nu erau indeajuns de pregătiţi ca să o poată înţelege;• Punctul de plecare al articolului a fost teza de doctorat a lui James Boness (Chicago).

Ipoteze de lucru:

În articolul lor, Black şi Scholes au considerat următoarele condiţii ideale pentru piaţa financiară:(i) toate opţiunile evaluate sunt de tip call european (i.e., pot fi exercitate doar la maturitate);(ii) repartiţia posibilelor preţuri la t = T ale activului suport este una lognormală, de forma (9.12).(Aşadar, putem presupune că procesul stochastic ce reprezintă preţul St al activului suport este omişcare Browniană geometrică, cu driftul µ şi volatilitatea σ , i.e.,dSt = µSt dt + σSt dWt , t ∈ [0, T ], (10.2)

unde Wt este mişcarea Browniană.)(iii) nu există dividende pe toată durata de viaţă a opţiunii (desi modelul se poate extinde la unul pentrucare se platesc dividende);(iv) piaţa financiară este considerată a fi lipsită de risc şi perfectă (i.e. nu sunt costuri de tranzacţionare,se poate cumpăra orice cantitate de activ suport (spunem astfel că activele sunt perfect divizibile), nusunt restricţii şi penalităţi pentru vânzarea short);(v) rata dobânzii fără risc, r , este fixată şi este aceeasi pentru împrumut, cât şi pentru credit.

Derivarea ecuaţiei Black-Scholes

Deoarece se consideră că St verifică relaţia (10.2) iar ft = f(St ), aplicăm lema lui Itô şi obţinem:df = (∂ft∂t + µ St

∂ft∂S + 12 σ 2 S2

t∂2ft∂S2

)dt + σ St

∂ft∂S dWt . (10.3)

88

Page 90: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF10 [Dr. Iulian Stoleriu]Pentru intervalul de timp [t, t + dt), fixat arbitrar, considerăm următoarea strategie de tranzacţionare: opoziţie long asupra derivatului financiar şi o poziţie short asupra activului suport, prin care vindem o cantitate∂ft∂S din activ la finele intervalului considerat. Simbolic, vom scrie strategia de investiţie (portofoliul investit)astfel: (1, −∂ft∂S

). Dacă notăm cu Π(t) valoarea la momentul t a acestui portofoliu (funcţia pay-off), atunci:

Π(t) = ft −∂ft∂S St .Variaţia profitului între doi timpi este

∆Π(t) = ∆ft − ∂ft∂S ∆St .

În particular, pentru perioada [t, t + dt) cu dt foarte mic, profitul instantaneu estedΠ(t) = dft −

∂ft∂S dSt .Prin înlocuirea în ultima relaţie a termenilor df şi dS daţi de relaţiile (10.3) şi, respectiv, (10.2), obţinem căvariaţia valorii portofoliului în intervalul [t, t + dt) este:

dΠ(t) = (∂ft∂t + 12 σ 2 S2t∂2ft∂S2

)dt.

Prin ipoteza, ştim că rata dobânzii unitare anuale, r , este lipsită de risc şi este aceeaşi pentru împrumutşi credit, aceasta însemnând că în perioada [t, t + dt) nu există oportunităţi de arbitraj pe piaţă. Rata devariaţie a valorii portofoliului Π(t) într-o piaţă viabilă estedΠ(t)dt = r Π(t).

Astfel, din ultimele două relaţii obţinem:r(ft −

∂ft∂S St

)dt = (∂ft∂t + 12 σ 2 S2

t∂2ft∂S2

)dt,

de unde găsim ecuaţia cu derivate parţiale∂ft∂t + 12 σ 2 S2

t∂2ft∂S2 + r St

∂ft∂S = r ft , t ∈ [0, T ]. (10.4)

Ecuaţia (10.4) este o ecuaţie deterministă, de tip parabolic. În cazul unui call european (i.e., ft = Ct ), ecuaţiadevine:∂Ct∂t + 12σ 2S2

t∂2Ct∂S2 + rSt

∂Ct∂S = rCt , t ∈ [0, T ]. (10.5)

Aceasta este o ecuaţie parabolică retrogradă (cu condiţie finală), cunoscută în literatură sub numele de ecuaţiaBlack-Scholes (pentru call european). Pentru a determina complet toate constantele ce apar la integrareaunei astfel de ecuaţii, avem nevoie de condiţie iniţială (sau finală) şi de condiţii la limită. Deoarece valoareaunui call european la scadenţă este determinată de valoarea activului, vom avea următoarea condiţie finală:

C (T , ST ) = (ST − K )+, la t = T . (10.6)

89

Page 91: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF10 [Dr. Iulian Stoleriu]Condiţiile la limită sunt:

C (t, 0) = 0, pentru S = 0; (10.7)C (t, S)S → 1, pentru S →∞. (10.8)

Utilizând următoarele transformări de variabile şi de funcţie (C (t, S) u(τ, x)):τ = T − t, x = ln(StK

)+ (r − σ 22)τ, C = u e−r τ ,

problema de mai sus (ecuaţia Black-Scholes şi condiţia finală) devine∂u∂τ = σ 22 ∂2u∂x2 ; (ecuaţia căldurii)

u(0, x) = K max(ex − 1, 0).Această problemă se rezolvă folosind teoria clasică a ecuaţiilor cu derivate parţiale şi găsim soluţia:u(τ, x) = 1

σ√2πτ

∫ ∞−∞

u0(y)e− (x−y)22 σ2τ dy.Dupa rearanjare, putem scrie soluţia în forma:

u(τ, x) = K ex+τ σ22 Φ(d1)− K Φ(d2),unde Φ(d) = 1√2π∫ d

−∞e−

s22 ds, d1 = x + τ σ 2σ√τ

, d2 = xσ√t.

Revenind la functia şi variabilele iniţiale, obţinem celebra formulă Black-Scholes pentru un call european, lamomentul t:Ct = St Φ(d1)− K e−r(T−t) Φ(d2), (10.9)unde

d1 = ln(StK)+ (r + σ 22

) (T − t)σ√T − t

şi d2 = d1 − σ√T − t.Dacă, în particular, momentul iniţial este t = 0, atunciC0 = S0Φ(d1)− Ke−rTΦ(d2), (10.10)cu

d1 = ln(S0K

)+ (r + σ 22)T

σ√T

şi d2 = d1 − σ√T . (10.11)Observaţia 10.1. Să considerăm acum un put european cu acelaşi preţ de exerciţiu şi cu aceeaşi maturitate.Din paritatea put-call (3.1) găsim că, pentru orice t ∈ [0, T ],

Pt = Ct − St + Ke−r(T−t)= St [Φ(d1)− 1] + Ke−r(T−t)[1− Φ(d2)]= −St Φ(−d1) + Ke−r(T−t)Φ(−d2).(deoarece Φ(−x) = 1− Φ(x).) Pentru t = 0, găsim că:P0 = −S0 Φ(−d1) + Ke−rTΦ(−d2), (10.12)cu d1 şi d2 din relaţiile (10.11).

90

Page 92: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF10 [Dr. Iulian Stoleriu]Observaţia 10.2. (a) În cazul în care preţurile de piaţă pentru call şi put sunt altele decât cele de mai sus,atunci vor exista posibilităţi de arbitraj. Dacă ele apar, atunci acestea vor fi exploatate la maximum de cătreinvestitori, până la stabilirea echilibrului preţurilor pe piaţa financiară.(b) Unul dintre neajunsurile formulei Black-Scholes este că nu poate fi aplicată pentru un call americangeneral. Reamintim, un call american este dreptul dar nu şi obligaţia de a cumpăra activul suport, la un preţprestabilit, în orice moment până la scadenţă.Însă, în cazul în care activul suport nu generează dividende, atunci nu este optimal de a exercita opţiuneacall americană înainte de scadenţă, din doua motive importante: pierderea asigurării şi pierderea dobânziipentru K pe perioada rămasă până la scadenţă. Aşadar, preţul unui astfel de call american este acelaşi cucel al unui call european, deci puteam afla preţul opţiunii call americană cu formula Black-Scholes.(c) Formula Black-Scholes este varianta continuă a formulei Cox-Ross-Rubinstein (10.1). De fapt, se poatedemonstra ca putem obtine formula Black-Scholes prin trecerea la limita, n→∞, in formula (10.1), demon-strand astfel convergenta modelului binomial la modelul Black-Scholes. Aceasta demonstratie are la bazaTeorema limită centrală. O justificare numerică a acestui fapt este prezentată în Exerciţiul 15.2.(d) Formula pentru Ct se poate adapta şi pentru active suport pentru care se plătesc dividende. Dacăpresupunem că dividendele se plătesc în mod continuu cu rata q şi că plata dividendelor în perioada de timp[t, t + dt) este qSt dt , atunci procesul stochastic St satisface ecuaţia diferenţială stochastică

d St = (µ − q)St dt + σSt dWt , t > 0. (10.13)În acest caz, se arată că preţul lipsit de arbitraj pentru un call european devine:Ct = Ste−q(T−t)Φ(d1d)− Ke−r(T−t)Φ(d2d), t ∈ [0, T ], (10.14)iar pentru un put european este:

Pt = −Ste−q(T−t)Φ(−d1d) + Ke−r(T−t)Φ(−d2d), t ∈ [0, T ], (10.15)unded1d = ln(StK

)+ (r − q+ σ 22) (T − t)

σ√T − t

şi d2d = d1d − σ√T − t.Se observă că formula (10.14) este, în fapt, formula (10.9) pentru un activ suport cu preţul Ste−q(T−t) lamomentul t ∈ [0, T ].Estimarea volatilităţii

După cum vom vedea din studiul indicelui de senzitivitate ν , volatilitatea σ este cel mai critic parametrude care depinde valoarea derivatului financiar, în sensul că preţurile pentru activele derivate sunt foartesensibile la modificări ale lui σ . Volatilitatea preţului unui activ financiar nu poate fi observată în mod direct,ci va trebui estimată.O posibilă valoare pentru volatilitate este cea estimată folosind metode statistice. Se observă variaţiile depreţ ale activului suport într-o perioadă de timp imediat anterioară, iar valoarea estimată pe baza acestorobservaţii se va numi volatilitate istorică.O altă metodă de estimare a volatilităţii este următoarea: estimăm valoarea lui σ care, introdusă în formulaBlack-Scholes (10.9) să ne dea o valoarea teoretică pentru C egală cu valoarea lui C de pe piaţa curentă(piaţa spot). O astfel de estimare a volatilităţii se numeşte volatilitate implicită (implied volatility).91

Page 93: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF10 [Dr. Iulian Stoleriu]Totuşi, analiştii financiari cu experienţă nu se vor baza doar pe una dintre valorile de mai sus, ci le vormonitoriza pe ambele, astfel înainte să tragă o concluzie despre posibilele variaţii ale activului în perioadaurmătoare.Volatilitate istorică

În general, aceasta ia valori între 15% şi 60% (i.e., σ ∈ [0.15, 0.6]). Preţul activului de interes este mo-nitorizat la intervale fixe de timp (e.g., zilnic, săptămânal, lunar etc). Să presupunem că, la momentele detimp 0, 1, . . . , n am cules observaţiile S0, S1, . . . , Sn asupra preţului activului suport (acestea fiindobservate la finalul fiecărei perioade considerate). Să notăm cu τ lungimea intervalului de timp (în ani)dintre două observaţii. Considerăm valorile:ui = ln( Si

Si−1), i = 1, n.

Din relaţia (9.13), observăm că ui satisfacui ∼ N

((µ − σ 22 )τ, σ√τ) , i = 1, n,adică ui sunt variabile aleatoare normale cu dispersia D2(ui) = σ 2τ, i = 1, n. Putem estima valoareaexactă a lui σ prin dispersia de selecţie, i.e., prin

σ = 1√τ

√√√√ 1n− 1 n∑

i=1 (ui − u)2,unde u = 1

n

n∑i=1 ui este media de selecţie. Eroarea de aproximarea a volatilităţii prin σ este

E = σ√2n.Volatilitate implicită

Pentru a determina o estimare pentru volatilitatea σ prin metoda implicită, se foloseşte o metodă iterativă.Prezentăm următorul exemplu: Presupunem că avem un activ suport cu S0 = 21 şi un call european asupraacestui activ suport, cu scadenţa T = 0.25, preţul de exerciţiu K = 20 şi că opţiunea considerată valoreazăpe piaţa curentă C0 = 1.875. Se ştie rata dobânzii de referinţă, r = 0.1. Aşadar, volatilitatea este o funcţieσ = σ (S0, K , r, T , C0).Pentru a găsi o aproximare pentru σ , încercăm mai întâi valoarea σ = 0.2. Pentru această valoare a lui σ ,valoarea unui call european obţinută prin formula Black-Scholes (10.9) este

C BS0 = 1.76 < C0 = 1.875.Deoarece C este o funcţie crescătoare în raport cu σ , încercăm acum σ = 0.3. Pentru această valoare, obţinem

C BS0 = 2.10 > C0 = 1.875.92

Page 94: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF10 [Dr. Iulian Stoleriu]Aşadar, valoarea exactă pentru σ se află în intervalul (0.2, 0.3). Încercăm σ = 0.25, ş.a.m.d., până estimămpe σ cu o eroare cât mai mică (metoda înjumătăţirii intervalului). În cele din urmă, vom obţine valoareaσ = 0.235 (i.e., o volatilitate de 23.5%).Folosind arborii binomiali, se poate estima volatilitatea implicită şi pentru opţiuni americane.Volatility smiles

Analiştii financiari îşi pun următoarele întrebării (teme de cercetare):• Cât de apropiate sunt preţurile opţiunilor pe piaţa reală de cele determinate de formula Black-Scholes?• Sunt, în realitate, preţurile activelor financiare lognormal repartizate?Aşadar, o altă întrebare apare în mod firesc:Folosesc investitorii formula Black-Scholes pentru a evalua preţurile opţiunilor?Se pare că formula Black-Scholes este folosită de investitori, însă nu chiar în forma sugerată de Black şiScholes prin modelul introdus de ei. Investitorii permit ca σ să depindă de preţul de exerciţiu K . Graficulvolatilităţii ca o funcţie de K se numeşte volatility smile (vezi Figura 10.1). În general, preţul de exerciţiueste stabilit în jurul lui S0. Vom spune că avem:• sub-paritate (in-the-money), dacă K < S0.• la paritate (at-the-money), dacă K = S0.• supra-paritate (out-of-the-money), dacă K > S0.Din figură, se observă că opţiunile la paritate au o volatilitate mai mică decât celelalte. Modelarea acestorvolatility smiles este un domeniu activ al Finanţelor cantitative. Un astfel de analist financiar (quantitativeanalyst sau quant) va calcula volatilitatea implicită pentru opţiunile obişnuite (vanilla) şi o va folosi înevaluarea opţiunilor exotice.

Figura 10.1: Volatility smile.

93

Page 95: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF10 [Dr. Iulian Stoleriu]Pentru un σ fixat, din formula Black-Scholes găsim valorile pentru call şi put europene la t = 0, fie ele C BSşi PBS. Va trebui ca paritatea put-call să fie satisfăcută, i.e.,

PBS + S0 = C BS + Ke−rT . (10.16)Dacă nu există oportunităţi pe piaţa financiară, atunci valorile pentru call şi put la care acestea sunttranzacţionate (le notăm aici prin C p şi P p) vor trebui să satisfacă şi ele paritatea put-call, i.e.,

P p + S0 = C p + Ke−rT . (10.17)Din relaţiile (10.16) şi (10.17) deducem că:

C BS − C BS = P p − P p.

Indici de senzitivitate (The Greeks)

După cum am văzut, valoarea unui derivat financiar este o funcţie f = f(S, t, σ , r). Pentru o variaţie micăa fiecărei variabile, putem dezvolta în serie Taylor şi scrie:∆f = ∂f

∂S ∆S + ∂f∂t ∆t + ∂f

∂σ ∆σ + ∂f∂r ∆r + ∂2f

∂S2 (∆S)2 + ∂2f∂σ 2 (∆σ )2 + . . .

Coeficienţii fiecărei variaţii ale variabilelor se definesc ca fiind indici de senzitivitate ai derivatului financiarin raport cu variabila respectiva.Indicele ∆ (Delta)

Indicele ∆t = ∆(t, S) este derivata valorii derivatului financiar, f , în raport cu S . Aşadar,∆t = ∂f

∂S ∈ (0, 1).În particular, pentru un call european, definim:

∆ct = ∂Ct∂S .Folosind formula Black-Scholes,

Ct = St Φ(d1)− K e−r(T−t) Φ(d2),găsim că∂Ct∂S = Φ(d1) + St Φ′(d1) ∂d1

∂S − K e−r (T−t) Φ′(d2) ∂d2

∂S= Φ(d1) + [St Φ′(d1)− K e−r (T−t) Φ′(d2)] ∂d1∂S .Dar, Φ′(d2) = 1√2π e− d222 = Φ′(d1) StK er (T−t),

de unde găsim că indicele ∆ la momentul t este:∆ct = Φ(d1), (10.18)

94

Page 96: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF10 [Dr. Iulian Stoleriu]unde Φ(·) este funcţia lui Laplace. Indicele ∆c este o funcţie de preţul activului suport. Graficul indicelui ∆cca funcţie de S este reprezentat în Figura 15.2.Pentru un put european, indicele ∆ este:

∆p = ∂Pt∂S = −Φ(−d1), (10.19)

În cazul în care activul suport generează dividende, cu rata q, atunci valorile (10.18) şi (10.19) devin:∆c = e−qTΦ(d1) şi ∆p = −e−qTΦ(−d1). (10.20)

Observaţia 10.3. [1] Putem determina chiar şi o ecuaţie cu derivate parţiale pe care o satisface ∆, dupăcum urmează. Diferenţiem ecuaţia Black-Scholes (10.5) în raport cu S şi obţinem:∂∂S

(∂Ct∂t

)+ σ 22 ∂∂S

(S2t∂2Ct∂S2

)+ r ∂∂S

(St∂Ct∂S

) = r ∂∂S(Ct ) , t ∈ [0, T ],

de unde, ţinând cont că ∆c = ∂Ct∂S ,

∂∆c∂t + 12σ 2S2

t∂2∆c∂S2 + (r + σ 2)St ∂∆c∂S = 0, t ∈ [0, T ], (10.21)

Condiţia finală pentru această ecuaţie parabolică în ∆c este∆c(T , ST ) = 1, dacă ST > K ;0, dacă ST 6 K ,adică ∆c(T , ST ) = 1ST>K. (10.22)[2] Indicele ∆ poate fi aproximat folosind o metodă Monte-Carlo folosind următoarea formula:∆c(t, St ) = EQ

[e−r(T−t)1ST>K] .

Observaţia 10.4. Exemple de utilizare a indicelui ∆:• Dacă ∆c = 0.5, spunem că avem un call la paritate; pentru ∆c < 0.5 avem un call la sub-paritate şipentru ∆c > 0.5 avem un call la supra-paritate;• Să presupunem că ∆c = 0.6. Atunci, variaţia cu o unitate a preţului activului suport determină ovariaţie egală cu 0.6 a opţiuni call, i.e., deţinerea unui call european este echivalentă cu deţinerea aunui procent de 60% dintr-un activ suport. Dacă acest activ suport ar fi un pachet de acţiuni (careconţine 100 de acţiuni), atunci ∆c = 0.6 ar însemna că deţinerea unui call european este echivalentăcu deţinerea a 60 de acţiuni).• Acoperire cu Delta (Delta hedging). Fie S0 = 10, C0 = 1, ∆c = 0.5. Un investitor ce a vândut 12opţiuni call se poate ∆−proteja (acoperirea riscului) prin cumpărarea a 0.5× 1200 = 600 acţiuni.• Funcţia Matlab pentru indicele ∆ este blsdelta şi poate fi apelată astfel:

[Cdelta, Pdelta] = blsdelta(SO, K, r, T, sigma, q),

95

Page 97: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF10 [Dr. Iulian Stoleriu]unde: Cdelta şi Pdelta sunt valorile indicelui ∆ pentru call şi, respectiv, put, q este rata de plată adividendelor şi celelalte variabile au notaţiile obişnuite.

Indicele Γ (Gama)

Acest indice măsoară senzitivitatea indicelui ∆ în raport cu S , i.e.,Γt = ∂∆

∂S = ∂2ft∂S2 .Pentru un call european, avem: Γc = ∂2Ct

∂S2 .Utilizând formula Black-Scholes, găsim că indicele Γc0 la momentul t = 0, pentru un call european, este:Γc0 = ∂Φ(d1)

∂S= Φ′(d1)∂d1∂S= Φ′(d1)

S0 σ √T . (10.23)Se arată că, pentru un put european, valoarea indicelui Γp0 = ∂2Pt

∂S2 la momentul t = 0 este tot (10.23).Graficul indicelui Γ ca funcţie de S este reprezentat în Figura 15.3.Funcţia Matlab pentru indicele Γ este blsgamma şi poate fi apelată astfel:G = blsgamma(SO, K, r, T, sigma, q),

unde q este rata de plată a dividendelor şi celelalte variabile au notaţiile obişnuite.Indicele Θ (Teta)

Măsoara senzitivitatea derivatului financiar în raport cu t . Se defineşte astfel:Θt = ∂ft

∂t .Pentru un call european (dat de formula (10.9)), acesta este:Θct = ∂Ct

∂t = −S0 φ′(d1) σ2√T − r K e−r TΦ(d2), (10.24)unde φ(x) = Φ′(x) = 1√2π e− x22 , x ∈ R. În general, Θ 6 0 pentru un call european.Pentru un put european, acesta este:

Θpt = ∂Pt∂t = −S0 φ(d1) σ2√T + r K e−r TΦ(−d2). (10.25)

96

Page 98: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF10 [Dr. Iulian Stoleriu]Funcţia Matlab pentru indicele Θ este blstheta şi poate fi apelată astfel:

[Ctheta, Ptheta] = blstheta(SO, K, r, T, sigma, q),unde: Ctheta şi Ptheta sunt valorile indicelui Θ pentru call şi, respectiv, put, q este rata de plată adividendelor şi celelalte variabile au notaţiile obişnuite.Din ecuaţia Black-Scholes (10.4), obţinem următoarea relaţie între indicii ∆, Γ si Θ:

Θc + r S ∆c + 12 σ 2 S2Γc = r C . (10.26)Indicele ν (Vega)

Acest indice masoara senzitivitatea derivatului in raport cu volatilitatea σ . Pentru un call european, definimindicele ν la momentul t prin:νc = ∂Ct

∂σ= Stφ(d1)√T − t = Ke−r(T−t)φ(d2)√T − t,unde φ(x) = Φ′(x) = 1√2π e− x22 , x ∈ R. Acest indice este cel mai important dintre toţi indicii de senzitivi-

Figura 10.2: Indicele νc pentru două valori ale lui σ .tate de ordinul întâi. În Figura (10.2) am reprezentat indicele ν pentru două valori ale volatilităţii.Indicele ρ (Rho)

Acest indice măsoară senzitivitatea indicelui C în raport cu rata dobânzii de referinţă r , i.e.,ρ = ∂ft

∂r .

97

Page 99: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF10 [Dr. Iulian Stoleriu]Pentru un call european, definim indicele ρ la momentul t:

ρc = ∂Ct∂r = K (T − t) e−r(T−t)Φ(d2). (10.27)

Pentru un put european,ρp = ∂Pt

∂r = −K (T − t) e−r(T−t)Φ(−d2). (10.28)Acest indice este cel mai puţin folosit dintre toţi indicii de senzitivitate de ordinul întâi.

Figura 10.3: Indicele ρ în funcţie de preţul activului suport.Observaţia 10.5. Se pot defini indici de senzitivitate şi pentru derivate evaluate prin modelul binomial.Pentru ∆, definim: ∆ = fu − fd

Su − Sd.

Pentru indicele Γ: Γ = ∂fu − ∂fd12 (Suu − Sdd) ,unde∂fu = fuu − fud

Suu − Sud, ∂fd = fud − fdd

Sud − Sdd.

Indicele Θ poate fi definit astfel: Θ = fu − fdδt .

98

Page 100: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF10 [Dr. Iulian Stoleriu]Exerciţii propuse

Exerciţiu 10.1. Determinaţi ecuaţia cu derivate parţiale pe care o satisface indicele ∆pt (indicele ∆ pentruun put european) folosind o metodă similară cu cea care a condus la formula (10.21).Exerciţiu 10.2. Determinaţi o legătură între indicii ∆p, Θp şi Γp, similară cu relaţia (10.26).Exerciţiu 10.3. Aproximaţi valoarea indicelui ∆ct la t = 0 pentru un call european folosind o metodă MonteCarlo, plecând de la formula ∆c0 = EQ

[e−r(T−t)1ST>K] .

Exerciţiu 10.4. Notăm prin P(t) preţul unui activ financiar la momentul t > 0. Un model standard presupunecă variaţia relativă a acestui preţ, dPP , evoluează după formula:dPP = 0.2(2dW + dt), t > 0,

unde W este un proces Wiener. Preţul iniţial al activului este P0 = 10.(a) Determinaţi preţul acestui activ la fiecare moment t > 0.(b) Scrieţi un cod Matlab pentru a simula un posibil curs al preţului P în decurs de 2 ani (i.e., în intervalulde timp [0, 2]).(c) Care este probabilitatea ca preţul activului la momentul T = 2 să fie mai mare ca 10?(d) Folosind o metodă Monte Carlo, estimaţi valoarea unui put european cu activul de mai sus drept activsuport, cu scadenţa T = 2 şi preţul de exerciţiu K = 10 (se va lua r = 0.2).Exerciţiu 10.5. Preţul St al unui pachet de acţiuni evoluează după o mişcare Browniană geometrică cu driftulµ = 0.36 şi volatilitatea σ = 0.2. Preţul iniţial al pachetului de acţiuni este S0 = 100.(a) Determinaţi repartiţia preţului la momentul T = 1.(b) Care este probabilitatea ca preţul pachetului la momentul T = 1 să se afle între 98 şi 103?(c) Determinaţi valoarea actuală a unui contract derivat ce conferă dreptul de a vinde la paritate pachetulde acţiuni peste exact 1 an (rata dobânzii lipsite de risc este r = 0.05)Exerciţiu 10.6. Preţul actual al unui activ ce nu generează dividende este S0 = 100. Presupunem că preţulSt al activului evoluează după o mişcare Browniană geometrică cu µ = 0.3 şi volatilitatea σ = 0.2. Ratadobânzii anuale lipsite de risc r = 0.03 p.a. (compusă continuu).(a) Determinaţi repartiţia preţurilor activului la momentul T = 1 şi calculaţi valoarea aşteptată a lui S1.(b) Care este probabilitatea ca, după 2 ani, valoarea activului să crească cu cel puţin 50%?(c) Determinaţi valoarea unui put european ce conferă dreptul de a vinde la paritate activul S la T = 1.(d) Care este valoarea unui call american la paritate asupra activului S cu scadenţa T = 1?Exerciţiu 10.7. Notăm prin St preţul unui activ financiar la t > 0. Se presupune că variaţia acestui preţsatisface formula:

dSt = 0.1St dt + 0.2St dBt , t > 0,unde Bt este mişcarea Browniană. Preţul iniţial al activului este S0 = 10.(a) Care este probabilitatea ca preţul activului la momentul T = 2 să fie mai mare de 9.5?(b) Determinaţi valoarea actuală a unui put european ce are la bază activul St de mai sus, cu scadenţa de2 ani, şi preţul de exerciţiu K = 10 (rata dobânzii lipsite de risc este r = 0.2).(c) Determinaţi indicele de senzitivitate care măsoară rata de variaţie a valorii contractului de la (b) înraport cu preţul activului suport.

99

Page 101: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF11 [Dr. Iulian Stoleriu]11 Matematici financiare (C11)

Teoria alegerii raţionale

Motivaţie

Conceptul de utilitate a fost introdus de Daniel Bernoulli în 1738, într-o lucrare apărută la St. Petersburg.Cramer spunea: ”În teoria lor, matematicienii evaluează banii proporţional cu cantitatea acestora dar, înpractică, oamenii cu bun simţ evaluează banii în raport cu utilitatea câştigului pe care aceştia îl aduc”.D. Bernoulli a avut ideea de a introduce o funcţie de preferinţele utilizatorului de capital (sau a jucătoruluide noroc) astfel încât, dintre două repartiţii ale venitului (sau câştigului) pe care le-ar putea realiza, acestasă o aleagă pe cea care conduce la cea mai mare utilitate medie (sau la cel mai mare câştig util).Utilitatea este o măsură a gradului de satisfactie. Poate fi: cardinală (dacă poate fi măsurata printr-unanumit indicator economic), sau ordinala (dacă nu poate fi măsurata printr-un indicator). De multe ori însăapar şi situaţii mixte.Von Neumann şi Morgenstern (1944) au fost primii care au considerat utilitatea ca pe o cuantificare a pre-ferinţelor, formulând primul sistem de axiome. Se pune problema definirii unui set de axiome acceptate dinpunctul de vedere al intuiţiei, din care să rezulte forma pe care ar trebui să o aiba măsura utilităţii.Paradoxul de la Sankt Petersburg

Este un paradox ce apare in urma determinarii preţului pe care un individ ar fi dispus sa-l plateasca pentrua participa la o anumita loterie. Problema a fost pusă în discuţie pentru prima dată de Nicolas Bernoulli in1913, iar numele a fost atribuit de varul sau, Daniel Bernoulli in 1738.Sa presupunem ca intr-un cazino se desfasoara urmatorul joc: o moneda ideala se arunca iar, dacă aparefata cu stema (S), atunci jucatorul primeste $2, iar jocul continua. Dacă la a doua aruncare apare tot stema,atunci jucatorul primeste $4 si jocul continua mai departe, pana cand la o aruncare apare cealalta fata, cazin care jocul se opreste. La fiecare noua aparitie a fetei S , suma pe care jucatorul o avea se dubleaza. Sepune intrebarea urmatoare:Care este prima pe care jucatorul ar trebui sa o plateasca pentru a putea participa la acest joc?O sugestie ar fi ca aceasta suma sa fie tocmai valoarea medie a castigului pe care un jucator l-ar puteaavea dacă ar jucat acest joc. Dacă notam cu X variabila aleatoare ce reprezinta suma castigata de jucator,atunci:

X = ( 2 22 23 . . . 2n . . .12 122 123 . . . 12n . . .

)Insa,

E(X ) = ∞∑k=1 2k 12k =∞,

100

Page 102: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF11 [Dr. Iulian Stoleriu]si acesta nu poate fi considerat a fi un posibil pret. De-a lungul timpului, mai multi oameni de stiinta aucautat sa rezolve aceasta problema.Prezentam mai jos cateva dintre posibilele soluţii aduse de-a lungul timpului.(1) Poisson si Condorcet au propus o limitare a averii totale a cazinoului. Suma de care dispune un cazinoeste finita (sa spunem, A = 2n), de aceea ei au propus ca media de mai sus sa fie urmatoarea:

EA(X ) = ∞∑k=1 min(A, 2k ) 12k .

Dacă notam cu m = supn ∈ N; A > 2n, atunci putem scrie:EA(X ) = m∑

k=1 min(A, 2k ) 12k + ∞∑k=m+1 min(A, 2k ) 12k

= m∑k=1 2k 12k + ∞∑

k=m+1 A12k

6 m+ 2 6 [log2 A] + 2 6∞.De exemplu, dacă n = 25, atunci A = $33554432 si costul biletului ar fi $27. Pentru n = 30, am gasi unpret de intrare in joc de $32, ceea ce pare rezonabil.(2) Buffon introduce un prag de probabilitate, Π, astfel incat orice situatie de castig a carei probabilitate emai mica decat Π sa fie considerata a fi imposibila, deci de probabilitate egala cu 0. Alegerea pragul ar creao alta problema, si anume, jucatorul va fi la indemana cazinoului, ceea ce face ca ideea sa nu fie perfecta.Buffon a facut urmatorul experiment. A lasat un copil sa joace jocul de M = 211 = 2048 ori (i.e., a considerato selectie Xkk de volum M asupra variabilei aleatoare X ) si apoi a calculat media empirica de selectie

X = 1M

M∑k=1 Xk ,unde Xk este profitul din jocul k . A obţinut ca X = 4.91. Totusi, Feller a arătat ca1

n X −→ 1, cand n→∞,

deci nu valoarea propusă de Buffon nu este întotdeauna finită, deci nu convine.(3) Daniel Bernoulli si Gabriel Cramer au introdus ideea de utilitate a câştigului. Utilitatea este o funcţiecare cuantifică preferinţele unui agent economic astfel încât, dintre două repartiţii posibile, să o aleagă pecea care conduce la cea mai mare utilitate medie a câştigului. Ei au introdus o funcţie de utilitate careatribuie fiecărei valori numerice W (ce reprezintă averea pe care o are agentul) utilitatea averii respective,U(W ). Această funcţie determină gradul de satisfacţie a agentului faţă de averea sa.Astfel, dacă in cazul paradoxului de la St. Petersburg am ţine cont de utilitatea câştigului şi aceasta este ofuncţie descrescătoare de câştig, am putea obţine o valoare finită pentru suma de intrare.În acest caz, valoarea aşteptată a utilităţii câştigului în cazul problemei propusă de D. Bernoulli va fi

E(U(X )) = ∞∑k=1 U(2k ) 12k ,unde U este o funcţie aleasă aşa încât această sumă să fie finită. Astfel, E(U(X )) poate fi o posibilă valoarepentru prima de participare la joc.

101

Page 103: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF11 [Dr. Iulian Stoleriu]Teoria alegerii raţionale în condiţii incerte

Evaluarea rezultatelor diverselor acţiuni financiare pe care le intreprinde un agent economic ridică douăprobleme importante: (1) cum se pot măsura rezultatele acţiunilor intreprinse?(2) cum pot fi apreciate sau evaluate măsurătorile efectuate?O simplă măsurare a rezultatelor acţiunilor unui consumator de capital financiar nu e suficientă pentruaprecierea acestor rezultate. Astfel, e necesar să asociem rezultatelor nişte numere, în mod independent demărimea lor, prin care să se poată face şi o altă apreciere a acestora decât cea dimensională.Fie Ω = x, y, z, . . . o mulţime de entităti (numite şi stări, obiective sau premii), ale căror valori trebuiemăsurate. Aceste entităţi pot fi interpretate ca posibile alegeri ale unui agent economic.Considerăm o relaţie binară pe Ω, notată prin <.• Relaţia < se numeşte relaţie completă dacă (∀)x, y ∈ Ω, ori x < y, ori y < x .• Relaţia < se numeşte relaţie tranzitivă dacă (∀)x, y, z ∈ Ω, x < y şi y < z implică x < z .Vom numi o relaţie de preferinţă (sau relaţie raţională) o relaţie completă şi tranzitivă. În cele ce urmează,relaţia x < y se va citi ”x este preferat lui y”;Dacă x < y şi y < x , atunci scriem x ∼ y. Vom denumi relaţia ”∼” relaţia de indiferenţă (unui agent îieste indiferent dacă alege x sau y).Dacă x < y şi y 6<x , atunci scriem x y (i.e. ”x este strict preferat lui y”).Spunem că o relaţie de preferinţă < poate fi reprezentată printr-o funcţie u dacă:x < y ⇐⇒ u(x) > u(y), ∀x, y ∈ Ω.

Fiecare acţiune posibilă a unui agent economic poate avea mai multe rezultate. Vom presupune că agentuleconomic are la îndemână estimări pentru probabilitatea de apariţie a fiecărui rezultat. Numim loterie (sauproiect riscant, sau experiment, sau alternativă) entitatea

L = (p1, x1 ; p2, x2 ; . . . ; pn, xn),cu xi ∈ Ω, i = 1, n şi P = (p1, p2, . . . , pn) o repartiţie discretă. Interpretăm pe L ca fiind alegerea lui x1cu probabilitatea p1, sau alegerea lui x2 cu probabilitatea p2, s.a.m.d., sau alegerea lui xn cu probabilitateapn. Notăm cu L(Ω) mulţimea tuturor loteriilor pe Ω.În cazul n = 2, L = (p, x ; 1 − p, y), p ∈ (0, 1), x, y ∈ Ω (e.g., în cazul aruncării unei monede idealeavem loteria

L = (0.5, S; 0.5, B).Loteriile pot fi simple sau compuse. Loteriile compuse pot avea ca elemente alte loterii.O loterie compusă este o medie de loterii simple. De exemplu, fie L = (p1, x1 ; p2, x2 ; . . . ; pn, xn) şiL′ = (p′1, x1 ; p′2, x2 ; . . . ; p′n, xn). Atunci, loteria compusă L′′ = (α, L; 1 − α, L′), cu α ∈ (0, 1), poate fiscrisă ca o loterie simplă:

L′′ = (αp1 + (1− α)p′1, x1; αp2 + (1− α)p′2, x2; . . . ; αpn + (1− α)p′n, xn) = αL+ (1− α)L′.Este necesară o teorie care să ţină cont de preferinţele unui agent economic pentru obiectivele sale şi săpoată decide ce loterie (proiect riscant) să aleagă. Astfel, a apărut Teoria valorii aşteptate a utiliţii (en.,Expected Utility Theory)

102

Page 104: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF11 [Dr. Iulian Stoleriu]Funcţie de utilitate

O funcţie U : L(Ω) → R se numeşte funcţie de utilitate în sens von Neumann & Morgenstern asociatărelaţiei < (prescurtat, vom spune funcţie de utilitate în sensul vNM) dacă satisface condiţiile:L1 < L2 ⇐⇒ U(L1) > U(L2), ∀L1, L2 ∈ L(Ω). (11.1)U(pL1 + (1− p)L2) = pU(L1) + (1− p)U(L2), ∀L1, L2 ∈ L(Ω), ∀p ∈ (0, 1). (11.2)

Propozitie: O funcţie de utilitate U : L(Ω) −→ R este funcţie de utilitate în sensul vNM dacă şi numaidacă pentru orice loterie L = (p1, x1 ; p2, x2 ; . . . ; pn, xn), putem scrie:U(L) = n∑

i=1 piui.Valorile ui = u(xi) = U(Li) se numesc utilităţi marginale sau utilităţi Bernoulli, unde Li sunt definite prin:Li = (0, x1; 0, x2; . . . , 0, xi−1; 1︸︷︷︸

i

, xi; 0, xi+1; . . . ; 0, xn).Pentru L = (p1, x1 ; p2, x2 ; . . . ; pn, xn) şi L′ = (q1, x1 ; q2, x2 ; . . . ; qn, xn) din L(Ω), din condiţia de repre-zentare obţinem că

L < L′ ⇐⇒ U(L) = n∑i=1 piu(xi) > U(L′) = n∑

i=1 qiu(xi) ⇐⇒ E(U(L)) > E(U(L′)).Din ultima relatie se observa ca un investitor raţional în sensul vNM va acţiona ca şi când ar maximizavaloarea aşteptată a unei funcţii de utilitate. De fapt, acesta va alege proiectul pe care îl preferă mai mult,însă din relaţia (11.1), această acţiune este echivalentă cu a maximiza o anumită funcţie de utilitate.Exemplu: Unui investitor raţional vNM i se propune proiectul L = (2/3, 4400; 1/3,−5100). Ştiind căpreferinţele acestuia sunt reprezentate de funcţia de utilitate U(w) = √w , să se determine dacă investitorulacceptă proiectul. (Presupunem că averea actuală a investitorului este de w0 = 10000).Decizia se ia prin aplicarea principiului maximizării valorii aşteptate a utilităţii. Investitorul va acceptaproiectul riscant dacă valoarea aşteptată a averii după acceptarea acestuia este mai mare decât utilitateaaşteptată a averii iniţiale. Matematic, scriem astfel:

E[U(w0 + L)] = 3103 > E[U(w0)] = 100.Funcţiile de utilitate considerate de D. Bernoulli şi Cramer în cazul paradoxului de la St. Petersburg sunt:u(x) = ln(x) şi u(x) = √x .Axiomatica von Neumann & Morgenstern

Axioma 1: Relaţia < este raţională (completă şi tranzitivă);Axioma 2: (axioma de continuitate) Dacă L1 < L2 < L3, atunciexistă p ∈ (0, 1) astfel încât L2 ∼ p L1 + (1− p) L3.Axioma 3: (axioma de independenţă) Pentru oricare L1, L2 ∈ L(Ω),

L1 < L2 ⇐⇒ p L1 + (1− p) L3 < p L2 + (1− p) L3, ∀p ∈ (0, 1), ∀L3 ∈ L(Ω).103

Page 105: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF11 [Dr. Iulian Stoleriu]Consecinţe:

C1: Fie L1, L2, L3 ∈ L(Ω), date. Dacă L1 ∼ L2, atunci axioma de independenţă implică (luăm L3 = L2):p L1 + (1− p) L2 ∼ p L2 + (1− p) L2, (∀) p ∈ [0, 1]

∼ L2 ∼ L1. (curbele de indiferenţă sunt segmente)C2: Dacă L1 ∼ L2, atunci p L1 + (1− p) L3 ∼ p L2 + (1− p) L3, ∀p ∈ (0, 1), ∀L3 ∈ L(Ω),de unde deducem că toate curbele de indiferenţă sunt paralele.Teorema fundamentală

Teoremă: Dacă o relaţie de preferinţă < satisface axiomele 1 - 3 de mai sus, atunci există o funcţie deutilitate vNM asociată acesteia.- Etape în demonstraţie:• Considerăm L ca fiind cea mai bună loterie posibilă din L(Ω) (dă cel mai bun rezultat)şi L ca fiind cea mai proastă loterie posibilă (cu cel mai prost rezultat).Evident, L < L.Pentru orice L ∈ L(Ω), avem că L < L < L. Din axiomele 2 şi 3,

există un unic αL ∈ [0, 1], astfel încât L ∼ αLL+ (1− αL)L.• Fie U : L(Ω) −→ R astfel încât U(L) = αL.• Se arată că U este o funcţie de utilitate vNM(i.e., este o reprezentare pentru < şi este afină). √

Teoremă (de unicitate până la o funcţie afină): Să presupunem că U : L(Ω)→ R este o funcţie de utilitatevNM pentru relaţia <. Atunci V : L(Ω) → R este tot o funcţie de utilitate vNM pentru relaţia < dacă şinumai dacă există a, b ∈ R (b > 0) astfel încâtV (L) = a+ bU(L), (∀)L ∈ L(Ω).

- Implicaţia ”⇐=” este imediată.”=⇒” : Considerăm L şi L ca mai sus şi presupunem că L < L. Pentru orice L ∈ L(Ω), avem că L < L < L.Din axioma de continuitate,(∃)αL ∈ [0, 1], astfel încât L ∼ αLL+ (1− αL)L,

de undeU(L) = αLU(L) + (1− αL)U(L).Găsim că

αL = U(L)− U(L)U(L)− U(L) .Dacă V este o funcţie de utilitate vNM, atunci:

V (L) = V (αLL+ (1− αL)L) = αLV (L) + (1− αL)V (L).104

Page 106: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF11 [Dr. Iulian Stoleriu]Definim:

b = V (L)− V (L)U(L)− U(L) şi a = V (L)− bU(L), √

Alte proprietăţi

• (continuitate arhimedeană) Dacă L1 < L2 < L3, atunci (∃) p, q ∈ (0, 1) astfel încât:p L1 + (1− p) L3 < L2 < q L1 + (1− q) L3. (11.3)(i.e. nu există o combinaţie infinit mai bună sau infinit mai proastă)

• (compunerea loteriilor) Pentru orice L1, L2, L3 ∈ L(Ω) şi p, q ∈ [0, 1], avemp L1 + (1− p) (q L2 + (1− q) L3) ∼ p L1 + (1− p)q L2 + (1− p)(1− q) L3. (11.4)

Loterii monetare• Dacă X este mulţime finită, atunci funcţia de utilitate vNM esteU(L) = n∑

i=1 u(xi) pi (≡ EL[u(x)]).• Considerăm că X ⊂ R. Atunci, loteriile sunt descrise de densităţi de repartiţie.• În cazul continuu, mulţimea valorilor unei loterii poate fi un interval. Dacă F : R→ [0, 1] este funcţiade repartiţie ce descrie loteria, atunci funcţia de utilitate vNM este

U(F ) = ∫Ru(x)dF (x) (≡ EF [u(x)]).

• Valoarea reală cu se numeşte echivalentul sigur al unei loterii L dacă:u(cu) = U(L) = n∑

i=1 u(xi) pi (în cazul discret),

105

Page 107: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF11 [Dr. Iulian Stoleriu]sau

u(cu) = EF [u(x)] = ∫Ru(x)dF (x) (în cazul continuu).

Aplicaţii

Asigurare de maşină simplificată:• Un investitor (u(x) = √x) are averea iniţială w0 = 10000 şi o maşină în valoare de 2100.O firmă de asigurări determină că, cu probabilitatea p = 0.1, maşina i se poate fura.• Averea investitorului în condiţiile date (d.p.d.v. al firmei): w = (0.9, 12100; 0.1, 10000).• Valoarea aşteptată a averii: E(w) = 11.890.• Valoarea aşteptată a utilităţii averii: E[u(w)] = 109.• Pp. că investitorul doreşte să cumpere asigurare pentru maşină. În schimbul unei prime, firma deasigurare îi răscumpără maşina dacă aceasta este furată.

Cât de mult este dispus individul să plătească pentru poliţa de asigurare?• Notăm valoarea poliţei cu pa. Avem: E[u(wasig)] > 109 = E[u(w)], de unde pa 6 219.• Va profita firma de asigurări de pe urma unui contract cu pa = 219?• Profitul aşteptat al firmei este E(Π) = 0.9× 219 + 0.1× (219− 2100) = 9 > 0. DA!Risk sharing

• Doi investitori, A1 şi A2, au fiecare funcţia de utilitate u(w) = √w .• Amândoi investesc separat în active riscante L = (0.5, 100; 0.5, 0), independent unul de celălalt.• Valoarea câştigului aşteptat de fiecare va fi E[U(L)] = 5.• Dacă aceştia creează un fond mutual, punând în comun activele, atunci fiecare cotă parte fiindLm = (0.25, 100; 0.5, 50; 0.25, 0),

de unde E[U(Lm)] = 6.0355 > 5 (!!!).

Probleme propuse

Exerciţiu 11.1. Demonstraţi proprietatea de continuitate arhimediană a funcţiei de utilitate (relaţia (11.3)).Exerciţiu 11.2. Demonstraţi proprietatea de compunere a loteriilor (relaţia (11.4)).Exerciţiu 11.3. a) Presupunem că funcţia de utilitate a Mariei este U(s) = √10 s, unde s reprezintă salariulei anual (exprimat în mii de RON). Presupunem că salariul curent al Mariei este 42000 RON, (i.e., s = 42),salariu care rămâne acelaşi şi anul viitor, dacă Maria îşi păstrează locul de muncă. O firmă concurentă

106

Page 108: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF11 [Dr. Iulian Stoleriu]îi propune Mariei un serviciu nou unde, în funcţie de performanţe, poate câştiga 49000 RON pe an cuprobabilitatea 0.6 sau 36000 RON pe an, cu probabilitatea 0.4.(a) Dacă Maria este o persoană raţională în sensul teoriei von Neumann&Morgenstern, va accepta oferta?(b) Care este atitudinea Mariei faţă de risc? Calculaţi echivalentul cert al ofertei de salariu primită de lafirma concurentă?(c) Să presupunem că Maria acceptă oferta firmei concurente, însă va dori să cumpere asigurare pentru ase proteja împotriva unei posibile scăderi a salariului asociat cu noul serviciu sub cel actual. În cazul în caresalariul anual al acesteia la noua firmă va scădea sub salariul actual, o firmă de asigurări se angajează săîi plătească diferenţa de salariu până la salariul curent, în schimbul unei prime anuale. Cât de mult estedispusă să plătească pentru asigurare?Exerciţiu 11.4. Averea actuală a Anei este de 10000 RON. Ion îi propune un pariu în urma căruia Ana poatecâştiga 4400 RON cu probabilitatea 2/3, sau poate pierde 5100 RON cu probabilitatea 1/3.(a) Ştiind că Ana este o persoană raţională în sens von Neumann & Morgenstern şi că funcţia ei de utilitateeste U(W ) = √W, să se determine dacă ea acceptă pariul.(b) Cum este atitudinea Anei faţă de risc?Exerciţiu 11.5. Ion este fermier şi cultivă cartofi pentru a le comercializa. El estimează că va câştiga10 000 RON din vânzarea cartofilor, dacă vremea va fi propice culturii. În cazul unei secete, cultura îşi vapierde 36% din valoare, iar în caz de inundaţie va câştiga doar 900 RON pentru toată cultura. S-a estimat căexistă 20% şanse pentru secetă şi 10% şanse de inundaţie în acel an. Ion este o persoană raţională în sensvon Neumann-Morgenstern, preferinţele lui fiind reprezentate de funcţia de utilitate U(x) = √x .(a) Care este valoarea aşteptată a profitului obţinut de pe urma culturii de cartofi?(b) Care este valoarea aşteptată a utilităţii profitului obţinut de pe urma culturii de cartofi?(c) Lui Ion i se oferă o poliţă de asigurare care îi va plăti 90% din valoarea pagubelor în caz de secetă sauinundaţie. Ştiind că Ion nu deţine alte active financiare, care este preţul maxim (prima) pe care l-ar plătipentru poliţa de asigurare? (scrieţi doar inecuaţia pentru primă, fără a o rezolva)Exerciţiu 11.6. Un tip deţine un bilet de loterie care, cu probabilităţi egale, îi poate aduce un câştig de12000 RON sau poate fi necâştigător. Preferinţele sale sunt reprezentate de funcţia de utilitate U(w) = lnw .În absenţa biletului de loterie, averea sa este W0. Un prieten se oferă să îi cumpere biletul, oferindu-iîn schimb suma de 5000 RON. Dacă deţinătorul biletului este raţional în sensul teoriei von Neumann şiMorgenstern (vNM), care este valoarea minimă pentru W0 pentru care ar respinge oferta prietenului?(b) Care este echivalentul cert al biletului de loterie?(c) Să ne îndreptăm acum atenţia asupra prietenului. Acesta este şi el raţional vNM şi are aceeaşi funcţiede utilitate, U(w) = lnw . Care este valoarea minimă a averii sale iniţiale pentru care ar accepta să cumperebiletul de loterie pentru 5000 RON?Exerciţiu 11.7. Averea actuală a Mariei este de 4. Presupunem că, în plus, ea deţine un bilet de loterieprin care, cu probabilităţi egale, poate câştiga câştiga 12 sau nimic. Maria este o persoană raţională însensul teoriei von Neumann & Morgenstern, iar preferinţele sale sunt reprezentate de funcţia de utilitateeste U(W ) = √W .(a) Să se determine care este preţul minim pentru care ar accepta să vândă biletul de loterie.(b) Să presupunem că Maria nu deţine niciun bilet de loterie. Care ar fi preţul maxim pe care l-ar plătipentru a-l obţine pe cel de mai sus?(c) Care este echivalentul sigur al biletului de loterie?

107

Page 109: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF12 [Dr. Iulian Stoleriu]12 Matematici financiare (C12)

Teoria alegerii raţionale în condiţii incerte (continuare)

Atitudine faţă de risc

• Riscul este o nesiguranţă relativă la posibilele stări/investiţii viitoare (e.g., bolnav sau sănătos, săracsau bogat, război sau pace, soare sau ploaie etc).• Ce aţi alege între un câştig sigur de 1000 RON şi o loterie de pe urma căreia puteţi câştiga 2500 RONcu p = 1/2 sau nimic?Dacă alegeţi câştigul sigur (i.e., 1000 RON), atunci aveţi aversiune faţă de risc (riscofobie).• În practică, un investitor raţional vNM cu averea iniţială W0 va investi într-un proiectul riscant L doardacă valoarea aşteptată a utilităţii averii sale după acceptarea proiectului este mai mare decât ceeace a avut înainte de proiect. Dacă notăm prin Wf = W0 + L, atunci va accepta proiectul riscant doardacăWf W0 ⇐⇒ E(U(Wf )) > U(W0).

• Să presupunem că un investitor A are preferinţele reprezentate de funcţia de utilitate UA. Se punurmătoarele întrebări:− Cum determinăm dacă A agrează riscul sau nu?− Cum determinăm dacă A are o toleranţă mai mare pentru risc decât un alt investitor B, care areUB?• În teoria jocurilor, o loterie L = (p, x ; 1 − p, y) se numeşte loterie cinstită (sau joc cinstit) dacăE(L) = 0.• D.p.d.v. al atitudinii faţă de risc, un investitor poate fi riscofob, riscofil sau indiferent (neutru)

• Un investitor este riscofob (en., risk-averse) dacă preferă câştigul dat de valoarea aşteptată a loterieiîn detrimentul loteriei. În cazul discret (i.e., o loterie ce are doar o multţime cel mult numărabilă derezultate), scriem E(L) < L⇐⇒ U(E(L)) > E(U(L)), i.e.U(p x + (1− p) y) > pU(x) + (1− p)U(y), (∀) p ∈ (0, 1), (∀) x, y ∈ Ω;

Dacă cL este echivalentul cert al loteriei L, i.e., U(cL) = E(U(L)), atunci relaţia de mai sus esteechivalentă cu U(E(L)) > U(cL). Dacă U este o funcţie crescătoare, atunci E(L) > cL. Aceastaînseamnă c, pentru un riscofob, echivalentul cert al proiectului riscant este mai mic decât utilitateacâştigului sigur.• Un investitor este riscofil (en., risk-loving) dacă preferă loteria în detrimentul câştigului dat de valoareaaşteptată a loteriei. În cazul discret, scriem L < E(L)⇐⇒ E(U(L)) > U(E(L)), i.e.pU(x) + (1− p)U(y) > U(p x + (1− p) y), (∀) p ∈ (0, 1), (∀) x, y ∈ Ω;

108

Page 110: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF12 [Dr. Iulian Stoleriu]• Un investitor este indiferent (neutru) (în ce priveşte riscul) (en., risk-neutral) dacă E(L) ∼ L ⇐⇒U(E(L)) = E(U(L)), i.e.

pU(x) + (1− p)U(y) = U(p x + (1− p) y), (∀) p ∈ (0, 1), (∀) x, y ∈ Ω;• În cazul continuu (i.e., o loterie pentru care multţimea tuturor rezultatelor posibile este infinita <uninterval sau chiar R>), un investitor este riscofob dacă

pentru orice funcţie de repartiţie F, ∫Ru(x)dF (x) 6 u(∫

Rx dF (x)) .

În general, putem avea unul dintre următoarele trei cazuri:investitor:

- riscofob (aversiune faţă de risc), u este concavă, i.e., E(u(W )) 6 u(E(W ))- riscofil (plăcere pentru risc), u este convexă, i.e., E(u(W )) > u(E(W ))- indiferent (neutru la risc), u este afină, i.e., E(u(W )) = u(E(W )).• Un investitor A având preferinţele reprezentate de funcţia de utilitate u este mai riscofob decâtinverstitorul B, ce are funcţia de utilitate v , dacă avem următoarea relaţie între echivalentele certe:

cu(F ) 6 cv (F ), pentru orice funcţie de repartiţie F.Ecivalentul cert pentru investitorul A este mai mic decât echivalentul cert al investitorului B, ceea ceinseamnă că A este dispus să rişte mai puţin decât B.• Un individ ce are preferinţele reprezentate de funcţia de utilitate u(x) = √x este riscofob, el preferândun câştig sigur de 36 RON în detrimentul unei loterii (0.5, 100; 0.5, 0). Această decizie poate fi deter-minată şi de faptul că echivalentul cert al proiectului riscant este mai mic decât utilitatea câştiguluisigur, i.e.,

cu = 0.5×√100 + 0.5× 0 = 5 < 6 = u(36).• Pentru o funcţie de utilitate U ∈ C 2, strict concavă şi strict crescătoare, se pot defini indicii deaversiune faţă de risc (indicii Arrow-Pratt), şi anume,ARA = indice absolut de risc (en, absolute risk aversion) şi RRA = indice relativ de risc (en, relativerisk aversion), definiţi prin:

ARA(U, w) = −U ′′(w)U ′(w) > 0 şi RRA(U, w) = −wU ′′(w)

U ′(w) > 0.• premiu de risc = suma ce ar plăti-o un investitor care doreşte să evite o situaţie riscantă (EL− cu).În cazul asigurărilor de locuinţă, premiul de risc este chiar valoarea unui contract de asigurare.

Exemple de funcţii de utilitate:• u(x) = ln(x), u(x) = √x (ca în problema paradoxului de la St. Petersburg)• CRRA (constant relative risk aversion) u(x) = x1−r1− r , r > 0.• CARA (constant absolute risk aversion) u(x) = β − e−Ax , A > 0.

109

Page 111: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF12 [Dr. Iulian Stoleriu]

• HARA (hyperbolic absolute risk aversion) u(x) = r1− r(a+ b

r x).

• Unui investitor cu indicele ARA constant îi pasă de pierderile absolute.• Un investitor cu indicele RRA constant va plăti o parte fixă din averea sa pentru a evita riscul pierderiiunei proporţii din avere.Aplicaţie în asigurări:Considerăm o poliţă de asigurare în caz de accident pentru care fiecare leu asigurat costă q lei. Un individriscofob (strict), cu averea iniţială w0, doreşte să se asigure. Firma de asigurări stabileşte că acesta va suferiun accident cu probabilitatea p, iar accidentul îl va costa suma D.Problema care se pune este: Pentru ce valoare se va asigura individul?

- Fie a suma pentru care doreşte să se asigure. Atunci, profitul asiguratorului va fi:Π = (p, (q− 1)a; 1− p, qa).

Poliţa de asigurare este cinstită dacă E(Π) = 0 =⇒ q = p.Averea individului ce doreşte să se asigure va fi:cu accident (p) fără accident (1− p)fără asigurare W0 − D W0cu asigurare W0 − D + a− qa W0 − qa

Problema de maximizare pentru asigurat este:max06a6Dp u(W0 − D + (1− q)a) + (1− p) u(W0 − qa).

Cazul I: poliţă de asigurare corectă

• Pentru q = p, avem de rezolvat problema de optim:max06a6Dp u(W0 − D + (1− p)a) + (1− p) u(W0 − p a).

• Condiţiile pentru o soluţie a∗ de maxim în intervalul (0, D) sunt:u′(W0 − D + (1− q)a∗)− u′(W0 − p a∗) = 0. fără soluţie!(1− p) u′′(W0 − D + (1− p)a∗) + p u′′(W0 − p a∗) < 0.

• Pentru fiecare dintre capetele intervalului, prima condiţie de extrem este:u′(W0 − D)− u′(W0) 6 0, pentru a∗ = 0. fără soluţie!u′(W0 − pD)− u′(W0 − pD) > 0, pentru a∗ = D.

110

Page 112: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF12 [Dr. Iulian Stoleriu]• Găsim că a∗ = D (asigurare completă).

Cazul II: poliţă de asigurare părtinitoare

• Poliţă incorectă: q > p.• Prima condiţie pentru o soluţie a∗ de maxim în [0, D] este, în fiecare caz,p (1− q) u′(W0 − D + (1− q)a∗)− (1− p)q u′(W0 − qa∗) = 0, pentru 0 < a∗ < D.

p (1− q) u′(W0 − D)− (1− p)q u′(W0) 6 0, pentru a∗ = 0. !!!p (1− q) u′(W0 − qD)− (1− p)q u′(W0 − qD) > 0, pentru a∗ = D. !!!

• Din prima relaţie găsim cău′(W0 − D + (1− q)a∗)

u′(W0 − qa∗) = (1− p)q(1− q) p > 1,de unde u′(W0 − D + (1− q)a∗) > u′(W0 − qa∗), adică W0 − D + (1− q)a∗ < W0 − qa∗, decia∗ < D. (asigurare parţială).

• Concluzie: Dacă poliţa de asigurare ar fi cinstită (i.e., q = p), atunci asiguratul va cere asigurarecompletă, pentru întreaga sumă ce o poarte pierde. Dacă q > p, atunci el se va asigura doar parţial,pentru o sumă sub valoarea pierderii ce o poate avea.O problemă de optimizare a portofoliului• Un investitor neutru la risc, cu averea iniţială w0, are oportunitatea de a investi în două activefinanciare: unul sigur (bond cu r) şi unul riscant (share, cu rata profitului z ∼ F (x), EF (z) > r).• Investiţia este a z + (w0 − a) r .• principiul maximizării utilităţii aşteptate:

maxa

EF [u(a z + (w0 − a) r)] = maxa

∫Ru(a z + (w0 − a) r)dF (x).

• Prima condiţie de optim: ∫R(z − r) u′(a∗ z + (w0 − a∗) r)dF (x) = 0.

• Un investitor neutru la risc are u(x) = α x + b. Condiţia de optim interior devineα∫R(z − r)dF (x) = 0,

adică fără soluţie. Rămâne doar a∗ = w0 (un investitor neutru la risc va investi doar în shares).

111

Page 113: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF12 [Dr. Iulian Stoleriu]Critici aduse teoriei utilităţii aşteptate

Paradoxul lui Alais: Se consideră un joc ce are rezultatul final unul dintre: 4000, 3000, 0.Considerăm următoarele două scenarii:• A LA = (0.8, 4000; 0, 3000; 0.2, 0) şi L′A = (0, 4000; 1, 3000; 0, 0);• B LB = (0.2, 4000; 0, 3000; 0.8, 0) şi L′B = (0, 4000; 0.25, 3000; 0.75, 0)

Ce variantă alegeţi din fiecare scenariu?

- Pp. u(0) = 0. Majoritatea persoanelor vor alege L′A şi LB .Din L′A LA şi LB L′B , rezultă cău(3000) > 0.8 u(4000) şi 0.8 u(4000) > u(3000). !!! √

În cazul mai general, avem de ales câte o variantă dintre următoarele două:F LA = p L+ (1− p) A şi L′A = p cx + (1− p) AsauF LB = p L+ (1− p)B şi L′B = p cx + (1− p)Bunde L, A, B sunt loterii iar cx este alegerea cu siguranţă a valorii x . Loteria P este astfel încât are rezultateposibile atât mai mici, cât şi mai mari ca x .• Din axioma de independenţă, găsim că

L′A LA ⇐⇒ cx L ⇐⇒ L′B LB.

• Însă, în cazul în care loteria A domină loteria B (i.e., loteria A dă rezultate mai bune decât repartiţiaB), cele mai multe persoane ar fi tentate să aleagă L′A şi LB . Aceasta înseamnă că preferinţele celormai mulţi ar fi:

L′A LA şi LB L′B.

Discuţii, critici

• Alegerea probabilităţilor este subiectivă.• Este dificil de găsit o măsură cantitativă a gradul de satisfacţie al unui investitor pentru un anumitobiectiv.• Este imposibil de determinat utilitatea ordinală (e.g., ce factori a determinat o persoană să cumpereun anumit produs)• Teoria utilităţii aşteptate (EU) generează diverse paradoxuri (observaţii empirice inconsistente cuteoria)• Teorii non-EU au fost introduse şi utilizate ca alternative (e.g., Teoria EU generalizată, Teoria regre-tului)

112

Page 114: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF13 [Dr. Iulian Stoleriu]13 Matematici financiare (C13)

Optimizarea portofoliilor

Un investitor ce deţine o avere W0 doreşte să o investească într-un portofoliu de active financiare, a1,a2, . . . , an, astfel incât să obţină o satisfacţie maximă. Să presupunem că aceste n active au rentabilităţileR1, R2, . . . , Rn. Prin rentabilitate înţelegem nivelul câştigului asigurat de către o investiţie. Cel mairăspandit mod de exprimare a rentabilităţii unui activ este exprimarea procentuală. Pentru rentabilitateaunui activ ai se foloseşte, în general, formula de calcul:

Ri = suma finală - suma iniţială investităsuma iniţială investită × 100.Spre exemplu, rentabilitatea unui depozit bancar va fi determinată de nivelul dobânzii acordate de bancă.Dacă într-un cont bancar depunem suma S0, atunci în cazul în care în intervalul de timp [0, 1] dobândase calculează în mod simplu cu rata unitară anuală r , la t = 1 vom avea în cont suma ST = S0(1 + r).Rentabilitatea acestei investiţii va fi

R = ST − S0S0 × 100 = 100 r,

adică tocmai procentul dobânzii obţinute.Să notăm prin θi şi wi = θi

W0 (i = 1, n) cantitatea din averea W0 investită în activul ai şi, respectiv, pondereaactivului ai în portofoliul considerat.Prin rentabilitatea unui portofoliu de active vom înţelege o medie ponderată a rentabilităţilor activelorcomponente, ponderile fiind tocmai wi, adică procentele din suma alocată portofoliului investite pentru fiecareactiv în parte. Matematic, scriem astfel:Rp = n∑

i=1 wiRi,unde prin Rp am notat rentabilitatea portofoliului. Dacă notăm prin R i = E(Ri), rentabilitatea aşteptată aleactivului ai, atunci rentabilitatea aşteptată a portofoliului este:Rp

not= E(Rp) = n∑i=1 wiR i = wT · R. (13.1)

Varianţa (riscul) portofoliului este:σ 2(Rp) = D2( n∑

i=1 wiRi) = n∑i=1

n∑j=1 wiwjσij = wT · Σ · w, (13.2)

unde Σ este matricea de covarianţă, Σ = (σij )i, j=1, n.113

Page 115: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF13 [Dr. Iulian Stoleriu]În cazul particular n = 2, avem Rp = w1R1 + w2R2,

Rp = w1R1 + w2R2,σ 2(Rp) = D2(w1R1 + w2R2) = w21σ 21 + w22σ 22 + 2w1w2σ12,unde

σ12 = σ21 = E[(R1 − R1)(R2 − R2)] .Pentru σ12 > 0, cele două portofolii tind să se modifice în aceeaşi direcţie. Pentru σ12 < 0, o scăderea randamentului unui activ este corelată cu o creştere a randamentului celuilalt activ. Se poate definicoeficientul de corelaţie între cele două active,

ρ = σ12σ1 σ2 ∈ [−1, 1].

O tentativă naivă de optimizare a portofoliului ar fi considerarea următoarei probleme:maxw

E

[ n∑i=1 wiRi

] (13.3)astfel încât n∑

i=1 wi = 1.Aceasta se traduce prin ”găsiţi acele ponderi wi pentru care se realizează maximum valorii aşteptate arandamentului portofoliului”. Acesta este criteriul valorii aşteptate a rentabilităţii. Potrivit acestui criteriu,portofoliul optim ar fi cel ce ne conferă o valoare aşteptată maximă pentru rentabilitatea portofoliului. Însă,după cum am văzut în cursurile anterioare (vezi Paradoxul de la St. Petersburg), speranţa matematică nupoate fi un criteriu potrivit pentru evaluare/optimizare.Spre exemplificare, să considerăm cazul a două active, unul lipsit de risc si celălat riscant. Presupunem cărata dobânzii unitare pentru activul lipsit de risc este r , iar pentru activul riscant suma iniţială S0 investităla t = 0 poate deveni la momentul t = 1: S1 = uS0 (cu probabilitatea p) sau S1 = d S0 (cu probabilitatea1− p). Investim averea iniţială W0 astfel:

θ1B0 + θ2S0 = W0, (13.4)echivalent cu

θ1 B0W0 + θ2 S0

W0 = 1. (13.5)La momentul t = 1, averea poate deveni

Wu = θ1B0(1 + r) + θ2uS0 (cu probabilitatea p)sau

Wd = θ1B0(1 + r) + θ2dS0 (cu probabilitatea 1− p).Dacă îl scoatem pe θ1B0 din relaţia (13.4) şi notăm R = 1 + r , atunci problema de optim (13.3) aplicatăpentru aceste două active devine: maxθpWu + (1− p)Wd,echivalentă cu max

θ2 p[(W0 − θ2S0)R + θ2uS0] + (1− p)[(W0 − θ2S0)R + θ2dS0],114

Page 116: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF13 [Dr. Iulian Stoleriu]echivalentă cu max

θ2 p[θ2S0(u− R ) + RW0] + (1− p)[θ2S0(d − R ) + RW0].Valorile de extrem se află printre punctele critice ale funcţiei f(θ2) = p[θ2S0(u−R )+RW0]+(1−p)[θ2S0(d−R ) + RW0], i.e., trebuie să fie soluţii ale ecuaţiei

pS0(u− R ) + (1− p)S0(d − R ) = 0.Însă, această ultimă relaţie nu îl conţine pe θ2, deci nu putem rezolva problema de optim fără alte restricţiisuplimentare. Aşadar, criteriul valorii aşteptate a rentabilităţii nu poate fi aplicat.Observaţia 13.1. Prezentăm în continuare un caz potrivit aplicabilităţii principiului speranţei rentabilităţii.Considerăm cazul unei asigurări CASCO pentru o maşină. Să presupunem că valoarea unei maşini esteW0 = 8000 RON şi că posesorul acestei maşini doreşte să se asigure pentru accident. O firmă de asiguraredetermină că, cu o probabilitate medie p = 0.4, maşina va suferi un accident şi că valoarea medie a avarieieste 2500 RON. Presupunem că în celelalte cazuri (corespunzătoare probabilităţii 1−p) maşina se păstreazăla valoarea iniţială. Loteria asociată maşinii este: L = (0.4,−2500; 0.6, 0).Valoarea aşteptată a loteriei este

E(L) = 0.4× (−2500) = −1000 RON,riscul loteriei (reprezentat prin valoarea dispersiei) este

σ 2(L) = 0.4× (−2500− (−1000))2 = 900000 RON,de unde σ (L) ≈ 948.68 RON. Pentru a îşi asigura maşina, deţinătorul acesteia va trebui să scoată din buzunar1000 RON pe an, adică 12.5% din valoarea maşinii. În condiţiile în care a firma de asigurări ar avea un singurasigurat, atunci în decurs de 8 ani cu asigurare CASCO, acesta va trebui să pătească firmei de asigurărivaloarea totală a maşinii. Din fericire, acesta nu este un caz realist. În realitate, firma de asigurări arefoarte mulţi clienţi ce se asigură, făcând ca riscul de accident să fie împărţit la toţi aceştia.Spre exemplu, să presupunem că un număr de N = 1000 de asiguraţi deţin fiecare maşini de acelaşi tip cacel din povestea de mai sus şi că loteriile aferente acestora sunt toate egale cu L. Mai mult, presupunemcă riscurile de avarii între oricare asiguraţi sunt independente. Astfel, pentru un portofoliu format din maimulte asigurări identice şi independente, valoarea medie a loteriei, L este

L = 1N

N∑i=1 E(L) = E(L) = −1000 RON,

iar riscul asociat portofoliului de asigurări esteσ 2(L) = 1

N σ2(L) = 900 RON,

de undeσ (L) = 30 RON.Pentru un risc aşa mic, ar fi de aşteptat ca valoarea contribuţiei (primei de asigurare) plătibile de fiecareasigurat să scadă considerabil. Acesta este un caz clasic de contribuţie a celor mulţi la ghinionul câtorva(Lloyd’s).

115

Page 117: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF13 [Dr. Iulian Stoleriu]În cazul prezentat mai sus, speranţa matematică poate reprezenta un criteriu de evaluare a funcţiei pay-off (câştig/pierdere). Se pare că acest criteriu este valid doar pentru portofolii largi de riscuri identice şiindependente.Aplicarea acestui criteriu, ar duce la concluzia eronată că investiţia în acţiuni mai rentabile (dar şi mairiscante!) ar fi mai profitabilă decât investiţia în active lipsite de risc, dar mai puţin rentabile (cu o funcţiepay-off inferioară). Astfel de acţiuni pot duce la dezastre financiare (vezi fenomene de tip CARITAS) pentruinvestitori.Laureatul premiului Nobel pentru Economie, Harry Markowitz, aduce în [13] argumente similare celor de maisus în susţinerea ideii că valoarea unui portofoliu nu poate fi dată de speranţa matematică a rentabilităţilor.Soluţia prezentată de Markowitz este un criteriu de tip ”risc-rentabilitate”, potrivit căruia un investitorraţional va urmări maximizarea rentabilităţii aşteptate pe unitatea de risc asumată, echivalent cu minimizareariscului pe unitatea de rentabilitate sperată. Dacă am fixa valoarea aşteptată a rentabilităţii portofoliului,atunci portofoliul optim va fi cel ce are riscul minim. Cu alte cuvinte, minimizăm dispersia portofoliului cândvaloarea aşteptată a acestuia este fixată.Acest criteriu este un caz particular al criteriului valorii aşteptate a utilităţii. Conform criteriului valoriiaşteptate a utilităţii, problema de optim (13.3) ar trebui înlocuită cu problema

maxw

E

[ n∑i=1 wiU(Ri)] (13.6)

astfel încât n∑i=1 wi = 1,

unde U este funcţia de utilitate ce reprezintă preferinţele investitorului. Dificultatea vine din faptul că, îngeneral, specificarea unei funcţii de utilitate este dificilă.Modelul lui Markowitz (sau mean-variance portfolio optimization)Presupuneri:• rentabilitatea unui activ riscant este o variabilă aleatoare normal repartizată;• riscul este măsurat prin deviaţia standard a rentabilităţii portofoliului;• investitorii sunt raţionali (preferă tot mai mult);• piaţa este eficientă informaţional (în sensul că avem la îndemână informaţiile referitoare la istoriapreţurilor activelor, informaţiile publice şi cele privilegiate).Se caută ponderile wi ale activelor în cadrul portofoliului astfel încât, pentru o rentabilitate aşteptată aportofoliului fixată, RT , să obţinem un risc minim (i.e., variaţia rentabilităţii portofoliului este minimă). Unportofoliu optim este acel pentru care nu este posibil de a obţine rentabilităţi aşteptate mai mari fără a măririscul.

116

Page 118: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF13 [Dr. Iulian Stoleriu]Problema generală de optim este o problemă de programare pătratică:min

wwT · Σ · w (13.7)astfel încât wT · R = RT (13.8)

n∑i=1 wi = 1. (13.9)wi > 0, i = 1, n. (13.10)Mai sus,• condiţia (13.7) se traduce prin faptul că se caută acele ponderi wi care minimizează riscul (variaţia)rentabilităţii portofoliului. Matricea Σ este matricea de corelaţie între diversele active componente aleportofoliului (vezi şi relaţia (13.2));• legătura (13.8) reprezintă obţinerea unei valori ţintă (target) pentru rentabilitatea aşteptată a porto-foliului (vezi şi relaţia (13.1));• legătura (13.9) spune că suma ponderilor este 1;• condiţia (13.10) nu permite short-selling (vânzarea prin lipsă sau pe debit).La această problemă de optim se mai pot ataşa restricţii suplimentare asupra ponderilor. Mai mult, relaţia(13.10) poate fi relaxată, astfel încât să permită short-selling. (i.e., putem avea wi < 0, pentru anumiţi indici

i).Modelul de piaţă CAPM (Capital Asset Pricing Model)

Determină relaţia dintre valoarea aşteptată (teoretică) a rentabilităţii unui activ financiar (asset) şi risc într-opiaţă financiară aflată în echilibru (i.e., în care care cererea este egală cu oferta).Relaţia CAPM este:

Ri = Rf + βi(Rm − Rf ),unde Ri este valoarea aşteptată a rentabilităţii activului i, Rf este rata lipsită de risc a dobânzii de referinţă,Rm este valoarea aşteptată a rentabilităţii portofoliului pieţei. Portofoliul pieţei este un portofoliu de active încare aceste active sunt considerate cu ponderile reale de pe piaţă, presupunând că aceste active sunt lichide(perfect divizibile). Coeficientul β (senzitivitatea rentabilităţii activului la rentabilitatea pieţei) măsoară felulcum activul se modifică în interiorul portofoliului şi magnitudinea modificării sale. Cantitatea Rm−Rf se mainumeşte şi premiul pieţei. Pentru un activ i, acesta este:

βi = Cov(Ri, Rm)σ 2(Rm) . (i = 1, n).

β > 0 arată o modificare a valorii activului în concordanţă cu valoarea portofoliului, β < 0 arată o modificarea valorii activului invers faţă de valoarea portofoliului. Pentru β = 1, activul se modifică în acelaşi mod caşi portofoliul pieţei, pentru β > 1, valoarea activului se modifică în aceeaşi direcţie cu a portofoliului, darmai rapid ca cea din urmă.Cazul a două active, unul sigur (cu rata de rentabilitate Rf ) şi celălalt riscant (cu rata de rentabilitate Ra).Rentabilitatea portofoliului este

R = wRa + (1− w)Rf .117

Page 119: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF13 [Dr. Iulian Stoleriu]de unde,

R = wRa + (1− w)Rf . (13.11)Riscul portofoliului este:σ 2 = w2σ 2

Ra =⇒ w = σσRa

.

Înlocuind în (13.11), găsim că:R = Rf + σ

σRa(Ra − Rf ).

Există anumite funcţii în Matlab care să rezolve probleme de optim pentru rentabilitatea portofoliilor. Amintimaici funcţiile: frontcon, portcons, portopt.Funcţia frontcon

Formatul general de apelare a funcţiei este:[Sp, Rp, wi] = frontcon(Rib, Cov, N, RT, ActLim, Grupe, GrupLim)

unde variabilele de intrare sunt:• Rib este vectorul cu valorile aşteptate ale rentabilităţilor activelor din portofoliu R i.• Cov este matricea de covarianţă Σ;• N este numărul de portofolii eficiente ce dorim să le obţinem. Implicit, acesta este 10.• RT sunt valorile target pentru portofolii.• ActLim sunt restricţiile inferioare sau superioare pentru ponderile activelor portofoliului. Implicit,limita inferioară este 0 (i.e., vânzarea prin lipsă nu este permisă) iar limita superioară este 1.• Grupe sunt grupele de active pentru care se impun restricţii. Această intrare este o matrice [ng×na],unde ng este numărul de grupe şi na este numărul de active. Elementul (i, j ) al matricei poate fi 1sau 0, după cum activul de rang j este sau nu în grupul i.• GrupLim este o matrice [ng × 2] care specifică limitele inferioare şi superioare pentru fiecare grup.Limitele implicite sunt 0 (inferioară) şi 1 (superioară).Variabilele de ieşire sunt:• Sp este riscul (dispersia) rentabilităţii portofoliului optimal.• Rp este rentabilitatea aşteptată a portofoliului optimal.• wi sunt ponderile portofoliului optimal.Dacă dorim reprezentarea grafică frontierei optime, atunci folosind aceeaşi funcţie de mai sus, dar fără aspecifica variabilele de ieşire.Exerciţiu 13.1. Să presupunem că un investitor doreşte să investească în două active riscante, cu renta-bilităţile aşteptate R1 = 0.35, R2 = 0.1 şi cu riscurile pentru investirea în fiecare activ în parte sunt

118

Page 120: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF13 [Dr. Iulian Stoleriu]σ 21 = 0.25, σ 22 = 0.6. Corelaţia dintre rentabilităţile activelor 1 şi 2 este σ12 = −0.2.La o primă vedere, activul al doilea nu pare a fi tentant pentru investiţie, deoarece are o rentabilitate mediescăzută şi riscul investiţiei ar fi mare. Totuşi, acesta merită a fi luat în consideraţie, deoarece corelaţia întrerentabilităţilor este negativă, aceasta însemnând că o eventuală descreştere a rentabilităţii activului 1 estecorelată cu o creştere a rentabilităţii activului 2.Pentru a găsi 10 portofolii optime, folosim următorul cod Matlab:

Rib = [0.35 0.1]; Cov = [0.25 -0.2; -0.2 0.6]; N = 10;

[Sp, Rp, wi] = frontcon(Rib, Cov, N);

[wi Rp Sp]

şi obţinem:0.6400 0.3600 0.2600 0.2966

0.6800 0.3200 0.2700 0.3000

0.7200 0.2800 0.2800 0.3098

0.7600 0.2400 0.2900 0.3256

0.8000 0.2000 0.3000 0.3464

0.8400 0.1600 0.3100 0.3715

0.8800 0.1200 0.3200 0.4000

0.9200 0.0800 0.3300 0.4313

0.9600 0.0400 0.3400 0.4648

1.0000 0 0.3500 0.5000

Primele două coloane reprezintă ponderile corespunzătoare celor două active în portofoliul optim, a treia co-loană reprezintă rentabilitatea portofoliului optim, iar în a patra coloană apar riscurile asociate cu portofoliuloptim. Se verifică faptul că suma primelor două coloane este 1 (suma ponderilor). Ultima linie corespundeunui portofoliu format doar din activul 1, însă prezintă riscul cel mai mare, σp =√σ 21 = 0.5.Exerciţiu 13.2. Se cere găsirea unui portofoliu optim format din 5 active financiare, ce au rentabilităţileaşteptate R1 = 0.3, R2 = 0.19, R3 = 0.17, R4 = 0.21, R5 = 0.29 şi matricea de covarinţă

Cov =

0.2 0 0 0 00 0.05 −0.1 0 00 −0.1 0.3 0 00 0 0 0.4 0.250 0 0 0.25 0.4

Se impun următoarele restricţii asupra ponderilor individuale

0 6 w1 6 0.35; 0 6 w2 6 0.2; 0 6 w3 6 0.3, 0.2 6 w4 6 0.6; 0.3 6 w5 6 0.7,şi pentru următoarele două grupuri:

0.25 6 w1 + w2 + w3 6 0.75; w4 + w5 > 0.4.Codul Matlab care rezolvă problema este:

Rib = [0.3 0.19 0.17 0.21 0.29]; N = 10;

119

Page 121: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

MF13 [Dr. Iulian Stoleriu]Cov = [0.2 0 0 0 0; 0 0.05 -0.1 0 0; 0 -0.1 0.3 0 0; ...

0 0 0 0.4 0.25; 0 0 0 0.25 0.4];

RT = []; ActLim = [0 0 0 0.2 0.3; 0.35 0.2 0.3 0.6 0.7];

Grupe = [1 1 1 0 0; 0 0 0 1 1]; GrupLim = [0.25 0.4; 0.75 1];

[Sp, Rp, wi] = frontcon(Rib, Cov, N, RT, ActLim, Grupe, GrupLim)

[wi Rp Sp]

Rezultatele sunt:0.0109 0.1739 0.0652 0.3750 0.3750 0.2349 0.4282

0.0406 0.1542 0.0551 0.3606 0.3894 0.2395 0.4285

0.0704 0.1346 0.0451 0.3463 0.4037 0.2441 0.4294

0.1001 0.1149 0.0350 0.3319 0.4181 0.2488 0.4308

0.1299 0.0952 0.0249 0.3175 0.4325 0.2534 0.4328

0.1596 0.0755 0.0149 0.3032 0.4468 0.2580 0.4354

0.1894 0.0559 0.0048 0.2888 0.4612 0.2626 0.4385

0.2188 0.0312 -0.0000 0.2727 0.4773 0.2673 0.4422

0.2480 0.0020 -0.0000 0.2550 0.4950 0.2719 0.4466

0.2500 0.0000 -0.0000 0.2000 0.5500 0.2765 0.4522

Semnul negativ ilegitim poate apărea din cauza erorilor numerice. De exemplu, valoarea numerică exactăpentru w3 în cadrul ultimului portofoliu este wi(10, 3) = −5.1046 × 10−19, adică practic zero. Am folositRT = [] deoarece nu avem un portofoliu target.

120

Page 122: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

Scheme numerice în Matlab [Dr. Iulian Stoleriu]14 Scheme ³i metode numerice implementate în MatlabExerciţiu 14.1. Consideram un activ financiar al carui pret initial este 30 RON. Rata dobânzii lipsite de risceste r = 0.06. Vrem sa calculăm preţul forward al acestui activ, pentru livrare în 9 luni si, de asemenea,care este valoarea pe care ar trebui sa o plateasca, la initierea contractului, un investitor, careia i se oferaposibilitatea de a intra intr-o pozitie long forward cu acelasi pret de livrare si in acelasi timp mentionat maisus.- Codul Matlab este urmatorul:

S0= 30; K=30; r=0.06;

Ti = 9/12;

disp('Pretul forward este:')

F0 = S0*exp(r*Ti)

disp('Valoarea platita la initierea contractului este:')

LF0 = (F0-K)*exp(-r*Ti)

1

Exerciţiu 14.2. Consideram ca un pachet de acţiuni costa astazi 100 lei. Dorim sa calculăm valoarea unui puteuropean cu preţul de exercitiu K = 110, scadenta T = 2 ani. Rata dobânzii lipsita de risc este r = 0.04.Folosind paritatea put-call, sa se calculeze valoarea unui call european avand la baza aceleasi caracteristicica si contractul put european anterior.- Codul Matlab este urmatorul:

S0=100; K=110; T=2; r=0.04;

ST = S0*exp(r*T);

disp('Valoarea pentru put european:')

PT = max(K-ST,0);

disp('Valoarea pentru call european:')

CT = ST+PT-K;

for t=1:2

profit(t)=max(K-S0*exp(r*t),0)-max(K-S0,0);

end

plot(t,profit,'*b'); legend(' = profitul')

1

Exerciţiu 14.3. Construiţi o funcţie Matlab care să simuleze evoluţia preţului unui activ financiar după unarbore binomial.- Funcţia este următoarea:

function evolS(S0, sigma, T, n)

u = exp(sigma*sqrt(T/n)); d = 1/u; % factorii de modificare

k = (rand(n, 1) < 0.5);

S = S0*cumprod(u.^k.*d.^(1-k));

plot(1:n,S)

1

Rulând funcţia prin evolS(10,0.2,2,731) (vezi Exerciţiul 6.1), obţinem Figura 6.3. √

121

Page 123: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

Scheme numerice în Matlab [Dr. Iulian Stoleriu]Exerciţiu 14.4. Construiţi o funcţie Matlab care să calculeze preţul unui call european folosind formulaCox-Ross-Rubinstein 6.2.

function CRR(S0,K,r,T,n,sigma)

dt = T/n; u = exp(sigma*sqrt(dt)); d = 1/u;

psi = (exp(r*dt)-d)/(u-d);

S = zeros(n+1,1); C = zeros(n+1,1);

for k=0:n

S(k+1) = S0*u^k*d^(n-k)

CT(k+1) = nchoosek(n,k)*psi^k*(1-psi)^(n-k)*max(S(k+1)-K,0);

end

C0 = exp(-r*T)*sum(CT);

disp('Valoarea pentru call european este: '); disp(C0);

1

Exerciţiu 14.5. Construim urmatoarea funcţie Matlab, ce calculează valorile pentru call european (pentruflag =1) sau put european (pentru flag =0) folosind modelul binomial. Rezultatele sunt apoi comparatecu cele obţinute prin rularea funcţiei Matlab binprice.-

function EU(S0,K,r,T,dt,sigma,flag)

%%% simuleaza valorile pentru call si put european %%%

n = T/dt; %%% numarul de perioade

u = exp(sigma*sqrt(dt)); d = 1/u;

psi = (exp(r*dt)-d)/(u-d); %%% probabilitatea neutra la risc

S = zeros(n+1,n+1);

C = zeros(n+1,n+1); P = zeros(n+1,n+1);

%%% simuleaza valorile pentru S, C si P la scadenta %%%

for i = 1:n+1

S(i,n+1) = S0*u^(n+1-i)*d^(i-1); %%% valorile activului

C(i,n+1) = max(S(i,n+1)-K,0); %%% call european

P(i,n+1) = max(K-S(i,n+1),0); %%% put european

end

%%% simuleaza valorile intermediare pentru S, C si P %%%

for i = n:-1:1

for j = 1:i

C(j,i) = exp(-r*dt)*(psi*C(j,i+1)+(1-psi)*C(j+1,i+1));

P(j,i) = exp(-r*dt)*(psi*P(j,i+1)+(1-psi)*P(j+1,i+1));

end

end

if flag == 1

disp('Valoarea pentru call european este C0 = '); disp(C(1,1));

else

disp('Valoarea pentru put european este P0 = '); disp(P(1,1));

end

1

O rulare a funcţiei, e.g. EU(100,105,0.05,2,2/4,0.1,1), ne furnizează rezultatul:122

Page 124: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

Scheme numerice în Matlab [Dr. Iulian Stoleriu]Valoarea pentru call european este C0 =

8.4006

Valorile pentru C (call european) la fiecare nod sunt cele din matricea:C =

8.4006 11.6265 15.8579 21.2236 27.6896

0 2.7328 4.2379 6.5718 10.1910

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

1

Pentru EU(100,105,0.05,2,2/4,0.1,0), obţinem rezultatul:Valoarea pentru put european este P0 =

3.4085Se poate verifica cu usurinta ca relatia (3.2) (paritatea put-call) este verificata, adica:100 + 3.4085− 8.4006 = 105 · e−0.05 2.

Rulăm acum funcţia binprice din Matlab astfel:[S,O] = binprice(100,105,0.05,2,2/4,0.1,1)Aici am folosit datele de mai sus. Obţinem:

S =

100.0000 107.3271 115.1910 123.6311 132.6896

0 93.1731 100.0000 107.3271 115.1910

0 0 86.8123 93.1731 100.0000

0 0 0 80.8858 86.8123

0 0 0 0 75.3638

C =

8.4006 11.6265 15.8579 21.2236 27.6896

0 2.7328 4.2379 6.5718 10.1910

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

1

unde: S este matricea de valori a activului suport şi C este matricea de valori pentru un call european asupraacestui activ suport, cu preţul de livrare K = 105 scadenţa T = 2 şi 4 perioade. Se observă că C0 = 8.4006,găsit mai sus. √

Exerciţiu 14.6. Construim urmatoarea funcţie Matlab, ce calculează valorile pentru call american (pentruflag =1) sau put american (pentru flag =0) folosind modelul binomial.

123

Page 125: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

Scheme numerice în Matlab [Dr. Iulian Stoleriu]

function AM(S0,K,r,T,dt,sigma,flag)

%%% simuleaza valorile pentru call si put american %%%

%%% flag = 1 pentru call, flag = 0 pentru put

n = T/dt; %%% numarul de perioade

u = exp(sigma*sqrt(dt)); d = 1/u;

psi = (exp(r*dt)-d)/(u-d); %%% probabilitatea neutra la risc

S = zeros(n+1,n+1);

C = zeros(n+1,n+1); P = zeros(n+1,n+1);

%%% simuleaza valorile pentru S, C si P la scadenta %%%

for i = 1:n+1

S(i,n+1) = S0*u^(n+1-i)*d^(i-1); %%% valorile activului

C(i,n+1) = max(S(i,n+1)-K,0); %%% call european

P(i,n+1) = max(K-S(i,n+1),0); %%% put european

CA(i,n+1) = max(S(i,n+1)-K,0); %%% call american

PA(i,n+1) = max(K-S(i,n+1),0); %%% put american

end

%%% simuleaza valorile intermediare pentru S, CA si PA %%%

for i = n:-1:1

for j = 1:i

S(j,i) = u^(i-j)*d^(j-1)*S0;

C(j,i) = exp(-r*dt)*(psi*C(j,i+1)+(1-psi)*C(j+1,i+1));

CA(j,i) = max(C(j,i), max(u^(i-j)*d^(j-1)*S0-K, 0));

C(j,i) = CA(j,i);

P(j,i) = exp(-r*dt)*(psi*P(j,i+1)+(1-psi)*P(j+1,i+1));

PA(j,i) = max(P(j,i), max(K-u^(i-j)*d^(j-1)*S0, 0));

P(j,i) = PA(j,i);

end

CA(1,1) = exp(-r*dt)*(psi*CA(1,2)+(1-psi)*CA(2,2));

PA(1,1) = exp(-r*dt)*(psi*PA(1,2)+(1-psi)*PA(2,2));

end

if flag == 1

disp('Valoarea pentru call american este C0 = '); disp(CA(1,1));

else

disp('Valoarea pentru put american este P0 = '); disp(PA(1,1));

end

1

O rulare a funcţiei, e.g., AM(100,105,0.05,2,2/4,0.1,0), ne furnizează rezultatul:Valoarea pentru put american este P0 =

5.2007Se observă că, după cum era de aşteptat, această valoare este mai mare decât cea pentru un put european,găsită în Exerciţiul (14.5).Folosind comanda disp(PA) putem afişa toate valorile pentru put american de pe arborele binomial. Acesteasunt:PA = 5.2007 2.0043 0.5460 0 0

0 11.8269 5.0000 1.6522 0

0 0 18.1877 11.8269 5.0000

0 0 0 24.1142 18.1877

0 0 0 0 29.6362

124

Page 126: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

Scheme numerice în Matlab [Dr. Iulian Stoleriu]Exerciţiu 14.7. Următorul cod Matlab generează o mişcare aleatoare 2D (folosind repartiţia Bernoulli =discretă):

function walk2d(n)

x = cumsum(2*(rand(n,1)<0.5)-1);

y = cumsum(2*(rand(n,1)<0.5)-1);

plot(x,y,'-')

1

Următorul cod Matlab generează o mişcare Browniană 2D (folosind repartiţia normală = continuă):

Funcµia Matlab de mai jos produce gura

din partea dreapt .

function walk2d(n)

x = [0; cumsum(randn(n,1))];

y = [0; cumsum(randn(n,1))];

plot(x,y)

1

Rulând funcţia prin walk2d(1e4) , obţinem Figura 6.3. √

Exerciţiu 14.8. Generaţi cinci traiectorii ale unui proces Wiener, ca în Figura 16.1.

125

Page 127: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

Scheme numerice în Matlab [Dr. Iulian Stoleriu]

function wiener(T,n)

clf; dt = T/n;

dW = randn(5,n)*sqrt(dt);

for i = 1:5;

W = [0 cumsum(dW(i,:))];

plot(W); hold on;

end

1

15 Metoda Monte-Carlo pentru evaluarea opţiunilor europene

Prezentam mai jos un algoritm de simulare a preţului unei opţiuni de tip european folosind o metoda MonteCarlo. Reamintim, o metoda Monte-Carlo este o metoda numerica ce are la baza generarea de numerealeatoare (vezi Anexa). Pentru a acoperi atat opţiunile de tip call cat si pe cele de tip put, folosim o notatiecomuna. Vom nota prin St valoarea activului suport la momentul t si cu f(S) valoarea derivatului financiara carui valoare depinde de valoarea St . Fie T scadenta acestui contract derivat si K preţul de exercitiu (delovire). Asadar, vom avea f(ST ) = maxK − ST ; 0 pentru un put european si f(ST ) = maxST − K ; 0pentru un call european.Dupa cum am stabilit in sectiunile anterioare, posibilele preţuri ale activului suport la t = T urmeaza orepartitie lognormala. Astfel, dacă S0 este preţul initial al activului suport, atunci valoarea activului suportla scadenta (t = T ) este:ST = S0 e(µ− σ22 ) T+σ √T Z , (15.1)unde Z este o variabila aleatoare normala, Z ∼ N (0, 1), µ este driftul si σ este volatilitatea preţului activului.Deoarece ST este o variabila aleatoare, tot o variabila aleatoare va fi si valoarea derivatului financiar lascadenta, adica f(ST ).Valoarea derivatului financiar (adica f0 = f(S0)) este calculată dupa formulaf0 = e−r T E∗[f(ST )],unde notatia E∗ semnifica faptul ca valoarea aşteptată pentru variabila aleatoare f(ST ) se calculeaza inraport cu masura lipsita de risc. Valoarea E∗[f(ST )] se obtine cand in formula E[f(ST )] inlocuim driftul µ cu

r , rata dobânzii unitare neutre la risc.In general, dacă St este o valoarea dată, atunci valoarea derivatului financiar la momentul t (t ∈ [0, T ])este dată deft = e−r (T−t) E∗[f(ST )]= e−r (T−t) E[f(ST )], cu µ = r in relatia (15.1).Pentru a aproxima valoarea f0 printr-o metoda Monte Carlo, procedam dupa urmatorul algoritm:

Pas 1 Generam un set de n valori (de exemplu, n = 106) ce urmeaza repartitia N (0, 1). Sa notam acestevalori prin Z1, Z2, . . . , Zn;Pas 2 Calculăm valorile corespunzatoare pentru activului suport la t = T (folosim formula (15.1), cu µ = r).Avem:

SiT = S0 e(r− σ22 ) T+σ √T Zi , i = 1, 2, . . . , n.Astfel, pentru fiecare indice i ∈ 1, 2, . . . , n, v.a. SiT va urma repartitia lognormala(i.e., lnSiT ∼ N (lnS0 + (r − σ 22 ) T , σ √T)).126

Page 128: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

Scheme numerice în Matlab [Dr. Iulian Stoleriu]Pas 3 Aproximez valoarea derivatului financiar la scadenta (pe care o notam cu fT ) prin media sirului devalori f(S1

T ), f(S2T ), . . . , f(SnT ). Avem:

fT = E∗[f(ST )] = 1n

n∑i=1 f(SiT ).

Pas 4 Aproximarea pentru valoarea cautata f0 va fi valoarea actualizata a lui fT , adicaf0 = e−r T fT .

Codul următor calculează valoarea unui call european folosind o metodă Monte-Carlo. Opţiunea call con-siderată este asupra unui activ suport ce valorează S0 = 10 la t = 0, preţul de exerciţiu este K = 11,scadenţa este T = 2, µ = r = 0.05, σ = 0.3. Am efectuat o generare de 106 numere aleatoare repartizatenormal standard.function MC(S0,K,r,T,sigma,n)

Z = randn(n,1);

ST = S0*exp((r-sigma^2/2)*T + sigma*sqrt(T)*Z);

CT = max(ST-K,0);

C0 = exp(-r*T)*mean(CT);

disp('Valoarea pentru call european este: '); disp(C0);

1

Astfel, rulând funcţia prin MC(10,11,0.05,2,0.3,1e6), obţinem:Valoarea pentru call european este:

1.6990

Valoarea pentru acelasi call european obţinută cu modelul binomial, i.e., rulăm funcţia[S,C]=binprice(10,11,0.05,2,0.005,0.3,1))este:

C(1,1) =

1.6999

Observaţia 15.1. În algoritmul anterior am generat un număr suficient de mare de numere aleatoare re-partizate N (0, 1), simulând astfel valorile la maturitate ale derivatului financiar. Putem însă genera directnumere aleatoare log-normal repartizate. Astfel, putem înlocui paşii 1 şi 2 din algoritm printr-un singur pas,şi anume:ST ∼ logN (lnS0 + (r − σ 22 ) T , σ √T) .

În codul Matlab de mai sus vom schimba liniile 1 şi 2 printr-o singură linie, obţinând codul alternativ:function MC2(S0,K,r,T,sigma,n)

ST = random('lognormal',log(S0)+(r-sigma^2/2)*T,sigma*sqrt(T),n,1);

CT = max(ST-K,0);

C0 = exp(-r*T)*mean(CT);

disp('Valoarea pentru call european este: '); disp(C0);

1

127

Page 129: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

Scheme numerice în Matlab [Dr. Iulian Stoleriu]Astfel, rulând funcţia prin MC2(10,11,0.05,2,0.3,1e6), obţinem:

Valoarea pentru call european este:

1.6989

Exerciţiu 15.1. Construiţi o funcţie în Matlab care să genereze posibile traiectorii ale preţului unui activfinanciar printr-o metodă Monte-Carlo. Se va considera faptul că preţurile urmează o repartiţie lognormală.- Considerăm o divizare echidistantă a intervalului [0, T ], 0 = t1 < t2 < · · · < tn = T , într-unnumăr N suficient de mare de diviziuni, cu norma diviziunii δt = T

N . Aşadar, tk = k δt, k = 0, N . NotămprinSk = Stk şi uk = Sk

Sk−1 , k = 1, n.Din relaţia (9.13), observăm că uk satisfac

uk ∼ logN((µ − σ 22 )δt, σ√δt) , k = 1, n,

Pentru fiecare p ∈ 1, 2, . . . , N, traiectoria care pleacă din S0 şi ajunge la nodul p va fiTp = S0 p∏

k=0 uk .Codul de mai jos reprezintă 5 astfel de posibile traiectorii.function Paths(S0,r,sigma,T,n,m)

% S0=pretul initial; r=rata de referinta;

% sigma= volatilitatea;T=scadenta;

% n=numarul de noduri in traiectorie;

% m=numarul de traiectorii

dt = T/n;

u = random('logn',(r-sigma^2/2)*dt, ...

... sigma*sqrt(dt), n, m);

% sau

% u = exp((r-sigma^2/2)*dt + ...

% ... + sigma*sqrt(dt)*randn(n,m));

S = S0*cumprod(u);

plot(S)

1

Exerciţiu 15.2. Dorim sa reprezentam in acelasi grafic valorile unui contract de tip put european in functiede numarul de perioade. Se va verifica pe grafic dacă aceste valori converg la valoarea aceluiasi contractput european, dar calculata prin formula Black-Scholes.- Codul Matlab este următorul:

128

Page 130: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

Scheme numerice în Matlab [Dr. Iulian Stoleriu]

%% convergenta modelului binomial la modelul Black-Scholes

%% pentru n -> \infty

function binoBS(S0,K,r,T,sigma,N)

%% S0 = pretul actual al activului; T = scadenta; K = pret de exercitiu

%% sigma = volatilitatea; N = Numarul maxim de perioade

d1 = (log(S0/K) + (r + sigma^2/2)*T)/(sigma*sqrt(T));

d2 = d1 - sigma*sqrt(T);

putEU_BS = - S0*normcdf(-d1) + K*exp(-r*T)*normcdf(-d2)

for n = 2:N

dt= T/n; P = zeros(n+1,n+1);

u = exp(sigma*sqrt(dt)); d = 1/u; psi = (exp(r*dt)-d)/(u-d);

for j = 1:n+1

S(n+1,j) = u^(j-1)*d^(n+1-j)*S0;

P(n+1,j) = max(K - S(n+1,j),0);

end % for j

for i = n:-1:1

for j = 1:i

P(i,j) = exp(-r*dt)*(psi*P(i+1,j+1)+(1-psi)*P(i+1,j));

end % for j

end % for i

putEU(n-1) = P(1,1);

end % for n

ActivMaturitate = S(3:N+1,:);

disp('put EU = '), disp(P(1,1))

clf

plot(2:N,putEU,'b-'); hold on;

plot(2:N,putEU_BS*ones(N-1),'r--');

legend('binomial','Black-Scholes','Location','SouthEast')

title('convergenta modelului binomial la modelul Black-Scholes')

1

Rulând funcţia anterioară pentru S0 = 100, K = 115, r = 0.05, T = 1, σ = 0.3, n = 150, obţinem Figura15.1. √

Observaţia 15.2. Codurile de mai jos rezolvă problema convergenţei grafice a modelului binomial la cel Black-Scholes folosind o abordare vectoriala in codul care calculează valorile pentru call/put european. Aşadar,pentru variabila flag=1 calculează valoarea unui call european, pentru flag=0 calculează valoarea unuiput european.

129

Page 131: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

Scheme numerice în Matlab [Dr. Iulian Stoleriu]

Figura 15.1: Convergenţa modelului binomial la modelul Black Scholes.function convergenta2(S0,K,r,T,sigma,N,flag)

%%% call/put cu formula B-S

d1=(log(S0/K)+(r + sigma^2/2)*T)/(sigma*sqrt(T));

d2=d1-sigma*sqrt(T);

callBS = S0*normcdf(d1)-K*exp(-r*T)*normcdf(d2);

putBS = -S0*normcdf(-d1)+K*exp(-r*T)*normcdf(-d2);

%%% flag=1 => call; flag=0 => put

BS = flag*callBS + (1-flag)*putBS;

%%% call/put cu metoda binomiala

for n = 2:N

dt= T/n; u = exp(sigma*sqrt(dt)); d = 1/u;

psi = (exp(r*dt)-d)/(u-d);

EU(n-1) = binEU(S0,K,r,T,n,sigma,flag);

end

clf

%%% reprezinta grafic

plot(2:N,EU,'b-'); hold on;

plot(2:N,BS*ones(N-1),'r--');

legend('bino','B-S','Location','NorthEast')

title('binomial ===> Black-Scholes')

function y=binEU(S0,K,r,T,n,sigma,flag)

%%% metoda binomiala vectoriala

dt = T/n; %%% pasul

u = exp(sigma*sqrt(dt)); d=1/u;

psi = (exp(r*dt)-d)/(u-d);

%%% activ si derivat la scadenta

S = S0*u.^(0:n)'.*d.^(n:-1:0)';

C = max(S-K, 0); P = max(K-S, 0);

%%% flag=1 ==> call; flag=0 ==> put

V = flag*C + (1-flag)*P;

%%% valori intermediare pentru call/put

for i = n:-1:1

V = psi*V(2:i + 1) + (1-psi)*V(1:i);

end

%%% output

y = exp(-r*T)*V;

1

130

Page 132: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

Scheme numerice în Matlab [Dr. Iulian Stoleriu]Exerciţiu 15.3. Construiţi o funcţie în Matlab care să calculeze valoarea unui call/put european folosindformula (10.9). Să se compare rezultatul cu cel obţinut prin rularea funcţiei Matlab blsprice.- În Matlab, funcţia lui Laplace (funcţia de repartiţie pentruN (0, 1) este dată de comanda normcdf.Codul pentru funcţia cerută este următorul:

function [C, P] = BS(S0,K,r,T,sigma)

% S0 = pretul initial; r = rata de referinta;

% K = pret de exercitiu;

% sigma = volatilitatea; T = scadenta;

% C = valoarea unui call european

d1 = (log(S0/K) + (r+sigma^2/2)*T)/(sigma*sqrt(T));

d2 = d1 - sigma*sqrt(T);

C = S0*normcdf(d1) - K*exp(-r*T)*normcdf(d2);

P = C - S0 + K*exp(-r*T);

1

O rulare a codului, [C,P] = BS(10,11,0.1,2,0.3), ne furnizează rezultatele:C = P =

2.1410 1.1471

Folosim acum funcţia blsprice predefinită, [C,P] = blsprice(10,11,0.1,2,0.3), şi obţinem:C = P =

2.1410 1.1471

131

Page 133: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

Scheme numerice în Matlab [Dr. Iulian Stoleriu]Exerciţiu 15.4. Folosind Matlab, reprezentaţi grafic indicii de senzitivitate ∆, Γ şi Θ pentru un call european.- Pentru indicele ∆ folosim formula (10.18). Codul Matlab şi graficul sunt cele din Figura 15.2.

S0=20; K=21; r=0.05; T=2; s=0.2;

% S0=pret initial, K=pret de exercitiu;

% r=rata dobanzii; T=scadenta;

% s=volatilitatea

S = linspace(0.1,40,1e3);

d1 = (log(S/K)+(r+s^2/2)*T)/(s*sqrt(T));

Delta = normcdf(d1);

plot(S,Delta,'b-','LineWidth',3);

1

Figura 15.2: Indicele ∆Pentru indicele Γ folosim formula (10.23). Codul Matlab şi graficul sunt cele din Figura 15.3.

S0=20; K=21; r=0.05; T=2; s=0.2;

% S0=pret initial, K=pret de exercitiu;

% r=rata dobanzii; T=scadenta;

% s=volatilitatea

S = linspace(0.1,40,1e3);

d1 = (log(S/K)+(r+s^2/2)*T)/(s*sqrt(T));

G=normpdf(d1)/(S0*s*sqrt(T));

plot(S,G,'-','LineWidth',3);

1

Figura 15.3: Indicele ΓPentru indicele Θ folosim formula (10.24). Codul Matlab şi graficul sunt cele din Figura 15.4.

132

Page 134: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

Scheme numerice în Matlab [Dr. Iulian Stoleriu]

function theta(S,K,r,T,sigma)

% S=pret activ suport, K=pret de exercitiu;

% r=rata dobanzii; T=scadenta;

% sigma=volatilitatea

S=linspace(0.1,40,1e3);

d1=(log(S/K)+(r+sigma^2/2)*T)/(sigma*sqrt(T));

d2=d1 - s*sqrt(T);

TetaC=-S.*normpdf(d1)*sigma/(2*sqrt(T))-...

... r*K*exp(-r*T)*normcdf(d2);

plot(S,TetaC,'-b','LineWidth',3)

1

Figura 15.4: Indicele ΘExerciţiu 15.5. Construiţi o funcţie în Matlab care să calculeze valoarea unui call/put european folosindformula (10.9). Să se compare rezultatul cu cel obţinut prin rularea funcţiei Matlab blsprice.- În Matlab, funcţia lui Laplace (funcţia de repartiţie pentruN (0, 1) este dată de comanda normcdf.Codul pentru funcţia cerută este următorul:

function [C, P] = BS(S0,K,r,T,sigma)

% S0 = pretul initial; r = rata de referinta;

% K = pret de exercitiu;

% sigma = volatilitatea; T = scadenta;

% C = valoarea unui call european

d1 = (log(S0/K) + (r+sigma^2/2)*T)/(sigma*sqrt(T));

d2 = d1 - sigma*sqrt(T);

C = S0*normcdf(d1) - K*exp(-r*T)*normcdf(d2);

P = C - S0 + K*exp(-r*T);

1

O rulare a codului, [C,P] = BS(10,11,0.1,2,0.3), ne furnizează rezultatele:C = P =

2.1410 1.1471

Folosim acum funcţia blsprice predefinită, [C,P] = blsprice(10,11,0.1,2,0.3), şi obţinem:C = P =

2.1410 1.1471

133

Page 135: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

Anexa [Dr. Iulian Stoleriu]

16 Anexa

Media condiţionată

Fie (Ω, F , P) un câmp de probabilitate şi A, B ∈ F , două evenimente, cu P(B) > 0. Atunci, putem definiP(A|B) = P(A⋂B)

P(B) , (16.1)ca fiind probabilitatea evenimentului A condiţionată de evenimentul B.Fie X : (Ω, F , P) −→ R o variabila aleatoare integrabilă (i.e., E(|X |) <∞). Definim

E[X |B] = 1P(B)

∫BX dP, (16.2)

şi o numim media lui X condiţionată de evenimentul B. Aceasta reprezintă, în fapt, valoarea aşteptată avariabilei aleatoare X , condiţionată de realizarea evenimentului B.Dacă Y : (Ω, F , P) −→ R este o altă variabila aleatoare, atunci definim variabila aleatoare E[X |Y ] cesatisface următoarele două condiţii:− E[X |Y ] este σ (Y )− măsurabilă; (16.3)−

∫AX dP = ∫

AE[X | Y ]dP, pentru orice A ∈ σ (Y ). (16.4)

şi o numim media lui X condiţionată de realizarea v.a. Y . Aceasta reprezintă, în fapt, valoarea aşteptată avariabilei aleatoare X , condiţionată de realizările v.a. Y .Fie K ⊂ F o sub-σ−algebră. Pentru o v.a. integrabilă definim valoarea medie condiţionată a lui X în raportcu K o v.a. integrabilă, notată E[X | K], care îndeplineşte condiţiile:

− E(X | K) este K− măsurabilă; (16.5)−

∫AX dP = ∫

AE[X | K]dP, pentru orice A ∈ K. (16.6)

În plus, variabilele aleatoare E[X | Y ] şi E[X | K] definite mai sus sunt unice a.s..Proprietăţi ale valorii medii condiţionate:

Fie X, Y : (Ω, F , P) −→ R variabile aleatoare integrabile şi α, β ∈ R. Atunci:• E[αX + βY | K] = αE[X | K] + βE[Y | K] (liniaritatea);• Dacă X 6 Y a.s., atunci E[X | K] 6 E[Y | K] a.s.;• E(E[X | K]) = E(X )a.s.;• Dacă X este K−măsurabilă, atunci E[X | K] = X a.s.;• Dacă X este K−măsurabilă, atunci E[XY | K] = XE[Y | K], a.s.;• Dacă X e independentă de K, atunci E[X | K] = E(X )a.s.;134

Page 136: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

Anexa [Dr. Iulian Stoleriu]• Pentru orice sub-σ−algebre K1 ⊆ K2 ⊆ F avem

E[X | K1] = E[E[X | K2]| K1] = E[E[X | K1]| K2] a.s.• Pentru orice funcţie convexă g : R→ R, are loc inegalitatea:

g(E[X | K]) 6 E[g(X )| K]. (Jensen)• E[X | Y ] = E[X | σ (Y )]

Procese stochastice

Fie Ω o mulţime abstractă, nevidă.Definiţia 16.1. Numim σ−algebră sau σ−câmp (sau corp borelian) o colecţie F de submulţimi ale lui Ωastfel încât:(a) ∅ ∈ F ;(b) dacă A ∈ F , atunci Ac ∈ F ; (Ac = Ω \ A) (închidere la complementariere)(c) dacă (An)n∈N ∈ F , atunci ∞⋃

n=1 An ∈ F ; (închidere la reuniune numărabilă)Observaţia 16.2. (1) Ω = R şi F = A; A ⊂ R este o σ−algebră;(2) F = Ω, ∅ este o algebră (trivială);(3) Dacă A ∈ Ω, F = A, Ac, Ω, ∅ este o algebră;(4) Dacă Ω e o mulţime nevidă şi F este o σ−algebră pe Ω, atunci perechea (Ω, F ) se numeşte spaţiumăsurabil.Definiţia 16.3. Fie F o colecţie de submulţimi ale lui Ω. Numim σ−algebră generată de F cea mai micăσ−algebră ce conţine F . O notăm prin σ (F ) şi este, de fapt,

σ (F ) = ⋂A⊃FA. (16.7)

Dacă E e un spaţiu topologic, vom numi σ-algebră Borel, notată B (E ), σ-algebra generată de familiamulţimilor deschise din E , i.e., cea mai mică σ-algebră ce conţine deschişii lui E .Dacă E = Rd , atunci B (Rd) (sau Bd) este σ-algebra generată de cuburile deschise din Rd . O mulţimeA ∈ Bd se numeşte mulţime boreliană.Definiţia 16.4. O funcţie P : (Ω, F ) → R, care asociaza oricărui eveniment A ∈ F numărul real P(A), cuproprietăţile:(a) P(A) > 0, ∀A ∈ F ;(b) P(Ω) = 1;(c) dacă (An)n∈N ∈ F sunt disjuncte două câte două (Ai⋂ Aj = ∅, ∀i 6= j ) şi P(⋃

n∈NAn) ∈ F ,

atunciP(⋃

n∈NAn) = ∑

n∈NP(An). (σ − aditivitate)

se numeşte probabilitate.135

Page 137: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

Anexa [Dr. Iulian Stoleriu]Aceasta este definiţia axiomatică dată de A. N. Kolmogorov. Tripletul (Ω, F , P) se va numi câmp boreliande probabilitate.Observaţia 16.5. În cazul în care condiţia (b) din definiţia probabilităţii lipseşte, atunci spunem ca P defineşteo măsură pe spaţiul măsurabil (Ω, F ), iar tripletul (Ω, F , P) se va numi spaţiu cu măsură. O probabilitateeste astfel un caz particular al noţiunii de măsură, în cazul în care măsura întregului spaţiu este P(Ω) = 1.Spunem că o proprietate are loc a.s. (aproape sigur) dacă are loc întotdeauna, cu excepţia unei mulţimi Apentru care P(A) = 0. O astfel de mulţime se va numi mulţime P-nulă.O familie (Ft )t>0 crescătoare de sub-σ−algebre ale lui F se numeşte filtrare pe F .Definim o bază stochastică ca fiind un qvadruplu (Ω, F , P, (Ft )t>0), unde (Ω, F , P) este un câmp deprobabilitate complet în raport cu P (i.e., F conţine mulţimile P−nule), iar (Ft )t>0 este o filtrare pe F .Fie (E, E ) un spaţiu măsurabil.O funcţie X : (Ω,F , P)→ (E, E ) se numeşte variabilă aleatoare (v.a.) dacăpentru orice B ∈ E , X−1(B) ∈ F (16.8)(mai spunem că X este o funcţie F−măsurabilă).Vom numi proces stochastic o familie parametrizată de variabile aleatoare definite pe acest câmp de proba-bilitate. Un proces stochastic discret este o familie X1(ω), X2(ω), . . . , Xn(ω), . . . de variabilele aleatoare.Procesul stochastic se numeşte continuu dacă Xt (ω), t ∈ R+. Dacă ω este fixat, atunci aplicatiat −→ Xt (ω) se va numi traiectoria procesului. In Figura 16.1 sunt desenate traiectoriile pentru 5 valoriale lui ω. Exemple de procese stochastice: procese Markov, martingale, procese Wiener, procese Poisson,

Figura 16.1: Procese Wiener. Figura 16.2: Proces Poisson.procese Lévy etc.Vom numi proces Markov (sau lant Markov) un proces stochastic in care, pentru prezicerea viitorului, doarvaloarea prezenta este relevanta, nu si istoria procesului pana in prezent. Matematic, scriem aceasta pro-prietate utilizand probabilitati conditionate:

P(Xn+1 ∈ An+1 |Xn ∈ An, Xn−1 ∈ An−1, . . . , X0 ∈ A0) = P(Xn+1 ∈ An+1 |Xn ∈ An),pentru orice A0, A1, . . . , An, An+1 ∈ F . Sau, in cazul continuu:P(Xt+h = y |Xs = xs, (∀) s 6 t) = P(Xt+h = y |Xt = xt ), (∀) h > 0.

136

Page 138: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

Anexa [Dr. Iulian Stoleriu]In general, se poate presupune ca preţurile unui activ financiar urmeaza un proces Markov. Se presupuneastfel ca preţul prezent al activului contine toate informatiile despre istoria trecuta. In realitate, suntinvestitori care cauta trasaturi distincte ale preţurilor unor anumite active financiare (patterns). De indatace aceste tendinte vor reapare pe piata, ei vor fi tentati sa investeasca.Definiţia 16.6. (1) Un proces stochastic discret Xnn∈N cu valori reale, cu E[|Xn|] < ∞, se numeştemartingal în raport cu măsura de probabilitate Q dacă

EQ [Xn+p|X0, X1, . . . , Xn] = Xn, pentru orice n, p ∈ N.(2) Un proces continuu Xtt>0, cu E[|Xt |] <∞, se numeşte martingal în raport cu măsura de probabilitateQ dacă

EQ [Xt | Fs] = Xs, pentru orice 0 6 s 6 t.Motivaţia considerării martingalelor poate fi următoarea:Fie Xkk∈N variabile aleatoare independente, cu E(Xk ) = 0 pentru orice k ∈ N, şi fie Sn = n∑

k=1 Xk .Suma Sn poate fi interpretată ca fiind câştigul obţinut până la momentul n într-un joc de noroc. Dorim sădeterminăm valoarea aşteptată a lui Sn+p ştiind istoria S1, S2, . . . , Sn. Valoarea aşteptată este:E[Sn+p |S1, S2, . . . , Sn] = E[X1 + X2 + · · ·+ Xn+p |S1, S2, . . . , Sn]= E[X1 + X2 + · · ·+ Xn |S1, S2, . . . , Sn] ++E[Xn+1 + Xn+2 + · · ·+ Xn+p |S1, S2, . . . , Sn]; (din linearitate)= X1 + X2 + · · ·+ Xn + E[Xn+1 + Xn+2 + · · ·+ Xn+p |S1, S2, . . . , Sn]︸ ︷︷ ︸=0= SnAşadar, valoarea aşteptată pentru Sn+p, ţinând cont de istoria până la n este ultima valoare cunoscută, adică

Sn. Cu alte cuvinte, câştigul viitor aşteptat, în condiţiile în care se cunosc toate câştigurile până în prezenteste chiar valoarea actuală a câştigului.Următorul rezultat este important în Matematicile Financiare, deoarece ne arată cum se schimbă proceselestochastice la o schimbare de măsură.Teorema 16.7. (Teorema lui Girsanov)Considerăm următoarele: un câmp de probabilitate (Ω, F , P), o mişcare Browniană Wt , filtrarea naturalăFt generată de Wt şi procesul stochastic θt adaptat la Ft . Definim următoarea măsură de probabilitate:

P∗(F ) = ∫FLT dP, (∀)t ∈ F ,

undeLt = exp−12

∫ t

0 θ2t dt −

∫ t

0 θtdWt

, t ∈ [0, T ].

Atunci, procesul dW ∗t = θt dt + dWt este o mişcare Browniană în raport cu măsura P∗.Observaţia 16.8. (1) Ştim că Wt ∼ NP (0, T ). Dacă θt = θ = const., atunci W ∗t ∼ NP (θT , T ).(2) Pentru un activ financiar ce valorează St la momentul t , schimbarea de la o piaţă reală la una fără risceste:

dStSt

= µdt + σdWt

= rdt + σ[µ − r

σ dt + dWt]

= rdt + σdW ∗t .

137

Page 139: Matematici Financiare - math.uaic.rostoleriu/MF2015last.pdf · MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en.,

Anexa [Dr. Iulian Stoleriu]17 Bibliograe

Bibliograe

[1] Lawrence C. Evans, An Introduction to Stochastic Differential Equations, note de curs online.[2] John C. Hull, Options, Futures and Other Derivatives, 5th Edition, Prentice Hall (2002).[3] P. Wilmot, S. Howison and J. Dewynne, The Mathematics of Financial Derivatives, A Student Introduction,Cambridge University Press (1995).[4] Desmond Higham, An Introduction to Financial Option Valuation: Mathematics, Stochastics and Com-putation, Cambridge University Press (2004).[5] Iulian Stoleriu, Statistică prin Matlab, Editura MatrixRom, Bucureşti, (2010).[6] http://www.mathworks.com[7] Bernt K. Øksendal, Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Springer, Berlin,ISBN 3-540-04758-1 (2003).[8] Fischer Black and Myron Scholes, The Pricing of Options and Corporate Liabilities, The Journal ofPolitical Economy 81, No. 3, pp. 637-654 (1973).[9] John C. Cox, Stephen A. Ross, and Mark Rubinstein, Option Pricing: A Simplified Approach, Journal ofFinancial Economics 7: 229-263 (1979)[10] S. Shreve, Stochastic Calculus for Finance (vols. I & II), Springer-Verlag, New York, (2003).[11] T. Bjork, Arbitrage Theory in Continuous Time (2nd ed.), Oxford University Press, Oxford, (2004).[12] S. Neftci, An Introduction to the Mathematics of Financial Derivatives (2nd ed.), Academic Press, SanDiego, CA, (2000).[13] H. Markowitz, Porfolio selection, The Journal of Finance, vol. 7, No. 1 (1952).

138