1

ELEMENTE DE MATEMATICI FINANCIARE

1. DOBÂNDA SIMPLĂ 1.1 Definiţii şi relaţii de calcul

Noţiunea de bază în matematicile financiare este dobânda. Dobânda se poate defini în următoarele moduri: a - Dobânda reprezintă suma de bani care este plătită de către debitor unui creditor pentru o anumită sumă de bani pe care debitorul a împrumutat-o de la creditor. b – Dobânda reprezintă suma de bani corespunzătoare plasării sumei )( 0S de către un

partener 1P către un partener 2P pe o durată de timp )(t în anumite condiţii precizate.

Dobânda este direct proporţională cu )( 0S şi )(t .

În sensul general al cuvântului, dobânda reprezintă suma de bani primită pentru un împrumut bănesc. Dobânda unitară (i) – reprezintă suma de bani dată de o unitate monetară pe timp de 1 an. Procentul (p) – reprezintă dobânda obţinută ca urmare a plasării sumei100 unităţi monetare (u.m.) pe timp de 1 an. Relaţiile dintre p şi i sunt:

100

100

pi

ip

=

⋅=

Dobânda simplă (D) – reprezintă dobânda calculată asupra sumei )( 0S pe perioada )(t .

Dobânda simplă se calculează cu relaţia:

1000

0

tpSD

tiSD

⋅⋅=

⋅⋅=

Formula dobânzii conţine patru elemente (D,p,t, 0S ) şi în consecinţă dacă se cunosc trei

dintre acestea se poate determina cel de al patrulea element.

2

Valoarea finală )( tS - reprezintă suma totală obţinută de creditorul care a plasat suma

)( 0S , pe o perioadă )(t cu dobânda iniţială )(i .

)1(0000 tiStiSSDSS t ⋅+=⋅⋅+=+=

Valoarea finală este cunoscută în matematicile financiare şi sub denumirea de valoare revenită sau valoare acumulată . Dacă anul este împărţit în )(k părţi egale şi )( kt este un număr de astfel de părţi pentru

care se calculează dobânda, obţinem:

)1(100

0

00

kt

k

k

tiSS

k

tpStiSD

⋅+=⋅

⋅⋅=⋅⋅=

Dacă: kt - este un număr de zile, atunci k=360 (numărul de zile al anului financiar)

kt - este un număr de luni (luna financiară are 30 zile) atunci k=12

Rezultă că:

1200

)(

12

)(36000

)(

360

)(

00

00

lunitpSlunitiSD

ziletpSziletiSD

⋅⋅=

⋅⋅=

⋅⋅=

⋅⋅=

Scadenţă - perioada (t) pentru care s-a împrumutat o anumită sumă de bani. Să considerăm sumele de bani nSSS ,...,, 21 împrumutate cu acelaşi procent (p) dar care

au respectiv scadenţele nttt ,...,, 21 .

Fie suma de bani (S) Scadenţă comună – timpul (t) în care suma de bani (S) produce aceeaşi dobândă ca şi cele (n) sume cu scadenţele respective. Se calculează cu relaţia:

S

tStStSt nn+++=

...2211

Dacă nSSSS +++= ...21 atunci scadenţa comună dată de relaţia anterioară se numeşte

scadenţă medie. Scadenţa medie se calculează cu relaţia:

3

S

tStStSt nn ⋅++⋅+⋅=

...2211

Procentul mediu de plasament Să considerăm că se împrumută sumele nSSS ,...,, 21 cu scadenţele nttt ,...,, 21 şi respectiv

cu procentele nppp ,...,, 21 .

Se numeşte procent mediu de plasament procentul p cu care trebuie împrumutate sumele nSSS ,...,, 21 cu scadenţele nttt ,...,, 21 pentru a produce aceeaşi dobândă.

Procentul mediu de plasament se calculează cu relaţia:

nn

nnn

tStStS

tpStpStpSp

+++

+++=

...

...

2211

222111

1.2. Aplicaţii 1.Se împrumută suma 0S cu procentul p, iar după t ani se încasează suma tS .

a) Care este valoarea sumei tS dacă ..100000 muS = ,iar 5,2=t ani şi p=8?

b) Cât este durata t dacă ..100000 muS = ,p=10 şi 13000=tS ?

c) Care este valoarea procentului p dacă ..100000 muS = , ..11000 muS t = iar t=4 ani?

2. Se împrumută suma 0S cu procentul p, iar după t ani se încasează suma tS .

a) Care este valoarea sumei tS dacă 30000 =S RON, iar t=3 ani şi p=6?

b) Cât este durata t dacă 30000 =S RON, p=5 şi 4000=tS RON?

c) Care este valoarea procentului p dacă 30000 =S RON, 5000=tS RON, iar t=5

ani? 3. Se împrumută suma 0S cu procentul p, iar după t ani se încasează suma tS .

a) Care este valoarea sumei tS dacă 20000 =S $,iar 2=t ani şi p=5?

b) Cât este durata t dacă 20000 =S $, p=6 şi 5000=tS $

c) Care este valoarea procentului p dacă 40000 =S $, 6000=tS $ iar t=3 ani?

4. Se împrumută sumele: ..50001 muS = , ..70002 muS = , ..20003 muS = , ..10004 muS =

cu acelaşi procent p pe termenele: 21 =t ani, 32 =t ani, 13 =t an, 5,34 =t ani. Să se

calculeze scadenţa medie.

4

5. Se împrumută sumele: RONS 40001 = , RONS 60002 = , RONS 10003 = ,

RONS 50004 = cu acelaşi procent p pe termenele: 11 =t an, 22 =t ani, 33 =t ani,

44 =t ani. Să se calculeze scadenţa medie. 6. Se împrumută sumele: $70001 =S , $60002 =S , $50003 =S , $40004 =S cu acelaşi

procent p pe termenele: 21 =t ani, 32 =t ani, 43 =t ani, 54 =t ani. Să se calculeze

scadenţa medie. 7. Care este procentul mediu de plasament al sumelor: ..10001 muS = ,

..30002 muS = , ..70003 muS = , ..50004 muS = , ..80005 muS = cu scadenţele: 21 =t ani,

12 =t an, 33 =t ani, 24 =t ani, 45 =t ani cu procentele

.6,8,12,5,10 54321 ===== ppppp

8. Care este procentul mediu de plasament al sumelor: RONS 20001 = ,

RONS 30002 = , RONS 40003 = , RONS 50004 = , RONS 60005 = cu scadenţele:

11 =t an, 22 =t ani, 33 =t ani, =4t 4ani, 55 =t ani cu procentele

.15,14,13,12,10 54321 ===== ppppp

9. Care este procentul mediu de plasament al sumelor: $10001 =S ,

$20002 =S , $30003 =S , $40004 =S , $50005 =S cu scadenţele: 31 =t ani, 42 =t ani,

53 =t ani, =4t 6 ani, 75 =t ani .

10. Să se determine scadenţa unei sume de 25000 u.m. care produce o dobândă egală cu suma dobânzilor produse de 3500 u.m. pe timp de 72 zile; 4500 u.m. pe timp de 105 zile; 6000 u.m. pe timp de 124 zile şi 5000 u.m. pe timp de 150 zile. 11. Suma 36000 =S u.m. a fost împrumutată pentru 1 an de zile în regim de dobândă

simplă cu procentele anuale de 5,6,7,8 şi 10% pentru duratele consecutive de 30,45,60, 75 şi respectiv 150 zile. Să se calculeze dobânda corespunzătoare acestui împrumut. 12. Suma 50000 =S RON a fost împrumutată pentru 2 ani de zile în regim de dobândă

simplă cu procentele anuale de 5,6,7,8 şi 9% pentru duratele consecutive de 30,45,60, 75 şi respectiv 510 zile. Să se calculeze dobânda corespunzătoare acestui împrumut.

2 – DOBÂNDA COMPUSĂ

2.1. Definiţii şi relaţii de calcul O sumă de bani este plasată cu dobândă compusă dacă la sfârşitul primei perioade, dobânda simplă a acestei perioade este adăugată la sumă pentru a produce la rândul ei dobândă în perioada următoare.

5

Notaţii: 0S - sumă iniţială

p - procentul

i - dobânda unitară

=100

pi

t - durata de plasament a sumei 0S (t – număr întreg)

tS - durata finală după t perioade

Dacă valoarea sumei plasate 0S se modifică periodic pe durata de timp - t – după o

anumită regulă, iar între două modificări consecutive sumei modificate i se aplică o dobândă simplă atunci vom afirma că s –a realizat un proces de dobândă compusă sau că plasarea sumei 0S s-a efectuat în regim de dobândă compusă. Dacă se împrumută suma 0S cu dobânda p, după 1=t an această sumă devine:

uSiSp

SS ant ⋅=+=

+== 0001 )1(100

1

Notaţie: iu += 1 (Factor de fructificare) Suma finală după – t – ani va fi:

tt

t uSiSS ⋅=+= 00 )1( (Formula de fructificare)

Dobânda compusă va fi pentru t – întreg

)1()1( 0000 −=−+=−= tt

t uSSiSSSD

Suma iniţială depusă va fi:

( )t

ttt vSi

SS ⋅=+

⋅=1

10 (Formula de actualizare)

Notaţie: )1(

1

iv

+= (Factor de actualizare)

Factorii – u – şi – v – se găsesc în tabele financiare pentru diferite procente şi diferite perioade întregi. Dacă t (durata de plasament) a sumei 0S nu este un număr întreg de ani ci este fracţionară

(ani plus trimestre, luni sau zile): k

hnt += , există două soluţii pentru tS .

6

Soluţia raţională:

)1()1(0k

hiiSSS n

k

hn

t ++==+

Soluţia comercială:

k

hn

k

hn

t iSSS+

++== )1(0

2.2. Aplicaţii

1. Ce sumă trebuie să depunem astăzi pentru a încasa peste 3 ani suma de 10000 RON ştiind că dobânda unitară este de 2,5%?

2. Cu ce procent trebuie depusă suma de 3450 RON timp de 8 ani pentru a deveni

5324,45 RON?

3. Să se calculeze valoarea finală a sumei de 10000 RON plasată timp de 8 ani şi 5 luni cu procentul anual de 5%. Se cer soluţia raţională şi soluţia comercială.

4. Se depune la C.E.C. cu dobânda p=5 suma 100000 =S RON. Ce sumă se va

obţine la lichidarea carnetului după 3 ani şi 5 luni? Se cer soluţia raţională şi soluţia comercială.

5. O sumă de 900000 RON este depusă într-un cont cu dobânda anuală de 8%. Care

este suma disponibilă peste 4 zile? Dar peste 3 luni? Dar peste 1 semestru?

6. Ce sumă va ridica o persoană peste 5 ani cu dobândă compusă dacă astăzi depune 500000 RON cu 4%. Care este dobânda obţinută?

3 - DOBÂNDA ANUALĂ EFECTIVĂ

De la începutul anului 2005 a intrat în vigoare legea creditelor de consum. Printre cele mai importante reglementări ale acestei legi intră şi obligativitatea băncilor şi a comercianţilor de a afişa dobânda anuală efectivă, pe scurt D.A.E. Acest parametru reprezintă costul total al creditului la consumator. Articolul 5 al aceleiaşi legi prevede că în orice anunţ publicitar şi în orice ofertă pentru un contract de credit pentru consumatori afişată în localurile comerciale, prin care o persoană declară că acordă un credit sau intermediază încheierea de contracte de credit şi prin care se indică o dobândă sau orice alte cifre referitoare la costul creditului, trebuie să se menţioneze D.A.E. în mod clar şi inteligibil, şi trebuie să se respecte prevederile legale privind publicitatea.

7

Dobânda anuală efectivă (D.A.E.) este calculată pornind de la caracteristicile unui credit şi conţine toate costurile asociate cu împrumutul respectiv, dobânda anuală, costul asigurării, comision analiză dosar. D.A.E. trebuie obligatoriu să fie prezentată în toate ofertele de credit de consum, întrucât permite compararea costurilor suportate de consumator în cazul contractării unui împrumut. Spre exemplu, un credit poate părea în aparenţă mai scump decât un altul, dacă se compară numai dobânda anuală. Pentru a şti cât costă un credit şi pentru a se putea face comparaţii, este necesar să se cunoască D.A.E. pentru fiecare ofertă, deoarece aceasta include tot ce trebuie plătit în plus faţă de dobânda împrumutului. Menţionarea D.A.E. este obligatorie numai pentru ofertele de credit de consum – nevoi personale, bunuri de folosinţă îndelungată, carduri de credit. Pentru creditele imobiliare şi pentru cele destinate persoanelor fizice autorizate sau persoanelor juridice pentru desfăşurarea activităţii nu este obligatorie prezentarea D.A.E. Rata de plată rămâne nemodificată , chiar dacă D.A.E. raportat la vechea dobândă dă impresia unei creşteri a acesteia D.A.E. nu se foloseşte pentru calculul ratelor unui împrumut, ci doar pentru a se face o comparaţie între diversele oferte de credit. Consumatorii de credite trebuie să ştie că aceste produse au costuri şi riscuri asociate . De aceea, condiţiile contractuale trebuie citite cu atenţie. De multe ori ceea ce este scris cu litere mici ascunde lucruri importante, cum ar fi, de exemplu, penalizări practicate la întârzierea ratelor, condiţii de rambursare anticipate şi alte asemenea informaţii pe care de obicei ofiţerii de credit le spun în treacăt sau nici nu le menţionează. Un aspect ce trebuie reţinut este acela că, în general creditele pe perioade lungi sunt dezavantajoase. Afişarea D.A.E. ajută la observarea acestui lucru mai uşor. Unele bănci au redus recent rata anuală a dobânzii la creditele în lei. Cât de ieftine au devenit însă aceste împrumuturi se poate vedea doar după verificarea D.A.E.

3. OPERAŢIUNI DE SCONT

3.1. Definiţii şi relaţii de calcul În general, operaţiunea de scont constă din cumpărarea de către băncile comerciale a unor poliţe înainte de scadenţa acestora, percepând o anumită taxă pentru un astfel de serviciu făcut deţinătorilor acestor documente financiare, iar la scadenţă vor încasa de la creditorul poliţei valoarea integrală a acesteia. O poliţă se cumpără la un moment dat cu preţul sau suma 0S . Aceasta este evaluată cu

procentul de emisiune ip ⋅= 100 şi este scadentă după momentul sau durata θ . Valoarea finală la scadenţă a poliţei, K va fi:

8

aniSK

aniSK

1,)1(

1),1(

0

0

>+=

≤⋅+=

θ

θθθ

Dacă la un moment dat θθ <1 , adică la 1θθ −=t până la scadenţă, poliţa poate fi vândută unei bănci comerciale, atunci poliţa va avea o valoare finală sau curs.

101

101

1101

1,)1(

1),1(1

θ

θ

θθθ

lamomentuliSvaloarealuK

aniSK

aniSK

−

>+=

≤⋅+=

Valoarea scontată a poliţei (adică valoarea actuală la momentul vânzării acesteia; la momentul t−=θθ1 se notează cu .aK Notaţii:

0S - valoarea iniţială a operaţiunii (preţ de cumpărare, valoare de emisiune a poliţei)

p - procent nominal de evaluare sau procent de emisiune a poliţei.

1K - valoarea finală la scontare sau curs al poliţei la data scontării (sau vânzării) acesteia. K - valoarea finală a operaţiunii sau valoarea nominală la scadenţă a poliţei sau capital disponibil sau nominal la scadenţă. q - procent anual, procent de scont al poliţei.

aK - valoarea actuală a poliţei la momentul vânzării acesteia sau valoare scontată sau capital scontat. Se numeşte taxă de scont sau scont diferenţa dintre capitalul nominal K şi capitalul scontat .aK aKKS −= Prin urmare, la momentul θθ <1 ,deţinătorul poliţei va primi din partea băncii comerciale

suma aK , care în general este mai mică decât valoarea finală de fructificare 1K a acesteia, iar banca comercială va încasa la scadenţă suma sau valoarea nominală corespunzătoare .K Există posibilitatea ca banca scontatoare să vândă şi ea poliţa unei alte bănci comerciale sau bănci centrale înainte de scadenţă. Procedeul general de evaluare a poliţei rămâne acelaşi iar operaţiunea se numeşte rescontare. 3.2. Scontul simplu raţional (SSR) Scontul simplu raţional este dobânda dată de aK pe perioada t , cu dobânda unitară j:

9

tj

tjKSSR

tq

tq

K

SSR

tjKK

tj

KK

tjKSSR

a

a

a

⋅+⋅⋅

=

+=

⋅+=

⋅+=

⋅⋅=

1

1001

100

)1(

1

Notaţii:

jq ⋅= 100 - procent de scont (procentul de scont poate fi egal sau diferit de procentul de emisiune al poliţei ip ⋅= 100 ) j - dobânda unitară de scont t - durata scontării, în ani În practică, produsul jt fiind mic se neglijează, adică:

11 ≅⋅+ tj În acest caz obţinem:

tjKSSR ⋅⋅= Orice scont care aproximează scontul raţional se numeşte scont comercial. 3.3. Scontul simplu comercial (SSC) Scontul simplu comercial este dobânda dată de valoarea nominală K , pe perioada t, cu dobânda unitară j:

jt

SSCSSR

tjSSRSSC

jt

KK

jtKK

tjKSSC

a

a

+=

⋅+=

−=

−=

⋅⋅=

1

)1(

1

)1(

10

3.4. Scontul compus Scontul compus este scontul în care calculele se fac în regim de dobândă compusă. Dacă dobânda se aplică asupra valorii aK cu dobânda unitară j, pe perioada t (în regim de dobândă compusă) se obţine scontul compus raţional (SCR). Orice scont care aproximează scontul compus raţional se numeşte scont compus comercial (SCC) Dacă ..1 muK = şi 1=t an se obţine:

j

jSSR

+=1

Scontul unitar sau unitate de scont (d):

j

jd

+=1

Factor de actualizare sau factor de scont (ϑ ):

ϑ

ϑ

−=

+=

1

1

1

d

j

În regim de dobândă compusă se poate scrie relaţia:

ta jKK )1( += Aplicând definiţia scontului compus raţional obţinem scontul compus raţional:

t

a

tt

ta

j

KK

KjKSCR

jKSCR

)1(

)1(])1(1[

]1)1[(

+=

−=+−=

−+=− ϑ

Dezvoltăm în serie de puteri tj)1( + . Obţinem:

...2

)1(1)1( 2 +

−++=+

ttjjtj t

Neglijând termenii de rang superior (mai mari sau egali cu 2) deoarece dobânda unitară este redusă pe piaţa financiară obţinem:

11

jt

Kjt

jtKSCR

+=

+−=

11

11

Având în vedere că orice scont care aproximează scontul compus raţional se numeşte scont compus comercial, obţinem pentru scontul compus comercial relaţia:

)1(

1

jtKK

jt

KK

jtKSCC

a

a

a

+=

+=

=

3.5. Aplicaţii

1. La data de 01.02.2004 a fost cumpărată o poliţă în valoare de 120.000 u.m., având scadenţa 10 luni mai târziu, cu procentul anual de 10%. Din anumite motive posesorul poliţei o prezintă la scontare cu 3 luni înainte de scadenţă. Se cere:

- valoarea nominală a poliţei la scadenţă - valoarea finală a poliţei la momentul scontării - valoarea scontată a poliţei, aplicând atât scontul simplu raţional, cât şi scontul

simplu comercial cu procentele 21 %,8 qq = =10%.

2. La data de 01.01.2005 a fost cumpărată o poliţă în valoare de 100.000 RON, având scadenţa 12 luni mai târziu, cu procentul anual de 12%. Din anumite motive posesorul poliţei o prezintă la scontare cu 6 luni înainte de scadenţă. Se cere:

- valoarea nominală a poliţei la scadenţă - valoarea finală a poliţei la momentul scontării - valoarea scontată a poliţei, aplicând atât scontul simplu raţional, cât şi scontul

simplu comercial cu procentele %.6%,3 21 == qq

3. La data de 01.03.2005 a fost cumpărată o poliţă în valoare de 50.000$, având scadenţa 4 luni mai târziu, cu procentul anual de 11%. Din anumite motive posesorul poliţei o prezintă la scontare cu 5 luni înainte de scadenţă. Se cere: - valoarea nominală a poliţei la scadenţă - valoarea finală a poliţei la momentul scontării - valoarea scontată a poliţei, aplicând atât scontul simplu raţional, cât şi scontul

simplu comercial cu procentele %.8%,4 21 == qq

4. O poliţă are valoarea de emisie de 100.000 u.m. şi este scadentă peste 5 ani, cu procentul de 8%. Dacă scontarea se face cu procentul %81 =q sau %102 =q în regim de scont compus, se cere: - valoarea nominală - cât va primi beneficiarul cu doi ani înainte de scadenţă?

12

5. O poliţă are valoarea de emisie de 75.000 RON şi este scadentă peste 3 ani, cu procentul de 6%. Dacă scontarea se face cu procentul %61 =q sau %122 =q în regim de scont compus, se cere: - valoarea nominală - ce sumă va încasa beneficiarul cu 1 an înainte de scadenţă?

6. O poliţă are valoarea de emisie de 50.000 % şi este scadentă peste 2 ani, cu procentul de 10%. Dacă scontarea se face cu procentul %31 =q sau %52 =q în regim de scont compus, se cere: - valoarea nominală - ce sumă va încasa beneficiarul cu 8 luni înainte de scadenţă?

4. PLĂŢI EŞALONATE

Prin plăţi eşalonate sau rente se înţeleg sumele de bani care se plătesc la intervale egale de timp. Intervalul de timp care separă plata a două sume consecutive se numeşte perioadă şi poate fi: anul, semestrul, trimestrul, luna. Plăţile eşalonate se numesc:

- anuităţi: - dacă se plătesc anual - semestrialităţi: - dacă se plătesc semestrial - trimestrialităţi: - dacă se plătesc trimestrial - mensualităţi: - dacă se plătesc lunar

Plăţile eşalonate pot fi constante sau variabile după cum sumele plătite periodic sunt sau nu constante. Plăţile eşalonate pot fi imediate sau amânate în funcţie de prima plată care poate fi imediată sau amânată după un anumit număr de ani stabilit prin contract. 4.1. Anuităţi constante posticipate Plata eşalonată la sfârşitul fiecărui an în sumă constantă se numeşte anuitate posticipată constantă. Notaţii: T- valoarea anuităţii constante n – numărul de ani i – dobânda unitară anuală

nS - suma finală a unui şir de anuităţi la momentul plăţii ultimei anuităţi.

TiTiTiTS nn

n +++++++= −− )1(...)1()1( 21

13

i

uTS

ui

i

iTS

i

iTS

n

n

n

n

n

n

1

1

1)1(

1)1(

1)1(

−=

=+

−+=

−+−+

=

Dacă 1=T (valoarea anuităţii posticipate este de 1 leu) rezultă că valoarea finală a şirului de anuităţi posticipate este:

i

uiis

nn

n

1)1(...)1(1 1 −

=+++++= −

Rezultă că:

nn sTS ⋅=

kA - valoarea actuală a plăţii T efectuată peste un număr - k – de ani

kki

TA

)1( +=

Dacă peste k ani se plăteşte suma T aceasta echivalează cu plata sumei kA în momentul

de faţă.

nA - suma actuală a şirului de anuităţi în momentul semnării contractului adică cu o

perioadă înaintea primei plăţi.

iTA

ii

iTA

n

n

n

n

n

ϑ−=

+⋅

−+=

1

)1(

11)1(

Dacă 1=T (valoarea anuităţii posticipate este de 1 leu) atunci valoarea actuală a şirului de anuităţi posticipate este:

nn

n

n aTAi

a ⋅=−

= ;1 ϑ

Între valoarea actuală nA a şirului de anuităţi posticipate şi valoarea finală nS a şirului de

anuităţi posticipate există relaţia:

14

nnn

n

ni

Sii

iTA

)1(

1

)1(

11)1(

+=

+⋅

−+=

Relaţia de calcul a valorii actuale a unui şir de anuităţi constante posticipate, temporare, amânate în condiţiile în care prima plată se face după – r – ani, posticipat, adică la momentul 1+r , timp de rn − ani, este:

rn

r

nr

rnr

nr

rn

rnr

aTA

iTA

i

i

i

TA

−

−

−−

⋅⋅=

−=

+−⋅

+=

ϑ

ϑϑ

1

)1(1

)1(

)(

Relaţia de calcul a valorii finale a unui şir de anuităţi constante posticipate, temporare, amânate, în condiţiile în care prima plată se face după r ani, posticipat, adică la momentul

1+r , iar ultima plată la momentul n, timp de n-r ani, este:

rnnr

rn

nr

sTS

i

iTS

−

−

⋅=

−+=

1)1(

Între valoarea actuală nA a şirului de anuităţi constante, posticipate, temporare, amânate

după r ani şi valoarea finală corespunzătoare există relaţiile:

n

nr

rnn

rnr

nr Si

uT

iTA ϑϑ

ϑϑ ⋅=

−=

−⋅=

−− 11

4.2. Aplicaţii

1. Care este valoarea finală a unui şir de 12 anuităţi posticipate a 7000 u.m. la momentul plăţii ultimei anuităţi. Procentul este 5,5%.

2. Care este valoarea finală a unui şir de 10 anuităţi posticipate a 5000 RON la momentul plăţii ultimei anuităţi. Procentul este 6%.

3. Care este valoarea finală a unui şir de 9 anuităţi posticipate a 4000 $ la momentul plăţii ultimei anuităţi. Procentul este 7%.

4. Care este valoarea sumei unice care trebuie depusă imediat pentru a înlocui plata a 12 anuităţi posticipate a 1250 u.m. fiecare cu procentul 5%?

5. Care este valoarea sumei unice care trebuie depusă imediat pentru a înlocui plata a 10 anuităţi posticipate a 1500 RON fiecare cu procentul 6%?

6. Care este valoarea sumei unice care trebuie depusă imediat pentru a înlocui plata a 8 anuităţi posticipate a 1000 $ fiecare cu procentul 8%?

15

4.3. Anuităţi constante anticipate Anuităţile anticipate se fac la începutul anului adică la momentele 0,1,2,…,n-1. Suma finală este evaluată la un an după ultima plată şi se notează cu .anS

i

uuTS

i

iiTS

na

n

na

n

1

1)1()1(

−⋅=

−++=

Pentru 1=T valoarea finală a unui şir de anuităţi anticipate de 1 u.m. este:

a

n

a

n

na

n

sTS

ii

is

⋅=

+−+

= )1(1)1(

Valoarea actuală a unui şir de anuităţi constante, anticipate, imediate, temporare este sume necesară în momentul iniţial pentru a putea plăti la fiecare scadenţă suma fixă T.

i

iiTA

na

n

−+−+=

)1(1)1(

Pentru T=1

a

n

a

n

na

n

aTA

i

iia

⋅=

+−+=

−)1(1)1(

Valoarea actuală a unui şir de anuităţi anticipate, constante, temporare, amânate:

a

rn

ra

nr

rnna

nr

aTA

i

iiTA

−−

−−−−

⋅⋅=

+−⋅+=

1

)()1( )1(1

)1(

ϑ

4.4. Plăţi eşalonate fracţionate Se numeşte plată eşalonată fracţionată constantă, plata eşalonată în care rata anuală T este

împărţită în – k – părţi egale fiecare cu k

Trk = care se plătesc fie la sfârşitul perioadei fie

la începutul perioadei.

16

Dacă plata eşalonată este limitată la – n – ani, atunci plata fracţionată de – k – rate pe an va fi în număr de - nk ⋅ . Valoarea finală a unui şir de plăţi eşalonate temporare, imediate, fracţionate de – k – ori pe ani se calculează cu relaţia:

k

n

k

n

k

nk

n

k

k

k

n

k

k

n

j

isTS

j

i

i

iTS

k

ji

j

k

j

TS

k

⋅⋅=

⋅−+

=

+=+

−

+

=

1)1(

11

11

Valoarea actuală a plăţilor eşalonate posticipate, temporare, imediate, fracţionate de – k – ori pe an se calculează cu relaţia:

k

nn

k

k

nj

iaT

ij

iTA ⋅=

+⋅⋅=

)1(

1

Plăţile eşalonate perpetue posticipate, imediate, fracţionate de k ori pe an se calculează cu relaţia:

kk

k

j

Ta

j

iTA =⋅= ∞∞

Plăţile eşalonate temporare posticipate, amânate, fracţionate de – k – ori pe an se calculează cu relaţia:

rn

kk

rnk

nr sj

iT

j

i

i

iTS −

−

⋅=⋅−+

=1)1(

4.5. Aplicaţii

1. De ce sumă de bani va dispune o persoană care depune timp de 15 ani câte 200 u.m. la sfârşitul fiecărei luni cu un procent de 5 %?

2. De ce sumă de bani va dispune o persoană care depune timp de 10 ani câte 100 RON la sfârşitul fiecărei luni cu un procent de 6 %?

3. De ce sumă de bani va dispune o persoană care depune timp de 8 ani câte 50 $ la sfârşitul fiecărei luni cu un procent de 8 %?

17

5. ÎMPRUMUTURI

5.1. – Definiţii şi relaţii de calcul

Se numeşte împrumut operaţia financiară prin care un partener numit creditor, plasează o sumă de bani, pe o anumită perioadă de timp,în anumite condiţii unui alt partener numit debitor. Operaţiunea prin care debitorul restituie suma creditorului se numeşte rambursare sau amortizare a împrumutului. Un împrumut care nu se mai înapoiază se numeşte împrumut nerambursabil. Sumele rambursate anual care au rolul de a amortiza treptat suma împrumutată se numesc amortismente. 5.1. Amortizarea unui împrumut prin anuităţi constante posticipate Notaţii:

0V - suma împrumutată la momentul iniţial

nTT ,...,1 - anuităţi (rate) succesive. Anuitatea 1T se plăteşte la sfârşitul primului an.

n - durata în ani a rambursării

naa ,...,1 - amortismentele succesive conţinute în prima, a doua şi a n-a anuitate

Tabelul de amortizare a unui împrumut prin anuităţi constante posticipate se prezintă astfel:

Momente Amortizări Dobânda Anuităţi Suma rămasă de plată

0 - - - 0V

1 1Q iVd ⋅= 01 111 dQT += 101 QVV −=

2 2Q iVd ⋅= 12 222 dQT += 212 QVV −=

� � � � � P

pQ iVd pp ⋅= −1 ppp dQT += ppp QVV −= −1

� � � � � n

nQ iVd nn ⋅= −1 nnn dQT += 01 =−= − nnn QVV

Acest tabel este valabil pentru orice lege a anuităţilor pentru care nu s-a formulat nici o ipoteză privind plata acestora.

)1( iQT nn +=

18

Ultima anuitate este egală cu ultimul amortisment la care se adaugă dobânda corespunzătoare. Relaţia între suma împrumutată 0V şi amortismente este:

nQQQV +++= ...210

Suma împrumutată este egală cu suma amortismentelor. Relaţia dintre anuităţi şi amortismente este:

)1(11 iQQTT pppp +−=− ++

5.2. Împrumuturi cu anuităţi constante, plătibile la sfârşitul anului

n

nnn

n

p

p

pp

pp

n

i

iVT

i

TQ

i

TQ

i

iVQ

i

iQV

iQQ

iQQ

TT

TTTT

−

−

+

+

+

+−=

+=

+=

−+=

−+=

+=

+=

=−

====

)1(1

)1(;

1;

1)1(

1)1(

)1(

)1(

0

...

0

2101

10

11

1

1

21

Calculul dobânzilor:

nn QTd

QTd

QTd

−=

−=

−=

�

22

11

Calculul diferenţelor dobânzilor:

)1(132

121

iiQdd

iQdd

+⋅⋅=−

⋅=−

Diferenţele succesive ale dobânzilor formează o progresie geometrică crescătoare având primul termen iQ ⋅1 şi raţia ).1( i+

19

Tabelul de amortizare a unui împrumut cu anuităţi (rate) constante, plătibile le sfârşitul anului (posticipat) se prezintă astfel: Anii Suma

datorată la începutul perioadei

Dobânda Amortismentul Anuitatea Suma datorată la sfârşitul perioadei

1 0V iVd 01 = 1Q 11 QdT += 101 QVV −=

2 1V iVd 12 = 2Q 22 QdT += 212 QVV −=

� � � � � � n-1

2−nV iVd nn 21 −− = 1−nQ 11 −− += nn QdT 121 −−− −= nnn QVV

n 1−nV iVd nn 1−= nQ nn QdT += 0=nV

Aplicaţii

1. Un împrumut de 10.000 u.m. urmează să fie rambursat în 4 ani prin anuităţi constante posticipate cu 5%. Să se întocmească tabelul de amortizare.

2. Un împrumut de 15.000 RON urmează să fie rambursat în 3 ani prin anuităţi constante posticipate cu 6%. Să se întocmească tabelul de amortizare.

3. Un împrumut de 9000 $ urmează să fie rambursat în 4 ani prin anuităţi constante posticipate cu 8%. Să se întocmească tabelul de amortizare.

5.3. Împrumuturi cu anuităţi constante cu dobândă plătită la începutul anului În condiţiile în care se plăteşte la începutul anului dobânda pentru primul an

),( 0 iV ⋅ înseamnă că suma reală împrumutată este iVV ⋅− 00 .

Pentru fiecare din anii care urmează dobânda se calculează asupra sumei rămase de plătit şi se plăteşte odată cu amortismentul. Tabelul de amortizare a unui împrumut cu anuităţi (rate) constante cu dobândă plătită la începutul anului (anticipat) se prezintă astfel:

20

Anii Amortismentele Dobânzi Anuităţi Suma rămasă de plată la sfârşitul

anului 0 - iVd ⋅= 00 - iVV 00 −

1 1Q iVd ⋅= 11 iVQT 111 += 101 QVV −=

2 2Q iVd ⋅= 22 iVQT 222 += 212 QVV −=

� � � � � P

pQ iVd pp ⋅= iVQT ppp += ppp QVV −= −1

� � � � � n

nQ iVd nn ⋅= iVQT nnn += 01 =−= − nnn QVV

Deoarece 0=nV , rezultă că nn QT =

Diferenţa a două anuităţi succesive este:

pppp QiQTT −−=− ++ )1(11

Deoarece anuităţile sunt constante, se poate scrie:

TTTTTT npp ======= + ...... 121

obţinem:

p

p

pi

Q

i

QQ

)1(11

1 −=

−=+

Suma împrumuturilor efectiv este egală cu suma amortismentelor. Rezultă că:

])1(1)[1(

)1(

1

)1(

)1(1

...

01

10

210

n

n

n

n

n

ii

iiVQ

i

i

i

iQV

QQQV

−−−

−=

−⋅

−

−−=

+++=

Aplicaţii

1. Un împrumut de 40.000 u.m. este rambursabil în cinci ani prin anuităţi constante cu dobândă plătibilă la începutul anului cu procent de 5%. Să se întocmească tabelul de amortizare.

21

2. Un împrumut de 30.000 RON este rambursabil în patru ani prin anuităţi constante cu dobândă plătibilă la începutul anului cu procente de 6%. Să se întocmească tabloul de amortizare.

3. Un împrumut de 20.000 $ este rambursabil în trei ani prin anuităţi constante cu dobândă plătibilă la începutul anului cu procente de 4%. Să se întocmească tabloul de amortizare.

5.4. Împrumuturi rambursabile o singură dată Pot exista două cazuri: Cazul I Persoana sau instituţia care a contractat împrumutul 0V plăteşte anual dobânzile aferente

sumei împrumutate 0V urmând ca suma împrumutată să fie plătită după – n – ani la data

expirării contractului de împrumut împreună cu dobânda ultimului an. Dacă dobânzile sunt calculate în condiţiile unei dobânzi unitare – i – se poate scrie: Anul 1: 101 diVT =⋅=

Anul 2: 202 diVT =⋅=

…………………… Anul n: nn dViVVT +=⋅+= 000

Acest mod de rambursare a unui împrumut este utilizat în situaţiile în care suma 0V nu are

o valoare foarte mare. Cazul II Persoana sau instituţia care a contractat împrumutul îşi creează suma împrumutată 0V

prin depuneri periodice la o bancă, timp de – n – ani pe baza dobânzilor unitare 'i . Anuităţile 'T fiind cunoscute se poate scrie: Anul 1: '

0'

1 iVTT ⋅+=

Anul 2: '0

'2 iVTT ⋅+=

……………………… Anul n: '

0' iVTTn ⋅+=

Acest sistem de rambursare se numeşte sistem american. Suma care urmează să fie rambursată după – n – ani se calculează cu relaţia:

n

n iVQ )1(0 +=

22

Pentru pregătirea acestei sume persoana sau instituţia care a contractat împrumutul va depune la sfârşitul fiecărui an la o bancă o anuitate constantă care se calculează cu relaţiile:

1)1(1)1()1(

)1(1 '

'

'

''

0'

'

0'

−+=

−++=

+−=

− nnn

n

n i

iQ

i

iiV

i

iVT

Aplicaţii

1. O persoană împrumută suma de 10.000 u.m. pe care urmează să o ramburseze peste 5 ani împreună cu dobânda calculată cu procent de 4%. Pentru a constitui această sumă persoana depune la sfârşitul fiecărui an o sumă de bani cu procent de 5 %. Care este suma pe care o depune?

2. O instituţie împrumută suma de 20.000 RON pe care urmează să o ramburseze peste 6 ani împreună cu dobânda calculată cu procent de 5%. Pentru a constitui această sumă persoana depune la sfârşitul fiecărui an o sumă da bani cu procent de 7%. Care este suma pe care o depune?

3. O persoană împrumută suma de 5000$ pe care urmează să o ramburseze peste 3 ani împreună cu dobânda calculată cu procent de 5%. Pentru a constitui această sumă persoana depune la sfârşitul fiecărui an o sumă de bani cu procent de 6 %. Care este suma pe care o depune?

5.5. Împrumuturi cu amortismente egale Amortismentele fiind egale se poate scrie relaţia:

QQQQ n ==== ...21

Dar,

QnQQQV n ⋅=+++= ...210

Obţinem:

n

VQ 0=

Anuităţile verifică relaţia:

in

Vi

n

V

n

VTT

iQQTT

pp

pppp

⋅−=+−=−

+−=−

+

++

0001

11

)1(

)1(

Obţinem:

23

iQTin

VTT ppp ⋅−=⋅−=+

01

Tabloul de amortizare a unui împrumut cu amortismente egale se prezintă astfel: Anii Amortismentele Dobânzi Anuităţi Suma rămasă

de plată la sfârşitul anului

1 Q iVd ⋅= 01 11 dQT += QVV −= 01

2 Q iVd ⋅= 12 22 dQT += QVV −= 12

� � � � � P Q iVd pp ⋅= −1 pp dQT += QVV pp −= −1

� � � � � n Q iVd nn ⋅= −1 nn dQT += 0=nV

Aplicaţii

1. O persoană a împrumutat suma de 25.000 u.m. pe care urmează să o ramburseze în 4 ani cu procentul de 5% prin anuităţi posticipate cu amortismente egale. Să se întocmească tabloul de amortizare.

2. O persoană a împrumutat suma de 30.000 RON pe care urmează să o ramburseze în 3 ani cu procentul de 6% prin anuităţi posticipate cu amortismente egale. Să se întocmească tabloul de amortizare.

3. O persoană a împrumutat suma de 40.000 $ pe care urmează să o ramburseze în 4 ani cu procentul de 7% prin anuităţi posticipate cu amortismente egale. Să se întocmească tabloul de amortizare.

ELEMENTE DE MATEMATICI ACTUARIALE

1.DEFINIŢII Riscul reprezintă o problemă de mare importanţă a societăţii contemporane fiind un efect al dezvoltării economice, al degradării mediului înconjurător, al calamităţilor naturale şi al accidentelor. Existenţa oricărui risc atrage necesitatea asigurărilor, care oferă posibilitatea de evitare a riscului sau a consecinţelor nedorite ale acesteia. Sistemul de asigurări se defineşte ca fiind totalitatea instituţiilor care pe baza unor norme şi garanţii oferă persoanelor asigurate posibilitatea recuperării pierderilor provocate de accidente sau calamităţi naturale precum şi surse financiare suplimentare de existenţă în cazul incapacităţii de muncă sau în caz de deces.

24

Sistemele de asigurări presupun existenţa unor fonduri de asigurări. Aceste fonduri se realizează prin vărsăminte financiare ale persoanelor fizice şi ale persoanelor juridice. Din punct de vedere al naturii lor asigurările pot fi:

- obligatorii - facultative

Asigurările obligatorii sunt prevăzute prin lege în timp ce asigurările facultative se realizează pe baza înţelegerii între părţi. În sens general, indiferent de natura lor asigurările pot fi:

- asigurări de persoane - asigurări de bunuri

Asigurările de persoane pot fi:

- asigurări de accidente - asigurări de viaţă

Asigurarea se stabileşte prin lege sau prin contract de asigurare între asigurator şi asigurat. Contractul sau legea de asigurare prevede condiţii de asigurare sau obligaţii precise pentru fiecare parte contractantă. Operaţiile de asigurări presupun probleme de ordin juridic, de ordin tehnic şi de ordin economic. Matematicile actuariale au ca obiect de studiu rezolvarea problemelor de ordin economic referitoare la asigurări. Matematicile actuariale au la bază elemente ale teoriei probabilităţilor şi ale statisticii matematice. Relaţia asigurat – asigurator presupune obligaţia asiguratului de a plăti la termenele stabilite prin lege sau prin contract primele de asigurare asiguratorului, acesta având obligaţia de a plăti suma asigurată la termenul stabilit sau în momentul în care se produce evenimentul (riscul) asigurat. În situaţia asigurărilor de persoane, asiguratul plăteşte primele de asigurare numai cât se află în viaţă sau până la expirarea termenului de asigurare. Primele de asigurare pot fi unice sau periodice. Primele de asigurare unice se plătesc o singură dată pentru tot timpul asigurării, iar primele de asigurare periodice se plătesc anual, trimestrial sau lunar. Prin primă unică de asigurare se înţelege valoarea medie a sumelor plătite de asigurat.

25

2.FUNCŢII BIOMETRICE Valorile primelor de asigurare pentru asigurările de viaţă se stabilesc prin introducerea în calcule ai unor factori reprezentaţi prin diferite constante statistice determinate de societăţile de asigurare. Mortalitatea este unul dintre aceşti factori şi este influenţat de condiţiile de viaţă, vârstă, profesie, sex. Pentru o anumită colectivitate, mortalitatea se determină cu ajutorul unor variabile scalare numite funcţii biometrice. 3. TEOREMA COMPUNERII CONTRACTELOR Dacă A este o asigurare de viaţă compusă din asigurările parţiale nAAA ,...,, 21 iar

nPPP ,...,, 21 sunt primele corespunzătoare asigurărilor parţiale atunci valoarea primei

totale pentru asigurarea de viaţă A este:

nPPPP +++= ...21

Demonstraţie Să notăm cu: X – valoarea actuală a sumelor pe care instituţia de asigurări le va încasa pentru asigurarea A. iX - valoarea actuală a sumelor parţiale care urmează să fie încasate pentru

asigurările parţiale ),...,2,1( niAi =

Sumele se plătesc dacă asiguratul este în viaţă. Primele de asigurare fiind valori medii ale variabilelor aleatoare X, respectiv iX se poate

scrie:

)();...;();(

)(

2211 nn XMPXMPXMP

XMP

===

=

Având în vedere că:

nXXXX +++= ...21

Obţinem:

)(...)()()( 21 nXMXMXMXM +++=

26

Rezultă că:

nPPPP +++= ...21

4. CALCULUL PRIMELOR LA ASIGURĂRILE DE PERSOANE 4.1. Prime nete unice, cu plată unică, în asigurările individuale de supravieţuire Asigurarea se defineşte ca fiind un procedeu de creare a fondului de asigurare prin prima de asigurare în vederea compensării pierderilor provocate de calamităţi şi accidente. Să consideră o populaţie de indivizi de aceeaşi vârstă – x – (ani) pe care o notăm cu

.xM Fie A evenimentul ca o persoană din xM să fie în viaţă la împlinirea vârstei de (x+1)

ani. Probabilitatea de viaţă este probabilitatea evenimentului A. Asigurarea (prima netă unică unitară) prin care asiguratul în vârstă de – x – ani va primi la împlinirea vârstei de (x+n) ani suma de 1 u.m. se calculează cu relaţia:

x

nxx

xI

IVE +⋅=

Se notează cu xD expresia:

x

x

x IVD ⋅=

Obţinem:

x

nx

xD

DE +=

Notaţiile au următoarele semnificaţii:

xE - prima netă unică unitară

xI - funcţia de supravieţuire

V - factor anual de actualizare n - numărul de ani

xD - număr de comutaţie

Numerele de comutaţie xD sunt indicate în tabele financiare.

Prima netă unică (P) pentru suma asigurată )( aS se calculează cu relaţia:

27

xna ESP ⋅=

Aplicaţie: O persoană cu vârsta de x=20 ani încheie o asigurare de supravieţuire pentru n=10 ani, suma asigurată fiind 100000=aS RON. Să se calculeze prima netă unică P, dacă se

cunosc numerele de comutaţie: 33928,492120 =D şi 24269,109830 =D

4.2. Prime nete unice, cu plăţi eşalonate viagere, în asigurările individuale de supravieţuire Anuităţi viagere imediate, nelimitate şi anticipate Se calculează cu relaţia:

x

xA

xD

Na =)(

)(A

xa - reprezintă prima netă unică plătită de un asigurat cu vârsta de x (ani) pentru

asigurarea prin care urmează să primească pe toată durata vieţii sale, la începutul fiecărui an câte 1 u.m. Anuităţi viagere imediate, nelimitate şi posticipate Se calculează cu relaţia:

x

xP

xD

Na 1)( +=

)(Pxa - reprezintă prima netă unică unitară plătită de asigurat în vârstă de x (ani) pentru

asigurarea prin care urmează să primească pe toată durata vieţii sale, la sfârşitul fiecărui an câte 1 u.m. Anuităţi viagere imediate, limitate şi anticipate Se calculează cu relaţia:

x

nxxA

ximD

NNa +−

=)(

)(A

xim a - reprezintă prima netă unică unitară plătită de asiguratul în vârstă de – x – ani

pentru asigurarea prin care urmează să primească în următorii – n – (ani) , la începutul fiecărui an, câte 1 u.m.

28

Anuităţi viagere imediate, limitate şi posticipate Se calculează cu relaţia:

x

nxxP

ximD

NNa 11)( +++ −

=

)(P

xim a - reprezintă prima netă unică unitară plătită de asigurat în vârstă de – x – (ani)

pentru asigurarea prin care urmează să primească în următorii – n – (ani) , la sfârşitul fiecărui an, câte 1 u.m. Anuităţi viagere amânate, nelimitate şi anticipate Se calculează cu relaţia:

x

nxA

xnlD

Na +=)(

)(A

xnl a - reprezintă prima netă unică unitară plătită de asiguratul în vârstă de – x – (ani)

pentru asigurarea prin care urmează să primească, dacă este în viaţă, peste – n – (ani) pe toată durata vieţii sale, la începutul fiecărui an, câte 1 u.m. Anuităţi viagere amânate, nelimitate şi posticipate Se calculează cu relaţia:

x

nxP

xnlD

Na 1)( ++=

)(P

xnl a - reprezintă prima netă unică unitară plătită de asiguratul în vârstă de – x – (ani)

pentru asigurarea prin care urmează să primească, dacă este în viaţă, peste – n – (ani) pe toată durata vieţii sale, la sfârşitul fiecărui an, câte 1 u.m. Anuităţi viagere anticipate, amânate – r – (ani) şi limitate la – n – (ani) Se calculează cu relaţia:

x

nrxrxA

xrlmD

NNa +++ −

=)(

29

)(Axrlm a - reprezintă prima netă unică unitară plătită de asigurat în vârstă de – x – (ani)

pentru asigurarea prin care urmează să primească (dacă este în viaţă) peste – r – (ani) timp de – n – (ani), la începutul fiecărui an, câte 1 u.m. Anuităţi viagere posticipate, amânate – r – (ani) şi limitate la – n – (ani) Se calculează cu relaţia:

x

nrxrxP

xrlmD

NNa 11)( +++++ −

=

)(P

xrlm a - reprezintă prima netă unică unitară plătită de asiguratul în vârstă de – x – (ani)

pentru asigurarea prin care urmează să primească (dacă este în viaţă) peste – r – (ani) timp de – n – (ani), la sfârşitul fiecărui an, câte 1 u.m. Aplicaţie O persoană în vârstă de 40 ani încheie o asigurare prin care urmează ca de la împlinirea vârstei de 60 ani să primească o rentă viageră anuală posticipată de 1000 RON. Cunoscând numerele de comutaţie: 87,980;14,106;36,1520 616140 === NDD , să se

calculeze prima netă unică (P) plătită de asigurat. 4.3. Prime nete unice în asigurările de deces Asigurarea de deces nelimitată Această asigurare este cunoscută şi sub denumirea de asigurare pe viaţă. Se calculează cu relaţia:

x

x

xD

MA =

xA - reprezintă prima netă unică unitară aferentă asigurării cu suma de 1 u.m. plătită

beneficiarului asigurării la mijlocul anului de deces al asiguratului. Asigurarea de deces temporară Această asigurare este cunoscută şi sub denumirea de asigurare de deces limitată. Se calculează cu relaţia:

30

x

nxx

xD

MMA +−

=ln

xAln - reprezintă prima netă unică unitară aferentă asigurării cu suma de 1 u.m. plătită

beneficiarului asigurării la mijlocul anului de deces al asiguratului, dacă acesta decedează în perioada de valabilitate a asigurării (n – ani) În funcţie de modul în care se face plata sumei asigurate, prima netă unică poate fi anticipată sau posticipată. Asigurarea de deces amânată – n – ani Această asigurare se calculează cu relaţia:

x

nx

xnlD

MA +=

xnl A - reprezintă prima netă unică unitară pentru suma asigurată de 1 u.m. plătibilă la

mijlocul anului de deces al asiguratului şi care intră în vigoare peste n – ani. Asigurarea de deces amânată r – ani şi limitată la n –ani Această asigurare se calculează cu relaţia:

x

nrxrx

xrD

MMA +++ −

=ln

Asigurarea de deces nelimitată cu plata la momentul decesului Această asigurare se calculează cu relaţia:

)1ln(

)(

i

iAA P

xx

+=

⋅=

δδ

i – dobânda instantanee

xA - reprezintă prima netă unică unitară pentru suma asigurată de 1 u.m. plătibilă la

momentul decesului asiguratului.

31

Aplicaţie O persoană în vârstă de x=45 ani încheie o asigurare de deces pentru n=10 ani prin care urmaşii săi să primească în cazul decesului său suma 000.10=aS RON.

Cunoscând numerele de comutaţie: .1246,135;2546,745;4569,135;0456,1800 55554545 ==== MDMD

Să se calculeze prima netă unică (P). 4.4 Prime nete unice în asigurările mixte Asigurarea mixtă generală Această asigurare se calculează cu relaţia:

x

nxx

x

nx

xD

MM

D

DPAM ++ −

⋅+⋅= βαln

xPAMln - reprezintă prima netă unică a asigurării mixte pe – n – (ani) prin care instituţia

plăteşte suma de - α - u.m. dacă asiguratul este în viaţă peste – n – ani sau suma de - β - u.m. la decesul asiguratului dacă acesta a survenit înainte de momentul – n. Asigurarea mixtă cu sumă dublă Această asigurare se calculează cu relaţia:

x

xnx

nxD

MDAMD

+= +

,

nxAMD , - reprezintă prima netă unică a asigurării mixte cu sumă dublă prin care instituţia

de asigurări plăteşte suma de 1 u.m. dacă asiguratul este în viaţă peste n – ani sau suma de 1 u.m. la decesul asiguratului dacă acesta a survenit înainte de momentul n, iar în cazul supravieţuirii asiguratului la scadenţa poliţei instituţia de asigurări îi oferă acestuia gratuit o asigurare de deces nelimitată. Asigurarea mixtă cu termen fix Această asigurare se calculează cu relaţia:

iV

VAMF n

nx

+=

=

1

1,

32

nxAMF , - reprezintă prima netă unică a asigurării mixte cu termen fix de n – ani prin care

instituţia de asigurări plăteşte la scadenţa poliţei suma de 1 u.m. dacă asiguratul este în viaţă peste n – ani sau suma de 1 u.m. la decesul asiguratului dacă acesta a survenit înainte de momentul n. Asigurarea mixtă cu termen fix şi sumă dublă Această asigurare se calculează cu relaţia:

x

nxn

nxD

MVAMFD ++=,

nxAMFD , - reprezintă prima netă unică unitară prin care instituţia de asigurări plăteşte

la termenul fix de n – ani 1 u.m. dacă asiguratul este în viaţă şi, ulterior, aceeaşi sumă urmaşilor săi la decesul asiguratului oricând acesta s-ar produce, fără ca asiguratul să mai plătească în plus dacă a supravieţuit termenului contractului. Aplicaţie O persoană având vârsta x=35 ani încheie o asigurare mixtă cu sumă dublă care prevede ca instituţia de asigurări să-i plătească peste n=15 ani suma 5000=α RON dacă este în viaţă sau să plătească urmaşilor săi, la sfârşitul trimestrului în care se va produce decesul său, suma 2500=β RON. Cunoscând numerele de comutaţie:

989;875;4300 503535 === DMD , să se determine prima netă unică (P) plătită de

asigurat.

33

Bibliografie

1. Baciu A. – “Matematici economice şi financiare”, Editura fundaţiei “România de Mâine”, Bucureşti, 2003 2. Grama I.G. – “Asigurări şi reasigurări”, Editura “Europolis”, Constanţa, 2002

3. Matei A. – “Curs de matematici pentru studenţii economişti”, Editura fundaţiei

“România de Mâine”, Bucureşti, 1998 4. Purcaru I. – “Matematici financiare”, Editura “Economică”, Bucureşti, 1998

34