Matematika - FSB Online · 1 Integral Putovi i povrsineˇ Relativni put Deﬁnicija integrala i osnovni teorem Osnovna metoda integriranja Neke osnovne primjene integrala Katedra

Matematika 1Katedra za matematiku, FSB

Zagreb, 2012

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. studenog 2012. 1 / 25

Sadrzaj

Sadrzaj:

1 IntegralPutovi i povrsineRelativni putDefinicija integrala i osnovni teoremOsnovna metoda integriranjaNeke osnovne primjene integrala


Integral Putovi i povrsine

PUTOVI I POVRSINE

Ako se od trenutka t = a do trenutka t = b tijelo giba konstantnombrzinom v , onda ce u tom vremenskom intervalu proci put:

s(b)−s(a) = v(b−a)

∆s = v∆t

s(b) = polozaj u trenutku bs(a) = polozaj u trenutku arazlika polozaja = prijedeni put



PUTOVI I POVRSINE

Ako se od trenutka t = a do trenutka t = b tijelo giba konstantnombrzinom v , onda ce u tom vremenskom intervalu proci put:

s(b)−s(a) = v(b−a)

∆s = v∆t

s(b) = polozaj u trenutku bs(a) = polozaj u trenutku arazlika polozaja = prijedeni put



PUTOVI I POVRSINE

U v − t dijagramu to izgleda ovako:

v

t

∆s

a b

∆t

Prijedeni put u vremenskom intervalu [a,b] prikazan je povrsinomizmedu tog intervala i grafa od v .



Ako se brzina skokovito mjenja vrijedi slicno:v

t∆s1

t1 t2

∆s2

∆s3

∆s4

t3 t4 t5∆t1 ∆t2 ∆t3 ∆t4

v1

v2

v3

v4

s(b)−s(a) =4

∑i=1

vi∆ti ← povrsina ispod grafa nad segmentom [a,b]



Ako se brzina mjenja kontinuirano mozemo ju odozdo i odozgoaproksimirati skokovitim brzinama:

v

ta b

∑j

dj∆tj ≤ s(b)−s(a)≤∑i

gi∆ti

∑j

dj∆tj . . .donja suma

∑i

gi∆ti . . .gornja suma

s(b)−s(a) . . .prijedeni put



Primjer.Brzina auta u razdoblju od jednog sata izgledala je ovako (u km/h)

72≤ v ≤ 81 za 0≤ t ≤ 1/378≤ v ≤ 93 za 1/3≤ t ≤ 2/390≤ v ≤ 99 za 2/3≤ t ≤ 1

Procjenite prijedeni put.



Rjesenje.Donja suma predstavlja procjenu donje mede za prijedeni put:

72 · 13

+ 78 · 13

+ 90 · 13

= 80km.

Gornja suma predstavlja procjenu gornje mede za prijedeni put:

81 · 13

+ 93 · 13

+ 99 · 13

= 91km.


Integral Relativni put

Relativni put

Do sada smo proucavali samo slucajeve za koje je v > 0.Sto kada je v < 0?

Tada je smjer gibanja suprotan. Udaljenost od pocetnog polozaja rasteza v > 0 i pada za v < 0.Formula

s(b)−s(a) =4

∑i=1

vi∆ti

i dalje odreduje razliku polozaja u trenutku b i trenutku a, ali to sadanije ukupni prijedeni put nego relativni put.



Relativni put

Do sada smo proucavali samo slucajeve za koje je v > 0.Sto kada je v < 0?Tada je smjer gibanja suprotan. Udaljenost od pocetnog polozaja rasteza v > 0 i pada za v < 0.Formula

s(b)−s(a) =4

∑i=1

vi∆ti

i dalje odreduje razliku polozaja u trenutku b i trenutku a, ali to sadanije ukupni prijedeni put nego relativni put.



Relativni put

∆s = relativni put

s

U v − t dijagramu: relativni put=relativna povrsina

v

t

v1

v2

v3

+

−

+



I puteve i povrsine aproksimativno racunamo pomocu donjih i gornjihsuma.

Tocna vrijednost je ona koja je tocno izmedu svih donjih i svih gornjihsuma.


Integral Definicija integrala i osnovni teorem

DEFINICIJA INTEGRALA I OSNOVNI TEOREM

Integral funkcije f (x) na intervalu [a,b]

b∫a

f (x)dx

je jedinstven broj (ako takav postoji) koji je smjesten izmedu svihdonjih i svih gornjih suma za funkciju f nad [a,b].

Dakle, povrsine i putovi su primjeri integrala.



DEFINICIJA INTEGRALA I OSNOVNI TEOREM

Integral funkcije f (x) na intervalu [a,b]

b∫a

f (x)dx

je jedinstven broj (ako takav postoji) koji je smjesten izmedu svihdonjih i svih gornjih suma za funkciju f nad [a,b].

Dakle, povrsine i putovi su primjeri integrala.



Primjer.Zapisimo sljedece relativne povrsine kao integrale:

y

x−1 2

y = x2

y

x0 2

2

Rjesenje.2∫−1

x2dx ,2∫

0

2dx




y

x−1 2

y = x2

y

x0 2

2

Rjesenje.2∫−1

x2dx ,2∫

0

2dx




y

x−0.51

y

xπ2

π 3π2

1

Rjesenje.

1∫−0.5

x3dx ,

3π

2∫0

cosxdx




y

x−0.51

y

xπ2

π 3π2

1

Rjesenje.

1∫−0.5

x3dx ,

3π

2∫0

cosxdx



Zadatak.Zapisite sljedece relativne povrsine kao integrale:

y

x−2 2

y = −x2 + 4

4

y

x−4 −2

y = 12x+ 1

1



Zadatak.Zapisite sljedece relativne povrsine kao integrale:

y

x

2

1

y = (x− 1)(x− 2)

2

y

xπ2

π

y = sinx

3π2



Primjer.

Procjenite integral2∫

1

1x

dx gornjom i donjom sumom.



Rjesenje.

y

x1 6

575

85

95

2

y =1

x

1

56

57

5859

2

Gornja suma:

55· 15

+56· 15

+57· 15

+58· 15

+59· 15

=15

+16

+17

+18

+19

= 0.745634921



Rjesenje.

y

x1 6

575

85

95

2

y =1

x

1

56

57

5859

2

Donja suma:

56· 15

+57· 15

+58· 15

+59· 15

+5

10· 15

=16

+17

+18

+19

+1

10= 0.645635



Rjesenje.Dakle

0.645635 <

2∫1

1x

dx < 0.745634921.


Integral Osnovna metoda integriranja

OSNOVNA METODA INTEGRIRANJA

Odredivanje integrala funkcije f na intervalu [a,b] radimo u dva koraka:

1 Nademo antiderivaciju F funkcije f (F ′ = f )

2 Izracunamo F (x)∣∣∣ba

b∫a

f (x)dx = F (x)∣∣∣ba

= F (b)−F (a)



OSNOVNA METODA INTEGRIRANJA

Odredivanje integrala funkcije f na intervalu [a,b] radimo u dva koraka:

1 Nademo antiderivaciju F funkcije f (F ′ = f )

2 Izracunamo F (x)∣∣∣ba

b∫a

f (x)dx = F (x)∣∣∣ba

= F (b)−F (a)



Primjer.Izracunati integral

2∫0

(2u2 + 3√

u)du


π∫0

sinxdx




2∫0

(2u2 + 3√

u)du


π∫0

sinxdx



Vazno je uociti da vrijedi

b∫a

f (x)dx =−a∫

b

f (x)dx

a∫a

f (x)dx = 0

Npr.0∫

2

f (x)dx =−2∫

0

f (x)dx


Integral Neke osnovne primjene integrala

Neke osnovne primjene integrala

Primjer.Kolika je povrsina zelenog podrucja?

y

x−1 1

y = −x2 + 2

y = x2


Integral Neke osnovne primjene integrala

Povrsina nad intervalom [a,b] smjestena izmedu grafova y = f (x) iy = g(x) je

b∫a

(f (x)−g(x))dx

y

x

f(x)−

g(x)

xa b

dx

y = f(x)

y = g(x)


Documents

Matematika - FSB Online · 1 Integral Putovi i povrsineˇ Relativni put Deﬁnicija integrala i osnovni teorem Osnovna metoda integriranja Neke osnovne primjene integrala Katedra