MATEMATIKA EKONOMI & BISNIS

Oleh A. Gustang

SUMBER / REFRENSI- Matematika Ekonomi & BisniaJosep Bintang KalangiPenerbit Salemba Empat-

Matematika BisnisRudy Badruddin, Algifari Penerbit BPFE Yogyakarta

MATERI PERKULIAHAN1. Pendahuluan Sifat-Sifat Matemaika Ekonomi dan Bisnis 2. Konsep Dasar Matematika dan Ekonomi Bisnis Model Ekonomi 3. Macam-macam Fungsi dalam Ekonomi dan Bisnis a. Fungsi Linear b. Fungsi Non Linear c. Fungsi Eksponen 4. Matematika Keuangan

PENDAHULUAN

Matematika = suatu cabang logika dg kerangka sistematis utk mempelajari hubungan kuantitatif antar peubah (variabel) Bedakan: Matematika Murni & Terapan Matematika Murni: lambang2 yg digunakan menyatakan konsep abstrak yg nilainya sesuai definisinya (mis. - 5 < X < 12) Matematika Terapan: lambang2 yg dipakai menyatakan peubah (variabel) yg nilainya sesuai pengamatan di dunia nyata; mis. P = variabel harga, maka P 0

MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNISMatematika Ekonomi dan Bisnis = matematika terapan Ilmu ekonomi fokus ke konsep kuantitatif, menyangkut variabel seperti biaya, harga, upah, permintaan-penawaran, penerimaan-biaya-laba, maka banyak analisis ekonomi menggunakan analisis matematika terapan Hubungan kuantitatif antar variabel ekonomi dipelajari secara empiris=>model matematis Contoh :1. 2.

Konsumsi dg Pendapatan Permintaan (demand) dg Harga

MODEL EKONOMIModel Ekonomi = Penyederhanaan hubungan antara variabel-variabel ekonomi. Model Ekonomi dapat berbentuk model matematika dan non-matematika. Apabila berbentuk model matematika, maka akan terdiri atas satu atau sekumpulan persamaan. Persamaan terdiri atas sejumlah variabel, konstanta, koefisien, dan/atau parameter.

VARIABEL, KONSTANTA, KOEFISIEN, DAN PARAMETERVariabel adalah sesuatu yang nilainya dapat berubahubah dalam suatu masalah tertentu. Misalnya; Harga (Price) = P; Jumlah yg diminta/ditawarkan (Quantity) = Q; Biaya (Cost) = C; Penerimaan (Revenue) = R; Investasi (Investment) = I; Tingkat Bunga (Interest Rate) = I dll. Variabel terdiri dari; Variabel Endogen = suatu variabel yg nilai penyelesaiannya diperoleh dari dalam model; Variabel Eksogen = suatu variabel yang nilai-nilainya diperoleh dari luar model, atau sudah ditentukan berdasarkan data yang ada.

Konstanta adalah suatu bilangan nyata tunggal yang nilainya tidak berubah-ubah dalam suatu masalah tertentu. Koefisien adalah angka pengali konstan terhadap varabelnya. (Misal 5R; 4P; atau 0.3C) Parameter adalah suatu nilai tertentu dalam suatu masalah tertentu dan mungkin akan menjadi nilai yang lain pada suatu masalah yang lainnya. (Biasanya dilambangkan dg huruf awal abjad yunani atau Arab, Misalnya , , dan atau a, b dan c.

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAANPersamaan adalah pernyataan bahwa dua lambang adalah sama. disimbolkan dengan tanda = (baca sama dengan), sedangkan Pertidaksamaan adalah suatu pernyataan yang menyatakan bahwa dua lambang adalah tidak sama. Disimbolkan dengan tanda < (baca lebih kecil) atau > (baca: lebih besar)

Persamaan dalam Matematika Ekonomi dan Bisnis terdiri dari Tiga Macam, yaitu: 1. Persamaan Definisi (Identity, =) adalah suatu bentuk kesamaan di antara dua pernyataan yang mempunyai arti yang sama. 2. Persamaan Perilaku (behaioral equation) adalah suatu persamaan yg menunjukkan bahwa perubahan perilaku suatu variabel sebagai akibat dari perubahan variabel lainnya yg ada hubungannya. 3. Kondisi Keseimbangan adalah suatu persamaan yg menggambarkan persyaratan untuk pencapaian keseimbangan (equilibrium). Misalnya; Qd = Qs ; S = I

SISTEM BILANGAN NYATABilangan NyataBilangan Rasional Bilangan Irasional

Bilangan BulatBilangan Negatif

Bilangan PecahBilangan Positif

Nol

Bilangan Rasional adalah bilangan yang angka desimalnya berakhir dengan nol atau berulang. (misalnya; 5/1 = 5,00; 1/3 = 0,333 Bilangan Irasional adalah bilangan yang angka desimalnya tidak berakhir dengan nol atau tidak berulang. (misalnya; 2 = 1,41423 )

KONSEP DAN TEORI HIMPUNANKonsep Himpunan adalah suatu konsep yg paling mendasar bagi ilmu matematika modern pada umumnya dan dibidang ilmu ekonomi dan bisnis pada khususnya. Karena dalam bidang ekonomi dan bisnis terutama dalam hal pembentukan model kita harus menggunakan sehimpunan/sekelompok data observasi dari lapangan.

DEFINISI DAN PENULISAN HIMPUNANHimpunan adalah kelompok dari objek-objek yang berbeda. Objek-objek dalam himpunan disebut elemen himpunan. Penulisan himpunan ada 2 cara, yaitu; 1. Dengan mendaftarkan satu per satu. Misal; S adalah himpunan dari bilangan bulat positif dari 1 sampai 5, dapat ditulis menjadi. S = {1,2,3,4,5}. 2. Dengan cara deskriptif. Misal; B adalah suatu himpunan dari semua bilangan bulaty positif, dapat ditulis menjadi; B = {x|x bilangan bulat positif}

OPERASI HIMPUNANGabungan (Union) notasi U Irisan(Intersection) notasi Selisih notasi (-) Himpunan Bagian (subset) notasi Pelengkap(complement) misal Him. AC

BEBERAPA NOTASI HIMPUNANa A berarti a anggota him A a A berarti a bukan anggota him A

notasi untuk himpunan kosong atau { }

KAIDAH MATEMATIKA DLM HIMPUNAN

Idempoten

AA=A Asosiatif KomutatifAB=B A Distributif

AUA=A

(A B) C = A (B C)

AU(B C) = (AUB) (AUC)

Identitas AU = A AUS = S Kelengkapan A U Ac = S (Ac)c = A De Morgan (AUB)c = Ac Bc

FUNGSIPenerapan fungsi dalam ekonomi dan bisnis merupakan salah satu bagian yang sangat penting untuk dipelajari, karena model-model ekonomi yang berbentuk matematika biasanya dinyatakan dengan fungsi. Fungsi dalam matematika menyatakan suatu hubungan formal di antara dua himpunan data. Jika himpunan data tersebut adalah variabel, maka fungsi dapat dikatakan sebagai hubungan antara dua variabel.

Fungsi adalah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan variabel lain. Sebuah fungsi dibentuk oleh beberapa unsur yaitu: variabel, koefisien, dan konstanta. Variabel dan koefisien senantiasa terdapat dalam setiap fungsi. Variabel adalah unsur pembentuk fungsi yang mencerminkan atau mewakili faktor (data) tertentu, dilambangkan dengan huruf-huruf latin. Berdasarkan kedudukan atau sifatnya, di dalam setiap fungsi terdapat dua macam variabel yaitu variabel bebas (independent variable) dan variabel terikat (dependent variable). Variabel bebas adalah variabel yang nilainya tidak tergantung pada variabel lain, sedangkan variabel terikat adalah variabel yang nilainya tergantung pada variabel lain.

Koefisien adalah bilangan atau angka yang terkait pada dan terletak di depan suatu variabel dalam sebuah fungsi. Konstanta adalah bilangan atau angka yang (kadang-kadang) turut membentuk sebuah fungsi tetapi berdiri sendiri sebagai bilangan (tidak terkait pada suatu variabel tertentu). y = 5 + 0,8x y : variabel terikat x : variabel bebas 0,8 : koefisien variabel x 5 : konstanta Sedangkan notasi sebuah fungsi secara umum adalah: y = f(x)

FUNGSI LINIERFungsi linier adalah fungsi yang paling sederhana karena hanya mempunyai satu variabel bebas dan berpangkat satu pada variabel bebas tersebut, sehingga sering disebut sebagai fungsi berderajad satu. Bentuk umum persamaan linier adalah: y = a + bx; dimana a adalah konstanta dan b adalah koefisien (b0). Atau sering dinyatakan dalam bentuk implisit berikut: Ax + By + C = 0

A. KEMIRINGAN DAN PENGGAL GARISSesuai dengan namanya fungsi linier jika digambarkan pada koordinat cartesius akan berbentuk garis lurus (linier). Kemiringan pada setiap titik yang terletak pada garis lurus tersebut adalah sama. Hal ini ditunjukkan oleh koefisien b pada persamaan y = a + bx. Koefisien ini untuk mengukur perubahan nilai variabel terikat y sebagai akibat dari perubahan variabel bebas x sebesar satu unit. Sedangkan a adalah penggal garis pada sumbu vertikal (sumbu y). Penggal a mencerminkan nilai y pada kedudukan x = 0. Kemiringan (slope) dari fungsi linier adalah sama dengan perubahan variabel terikat x dibagi dengan perubahan dalam variabel bebas y. Kemiringan juga disebut gradien yang dilambangkan dengan huruf m. Jadi: Kemiringan = m =

Sebagai contoh, y = 15 2x, kemiringannya adalah 2. Ini berarti bahwa untuk setiap kenaikkan satu unit variabel x akan menurunkan 2 unit variabel y.

MENENTUKAN PERSAMAAN GARISSebuah persamaan linier dapat dibentuk melalui beberapa macam cara, antara lain: (1) metode dua titik dan (2) metode satu titik dan satu kemiringan. 1. Metode Dua Titik Apabila diketahui dua titik A dan B dengan koordinat masing-masing (x1, y1) dan (x2, y2), maka rumus persamaan liniernya adalah:

misal diketahui titik A (2,3) dan titik B (6,5), maka persamaan liniernya adalah:

4y 12 = 2x 4 4y = 2x + 8 Y = 0,5x + 2

2. Metode Satu Titik dan Satu Kemiringan Dari sebuah titik A (x1, y1) dan suatu kemiringan (m)dapat dibentuk sebuah persamaan linier dengan rumus sebagai berikut; y y1 = m (x x1) Misal diketahui titik A (2,3) dan kemiringan m=0,5 maka persamaan liniernya adalah: y y1 = m (x x1) y 3 = 0,5(x 2) Y 3 = 0,5x 1 Y = 0,5x + 2

HUBUNGAN DUA GARIS LURUSDua buah garis lurus mempunyai empat macam kemungkinan bentuk hubungan berimpit, sejajar, berpotongan dan tegak lurus.

a. Berimpit

b. Sejajar

c. Berpotongan

d. Tegak lurus

Berimpit, dua buah garis akan berimpit apabila persamaan garis yang satu merupakan kelipatan dari (proporsional terhadap) persamaan garis yang lain. Sejajar, dua buah garis akan sejajar apabila kemiringan garis yang satu sama dengankemiringan garis yang lain (m1 = m2). Berpotongan, dua buah garis akan berpotongan apabila kemiringan garis yang satu tidak sama dengan kemiringan garis yang lain (m1 ?m2). Tegak lurus, dua garis akan saling tegak lurus apabila kemiringan garis yang satu merupakan kebalikan dari kemiringan garis yang lain dengan tanda yang berlawanan (m1 = - 1/m2). Atau nilai perkalian kemiringannya menghasilkan 1 (m1 x m2 = -1).

LATIHAN:1. Carilah kemiringan dan titik potong sumbu y pada persamaan garis berikut ini: a. 3x 2y + 12 = 0 b. 2x 5y 10 = 0 c. 4x 6y = 10 2. Untuk setiap pasangan titik-titik koordinat berikut carilah persamaan garis lurusnya: a. (3,5) dan (10,2) b. (-6,-4) dan (10,8) 3. Untuk setiap pasangan titik koordinat dan kemiringan (m) berikut ini tentukan persamaan garis lurusnya: a. (2,6), m = 0,4 b. (5,8), m = -1,6 4. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier berikut dengan metode eliminasi: a. 2x 3y = 5 dan 3x 2y = -4 b. 4x + 3y = 16 dan x 2y = 4 5. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier berikut dengan metode substitusi: a. x y = 2 dan 2x + 3y = 9 b. x y = -1 dan 3x + 2y = 12 6. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier berikut dengan metode determinan: a. x + y = 5 dan 2x + 3y = 12 b. 2x 3y = 13 dan 4x + y = 15

SISTEM PERSAMAAN LINIERPenyelesaian suatu sistem persamaan linier adalah suatu himpunan nilai yang memenuhi secara serentak (simultan) semua persamaanpersamaan dari sistem tersebut. Atau secara sederhana penyelesaian sistem persamaan linier adalah menentukan titik potong dari dua persamaan linier. Ada tiga cara yang dapat digunakan untuk penyelesaian suatu sistem persamaan linier, yaitu: (1). Metode Substitusi, (2). Metode Eliminasi, dan (3). Metode Determinan.

METODE SUBSTITUSIMisal: carilah nilai variabel x dan y dari dua persamaan berikut: 2x+3y=21 dan x+4y=23 ? Jawab: Salah satu persamaan dirubah dahulu menjadi y = ... atau x = .... Misal persamaan x+4y=23 dirubah menjadi x=23-4y. Kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan yang satu. x = 23-4y 2x + 3y = 21 2(23-4y) + 3y = 21 46 8y + 3y = 21 46 5y = 21 25 = 5y y=5 Untuk mendapatkan nilai x, substitusikan y = 5 ke dalam salah satu persamaan. y = 5 2x + 3y = 21 2x + 3(5) = 21 2x + 15 = 21 2x = 21 15 x = 6/2 x=3 Jadi himpunan penyelesaian yang memenuhi kedua persamaan tersebut adalah himpunan pasangan (3,5)

METODE ELIMINASIMisal: carilah nilai variabel x dan y dari dua persamaan berikut: 3x2y=7 dan 2x+4y=10 ? Jawab: Misal variabel yang hendak dieliminasi adalah y 3x - 2y = 7 |x 2| 6x 4y = 14 2x + 4y = 10 |x 1| 2x + 4y = 10 + 8x + 0 = 24 x =3 Untuk mendapatkan nilai y, substitusikan x = 3 ke dalam salah satu persamaan. x = 3 3(3) - 2y = 7 -2y = 7 9 2y = 2 y=1 Jadi himpunan penyelesaian yang memenuhi kedua persamaan tersebut adalah himpunan pasangan (3,1)

METODE DETERMINAN ax + by = c dx + ey = f Nilai x adalah: x = Nilai y adalah; y = Misal persamaan pada soal sebelumnya yaitu 3x-2y=7 dan 2x+4y=10 akandiselesaikan dengan cara determinan:

Nilai x adalah: x =

Nilai y adalah; y =

Jadi himpunan penyelesaian yang memenuhi kedua persamaan tersebut adalah himpunan pasangan (3,1)

PENERAPAN FUNGSI LINIERFungsi linier adalah suatu fungsi yang sangat sering digunakan oleh para ahli elonomi dan bisnis dalam menganalisa dan memecahkan masalah-masalah ekonomi. Hal ini dikarenakan bahwa kebanyakan masalah ekonomi dan bisnis dapat disederhanakan atau diterjemahkan ke dalam model yang berbentuk linier. Beberapa penerapan fungsi linier dalam bidang ekonomi dan bisnis adalah: a. Fungsi permintaan, fungsi penawaran dan keseimbangan pasar b. Keseimbangan Pasar Dua Macam Produk c. Pengaruh Pajak dan Subsidi Terhadap Keseimbangan Pasar. d. Fungsi biaya, fungsi pendapatan dan analisis Pulang Pokok (BEP=Break Even Point) e. Fungsi Konsumsi dan Tabungan f. Model Penentuan Pendapatan Nasional

FUNGSI PERMINTAAN, FUNGSI PENAWARAN DAN KESEIMBANGAN PASARFUNGSI PERMINTAAN Fungsi permintaan menunjukkan hubungan antara jumlah produk yang diminta oleh konsumen dengan harga produk. Di dalam teori ekonomi dijelaskan bahwa jika harga naik maka jumlah barang yang diminta turun, demikian juga sebaliknya bahwa jika harga turun maka jumlah barang yang diminta naik, sehingga grafik fungsi permintaan mempunyai slope negatif (miring ke kiri) Notasi fungsi permintaan akan barang x adalah: Qx = f (Px) Qx = a b Px Atau Px =a/b 1/b Qx dimana: Qx = Jumlah produk x yang diminta Px = Harga produk x a dan b = parameter

KURVA PERMINTAAN1210 8 Qd = a - bPx 6 4 P

20

0

5

10 Q

15

20

FUNGSI PENAWARAN

Fungsi penawaran menunjukkan hubungan antara jumlah produk yang ditawarkan oleh produsen untuk dijual dengan harga produk. Di dalam teori ekonomi dijelaskan bahwa jika harga naik maka jumlah barang yang ditawarkan bertambah, demikian juga sebaliknya bahwa jika harga turun maka jumlah barang yang ditawarkan turun, sehingga grafik fungsi permintaan mempunyai slope positif (miring ke kanan) Notasi fungsi penawaran akan barang x adalah: Qx = f (Px) Qx = -a + b Px Atau Px = a/b + 1/b Qx dimana: Qx = Jumlah produk x yang ditawarkan Px = Harga produk x a dan b = parameter Contoh: Fungsi pernawaran P = 3 + 0,5Q

KURVA PENAWARANP12 10

86 P

42

00 1 2 3 4 5 6

KESEIMBANGAN PASAR Pasar suatu macam barang dikatakan berada dalam keseimbangan (equilibrium) apabila jumlah barang yang diminta di pasar tersebut sama dengan jumlah barang yang ditawarkan. Secara matematik dan grafik ditunjukan oleh kesamaan: Qd = Qs atau Pd = Ps yaitu perpotongan kurva permintaan dengan kurva penawaran.

KURVA KESEIMBANGAN PASARY-Values12 10

86 Y-Values

42

00 2 4 6 8 10 12

B. KESEIMBANGAN PASAR DUA MACAM PRODUKDi pasar terkadang permintaan suatu barang dipengaruhi oleh permintaan barang. Ini bisa terjadi pada dua macam produk atau lebih yang berhubungan secara substitusi (produk pengganti) atau secara komplementer (produk pelengkap). Produk substitusi misalnya: beras dengan gandum, minyak tanah dengan gas elpiji, dan lain-lain. Sedangkan produk komplementer misalnya: teh dengan gula, semen dengan pasir, dan lain sebagainya. Dalam pembahasan ini dibatasi interaksi dua macam produk saja. Secara matematis fungsi permintaan dan fungsi penawaran produk yang beinteraksi mempunyai dua variabel bebas. Kedua variabel bebas yang mempengaruhi jumlah jumlah yang diminta dan jumlah yang ditawarkan adalah (1) harga produk itu sendiri, dan (2) harga produk lain yang saling berhubungan.

Notasi fungsi permintaan menjadi: Qdx = ao a1Px + a2Py Qdy = bo + b1Px - b2Py Sedangkan fungsi penawarannya: Qsx = -mo + m1Px + m2Py Qsy = -no + n1Px + n2Py

Dimana:

Qdx = Jumlah yang diminta dari produk X Qdy = Jumlah yang diminta dari produk Y Qsx = Jumlah yang ditawarkan dari produk X Qsy = Jumlah yang ditawarkan dari produk Y Px = Harga produk X Py = Harga produk Y a0, b0, m0, dan n0 adalah konstanta. Syarat keseimbangan pasar dicapai jika: Qsx = Qdx dan Qsy = Qdy

CONTOH: Diketahui fungsi permintaan dan fungsi penawaran dari dua macam produk yang mempunyai hubungan substitusi sebagai berikut: Qdx = 5- 2Px + Py Qdy = 6 + Px - Py Dan Qsx = -5 + 4Px - Py Qsy = -4 - Px + 3Py Carilah harga dan jumlah keseimbangan pasar !

PENGARUH PAJAK DAN SUBSIDI PADA KESEIMBANGAN PASAR

Adanya pajak yang dikenakan pemerintah atas penjualan suatu barang akan menyebabkan produsen menaikkan harga jual barang tersebut sebesar tarif pajak per unit (t), sehingga fungsi penawarannya akan berubah yang pada akhirnya keseimbangan pasar akan berubah pula. Fungsi penawaran setelah pajak menjadi: Ps = f(Q) + t atau Qs = f(P - t)

CONTOH:Fungsi permintaan suatu produk ditunjukkan oleh P=15-Q dan fungsi penawaran P=0,5Q+3. Terhadap produk ini pemerintah mengenakan pajak sebesar Rp 3 per unir. a. Berapa harga dan jumlah keseimbangan pasar sebelum dan sesudah kena pajak ? b. Berapa besar pajak per unit yang ditanggung oleh konsumen ? c. Berapa besar pajak per unit yang ditanggung oleh produsen ? d. Berapa besar penerimaan pajak total oleh pemerintah ?

SUBSIDIAdanya subsidi yang diberikan pemerintah atas penjualan suatu barang akan menyebabkan produsen menurunkan harga jual barang tersebut sebesar subsidi per unit (s), sehingga fungsi penawarannya akan berubah yang pada akhirnya keseimbangan pasar akan berubah pula. Fungsi penawaran setelah subsidi menjadi: Ps = f(Q) - s atau Qs = f(P + s)

ANALISIS PULANG POKOK

Pulang Pokok (Break Even); Apabila penerimaan total dari hasil penjualan produk sama dengan biaya total yang dikeluarkan perusahaan. TR = TC TR = P.Q dan TC = FC + VQ Dimana;

FUNGSI KONSUMSI DAN TABUNGAN

Fungsi Konsumsi; C = a + bYd

Dimana; C = Konsumsi Yd = Pendapatan Yg dapat dibelanjakan a = Konsumsi dasar tertentu yg tidak tergantung pada pendapatan b = Kecenderungan konsumsi marginal (MPC) Fungsi Tabungan; S = -a + (1-b)Yd Dimana; S = Tabungan a = Pendapatan Yg dapat dibelanjakan Yd = Pendapatan Yg dapat dibelanjakan (1-b) = Kecenderungan konsumsi marginal (MPC)

FUNGSI NON LINEAR1.

Fungsi Kuadrat Y = f(X) = aX2 + bX + c Dimana; Y = Variabel Terikat X = Variabel Bebas a, b, dan c = konstanta, dan a 0 Koordinat titik puncak dari suatu parabola dapat diperoleh dengan rumus;

RUMUS KUADRAT

MACAM-MACAM PARABOLA1.

2.

3.

4.

5.

6.

Jika a > 0 dan D > 0, maka parabola akan terbuka keatas dan memotong sumbu X di dua titik yg berlainan. Jika a > 0 dan D = 0, maka parabola akan terbuka keatas dan menyinggung sumbu X di dua titik yg berimpit. Jika a > 0 dan D < 0, maka parabola akan terbuka keatas dan tidak memotong maupun menyinggung sumbu X. Jika a < 0 dan D > 0, maka parabola akan terbuka kebawah dan memotong sumbu X di dua titik yg berlainan. Jika a < 0 dan D = 0, maka parabola akan terbuka kebawah dan menyinggung sumbu X di dua titik yg berimpit. Jika a < 0 dan D < 0, maka parabola akan terbuka

BENTUK LAIN FUNGSI KUADRATX = f(Y) = aY2 + bY + c Kurvanya Parabola Horizontal Koordinat titik puncak Parabola adalah;

2. FUNGSI PANGKAT TIGA (F. KUBIK)

Y = a0 + a1X + a2X2 + a3X3Dimana a3 0

3. FUNGSI RASIONAL

Bentuk Umum;

PENERAPAN FUNGSI NONLINEAR1.

FUNGSI PERMINTAAN; A. Fungsi Kuadrat;

P = c + bQ aQ2 atauQ = c + bP aP2 B. Fungsi Rasional;

2. FUNGSI PENAWARANBentuk Umum; P = c + bQ + aQ2 atau Q = c + bP + aP2