DIKTAT BAHAN AJAR

MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS

Oleh :

BIDA SARI, SP, MSi

( NIDN : 0317047302)

Program Studi Akuntansi Fakultas Ekonomi

Universitas Persada Indonesia Y.A.I

JAKARTA

2014

KATA PENGANTAR

Konsep-konsep matematika menjadi alat analisis yang penting dalam ilmu

ekonomi. Matematika dapat menyederhanakan penyajian dan pemahaman masalah-

masalah ekonomi. Matematika Ekonomi dan Bisnis bertujuan memberikan pengertian

yang lebih mendalam tentang konsep-konsep dasar ilmu ekonomi dengan menerapkan

matematika dalam bahasan-bahasannya.

Diktat bahan ajar ini berisi uaraian, contoh-contoh soal dan latihan mengenai

penerapan konsep-konsep matematika dalam bidang bisnis dan ekonomi. Materi disusun

berdasarkan Satuan Acara Perkulihaan (SAP) mata kuliah matematika ekonomi dan

bisnis selama satu semester pada fakultas ekonomi dan bisnis, sekolah tinggi ekonomi

dan akademi yang mengajarkan ilmu yang berkaitan dengan bidang ekonomi dan bisnis.

Penyajian setiap bab diawali dengan model-model matematika murni, disusul dengan

penjelasan ringkas tentang logika dari konsep-konsep ekonomi yang menerapakan model

tersebut, kemudian penerapan model matematika itu sendiri dalam konsep ekonomi yang

bersangkutan beserta contoh-contoh praktisnya.

Diktat ini disusun sedemikian rupa agar dapat dipahami dengan mudah oleh

mahasiswa dan dapat bermanfaat sebagai pelengkap acuan terutama bagi mahasiswa yang

mengambil mata kuliah matematika ekonomi dan bisnis.

Akhirnya, penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah

membantu secara langsung maupun tidak langsung hingga tersusunnya diktat bahan ajar

ini. Semoga buku diktat ini dapat bermanfaat dan kritik serta saran-saran bagi perbaikan

kedepannya sangat diharapkan.

Jakarta, September 2014

P e n u l i s

DAFTAR ISI

Halaman

KATA PENGANTAR …………………………………………………………… ii

DAFTAR ISI ……………………………………………………………………... iii

BAB 1. FUNGSI ………………………………………………………….. 1

1.1. Pengertian dan Unsur-unsur Fungsi ……………………..... 1

1.2. Unsur – Unsur Fungsi ……………………………………… 1

1.1. Jenis-jenis Fungsi …………………………………………… 2

BAB 2. FUNGSI LINEAR ………………………………………………. 4

2.1. Pengertian Fungsi Linear …………………………………... 4

2.2. Pembentukan Fungsi Linear ………………………………. 5

2.3. Penggambaran Fungsi Linear ……………………………... 7

2.4. Grafik danArah Garis Fungsi Linear …………………….. 7

2.5. Hubungan Dua Garis Fungsi ………………………………. 8

2.6. Penerapan Pada Ekonomi ………………………………….. 9

2.6.1. Fungsi Permintaan, Fungsi Penawaran dan

Keseimbangan Pasar ………………………………… 9

2.6.2. Pengaruh Pajak terhadap Keseimbangan Pasar ….. 11

2.6.3. Pengaruh Subsidi terhadap Keseimbangan Pasar ... 12

2.6.4. Fungsi Biaya ………………………………………..... 14

2.6.5. Fungsi Penerimaan ………………………………….. 16

2.6.6. Perhitungan Laba dan Analisis Pulang Pokok ……. 17

2.6.7. Fungsi Anggaran …………………………………… 18

2.6.8. Fungsi Konsumsi-Tabungan, dan Multiplier ……… 19

BAB 3. FUNGSI KUADRAT …………………………………………… 22

3.1. Pengertian Fungsi Kuadrat ………………………………… 22

3.2. Sumbu Simetri dan Titik Ekstrim .………………………… 22

3.3. Formula Umum dan Grafik Fungsi Kuadrat ……………... 22

3.4. Penerapan Pada Ekonomi ………………………………….. 26

3.4.1. Fungsi Permintaan, Fungsi Penawaran dan

Keseimbangan Pasar ………………………………... 26

3.4.2. Pengaruh Pajak terhadap Keseimbangan Pasar ….. 27

3.4.3. Pengaruh Subsidi terhadap Keseimbangan Pasar ... 28

3.4.4. Fungsi Biaya ………………………………………..... 29

3.4.5. Fungsi Penerimaan ………………………………….. 31

3.4.6. Perhitungan Laba dan Analisis Pulang Pokok ……. 33

3.4.7. Fungsi Utilitas ………………………………………... 34

3.4.8. Fungsi Produksi ……………………………………… 35

3.5. Soal-Soal Latihan ……………………………………………. 36

BAB 4. DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA ……………………… 38

4.1. Kuosien Diferensi Dan Derivatif …………………………... 38

4.2. Kaidah-kaidah Deferensiasi ……………………………….. 39

4.3. Derivatif dari Derivatif ……………………………….......... 41

4.4. Hubungan Antara Fungsi dan Derivatifnya………………. 42

4.5. Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun……………………… 42

4.6. Titik Ekstrim: Maksimum, Minimum dan Titik Belok ...... 43

4.7. Penerapan Pada Ekonomi ………………………………….. 44

4.7.1. Elastisitas …………………………………………….. 44

4.7.2. Biaya Marjinal ……………………………………..... 46

4.7.3. Penerimaan Marjinal ………………………………… 46

4.7.4. Utilitas Marjinal …………………………………….... 47

4.7.5. Produk Marjinal …………………………………….. 48

4.7.6. Analisis Keuntungan Maksimum …………………… 49

4.4.7. Penerimaan Pajak Maksimum ……………………… 50

4.4.8. Efek Pemajakan Bagi Penunggal …………………… 51

4.8. Soal-Soal Latihan …………………………………………..... 54

BAB 5. DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK ………………………...... 55

5.1. Diferensial Parsial …………………………………………… 55

5.2. Derivatif dari Derivatif Parsial …………………………….. 55

5.3. Nilai Ekstrim : Maksimum dan Minimum ………………… 56

5.4. Optimisasi Bersyarat : Pengganda Lagrange ……………… 57

5.5. Aplikasi Fungsi Parsial Pada Ekonomi …………………….. 59

5.5.1. Permintaan Marjinal dan Elastisitas Permintaan

Parsial ………………………………………………….. 59

5.5.2. Perusahaan dengan Dua Macam Produk dan Biaya

Produksi Gabungan …………………………………… 62

5.5.3. Utilitas Marjinal Parsial dan Kesimbangan Konsumsi 64

5.5.4. Produk Marjinal Parsial dan Keseimbangan Produksi 67

5.6. Soal-Soal Latihan …………………………………………….. 70

DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………………….. 72

DAFTAR PUSTAKA

Assuari, Sofyan. (1996). Matematika Ekonomi. Jakarta ; Rajawali

Chiang, Alpha. (2006). Dasar-dasar Matematika Ekonomi. Jilid 1 & 2. Jakarta ; Penerbit

Erlangga.

Dumairy. (2006) . Matematika Terapan Untuk Bisnis Dan Terapan. Yogyakarta : BPFE.

Johanes, H dan Sri Handoko, Budiono. 1983. Pengantar Matematika untuk Ekonomi.

Jakarta : LP3S.

Josep Bintang Kalangi. (2005). Matematika Ekonomi dan Bisnis. Buku 1 & 2. Jakarta;

Salemba Empat.

1

BAB I

F U N G S I

Pemahaman akan konsep fungsi sangat penting dalam mempelajari disiplin

ilmu ekonomi, mengingat telaah–telaah ekonomi banyak bekerja dengan fungsi.

Baik fungsi yang berbentuk persamaan maupun yang berbentuk pertidaksamaan.

Fungsi berbentuk persamaan di sini ialah fungsi yang ruas kiri dan ruas kanannya

dihubungkan dengan tanda kesamaan (=), sedangkan fungsi berbentuk

pertidaksamaan ialah fungsi yang ruas kiri dan ruas kanannya dihubungkan dengan

tanda ketidaksamaan ( atau ). Bab ini menguraikan segala hal yang berkaitan

dengan konsep fungsi secara umum, terutama fungsi-fungsi yang berbentuk

persamaan. Uraian yang lebih terinci mengenai fungsi– fungsi tertentu disajikan di

dalam bab-bab berikutnya, sekaligus dengan bahasan mengenai penerapan ekonomi

dari fungsi yang bersangkutan.

1.1 PENGERTIAN FUNGSI

Fungsi ialah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan

ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan variabel lain.

Atau, fungsi adalah hubungan antara 2 atau lebih variabel yang saling pengaruh

mempengaruhi

Notasi fungsi secara umum : y = f ( x1, x2, .… , xn )

1.2 UNSUR – UNSUR FUNGSI

Sebuah fungsi dibentuk oleh beberapa unsur. Unsur–unsur pembentuk fungsi

adalah variabel, koefisien dan kostanta.

Variabel. Variabel ialah unsur pembentuk fungsi yang mencerminkan atau

mewakili faktor tertentu, dilambangkan (berdasarkan kesepakatan umum) dengan

huruf – huruf latin.

Koefisien. Koefisien ialah bilangan atau angka yang terkait pada dan terletak

di depan suatu variabel dalam sebuah fungsi.

Konstanta. Konstanta ialah bilangan atau angka yang (kadang-kadang) turut

membentuk sebuah fungsi tetapi berdiri sebagai bilangan dan tidak terkait pada suatu

variabel tertentu.

2

1.3 JENIS – JENIS FUNGSI

Fungsi dapat digolong–golongkan menjadi beberapa kelompok. Secara garis

besar fungsi dikelompokkan atas kelompok fungsi aljabar dan kelompok fungsi no-

aljabar. Rincian jenis–jenis fungsi selengkapnya dapat dilihat pada skema berikut:

Skema 1 : Pembagian Jenis Fungsi

I. Fungsi Aljabar :

1. Fungsi Irasional

2. Fungsi Rasional :

a. Fungsi Polinom ialah fungsi yang mengandung banyak suku (polinom)

dalam variabel bebasnya.

Bentuk umum persamaan polinom : y = a0 + a1x + a2x2 + … + anx

n

b. Fungsi Linear adalah fungsi polinom khusus yang pangkat tertinggi dari

variabelnya adalah pangkat satu, disebut juga fungsi berderajat satu.

Bentuk umum persamaan linear : y = a0 + a1x , a1 ≠ 0

c. Fungsi Kuadrat ialah fungsi polinom yang pangkat tertinggi dari

variabelnya adalah pangkat dua, disebut juga fungsi berderajat dua.

Bentuk umum persamaan kuadrat : y = a0 + a1x + a2x2 , a2 ≠ 0

d. Fungsi Kubik ialah fungsi polinom yang pangkat tertinggi dari variabelnya

adalah pangkat tiga, disebut juga fungsi berderajat tiga.

Bentuk umum persamaan kubik : y = a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 , a3 ≠ 0

F U N G S I

Fungsi non-aljabar (transender) Fungsi aljabar

F. Irrasional F. rasional

F. Eksponensial

F. Logaritmik

F. Trigonometrik

F. Hiperbolik

F. Polinom

F. Linear

F. Kuadrat

F. Kubik

F. Bikuadrat

F. Pangkat

3

e. Fungsi Pangkat Banyak ialah fungsi yang variabel bebasnya berpangkat

sebuah bilangan nyata bukan nol. Bentuk umum persamaan : y = xn ,

n = bilangan nyata bukan nol

II. Fungsi Non-aljabar :

1. Fungsi Exponensial ialah fungsi yang variabel bebasnya merupakan pangkat

dari suatu konstanta bukan nol. Bentuk umum persamaan : y = nekx

+ c ,

n ≠ 0 , k,c = konstanta.

2. Fungsi Logaritma ialah fungsi balik (inverse) dari fungsi eksponesial,

variabel bebasnya merupakan bilangan logaritmik.

Bentuk umumnya : y = nlog x , n > 0 dan n ≠ 1.

3. Fungsi Trigonometrik dan fungsi Hiperbolik ialah fungsi yang variabel

bebasnya merupakan bilangan–bilangan genometrik.

Contoh persamaan Fungsi Trigonometrik : y = sin 5x

Contoh persamaan Fungsi Hiperbolik : y = arc cos 2x

Berdasarkan letak ruas variabel-variabel yang terdapat dalam fungsi, fungsi

dibedakan menjadi dua, yaitu :

1. Fungsi Eksplisit yaitu fungsi dimana variabel bebas dan variabel tidak bebasnya

dapat dibedakan dengan jelas, variabel bebas dan variabel tidak bebasnya terletak di

ruas yang berlainan → y = f ( x )

Contoh : y = 2x + 3 , jika x= 3 maka y = 2(3) + 3 = 9

z = 2x + y2 + 3 , jika x = 2 , y = 3 maka z = 2 (2) + 3

2 + 3 = 16

2. Fungsi Implisit yaitu fungsi dimana variabel bebas dan variabel tidak bebas

tidak dapat dibedakan dengan jelas, variabel bebas dan variabel tidak bebasnya

terletak di satu ruas yang sama → f (x,y) = 0

Contoh : 2x + 3y - 5 = 0 , jika ditetapkan x = 1 maka y = 1 atau jika y = 3

maka x = -2

4

BAB II

FUNGSI LINEAR

2.1. PENGERTIAN FUNGSI LINEAR

Fungsi linear atau fungsi berderajat satu ialah fungsi yang pangkat tertinggi

dari variabelnya adalah pangkat satu. Dan apabila digambarkanakan menghasilkan

sebuah garis lurus. Bentuk umum persamaan linear adalah y = a + bx ; dimana a

adalah penggal garisnya pada sumbu vertikal – y mencerminkan nilai y pada

kedudukan x = 0. Sedangkan lereng b mencerminkan besarnya tambahan nilai y

untuk setiap tambahan satu unit x.

Notasi fungsi linear : y = f (x) y = ax + b

Contoh : y = 3x + 2

Keterangan:

x dan y adalah Variabel yaitu : besaran yang sifatnya tidak tetap, tetapi berubah-

ubah dan saling pengaruh mempengaruhi.

Variabel dalam fungsi dibedakan mejadi dua :

1. Variabel bebas ( independent ) yaitu variabel yang besarnya dapat ditentukan

sembarang → x

2. Variabel tidak bebas ( dependent ) yaitu variabel yang besarnya baru dapat

ditentukan setelah nilai variabel bebasnya ditentukan terlebih dahulu → y

a adalah Konstanta yaitu : bilangan yang tetap, tidak berubah-ubah.atau,

a = nilai y pada saat fungsi memotong sumbu y dimana x = 0

b adalah Koefisien yaitu : bilangan/angka yang menyertai variabel x, yang

merupakan gradient, slope, lereng, kecondongan, kecuraman, koefisien arah atau

garis fungsi dengan sumbu horizontal x.

b = tg α = ∆y = y2 – y1

∆x x2 – x1

5

2.2. PEMBENTUKAN FUNGSI LINEAR

Sebuah persamaan linear dapat dibentuk melalui beberapa macam cara

tergantung dari data yang tersedia. Pada prinsipnya persamaan dapat dibentuk

berdasarkan unsur-unsur seperti penggal garisnya, lereng garisnya atau koordinat

titik-titik yang memenuhi persamaannya

1. Cara Dwi Koordinat

Syarat : diketahui 2 titik koordinat A (x1, y2) dan B (x2, y2)

Rumus :

Contoh : Tentukan persamaan fungsi linear yang melewati 2 titik koordinat A (2, 1)

dan B (4, 5) !

Jawaban : y - 1 = x - 2

5 - 1 4 - 2

y - 1 = x - 2

4 2

2y - 2 = 4x - 8 → 2y = 4x - 6 → y = 2x - 3

Persamaan fungsi linear : y = 2x – 3 atau y = -3 + 2x

2. Cara slope Koordinat

Syarat : diketahui 1 titik koordinat A (x1, y1) dan koefisien arah ( b)

Rumus :

Contoh : Tentukan persamaan fungsi linear yang melewati titik koordinat A (4, 5)

dan gradient b = 4

Jawaban : y - 5 = 4 ( x - 4 )

y - 5 = 4x - 16 → y = 4x - 11

Persamaan fungsi linear : y = 4x - 11 atau y = -11 + 4x

3. Cara General Linear Equation

Syarat : diketahui 2 titik koordinat A (x1, y2) dan B (x2, y2)

Rumus : A (x1, y2) : y1 = a + bx1

B (x2, y2) : y2 = a + bx2 -

y1 –y2 = b (x1 – x2) →

y – y1 = x – x1

y2 – y1 x2 - x1

y – y1 = b ( x – x1 )

))))

b = ∆y = y2 – y1 = tg α

∆x x2 – x1

6

Contoh : Tentukan persamaan fungsi linear yang melewati 2 titik koordinat A (2, 1)

dan B (4, 5)

Jawaban : A (2, 1) : 1 = a + b . 2

B (4, 5) : 5 = a + b . 4 -

- 4 = - 2 b → b = -4/-2 = 2

1 = a + 2 . 2 → a = - 3

Persamaan fungsi linear : y = 2x – 3 atau y = -3 + 2x

4. Cara Penggal Lereng

Syarat : diketahui titik koordinat penggal garis (0, y) atau (x, 0) dan slope/koefisien

arah ( b)

Rumus : Jika koordinat (0, y) →

Jika koordinat (x, 0) →

Contoh : Tentukan persamaan fungsi linear jika :

(1) Diketahui titik koordinat (0, 2) dan gradient b = 0,5

(2) Diketahui titik koordinat (-4, 0) dan gradient b = 2

Jawaban : Persamaan fungsi linear : (1) y = 2 + 0,5x

(2) x = - 4 + 2y

5. Cara Dwi Penggal

Syarat : diketahui 2 titik koordinat penggal garis (0, y) dan (x, 0)

Rumus :

c = yo = penggal sumbu vertikal (0,y)

atau

d = xo = penggal sumbu horizontal (x, 0)

Contoh : Tentukan persamaan fungsi linear yang melewati titik penggal (0, 2)

dan (-4, 0)

Jawaban : penggal vertikal : c = 2 dan penggal horizontal : d = - 4

y = c – c x → y = 2 - 2 x → y = 2 + 1/2 x

d - 4

atau , y = ( 1 – x ) yo → y = (1 - x ) 2 → y = 2 + 1/2 x

xo - 4

Persamaan fungsi linear : y = 2 + 1/2x atau y = 2 + 0,5 x

y = a + bx

x = a + by

y = c – c x

d

y = ( 1 – x ) yo

xo

7

2.3. PENGGAMBARAN FUNGSI LINEAR

Fungsi Linear dapat disajikan secara grafik pada bidang sepasang sumbu

silang (Diagram Kartesius) dengan sistem koordinat (x,y), dimana x mewakili sumbu

horizontal dan y mewakili sumbu vertikal.

Contoh : y = 3 + 2x →

Atau dengan mencari koordinat titik-titik

potong pada sumbu horizontal-x dan sumbu vertikal-y dari persamaan y = 3 + 2x,

• jika x = 0 maka y = 3 + 2.0 = 3 dan X y = 3 + 2x

koordinat titik potong pada sumbu y 5

adalah (0,3)

• jika y = 0 maka 0 = 3 + 2x, x = -3/2 3 (0,3)

dan koordinat titik potong pada sumbu y

adalah (-3/2,0)

(-3/2,0) 0 1 Y

2.4. GRAFIK DAN ARAH GARIS FUNGSI LINEAR

Bila kita akan menggambarkan grafik fungsi linear, ada beberapa

kemungkinan arah grafik fungsi dilihat dari nilai koefisien arah b dan konstanta a.

a) b positif, a= (+) b) b positif, a = 0 c) b positif, a=( - )

y y y

a y=a+bx y= bx y = -a + bx

0 x 0 x 0 x -a

d) b negatif, a= (+) e) b negatif, a = 0 f) b negatif, a= (-)

y y y

a

y = a-bx y= bx y = -a - bx

0 x 0 x 0 x

-a

x 0 1 2 3 4

y 3 5 7 9 11

8

y

x

x

y

2.5. HUBUNGAN DUA GARIS LURUS

Ada empat macam kemungkinan bentuk hubungan garis lurus, yaitu :

1. Berimpit

Jika persamaan garis yang satu merupakan kelipatan dari persamaan garis yang

lain. Contoh : y1 = a1 + b1 x maka akan berimpit dengan garis y2 = a2 + b2 x.

2. Sejajar

Dua buah garis lurus akan sejajar apabila lereng garis satu sama lain memiliki

nilai yang sama. y1 = a1 + b1 x akan sejajar dengan y2 = a2 + b2 x dengan nilai

b1 = b2.

3. Berpotongan

Dua buah garis lurus akan berpotongan apabila lereng garis yang satu tidak sama

dengan lereng garis lainnya. y1 = a1 + b1 x akan berpotongan dengan y2 = a2 + b2

x jika b1 b2

4. Tegak lurus

Dua buah garis akan tegak lurus jika lereng yang satu merupakan kebalikan dari

lereng garis yang lain. b1 = -1/b2.

Berimpit Sejajar

Berpotongan Tegak lurus

y

x

y

x

9

2.4. PENERAPAN PADA EKONOMI

2.4.1. Fungsi Permintaan, Fungsi Penawaran dan Keseimbangan

Pasar

Fungsi Permintaan (Demand) yaitu : fungsi yang menjelaskan jumlah

barang yang diminta (Q) pada waktu tertentu, pada berbagai tingkat harga (P)

dengan asumsi variable lain cateris paribus.

P Qd = f ( Px, Py, C, I, Tx, X, M…)

a P = a - bQ Asumsi : variabel lain cateris paribus sehingga

Hukum Permintaan : Jika P ↑ → Q ↓ atau P ↓ → Q ↑

0 Q

Terlihat bahwa variabel P (price,harga) dan variabel Q (quantity, jumlah)

memiliki tanda yang berlawanan yang mencerminkan hukum permintaan, jika harga

barang naik maka permintaan akan menurun.

Fungsi Penawaran (Supply) yaitu : fungsi yang menjelaskan jumlah

barang yang ditawarkan (Q) pada waktu tertentu, pada berbagai tingkat harga (P).

P Qs = f ( Px, Py, C, I, Tx, X, M…)

a P= a + bQ Asumsi : variabel lain cateris paribus sehingga

Hukum Penawaran : Jika P ↑ → Q ↑ atau P ↓ → Q ↓

0 Q

Dalam persamaan di atas terlihat variable P dan Q memiliki tanda yang sama

dan mencerminkan hukum penawaran dimana saat harga naik maka jumlah barang

yang ditawarkan juga naik.

Keseimbangan Pasar ( market equilibrium) suatu barang yaitu : suatu

kondisi terciptanya jumlah keseimbangan (equilibrium quantity) dimana jumlah

barang yang diminta di pasar tersebut sama dengan jumlah barang yang ditawarkan

( Qd = Qs) dan terciptanya harga keseimbangan (equilibrium price) dimana harga

yang diminta sama dengan harga yang ditawarka (Pd = Ps). Secara grafik

ditunjukan dengan perpotongan kurva permintaan dengan kurva penawaran.

P = a - bQ

P = a + bQ

10

Syarat Keseimbangan Pasar

atau P

S

Qd = jumlah permintaan

Qs = jumlah penawaran Pe Equilibrium

E = keseimbangan pasar

Pe = harga keseimbangan D

Qe = jumlah keseimbangan

Qe Q

Contoh :

Fungsi permintaan akan suatu barang adalah P = 15 – Q dan fungsi penawarannya

P = 3 + 0,5 Q. Berapa harga keseimbangan dan jumlah keseimbanga pasarnya.

Jawab :

P = 15 – Q Q = 15 – P

P = 3 + 0,5 Q Q = -6 + 2P

Qd = Qs

15 – P = -6 +2P

15 + 6 = 2P + P

21 = 3P

P = 7

Q = 15 – P

= 15 – 7 = 8

Jadi harga keseimbangan Pe =7 dan jumlah

Keseimbangan Qe = 8

Latihan :

1. Diketahui fungsi permintaan suatu barang P = -2Q + 8. Tentukan :

a. Harga tertingginya

b. Jumlah Permintaan maksimum

c. Jumlah pada tingkat harga P = 6

d. Harga pada tingkat permintaan Q = 3

e. Gambarkan kurvanya !

f. Kapan barang tersebut menjadi barang bebas (free goods) ?

g. Kapan barang tersebut tidak seorangpun mampu membeli ?

2. Sebuah buku catatan harian apabila dijual dengan harga Rp 3.000,- akan laku

sebanyak 600 buku, pada setiap kenaikan harga sebesar Rp 800,- jumlah yang

akan dijual bertambah sebanyak 400 buku. Bagaimana bentuk persamaan fungsi

penawaran buku tersebut dan gambarkan grafiknya!

Qd = Qs Pd = Ps

P

15

E

Q

7

3

0 8 15

Qs

Qd

11

3. Dengan harga Rp 250 ribu/kwintal atau kurang tidak ada yang bersedia

menawarkan beras di pasar. Setiap kenaikan harga sebesar Rp 10 ribu/kwintal

jumlah penawaran beras bertambah 20 kwintal. Tentukan persamaan fungsi

penawaran dan gambarkan grafiknya !

4. Carilah titik keseimbangan pasar dari persamaan Q = -2P + 12 dan Q = 2P – 3,

dan tentukan mana dari kedua persamaan tersebut yang merupakan fungsi

permintaan dan fungsi penawaran !

2.4.2. Pengaruh Pajak Terhadap Keseimbangan Pasar

Pengenaan pajak spesifik sebesar t atas setiap unit barang yang dijual

menyebabkan kurva fungsi penawaran (supply) bergeser ke atas dengan penggal

yang lebih tinggi pada sumbu harga, sementara fungsi permintaan tetap.

Bentuk umumnya : Sebelum pajak : P = a + bQ

Sesudah pajak : P’ = a + bQ + t

Contoh :

Fungsi permintaan akan suatu barang adalah P = 15 – Q dan fungsi penawarannya

P = 3 + 0,5 Q. Dikenakan pajak sebesar 3 per unit. Berapakah keseimbangan pasar

sebelum dan sesudah pajak?

Jawab :

Sebelum pajak :

P = 15 – Q Q = 15 – P

P = 3 + 0,5 Q Q = -6 + 2P

Keseimbangan pasar : Qd = Qs

15 – P = -6 +2P

15 + 6 = 2P + P

21 = 3P

P = 7

Q = 15 – P E ( 8 , 7 )

= 15 – 7 = 8

Sesudah pajak :

Ps’ = 3 + 0,5Q + 3 Q’ = -12 +2P

Qd = Qs’

15 – P = -12 +2P

27 = 3P

P’ = 9

Q’ = 15 – P’ E’ ( 6 , 9 )

= 15 – 9 = 6

P

15

Q

7

3

0 8 15

Qs

Qd

9

6

E'

E

Q’s

12

Pajak yang ditanggung konsumen per unit : tk = Pe’ – Pe → tk = 9 – 7 = 2

Pajak total yang ditanggung konsumen : TK = tk x Qe’ → TK = 2 x 6 = 12

Pajak yang ditanggung produsen per unit : tp = t – tk → tp = 3 – 2 = 1

Pajak total yang ditanggung produsen : TP = tp x Qe’ → TP = 1 x 6 = 6

Pajak total yang diterima pemerintah : T = TK + TP = Qe’ x t → T = 6 x 3 = 18

2.4.3. Pengaruh Subsidi Terhadap Keseimbangan Pasar

Subsidi yang diberikan atas produksi sesuatu barang akan menyebabkan harga

jual barang tersebut menjadi lebih rendah. Dengan adanya subsisdi spesifik sebesar s

per unit, kurva penawaran akan bergeser sejajar ke bawah dengan penggal lebih

kecil, sementara fungsi permintaan tetap.

Bentuk umumnya : Sebelum subsidi : P = a + bQ

Sesudah subsidi : P’ = a + bQ – s

Contoh :

Fungsi permintaan akan suatu barang adalah P = 15 – Q dan fungsi penawarannya

P = 3 + 0,5 Q. Dikenakan subsidi sebesar 1,5 per unit. Berapa keseimbangan

pasarnya?

Jawab :

Sebelum Subsidi

P = 15 – Q Q = 15 – P

P = 3 + 0,5 Q Q = -6 + 2P

Keseimbangan : Qd = Qs

15 – P = -6 +2P

15 + 6 = 2P + P

21 = 3P

P = 7

Q = 15 – P E ( 8 , 7 ) Qs’

= 15 – 7 = 8

Penawaran sesudah subsidi

P’ = 3 + 0,5Q – 1,5

P’ = 1,5 + 0,5Q Q’ = -3 + 2P

Maka keseimbangan Qd = Qs’

15 – P = -3 + 2P

3P = 18

P’ = 6

Q’ = 15 – P’ E’ ( 9 , 6 )

= 15 – 6 = 9

P

15

E

Q

7

3

0 8 15

Qs

Qd 1,5

9

E’

13

Subsidi yang diterima konsumen per unit : sk = Pe – Pe’ → sk = 7 – 6 = 1

Subsidi total yang diterima konsumen : SK = sk x Qe’ → SK = 1 x 9 = 9

Subsidi yang diterima produsen per unit : sp = s – sk → sp = 1,5 – 1 = 0,5

Subsidi total yang diterima produsen : SP = sp x Qe’ → SP = 0,5 x 9 = 4,5

Subsidi total yang dibayar pemerintah : S = SK + SP = Q’e x s → S = 9 x 1,5 = 13,5

Latihan :

1. Permintaan dan penawaran suatu barang ditunjukkan dengan fungsi sebagai

berikut Qd = 12 – 0,5 P dan Qs = -8 + 2P.

a. Hitunglah tingkat harga dan kuantitas keseimbangan barang di pasar.

b. Jika pemerintah mengenakan pajak sebesar $ 1 per unit barang, hitunglah

keseimbangan pasar setelah ada pajak.

c. Gambarkanlah grafik keseimbangan pasar sebelum dan sesudah pajak.

d. Berapa total pajaka yang dibayar konsumen dan produsen, serta berapa total

pajak yang diterima pemerintah.

2. Jika diketahui fungsi permintaan dan penawaran BBM di Indonesia masing-

masing adalah Q = 4 – P2 dan P = 0,25 + 0,25Q.

a. Hitung kuantitas dan harga pada posisi market equilibrium.

b. Bila ada subsidi BBM sebesar 0,25 per barel, hitung kuantitas dan harga pada

posisi equilibrium yang baru.

c. Gambarkan grafik market equilibrium sebelum dan sesudah ada subsidi

d. Berapa total subsisdi yang diterima konsumen dan produsen, serta berapa

total subsidi yang dibayarkan pemerintah

3. Harga dan jumlah barang yang tercipta di pasar dari suatu paroduk masing-

masing adalah Rp 125.000 dan 500 unit barang, namun karena dikenakan pajak

per unit barang keseimbangan berubahmenjadi Rp 150.000 dan 400 unit barang.

Dari produsen diketahui bahwa produsen hanya akan menjual barang bila harga di

atas Rp 100.000.

a. Tentukan fungsi permintaan dan fungsi penawaran, gambarkan grafiknya!

b. Berapa besar pajak per unit yang dikenakan pada produk?

4. Fungsi permintaan dan penawaran suatu barang adalah : P + 2Q – 3600 = 0 dan

P - 5Q – 1500 = 0. Jika jumlah permintaan (penawaran) barang pada

keseimbangan pasar setelah subsidi meningkat sebesar 50 unit. Tentukan :

a. Keseimbangan pasar sebelum dan sesudah subsidi, gambarkan grafiknya!

b. Besar subsidi per unit.

c. Total subsidi dinikmati konsumen, total subsidi dinikmati produsen dan total

pengeluaran pemerintah untuk subsidi.

14

2.6.4. Fungsi Biaya

Biaya adalah pengeluaran yang tidak dapat dihindari dalam memproduksi

atau memasarkan suatu barang atau jasa.

Biaya total (TC) yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan terdiri dari biaya

tetap (fixed cost) dan biaya variabel (variabel cost).

Bentuk persamaan fungsinya :

Biaya total (Total Cost = TC) terdiri atas :

1. Biaya tetap (Total Fixed Cost = TFC atau FC ) yaitu : biaya yang tidak

tergantung pada jumlah barang yang dihasilkan, berapa unitpun barang yang

dihasilkan, jumlah biaya tetap dalam jangka pendek tidak berubah.

2. Biaya Variabel ( Total Variabel Cost = TVC atau VC) yaitu : biaya yang

tergantung pada jumlah barang yang dihasilkan, semakin banyak jumlah barang yang

dihasilkan semakin besar biaya variabelnya.

Perhitungan Biaya :

Biaya rata-rata adalah : biaya yang dikeluarkan untuk menghasilkan tiap unit

produk.

Biaya marjinal adalah : biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghasilkan satu

unit tambahan produk.

Biaya tetap ( Total Fixed Cost ) : TFC = k (k = konstanta )

Biaya variabel ( Total Variabel Cost ) : TVC = f (Q) = AVC . Q

Biaya total ( Total Cost ) : TC = TFC + TVC = k + f(Q) = g(Q)

Biaya tetap rata-rata ( Average Fixed Cost ) : AFC = TFC

Q

Biaya variabel rata-rata ( Average Variabel Cost : AVC = TVC

Q

Biaya rata – rata ( Average Cost ) : AC = TC = TFC + TVC = AFC + AVC

Q Q

Biaya Marjina ( Marginal Cost ) : MC = ∆ TC

∆ Q

TC = FC + VC

15

Bentuk Fungsi Biaya Linear :

TC = k + AVC.Q

TFC = k (k = konstanta )

TVC = f (Q) = AVC . Q TVC = AVC.Q

TC = TFC + TVC = k + f(Q) = g(Q)

AC = TC = TFC + TVC = AFC + AVC k TFC = k

Q Q

MC = ∆ TC 0 Q

∆ Q

Contoh :

Biaya tetap yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan sebesar 20.000 dan biaya

variabelnya 100Q. Buat persamaan dan kurva biaya totalnya !

Jawab :

Diketahui : FC = 20.000

VC = 100Q , maka

Fungsi biaya : TC = FC + VC

TC = 20.000 + 100Q

Jika Q = 500, TC = 20.000 + 100 (500) = 70.000

C TC = 20.000 + 100Q

70.000

VC = 100Q

50.000

20.000

0 Q

500

16

2.6.5. Fungsi Penerimaan

Penerimaan merupakan hasil penjualan barang.

Penerimaan total ( Total Revenue = TR atau R) adalah :

hasil kali barang yang terjual dengan harga jual per unit barang tersebut.

Perhitungan Penerimaan :

Grafik Fungsi Penerimaan Linear :

R

TR = f(Q)

0 Q

( Pasar Persaingan Sempurna )

Contoh :

Harga jual suatu produk adalah 200 per unit. Berapa besar penerimaan bila terjual

350 unit?

Jawab :

Fungsi penerimaan : R = Q x P , maka R = Q x 200 = 200Q

Bila Q = 350, maka R = 200(350) = 70.000

R R = 200Q

70.000

40.000

0 200 350 Q

Penerimaan Total ( Total Revenue ) : TR = P.Q = f ( Q )

Penerimaan Rata-rata ( Average Revenue ) : AR = TR = P.Q = P

Q Q

Penerimaan Maarjinal ( Marginal Revenue ) : MR = ∆ TR

∆ Q

17

2.6.6. Perhitungan Laba dan Analisis Pulang Pokok

(Analisis Break Even Point-BEP/ Titik Impas / Balik Modal )

Dengan diketahuinya penerimaan total (R) dan total biaya (C) maka dapat

juga diketahui apakah perusahaan mengalami keuntungan atau kerugian.

Keuntungan apabila 0 dan kerugian apabila 0. Sedangkan nilai didapat

dari selisih Revenue dengan Cost. Sedangkan kondisi pulang pokok adalah apabila

nilai R = C.

Contoh :

Bila biaya total C = 20.000 + 100Q dan penerimaan R = 200Q pada tingkat produksi

berapa perusahaan mengalami pulang pokok? Dan apa yang terjadi bila produksi

sebesar 300 unit?

Jawab :

Kondiisi pulang pokok : R = C

200Q = 20.000 + 100Q

100Q = 20.000

Q = 200

Jika Q = 300, maka R = 200(300) = 60.000 , dan

C = 20.000 + 100(300) = 50.000

Maka, = R – C → = 60.000 – 50.000

= 10.000 (untung)

C, R, R

60.000 C

50.000

40.000 VC

20.000 FC

0 100 200 300 Q

Untung / Laba positif ( л > 0 ) → TR > TC

Titik Impas / BEP ( л = 0 ) → TR = TC

Rugi / Laba negatif ( л < 0 ) → TR < TC

Л = TR - TC

18

2.6.7. Fungsi Anggaran

Dua teori yang melatarblakangi pembahasan tentang fungsi anggaran :

1. Teori Produksi ;

Fungsi Anggaran, mencerminkan batas maksimum kemampuan seorang

produsen membeli dua macam masukan (input) atau lebih, berkenaan dengan jumlah

dana yang tersedia dan harga masing-masing masukan (input).

2. Teori Konsumsi ;

Fungsi Anggaran, mencerminkan batas maksimum kemampuan seorang

konsumen membeli dua macam keluaran (output) atau lebih berkenaan dengan

jumlah pendapatannya dan harga masing-masing keluaran (output)

Persamaan Fungsi Anggaran → GarisAnggaran ( Budget Line )

→ pada teori produksi : → pada teori konsumen :

M : jumlah dana produsen M : jumlah pendapatan konsumen

x : jumlah masukan x x : jumlah keluaran x

y : jumlah masukan y y : jumlah keluaran y

Px : harga x per unit Px : harga x per unit

Py : harga y per unit Py : harga y per unit

Contoh :

Buatlah persamaan anggaran konsumen untuk barang x dan y dimana harga x = 500

dan y = 1000. Jika pendapatan sebesar 100.000 yang dianggarkan dibelanjakan

untuk barang x, berapa unit x yang diperoleh? Dan berapa unit y yang didapat jika ia

membeli 100 unit x?

Jawab :

M = x.Px + y.Py

100.000 = x.500 + y.1000

100.000 = 500x + 1000y

Jika semua pendapatan untuk x (y = 0)

maka : M = x.Px + y.Py

100.000 = 500x + 0

500x = 100.000 100

x = 200 unit

Jika x = 100 unit, maka 50

M = x.Px + y.Py

100.000 = 100(500) + 1000y

1000y = 100.000 – 50.000 0 100 200 x

y = 50 unit.

y

M = x . Px + y . Py

19

2.6.8. Fungsi Konsumsi, Fungsi Tabungan dan Angka Pengganda

Dalam ekonomi makro, pendapatan masyarakat suatu negara baik secara individu

( perorangan) maupun secara keseluruhan ( pendapatan nasional ) dialokasikan ke dua

kategori penggunaan yaitu untuk konsumsi dan tabungan. Jika Y = pendapatan,

C = konsumsi dan S = tabungan, maka dapat dirumuskan dalam persamaan linear :

Konsumsi dan tabungan berbanding lurus dengan pendapatan.

Semakin besar pendapatan semakin besar pula konsumsi dan tabungan.

Fungsi Konsumsi. Fungsi konsumsi menjelaskan hubungan antara

konsumsi dan pendapatan nasional. Bisa juga dianalogkan untuk hubungan antara

konsumsi dan pendapatan perorangan, yang dirumuskan sebagai berikut :

Co = Autonomous Consumption ( konsumsi otonom / konsumsi absolute),

menunjukan besarnya konsumsi nasional pada pendapatan nasionalnya nol atau

biaya yang mau tidak mau harus dikeluarkan untuk memenuhi kebutuhan biologis

manusia (contoh : makan)

c = MPC = Marginal Propensity to Consume : besarnya tambahan konsumsi

akibat adanya tambahan pendapatan.

MPC = ∆ C = C2 – C1

∆ Yd Yd2 – Yd1

Yd = Disposible Income : pendapatan yang benar-benar dapat dibelanjakan

Yd = Y- Tx + Tr , dimana Tx = Pajak (Tax) dan Tr = Transfer Payment (contoh :

subsidi)

Jika diasumsikan Tx = 0 dan Tr = 0 , maka Yd = Y , sehingga :

Fungsi Tabungan. Fungsi Tabungan menjelaskan hubungan antara

tabungan dan pendapatan nasional, juga dianalogkan untuk hubungan antara

tabungan dan pendapatan perorangan.

Karena Yd = Y , besarnya tabungan dapat dicari dengan persamaan : S = Y – C ,

dimana C = Co + c Y , maka S = Y – ( Co + c.Y )

= Y – Co – c.Y

= - Co + ( 1 – c ) Y

Y = C + S

C = f ( Yd ) = Co + c Yd = Co + MPC. Yd

C = f ( Y ) = Co + c Y = Co + MPC. Y

20

Jadi , S = - Co + ( 1 – c ) Y = So + s.Y = So + MPS. Y

Dimana So = - Co ,

s = 1 - c → c + s = 1 , atau

MPS = 1 - MPC → PMC + MPS = 1

So = MPS = Autonomous Saving ( tabungan otonom ), merupakan titik potong

grafik tabungan pada sumbu vertikal S, atau besarnya tabungan pada saat

pendapatan nol.

s = MPS = Marginal Propensity to Saving : besarnya tambahan tabungan akibat

adanya tambahan pendapatan.

MPS = ∆ S = S2 – S1

∆ Y Y2 – Y1

Grafik Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan

C, S Y = C + S

C=Co + c.Y Contoh : C = 8 + 0,2 Y

S = -8 + 0,8 Y

Co S=So + s.Y Gambarkan grafiknya !

450

0 Y

So= -Co

Contoh :

Konsumsi masyarakat ditunjukan oleh persamaan C = 30 + 0,8Y. Bagaimana fungsi

tabungannya? Berapa besar konsumsi jika tabungan 20?

Jawab :

S = Y – C C, S C= 30 +0,8Y

S = Y – (30 + 0,8Y) 230

S = -30 + 0,2Y

Jika S = 20 150

20 = -30 + 0,2Y

20 + 30 = 0,2Y

Y = 250, maka

C = Y – S = 250 – 20 = 230 30 S= -30 + 0,2Y

20

0 150 Y

-30

21

Angka Pengganda / Multipliers ( k )

Angka Pengganda / Multipliers ( k ) ialah suatu bilangan yang menjelaskan

tambahan pendapatan nasional akibat adanya perubahan pada variabel-variabel

tertentu dalam perekonomian (misal : C, I, G, X dan M).

c = MPC

s = MPS

Latihan :

1. Konsumsi otonomi Andi Rp 250.000. Saat pendapatan Andi Rp 3.750.000, ia

habiskan untuk konsumsi sebesar Rp 2.500.000. Tentukan :

a. Persamaan fungsi konsumsi dan tabungan Andi

b. Berapa pendapatan Andi jika konsumsinya Rp 6.668.500.

2. Fungsi konsumsi dan tabungan suatu daerah digambarkan dalam bentuk grafik

berikut :

C, S Y = C + S a. Tentukan persamaan fungsi

C=100 + 0,2Y konsumsi dan tabungannya!

b. Berapa konsumsi dan tabungan

125 jika pendapatan daerahnya 150 ?

100 S = -100 + 0,8Y c. Pada tingkat pendapatan berapakah

450 dimana semua pendapatannya

0 Y habis untuk konsumsi ?

-100 d. Berapakah angka multipliernya?

3. Seorang karyawati suatu perusahaan dapat menyisihkan gajinya untuk ditabung

Rp 2.000.000 per bulan. Bila untuk konsumsi yang harus dia keluarkan minimal

Rp 1.000.000 per bulan serta kecendrungannya untuk meningkatkan konsumsinya

25 % dari penghasilan. Berapakah besar penghasilan karyawati tersebut, berapa

angka penggandanya serta gambarkan grafik dari fenomena tersebut.

k = 1 = 1 1 – c s

22

BAB III

FUNGSI KUADRAT ( PARABOLA )

3.1. Pengertian Fungsi Kuadrat (Parabola)

Fungsi Kuadrat atau fungsi berderajat dua adalah fungsi non linear yang

pangkat tertinggi dari variabel bebasnya adalah dua yang bila digambarkan

kurva/grafiknya berbentuk parabola sehingga disebut fungsi parabola. Bentuk umum

persamaa kuadrat adalah y = a + bx + cx2 dimana c 0.

3.2. Sumbu Simetri dan Titik Ekstrim

Setiap parabola mempunyai sebuah sumbu simetri dan titik ekstrim. Sumbu

Simetri adalah garis lurus yang membagi grafik parabola sama besar sehingga bagian

yang satu cerminan bagian yang lain. Sumbu simetri parabola dapat berupa garis

yang sejajar sumbu vertical (y) atau sejajar dengan sumbu horizontal (x).

Titik Ekstrim (titik puncak) parabola adalah titik potong antara sumbu simetri

dan grafik parabola yang bersangkutan. Titik ekstrim dibedakan dua yaitu titik

ekstrim maksimum dan minimum, tergantung dari bentuk persamaan fungsi

kuadratnya.

3.3. Formula Umum dan Grafik Fungsi Kuadrat ( Parabola )

1. Bentuk y = f(x) atau sumbu simetri vertikal sejajar sumbu y

Bentuk kurva parabola : y = ax2 + bx + c

Jika a < 0 Jika a > 0

y sumbu simetri y sumbu simetri

Titik Ekstrim

Parabola Parabola

Titik Ekstrim

0 x 0 x

y = ax2 + bx + c

23

Tahapan menggambar fungsi kuadrat :

1. Mencari titik potong fungsi dengan sumbu y pada x = 0, maka y = c, jadi titiknya

M (0, c)

2. Mencari titik potong fungsi dengan sumbu x pada y = 0, maka 0 = ax2 + bx + c.

Ada 3 kemungkinan yang terjadi yaitu :

a. Bila Diskriminan D = b2 – 4ac > 0, maka terdapat dua titik potong :

x1 √

→ titik N1

√

, 0

x2 √

→ titik N2

√

, 0

b. Bila Diskriminan D = b2 – 4ac = 0, maka terdapat satu titik potong

x1 = x2 = - b , jadi titiknya O - b , 0

2a 2a

c. Bila Diskriminan D = b2 – 4ac < 0, maka tidak terdapat titik potong fungsi

kuadrat dengan sumbu x.

3. Mencari titik ekstrim ( titik puncak ) → P - b , - ( b2 – 4ac ) → ( x , y )

2a 4a

4. Sumbu simetris adalah sumbu yang membagi / membelah dua grafik fungsi

kuadrat tersebut menjadi dua bagian yang sama besar.

Persamaan sumbu simetris → x = - b

2a

Contoh 1 : y= - x2 + 6x - 9

Tahapan menggambar fungsi kuadrat :

P(3 0)

1. Titik potong fungsi dengan sumbu y pada x = 0, 0 3

maka y = -9, jadi titiknya M (0 , -9)

2. Titik potong fungsi dengan sumbu x pada y = 0,

maka 0 = -x2 + 6x - 9. Oleh karena Diskriminan

D = b2 – 4ac = 0 → 62 – 4(-1)(-9) = 0, maka terdapat

satu titik potong yaitu x1 = x2 = - 6 = 3 ,

2(-1)

jadi titiknya O (3 , 0 )

3. Titik ekstrim (titik puncak ) : - 9-M(0,-9) (6,-9)

P - 6 , - (62 – 4(-1)(-9) → P ( 3 , 0 )

2(-1) 4(-1)

4. Sumbu simetris x = - 6 = 3 y

2(-1)

24

Contoh 2 : y= x2 -5x + 6

Tahapan menggambar fungsi kuadrat :

1. Titik potong fungsi dengan sumbu y pada x = 0,

maka y = 6, jadi titiknya M (0 , 6)

2. Titik potong fungsi dengan sumbu x pada y = 0,

maka 0 = x2 - 5x + 6. Oleh karena Diskriminan y

D = b2 – 4ac = 0 → 52 – 4(1)(6) = 1 > 0, maka

terdapat dua titik potong yaitu : y = 2,5

x1 = √

= 5 + 1 = 3 → (3 , 0) 6

2

x2 = √

= 5 – 1 = 2 → (2 , 0)

2

3. Titik ekstrim (titik puncak ) :

P -(-5) , - (52 – 4(1)(6) → P ( 2 1/2 , -1/4 ) 0 2 2;5 3 x

2(1) 4(1) P (2,5 , -,25)

4. Sumbu simetris x = -(-5) = 2 1/2

2(1)

2. Bentuk x = f(y) atau sumbu simetri vertikal sejajar sumbu x

Bentuk kurva parabola : x = Ay2 + By + C

Jika a < 0 Jika a < 0

y

Titik Ekstrim Titik Ekstrim

Sumbu simetri Sumbu simetri

Parabola Parabola

0 x 0 x

Tahapan menggambar fungsi kuadrat :

1. Mencari titik potong fungsi dengan sumbu x pada y = 0, maka x = c, jadi titiknya

M (C , 0)

2. Mencari titik potong fungsi dengan sumbu y pada x = 0, maka 0 = Ay2 + By + C.

x = Ay2 + By + C

25

Ada 3 kemungkinan yang terjadi yaitu :

a. Bila Diskriminan D = B2 – 4AC > 0 , maka terdapat dua titik potong :

y1 √

→ titik N1

√

, 0

y2 √

→ titik N2

√

, 0

b. Bila Diskriminan D = B2 – 4AC = 0, maka terdapat satu titik potong

y1 = y2 = - B , jadi titiknya O 0 , - B

2A 2A

c. Bila Diskriminan D = B2 – 4AC < 0, maka tidak terdapat titik potong fungsi

kuadrat dengan sumbu x.

3. Mencari titik ekstrim (titik puncak ) → P - ( B2 – 4AC ) , - B → ( x , y )

4A 2A

4. Sumbu simetris adalah sumbu yang membagi / membelah dua grafik fungsi

kuadrat menjadi dua bagian yang sama besar.

Persamaan sumbu simetris → y = - B

2A

Contoh 1 : x = y2 – 3y + 2

Tahapan menggambar fungsi kuadrat :

1. Titik potong fungsi dengan sumbu x pada y = 0, maka x = 2, jadi titiknya M(2, 0)

2. Titik potong fungsi dengan sumbu y pada x = 0, maka 0 = y2 - 3y + 2.

Oleh karena Diskriminan D = b2 – 4ac > 0 → (-3)2 – 4(1)(2) = 1 > 0 ,

maka terdapat 2 buah titik potong :

y1 √

= 3 + 1 = 2 → jadi titiknya N1 (0 , 2 )

2

y2 √

= 3 – 1 = 1 → jadi titiknya N2 (0 , 1 )

2 y

3. Titik ekstrim (titik puncak ) : (2,3)

P - ((-3)2 – 4(1)(2) = -1 , -(-3) = 3 2

4(1) 4 2(-1) 2 P(-1/4,11/2) y = 11/2

P (-1/4 , 1 1/2) 1

4. Sumbu simetris y = -(-3) = 3 = 1 ½ -1/4 0 M (2,0) x

2(1) 2

26

Contoh 2 : x= - y2 + 2y + 3

Tahapan menggambar fungsi kuadrat :

1. Titik potong fungsi dengan sumbu x pada y = 0, maka x = 3, jadi titiknya M(3 , 0)

2. Titik potong fungsi dengan sumbu y pada x = 0, maka 0 = Ay2 + By + C.

Oleh karena Diskriminan D = b2 – 4ac > 0 → (2)2 – 4(-1)(3) = 16 > 0 ,

maka terdapat 2 buah titik potong :

y1 √

= -2 + 4 = -1 → jadi titiknya N1 (0 , -1 )

-2

y2 √

= -2 – 4 = 3 → jadi titiknya N2 (0 , 3 )

- 2

3. Titik ekstrim (titik puncak ) : y

P - ((2)2 – 4(-1)(3)) = -4 = 1 , -(2) = 2 = 1 → P (1,1) 3

4(-1) -4 2(-1) 2

4. Sumbu simetris y = -(2) = 2 = 1 1 P(1,1)

2(-1) 2

0 x

-1

3.4. Penerapan Pada Ekonomi

3.4.1. Fungsi Permintaan, Fungsi Penawaran dan Keseimbangan

Pasar

Selain fungsi linear, permintaan dan penawaran juga dapat berupa fungsi non-

linear, kurva yang terbentuk dapat berupa potongan lingkaran, hiperbola, elips

maupun parabola. Cara mencari keseimbangan pasar sama seperti fungsi linear yaitu

dengan mencari titik potong dari 2 persamaan pada kondisi Qd = Qs atau Pd = Ps..

Contoh :

Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd = 19 – P2 sedangkan

penawarannya Qs = -8 + 2P2. Berapa harga dan jumlah pada keseimbangan pasarnya ?

Jawab :

Keseimbangan pasar ; Qd = Qs

19 – P2 = -8 + 2P

2

27 = 3P2

P2 = 9 → Pe = ± 3

Q = 19 – P2

Qe = 19 - (3)2 = 10 atau Qe = 19 - (-3)

2 = 10

Jadi, keseimbangan pasar terjadi pada harga 3 dan jumlah 10 unit.

27

3.4.2. Pengaruh Pajak Terhadap Keseimbangan Pasar

Jika pada suatu barang dikenakan pajak spesifik sebesar t per uni, maka

persamaan fungsi penawaran setelah pajak akan berubah, sementara fungsi

permintaan tetap, dan keseimbangan pasar juga akan berubah.

Fungsi penawaran sebelum pajak Fungsi penawaran setelah pajak

I. P = f (Q) = a Q2+ b Q + c P’ = f (Q) = a Q

2+ b Q + c + t

II. Q = f (P) = a P2

+ b P + c Q’ = f (P – t) = a (P- t)2

+ b (P - t) + c

Contoh :

Fungsi permintaan dan penawaran suatu barang adalah Qd = 19 – P2 dan

Qs = -8 + 2P2. Jika pemerintah mengenakan pajak sebesar Rp 1,- per unit. Berapa

harga dan jumlah barang yang terjadi di pasar setelah penetapan pajak tersebut ?

Jawab :

Fungsi Penawaran sebelum pajak : Qs = -8 + 2P2

Fungsi Penawaran setelah pajak (t = 1) : Qs’ = -8 + 2(P – 1)2

= -8 + 2(P2 – 2P + 1) = 2P

2 – 4P - 6

Keseimbangan pasar setelah pajak ; Qd = Qs’

19 – P2

= 2P

2 – 4P – 6

3 P2 – 4P – 25 = 0

Dengan rumus abc : P1,2 = √

= 4 ± 17,78

6

P1 = 4 + 17,78 = 3,63

6

P2 = 4 - 17,78 = -2,30

6

P2 tidak dipakai karena harga negative adalah irrasional.

Dengan mensubtitusi P1 = 3,63 ke persamaan Qs’ atau Qd = 19 – (3,63)2 = 5,82 ,

maka dengan adanya pajak : Pe’ = 3,63 dan Qe’ = 5,82.

Selanjutnya, dengan keseimbangan pasar sebelum pajak : pe = 3 dan Qe = 10, maka :

Pajak yang ditanggung konsumen per unit : tk = Pe’ – Pe = 3,63 – 3 = 0,63

Total Pajak yang ditanggung konsumen : TK = tk x Qe’ = 0,63 (5,82) = 3,67

Pajak yang ditanggung produsen per unit : tp = t – tk = 1 – 0,63 = 0,37

Total Pajak yang ditanggung produsen : TP = tp x Qe’ = 0,37 (5,82) = 2,15

Total Pajak yang dibayar pemerintah : T = t x Qe’ = 1 (5,82) = 5,82

28

3.4.3. Pengaruh Subsidi Terhadap Keseimbangan Pasar

Jika pada suatu barang diberikankan subsidi spesifik sebesar s per unit, maka

persamaan fungsi penawaran setelah subsidi akan berubah (lihat tabel), kurva

penawaran akan bergeser ke bawah sejauh s, sementara fungsi permintaan tetap, dan

keseimbangan pasar juga akan berubah.

Fungsi penawaran sebelum pajak Fungsi penawaran setelah pajak

I. P = f (Q) = a Q2+ b Q + c P’ = f (Q) = a Q

2+ b Q + c - s

II. Q = f (P) = a P2

+ b P + c Q’ = f (P+s) = a (P+s)2

+ b (P+s) + c

Contoh :

Fungsi permintaan dan penawaran suatu barang adalah Qd = 36 – P2 dan Qs = P

2 + 4.

Jika pemerintah memberikan subsidi sebesar Rp 2,- per unit.

a. Berapa harga dan jumlah barang yang terjadi di pasar sebelum dan setelah

penetapan subsidi tersebut ?

b. Berapa subsidi per unit yang diterima consumen dan berapa totalnya ?

c. Berapa subsidi per unit yang diterima produsen dan berapa totalnya ?

d. Berapa besar subsidi yang dibayar pemerintah ?

Jawab :

a. Keseimbangan pasar sebelum subsidi ; Qd = Qs

36 – P2 = P

2 + 4

32 = 2 P2 → 16 = P

2 → P = ± √

P = ± 4

P1 = +4 dan P2 = -4

P2 tidak dipakai karena harga negative adalah irrasional.

Dengan mensubtitusi P1 = 4 ke persamaan Qs atau Qd = 36 – (4)2 = 20 , maka

dengan adanya pajak : Pe = 4 dan Qe = 20.

b. Fungsi Penawaran sebelum subsidi : Qs = P2 + 4

Fungsi Penawaran sesudah subsidi (s=2) : Qs’(P+s) = (P+2)2 + 4 = P

2 + 4P + 4 + 4

= P2

+ 4P + 8

Keseimbangan pasar setelah subsidi ; Qd = Qs’

36 – P2 = P

2 + 4P + 8

0 = 2 P2 + 4P – 28 : 2

0 = P2 + 2P – 14

29

Dengan rumus abc : P1,2 = √

= - 2 ± 17,78

2

P1 = -2 + 17,78 = 3,63

2

P2 = -2 - 17,78 = -2,30 (tidak dipakai)

2

Dengan mensubtitusi P1 = 3,63 ke persamaan Qs’ atau Qd = 19 – (3,63)2 = 5,82 ,

maka dengan adanya subsidi : Pe’ = 3,63 dan Qe’ = 5,82.

Selanjutnya, dengan keseimbangan pasar sebelum subsidi: Pe = 4 dan Qe = 20,

maka :

Subsidi yang diterima konsumen per unit : sk = Pe – Pe’ = 4 – 3,63 = 0,37

Total subsidi yang diterima konsumen : SK = sk x Qe’ = 0,37 (5,82) = 2,15

Subsidi yang ditanggung produsen per unit : sp = s – sk = 2 – 0,37 = 1,63

Total Subsidi yang ditanggung produsen : SP = sp x Qe’ = 1,63 (5,82) = 9,49

Total Subsidi yang dibayar pemerintah : S = s x Qe’ = 2 (5,82) = 11,64

3.4.4. Fungsi Biaya

Fungsi biaya. Biaya total (total cost) yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan

dalam operasional bisnisnya terdiri atas biaya tetap (fixed cost) dan biaya variabel

(variabel cost). Sesuai dengan namanya, sifat biaya tetap adalah tidak tergantung pada

jumlah barang yang dihasilkan.

Bentuk non-linear dari fungsi biaya pada umumnya berupa fungsi kuadrat

parabolik dan fungsi kubik. Hubungan antara biaya total dan bagian-bagiannya secara

grafik dapat dilihat sebagai berikut:

a) Fungsi Biaya Kuadrat ( Parabolik )

TC = a Q2 – b Q + c C

AC = TC = a Q2 – b Q + c

Q Q TC

AVC = TVC = a Q2 – b Q TVC

Q Q k

TFC

AFC = TFC = c

Q Q 0 Q

TC min pada saat Q = -b

2a

30

C

AFC

AC

AVC

-b Q

b) Fungsi Biaya Kubik C TC

TC = a Q3 – bQ

2 + cQ + d TVC

AC = TC = aQ3 – bQ

2 + cQ + d

Q Q

AVC = TVC = aQ3 – bQ

2 + cQ = aQ

2 – bQ + c

Q Q k TFC

AFC = TFC = d

Q Q 0 Q

Selain fungsi biaya tetap, biaya variabel dan biaya total dikenal juga biaya

marjinal dan biaya rata-rata. Biaya rata-rata adalah biaya yang dikeularkan untuk

menghasilkan tiap unit produk atas keluaran. Sedangkan biaya marjinal adalah biaya

tambahan untuk menghasilkan tambahan satu unit produk.

Rumusnya :

Biaya total : C = FC + VC

Biaya tetap rata-rata : AFC = FC/Q

Biaya variabel rata-rata : AVC = VC/Q

Biaya rata-rata : AC = C = FC + VC = FC + VC = AFC + AVC

Q Q Q Q

Biaya marjinal : MC = = C1 – C2

Q

31

Contoh :

Biaya yang dikeluarkan sebuah perusahaan C = 2Q2 – 24Q + 102. Pada tingkat

produksi berapa unit biaya total ini minimum? Hitung juga FC, VC, AFC dan AVC.

Dan jika ditambah 1 unit produksi berapa besarnya biaya marjinal?

Jawab :

C minimun terjadi pada titik ekstrim parabola, yaitu :

Q =

=

= 6 unit

Besarnya C minimum = 2Q2 – 24Q + 102

= 2(6)2 – 24(6) + 102 = 30

FC = 102

VC = 2Q2 – 24Q = 2(6)

2 – 24(6) = -72

AC = C/Q = 30/6 = 5

AFC = FC/Q = 102/6 = 17

AVC = VC/Q = -72/6 = -12

Jika ditambah 1 unit Q = 7

C = 2(7)2 – 24(7) + 102 = 32

MC = / = 32 – 30/ 7 – 6 = 2

3.4.5. Fungsi Penerimaan

Penerimaan sebuah perusahaan dari hasil penjualan barangnya merupakan

fungsi dari jumlah barang yang terjual atau dihasilkan. Penerimaan total (total

revenue) adalah hasilkali jumlah barang yang terjual dengan harga jual per unit

barang tersebut. Secara matematika, penerimaan merupakan fungsi jumlah barang.

Penerimaan total adalah fungsi dari jumlah barang dikalikan harga per unit.

Penerimaan rata-rata adalah penerimaan yang diperoleh per unit barang.

Secara grafik kurva AR sama dengan kurva P.

Penerimaan marjinal adalah penerimaan tambahan yang diperoleh dari tambahan

satu unit barang yg dihasilkan/dijual.

R = Q x P = f(Q)

AR = R = Q x P = P

Q Q

MR = ΔR

ΔQ

32

Grafik Fungsi Penerimaan Kuadrat

R

TR max

TR = f(Q)

0 Q

( Pasar Monopoli) produksi

Contoh 1:

Fungsi permintaan ditunjukkan oleh P = 900 – 1,5Q. Bagaimana fungsi penerimaan

totalnya? Berapa besarnya penerimaan total jika terjual 200 unit barang dan hitung

harga per unit? Hitung juga penerimaan marjinal jika pernjualan bertambah 50 unit

dan tentukan tingkat penjualan yang menghasikan penerimaan total maksimum dan

berapa besarnya penerimaan total maksimum tersebut?

Jawab :

Fungsi penerimaan : R = Q x P R = Q x (900 – 1,5Q)

R = 900Q – 1,5Q2

Jika Q = 200 → R = 900(200) – 1,5(200)2 = 120.000

P = 900 – 1,5(200) = 600

Jika Q = 250 → R = 900(250) – 1,5(250)2 = 131.250

MR =

=

= 225

R = 900Q – 1,5Q2

R maksimum pada Q = -b = - 900 = 300

2a 2(-1,5)

Besarnya R maksimum = 900(300) – 1,5(300)2 = 135.000

R(ribuan)

135

120

0 2 3 Q (ratusan)

TR max pada Q = -b

2a

33

Contoh 2:

Seorang produsen monopolis mempunyai fungsi permintaan diketahui P=600 – 1,5Q,

berapa penerimaan totalnya jika barang 150 unit dan berapa harga jual per-unit?

Hitung penerimaan marjinal dari penjualan 150 unit menjadi 250 unit. Tentukan

tingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan total max dan besarnya penerimaan

total max tersebut?

Jawab:

P = 600 – 1,5Q → R = Q x P = 600Q – 1,5Q

Jika Q = 150, → R = 600(150) – 1,5(150) = 56.500

Harga : P = 600–1,5(150) = 375

Jika Q = 250, → R = 600(250) – 1,5(250)² = 90.000

MR =

=

= 75

R = –1,5Q2

+ 600Q

R max pada Q =

=

= 200

Besar R max = –1,5(200)² + 600(200) = 119.700

3.4.6. Perhitungan Laba dan Analisis Pulang Pokok

(Analisis Break Even Point-BEP/ Titik Impas /Balik Modal )

Konsep yang lebih penting berkenan dengan R dan C adalah konsep pulang

pokok (break-even), yaitu suatu konsep yang digunakan untuk menganalisis jumlah

minimun produk yang harus dihasilkan terjual agar perusahaan tidak mengalami

kerugian. Besar kecilnya keuntungan dicerminkan oleh besar kecilnya selisih posititf

antara R dan C. Secara grafik ditunjukkan oleh jarak kurva R dan C, semakin lebar

jarak positif tersebut semakin besar keuntungan yang diperoleh.

Hubungan grafik Fungsi Kuadrat TR dan TC :

C,R TC

л < 0 Untung / Laba positif ( л > 0 ) → TR > TC

BEP(л=0) Titik Impas / BEP ( л = 0 ) → TR = TC

л<0 л>0 Rugi / Laba negatif ( л < 0 ) → TR < TC

BEP(л=0) Jika fungsi laba : Л = a Q2 – b Q + c

maka :

0 Q1 Q2 Q

Л = TR - TC

Л max pada Q = -b

2a

34

Contoh :

Penerimaan total sebuah perusahaan R = -0,10Q2 + 20Q, sedangkan biaya total

C = 0,25Q3 – 3Q

2 + 7Q + 20. Hitung keuntungan perusahaan jika terjual 10 dan 20

unit produk.

Jawab :

Fungsi laba : = R – C = -0,10Q2 + 20Q – (0,25Q

3 – 3Q

2 + 7Q + 20)

= -0,253 + 2,90Q

2 + 13Q – 20

Saat Q = 10, = -0,25(10)3 + 2,90(10)

2 + 13(10) – 20

= 250 + 290 + 130 – 20 = 150 (keuntungan)

Saat Q = 20, = -0,25(20)3 + 2,90(20)

2 + 13(20) – 20

= -2000 + 1160 + 260 – 20 = - 600 (rugi)

3.4.7. Fungsi Utilitas

Fungsi utilitas menjelaskan besarnya utilitas (kepuasan, kegunaan) yang

diperoleh seseorang dari mengkonsumsi suatu barang atau jasa. Pada umumnya

semakin banyak suatu barang dikonsumsi, semakin besar pula utilitas yang diperoleh,

kemudian mencapai titik jenuh pada jumlah konsumsi tertentu lalu berkurang hingga

negatif jika jumlah barang yang dikonsumsi terus ditambah. Utilitas total adalah

fungsi dari jumlah barang yang dikonsumsi. Persamaan utilitas total dari

mengkonsumsi suatu jenis barang berupa fungsi kuadrat parabolik dengan kurva

parabola terbuka ke bawah. Utilitas marjinal adalah utilitas tambahan yang diperoleh

dari setiap tambahan satu unit barang.

U

U = f(Q)

0 MU Q

Utilitas total mencapai puncaknya ketika utilitas marjinal = 0 dan berkurang ketika

utilitas marjinal negatif.

Utilitas total : U = f(Q)

Utilitas marjinal : MU =

35

3.4.8. Fungsi Produksi

Bentuk fungsi produk total yang non-linear pada umumnya berupa sebuah

persamaan kubik yang mempunyai titik belok dan sebuah titik puncak. Produk total

merupakan fungsi dari jumlah masukan faktor produksi yang digunakan. Produk

rata-rata ialah jumlah keluaran atau produk yang dihasilkan dari setiap unit masukan

yang digunakan. Sedangkan produk marjinal ialah produk tambahan yang dihasilkan

dari setiap tambahan satu unit masukan yang digunakan.

Contoh :

Fungsi produksi yang dihadapi oleh seorang produsen ditunjukkan oleh P = 9X2 – X

3.

Bentuklah persamaan produk rata-ratanya serta hitunglah produk total dan produk

rata-rata tersebut jika digunakan masukan sebanyak 6 unit. Berapa produk

marjinalnya jika ditambah 1 unit masukan?

Jawab :

Fungsi produksi : P = 9X2 – X

3

Produk rata-rata : AP = P = 9X2 – X

3 = 9X – X

2

X X

Untuk X = 6 P = 9(6)2 – (6)

3 = 108

AP = P/X = 108/6 = 18

Untuk X = 7 P = 9(7)2 – (6)

3 = 98

MP = =

= -10 (produk marjinal negatif berarti

masukan tambahan yang digunakan justru mengurangi hasil produksi).

Produk total : P = f(X)

Produk rata-rata : AP = P/X

produk marjinal : MP =

36

3.5. Soal-Soal Latihan

1. Keseimbangan pasar tercipta pada harga dan jumlah barang masing-masing adalah

Rp175.000 dan 575 unit barang. Namun keseimbangan pasar tersebut berubah

dengan harga menjadi Rp 225.000 dan jumlah barang menjadi 450 unit, karena

adanya pajak perunit barang. Sementara pada produsen diketahui bahwa ia tidak

akan menjual barangnya bila harga sebesar Rp 140.500.

a. Buatlah fungsi permintaan dan Fungsi penawarannya ?

b. Berapa besar pajak per unit yang akan dikenakan pada produk tersebut dan

berapa besar penerimaan pemerintah dari pajak ?

c. Buatlah dan arsirlah grafik kartesiusnya!

2. Jika diketahui fungsi permintaan dan penawaran masing-masing adalah Q = 5 - P2

dan P = 1 + Q

a. Hitunglah kuantitas dan harga pada kondisi market equilibrium.

b. Bila ada subsidi sebesar 1 per unit, hitung kuantitas dan harga pada posisi

equilibrium yang baru.

c. Tentukan subsidi total yang dikeluarkan pemerintah. Gambarkan grafik

kartesiusnya !

3. Perhatikan grafik berikut ;

C/S a?

b?

(2.500.000, 2.500.000)

c ?

d ?

Y

- Co

a. Fenomena apakah yang ditunjukkan pada grafik di atas ?

b. Buatlah persamaan linear yang ditunjukkan pada pertanyaan a, b, c, d dan e

pada grafik di atas?

c. Berapakah besar pendapatan dan konsumsi jika tabungan sebesar Rp 300.000.

37

4. Sebuah perusahaan mendapatkan keuntungan Rp 2.000.000 dari penjualan barang

sebanyak 1.500 unit. Penerimaan yang diperoleh perusahaan tersebut Rp

30.000.000 sedangkan biaya tetap yang dikeluarkannya guna memproduksi barang

yang dijualnya Rp 13.000.000. Tentukan :

a. Fungsi Penerimaan, Fungsi Biaya Variabel dan Fungsi Biaya Totalnya?

b. Pada tingkat produksi atau penjualan berapa unit perusahaan tersebut dapat

menutupi biaya total yang dikeluarkannya ?

c. Pada tingkat produksi atau penjualan berapa unit perusahaan ini dapat menutupi

biaya tetap yang dikeluarkannya?

38

BAB IV

DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA

Diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan

dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Dengan

diferensial dapat pula disidik kedudukan–kedudukan khusus dari fungsi yang sedang

dipelajari seperti titik maksimum, titik belok dan titik minimumnya – jika ada.

Bab ini membahas diferensial yang menyangkut fungsi yang mengandung

hanya satu variabel bebas dalam persamannya. Pengertian diferensial, hakekat derivat,

kaidah–kaidah diferensial, penggunaanya dalam penyidikan titik ekstrim sebuah

fungsi dan penerapan ekonominya diuraikan di sini.

4.1. KUOSIEN DIFERENSI DAN DERIVATIF

Jika y = f(x) dan terdapat tambahan variabel bebas x sebesar x (baca:”delta

x” ), maka bentuk persamaannya dapat dituliskan menjadi :

y = )(xf

yy = )( xxf

y = yxxf

y = xfxxf

Dimana x adalah tambahan x, dan y adalah tambahan y berkenaan dengan

adanya tambahan x. Jadi y timbul karena adanya x. Apabila ruas kiri dan ruas

kanan persamaan terakhir di atas sama–sama dibagi x, maka diperoleh :

x

xfxxf

x

y

Bentuk Δy/Δx disebut dengan hasilbagi perbedaan atau kuesion diferensi

(difference quotiont), mencerminkan tingkat perubahan rata-rata variabel terikat y

terhadap variabel bebas x.

Proses penurunan sebuah fungsi, disebut juga proses pendiferensian atau

diferensiasi, pada dasarnya merupakan penentuan limit suatu kousien diferensi dalam

hal pertambahan variabel bebasnya sangat kecil atau mendekati nol. Hasil dari proses

diferensiasi disebut turunan atau derivatif (derivative).

Jadi, diferensial adalah proses untuk memperoleh derivative (turunan).

Diferensiable yaitu fungsi yang mempunyai derivative atau dapat didiferensialkan.

39

Notasi diferensial dari suatu fungsi f(x) sebagai berikut :

Jika suatu fungsi ; Y = f (x) didiferensialkan/diturunakan maka turunan pertamanya :

Y’ = f’ (x) = dy = Δy (dy/dx = deye de-eks, Δ = delta)

dx Δx

dy/dx → biasanya untuk fungsi kontinu

Δ → biasanya untuk fungsi deskrit

4.2. KAIDAH–KAIDAH DIFERENSIASI

Secara umum, membentuk turunan sebuah fungsi dapat dilakukan dengan cara

terlebih dahulu menemukan kuosien diferensianya, kemudian menentukan limit

kousien diferensi tersebut untuk pertambahan variabel bebas mendekati nol. Jelasnya,

langkah–langkahnya adalah sebagai berikut :

1. Andaikan fungsi aslinya ialah y = f (x)

2. Masukkan tambahan x dan tambahan y untuk memperoleh

)( xxfyy

3. Manipulasikan untuk memperoleh

xfxxfy

4. Bagi kedua ruas dengan x sehingga diperoleh kuosien diferensinya

x

xfxxf

x

y

)(

5. Tentukan limitnya untuk x → 0, sehingga diperoleh turunan fungsinya

dx

dy

0

lim

x

0

lim

xx

y

x

xfxxf

Langkah-langkah di atas agak menyulitkan, kaidah-kaidah diferensial berikut yang

biasa digunakan untuk menurunkan berbagai bentuk fungsi:

1. Diferensiasi konstanta

Jika y = k , dimana k adalah konstanta, maka y’ = dy = 0

dx

Contoh : y = 3 → y’ = dy = 0

dx

2. Diferensiasi fungsi pangkat

Jika y = xn , dimana n adalah konstanta, maka y’ = dy = nx

n-1

dx

Contoh : y = x4

→ y’ = dy = 4x4-1

= 4x3

dx

40

3. Diferensiasi perkalian konstanta dengan fungsi

Jika y = kv , dimana v = h(x), maka y’ = dy = k dv

dx dx

Contoh : y = 2x4

→ y’ = dy = 4.(2x4-1)

= 8x3

dx

4. Diferensiasi pembagian kontanta dengan fungsi

a. Jika y = k , dimana v = h(x), maka y’ = dy = k (-n)

xn dx x

n+1

Contoh : y = 2 → y’ = dy = - 2.(4.x

-4-1)= -8x

-5 = - 8

x4 dx x

5

b. Jika y = k , dimana v = h(x), maka y’ = dy = - k . dv/dx

v dx v2

Contoh : y = 2 → y’ = dy = - 2.(4.2x

4-1) = -16x

3 = -4

2x4 dx (2x

4)2

4x8 x

-5

5. Diferensiasi penjumlahan (pengurangan) fungsi

Jika y = u ± v , dimana u = g(x) dan v = h(x), maka

y’ = dy = du ± dv

dx dx dx

Contoh : y = 4x2 + x

3 misalkan u = 4x

2 → du/dx = 8x

y’ = dy = du ± dv v = x3

→ dv/dx = 3x2

dx dx dx

= 8x + 3x2

6. Diferensiasi perkalian fungsi

Jika y = uv , dimana u = g(x) dan v = h(x), maka

y’ = dy = u dv ± v du = u.v’ + v.u’

dx dx dx

Contoh : y = (4x2) (x

3)

y’ = dy = u dv ± v du

dx dx dx

= (4x2)(3x

2) + (x

3)(8x) = 12x

4 + 8x

4 = 20x

4

7. Diferensiasi pembagian fungsi

Jika y = u , dimana u = g(x) dan v = h(x), maka

v

y’ = dy = v.du/dx - u.dv/dx = v.u’ – u.v’

dx v2 v

2

41

Contoh : y = 4x2

x3

y’ = dy = v.du/dx - u.dv/dx

dx v2

= (x3) (8x) – (4x

2)(3x

2) = 8x

4 – 12x

4 = -4x

4 = -4x

-2

(x3)2 x

6 x

6

8. Diferensiasi fungsi bepangkat

Jika y = un , dimana u = g(x) dan n = konstanta, maka

y’ = dy = n.un-1

. du

dx dx

Contoh : y = (4x3 + 5)

2 misalkan u = 4x

3 + 5 → du/dx = 12x

2

y’ = dy = n.un-1

. du

dx dx

= 2(4x3 + 5)( 12x

2) = 96x

5 + 120x

2

9. Diferensiasi fungsi akar

Jika y = √ p

= xp/q

, maka y’ = dy = p . xp/q-1

dx q

Contoh : y = √ 2

= x2/3

→ y’ = 2 . x2/3-1

= 2 x-1/3

3 3

4.3. DERIVATIF DARI DERIVATIF

Sesungguhnya setiap fungsi dapat diturunkan lebih dari satu kali, tergantung

pada derajatnya. Dengan perkataan lain, turunannya masih bisa diturunkan lagi.

Turunan pertama (firs derivative) sebuah fungsi adalah turunan dari fungsi awal atu

fungsi aslinya. Turunan kedua (second derivative) sebuah fungsi adalah turunan dari

turunan pertama, turunan ketiga (third derivative) adalah turunan dari turunan kedua,

dan seterusnya.

Contoh : y = f (x) = x3 – 4x

2 + 5x - 7

y’ = dy/dx = 3x2 – 8x + 5

y” = dy/dx = 6x - 8

y”’ = dy/dx = 6

y’v = dy/dx = 0

42

4.4. HUBUNGAN ANTARA FUNGSI DAN DERIVATIFNYA

Pendekatan kalkulus diferensial amat berguna untuk menyidik bentuk gambar

suatu fungsi non-linear. Dengan mengetahui besarnya harga dari turunan pertama

(first derivative) dan turunan kedua (second derivative) sebuah fungsi, akan dapat

dikenali bentuk gambar fungsi tersebut.

Fungsi y = f(x) Kegunaan Kondisi / Syarat

1. Turunan I

y’ = f’ (x)

1. Mengetahui letak titik ekstrim

2. Mengetahui apakah suatu fungsi menaik

atau menurun pada titik tertentu :

Fungsi menaik (slope kurva positif)

Fungsi menurun (slope kurva negatif)

y’ = dy = f’ (x) = 0

dx

y’ = dy = f’ (x) > 0

dx

y’ = dy = f’ (x) < 0

dx

2. Turunan II

y” = f” (x)

1. Mengetahui jenis titik ekstrim :

Titik Ekstrim maksimum (x,y)

Titik Ekstrim minimum (x,y)

2. Mencari titik belok fungsi

Pada y’ = 0

y” = d2y = f”(x) < 0

dx2

y” = d2y = f”(x) > 0

dx2

y” = 0

4.5. FUNGSI MENAIK DAN FUNGSI MENURUN

Derivatif pertama dari sebuah fungsi non–linear dapat digunakan untuk

menentukan apakah kurva dari fungsi yang bersangkutan menaik ataukah menurun

pada kedudukan tertentu. Dalam kasus khusus, derivatif pertama dapat pula

menunjukkan titik ekstrim sebuah fungsi non-linear.

Decreasing Function

(Fungsi Menurun)

Increasing Function

(Fungsi Menaik)

Fungsi menurun adalah suatu kondisi

dimana nilai fungsi y menurun pada saat

nilai x bertambah sehingga kemiringan

kurva negatif.

y’ = dy/dx = tg α < 0

Fungsi menaik adalah suatu kondisi dimana

nilai fungsi y menaik pada saat nilai x

bertambah sehingga kemiringan kurva

positif:

y’ = dy/dx = tg α > 0

43

Kurva cembung ke bawah atau terbuka ke

atas

Mempunyai titik minimum → (x,y) pada

y” = d2y = f”(x) > 0

dx2

y

y = f(x)

y

0 x x

Contoh : y = x2 – 8x + 12

Kurva cembung ke atas atau terbuka ke

bawah

Mempunyai titik maksimum → (x,y) pada

y” = d2y = f”(x) > 0

dx2

y

y y = f(x)

0 x x

Contoh : y = -x2 + 4x - 6

4.6. TITIK EKSTRIM : MAKSIMUM - MINIMUM DAN TITIK

BELOK FUNGSI

Titik maksimum dan titik minimum suatu fungsi kuadrat atau kubik (jika ada),

serta titik beloknya, dapat dicari melalui penelusuran terhadap derivatif pertama dan

derivatif kedua fungsinya. Derivatif pertama berguna untuk menentukan letak titik

(titik) ekstrimnya, sedangkan derivatif kedua bermanfaat guna mengetahui jenis titik

(-titik) ekstrim yang bersangkutan dan menentukan letak titik beloknya. ( lihat tabel

materi 4.4.)

Fungsi Parabola atau fungsi Kubik : y = f (x) dapat dicari :

1. Letak titik ekstrim pada saat y’ = dy = f’ (x) = 0

dx

2. Jenis titik ekstrim :

Titik Ekstrim maksimum jika y” = d2y = f”(x) < 0 pada saat y’ = 0

dx2

Titik Ekstrim minimum jika y” = d2y = f”(x) > 0 pada saat y’ = 0

dx2

3. Mencari titik belok fungsi pada saat y” = d2y = f” (x) = 0

dx2

44

4.7. PENERAPAN EKONOMI

Teori diferensial amat lazimm diterapkan dalam konsep elastisitas, konsep

nilai marjinal dan konsep optimisasi. Dalam kaitanya dengan konsep elastisitas, pada

sub–bab ini secara berurutan akan dibahas penerapan diferensial dalam penghitungan

elastistas berbagai variabel ekonomi. Sedangkan dalam kaitannya dengan konsep nilai

marjinal dan konsep optimisasi, akan dibahas penerapan diferensial dalam pembentuk

fungsi atau penghitungan nilai marjinal dari berbagai variabel ekonomi, serta

penentuan nilai optimum dari fungsi atau variabel yang bersangkutan.

4.7.1. Elastisitas

Elastisitas dari suatu fungsi y = f (x) berkenan dengan x dapat didefinisikan

sebagai

Ini berarti bahwa elastistas y = f (x) merupakan limit dari rasio antara

perubahan relatif dalam y terhadap perubahan relatif dalam x, untuk perubahan x yang

sangat kecil atau mendekati nol.

(a) Elastisitas Permintaan

Elastisitas permintaan (istilahnya yang lengkap : elastisitas harga

permintaan, price elasticity of demand) ialah suatu koefisien yang menjelaskan

besarnya perubahan jumlah barang yang diminta akibat adanya perubahan harga.

Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan ),(PfQd maka elastisitas permintaannya

Dimana dpdQd / tak lain adalah '

dQ atau Pf '

Contoh :

Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh Qd = 25 – 3 P2. Tentukan

elastisitas permintaannya pada P = 5.

Jawab :

Qd = 25 – 3P2

Q’d = -6P

d =

= -6P .

– 2

y

x

dx

dy

Ex

Ey.

Δx/x

Δy/y

0Δx

lim

d

ddddd

Q

P.

dp

dQ

ΔP/P

/QΔQ

0ΔP

lim

EP

EQ

%Δ

%Δηd

P

Q

45

d = -6(5) .

2 =

= 3 (elastis)

d = 3 berarti bahwa apabila dari kedudukan P = 5, harga naik (turun) sebesar 1

persen maka jumlah barang yang diminta akan berkurang (bertambah) sebanyak 3

persen.

(b) Elastisitas Penawaran

Elastisitas penwaran (istilahnya yang lengkap : elastisitas harga penawaran,

price elasticity of supply) ialah suatu koefisien yang yang menjelaskan besarnya

perubahan jumlah barang yang ditawarkan berkenaan adanya perubahan harga.

Dimana dpdQs / tak lain adalah '

sQ atau ).(' Pf

Contoh :

Fungsi penawaran suatu barang Qs = -200 + 7 P2. Berapa elastisitas penawaran pada

tingkat harga P = 10 dan P = 15?

Jawab :

Qs = -200 + 7 P2

Qs’ =

= 14P

s =

= 14P .

2

Pada P = 10, s = 140 .

2 =

= 2,8

(c) Elastisitas Produksi

Elastisitas produksi ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya

perubahan jumlah keluaran (ouput) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah

masukan (input) yang digunakan. Jika P melambangkan jumlah produk yang

dihasilkan sedangkan X melambangkan jumlah faktor produksi yang digunakan, dan

fungsi produksi dinyatakan dengan P = f (x), maka elastisitas produksinya :

Di mana dP / dX adalah produk marjinal dari X [P’ atau f’ (X)]

s

sssss

Q

P.

dp

dQ

ΔP/P

/QΔQ

0Δp

lim

EP

EQ

%Δ

%Δηs

P

Q

P

X.

dX

dP

ΔX/X

ΔP/P

0ΔX

lim

EX

EP

%Δ

%Δηp

X

P

46

C

MC

0

1

4

C, MC

Q1

4.7.2. Biaya Marjinal

Biaya marjinal (Marginal Cost, MC) ialah biaya tambahan yang dikeluarkan

untuk menghasilkan satu unit tambahan produk. Secara matematika, fungsi biaya

marjinal merupakan derivatif pertama dari fungsi biaya total.

Jika fungsi biaya total dinyatakan dengan C = f (Q) di mana C adalah biaya

total dan Q melambangkah jumlah produk, maka biaya marjinalnya :

Contoh ;

C = Q3 – 3 Q

2 4Q – 4

MC = C’ = 3 Q2 - 6Q + 4

(MC)’ = C” = 6Q – 6

MC minimum jika ( MC )’ = 0

(MC)’ = 0 6Q – 6 = 0 Q = 1

Pada Q = 1 MC = 3(1)2 - 6 (1) + 4 = 1

C = - 3 + 4(1) + 4 = 6

4.7.3. Penerimaan Marjinal

Penerimaan marjinal (Marginal Revenue, MR) ialah penerimaan tambahan

yang diperoleh berkenaan bertambahnya satu unit keluaran yang diproduksi atau

terjual. Jika fungsi penerimaan total dinyatakan dengan R = f (Q) di mana R

melambangkan penerimaan total dan Q adalah jumlah keluaran, maka penerimaan

marjinalnya :

Contoh :

Fungsi permintaan ditunjukkan oleh P = 900 – 1,5Q. Bagaimana fungsi penerimaan

totalnya? Berapa besarnya penerimaan total jika terjual 200 unit barang dan hitung

harga per unit? Hitung juga penerimaan marjinal jika pernjualan bertambah 50 unit

dan tentukan tingkat penjualan yang menghasikan penerimaan total maksimum dan

berapa besarnya penerimaan total maksimum tersebut?

dQ

dCCMC

'

dQ

dRRMR

'

47

Jawab :

Fungsi penerimaan : R = Q x P R = Q x (900 – 1,5Q)

R = 900Q – 1,5Q2

Jika Q = 200

R = 900(200) – 1,5(200)2 = 120.000

P = 900 – 1,5(200) = 600

Jika Q = 250, R = 900(250) – 1,5(250)2 = 131.250

MR =dQ

dR =

R = 900Q – 1,5Q2

R maksimum pada saat R’ = 0 →R’ = 900 – 3Q = 0 → Q = -900/-3 = 300

Besarnya R = 900(300) – 1,5(300)2 = 135.000

R(ribuan)

135

120

0

2 3 Q (ratusan)

4.7.4. Utilitas marjinal

Utilitas marjinal (Marginal Utility, MU) ialah utilitas tambahan yang

diperoleh konsumen berkenan satu unit tambahan barang yang dikonsumsinya. Jika

fungsi utilitas total dinyatakan dengan U = f (Q) di mana U melembangkan utilitas

total dan Q adalah barang yang dikonsumi, maka utilitas marjinalnya.

dQ

dUUMU

'

48

90

0

U = 90 Q - 5 Q 2

MU = 90 - 10 Q

Q9 18

U, MU

3 6

MP = g(X)

P = f(X)

P3 MP

108

54

27

0

Contoh :

U = f(Q) = 90Q – 5Q2

MU = U’ = 90 – 10Q

U maksimum pada MU = 0

MU = 0 → 90 – 10Q = 0

Q = 9

U maksimum = 90(9) – 5(9)2

= 810 – 405

= 405

4.7.5. Produk Marjinal

Produk marjinal (Marginal Product, MP) ialah produk tambahan yang

dihasilkan dari satu unit tambahan faktor produksi yang digunakan. Secara

matematika, fungsi produk marjinal merupakan derivatif pertama dari fungsi produk

total. Jika fungsi produksi total dinyatakan dengan P= f (X) di mana P melambangkan

jumlah produk total dan X adalah jumlah masukan, maka produk marjinal :

Contoh ;

Produk total : P = f(X)= 9 X2 – X

3

Produk Marjinal : MP = P’ = 18X – 3X2

P maksimum pada P’ = 0

18X - 3X2 = 0

3X (6 – X) = 0 → X = 6

P maksimum = 9 (6)2 – (6)

3 = 108

P berada di titik belok dan MP maksimum

pada P” = (MP)’ = 0, yakni pada X = 3

dX

dPPMP

'

49

4.7.6. Analisis Keuntungan Maksimum

Tingkat produksi yang memberikan keuntungan maksimum, atau

menimbulkan kerugian maksimum, dapat disidik dengan pendekatan diferensial.

Karena baik penerimaan total (R) maupun biaya total (C) sama–sama merupakan

fungsi dari jumlah keluaran yang dihasilkan / terjual (Q), maka dari sini dapat

dibentuk suatu fungsi baru yaitu fungsi keuntungan (π).

Contoh :

Dik : Fungsi Permintaan P = 1000-2Q dan fungsi biaya C = Q3 - 59Q

2 +1315Q +2000

Ditanya: a. Berapakah produk yang harus di produksi dan di jual sehingga dapat di

peroleh laba yang maksimum ?

b. Berapakah laba maksimum tersebut ?

Jawab:

Fungsi pendapatan : R = P.Q

R = (1000 - 2Q).Q = 1000 Q - 2 Q2

Fungsi biaya: C = Q3 - 59Q

2 +1315Q + 2000

Fungsi laba : π = R-C

π = (1000Q - 2Q2) - (Q

3 - 59Q

2 + 1315Q + 2000)

= - Q3 + 57Q

2 - 315Q - 2000

Laba maksimum : π’ = 0 → π’ = -3Q2 + 114Q – 315 = 0 : -3

Q2 - 38Q + 105 = 0

(Q - 3) (Q - 35) = 0

maka diperoleh Q1 = 3 dan Q2 = 35

π” = - 6Q + 114

Untuk Q1 = 3 → π” = - 6(3) + 114 = 96 > 0

Berarti jika d produksi output sebanyak 3, maka labanya akan minimum.

Untuk Q2 = 35 → π” = - 6(35) + 114 = - 96 < 0

Berarti jika di produksi output sebanyak 35, maka labanya akan maksimum.

Fungsi Keuntungan/Laba : Л = TR - TC = f ( Q )

Л optimum bila Л’ = 0 atau MR = MC

- Jika Л “ < 0 → Л max ( Keuntungan Maksimum )

- Jika Л “ > 0 → Л min ( Keuntungan Minimum )

50

Laba maksimumnya sebesar : πmax = - Q3 + 57Q

2 - 315Q - 2000

= - (35)3

+ 57(35)2

- 315(35) – 2000 = 13.925

Jadi dengan memproduksi dan menjual output sebanyak 35 akan di peroleh laba

maksimum sebanyak 13.925

4.7.7. Penerimaan Pajak Maksimum

Misalkan fungsi permintaan suatu barang adalah P = c – dQ dan fungsi

penawaran P = a + bQ . Jika pemerintah mengenakan pajak spesifik sebesar t atas

setiap unit barang yang dijual, maka pajak per unit (t) dan total Pajak (T) dapat

dihitung dengan tahapan berikut :

1. Cari persamaan Penawaran sesudah pajak : P = a + bQ + t

2. Rubah dalam bentuk fungsi pajak spesifik per unit barang yaitu :

t = P - a - bQ

3. Subtitusikan P dengan fungsi permintaan kedalam persamaan fungsi t, sbb;

t = (c – dQ) - a - bQ = (c - a) – (d + b) Q

4. Cari Persamaan pajak total/total pajak: T= t.Q = (c - a) Q – (d+b) Q2

5. Cari berapa jumlah unit barang (Q) pada kondisi pemerintah akan memperoleh

penerimaan maksimum ( Tmax) dengan syarat T’ = 0.

T maksimum jika T’ =0 , yakni pada Q = (c - a) / 2 ( d+b)

6. Hitung berapa Tmax (penerimaan total pajak maksimum pemerintah)

Contoh :

Andaikan permintaan akan suatu barang ditunjukan oleh persamaan P = 15 - Q

sedangkan penawarannya P = 3 + 0,5Q. pemerintah bermaksud mengenakan pajak

spesifik sebesar t atas setiap unit barang yang dijual. Jika penerimaan pajak atas

barang ini diinginkan maksimum, berapa besarnnya pajak per unit yang harus

ditetapkan? Berapa besar penerimaan pajak tersebut? Gambarkan kurva?

Jawab :

Penawaran sesudah pajak: P = a + bQ + t → P = 3 + 0,5Q + t

Pajak per unit: t = P – a – bQ → t = P – 3 – 0,5Q

karena fungsi permintaan P = 15 – Q , maka t = p – 3 – 0,5Q menjadi

t = (15 – Q) – 3 – 0,5Q

t = 12 – 1,5Q

51

Pajak total : T = t.Q → T = (12 -1,5) Q = 12Q – 1,5Q2

T maksimum jika T’ = 0, maka T’ = dT/dQ = 12 - 3Q = 0 → Q = 4

Pada Q = 4, t = 12 – 1,5(4) = 12 – 6 = 6

Sedangkan T = t.Q = 6(4)=24

Persamaan penawaran sesudah pajak : P = 3 + 0,5Q + 6 = 9 + 0,5Q

Harga keseimbangan di pasar adalah P = 3 + 0,5(4) + 6 = 11 .

Jadi Tmaksimum = 24 jika t = 6

P, T, t

24 T =12Q – 1,5 Q2 P = 9 + 0,5Q

15

12 P =3+ 0,5Q

9

P = 15- Q

3 t = 12 – 1,5Q

0 4 8 15 Q

4.7.8. Efek Pemajakan Bagi Penunggal

Pajak, di samping merupakan sumber penting pendapat negara, dapat pula

fungsi sebagai instrumen kendali atas keuntungan ”berlebihan” yang dapat dikeduk

oleh penunggal (monopolist). Pengenaan pajak sebesar t per unit barang yang

diproduksi atau dijual oleh penunggal akan mengakibatkan biaya rata-ratanya

meningkat sebesar t, dan biaya totalnya meningkat sebesar tQ. Akibatnya bukan saja

harga barang menjadi lebih mahal, tetapi juga keuntungan yang diperoleh penunggal

menjadi berkurang.

Penerimaan total : R = r(Q) Keuntungan : π = R - C

Biaya total : C = c(Q) π = r(Q) - c(Q)

Biaya total sesudah pengenaan pajak : Ct = c(Q) + tQ

Keuntungan sesudah pengenaan pajak : πt = r(Q) – c(Q) – tQ

Pajak perunit : t

Pajak total : T = t.Q = f(t,Q)

52

Contoh 1 :

Andaikan fungsi permintaan seorang penunggal (monopolist) P = 1000 – 2Q dan

fungsi biaya totalnya C = 2000 + 1315 Q – 59 Q2

+ Q3. Pemerintah memungut pajak

sebesar 405 atas setiap unit barang yang diproduksi/dijual. Bandingkan keuntungan

maksimum yang diperoleh penunggal ini antara tanpa dan dengan pengenaan pajak!

Berapa pajak total yang diterima pemerintah?

Jawab ;

Tanpa pengenaan pajak :

Fungsi penerimaan : R = P.Q = 1000 Q – 2 Q2

Fungsi Biaya : C = 2000 + 1315 Q – 59 Q2 + Q

3

Fungsi Keuntungan : = R – C

= (1000 Q – 2 Q2) – (2000 + 1315 Q – 59 Q

2 + Q

3)

= - Q3

+ 57 Q2

– 315Q - 2000

maksimum pada saat π’ = 0 → π’ = -3 Q2 + 114Q – 315 = 0 : -3

Q2 – 38Q + 105 = 0

(Q - 3) (Q - 35) = 0 ,maka

Q1 = 3 , Q2 = 35

Perhitungan selanjutnya yang digunakan Q = 35 karena π” = -6(35) + 114 = -96 < 0

Keuntungan maksimum : max = - Q3 + 57Q

2 - 315Q - 2000

= - (35)3

+ 57(35)2

- 315(35) – 2000 = 13.925

Harga : Pe = 1000 – 2(35) = 930

Dengan pengenaan pajak :

Biaya total setelah pajak : C = c(Q) + tQ = 2000 + 1315 Q – 59 Q2

+ Q3 + 405 Q

= Q3 - 59 Q

2 + 1720Q + 2000

Fungsi keuntungan yang baru : t = R - Ct

= (1000 Q – 2 Q2) – (Q

3 - 59 Q

2 + 1720Q + 2000)

= - Q3

+ 57 Q2

– 720 Q – 2000

= – 3 Q2

+ 114 Q -720 = – 6 Q + 114

maksimum jika = 0 dan < 0

= 0 → – 3 Q2

+ 114 Q -720 = 0 : -3

Q2 – 38 Q + 240 = 0

(Q – 8 ) ( Q – 30) = 0 , maka

Q1 = 8 , Q2 = 30

Jika Q = 8 → = 66

53

Jika Q = 30 → = - 66 < 0 (memenuhi syarat maksimum)

Jadi Q = 30 → maksimum = - 2000 -720(30) + 57(30)2

– (30)3 = 4.700

Pe = 1000 – 2(30) = 940

Pajak total yang diterima pemerintah : T = t.Q = 405 (30) = 12.150

[ Jika dianalisis, dari jumlah 12.150 ini, sebesar TK = (940-930)x30 = 300 merupakan

beban pajak total yang ditanggung oleh pihak konsumen, selebihnya TP = 12.150 –

300 = 11.850 ditanggung oleh produsen (si penunggal). Hal ini mencerminkan

kebijakan pajak cukup efektif untuk mengendalikan keuntungan produsen monopolis]

Contoh 2 :

Andaikan seorang produsen monopolis menghadapi fungsi permintaan Q = 100 - 5P

dan biaya totalnya C = 20 – 4Q + 0,1 Q2. Pemerintah mengenakan pajak atas setiap

unti barang yang dijual oleh penunggal dan menginginkan pajak total yang

diterimanya maksimum. Di lain pihak, walaupun barang dagangannya dipajaki,

produsen tetap menginginkan operasi bisnisnya menghasilkan keuntungan

maksimum. Berapa pajak per unit yang harus ditetapkan oleh pemerintah agar

penerimaan pajaknya dan juga keuntungan produsen maksimum? Hitunglah masing-

masing penerimaan pajak maksimum dan keuntungan maksimum tersebut.

Jawab ;

Permintaan : Q = 100 – 5P → P = 20 – 0,2 Q

Penerimaan : R = P.Q = 20 – 0,2 Q ) Q = 20 Q – 0,2 Q2

Biaya total setelah pajak : C = 20 – 4Q +0,1 Q2 + tQ (t melambangkan pajak per unit)

Keuntungan : = R – C = (20 Q – 0,2 Q2)

– (20 – 4Q + 0,1Q2 + tQ)

= - 0,3 Q2 + 24 Q – tQ – 20

= - 0,6 Q + 24 – t

maksimum jika = 0 → -0,6 Q + 24 – t = 0 → Q = (24 – t)/0,6

T = t.Q = t(24 – t)/0,6 = (24 t – t2)/0,6

T’ = dT/dt = (24 – 2t)/0,6

T maksimum bila T’ = 0 → (24 – 2t)/0,6 = 0 → 24 – 2t = 0 → t = 12

Jadi T maksimum bila t = 12 [ bukti : T” = ( - 2/ 0,6) < 0 ]

maksimum jika Q = (24 –t)/0,6 = (24 – 12)/0,6 = 20

Adapun besarnya T maksimum = t.Q = 12(20) = 240

Sedangkan maksimum = - 0,3(20)2 + 24(20) – 12(20) -20 = 100

54

Soal-Soal Latihan :

1. Diketahui fungsi penawaran suatu produk : P = 2Q + 6 dan fungsi permintaan

P = - 2Q2 – 2Q + 54

Ditanya : a. Elastisitas fungsi penawaran jika P = 10 ?

b. Elastisitas fungsi permintaan jika Q = 5 ?

c. Elastisitas pada kondisi keseimbangan pasar ?

2. Tentukan nilai Q pada persamaan P = 54 – 2Q2

agar memiliki unitary elastisitas?

3. Tentukan nilai TC min dari fungsi TC = 3Q2 !

Q – 2

4. Diketahui fungsi permintaan P = 350 - 0,5 Q. Berapa penerimaan minimum ?

5. Diketahui fungsi biaya TC = 0,01 Q2 + 5Q + 16.

Carilah nilai AVCmin dan ACmin !

6. Pada suatu perusahaan diketahui fungsi permintaan P = 520 – 2Q dan fungsi biaya

rata-rata AC = Q + 160 + 2000/Q . Carilah tingkat laba maksimum !

7. Seorang monopolis menghadapi fungsi permintaan Q = 100 - 5P dan fungsi biaya

total TC = 20 – 4Q + 0,1Q2. Ditanya :

a. Jumlah produksi pada saat TRmaksimum dan berapa TRmaksimumnya ?

b. Jumlah produksi pada saat TCminimum dan berapa besar TCminimum ?

c. Jumlah produksi agar keuntungan maksimum dan berapa besar keuntungan

maksimum ?

d. Jika pemerintah memungut pajak sebesar Rp 6 setiap unit, berapa jumlah

yang diproduksi? Berapa keuntungan maksimum yang diperoleh monopolis,

berapa pajak total yang diterima pemerintah, berapa beban pajak yang

ditanggung konsumen dan produsen !

e. Jika pemerintah ingin menetapkan pajak, berapa pajak per unit yang harus

ditetapkan oleh pemerintah agar penerimaan pajaknya dan keuntungan

produsen maksimum dan hitung masing-masing penerimaan pajak maksimum

dan keuntungan maksimum tersebut !

55

BAB V

DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK

(DIFERENSIAL PARSIAL)

5.1. DIFERENSIASI PARSIAL

Sebuah fungsi yang hanya mengandung satu variabel bebas hanya akan

memiliki satu macam turunan. Apabila y = f (x) maka turunanya hanyalah turunan y

terhadap x, dengan kata lain y = dy / dx.

Fungsi Majemuk adalah fungsi yang mengandung lebih dari satu macam

variabel bebas. Prinsip diferensiasinya tidak berbeda dengan prinsip diferensiasi

fungsi sederhana ( bervariabel bebas tunggal).

Diferensiasi fungsi majemuk disebut juga diferensiasi parsial yaitu proses

menurunkan suatu fungsi bagian perbagian berdasarkan jumlah variabel bebasnya.

Jika sebuah fungsi mempunyai n macam variabel bebas maka ia akan memiliki n

macam turunan.

Jika y = f(x,z) maka akan terdapat dua macam turunan, yaitu turunan y

terhadap x atau y/ x dan turunan y terhadap z atau y/ z ( ” ” dibaca ”dho”,

hanya pada diferennsial parsial). Sesungguhnya y/ x dari y = zxf , adalah

turunan dari zxf . terhadap x dengan anggapan hal–hal lain tetap atau konstan

(dalam ekonomi dikenal dengan sebutan asumsi ceteris paribus). Oleh karena itu

dalam menurunkan y = f (x,z) terhadap x hanya suku–suku yang mengandung

variabel x saja yang diturunkan.

Jika y = (x1, x2, x3, … , xn) maka persamaan fungsi turunan pertama dan

seterusnya akan berjumlah nk ( n = jumlah variabel bebas dan k = turunan ke berapa

yang akan dicari, tergantung jumlah pangkat tertinggi variabel bebasnya ).

5.2. DERIVATIF DARI DERIVATIF PARSIAL

Seperti halnya fungsi dengan satu variabel bebas, fungsi dengan lebih dari satu

variabel bebas pun dapat diturunkan lebih dari satu kali. Dengan kata lain masing –

masing turunan parsialnya masih mungkin diturunkan lagi.

Contoh : y = x3 + 5 z

2 – 4 x

2 z + 8 z - 7

56

Turunan I → 21

= 2 persamaan fungsi , yaitu :

(1) y’x = ∂y = 3 x2 – 8 x z (2) y’z = ∂y = 10 z – 4 x

2 + 8

∂x ∂z

Turunan II → 22

= 4 persamaan fungsi , yaitu :

(1,a) y’’xx = ∂2y = ∂

2y = 6x – 8z (1,b) y’’xz = ∂

2y = – 8x

∂x. ∂x ∂x2 ∂x. ∂z

(2,a) y’’zx = ∂2y = – 8x (2,b) y’’zz = ∂

2y = ∂

2y = 10

∂z. ∂x ∂z. ∂z ∂z2

Turunan III → 23

= 8 persamaan fungsi , yaitu :

(1a,1) y’’’xxx = ∂3y = ∂

3y = 6 (1a,2) y’’’xxz = ∂

3y = ∂

3y = – 8

∂x.∂x.∂x ∂x3 ∂x.∂x.∂z ∂x

2.∂z

(1b,1) y’’’xzx = ∂3y = ∂

3y = – 8 (1b,2) y’’’xzz = ∂

3y = ∂

3y = 0

∂x.∂z.∂x ∂x2.∂z ∂x.∂z.∂z ∂x. ∂z

2

(2a,1) y’’zxx = ∂3y = ∂

3y = – 8 (2a,2) y’’’zxz = ∂

3y = ∂

3y = 0

∂z.∂x.∂x ∂z.∂x2 ∂z.∂z.∂x ∂z

2.∂x

(2b,1) y’’’zzx = ∂3y = ∂

3y = 0 (2b,2) y’’’zzz = ∂

3y = ∂

3y = 0

∂z.∂z.∂x ∂z

2.∂x ∂z.∂z.∂z ∂z 3

5.3. NILAI EKSTRIM : MAKSIMUM DAN MINIMUM

Nilai–nilai ekstrim (optimum) dari sebuah fungsi yang mengandung lebih dari

satu bebas dapat dicari dengan pengujian sampai derivatif keduanya :

Syarat di atas adalah syarat yang diperlukan (necessary condition) agar

fungsinya mencapai mancapai titik ekstrim.

Syarat diatas adalah syarat yang diperlukan agar fungsinya mencapai titik

Ekstrim. Guna mengetahui apakah titik Ekstrim itu berupa titik maksimium ataukah

titk minimum, dibutuhkan syarat yang mencukupkan, yakni :

Untuk y = ,zx,f

Maka y akan mencapai titik ekstrimnya jika :

0

x

y

dan 0

z

y

57

Contoh :

Selidiki titik ekstrim dari fungsi y = -x² + 12x – z² + 10z – 45 apakah titik maksimum

atau titik minimum?

Jawab :

Fx = ∂y/∂x = -2x +12 = 0 Fz = ∂y/∂z = -2z + 10 = 0

-2x + 12 = 0 -2z + 10 = 0

-2x = 12 maka x = 6 -2z = -10 maka z = 5

y = -6² + 12(6) – 5² + 10(5) – 45 = 16

Fxx =

-2 < 0 dan Fzz =

= -2 < 0 , → maka titik ekstrimnya maksimum

dengan y max = 16

5.4. OPTIMISASI BERSYARAT

Dalam kenyataan seringkali kita harus mengekstrimkan atau

mengoptimumkan suatu fungsi, yaitu mencari nilai maksimum atau minimumnya,

tetapi terkekang oleh suatu fungsi lain yang harus dipenuhi atau fungsi yang hendak

dioptimumkan tadi menghadapi suatu kendala (constraint).

Pengganda Lagrange ( λ )

Penghitungan nilai ekstrim sebuah fungsi yang menghadapi kendala berupa

sebuah fungsi lain dapat diselesaikan dengan Metode Lagrange, dengan membentuk

fungsi baru yaitu fungsi Lagrange menggunakan pengganda Lagrange λ.

Fungsi lagrange merupakan penjumlahan dari fungsi yang hendak

dioptimumkan ditambah hasil kali pengganda lagrange λ dengan fungsi kendalanya.

Pengganda Lagrange λ adalah suatu variabel tak-tentu yang hanya bersifat

sebagai variabel pembantu mempermudah perhitungan. Dalam membentuk fungsi

baru Lagrange, fungsi yang menjadi kendala harus diimplisitkan dulu (dibuat sama

dengan nol).

Maksimum bila

dan

< 0

Minimum bila

> 0 dan

< 0

58

Caranya :

Misalkan hendak dioptimumkan z = f(x , y ) → Fungsi Tujuan

Dengan syarat harus terpenuhi u = g(x , y) → Fungsi Kendala

Maka fungsi Lagrangenya :

Nilai ekstrim F (x , y , λ) dapat dicari dengan memformulasikan masing-masing

derivative-parsial pertamanya sama dengan nol → F optimum pada saat F’ = 0

→ Syarat yang diperlukan

( necessary condition )

Guna mengetahui jenis nilai titik ekstrim, apakah titik maksimum ataukah titik

minimum, dibutuhkan syarat yang mencukupkan ( sufficient condition ) dengan

menyelidiki derivative-parsial keduanya.

Contoh :

Tentukan nilai ekstrim dari fungsi z = 2x + 2y dengan syarat x2 + y

2 = 8. Jelaskan

nilai ekstrimnya!.

Jawab :

Fungsi tujuan : z = 2x + 2y (akan dioptimumkan)

Fungsi syarat/kendala : x2

+ y2 = 8 → x

2 + y

2 – 8 = 0

Fungsi Lagrange : F = 2x + 2y + λ ( x2 + y

2 – 8 )

= 2x + 2y + λ x2 + λ y

2 – 8 λ

Agar F ekstrim / optimum → F’ = 0

(1) Fx = 2 + 2 λ x = 0 → λ = - 1/x Berdasarkan (1) dan (2) :

(2) Fy = 2 + 2 λ y = 0 → λ = - 1/y λ1 = λ2 → - 1/x = - 1/y atau y = x

Menurut fungsi kendala : x2

+ y2 = 8

Karena y = x , maka : x2

+ x2 = 8

2x2

= 8 , x2 = 4 → x = + 2 = y

Karena y = x maka x = + 2 dan y = + 2

F (x , y , λ) = f(x , y ) + λ g(x , y)

yyyyy)

Fx (x , y , λ) = fx + λ gx = 0

Fy (x , y , λ) = fy + λ gy = 0

Maksimum bila Fxx < 0 dan Fyy < 0

Minimum bila Fxx > 0 dan Fyy > 0

59

* Untuk x = 2 dan y = 2 → z = 2x + 2y = 2(2) + 2 (2) = 8

λ1 = λ2 = - 1/x = - 1/y = -1/2

Fxx = 2 λ = 2 (-1/2) = -1 < 0

Fyy = 2 λ = 2 (-1/2) = -1 < 0

Karena Fxx < 0 dan Fyy < 0 , maka nilai ekstrimnya maksimum dengan zmaks = 8

* Untuk x = -2 dan y = -2 → z = 2x + 2y = 2(-2) + 2 (-2) = -8

λ1 = λ2 = - 1/x = - 1/y = -1/(-2) = 1/2

Fxx = 2 λ = 2 (1/2) = 1 > 0

Fyy = 2 λ = 2 (1/2) = 1 > 0

Karena Fxx > 0 dan Fyy > 0 , maka nilai ekstrimnya minimum dengan zmin = -8

Kondisi Kuhn – Tucker

Metode Kuhn–Tucker merupakan pengembangan lebih lanjut dari model

optimisasi bersyarat. Jika dalam metode pengganda Lagrange kita mengoptimumkan

sebuah fungsi terhadap kendala yang berbentuk persamaan, maka dalam metode

Kuhn-Tucker kita mengoptimumkan sebuah fungsi terhadap sebuah fungsi yang

berbentuk pertindaksamaan.

5.5. PENERAPAN EKONOMI

Pendekatan diferensiasi parsial sangat bermanfaat untuk diterapkan pada

model – model ekonomi yang mengandung lebih dari satu variabel bebas, dalam hal

kita hendak menelaah secara parsial pengaruh dari salah satu variabel bebas tadi

terhadap variabel terikatnya.

5.5.1. Permintaan Marjinal dan Elastisitas Permintaan Parsial

Apabila dua macam barang mempunyai hubungan dalam penggunaannya,

maka permintaan akan masing-masing barang akan fungsional terhadap harga kedua

macam barang tersebut. Dengan perkataan lain jika harga barang A dan barang B

mempunyai hubungan pengunaan, maka;

Qda = f (Pa’ Pb) dan Qdb = f (Pa’ Pb)

60

Derivatif, pertama dari Qda dan Qdb adalah fungsi-fungsi permintaan marjinalnya,

dimana:

adalah permintaan marjinal akan A berkenan dengan Pa

adalah permintaan marjinal akan A berkenan dengan Pb

adalah permintaan marjinal akan B berkenan dengan Pa

adalah permintaan marjinal akan B berkenan dengan Pb

Dengan dapat diturunkannya fungsi permintaan marjinal tersebut, dapatlah dihitung

elastisitas permintaan parsialnya. Ada 2 macam elastisitas permintaan, yaitu:

1. Elastisitas yang mengukur kepekaan perubahan permintaan suatu barang

berkenaan perubahan harga sendiri (elastisitas harga permintaan)

2. Elatisitas yang mengukur kepekaan perubahan permintaan suatu barang

berkenaan perubahan harga barang lain (elstisitas silang permintaan)

RUMUS ELASTISITAS PARSIAL

ηda =

=

=

.

ηdb =

=

=

.

ηab =

=

=

.

ηba =

=

=

.

ηda dan ηdb = elatisitas harga permintaan

ηab dan ηba = elatisitas silang permintaan

Ketentuan :

1. Jika ηab dan ηba keduanya negatif (ηab < 0 dan ηba < 0) untuk Pa dan Pb

tertentu, berarti hubungan antara barang A dan B adalah komplementer (saling

melengkapi), sebab penurunan salah satu barang akan diikuti oleh kenaikan

permintaan atas barang tersebut dan kenaikan permintaan atas barang lainnya

61

2. Jika ηab dan ηba keduanya positif (ηab < 0 dan ηba < 0) untuk Pa dan Pb

tertentu, berarti hubungan antara barang A dan B adalah kompetitif atau substitusi

(saling menggantikan), sebab penurunan salah satu barang akan diikuti oleh

kenaikan permintaan atas barang tersebut dan penurunan permintaan atas barang

lainnya.

Contoh :

Fungsi permintaan barang A dan B masing-masing ditunjukkan oleh persamaan

Qda . .

– 1 = 0 dan Qdb . .Pb – 1 = 0. Berapa elastisitas permintaan masing-

masing barang dan bagaimana hubungan antara kedua barang tersebut?

Jawab:

Fungsi permintaan barang A Fungsi permintaan barang B

Qda . .

– 1 = 0 Qdb . .Pb – 1 = 0

Qda =

Qdb =

Qda = .

Qdb = .

=

.

= -

.

.

=

.

ηda =

.

=

. .

= -2

ηdb =

.

= -

. .

= -1

ηab =

.

=

. .

= -3

ηba =

.

=

. .

= -3

Barang A adalah barang elastis karena ηda > 1, barang B adalah barang unitary-

elastic karena ηdb = 1. ( Ingat dalam menafsirkan elastisitas harga permintaan cukup

dengan melihat besarnya angka perhitungan. Tandanya tidak perlu diperhitungkan).

Adapun hubungan antara A dan B adalah bersifat komplementer karena ηab < 0 dan

ηba <0

62

5.5.2. Perusahaan dengan Dua Macam Produk dan Biaya Produksi

Gabungan

Apabila sebuah perusahaan menghasilkan dua macam output, dan biaya yang

dikeluarkannya untuk memproduksi kedua macam produk itu merupakan biaya

gabungan (joint production cost), maka keuntungan yang diperolehnya dapat

diselesaikan dengan pendekatan deferensiasi parsial. Metode ini juga digunakan

untuk menganilisis kasus perusahaan yang menghasilkan lebih dari dua macam

produk yang biaya produksinya juga merupakan biaya produksi gabungan.

Andaikan perusahaan memproduksi dua macam barang A dan B, dimana

fungsi permintaannya akan masing-masing barang dicerminkan oleh Qa dan Qb, serta

biaya produksinya C = f (Qa, Qd) maka:

Penerimaan dari memproduksi A : Ra = Qa. Pa = f (Qa)

Penerimaan dari memproduksi B : Rb = Qb. Pb = f (Qb)

Penerimaan total : R = Ra + Rb = f (Qa) + f (Qb)

Biaya Total : C = f (Qa, Qb)

Fungsi Keuntungannya: π = R – C

= f (Qa) + f (Qb) - f (Qa, Qb)

= g (Qa, Qb)

π maksimum bila π ’ = 0

π Qa =

= 0 ........................... persamaan 1

π Qb =

= 0 ........................... persamaan 2

Dari persamaan (1) dan (2) dapat diselesaikan dengan cara eliminasi atau subtitusi

sehingga diperoleh nilai Qa dan Qb . Selanjutnya nilai π bisa dihitung.

Contoh :

Biaya total yang dikeluarkan sebuah perusahaan yang memproduksi dua macam

barang, A dan B, ditunjukkan oleh C = +

+ Qa . Qb. Harga jual masing-

masing barang per unit adalah Pa = 7 sedangkan Pb = 20. Hitunglah berapa unit

masing-masing harus diproduksi agar keuntungannya maksimum dan besar

keuntungan maksimum tersebut.

63

Jawab:

Penerimaan dari memproduksi A : Ra = Qa. Pa = 7 Qa

Penerimaan dari memproduksi B : Rb = Qb. Pb = 20 Qb

Penerimaan total: R = Ra + Rb = 7 Qa + 20 Qb

Fungsi Keuntungannya : π = R – C

= 7 Qa + 20 Qb – ( +

+ Qa . Qb)

= 7 Qa + 20 Qb – -

- Qa . Qb)

π maksimum bila π’ = 0

π Qa =

= 0 → 7 - 2 Qa - Qb = 0 ……….. (persamaan 1)

π Qb =

= 0 → 20 - 6 Qb – Qa = 0 …….. (persamaan 2)

Dari persamaan (1) dan (2) dapat diselesaikan dengan cara eliminasi atau subtitusi

sehingga diperoleh Qa = 2 dan Qb = 3

Fungsi Keuntungannya : π = R – C

= 7 Qa + 20 Qb - +

+ Qa . Qb

= 7 (2) + 20 (3) – (2)2 - 3 (3)

2 – (2) (3)

= 37

Jadi keuntungan maksimum perusahaan harus memproduksi 2 unit A dan 3 unit B

dengan keuntungan sebesar 37.

Kasus dimana perusahaan memproduksi lebih dari suatu macam barang

dengan biaya produksi gabungan, dapat pula diselesaikan melalui nilai-nilai

marjinalnya yakni : Dengan memformulasikan penerimaan marjinal masing-masing

barang yang sama dengan biaya marjinal barang yang bersangkutan MR = MC

Contoh :

Berkenaan contoh sebelumnya, π maksimum akan diperoleh bila ;

Ra = MCa dan MRb = MCb

R = 7 Qa + 20 Qb C = +

+ Qa . Qb.

MRa = R’a = 7 MCa = C’a = 2 Qa + Qb

MRb = R’b = 20 MCb = C’b = 6 Qb + Qa

MRa = MCa → 7 = 2 Qa + Qb

7 - 2 Qa - Qb = 0 ................. persamaan 1

π maksimum bila ; MRa = MCa dan MRb = MCb

64

MRb = MCb → 20 = 6 Qb + Qa

20 - 6 Qb - Qa = 0 .............. persamaan 2

Dari persamaan (1) dan (2) dapat diselesaikan dengan cara eliminasi atau subtitusi

sehingga diperoleh nilai Qa = 2 dan Qb = 3 . Selanjutnya nilai π = 37

5.5.3. Utilitas Marjinal Parsial Keseimbangan Konsumsi

Dalam kenyataan sehari–hari, seorang konsumen tidak hanya mengkonsumsi

satu macam barang tetapi beberapa macam. Jika kepuasan konsumen dilambangkan

dengan U dan barang–barang yang dikonsumsinya dilambangkan dengan

),,.......2,( niqi maka fungsi utilitas dinotasikan dengan U .,.......,, 321 nqqqqf

Maka fungsi utilitasnya adalah :

Derivatif pertama dari U merupakan utilitas marjinal parsialnya.

MUx = x

U

adalah utilitas marjinal berkenaan dengan barang X

MUy = y

U

adalah utilitas marjinal berkenaan dengan barang Y.

Contoh :

Diketahui fungsi utilitas barang K dan T adalah U = k4t7. Tentukan marjinal

utilitasnya!

Jawab:

Fungsi utilitas : U = k4t7

Fungsi marjinal utilitas : MU(k,t) = U’=

Maka, MUk = U’ =

= 4k

3t7 dan MUt = U’ =

= 7k

4t6

Keseimbangan Konsumsi. Keseimbangan konsumsi maksudnya ialah suatu

keadaan atau tingkat kombinasi konsumsi beberapa macam barang yang memberikan

kepuasan optimum.

Garis anggaran adalah garis yang mencerminkan kemampuan konsumen

membeli berbagai macam barang berkenaan dengan harganya masing – masing dan

pendapatan konsumen.

Jika pendapatan konsumen sebesar M dan harga barang x dan y adalah Px dan Py per

unit, maka persamaan budget line dapat dituliskan dengan :

U = f (x, y)

M = xPx + yPy

65

Mencari Keseimbangan Konsumsi

Tingkat kombinasi konsumsi yang memberikan kepuasan optimum dapat

dicari dengan motode lagrange. Metode lagrange adalah metode dengan membentuk

sebuah fungsi baru yaitu menjumlahkan fungsi yang akan dioptimumkan ditambah

hasil kali pengganda lagrange dengan fungsi kendalanya. Dalam materi ini, berarti

fungsi utilitas U = f (x,y) dimaksimumkan terhadap fungsi anggaran M = xPx + yPy.

Sesuai dengan metode lagrange, diperoleh fungsi baru:

F (x,y) = f(x,y) + (xPx + yPy – M)

Syarat agar F maksimum:

Fx (x,y) = 0 fx (x,y) + Px = 0 .......... (1)

Fy (x,y) = 0 fy (x,y) + Py = 0 ........... (2)

Selanjutnya perhatikan:

Utilitas total : U = f (x,y)

Utilitas marjinal : MU = U’ = f’(x,y)

i. Utilitas marjinal barang x : MUx =

= fx(x,y)

ii. Utilitas marjinal barang y : MUy =

= fy(x,y)

Sehingga : fx(x,y) + Px = 0 - =

=

fy(x,y) + Py = 0 - =

=

Soal 1 :

Seorang konsumen mengkonsumsi barang X dan Y, dicerminkan oleh fungsi utilitas

U = x2y

3. Jumlah pendapatannya Rp 1.000, harga X dan harga Y per unit masing-

masing Rp 25 dan Rp 50. Tentukan:

a) Bentuk fungsi utilitas marjinal untuk masing-masing barang

b) Utilitas marjinal jika konsumen mengkonsumsi 14 unit x dan 13 unit y

c) Jelaskan apakah dengan mengkonsumsi 14 unit x dan 13 unit y kepuasan

konsumen optimum atau tidak.

Jawab :

a) U = x2y

3 MUx = 2xy

3

MUy = 3x2y

2

66

b) Jika x = 14 dan y = 13,

MUx = 2xy3

= 2(14)(13)3 = 61.516

MUy = 3x2y

2 = 3(14)

2(13)

2 = 99.372

c)

=

= 2.460,64

=

= 1.987,44

Karena

berarti konsumsi 14 unit x dan 13 unit y kepuasan konsumen

tidak optimum.

Soal 2 :

Agar MUx dan MUy pada soal 1 seimbang, maka:

a) Hitunglah kombinasi konsumsi X dan Y yang memberikan kepuasan optimum!

b) Berapa besarnya kepuasan optimum?

c) Buktikan tingkat kepuasan optimum!

Jawab:

Diketahui : Fungsi utilitas 2 macambarang X dan Y : U = x2y

3

Pendapatan konsumen : M = 1000

Harga X per unit : Px = 25

Harga Y per unit : Py = 50

Fungsi anggaran : 25x + 50y = 100

a) Mencari Kombinasi Konsumsi

Fungsi tujuan yang dioptimumkan ; Fungsi utilitas : U = x2y

3

Fungsi kendala/syarat ; Fungsi anggaran : 25x + 50y = 1000

25x + 50y – 1000 = 0

Fungsi Lagrange ; F (x,y,λ) = x2y

3 + λ (25x + 50y – 1000)

= x2y

3 + 25 λ x + 50 λ y– 1000 λ

Agar F maksimum → F’ = 0

Fx = 0 → Fx = 2xy3 + 25 λ = 0 → λ =

…….. (1)

Fy = 0 → Fy = 3x2y

2 + 50 λ = 0 → λ =

……. (2)

Mencari nilai y dan x → karena λ pada persamaa (1) dan (2) sama maka :

→

67

→

……… (3)

Substitusi persamaan (3) ke fungsi syarat (fungsi anggaran) :

→ 25x + 50y = 0

25 x + 50(

= 1000

25 x +

= 1000

= 1000

x = 1000.

→

→

.16 →

Jadi kombinasi konsumsiyang memberikan kepuasan optimum adalah 16 unit X dan

12 unit Y

b) Mencari besarnya kepuasan optimum : U = X2Y

3

U = (16)2(12)

3 = 442368

c) Pembuktian ; Untuk x = 16 dan y = 12

Terbukti tingkat kepuasan optimum →

5.5.4. Produk Marjinal Parsial dan Keseimbangan Produksi

Untuk memproduksi sesuatu barang pada dasarnya diperlukan beberapa

macam faktor produksi seperti tanah, modal, tenaga kerja, bahan baku, meisn–mesin

dan sebagainya.

Sebagian dari masukan yang digunakan sudah barang tentu merupakan

masukan tetap, sementara sebagian lainnya adalah masukan variabel. Selanjutnya jika

untuk memproduksi suatu barang dianggap hanya ada dua macam masukan variabel

(katakanlah K dan L), maka fungsi produksinya : P = f (k, l)

Y

Y

X

X

P

MU

P

MU

84 , 2211 84 , 2211

50

) 12 ( ) 16 ( 3

25

) 12 )( 16 ( 2

50

y x 3

25

xy 2

P

MU

P

MU

2 2 3

2 2 3 Y

Y

X

X

68

Derivatif pertama dari P merupakan produk marjinal parsialnya.

k

P

adalah produk marjinal berkenaan dengan masukan K

I

P

adalah produk marjinal berkenaan dengan masukan L

Keseimbangan Produksi. Keseimbangan produksi maksudnya ialah suatu

keadaan atau tingkat penggunaan kombinasi faktor – faktor produksi secara optimum,

yakni suatu tingkat pencapaian produksi dengan kombinasi biaya terendah (least cost

combination).

Secara geometri, keseimbangan produksi terjadi pada persinggungan garis biaya yang

sama ( isocost ) dengan kurva produksi yang sama ( isoquant ).

Isocost adalah kurva yang mencerminkan kemampuan produsen membeli

berbagai masukan berkenaan dengan harga masing–masing masukan dan jumlah dana

yang dimilikinya.

Jika pendapatan konsumen sebesar M dan harga barang x dan y adalah Px dan Py per

unit, maka persamaan budget line dapat dituliskan dengan :

Mencari Keseimbangan Produksi

Tingkat kombinasi produksi yang optimum dapat dicari dengan motode

lagrange. Dengan fungsi produksi P = f (k,l) dimaksimumkan terhadap fungsi isocost

M = kPk + lPl.

Tahapan penyelesaian :

Fungsi tujuan yang dioptimumkan ; Fungsi Produksi : P = f (k,l)

Fungsi kendala/syarat ; Fungsi Isocost : M = kPk + lPl → kPk + lPl - M = 0

Fungsi baru : Fungsi Lagrange : F(k,l, ) = f(k,l) + (kPk+ lPl – M)

= f(k,l) + kPk + lPl – M

Agar F maksimum → F’ = 0

Fk (k,l) = 0 fk(k,l) + Pk = 0 → = -

.......... (1)

Fl (k,l) = 0 fl(k,l) + Pl = 0 → = -

.......... (2)

Selanjutnya perhatikan:

Produksi total : P = f(k,l)

Produksi marjinal : MU = U’ = f’(k,l)

M = kPk + lPl

69

i. Utilitas marjinal barang k : MUk =

= fk (k,l)

ii. Utilitas marjinal barang l : MUl =

= f l(k,l)

karena λ pada persamaa (1) dan (2) sama maka : -

= -

Dengan demikian, syarat keseimbangan produksi dapat juga dirumuskan :

Contoh 1 :

Diketahui : Fungsi Produksi → P = 6k2/3

l1/3

a) Tentukan fungsi produksi marjinal untuk masing-masing fakor produksi!

b) Berapa produk marjinal jika digunakan 8 unit K dan 27 unit L?

c) Buktikan bahwa untuk harga per unit K adalah 27 dan L adalah 4

Jawab:

a) Fungsi Produksi Marjinal

b) Mencari Nilai Produk Marjinal, untuk k = 8 dan l = 27

√

√

= 6

√

√ √

√

c) Pembuktian dengan Pk = 4 dan Pl = 27

MPk = Mpl → 4 k-1/3

l1/3

= 2 k2/3

l-2/3

Pk Pl Pk Pl

lP

LMP

kP

KMP

l

l

k

k

P

lk,f

P

lk,f

l

l

k

k

P

MP

P

MP

lP

LMP

kP

KMP

70

=

√

√

=

√

√

=

=

=

=

(terbukti)

5.6. Soal-Soal Latihan

1. Identifikasi fungsi Marginal (turunan) dari fungsi-fungsi dibawah ini:

a. Jika fungsi permintaan akan suatu komoditi yang memenuhi persamaan

Q = 20 – 0,2 P. Tentukan fungsi Marginal Revenue-nya.

b. Jika AVC = Q – 85, sedangkan AFC = 50/Q. Tentukan fungsi Marginal Cost-

nya.

c. Jika fungsi produksi P = -5Q2

+ QR – 6R2. Tentukan Partial Marginal

Production (derivative parsialnya)

2. Fungsi permintaan dan penawaran akan suatu barang adalah sebagai berikut:

P = 1200 – 40Q dan P = 200 + 40Q. Pemerintah mengenakan pajak perunit

barang. Tentukan :

a. Besarnya penerimaan pajak maksimum yang diterima pemerintah ?

b. Besarnya pajak per unit barang yang ditetapkan pemerintah ?

3. Jika fungsi penerimaan R = -3Q2

+ 45.000Q, sedangkan biaya variabel yang

dikeluarkan VC = 3Q2

- 75.000Q dan Biaya Tetapnya sebesar Rp. 6.000.000,-

a. Tentukan tingkat produksi yang menghasilkan keuntungan maksimum.

b. Berapa besarnya keuntungan maksimum tersebut.

4. Fungsi permintaan dan fungsi Penawaran terhadap suatu barang sebagai berikut:

Q = 6.300 – 50P dan Q = P2

+ 20P -1.500.

Tentukan elastisitas permintaan dan elastisitas penawaran pada Keseimbangan

Pasar dan sebutkan sifat elastisitas-elastisitas tersebut.

71

5. Biaya Total yang dikeluarkan suatu perusahaan untuk memproduksi 2 macam

barang V dan W adalah C = V2

+ W2 – V W. Tentukan:

a. Kombinasi V dan W yang diproduksi agar biaya total yang dikeluarkan

minimum, jika disyaratkan anggaran yang dimiliki 18 dan masing masing harga

V dan W adalah 1:1. (Dengan Metode Lagrange!)

b. Hotunglah Biaya Total Minimum tersebut.

72

DAFTAR PUSTAKA

Assuari, Sofyan. (1996). Matematika Ekonomi. Jakarta ; Rajawali

Chiang, Alpha. (2006). Dasar-dasar Matematika Ekonomi. Jilid 1 & 2. Jakarta ;

Penerbit Erlangga.

Dumairy. (2006) . Matematika Terapan Untuk Bisnis Dan Terapan. Yogyakarta :

BPFE.

Johanes, H dan Sri Handoko, Budiono. 1983. Pengantar Matematika untuk Ekonomi.

Jakarta : LP3S.

Josep Bintang Kalangi. (2005). Matematika Ekonomi dan Bisnis. Buku 1 & 2.

Jakarta; Salemba Empat.