MATERI KULIAH MATEMATIKA

STAF PENGAJAR SRI MARYANTI,SE,M.Si

081365493009ssrimaryanti@yahoo.com

FAKULTAS EKONOMIUNIVERSITAS LANCANG KUNING

PEKANBARU

1

Literature:

1. Mathematics for economist Taro yamane

2. Fundamental methods of mathematical economics Alpha Chiang

3. Matematika terapan untuk bisnis dan ekonomi Dumairy

4. Matematika ekonomi Syofyan Assauri

5. Matematika Ekonomi Johanes Boediono

Dan Sri Handoko

6. Kalkulus Legowo

7. Matematika Ekonomi dan Bisnis Josep B.Kalangi

Matematika Ekonomi dan Keuangan D.Sriyono

Materi Kuliah;1. Teori Himpunan

2. Permutasi dan Kombinasi

3. Hubungan fungsional

a. Relasi dan Fungsi

b. Jenis-Jenis Fungsi dan Grafik

c. Pengenalan Matrik

4. Perpotongan dua buah fungsi

Konsep keseimbangan Model Linear & Non Liniear

5. Diferensial Fungsi Sederhana

- Interprestasi derivative pertama

6. Penerapan derivative untuk Fungsi Biaya dalam perekonomian

a. Biaya Produksi

b. Elastisitas

c. Penerimaan dan Pengeluaran

7. Aplikasi fungsi dalam perekonomian

8. Pengaruh pajak dan subsidi dalam keseimbangan pasar

2

TEORI HIMPUNANHimpunan adalah:

Suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah objek, dengan kata lain dapat

diartikan sebagai suatu kumpulan benda atau objek yang dapat didifinisikan

dengan jelas.

Objek yang mengisi himpunan disebut anggota / elemen / unsure

Cirri-ciri himpunan adalah:

1. Notasi ditandai dengan huruf besar.

2. Ditandai dengan dua tanda kurung kurawal.

3. Unsur atau Objek yang ada diberi notasi huruf kecil.

4. Apabila ada unsure yang sama tidak perlu ditulis dua kali.

Himpunan bilangan terdiri:

1. Himpunan bilangan Asli.

2. Himpunan bilangan Cacah.

3. Himpunan bilangan Genap.

4. Himpunan bilangan Ganjil.

5. Himpunan bilangan Prima.

Cara penulisan himpunan:

1. Cara Daftar ( Roster Methode ).

Cara ini dapat dilakukan apabila jumlah unsurnya sedikit.

2. Cara Kaidah ( Rule Methode ).

Cara ini dapat dilakukan apabila jumlah unsurnya banyak.

Himpunan terdiri dari:

a. Anggota himpunan ditandai dengan notasi Eb. Sub himpunan ditandai dengan notasi C

c. Himpunan yang sama ditandai dengan notasi =

d. Himpunan sejajar ditandai dengan notasi //

3

Operasi Himpunan Terdiri dari:

1. Gabungan ( U ) A U B = { X : X E A atau X E B }

2. Irisan ( ∩ ) A ∩ B = { X : X E A dan X E B }

3. Selisih Himpunan ( - ) A – B = { X : X E A atau X E B }

4. Komplemen ( A ) A1 = { X : X E U atau X E A }

5. Himpunan Kosong (Ø )

Contoh soal:

Diketahui suatu himpunan sebagai berikut:

U = { 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 }

A = { 3,5,7,9 }

B = { 2,4,6,8,10 }

C = { 2,3,4,5,6,11,12 }

Hitunglah himpunan tersebut menjadi:

1. A U C =

2. B ∩ C =

3. A ∩ B =

4. A ∩ C =

5. A – C =

6. C – B =

7. A’ – C’ =

8. B’ – C’ =

9. ( A U C ) – ( A ∩ B ) =

10. ( B ∩ C ) ∩ ( A – C ) =

11. ( A’ – C’ ) U ( B’ – C’ ) =

12. ( C – B ) ∩ ( B U C ) =

4

PERMUTASI DAN KOMBINASI

Permutasi adalah:Penyusunan dari objek – objek yang ada kedalam suatu urutan

tertentu.

Dalam permutasi ini dikenal dengan adanya factorial yaitu:

1. Permutasi atas seluruh objek

n

Pn = n!

2. Permutasi atas sebagian dari seluruh objek

n

Pr = n! ( n – r ) !

3. Permutasi Khusus

a. Permutasi keliling atau lingkaran.

b. Permutasi dari objek yang sama.

c. Permutasi dari objek dengan pemilihan yang terpilih.

n

Rr = nr

Azas Permutasi

1. Azas perkalian, azas dapat dihitung apabila terdapat beberapa peristiwa

pemilihan.

2. Azas pertambanhan, azas ini dapat dihitung apabila terjadi pemilihan salah

satu dari unsurnya.

KOMBINASI : Yaitu kumpulan dari objek yang ada tanpa memperhatikan susunan atau urutan dari objek tersebut. Jadi apabila objek yang dikombinasikan dapat dipakai rumus Sbb:

n n! Kn =

r! (n – r ) !

5

n!K =

k1! . k2 !. k3! ……. kn!

HUBUNGAN FUNGSIONALFungsi Hubungan 2 buah variable atau lebih yang saling mempengaruhi antara

variable bebas & tidak bebas

Variabel Sejumlah data yang dikumpulkan

Variabel terdiri dari:

1. Variabel Bebas ( Independent Variabel )

2. Variabel Terikat ( Dependent Varibel )

Menurut fungsinya, variable terdiri dari:

1. Variabel Kualitatif Sifatnya keterangan.

2. Variabel Kwantitatif Dapat diukur.

Variabel kuantitatif terdiri dari:

1. Variabel Kantinue dapat diukur sekecil kecilnya.

2. Variabel Diskrit Diukur secara bulat.

Menurut Jenisnya fungsi ada 2 macam:

1. Fungsi Explisit Variabel bebas & terikat mudah untuk dibedakan.

Exp: Y = 3 + 6x

2. Fungsi Implisit Variabel bebas & terikat sukar dibedakan.

Exp: 4x – 3y + 24 = 0

Secara Umum fungsi dibagi tiga:

1. Fungsi Aljabar

a. F. Liniear.

b. F. Kuadrat.

c. F. Pecah.

2. Fungsi Exponensial

3. Fungsi Logaritma

Ad. 1. Fungsi Aljabar Linier

6

Fungsi Umum

Y = f (X) Y = a + bx

X = f (Y) X = a + by

Exp:

Jika diketahui besarnya suatu fungsi adalah sbb:

1. Y = 6 + 4x

2. 2y – 8x + 4 = 0

3. X = 2y + 3

Gambarkan grafik fungsi tersebut karena variable bebas & terikat belum

diketahui maka kita harus membuat scedul, baru dapat membuat sebuah garfik.

Pembentukan persamaan Linier ada 4 cara;

1. Cara Dwi Koordinat

Y – Y1 X – X1

= Y2 – Y1 X2 – X1

Cara ini dapat dibentuk menjadi persamaan linear, apabila diketahui dua buah

titik A & B.

X1 Y1

Exp: Diketahui titik A = ( 3 , 4 )

B = ( 5 , 6 )

X2 Y2

Y – Y1 X – X1 Y – 4 X – 3 = =

Y2 – Y1 X2 – X1 6 – 4 5 – 3

Y – 4 X – 3

2 2

2Y – 8 = 2X – 6 = 2Y – 6 2Y = 2X – 6 + 8

2Y = 2X + 2 Y = 2X + 2 2

Bukti: X = 3

7

Y = X + 1

Y = 3 + 1 = 4

X = 5 Terbukti

Y = 5 + 1 = 6

2. Cara koordinat Lereng

Dapat dibentuk menjadi sebuah persamaan linear apabila diketahui sebuah

titik A dan Lereng garisnya (b).

Exp: A = ( 3 , 7 )

b = 0,5

Y – 7 = 0,5 ( X – 3 )

Y – 7 = 0,5X – 1,5 Y = 0,5X + 5,5

3. Cara Penggal Lereng

Dapat dibentuk apabila diketahui penggal garis (a) dan Lereng garis b

Exp: Jika diketahui lereng 4 Penggal 2 maka

4. Cara Dwi Penggal.

Dapat dibentuk apabila diketahui Penggal pd sumbu vertical (a)

dan

Penggal pd sumbu Horizontal (c)

Exp: Jika diketahui penggal a = (3) dan penggal c = (-5), maka bentuk

persamaan linear adalah:

3Y = 3 – X

(5)

PENCARIAN AKAR – AKAR PERSAMAAN LINEAR.

8

Y – Y1 = b ( X – X1 )

Y = a + bX

Y = 2 + 4X

aY = a - X

c

Y = 3 + 0,6X

1. Cara Subsitusi.

2. Cara Eliminasi.

3. Cara Determinan.

Exp: Carilah nilai variable dari dua persamaan berikut:

2X + 3Y = 21

X + 4Y = 23

Penyelesaian

1. Cara Subsitusi.

Kita rubah salah atu varibel menjadi

X =

Lalu masukan kedalam persamaan 1

2X + 3Y = 21

2 + 3Y = 21

46 – 8Y + 3Y = 21

46 – 5Y = 21

5Y = 46 – 21

25 Y = = 5

5

Nilai X 2X + 3Y = 21

2X + 3(5) = 21

2X = 21 – 15

6 X = = 3 2

Kesimpulan

Variabel X = 3 Bisa Dibuktikan

Variabel Y = 5

2. Cara Eliminasi

2X + 3Y = 21 1 3X + 3Y = 21

9

23 – 4Y

( 23 – 4Y )

X + 4Y = 23

2

2X + 8Y = 46 _

- 5Y = - 25

-5Y = -25

-25 Y = = 5

-5

X X + 4Y = 23

X + 4(5) = 23

X = 23 – 20 = 3

3. Cara Determinan (Matriks)

Untuk determinan berderajad 2.

aY + bY = C a b C

dX + eY = F d e F

Penyelesaian dapat dilakukan dengan cara

a. Mencari nilai D

a bD = = ae - db

d e

b. Mencari nilai Dx

c bDx = = ce - fb

f e

c. Mencari Nilai Dy

a c Dy = = af – dc

d f

Dari sini maka dapat diperoleh nilai X . Y

Dx DySbb: X1 = , Y =

D D

Masukan dalam soal 1

10

=

2x + 3y = 21 2 3 2 3

x + 4y = 23 1 4 2 3

D = 2 3 = 2 . 4 – 1 . 3 = 8 – 3 = 5

1 4

Dx = 21 3 = 84 – 69 = 15

23 4

Dy = 2 21 = 46 – 21 = 25

1 23

Dx 15x = = = 3 D 5

Dy 25x = = = 5

D 5

Apabila terdapat 3 variabel dari persamaan tersebut, maka dapat dilakukan

dengan cara:

- Eliminasi

- Determinan (matriks)

CARA ELIMINASI DAPAT DILAKUKAN:

1. Menyamakan Unsur Variabel 1 & 2 I

2. Menyamakan Unsur Variabel 2 & 3 II

3. Menyamakan Unsur Variabel I & II

4. Akan diperoleh hasilnya dari 3 unsur variable

Cara determinan dapat dilakukan dengan:

1. Rumus Umum

ax + by + cz = k a b c K

dx + ey + fz = k d e f = L

gx + hy + iz = k g h I M

2. Mencari nilai determinan (D)

11

=

a b c a b c a b

D = d e f = d e f d e

g h i g h i g h

= (a e i) + (b f g) + (c d h) – (g e c) – (n f a) – (i d b).

3. Mencari nilai determinan x (Dx)

K b c K b c K b

Dx = L e f = L e f L e

M h i M h i M h

= (K e i) + (b f m) + (c L h) – (M e c) – (h f K) – (I L b).

4. Mencari nilai Dy

a K c a K c a K

Dy = d L f = d L f d L

g M i g M i g M

= (a L i) + (K f g) + (e d M) – (g L c) – (M f a) – (i d K).

5. Mencari nilai Dz

a b K a b K a b

Dz = d e L = d e L d e

g h M g h M g h

= (a e M) + (b L g) + (K d h) – (g e K) – (h L a) – (M d b).

6. Mencari nilai-nilai

Dxx =

D

Dyy =

D

Dzz =

D

Exp:

12

Diketahui 3 Variabel

2a + 4b + 5c = 12

3a – 5b + 5c = 10

a + 2b + 3c = 17

Carilah nilai-nilai a,b, c dari tiga variable tsb dengan cara Eliminasi.

FUNGSI KUADRAT

F. Non Linear yang variable bebasnya berpangkat dua dan apabila

digambarkan berbentuk parabola.

Bentuk Umum

I Y = f(x) Y = ax2 + bx + c

II X = f(y) X = ay2 + by + c

Ciri-ciri matematika F. Kuadrat

I Y = f(x) Y = ax2 + bx + c

1. Menentukan Titik potong dengan sumbu Y X = 0 maka Y = c

2. Menentukan Titik potong dengan sumbu X Y = 0 maka 0 = ax2 + bx + c

Ada 3 kemungkinan nilai diskriminan

Rumus D = b2 – 4 ac

Dengan asumsi:

a. D > 0 terdapat 2 tipot dengan sb x yaitu x1 & x2 dapat dicari

dengan rumus ABC

13

x

y

x1x2 = -b +- b2 – 4 ac2a

b. D = 0 Terdapat 1 tipot dengan sb x berarti x1 = x2 x =

c. D < 0 Tidak terdapat tipot dengan sb x

3. Menentukan titik Puncak P(x) =

P(y) =

4. Menentukan Sumbu Simetris. x =

5. Membuat Schedul.

6. Membuat grafik.

II X = f(y) X = ay2 + by + c

1. Menentukan titik potong dengan sumbu X Y = 0, maka X = C

2. Menentukan titik potong dengan sumbu Y X = 0, mka 0 = ay2 + by + c

Ada 3 kemungkinan nilai diskriminan dengan asumsi:

a. D > 0 terdapat 2 titik potong dengan sumbu Y yaitu Y1 & Y2

dapat dicari dengan rumus ABC :

14

x

y

y

x

-b2a

-b2a

-D4a

-b2a

y1y2 = -b +- b2 – 4 ac2a

D = 0 Terdapat 1 tipot dengan sb y berarti y1 = y2

d. D < 0 Tidak terdapat tipot dengan sb y

3. Menentukan titik Puncak P(x) =

P(y) =

4. Menentukan Sumbu Simetris. x =

5. Membuat schedule.6. Membuat Grafik.

Contoh Soal.

15

y

x

y

x

y

x

-b2a

-D4a

-b2a

-b2a

Carilah titik potong & gambarkan grafik fungsi ini

1. y = 2x2 + 5x + 4 fungsi x

2. x = 3y2 – 3 + 6y fungsi y

3. y= 2x2 – 9x + 12 fungsi x

4. y= -x2 + 8x – 15 fungsi x

5. y= 9 – 2x

6. x= 16 –y2

7. y= 4-x2 dan y= 2x2 -5x + 4tentukan titik potong dg 2 persamaan tsb dan

gambarkan grafiknya.

8. x=25 –y dan x=y2 – 6y + 9tentukan titik potong dg 2 persamaan tsb dan

gambarkan grafiknya.

9. Y= ¾ + 7X2 – 4X dan X2 = 3Y + 5X – 6 tentukan nilai keseimbangan dari 2

persamaan tersebut dan gambarkan grafik fungsinya.

10. Hitunglah nilai keseimbangan dari perolehan persamaan X3 pada soal 8 dan

X3 pada soal no 7

11. Tentukan nilai X dan Y dari dua soal berikut dan gambarkan grafik

fuungsinya:

X= 7 – 8Y dan 5X = 2Y + 4

16

FUNGSI PECAH

yaitu suatu fungsi non linear dimana variable bebasnya merupakan

penyebut apabila

digambarkan maka akan berbentuk hiperbola.

Fungsi Umum y = f(x) y =

Bentuk grafik

Untuk membentuk suatu grafik , harus diperhatikan hal-hal berikut ini :

a. Menentukan titik potong sumbu Y → jika X = 0 maka Y = b / d

b. Menentukan titik potong sumbu X → jika Y = 0 maka X = -b / a

c. Menentukan Assimtot Tegak ( AT ) → Y = ∞ maka X = -d / c

d. Menentukan Assimtot Datar ( AD ) → X = ∞ maka Y = a / c

Contoh soal :

Carilah titik potong, garis Assimtot dari fungsi pecah berikut ini dan gambarkan

grafiknya

1. Y = 5 X + 3 8 - 4 X

2. Y = 9 – 5 X 7 X - 3

17

ax + bcx + d

FUNGSI EXPONENTIAL

Yaitu suatu fungsi dimana variable bebasnya merupakan bilangan pangkat

dari suatu konstanta.

Rumus umum :

Y = a x atau Y = n x

1. a 0 = 1

2. a –x = 1 a x

3. a1/x = x√ a

4. a m . an = a m + n

5. a m = a m – n

a n

6. ( a m ) k = a m.k

Contoh soal :

Hitunglah besarnya nilai Y dari fungsi eksponen dibawah ini.

1. Y = 8 0 6. Y = 4 3 . 4 5

2. Y = 7 -4x 7. Y = 8 5

83

3. Y = 8 5 8 . Y = ( 63 )4 =6 12

8 3

4. Y = 9 ¾

5. Y = 6 X – 3/2

18

FUNGSI LOGARITMA

Yaitu suatu fungsi dimana variable bebasnya dalam bentuk

logaritma

Rumus Umum :

Y = a log X → Log Y = a + b log X

1. Log a . b = Log a + Log b

2. Log a = Log a - Log b b

3. Log a k = k . Log a

4. a Log b = Log b Log a

5. M = a N → maka N = a Log M

Hitunglah nilai Y dari fungsi log dibawah ini :

1. Y = Log 3 . 5 log 3 + log 5= 0,47712 + 0,69897 = 1,17609

2. Y = Log 4 log 4 – log 6 = 0,60205 – 0,77815 = - 0,17616

3. Y = Log 34 4. Log 3= 4 x 0,47712 = 1,90848

4. Y = 6 Log 7 log 6 / log 7 =0,7782/0,8451=0,9208

5. 6 = 4 n → n = ?4 log 6= 4 x 0,7782=3,1128

19

DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA

A.DIFERENSIAL FUNGSI ALJABAR

1. Y = C Y= 2 maka Y’=0

Dy/dx = 0

2. Y = X Y= 1X maka Y’= 1

Dy/dx = 13. Y = X n Y= X3 maka Y’= 3X3-1 Y’= 3X2

Dy/dx = n . X n-1

4. Y = C . X n Y= 4 X5 maka Y’ = 4x5 X5-1 Y’= 20 X4

Dy/dx = n . C . X n-1

5. Y = U + V dimana U = f (X) dan V = g (X)

Dy/dx = du/dx + dv/dx Y= 2X2 + 4X3= Y’=4X + 12X2

Y’ = U’ + V’

6. Y = U . V dimana U = f (X) dan V = g (X)

Dy/dx = U . dv/dx + V . du/dx

Y’ = U.V’ + V.U’

7. Y = U dimana U = f (X) dan V = g (X) V

Y’ = U’V - V’U V2

8. Y = 1 X m

dy/dx = - m Xm+1

9. Y = q√ Xp → Y = X p/q

Dy/dx = ( p/q ) X p/q – 1

10. X = f (Y)

20

Dy/dx = 1 Dx/dy

B. DIFERENSIAL FUNGSI BERANTAI

11. Y = f (U) → U = g (X)

Dy/dx = dy/du . du/dx

12. Y = U . V dimana U = f(S) dan S = g (X) V = h (t) dan t = f (X)

Dy/dx = U . dv/dt . dt/dx + V . du/ds . ds/dx

C. DIFERENSIAL FUNGSI LOGARITMA DAN EXPONENTIAL

13. Y = Log XDy/dx = 1 / X . Log e

14. Y = Log UDy/dx= 1 / U . Log e . du/dx

15. Y = a Log X

Dy/dx = 1 X Ln a

16. Y = ( a Log U )n dimana U = f (X)

Dy/dx = dy/du ( a Log e ) . du/dx U

17. Y = Ln X

Dy/dx = 1 / X

18. Y = Ln U dimana U = f (X)

Dy/dx = 1 / U . du/dx

19. Y = Ln U n

Dy/dx = dy/du . 1/U . du/dx

20. Y = a x

21

Dy/dx = a x Ln a

21. Y = a u dimana U = f (X)

Dy/dx = au . Ln a . du/dx

22. Y = e u dimana U = f (X)

Dy/dx = e u . du/dx

CONTOH SOAL-SOAL LATIHAN

Hitunglah nilai-nilai diferensial dari data dibawah ini :

1. Y = 15 Y’=0

2. Y = 18 X Y’=18

3. Y = X 5 Y’=5X4

4. Y = 5 X 4 Y’= 20X3

5. Y = X 5 + 4 X 3Y’=5X4 + 12X2

6. Y = ( 2 X3 + 4 ) ( 3 X + 5 X2 )

7. Y = 3 X 2 - 5 2 + 4 X

8. Y = 3√ X 5

9. Y = 1 / X4

10. Y = ( 6 X + 3 ) 3

11. X = 5 Y3 + 3 Y2 - 15 Y + 25

12. Y = Log 5 X4

13. Y = ( 5 – 3 X2 ) 2 ( 2 X + 5 X)3

14. Y = Log ( 3 X + 5 ) 3

15. Y = Ln X 3

22

16. Y = Ln ( 3 X + 5 )

17. Y = a x + 2

18. Y = e 2x + 3

19. Y = Log ( 3 X2 + 2 X )

20. Y = Ln ( 2 X3 + 3 X )2

PENERAPAN FUNGSI DALAM EKONOMI

Untuk menentukan penerapan fungsi dalam perekonomian , maka terlebih

dahulu kita mengenal adanya perpotongan dua buah fungsi. Dalam hal ini dua

buah fungsi dikatakan berpotongan apabila kedua buah fungsi tersebut

mempunyai sebuah titik persekutuan yang disebut titik potong. Dimana titik

potong antara kedua buah fungsi tersebut diperoleh dengan mempersamakan

kedua buah fungsi itu.yang hasilnya dinamakan titik keseimbangan (Equilibrium).

Didalam perekonomian penerapan fungsi dapat dilihat dari adanya

perpotongan demand (permintaan) dan supply (penawaran) yang dinamakan

dengan keseimbangan pasar. Untuk lebih mengetahui dengan jelas penerapan

fungsi tersebut dapat ditentukan sebagai berikut :

Fungsi Permintaan ( Demand = D ) :

a. Fungsi Linear

b. Fungsi Kuadrat

c. Fungsi Pecah

Fungsi Penawaran ( Supply = S ) :

a. Fungsi Linear

b. Fungsi Kuadrat

23

Grafik perpotongan dua buah fungsi (keseimbangan/equilibrium) :

P P S

S

E

E D

D Q Q

P S

E

D AD

QAT

Syarat-syarat keseimbangan pasar :

1. Titik keseimbangan pasar hanya berlaku untuk nilai-nilai yang positif

2. Titik keseimbangan pasar hanya berlaku untuk titik yang memenuhi

ketentuan bagi kurve permintaan dan kurve penawaran.

Contoh Soal :

Diketahui fungsi permintaan dan penawaran adalah sebagai berikut :

1. Permintaan → P = 15 - 2 Q

Penawaran → P = 4 + 1,5 Q

2. Permintaan → P = 3 Q + 6 2 Q - 2

Penawaran → P = 3 Q + 2

Tentukanlah titik keseimbangan dari masing- masing soal tersebut dan gambarkan

grafiknya.

24

PENGARUH PAJAK DAN SUBSIDI DALAM PENERAPAN FUNGSI

Pajak : Adalah merupakan pungutan yang ditarik oleh pemerintah terhadap wajib

pajak, tanpa mendapatkan balas jasa secara langsung.

Pajak yang akan dimasukan dalam menentukan keseimbangan ini adalah pajak

per-unit dan pajak prosentase.

Pajak per-unit :

adalah pajak yang dikenakan terhadap suatu barang tertentu, dimana

barang tersebut besarnya ditentukan dalam jumlah uang yang tetap untuk

setiap unit barang yang dihasilkan.

Yang dikenakan pajak disini adalah penawaran ( Produsen ), maka bentuk

fungsinya adalah:

Sebelum ada pajak : S → P = f ( Q )

Sesudah ada Pajak : S → Pt = f ( Q ) + t

Pajak Prosentase:

Adalah pajak yang dikenakan terhadap suatu barang tertentu dimana pajak

tersebut diperhitungkan sebesar prosentase yang tetap dari hasil

penerimaannya.

Yang dikenakan pajak disini adalah penawaran ( Produsen ), maka bentuk

fungsinya adalah:

Sebelum ada pajak : S → P = f ( Q )

Sesudah ada Pajak : S → Pr = f ( Q ) ( 1 + r )

SUBSIDI :

Merupakan bantuan yang diberikan pemerintah kepada produsen /

supplier terhadap produk yang dihasilkan atau dipasarkannya sehingga harga yang

berlaku dipasar adalah harga yang diinginkan pemerintah yaitu harga yang lebih

rendah dengan jumlah yang dapat dibeli masyarakat lebih besar.

25

Besarnya subsidi yang diberikan biasanya tetap untuk setiap unit barang

yang dihasilkan atau dipasarkan.

Yang dikenakan subsidi disini adalah penawaran ( Produsen ), maka bentuk

fungsinya adalah:

Sebelum ada subsidi : S → P = f ( Q )

Sesudah ada subsidi : S → Ps = f ( Q ) - S

GRAFIK FUNGSI DARI PENGARUH PAJAK DAN SUBSIDI

1. GRAFIK PENGARUH PAJAK

P

S1 (S sesudah ada pajak)

P1 S (sebelum ada pajak)

P0 E1

E

Q1 Q0 Q

2. GRAFIK PENGARUH SUBSIDI

P

S (S sebelum ada subsidi)

P0 S1 (sesudah ada subsidi)

P1 E

E1

Q0 Q1 Q

Contoh Soal :

Diketahui fungsi permintaan dan penawaran adalah sebagai berikut :

1. Permintaan → P = 16 – 4 Q

Penawaran → P = 5 + Q

26

Jika terhadap barang tersebut dikenakan pajak per-unit Rp 3,-, pajak

persentase 25 % , dan subsidi Rp 2,- per-unit, maka berapakah titik

keseimbangan sebelum dan sesudah ada pajak, serta gambarkan grafiknya.

2. Permintaan → P = 2 Q2 - 7 Q + 10

Penawaran → P = 6 Q + 3 Q2 + 8

a. Jika terhadap barang tersebut dikenakan pajak sebesar Rp 2 per-unit,

maka tentukan keseimbangan sebelum dan sesudah ada pajak.

b. Jika terhadap barang tersebut dikenakan subsidi sebesar Rp 3 per-unit,

maka tentukan keseimbangan sebelum dan sesudah ada subsidi.

c. Gambarkan grafik dari kedua soal tersebut.

Cara Menghitung Nilai Pajak dan Subsidi :

1. Pajak per-unit yang ditanggung oleh produsen

Ts = Po - f ( S )

Dimana: Po adalah Nilai P eq sebelum ada pajak

F (S) = fungsi supply yang nilai Q diambil dari nilai Q setelah

ada pajak .

2. Total pajak yang ditanggung oleh Produsen

Px = Ts × Qt

3. Pajak per-unit yang ditanggung konsumen

Td = Pt - Po

4. Total Pajak yang ditanggung konsumen

Kx = Td × Qt

5. Besarnya Pajak yang diterima pemerintah

Qt × t → untuk pajak per-unit

Qt × ( 1 + r ) → untuk pajak posentase

6. Besarnya subsidi yang diberikan oleh pemerintah

Gs = S × Qs

7. Besarnya Subsidi yang dinikmati Konsumen

Ks = ( Po - Ps ) (Qs)

8. Besarnya subsidi yang dinikmati Produsen

Ps = Gs - Ks

27

Keseimbangan pasar dua macam Produk :

Formulasi untuk fungsi permintaan dapat ditulis sebagai berikut

Qdx = a0 - a1 Px + a2 Py

Qdy = b0 + b1 Px + b2 Py

Formulasi untuk fungsi peanawaran dapat ditulis sebagai berikut

Qsx = - m0 + m1 Px + m2 Py

Qsy = - n0 + n1 Px + n2 Py

Dimana :

Qdx = Jumlah yang diminta dari produk X

Qdy = Jumlah yang diminta dari produk Y

Qsx = Jumlah yang ditawarkan dari produk X

Qsy = Jumlah yang ditawarkan dari produk Y

P x = Harga Produk X

P y = Harga Produk Y

Variable a, b, m dan n adalah konstanta

Contoh soal :

Diketahui fungsi permintaan dan penawaran dari dua macam produk yang

mempunyai hubungan substitusi sebagai berikut :

Qdx = 5 - 2 Px + Py

Qdy = 6 + Px - Py

Qsx = - 5 + 4Px - Py

Qsy = - 4 - Px + 3 Py

Carilah : Harga dan kuantitas dari keseimbangan pasar.

Jawab :

Syarat keseimbangan pasar Qdx = Qsx atau Qdy = Qsy

Qdx = 5 – 2 Px + Py

Qsx = - 5 + 4 Px – Py -

0 = 10 - 6 Px + 2 Py

Qdy = 6 + Px - Py

28

Qsy = -4 - Px + 3 Py -

0 = 10 + 2 Px – 4 Py

Masukan dalam bentuk persamaan :

0 = 10 - 6 Px + 2 Py → (X 2) → 0 = 20 - 12 Px + 4 Py

0 = 10 + 2 Px - 4 Py → (X 1) → 0 = 10 + 2 Px - 4 Py +

0 = 30 - 10 Px + 0

10 Px = 30

Px = 30 / 10 = 3

Maka Py dapat dicari dari 0 = 10 - 6 Px + 2 Py

-2 Py = - 10 + 6 Px

-2 Py = - 10 + 6 (3)

Py = - 10 + 18 → Py = 4

2

Maka Qx dan Qy dapat dicari dengan memasukan persamaan sbb :

Qx = 5 - 2 Px + Py

Qx = 5 - 2 (3) + 4 jadi Qx = 3

Qy = 6 + Px - Py jadi Qy = 6 + 3 - 4 = 5

FUNGSI BIAYA DAN PENERIMAAN

Biaya secara umum terdiri dari :

1. Biaya Total (Total Cost = TC ) = TFC + TVC

2. Biaya tetap Total (Total Fixed Cost = TFC ) = TC - TVC

3. Biaya Variabel Total (Total Variabel Cost = TVC ) = TC - TFC

4. Biaya Tetap rata-rata (Avarage fixed cost = AFC ) = AFC / Q

5. Biaya variable rata-rata (Avarage Variabel cost = AVC ) = AVC / Q

6. Biaya rata-rata (Avarage Cost = AC ) = TC / Q

7. Biaya Marginal ( Marginal Cost = MC ) = ∆ TC / ∆ Q

Penerimaan = Revenue, terdiri dari :

1. Total Revenue (TR) = P x Q

2. Avarage Revenue (AR) = TR / Q = P

3. Marginal Revenue (MR) = ∆ TR / ∆ Q

4. TR maximum akan berada pada Q = -b / 2 a

29

5. Profit atau keuntungan = TR - TC

6. Break Even Point ( BEP ) akan terjadi pada saat : TR = TC

Contoh Soal:

1. Diketahui Fungsi permintaan yang dihadapi oleh seorang produsen

monopolis ditunjukan oleh P = 1200 - 2,5 Q

Pertanyaan :

a. Bagaimanakah persamaan total penerimaannya

b. Berapa besarnya total penerimaan jika barang yang terjual sebanyak 200

unit.

c. Berapa harga jual per-unit

d. Hitunglah penerimaan marginal dari penjualan sebayak 200 unit menjadi

250 unit

e. Tentukan tingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan total

maksimum dan besarnya penerimaan total maksimum tersebut

f. Pada tingkat produksi berapa unit perusahaan ini berada dalam posisi

pulang pokok (BEP), jika diketahui TC = 2000 + 100 Q

Soal 2 :

Jika diketahui penerimaan total yang diperoleh suatu perusahaan adalah sebesar

TR = 20 Q - 0,10 Q2 sedangkan biaya total yang dikeluarkan adalah sebesar :

TC = 0,25 Q3 – 3 Q2 + 7 Q + 20.

Hitunglah profit perusahaan ini jika terjual barang sebanyak 10 dan 20 unit.

FUNGSI PRODUKSI

Bentuk fungsi produk total yang non linear pada umumnya berupa sebuah

persamaan kubik yang mempunyai titik belok dan sebuah titik puncak.

Bentuk umum dari fungsi produksi adalah :

Produk Total : P = f (X)

Produk rata-rata : AP = P / X

Produk Marginal : MP = ∆P / ∆X

Secara grafik, kurve produk total P mencapai puncaknya tepat ketika

kurve produk marginal ( MP =0 ). Sedangkan MP mencapai puncaknya tepat pada

30

posisi titik belok kurva P. Disamping itu kurva MP memotong kurva AP pada

posisi maksimum AP. Hal ini dapat dilihat pada grafik berikut :

P

P=f (X)

AP

0 X

MP

Contoh soal ;

Fungsi produksi yang dihadapi oleh seorang produsen adalah sebesar ;

P = 9 X2 - X3

Buatlah persamaan produk rata-ratanya, serta hitunglah total produk dan produk

rata-rata tersebut jika digunakan masukan sebanyak 6 unit. Berapa marginal

produknya jika masukan yang digunakan ditambah 1 unit.

Jawab :

P = 9 X2 - X3 → AP = P / X = 9 X - X2

Untuk X = 6 → P = 9 ( 62 ) - 63 = 108

→ AP = 9 ( 6 ) - 62 = 18

Untuk X = 7 → P = 9 ( 72 ) - 73 = 98

→ MP = ∆ P /∆ X = 108 - 98 = - 107 - 6

Kesimpulan ; produk marginal hasilnya negatif, artinya masukan tambahan yang

digunakan justru mengurangi hasil produksi.

31