1

PENGETAHUAN DASAR MATEMATIKA

1.1 PENDAHULUAN

Banyak model dan permasalahan ilmu ekonomi yang dinyatakan dengan

bahasa matematika dan dianalisis dengan tekni matematika. Perhitungan

aljabar akan menjadi bagian dari keseluruhan alat analisis kuantitatif dengan

matematika. Mengingat matematika merupakan ilmu yang lebih mudah

dipelajari dengan menggunakan contoh, maka dalam buku ini terdapat

contoh-contoh yang harus dikerjakan untuk memastikan bahwa ketrampilan

penggunaan alat aalisis dengan matematika sudah terkuasai.

1.2 BILANGAN RIIL

Terdapat 4 garis A dengan skala sebagai berikut :

a.

Nilai a merupakan bilangan riil yang ditentukan dengan skala yang dibuat

b.

Karena a berada di sebelah kiri b, maka dapat dinyatakan sebagai a < b. Jika nilai yang sebenarnya tidak hanya satu titik, maka bisa dinyatakan sebagai a < b jika a < b atau a = b

c.

0,1, 2, a, b, ... disebut sebagai bilangan natural

d.

Bila a dinyatakan negatif, maka a < 0 (bukan a > 0 atau a > 0). Jadi nilai - s/d disebut sebagai poros bilangan riil. (Nilai -2, -1, 0, ... disebut nilai bilangan integer (bilangan bulat)

Bab 1

2

Untuk lebih jelasnya, dibawah ini adalah diagram bilangan riil :

1.2.1Operasi Bilangan Penjumlahan dan Pengurangan

Untuk memudahkan pemahaman, dirumuskan aturan sebagai berikut :

1. a + ( -b ) = a – b

2. a + ( +b ) = a + b

3. a - ( +b ) = a – b

4. a - ( -b ) = a + b

Dengan demikian bilangan bisa berubah tanda karena ada tanda di

depannya seperti tanda positif atau negatif di depan bilangan x sebagai

berikut :

1. + (+x) = x

2. + (-x) = -x

3. - (+x) = -x

4. - (-x) = x

1.2.2Operasi Bilangan Perkalian dan Pembagian

Abstraksi perkalian :

1. a x ( -b ) = - ( a x b ) = - ab

2. ( -a ) x b = - ( a x b ) = - ab

BILANGAN RIIL

RASIONAL IRASIONAL

ALJABAR TRANSENDENTAL

Gambar 1. Diagram Bilangan Riil

3

3. ( -a ) x ( -b ) = a x b = ab

Abstraksi pembagian :

1.2.3Hasil Akhir Urut-urutan Perhitungan

Urutan prioritas perhitungan :

1. Perhitungan dalam kurung ( ... ), kemudian { ... }, kemudian [ ... ]

2. Pangkat atau akar

3. Perkalian dan pembagian (terdepan didahulukan)

4. Penjumlahan dan pengurangan (terdepan didahulukan)

1.3 BILANGAN PECAHAN

Bilangan pecahan adalah suatu jumlah nilai utuh yang dibagi menjadi

beberapa bagian. Bila a adalah bilangan utuh dan b adalah pembagi maka

dapat dirumuskan menjadi a b

. Nilai b tidak boleh nol ( b 0 ). a disebut

sebagai pembilang (numerator) dan b disebut penyebut (denumerator).

Contoh : 2736= 3 x 9

3x 12= 9

12=3 x3

3 x4=3

4

Operasi perkalian :

Untuk pembagian, berlaku :

1.4 BILANGAN DESIMAL

Karena bilangan pecahan tidak semua bisa ditampilkan dengan baik

dalam bentuk desimal, maka perlu ada kesepakatan penulisan dengan

format desimal digit berapa.

ab=a x1

b

abx

cd=a x c

b x d=ac

bd

ab

:cd=a

bx

dc=a xd

b x c=ac

bd

4

Misal satu digit seperti 0,2, 0,5, 0,4, dan seterusnya . Dua digit seperti

0,45, 0,32, 0,86, dan seterusnya.

Hasil dari pembatasan penulisa tersebut kadang kala membuat nilai

bilangan pecahan berbeda dengan yang semestinya. Misal 13 , kemudian

format dua digit menjadi 0,33, padahal bisa menjadi 0,3333 ... dan

seterusnya.

1.5 PANGKAT DAN EKSPONEN

Bila diketahui x sebagai variabel angka dan n sebagai bilangan integer

positif, maka hasil kali x sebanyak n kali disebut sebagai operasi pangkat

atau eksponen (Power and Indices). Contoh : a5 = a x a x a x a x a

Aturan untuk pangkat dan eksponen :

1. an x am = an + m

2. an : am = an – m

3. an am=anm

4.1

an=a−n

5. (an )m=an .m

6. anm=

m√an

7. (anbn )m

=anm b−nm

1.6 PENYEDERHANAAN PENULISAN BILANGAN SECARA ALJABAR

Suatu penulisan bilangan dibuat terminologi sebagai 7x3, dimana x

disebut sebagai variabel dan 7 sebagai koefisien dari x3.

1.6.1Perkalian dan Pembagian Variabel dalam Kurung

Bentuk umum perkalian :

1. a ( b + c ) = ab + ac

5

2. ( a + b ) ( c + d ) = ac + ad + bc + bd

1.6.2Faktorisasi

Tujuan dari faktorisasi adalah untuk membuat persamaan yang sudah

ada dikembalikan menjadi persamaan perkalian dalam kurung yang

berdekatan dengan variabel tertentu.

Ada dua teknik penyelesaian, yaitu :

1. Teknik penyelesaian sederhana

Contoh : ax + ac = a ( x + c )

2. Teknik penyelesaian dua variabel bilangan dalam kurung

Contoh : a2 – b2 = ( a + b ) ( a – b )

1.7 PERSAMAAN ALJABAR

Persamaan aljabar adalah suatu persamaan yang berisi satu atau lebih

nilai bilangan yang tak dikenal. Secara umum nilai bilangan yang tidak

dikenal diwakili oleh huruf-huruf x, y dan z.

Contoh : x + 2 = 5

Terdapat beberapa macam persamaan aljabar :

1. Persamaan Pembagian

Contoh : x4=12 => x = 12 . 4

x = 48

2. Persamaan Akar

Contoh : √ x=5 => x = 52

x = 25

3. Persamaan Logaritma / Pangkat

a. Pengubahan logaritma menjadi persamaan pangkat

Contoh : 2log (x) = 2 => x = 22

6

x = 4

b. Pengubahan pangkat menjadi persamaan logaritma

Contoh : 2x=8 => x = 2log8 => x = 3

PERSAMAAN LINIER

2.1 PENDAHULUAN

Bentuk umum persamaan linier :

1. Hubungan antara dua variabel

y = ax + b

atau ditulis sebagai :

f(x) = ax + b

dimana :

y = variabel dependen

x = variabel independen

a = koefisien x

b = konstanta

2. Hubungan antara tiga variabel

z = ax + by + c atau z(x, y) = ax + by + c

dimana :

z = variabel dependen

x = variabel independen

a = koefisien x

b = koefisien y

c = konstanta

Macam persamaan ditinjau dari perbedaan hubungan yang dilihat dari

tanda :

Bab 2

7

1. Hubungan dengan tanda di depan koefisien x positif

Contoh : y = 3x + 5

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 105 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35

Gambar 1. Hubungan Positif

2. Hubungan dengan tanda di depan koefisien x negatif

Contoh : y = -2x + 5

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y 4 2 0 -2 -4 -6 -8-

10-

12-

14-

16

Gambar 2. Hubungan Negatif

3. Hubungan z dengan x positif dan hubungan z dengan y negatif

Contoh : z = 2x – 3y

8

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

z -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9-

10-

11-

12-

13

Gambar 3. Hubungan Tiga Dimensi

2.2 GRAFIK LINIER MODEL EKONOMI DAN KEUANGAN

Hubungan antar variabel ekonomi, supaya lebih mudah dipahami, dibuat

sederhana, yakni menjadi bentuk hubungan linier yang kemudian digambar

sebagai grafik atau kurva.

Bentuk hubungan linier kasus ekonomi mikro :

1. Kurva Biaya Linier

adalah Kurva yang menunjukkan hubungan antara output (barang/jasa

yang

diproduksi) dengan biaya

Rumus : TC = FC + VC

Dimana :

TC = Total Cost (Biaya Total)

FC = Fixed Cost (Biaya Tetap = konstanta)

VC= Variable Cost (Biaya Variabel = fungsi Q ; ditulis VC = f(Q) )

Sehingga persamaan liniernya menjadi :

TC = aQ = b

9

2. Kurva Revenue Linier

adalah Kurva yang menunjukkan hubungan antara Revenue (R) dengan

Output (Q)

Rumus : R= Harga x Q

Karena harga pada persaingan sempurna bersifat konstan (harga/unit Q

= a), maka R = f(Q)

menjadi

R = aQ

3. Kurva Total Produksi Linier

adalah Kurva yang menunjukkan hubungan satu input dengan output

Rumus : Q = f(L)

Dimana :

Q = output

L = input kerja

4. Kurva Permintaan Linier

Adalah Kurva yang menunjukkan hubungan antara harga (P) dengan

jumlah barang yang diminta (Q)

Rumus : Q = f(P)

Persamaan Linier : Q = aP + b(nilai a < 0)

5. Kurva Penawaran Linier

Adalah Kurva yang menunjukkan hubungan antara harga (P) dengan

jumlah barang yang ditawarkan (Q)

Rumus : Q = f(P)

Persamaan Linier : Q = aP + b(nilai a > 0)

6. Kurva Anggaran Belanja

10

Adalah Persamaan linier garis anggaran belanja (B) untuk konsumsi dua

macam barang X dan Y

Rumus : B = PxX + PyY

Bentuk hubungan linier kasus ekonomi makro :

1. Kurva Konsumsi Tanpa Pajak Linier

Adalah kurva yang menunjukkan hubungan antara konsumsi ( C ) dengan

pendapatan ( Y)

Rumus : C = f(Y)

Persamaan Linier : C = a + bY

Dimana :

a = konstanta

b = Marginal Propensity to Consume (MPC). Nilai b adalah 0 < b < 1

2. Kurva Pajak Linier

Adalah kurva yang menunjukkan hubungan antara pajak ( P ) dengan

pendapatan ( Y )

Rumus : T = f(Y)

Persamaan Linier : T= tY ( nilai t : 0 < t < 1)

3. Kurva Konsumsi Karena Ada Pajak Linier

Adalah kurva yang menunjukkan hubungan antara konsumsi ( C ) dengan

pendapatan disposable

Rumus : C = f( Yd )

Yd = Y – T

Karena T = tY, maka Persamaan Linier :

C = a + bY – bt(Y)

Bentuk hubungan linier kasus ekonomi keuangan :

1. Hubungan antara jumlah uang beredar (M) dengan uang inti (H)

Rumus : M = f(H)

11

Persamaan Linier : M = mH

2. Hubungan antara tingkat bunga (r) dengan investasi (I)

Rumus : I = f(r)

Persamaan Linier : I = a - br

3. Hubungan antara pendapatan (Y) dengan permintaan uang (Md)

Rumus : Md = f(Y)

Persamaan Linier : Md = kY

4. Perhitungan nilai yang akan datang dengan bunga sederhana

Persamaan linier : FV = PV ( 1 + in )

Dimana :

FV = future value

PV = present value

i = tingkat bunga per periode

n = periode perhitungan

2.2.1Grafik Biaya Produksi

Contoh persamaan aljabar : TC = 10 + 2Q

Jika : FC = 10 Q = 0 sampai 5, dan VC = 2Q, maka TC dapat dihitung :

Q FC VC TC0 10 0 101 10 2 122 10 4 143 10 6 16Q FC VC TC4 10 8 185 10 10 20

12

2.2.2Grafik Total Revenue

Contoh persamaan linier : TR = 5Q

Jika Q = 0 sampai 5, maka TR dapat dihitung :

Q Harga (Q) TR0 5 01 5 52 5 103 5 154 5 205 5 25

FC = 10

TC = 2Q + 10

VC = 2Q

Q

TC / VC / FC

Gambar 4. Kurva Biaya Produksi

TR

TR = 5Q

Q

Gambar 5. Kurva Total Revenue

13

2.2.3Grafik Kurva Permintaan

Sesuai ketentuan, sumbu vertikal adalah Q ( satuan unit) dan sumbu

vertikal adalah P (harga per unit dalam satuan moneter).

Contoh persamaannya adalah Q = 10 – 2P . Jika nilai P dari 0 sampai 5,

maka :

P Q0 101 82 63 44 25 0

2.2.4Grafik Kurva Penawaran

Contoh persamaan linier fungsi penawaran Q = 4P – 2. Bila diketahui

besarnya harga (P) diantara nilai 0 sampai 5, maka dapat disusun tabel

berikut :

P Q0 -21 22 6

Q

Gambar 6. Kurva Permintaan

Q

P

Q = 10 – 2P

14

3 104 125 18

2.2.5Grafik Anggaran Belanja (Budget Line )

Garis anggaran dibuat untuk analisa optimalisasi konsumsi terbatas

pada dua komoditas yang disebut sebagai konstrain atau kendala atau

batasan. Persamaan liniernya muncul dengan pernyataan sebagai berikut :

Konsumen memiliki anggaran sebesar 60 yang digunakan untuk

belanja barang X dan Y yang masing-masing harganya Px = 3 dan Py = 2.

Pernyataan tersebut dirumuskan dalam hubungan linier : 60 = 3X + 2Y.

Persamaan ini bukan berupa fungsi. Untuk menggambar dalam grafik maka

persamaan tersebut diubah dalam bentuk fungsi, misal Y = f(X) atau X =

f(Y).

Sebelum digambar, persamaan diubah menjadi Y = f(X), sehingga

menjadi Y = 30 – 1,5X. Untuk itu dibuat tabel perhitungan dengan nilai

X antara 0 sampai 20 :

X Y0 304 248 18

12 1216 60 0

Q

p

Gambar 7. Kurva Penawaran

15

2.2.6Grafik Konsumsi

Hubungan linier konsumsi dengan pendapatan adalah hubungan linier.

Contoh persamaan yang paling sederhana adalah C = 12 + 0,8 Y. Bila

dimisalkan Y bernilai antara 0 sampai 100, maka dapat disusun tabel

konsumsi sebagai berikut :

Y C0 12

20 2840 4460 6080 76

100 92

X

Y

Y = 30 – 1,5 X

X

C

C = 12 + 0,8 Y Y = C (garis

keseimbangan)

Gambar 8. Garis Anggaran Y = 30 – 1,5 X

Gambar 9. Fungsi Konsumsi C = 12 + 0,8 Y

16

2.2.7Grafik Pajak

Hubungan linier pajak dengan pendapatan adalah hubungan linier yang

paling sederhana. Contoh persamaannya adalah T = 0,1 Y . Bila dimisalkan Y

sebesar 0 sampai 100, maka hasilnya dapat disusun dalam tabel pajak

berikut :

Y T0 0

20 240 460 680 8

100 10

2.2.8Grafik Konsumsi Setelah Ada Pajak

Hubungan linier konsumsi dengan pendapatan disposible (Yd) adalah

hubungan linier antara konsumsi dengan pendapatan yang sudah

disesuaikan dengan adanya pajak. Contoh persamaannya adalah C = 12 +

0,8 Yd dan T = 0,1 Y, sehingga disesuaikan menjadi C = 12 + 0,72 Y. Bila

dimisalkan Y sebesar 0 sampai 100, sehingga dapat disusun tabel konsumsi

sebelum dan sesudah pajak sebagai berikut :

YC sebelum

pajak PajakC setelah

pajak0 12 0 12

20 28 2 26,440 44 4 40,8

Gambar 10. Kurva Pajak

Pendapatan

Pajak

17

60 60 6 55,280 76 8 69,6

2.2.9Gambar Tanda Koefisien Positif dan Negatif

Tanda koefisien perlu diperhatikan , karena bila koefisien positif, maka

arah garis selalu dari kiri bawah naik ke kanan atas. Sedangkan bila koefisien

negatif, maka arah garis dari kiri atas ke kanan bawah.

Gambar 12 menggambarkan koefisien negtif dari -1000 sampai -0,001.

Bila koefisien mendekat 0 maka garis cenderung tampak sejajar dengan

sumbu horizontal dan bila koefisien membesar secara negatif maka garis

cenderung seajajar dengan sumbu vertikal (Gambar 13).

Pendapatan

Konsumsi dan Pajak

Pajak

Konsumsi setelah Pajak

Konsumsi sebelum Pajak

Keseimbangan

Gambar 11. Kurva Konsumsi Setelah Pajak

X

Y

Y = 3 X - 1000

Y = 0,5 X + 250

Y = 0,001 X + 500

Gambar 12. Koefisien Positif

18

2.3 SISTEM DUA PERSAMAAN

Dua persamaan digunakan untuk menyelesaikan masalah seperti ingin

mengetahui harga dan kuantitas keseimbangan di pasar. Padahal

keseimbangan di pasar akan terjadi bila permintaan berinteraksi dengan

penawaran sampai pada posisi permintaan sama dengan penawaran.

Misalnya, diketahui dua persamaan linier sebagai y = 5x + 6 dan y =

20 – 2x. Untuk mengetahui berapa x dan y keseimbangan (koordinasi titik

potong) digunakan sistem dua persamaan

2.3.1Solusi Keseimbangan Pasar

Salah satu bidang teori ekonomi adalah ekonomi mikro. Di dalamnya

terdapat analisa pasar. Dalam analisa pasar terdapat perhitungan harga dan

kuantitas keseimbangan.

Salah satu kasus yang terjadi adalah, fungsi linier permintaan Qd = -4P

+ 240 dan fungsi linier penawaran Qx = 5P - 30. Untuk mengetahui berapa

harga dan kuantitas keseimbangan digunakan solusi keseimbangan pasar

dimana bentuk hubungan tersebut bila diaggap linier maka secara matematis

dapat dirumuskan sebagai berikut :

Q = aP + b

X

Y Y = 2000 – 3X

Y = 750 – 0,5 X

Y = 1000 - X

Gambar 13. Koefisien Negatif

19

Dimana :

Q = output dalam satuan unit ( R+ )

P = harga dalam satuan moneter ( R+ )

a = koefisien P ( R )

b = konstanta ( R )

R+ = bilangan riil positif

R = bilangan riil

Bila Q = aP + b sebagai hubungan linier fungsi permintaan maka a

merupakan bilangan riil negatif ( R- ). Bila Q = aP + b sebagai hubungan

linier fungsi penawaran maka a merupakan bilangan riil positif ( R+ ). Hal ini

berlaku untuk kasus barang normal.

2.3.2Solusi Keseimbangan Pasar Karena Ada Pajak

Contoh kasus 2.3.1 bila dikembangkan menjadi permasalahan 2.3.2,

yakni keseimbangan pasar karena adaya pajak. Pajak adalah beban yag

ditanggung oleh masyarakat karena pemerintah ingin mendapat perolehan

dari transaksi jual beli di pasar. Contohnya adalah pajak penjualan. Pengaruh

yang terjadi terhadap pasar adalah berubahnya fungsi penawaran.

Contohnya fungsi permintaan Qd = -P + 125 dan fungs penawaran Qs

= 23 P – 10. Pemerintah menetapkan pajak penjualan sebesar 30/unit. Berapa

besar keseimbangan pasar sebelum dan sesudah adanya pajak?

2.3.3Solusi Keseimbangan Pasar Dua Komoditas

Keseimbangan pasar dua komoditas merupaka pengembangan analisa

keseimbangan suatu komoditas. Analisa akan diselesaikan dengan persoalan

yang terjadi bila pasar yang dihadapi perusahaan akan memproduksi dua

macam barang, yakni Q1 dan Q2. Harganya juga menjadi P1 dan P2.

Contoh kasus :

Permintaan dan penawaran dua komoditas :

Qd1 = 145 – 2P1 + P2

20

Qs1 = -45 + P1

Qd2 = 30 + P1 - 2P2

Qs2 = -40 + 5P2

Berapa keseimbangan kuantitas dan harga dua macam barang tersebut ?

2.3.4Solusi Keseimbangan GDP

GDP atau Gross National Product adalah analisa di bidang ekonomi

makro yang dipopulerkan oleh JM. Keynes. Pembahasan model persamaan

bisa dibuat menjadi beberapa kelompok :

1. Perekonomian Sederhana

Model Persamaan : Y = C + I

C = a + b Y

I = I0

2. Perekonomian Tertutup

Model Persamaan : Y = C + I + G

C = a + b Yd

T = t Y

I = I0

G = G0

Contoh Kurva Perekonomian Tertutup :

2.3.1Solusi BEPGambar 14. Perekonomian Tertutup

Y

C, I, G

C

I

G

21

BEP atau Break Event Point adalah analisa ekonomi yang

menggambarkan kegiatan usaha pada posisi biaya produksi sama besar

dengan revenue ( C = R ).

Contoh kasus : Untuk mendirikan perusahaan diperlukan biaya tetap

sebesar Rp 200.000,00. Bila kegiatan usaha dilakukan untuk memproduksi Q

sampai kapasitas penuh 1000 unit maka diperlukan biaya variabel sebesar

Rp 250,00/unit. Harga output per unit sebesar Rp 750,00. Hitung berapa

besarnya BEP ?

2.4 SISTEM TIGA PERSAMAAN

Persamaan yang terrdiri dari tiga variabel akan mencari 3 nilai bilangan

yang tidak dikenal, dengan syarat tersedia 3 persamaan. Contoh

permasalahanya :

Sebuah toko menjual 3 jenis merk barang, A, B dan C dengan harga yang

berbeda, yaitu PA, PB, PC. Selama 3 bula dikumpulkan data tentang jumlah

dan hasil penjualan :

BULAN A B C Hasil Penjualan

(Rp)

Januari 25 62 54 2.765.000

Februari 28 42 58 2.695.000

Maret 45 53 56 3.124.000

Berapa harga rata-rata dari ketiga merk barang tersebut?

22

TUGAS MAHASISWA

1. Suatu barang jika dijual seharga Rp 5000 perbuah akan terjual sebanyak 3000

buah. Akan tetapi jika dijual dengan harga lebih murah yaitu Rp 4000 per buah,

maka jumlah permintaan meningkat menjadi 6000 buah. Bagaimanakah fungsi

permintaannya? Gambarkan fungsi permintaan tersebut pada grafik cartesius

2. Penawaran suatu barang sebanyak 500 buah pada saat harga Rp 4000. Apabila

setiap kenaikan harga sebesar Rp 1.250 akan menyebabkan jumlah penawaran

mengalami peningkatan sebesar 250. Bagaimana fungsi penawarannya dan

gambarkan fungsi penawaran tersebut pada grafik cartesius?

3. Diketahui persamaan harga permintaan dan penawaran :

P + 2Qd = 144 dan 4P – 3Qs = 136

Carilah

a. Harga (P) dan (Q) keseimbangan

b. Gambarkan grafik dua persamaan tersebut

c. Bila pemerintah menentukan pajak Rp 5,0 per unit, berapa P dan Q setelah

ada pajak?

4. Permintaan dan penawaran komoditas celana panjang :

QdC = 410 - 5PC - 2PJ dan QSC = -60 + 3PC

Permintaan dan penawaran komoditas jaket :

QdJ = 295 – PC – 3PJ dan QSJ = -120 + 2PJ

Tentukan harga keseimbangan PC, PJ dan kuantitas keseimbangan QC dan QJ

5. Sebuah toko menjual 3 jenis merk barang, A, B dan C dengan harga yang

berbeda PA, PB, dan PC. Selama 3 bulan data dikumpulkan dan hasilnya tampak

sebagai berikut :

Bulan A B C Hasil

Penjualan

23

1 25 52 55 2765000

2 30 40 62 2695000

3 26 35 54 3124000

Berapa harga rata-rata ketiga merk tersebut

PERSAMAAN KUADRAT

3.1 PENDAHULUAN

Bentuk umum fungsi :

1. Fungsi satu variabel :

Rumus : y = f(x)

Contoh :

Fungsi satu linier (fungsi linier) : y = ax + b

2. Fungsi dua variabel : y = f(x1, x2)

Rumus : y = (x1, x2)

Contoh :

Fungsi kuadrat : y = ax2 + bx + c

3. Fungsi satu linier (fungsi linier) : y = ax + b

4. Fungsi k variabel : y = f(x1, x2, ...,, xk)

Bentuk umum persamaan kuadrat :

y = ax2 + bx + c

atau ditulis sebagai :

f(x) = ax2 + bx + c

dimana :

a, b, dan c bilangan konstan ddan a 0

3.2 GRAFIK PERSAMAAN KUADRAT

Bab 3

24

Apabila nilai a > 0, bentuk gambarnya menjadi seperti huruf U. Sementara

bila a < 0, maka gambar garis menjadi

Contoh :

Diketahui f(x) = x2 – 5x – 6. Gambarkan fungsinya

Penyelesaian :

x y

-3 18-2 8-1 00 -61 -102 -12

3 -124 -105 -66 07 88 18

3.2 SOLUSI DUA PERSAMAAN VERSUS PERSAMAAN KUADRAT

Bentuk umum persamaan kuadrat masih merupakan persamaan tunggal

sebagai y = f(x). Tidak berbeda dengan persamaan linier, bila hanya satu

persamaan maka belum ada titik potong dengan kurva lainnya. Untuk

keperluan analisis maka nilai y dimisalkan sebagai nilai tertentu sehingga

akan terdapat perpotongan dengan persamaan kuadrat tersebut.

Contoh :

Diketahui y = x2 + x + 30 dan y = 3x + 15. Cari titik potong dua

persamaan tersebut?

Aturan dalam Persamaan Kuadrat :

x

y

25

1. Akar-akar x1 dan x2 dengan rumus abc : x1,2 =

−b ± √b2 − 4 ac2a atau

x1,2 =−b ± √D

2a

dimana D (diskriminan) = b2 – 4ac

2. Jika D > 0, maka Persamaan Kuadrat mempunyai dua akar real berlainan

( x1 ≠ x2 )

3. Jika D = 0, maka Persamaan Kuadrat mempunyai dua akar real kembar (

x1 = x2 )

4. Jika D < 0, maka Persamaan Kuadrat tidak mempunyai akar real

Contoh :

Carilah akar persamaan dari 3x2 - 9x + 5 = 0 dan gambarkan grafiknya

3.3 PENERAPAN DI BIDANG EKONOMI

Beberapa persoalan ekonomi yang terjadi :

1. Break Event Point (BEP)

2. Keuntungan maksimum dan kerugian minimum

3. Keseimbangan pasar

Contoh :

1. Diketahui R = 24Q – 2Q2 dan C = 18 + 4Q. Hitung BEP dan keuntungan

maksimum

2. Diketahui fungsi permintaan dan penawaran :

P1 = Q2 + 12Q + 32 dan P2 = -Q2 - 4Q + 200. Hitung berapa besar

keseimbangan P dan Q dan gambarkan fungsinya

26

HUBUNGAN ANTAR VARIABEL

4.1 PENDAHULUAN

Bentuk umum fungsi :

1. Fungsi satu variabel

Rumus : y = f(x)

Contoh :

Fungsi satu linier (fungsi linier) : y = ax + b

2. Fungsi dua variabel

Rumus : y = (x1, x2)

Contoh :

Fungsi kuadrat : y = ax2 + bx + c

3. Fungsi k variabel

Rumus : y = f(x1, x2, ...,, xk)

Contoh : y = ax4

4.2 FUNGSI SATU VARIABEL

Pada hubungan fungsi linier akan terjadi hubungan one to one. Pada

fungsi kuadratik akan terjadi hubungan many to one dan akhirnya bentuk

fungsi tersebut dirumuskan fungsi polinomial secara umum sebagai :

Bab 4

27

y=an . xn+an−1. x

(n−1)+an−2 . x(n−2)+…+a0

4.2.1 GRAFIK FUNGSI SATU VARIABEL

Hubungan satu variabel terdiri dari beberapa macam :

1. Monomial

2. Polynomial

X

Y X4

100X

X

X3

Y

100X + 1000

X3+X2+13X-100

X4-10X3+2X2+X

28

3. Pangkat Pecahan

4. Pangkat Negatif

X

Y

X12

X13

X14

X

Y

1

X2

1

X3

1

X4

29

5. Pangkat Pecahan

4.2.2 LIMIT

Untuk mengetahui bagaimana suatu fungsi cenderung pada suatu nilai

tertentu maka diperlukan alat hitung. Misalnya, ingin mengetahui bagaimana

rata-rata biaya produksi berkurang karena adanya peningkatan produksi.

Jawabannya adalah dengan menggunakan konsep perhitungan limit.

Rumus umum limit adalah :

limx → c

f ( x ) = L

berarti bahwa bilamana x dekat tetapi berlainan dari c, maka f(x) dekat ke L.

Andaikan n bilangan bulat positif, k konstanta, dan f dan g adalah fungsi-

fungsi yang mempunyai limit di c, maka :

1.limx → c

k = k

2.limx → c

x = c

X

Y

1

X14

1

X15

1

X13

6.limx→ c

[ f ( x ) . g ( x )] = limx→c

f (x ) . limx→ c

g (x )

7.

limx→ c

f ( x )g( x )

=limx→ c

f ( x )

limx→ c

g( x ),asal

limx→ c

g( x ) ≠ 0

8.limx→ c

[ f ( x )]n = [limx→c f (x )]n

9.limx→ c

n√ f ( x ) = n√ limx→c

f ( x ) asalkan

limx→ c

f ( x ) > 0

, bilamana n genap

30

3.limx→ c

kf ( x ) = k limx→ c

f ( x )

4.limx→ c

[ f ( x ) + g (x )] = limx→c

f ( x ) + limx→c

g( x )

5.limx→ c

[ f ( x ) − g( x )] = limx→c

f ( x )− limx→c

g ( x )

4.2 3. FUNGSI BERBANDING TERBALIK

Bentuk fungsi berbanding terbalik yang paling sederhana adalah :

f ( x )=1x dimana x > 0

Contoh :

Diketahui biaya tetap untuk produks barang Q adalah Rp 10 dan biaya

variabel Rp 4/unit. Tentukan persamaan total biayanya ( C ) dan biaya rata-

ratanya ( AC ), kemudian gambarkan grafiknya.

Penyelesaian :

C = FC + (AVC x Q) = 10 + 4Q

AC = CQ

= 10+4QQ

=10Q+4

y

x

f (x) = 1x

31

limQ→∞

( AC )= limQ→∞ ( 10

Q+4)=4

Hasilnya bila Q mendekati maka AC = 4. Nilai AC = 4 adalah nilai VC per

unit.

4.2.4 FUNGSI KEBALIKAN

Fungsi kebalikan digunakan dalam ekonomi agar analisis lebih mudah

dilakukan. Contoh yang sering terjadi adalah analisis pasar. Bila dalam teori

ekonomi Q = f(P), tetapi dalam menggambar grafik diubah menjadi P = f(Q)

Contoh :

Gambar fungsi permintaan Q = 32 – 2P

Penyelesaian :

Secara matematis fungsi tersebut adalah Q = f(P). Tetapi untuk menggambar

fungsi, maka kurva permintaan ditunjukkan oleh garis vertikal P, sehingga

seolah-olah P = f(Q), sehingga persamaan menjadi P = 16 – ½Q

Gambar :

x

y

32

4.2.5 FUNGSI EKSPONEN

Bentuk umum fungsi eksponan adalah y = ax. Kebalikan dari fungsi

eksponen adalah fungsi logaritma. Kedua fungsi ini dihubungkan dengan :

x = ay dihitung sebagai y = xlog a

Contoh :

Dalam masa resesi pendapatan perusahaan mengalami penurunan sebesar

10% per tahun. Keadaan tersebut dirumuskan dalam fungsi eksponen

sebagai berikut : R = 8e-0,1t dimana R adalah pendapatan/tahun, t adalah

periode tahun

Tentukan pendapatan R sampai tahun ke 2

Penyelesaian :

Pendapatan R berdasarkan fungsi R = f(t) adalah :

a. t= 0, maka R = 8e0 = 8

b. t= 1, maka R = 8e-0,1(1) = 8 x 0,9048 = 7,2384

c. t= 2, maka R = 8e-0,1(2) = 8 x 0,8187 = 6,5496

4.3 FUNGSI LEBIH DARI SATU VARIABEL

4.3.1 FUNGSI LOGARITMA

Bentuk y =a log f (x ) disebut fungsi logaritma dengan a bilangan pokok

(a> 0 dan a 1) serta f(x) disebut numerus dengan f(x) > 0

Contoh :

Diketahui fungsi cobb-douglass sebagai Q = A.K.L. Ubah fungsi tersebut

menjadi linier

4.3.2 FUNGSI PRODUKSI COBB-DOUGLASS

Bentuk umum fungsi Cobb-Douglass :

Q (K, L) = A.K.L

Dimana :

33

A = konstanta (koefisen teknis)

, = konstanta (elastisitas atau derajat homogenitas)

Q = kuantitas output

K = kapital

L = labor

Contoh :

Diketahui fungsi produksi sebagai Q = K2 + 3KL, dimana fungsi tersebut

adalah homogen. Tentukan skala produksinya

34

5.1 PENDAHULUAN

Diferensial adalah ilmu matematika yang mempelajari pengaruh

perubahan suatu variabel terhadap variabel lain. Contoh di bidang ekonomi :

Konsumen ingin mengetahui pengaruh perubahan harga terhadap jumlah

barang yang akan dibeli

Produsen ingin mengetahui perubahan jumlah produksi karena adanya

tambahan tenaga kerja

Produsen ingin mengetahui kapan jumlah produksi mencapai posisi yang

memberikan keuntungan maksimum

Rumus umum untuk diferensial adalah :

∆Q=∆ P dQdP

Dimana :

Q = perubahan jumlah barang

P = perubahan harga

dQdP

= derivasi pertama jumlah barang terhadap barang

5.2 KAIDAH DIFERENSIAL

. ddx

( c ) = 0, c konstan

Bab 5 DIFERENSIAL

35

2.

ddx

(xn ) = n x n−1

Misal u dan v adalah fungsi x yang dapat diturunkan, maka :

3. f’(x) = U ± V f’(x) = U’ ± V’

4. f’(x) = U . V f’(x) = U’V + V’U

5. f’(x) =

UV f’(x) =

U ' V− V ' U

V 2

5.3 NILAI MARGINAL SUATU FUNGSI

Fungsi marginal di bidang ekonomi :

Fungsi Utama Fungsi MarginalContoh Fungsi

UtamaPerhitungan

Marginal

Revenue ( R ) Marginal Revenue (MR)

R = 2Q2 + 5Q MR = 4Q + S

Biaya ( C ) Marginal Cost ( MC )

C = 200 + 3Q2 MC = 6Q

Konsumsi ( C )Marginal Propensity To Consume

C = 50 + 0,8 Y MPC = 0,8

Produksi Marginal Physical Produk Tenaga

TP = 50 + 4L MPPL = 4

Utilitas Marginal Utilitas U = 2x2 + 5x MUx = 4x + 5

Utilitas Marginal Rate of Substitution

U = f(x1, x2, ..., xk) MRSx1,x2

Persentase Pajak Marginal Tax Rate T = 0,1 Y T = 10%

ImportMarginal Propensity To Import

M = 10 + 0,2Y m = 0,2

5.4 DERIVASI ORDE LANJUTAN

Turunan dari y = f(x) yaitu y’ =

dydx adalah turunan pertama dari y

terhadap x. Turunan pertama dari y mungkin juga dapat diturunkan (disebut

turunan kedua terhadap x) dan turunannya adalah :

36

y `````=`````` { { ital dy '} over { ital dx} } `````=`````` { {d} over { ital dx } } ` left ( { { ital dy} over { ital dx } } right )`````=```` { {d rSup { size 8{2} } y} over { ital dx rSup { size 8{2} } } } } {¿Hingga, jika y mempunyai turunan-turunan yang dapat diturunkan, maka

disebut turunun ke-n dari y terhadap x, untuk n bilangan bulat positif :

5.5 MARGINAL REVENUE DAN MARGINAL COST

Penggabungan dua fungsi pada bagian sebelumnya dilakukan dengan

membuat persamaan R = C ( revenue = biaya ) sehingga diperoleh hasil BEP.

Bagian ini juga akan menggabungkan dua fungsi marginal, yaitu MR = MC

dan akan diperoleh hasil nilai posisi keuntungan maksimum atau kerugisn

minimum sama dengan verteks.

Kasus :

R = 24Q – 2Q2

C = 18 + 4Q

Hitung : a. MR

b. MC

c. Nilai Q pada saat BEP

d. Keuntungan

e. Grafik

5.6 MARGINAL PRODUCT

Marginal Product adalah hubungan variabel tingkat perubahan input

( contohnya tenaga kerja ( L ) ) dengan tingkat perubahan variabel output

( contohnya barang atau jasa ( Q ) ). Perhitungan marginal product berasal

dari fungsi produksi ( TP ).

y(n ) = ddx

( y(n−1) ) = ddx ( dn−1 y

dxn−1 ) = dn ydxn

37

Kasus :

1. Diketahui Q = f(L) = 8√L. Hitung MPL dan gambar grafiknya

2. Diketahui fungsi produksi sebagai Q = 120√L - 5L. Hitung MPL bila

diketahui L sebagai berikut : L = 1, L = 16, L = 100 dan L = 900

3. Diketahui fungsi produksi sebagai Q = 15L2 – 0,2L3. Kapa penggunaan L

menunjukkan hukum berlakunya MPL menurun?

5.7 MARGINAL PROPENSITY TO CONSUME

Marginal Propensity to Consume (MPC) adalah rate of change konsumsi

karena perubahan pendapatan. Besar kecilnya MPC pertama kali ditentukan

oleh fungsi konsumsi.

Rumus MPC :

MPC=dCdY

38

6.1 PENDAHULUAN

Istilah maksimum atau minimum yang sesuai dengan bidang ekonomi

yang dibahas pada bagian ini adalah besarnya variabel dependen pada saat

nilai variabel independen tertentu.

6.2 KARAKTERISTIK FUNGSI

Penerapan fungsi dalam bidang ekonomi terus berkembang, walau tidak

akan mendahului ilmu matematika seperti :

1. Fungsi Aljabar

a. Polinomial : y=an . xn+an−1 x

n−1+ ...+a0

b. Rasional : y=an . x

n+an−1 . xn−1+…+a0

am. xm−1+am−1 . x

m−1+…+a0

c. Irasional : y=√x2. Transendental

a. Eksponensial : y = ax ; y = ex

b. Logaritmik : y = ln x ; y = log x

c. Trigonometri dan kebalikannya

d. Hiperbolik dan kebalikannya

3. Composite (Gabungan)

6.2.1 Increasing dan Decreasing Function

Dengan menggunakan perhitungan nilai dari derivasi pertama maka

bisa diperoleh tanda increasing (naik) dan decreasing (turun) sebagai berikut

:

Bila nilai domain naik dan nilai domain positif berarti fungsi increasing

Bila nilai domain naik dan nilai domain negatif berarti fungsi decreasing

Bab 6 MAKSIMUM DAN MINIMUM

39

6.2.2 Fungsi Cembung dan Cekung

Fungsi y = f(x) disebut cembung bila kenaikan domain membentuk range

mula-mula naik kemudian turun

Fungsi y = f(x) disebut cekung bila kenaikan domain membentuk range

mula-mula turun kemudian naik

6.3 LETAK EKSTRIM

Nilai ekstrim adalah terjadinya peristiwa perubahan x sebagai domain

yang mengakibatkan terjadinya perubahan f(x) sebagai range berhenti

sejenak (stationary) kemudian berubah arah secara berlawanan. Jadi suatu

nilai x yang ada di sekitar kiri kanan tanda slope f(x) berubah dari positif ( + )

menjadi negatif ( - ) atau sebaliknya.

Letak nilai ekstrim tersebut dapat diketahui dengan menggunakan

perhitungan tes letak sebagai berikut :

1. Dibuat persamaan derivasi pertama menjadi nol

2. Hitung nilai x sebagai titik berhenti (stationary point) sehingga diperoleh x

= a

3. Hitung besarnya derivasi kedua f(x)

4. Gunakan x = a pada langkah ke 2 untuk menghitung f(a)

5. Bila :

f”(a) > 0 maka f(x) minimum pada x = a

f”(a) < 0 maka f(x) maksimum pada x = a

f”(a) = 0 maka tes letak ekstrim gagal

Kasus :

1. Diketahui f(x) = 13x3−5 x2+25x. Lakukan tes letak ekstrim fungsi tersebut

dan hitung berapa besarnya

40

2. Diketahui f(x) = 611x

116 −16

3x

32− 9

4x

43+24 x. Lakukan tes letak ekstrim fungsi

tersebut dan hitung berapa besarnya

6.4 EKSTRIM GLOBAL

Bila dijumlah ada nilai minimum atau maksimum lebih dari satu, maka

harus dipilih nilai yang paling maksimum atau disebut nilai ekstrim

absolut.

Kasus :

Selidiki nilai ekstrim global dari f(x) = 15x5−5

3x

3

+4 x

6.5 TITIK BELOK

Ciri terdapatnya titik belok (inflection) dalam suatu fungsi apabila terdapat

nilai derivasi pertama paling tidak berbentuk U atau ∩.

Kasus :

Selidiki titik belok pada =3x3 + 159x2 – 2430x + 10800

6.6 OPTIMALISASI DALAM FUNGSI PRODUKSI

Nilai optimal dalam fungs produksi bisa dilihat dari produk maksimum, APL

maksimum dan MPL maksimum.

Rumus APL maksimum :Q(L)dL

Rumus MPL maksimum :ddL

Q(L)

Kasus :

Diketahui f(x) = 30L2 – 2L3

Hitung :

41

1. Jumlah tenaga yang digunakan saat Q maksimum

2. APL maksimum

3. Buktikan bahwa APL maksimum = MPL

6.7 OPTIMALISASI DALAM FUNGSI PROFIT

Fungsi profit adalah fungsi yang secara umum diperoleh dari selisih antara

revenue dengan biaya ( R – C ). Bentuk persamaannya adalah :

π=R−C

dimana :

= keuntungan C = Biaya

R = Revenue

Syarat pertama yang harus dipenuhi adalah R dan C adalah fungsi variabel

yang sama. Jadi bila R = f(Q) maka C = f(Q)

Kasus :

Diketahui sebuah perusahaan manufaktur menjual produk per unit dengan

harga P = 200 – 0,01Q. Manajer perusahaan menentukan biaya

produksi sebagai fungsi C = 50Q + 20000.

Ditanyakan Besar Q yang harus diproduksi supaya perusahaan mencapai

profit maksimum

42

7.1PERHITUNGAN BUNGA SEDERHANA

Variabel yang diperlukan :

1. Tingkat bunga (interest)

adalah balas jasa penyimpanan sejumlah nilai uang tertentu, biasanya di

bank atau pinjaman

Satuan : %waktu

2. Pokok pinjaman atau uang yang dibungakan (principal)

Disimpan dengan satuan moneter (satuan mata uang)

3. Periode atau jangka waktu (t)

adalah satuan waktu perhitungan bunga yang diberlakukan

Perhitungan Nilai Bunga

Adalah hasil kali bunga dengan pokok pinjaman dan periode

Rumus :

I = P i t

Dimana :

I = Nilai bunga sederhana

P = pokok pinjaman

i = tingkat bunga per satuan waktu t

t = periode

Kasus :

Bab 7 MATEMATIKA KEUANGAN

43

Sebuah KSP meminjamkan uang sebesar Rp 5.000.000,00 dengan bunga 2%

per bulan. Berapa bunga yang harus dibayarkan pada bulan berikutnya?

7.2 PERHITUNGAN NILAI AKHIR DENGAN BUNGA SEDERHANA

Rumus :

NA = P + P i t

Dimana :

NA = nilai akhir dengan bunga sederhana

P = pokok pinjaman

i = tingkat bunga per satuan waktu t

t = periode

Kasus :

Pada kasus 7.3, hitung nilai akhir per hari, bulan dan tahun

7.3BUNGA MAJEMUK DAN NILAI AKHIR (FV)

Bunga majemuk tidak dibayar per satu periode, tetapi bunga majemuk

menghitung bunga selama satu bulan dengan rumus bunga per hari (bunga

harian). Perbedaannya terletak pada bunga yang belum dibayarkan yang

kemudian secara otomatis akan menjadi pokok pinjaman.

Rumus :

FV = P (1 + i)t

Dimana :

FV = future value = nilai akhir dengan bunga majemuk

P = pokok pinjaman

i = tingkat bunga per satuan waktu t

t = periode

Kasus :

44

Pokok pinjaman sebesar Rp 5.000.000,00, bunga 9% per tahun. Perhitungan

bunga yang diberlakukan adalah per hari. Tentukan FV pada hari ke 258

7.4NILAI SEKARANG (PRESENT VALUE)

Nilai sekarang merupaka modifikasi rumus perhitungan FV :

Rumus :

FV = P (1 + i)t

Rumus PV menjadi :

PV= FV

(1+i )t

Dimana :

PV = nilai sekarang

FV = future value = nilai akhir pada periode t

i = tingkat bunga per satuan waktu t

Kasus :

Simpaan yang diharapkan bernilai Rp 20.000.000,00 pada periode 20 tahun

mendatang. Bila tabungan yang akan disimpan menjanjikan bunga 12% per

tahun dan dihitung setiap bulan, hitunglah PV.

7.5TINGKAT BUNGA EFEKTIF

Besar kecilnya tingkat bunga diukur dalam jangka waktu atau periode

tahunan. Dalam ilmu ekonomi, tingkat bunga tahunan menjadi variabel

tingkat bunga nominal (nominal interest rate). Kenyataannya, perhitungan

nilai bunga tidak selalu dihitung dalam periode tahunan. Bisa menjadi harian,

bulanan atau kuartal yang menghasilkan FV atau PV yang berbeda.

Perhitungan FV per hari lebih besar dibanding FV per bulan. Demikian juga

sebaliknya, perhitungan PV per hari lebih kecil dibanding perhitungan PV per

bulan.

45

Rumus untuk mencari tingkat bunga efektif per tahun :

r=(1+ im )

m

−1

Dimana :

r = tingkat bunga efektif per tahua (EAR = Effective Annual Rate)

i = tingkat bunga nominal per tahun

m = berapa kali perhitungan bunga per tahun

Kasus :

1. P = Rp 5.000.000,00

i = 9% per tahun

Hitung :

a. FV periode 10 tahun dihitung nilai bunga per hari

b. FV periode 10 tahun dihitung nilai bunga per bulan

c. FV periode 10 tahun dihitung nilai bunga per tahun

2. Tingkat bunga nominal 9% per tahun. Hitung :

a. Tingkat bunga efektif per tahun ( m = 360)

b. Tingkat bunga efektif per bulan ( m = 12)

7.6NILAI SEKARANG DAN AKHIR DARI ANGSURAN

Perhitungan ini sering digunakan dalam pembayaran cicilan (misal

pembelian barang secara kredit, premi asuransi, dana pensiun, dan lainnya).

Rumus :

Sn=R { (1+ i)n−1i }

A=R {(1+i )n−1

i (1+ i )n }R=A { i (1+ i )n(1+i )n−1 }

Dimana :

46

Sn = nilai akhir dari angsuran sebesar R

A = nilai akhir sekarang

R = angsuran tetap per periode

i = tingkat bunga per periode

n = lama periode angsuran

Kasus :

Pembelian barang seharga Rp 500.000,00 dengan tingkat suku bunga 9% per

tahun

a. Berapa harga barang tersebut setelah 5 bulan

b. Berapa angsuran barang tersebut per bulan selama 5 bulan

c. Berapa nilai barang sekaran yang diangsur selama 5 bulan

7.7 PERHITUNGAN BUNGA, POKOK DAN SISA PINJAMAN

Dalam kehidupan sehar-hari tanpa disadari kemampuan masyarakat

untuk membeli barang dengan harga relatif mahal tidak akan terlaksana bila

tanpa adanya pinjaman atau kredit dari bank atau lainnya, atau bisa juga

dengan menyimpan sebagian uangnya untuk membeli barang di masa yang

akan datang. Variabel yang berkaitan dengan simpan pinjam tersebut antara

lain besarnya nominal pinjaman, tingkat bunga nominal, periode

pembayaran, besarnya angsuran, dan seterusnya.

Kasus :

Seseorang ingin membeli sebuah rumah senilai Rp 200.000.000,00 dengan

uang muka Rp 50.000.000,00. Kekurangan pembayaran dibayar dengan

pinjam dari bank dengan tingkat bunga sebesar 10% per tahun. Bunga

pinjaman dihitung setiap bulan. Berapa angsuran yang harus dibayar bila

waktu pinjam 5 tahun, 10 tahun dan 15 tahun?

47

8.1 PENDAHULUAN

Dalam kenyataannya, fungsi ekonomi tidak hanya dipengaruhi oleh satu

variabel, melainkan lebih dari satu variabel. Misalnya, keuntungan ( ) tidak

hanya dipengaruhi oleh jumlah produksi ( Q ) satu macam, tetapi menjadi

dua macam ( Q1, Q2 ), sehingga model hubungannya menjadi = f ( Q1, Q2 ).

Dengan adanya penambahan variabel independen tersebut, maka analisis

yang digunakan tidak lagi diferensial saja, melainkan diferensiasi parsial. Alat

analisisnya dinamaka derivasi parsial.

8.2 FUNGSI LEBIH DARI DUA VARIABEL

Notasi fungsi lebih dari dua variabel tidak hanya berupa x saja atau y saja.

Karena lebih dari satu variabel, maka fungsinya menjadi z = f (x , y ) , Q =

f(Pq, Ps, Pk, M, S) , = f ( Q1, Q2 ) dan lainnya.

Kasus :

Diketahui f(x, y) = 3x2 + 2xy + y + 1 sebagai fungsi dua variabel x dan y. Bila

x = 1 dan y = 1, berapa hasil dari f(1, 1)?

8.3 DERIVASI PARSIAL

Pada fungsi z = (x, y) jika y dipandang sebagai suatu konstanta, maka z

adalah fungsi dari x dan turunannya terhadap x adalah :

Bab 8 DERIVASI PARSIAL

48

9

∂ z∂ x

= limΔ x → 0

f ( Δ x0 + Δ x , y0 ) − f ( x0 , y0)Δx

yang disebut DERIVASI PARSIAL dari z = f(x, y) terhadap x.

Jika fungsi z = (x, y) jika x dipandang sebagai suatu konstanta, maka z

adalah fungsi dari y dan turunannya terhadap x adalah :

∂ z∂ y

= limΔ y → 0

f ( x0 , y0 + Δy ) − f (x0 , y0 )Δ y

yang disebut DERIVASI PARSIAL dari z = f(x, y) terhadap y.

Kasus :

Diketahui f(x, y) = 3x2y + 2xy + y3 + 10, bagaimana bentuk derivasi parsial

untuk x dan derivasi parsial untuk y. Gambarkan

8.4 DERIVASI PARSIAL ORDE LANJUTAN

Turunan parsial dapat diturunkan lagi untuk memperoleh turunan parsial

kedua, yaitu:

f XX =∂∂ x ( ∂ f∂ x ) = ∂2 f

∂ x2f yy =

∂∂ y ( ∂ f∂ y ) = ∂2 f

∂ y2

f xy =∂∂ y ( ∂ f∂ x ) = ∂2 f

∂ y ∂ xf yx =

∂∂ x ( ∂ f∂ y ) = ∂2 f

∂ x ∂ y

Hal ini bisa diderivasi lebih lanjut menjadi orde ketiga, keempat dan

seterusnya

Kasus :

Hitung derivasi parsial orde pertama dan kedua dari f(x, y) = 8x2y3

49

8.5 TINGKAT PERUBAHAN SECARA PARSIAL

Pengaruh perubahan variabel independen terhadap variabel dependen

untuk kasus dua variabel independen dapat disebut sebagai Small Increment

Formula (SIF) dan notasinya :

∆ z ≈∆ x∂z∂ x

+∆ y ∂ z∂ y

≈∆ x . z x+∆ y . z y

Kasus :

Diketahui fungsi z(x, y) = x2 + 3y. Mula-mula x = 5 dan y = 8. Gunakan

rumus SIF untuk menghitung perubahan nilai z karena x berubah menjadi x =

5,021 dan y berubah menjadi y = 7,98

8.6 CHAIN RULE DAN TOTAL DERIVASI

Andaikan x = x(t) dan y = y(t) dapat dideferensialkan di t dan andaikan

z = f(x, y) dapat dideferensialkan di (x(t), y(t)). Maka z = f(x(t)) dapat

dideferensialkan di t dan :

dzdt

= ∂ z∂ x

∂ x∂ t

+ ∂ z∂ y

∂ y∂ t

Kasus :

1. Diketahui y = u3 dan u = x2. Hitung dydx

2. Diketahui R = P.Q dan P = 120 – 6Q. Hitung nilai MR menggunakan Chain

Rule

8.7 APLIKASI DERIVASI PARSAL

8.7.1Derivasi Fungsi Implisit

Jika F(x, y, z) adalah fungsi kesatuan dari x, y dan z maka dapat

dirumuskan menjadi persamaan berikut :

F(x, y, z) = 0

50

Asumsi hubungan variabel tersebut (x, y) sebagai domain untuk F(x, y, z)

dan (x, y) juga sebagai domain untuk f(x, y). Kemudian menjadi :

Fx.dx + Fy.dy + Fz.dz = 0

Karena z = f(x, y) dan juga dz = fx.dx + fy.dy, maka diperoleh :

dz=−Fx

F z

dx−F y

F z

dy

Dengan syarat F 0, untuk bisa diperoleh :

f x=∂ z∂ x

=−Fx

F z

, f y=∂ z∂ y

=−F y

F z

dy

Kasus :

Diketahui x2y = 3, tentukan nilai dydx

8.7.2Elastisitas Permintaan

Analisis elastisitas ada tiga macam :

1. Elastisitas Harga

2. Elastisitas Silang

3. Elastisitas Pendapatan

Bila hubungan tersebut dirumuskan dalam bentuk fungsi lebih dari satu

variabel maka menjadi :

Q = f(PQ, PA, Y)

dimana :

Q = jumlah permintaan

PQ = harga Q per unit

PA = harga barang alternatif

Y = pendapatan konsumen

Perhitungan elastisitas dirumuskan sebagai :

1. Elastisitas Harga (εPQ )

51

εPQ=% perubahan jumlah permintaan (Q)

% perubahan jumlah harga (PQ )= dQd PQ

.PQ

Q

2. Elastisitas Silang (εP A )

εP A=% perubahan jumlah permintaan (Q)

% perubahan harga barang alternatif (PA )= dQd PA

.PA

Q

3. Elastisitas Pendapatan ( εγ )

ε Y=% perubahan jumlah permintaan (Q)% perubahan pendapatan (Y)

= dQd PQ

.YQ

Kasus :

Diketahui fungsi permintaan Q = 100 – 4Pq2 + 3Pa + 0,04 Y½ . Ditanyakan :

1. Besarnya elastisitas harga, elastisitas silang dan elastisitas pendapata

2. Hitung nilai elastisitas εPQ, εP A

, dan ε γ bila PQ = 5, PA = 6 dan Y = 1900

3. Apa yang terjadi bila :

a. Pq turun 25%

b. Pa naik 2%

c. Y naik 10%

3.7.1Utilitas

Analisis utilitas adalah analisis yang menggambarkan tujuan konsumen

yang selalu ingin mencapai kepuasan maksimum. Bila diketahui kombinasi

dua barang x dan y yang akan dikonsumsi maka U = f(x, y).

Bila U(x, y) = 100, maka kurva indiference hanya satu, seperti tampak

pada gambar di bawah ini :

y

52

Dengan menggunakan gambar diatas, dijelaskan utilitas sebesar 100 bisa

dicapai dengan berbagai kemungkinan kombinasi barang x dan y, bisa dari 5

dan 30 sampai dengan 180 dan 35. Pergantian dari 5 dan 380 menjadi 30

dan 115 dinamakan Marginal Rate Commodity Substitution (MRCS) yang

dirumuskan :

MRCS = −dydx

=U x

U y

Dimana :

Ux = Marginal Utility of x

Uy = Marginal Utility of y

Kasus :

Diketahui U=3x12 y

13 . Hitung Ux, Uy dan MRCS bila x = 60 dan y = 80

3.7.2Produksi

Analisis produksi adalah model matematika yang digunakan hampir

sama dengan model utilitas yang perbedaan pokoknya terletak pada

hubungan antar variabel yang digunakan. Bila utilitas menggambarkan

keputusan konsumen maka produksi menggambarkan keputusan produsen.

Tujuan produsen adalah menggunakan kombinasi berbagai kemungkinan

input, sehingga bentuk fungsinya menjadi :

Q = f(K, L)

dimana :

x

U(x, y) = 3 x12 y

13 = 100

53

Q = output

K = modal

L = tenaga kerja.

Dalam produksi, juga dikenal istilah Marginal Rate of Technical

Substitution (MRTS) yang dirumuskan :

MRTS = −dKdL

=QL

QK

Dimana :

Qk = Marginal Product of K = ∂Q∂ K

QL = Marginal Product of L = ∂Q∂ L

Kasus :

1. Fungsi produksi Q (K, L) = K2 + 2K + 3L3

Hitung :

a. MPk dan MPL

b. MRTS bila K = 3 dan L = 2

c. Besar pengurangan K bila L dinaikkan 5% tanpa mengubah Q

d. Gambar kurva produksi Q

2. Fungsi produksi Q = 4 K12 L

13. Hitung MPk dan MPL , dan MRTS

54

9.1 PENDAHULUAN

Optimasi adalah konsep penting dalam analisa ekonomi :

Perusahaan untuk memaksimalkan laba dan meminimalisasi biaya.

Pemerintah berupaya untuk memperkecil pengangguran, inflasi dan

memaksimalkan hasil pajak

Konsumen ingin memperoleh kepuasan maksimum dari produk yang

mereka beli

9.2 OPTIMASI TANPA ADA BATASAN

Optimasi tanpa batasan memiliki variabel lebih dari satu ( x , y ) dimana

titik stationer pada x = x0 dan y = y0. Jika derivasi pertama secara parsial

untuk f kedua variabelnya sama dengan nol, maka dapat dirumuskan :

fx(x0, y0) = fy (x0, y0) = 0

Kasus :

Hitung posisi stationer dari fungsi f(x, y) = 3x2 + y2 + 4x – 4y + 7

Bab 9 OPTIMASI

55

Selain titik maksimum dan minimum, juga bisa dihitung titik sadel

(saddle point). Untuk mengetahui titik ini, menggunakan fungsi diskriminan

( D ) yang dirumuskan :

D= fxx . fyy – ( fxy )2

Dengan ketentuan :

1. D < 0, nilai stationer berada pada titik sadel

2. D = 0, nilai stationer berada pada nilai yang tidak jelas

3. D < 0, nilai stationer adalah nilai ekstrim dari fungsi f(x, y)

Nilai ekstrim ada dua kemungkinan, maksimum atau minimum :

1. Maksimum, jika fxx < 0 dan fyy < 0

2. Minimum , jika fxx > 0 dan fyy > 0

Kasus :

1. Fungsi f(x, y) = x3 + 5xy + y3 + 4, hitung nilai diskriminannya

2. Tentukan dan klasifikasikan titik stationer dari f(x, y) = x2 + 3y2– 2xy + 1

3. Fungsi biaya produksi ditentukan oleh dua barang, X dan Y :

C (X, Y) = 2 + 3X2 + 2Y2– 0,5 (XY)

Fungsi revenue : R (X, Y) = 10X + 15Y

Berapa besar produksi X dan Y yang mengakibatkan profit maksimum

9.3 OPTIMASI DENGAN BATASAN

Batasan atau kendala (constrain) sering ditemui dalam masalah ekonomi,

misalnya konsumen ingin mencapai kepuasan maksimum, ada batasan

pendapatan.

Ada dua metode yang akan digunakan dalam bagian ini yaitu metode

substitusi dan metode lagrange multiplier

9.3.1 Metode Substitusi

56

Bila yang ditemui fungsi batasan hanya satu variabel, maka persamaan

tersebut disubstitusikan pada fungsi objeknya. Dengan demikian pencarian

titik stationer sama dengan metode optimasi tanpa batasan.

Langkah penghitungannya adalah :

1. Mencari derivasi pertama dan kedua dari fungsi

2. Mencari nilai maksimum atau minimum

Kasus :

1. Seorang produsen mempunyai fungsi produks Q = 8K14 L

12 dimana K adalah

input modal dan L adalah input tenaga. Biaya per unit penggunaan K dan

L adalah 2 dan 1. Berapa biaya terendah akan dicapai bila produsen

memproduksi Q sebanyak 240 unit?

2. Seorang produsen menghadapi biaya produksi sebanyak K dan L per unit

sebanyak 2 dan 4. Fungsi produksi dirumuskan sebagai Q = 6KL + 2L3.

a. Berapa output maksimum yang bisa dicapai bila TIC = 200?

b. Berapa biaya minimum input yang harus dikeluarkan untuk mencapai

Q sebanyak 1200 unit?

9.3.2 Metode Lagrange Multiplier (LM)

Pada metode ini jumlah variabel bisa lebih dari dua variabel

independen dimana dengan metode lagrange multiplier akan menghasilkan

variabel baru sebagai pembantu pemecahan masalah optimasi dengan

memisalkan nilai . Variabel digunakan untuk membentuk fungsi baru

lagrangian sebagai berikut :

F(x, y, ) = f(x, y) + { k - g(x, y) }

Hasil optimum akan diperoleh dengan mencari x = x0, y = y0 dan =

0. Langkah penyelesaiannya adalah :

1. Bentuk persamaan lagrangian : F = f(x, y) + { k - g(x, y) }

2. Mencari derivasi pertama untuk setiap variabel F

57

3. Hitung x, y dan dengan persamaan ∂F∂ x

=0, ∂F∂ y

=0, ∂F∂=0

4. Gunakan x dan y pada perhitungan 3 untuk mencari nilai f(x, y)

5. Untuk mengatakan optimum sebagai maksimum atau minimum,

digunakan perhitungan nilai determinan matriks hessian atau jacobian

Kasus :

1. Sebuah perusahaan memproduksi barang x dan y masing-masing

membentuk fungsi harga sebagai p1(x, y) dan p2(x, y) yang dirumuskan

sebagai p1(x, y) = 20 – x + 2y dan p2(x, y) = 10 + x – y. Fungsi biaya yang

dihadapi sebagai c(x, y) = 12x + xy + 6y. Dalam

kegiatan usahanya produsen dibatasi oleh jumlah produksi x + y = 20.

Berapa unit produksi x dan y untuk mencapai keuntunga maksimum?

2. Suatu perusahaan akan mengalokasikan dana Rp 600.000,00 untuk iklan

dan penelitian. Kegiatan usaha perusahaan dirumuskan sebagai fungsi

penjualan f(x, y) = 30 x y13 unit produk. Berapa besar penjualan

maksimum dicapai karena akibat dari penggunaan barang untuk iklan dan

penelitian?

58

10.1 PENDAHULUAN

Perhitungan integral berkaitan dengan beberapa teori ekonomi, seperti

perhitungan marginal revenue, marginal cost, marginal product, dan lainnya.

Dengan menghitung integral, fungsi aslinya akan dapat ditemukan lagi.

Selain itu, penafsiran secara geometris fungsi juga digunakan untuk

mencari besarnya surplus konsumen dan produsen. Integral juga digunakan

untuk penghitungan beban pajak yang ditanggung konsumen dan produsen

serta hilangnya kesejahteraan sebagai deadweight loss.

10.2 KAIDAH INTEGRAL

Secara simbol integral ditulis :

∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C

dimana :

∫ dibaca integral

f (x) adalah integran, yaitu yang dikenai operasi integral

Bab 10

INTEGRAL

59

dx adalah diferensial integrator yaitu kepada variabel apa kita akan

mengintegralkan

F(x) + C adalah hasil dari proses pengintegralan dengan C adalah

konstanta integrasi

Beberapa kaidah integral :

1. ∫ a dx = ax + C , a = konstanta

2. ∫ xn dx = 1

n + 1xn + 1 + C

3. ∫ ex dx = ex + C

4. ∫ axdx = ax

ln a+ C

, a konstanta, a > 0

5. ∫ 1xdx = ln |x| + C

Jika a konstanta sembarang dan f(x), g(x) adalah sebarang fungsi dalam x

maka:

1. ∫ a f ( x ) dx = a∫ f ( x ) dx

2. ∫ {f ( x ) ± g (x )} dx =∫ f ( x ) dx ± ∫ g( x ) dx

Kasus :

Fungsi MPC = 0,15 + 0,2

√Y dimana Y adalah pendapatan. Hitung besarnya

fungsi konsumsi C = f(y) dan tabungan S = f(Y) bila C = 135 pada saat Y =

100

10.3 INTEGRAL TERBATAS

Sifat integral terbatas :

60

1.∫a

b

f ( x ) dx = − ∫b

a

f ( x ) dx

2.∫a

b

f ( x ) dx = ∫a

c

f ( x ) dx +∫c

b

f ( x ) dx

3.∫0

a

f ( x ) dx = ∫0

a

f (a− x ) dx

4.∫0

2a

f ( x ) dx = ∫0

a

f ( x ) dx + ∫0

a

f (2a − x ) dx

5. Jika f ( 2a – x ) = f (x), maka ∫0

2a

f ( x ) dx = 2 ∫0

a

f (x ) dx

Jika f ( 2a – x ) = - f (x), maka ∫0

2a

f ( x ) dx = 0

6. Jika f(x) fungsi periodik dengan periode p, f(x) = f(x + p), maka :

∫0

np

f ( x ) dx = n∫0

p

f ( x ) dx

7. Jika f(x) fungsi genap, maka ∫−a

a

f ( x ) dx = 2∫0

a

f ( x ) dx

Jika f(x) fungsi ganjil, maka ∫−a

a

f ( x ) dx = 0

10.4 INTEGRAL TERBATAS : LUAS AREA DAN PENJUMLAHAN

Luas daerah di atas sumbu X ( A(R) ) ditentukan oleh : A (R ) = ∫

a

b

f (x ) dx

61

Luas daerah di bawah sumbu X ( A(R) ) ditentukan oleh : A (R ) = −∫

a

b

f ( x ) dx

Luas daerah diantara dua kurva ( A(R) ) ditentukan oleh :

A (R ) = ∫a

b

[ f ( x ) − g ( x ) ] dx

Kasus :

62

1. Tentukan luas daerah R di bawah kurva y = x4 − 2x3 + 2 antara x = -1 dan

x = 2

2. Tentukan luas daerah R yang dibatasi oleh y = x2

3− 4

, sumbu x, x = -2

dan x = 3

3. Tentukan luas daerah antara kurva y = x4 dan y = 2 x − x2

10.5 SURPLUS PRODUSEN

Surplus produsen berkaitan dengan fungsi penawaran produsen terhadap

barang yang diproduksi. Dirumuskan :

Surplus Produsen = PbQb−∫0

b

f (Q )dQ√b2−4 ac

Dimana :

Pb = harga barang per unit yang terjadi di pasar dan P b > 0

Qb = unit barang yang dijual pada P b sesuai b P b = f(Q)

f(Q) = kebalikan dari fungsi penawaran Q = f(P)

Kasus :

Produsen menghadapi harga penawaran sebagai kebalikan fungsi penawaran

P(Q) = 2Q73 + 250. Berapa besar surplus produsen bila harga barang per unit

506

10.6 SURPLUS KONSUMEN

Surplus konsumen berkaitan dengan fungsi permintaan konsumen terhadap

barang yang dikonsumsi. Dirumuskan :

Surplus Konsumen = ∫0

b

f (Q )dQ−PbQb

dimana :

Pb = harga barang per unit yang terjadi di pasar dan P b > 0

Qb = unit barang yang dijual pada P b sesuai b P b = f(Q)

63

f(Q) = kebalikan dari fungsi penawaran Q = f(P)

Kasus :

Seorang konsumen menghadapi kurva harga P(Q) = −Q45 + 250. Hitung

surplus konsumen jika harga barang di pasar 129.

10.7 BESARNYA DEADWEIGHT LOSS (DWL) KARENA PAJAK

Sering dijumpai beban pajak penjuala akan berakibat hilangnya surplus

konsumen dan produsen. Tujuan pajak adalah mengambil alih sebagian

kesejahteraan masyarakat baik konsumen maupun produsen untuk menjadi

pendapatan pemerintah.

Kasus :

Fungsi harga produsen Ps (Q) = 2Q + 250

Fungsi harga konsumen Pd (Q) = -Q + 2500

Fungsi harga produsen setelah ada pajak Pt (Q) = 2Q + 1000

Hitung :

1. Keseimbangan sebelum ada pajak

2. Keseimbangan setelah ada pajak

3. Surplus Konsumen sebelum ada pajak

4. Surplus Konsumen sesudah ada pajak

5. Surplus Produsen sebelum ada pajak

6. Surplus Produsen sesudah ada pajak

7. Besarnya DWL

8. Beban pajak yang ditanggung konsumen

9. Beban pajak yang ditanggung produsen

10.8 INVESTASI DAN AKUMULASI KAPITAL

64

Akumulasi kapital merupakan penjumlahan akibat tambahan stok kapital

yang berdasarkan pada proses waktu. Dirumuskan :

K(t) = ∫ I (t )dt=∫ dKdt

dt=∫ dK

dimana :

K(t) = model stok kapital

I(t) = investasi

Kasus :

1. Tentukan K(t) dari I(t) = 3t½

2. Diketahui investasi sebagai persamaan konstanta I = 1000. Berapa

besarnya investasi dari t = 0 sampai dengan t = 1

3. Bila 3t½ (dalam juta rupiah per tahun) yang merupakan aliran kapital tidak

konstan , maka hitung akumulasi kapital dari t = 1 sampai t = 4

11.1 PENDAHULUAN

Perekonomian selalu bergerak dinamis. Untuk itu dibutuhkan alat

perhitungan matematika yang bersifat dinamis. Dinamis karena sudah

memasukkan variabel waktu (t). Contohnya dalam analisa keseimbangan

pasar, permintaan tidak hanya bergantung pada harga sekarang, tetapi juga

harga masa lalu.

Bab 11

PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR

65

Sebelum sampai pada pembahasan persamaan diferensial, akan dibahas

dulu pengertian yang membantu, seperti model dinamis, ketentuan model

dinamis, sifat-sifat dinamis serta percobaan sistem dinamis.

11.2 MODEL DINAMIS

Bila variabel yang dinamis adalah x, maka besarnya x bisa dibuat

rumusan tertentu. Contoh : x(t+1) = 3 + ½ x(t)

Tabulasi x(t+1) = 3 + ½ x(t) adalah :

t xt t xt

0 10 8 6,0161 8 9 6,0082 7 10 6,0043 6,5 11 6,0024 6,25 12 6,0015 6,125 13 66 6,063 14 67 6,031 15 6

Model dinamis diatas dinamakan model berulang (recursive). Bila

hubungan hanya ditentukan oleh satu periode sebelumnya maka disebut

persamaan berulang derajat pertama (first order recursive equation). Bila

dua periode sebelumnya dinamakan persamaan berulang derajat kedua

(second order recursive equation). Nilai x1 = 6 = x* disebut sebagai fixed

point atau titik stabil.

Dikatakan sebagai titik stabil karena x1 = 6 = x* stabil karena bila x0 = 3

bukan lagi 10, dan nantinya akan kembali menuju 6 yang disebut dengan

global stabil (equilibrium).

11.3 PERHITUNGAN NILAI VARIABEL DINAMIS

Untuk membentuk sistem dinamis yang terukur, diperlukan hal-hal

sebagai berikut :

1. Nilai kondisi awal x(0) = x0

t

66

2. Nilai parameter a dan b

3. Nilai berkelanjutan untuk x berdasarkan waktu (t)

11.4 PERCOBAAN SISTEM DINAMIS

Sistem model dinamis mempunyai karakteristik tertentu. Untuk

memahaminya perlu adanya percobaan seperti mengubah beberapa nilai

dalam model. Karena ciri utama dinamis adalah terbentuknya nilai stabil,

maka bila variabel yang diubah apkah akan terdapat nilai stabil atau tidak.

Perubahan yang akan dilakukan terdiri dari :

1. Perubahan kondisi awal

Bila yang diubah adalah kondisi awal maka sistem model dinamis tidak

akan berubah. Artinya bila x0 diubah maka tetap akan terdapat nilai stabil.

Contoh : Ubah X0 = 10 menjadi X0 = 3 dari x(t+1) = 3 + ½ x(t). Nilai stabil

tetap berada pada nilai sebelumnya yaitu x(t) = x(t+1) = x* = 6

2. Perubahan parameter a

Kenaikan atau penurunan nilai parameter a akan mempengaruhi nilai

stabil

Contoh : a = 3, b = 1/2, maka bila a < 0 akibatnya xt < 0 tetapi tetap

convergence,

nilai x* berubah

3. Perubahan parameter b

Kenaikan atau penurunan nilai parameter b akan mempengaruhi nilai

stabil

Contoh : a = 3, b = 1/2, maka bila b >1 akibatnya xt berubah semakin jauh.

Jadi bila b terbatas pada nilai b < 1 bila ingin ditambah. Bila b

dikurangi maka akan terbatas pada nilai b > -1, karena bila

dikurangi sampai b < -1, maka nilai xt akan semakin jauh.

11.5 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE PERTAMA

Dalam persamaan diferensial orde pertama perlu dipelajari juga

persamaan linier orde pertama yang rumusnya :

x(t) = bx (t-1) + a

67

x* = a

1−b

x(t) = {b' x0+(1−b '1−b )abila b ≠ 1

xo+at bilab=1

Rumus diatas juga dapat diturunkan menjadi :

t=

ln( (a−x1+b x1 )( (b−1 ) x0+a ) )

ln (b )

dimana :

t = periode waktu

ln = logaritma asli

a = konstanta

b = koefisien

Kasus :

1. Diketahui persamaan x(t) = 3 + ¼ x(0) dengan x(0) = 5

a. Berapa besar titik keseimbangan (x* )

b. Berapa periode keseimbangan (t)b’

2. Seorang nasabah ingin pinjam dana sebesar Rp 15.000.000,00. Tingkat

bunga pinjaman per tahun 9,6% dihitung per akhir bulan. Nasabah

bersedia bayar pinjaman Rp 400.000,00 per bulan

a. Berapa lama pinjaman lunas

b. Berapa sisa pinjaman setelah satu tahun berjalan

11.6 STABILITAS

Dalam beberapa model ekonomi sering dijumpai bentuk persamaan

diferensial linier orde pertama sebagai berikut :

xt = a + bt-1, bila b 1

68

Kemudian perhitungan nilainya disederhanakan menjadi :

x t=b' (x0−

a1−b )+( a

1−b ) = b’A + ( a1−b )

A adalah konstan independen terhadap t (periode).

1. Bila -1 < b < 1 maka b’ cenderung 0 bila t besar (menaik dan bisa

diidentifikasi). Maka xt converges pada nilai a

1−b , kemudian disebut

sebagai nilai keseimbangan (equilibrium value). Pertemuan gerakan

semakin mengecil atau melemah. Gerakan yang menuju ke satu titik

disebut stabil.

2. Bila b < - atau b > 1 maka xt melebar (diverges), nilai xt membesar tanpa

batas. Keadaan ini menggambarkan model persamaan diferensial tidak

stabil (unstable).

Kasus :

Tentukan situasi persamaan diferensial untuk xt = -0,5 xt-1 + 0,25, dimana x0

= 0,5

11.7 MODEL COBWEB

Model sarang laba-laba (Cobweb) digunakan untuk mengetahui fluktuasi

secara berkala sekitar harga, persediaan dan permintaan yang bergerak ke

arah keseimbangan yang terjadi akibat interaksi antara perubahan harga dan

jumlah permintaan berkaitan dengan jumlah penawaran secara periodik.

Model matematikanya dapat dibuat sebagai berikut :

QSJ = a + b Pt-1

QDJ = c + d Pt

Keseimbangan akan terjadi bila QSJ = QDJ, sehingga persamaannya akan

menjadi :

Pt = bdPt−1+

a−cd

69

Jika -1 < (b/d) < 0, maka converges dan menuju keseimbangan pada

a−cd

1−bd

=d−ba−c

Kasus :

Diketahui persamaan dan penawaran :

QSJ = -12 + 3Pt-1 dan QDJ = 28 – Pt

Tentukan apakah pada interaksi penawaran dan permintaan akan terjadi

keseimbangan

11.8 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE KEDUA

Bentuk umum persamaan diferensial orde kedua adalah :

Xt + c Xt-1 + b Xt-2 = a

Dimana a, b da c adalah konstan independen terhadap t.

Solusi dalam persamaan diferensial orde kedua dapat dirumuskan sebagai :

General Solution = Particular Solution + Complementary Solution

Dimana :

Particular Solution : xt = a + b xt-1 atau Xt + c Xt-1 + b Xt-2 = a

Complementary Solution : xt = b’A

11.8.1 Solusi Komplementer

Solusi Komplementer dirumuskan :

X t={ A u'+B v ' bila u ≠ v( A+t B )u' bila u = v

Kasus :

Diketahui persamaan linier homogen :

Xt -7Xt-1 + 10Xt-2 =0, dimana X0 = 2 dan X1 = 13. Hitung besarnya X10.

11.8.2 Solusi Partikular

70

Karena persamaan bukan homogen maka digunakan persamaan

diferensial orde kedua :

Xt + c Xt-1 + b Xt-2 = a

Dimana a, b dan c adalah konstanta sehingga membentuk rumusan :

X t={a

1+c+b bila 1 + b + c ≠ 0

at2+c

bila 1 + b + c = 0 dan c ≠ 2

12a t 2bila c=−2danb=1

Kasus :

Selesaikan dengan solusi partikular persamaan diferensial untuk Xt + 7 Xt-1 +

12 Xt-2 = 4

71

12.1 PENDAHULUAN

Persamaan diferensial tidak jauh beda dengan persamaan diferensi. Pada

persamaan diferensi, variabel periode (t) dianggap bilangan bulat (integer),

sedang persamaan diferensial, variabel t dianggap kontinu.

Contohnya dalam pembahasan pasar, interaksi antara permintaan dan

penawaran terjadi secara terus menerus. Perubahan variabel sekarang akan

berpengaruh terhadap variabel lain di masa yang akan datang dan hal ini

terus berkelanjutan.

Sehingga persamaan diferensial dirumuskan :

P’(t) = dP(t )dt

dan seterusnya P’’(t) = d2P(t )d t 2

Jadi dalam model perubahan harga (P) ditentukan oleh variabel yang

berhubungan dengan P dan kemudian diukur dengan derivasi. Dengan

menggunakan persamaan diferensial, solusi terhadap variabel perubahan P

bisa ditemukan.

12.2 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE PERTAMA

Bila y(t) adalah fungsi t dan mempunyai bentuk persamaan :

dydt=ay+b

Dimana a dan b adalah konstanta dan bukan nol. Ini adalah persamaan

diferensial orde pertama. Persamaan dikatakan homogen bila b = 0, dan

tidak homogen jika b 0.

Persamaan diferensial orde pertama dirumuskan :

Bab 12

PERSAMAAN DIFERENSIAL

72

dydt=ay+b bila a 0 menjadi y=Aeat−b

a

dimana A adalah konstata.

Solusi umum persamaan diferensial dydt=ay+b adalah :

y={Aeat−ba

bila a ≠ 0

bt+K bila a = 0

Kasus ;

1. Selesaikan persamaan diferensial dydt=(2 ,4 ) y+60 dimana y = 3 ketika t = 0

2. Diketahui model perubahan penduduk sebagai N(t) dalam juta. Persamaan

diferensialnya adalah dNdt

=0,01N+2. Pada t = 0 N(0) = 220

Hitung : a. Berapa jumlah penduduk pada tahun ke 10b. Berapa t bila N(t) = 500

3. Diketahui persamaan diferensial sebagai dydt

= (-0,05)y + 4,5 dimana nilai

y = 100 pada saat t = 0

Suatu persamaan diferensial dikatakan stabil bila a < 0 dan

keseimbangan akan terjadi pada −ba

. Tidak stabil bila a > 0.

12.3 PERSAMAAN DIFERENSIAL NON-LINIER ORDE PERTAMA

Persamaan diferensal non linier orde pertama adalah : dzdt=(1−n )az+(1−n )b

a, b dan n adalah konstanta, sementara n > 1

Kasus :

1. Selesaikan dzdt

= y - 2y2 bila y(0) = 1/5

2. Selesaikan dydt=1

2y3t 2

bila y(0) = 1

3. Selesaikan tdydt= y2

bila y(1) = -1/2

73

12.4 PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE KEDUA

Bentuk umum persamaan diferensial linier orde kedua :

d2 ydt 2 +a

dydt+by=c

12.4.1 Kasus Persamaan HomogenFormat persamaan homogen adalah :

y={Aeα .t+Beβ . tbilaα ≠ β(A+tB )eαtbilaα=β

Kasus :

Selesaikan d2 ydt 2 +5

dydt+6 y=0 bila y(0) = 0 dan y’(0) = 4

12.4.2 Kasus Partikular dan UmumBentuk umum persamaan yang diselesaikan adalah :

d2 ydt 2 +a

dydt+by=c atau y” + ay’ + by = c

Ada tiga kasus solusi partikular sebagai berikut :

y={cb

bila b≠ 0

cat bila b = 0, a≠ 0

12ct 2 bila a = b = 0

Kasus :Selesaikan y” – y’ – 6y = 6 bila diketahui y(0) = 0 dan y(0) = 5

12.4.3 StabilitasPersamaan diferensial linier orde kedua akan berbentuk dua kemungkinan :

y={Aeα .t+Beβ . t+ cb bila α ≠β( A+tB ) eαt+ c

bbila α=β

Bila eγt cenderung0 atau ditentukan oleh nilai < 0 atau > 0, solusi y akan membesar bila dan positif. Bila negatif, maka solusi

74

komplementernya bertendensi 0 sehingga y converges menuju nilai solusi

partikularnya sebesat cb yag disebut juga nilai keseimbangan.

Kasus :Tentukan converges dari persamaan y” – y’ – 6y = 6 bila diketahui y(0) = 0 dan y(0) = 5. Berapa persamaan convergesnya.