Matriks (Matematika Ekonomi)

8/15/2019 Matriks (Matematika Ekonomi)

1/26

MATRIKSFaridatul Masadah

21401072093


2/26

Pengertian

Matriks : kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalambaris dan

kolom yang membentuk suatu persegi panjang, sertatermuat di

antara sepasang tanda kurung.

A = atau A =

a11

a12 … a1n

a21 a22 … a2n… … … …

… … … …

… … … …

am1 am2 … amn

a11 a12 … a1n

a21 a22 … a2n… … … …

… … … …

… … … …

am1 am2 … amn


3/26

Pengertian

Unsur-unsur suatu matriks dilambangkan dengan notasi

aiji = baris

j = kolom

aij berarti unsur matriks A pada baris ke-i dan kolom ke-j

Matriks yang terdiri atas m baris dan n kolom dinamakan matriksberukuran m × n atau matriks berorde m × n

Matriks yang jumlah barisnya sama dengan jumlah kolomnya (m = ndinamakan matriks bujursangkar (square matrix)


4/26

Pengertian

Unsur suatu &ektor dilambangkan dengan huru' kecil sesuai dengannama &ektornya dan diikuti oleh indeks barisnya.!ontoh : a4, a2

imensi suatu &ektor tercermin dari banyaknya unsur pada &ektortersebut.

)ada contoh di atas, &ector a dan b adalah &ector baris berdimensi-*.+edan kan &ector c dan d adalah &ector kolom berdimensi-*.

a =

b =

a = b =

ektor : bentuk matriks khusus yang hanya mempunyai satu baris

atau satu kolom.

ektor baris : matriks sebaris atau matriks baris tunggal

ektor kolom : matriks sekolom atau matriks berkolom tunggal

ektor dilambangkan dengan huru' kecil bercetak tebal atau huru'kecil beranak-panah di atasnya.

!ontoh &ektor baris : !ontoh &ektor kolom :


5/26

Kesamaan Matris dan Kesamaan !et"r

ua buah matriks A dan B dikatakan sama

(ditulis : A = B jika keduanya berorde sama dansemua unsur yang terkandung di dalamnya sam(aij = bij. ika matriks A tidak sama dengan

matriks B, ditulis A≠B.!ontoh :

A = B = C =

A = B, AC, dan BC


6/26


ua buah &ector dikatakan sama jika keduanya

sejenis, sedimensi dan semua unsur yangterkandung di dalamnya sama.!ontoh :

a = b =

u = v =a = b, u v, a u v, dan b u v


7/26


/erdasarkan de0nisi matriks dan &ector sebelumnya

maka selain merupakan kumpulan bilangan, matriksdapat pula dipandang sebagai kumpulan &ector. Am×adalah matriks A yang merupakan kumpulan dari mbuah &ector-baris dan n buah &ektor-kolom. adi, A = adalah matriks yang merupakan kumpulan

dari &ector-&ector dan , ,


8/26

Peng"#erasian Matris dan !et"r

Pen$umlahan dan Pengurangan Matris ua buah matriks hanya dapat dijumlahkan atau

dikurangkan jika keduanya berorde sama. umlah atauselisih dua matriks A = 1aij2 dan B = 1bij2 adalah sebuah

matriks baru C = 1cij2 yang berorde sama, yang unsur-

unsurnya merupakan jumlah atau selisih unsur-unsur A dan B.

A 3 B = C dimana cij = aij 3 bij


9/26


Pen$umlahan dan Pengurangan Matris !ontoh :

4arena penjumlahan antarbilangan bersi'at komutati' dan

asosiati', padahal matriks adalah kumpulan bilangan, maka

untuk penjumlahan antar-matriks berlaku pula kaidahkomutati' dan kaidah asosiati'.

4aidah 4omutati' : A 5 B = B 5 A

4aidah Asosiati' : A 5 (B 5 C = (A 5 B 5 C


10/26


11/26


Peralian Matris dengan Salar !ontoh :

A = 6 = *

maka 6A = *A = B = =

Untuk perkalian matriks dengan scalar berlaku kaidahkomutati' dan kaidah distributi'.

4aidah 4omutati' : 6A = A6

4aidah istributi' : 6(A 3 B = 6A 3 6B


12/26


Peralian Antar%matrisua buah matriks hanya dapat dikalikan apabila

jumlah kolom dari matriks yang dikalikan samadengan jumlah baris dari matriks pengalinya.%asilkali dua buah matriks Am×n dengan Bn×p

adalah sebuah matriks baru Cm×p, yang unsur-

unsurnya merupakan perkalian silang unsur-unsur

baris matriks A dengan unsur-unsur kolom matriksB.

Am×n × Bn×p = Cm×p


13/26


Peralian Antar%matris !ontoh

A7×8 = B8×7 =

maka A7×8 × B8×7 = C7×7 =

c11 = a11b11 5 a12b21 5 a13b31 = 7.* 5 (-*9 5 .7 = -7

c12 = a11b12 5 a12b22 5 a13b32 = 7. 5(-*(-; 5 .< = ;9

c21 = a21b11 5 a22b21 5 a23b31 = .* 5 7.9 5 >.7 = >>

c22 = a21b12 5 a22b22 5 a23b32 = . 5 7(-; 5 >.< = 97 adi, AB = C =


14/26


Peralian Antar%matris !ontoh (7

Untuk perkalian antarmatriks berlaku kaidah asosiati' dan

kaidah distributi', tetapi tidak berlaku kaidah komutati'.

4aidah Asosiati' : A(BC = (ABC = ABC

4aidah istributi' : A(B 5 C = AB 5 AC

(A 5 BC = AC 5 AB


15/26


Peng"#erasian !et"r+yarat-syarat dan cara pengoperasian matriks berlaku pula untuk

pengopersian &ector. /egitu juga dengan kaidah-kaidah yangmenyertainya.

ua buah &ector hanya dapat dijumlahkan atau dikurangkan

apabila keduanya sejenis dan sedimensi.

ua buah &ector hanya dapat dikalikan apabila keduanya

berlainan jenis tetapi berdimensi sama.


16/26


Peralian Matris dengan !et"r+ebuah matriks yang bukan berbentuk &ector hanya dapat

dikalikan dengan sebuah &ector-kolom, dengan catatan jumlahkolom matriks sama dengan dimensi &ector-kolom yang

bersangkutan, hasilnya adalah berupa sebuah &ector kolom baru.

Am×n bn×1 = cm×1


17/26


Peralian Matris dengan !et"r!ontoh :


18/26

&entu%&entu Khas Matris

iagonal utama : diagonal yang mengurutkan secara silang

unsur baris pertama kolom pertama ke unsur baris terakhirkolom terakhir, yakni diagonal yang bergerak dari sudut kiri-atas

menuju ke sudut kanan-ba?ah.


19/26


20/26


Matris (iag"nal

Matriks iagonal ialah matriks bujursangkar yang semuaunsurnya nol kecuali pada diagonal utama.

!ontoh :


21/26


Matris )"l

Matriks iagonal adalah matriks yang semua unsurnya nol. Baimdilambangkan dengan angka 0.

!ontoh :

02×2 = 02×3 =

+etiap matriks jika dikalikan dengan matriks nol akanmenghasilkan matriks nol.


22/26


Matris *+ahan

Matriks iagonal (transpose matrix adalah matriks yang merupakan

hasil pengubahan matriks lain yang sudah ada sebelumnya, dimanaunsur-unsur barisnya menjadi unsur-unsur kolom dan unsur-unsurkolomnya menjadi unsur-unsur baris.

Matriks ubahan biasanya dituliskan dengan menambahkan tandaaksen(C pada notasi matriks aslinya.

Ubahan dari matriks Am×n=[aij ] adalah A’n×m=[a’ ji ]

!ontoh :

A = A’ =

B = B’ =

Ubahan dari suatu matriks ubahan adalah matriks aslinya. adi, (A’)’=A, (B’)’=B.


23/26


Matris Simetri

Matriks simetrik ialah matriks bujursangkar yang sama denganubahannya. Matriks A dikatakan simetrik apabila A = A’.

!ontoh:

A = A’ = A merupakan matriks simetrik sebab A = A’.

B = B’ = B merupakan matriks simetrik.

ika sebuah matriks simetrik dikalikan dengan ubanhannya maka

hasilnya akan berupa kuadrat dari mayriks tersebut. adi, bila A simetrik maka AA’ = AA = A2. Matriks satuan juga merupakanmatriks simetrik.


24/26


Matris Simetri Miring

Matriks simetrik ialah matriks bujursangkar yang sama dengan negati&e

ubahannya. Matriks A dikatakan simetrik miring (skew symmetricapabila A = -AD atau AD = -A.

!ontoh :

A = A’ = -A’ =

A merupakan matriks simetrik miring karena A = -A’.

B = B’ = = -B

B merupakan matriks simetrik miring karena B’ = -B.

!iri khas matriks simetrik miring adalah diagonal utamanya terdiri atasbilangan-bilangan nol.


25/26


Matris &alian

Matriks balikan (inverse matrix adalah matriks yang apabila dikalikan

dengan suatu matriks bujursangkar menghasilkan sebuah matrikssatuan. ika A merupakan sebuah matriks bujursangkar, makabalikannya dituliskan dengan notasi A-1, dan AA-1 = I.

!ontoh :

A = A-1 = AA-1 = = I

A-1 adalah balikan dari A, sebab AA-1 = I.

B = B-1 = BB-1 = = I

B-1 adalah balikan dari B.


26/26


Matris Salar, -rt"g"nal, Singular, dan )"nsingu

Matrik ka!ar ialah matriks diagonal yang unsur-unsurnya

sama atau seragam (6. alam hal 6 = 8, matriks scalar yangbersangkutan sekaligus juga adalah matriks satuan. Matriksscalar juga merupakan hasilkali sebuah scalar dengan matrikssatuan, 6I = matriks scalar 6.

Matrik "rt#"$"%a! ialah matriks yang apabila dikalikan denganmatriks ubahannya menghasilkan matriks satuan, AA’ = I.

Matrik i%$u!ar ialah matriks bujursangkar yangdeterminannya sama dengan nol, matriks semacam ini tidakmempunyai balikan.

Matrik %"%-i%$u!ar ialah matriks bujursangkar yangdeterminannya tidak nol, matriks semacam ini mempunyaibalikan.

Documents

Matriks (Matematika Ekonomi)