Upload
others
View
32
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA
Matematika Ekonomi 1
BAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN
1. Pengertian matriks Matriks kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur
dalam baris dan kolom yang membentuk suatu persegi
panjang, serta termuat diantara sepasang tanda kurung.
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA
Matematika Ekonomi 1
2. Operasi dasar matriks
Berlaku Kaidah Komutatif : A +B = B+A
Kaidah Asosiatif : A + ( B+C) = (A + B) +C = A+B+C
b. Perkalian Matriks dengan Skalar
Jika k adalah suatu bilangan skalar dan matriks A=(aij ) maka
matriks kA=(kaij ) adalah suatu matriks yang diperoleh dengan
mengalikan semua elemen matriks A dengan k.
Contoh: 4 A
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA
Matematika Ekonomi 1
Berlaku kaidah Komutatif : kA = Ak
Kaidah Distributif : k (A+B) =kA +kB
c. Perkalian Antarmatriks
Syarat perkalian Antarmatriks adalah jumlah banyaknya kolom
pada matriks pertama sama dengan jumlah banyaknya baris
matriks kedua.
Jika matriks A berukuran mxn dan matriks B berukuran nxp maka
hasil dari perkalian A*B adalah suatu matriks C=(cij ) berukuran
mxp dimana
Berlaku Kaidah Asosiatif : A (BC) = (AB)C = ABC
Kaidah Distributif : A( B+C) = AB + AC
(A+B)C = AC +BC
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA
Matematika Ekonomi 1
3. Transpose suatu matriks
adalah baris pertama dari A, kolom keduanya adalah baris kedua
dari A, demikian juga dengan kolom ketiga adalah baris ketiga dari
A dan seterusnya.
3.1 Transpose Penjumlahan dan Pengurangan
Ubahan dari jumlah atau selisih beberapa matriks adalah
jumlah atau selisih matriks-matriks ubahannya
(Am x n + Bm x n + Cm x n)= At
n x m +
B
t n x m
+
C
t n x m
kaidah komutatif : (A+B)t = (B+A)
t atau A
t + B
t =B
t + A
t
kaidah Asosiatif : { A + (B+C)}t = {(A+B)+C}
t = A
t +B
t +C
t
3.2 Transpose Perkalian
Ubahan dari perkalian matriks dengan skalar adalah perkalian
scalar dengan matriks ubahannya.
(kA)t = kA
t
Ubahan dari perkalian antarmatriks adalah perkalian matriks-
matriks ubahannya dengan urutan yang terbalik
(Am x n x Bn x p x Cp x q) t= C
tq x p x B
tp x n x A
tn x m
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA
Matematika Ekonomi 1
4. Beberapa matriks dengan jenis khusus
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA
Matematika Ekonomi 1
Matriks Balikan
Matriks balikan (inverse matrix) matriks yang apabila
dikalikan dengan suatu matriks bujursangkar menghasilkan
sebuah matriks satuan. Jika A merupakan sebuah matriks
bujursangkar, maka balikannya ditulis dengan notasi A-1
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA
Matematika Ekonomi 1
Contoh:
Matriks Skalar
Suatu matriks diagonal dikatakan sebagai matriks skalar jika
semua elemen-elemen yang terletak pada diagonal utamanya
memiliki nilai yang sama, misalnya,
500
050
005
90
09
Referensi : 1. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi
Pengarang : Dumairy
Penerbit : BPFE – Yogyakarta
2. http://p4tkmatematika.org/
3. http://www.idomaths.com/id/matriks.php
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA
Matematika Ekonomi 1
E. TRANSFORMASI ELEMENTER DAN MATRIKS EKUIVALEN Yang dimaksud dengan transformai pada baris atau kolom suatu matriks A adalah sebagai berikut.
1. Penukaran tempat baris ke-i dan baris ke-j atau penukaran
kolom ke-i dan kolom ke-j dan ditulis Hij(A) untuk transformasi baris dan Kij(A) untuk transformasi kolom. Contoh :
a. Penukaran baris
A= H12(A) H12(A) berarti menukar baris ke-1 matriks A dengan baris ke-2
b. Penukaran kolom A= K23(A)
K13(A) berarti menukar kolom ke-2 matriks A dengan kolom ke-3
2. memperkalikan baris ke-i dengan suatu bilangan skalar h0, ditulis Hi
(h)(A) dan memperkalikan kolom ke-i dengan skalar
k0, ditulis Ki(k)
(A). Contoh : A= H2
(-2)(A)= K3
(1/2)(A)=
1 2 0
2 3 1
0 1 1
2 3 1
1 2 0
0 1 1
1 2 0
2 3 1
0 1 1
1 0 2
2 1 3
0 1 1
1 2 0
-4 -6 -2
0 1 1
1 2 0
2 3 1
0 1 1
1 2 0
2 3 1/2
0 1 1/2
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA
Matematika Ekonomi 1
3. Menambah kolom ke-i dengan k kali kolom ke-j, ditulis Kij
(k)(A) dan menambah baris ke-i dengan h kali baris ke-j,
ditulis Hij(h)
(A). Contoh : H23
(-1)(A)
A= H2 + (-1*H3)
K31(2)
(A) K3 + (2*K1)
MATRIKS EKUIVALEN
Dua buah matriks A dan B disebut ekuivalen (A~B) apabila salah satunya dapat diperoleh dari yang lain dengan transformasi-transformasi elementer terhadap baris dan kolom. Kalau transformasi elementer hanya terjadi pada baris saja disebut ELEMENTER BARIS, sedangkan jika transformasi terjadi pada kolom saja disebut ELEMENTER KOLOM. Contoh : A= dan B=
A dan B adalah ekuivalen baris karena jika kita mempertukarkan baris ke-1 dengan baris ke-2 pada matriks A atau H12(A), maka akan didapat matriks B.
K12(1)
A=
K1+(1*K2)
H12
1 2 0
2 3 1
0 1 1
1 2 0
2 2 0
0 1 1
1 2 2
2 2 5
0 1 1
2 3 1
4 1 0
4 1 0
2 3 1
3 0 2 1
4 1 3 1
3 0 2 1
5 1 3 1
3 0 2 1
5 1 3 1
5 1 3 1
3 0 2 1
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA
Matematika Ekonomi 1
F. Menghitung nilai Determinan suatu matriks
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA
Matematika Ekonomi 1
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA
Matematika Ekonomi 1
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA
Matematika Ekonomi 1
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA
Matematika Ekonomi 1
6. Matriks persegi yang mempunyai baris atau kolom nol, determinannya adalah nol.
7. Determinan dari suatu matriks persegi yang mempunyai dua
baris atau kolom yang sama adalah sama dengan nol.
8. Nilai determinan adalah nol jika semua unsurnya sama
= 8 + 8 + 8 – 8 – 8 – 8 = 0
9. Nilai determinan adalah nol jika unsur-unsur pada salah satu
baris atau kolom semuanya nol
= 0 + 0 + 0 – 0 – 0 – 0 = 0
10. Determinan dari suatu matriks diagonal adalah hasilkali unsur-unsur diagonalnya
= 2 x 3 x 9 = 54
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 6 5
1 3 4
0 0 0
2 0 0
0 3 0
0 0 9
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA
Matematika Ekonomi 1
11. Jika nilai determinan dari suatu matriks sama dengan nol, matriksnya dikatakan singular dan tidak mempunyai balikan (invers)
12. Jika nilai determinan dari suatu matriks tidak sama dengan nol, matriksnya dikatakan non-singular dan mempunyai balikan (invers)
G. MINOR DAN KOFAKTOR MINOR unsur aij determinan yang berasal dari determinan orde ke-n tadi dikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j. Minor dinotasikan dengan Mij
Contoh:
KOFAKTOR dari baris ke-i dan kolom ke-j dituliskan dengan
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
3332
2322
11aa
aaM
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
444342
343332
242322
11
aaa
aaa
aaa
M
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA
Matematika Ekonomi 1
Contoh:
A=
112
431
112
C11 = (-1)1+1
M11 = (-1)2
11
43
= 1 (7) = 7 C22 = M22 = 0
C12 = (-1)1+2
M12 = (-1)3
12
41
= (-1) (9) = -9 C23 = - M23 = 0
C13 = (-1)4 M13 = M13 =
12
31
= 5 C31 = M31 = 7
C21 = (-1)3 M21 = - M21 = -
11
11
= 0 C32 = - M32 = - 9
C33 = M33 = 5
H. Matriks Singular dan non-singular Cara menentukan matriks tersebut Singular atau non-singular adalah :
Jika nilai determinan dari suatu matriks sama dengan
nol, matriksnya dikatakan singular dan tidak mempunyai balikan (invers)
Jika nilai determinan dari suatu matriks tidak sama dengan nol, matriksnya dikatakan non-singular dan mempunyai balikan (invers)
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA
Matematika Ekonomi 1
I. Rank matriks
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA
Matematika Ekonomi 1
J. Matriks Invers Matriks invers dari suatu matriks A adalah matriks B yang
apabila dikalikan dengan matriks A memberikan satuan I AB = I
Notasi matriks invers :
Sebuah matriks yang dikalikan matriks inversenya akan menghasilkan matrik satuan:
Contoh :
Maka atau
= adj. A = kofaktor yang di transpose kan Det A Det A
K. Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
Penyelesaian system persamaan linier menggunakan matriks dapat melalui metode balikan maupun metode Cramer. 1. Metode Balikan
1A
IAA 1
dc
baA
ac
bd
bcadA
11
1A
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA
Matematika Ekonomi 1
Contoh :
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA
Matematika Ekonomi 1
2. Metode Cramer Untuk menghitung variable x, dapat dilakukan dengan cara membagi determinan-determinannya
Contoh :
Referensi : 4. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi
Pengarang : Dumairy
Penerbit : BPFE – Yogyakarta
5. http://p4tkmatematika.org/
6. http://www.idomaths.com/id/matriks.php
Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA
Matematika Ekonomi 1