Upload
reski-aprilia
View
2.386
Download
179
Embed Size (px)
Citation preview
Menu
MATRIKS
MATEMATIKA TEKNIK
Pengertian.Matriks adalah susunan yang berbentuk persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom dalam tanda kurungBentuk Umum Matriks
A m x n =
a11 a12 a13 …. a1n
a21 a22 a23 …. a2n
…. …. …. ….am1 am2 am3 amn
Baris ke-1
Baris ke - m
Kolom ke-1 Kolom ke-n
Menu
MATRIKS
Catatan :
a11,a12 ……amn merupakan elemen-elemen matriks
Banyaknya baris pada matriks A ada m buah
Banyaknya kolom pada matriks A ada n buah
Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan.
Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri atau elemen dalam matriks.
Definisi
Contoh :
Jawab : a21 berarti berada di baris ke- 2 dan
kolom ke-1, jadi a21 = -3
Dengan cara yang sama, maka didapat a12 = 4, a32 = -1 dan a34 = 6
Diketahui matriks A =
Tentukan a21, a12 dan a34
Menu
2 4 3 9
5 8 0
6-2-15
-3
Contoh :
64
52
31
A
265
072
301
234
B
9
5
2
C
3249 D
6E
Bentuk Umum Matriks :
nmijnm
mnmmm
n
n
n
nm
ij
a
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
nm
jia
nm
AA
AA
A
atau
: sebagai ditulis dan ordo mempunyai Matriks . dari
kolom dan baris dalam di terdapat yangentri adalah Notasikan
. kolom jumlah dan baris jumlah mempunyai matriks Misalkan
321
3333231
2232221
1131211
ORDO MATRIKSOrdo suatu matriks adalah banyaknya elemen-elemen pada suatu matriks atau banyaknya baris diikuti banyaknya kolom
Untuk memahaminya perhatikan matriks A dan B di bawah ini
A = B = dan
Matriks A mempunyai 2 baris dan 2 kolom, berordo 2x2 , ditulis A2x2, sedangkan matriks B mempunyai 2 baris dan 3 kolom, berordo 2x3 ditulis B2x3
-1 3
4 22 0 4
3-15
Contoh :
2 x 3 ordo mempunyai Matriks
43
91
27
AA
4 x 4 ordo mempunyai Matriks
215
072
301
132
BB
a. Matriks Kolom. Matriks yang hanya terdiri satu kolom
A =
B = C =
Contohnya :
b. Matriks Baris.
Matriks yang hanya terdiri satu baris
Contohnya :
A = B = C =
Menu
1
3
1
0
2
1
-3
2
5
2 -3 1 -3 1 2-3-3 76 5
JENIS – JENIS MATRIKS
Matriks yang mempunyai jumlah baris dan jumlah kolom yang sama
Matriks Bujur Sangkar
Bentuk Umum Matriks Bujur Sangkar :
nnnnn
n
n
n
nn
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
321
3333231
2232221
1131211
A
Contohnya :
A = B =
d. Matriks Diagonal. Matriks persegi yang pada diagonal utamanya tidak nol,
sedangkan elemen lainnya adalah nolContohnya :
A = B = C =
2 0
0 1
1 0 0
0 -2 0
400
2 0 0 0
0 0-4
06
0
0 3 0
000
3 5
4 1
1 0 5
3 -2 -1
43-4
c. Matriks Bujursangkar (Persegi) Matriks yang memiliki banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom
Matriks diagonal yang semua entri diagonalnya adalah satu
Matriks Identitas
Contoh matriks identitas
e. Matriks Identitas. Matriks persegi yang elemen pada diagonal utamanya adalah 1,
sedangkan elemen lainnya adalah nolContohnya :
A = B = C =
1
0
0
1
1
1
1
0 0
0 0
0 0
1 0 0 0
0 0 0
0100
0 0 0 1
1
Matriks bujur sangkar yang entri-entri diagonal utama dan entri-entri di atas diagonal utama tidak semuanya sama dengan nol dan entri-entri di bawah entri diagonal utama sama dengan nol.
Purnami E. Soewardi / June 08
Matriks Segitiga Atas
Bentuk Umum Matriks Segitiga Atas :
jinjni
a
a
aa
aaa
aaaa
ij
nn
n
n
n
nn
;,,3,2,1;,,3,2,1
nol semuanya tidak dengan
000
00
0
333
22322
1131211
A
Matriks bujur sangkar yang entri-entri diagonal dan entri-entri di bawah diagonal tidak semuanya sama dengan nol dan entri-entri di atas entri diagonal adalah nol.
Matriks Segitiga Bawah
Bentuk Umum Matriks Segitiga Bawah :
jinjni
a
aaaa
aaa
aa
a
ij
nnnnn
nn
;,,3,2,1;,,3,2,1
nol semuanya tidak dengan
0
00
000
321
333231
2221
11
A
Matriks bujur sangkar yang entri entri diagonal tidak semuanya nol, dan entri-entri yang lain adalah nol
Matriks Diagonal
Matriks yang semua entrinya sama dengan nol
Matriks NolMatriks Nol
0
0
0
0
0
0000
0000
000
000
000
00
00
111442
000
00
Bentuk Umum Matriks Diagonal:
nia
a
a
a
a
ii
nn
nn
,,3,2,1 , nol semuanya tidak dengan
000
000
000
000
33
22
11
A
Kesamaan Matriks.Dua buah matriks A dan B dikatakan sama jika ordo kedua matriks sama dan elemen yang seletak dari kedua matriks juga sama
Perhatikan contoh berikut :Diketahui matriks A =
dan matriks B =
Jika matriks A = B, tentukan nilai x dan y
Karena A = B maka
=
Sehingga 3x = 6 dan 2y = -4
x =
x = 2
y =
y = -2
Jawab :
Jadi x = 2 dan y = -2
1 3
2y3x
1 3
-46
6
3
-4
2
1 3
2y3x
1 3
-46
Menu
Transpose MatriksTranspose dari matriks A adalah suatu matriks baru yang ditulis dalam bentuk AT. Matriks baru ini diperoleh dengan cara mengubah baris pada matriks A menjadi kolom pada matriks baru dan mengubah kolom pada matiks A menjadi baris pada matriks baru.
Contoh : Tentukan transpose dari matriks A =
dan B = Jawab :
A = Maka AT =
B = Maka BT =
4 2
3 -14 3
2 -1
4 7
5 8
7 9
4 3
2 -1
4 7
5 8
7 9
4 5 7
7 8 9
Menu
Operasi Matriks1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks2. Perkalian Skalar dengan Matriks
3. Perkalian Matriks dengan Matriks
Slide 14
Menu
Definisi:Definisi:
Jika Jika AA dan dan BB adalah sebarang dua matriks yang adalah sebarang dua matriks yang
ukurannya sama, maka jumlah ukurannya sama, maka jumlah AA + + BB adalah matriks adalah matriks
yang diperoleh dengan menambahkan bersama-yang diperoleh dengan menambahkan bersama-
sama entri yang bersesuaian dalam kedua matriks sama entri yang bersesuaian dalam kedua matriks
tersebut. Matriks-matriks yang ukurannya berbeda tersebut. Matriks-matriks yang ukurannya berbeda
tidak dapat ditambahkan.tidak dapat ditambahkan.
Penjumlahan MatriksPenjumlahan Matriks
1. PENJUMLAHAN dan PENGURANGAN MATRIKSDua buah matriks A dan B dapat dijumlahkan dan kurangkan jika ordo kedua matriks itu sama.
Proses penjumlahan dan pengurangan dapat dilakukan dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan elemen-elemen yang seletak.Contoh :
Jika matriks A = dan B =
Hitung : a. A + B
b. A - BJawab :
a. A + B =
+ = =
b. A – B = = =-
Menu
-1 2
3 -4
5 6
7 8
-1 2
3 -4
5 68
3 7+ 8
6
-4
2 +
+
4 8
10
4
-1 +
7
-1 2
3 -4
5 6
87
3 7- 8
6
-4
2 -
-
-1 - 5 -6 -4
-4 -12
5
OPERASI MATRIKS
Contoh :
0
4
3
724
201
012
A
5
1
1
423
022
534
B
5
3
4
307
221
542
5
1
1
423
022
534
0
4
3
724
201
012
BA
Definisi:
Jika A dan B adalah sebarang dua matriks yang
ukurannya sama, maka A – B didefinisikan sebagai
jumlah A + (–B) = A + (–1)B. Matriks-matriks yang
ukurannya berbeda tidak dapat dikurangkan.
Pengurangan MatriksPengurangan Matriks
Perhatikan bahwa A – B dapat diperoleh secara
langsung dengan mengurangkan entri B dari entri A
yang bersangkutan.
Contoh:
121
432A
531
720B
531
720B
450
312
531
7
121
432 20BA
Definisi:
Jika A adalah matriks m x r dan B adalah matriks r x n, maka hasil kali AB adalah matriks m x n yang entri-entrinya ditentukan sebagai berikut. Untuk mencari entri dalam baris i dan kolom j dari AB, pilihlah baris i dari matriks A dan kolom j dari matriks B. Kalikanlah entri-entri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut bersama-sama dan kemudian tambahkanlah hasil kali yang dihasilkan.
Purnami E. Soewardi / June 08
Perkalian Matriks :
Definisi:
Jika A adalah suatu matriks dan c adalah suatu
skalar, maka hasil kali (product) c A adalah
matriks yang diperoleh dengan mengalikan
masing-masing entri dari A oleh c.
Perkalian Matriks dengan Skalar
Contoh:
0
3
2
1
1
4
A
0
6
4
2
2
8
2A
0
3
2
1
1
4
1 A
2. Perkalian Skalar dengan Matriks.Bila A suatu matriks dan k adalah suatu bilangan real, maka
k.A adalah suatu matriks yang diperoleh dari hasil perkalian dengan setiap elemen pada matriks A.
Contoh :
Diketahui :
A = dan B =
Tentukan :
a. 2A c. 3Bb. -2B d. 3A + 2B
Jawab :
a. 2A ==
b. -2B
= =
3 -4
2 1
6 -7
-8 9
3 -4
2 1
6 -8
4 2
6 -7
-8 9-12 1
416
-18
Slide 13
2
-2
c. 3B = 3 =
d. 3A + 2B =
3 + 2
+ = =
3 -4
12
9 -12
36
3 -4
12
9 -12
36
6 -7
9-8
12 -14
18
-16
21
-26
21
-10
3
3. Perkalian Matriks dengan Matriks
Suatu matriks A dapat dikalikan dengan matriks B jika banyaknya kolom matriks A sama dengan banyaknya baris matriks B.
Untuk mencari hasil perkalian matriks A dengan matriks B ialah mengalikan baris-baris pada matiks A dengan kolom-kolom pada matriks B dan kemudian jumlahkan hasil perkalian baris dan kolom itu.Dan hubungan ordonya didapat : Am x n . Bn x p = C
m x pContoh :
1. Diketahui matriks A =
dan B =
Tentukan : A x B
Jawab :=
Slide 13
y
a b
c d
x
y
a b
c d
x + b.y
A x B = x a.x
c.x d.y
+
2. Diketahui A =
dan B =
A x B = =
B x A =
Ternyata A x B ≠ B x A, jadi perkalian pada matriks tidak berlaku sifat komutatif
3 5
0 2
2 1
1 3
5
0 2
Tentukan :
1
1 3=
6
3
2 5 3 + 150 + 2 0 + 6
+ 18
112 6
1
1 3
2x
5
0 2
3
=6 0 1
0+ 2
3 + 0 5 + 6
+=
12
6
3 11
2 18
2
3x
1
0x
Contoh:
062
421A
2
1
3
572
310
414
B
............
.........12
2
1
3
572
310
414
062
421BA
12240241
............
......2712
2
1
3
572
310
414
062
421BA
27741211
............
...302712
2
1
3
572
310
414
062
421BA
30543241
Dst
122648
13302712
2
1
3
572
310
414
062
421BA
Lanjutan…
Ukuran matriks hasil perkalian
A x B = AB
m x r r x n m x n
Definisi:
Jika A adalah sebarang matriks m x n, maka transpose
A dinyatakan dengan At dan didefinisikan dengan
matriks n x m yang kolom pertamanya adalah baris
pertama dari A, kolom keduanya adalah baris kedua
dari A, demikian juga dengan kolom ketiga adalah
baris ketiga dari A, dan seterusnya.
Purnami E. Soewardi / June 08
Transpose MatriksTranspose Matriks
Contoh:
342414
332313
322212
312111
34
24
14
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
aaa
a
a
a
aaa
aaa
aaatAA
653
421
64
52
31tBB
Contoh:
952
9
5
2
tCC
66 tEE
712
145
253
712
145
253tDD
1. A + B = B + A (Hukum komutatif untuk penjumlahan)
2. A + (B + C) = (A + B) + C (Hukum asosiatif untuk penjumlahan)
3. A(BC) = (AB)C (Hukum asosiatif untuk perkalian)
4. A(B + C) = AB + AC (Hukum distributif)
5. (B + C)A = BA + CA (Hukum distributif)
6. A(B – C) = AB – AC
7. (B – C)A = BA – CA
Aturan-aturan Ilmu Hitung MatriksAturan-aturan Ilmu Hitung Matriks
8. a(B + C) = aB + aC
9. a(B – C) = aB – aC
10. (a + b)C = aC + bC
11. (a – b)C = aC – bC
12. (ab)C = a(bC)
13. a(BC) = (aB)C = B(aC)
Aturan-aturan Ilmu Hitung MatriksAturan-aturan Ilmu Hitung Matriks
Definisi:
Jika A adalah matriks kuadrat, dan jika kita
dapat mencari matriks B sehingga AB = BA
= I, maka A dikatakan dapat dibalik
(invertible) dan B dinamakan invers
(inverse) dari A.
Invers MatriksInvers Matriks
Contoh:
Matriks
21
53B adalah invers dari
31
52A
karena IAB
10
01
21
53
31
52
dan IB
10
01
31
52
21
53
TeoremaTeorema
Jika B dan C adalah invers dari matriks A, maka B = C.
Selanjutnya, invers dari matriks A dilambangkan dengan A-1. Jadi AA-
1 = I dan A-1A = I.
Definisi :
Jika A dan B adalah matriks bujursangkar berordo sama sedemikian sehingga AB = BA = I, maka B adalah invers A (B=A-1) dan A adalah invers B ( A = B-1)
Contoh : Jika A = dan B
=
Jawab : Harus ditunjukkan bahwa AB = BA = I
A B =
Tunjukkan bahwa matriks A dan B saling invers satu sama lain !
= =
B A =
= =
Karena AB = BA = I, maka A = B-1 dan B = A-1
Menu
7 2
3
1 -2
-3 7
7 2
3 1
1 -2
-3 71
0
0
1
1
1 -2
-3 7
7 2
3 1 10
017 + -6
-21
+
-6
21
2 + -2-6
-6
+ -6
+ 7
I=
= I
7 + -6
3 +
-6
-3
-14
+14
-6 -14-6
+ -6
+ 7
INVERS MATRIKS
Rumus Invers matriks bujursangkar ordo 2 x 2
Misal A =
maka A-1 =
Dimana det A =
= ad
Catatan :
•Jika det A ≠ 0, maka A mempunyai invers, dan disebut matriks non singular
•Jika det A = 0 maka A tidak mempunyai invers, dan A disebut matriks singular
Atau A-
1=
a b
c d
1
Det A
d -b
a-c
a b
c d
1
ad - bc
d -b
a-c
bc-a
d
Pandang matriks 2 x 2
dc
baA
Jika det(A) = |A| = ad – bc 0, maka
bcada
bcadc
bcadb
bcadd
ac
bd
bcad11A
Mencari invers matriksMencari invers matriks
Contoh :
Tentukan invers matriks :
a. A = b. B =
c. C =
Jawab :
a. A-1 = = =
b. Det B =
= (-3).4 – (-6).2 = (-12) + 12 = 0
Karena det B = 0, maka matriks B tidak mempunyai invers
c. C-
1= = =
2 -5
-1 3
-3 -6
2 4
2 0
2 1
1
2.3–(-5)(-1)
2
5
1
31
6 - 5
3 5
1 23 5
1 2
-3 -6
2 4
1
2.1 – 2.0
1 0
-2 2
1
2
1 0
-2 2
1
20
-1 1
Contoh:
31
52A
det(A) = |A|= ad – bc = (2)(3) – (-1)(-5) = 6 – 5 = 1
21
53
21
53)1(
11
ac
bd
bcadA
Untuk matriks 3x3
Misalkan A dan B matriks-matriks yang mempunyai invers dan berukuran sama, k≠0 skalar.
Sifat-sifat Matriks
1. AB invertible
2. (AB)-1 = B-1 A-1
3. A0 = I
4. An = A A ... A
5. A-n = (A-1 )n = A-1 A-1 ... A-1
6. (An )-1 = (A-1 )n untuk n = 0, 1, 2, ...
n faktor
n faktor
Sifat-sifat Matriks
1. Ar As = Ar+s
2. (Ar )s = Ars
3. (kA)-1 = (1/k) A-1
4. (At)t = A
5. (A + B)t = At + Bt
6. (kA)t = kAt
7. (AB)t = BtAt
Determinan
21122211
2221
1211
2221
1211
2221
1211
aaaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
A
A
Determinan
211233113223312213231231133221332211
23
22
21
13
12
11
332313
322212
312111
332313
322212
312111
332313
322212
312111
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
a
a
a
a
a
a
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
A
A
Latihan
987
654
321
24
13
B
A
Sifat-sifat Determinan
1. det (A) = det (At )
2. det (AB) = det(A)det(B)
3. A invertible det(A)≠0
4. det(A-1 ) = 1/det(A)
Definisi:
Jika matriks A adalah matriks kuadrat, maka minor
entri aij dinyatakan oleh Mij dan didefinisikan
menjadi determinan submatriks yang tetap setelah
baris ke-i dan kolom ke-j dicoret dari A. Bilangan (-
1)i+j Mij dinyatakan oleh Cij dan dinamakan kofaktor
entri aij.
Kofaktor
Contoh:
841
652
413
A
Minor entri a11 adalah:
16244084
65
841
652
413
11
M
Kofaktor a11 adalah:
161 111111
11 MMC
Minor entri a32 adalah:
2681862
43
841
652
413
32
M
Kofaktor a32 adalah:
261 323223
32 MMC
Determinan matriks A yang berukuran n x n dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil-hasil kali yang dihasilkan; yakni untuk setiap 1≤i≤n dan1≤j≤n, maka
det(A) = a1j C1j + a2j C2j + ... + anj Cnj
(ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j)
dan
det(A) = ai1 Ci1 + ai2 C2j + ... + ain Cin
(ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i)
Teorema
Matriks Kofaktor
Definisi:
Jika A adalah sebarang matriks n x n dan Cij adalah kofaktor aij , maka matriks
nnnn
n
CCC
CC
CCC
21
2221
11211
Dinamakan matriks kofaktor A. Transpos matriks ini dinamakan adjoin A
dan dinyatakan dengan adj(A).
Teorema
Jika A adalah matriks yang dapat dibalik, maka
AA
A 1 adjdet
1
Latihan
042
361
123
A
Jika
Maka bentuk persamaan ini dapat diubah menjadi persamaan matriks sebagai berikut :
=
Untuk menghitung nilai x dan y dapat menggunakan rumus :
=
ax + by = ecx + dy = f
a b
c d
x
y
e
f
x
y
1
ad -bc
d -b
-c a
e
fMenu
MENYELESAIKAN PERSAMAAN LINIER DENGAN MATRIKS
Contoh : Tentukan nilai x dan y dari sistem persamaan linier berikut :
Jawab : Pernyataan itu dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut :
= Atau =
=
== 1 = =
Jadi nilai x = 2 dan y = 1
3x + y = 75x + 2y = 12
3x y
5x 2y
712
3 1
5 2x
y
7
12
xy
2 -1
-5 3
7
12
1
3.2 – 1.5
1
6 - 5
2 -1
-5 3
7
12
2.7 – 1.12-57 + 3.12
14 - 12
-35 + 36
2
1
Aturan CramerELIMINASI GAUSS
Jika AX=B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linear dalam n bilangan tak diketahui sehingga
det(A)≠0, maka sistem tersebut mempunyai pemecahan yang unik. Pemecahan ini adalah
AA
xdetdet 1
1 , AA
xdetdet 2
2 , ... , AA
x nn det
det
Dimana Aj adalah matriks yang kita dapatkan dengan menggantikan entri-entri dalam kolom ke-j dari
A dengan entri-entri dalam matriks
nb
b
b
2
1
B
Contoh:Gunakan aturan Cramer untuk memecahkan:
62 31 xx
30643 321 xxx
832 321 xxx
Jawab:
321
643
201
A
328
6430
206
1A
381
6303
261
2A
821
3043
601
3A
Maka:
11
104440
detdet 1
1
AA
x
11
184472
detdet 2
2 AA
x
11
3844152
detdet 3
3 AA
x
EXAMPLE OF FINDING THE INVERSE OF A MATRIX A
We must find the inverse of the matrix A at the
right A =
1 2 -2
-1 1 -2
3 2 1
Purnami E. Soewardi / June 08
Below is the same matrix A, augmented by the 3x3 identity matrix. The first
pivot encicled in red
Below are the row operations required for the first pivoting
Next pivot on "3" in the 2-2
position below, encircled in red
The columns of the 3x3 identity
matrix are colored blue as they re-
appear on the left side
Below is the result of performing P1, so the pivot (2-2 position) is
now "1". Next we perform P2
Row operations of P2
are below
The result of the second pivoting is below. We now pivot on the
element in the 3-3 position, encircled in red below
Below is the result of performing P1, so the pivot (3-3 position) is
now "1". Next we perform P2.
Below are the row operations
of P2
The result of the third (and last) pivoting is
below with 3x3 identity matrix in blue
The matrix below is NOT A-1
(REDUCED) DIAGONAL
FORM
Thus, our final step is to separate the desired inverse from the above matrix:
A-1 =
EXAMPLE OF FINDING THE INVERSE OF A MATRIX A
We must find the inverse of the matrix A at the
right A =
1 2 -2
-1 1 -2
3 2 1
Below is the same matrix A, augmented by the 3x3 identity matrix. The first
pivot encicled in red
Below are the row operations required for the first pivoting
Next pivot on "3" in the 2-2
position below, encircled in red
The columns of the 3x3 identity
matrix are colored blue as they re-
appear on the left side
Purnami E. Soewardi / June 08
Below is the result of performing P1, so the pivot (3-3 position) is
now "1". Next we perform P2.
Below are the row operations
of P2
The result of the third (and last) pivoting is
below with 3x3 identity matrix in blue
The matrix below is NOT A-1
(REDUCED) DIAGONAL
FORM
Purnami E. Soewardi / June 08
Thus, our final step is to separate the desired inverse from the above matrix:
A-1 =
Soal-soal latihan .
1. Diketahui matriks A =
65432
09876
54322
y
x
32
32
a. Berapa banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks A ?b. Sebutkan elemen baris ke- 2 ?
c. Sebutkan elemen kolom ke- 4 ?
d. Sebutkan elemen baris ke – 2 kolom ke – 4 ?
2. Tentukan nilai x dan y untuk setiap persamaan matriks berikut :
a. =
y
x
32
32
b.
7
50
y
x
732
1030
y
x=
Menu
3. Diketahui matriks A =
dan
B =
Tentukan :
a. 2 A b. 3B c. -2 A
d. 2 A + 3 B
4. Diketahui matriks
B =
C = D =
A =
Tentukan :
a. B.A b. B.C b. C.D c. 2CD + 3C d. 3BA – 2A
4
3 2
-3
1 5
-1 -2
-3
43 -4
5 6
1 -2 3
-4 5 -6
3 2 -1
7 5 0-4 35
5. Tentukan invers dari matriks berikut :
a. b. c. d. A = B = C = D =
6. Tentukan nilai x dan y dari persamaan berikut dengan menggunakan
matriks :
a.
b.
c.
d.
4x + 3y = 13x + y = 4
x + 2y = 9
-5x + 2y = 27
x + 3y = 4
-x + 2y = 1
2x - 3y = 7
3x + 2y = 4
1 2
43
8 -7
5-6
-4 3
-124 -1
23
Penggunaan Matriks Langkah untuk menyelesaikan soal kehidupan sehari-
hari: 1. Mengubah soal cerita dan menyusun sistem
persamaannya
2. Menyelesaikan sistem persamaan dengan matriks
E1=84 V R3
R1= 12 ohm R2=3 ohm
E2=21 V
Contoh:Contoh:
Hitunglah iHitunglah i11 dan i dan i22 dengan menggunakan matriks dengan menggunakan matriks d dari ari
rangkaian listrikrangkaian listrik berikut:berikut:
18i18i11 - 6i - 6i22 = 84 = 84
-6i-6i11 + 9i + 9i22 = -21 = -21
Sistem Persamaan Linier ( SPL ) Metode Cramer :
DDy y dan
DDxx
ca
ca ydan
bc
bc x ;
ba
ba D
22
11
22
11
22
11 DD
Apabila berbentuk :Apabila berbentuk : aa11x + bx + b11y y == c c11
aa22x + bx + b22y y = = cc22
mmaka :aka :
dimana :dimana :
Apabila berbentuk :Apabila berbentuk :aa11x + bx + b11y + cy + c11z = kz = k11
aa22x + bx + b22y + cy + c22z = kz = k22
aa33x + bx + b33y + cy + c33z = kz = k33
mmakaaka::
dimana :dimana :
333
222
111
333
222
111
333
222
111
333
222
111
kba
kba
kba
z
cka
cka
cka
y ;
cbk
cbk
cbk
x ;
cba
cba
cba
D DDD dan
DDz z dan
DDy y ;
DDxx
DAFTAR PUSTAKA
PURNAMI.E.SOEWARDI,MEDIA PEMBELAJARAN MATEMATIKA,BANDUNG,2008
K.Astroud, Erwin Sucipto, Matematika Untuk Teknik,halaman141 sd 186, halaman 101 sd 117, PT. Gelora Aksara Pratama,1987.