PAPER MATEMATIKA EKONOMIDiferensiasi Fungsi Sederhana

Disusun Oleh :Kelas EKelompok 6

Alfian Nurokhim(135040101111058)Eli Ekaria(135040101111059)Frederick CLPS(135040101111060)Nauval Fikri (135040101111061)Ummu Fatkhiyatul(135040101111001)Firman Fangarododo(135040101111002)Ayu Sofiatul M(135040101111003)Stefanny Maria(135040101111011)Riski Amelia(135040101111015)

Program Studi AgribisnisFakultas PertanianUNIVERSITAS BRAWIJAYAMALANG 2013PENDAHULUAN

0. Latar BelakangTeori tentang limit dan kesinambungan sebuah fungsi merupakan akar dari aljabar kalkulus,Dimana aljabar kalkulus berintikan teori tentang diferensiasi dan integrasi.Konsep dari limit merupakan dasar untuk mengerjakan peersoalan-persoalan pada diferensiasi yang akan dibahas pada makalah ini.Oleh sebabitu ada biknya jika sebelum memahami konsep diferensiasi,kita sudah harus memahami konsep limit.Dalam diferensiasi akan dibahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebasfungsi yang bersangkutanKonsep defernsiasi sangat penting dalam analisis ekonomi dan bisnis yang berkaitan dengan masalah perubahan,penentuan tingkat maksimum dan tingkat minimum.di makalah ini akan menyajikan tentang pengertian dan hakekat,kaidah-kaidah,dan penggunaan diferensiasi dalam analisis ekonomi.

1.2 Rumusan Masalah1. Apa pengertian dasar kaidah diferensiasi ?1. Apa saja kaidah-kaidah yang berlaku dalam diferensiasi?c. Bagaimana konsep diferensiasi diterapkan dalam analisis ekonomi?1.3 Tujuan1. Pembaca diharapkan memahami pengertian serta kaidah-kaidah diferensiasi.1. Dapat menerapkan konsep diferensiasi dalam analisis ekonomi.

PEMBAHASAN2.1 Kuosien Diferensi dan Derivatif Jika y = f(x) dan terdapat variabel bebas x sebesar x maka:y = f(x)y + y = f(x+x)y = f(x+x)-yy= f(x+y) f(x)dimana x adalah tambahan x dan y adalah tambahan y berkenaan dengan adanya tambahan x , y timbul karena adanya xApabila ruas kiri dan ruas kanan persamaan terakhir diatas sama-sama dibagi x, maka diperoleh :

hasil bagi perbedaan atau kuosien diferensi (difference quotient),mencerminkan tingkat perubahan rata-rata variabel terikat y terhadap variabel bebas x. Proses penurunan sebuah fungsi disebut juga dengan diferensiasi, pada dasarnya merupakan penentuan limit,suatu kuosien diferensi dalam hal pertambahan variabel bebasnya sangat kecil atau mendekati nol. Hasil yang diperoleh dari proses diferensiasi dinamakan turunan atau derifatif ( derivatif ) . Jadi jika y = f(x)Maka kuosien diferensiasinya Dan turunan fungsinya . Cara menuliskan turunan dari sesuatu fungsi dapat dilakukan dengan beberapa macam notasi atau lambang. Jika fungsi aslinya y = f(x), maka turunannya dapat dituliskan dengan notasi :

Dengan perkataan lain,turunan dari fungsi yang bersangkuan adalah kuosien diferensinya sendiri. Sedangkan kuosien diferensi tak lain adalah lereng ( slope) dari garis atau kurva y = f(x).Dari berbagai macam notasi turunan fungsi yang ditunjukkan, yang sering digunakan adalah bentuk . 2.2 Kaidah-Kaidah Diferensiasi 1. Diferensiasi Konstanta Jika y = k,di mana k adalah konstanta, maka = 0Contoh : y = 5, 2. Diferensiasi Fungsi Pangkat Jika y = , di mana n adalah konstanta, maka Contoh : y = , = 33. Diferensiasi Perkalian Konstanta dengan Fungsi Jika y = kv, di mana v = h(x), maka Contoh : y = 5, 4. Diferensiasi Pembagian Konstanta dengan Fungsi Jika y = , di mana v = h(x), maka = -Contoh : y = , 5. Diferensiasi Penjumlahan ( pengurangan ) Fungsi Jika y = u di mana u = g(x) dan v = h(x)Maka Contoh : y= 4, misalkan u = 4v = maka 6. Diferensiasi perkalian fungsi Jika y = uv, di mana u = g(x) dan v = h(x),Maka Contoh : y = ( 4(7. Diferensiasi pembagian fungsi Jika y = , di mana u = g(x) dan v = h(x)Maka Contoh : y = = = = = -4x28. Diferensiasi Fungsi Berpangkat Jika y = , di mana u = g(x),dengan kata lain y = f{g(x)}Maka . Contoh : y = (4x3+5)2 misalkan u = 4x3+5 sehingga y = u2 du/dx = 12x2dy/du = 2u = . = 2u(12x2) = 2(4x3+5)(12x2) = 96x5+120x29. Diferensiasi Fungsi BerpangkatJika y = un, dimana u = g(x) dan n adalah konstanta, maka : = nun-1.Contoh : y = (4x3+5)2 misalkan u = 4x3+5du/dx = 12x2 = nun-1. = 2(4x3+5)(12x2) = 96x5+120x2Kaidah ke-9 ini mirip dengan kaidah ke-8, danmemang merupakan kasus khusus dari kaidah ke-8. Untuk kaidah ke-9 ini terdapat pula sebuah kasus khusus; yakni jika u = f(x) = x, sehingga y = un = xn, maka dy/dx = nun-1(yang tak lain adalah kaidah ke-2).

10. Diferensiasi Fungsi LogaritmikJika y= a,maka = Contoh : y = 5, maka = =

11. Diferensiasi Fungsi Komposit-LogaritmikJika y=alogu, dimana u = g(x), maka dy/dx = aloge/u.du/dxContoh: y = log (x-3/x+2)Misalkan u = (x-3)/(x+2) > du/dx = (x+2) (x-3)/(x+2)2 = 5/(x+2)2 dy/dx = aloge/u . du/dx = log e12. Diferensiasi Fungsi Komposit-Logaritmik-BerpangkatJika y = (alogu)n, dimana u = g(x) dan n adalah konstanta, maka : dy/dx = dy/du . aloge/u.du/dxContoh: y = (log 5x2)3Misalkan u = 5x2 > du/dy = 10xdy/dx = 3(log 5x2)2

13. Diferensiasi Fungsi Logaritmik-NapierKaidah ini merupakan kasus khusus dari kaidah ke-10, yakni dalam hallogaritma berbasis e. ln x elogx dan ln e e log e = 1.Jadi, jika y = ln x = e log x, maka dy/dx = 1/x ln e = 1/x.Kaidah ke-14 dan ke-15 berikut ini masing-masing merupakan kasus khusus dari kaidah ke-11 dan ke-12, untuk alasan yang sama.

14. Diferensiasi Fungsi Komposit-Logaritnik-NapierJika y = ln u, dimana u = g(x), maka dy/dx = 1/u . du/dxContoh : y = In ( )Misalkanu = ( ) . = = = . = ( ) . =

15. Diferensiasi Fungsi Komposit-Logaritnik-Napier-BerpangkatJika y = (In u)n,dimanau= g(x)dannadalahkonstantaMaka = . Contoh : (In 5x2)3Misalkan u = 5x2 = 10 x3 (In 5x2)2 (10 x) = (In 5x2)2

16. Diferensiasi Fungsi EksponensialJika , di mana a adalah konstanta, maka Contoh : , Dalam hal , maka juga, sebab .

17. Diferensiasi Fungsi Komposiit-EksponensialJika , di mana maka Contoh : Misalkan Kasus khusus : dalam hal , maka Kaidah ke-16 sebelumnya sesungguhnya juga merupakan kasus khusus dari kaidah Kasus ke-17 ini, yakni dalam hal .

18. Diferensiasi Fungsi KompleksJika , di mana dan ,Maka Penentuan dari ini dapat pula dilakukan dengan jalan melogaritmakan fungsi atau persamaannya, kemudian mendiferensiasikan masing-masing ruasnya.Perhatikan: mengingat Berbagai fungsi aljabar yang kompleks bisa lebih mudah dideferensiasikan dengan langkah-langkah seperti di atas.Contoh :1) Misalkan

2) Misalkan 3) Misalkan

19. Diferensiasi Fungsi BalikanJika y=f(x) dan x = g(x) adalah fungsi-fungsi yang saling berbalikan (inverse functions), maka = Contoh : 1. x = 5y + 0,4y4 = = = 5 + 2y320. Diferensiasi ImplisitJika f(x,y) = 0 merupakan fungsi implisit sejati (tidak mungkin dieksplisitkan), dy/dx dapat diperoleh dengan mendiferensiasikannya suku demi suku, dengan menganggap y sebagai fungsi dari x.Contoh:1) 4xy2 x2 + 2y = 0, tentukan dy/dx!8xy dy/dx + 4y2 2x + 2 dy/dx = 0(8xy + 2) dy/dx = 2x ay2dy/dx = 2x 4y2/ 8xy+2 = x-2y2/ 4xy + 1Dalam contoh ini 4xy2 diperlakukan sebagai perkalian dua buah fungsi x, kemudian dideferensiasikan dengan menggunakan kaidah perkalian fungsi kaidah perkalian fungsi (kaidah ke-6). Jadi, u = 4x dan v = y2, diperoleh du/dx = 4 dan +4y2. Adapun dy/dx dari x2 ialah -2x, sedangkan dy/dx dari 2y ialah 2(dy/dx).

2) x2y ex ey 5, tentukan dy/dx!x2 dy/dx + 2xy ex ey dy/dx = 0(x2 ey) dy/dx = ex 2xydy/dx = ex 2xy/ x2 - eySelain keduapuluh kaidah yang diuraikan diatas,masih terdapat beberapa kaidah lagi yang tidak dibahas di dalam buku ini,yaitu kaidah-kaidah diferensiasi untuk fungsi trigonometrik dan fungsi hiperbolik.

2.3Hubungan Antara Fungsi dan DerivatifnyaBerdasarkan kaidah diferensiasi, dapat disimpulkan bahwa turunan dari suatu fungsi berderajat n adalah sebuah fungsi berderajat n-1 . Dengan perkataan lain, turunan dari suatu fungsi berderajat 3 adalah sebuah fungsi berderajat 2; turunan dari fungsi berderajat 2 adalah sebuah fungsi berderajat 1; turunan dari fungsi berderajat 1 adalah sebuah fungsi berderajat 0 alias sebuah konstanta; dan akhirnya, turunan dari sebuah konstanta adalah 0.Contoh: (fungsi kubik) (fungsi kuadrat) ( fungsi linear) (konstanta)(Perhatikan pengurangan derajat fungsi pada masing-masing turunannya).2.3.1 Fungsi Menaik dan Fungsi MenurunDerivatif pertama dari sebuah fungsi non-linear dapat digunakan untuk menentukan apakah kurva dari fungsi yang bersangkutan menaik ataukah menurun pada kedudukan tertentu.Dalam kasus khusus, derivatif pertama dapat pula menunjukkan titik ekstrim sebuah fungsi non-linear.Jika derivatif pertama (lereng kurvanya positif pada ), maka merupakan fungsi menaik manakala x bertambah sesudah . Sedangkan jika derivatif pertama ( lereng kurvanya negatif pada ), maka merupakan fungsi menurun pada kedudukan ; yakni menurun manakala bertambah sesudah Uji Tanda. Apabila derivatif pertama , berarti berada di titik ekstrimnya. Guna menentukan apakah titik ekstrim tersebut merupakan titik maksimum ataukah titik minimum, perlu dilakukan uji tanda terhadap jika untuk dan untuk , maka titik ekstrimnya adalah titik maksimum. Sedangkan jika untuk dan untuk , maka titik ekstrimnya adalah titik minimum.Contoh:Tentukan apakah merupakan fungsi menaika ataukah fungsi menurun pada dan .selidiki pula untuk .

berarti menurun pada berarti menaik pada , berarti berada di titik ekstrim pada ; karena untuk dan untuk , titik ekstrim pada ini adalah titik minimum.[Apabila diselidiki lebih lanjut, sesungguhnya hanya berlaku untuk interval pada kedudukan berada di titik ekstrim yang lain, yaitu titik maksimum.]2.3.2 Titik Ekstrim Fungsi ParabolikDalam hal adalah sebuah fungsi parabolik, derivatif pertama berguna untuk menetukan letak titik ekstrimnya, sedangkan derivatif kedua bermanfaat guna mengetahui jenis titik ekstrim yang bersangkutan.Penentuan titik ekstrim suatu fungsi parabolik dapat dilakukan dengan pendekatan diferensial.Absis dari titik ekstrim fungsi parabolik adalah x pada , sedangkan ordinatnya adalah y untuk x pada Kemudian untuk mengetahui apakah titik ekstrimnya berupa titik maksimum ataukah titik minimum, dengan kata lain untuk mengetahui apakah parabolanya terbuka ke bawah ataukah terbuka ke atas, dapat disidik melalui turunan kedua dari fungsi paraboliknya yaitu . Apabila , bentuk parabolanya terbuka ke bawah, titik ekstrimnya adalah titik maksimum. Sebaliknya jika , bentuk parabolanya terbuka ke atas, titik ekstrimnya adalah minimum. Jadi, ringkasnya: Parabola mencapai titik ekstrim pada y = 0 Jika : bentuk parabolanya terbuka ke bawah, titik ekstrimnya adalah titik maksimum. Jika : bentuk parabolanya terbuka ke atas, titik ekstrimnya adalah titik minimum.Contoh:1. Andaikan Maka Karena maka bentuk parabolanya terbuka ke bawah, titik ekstrimnya adalah titik maksimum.Koordinat titik maksimum:Syarat y maksimum : Untuk (3,7)

2. Andaikan Maka Karena maka bentuk parabolanya terbuka ke atas, titik ekstrimnya adalah titik minimum.Koordinat titik minimum:Syarat y minimum: Untuk (2,4)

2.3.3 Titik Ekstrim dan Titik Belok Fungsi KubikTitik maksimum dan titik minimum suati fungsi kubik (jika ada), serta titik beloknya, dapat dicari melalui penelusuran terhadap derivative pertama dan derivative keduadari fungsinya. Derifatif pertama berguna untuk menentukan letak titik(-titik) ekstrimnya, sedangkan derifatif kedua bermanfaat guna mengetahui jenis titik(-titik) ekstrim yang bersangkutan dan menentukan letak titik beloknya. Perhatikan fungsi kubik berikut dan turunan-turunannya, serta hubungan mereka secara grafik.Y= x3 3x2 + 8x 3..fungsi kubikY= x2 6x + 8 fungsi kuadrat parabolicY= 2x 6 fungsi linearJika y = 0, maka x2 6x + 8 = 0, (x-2)(x-4) = 0 > x1 = 2, x2 = 4Untuk x = x1 = 2 Y = (2)3 3(2)2 + 8(2) 3 = 3,67[fungsi kubik y=f(x) berada di titik ekstrim maksimum] Y = 2(2) 6 = -2 < 0 [derivative kedua negative]Untuk x = x2 = 4 Y = (4)3 3(4)2 + 8(4) 3 = 2,33[fungsi kubik y = f(x) berada di titik ekstrim minimum] Y = 2(4) 6 = 2 > 0 [derivative kedua positif]Jika y = 0, 2x 6 = 0 > x = 3 Y = (3)3 3(3)2 + 8(3)- 3 = 3[fungsi kubik y = f(x) berada di titik belok] Y = 32 6(3) + 8 = -1[derivative pertama berada di titik ekstrim, dlam hal ini titik minimum]Jadi, fungsi kubik y = x3 3x2 + 8x 3 berada di:Titik maksimum pada koordinat (2; 3,67)Titik belok pada koordinat (3; 3)Titik minimum pada koordinat (4; 2,33)

Perhatikan gambar diatas. Fungsi kubik y = f(x) mencapai titik ekstrim maksimum ketika derivative pertamanya y = f(x) = 0 dan derivative keduanya y = f(x) < 0, mencapai titik ekstrim minimum ketika y = f(x) = 0 dan y = f(x) > 0, serta berada di titik belok y = f(x) = 0. Secara umum, meskipun tidak semua fungsi kubik mempunyai titik ekstrim, dapat disimpulkan bahwa: Fungsi Kubik y = f(x) mencapai titik ekstrim pada y = 0 Jika y < 0 pada y = 0, maka titik ekstrimnya adalah titik maksimum Jika y > 0 pada y = 0, maka titik ekstrimnya adalah titik minimum Fungsi kubik y = f(x) berada di titik belok pada y = 02.4 Penerapan Ekonomi2.4.1 ElastisitasElastisitas dari suatu fungsi y = f(x) berkenaan dengan x dapat didefinisikan sebagai : = = = . Ini berarti bahwa elastisitas y = f(x) merupakan limit dari rasio antara perubahan relatif dalam y terhadap perubahan relatif dalam x, untuk perubahan x yang sangat kecil atau mendekati nol. Dengan terminologi lain, elastisitas y terhadap x dapat juga dikatakan sebagai rasio antara persentase.(a) Elastisitas PermintaanElasisitas permintaan (istilahnya yang lengkap : elastisitas harga permintaan, price elasticity of demand) ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang diminta akibat adanya perubahan harga. Jadi, merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah barang yang diminta terhadap persentase perubahan harga. Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qd = f(P), maka elastisitas permintaannya :

d = = = = . dimana dQd/d tak lain adalah Qd atau f(P)Permintaan akan suatu barang dikatakan bersifat elastic apabila |d| < 1. Barang yang permintaannya elastis mengisyaratkan bahwa jika harga barang tersebut beubah sebesar persentase tertentu, maka permintaan terhadapnya akan berubah (Secara berlawanan arah) dengan persentase yang lebih besar daripada persentase perubahan harganya.(b) Elastisitas PenawaranElastisitas penawaran (istilahnya yang lengkap : elastisitas harga penawaran, price elasticity of supply) ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan berkenaan adanya perubahan harga. Jadi, merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah barang yang ditawarkan terhadap persentase perubahan harga. Jika fungsi penawaran dinyatakan dengan Qs = f(P), maka elastisitas penawarannya :

s = = = = .

Penawaran suatu barang dikatakan bersifat elastic apabila s > 1, elastic uniter jika s = 1 dan inelastic bila s < 1. Barang yang penawarannya inelastic mengisyaratkan bahwa jika harga barang tersebut berubah sebesar persentase tertentu, maka penawarannya berubah (secara searah) dengan persentase yang lebih kecil daripada persentase perubahan harganya.

(c) Elastisitas ProduksiElastisitas produksi ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah keluaran (output) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan (input) yang digunakan. Jadi, merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah keluaran terhadap persentase perubahan jumlah masukan. Jika P melambangkan jumlah produk yang dihasilkan sedangkan X melambangkan jumlah faktor produksi yang digunakan, dan fungsi produksi dinyatakan dengan P = f(X), maka elastisitas produksinya :p = = = = .

Dimana dP/dX adalah produk marjinal dari X [ P atau f(X) ].

2.4.2 Biaya MarjinalBiaya marjinal (marginal cost, MC) ialah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghasilkan satu unit tambahan produk. Secara matematik, fungsi biaya marginal merupakan derivative pertama dari fungsi biaya total. Jika fungsi biaya total dinyatakan dengan C = f(Q) dimana C adalah biaya total dan Q melambangkan jumlah produk, maka biaya marjinalnya :MC = C = Kasus 1Biaya total: C = f(Q) = Q3-3Q2+4Q+4Biaya marjinal: MC = C = dC/dQ = 3Q2-6Q+4Pada umumnya fungsi biaya total yang non-linier berbentuk fungsi kubik, sehingga fungsi biaya marjinalnya berbentuk fungsi kuadrat. Dalam hal demikian, seperti ditunjukan oleh kasus 46 ini, kurva biaya marjinal (MC) selalu mencapai minimumnya tepat pada saat kurva biaya total berada pada posisi titik beloknya. C = Q3-3Q2+4Q+4MC = C = 3Q2-6Q+4(MC) = C = 6Q-6MC minimum jika (MC) = 0(MC) = 0 6Q -6 = 0 Q = 1Pada Q = 1 MC = 3(1)2-6(1)+4 = 1C=12-3(1)2+4(1)+4 = 6

C, MC C6

4 MC

1 Q0 12.4.3 Penerimaan Marjinal (MR)Adalah penerimaan tambahan yang diperoleh berkenaan bertambahnya satu unit keluaran yang diproduksi atau terjual. Secara matematik fungsi penerimaan marginal merupakan turunan pertama dari fungsi penerimaan total. Jika fungsi penerimaan total dinyatakan dengan R = f(Q) dimana R adalah penerimaan total dan Q melambangkan jumlah keluaran , maka penerimaan marginalnya :

MR = R = dR/dQ

Contoh :Andaikan fungsi permintaan akan suatu barang tunjukkan oleh P = 16 2Q , maka P , R , MR

Penerimaan total : R = P*Q = f(Q) = 16Q 2Q2Penerimaan marginal : MR = R = 16 4QPada MR = 0 , Q = 4 P = 16 2(4) = 8 R= 16(4) 2(4)2 = 322.4.4 Utilitas MarginalAdalah utilitas tambahan yang diperoleh konsumen berkenaan bertambahnya satu unit barang yang dikonsumsinya. Secara matematik fungsi utilitas marginal merupakan turunan pertama dari fungsi total. Jika fungsi utilitas total dinyatakan degan U = f(Q) dimana U adalah utilitas total dan Q melambangkan jumlah barang yang dikomsumsi, maka utilitas marginalnya :

MU = U = dU/dQ

Contoh :U = f(Q) = 90Q 5Q2 U.maks = 90(9) 5(9)2MU = U = 90 10Q = 810 - 405 U maksimum pada MU = 0 = 405MU = 0 ; Q = 9

2.4.5 Produk MarjinalProduk Marjinal (MP) adalah produk tambahan yang dihasilkan dari satu unit tambahan factor produksi yang digunakan.Jika diuraikan secara matematik,MP adalah derivative pertama dari fungsi produk total.

Jika P= F(X)Fungsi produk totalMaka MP= P=

Pada umumnya bentuk fungsi produk total adalah bentuk kubik (pangkat 3),maka MP-nya berupa fungsi produk marjinal dengan bentuk kuadrat (pangkat 2).Kurva dari MP selalu mencapai nilai ekstrimnya,dalam hal ini nilai maksimum,tepat saat kurva produk total (P) berada pada posisi titik beloknya,hal ini sesuai dengan hukum tambahan hasil yang semakin berkurang (the law of the diminishing return.Produk totala (P ) mencapai puncaknya ketika produk marjinalnya (MP) adalah nol.Setelah keadaan puncak,produk total akan menurun bersamaan dengan produk marjinal yang bernilai negatif (menunjukkan bahwa penambahan penggunaan pemasukan akan mengurangi jumlah produk total).Misalnya

Fungsi produksi total adalah P=(fx)= 9 Maka,produk marjinalnya adalah MP=P= 18-3.P maksium pada P= 0,yakni pada X=6,dengan Pmaksium = 108.P berada di titik belok dan MP maksimum pada P=(MP) = 0,yakni pada X=3.

2.4.6Analisis keuntungan maksimumKeuntungan maksimum atau kereugian maksimum,dapat disidik dengan pendekatan diferensiasi pula.Karena penerimaan total (R) maupun biaya total (C) merupakan fungsi dari keluaran jumlah yang duhasilkan atau terjual (Q),Dengan konsep ini kita dapat menentukan fungsi baru yaitu fungsi keuntungan ( dengan cara menetapkan derivative pertamanya sama dengan nol.R = r(Q) = R C r(Q) c(Q) = f(Q), optimum jika f(Q) C = c(Q)Karena pada saat optimum= = R(Q) C(Q) = MR =MC,maka pada optimum : Jika diuraikan secara grafik,kedudukan atau pada kurva adalah perpotongan antara kurva MR dan MC.Hal ini sekaligus mencerminkan jarak terlebar antara kurva R dan C.Akan tetapi syarat MR = MC tidak cukup jika hanya digunakan untuk menentukan keutungan maksimum,sebab jarak terlebar yang dicerminkan mungkin dapat berupa R-C bernilai positif (keuntungan) atau merupakan R-C bernilai negate (kerugian).Untuk menentukan apakah atau mencerminkan keutungan atau kerugian dapat diuji dengan derivative kedua dari fungsi atau =0. = R C = f(Q) optimum jika atau Jika maksimum Keuntungan maksimumJika minimum kerugian maksimum

Misalnya:

Pada kurva diatas tampak dua keadaan atau ,yakni pada keadaan tingkat produksi Q1 dan Q3.Pada tingkat jarak terlebar antara kurva R dan C menunujukkan kurva negatif terbesar.Hal ini berarti berada dalam keadaan kerugian maksimum ( yang mencapai mimimumnya di titik G.Sedangkan untuk tingkat produksi Q3,jarak terlebar antara kurva R dan C menunjukkan selisih positif terbesar.Hal ini menunjukkan bahwa terdapat keuntungan maksimum,sebagaimana tercermin dalam kurva yang mencapai maksimumnya di titik H.Kasus:Andaikan R = r(Q) = -2Q2 +1000QC= c(Q) = Q3-59Q2-315Q-2000Maka = R C = -Q3 + 57Q2 315Q 2000, -3Q2 +114Q -315Agar kentungan maksimum: -3Q2 +114Q -315 = 0-Q2 + 38Q 105 = 0(-Q +3)(Q-35) = 0,Diperoleh Q1 =3 dan Q2 =35 = -6Q +114Jika Q =3,maka =96 Jika Q =35,maka =-96 Karena = pada tingkat produksi Q= 35,Maka tingkat produKsi yang menghasilkan keuntungan maksimum adalah Q= 35,sedangkan tingkat produksi Q = 3 akan berdampak kerugian maksimum.Keuntungan Maksimum: 3 + 57(35)2 - 315(35) 2000 = 13.9252.4.7 Penerimaan Pajak MaksimumSebelumnya Diketahui persamaan P = a + bQ, dan pemerintah mengenakan pajak spesifik sebesar t atas setiap unit barang yang dijual, maka penawaran sesudah pajak : t = P a Bqapabila fungsi permintaan barang dicerminkan oleh P = c dQmaka menjadi : t = c dQ a bQ = (c a) (d + b ) Q

Pajak total yang diterima pemerintah adalah besarnya pajak per unit dikalikan jumlah barang yang terjual dipasar (jumlah keseimbangam ) sesudah pengenaan pajak tersebut. T= t.Q = (c-a ) Q (d + b ) Q2

Berdasarkan bentuk persamaan terakhir yang kuadra-parabolik ii, kita dapat menentukan pada tingkat keterjualan berapa unit barang Q pemerintah akan memperoleh penerimaan maksimum dari rencana pajak-spesifik yang akan dikenakannya.

Pajak total yang diterima pemerintah : T = t(Q) = (c a )Q (d+b)Q2T maksimum jika T = 0, yakni pada Q = (c a )/2(d + b)

P = 3 + 0,5 QP = 9 + 0,5 QT = 12 Q 1,5 Q

2.4.8 Efek Pemajakan bagi Penunggal Selain pendapatan Negara pajak berfungsi pula sebgaia instrument kendali atas keuntungan berlebihan yang dapat dikeduk oleh penunggal atau monopolis. Pengenaan pajak sebesar t per unit barang yang diproduksi atau yang dijual oleh penunggal akan mengakibatkan biaya rata-rata sebesar t , dan biaya total meningkat sebesar tQ. Akibatnya bukan saja harga menjadi mahal tetapi juga keuntungan penunggal menjadi berkurang. Penerimaan total : R=r(Q) Keuntungan : = R- CBiaya total : C = c(Q) = r(Q) c(Q) Biaya total sesudah pengenaan pajak : C = c(Q) + t Q Keuntungan sesudah pengenaan pajak : = r(Q) c(Q) tQPajak per unit : t Pajak total : T = t.Q = f(t, Q)

2.4.9 Model Pengendalian PersediaanPengendalian persediaan baik persediaan bahan mentah maupun persediaan barang jadi yang bertujuan meminimumkan biaya total persediaan. Persediaan bahan mentah yang berlebihan akan menimbulkan biaya penyimpanan ekstra, demikian pula persediaan barang jadi yang berlebihan. Di lain pihak, kekurangan persediaan bahan mentah atau bahan baku akan mengganggu kelancaran produksi. Sedangkan kekurangan persediaan barang jadi dapat menyebabkan perusahaan kehilangan pasar.Secara umum, biaya-biaya yang dikeluarkan berkenaan persediaan terdiri atas: (1) biaya pengadaan atau pemesanan (setup cost, ordering cost), (2) biaya penyimpanan (holding cost, carrying cost, storing cost), dan (3) biaya kesenjangan (shortage cost). Biaya yang terakhir ini timbul apabila terjadi kekurangan atau kesenjangan persediaan, sehingga produksi atau pemasaran lebih lanjut tertunda.Ada beberapa macam model pengendalian persediaan, tergantung pada pola kedatangan bahan atau pengiriman barangnya. Dalam buku ini hanya akan dibahas salah satu diantaranya, yakni model persediaan dengan kedatangan berkala (batch arrival model). [Pembahasan model-model pengendalian persediaan secara lengkap biasanya diberikan dalam matakuliah operations research.] Dalam membahas dan menerapkan model ini dianggap bahwa kebutuhan atau permintaan akan barang yang dipesan diketahui jumlahnya dan seragam. Kemudian biaya pemesanan dan biaya penyimpanan per unit dianggap tidak tergantung pada jumlah barang. Selanjutnya dianggap pula bahwa tidak pernah terjadi kekurangan persediaan, sehingga tidak ada biaya kesenjangan yang harus dikeluarkan.Kebutuhan barang per periode (D) dibagi pemesanannya menjadi beberapa kali pesanan, dengan jumlah yang sama untuk setiap sub-periode kedatangan (Q) agar biaya total persediaan (C) dapat ditekan menjadi serendah mungkin. Persoalan yang hendak diselesaikan ialah beberapa unit barang harus dipesan setiap kali (Q) agar biaya total persediaan (C) minimum, dengan perkataan lain berapa jumlah pesanan yang optimal. Untuk dapat menyelesaikan masalah ini, harus tersedia data mengenai kebutuhan atau permintaan akan barang per periode (D), biaya pemesanan untuk setiap kali pesan (C1), dan biaya penyimpanan per unit barang per periode (C2).Dalam setiap periode terdapat D/Q kali kedatangan pesanan (misalnya 3 angkatan /kedatangan); biaya total pemesanan adalah (D/Q)C1. Rata-rata sepanjang periode terdapat Q/2 persediaan, sehingga biaya penyimpanan per periode adalah (Q/2)C2. Dengan demikian biaya total persediaan per periode adalah:C = C1 D/ Q + C2 Q/2Biaya total persediaan ini akan minimum jika dC/dQ = 0 dan d2C/ dQ2 > 0. dC/dQ = -C1D/Q2 + C2/2d2C/dQ2 = 2C1D/Q3 > 0Jika dC/dQ = 0, maka Q2 = (2C1D)/C2 Q = (2C1D)/C2Jadi, jumlah pesanan optimal (economic order quantity) ialah: Q = 2C1D/C2Kasus 1Berdasarkan pengalamannya, seorang kontraktor kecil membutuhkan 100 karung pasir setiap bulan. Biaya pengadaan/ pemesanan Rp 1.250,00 setiap kali pesan, sedangkan biaya penyimpanan Rp 100,00 per karung per minggu. Jika ia menginginkan biaya total persediaannya minimum, dengan cara membagi kebutuhan 100 karung pasir per bulan atas beberapa kali kedatangan dengan jumlah sama, berapa jumlah pesanan yang optimal?D = 100C1 = 1250C2 = 400 Q = (2C1D)/C2Q = (2) (1250) (100)/ 400Q = 250.000/ 400Q = 25Jadi, jumlah pesanan yang optimal adalah 25 karung pasir setiap kali pesan. Berarti kebutuhan per bulan dibaginya menjadi D/Q = 100/25 = 4 kali kedatangan (4 angkatan); dengan perkataan lain pesanan untuk kebutuhan bulanan dilakukan secara mingguan. Biaya total persediaannya per bulan adalah:C = C2Q/ 2 + C1D/2C = (400)(25)/ 2 + (1250)(100)/ 25C = 10.000 rupiah.

DAFTAR PUSTAKADumairy.1983.Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi.BPFE,Yogyakarta