MATEMATIKA BISNIS II - · PDF file2 BAB I FUNGSI Pengetahuan dan ... MATEMATIKA BISNIS II – M RIZA RADYANTO, S.T,M.T ... PENERAPAN FUNGSI LINIER DALAM ILMU EKONOMI Pendahuluan

MATEMATIKA BISNIS II

M Riza Radyanto , S.T, M.T

UPT Pengembangan Bahan Ajar

Akademi Keuangan dan Perbankan Widya Buana

2013

MATEMATIKA BISNIS II – M RIZA RADYANTO, S.T,M.T UPT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR

2

BAB I

FUNGSI

Pengetahuan dan pemahaman akan konsep fungsi baik berbentuk persamaan

maupun pertidaksamaan dalam disiplin ilmu ekonomi sangat penting , mengingat berbagai

permasalahan di bidang ekonomi berhubungan dengan fungsi.

Fungsi merupakan bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan

ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan variabel lain yang

dibentuk oleh beberapa unsur.

Unsur pembentuk fungsi adalah : variable , koefisien dan konstanta.

Variabel : Unsur pembentuk fungsi yang mewakili faktor tertentu dilambangkan

dengan huruf latin , Variabel ada 2 :

Variabel Bebas (Independent Variabel) : variable yang nilainya tidak tergantung

pada variable lain

Variabel Terikat (Dependent Variabel) : variable yang nilainya tergantung pada

variabel lain.

Koefisien : bilangan atau angka yang terkait pada dan terletak di depan suatu variabel

selalu terdapat dalam setiap bentuk fungsi

Konstanta : bilangan atau angka yang kadang kadang turut membentuk sebuah fungsi

tetapi berdiri sendiri sebagai bilangan dan tidak terkait pada variable tertentu dan belum

tentu terdapat dalam setiap bentuk fungsi.

Contoh Fungsi :

y = f (x)

y = 5 + 2 x

karena y = f (x) maka : f (x) = 5 + 2 x

y = f (x) , menyatakan bahwa y merupakan fungsi x , besar kecilnya y tergantung pada nilai

x .Masing masing x dan y adalah variable , dimana x adalah variable bebaskarena nilainya

tidak tergantung pada nilai variable lain (dalam hal ini , y) .Sebaliknya , y adalah variable

terikat karena nilainya tergantung pada nilai x.


3

Angka 2 adalah koefisien variable x , karena ia terkait pada variable tersebut

Jenis Fungsi :

Fungsi Polinom : fungsi yang banyak mengandung suku dalam variable bebasnya,

bentuk umumnya :

y = a0 + a1x + a2x2 + … + an xn

Fungsi Linear : fungsi polinom khusus yang pangkat tertinggi dan

variabelnya adalah pangkat 1 dan sering disebut fungsi berderajat 1 , bentuk

umumnya :

y = a0 + a1 x

Fungsi Kuadrat : fungsi polinom yang pangkat tertingginya dari variabelnya adalah

pangkat dua , bentuk umumnya :

FUNGSI

FUNGSI NON ALJABAR

FUNGSI ALJABAR

FUNGSI IRRASIONAL

FUNGSI RASIONAL

FUNGSI LINEAR

FUNGSI POLINOM

FUNGSI KUADRAT

FUNGSI KUBIK

FUNGSI PANGKAT

FUNGSI EKSPONENSIAL

FUNGSI LOGARITMIK

FUNGSI TRIGONOMETRI

FUNGSI HIPERBOLA


4

y = a0 + a1x + a2x2 + … + an-1 xn-1

Fungsi Pangkat : fungsi yang variabel bebasnya berpangkat sebuah bilangan nyata

bukan nol, bentuk umumnya :

y = xn dimana n = bilangan nyata bukan nol

Fungsi Eksponensial : fungsi yang variabel bebasnya merupakan pangkat dari

suatu konstanta bukan nol , bentuk umum :

y = nx dimana n >0

Fungsi Logaritmik : fungsi balik (inverse) dari dari fungsi eksponensial variabel

bebasnya merupakan bilangan logaritmik , bentuk umumnya :

y = n Log x dimana n >0


5

BAB II

PENERAPAN FUNGSI LINIER DALAM ILMU EKONOMI

Pendahuluan

Fungsi Linier merupakan fungsi polinom khusus yang pangkatnya tertinggi dan

variabelnya adalah pangkat satu dan sering disebut fungsi berderajat satu.Bentuk umun

persamaan linier adalah :

y = a0 + a1.x

Dimana a0 adalah konstanta dan a0 0

Penggambaran fungsi linear lebih mudah dilakukan dan sesuai dengan namanya fungsi

linear akan menghasilkan sebuah garis lurus ,misalnya :

Persamaan : y = 2 + 2x

x 0 1 2 3 4

y 2 4 6 8 10


6

Dengan memberikan nilai tertentu untuk variable bebas x, lalu disubstitusikan ke dalam

persamaan fungsinya , maka akan diperoleh nilai variable terikat y sebagaimana

dicontohkan dalam table di atas.Berdasarkan nilai (x , y) yang diperoleh dapat ditentukan

koordinat titik titiknya.

Hubungan sebab akibat antara berbagai variabel ekonomi misalnya antara permintaan dan

harga , antara investasi dan tingkat bunga dapat mudah dinyatakan serta dijelaskan dalam

bentuk fungsi.Diantara berbagai macam hubungan fungsional , hubungan linear

marupakan bentuk yang paling dasar dan sering dipakai dalam analisa ekonomi

Fungsi Linear dapat diterapkan di dalam ilmu ekonomi baik dalam pembahasan ekonomi

mikro maupun ekonomi makro.Dua variable atau lebih yang saling berhubungan seringkali

diterjemahkan ke dalam bentuk sebuah persamaan linear.

B.Hubungan dua Garis Lurus

Setiap garis lurus memiliki kemiringan dan titik potong atau intersep dan jika dua garis

yang mempunyai kemiringan yang berbeda atau sama dan juga bila titikpotong dengan

sumbu Y berbeda beda atau sama maka jika digambarkan dalam bidang cartesius XY maka

akan terdapat empat kemungkinan yaitu :

Dua garis lurus akan berimpit jika persamaan garis yang satu merupakan kelipatan

proporsional terhadap persamaan garis lain.Persamaan y1 = a1 + b1 x akan berimpit

dengan y2 = a2 + b2x , jika y1 = ny2 , a1 = na2 dan b1 = nb2


7

Dua buah garis lurus akan sejajar bila lereng garis yang satu sama dengan lereng

garis yang lain.Dengan demikian persamaan y1 = a1 + b1 x akan sejajar dengan y2 =

a2 + b2x , jika a1 a2 dan b1 = b2 .

Dua buah garis lurus akan berpotongan jika lereng garis yang satu tidak sma dengan

lereng garis yang lain.Dengan demikian garis y = a1 + b1x akan berpotongan dengan

garis y = a2 + b2x jika b1 b2

Dua buah garis lurus akan saling tegak lurus jika lereng garis yang satu merupakan

kebalikan dari lereng garis yang lain dengan tanda yang berlawanan.Dengan

demikian , garis y = a1 + b1x akan tegak lurus dengan garis y = a2 + b2x

jika b1 = -1 / b2 atau b1.b2 = -1


8

Fungsi linear sangat lazim diterapkan dalam ilmu ekonomi, baik dalam pembahasan

ekonomi mikro maupun ekonomi makro. Dua variabel ekonomi, atau lebih, yang saling

berhubungan acapkali diterjemahkan ke dalam bentuk sebuah persamaan linear. Seksi-

seksi berikut ini akan menguraikan penerapan fungsi linear dalam ekonomi. Secara

bertahap akan dibahas

Contoh penerapan fungsi linear dalam teori ekonomi mikro :

Analisa Break Even Poin atau analisa pulang pokok

Fungsi permintaan dan keseimbangan pasar

Pengaruh pajak terhadap keseimbangan pasar

Pengaruh subsidi terhadap keseimbangan pasar

Fungsi biaya dan fungsi penerimaan

Contoh penerapan fungsi linear dalam teori ekonomi makro :

Fungsi konsumsi dan angka pengganda

Fungsi pajak

Fungsi investasi

Fungsi impor


9

Fungsi Break Even Poin-BEP atau Analisa Pulang Pokok

Keberhasilan sebuah usaha dapat diukur dengan tercapai atau tidaknya tujuan perusahaan

yaitu memaksimalkan laba perusahaan.Untuk mencapai tujuan tersebut biasanya

memerlukan penanganan manajeme terencana dan harus secara akurat menentukan

keputusan manajerial yang harus diambil.

Pertimbangan penting bagi peruahaan terhadap keputusan pemasaran dan produksi

adalah dengan memperkirakan atau mengestimasi volume penjualan atau penerimaan

yang diperoleh dari hasil penjualan produknya selama periode tertentu.

Fungsi penerimaan total maupun fungsi biaya total dinyatakan sebagai fungsi linier ,

penerimaan total dari penjualan merupakan fungsi dari jumlah produk yang dijual atau

secara matematis dapat ditulis :

TR = f(Q)

Sedangkan biaya total dari produksi f(Q).

Biaya Total (TC) ini terdiri dari dua jenis biaya dalam proses produksi , yakni :

Biaya Tetap Total , yang tidak tergantung dari jumlah produk yang dihasilkan ,

sehingga biaya ini tidak berubah (konstan) walaupun berapa banyak jumlah yang

dihasilkan dalam suatu skala tertentu

Biaya Variabel Total , tergantung pada jumlah produk yang dihasilkan (Q) ,artinya

bila jumlah produk yang dihasilkan berubah , maka biaya variable total akan

berubah juga.

Untuk memperoleh biaya total (TC) adalah dengan menjumlahkan antara biaya tetap total

dengan biaya variable total , jadi persamaan biaya total dapat ditulis dalam bentuk

matematis seperti :


10

Dimana :

TC : Biaya Total

FC : Biaya tetap total

VQ : Biaya variabel total

V : Biaya variabel per unit

Q : Jumlah produk yang dijual

Selanjutnya penerimaan total adalah :

Perkalian antara harga produk per unit dengan jumlah produk yang dijual , persamaan

matematisnya sebagai berikut :

TR = P.Q

Dimana :

TR : Penerimaan Total

P : Harga produk per unit

Q : Jumlah produk yang dijual

Kurva penerimaan total tersebut jika digambarkan akan berbentuk garis lurus yang

melalui titik asal (0 , 0) , karena diasumsikan bahwa harga P adalah suatu nilai

konstanta.Selain itu , kurva penerimaan total tersebut akan meningkat seiring dengan

peningkatan jumlah produk yang terjual, sedangkan kurva biaya total dinyatakan oleh garis

lurus,tetapi melalui titik potong pad sumbu tegak biaya total (TC) , karena adanya biaya

tetap total.

Lihat grafik di bawah :


11

Jika penerimaan total dari hasil penjualan produk hanya sama dengan biaya total

yang dikeluarkan perusahaan , maka perusahaan tidak mendapatkan laba juga tidak

mengalami kerugian Disebut BEP atau Break Even Point atau Pulang Pokok

Analisa BEP adalah : tingkat jumlah produk (Q) dimana penerimaan total dari hasil

penjualan hanya cukup untuk menutupi biaya produksi yang dikeluarkan

perusahaan.

Jika perusahaan beroperasi pada jumlah produk (Q) > dari Titik BEP maka

perusahaan akan memperoleh nilai profit

Jika perusahaan beroperasi pada tingkat jumlah produk (Q) < dari titik BEP , maka

perusahaan akan mengalami kerugian

Q

TR , TC

TR = P.Q

TC=FC + VC

Rp

BEP

Laba

Rugi

Qe


12

FUNGSI PERMINTAAN DAN FUNGSI PENAWARAN

Fungsi permintaan menghubungkan antara variabel harga dan variabel jumlah

(barang/jasa) yang diminta oleh konsumen .Pada umumnya para ahli ekonomi berasumsi

bahwa jumlah produk yang akan diminta oleh konsumen selama satu periode waktu

tertentu tergantung pada 5 variabel utama yaitu :

1) Harga Produk itu sendiri

2) Pendapatan Konsumen

3) Harga produk lain yang saling berhubungan

4) Harga produk yang diharapkan pada periode mendatang

5) Selera Konsumen

Secara matematis fungsi permintaan di atas dapat ditulis persamaannya :

Q dx,t = f(Px,t , Py,t , Yt ,Pex,t+1 , St)

Dimana :

Q dx,t = Jumlah produk X yang dibeli oleh konsumen dalam periode t

Px,t = Harga produk X pada periode t

Py,t t = Harga produk yang saling berhubungan pada periode t

Yt = Pendapatan konsumen dalam periode t

Pex,t+1 = Harga produk X yang diharapkan dalam periode mendatang,t+1

St = Selera dari konsumen pada periode t

Dari kelima variabel di atas variabel harga produk ,adalah variabel yang dianggap paling

pentingsehingga dipakai sebagai variabel bebas.Sedangkan keempat variabel bebas lainnya


13

dianggap konstan.Dengan demikian penulisan fungsi permintaan ini dapat ditulis ke

persamaan :

Qx = f(Px)

Dan apabila persamaan di atas ditransformasikan ke dalam bentuk persamaan linier ,maka

bentuk umumnya adalah :

Qx = a - b.Px

Dimana :

Qx = Jumlah produk X yang diminta

Px = Harga produk X

a dan b = Parameter, dimana parameter b bernilai negatif dikarenakan bahwa

fungsi permintaan mengacu pada hukum permintaan , yaitu : “Jika harga suatu

produk naik (turun) , maka produk yang diminta oleh konsumen akan berkurang

(bertambah) , dengan asumsi variabel lainnya konstan.

Gambar .Kurva Permintaan


14

Contoh Soal :

Sebuah pabrik komponen elektronik menetapkan bahwa produk prosesor yang

diproduksinya jika harganya Rp.10.000,pasar akan terjual 1000 unit ,dan jika harganya

turun menjadi Rp.7500 maka akan terjual 2000 unit.Tentukan fungsi permintaan dan

gambarkan grafiknya.

Penyelesaian :

Diketahui : P1 = 10.000 , P2 = 7.500 , Q1 = 1000 , Q2 = 2000

=

=

(Q – 1000) = (P – 10000)

(Q – 1000) = (P – 10000)

(Q – 1000) = 4000 - P

Q = 5000 - P atau

Q + 2/5P – 5000 = 0


15

Gambar Kurva Permintaan :

Fungsi Penawaran

Sedangkan fungsi penawaran menghubungkan antara variabel harga dan variabel jumlah

(barang/jasa) yang ditawarkan.Variabel lain yang yang sangat mempengaruhi jumlah yang

ditawarkan oleh produsen menurut ahli ekonomi ada 5 variabel utama yaitu :

1) Harga Produk tersebut

2) Tingkat teknologi yang tersedia

3) Harga dari faktor faktor produksi yang dipakai

4) Harga produk lain yang berhubungan dalam produksi

5) Harapan pra produsen terhadap harga produk tersebut di masa depan

Secara matematis hubungan fungsional antara jumlah produk yang ditawarkan oleh

produsen dengan kelima variabel bebas yang mempengaruhinya dapat ditulis sebagai

berikut :

Q sx,t = f(Px,t , Tt, PF,t , PRt ,Pex,t+1)

Dimana :

Q sx,t = Jumlah produk X yang ditawarkan oleh produsen dalam periode t

Px,t = Harga produk X pada periode t


16

Tt = Teknologi yang tersedia dalam periode t

PF,t = Harga faktor faktor produksi pada periode t

PR,t = Harga produk lain yang berhubungan dalam periode t

Pex,t+1 = Harapan produsen terhadap harga produk dalam periode t+1

Fungsi penawaran di atas dapat disederhanakan lagi dengan menganggap variabel dari

harga produk tersebut yang saling berpengaruh , sedangkan keempat variabel lainnya

dianggap konstan.Jadi fungsi penawarannya adalah :

Qsx = g(Px)

Dimana :

Qsx = Jumlah produk X yang ditawarkan

Px = Harga produk X

Dan apabila persamaan di atas ditransformasikan ke dalam bentuk persamaan linier ,maka

bentuk umumnya adalah :

Qsx = a + b.Px

Gambar Kurva Penawaran


17

Dalam bentuk persamaan di atas terlihat bahwa variabel P (harga) dan variabel Q

(jumlah) mempunyai tanda yang sama, yaitu sama-sama positif. Ini mencerminkan hukum

penawaran, bahwa apabila harga naik jumlah yang ditawarkan akan bertambah dan

apabila harga turun jumlah yang ditawarkan akan berkurang. Gerakan harga searah

dengan gerakan jumlah, oleh karena itu kurva penawaran berlereng positif.

Dalam menggambarkan kurva permintaan dan kurva penawaran sebetulnva dibenarkan

meletakkan variabel harga (P) pada sumbu horizontal dan variabel jumlah (Q) pada sumbu

vertikal. .Jadi tidak harus variabel harga ditempatkan pada sumbu vertikal dan variabel

jumlah pada sumbu horizontal, sebagaimana dicontohkan di atas. Akan tetapi terdapat

semacam tradisi menempatkan P pada sumbu horizontal, dan uraian-uraian di dalam

diktat ini mengikuti tradisi tersebut.

FUNGSI KESEIMBANGAN PASAR

Pasar suatu macam barang dikatakan berada dalam keseimbangan (equilibrium)

apabila jumlah barang yang diminta di pasar tersebut sama dengan jumlah barang yang

ditawarkan. Secara matematik dan grafik hal ini ditunjukkan oleh kesamaan Qd = Qs yakni

pada perpotongan kurva permintaan dengan kurva penawaran. Pada posisi keseimbangan

pasar ini tercipta harga keseimbangan (equilibrium price) dan jumlah keseimbangan

(equilibrium quantity).

Syarat untuk mencapai keseimbangan pasar adalah jumlah produk yang diminta

oleh konsumen harus sama dengan jumlah produk yang ditawarkan oleh produsen Qd = Qs

atau harga produk yang diminta sama dengan harga produk yang ditawarkan (Pd = Ps)

Rumus Keseimbangan Pasar :

Qd = Qs

Dimana :

Qd = Jumlah permintaan

Qs = Jumlah penawaran


18

E = Titik keseimbangan pasar

Pe = Harga keseimbangan

Qe = Jumlah keseimbangan pasar

Contoh Soal :

Fungsi permintaan dan penawaran dari sebuah produk yang dihasilkan oleh sebuah

produk sebagai berikut :

Qd = 6 – 0,75 P dan Qs = -5 + 2P

a) Berapakah harga dan jumlah keseimbangan pasar ?

b) Tunjukkan secara geometri keseimbangan pasar produk tersebut !

Penyelesaian :

a) Syarat keseimbangan pasar Qd = Qs , maka :

6 – 0,75 P = -5 + 2P

-2,75P = -11

P = 4

Gambar Kurva Keseimbangan Pasar


19

Substitusikan nilai P = 4 ke salah satu persamaan baik permintaan atau penawaran :

Q = 6 – 0,75 (4)

= 6 – 3 = 3

Jadi harga dan jumlah keseimbangan E (3,4)

b) Menggambarkan grafik keseimbangan pasar

Untuk fungsi permintaan Q = 6 – 0,75P

Jika P = 0 , maka Q = 6 ,sehingga titik potong dengan sumbu Q adalah (6 , 0)

Jika Q = 0 , maka P = 8 , sehingga titik potong dengan sumbu P adalah (0 , 8)

Untuk fungsi penawaran Q = -5 + 2P

Jika P = 0 , maka Q = -5 , sehingga titik potong dengan sumbu Q adalah (-5, 0)

Jika Q = 0 , maka P = 2,5 , sehingga titik potong dengan sumbu P adalah (0 , 2,5)

Grafik keseimbangan pasar ditunjukkan dengan gambar :


20

PENGARUH PAJAK TERHADAP KESEIMBANGAN PASAR

Penjualan atas suatu produk biasanya dikenakan pajak oleh pemerintah dan jika

produk tersebut dikenakan pajak per unit ,maka akan terjadi perubahan keseimbangan

pasar atas produk baik harga ataupun jumlah keseimbangan.

Jika pemerintah mengenakan pajak t per unit pada produk tertentu akan mengakibatkan

harga produk tersebut naik dan jumlah yang diminta atau ditawarkan atas barang tersebut

akan berkurang.Hal ini disebabkan karena produsen biasanya mengalihkan tanggungan

pajaknya sebagian kepada konsumen yang membeli produk tersebut.

Jika fungsi permintaan :

P = f(Q)

Fungsi penawaran sebelum dikenakan pajak t per unit adalah :

P = F(Q)

Dan dungsi penawaran setelah dikenakan pajak t per unit adalah :

Pt = F(Q) + t

Maka keseimbangan pasar yang baru Et (Qt,Pt) didapat dengan memecahkan persamaan :

P = f(Q) dan P = F(Q) + t

Keseimbangan pasar mula mula E (Qe , Pe) didapat dengan memecahkan persamaan

P = f(Q) dan P = F(Q) + t


21

Keseimbangan pasar mula mula dan keseimbangan pasar setelah kena pajak dapat dilihat

pada gambar dibawah :

Secara geometris , pajak yang dikenakan oleh pemerintah sama dengan menggeserkan

kurva penawaran mula mula ke atas setinggi t per unit .

Fungsi penawaran setelah pajak dinyatakan dengan persamaan :

P – t = F (Q)

Dan jumlah yang ditawarkan :

Q = G (Pt – t )

Keseimbangan pasar setelah kena pajak dapat diperoleh dengan persamaan :

Permintaan : P = f(Q)

Penawaran : q = G (Pt – t )

Penerimaan pajak total oleh pemerintah adalah :

T = t.Qt

Dimana T = Jumlah penerimaan pajak oleh pemerintah

Qt = Jumlah keseimbangan setelah dikenakan pajak

t = Pajak per unit produk


22

CONTOH SOAL :

Jika fungsi permintaan suatu produk ditunjukkan oleh P = 15 – Q dan fungsi penawaran P =

0,5 Q + 3 .Terhadap produk tersebut dikenakan pajak oleh pemerintah sebesar Rp.300 per

unit

a) Berapakah harga dan jumlah keseimbangan pasar sebelum dan sesudah kena pajak ?

b) Berap besar penerimaan pajak total oleh pemerintah ?

c) Berapa besar pajak yang ditanggung oleh konsumen dan produsen ?

d) Gambarkan harga dan jumlah keseimbangan sebelum dan setelah pajak dalam satu

grafik !

Penyelesaian :

Jika : Pd = Ps , maka 15 – Q = 0,5 Q + 3

-1,5 Q = -12

Q = 8 maka P = 15 – 8 = 7

Jadi keseimbangan pasar sebelum kena pajak : E (8 , 7)

Keseimbangan setelah pajak :

Permintaan Pd = 15 – Q

Penawaran setelah pajak : Pst = 0,5 Q + 3

Pst = 0,5 Q + 3 + 3 = 0,5 Q + 6

Jika Pd = Pst , maka 15 – Q = 0,5 Q + 6

-1,5 Q = -9

Q = 6 , maka P = 15 – 6 = 9

Jadi keseimbangan pasar setelah kena pajak Et (6 , 9)

b) Penerimaan pajak total oleh pemerintah ,

T = t . Qt = 3 . 6 = 18

c) Besarnya pajak yang ditanggung oleh konsumen :

T = (9 – 7) (6) = 12

d) Besarnya pajak yang ditanggung oleh produsen :

T = 18 – 16 = 6 atau (7 – 6).(6) = 6

Grafik Keseimbangan pasar setelah kena pajak ini ditunjukkan oleh gambar berikut :


23

Documents

MATEMATIKA BISNIS II - · PDF file2 BAB I FUNGSI Pengetahuan dan ... MATEMATIKA BISNIS II – M RIZA RADYANTO, S.T,M.T ... PENERAPAN FUNGSI LINIER DALAM ILMU EKONOMI Pendahuluan