Математика

МатематикаЗбирка задатаказа 5. разред основне школе

Небојша ИкодиновићСлађана ДимитријевићСања МилојевићНенад Вуловић

за разред основне школе

Небојша ИкодиновићСлађана Димитријевић

Сања МилојевићНенад Вуловић

МатематикаISBN 978-86-7762-123-0

9 788677 621230

МА

ТЕМ

АТИ

КА

ЗБ

ИР

КА

ЗА

ДА

ТАК

АЗ

А 5

. Р

АЗ

РЕ

Д О

СН

ОВ

НЕ

ШК

ОЛ

Е

З Б И Р К А

ЗАДАТАКА

З Б И Р К А

ЗАДАТАКА

Небојша Икодиновић • Слађана Димитријевић Сања Милојевић • Ненад Вуловић

Математика 5Збирка задатака са решењима

Математика 5Збирка задатака са решењиматреће издање

Аутори: др Небојша Икодиновић, мр Слађана Димитријевић Сања Милојевић, Ненад Вуловић

Рецензенти: проф. др Радосав Ђорђевић, Природно-математички факултет у Крагујевцудоц. др Бранислав Поповић, Природно-математички факултет у КрагујевцуЗорица Станковић, професор математике, ОШ „Мома Станојловић“ у Крагујевцу

Графичко обликовање: „Total idea“, Нови СадОбликовање корица: Милош АризовићПрелом: Игор БолтаЛектура: Јасна Аничић

Издавач: Издавачка кућа „Klett“ д.о.о.Светозара Ћоровића 15/IV, 11 000 БеоградTeл.: 011/3348-384, факс: 011/3348-385o� ce@klett.rs, www.klett.rs

За издавача: Гордана Кнежевић-ОрлићУредник: Александар РајковићШтампа: Ротографика, СуботицаТираж: 20.000 примерака

Министар просвете Републике Србије одобрио је издавање и употребу овог уџбеника у петом разреду основног образовања и васпитања решењем број 650-02-00268-5/2007-06.

Забрањено је репродуковање, дистрибуција, објављивање, прерада или друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму или поступку, укључујући фотокопирање, штампање или чување у електронском облику, без писмене дозволе издавача. Наведене радње представљају кршење ауторских права.

© Klett, 2010.

ISBN 978-86-7762-123-0

3

ПРЕДГОВОР

Ова збирка задатака је део уџбеничког комплета за пети разред издавачке куће KLETT. Састоји се из 7 целина у којима су задаци разврстани у складу са наставним јединицама и прате начин и динамику излагања у уџбенику.

На почетку збирке дат је кратак преглед задатака о скупу природних бројева које су ученици већ радили у нижим разредима. Трудили смо се да задаци у овом делу буду разнолики (по типу, захтевима и тежини захтева) и да омогуће свеобухватно обнављање већ усвојених садржаја.

Састављајући задатке, жеља нам је била да баш сваки ученик може да усвоји бар основне делове сваке наставне јединице. Због тога су почетни задаци у сваком поглављу предвиђени као репродукција основних знања и вештина. Код оваквих задатака обично је предвиђено да ученици самостално уписују решења директно у збирку. На тај начин збирка има делимчно радни карактер. Тако ће код сваког ученика бити створен осећај успеха, који ће, надамо се, представљати изазов за решавање наредних, све тежих задатака. Такође, постоје задаци који су типски за одређене области, па је код оваквих задатака решење, делимичнo или у целости, дато непосредно после поставке задатка. За све остале задатке, решења се налазе на крају сваког поглавља.

На крају сваке целине налази се кратак тест. Намера нам је била да понудимо ученицима могућност да сами провере у којој мери су савладали одговарајућу целину.

Уз захвалност рецензентима на сугестијама и саветима који су збирку учинили бољом, свим решаваоцима задатака, њиховим професорима, па и родитељима који желе да помогну својој деци, желимо пуно успеха у раду.

Аутори

4

САДРЖАЈ

Скупови. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Скуп природних бројева – обнављање . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 29Појам скупа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 32Операције са скуповима . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 34Изрази са више скуповних операција. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 36Скуп природних бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 37Изрази са променљивом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 39Тест. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Геометријски објекти . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Основни геометријски појмови . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 51Делови праве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 52Делови равни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 53Многоугао . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 55Конвексност. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 57Кругови и кружнице . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 57Тест. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Дељивост . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Појам дељивости, делиоци и садржаоци. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 73Дељивост декадним јединицама и бројевима 2, 5, 4 и 25 . . . . . . . . . . . 60 73Дељивост бројевима 3 и 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 74Прости и сложени бројеви . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 75Највећи заједнички делилац . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 76Најмањи заједнички садржалац . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 77Тест. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Угао . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Појам угла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 93Кружни лук и тетива . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 94Упоређивање углова. Надовезивање углова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 94Врсте углова. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 95Мерење углова. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 97Углови на трансверзали . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 99Тест I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Тест II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Разломци I део . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Појам разломка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 119Проширивање и скраћивање разломака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104 120Упоређивање разломака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 123Сабирање разломака једнаких именилаца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 125Врсте разломака. Мешовити бројеви . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 126Децимални запис разломка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 126Приближна вредност броја . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 128Бројевна полуправа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 129Тест. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5

Разломци II део . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Сабирање и одузимање разломака једнаких именилаца . . . . . . . . . . 131 150Сабирање и одузимање разломака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 151Сабирање и одузимање децималних бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 153Својства сабирања . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 155Једначине . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 155Неједначине. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 156Тест. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Разломци III део . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Множење и дељење разломака природним бројем . . . . . . . . . . . . . 157 178Множење разломака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 178Дељење разломака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 180Својства множења и дељења . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 181Множење децималних бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 183Дељење децималних бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 183Бројевни изрази . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 184Једначине . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 186Неједначине. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 188Аритметичка средина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 190Размера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 191Проценти. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 192Тест. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

Осна симетрија . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193Појам осне симетрије . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 203Осна симетричност једне фигуре. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 205Симетрала дужи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 206Симетрала угла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 207Тест. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

6

КАКО ћЕШ КОРИСТИТИ ОВУ ЗбИРКУ ЗАДАТАКА(упутство за ученике)

На почетку сваке лекције су једноставни задаци у којима на предвиђена места треба уписати бројеве или слова. Наводимо три таква примера:

Ако је дата табела бројева, прво рачунај у свесци па резултате упиши на одговарајућа места у табели.

Ако треба нешто да се нацрта или обоји, онда то одмах уради у збирци.

Највише је задатака које ћеш радити у свесци. Један такав је:

Када самостално урадиш задатак, провери решење у збирци. Црвеном бојом, поред стране на којој се налазе задаци, означена је страна на којој се налазе решења. На пример, задаци из лекције Упоређивање разломака налазе се на 107. страни, а решења на 123. страни. Желимо ти много успеха у раду!

Аутори

7

СКУПОВИ

1. Запиши цифрама следеће бројеве: 1) двадесет три хиљаде шестсто педесет осам; 2) осам милијарди; 3) милион двадесет; 4) три милиона петнаест хиљада шест; 5) седамнаест хиљада један; 6) шестсто милиона шездесет хиљада шест.

2. Одреди колико следећи бројеви имају јединица, десетица, јединица хиљада, стотина хиљада и јединица милиона:

728 531 1 004 007 2 805 13 905 8 005 501 347

јединица

десетица

јединица хиљада

стотина хиљада

јединица милиона

3. Напиши број који има тачно: 1) 5 јединица, 6 десетица и 3 јединице хиљада; 2) 6 стотина, 3 десетице хиљада, 7 јединица и 8 јединица хиљада; 3) 12 десетица и још 13 јединица хиљада и још 18 стотина и још 123 јединице.

4. Којa су тврђења тачна: 1) 1 2871287 1278£1 287; 2) 1 287 = 1 287; 3) 1 2871287 12871 287?

5. Између бројева стави један од знакова £ или тако да посматрана тврђења буду тачна:

1) 304 427 340 427; 2) 222 483 222 384; 3) 405 324 45 998; 4) 143 889 54 998.

6. Одреди све природне бројеве који задовољавају неједнакости: 1) 172 x<> x; 2) xx 362< ; 3) 1 993 < x 1993 x 2 000< £ ; 4) 5 243 x 3 425 x 3 425.

7. Одреди месну вредност сваке цифре у следећим бројевима: 1) 23 456; 2) 24 547; 3) 576 576 ; 4) 333 000; 5) 99 999.

8. Запиши бројеве у облику збира производа декадне јединице и једноцифреног броја: 1) 38 947; 2) 15 035; 3) 100 700; 4) 5 030; 5) 77 007.

9. Запиши једним бројем сваки од следећих израза: 1) 3 10 000 5 1000 7 100 8 10 1 1 ; 2) 8 100 000 6 1000 3 100 2 10 9 1 ; 3) 1 100 000 2 1000 5 10 3 1; 4) 3 100 5 1000 2 10 8 10 000 ; 5) 9 10 000 1000 7 100 3 2 10 ; 6) 100 3 7 10 000 10 4 1000 6 .

СКУП ПРИРОДНИХ БРОЈЕВА – ОБНАВЉАЊЕ

8

10. Попуни табелу:

претходник 4 699 2 008 999 999

број 2 508 1 000 1 12 999

следбеник 1 300 5 001

11. Одреди разлику следбеника и претходника броја: 1) 1 799; 2) 8 000; 3) а.

12. Колико има природних бројева између: 1) 3 438 и 3 466; 2) 7 990 и 8 004; 3) природног броја а и природног броја b?

13. Колико има: 1) једноцифрених, 2) двоцифрених, 3) петоцифрених, 4) осмоцифрених бројева? Колико је међу њима парних, а колико непарних бројева?

14. 1) Којим цифрама се завршавају парни, а којима непарни природни бројеви? 2) Напиши најмањи непаран и највећи паран петоцифрени број. 3) На фудбалском дербију је 24 837 навијача. Да ли је могуће да је на стадиону једнак

број навијача и једне и друге екипе? Објасни зашто.

15. Колико има троцифрених бројева који се пишу само цифрама 3, 4 и 7 и цифре се не понављају?

16. Колико има четвороцифрених бројева који се пишу помоћу цифара: 1) 1 и 2, 2) 0, 4 и 6?

17. Колико има четвороцифрених бројева који се пишу помоћу цифара 0, 1, 5, 6 и 8 ако се цифре: 1) не могу понављати, 2) могу понављати?

18. Колико има бројева између 415 748 и 457 294 који се пишу помоћу цифара 0, 2, 4, 5, 8 и 9 ако се цифре не понављају?

19. Одреди најмањи и највећи четвороцифрени број чије су све цифре различите и парне.

20. Одреди највећи и најмањи паран седмоцифрени број у чијем запису нема цифара 5, 6 и 8 и у коме се свака цифра може јавити највише два пута.

21. Које цифре могу стајати уместо D тако да неједнакости буду тачне? 1) 623 950 662 < 623 9 D 8 662; 2) 337 615 546 641 > 33 D 615 546 164; 3) 423 613 976 < 423 614 9 D 6; 4) 46 912 773 648 > D 6 002 300 800.

22. Збир цифара броја 1 142 је 1 1 4 2 10+ + + =8, а производ цифара је 1 1 4 2 8 = 1 1 4 2 8 = . Попуни табелу.

број 23 111 4 098 7 1 000 23 115 0збир цифара

производ цифара

23. Колико има четвороцифрених бројева чији је: 1) збир цифара 3, 2) производ цифара 2?

24. Израчунај збир свих троцифрених бројева чији је збир цифара 5.

9

25. Израчунај разлику четвороцифреног броја чији је производ цифара 1 и највећег троцифреног броја чији је збир цифара 19.

26. Попуни укрштеницу.

1 2 3 4 5 6 7 8

9 10

11 12 13

14 15

16 17 18 19

20 21 22 23

24 25

26 27

28 29 30

ВОДОРАВНО

1) 100 2 4 1000 10 3 + + 5) 9) 249 23 28+ 10) најмањи број 67. десетице11) 79 8 2 222 : 22 --79 8 2 222 : 22 -12) број који има 55 јединица хиљада, и још

37 десетица и 12 јединица14) 2 2 2 2 2 2 15) 625 15 12 30 + 16) претходник броја 817) најмањи паран број18) збир цифара броја 12 02119) најмањи природан број20) производ збира и разлике бројева

64 и 2823) највећи двоцифрени број чији је збир

цифара 824) 20 227 20 230 20 233 20 225+ + +25) 2 47 3

26) који је по реду дан 18. октобар у години која није преступна

27) најмањи троцифрен број чији је збир цифара 6

28) 30) број коме је 2 цифра стотина, 4 цифра

јединица, 9 цифра јединица хиљада и 6 цифра десетица

УСПРАВНО1) 2) највећи број треће хиљаде чији је збир

цифара 18, а цифра јединица 43) следбеник следбеника броја 3294) елемент скупа N

0, а није елемент скупа N

5) 6) 7) најмањи непаран број који се пише

цифрама 4, 5, 6 и 88) решење једначине x x : 2 31 33712) најмањи двоцифрен број чији је

производ цифара 4513) ( )17) 1 23 916 35253 019) најмањи паран број састављен од

цифара 0, 1, 2, 4 и 520) 772 773 774 775+ + +21) 9 999 : 90922) претходник следбеника броја 2523) број који се добија када се у броју

6 808 цифре највеће и најмање месне вредности замене

24) -25) највећи паран троцифрен број написан

цифрама 1 и 2 чији је збир цифара 529) најмањи број чији је збир и производ

цифара 430) највећи једноцифрени број

27. Упиши бројеве 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77 и 99, тако да квадрат буде „магичан“.

88

10

28. Постави заграде тако да једнакости буду тачне: 1) 16 4 2 8 : 4 10 18+ - + = ; 2) 12 : 3 24 20 : 4 6 2 : 2 5+ - + - = .

29. Дешифровати сабирања ако истим словима одговарају исте, а различитим различите цифре: 1) 2) 3) 4)

30. У троугао и око троугла уписани су бројеви тако да је збир два суседна поља у троуглу уписан на одговарајуће место ван троугла (види прву слику). На исти начин попуни празна места.

Урађени пример. 1) 2) 3)

AAAAB

BBB

+

BACACBCBA

ABBC

+

ABCABCCBA

BBB

+

ACA

ACAMACA

CMCC

+

31. 1) Бројеве 172, 389, 394, 927, 1 728, 755 заокругли на најближу десетицу. 2) Бројеве 1 820, 2 770, 8 190, 28 110, 36 180, 12 450 заокругли на најближу стотину. 3) Заокругљивањем бројева на најближу десетицу или стотину процени резултате

сабирања: 328 + 421, 473 + 899, 5 238 + 424, 2 492 + 1 123, 7 777 + 9 999.

32. Станко је са баком отишао на пијацу. Поред једне тезге видео је натпис да за купљена 3kg спанаћа добијају још 1kg бесплатно. Ако спанаћ кошта 53 динара по килограму, колико су Станко и бака донели кући спанаћа ако су га укупно платили 424 динара? Колико би спанаћа донели да су га платили два пута више?

33. Странице правоугаоника су a и b. Одреди све могуће вредности за обим и површину правоугаоника ако страница a може имати вредности 3 или 4, а страница b може имати вредности 1, 2 или 6.

34. Марко је купио свеске од 60 и 80 листова. Сваки лист обе свеске почео је да нумерише бројевима 1, 2, 3,... док није стигао до последње стране обе свеске. Колико цифара је употребио да би нумерисао обе свеске?

35. Славица живи у улици у којој има 34 куће са леве и 72 куће са десне стране. Куће на левој страни су нумерисане непарним бројевима почевши од броја 1, а са десне стране парним бројевима почевши од броја 2. Колико је цифара употребљено за нумерацију кућа у Славичиној улици? Колико је кућа нумерисано троцифреним бројевима?

11

37. Испод сваке колоне уписан је збир бројева из те колоне, а поред сваке врсте производ бројева из те врсте (види слику). Упиши бројеве тако да важи:

2 3 1 6 6 9

4 2 5 40 20 8

3 6 2 36 1 35

9 11 8 9 3 7 8 8 11

38. Који од следећих низова је низ природних бројева? Како би описао остале? 1) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... ; 2) 2, 4, 6, 8, 10, ... ; 3) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...; 4) 1, 3, 5, 7, 9, ... .

36. Уместо звездица стави одговарајуће цифре тако да рачун буде тачан:

1) 2)3 15

1

3 15

1

2 7

0

3 6

2 7

0

3 6

0

2 7

0

3 6

2 7

0

3 6

39. Уочи правило и допиши бројеве који недостају:

1) 2) 3 240 1 076 253 1

2 852 2 164

1 226

815 1 019

308 507 450

40. Уочи правило и одреди следећа три члана низа: 1) 31, 50, 69, 88, 107, 126, 145, ... 4) 1, 3, 7, 13, 21, 31, 43, ... 2) 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... 5) 2, 3, 6, 11, 18, 27, 38, ... 3) 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... 6) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

ПОЈАм СКУПА1. Опиши речима своство помоћу којег је образован скуп:

1) А={понедељак, уторак, среда, четвртак, петак, субота, недеља}; 2) В={Европа, Азија, Африка, Јужна Америка, Северна Америка, Аустралија, Антарктик}

2. Набрајањем елемената запиши скупове које чине: 1) имена четири твоја друга или другарице; 2) слова речи „школа“; 3) самогласници у српском језику; 4) првих пет слова абецеде.

3. Набрајањем елемената запиши скупове које чине: 1) природни бројеви мањи од 7; 2) бројеви треће десетице; 3) непарни бројеви између 15 и 23; 4) непарни бројеви мањи од 30, дељиви са 5.

4. Набрајањем елемената запиши скупове које чине: 1) двоцифрени бројеви чија је збир цифара 6 A={60, 51, ____, ____, ____, ____}; 2) троцифрени бројеви чији је збир цифара 3 B={300, ____, ____, ____, ____, ____}; 3) двоцифрени бројеви код којих је збир цифара већи од 15 C={79, ____, ____, ____, ____, ____}; 4) двоцифрени и троцифрени бројеви чији је производ цифара 2 D={12, ____, 112, ____, ____}; 5) двоцифрени бројеви код којих је цифра десетица за 3 већа од цифре јединица E={30, 41, ____, ____, ____, ____, ____}.

12

5. Набрајањем елемената запиши скупове које чине: 1) сви двоцифрени бројеви који се могу записати коришћењем цифара 2, 5 и 7 A={22, 25, 27, ____, ____, ____, ____, ____, ____}; 2) сви троцифрени бројеви који се могу записати цифрама 3, 0 и 1 B={100, 101, 103, ____, ____, ____, ____, ____, ____, 300, 301, 303, ____, ____, ____,

____, ____, ____}.

6. Која од следећих тврђења су тачна?1) 2 је елемент скупа { 5, 1}; 2) запета је елемент скупа { a, b, c, d, e, f };3) 12 није елемент скупа { 1, 2, ..., 99, 100}.

7. Дати су скупови А={1, 2, а, b, 3} и В={c, d, 4, 5, e}. На линијама стави један од знакова Î или тако да тврђења буду тачна.

4 ___ А, 2 ___ А, 3 ___ В, с ___ А,а ___ А, е ___ В, b ___ В, 5 ___ В.

8. Нацртај Венов дијаграм за скуп М ако је:

1) М={7, 14, 21}; 2) М={11, 33, 55, 77, 99}; 3) М={ , , , , D };4) aÎM, bÎM, cÎM, dÎM и скуп М нема других елемената осим набројаних;5) sÎM, gM, hÎM, pÎM, dM, f M и скуп М нема других елемената осим набројаних.

9. Нацртај Венов дијаграм за скуп чији су елементи бројеви седме десетице дељиви са 3.

10. Запиши набрајањем елемената скуп дат Веновим дијаграмом.

11. Запиши набрајањем елемената скупове дате Веновим дијаграмима.

13

12. На основу Веновог дијаграма са слике десно стави један од знакова Î или тако да тврђења буду тачна.1___Р, 210___Р, 12___Р, 102___Р, 1 222___Р, 21___Р, 2___Р.

13. Запиши навођењем елемената и Веновим дијаграмом следеће скупове:1) K={ x | xÎN и x < 5}; 2) L={ n | nÎN₀ и n £ 7}; 3) G={ s | sÎN и 4 £ s < 5};4) D={ d | dÎN₀ и d + 4 £ 7}; 5) S={ a | aÎ N и a је паран број пете десетице}.

14. Скуп P={a, e, и, о, у} можемо записати, описујући елементе, овако: P={ x | x је самогласник}.

Запиши описујући елементе и Веновим дијаграмом следеће скупове:1) A={2, 4, 6, 8, 10}; 2) B={11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99};3) C={123, 132, 213, 231, 312, 321}; 4) D={11, 15, 17, 51, 55, 57, 71, 75, 77}.

15. Описујући елементе, као у претходном задатку, запиши скуп природних бројева:

1) који су мањи од 700 2) који су већи од 15A={ x | xÎN и x < _______ }; B={ x | xÎN и ______ };

3) који су мањи од 378, а већи од 111 4) који су парни и мањи од 88A={ x | xÎN и _______ < x < _______ }; D=_____________________________;

5) који су решења неједначине а + 16 < 163E=_____________________________.

16. Која су од следећих тврђења тачна?1) 0ÎР , ако је P={r | rÎN и r < 4};2) 201ÎV , ако је V={x | xÎN₀ и x > 200}; 3) 4ÎR , ако је R={k | k ÎN и k + 3 > 7};4) DÎG , ако је G={g | g је геометријска фигура}.

17. Одреди елементе следећих скупова:1) А је скуп свих природних бројева мањих од 5, а већих од 7;2) Е је скуп свих бројева који су решења једначине xx 0 2 = ;3) С је скуп свих троцифрених бројева који се пишу само цифром 0.

18. Која су од следећих тврђења тачна?1) {x | x je број осме стотине и x се пише само цифрама 2, 3 и 8}=Æ;2) {n | n je број девете стотине и n се пише само цифрама 2, 3 и 8}=Æ;3) {k | k je број прве стотине и k је број који почиње цифром 2}=Æ.

19. Дат је скуп А={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Који су од следећих скупова подскупови скупа А: В={1, 3, 5}, C={1}, D={2, 4, 6, 8}, E={0, 1}, F= Æ , G={1, 2, 3, 4, 5, 6}, H={123}.

14

20. Одреди скупове А и В и утврди да ли је ВА:

21. Дат је скуп А={a, b, c, d, e, f}. Која су од следећих тврђења тачна?1) aÎA; 2) gA; 3) {b, e}A; 4) {c, f }A; 5) {a}ÎA;6) dA; 7) { f }A; 8) {e, f }A; 9) {d, b, f, a, e, c}ÎA.

22. Нека је А било који скуп. Која су од следећих тврђења увек тачна?1) АА; 2) 1ÎА; 3) ÆА; 4) ÆÎА; 5) А Æ .

23. Одреди све подскупове скупова: 1) А={3}; 2) B={2, 5}; 3) C={3, 6, 9}; 4) D={x | xÎ N и 6x6 x 24 £ }.

24. Дат је скуп Е={5, 55, 555, 5 555}. Одреди све: 1) једночлане подскупове; 2) двочлане подскупове; 3) трочлане подскупове.

25. Да ли су једнаки скупови: 1) A={1, 2} и B={2, 1}; 2) C={n, a, d} и D={s, a, n}; 3) E={m, e, t, a, r} и F={t, r, e, m, a}; 4) G={K, R, E, D, A} и H={d, r, e, k, a}.

26. Одреди који скупови су међусобно једнаки: A={ A 1, 2, 1, 2= }; B= { B 1, 2, 2= }; C={x | xÎN и x £ 3};

D={ D 1, 2, 12= }; E= { E 3, 3, 1, 3, 2= }; F={1, 23}.

27. Ако је Е = {1, 2,12, 23,123, 234} и Н = {234,123,1, x,12, 2} , одреди вредност променљиве х тако да је: 1) Е=Н; xx ____=2) НЕ. xx ____= или xx ____= или xx ____= или xx ____= или xx ____= или xx ____=

28. Одреди вредности променљивих p и q тако да важи:1) {1, 3, 5}={3, p, q}; pp ___= и qq ___= или pp ___= и qq ___=

2) {21, 49, p}={7, q, 49}; pp ___= и qq ___=

3) {2, 5, 8} {2, 4, p, q}; pp ___= и qq ___= или pp ___= и qq ___=

4) {6, 26, q} {26, p}. pp ___= , а qq ___= или qq ___=

15

29. Одреди вредности променљивих x и y тако да скупови А, В и С буду једнаки, ако је:

А={ 1,3,5,7,9}, В={ 5,9,x,1,7} и С ={ 1,7,9,y,5,3}.

30. Скуп K чине слова имена Јован, а скуп L слова имена Јована. Запиши елементе ова два скупа и одреди број њихових елемената. Које је од следећих тврђења тачно: KL, K=L или LK?

31. Два скупа која имају различити број елемената не могу бити једнака. Запиши два скупа која имају исти број елемената, а нису једнака.

32. Одреди број елемената скупa А ако je: 1) А={1, 2, 33}; 2) A={1, 1, 1, 1}; 3) A={5, 15, 55, 555, 5, 55};4) A={2, 4, {2}}; 5) A={1, 1, {2, 3, 4, 5}}; 6) A={{1, 2}}.

33. Одреди број елемената скупа С ако је: 1) С ={x | xÎN и x < 7 342}; 2) С ={x | xÎN и x је двоцифрен број};3) C={ p | pÎN₀ и 483 < p < 841}; 4) C={g | gÎN₀ и g+22 < 51}.

34. Који од скупова A, B, C, D, E, F и G имају исти број елемената: A={a, b, c}, B={a, a, c}, C= Æ , D={a, {b, c}}, E={ Æ }, F={{a, b, c}}, G={a, {a}, A}?

35. Одреди елементе и број елемената скупа С ако је:1) А={1, 2, 2, 3, 4, 5}, B={10, 11, 12, 13, 13, 14} и С={c | c NÎ N и c=b-a, aÎA, bÎB}2) A={8, 9, 10, 11, 12}, B={b | b 0NÎN₀ и } и С={c | c 0NÎN₀ и c=a : b, aÎA, bÎB}3) А={a | a NÎ N, или }, B={b | b NÎN и b-2ÎA}, C={c | c NÎN и c-5ÎB}

36. Одреди вредности променљивих z, r и s знајући да за скупове M={2, 4, 6, 8}, K={4, 6, s} и L={2, 4, z, r} важи:

1) K L, n(L)=3; 2) L M, n(L)=2; 3) L M, n(L)=3; 4) L=M.

ОПЕРАцИЈЕ СА СКУПОВИмА1. За задате скупове А и В одреди А В ако је:

1) А={1, 2, 3}, B={2, 3, 4}; 2) А={2, 4, 6, 8, 10}, B={3, 6, 9, 12}; 3) А={a, b, c, d}, B={d, b, a, c}; 4) А={p, p, p, q, r, q}, B={r, r, p, p}; 5) А скуп слова имена Бранислав, а В скуп слова имена Бранимир; 6) А ={n | nÎN и x £ 7}, B={x | xÎN₀ и 5 £ x < 9}; 7) А={x | xÎN и x <13}, B={x | xÎN и x > 10}; 8) A={p | pÎN и p > 41}, B={q | qÎN и q > 30}; 9) А= Æ , B={ Æ }.

2. На Веновом дијаграму десно шрафирај област дијаграма где уписујемо елементе пресека скупова X и Y.

16

3. На основу Венових дијаграма запиши скупове и њихов пресек.

4. Нацртај Венове дијаграме скупова: 1) O={12, 14, 16, 18} и I={6, 12, 18}; 2) M={7, 17, 27} и N={47, 37, 27}; 3) А={p, e, k, a, r} и B={r, e, k, a}; 4) V= Æ и U={0}; 5) F={x | x је непаран број прве десетице} и G={x | x је паран број прве десетице}. Који су од скупова дисјунктни?

5. Одреди вредности променљивих тако да је: 1) {1, 3, 7, 9} {2, 5, 7, x}= {3, 7}; 2) {2, 3, 5, 7, 11, 13} {3, 5, x, y}= {3, 5, 7, 13}; 3) {a, 5, 12, 36} {4, b, 12, 15}= {4, 36}; 4) {34, 54, 74, 94} {15, g, 67}= Æ ; 5) {7, 15, 21, 38, 41} {9, 23, h, 38, s}= {15, 38}.

6. За задате скупове Q и R одреди Q R и број елемената овог скупа ако је: 1) Q={1, 3, 5}, R={7, 9, 11}; 2) Q={1, 4, 5, 7}, R={4, 6, 7, 10}; 3) Q={12, 23, 34, 45}, R={12, 45}; 4) Q={први}, R={други}; 5) Q скуп слова имена МИРОСЛАВ, а R скуп слова имена СОТИР; 6) Q={x | xÎN и 14 £ x £ 21}, R={x | xÎN и x је паран број друге десетице}; 7) Q={x | xÎN и x > 46}, R={ x | xÎN и xx 100£ }.

7. На Веновом дијаграму десно шрафирај област дијаграма где уписујемо елементе уније скупова X и Y.

9. Зоран и Јован су другови из одељења. Зоран се дружи са Маријом, Тијаном, Јанком, Мирком, Здравком, Петром и Василијем, а Јован са Мирјаном, Јанком, Жељком, Луком, Василијем и Здравком. Одреди унију и пресек скупова имена Зоранових и Јованових другова.

10. Ако је АВ, које су од следећих једнакости увек тачне:1) A B=A; 2) A B=B; 3) A B=A; 4) A B=B;

5) A Æ =A; 6) Æ A= Æ ; 7) AÆ = Æ ; 8) Æ A=A.

8. На основу Венових дијаграма запиши скупове, њихов пресек и унију.

17

11. Одреди елементе скупа Е ако је: 1) P={2, 5, 12, 13}, E P={5}, E P={2, 5, 9, 12, 13, 17}; 2) E {a, b, c, d, e}, E { a, c, d }={a}, n(E)=3; 3) E {5, 36, 59, 117}={5, 26, 36, 59, 84, 117}, n(E)=3.

12. Одреди: 1) n(A B) ако је n(A)=5, n(B)=12 и n(A B)=3; 2) n(A B) ако је n(A)=19, n(B)=17 и n(A B)=23; 3) n(B) ако је n(A)=8, n(A B)=16 и n(A B)=3.

13. Одреди D \ S и S \ D ако је: 1) D={1, 3, 5, 6, 7, 8} и S={2, 4, 7, 8, 9}; 2) D={1, 1, 3, 3, 3, 6, 9} и S={1, 3, 6, 6, 9, 9, 9}; 3) D={маја} и S={м, а, ј, а}; 4) D={3, 12, 22, 32} и S={d | dÎN, d < 100 и d се пиши само цифрама 2 и 3}; 5) D скуп слова речи НАСТАВНИК, а S скуп слова речи УЧЕНИК; 6) D={z | zÎN и 5 £ z5 z 2 8£ - < } и S={m | mÎN, m < 12 и m је дељиво са 4}; 7) D={p | pÎN, p < 1 000, збир цифара броја p је 3} и S={3, 102, 300, 503, 1 200}.

14. На Веновом дијаграму скупова М и Т десно шрафирај сивом бојом област дијаграма где уписујемо елементе скупа М \ T, а црвеном бојом област дијаграма где уписујемо елементе скупа T \ M.

16. Ако је L={z, v, o, n, k, o} и V={k, o, n, v, o, j}, која су од следећих тврђења тачна: 1) {z, v, o, n, o} L V; 2) {j, o, v, o} L V; 3) z Î L \ V.

17. За скупове А={11, 12, 13, 14, 15, 16, 17}, B={12, 13, 15, 16, 17} и C={13, 16}одреди С

А(В), С

А(С) и С

В(С). Одабери произвољне дисјунктне скупове K и L, такве да је

K L=А. У том случају одреди СА(K) и С

А(L).

18. Одреди вредности променљивих тако да је: 1) {12, 17, 41, 55} \ {12, x, 21, 55}={17}; 2) {a, b, 32} \ {8, 11, 52}={4, 32}; 3) {p, 47, 200} \ {13, 18, r}={47}; 4) {14, 15, 16, f} \ {32, 33, 34, t}={14, 15, 16}.

19. Које су од следећих једнакости увек тачне? 1) A \ Æ =A; 2) A \ Æ = Æ ; 3) Æ \ A=A; 4) Æ \ A= Æ .

15. На основу Венових дијаграма запиши скупове, њихов пресек, унију и разлике.

18

20. Ако је HX, које су од следећих једнакости увек тачне? 1) H \ X=H; 2) X \ H= Æ ; 3) H \ X= Æ ; 4) X \ H=X?

21. Ако је S D= Æ , чему је једнако S \ D и D \ S?

22. Доврши попуњавање табеле како је започето:

24. Ако је n(A)=15, а n(B)=7, колико највише, а колико најмање елемената могу имати скупови: 1) A B; 2) A B; 3)A \ B; 4) B \ A?

25. Одреди:1) n(D P) ако је n(D \ P)=4, n(P \ D)=3 и n(D P)=3;2) n(K \ U) ако је n(U \ K)=5, n(K U)=12 и n(U K)=3.

26. Одреди оне елементе које скуп А мора садржати ако је:1) {1, 3, 5} A={1, 2, 3, 4, 5}; 2) А {p, e, t}={p, e, t, a, k};3) A {p, e, t, a, k}={p, e, t}; 4) {2, 3, 4} A={1, 2, 3, 4, 5}.

27. Јадранка и Никола су одлучили да заједно прославе рођендан. Јадранка је позвала 15 другова, а Никола 12. Ако су 5 другова позвали и Јадранка и Никола, колико је укупно гостију позвано?

28. У једном одељењу од 27 ученика свако је морао да се одлучи за учење грађанског васпитања или веронауке. Ако се 14 ученика определило за грађанско васпитање и 17 за веронауку, колико ученика се определило за оба предмета?

23. Одреди елементе скупова А и Е ако је: 1) А Е={1, 3, 14}, A \ E={2, 5, 38}, E \ A={20, 22}

Решење: Како је онда је

А={2, ____, ____, ____, ____, ____}

E={20, ____, ____, ____, ____}

2) A Е={a, d, f }, СA(E)={e, k}

3) А Е={x | xx | x N,ÎN, x x 20< и x је дељиво са 3}, A \ E={6, 15}, E \ A={12}4) А Е={111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222}, A E={111, 222}, A \ E={112, 121, 122}

\

5 3

1

38 1422

19

29. У пошти се налази 115 особа. Њих 24 не шаље ни писма ни разгледнице. Разгледнице су послале 63 особе, а писма 44 особе. Колико особа је послало и писмо и разгледницу, а колико само једно од та два?

30. У једној туристичкој агенцији продају се аранжмани за летовање у Тунису и Египту. У колективу од 109 радника, 37 радника је одлучило да не иде на летовање преко ове агенције. Преостали радници су резервисали 42 аранжмана за Тунис и 34 аранжмана за Египат. Колико радника је резервисало само један, а колико радника оба аранжмана?

31. У европски летњи камп математичара дошло је 73 ученика од којих 38 ученика говори немачки језик, 25 ученика француски, а 12 ученика говори оба језика. Колико ученика не говори ниједан од ова два језика?

ИЗРАЗИ СА ВИШЕ СКУПОВНИХ ОПЕРАцИЈА1. На основу Веновог дијаграма записати елементе скупова P, Q и R.

2. Нацртај Венов дијаграм и одреди скупове А В С и А В С ако је:1) A={1, 4, 7, 11, 14}, B={1, 3, 7, 12}, C={5, 7, 13};2) A={a, s, d, f, g}, B={a, f, g, k}, C={a, d, f, k};3) A={s | s NÎN и s-s 4 5- £ }, B={k | k NÎN, k k 11< и k дељиво са 3}, C={3, 7, 8, 9}.

3. За скупове K={12, 14, 16, 18, 20}, L={13, 14, 15, 16} и S={15, 16, 17, 18, 19} нацртај Венов дијаграм датих скупова и одреди елементе скупова:1) K L S, 2) K L S, 3) (L K) S, 4) (S L) K.

4. Ако је P скуп слова имена Мирко, Q скуп слова имена Славко, а R скуп слова имена Алекса, одреди елементе скупова:1) P (Q R), 2) R (Q R), 3) (R P) (Q P), 4) (Q P) (P R).

5. Нацртај Венов дијаграм скупова A, B и C и одреди елементе скупова:1) (A B) \ C, 2) (B C) \ A, 3) (C A) \ B, 4) (A B) \ C, 5) (B C) \ A, 6) (C A) \ Bако је А={x | x NÎN

0 и }, B={s | s NÎN

0 и } и С је скуп парних

природних бројева прве десетице.

20

7. Осенчи део Веновог дијаграма у који уписујемо елементе скупова:1) G H R, 2) G H R, 3) (G H) R, 4) (G R) \ H,

5) H (R \ G), 6) (R G) (H \ G), 7) (H \ G) \ (R G), 8) (R G) (H\ (G R)),

9) (G R) \ H, 10) (H G) (R \ G), 11) ((G R) \ (R G)) \ H, 12) CG(R) H.

6. За скупове X, Y и Z, дате Веновим дијаграмом десно, одреди елементе скупова:1) (X \ Z) (Y \ Z), 2) (Y \ Z) (Z \ Y),3) (Y \ Z) (Z \ Y), 4) (Y \ Z) \ (X Y),5) (Z X) \ СY(Х), 6) (Z (X \ Y)) (Y \ Z).

8. Запиши користећи скуповне операције означене деловe Венових дијаграма како је започето:

област I: A \ (B C) област V: _________________област II: (А В) \ С област VI: _________________област III: _________________ област VII: _________________област IV: _________________

21

9. Опиши обојене делове Венових дијаграма као што је започето:

10. Одреди елементе скупа А ако је A B C={4, 5, 6, 7, 8, 9} и (B C) \ A={4, 8, 9}.

Решење.

Напомена: Задатке од 10. до 17. најлакше ћеш решити користећи се Веновим дијаграмима.

Елементи 4, 8 и 9 једини су елементи које уписујемо у обојени део Веновог дијаграма, па је онда

А={___, ___, ___}

11. Одреди елементе скупа K ако је K L M={1, 2, 3, 4, 5, 6}, M \ K={2, 4} и L \ K={4, 6}.

22

12. Одреди елементе скупова А, В и С ако је A B C={p | pÎN и p је једноцифрен број}, A \ B={1, 2, 3}, A \ C={2, 3, 9}, B \ A={5, 6} и B C={4, 6}.

13. Одреди елементе скупова P, Q и R ако је P Q R={x | xÎN и 2 £ x < 9}, P Q R={8}, R \ (P Q)={5, 6, 7}, (R Q) \ P={3}, (Q P) \ R= Æ и P (Q R)={4, 8}.

14. Одреди елементе скупова E, F и G ако је E F G={a, b, c, d, e}, E F G={b, c}, G (E F)={b, c, d, e}, (E F) \ G={a}, E \ F={d}.

15. Последњих пет година у Нишу се организује новогодишња трка. Право учешћа имају

ученици шестог, седмог и осмог разреда. До сада је из једне школе учествовало 295 ученика шестог, 289 ученика седмог и 236 ученика осмог разреда. И у шестом и у седмом разреду учествовао је 101 ученик, и у седмом и у осмом 112, а и у шестом и у осмом разреду 124 ученика. У сва три разреда учествовало је 73 ученика. Колико ученика је учествовало:

1) у овој трци; 2) само у једном разреду; 3) тачно два пута?

16. У једном одељењу петог разреда свако од ученика је послао своје радове на неки од следећих конкурса: литерарни, ликовни и математички. На литерарни конкурс радове је послало 19 ученика, на ликовни 18 ученика, а на математички 14 ученика. На литерарни и ликовни конкурс радове је послало 11 ученика, на ликовни и математички 8 ученика, а литерарни и математички 4 ученика. На сва три конкурса радове су послала 3 ученика.1) Колико има ученика у том одељењу?2) Колико ученика је послало радове на:

а) тачно 1 конкурс; б) тачно 2 конкурса; в) најмање 2 конкурса; г) највише 2 конкурса?

17. Сваки од 23 испитаника гледао је неки од три дела филма. Први и други део је гледало 5, само први и трећи део 4, а други и трећи део 3 испитаника. Први део је гледало 15, а само трећи 5 испитаника. Ако су сва три дела гледала 2 испитаника, одреди колико испитаника је гледало:1) само други део; 2) други део; 3) трећи део; 4) само први део.

23

1. На линији упиши број тако да једнакости буду тачне:1) 153 742 ____ 153+ = + ; 2) 2 378 _____ 2 713 2 378+ = + ; 3) 34 87 87 _____ = .

2. Упореди не рачунајући вредности датих израза:1) 318 2 579 ____138 2 579+ + ; 2) 25 316 _____ 316 23 ; 3)133 4 777 _____ 4 777 133+ + .

3. Израчунај погодним здруживањем сабирака: 1) 2301 576 409 214+ + + ; 2) 72 73 74 75 76 77 78+ + + + + + ;3) 1 2 3 ... 48 49 50+ + + + + + ; 4) 7 8 9 ... 43 44 45+ + + + + + .

4. Израчунај на најједноставнији начин:1) 25 66 25 16 + ; 2) ; 3) ; 4) .

5. Како се мења: 1) разлика ако умањилац повећамо за 221; 2) количник ако делилац смањимо 3 пута;3) производ ако чинилац повећамо 5 пута; 4) разлика ако умањеник смањимо за 493;5) количник ако дељеник повећамо 8 пута; 6) збир ако сабирак повећамо за 102;7) разлика ако умањеник смањимо за 173, а умањилац повећамо за 284;8) производ ако један чинилац повећамо 5 пута, а други смањимо 10 пута;9) збир ако један сабирак повећамо за 21, а други за 492;10) количник ако дељеник повећамо 6 пута, а делилац смањимо 3 пута.

6. Ако је 4 820 3 913 907- = , израчунај:1) ; 2) ; 3) .

7. Ако је , израчунај:1) ; 2) ; 3) ; 4) .

8. Израчунај:1) ; 2) ;3) ; 4) ;5) ; 6) ;7) ; 8) .

9. Ако је дељеник број 1 347, количник 74, а остатак 15, одреди делилац.

10. Ако је количник 191, делилац 11, а остатак 10, одреди дељеник.

11. Количник два: 1) узастопна природна броја, 2) узастопна непарна броја, 3) узастопна парна броја јесте природан број. Одреди те бројеве.

12. Израчунај број: 1) за 283 већи од 977; 2) за 99 мањи од 10 001.

13. Израчунај број: 1) за 3 већи од претходника броја 2 300; 2) 19 пута већи од следбеника броја 188.

СКУП ПРИРОДНИХ БРОЈЕВА

24

14. За колико је број 4 291 већи од броја записаног истим цифрама али обрнутим редоследом?

15. Израчунај број за 5 238 већи од збира бројева 231 и 3 979.

16. Од збира бројева 2 374 и 7 297 одузми количник бројева 34 578 и 17.

17. Израчунај количник збира и разлике бројева 700 и 650.

18. Двоструки збир бројева 3 105 и 17 703 подели бројем који је за два већи од најмањег троцифреног броја.

19. Збир три узастопна природна броја је 51. Одреди те бројеве.

20. Збир три парна узастопна природна броја је 132. Одреди те бројеве.

21. Збир четири непарна узастопна броја је 216. Одреди те бројеве.

22. Број 4 928 представи као збир два сабирка тако да је један сабирак:1) за 484 већи од другог, 2) три пута већи од другог.

23. Срђан има 200 динара у једном и 50 динара у другом џепу панталона. Ако из оба џепа извади по 40 динара, колико новца ће му остати у џеповима?

24. Марија има 626 динара, а Милева 1 034 динара. а) Колико новца Милева треба да да Марији да би имале исте суме? б) Ако Милева да Марији 250 динара, која од њих ће имати више новца и за колико?

25. Цена математичког часописа који излази једном месечно јесте 90 динара, а годишња претплата на исти часопис је 950 динара. Колико ће Јелена новца да уштеди ако уплати годишњу претплату уместо да свакога месеца купује часопис?

26. У једној пекари се дневно потроши 72 килограма брашна, а у другој 11 килограма више. Колико се килограма брашна потроши у обе пекаре за једну годину ако година није преступна?

27. Мајстор Гиле је у својој фабрици у јуну сашио 1 526 одела, у јулу 937 одела више него у јуну, а у августу 2 101 одело. Колико је мајстор Гиле сашио одела за ова три месеца?

28. Један музички диск је изашао у тиражу од 150 000 дискова. Путем интернета је купљено 12 527 дискова, 7 263 диска су поклоњена, а остатак је послат у продавнице. Ако је остало непродато 42 625 дискова, колико је продато у продавницама?

29. У једном аутобусу је данас превезено 1 628 путника, у другом 416 путника мање, а у трећем 11 путника више него у прва два заједно. Колико је укупно путника данас превезено у сва три аутобуса?

30. У три села живи 11 130 становника. У првом и другом селу живи 8 421, а у првом и трећем 5 837 становника. Колико свако село има становника?

25

35. На бројевној полуправој прикажи решења једначина: 1) xx 3 7+ = ; 2) x-x 3 8- = ; 3) 805-x805 x 798- = ; 4) (43-x) ; 5) 84 : (22x-2) 84 : 22 x 2 3 5 - + = .

36. На бројевној полуправој прикажи решења неједначина и одреди колико природних бројева задовољава дате неједнакости: 1) xx 13< ; 2) xx 9> ; 3) 4 < x < 5.

37. На бројевној полуправој 15mm представља растојање од 30 метара у природи. Прикажи на бројевној полуправој удаљеност неких објеката од Снежиног стана: продавница је удаљена 120m , пошта 240m, школа 150m , трафика 30m , ресторан 300m и пекара 210m.

38. Скакавац је на бројевној полуправој у тачки 0. При првом скоку скочи за дужину 1, у другом скоку за дужину 2, у трећем за дужину 3 и тако даље. У којој тачки на бројевној полуправој ће се налазити скакавац после петог скока? А после 13 скокова?

39. Зец се на бројевној полуправој налази у тачки 215 и скаче ка њеном почетку. У првом скоку скочи за дужину 20, у другом за дужину 19, у трећем за дужину 18, у четвртом за дужину 17, све док не скочи за дужину 1. Да ли ће зец пронаћи шаргарепу ако се она налази у тачки 110? А у тачки 4? Где ће се на бројевној полуправој налазити зец на крају свог пута?

40. Кенгур скаче по бројевној полуправој и може да доскочи само у тачке које су означене природним бројевима. Креће из Мелбурна, који је представљен тачком 998, и скаче ка Сиднеју, који је представљен тачком 0. У првом скоку прескочи растојање 4, у другом растојање 3, у трећем растојање 4, у четвртом растојање 3 и наставља овако да скаче. Да ли ће кенгур на крају да доскочи у тачку којом је представљен Сиднеј и ако хоће, у колико скокова? Ако је Аделаида означена у тачки 759, да ли ће кенгур на путу за Сиднеј скочити у тачку у којој је представљен овај град? Ако хоће, колико ће скокова направити до Аделаиде?

31. У три погона једне фабрике ради 4 933 радника. У првом погону ради четири пута више радника него у другом, а у трећем 13 радника више него у другом. Колико радника ради у сваком погону?

32. У две просторије у пошти налази се 1 117 пошиљки. Када је поштар Мирослав изнео из једне собе 493 пошиљке, у њој је остало 7 пута мање пошиљки него у другој соби. Колико је било пошиљки у свакој соби?

33. Нацртај бројевну полуправу ако је јединична дуж дужине: 1) 1cm; 2) 2cm; 3) 15mm.

34. У квадрате упиши природне бројеве који одговарају тачкама на бројевној полуправој:

26

1. Израчунај вредност израза 12s+3 ако је:1) ss 2= ; 2) ss 5= ; 3) ss 9= ; 4) ss 13= ; 5) ss 31= ; 6) ss 115= .

2. Израчунај вредност израза 12p-17 + 420 : p ако је:1) pp 3= ; 2) pp 7= ; 3) pp 15= ; 4) pp 42= ; 5) pp 140= ; 6) pp 210= .

3. Израчунај вредност израза (250-120 : d)2 + 2d ако је:1) dd 4= ; 2) dd 6= ; 3) dd 8= ; 4) dd 15= ; 5) dd 24= ; 6) dd 60= .

4. Израчунај вредност израза 2a-3b+5 ако је:1) aa 8= , bb 5= ; 2) aa 13= , bb 1= ; 3) aa 102= , bb 47= ; 4) aa 10= , bb 7=6.

5. Израчунај вредност израза (p-q) : 3+3p-q ако је:1) p=24, q=15; 2) p=17, q=11; 3) p=31, q=13; 4) p=802, q=370.

6. Израз xx-2x+7 можемо означити са f(x), то јест f(x)=xx-2x+7. Ако x заменимо са бројем 3, тада вредност израза можемо записати овако f(3) . Аналогно овоме израчунај: 1) f(4); 2) f(7); 3) f(11).

Упамти: производ xx краће записујемо x2.

7. Попуни таблице.

n 1 7 12 14 51 a 4 8 12 13 15 21

3n-2 (a-2)a-4

362-7n 6a-3(a-2)

a 7 5 9 7 11 15 13 17 9

b 1 2 3 4 5 6 7 8 9

aa+5b-3a

bb+(a-b)(a+b)

12(3b+a)-(14a-6) : 4

(a-(a-b) : 3)7-5

8. Нека је x природан број. Запиши број: 1) за 15 већи од x; 2) 3 пута већи од x;3) за 3 већи од двоструке вредности броја x;4) количник броја x и броја за 19 мањег од њега; 5) производ претходника и следбеника броја x; 6) за 12 мањи од седмине броја x.

9. Нека су a и b природни бројеви. Запиши следеће изразе:1) збир бројева a и b; 2) разлику бројева a и b;3) збир двоструког броја b и шестине броја a; 4) производ збира и разлике бројева a и b;5) разлику броја за два мањег од троструког броја a и броја за шест мањег од петине броја b.

ИЗРАЗИ СА ПРОмЕНЉИВОм

27

10. Попуни табелу:

претходник 2a-4број a a+1 a2

следбеник 3a

11. Нека је страница квадрата a. Одреди обим и површину квадрата ако је a .

12. Које вредности може имати променљива p, тако да вредност израза (2 378-p) : 373 буде природан број?

13. Одреди најмању и највећу могућу вредност израза 801-3k ако је k: 1) једноцифрен број; 2) двоцифрен број.

14. Посматрајмо природан број d већи од 9. Поређај по величини, од најмањег до највећег, следеће бројеве: 1) d-6, dd 3+ , d; 2) 2d, 3d-7, dd 9+ , 3d, d-1.

15. У следећој табели бројевима из прве врсте придружени су бројеви из друге по следећем правилу: x 2x+1.

1 2 3 4 5 ... x

3 5 7 9 11 ... 2x+1

Уочи правило по коме се бројевима из прве врсте придружују бројеви из друге и доврши попуњавање табела.

1 2 3 4 5 x 1 2 3 4 5 x

1 3 5 7 2 5 8 11

1 2 3 4 5 6 7 8 x

5 8 11 14 17

16. Бака је Сари дала 37 бомбона. Сара је својим другарицама давала по 5 бомбона. Колико је Сари остало бомбона ако је бомбоне поделила са:а) 3 другарице; б) 4 другарице? Запиши изразом колико је Сари остало бомбона ако је поделила бомбоне са x другарица. Колико је највише другарица могла да почасти бомбонама?

17. Милош је отишао на седмодневно зимовање на Златибор са школом. Родитељи су му послали укупно 1 500 динара. Учитељица је Милошу дневно давала по 200 динара. Колико је Милошу остало новца после: 1) 2 дана; 2) 4 дана; 3) 7 дана?Запиши изразом колико је Милошу остало новца после x дана.

28

ТЕСТ

1. Дати су скупови А={ } и B={ }. На линијe упиши један од знакова Î или тако да тврђења буду тачна:

3___ A ; 5___ B ; 1___ B ; 5___ A ; 10 ___ B .

2. Нацртај Венов дијаграм за скупове и .

3. Ако је и , одреди:

= ________________P Q ; = ________________Q P ; =\ ________________Q P .

4. Ако је , B={ p | pÎN и p је паран број прве десетице} и нацртај Венов дијаграм скупова и одреди

=\ ______________________________________________A B C .

5. Одреди елементе скупова A и E ако је , и .

= __________________________A ; = __________________________E .

6. У једном одељењу има 27 ученика. Њих 13 у породици има брата, а 17 ученика има сестру. Ако 3 ученика немају нити брата нити сестру, колико њих има и брата и сестру?

а) 5; б) 6; в) 7; г) 8; д) 9. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

7. Вредност израза јесте а) 20 ; б) 88 ; в) 112 ; г) 120 ; д)180 . (Заокружи слово испред тачног одговора.)

8. Вредност израза + 3 2x y за =1x и =5y јесте а) 10 ; б) 11; в) 13 ; г) 25 ; д) 30 . (Заокружи слово испред тачног одговора.)

Решења:

1. Î3A, 5B, 1B, Î5A, Î 10B; 2.

3. , ,; 4. ;

5. ; 6. б); 7. в); 8. в)

29

СКУПОВИ – РЕШЕЊА

1. 1) 23 658; 2) 8 000 000 000; 3) 1 000 020; 4) 3 015 006; 5) 17 001; 6) 600 060 006.2.

728 531 1 004 007 2 805 13 905 8 005 501 347

јединица 728 531 1 004 007 2 805 13 905 8 005 501 347

десетица 728 53 100 400 280 1 390 800 550 134

јединица хиљада 728 1 004 2 13 8 005 501

стотина хиљада 7 10 0 0 80 055

јединица милиона 0 1 0 0 8 005

3. 1) 3 065; 2) 38 607; 3) 15 043.4. 1) тачно; 2) тачно; 3) тачно.5. 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

6. 1) x ; 2) x ;3) x ; 4) x .

7. СХ ДХ ЈХ С Д Ј

23 456 2 3 4 5 624 547 2 4 5 4 7

576 576 5 7 6 5 7 6333 000 3 3 3 0 0 099 999 9 9 9 9 9

8. 1) 38 947 3 10 000 8 1000 9 100 4 10 7 1= + + + + ;2) 15 035 1 10 000 5 1000 3 10 5 1= + + + ; 3) 100 700 1 100 000 7 100= + ;4) 5 030 5 1000 3 10= + ; 5) 77 007 7 10 000 7 1000 7 1= + + ;

9. 1) 35 781; 2) 806 329; 3) 102 053; 4) 85 320; 5) 97 320; 6) 76 340.10.

претходник 2 507 999 1 298 4 699 0 2 008 4 999 999 999 12 998

број 2 508 1 000 1 299 4 700 1 2 009 5 000 1 000 000 12 999

следбеник 2 509 1 001 1 300 4 701 2 2 010 5 001 1 000 001 13 000

11. 1) 1 800-1 798=2; 2) 8 001-7 999=2; 3) 2.Напомена: Разлика следбеника и претходника било ког природног броја увек је 2.

12. 1) ; 2) 13;3) Између природних бројева a и b има a-b-1 других природних бројева.

13. 1) 9; 2) 90; 3) 90 000; 4) 90 000 000.Има четири парна и пет непарних једноцифрених природних бројева. У свим осталим случајевима има једнак број парних и непарних природних бројева.

14. 1) Парни се завршавају цифрама 0, 2, 4, 6 и 8, а непарни цифрама 1, 3, 5, 7 и 9.2) Најмањи непаран је 10 001, а највећи паран 99 998.3) Није могуће. Ако је исти број навијача обе екипе, њихов укупан број мора да је паран.

СКУП ПРИРОДНИХ БРОЈЕВА – ОБНАВЉАЊЕ

30

15. 6, и то су: 347, 374, 437, 473, 734 и 743.16. 1) 16; 2) 54.17. 1) 96; 2) 500.18. Ако број почиње са 42 онда на преостала 4 места може стајати било која од

преосталих цифара, па је број могућности 24, а ако почиње са 45 на трећем месту могу стајати цифре 0 или 2, а на осталим било која од преосталих цифара, па је број могућности 12. Дакле, укупно је могуће написати 36 тражених бројева.

19. Најмањи је 2 046, највећи је 8 642.20. Највећи је 9 977 442, најмањи је 1 001 224.

21. 1) ; 2) ; 3) За било коју цифру је задовољена неједнакост;4) .

22.

број 23 111 4 098 7 1 000 23 115 0збир цифара 5 3 21 7 1 12 0производ цифара 6 1 0 7 0 30 0

23. 1) 10. Четири сабирка која дају збир 3 јесу: 1 1 1 0+ + + , 1 2 0 0+ + + или 3 0 0 0+ + + , па су тражени бројеви: 1110, 1110,1101,1011,1200,1020,1002, 2100, 2 010, 2 001, 3 000 и 3 000.

2) 4. Четири чиниоца која дају производ 2 јесу 2 1 1 1 , па су тражени бројеви : 1112, 1121, 1211 и 2111.

24. Три сабирка која дају збир 5 јесу 5 0 0, 4 1 0, 3 2 0, 3 1 1, 2 2 1+ + + + + + + + + + , па су тражени бројеви: 500, 500, 410, 401,140,104, 320, 302, 230, 203, 311,131,113, 221, 212,122 и 122, а њихов збир је 3 720.

25. 1111 991 120- = .26. 1

4 2

2 3

3 4

0 5

7 6

3 7

4 8

6 9

8 9 3 10

6 6 1 11

5 3 1 12

5 13

5 3 8 2 14

6 4 15

9 7 3 5 16

7 17

2 18

6 19

1 20

3 3 21

1 22

2 23

8 0 24

8 0 9 1 5 25

2 8 2 26

2 9 1 27

1 0 5 28

3 4 6 29

4 30

9 2 6 4

27.66 77 2211 55 9988 33 44

28. 1) 2)

0, 1,..., 7

31

29. 1) 2) 3) 4)

55551

111

+

918189891

1998

+

152152251

555

+

646

6463 646

4 344

+

30. 1) 2) 3)

31. 1) 170, 390, 390, 930, 1 730. Број 755 подједнако је удаљен и од 750 и од 760.2) 1 800, 2 800, 8 200, 28 100, 36 200.

Број 12 450 подједнако је удаљен и од 12 400 и од 12 500.3) Збирови су око 750, 1 370, 5 660, 3 610, 17 780.

32. 10kg . За 424 динара су купили 8kg спанаћа и на ову количину су добили још 2kg бесплатно. Да су платили два пута више, донели би 21kg спанаћа.

33. Површина: P=ab Обим: O=2(a+b)a

b 3 4a

b 3 4

1 3 4 1 8 10

2 6 8 2 10 12

6 18 24 6 18 20

34. .

35. . Укупно је употребљено 226 цифара. Како на левој страни има 34 куће, то је 5 нумерисано једноцифреним, а 29 двоцифреним бројевима. Са десне стране, 4 куће су нумерисане једноцифреним, 45 двоцифреним и 23 троцифреним бројевима.

36. 1) 2)

37.

3 1 2 6 3 1 3 9

5 1 4 20 4 2 1 8

1 1 1 1 1 5 7 35

9 3 7 8 8 11

32

38. Трећи низ. 1) Проширени скуп природних бројева N0 ; 2) Низ парних природних бројева;

4) Низ непарних природних бројева.39. 1) 5 512 2) 3 240 1 076 253 1 0

2 852 2 660 2 164 823 252 1

1 626 1 226 1 434 1 341 571 251

815 811 415 1 019 770 320

308 507 304 111 908 450

40. 1) 164, 183, 202;2) 128, 256, 512;3) 34, 55, 89;4) 57, 73, 91;5) 51, 66, 83;6) 64, 81, 100.

ПОЈАм СКУПА

1. 1) А је скуп имена дана у недељи; 2) В је скуп имена континената.2. 2) А={ш, к, о, л, а}; 3) B={а, е, и, о, у}; 4) С={a, b, c, d, e}.3. 1) A={1, 2, 3, 4, 5, 6}; 2) B={21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30};

3) C={17, 19, 21}; 4) D={5, 15, 25}.4. 1) A={60, 51, 42, 33, 24, 15}; 2) B={300, 210, 201, 120, 102, 111}; 3) C={79, 88, 89, 97, 98, 99};

4) D={12, 21, 112, 121, 211}; 5) E={30, 41, 52, 63, 74, 85, 96}.5. 1) A={22, 25, 27, 52, 55, 57, 72, 75, 77};

2) B={100, 101, 103, 110, 111, 113, 130, 131, 133, 300, 301, 303, 310, 311, 313, 330, 331, 333}.6. 1) не; 2) не; 3) не. 7. 4А, 2ÎА, 3В, сА, аÎА, еÎВ, bВ, 5ÎВ.8.

9.

10. 1) А={g, k, r, t}; 2) B={Марија}; 3) C={1, 6, 8}.

33

11. 1) P={2, 3, 4, 7, 10}, R={1, 3, 4, 5, 7, 9}; 2) H={d, a, p}, K={p, z};3) A={8, 12, 14, 18, 20}, B={14, 16, 20}, C={8, 10, 20};4) S={t, h}, D={s, h, n, f}, F={f, r}.

12. 1Р, 210ÎР, 12Р, 102ÎР, 1 222Р, 21ÎР, 2ÎР.13. 1) K={1, 2, 3, 4}; 2) L={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; 3) G={4};

4) D={0, 1, 2, 3}; 5) S={42, 44, 46, 48, 50}.14. 1) A={ x | xÎN, x је паран број, x 10};

2) P={ x | xÎN, x је двоцифрен број који се пише истим цифрама};3) C={ x | xÎN, x је троцифрен број који се пише само цифрама 1, 2 и 3 и цифре се не понављају};4) D={ x | xÎN, x је двоцифрен број који се пише неком од цифара 1, 5 или 7 и цифре могу да се понављају}.

15. 1) A={ x | xÎN и x < 700}; 2) B={ x | xÎN и x > 15};3) A={ x | xÎN и 111 < x < 378}; 4) D={ x | xÎN, x < 88 и x је паран број};5) E={ a | aÎN и a je решење једначине а + 16 < 163}.

16. 1) нетачно; 2) тачно; 3) нетачно; 4) тачно. 17. 1) AA= 2) EE= 3) CC=18. 1) тачно; 2) нетачно; 3) нетачно. 19. B B A A, C B A A, F B A A, G B A A 20. 1) AA {1, 3, 5}= , BB {1, 5}= ,B B A A; 2) AA {2, 3, 5}= , BB {2, 3, 5}= , B B A A;

3) AA {1, 8,12}= , BB= , B B A A; 4) AA {8, 9}= , BB {7, 8, 9}= , B B A A;5) AA {2, 4, 5}= , B={0, 3}, B B A A.

21. 1) тачно; 2) тачно; 3) тачно; 4) тачно; 5) нетачно; 6) нетачно; 7) тачно; 8) тачно; 9) нетачно.

22. 1) тачно; 2) нетачно; 3) тачно; 4) нетачно; 5) нетачно.

23. 1) , 3 {3}; 2) , 2 , 5 , 2, 5 {2}, {5}, {2, 5}; 3) , 2 , 5 , 2, 5 {3}, {6}, {9}, {3, 6}, {3, 9}, {6, 9}, {3, 6, 9};4) , 2 , 5 , 2, 5 {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}.

24. 1) {5}, {55}, {555}, {5 555}; 2) {5, 55}, {5, 555}, {5, 5 555}, {55, 555}, {55, 5 555}, {555, 5 555};3) {5, 55, 555}, {5, 55, 5 555}, {5, 555, 5 555}, {55, 555, 5 555}.

25. 1) јесу; 2) нису; 3) јесу; 4) нису. 26. A=B, C=E

27. 1) xx 23= ; 2) xx 1= или xx 2= или xx 12= или xx 23= или xx 123= или xx 234= .28. 1) pp 1= и qq 5= или pp 5= и qq 1= ; 2) pp 7= и qq 21= ;

3) pp 5= и qq 8= или p p 8= и qq 5= ; 4) pp 6= , а qq 6= или qq 26= .29. xx 3= , а yy 1= или yy 3= или yy 5= или yy 7= или yy 9= .30. K={Ј, о, в, а, н}, L={Ј, о, в, а, н}. n(K)=n(L)=5. Тачна су сва три тврђења.

31. , n(A)=n(A)=3, AA BB

32. 1) n(A) n A 3= ; 2) n(A) n A 1= ; 3) n(A) n A 4= ; 4) n(A) n A 3= ; 5) n(A) n A 2= ; 6) n(A) n A 1= .

33. 1) n(C)=7 341; 2) n(C) n C 90= ; 3) n(C) n C 357= ; 4) n(C) .

34. n(A)=n(G), n(B)=n(D), n(E)=n(F).

35. 1) C={5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}, n(C) n C 9= ; 2) C={2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12}, n(C) n C 10= ;3) C={8, 9, 12, 13, 14, 15}, n(C) n C 6= .

36. 1) s=2, а z=6, rz 4, r N= Î{2, 4, 6} или r=6, zz 4, r N= Î{2, 4, 6}2) z=2, r=2 или z=2, r=4 или z=4, r=2 или z=4, r=4;3) z=6, rz 4, r N= Î{2, 4, 6} или z=8, rz 4, r N= Î{2, 4, 8} или r = 6, z {2, 4, 6} или r = 8, z {2, 4, 8} 4) z=6, r=8 или z=8, r=6.

= 29

z 4, r N= Î z 4, r N= Î

34

ОПЕРАцИЈЕ СА СКУПОВИмА

1. 1) AB={2, 3}; 2) AB={6}; 3) AB={a, b, c, d};4) AB={p, r}; 5) AB={Б, р, а, н, и}; 6) AB={5, 6, 7};7) AB={11, 12}; 8) AB={x | xÎN и x > 41}; 9) ABA B = .

2.

3. 1) ; 2) ;

3) ; 4) .

4.

5. 1) =3x ; 2) = =7 13x , y или = =13 7x , y ; 3) = =4 36a , b ; 4) g је било који број који не припада скупу {34, 54, 74, 94};5) или .

6. 1) ; 2) ;

3) ; 4) = =ï ðâè äðóãè 2Q R , , n Q R {први, други}, ;

5) Q R 12, 23, 34, 45 , n Q R 4 = = {М, И, Р, О, С, Л, А, В, Т}, ;

6) ;7) =Q R N . Скуп =Q R N има бесконачно много елемената.

7.

9. Нека је J скуп имена Јованових, а Z скуп имена Зоранових пријатеља. Тада је:Ј Z={Марија, Тијана, Јанко, Мирко, Здравко, Петар, Василије, Мирјана, Жељко, Лука},Ј Z={Јанко, Здравко, Василије}.

10. 1) тачно; 2) нетачно; 3) нетачно; 4) тачно; 5) нетачно; 6) тачно; 7) нетачно; 8) тачно.

11. 1) EÅ {5, 9,17}= ; 2) ; 3) EE {5, 26, 84}= или EE {26, 36, 84}= или EE {26, 59, 84}= или EE {26, 84,117}= .

12. 1) ; 2) 3) .

8. 1) ;2) ;3) ;4) ;5) .

.10

35

13. 1) = 1 3 5 6D \ S , , ,{1, 3, 5, 6}, = 2 4 9S \ D , ,{2, 4, 9}; 2) =D \ S , =S \ D ;3) DD \ SS={маја}, SS \ DD={м, а, ј, а}; 4) = 12D \ S {12}, = 2 23 33S \ D , ,{2, 23, 33};5) DD \ SS={A, C, T, B}, SS \ DD={У, Ч, Е}; 6) = 7 9D \ S ,{7, 9}, = 4S \ D {4};7) = 12 21 30 111 120 201 210D \ S , , , , , ,{12, 21, 30, 111, 120, 201, 210}, S S \ D 503,1200= ={503, 1200}.

14.

15. 1) K={2, 3, 4, 7, 8, 9}, T={1, 2, 4, 5, 7}, = 1 2 3 4 5 7 8 9K T , , , , , , ,{1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9}, = 2 4 7K T , ,{2, 4, 7} = 3 8 9K \ T , ,{3, 8, 9}, = 1 5T \ K ,{1, 5};

2) K={a, d, h}, T={d, h}, =K T a, d , h{a, d, h}, =K T d , h{d, h}, =K \ T a{a}, =T \ K ;3) K={Ана, Мира, Оља, Ена, Миа}, Т={Ена, Миа}, K Т={Ана, Мира, Оља, Ена, Миа},

K Т={Ена, Миа}, K \ Т={Ана, Мира, Оља}, =T \ K ;

4) , , =K T ,

, .

16. 1) тачно; 2) нетачно; 3) тачно.

17. A {11, 14}, A {11, 12, 14, 15, 17}, B {12, 15, 17}. За дисјунктне скупове K и L, такве да је K L=А, важи и .

18. 1) xx 41= 2) aa 4= , b b 8,11, 32, 52Î {8, 11, 32, 52} или =4b , Î 8 11 32 52a , , ,{8, 11, 32, 52}; 3) rr 200= , p p 13,18, 47, 200Î {13, 18, 47, 200}; 4) t може бити било који број осим 14, 15 и 16, а f f 14,15,16, 32, 33, 34, tÎ {14, 15, 16, 32, 33, 34, t}.

19. 1) тачно; 2) нетачно; 3) нетачно; 4) тачно.20. 1) нетачно; 2) нетачно; 3) тачно; 4) нетачно.21. =S \ D S , =D \ S D .22. BB \ AA, AA B B, RR \ PP, , SS \ LL.

23. 1) A={1, 2, 3, 5, 14, 38}, E={1, 3, 14, 20, 22}; 2) А={a, d, e, f, k}, E={a, d, f };3) A={3, 6, 9, 15, 18}, E={3, 9, 12, 18};4) A={111, 112, 121, 122, 222}, E={111, 211, 212, 221, 222}.

24. 1) највише 22 (ако је =A B ), најмање 15 (ако је B A );2) највише 7 (ако је B A ), најмање 0 (ако је =A B );3) највише 15 (ако је =A B ), најмање 8 (ако је B A );4) највише 7 (ако је =A B ), најмање 0 (ако је B A ).

25. 1) ; 2) .

26. 1) 2 и 4; 2) а и k; 3) p, e и t.4) дата једнакост је немогућа јер су у пресеку елементи који нису у првом скупу.

27. Укупно су позвали 22 госта. Користи једнакост 28. За учење оба предмета определила су се 4 ученика. 29. И писмо и разгледницу је послало 16 људи, а њих 75 је послало само једно од то двоје.30. Оба аранжмана су резервисала 4 радника, а њих 68 један аранжман.31. 22 ученика не говоре ни немачки ни француски.

36

ИЗРАЗИ СА ВИШЕ СКУПОВНИХ ОПЕРАцИЈА

1. 1) P={1, 2, 3, 4, 8}, Q={3, 4, 6, 7, 9}, R={4, 5, 6, 8};2) P={a, d, e}, Q={a, b, d }, R={d, e, f }; 3) P={2, 3, 9}, Q={1, 4, 7, 8, 9}, R={5, 7, 8}.

2. 1) = 1 3 4 5 7 11 12 13 14A B C , , , , , , , ,{1, 3, 4, 5, 7, 11, 12, 13, 14} 2) =A B C a, d , f , g , k , s{a, d, f, g, k, s}

= 7A B C {7} =A B C a, f{a, f }

3) = 3 4 5 6 7 8 9A B C , , , , , ,{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, = 9A B C {9}

3. 1) = 12 13 14 15 16 17 18 19 20K L S , , , , , , , ,{12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}; 2) = 16K L S {16};

3) ;

4) .

4. 1) P ( Q R )={м, и, р, к, о, а, л, с}; 2) R ( Q R )={а, л, е, к, с};3) ( R P ) ( Q P )={о, к}; 4) ( Q P ) ( P R )={м, и, р, к, о, а, л, с}.

5. 1) {7}; 2) {10}; 3) ;

4) {5, 7, 9}; 5) {2, 4, 9, 10}; 6) {2, 4, 5}.

6. 1) ; 2) {s, k, p}; 3) ;

4) ; 5) {h, k, s}; 6) .

7. 1) G H R 2) G H R 3) (G H) R 4) (G R) \ H

5) H (R \ G) 6) (R G) (H \ G) 7) (H \ G) \ (R G) 8) (R G) (H\ (G R))

37

9) (G R) \ H 10) (H G) (R \ G) 11) ((G R) \ (R G)) \ H 12) CG(R) H

8. област III: ; област IV: A B C ; област V: ; област VI: ; област VII: .

9. Као олакшицу приликом решавања овог задатка можемо користити претходни задатак.4) ; 5) ; 6) ;7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ; 12) ;13) .

10. A={5, 6, 7}.

11. K={1, 3, 5}.12. A={1, 2, 3, 4, 9}, B={4, 5, 6, 9}, C={1, 4, 6, 7, 8}.

13. или .

14. . 15. 1) 556; 2) 365; 3) 118.

16. 1) 31; 2) а) 14; б) 14; в) 17; г) 28. 17. 1) 2; 2) 8; 3) 12; 4) 6.

СКУП ПРИРОДНИХ БРОЈЕВА

1. 1) 153 742 742 153+ = + ; 2) + = +2378 2713 2713 2378 ; 3) 34 87 87 34 = .

2. 1) 318 2 579 138 2 579+ + ; 2) 25 316 316 23 ; 3)133 4 777 4 777 133+ = + .

3. 1) ;2) ;3) 1 275; 4) 1 014.

4. 1) ; 2) 650 ; 3) 1 300; 4) 1 600.

5. 1) смањи се за 221; 2) повећа се 3 пута; 3) повећа се 5 пута; 4) смањи се за 493;5) повећа се 8 пута; 6) повећа се за 102; 7) смањи се за 457; 8) смањи се 2 пута;9) повећа се за 513; 10) повећа се 18 пута.

6. 1) 907 307 600- = ; 2) 907 723 1630+ =1 630; 3) 907 364 726 545+ - = .

7. 1) 236 : 2 118= ; 2) 236 : 4 59= ; 3) ; 4) .

8. 1) 86 ; 2) 2 238 ; 3) 349 ; 4) 169 ; 5) 640 ; 6) 7198 ; 7) 1; 8) 17 .

9. Делилац је број 18 . 10. Дељеник је број 2 111.

11. 1) 2 и 1; 2) 3 и 1; 3) 4 и 2. 12. 1) 977 283 1260+ = ; 2) 10 001 99 9 902- = .

13. 1) ; 2) . 14. 4 291 1924 2 367- = .

R

P = {2, 4, 8}, Q = {3, 8}, R = {3, 4, 5, 6, 7, 8}

38

15. . 16. .

17. . 18. .

19. 51 17 17 17= + + . Ако први сабирак повећамо за 1, а трећи сабирак смањимо за 1 имамо да је , односно 51 16 17 18= + + , па су тражени бројеви 16, 17 и 18.

20. , па су тражени бројеви 42, 44 и 46.

21. .

22. 1) + + =484 4 928x x , па је =2 222x , а тражени бројеви су 2 222 и 2 222 484 2 706+ = .2) + =3 4 928x x , па је =1232x 1 232, а тражени бројеви су 1 232 и 31 232=3 696.

23. или .

24. а) ;

б) Више ће имати Марија, и то за динара.

25. Уштедеће 12 90 950 130 - = динара.

26. За годину дана се потроши брашна.

27. Мајстор Гиле је сашио одела за ова три месеца.

28. У продавнице је стигло дискова, а ако је остало непродато 42 625 дискова, продато је 130 210 42 625 87 585- = дискова.

29. Први-1628 , други-1 628-416=1212, трећи-(1 628+1 212)+11=2 851. Укупно 1628 1212 2 851 5 691+ + = путника .

30. У трећем селу живи 11 13011130 8 421 2 709- = , у другом 11 130-5 837=5 293, а у првом селу живи 11 130-(2 709+5 293)=3 128 становника.

31. Ако је x број радника у другом погону, тада је + + + =4 13 4 933x x x , па је xx 820= . Дакле, у првом погону ради 3 280, у другом 820 и у трећем 833 радника.

32. Ако је x број пошиљки у првој соби после изношења 493 пошиљке, имамо да је + + =493 7 1117x x 1 117, па је xx 78= . У првој соби је било 571, а у другој 546 пошиљки.

33.

34.

39

35. 1) xx 4= ; 2) xx 11= ; 3) xx 7= ; 4) xx 7= ; 5) xx 2= .

36. 1) 12; 2) бесконачно много бројева; 3) ниједан број.

37.

38. После петог скока је у тачки којој је придружен број 15 , а после 13 скокова је у тачки којој је придружен број 91 .

39. Зец ће пронаћи шаргарепу у тачки 110 јер је , а неће шаргарепу која се налази у тачки 4 јер је . Дакле, зец ће се налазити у тачки 5 на крају свог пута.

40. Хоће. Како у свака 2 скока прескочи дужину 7, после 284 скока доћи ће у тачку 4 одакле ће скоком за дужину 4 стићи до тачке којом је представљен Сиднеј. Дакле, са 285 скокова. У тачку којом је представљена Аделаида кенгур неће доскочити јер после 68 скокова биће у тачки којој је придружен број 760 , а скоком за дужину 4 прескочиће посматрану тачку.

ИЗРАЗИ СА ПРОмЕНЉИВОм

1. 1) 27; 2) 63; 3) 111; 4) 159; 5) 375; 6) 1 383.

2. 1) 159; 2) 127; 3) 191; 4) 497; 5) 1666; 6) 2 505.

3. 1) 448; 2) 472; 3) 486; 4) 514; 5) 538; 6) 616.

4. 1) 6; 2) 28; 3) 68; 4) 7.

5. 1) 60; 2) 42; 3) 86; 4) 2 180.

6. 1) ; 2) ; 3) .

7.n 1 7 12 14 51 a 4 8 12 13 15 21

3n-2 1 19 34 40 151 (a-2)a-4 4 44 116 139 191 395

362-7n 355 313 278 264 5 6a-3(a-2) 18 30 42 45 51 69

a 7 5 9 7 11 15 13 17 9

b 1 2 3 4 5 6 7 8 9

aa+5b-3a 33 20 69 48 113 210 165 278 99

bb+(a-b)(a+b) 49 25 81 49 121 225 169 289 81

12(3b+a)-(14a-6) : 4 97 116 186 205 275 345 364 434 402

(a-(a-b) : 3)7-5 30 23 44 37 58 79 72 93 58

40

8. 1) +15x ; 2) 3 x ; 3) 2x+3; 4) ; 5) ; 6) -12.

9. 1) +a b ; 2) a-b; 3) 2b+(a : 6); 4) ; 5) .10. претходник -1a a -2 4a -3 2a -2 1a

број a +1a -2 3a -3 1a 2aследбеник +1a +2a -2 2a 3 a +2 1a

11. a 1 3 5 7 9= 4O a 4 12 20 28 36= P a a 1 9 25 49 81

12. Како је дељеник - 2 378 2 378p , вредност израза не може бити већа од 6. Ако је имамо да је =2 005p . Ако редом мењамо вредности количника, имамо да је .

13. 1) Најмања је за kk 9= и то 774, а највећа је за kk 1= и то 798 .2) Најмања је за kk 99= , и то 504, а највећа је за kk 10= , и то 771.

14. 1) -6d , d, +3d ; 2) -1d , dd 9+ , 2 d , -3 7d , 3 d .

15.

1 2 3 4 5 x 1 2 3 4 5 x

1 3 5 7 9 -2 1x 2 5 8 11 14 -3 1x

1 2 3 4 5 6 7 8 x

5 8 11 14 17 20 23 26 +3 2x

16. а) 37 3 5 37 15 22- = - = бомбоне; б) 37 4 5 37 20 17- = - = бомбона.Aко је поделила бомбоне са x другарица, остало јој је - 37 5x бомбона. Највише је могла да почасти 7 другарица.

17. 1) 1 5001500 2 200 1100- = динара; 2) 1500 4 200 700- = динара; 3) 1 5001500 7 200 100- = динара.После x дана преостало му је 1 5001500 x 200- динара.

41

ГЕОМЕТРИЈСКИ ОБЈЕКТИ

1. Упиши или тако да важе односи приказани на слици.

1) AA a___a; 2) AA b___ b; 3) BB a___ a;

4) BB b___ b; 5) CC a___ a; 6) DD b___b.

2. Означи тачке и праве тако да је: = { }p q Q , = { }q r P , = { }p r R .

3. Нацртај праве a и b и изабери тачке A, B, C тако да следећи искази буду тачни: CC a a, CC b b, AA aa, C B A .

4. Упиши речи тачно или нетачно тако да важе односи са слике.

1) A B C _________ 2) B C E _________

3) E C A _________ 4) A D E _________

5) A B F _________ 6) A F D _________

5. Означи изабране тачке праве p тако да је B – D – A, D – A – E, B – A – C, A – C – E.

6. Колико има правих које садрже једну задату тачку?

7. Нацртај четири тачкe A, B, C, D тако да оне одређују тачно: 1) једну праву; 2) четири праве; 3) шест правих.

8. Допуни текст који описује следећу слику.1) Пресек правих a и b јесте тачка ___.2) Пресек правих ___ и ___ јесте тачка A.3) Пресек правих a и ___ јесте тачка B.4) Тачка D припада правој ___ и не припада правама

___ и ___.5) Тачка D је између тачака A и ___.6) Права одређена тачкама B и D сече праву a у тачки

___, праву b у тачки ___ и праву c у тачки ___.

OСНОВНИ ГЕОМЕТРИЈСКИ ПОЈМОВИ

42

Сваку од ових реченица преведи на математички језик.1) = {___}a b ; 2) =___ ___ { }A ; 3) =___ { }a B ; 4) ___, ___, ___D D D ; 5) ___A D ;6) = = =( , ) {___}, ( , ) {___}, ( , ) {___}p B D a p B D b p B D c .

9. Нацртај две праве a и b које се секу. Нацртај затим праву p тако да је a b p Æ и праву q тако да је a q Æ, b q Æ и a q b q . Одреди a b q !

10. Тачке P и Q припадају равни α. Упиши један од знакова или на предвиђена места тако да добијени искази буду тачни.

1) PP ___ áα; 2) QQ ___ áα; 3) α; 4) ( , )___p P Q α; 5) ___ ( , )P p P Q ; 6) ___ ( , )Q p P Q ; 7) .

1) SS _____ áα; 2) {P,Q,R,S, T} _____ áα; 3) ( , )_____p P Q α; 4) _____ ( , )Q p S R ; 5) QQ _____ áα; 6) { , } _____P Q α; 7) ( , )_____p S T α; 8) _____ ( , )R p P Q .

11. Упиши један од знакова , или тако да искази буду тачни.

1) { , } _____A B a Æ; 2) { , } _____A B b Æ; 3) ( , ) _____p A B a Æ; 4) ( , ) _____p A B b Æ; 5) ( , ) _____p A B a b Æ; 6) ( , ) _____{ , }p A B A Bβ ( , ) _____{ , }p A B A B ; 7) ( , ) _____ ( , )p A B p A Bβ ( , ) _____ ( , )p A B p A B .

12. Упиши један од знакова = или тако да искази буду тачни.

13. Дата је раван α и праве a и b тако да је aa á α, bb á α и = { }a b O . Одреди a b α, aa áα, α { }O .

15. Дата је раван α и у њој праве a и b које се секу. Који искази су тачни?1) Свака права равни α паралелна са a сече праву b.2) Не постоји права равни α паралелна и са a и са b.3) Свака права равни α сече праву a или праву b.4) Постоји права равни α која сече и праву a и праву b.

16. Нацртај три различите праве , ,a b c тако да је:1) a b c Æ; 2) a b Æ и aa|| cc; 3) a b Æ, b c Æ, c a Æ, =a b c Æ.

14. Означи тачке и праве приказане на слици десно ако је

= =|| , { }, { }a b a c A b c B .

43

4. Нацртај полуправе Aa и Bb тако да је:1) =Aa Bb Æ; 2) = { }Aa Bb A ; 3) =Aa Bb Aa ; 4) =Aa Bb Aa .

5. Да ли су тачни следећи искази?1) Пресек две различите праве може бити бесконачан скуп тачака.2) Пресек две различите полуправе може бити бесконачан скуп тачака.

6. Нацртај две полуправе Aa и Bb чија је унија нека права. Који од исказа је тачан?1) =Aa Bb Æ; 2) AA Bb Bb; 3) BB Aa Aa.

7. Колико различитих правих, а колико различитих дужи одређују тачкe , , , ,A B C D E приказане на слици?1) 2) 3)

17. Нека су a, b, c различите праве неке равни. Која од реченица је увек тачна?1) Ако је aa||bb и bb || cc, онда је aa|| cc.2) Ако је aa||bb и b c Æ, онда је aa|| cc.3) Ако је a b Æ и b c Æ, онда је a c Æ.

ДЕЛОВИ ПРАВЕ

1. На основу слике десно упиши један од знакова = или на предвиђена места тако да добијени искази буду тачни.1) AaAa BbBb ____ Æ; 2) AaAa Cc Cc ____ Æ;3) BbBb Cc Cc ____ Æ; 4) OzOz Aa Aa ____ Æ; 5) OxOx OyOy ____ Æ;6) BbBb Oy Oy____ Æ.

2. Користећи се сликом лево одреди:1) =Oz Oy ____;2) =Ox Bb ____; 3) =( , )Ox p O B _____;4) =( , )Bb p A C ____.

3. На основу слике десно, одреди:1) =Aa Bb ____;2) =( , )p B D Cc ____; 3) =Aa Dd _____;4) =( , )Dd p B C ____ .

44

14. Дате су тачке A и S. Одреди тачку B тако да је S средиште дужи AB. Затим одреди тачку C такву да је A средиште дужи CB. Колико је пута дуж CB дужа од SB?

15. Дате су три колинеарне тачке A, B, C такве да је A C B , ABAB 10cm= , CBCB 6cm= . Ако је S средиште дужи BC и T средиште дужи AB, одреди дужине дужи AC, AS, AT, BS, BT, CS, CT, TS.

8. На основу слике десно одреди:1) АCAC BFBF; 2) ADAD EFEF;

3) FBFB BEBE; 4) ABAB BCBC;

5) ( )AC BD EF; 6) ;7) ( ) ( )AB BC EF BF .

9. Поређај дате дужи по дужини почевши од најкраће.

_____<_____<_____<_____.

10. Који од исказа су тачни?1) Дуж AB је два пута дужа од дужи AC.2) Дужи BC, DE и FG међусобно су подударне.3) Дуж FG је дужа и од дужи AB и од дужи AC.

11. Конструктивно утврди која је од дужи AB и CD краћа (слика доле).

12. Конструиши дуж чија је дужина једнака збиру дужина датих дужи AB, BC и DE.

13. Конструиши дуж чија је дужина једнака разлици дужина дужи CD и AB.

45

16. Тачке , , ,P Q R S су колинеарне, P Q R S . Ако је PS = 48mm, PR = 32mm, QS = 38mm, одреди дужину дужи AB где је A средиште дужи PQ, а B средиште дужи RS.

ДЕЛОВИ РАВНИ1. У једној равни уочене су две полуравни pα, qβ и

праве a, b, c (види слику). Који су од следећих исказа тачни: 1) pα qβ Æ; 2) cpα = Æ; 3) abpα; 4) bpα; 5) cqβ.

2. У једној равни уочене су две полуравни. Да ли је могуће да пресек те две полуравни буде празан скуп? Када?

3. Колико отворених а колико затворених изломљених линија одређују три задате неколинеарне тачке?

4. У равни су дате тачке A,B,C,D,E од којих никоје три не припадају једној правој. Различитим бојама нацртај изломљене линије ABDCE и ACBEDA. Која од њих има већу дужину?

5. Тачке A и B повезане су различитим путевима (види слику). Упореди дужине ових путева. Којом јединицом мере је најлакше мерити дужине путева?

6. Која је од изломљених линија приказаних на наредној слици најдужа?

46

1. У равни је дато пет тачака од којих никоје три нису колинеарне. Да ли има више дужи чији су крајеви неке две од ових тачака или троуглова чија су темена неке од њих три?

2. Обој пресек уочених троуглова.

7. Одреди мерни број дужине изломљене линије ABCDE, ако дуж IJ јединица мере.

8. Нека је d мерни број дужине криве линије приказане на слици. Aко је дуж IJ јединица мере,тада је (заокружи слово испред тачног одговора):1) dd 15 ;2) 15 25d ;3) 25 d d.

9. Приближно, у центиметрима, одреди дужине кривих линија приказаних на сликама.

МНОГОУГАО

3. Обој пресек уочених многоуглова.

47

4. Нацртај два троугла чији је пресек: 1) дуж; 2) тачка.

5. Нацртај троугао и полуправу тако да: 1) немају заједничких тачака,2) имају једну заједничку тачку,3) имају бесконачно много заједничких тачака.

6. Нацртај четвороугао и троугао, тако да им је: 1) пресек петоугао; 2) унија петоугао.

7. Одреди тачку X полуправе Ox тако да је дужина дужи OX једнака обиму троугла ABC.

8. Обој унутрашњост датог многоугла. 9. Који од многоуглова приказаних на наредној слици има највећи обим?

КОНВЕКСНОСТ1. Заокружи слово испред тачног исказа.

1) Свака права је конвексна геометријска фигура.2) Не постоји неконвексан троугао.3) Постоји полуправа која није конвексна.4) Пресек две конвексне фигуре је конвексна фигура.5) Унија две конвексне фигуре је конвексна фигура.6) Пресек две неконвексне фигуре је увек неконвексна фигура.7) Пресек конвексне и нековексне фигуре је нековексна фигура.

2. Заокружи слова која се налазе испред конвексних фигура.

3. Нацртај један конвексан и један неконвексан седмоугао.

48

1. Изабери три тачке и означи их са O, A и B. Нацртај затим кружнице: k(O,2cm), k(O,OA) и k(O,AB).

2. Ако је дат круг K(O,5cm) и тачке P, Q, R тако да је OP=36mm, OQ=52mm, OR=50mm, испитај тачност тврђења: 1) PP K(O,5cm)K(O,5cm); 2) QQ K(O,5cm)K(O,5cm); 3) RR K(O,5cm)K(O,5cm).

3. Ако тачка O припада правој p, колика је дужина дужи која је пресек праве p и кружнице k(O,4cm)?

4. Нацртај кружницу k(O,5cm) и дуж OA дужине 3cm. 1) Која тачка кружнице је најближа тачки A и колико је одговарајуће растојање? 2) Која тачка кружнице је најудаљенија од тачке A и колико је одговарајуће растојање?

5. Најближа тачка кружнице k је 2cm удаљена од тачке A, док је најудаљенија тачка кружнице k од исте тачке удаљена 4cm. Одреди дужину полупречника те кружнице ако је тачка A у:1) унутрашњој области кружнице k; 2) спољашњој области кружнице k.

6. Нацртај кружнице k(O1,2cm) и k(O2,5cm) тако да је O1O21 2O O 9cm= . Одреди тачке P и Q тако да P 1P k(O ,2cm)k(O1,2cm), Q 2Q k(O ,5cm)k(O2,5cm) и да је дуж PQ: 1) најдужа; 2) најкраћа.Колика је дужина дужи PQ у сваком од случајева?

7. Одреди све тачке дате кружнице које су на растојању 2cm од тачке A.

8. Одреди пресек кружница k(O1,2cm) и k(O2,5cm) ако је растојање између центара 1O и 2O једнако: 1) 8cm ; 2) 7cm; 3) 3cm; 4) 1cm.У каквом су односу одговарајући кругови?

9. Колико је растојање између центара кружница k(O1,3cm) и k(O2,6cm) ако се оне додирују: 1) споља; 2) изнутра?

10. Нацртај кружницу која има центар у датој тачки O и додирује кружницу k(S,3cm) ако је: 1) O у унутрашњости дате кружнице; 2) O у спољашњости дате кружнице.

11. Заокружи слово испред тачне реченице.1) Ако је пресек кругова 1K и 2K круг 2K , онда је 1 2K K .2) Ако је пресек два круга једна тачка, онда се ови кругови додирују споља.3) Ако је разлика два круга круг, онда су ти кругови дисјунктни.4) Нека кружница може сећи неки круг у једној тачки.

12. Нацртај дуж AB, тако да је ABAB 8cm= .1) Одреди све тачке које су удаљене 5cm и од тачке A и од тачке B.2) Да ли постоји тачка која је удаљена 2cm и од тачке A и од тачке B? Образложи одговор.

13. Нацртај дуж OSOS 5cm= и круг K(O,2cm). Нацртај затим круг KK(S,r) , најмањег могућег полупречника r, тако да је K(O,2cm)K(O,2cm) K(S,r) K(O,2cm) =KK(S,r) = K(O,2cm). Колики је полупречник r?

14. У колико највише тачака кружница може сећи неку четворугаону линију која одређује конвексан четвороугао?

КРУГОВИ И КРУЖНИЦЕ

49

ТЕСТ – ГЕОМЕТРИЈА

1. Шесторо ученика је посматрало слику десно, па су записали по један исказ о односима са слике.

Сара: A a ; Пера: B D C ; Лара: E C B ; Мика: ; Лаза: ( , )E p D C ; Мара: =( , )p A D a Æ.

Заокружи број испред тачног одговора.1) Тачни су само искази које су записали Сара и Мика, док су сви остали насписали

нетачне исказе.2) Нетачне исказе су записали су само Пера и Лаза, док су остали ученици записали тачне

исказе.3) Тачни су само искази које су записали Сара, Лара и Мика, док су сви остали насписали

нетачне исказе.4) Нетачне исказе су записале само Лара и Мара, док су остали ученици записали тачне

исказе.

2. На слици десно приказане су полуправа Ox и четири праве , , ,a b c d , при чему су а и b паралелне праве. Колико правих, од ових четири, има непразан пресек са полуправом Ox?

1) једна; 2) две; 3) три; 4) четири.(Заокружи број испред тачног одговора.)

3. Испод сваке слике упиши име фигуре и њену ознаку, слично како је то урађено за троугао ABC.

Троугао ABC ___________ ___________ ___________ _________ __________

4. Нека је d мерни број дужине изломљене линије ABCD, ако је јединица мере дата дуж IJ.

(Заокружи број испред тачног одговора.)

1) 3 4d ; 2) 4 5d ; 3) 5 6d ; 4) 6 7d ;

50

5. Дате су тачке A, B, D тако да је A D B, =50AB mm и =2AD cm. Ако је C средиште дужи AB, колика је дужина дужи DC? 1) 5cm; 2) 5mm; 3) 45mm; 4) 3cm.(Заокружи број испред тачног одговора.)

6. На слици десно дато је шест тачака. Пресек троугла ABC и троугла PQR је:

1) троугао; 2) четвороугао;3) петоугао; 4) шестоугао.(Заокружи број испред тачног одговора. Употреби лењир!)

7. Заокружи бројеве испред имена фигура које су увек конвексне. Ево мале помоћи: тачних одговора има четири!

1) троуглови; 2) полуравни;3) четвороуглови; 4) изломљене линије;5) кругови; 6) дужи;7) кружнице; 8) седмоуглови.

8. Кружнице ( ,1 )k O cmcm) и ( ,5 )k S cmcm) се додирују изнутра. На кружници ( ,1 )k O cmcm) изабрана је тачка P и на кружници ( ,5 )k S cmcm) тачка Q тако да је растојање међу њима највеће могуће. Тада је дужина дужи PQ једнака:

1) 10cm; 2) 4cm; 3) 12cm; 4) 8cm.

Решења:1. 3)2. 2)3. дуж PQ; петоугао LMNOP; изломљена линија PQRST; круг (,1) KOcmcm) (или кружница (,1) kOcmcm));

шестоугао ABCDEF.4. 2) 5. 2)6. 3)7. 1), 2), 5), 6)8. 1)

51

геометријски објекти - реШеЊА

12. 1) { , }A B a =Æ; 2) { , }A B b =Æ; 3) ( , )p A B aÆ; 4) ( , )p A B bÆ; 5) ( , ) p A B a b =Æ; 6) ( , ) { , }â p A B A Bβ( , ) { , }â p A B A B ; 7) ( , ) ( , )â =p A B p A Bβ( , ) ( , )â =p A B p A B .

13. { }á =a b Oα { }á =a b O , á á =a αá á =a α, α { } { }á =O O .

осНоВНи геометријски ПојмоВи

1. 1) AA aa; 2) AA bb; 3) BB aa; 4) BB bb; 5) CC aa; 6) DD bb.

2. 3.

4. 1) - -A B C тачно; 2) - -B C E нетачно; 3) - -E C A нетачно; 4) - -A D E нетачно;5) - -A B F нетачно; 6) - -A F D нетачно.

5.

6. Постоји бесконачно много правих које садрже једну задату тачку.

7 1) 2) 3)

8. 1) Пресек правих a и b је тачка C. 2) Пресек правих b и c је тачка A.3) Пресек правих a и c је тачка B. 4) Тачка D припада правој b и не припада правама a и c.5) Тачка D је између тачака A и C. 6) Права одређена тачкама B и D сече праву a у тачки B,

праву b у тачки D и праву c у тачки B.Преводи ових реченица на математички језик су:1) { } =a b C ; 2) { } =b c A ; 3) { } =a c B ; 4) , , D b D a D c ; 5) - -A D C ; 6) ( , ) { }, ( , ) { }, ( , ) { } = = =p B D a B p B D b D p B D c B .

9. 10. 1) áP α; 2) áQ α; 3) {P, Q} , áP Q α; 4) ( , ) áp P Q α; 5) ( , )P p P Q 6) ( , )Q p P Q ;7) {P, Q} , ( , )P Q p P Q .

11. 1) áS α; 2) { , , , , } áP Q R S T α;3) ( , ) áp P Q α; 4) ( , )Q p S R ;5) áQ α; 6) { , } áP Q α; 7) ( , ) áp S T α; 8) ( , )R p P Q .

a b q =Æ

52

14.

15. Сви искази су тачни.

16. 1) 2) 3)

17. Тачна је само реченица 1).

ДеЛоВи ПрАВе

1. 1) Aa Bb = Æ; 2) Aa Cc = Æ; 3) Bb Cc Æ; 4) Oz Aa = Æ; 5) Ox Oy Æ; 6) Bb Oy = Æ.

2. 1) { } =Oz Oy O ; 2) { } =Ox Bb B ; 3) ( , ) =Ox p O B Ox ; 4) ( , ) =Bb p A C Æ.

3. 1) { } =Aa Bb B ; 2) ( , ) { } =p B D Cc D ; 3) =Aa Dd Æ; 4) ( , ) =Dd p B C Æ.

4. 1) 2)

3) 4)

5. 1) Реченица „Пресек две различите праве може бити бесконачан скуп тачака.“ није тачна.2) Реченица „Пресек две различите полуправе може бити бесконачан скуп тачака.“ јесте тачна.

6. Тачни искази су 2) и 3).

7. 1) пет правих и десет дужи; 2) осам правих и десет дужи; 3) десет правих и десет дужи.

8. 1) { } =AC BF B ; 2) { } =AD EF B ; 3) =FB BE FE; 4) =AB BC AC ; 5) ( ) { } = =AC BD EF AD EF B ; 6) ; 7) ( ) ( ) { } = =AB BC EF BF AC EF B .

53

1. Тачни искази су 1) и 5).

2. Могуће је. Сваке две паралелне праве у одговарајућој равни одређују један пар полуравни које немају заједничких тачака.

9. AB<CD<EF<GH 10. Сви искази су тачни. 11. Краћа је дуж AB.

12.

Конструкција се изводи надовезивањем датих дужи: OX = AB, XY = BC, YZ = DE. Тада је OZ = AB + BC + DE.

= - = -XY OY OX CD AB

13.

14. Дуж CB је четири пута дужа од дужи SB.

15. 10 6 4= - = - =AC AB CB cm cm cm10cm-6cm = 4cm

4 3 7= + = + =AS AC CS cm cm cm 4cm+3cm = 7cm

5 , 3= = = =AT BT cm BS CS cm5cm,5 , 3= = = =AT BT cm BS CS cm3cm

5 4 1= - = - =CT AT AC cm cm cm 5cm-4cm = 1cm

7 5 2= - = - =TS AS AT cm cm cm 7cm-5cm = 2cm

16. 35=AB mmmm.

ДеЛоВи рАВНи

54

6. Најдужа је трећа (слева надесно) изломљена линија, затим прва изломљена линија, док је изломљена линија приказана у средини најкраћа.

7. Како је AB = 3IJ, BC = 4IJ, CD = 2IJ и DE = 5IJ, следи да је дужина изломљене линије ABCDE једнака 14 јединица мере.

8. Дужина d дате криве линије приближно је једнака дужини изломљене линије ABCDE приказане на слици. Како је дужина изломљене линије ABCDE једнака 18 јединица мере (поступити као у претходном задатку), тачан одговор је под 2).

3. Три неколинеарне тачке одређују три отворене изломљене линије и само једну затворену изломљену линију.

4. Изломљена линија ACBEDA има већу дужину од изломљене линије ABDCE.

5. Сви приказани путеви који спајају тачке A и B исте су дужине. Најjедноставније је дужине тих путева мерити узимањем за јединицу мере дужину дијагонале „квадратића“.

55

1. Исти је број дужи и број троуглова које одређује пет тачака од којих никоје три нису колинеарне. И једних и других има по десет.

2.

3.

4. 1) 2)

9. Да бисте приближно утврдили дужину неке криве линије потребно је најпре да нацртате изломљену линију која се што боље „поклапа“ са кривом, а затим да измерите дужину те изломљене линије. На наредној слици нацртане су изломљене линије које се скоро „поклапају“ са датим кривим линијама. Наравно, увек постоје изломљене линије које се још боље „поклапају“ са одговарајућом кривом!

мНогоУгАо

56

8.

5. Троугао ABC и полурава Xx немају заједничких тачака. Полуправа Yy и троугао ABC имају једну заједничку тачку Y. Полурава Zz и троугао ABC имају бесконачно много заједничких тачака.

6. 1) 2)

7. Тражену тачку одређујемо надовезивањем страница троугла.

9. Директним мерењем или надовезивањем дужи (то јест страница многоугла) утврђујемо који од њих има највећи обим.

57

4. Права p(O, A) сече кружницу k(O, 5cm) у двема тачкама B и C. Једна од ових тачака, која је са исте стране центра O као и тачка A, уједно јесте и тачка кружнице која је најближа тачки A.

2= - =AC OC OA cm2cm. Друга, која је са оне стране центра са које није тачка A, јесте тачка кружнице која је најудаљенија од тачке A.

8= + =BA BO OA cm8cm.

коНВексНост

крУгоВи и крУЖНиЦе

1. 2. Тачно је једино тврђење под 3).

3. Тетива по којој круг ( ,4 )k O cmcm) пресеца праву p заправо је пречник круга, а његова дужина је 8cm.

5. 1) Ако је тачка A у унутрашњој области кружнице, онда је полупречник те кружнице 3cm. Треба приметити да је збир растојања тачке A од најближе и најудаљеније тачке кружнице једнак пречнику круга.

2) Ако је тачка A у спољашњој области кружнице, онда је полупречник те кружнице 1cm. Треба приметити да је разлика растојања тачке A од најудаљеније и најближе тачке кружнице једнака полупречнику круга.

1. Тачни искази су 1), 2) и 4). 2. Конвексне фигуре су Б), В), Г), Д) и Ж).

3.

Конвексан седмоугао Неконвексан седмоугао

58

8. 1) Пресек кружница као и пресек кругова је празан.2) Пресек кружница као и пресек кругова је једна тачка (кружнице се додирују споља).3) Пресек кружница је једна тачка (кружнице се додирују изнутра), док је пресек кругова

круг мањег полупречника.4) Пресек кружница је празан, док је пресек кругова круг мањег полупречника.

9. 1) Ако се кружнице додирују споља, онда је растојање између центара једнако 9cm (9cm = 3cm + 6cm).

2) Ако се кружнице додирују изнутра, онда је растојање између центара једнако 3cm (3cm = 6cm – 3cm).

10. У оба случаја треба одредити тачку кружнице k(S, 3cm) која је најближа тачки O, а затим конструисати кружницу са центром у тачки O која пролази кроз ту најближу тачку.

11. Тачне реченице су 2), 3) и 4).

12. 1) Тражене тачке представљају пресек кружница k(A, 5cm) и k(B, 5cm).2) Не постоји. Како је AB=8cm, кружнице k(A, 2cm) и k(B, 2cm) не секу се.

13. Треба конструисати кружницу са центром у тачки S коју додирује кружница k(O, 2cm) са унутрашње стране.

14. У осам тачака.

6. 1) Ако је дуж PQ изабрана да буде најдужа, онда је њена дужина једнака 16cm (16cm = 2cm + 9cm + 5cm).

2) Ако је дуж PQ изабрана да буде најкраћа, онда је њена дужина једнака 2cm (2cm = 9cm – 2cm – 5cm).

7. Тражене тачке добијамо као пресечне тачке дате кружнице и кружнице k(A,2cm).

59

Дељивост

1. Одреди количник:а) 45 : 9 = ___ ; б) 125 : 5 = ___ ; в) 432 : 3 = ___ ; г) 247 : 13 = ___ .

2. Одреди количник и остатак при дељењу:

а) 72 : 5 = ____ ( ___ ); б) 91 : 4 = ____ ( ___ );

в) 259 : 10 = ____( ___ ); г) 11 110 : 11 = ____( ___ ).

3. Када природан број делиш са 5, које све бројеве можеш добити као остатак?

4. Ученици петог разреда једне школе кренули су на екскурзију. Ако у тој школи има 126 ученика петог разреда, да ли се могу распоредити у 3 аутобуса тако да у сваком аутобусу буде једнак број деце?

5. Из скупа издвој бројеве који су делиоци броја 30.

6. Напиши скуп свих делилаца броја:

а) 25: ; б) 24: ;

в) 34: ; г) 45: ;

д) 60: .

7. Напиши скуп свих садржалаца броја:

а) 4: ;

б) 8: ;

в) 35: .

8. Нађи највећи двоцифрени број који је садржалац броја: а) 18; б) 7.

9. Нађи најмањи троцифрени број који је садржалац броја: а) 3; б) 5.

10. Дат је скуп . Издвој из скупа A све садржаоце броја 6.

11. Одреди све садржаоце броја 11 између 100 и 200.

12. Испитај тачност следећих тврђења:а) 10 | 1 400; б) 8 | 60; в) 4 | 42; г) 5 | 75; д) 21 | 105.

13. Одреди елементе скупа A ако је:

а) ; б) .

ПоЈАМ Дељивости, Делиоци и сАДржАоци

60

15. Не израчунавајући збир, испитај да ли је:а) 48 + 192 дељиво са 2; б) 55 + 70 дељиво са 5;в) 160 + 44 дељиво са 4; г) 210 + 130 + 460 дељиво са 10.

16. Не израчунавајући разлику, испитај да ли је: а) 99 – 44 дељиво са 11; б) 126 – 30 дељиво са 3; в) 666 – 120 дељиво са 6.

17. Не израчунавајући производ, испитај да ли је: а) 20 ∙ 123 дељиво са 5; б) 44 ∙ 295 дељиво са 4; в) 123 ∙ 21 ∙ 18 дељиво са 2.

18. Испитај тачност следећих тврђења (без израчунавања):а) 7 | (49 + 77 – 35); б) 5 | (45 ∙ 131 – 55); в) 2 | (16 ∙ 25 + 31 ∙ 90).

2 5 7

3

11 77

13

14. Дат је скуп A={2, 5, 7} и B={3, 11, 13}. Користећи таблицу, одреди све бројеве који имају само по један делилац и из скупа A и из скупа B.

1. Напиши пет троцифрених бројева који су дељиви са 10: ____, ____, ____, ____, ____ .

2. Напиши све бројеве између 3 000 и 4 000 који су дељиви са 100.

3. Из скупа D = {250, 1 625, 5 000, 700, 850, 302} издвој оне елементе који су:а) дељиви са 10; б) дељиви са 100.

4. Испитај тачност следећих тврђења и упиши Т за тачна, а за нетачна тврђења:

а) 10 | 40 T ; б) 100 | 5 500 ; в) 10 | 5 000 ;

г) 1 000 | 5 000 ; д)1 000 | 4 300 ; ђ) 100 | 550 ;

е) 10 | 430 ; ж) 100 | 7 700 .

5. Из скупа A = {15, 18, 31, 34, 125, 250} издвој парне бројеве.

6. Наведи бројеве четврте десетице који су дељиви са 2.

7. Напиши све двоцифрене бројеве који су дељиви са 2 и чији је збир цифара 7.

8. Наведи све троцифрене бројеве записане коришћењем једне цифре, који су дељиви са 2.

9. Који су од следећих бројева дељиви са 2? 32, 48, 61, 250, 1 234, 5 252, 300 003?

Дељивост ДеКАДНиМ ЈеДиНицАМА и БроЈевиМА 2, 5, 4 и 25

61

10. Испитај тачност следећих тврђења: а) 2 | 98; б) 2 | 69; в) 2 | 125; г) 2 | 300; д) 2 | 5 555;ђ) 2 | (114 + 46); е) 2 | (333 – 55); ж) 2 | 4 ∙ 17; з) 2 | 74 ∙ 31.

11. Уместо звездице стави одговарајућу цифру тако да добијени број буде дељив са 2:

а) 52 * ; б) 34 * 6 ; в) 11*1; г) 43 * ; д) *9876 .

12. Помоћу цифара 2, 3, 4 запиши све троцифрене бројеве дељиве са 2, ако се цифре не могу понављати.

13. Помоћу цифара 0, 2, 5 запиши све троцифрене бројеве дељиве са 2, ако се цифре могу понављати.

14. Који су од датих бројева дељиви са 5?35; 60; 52; 130; 222; 1 234; 12 345.

15. Напиши пет троцифрених и пет четвороцифрених бројева дељивих са 5.

16. Испитај тачност следећих тврђења (без израчунавања): а) 5 | 65; б) 5 | 74; в) 5 | 320; г) 5 | (45 + 260);д) 5 | (91 + 444); ђ) 5 | 30 ∙ 99; е) 5 | 11 ∙ 170; ж) 5 | 17 ∙ 24.

17. Уместо звездице стави одговарајућу цифру тако да број буде дељив са 5:

а) 45 * ; б) 4 * 5 ; в) *45 ; г) *54 ; д) 54 * .

18. Одреди елементе скупа A ако је .

19. Помоћу цифара 0, 1, 2 запиши све троцифрене бројеве дељиве са 5. Цифре се могу понављати.

20. Ако се цифре не могу понављати, помоћу цифара 0, 1, 5, 9, запиши све троцифрене бројеве дељиве са 5.

21. Одреди све: а) троцифрене, б) четвороцифрене

бројеве дељиве са 5, чији је производ цифара 30.

22. Попуни таблицу.

Број n 25 136 850 1 234 65 432 565 656

Двоцифрени завршетак броја n 25 36

23. Када је број дељив са 4?

24. Напиши пет двоцифрених и пет троцифрених бројева дељивих са 4.

25. Који су од наведених бројева дељиви са 4?118; 324; 904; 1 234; 3 000; 8 760; 777 770; 9 876.

62

26. Испитај тачност следећих тврђења (без израчунавања):а) 4 | 96; б) 4 | 50; в) 4 | 336; г) 4 | 1 414;д) 4 | 123 456; ђ) 4 | (32 + 124); е) 4 | (360 – 116); ж) 4 | 41 ∙ 20.

27. Уместо звездице стави одговарајућу цифру тако да важи:а) 4 | 23 * ; б) 4 | 8 * 8 ; в) 4 | 13 * 2 ; г) 4 | *64 ; д) 4 | *42 .

28. Помоћу цифара 0, 1, 2, 3, 4 запиши све троцифрене бројеве дељиве са 4. Цифре се могу понављати.

29. Одреди најмањи и највећи троцифрени број дељив са 4.

30. Када је број дељив са 25?

31. Издвој из скупа бројеве који су дељиви са 25.

32. Уместо звездице стави одговарајућу цифру тако да важи:а) 25 | 432 * ; б) 25 | 12 * 5 ; в) 25 | 1* 45 ; г) 25 | *75 .

33. Испитај тачност следећих тврђења (без израчунавања):а) 25 | 625; б) 25 | 12 345; в) 25 | (775 + 850);г) 25 | (1 225 – 775); д) 25 | 16 ∙ 35; ђ) 25 | 100 ∙ 33.

1. Попуни таблицу.

Број n 22 85 126 444 98 765 300 000

Збир цифара броја n 4

2. Када је број дељив са 3, а када са 9?

3. Напиши пет двоцифрених и пет троцифрених бројева дељивих: а) са 3 двоцифрени: ___, ___, ___, ___, ___ ; троцифрени: ___, ___, ___, ___, ___ ;б) са 9 двоцифрени: ___, ___, ___, ___, ___ ; троцифрени: ___, ___, ___, ___, ___ .

4. Подвуци бројеве дељиве са 3:42, 56, 93, 141, 250, 222, 1 234, 87 654.

5. Испитај тачност следећих тврђења:a) 3 | 33; б) 3 | 73; в) 3 | 111; г) 3 | 400; д) 3 | (45 + 12); ђ) 3 | (411 + 291); е) 3 | 27 ∙ 50; ж) 3 | 19 ∙ 444.

Дељивост БроЈевиМА 3 и 9

63

6. Уместо слова стави одговарајућу цифру тако да важи:а) 3 | 45a ; б) 3 | 2 2b ; в) 3 | 311c .

7. Одреди најмањи и највећи четвороцифрени број дељив са 3 код кога су све цифре различите.

8. Ако се цифре не могу понављати, од цифара 0, 2, 3, 4, 6 формирај све троцифрене бројеве дељиве са 3.

9. Ако се цифре могу понављати, од цифара 0, 3, 6 формирај све троцифрене бројеве дељиве са 3.

10. Из скупа издвој бројеве који су дељиви са 9.

11. Одреди најмањи и највећи четвороцифрени број дељив са 9 код кога су све цифре различите.

12. Испитај тачност следећих тврђења:а) 9 | 111; б) 9 | 333; в) 9 | 567; г) 9 | 1 234;д) 9 | 18 000; ђ) 9 | (216 + 117); е) 9 | (351 + 873); ж) 9 | 999 ∙ 100.

13. Уместо слова стави одговарајућу цифру тако да важи:

а) 9 | 41a ; б) 9 | 4 5b ; в) 9 | 348c ; г) 9 | 97 0x .

14. Одреди елементе скупа B ако је .

15. Помоћу цифара 0, 1, 2, 6, 7 напиши све троцифрене бројеве дељиве са 9.

16. Напиши два двоцифрена броја која су дељива са 3, а нису дељива са 9.

17. Нађи најмањи шестоцифрени број дељив са 9, коме су све цифре различите.

18. Из скупа издвој оне бројеве који су дељиви: а) и са 2 и са 3; б) и са 2 и са 9.

19. Нађи највећи троцифрени број дељив са 6, коме су све цифре различите.

20. Подвуци бројеве који су дељиви и са 4 и са 9:216; 414; 432; 576; 999.

21. Испитај тачност следећих тврђења:а) 15 | 555; б) 15 | 900; в) 15 | 1 341;г) 12 | 660; д) 12 | 333; ђ) 12 | 456.

22. Колико има природних бројева мањих од 500 који су дељиви и са 3 и са 4?

23. Колико има природних бројева мањих од 1 000 који нису дељиви ни са 3, ни са 4?

64

24. Испитај тачност следећих тврђења: а) 9 | 999...999; б) 4 | 222...222; в) 5 | 555...555.

25. Уместо слова стави одговарајућу цифру тако да важи: а) 6 | 524a ; б) 6 | 3 84b ; в) 6 | 1 7c d .

26. Попуни таблицу.

Дељ

ив

са 2

Дељ

ив

са 3

Дељ

ив

са 4

Дељ

ив

са 5

Дељ

ив

са 6

Дељ

ив

са 9

Дељ

ив

са 1

0

Дељ

ив

са 1

2

Дељ

ив

са 1

5

Дељ

ив

са 2

5

Дељ

ив

са 3

6

Дељ

ив

са 1

00

100 да238 не345384432850

1 2753 4103 4564 560

30 000321 000

Прости и сложеНи БроЈеви

1. Нађи све делиоце следећих бројева: 7, 19, 23, 37, 59. Колико делилаца има сваки од ових бројева? Како називамо те бројеве?

2. Запиши све просте бројеве p такве да је:а) 50p ; б) 30 79p ; в) 51 99p .

3. Нађи све делиоце следећих бројева:

а) 10, ; б) 15, ;

в) 16, ; г) 20, ;

д) 34, .

Како називамо бројеве који имају више од два делиоца?

4. Напиши све сложене бројеве између 70 и 100.

5. Напиши пет простих и пет сложених бројева већих од 100.прости: _____, _____, _____, _____, _____ ; сложени: _____, _____, _____, _____, _____ .

65

6. Од цифара 1, 2, 5, 9 формирај све двоцифрене просте бројеве.

7. Напиши пет парова узајамно простих бројева: _____ и _____, _____ и _____, _____ и _____, _____ и _____, _____ и _____ .

8. Одреди скуп свих делилаца броја 36. Који су од тих делилаца прости, а који сложени бројеви?

9. Нађи просте делиоце броја 20.

10. Допуњујући шта недостаје, растави дате бројеве на просте чиниоце:а) 10 = 2 ∙ ____ ; б) 15 = 3 ∙ ____ ;в) 36 = 2 ∙ ____∙ ____∙ ____ ; г) 42 = ____∙ ____∙ ____ .

11. Нађи најмањи сложен број који је производ три различита проста броја.

12. Број 12, на пример, можемо раставити на просте чиниоце на следећа три начина.

I начин II начин III начин

13. Растави на просте чиниоце бројеве: а) 48, 60, 140, 27, 315, 81;б) 144, 169, 225, 216, 210, 256; в) 360, 400, 900, 1 188, 924, 1 170.

Растави на просте чиниоце (на сва три начина) следеће бројеве: а) 24; б) 30; в) 40; г) 55; д) 84; ђ) 96; е) 120; ж) 275.

12 = 4 ∙ 3 = 2 ∙ 2 ∙ 3212 2 3=

12

4

2 2

3 212 2 3= 212 2 3=

12631

223

14. Растави на просте чиниоце бројеве, па одреди све делиоце броја:а) 26; б) 30; в) 102; г) 144.

15. Одреди најмањи број чији су сви прости чиниоци:а) 2, 3 и 5; б) 3, 5 и 11; в) 2, 5, 7 и 13.

16. Марко је на табли растављао број на просте чиниоце и на крају случајно избрисао тај број. На табли је остао само производ простих чинилаца тог броја 2 22 3 5 11 . Који број је Марко растављао на просте чиниоце?

17. Одреди број који има следеће просте чиниоце:а) чинилац 2, чинилац 3 два пута, чинилац 5 три пута;б) чинилац 2 три пута, чинилац 3 два пута, чинилац 5 два пута.

18. Настави започети низ бројева: 4, 9, 25, 49, ____, ____, ____, ____ .

19. Нађи све сложене бројеве мање од 1 000 чији је прост чинилац само број 5.

66

1. а) Делиоци броја 14 су: ____, ____, ____, ____. б) Делиоци броја 18 су: ____, ____, ____, ____, ____, ____.в) Делиоци броја 24 су: ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____.г) Делиоци броја 60 су: ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____.

2. Нађи скуп свих делилаца броја 48 и скуп свих делилаца броја 60, па одреди пресек та два скупа. Који је број из пресека та два скупа највећи? Како називамо тај број?

3. Нађи скуп свих делилаца броја 30, скуп свих делилаца броја 42 и скуп свих делилаца броја 66, па одреди заједничке делиоце тих бројева. Који је највећи од свих заједничких делилаца?

НАЈвеЋи ЗАЈеДНиЧКи ДелилАц

20. Одреди најмањи природан број који помножен са 432 даје:1) квадрат неког броја; 2) куб неког броја.

21. Производ два узастопна природна броја јесте: а) 72; б) 240.О којим бројевима је реч?

22. Производ три узастопна природна броја јесте: а) 210; б) 720.О којим бројевима је реч?

23. Производ цифара неког броја јесте 180. Одреди:1) најмањи такав петоцифрени број; 2) најмањи такав четвороцифрени број.

Решење: Како је 180 производ цифара, раставићемо 180 на просте чиниоце да бисмо видели које све цифре могу учествовати у запису тог броја.

1) Да би био најмањи могући број, гледамо да прве цифре буду 1 што је могуће више пута (1 може увек бити чинилац јер не мења производ, 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 1). Како онда имамо шест цифара, а тражи се петоцифрени број, помножићемо две највеће, под условом да је њихов производ једноцифрен број, а то је 3 ∙ 3 = 9. Слично, множимо 2 ∙ 2 = 4, па закључујемо да је најмањи такав број 11 459.

2) Слично, за четвороцифрени број множимо по два пара чинилаца, под условом да је њихов производ једноцифрен број, а то су 3 ∙ 3 = 9 и 2 ∙ 2 = 4, па је најмањи такав број 1 459.

24. Постоји ли природан број чији је производ цифара: а) 52; б) 198?

Решење.1) Број је квадрат неког броја ако се сваки прост

чинилац јавља паран број пута. Растављајући број 432 на просте чиниоце, можеш уочити да као чинилац недостаје најмање један број 3 да бисмо добили квадрат неког броја.

2) Број је куб неког броја ако се сваки прост чинилац у њему јавља 3, 6, 9 ... пута. Можеш уочити да као чинилац недостаје најмање 2 ∙ 2 = 4 да бисмо добили куб неког броја.

432216108

5427

931

2222333

432 = 2 ∙2 ∙2 ∙2 ∙3 ∙ 3 ∙ 3

432 = 2 ∙2 ∙2 ∙2 ∙3 ∙ 3 ∙ 3

67

4. Одреди заједничке делиоце за бројеве:а) 6 и 8; б) 5 и 10; в) 8 и 12.

5. Одреди највећи заједнички делилац за бројеве:а) 3 и 10; б) 7 и 9; в) 12 и 13; г) 25 и 26; д) 15 и 44.Како се називају ти бројеви?

6. Који број је највећи заједнички делилац узајамно простих бројева?

7. Напиши по три пара бројева чији је највећи заједнички делилац број 1.

8. Растављањем на просте чиниоце бројеве 36 и 54 можеш одредити њихове заједничке делиоце и њихов највећи заједнички делилац.36 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 354 = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 D(36, 54) = 2 ∙ 3 ∙ 3 = 18.Користећи овај поступак одреди највећи заједнички делилац бројева:а) 6 и 18; б) 48 и 72; в) 105 и 360; г) 180 и 280.

9. Тражењем заједничких простих чинилаца бројева 36 и 54 можеш одредити њихов највећи заједнички делилац.

Користећи овај поступак, одреди највећи заједнички делилац бројева:а) 8 и 12; б) 6 и 9; в) 16 и 18;г) 56 и 72; д) 120 и 150; ђ) 72 и 180.

10. Одреди највећи заједнички делилац бројева (на оба начина): а) 12 и 18; б) 50 и 125; в) 70 и 90;г) 24, 60 и 96; д) 15, 75 и 225; ђ) 252, 546 и 630.

D(36, 54) = 2 ∙ 3 ∙ 3 = 18.

36,18,

6,2,

54,27,

9,3

233

11. Одреди највећи заједнички делилац бројева:а) 32 и 56; б) 54 и 72; в) 132 и 420; г) 280 и 960;д) 210, 336 и 462; ђ) 300, 525 и 645; е) 132, 462 и 726.

12. Користећи бројеве 2, 3, 5, 7, 11, 13, као чиниоце напиши бар три пара бројева чији је највећи заједнички делилац број:а) 2; б) 10; в) 55.

13. Одреди највећи заједнички делилац бројева:

а) 10 и 20; б) 8 и 16; в) 18 и 36; г) 25 и 50.Ако a b , можеш закључити да је D( , )D a b = ____ .

14. Којим највећим бројем можемо поделити бројеве 189 и 441 без остатка?

68

22. За новогодишњу журку ученици су надували 60 црвених, 75 плавих и 105 жутих балона. У колико највише група могу поделити балоне, тако да у свакој групи буде једнак број балона исте боје?

23. Деда Милан је одлучио да своју велику њиву дужине 260m и ширине 80m издели на мање, једнаке парцеле облика квадрата целобројних дужина. Која је највећа могућа дужина једне тако добијене парцеле, и колико ће бити таквих парцела?

24. Од 24 руже, 60 каранфила и 72 гербера направљен је највећи могући број једнаких букета. Колико ће бити таквих букета и колико ће коштати сваки букет ако је цена руже 40 динара, каранфила 5 динара и гербера 20 динара?

25. Посластичар је испекао кору за кремпиту правоугаоног облика дужине 66cm и ширине 42cm. Кору треба да исече на што веће једнаке парчиће у облику квадрата. Колика ће бити дужина сваког парчета? Колико ће парчића посластичар исећи?

26. Колаж папир је правоугаоног облика димензија 165mm x 210mm. Марко треба да га исече на што је могуће веће једнаке квадратиће. Колика је површина једног квадратића? Колико је квадратића исекао Марко?

15. Којим највећим бројем можемо поделити бројеве 235 и 391 да остатак при оба дељења буде 1?

16. Којим највећим бројем можемо поделити бројеве 267 и 994 да остаци редом буду 3 и 4?

17. Којим највећим бројем можемо поделити бројеве 425, 1 770 и 1 393 тако да остаци буду редом 5, 6 и 7?

18. Одреди све вредности x за које је:а) D(x, 20) = 4, 20x ; б) D(9, x) = 9, 45x .

19. У једном одељењу петог разреда има 12 дечака и 16 девојчица. У колико највише група их може поделити наставник, тако да у свакој групи буде једнак број девојчица и једнак број дечака?

20. Три канапа дужине 42m, 70m и 98m треба исећи на што веће делове једнаких дужина. Колика ће бити дужина сваког дела и колико таквих делова ће се добити из сваког канапа?

21. На Мајином рођендану њена мајка је послужила госте са 26 колача и 39 чаша сока. Колико гостију је имала Маја ако је сваки гост добио једнак број колача и једнак број чаша сока?

Решење: Како је остатак при оба дељења 1, да остатак не би постојао, оба броја ћемо умањити за 1, а затим за тако добијене бројеве 234 и 390 тражимо највећи број којим се могу поделити ти бројеви без остатка, тј. њихов највећи заједнички делилац.

234,117,

39,3,

390,195,

65,5,

23

13

69

27. У једној продавници треба направити новогодишње пакетиће за децу од 210 играчака, 315 чоколада и 420 кутија кекса. Колико је највише једнаких пакетића могуће направити и колико ће коштати сваки пакетић ако је цена једне играчке 100 динара, чоколаде 60 динара и кекса 20 динара?

28. На тренингу је било 225 дечака и 105 лопти. Подељени су на једнаке групе, тако да је свака група добила једнак број лопти. Колико је било група и колико је свака група добила лопти? Колико решења има дати проблем?

1. а) Садржаоци броја 5 јесу: 5, 10, _____, _____, _____, _____, _____, …б) Садржаоци броја 8 јесу: 8, 16, _____, _____, _____, _____, _____, …в) Садржаоци броја 12 јесу: _____, _____, _____, _____, _____, _____, _____, …г) Садржаоци броја 23, мањи од 100 јесу: _____, _____, _____, _____ .

2. Садржаоци броја 6, мањи од 50 јесу: _____, _____, _____, _____, _____, _____, _____, _____ .Садржаоци броја 8, мањи од 50 јесу: _____, _____, _____, _____, _____, _____ .Заједнички садржаоци бројева 6 и 8, мањи од 50 јесу: _____, _____ .Најмањи заједнички садржалац бројева 6 и 8 јесте _____ .

3. а) Заједнички садржаоци бројева 3 и 5 су: 15, _____, _____, _____, _____, _____, … Најмањи заједнички садржалац бројева 3 и 5 јесте _____ .

б) Заједнички садржаоци бројева 4 и 6 су: _____, _____, _____, _____, _____, … Најмањи заједнички садржалац бројева 4 и 6 јесте _____ .

в) Заједнички садржаоци бројева 6 и 9 су: _____, _____, _____, _____, _____, … Најмањи заједнички садржалац бројева 6 и 9 јесте _____ .

НАЈМАЊи ЗАЈеДНиЧКи сАДржАлАц

4. Растављањем на просте чиниоце бројеве 6 и 10 можеш одредити њихов најмањи заједнички садржалац.

6 = 2 ∙ 3 10 = 2 ∙ 5 S(6,10) = 2 ∙ 3 ∙ 5 = 30.

Користећи овај поступак, одреди најмањи заједнички садржалац за бројеве:а) 12 и 15; б) 8 и 10; в) 6 и 9;г) 18 и 24; д) 24 и 30; ђ) 12 и 60.

5. Тражењем свих простих чинилаца бројева 6 и 10 можеш одредити њихов најмањи заједнички садржалац.

Користећи овај поступак, одреди најмањи заједнички садржалац за бројеве:а) 10 и 15; б) 8 и 18; в) 12 и 20;г) 36 и 48; д) 24 и 30; ђ) 80 и 100.

6,3,1,1,

10,5,5,1

235

S(6,10) = 2 ∙ 3 ∙ 5 = 30.

70

12. Три аутомобила крећу истовремено са старта на кружној стази. Први аутомобил обиђе круг за 15 минута, други за 20 минута, а трећи за 12 минута. Ако трка траје 2 сата и 30 минута, колико ће пута, не рачунајући старт, истовремено проћи кроз циљну равнину сва три аутомобила у току трке?

13. Два аутобуса полазе у 6 сати из исте станице. Један сваких 25 минута, други сваких 30 минута. Колико пута ће се ти аутобуси срести на почетној станици до 19 сати?

14. У једној улици дужине 3km на сваких 50m налази се светиљка, а на сваких 15m стабло. На самом почетку улице у линији су светиљка и стабло. Колико пута се та ситуација понавља у тој улици?

15. Обим предњег точка бицикла је 90cm, а обим задњег точка је 120cm. Колики најмањи пут треба да пређе бициклиста да би и предњи и задњи точак направили цео број обртаја?

16. Одреди најмањи природан број који се може поделити бројевима 120 и 144.

17. Нађи најмањи природан број који се може поделити бројевима 15, 40 и 54.

6. Одреди најмањи заједнички садржалац за бројеве (на два начина):а) 24 и 144; б) 40 и 112; в) 36 и 60;г) 6, 10 и 20; д) 10, 35 и 45; ђ) 24, 36 и 72.

7. Одреди најмањи заједнички садржалац за бројеве:а) 60 и 75; б) 55 и 121; в) 72 и 90;г) 24, 36 и 48; д) 24, 28 и 35; ђ) 15, 18 и 21;е) 45, 60 и 75; ж) 32, 40 и 56; з) 28, 35 и 60.

8. Одреди најмањи заједнички садржалац за бројеве:а) 5 и 6; б) 8 и 15; в) 9 и 10.

Ако су бројеви a и b узајамно прости, можеш да уочиш да је S(a,b) = ____ ∙ ____ .

9. Одреди најмањи заједнички садржалац за бројеве:а) 3 и 12; б) 10 и 30; в) 12 и 48.Ако a b , можеш да уочиш да је S(a,b) = ____ .

10. Два брода полазе из исте луке на своја путовања; један сваких 25 дана, други сваких 35 дана. Ако крену на пут истовремено, после колико дана ће из полазне луке поново кренути истовремено?

11. Три тркача стартују истовремено на кружној стази. Први обиђе ту стазу за 10 минута, други за 12 минута, а трећи за 15 минута. После колико минута ће се сва три атлетичара заједно наћи поново на месту поласка?

71

18. Одреди најмањи природан број који при дељењу са 64 и 72 даје остатак 3.

19. Који је најмањи природан број који при дељењу са 42, 49 и 56 даје остатак 1?

20. Нађи x ако је: а) S =(4, ) 12S x ; б) S =( ,15) 30S x ; в) S =(20, , 5) 20S x .Колико има решења у сваком од случајева?

21. Одреди најмањи број који при дељењу са 4 даје остатак 2, при дељењу са 5 даје остатак 3, а при дељењу са 6 даје остатак 4.

22. На столу су књиге које треба спаковати. Ако бисмо их паковали по 4, по 5 или по 6, сваки пут би остале по две књиге, а ако их пакујемо по 7, све ће бити спаковане. Колико најмање књига може бити на столу?

23. Који природан број a, 100 < a < 200 при дељењу са 2, 3, 4 и 5 даје остатак редом 1, 2, 3 и 4?

24. Одреди све троцифрене бројеве који при дељењу са 7 дају остатак 2, при дељењу са 9 дају остатак 4 и при дељењу са 12 дају остатак 7?

25. Нађи највећи четвороцифрени број који при дељењу са 3, 4, 5, 6, 7 даје остатак 2.

Решење.Најмањи број који при дељењу и са 64 и са 72 нема остатак јесте најмањи заједнички садржалац тих бројева.

S(64,72) 2 2 2 2 2 2 3 3 576= =

Број који је за 3 већи од броја 576, а при дељењу са 64 и 72 даје остатак 3, јесте број 579.

64,32,16,

8,4,2,1,1,1,

72,36,18,

9,9,9,9,3,1,

22222233

26. Реши укрштеницу.

Водоравно: А: D(48, 72). В: Највећи прост број шесте десетице.Г: Прости чиниоци броја 21.Д: Најмањи прост број.Ђ: Најмањи природан број.Е: S(22, 26, 143).

Усправно:А: Прости чиниоци броја 70.Б: Квадрат броја 7.Г: Сложен број чији су сви прости чиниоци 2, 7 и 23.Ђ: Производ четири двојке. Ж: Куб броја 2.

А Б

В

Г

Д Ђ

Е Ж

72

1. Нека је дат скуп .

а) Пресек скупа простих бројева и скупа А је скуп B = { _______________________ }. б) Сви сложени бројеви из скупа A су елементи скупа C = { _______________________ }.

2. Растави на просте чиниоце број 90.

=90 ________________________

3. Највећи заједнички делилац за бројеве 72 и 96 је:

а) 18; б) 20; в) 24.(Заокружи слово испред тачног одговора.)

4. Најмањи заједнички садржалац за бројеве 24, 60 и 96 је:

а) 96; б) 240; в) 480.(Заокружи слово испред тачног одговора.)

5. Које цифре можеш написати уместо * тако да важи 2 57 * ?

Могу записати цифре: _______________________________ .

6. Од цифара 1, 2, 3, 5 састави све троцифрене бројеве дељиве са 3, тако да се цифре не понављају.

То су бројеви: _______________________________________________________ .

7. У продавницу су стигла два џака шећера од 36kg и 42kg. Џакове треба препаковати у мање, једнаке кесе, које ће тежити цео број килограма, а да се притом не меша шећер из једног и другог џака. Одреди највећу могућу количину шећера коју продавци могу спаковати у сваку кесу. Колико ће бити таквих кеса? Највећа могућа количина шећера у тим кесама је _____ kg, и тада ће их бити

а) 16; б) 24; в) 13.(Заокружи слово испред тачног одговора.)

тестрешења:

1. а) ; б) .2. ==

2902335235.

3. в) 24.4. в) 480.5. 0, 2, 4, 6, 8.6. 123, 132, 213, 231, 312, 321, 135, 153, 315, 351, 513, 531.7. kg; в) 13 кеса.8. в) 21

73

Дељивост – Решења

ПоЈаМ Дељивости, Делиоци и саДРжаоци1. а) 5; б) 25; в) 144; г) 19. 2. а) 14 (2); б) 22 (3); в) 25 (9); г) 1 010 (0). 3. 0, 1, 2, 3, 4.4. 126 : 3 = 42, што значи да могу, и у сваком аутобусу ће бити по 42 ученика.

5. .

6. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

7. а) ; б) ; в) .8. а) 90; б) 98. 9. а) 102; б) 100. 10. 24, 36, 72.11. 110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198.12. а) тачно; б) нетачно; в) нетачно; г) тачно; д) тачно.

13. а) А ; б) А .14. 2 5 7

3 6 15 2111 22 55 7713 26 65 91

15. а) 2 48 и 2 192 , дакле 2 (48 192)+ ; б) 5 55 и 5 70, дакле 5 (55 70)+ ; в) 4 160 и 4 44,

дакле 4 (160 44)+ ; г) 10 210, 10 130 и 10 460, дакле 10 (210 130 460)+ + .

16. а) 11 99 и 11 44 , дакле 11 (99 44)- ; б) 3 126 и 3 30, дакле 3 (126 30)- ; в) 6 666 и

6 120 , дакле 6 (666 120)- .

17. а) 5 20 , дакле 5 20 123 ; б) 4 44 , дакле 4 44 295 ; в) 2 18 , дакле 2 123 21 18 .

18. а) 7 49 , 7 77 и 7 35 , дакле 7 (49 77 35)+ - ;

б) 5 45 па 5 45 131 и 5 55 , дакле 5 (45 131 55) - ;

в) како 2 16 онда 2 16 25 и како 2 90 онда 2 31 90 , дакле 2 (16 25 31 90) + .

Дељивост ДеКаДНиМ ЈеДиНицаМа и БРоЈевиМа 2, 5, 4 и 25

1. На пример: 160, 220, 390, 810, 970.2. 3 100, 3 200, 3 300, 3 400, 3 500, 3 600, 3 700, 3 800, 3 900.3. а) 250, 5 000, 700, 850; б) 5 000, 700.4. а)

; б)

; в)

; г)

; д) ; ђ) ; е)

; ж)

.5. 18, 34, 250. 6. 32, 34, 36, 38 и 40. 7. 16, 34, 52 и 70.8. 222, 444, 666, 888. 9. 32, 48, 250, 1 234, 5 252.10. а) тачно; б) нетачно; в) нетачно; г) тачно; д) нетачно; ђ) тачно; е) тачно; ж) тачно; з) тачно.

11. а) ; б) ; в) ниједна цифра; г) ;

д) .12. 234, 324, 342, 432,13. 200, 202, 222, 250, 252, 500, 502, 520, 522, 550, 552.14. 35, 60, 130, 12 345.

74

15. На пример: 155, 170, 290, 315, 665 и 1 230, 5 505, 6 000, 6 075, 9 600.16. а) тачно; б) нетачно; в) тачно; г) тачно; д) тачно; ђ) тачно; е) тачно; ж) нетачно .17. а) ; б) ; в) ; г) ниједна цифра;

д) .18. А . 19. 100, 110, 120, 200, 210, 220.20. 105, 150, 190, 195, 510, 590, 910, 950, 905, 915.21. 30 1 2 3 5= ; а) 165, 615, 235, 325; б) 1 235, 1 325, 2 135, 2 315, 3 125, 3 215, 1 165, 1 615,

6 115.22. Број n 25 136 850 1 234 65 432 565 656

Двоцифрени завршетак броја n 25 36 50 34 32 56

23. Број је дељив са 4 када му је двоцифрени завршетак дељив са 4.24. На пример: 20, 32, 40, 56, 64 и 136, 424, 496, 772, 880. 25. 324, 904, 3 000, 8 760, 9 876.26. а) тачно; б) нетачно; в) тачно; г) нетачно; д) тачно; ђ) тачно; е) тачно; ж) тачно.27. а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ниједна цифра.28. 100, 104, 112, 120, 124, 132, 140, 144, 200, 204, 212, 220, 224, 232, 240, 244, 300, 304, 312,

320, 324, 332, 340, 344, 400, 404, 412, 420, 424, 432, 440, 444.29. 100 и 996.30. Број је дељив са 25 када му је двоцифрени завршетак дељив са 25.31. 225, 850, 6 000, 975, 33 000.32. а) * = 5; б) ; в) ниједна цифра; г) .33. а) тачно; б) нетачно; в) тачно; г) тачно; д) нетачно; ђ) тачно .

Дељивост БРоЈевиМа 3 и 91. Број n 22 85 126 444 98 765 300 000

Збир цифара броја n 4 13 9 12 35 3

2. Број је дељив са 3 када му је збир цифара дељив са 3, а број је дељив са 9 када му је збир цифара дељив са 9.

3. На пример: а) 27, 39, 45, 63, 72 и 144, 183, 225, 345, 888; б) 27, 54, 63, 72, 90 и 252, 333, 414, 522, 774.

4. 42, 93, 141, 222, 87 654.5. а) тачно; б) нетачно; в) тачно; г) нетачно; д) тачно; ђ) тачно; е) тачно; ж) тачно.6. а) a{0, 3, 6, 9}; б) b{2, 5, 8}; в) c{1, 4, 7}. 7. 1 023 и 9 876.8. 204, 240, 402, 420, 234, 243, 324, 342, 423, 432, 306, 360, 603, 630, 246, 264, 426, 462, 624, 642.9. 300, 303, 330, 333, 306, 360, 366, 600, 603, 630, 633, 606, 660, 666, 336, 363, 663, 636.10. 27, 99, 252, 882, 4 545. 11. 1 026 и 9 873.12. а) нетачно; б) тачно; в) тачно; г) нетачно; д) тачно; ђ) тачно; е) тачно; ж) тачно.13. а) a=4; б) b{0, 9}; в) c=3; г) x=2. 14. B={99, 108, 117, 126, 135, 144, 153, 162, 171}.15. 207, 270, 702, 720, 126, 162, 216, 261, 612, 621. 16. На пример: 57 и 78.17. 102 348. 18. а) 12, 42, 54, 306, 7 002; б) 54, 306, 7 002. 19. 984.

75

24. а) Тачно је да 9 999 999 јер је 999 999 9 111 111 = , па како 9 9 онда 9 9 111 111

то јест 9 999 999 ; б) нетачно јер двоцифрени завршетак 22 није дељив са 4; в) Тачно

је да 5 555 555 јер је последња цифра 5.

25. а) а=4; б) b{0, 3, 6, 9}; в) за d{0, 6} и c{1, 4, 7}, или за d{2, 8} и c{2, 5, 8}, или за

d=4 и c{0, 3, 6, 9}.

26.

Дељ

ив

са 2

Дељ

ив

са 3

Дељ

ив

са 4

Дељ

ив

са 5

Дељ

ив

са 6

Дељ

ив

са 9

Дељ

ив

са 1

0

Дељ

ив

са 1

2

Дељ

ив

са 1

5

Дељ

ив

са 2

5

Дељ

ив

са 3

6

Дељ

ив

са 1

00

100 да не да да не не да не не да не да238 да не не не не не не не не не не не345 не да не да не не не не да не не не384 да да да не да не не да не не не не432 да да да не да да не да не не да не850 да не не да не не да не не да не не

1 275 не да не да не не не не да да не не3 410 да не не да не не да не не не не не3 456 да да да не да да не да не не да не4 560 да да да да да не да да да не не не

30 000 да да да да да не да да да да не да321 000 да да да да да не да да да да не да

ПРости и сложеНи БРоЈеви

1. 7D 1, 7= {1, 7}, 19D 1,19= {1, 19}, 23D 1, 23= {1, 23}, 37D 1, 37= {1, 37}, 59D 1, 59={1, 59}. Два. Прости бројеви.

2. а) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47; б) 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73;

в) 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

3. а) 10D 1, 2, 5,10= {1, 2, 5, 10}; б) 15D 1, 3, 5,15= {1, 3, 5, 15}; в) 16D 1, 2, 4, 8,16= {1, 2, 4, 8, 16}; г) 20D 1, 2, 4, 5,10, 20= {1, 2, 4, 5, 10, 20};

д) D34= {1, 2, 17, 34}. Сложени бројеви.

4. 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99.

5. На пример: прости: 101, 113, 127, 149, 163; сложени: 105, 110, 122, 144, 168.

6. 11, 19, 29 и 59. 7. На пример: 7 и 8, 15 и 16, 10 и 21, 18 и 25, 13 и 36.

8. 36D 1, 2, 3, 4, 6, 9,12,18, 36= {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}; прости: 2, 3; сложени: 4, 6, 9, 12, 18, 36. 9. 2 и 5.

10. а) 10 = 2 ∙ 5; б) 15 = 3 ∙ 5; в) 36 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3; г) 42 = 2 ∙ 3 ∙ 7. 11. 2 ∙ 3 ∙ 5 = 30.

12. а) 324 2 3= ; б) 30 2 3 5= ; в) 340 2 5= ; г) 55 5 11= ; д) 284 2 3 7= ;

ђ) 596 2 3= ; е) 3120 2 3 5= ; ж) 2275 5 11= .

23. Како је 999 : 3 = 333, дакле 333 броја дељивих са 3, 999 : 4 = 249 ( 3 ), дакле 249 бројева дељивих са 4 и 999 : 12 = 83 ( 3 ), дакле 83 броја дељива са 12, то јест и са 3 и са 4. Помоћу Веновог дијаграма то се представља као на слици. Укупно 250 + 83 + 166 = 582 броја који су дељиви или са 3, или са 4 или са оба броја, што значи да има 999 – 582 = 417 бројева мањих од 1000 који нису дељиви ни са 3, ни са 4.

20. 216, 432, 576. 21. а) тачно; б) тачно; в) нетачно; г) тачно; д) нетачно; ђ) тачно.22. 499 : 12 = 41 ( 7 ), 41 природан број дељив са 12, тo јест дељив и са 3 и са 4.

76

13. а) 448 2 3= ; 260 2 3 5= ; 2140 2 5 7= ; 327 3= ; 2315 3 5 7= ; 481 3= ; б) 4 2144 2 3= ; 2169 13= ; 2 2225 3 5= ; 210 2 3 5 7= ; 8256 2= ; в) 3 2360 2 3 5= ; 4 2400 2 5= ; 2 2 2900 2 3 5= ; 2 31188 2 3 11= ; 2924 2 3 7 11= ; 21170 2 3 5 13= .

14. а) 26 2 13= , 26D 1, 2,13, 26= {1, 2, 13, 26}; б) 30 2 3 5= , 30D 1, 2, 3, 5, 6,10,15, 30= {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30};

в) 102 2 3 17= , 102D 1, 2, 3, 6,17, 34, 51,102={1, 2, 3, 6, 17, 34, 51, 102};

г) 4 2144 2 3= , 144D 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9,12,16,18, 24, 36, 48, 72,144= {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144}.15. а) 30; б) 165; в) 910. 16. 2 22 3 5 11 3300 =3 300. 17. а) 2 32 3 5 2250 =2 250; б) 3 2 22 3 5 1800 =1 800.18. 4, 9, 25, 49, 121, 169, 289, 361. 19. 5, 25, 125, 625.21. а) Како је 72 2 2 2 3 3 8 9= = , то су бројеви 8 и 9; б) како је 240 2 2 2 2 3 5 16 15= = ,

то су бројеви 15 и 16.22. а) Како је 210 2 3 5 7 6 5 7= = , то су бројеви 5, 6 и 7; б) како је

то су бројеви 8, 9 и 10.24. а) Како је 52 2 2 13= , не, јер 13 није цифра; б) Како је 198 2 3 3 11= , не, јер 11 није цифра.

НаЈвеЋи ЗаЈеДНиЧКи Делилац1. а) 1, 2, 7, 14; б) 1, 2, 3, 6, 9, 18; в) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24; г) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.2. 48D 1, 2, 3, 4, 6, 8,12,16, 24, 48= {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}, 60D 1, 2, 3, 4, 5, 6,10,12,15, 20, 30, 60={1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60},

48 60 48,60D D D 1, 2, 3, 4, 6,12 = = {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Највећи је број 12 и њега називамо највећи заједнички делилац бројева 48 и 60.

3. 30D 1, 2, 3, 5, 6,10,15, 30={1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}, 42D 1, 2, 3, 6, 7,14, 21, 42= {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}, 66D 1, 2, 3, 6,11, 22, 33, 66= {1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66}, 30,42,66D 1, 2, 3, 6={1, 2, 3, 6}. Највећи је број 6.

4. а) 6,8D 1, 2= {1, 2}; б) 5,10D 1, 5= {1, 5}; в) 8,12D 1, 2, 4= {1, 2, 4}. 5. а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Узајамно прости бројеви.6. Број 1. 7. На пример: 18 и 19, 30 и 49, 25 и 42.8. а) 6 2 3= , 18 2 3 3= , ; б) 48 2 2 2 2 3= , 72 2 2 2 3 3= ,

; в) 105 3 5 7= , 360 2 2 2 3 3 5= , ; г)180 2 2 3 3 5= , 280 2 2 2 5 7= , .

9. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; ђ) .

10. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; ђ) .

11. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; ђ) ; е) .

12. а) На пример: 6 и 14, 10 и 26, 66 и 70; б) 30 и 70, 70 и 110, 130 и 770; в) 55 и 110, 165 и 385, 110 и 1 155.

13. а) 10; б) 8; в) 18; г) 25. .14. Највећи број којим можеш поделити бројеве 189 и 441 без остатка јесте највећи

заједнички делилац тих бројева, .16. Тражимо D за бројеве 267 3 264- = и 994 4 990- = , .

77

17. Тражимо D за бројеве 425 5 420- = , 1 770-6=1 764 и 1 393-7=1 386, D(420, 1 764, 1 386)=42.

18. а) x x 4, 8,12,16 {4, 8, 12, 16}; б) x x 4, 8,12,16 {9, 18, 27, 36, 45}. 19. .20. , дакле 14m биће дужина сваког дела. Од првог канапа ће се добити

42 :14 3= дела, од другог 70 :14 5= делова и од трећег 98 :14 7= делова.21. , 13 гостију. 22. , у 15 група.23. , највећа могућа дужина њиве 20m ; 260 : 20 13= , 80 : 20 4= , 13 4 52 =

такве њиве.24. , 12 букета, а сваки букет садржаће 24 :12 2= руже, 60 :12 5=

каранфила и 72 :12 6= гербера, а цена букета биће 2 40 5 5 6 20 225 + + = динара.25. , 66 : 6 11= и 42 : 6 7= , па ће укупно бити 11 7 77 = парчића.26. , а 11 14 154 = квадратића.27. пакетића, а цена сваког биће 2 100 3 60 4 20 460 + + = динара.28. Задатак има три решења јер бројеви 225 и 105 имају заједничке делиоце

225, 105D 1, 3, 5,15= {1, 3, 5, 15} (Број 1 не узимамо у обзир јер нема сврхе сврстати их у једну групу.) 1) Могу се поделити у 15 група и тада ће у свакој групи бити по 15 дечака и свака ће група добити по 7 лопти; 2) могу се поделити у 5 група и тада ће у свакој групи бити по 45 дечака и свака ће група добити по 21 лопту; 3) могу се поделити у 3 групе и тада ће у свакој групи бити по 75 дечака и свака ће група добити по 35 лопти.

НаЈМањи ЗаЈеДНиЧКи саДРжалац1. а) 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, …; б) 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, …; в) 12, 24, 36, 48, 60, 72, …;

г) 23, 46, 69, 92.2. Садржаоци броја 6 су 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48; садржаоци броја 8 су 8, 16, 24, 32, 40, 48;

заједнички садржаоци бројева 6 и 8 су 24, 48; најмањи заједнички садржалац бројева 6 и 8 је 24.

3. а) 15, 30, 45, 60, 75, 90, …, најмањи је број 15; б) 12, 24, 36, 48, 60, ..., најмањи је број 12; в) 18, 36, 54, 72, 90, ..., најмањи је број 18.

4. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; ђ) .

5. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; ђ) .

6. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; ђ) .

7. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; ђ) ; е) ; ж) ; з) .

8. а) ; б) ; в) ; .9. а) ; б) ; в) ; .10. Треба наћи најмањи заједнички садржалац за бројеве 25 и 35, дана.11. минута.

78

12. минута је потребно да једном обиђе стазу, а како возе 2 сата и 30 минута, то јест, 150 минута, 2 пута ће проћи кроз циљну равнину сва три аутомобила у току трке.

13. минута, а срешће се 5 пута.14. метара, а ситуација ће се поновити 3 0003000 :150 20= пута.15. .16. .17. .19. 1 176, 1 176+1=1 177.20. а) x x 4, 8,12,16 {12, 6, 3}; б) x x 4, 8,12,16 {30, 10, 6}; в) x x 4, 8,12,16 {10, 4, 2, 1}.21. Да је тај број за 2 већи, не би било остатка ни при дељењу са 4, ни са 5, ни са 6, и то би

био најмањи заједнички садржалац тих бројева , а тражени број је за 2 мањи 60 2 58- = .

22. Тражимо најмањи заједнички садржалац за бројеве 4, 5 и 6, . Број 60 увећамо за 2 (јер при дељењу са 4, 5, 6 остатак је 2) и проверимо да ли је тај број дељив са 7 (јер при дељењу са 7 нема остатка), 60 2 62+ = , 62 није дељиво са 7, па тражимо следећи заједнички садржалац и увећамо га за 2, 60 2 2 120 2 122 + = + = , али ни он није дељив са 7 па настављамо поступак; 60 3 2 180 2 182 + = + = и овај број је дељив са 7, па је 182 тражени број.

23. Пошто су остаци за 1 мањи од делиоца, најпре ћемо наћи најмањи заједнички садржалац за бројеве 2, 3, 4 и 5, па од њега одузети 1, , 60 1 59- = , али број 59 није између 100 и 200, па тражимо следећи заједнички садржалац и умањујемо га за 1, 60 2 1 120 1 119 - = - = је тражени број и 60 3 1 180 1 179 - = - = такође је тражени број.

24. Сви остаци су за 5 мањи од делиоца, па као и у претходном примеру најпре ћемо наћи најмањи заједнички садржалац за бројеве 7, 9, и 12, па од њега одузети 5,

, 252 5 247- = , даље 252 2 5 504 5 499 - = - = , 252 3 5 756 5 751 - = - = . Дакле, тражени бројеви су 247, 499 и 751.

25. , 420 2 422+ = је троцифрен, а ми тражимо четвороцифрен, и то највећи, па најмањи заједнички садржалац морамо да помножимо количником бројева 9999 (највећи четвороцифрени број) и 420, 9 9999999 : 420 23= (остатак 339); 420 23 9660 =9 660, па је тражени број 9 660+2=9 662.

26. А2

Б4

В5 9

Г3 7Д2

Ђ1

Е2

Ж8 6

79

3. Поред тачних тврђења упиши знак √, нетачне прецртај.

1) Тачка A припада конвексном углу xOy.2) Тачка D не припада конвексном углу xOy.3) Тачка B припада конвексном углу xOy.4) Тачка B припада неконвексном углу xOy.5) Тачка B припада угаоној линији xOyxOy.6) Дуж OC припада конвексном углу xOy.7) Дуж AD припада неконвексном углу xOy.

2. А) Поред тачних једнакости упиши знак √, нетачне прецртај. 1) =xOy uSv AB ;2) = { , }xOz uSv A C ;3) = { , }xOy ABC B A ;4) = { , }xOy ABC B C .

Б) Одреди следеће пресеке:1) =_______BSC uSv ;2) =_______xOz xOy ;3) =_______CAB ACB ;4) =_______uSv ACB .

ПОЈАМ УГЛА

4. За сваку од датих угаоних линија (доцртавањем одговарајућег дела кружнице) графички представи захтев написан испод сваке од њих.

1. На слици лево дате су четири тачке A,B,C,D и права p. 1) Да ли изломљена линија DAC сече праву p?2) Да ли угаона линија DACDAC сече праву p?3) Које од угаоних линија са теменом у тачки C чији

краци садрже неке две од преосталих тачака секу праву p?

4) Да ли нека од изломљених линија одређених неким од датих тачака сече праву p?

УГАО

Изабери конвексан угао!

Изабери неконвексан угао!

Изабери конвексан угао!

Изабери неконвексан угао!

80

7. Нацртај два угла тако да:1) њихов пресек буде четвороугао;2) њихов пресек буде конвексан угао;3) њихова унија буде неконвексан угао;4) њихова унија и њихов пресек буду конвексни углови;5) њихов пресек буде полуправа која није крак бар једног од тих углова; 6) њихов пресек буде дуж;7) њихов пресек буде једна тачка.

5. Обој пресеке углова приказаних на сликама.

6. Дате су три полуправе Оа, Оb и Oc. Које све конвексне углове можеш да уочиш на слици десно?

1. Обој део круга који је садржан у централном углу одређеном одговарајућим луком.

2. На кружници k(O,5cm) дата је тачка P. Колико има тетива ове кружнице чија је једна крајња тачка P и чија је дужина 3cm? Конструиши их!

3. Тачка P припада кружници k(O,5cm). Одреди тачке A и B дате кружнице које су на растојању 3cm од тачке P. Означи централни угао кружнице који садржи тачку P и чији краци садрже тачке A и B, а затим и одговарајући кружни лук и одговарајућу тетиву.

КРУЖНИ ЛУК И ТЕТИВА

81

УПОРЕЂИВАЊЕ УГЛОВА. НАДОВЕЗИВАЊЕ УГЛОВА1. Конструиши полуправе ' , ' , 'A a B b C c тако да углови ' , ' , 'aA x bB y cC z буду подударни редом

угловима α, β, γ троугла ABC.

2. Дата је дуж AB и угао α. Конструиши полуправе Aa и Bb, са исте стране праве p(A,B), тако да углови aAB и bBA буду подударни углу α.

3. Обележи дате углове, а затим поређаj ове углове почевши од најмањег.

____ < ____ < ____ < ____

4. Који је највећи, а који најмањи од уочених углова α, β, γ, δ? Конструктивно упореди те углове.

82

5. Конструиши угао који је: 1) једнак збиру углова α, β, γ; 2) два пута већи од угла β; 3) три пута већи од угла γ.

2. Дат је троугао ABC. Објасни како су нацртане дужи BD, DE, EF, FG, а затим допуни цртеж доцртавањем бар још шест нових дужи.

6. Ако су α, β, γ угови приказани на претходној слици, конструиши угао који је једнак: 1) α+γ-β; 2) α-β-γ.

7. Нацртај неки троугао, а затим конструктивно одреди збир његових унутрашњих углова.

8. Нацртај неки конвексан четвороугао, а затим конструктивно одреди збир његових унутрашњих углова.

ВРСТЕ УГЛОВА

1. Да ли је збир углова α и β прав угао? Зашто?

3. Која је од три неколинеарне тачке A, B, C најудаљенија од праве одређене осталим двема тачкама?

4. Одреди тачку C праве p тако да троугао ABC има прав угао код темена:

1) C; 2) B.

83

7. Нацртај кружницу k(O,3cm) и произвољно изабери тачку A на њој. Нацртај затим тангенту кружнице k(O,3cm) која садржи изабрану тачку A.

8. Нацртај кружницу полупречника 3cm и праву p тако да је растојање центра кружнице од праве p једнако 2cm. Нацртај затим све тангенте те кружнице које су паралелне правој p.

9. Нацртај три концентричне кружнице са центром у произвољно изабраној тачки O полупречника 2cm, 4cm, 6cm. Нацртај, затим, по једну тангенту сваке од ових кружница и утврди однос сваке тангенте са преостале две кружнице.

10. У каквом односу се налазе дате кружнице? Какав је однос сваке од кружница са датим правама?

1) 2)

5. Конструиши темена C и D правоугаоника ABCD тако да теме C припада правој c.

6. Гледајући слику попуни празна места.1) Дуж AB је ________________ круга ( , )K S r .2) Дуж ST је ________________ круга ( , )K S r .3) Дужи AT и BT су ________________ круга ( , )K S r .4) =( , ) ______Ox k S r . 5) =( , ) ______Oy k S r .6) =( , ) ______Ox K S r . 7) =( , ) ______Oy K S r .8) Права на којој је полуправа Ox јесте

________________ кружнице ( , )k S r .9) Различитим бојама обој ( , )\K S r xOy xOy и \ ( , )xOy K S r .

84

12. Можеш ли да нацрташ троугао:1) чија су два унутрашња угла прави углови;2) чија су два унутрашња угла тупи углови;3) који има један прав и један туп унутрашњи угао?

13. 1) Колико највише унутрашњих тупих углова може имати троугао?2) Колико највише унутрашњих правих углова може имати троугао?3) Колико најмање унутрашњих оштрих углова може имати троугао?

14. Нацртај бар један четвороугао који има:1) два тупа и два оштра угла;2) један туп и три оштра угла.

15. На предвиђена места упиши речи оштар или туп, тако да добијене реченице буду тачне. 1) Збир правог и оштрог угла јесте ___________ угао.2) Разлика правог и оштрог угла јесте ___________ угао.3) Разлика тупог и правог угла јесте ___________ угао.4) Разлика опруженог и тупог угла јесте ___________ угао.

3) 4)

11. Дати су троуглови ABC, EFG и PQR. На предвиђена места упиши једну од речи оштар, прав или туп угао.

Углови троугла ABC: ABC је _________ угао, BCA је _________ угао, CAB је _________ угао.

Углови троугла EFG: EFG је _________ угао, FGE је _________ угао, GEF је _________ угао.

Углови троугла PQR: PQR је _________ угао, QRP је _________ угао, RPQ је _________ угао.

85

3. Користећи грчка слова означи сваки од углова, а затим помоћу угломера одреди њихове мере.1)

Мера угла _____ је _____.

3)

Мера угла _____ је _____.

5)

Мера угла _____ је _____.

2)

Мера угла _____ је _____.

4)

Мера угла _____ је _____.

6)

Мера угла _____ је _____.

16. Конструиши угао који је комплементан углу 3α, ако је α угао дат на слици десно.

17. Конструиши угао који је суплементан углу 2α, ако је α угао дат у претходном задатку.

МЕРЕЊЕ УГЛОВА1. Колики угао заклапају мала и велика казаљка? 1) 2) 3) 4)

2. Нацртај малу и велику казаљку тако да оне заклапају угао од: 1) 150°; 2) 180°; 3) 90°; 4) 60°.

1) 2) 3) 4)

86

11. Ако је α 7 52'44''á =7°52'44'', β 27 18'39''â =27°18'39'', γ 15 21'42''ã =15°21'42'', δ 9 36'16''ä =9°36'16'', израчунај: 1) β+δ; 2) β+γ; 3) 2γ; 4) δ-α; 5) 3β-2γ; 6) α+β+γ.

12. Израчунај збир и разлику углова α 333'á=333' и β 333''â=333''.

13. Ако је α 1111'11''á =11°11'11'', одреди меру њему комплементног и меру њему суплементног угла.

14. Ако је α 20 20'20''á =20°20'20'', колико је 3α?

15. Мера угла α је за 10° мања од мере њему суплементног угла. Одреди меру угла α.

16. Који угао је већи: онај који је комплементан углу α 24 10'á =24°10' или онај који је суплементан углу α 124 13'â =124°13'?

4. Користећи угломер, нацртај угао чија је мера: 1) 55°; 2) 34°; 3) 135°; 4) 300°.

5. Користећи угломер, нацртај углове: α=100°, β=62°, γ=140°. Конструиши затим: α+β, γ-α, 2γ-3β. Колика је мера сваког од конструисаних углова?

6. Упореди углове α и β ако је: 1) α 22á = °, β=21°21 59'59''â = ; 2) α 22 , 2222'á â= =22°, β22 , 2222'á â= = 22 , 2222'á â= = ;

3) α 5 55', 21000''á â= =5°55', β5 55', 21000''á â= = 5 55', 21000''á â= = ; 4) α 4 12'12'', 4 11'44''á â = =4°12'12'', β4 12'12'', 4 11'44''á â = =4°11'44''.

7. Користећи угломер нацртај угао чија је мера за 5°: 1) мања од мере угла α; 2) већа од мере угла α.

8. Ако је = 90AOC 90° и BOCBOC 31=31°, одреди мере углова AOB, AOD, COD.

9. Одреди меру угла α.10. Нацртај углове α и β тако да је 40°<α<50° и

90°<β<100°, па конструиши углове 2α+β и β-α.

17. Одреди мере углова aOb и cOd ако је bOc=57°, aOc=96°, bOd=115°.

87

6. Одреди мере свих углова које можеш да уочиш на слици.

= ____ABC °, = ____CBD °, = ____DBE °,

= ____FBI °, = ____IBA °, = ____BIK °,

= ____KIJ °, = ____BIF °, = ____BFI °,

= ____BFG °, = ____GFH °, = ____HFI °.

УГЛОВИ НА ТРАНСВЕРЗАЛИ1. Две праве се секу тако да један од добијених углова има меру 100°29'17''. Израчунај мере

свих добијених углова.

2. Две праве се секу тако да је један од добијених углова за 14° већи од другог. Израчунај мере свих добијених углова.

3. Одреди мере углова α, β, γ, δ ако знаш да је угао α осам пута мањи од збира остала три угла.

4. Праве p,q,s секу се у једној тачки, при чему је pp qq, док се праве p и s секу под углом чија је мера 73°12'. Колика је мера оштрог угла α под којим се секу праве q и s?

5. Одреди збир α+β+γ+δ+ϕ.

7. Нацртај оштар угао aOb и у његовој области изабери тачку S. Нацртај затим угао са теменом у тачки S, крацима паралелним крацима угла aOb који је:

1) једнак углу aOb; 2) суплементан углу aOb.

88

11. Одредити мере непознатих углова са слике

1) ||a b 2) ||a b

3) 4)

5) 6)

8. Ако је ( , ) || ( , )p A B p C D и ( , ) || ( , )p B C p D A , одреди мере свих углова које можеш да уочиш на слици лево.

9. Краци угла α и β су паралелни. Одреди мере ових углова ако знаш да је мера угла α три пута већа од мере угла β.

10. Ако су краци углова α и β паралелни, одреди мере ових углова ако знаш да је α-β 30á â - =30°.

24° 120°

89

1. Пресек углова xOy и aTb , приказаних на слици десно је:

1) дуж PQ;2) {P, Q};3) четвороугао OPTQ;4) дуж OT. (Заокружи број испред тачног одговора.)

2. На слици десно дате су четири полуправе са заједничком почетном тачком O. Заокружи бројеве испред тачних исказа.

1) aOb cOd cOd;2) cOd aOb aOb;3) aOd aOc;4) bOc aOd aOd.

3. Посматрај слику из претходног задатка и одреди следеће пресеке.

1) =______aOb cOd ; 2) = ______aOb cOd = ______aOb cOd ; 3) = ______aOd cOd = ______aOd cOd ; 4) = ______aOd aOc = ______aOd aOc .

4. Дат је троугао ABC. Ако су α, β, γ унутрашњи углови овог троугла, онда је:

1) α<β<γ; 2) β<α<γ;3) α<γ<β; 4) β<γ<α.

Заокружи број испред тачног одговора.

5. На слици је нацртано пет углова. Заокружи број испред тачног исказа.

1) β<γ<ρ<α<δ; 2) γ<β<α<ρ<δ; 3) β<γ<α<ρ<δ; 4) γ<β<α<δ<ρ.

ТЕСТ I

90

6. Заокружи број испред тачног исказа.

1) α<β<2α; 2) 2α<β<3α;3) 3α<β<4α; 4) 4α<β<5α.

Употреби лењир и шестар!

7. Који од углова α, β, γ, δ су централни углови дате кружнице?

1) Сви углови α, β, γ, δ су централни углови дате кружнице.2) Само угао α је централни угао дате кружнице.3) Само угао γ није централни угао дате кружнице.4) Само су α и δ централни углови дате кружнице.

(Заокружи број испред тачног одговора.)

8. Дате су две кружнице 1 1( , )k O r и 2 2( , )k O r које се секу у тачкама A и B . Нека је α централни угао кружнице 1 1( , )k O r одређен луком и β централни угао кружнице 2 2( , )k O r одређен луком . Заокружи број испред тачног исказа.

1) α<β; 2) α=β; 3) α>β.

Решења:1. 3)2. 2), 4)3. 1) {} O; 2) aOb; 3) Od; 4) aOd. 4. 2) 5. 2)6. 3)7. 4)8. 1)

91

1. Која је од тачака , , ,A B C D најближа правој p ?

1) A ; 2) B ; 3) C ; 4) D .(Заокружи број испред тачног одговора.)

2. Дата је кружница k(O, 3cm), праве , ,a b c и следеће реченице: • Подножје нормале из тачке O на праву a припада кружници k(O, 3cm).• Тачка O припада правој b .• Растојање тачке O од праве c је једнако 4cm.Шта можеш да закључиш из ових реченица? Заокружи број испред тачног одговора.1) Права c је тангента, а b сечица дате кружнице, док права a не сече ову кружницу.2) Права је b тангента, а a сечица дате кружнице, док права c не сече ову кружницу.3) Права a је тангента, а c сечица дате кружнице, док права b не сече ову кружницу.4) Права a је тангента, а b сечица дате кружнице, док права c не сече ову кружницу.

3. Заокружи број испред реченица које су тачне. 1) Разлика опруженог и оштрог угла је туп угао.2) Углови са параленим крацима су једнаки.3) Збир правог и тупог угла је конвексан угао.4) Угао суплементан оштром углу је оштар.5) Угао комплементан оштром углу је оштар.

4. Испод сваког сата упиши меру конвкексног угла који образују мала и велика казаљка.

__________ __________ __________ __________

5. Ако је α=1°, β=111', γ=1111'', онда је:

1) α<β<γ; 2) β<α<γ; 3) γ<α<β; 4) α<γ<β.

(Заокружи број испред тачног одговора.)

ТЕСТ II

92

6. Према подацима који су дати на слици десно, збир α+β је једнак:

1) 159°; 2) 169°; 3) 201°; 4) 79°30'.

(Заокружи број испред тачног одговора.)

7. Ако је φ=1°2'3'' и ψ=22'33'', онда је φ-ψ једнако:

1) 1°20'30''; 2) 49'30''; 3) 39'30''; 4) 38'3''.

(Заокружи број испред тачног одговора.)

8. Према подацима који су дати на слици десно, ||a b , збир α+γ је једнак:

1) 105°; 2) 125°; 3) 130°; 4) 155°.

(Заокружи број испред тачног одговора.)

Решења:1. 1)2. 4)3. 1), 4) 4. 60°, 90°, 150°, 180°5. 3)6. 1)7. 2)8. 1)

93

7. 1) 2) 3) 4)

5) 6) 7)

1. 1) Изломљена линија DAC не сече праву p. 2) Угаона линија DAC сече праву p. 3) Не постоји угаона линија са теменом у тачки C чији краци садрже неке две од преосталих тачака која сече праву p. 4) Такође, не постоји изломљена линија одређена неким од датих тачака која сече праву p.

2. А) Тачне једнакости су под 2 и 4.Б) 1) = =BSC uSv uSv BSC 2) =xOz xOy Ox 3) { } = CAB ACB AC B 4) ={ , , }uSv ACB A B C

3. Тачна тврђења су 3), 4), 5) и 6).

4.

5.

6. Конвексни углови су aOb, bOc, cOa.

ПОЈАМ УГЛА

УГАО – РЕШЕЊА

94

2. Примени поступак из претходног задатка.

3. β < α < δ < γ.

КРУЖНИ ЛУК И ТЕТИВА1. 1) 2) 3)

1.

2 Има их две. Крајеви ове две тетиве су пресеци кружница k(O,5cm) и k(P, 3cm).

3.

УПОРЕЂИВАЊЕ УГЛОВА. НАДОВЕЗИВАЊЕ УГЛОВА

95

4. 1) Нацртај нормалу из тачке B на праву p.

2) Нацртај нормалу на праву у тачки B.

4. Најмањи угао је γ, а највећи β.

5. 1) 6. 1)

7. Ма какав троугао да изабереш збир његових унутрашњих углова јесте опружен угао.

8. Ма какав четвороугао да изабереш збир његових унутрашњих углова јесте пун угао.

ВРСТЕ УГЛОВА1. Јесте, јер је опружен угао збир два права угла.

2.

3. Нацртај праве ( , ), ( , ), ( , )p A B p B C p C A , а затим из сваке од датих тачака нацртај нормалу на праву одређену са преостале две тачке. Пресеке нормала са правама означи на пример са , ,P Q R и упреди дужине дужи

, ,AP BQ CR.

96

9. Свака тангента кружнице k(O,2cm) сече у двема тачкама обе кружнице k(O,4cm) и k(O,6cm). Свака тангента кружнице k(O,4cm) сече у двема тачкама кружницу k(O,6cm), док са кружницом k(O,2cm) нема заједничких тачака. Не постоји тангента кружнице k(O,6cm) која сече неку од кружница k(O,2cm) и k(O,4cm).

5. Теме C је пресек праве c и нормале на праву у тачки B. Теме D је пресек нормале на праву у тачки A и нормале на праву

у тачки C.

6. 1) Дуж AB је пречник круга ( , )K S r . 2) Дуж ST је полупречник круга ( , )K S r .3) Дужи AT и BT су тетиве круга ( , )K S r . 4) ( , ) { } =Ox k S r T .5) ( , ) { , } =Oy k S r A B . 6) ( , ) { } =Ox K S r T . 7) ( , ) =Oy K S r AB .8) Права на којој је полуправа Ox јесте тангента кружнице ( , )k S r .

7. Тражена тангента је нормала на праву p(O,A) у тачки A.

8.

97

15. 1) Збир правог и оштрог угла јесте туп угао. 2) Разлика правог и оштрог угла јесте оштар угао.3) Разлика тупог и правог угла јесте оштар угао.4) Разлика опруженог и тупог угла јесте оштар угао.

16. Конструиши угао 3α, а затим одузми овај угао од правог угла.

17. Конструиши угао 2α, а затим одузми овај угао од опруженог угла.

10. 1) Кружнице 1k и 2k секу се у двема тачкама. Праве a и b додирују (јесу тангенте) обе кружнице.

2) Кружнице 1k и 2k додирују се изнутра и имају једну заједничку тачку. Права a је тангента обе кружнице.

3) Кружнице 1k и 2k додирују се споља и имају једну заједничку тачку. Праве a, b и c јесу заједничке тангенте ових кружница.

4) Кружнице 1k и 2k немају заједничких тачака. Праве a, b, c и d заједничке су тангенте ових кружница.

11. Углови троугла ABC : ABC је оштар угао, BCA је прав угао, CAB је оштар угао.Углови троугла EFG : EFG је оштар угао, FGE је оштар угао, GEF је оштар угао.Углови троугла PQR : PQR је оштар угао, QRP је туп угао, RPQ је оштар угао.

12. Сваки троугао има бар два оштра угла! Немогуће је нацртати троуглове који би задовољавали било који од захтева задатка.

13. Највише један унутрашњи угао троугла може бити туп.Највише један унутрашњи угао троугла може бити прав.Сваки троугао има најмање два оштра угла.

14. 1) 2)

МЕРЕЊЕ УГЛОВА1. 1) 30°; 2) 90°; 3) 120°; 4) 150°.

2. 1) 2) 3) 4)

98

5. α+β=162°, γ-α=40°, 2γ-3β=280°-186°=94°.

6. 1) α=22°>β=21°59'59''; 2) α=22°<β=2 222'=37°2'; 3) α=5°55'>β=21 000''=5°50'; 4) α=4°12'12''>β=4°11'44''.

7. Помоћу угломера нацртај угао чија је мера 5°, а затим 1) од угла α одузми овај угао; 2) сабери угао α са овим углом.

8. AOB=90°-31°=59°, AOD=180°-59°=121°, COD=180°-31°=149°.

9. α=90°-19°30'=70°30'

11. 1) β+δ=36°54'55'', 2) β+γ=42°40'21'', 3) 2γ=30°43'24'', 4) δ-α=1°43'32'', 5) 3β-2γ=51°12'33'', 6) α+β+γ=50°33'5''.

12. Како је α=5°33', β=5'33'', следи да је α+β=5°38'33'' и α-β=5°27'27''.

13. Угао комплементан углу α има меру 90°-11°11'11''=78°48'49''. Угао суплементан углу α има меру 180°-11°11'11''=168°48'49''.

14. 3α=61°1'. 15. α=85°.

3.

Мера угла α је 20°.

1)

Мера угла β је 65°.

2)

Мера угла γ је 70°.

3)

Мера угла δ је 110°.

4)

Мера угла ψ је 170°.

5)

Мера угла θ је 35°.

6)

4. 1) Нацртај произвољну полуправу Ox, а затим постави угломер као на слици и означи тачку X. Угао XOx је угао чија је мера 55°. Аналогно се цртају остали углови.

99

9. Из α+β=180° и α=3β следи да је α=135° и β=45°.

10. Из α+β=180° и α-β=30° следи да је α=105° и β=75°.

16. Ако је α1 угао комплементан углу α, онда је α1=90°-24°10'=65°50'. Ако је α1 угао суплементан углу β, онда је β1=180°-124°13'=55°47'. Дакле α1 >β1.

17. aOb= aOc- bOc=96°-57°=39°. cOd= bOd- bOc=115°-57°=58°.

УГЛОВИ НА ТРАНСВЕРЗАЛИ

1. Дате две праве образују четири угла од којих два имају меру 100°29'17'', а друга два меру 79°30'43''.

2. Дате две праве образују четири угла од којих два имају меру 83°, а друга два меру 97°.

3. Како је α+β+γ+δ=360° и β+γ+δ=8α, онда је 9α=360°, тј. α=40°. Према томе γ=40° β=δ=140°.

4. α=90°-73°12'=16°48'.

5. 6.

α+β+γ+δ+ϕ=180°.

8.

11. 1) Конструишимо најпре праву c која садржи теме угла α и паралелна је са a и b. Означимо са α1 и α2 углове које та права образује са крацима угла α, тако да је α=α1+ α2.

Како је a||c, онда је α1=180°-132°=48°. Из b||c следи да је α2=21°. Дакле, α= α1+ α2=48°+21°=69°.

100

2) Поступи слично као у делу задатка под 1).

Из α1=82° и α2=180°-50°=130° следи да је α=α1+ α2=82°+130°=212°.

3) Из следи да је α=73° и β=22°. γ=180°-(73°+22°)=180°-95°=85°.4) Означи углове α1 и β1 као на слици.

Из следи да је α=α1=65° и β=β1. Како је β=180°-151°=29°, имамо да је γ=180°-( α1+β1)=180°-(65°+29°)=180°-94°=86°.

5)

α=α1=180°-160°=20°β=β1=180°-100°=80°γ=180°-(α1+β1)=180°-100°=80°

6) α=α1=180°-107°=72°β=β1=180°-130°=50°γ=180°-( α1+β1)=180°-122°=58°

101

Разломци I део

1. Испод слике упиши разломак који одговара обојеном делу.

2. Испод слике упиши разломак који одговара обојеном делу.

Појам Разломка

102

3. На слици обој део који одговара разломку испод слике.

23

35

78

310

47

116

114

103

4. Графички представи дате разломке.

14

45

59

910

103

32

94

43

116

5. Милица је поделила чоколаду на 5 једнаких делова. Она је узела 2 дела, а 1 део је дала Вуку. Који део чоколаде је добио свако од њих? Да ли је остало још чоколаде, и ако јесте, колико?

6. Напиши све разломке тако да им је бројилац из скупа B, { , 2 11}B x x N x , а именилац је број 15.

7. Напиши све разломке тако да им је именилац из скупа I, { , 13 5}I x x N x , а бројилац је број 4.

8. Разломке 1 2 4 9 12 24

, , , , ,2 3 7 5 6 11

напиши у облику количника.

9. Количнике 3 : 4, 4 : 3, 7 : 8, 9 :17, 45 : 7, 44 :11 напиши у облику разломака.

10. Одреди непознате бројеве:

а) 1

1n ; б) 7

4y ; в)

567

x ; г) 21

10m .

11. Израчунај:

а) 13

броја 60; б) 34

броја 80; в) 25

броја 40; г) 1110

броја 100; д) 157

броја 707.

12. Једно паковање садржи 30 бомбона. Колико бомбона има у 1 1 2 7

, , ,2 5 3 10

паковања?

13. Ако је 12

траке дуга 10cm, колико је дуга цела трака?

14. Ако 35

одељења чине девојчице, којих има 15, колико ученика има у том одељењу?

15. Ана је прочитала 35 страна књиге која укупно има 175 страна. Који део књиге је она прочитала?

16. Ненад има 50 динара, а то је само петина новца која му треба да купи омиљени стрип. Колико му новца недостаје?

104

17. Дужник је исплатио 35

дуга, што износи 3 150 динара. Колики је био дуг?

18. Марија је прочитала 17 страна књиге, и мама јој је рекла да ће у наредних 7 дана прочитати целу књигу ако настави да чита том брзином. Који део књиге је Ана прочитала првог дана? Колико страна има књига коју Ана чита?

19. Колико износи 34

броја m, ако је број m једнак 12

броја 72?

1. Разломке 17

, 25

и 8

13 прошири са 3, 4 и 5.

а) , , 1 17 7

;

б) 2 25 5

, ,

25

;

в) 813

, 8

13

, 813

.

2. Попуни празна места тако да наведене једнакости буду тачне.

а) 3 754 20 ; б)

7 2815 135 ; в)

9 10811 44 ;

г) 19 15217 119 ; д) ; ђ)

16 6425 175 .

3. Дате разломке прошири тако да им именилац буде број 100.

а) ; б) ;

в) 1225 100

; г)

310 100

.

4. Колико дванаестина је садржано у: 1 2 3 5

, , ,2 3 4 6

?

Решење. Како је 1 62 12 ,

23 12 ,

34 12 ,

56 ,

то је у бројевима 1 2 3 5

, , ,2 3 4 6

редом садржано 6, ___, ___ и ___ дванаестина.

ПРошиРивање и скРаћивање Разломака

105

5. Дате разломке прошири тако да им бројилац буде број 60.

а) 1 1 60 604 4

; б) 3 60

10

; в) 4 4 605 5

;

г)12 6025

; д)

6 606

1

; ђ) 60

151

.

6. Дате разломке прошири тако да им именилац буде најмањи заједнички садржалац њихових именилаца.

а) 12

и 13

12 2 3 6

и

1 13 3 2 6

, (јер је S(2,3) 6 );

б) 34

и 35

34 20

и

35 20

, (јер је S(4,5) );

в) 23

и 14

23

и

14

, (јер је S(3,4) );

г) 56

и 2

11

56

и

211

, (јер је ____________ );

д) 7

16 и

79

7

16

и 79

, (јер је ____________ );

ђ) 12

и 34

12 2 2 4

и

34

, (јер је S(2,4) );

е) 1325

и 25

1325

и 25

, (јер је ____________ );

ж) 79

и 5

12

79 9 4 36

и

512 12 3 36

, (јер је S(9,12) );

з) 14

и 3

14

14 28

и

314

, (јер је ____________ );

и) 7

10 и

2125

7

10

и 2125

, (јер је ____________ ).

7. Дате разломке прошири тако да им именилац буде најмањи заједнички садржалац њихових именилаца.

а) 1 1 1

, ,2 3 5

; б) 3 2 5

, ,4 7 14

; в) 2 3 11

, ,9 8 15

; г) 5 1 17

, ,6 4 32

.

8. Бројеве 0, 1, 2, 5, 8, 10 напиши у облику разломака чији именилац је 1.

9. Бројеве 1, 4, 6, 9, 11 напиши у облику разломака чији именилац је 3.

10. Бројеве 2, 6, 9, 18 напиши у облику разломака чији бројилац је 18.

106

11. Скрати разломак 120360

са: а) 2; б) 3; в) 6; г) 120.

12. Сваки од разломака 6 18 54 144

, , ,12 24 36 162

скрати са: а) 2; б) 3; в) 6.

13. Изврши скраћивање разломака тако да добијеш несводљиве разломке.

а) 4 4 : 2

10 10 : 2 ; б)

6 6 : 315 15 : ; в)

75 :135 :

;

г) 16 :36 : ; д)

69 :96 : ; ђ)

108 :405 :

.

14. Изврши скраћивање разломака тако да добијеш несводљиве разломке.

а) 1620

, 45

105,

64160

, 75

225,

78324

, 420560

, , 573955

, , ;

б) 2 34 5

, 4 38 9

, 4 53 6

, 15 311 10

, 16 327 8

, 16 915 8

, 21 3525 28

, 18 4525 51

, 48 2149 22

;

в) 2 3 54 5 7

, 4 3 128 9 15

, 35 18 2436 55 42

, 12 81 1527 24 50

, 48 26

13 160 96

,

66 72144 33 12

.

15. Попуни празна места тако да добијеш тачна тврђења.

а) 31 12 ;

213 1 ;

164 ; 6

7 ;

б) 13 12 ;

23 21 ;

3 158 ;

17 6825 ;

в) 36 2 ;

1540 8 ;

18 330 ;

48 364 .

16. Заокружи слово испред тачних тврђења.

а) 8 410 5 ; б) 16 4

32 9 ; в) 75 15

250 50 ; г) 75 3

250 10 ; д) 24 3

56 8 .

17. Допиши шта недостаје:

а) 2dl 2

10 l

1 l; б) 15ml

15 l

200l; в) 23ml

23 cl cl;

г) 2cm 100

m m; д) 3cm 3

dm; ђ) 77dm m m.

18. Који део часа представља: 3min, 5min, 10min, 12min, 45min, 60min, 80min и 195min?

19. Који део највећег шестоцифреног броја чини најмањи двоцифрени непаран број?

107

20. Који део производа, најмањег парног броја дељивог са 9 и највећег троцифреног броја дељивог са 3 чије су све цифре различите, чини збир броја 50 и најмањег сложеног броја?

21. Замени звездице цифрама тако да добијеш тачну једнакост 3 * 25 * 3 .

22. Одреди разломак једнак разломку 7

13 код кога је збир бројиоца и имениоца једнак 140.

Решење. За природан број k важи 7 7

13 13k

k

(разломак

713

смо проширили бројем k).

Онда је, по услову задатка 7 140k , односно 140k . Из

последње једначине закључујемо да је k .

Дакле, тражени разломак је .

23. Одреди разломак једнак разломку 23

такав да је:1) збир бројиоца и имениоца 135;2) разлика имениоца и бројиоца 12;3) производ бројиоца и имениоца 1 350.

24. Одреди природан број n и прост број p тако да важи .

1. Упореди разломке:

a) 2 4 7

, ,15 15 15

; 2

15 <

415

< 7

15, јер је 2 < 4 < 7.

б) 6 5 11

, ,23 23 23

; _____________________________________

в) 45 39 7

, ,91 91 91

; _____________________________________

г) 8 23 2

, ,15 15 15

; _____________________________________

д) 106 17 88

, ,147 147 147

. _____________________________________

2. Упореди разломке:

a) 12 12 12

, ,17 23 101

; 1217

> 1223

> 12101

, јер је 17 23 101 .

УПоРеђивање Разломака

108

б) 3 3 3

, ,7 27 37

; _____________________________________

в) 25 25 25

, ,6 18 180

; _____________________________________

г) 89 89 89

, ,105 15 51

; _____________________________________

д) . _____________________________________

3. Упиши знак < или > тако да добијеш тачно тврђење.

а) 31

7

10; б)

25

4

25; в)

53

3318

;

г) 27

78

; д) 4

11

715

; ђ) 3164

2145

;

е) 1415

2936

; ж) 1235

9

28; з)

4552

2536

.

4. Упиши знак <, > или = тако да добијеш тачно тврђење.

а) 34

3344

; б) 2

13

15

; в) 179

15381

;

г) 1823

58

; д) 3415

3516

; ђ) 3148

35

;

е) 8

153 ; ж)

4388

; з) 9799

7477

.

5. Дате разломке поређај по величини у растућем поретку (од најмањег до највећег).

а) 3 2 11 5 5

, , , ,4 3 12 6 8

; б) 6 17 17 1

1, , , ,5 14 35 2

;

в) 3 15 5 15 7

, , , ,7 24 12 18 24

; г) 7 5 13 11 3

, , , ,3 4 12 6 2

.

Решење.а) Разломке ћеш упоредити тако што ћеш их прво проширити тако да свима именилац

буде исти. Како је S(4,3,12,6,8)____ први разломак проширујеш са 6, други са ____, трећи са ____ , четврти са ____ и пети са ____ . Сада треба да упоредиш разломке 18

, , , ,24

. Како за њихове бројиоце важи ,

закључујеш да је5 11 .

б) Разломке ћеш упоредити тако што ћеш их прво проширити тако да свима бројилац буде исти. Како је S(1,6,17,17,1) , први разломак проширујеш са ____ , други са 17, трећи са ____, четврти са ____ и пети са ____ . Сада треба да упоредиш разломке

102, , , ,

85. Како за њихове имениоце важи 84 210 ,

закључујеш да је 35 .

109

6. Вукашин и Александар читају исту књигу. Вукашин је прочитао 49

, а Александар 5

12

књиге. Ко је прочитао више?

7. Новак је 27

свог времена употребио за учење, а 38

за тренирање тениса. Чему је Новак

посветио више времена?

8. Три радника су радила исти посао. Првом је било потребно 23

сата, другом 56

сата, а

трећем 89

сата. Ко је од њих најбрже обавио посао?

9. Из три једнака бурета у којима се налази иста количина воде истекло је редом 7 2 33

, ,20 5 50

од укупне количине воде у бурету. У ком бурету је остало највише воде?

10. Наброј све разломке чији именилац је: а) 2; б) 3; в) 5; г) 11; д) 15,а који су мањи од 1.

11. Наброј све разломке чији именилац је: а) 4; б) 6; в) 8; г) 13; д) 16,а који су већи од 3, а мањи од 4.

12. Напиши 6 разломака који су већи од 35

, а мањи од 45

.

13. Нађи природне бројеве који су решења следећих неједначина:

а) 1 53 12 4

n ; б)

2 8 45 7m ; в)

2 13 18 6

k ; г)

4 30 129 17l .

Решење.Да би одредио тражене бројеве, разломке проширујеш тако да им или имениоци или бројиоци буду једнаки.

а) Како је S(3,12,4) 12 , проширивањем датих разломака добијаш 12 12 12

n . Дакле,

n , то јест .

14. Одреди све просте бројеве p за које су тачне неједнакости 12 1 467 3p .

15. Ако је 5b a , ,a b N , шта је веће 12a

или 8b

?

16. Одреди елементе скупова:

0 , 15 5a a

A a N

и 5

, 15b

B b Nb

, као и , , \A B A B A B .

110

1. Сабери разломке:

а) 3 1 3 15 5 5

; б)

2 4 2 49 9

3 1 3 15 5 5

; в)

3 410 10 ;

г) 7 16 6

3 1 3 15 5 5

; д)

7 1718 18

3 1 3 15 5 5

; ђ)

11 1523 23 .

2. Сабери разломке:

а) 1 5 3 1 5 32 2 2 2

; б)

2 3 1 2 3 17 7 7

;

в) 13 3 710 10 10 ; г)

7 1 104 4 4

3 1 3 15 5 5

;

д) 2 5 6 4

16 16 16 16 ; ђ)

21 14 48 125 25 25 25 .

3. Представи разломке 58

, 7

10,

74

, 95

и 119

на више начина као збирове два разломка

једнаких именилаца.

4. Израчунај:

а) 2 3 2

13 3 3 3

; б) 1 1

34 4 4

;

в) 7 7

310 10

; г) 19

4100

;

д) 2

511

; ђ) 14

1125

.

5. Дате разломке представи као збир природног броја и разломка.

а) 5 3

13 3 3 ; б)

9 2 4 14 4 4 1

;

в) 1710 ; г)

275 ;

д) 347 ; ђ)

10137 .

сабиРање Разломака једнаких именилаца

111

1. Напиши све праве разломке са имениоцем:а) 2; б) 3; в) 4; г) 5; д) 10; ђ) 12.

2. Напиши све праве разломке са имениоцем 100, чији су бројиоци: а) дељиви бројем 7; б) дељиви бројем 11; в) дељиви бројем 29.

3. Из скупа:

а) 1 3 5 7 18 354 56

, , , , , ,2 2 4 12 23 38 1167

, б) 4 17 18 131 707

, 2, 1, , , ,5 8 7 64 7007

издвој подскуп који чине прави разломци, а неправе разломке представи у облику мешовитог броја.

4. Дати су скупови AA {1, 3, 5} и BB {2, 4, 6, 7} . Напиши све праве разломке чији бројиоци припадају скупу А, а имениоци скупу B.

5. Напиши све разломке: 1) мање од 1, 2) веће или једнаке 1,чији су бројиоци и имениоци елементи скупа {1, 2, 4, 5, 7, 11}S .

6. Попуни празна места тако да добијеш тачне једнакости.

а) 13

; б) 110

; в) 24

; г) 28

4 ; д) 25

5 ; ђ) 74

2 .

7. Неправе разломке 53

, 94

, 1710

, 275

, 347

, 10137

представи у облику мешовитог броја.

8. Мешовите бројеве 21

3,

13

4,

73

10,

194

100,

25

11,

1411

25 представи у облику

a

b.

9. Одреди све природне бројеве n за које скуп S, 9 6 3 9

, , , ,8 10 5 6 8

n n nS

n n

, садржи само праве разломке.

вРсте Разломака. мешовити бРојеви

1. Дате разломке преведи у децимални запис:

а) 3

10_____;

510_____;

31

10_____;

23

10_____;

2310_____;

б) 2

100_____;

51100

_____; 3

1100

_____; 25

4100

_____; 304100

_____;

в) _____; _____; _____; _____; 34

2100

_____.

децимални заПис Разломка

112

2. Одговарајућим проширивањем дате разломке преведи у децимални запис:

а) 1

_____2 ;

1_____

5 ;

3_____

2 ;

6_____

5 ;

31 _____

5 ;

113 _____

2 ;

б) 3

_____50 ;

194 _____

50 ;

67_____

20 ;

304_____

25 ;

3_____

4 ;

5_____

4 ;

в) 407

_____500

; 303

_____250

; 117

_____200

; 9

_____125

; 734

_____125

7

_____8 .

3. Дате децималне записе преведи у запис a

b, или мешовит број.

а) 0,7 ; 1,5 ; 2,4 ; 101,2 ;

б) 0,11; 45,05 ; 2,25 ; 31,04 ;

в) 0,999 ; 5,505 ; 23,035 ; 1,004 ; 6,036 .

4. Разломке:

а) 1 2 5 4

, , ,3 3 6 7

; б) 12 56 106 6543

, , ,11 15 45 28

; в) 7 25 4 10

3 , 1 , 2 , 109 39 21 13

запиши у децималном запису и за сваки одреди одговарајући период.

5. Децималне записе:а) 0,(3) ; 1,(1) , б) 8,(45) ; 10,(21) , в) 33,(786) ; 404,(044)

преведи у запис a

b.

6. Децималне записе:а) 0,0(6) ; 1,10(1) , б) 0,0(45) ; 121,012(21) , в) 33,0(786) ; 404,0(044)

преведи у запис a

b.

7. Наведене дужине изрази у метрима:7dm ; 24dm; 26cm ; 108cm; 2mm ; 10 101mm; 1km 5dm 3cm 6mm .

8. Наведене површине изрази у 2m , па заокругли на две децимале:2 2 2 2 2 2 2 2 2 282cm ; 851cm ; 2dm ; 99dm ; 4,5dm ; 133dm 5cm 13mm ; 2a 5m 23dm .

9. Наведене запремине изрази у 3dm l(l), па заокругли на једну децималу:3 3 3 33m ; 217cm ; 38550cm ; 2,78365m 3 3 3 33m ; 217cm ; 38550cm ; 2,78365m .

113

10. Упиши знак < или > тако да добијеш тачно тврђење.

а) 0,2 0,5 ; б) 0,02 0,05 ; в) 0,002 0,005 .

11. Упиши знак < или > тако да добијеш тачно тврђење.

а) 0,02 0,2 ; б) 0,3 0,03 ; в) 0,06 0,006 .

12. Упиши знак < или > тако да добијеш тачно тврђење.

а) 0,05 0,04 ; б) 2,786 2,785 ; в) 99,4562 99,4568 .

13. Упиши знак < или > тако да добијеш тачно тврђење.

а) 0,298 0,307 ; б) 10,583 10,62 ; в) 0,2 0,043 .

14. Дати су скупови:

1 2 5 4, , ,

2 5 6 7A

, , .

Разломке који припадају истом скупу (A, B или C) запиши на исти начин (у облику a

b или

у децималном запису), а затим их поређај у растућем поретку.

15. Дате разломке поређај по величини у опадајућем поретку (од највећег до најмањег).

a) 0,4 ; 4,04 ; 4,4 ; 0,44 ; 40,4 ; 0,404 ;

б) 0,11; 1,1; 1,001; 0,011; 0,1001; 10,01.

16. Упиши знак <, > или = тако да добијеш тачно тврђење.

а)14

0,2 ; б) 16

0,16 ; в) 18

0,125 ;

г) 0,127 3

25; д) 10,583

210

3; ђ) 0,45

613

.

17. Упиши знак <, > или = тако да добијеш тачно тврђење.

а)1

m4

40cm; б) 1

l6

l 1,6dll; в) 1

kg8

125g;

г)13

дана 8 сати; д)34

године 7,5 месеци.

114

1. Попуни таблицу.

дати број 0,7257 55,555... 8,5238 100,00199 645,39645

број заокругљен нацео део

број заокругљен на1 децималу

број заокругљен на2 децимале

број заокругљен на3 децимале

2. У супермаркету продају се паковања од по 5 чоколада и једно такво паковање кошта 335,99 динара. Колика је онда цена једне чоколаде из тог паковања заокругљена на две децимале?

3. Цена паковања јабука од 3kg је 199,9 динара. Јанко жели да купи само 1kg и договорио се са продавачицом да рачун заокругле на цео број динара. Ко је од њих двоје при том на малом губитку?

4. Попуни таблицу.

дати број23

815

922

13235

77108

број заокругљен нацео део

број заокругљен на1 децималу

број заокругљен на2 децимале

број заокругљен на3 децимале

ПРиближна вРедност бРоја

115

2. На бројевној полуправoj представи разломке:

а) 1 3 7 1

1; ; ; ; 32 2 4 4

; б) 11 3 7

; 2,3; ; 15 4 10

.

3. Назначеним тачкама на датој бројевној полуправој придружи одговарајуће разломке, па их затим напиши у растућем поретку (поредак прочитај са бројевне полуправе).

4. Прикажи на бројевној полуправој решења неједначина:

а) 1 92 4

x ; б) 3 1

35 6

y ; в) 4 55 4

z ; г)1

2,93

a .

Решење. а)

0 2

0 1 2 312

94

5. Напиши неједначину која одговара назначеном скупу на датој полуправој.

а)

б)

0 1 2 2 3 423

15

0 1 2 3 338

35

1. На датој бројевној полуправој представи разломке 35

, 2, 74

, 43

, 1

12

и 4

215

.

бРојевна ПолУПРава

0 1 2

116

в)

г)

Решење.

а) Због пуног кружића код тачке важи 23

x , а због празног кружића код тачке

, важи 1

25

x . Дакле, тражена неједначина је 2 1

23 5

x .

6. На бројевној полуправој дата је тачка . Одреди положај тачака B, C и D, ако се тачка

B налази 34

десно од тачке A, тачка C налази 54

десно од тачке B, а тачка D се налази 74

лево од тачке C.

0 1 217

122

415

0 A 14

0 1 2 245

1720

117

1. Допиши разломак представљен на слици или обој део правоугаоника који одговара датом разломку.

2. На празна места упиши бројеве тако да добијеш тачна тврђења.

а) 12 10

; б) 3 94

; в) 9

24 8 ; г)

15 545 9

.

3. Попуни празна места тако да добијеш тачна тврђења.

а) 114 4

; б) 4

35 5

; в) .

4. Упиши знак <, > или = тако да добијеш тачна тврђења.

а) 25

35

; б) 9

11

923

; в) 57

35

; г) 138139

471472

.

5. Чланове скупа {0,123; 0,1023; 0,13; 0,103; 0,02; 0,019}A поређај у растућем, а чланове

скупа

15 1 17; 2,05; 2 ; ; 1,9

4 3 6B у опадајућем поретку.

__________________________________ , _________________________________

тест

118

Решења:1. а) 3

4; б) 7

12; в) Обојени део треба да садржи 36 квадратића; г) Обојени део треба да садржи 60

квадратића.

2. а) 15210

; б) 39412

; в) 93

248; г)

15531451593

.

3. а) 113

244

; б) 419

355

; в) .

4. а) 25

35

; б) 911

923

; в) 57

35

; г) 138139

471472

.

5. 0,0190,020,10230,1030,1230,13; 15171

22,051,9463

.

6. а) 7

0,710

; б) ; в) 3

11,1225

; г) 7

0,777...0,(7)9

.

7. Тачна тврђења су под а), в) и д).

8.

011

0,7 12

78

54

25

0 1

6. Дате разломке запиши у облику децималних бројева.

а) 7

,10

________; б) ________; в) 3

1 ,25

________; г) 7

,9

________.

7. Која заокругљивања бројева су извршена правилно?

а) 5,171 5,17 ; б) 3,16 3,1; в) 2

0,297

; г) 1

0,138

; д) 3

0,388

.

8. На датој бројевној полуправој представи разломке

119

Разломци I део – РеШеЊа

Појам Разломка

1. 12

, 23

, 34

, 25

, 56

, 58

, 49

, 1115

, 7

10,

13

, 12

, 14

, 35

.

2. 43

, 138

, 52

, 116

, 2912

, 3815

.

3.

4.

32

94

43

116

14

45

59

910

23

35

78

310

47

116

114

103

120

5. Милица је добила 25

, Вук 15

, док је неподељено остало 25

те чоколаде.

6. 3 4 10

, , ...,15 15 15

.

7. 4 4 4

, , ...,6 7 13

.

8. .

9. 3 4 7 9 45 44

3 : 4 ,4 : 3 ,7 : 8 ,9 :17 ,45 : 7 ,4 44 :114 3 8 17 7 11

= = = = = = = .

10. nn 1= , yy 28= , xx 8= , mm 210= .

11. а) 60 : 3 20= ; б) (80 : 4) 3 60 = ; в) (40 : 5) 2 16 = ; г) (100 :10) 11 110 = ; д) (707 : 7) 15 1515 =1 515.

12. Дати делови 1 1 2 7

, , ,2 5 3 10

редом садрже 15, 6, 20, 21 бомбону.

13. Цела трака има две (једнаке) половине, па је њена дужина 2 10 20 = cm.

14. Једна петина одељења је 15 : 3 5= ученика, па у том одељењу има 5 5 25 = ученика.

15. Како је 175 : 35 5= , Ана је прочитала 15

књиге.

16. Ненад има петину потребног новца, па му недостају 45

потребне суме новца, односно треба му још 4 50 200 = динара.

17. Једна петина дуга је 3 150 : 3=1 050 динара, па је укупан дуг 5 1050 5250 =1 050=1 050=5 250 динара.

18. Читајући 17 страна на дан, Ани би требало 1 7 8 = дана да прочита књигу. Дакле, Ана је

првог дана прочитала 18

књиге, која има 8 17 136 = страна.

19. Ако је број m половина броја 72, онда је m=36, а 34

броја m су једнаке броју .

ПРоШиРиваЊе и скРаћиваЊе Разломака

1. а) 1 1 3 37 7 3 21

= =

,

1 1 4 47 7 4 28

= =

,

1 1 5 57 7 5 35

= =

; б)

2 2 3 65 5 3 15

= =

,

2 2 4 85 5 4 20

= =

,

2 2 5 105 5 5 25

= =

; в)

8 8 3 2413 13 3 39

= =

,

8 8 4 3213 13 4 52

= =

,

8 8 5 4013 13 5 65

= =

.

2. а) 3 15 754 20 100

= = ; б) 7 28 63

15 60 135= = ; в)

9 108 3611 132 44

= = ;

г) 19 133 15217 119 136

= = ; д) ; ђ) 16 64 11225 100 175

= = .

3. а)1 1 25 254 4 25 100

= =

; б)

4 4 20 805 5 20 100

= =

; в)

12 12 4 4825 25 4 100

= =

; г)

3 3 10 3010 10 10 100

= =

.

121

4. Како је

1 62 12

= , 2 83 12

= , 3 94 12

= , 5 106 12

= ,

то је у бројевима 1 2 3 5

, , ,2 3 4 6

редом садржано 6 , 8 , 9 и 10 дванаестина.

5. а) 1 1 60 604 4 60 240

= =

; б)

3 3 20 6010 10 20 200

= =

; в)

4 4 15 605 5 15 75

= =

;

г)12 12 5 6025 25 5 125

= =

; д)

6 6 10 606

1 1 10 10

= = =

; ђ) 15 15 4 60

151 1 4 4

= = =

.

6. а) 1 1 3 32 2 3 6

= =

и

1 1 2 23 3 2 6

= =

, (јер је S(2,3) 6= );

б) 3 3 5 154 4 5 20

= =

и

3 3 4 125 5 4 20

= =

, (јер је S(4,5) 20= );

в) 2 2 4 83 3 4 12

= =

и

1 1 3 34 4 3 12

= =

, (јер је S(3,4) 12= );

г) 5 5 11 556 6 11 66

= =

и

2 2 6 1211 11 6 66

= =

, (јер је S(6,11) 66= );

д) 7 7 9 63

16 16 9 144

= =

и 7 7 16 1129 9 16 144

= =

, (јер је S(16,9) 144= );

ђ) 1 1 2 22 2 2 4

= =

и

34

, (јер је S(2,4) 4= );

е) 1325

и 2 2 5 105 5 5 25

= =

, (јер је S(5,25) 25= );

ж) 7 7 4 289 9 4 36

= =

и

5 5 3 1512 12 3 36

= =

, (јер је S(9,12) 36= );

з) 1 1 7 74 4 7 28

= =

и

3 3 2 614 14 2 28

= =

, (јер је S(4,14) 28= );

и) 7 7 5 35

10 10 5 50

= =

и 21 21 2 4225 25 2 50

= =

, (јер је (10,25) 50S = ).

7. а) ; б) ;

в) ; г) .

8. 0 1 2 5 8 10

0 ,1 ,2 ,5 ,8 ,101 1 1 1 1 1

= = = = = = .

9. 3 12 18 27 33

1 ,4 ,6 ,9 ,113 3 3 3 3

= = = = = .

10. 18 18 18 18

2 ,6 ,9 ,189 3 2 1

= = = = .

122

11. а) 120 60360 180

= ; б) 120 40360 120

= ; в) 120 20360 60

= ; г)120 1360 3

= .

12. a) = = = =6 3 18 9 54 27 144 72

, , ,12 6 24 12 36 18 162 81

;

б) = = = =6 2 18 6 54 18 144 48

, , ,12 4 24 8 36 12 162 54

;

в) = = = =6 1 18 3 54 9 144 24

, , ,12 2 24 4 36 6 162 27

.

13. а) 4 4 : 2 2

10 10 : 2 5= = ; б)

6 6 : 3 215 15 : 3 5

= = ; в) 75 75 :15 5

135 135 :15 9= = ;

г) 16 16 : 4 436 36 : 4 9

= = ; д) 69 69 : 3 2396 96 : 3 32

= = ; ђ) 108 108 : 27 4405 405 : 27 15

= = .

14. а) 16 420 5

= , 45 3

105 7= ,

64 2160 5

= , 75 1

225 3= ,

78 13324 54

= , 420 3560 4

= ,

540 3

1260 7= ,

573 3955 5

= , , ;

б) 2 3 34 5 10

=

,

4 3 18 9 6

=

,

4 5 103 6 9

=

,

15 3 911 10 22

=

,

16 3 227 8 9

=

,

16 9 615 8 5

=

,

21 35 2125 28 20

=

,

18 45 5425 51 85

=

,

48 21 7249 22 77

=

;

в) 2 3 5 34 5 7 14

=

,

4 3 12 28 9 15 15

=

,

35 18 24 236 55 42 11

=

,

12 81 15 927 24 50 20

=

,

48 26 1

13 160 96 160

=

, 66 72 1

144 33 12 12

=

.

15. а) 3 361 12

= , 21 73 1

= , 16

44

= , 42

67

= ;

б) 1 43 12

= , 2 143 21

= , 3 158 40

= , 17 6825 100

= ;

в) 3 16 2

= , 15 340 8

= , 18 330 5

= , 48 364 4

= .

16. Тачна су тврђења под а), в) и г).

17. а) 2dl 210

= l 15

= l б) 15ml= 151000

l= 3200

l в) 23ml= 2310

cl 32

10= cl

г) 2cm2

100= m

150

= m д) 3cm3

10= dm ђ) 77dm

7710

= m7

710

= m.

18. 3 min1

20= h, 5 min

112

= h, 10 min16

= h, 12 min15

= h,

45 min34

= h, 60 min 1= h, 80 min1

13

= h и 195 min1

34

= h.

123

19. Најмањи двоцифрен непаран број је 11, а највећи шестоцифрени број је 999 999. Дакле,

најмањи двоцифрен непаран број је део највећег шестоцифреног броја.

20. Како је 50 4 1

18 987 329

=

, збир броја 50 и најмањег сложеног броја је 1

329 део производа

најмањег парног броја дељивог са 9 и највећег троцифреног броја дељивог са 3 чије су све цифре различите.

21. 2 2 17 343 3 17 51

= =

или

2 2 18 363 3 18 54

= =

или

2 2 19 383 3 19 57

= =

.

22. За природан број k важи 7 7

13 13k

k

=

(разломак

713

проширили смо бројем k). Онда

је, по услову задатка 7 13 140k k = , односно 20 140k = . Из последње једначине

закључујемо да је kk 7= . Дакле, тражени разломак је 7 7 49

13 7 91

=

.

23. а) 5481

, б) 2436

, в) 3045

.

24. Како је 2 0082008 2 2 2 251= , закључујемо да је 2, 1004p n= =1 004 или 251, 8p n= = n=8.

УПоРеђиваЊе Разломака

1. а)2 4 7

15 15 15 ; б)

5 6 1123 23 23

; в)45 39 791 91 91

> > ; г)23 8 215 15 15

> > ; д)17 88 106

147 147 147 .

2. а) 12 12 1217 23 101

> > ; б) 3 3 37 27 37

> > ; в) 25 25 256 18 180

> > ;

г) 89 89 89

105 51 15 ; д) .

3. а) 31

>7

10; б)

25

>4

25; в)

53

3318

;

г) 27

78

; д) 4

11

715

; ђ) 3164

>2145

;

е) 1415

>2936

; ж) 1235

>9

28; з)

4552

>2536

.

4. а) 34

=3344

; б) 2

13

15

; в) 179

=15381

;

г) 1823

>58

; д) 3415

>3516

; ђ) 3148

>35

;

е)8

153> ; ж)

4388

= ; з) 9799

>7477

.

124

5. а) Разломке ћеш упоредити на тај начин што ћеш их прво проширити тако да свима

именилац буде исти. Како је S(4,3,12,6,8) 24= , први разломак проширујеш са 6,

други са 8, трећи са 2, четврти са 4 и пети са 3 . Сада треба да упоредиш разломке

18 16 22 20 15, , , ,

24 24 24 24 24. Како за њихове бројиоце важи 15 16 18 20 22 , закључујеш да

је 5 2 3 5 118 3 4 6 12

.

б) Разломке ћеш упоредити на тај начин што ћеш их прво проширити тако да свима

бројилац буде исти. Како је SS(1,6,17,17,1) 102= , први разломак проширујеш са 102 ,

други са 17, трећи са 6, четврти са 6 и пети са 102. Сада треба да упоредиш разломке

102 102 102 102 102, , , ,

102 85 84 210 204. Како за њихове имениоце важи 84 85 102 204 210 ,

закључујеш да је 17 1 6 17

135 2 5 14

.

в) Како је 3 105 15 105 5 105 15 105 7 105

, , , ,7 245 24 168 12 252 18 126 24 360

= = = = = , закључујемо да је

7 5 3 15 1524 12 7 24 18

;

г) Како је 7 28 5 15 13 11 22 3 18

, , , ,3 12 4 12 12 6 12 2 12

= = = = , закључујемо да је 13 5 3 11 712 4 2 6 3

.

6. Како је S(9,12) 36= , разломак 49

проширујемо са 4 , 4 169 36

= , а разломак 5

12 са 3 ,

5 1512 36

= .

Пошто је 15 16 , закључујемо да је 5 4

12 9 , тј. да је Вукашин прочитао више.

7. Како је 3 28 7

> , Новак је више времена посветио тенису.

8. Уочимо да је разломак 23

за 13

мањи од једног целог, разломак 56

за 16

мањи од једног

целог, а 89

за 19

мањи од 1. Како је 1 1 19 6 3

, закључујемо да је 8 5 29 6 3

> > , тј. да је

најбржи био први радник.

9. Највише воде је остало у првом бурету, јер је 7 2 33

20 5 50.

10. а) 0 1

,2 2

; б) 0 1 2

, ,3 3 3

; в) 0 1 2 3 4

, , , ,5 5 5 5 5

; г) 0 1 10

, , ...,11 11 11

; д) 0 1 14

, , ...,15 15 15

.

11. а) 13 14 15

, ,4 4 4

; б) 19 23

,...,6 6

; в) 25 31

,...,8 8

; г) 40 51

,...,13 13

; д) 49 63

,...,16 16

.

12. То су, на пример, разломци 22 23 24 25 26 27

, , , , ,35 35 35 35 35 35

.

125

13. а) Како је S(3,12,4) 12= , проширивањем датих разломака добијаш 4 15

12 12 12n

. Дакле,

4 15n , то јест {5,6,7,8,9,10,11,12,13,14}n .

б) {15,16,17,18,19}m ; в) {4,5,6,7,8,9,10,11}k ; г) {43,44,...,67}l .

14. Проширивањем добијамо да је 12 12 1267 12 9p

, одакле следи {2,3,5}p .

15. Треба да упоредиш разломке 12a

и 5

8a

, односно разломке 224

a и

3 ( 5)24a

. На основу

3 15 2a a > , закључујемо да је 12 8a b

.

16. 1 2 3 4

0, , , ,5 5 5 5

A =

,4 3 2 1

1, , , ,5 5 5 5

B =

,1 2 3 4

, , ,5 5 5 5

A B =

,1 2 3 4

0, , , , ,15 5 5 5

A B =

, \ {0}A B = .

сабиРаЊе Разломака једнаких именилаца

1. а) 3 1 3 1 45 5 5 5

= = ; б)

2 4 2 4 6 29 9 9 9 3

= = = ; в)

3 4 710 10 10

= ;

г) 7 1 8 46 6 6 3

= = ; д) 7 17 24 4

18 18 18 3 = = ; ђ)

11 15 2623 23 23

= .

2. а) 1 5 3 1 5 3 92 2 2 2 2

= = ; б)

2 3 1 2 3 1 67 7 7 7 7

= = ;

в) 13 3 7 2310 10 10 10

= ; г) 7 1 10 18 94 4 4 4 2

= = ;

д) 2 5 6 4 17

16 16 16 16 16 = ; ђ)

21 14 48 1 8425 25 25 25 25

= .

3. 5 1 4 2 3 0 58 8 8 8 8 8 8

= = = ; 7 1 6 2 5 3 4

10 10 10 10 10 10 10= = = ;

7 1 6 4 3 31

4 4 4 4 4 4= = = ;

9 2 7 5 3 31

5 5 5 5 5 5= = = ;

11 5 6 9 2 21

9 9 9 9 9 9= = = .

4. а) 2 3 2 5

13 3 3 3

= = ; б) 1 12 1 13

34 4 4 4

= = ; в) 7 30 7 37

310 10 10 10

= = ;

г) 19 400 19 419

4100 100 100 100

= = ; д) 2 55 2 57

511 11 11 11

= = ; ђ)14 275 14 289

1125 25 25 25

= = .

5. а) 5 3 2 2

13 3 3 3

= = ; б) 9 2 4 1 2 1 1

24 4 4 1 4 4

= = = ; в)

17 10 7 71

10 10 10 10= = ;

г) 27 5 5 2 2

55 5 5 5

= = ; д)

34 7 4 6 64

7 7 7 7

= = ; ђ) 101 2 37 27 27

237 37 37 37

= = .

126

вРсте Разломака. меШовити бРојеви

1. а) 0 1

,2 2

; б) 0 1 2

, ,3 3 3

; в) 0 1 2 3

, , ,4 4 4 4

; г)0 1 2 3 4

, , , ,5 5 5 5 5

; д) 0 1 9

, , ...,10 10 10

; ђ)0 1 11

, , ...,12 12 12

.

2. а) 0 7 14 98

, , , ...,100 100 100 100

; б) 0 11 22 99

, , , ...,100 100 100 100

; в) 0 29 58 87

, , ,100 100 100 100

.

3. а) , 3 1 5 1 354 12 6

1 , 1 , 9 92 2 4 4 38 38 19

= = = = ;

б) , 17 1 18 4 131 3

2,1, 2 , 2 , 28 8 7 7 64 64

= = = .

4. 1 1 1 1 3 3 3 5 5

, , , , , , , ,2 4 6 7 4 6 7 6 7

.

5. а) 1 1 1 1 1 2 2 2 2 4 4 4 5 5 7

, , , , , , , , , , , , , ,2 4 5 7 11 4 5 7 11 5 7 11 7 11 11

;

б) 11 11 11 11 11 11 7 7 7 7 7 5 5 5 5 4 4 4 2 2 1

, , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,1 2 4 5 7 11 1 2 4 5 7 1 2 4 5 1 2 4 1 2 1

.

6. а) 3

13

= ; б) 10

110

= ; в) 8

24

= ; г) 28

47

= ; д) 25

55

= ; ђ) 74

237

= .

7. 5 2

13 3

= , 9 1

24 4

= , 17 7

110 10

= , 27 2

55 5

= , 34 6

47 7

= , 101 27

237 37

= .

8. 2 5

13 3

= , 1 13

34 4

= , 7 37

310 10

= , 19 419

4100 100

= , 2 57

511 11

= , 14 289

1125 25

= .

9. Ако скуп S садржи само праве разломке, онда за n важи0 9 8,0 6 10,0 5,6 3,8 9n n n n n > > ,односно1 9, 4, 0 5, 3, 1n n n n n > ,одакле добијамо да је једино решење 2n= .

децимални заПис Разломка

1. а) 3

0,310

= ; 5

0,510

= ; 3

1 1,310

= ; 2

3 3,210

= ; 23

2,310

= ;

б) 2

0,02100

= ; 51

0,51100

= ; 3

1 1,03100

= ; 25

4 4,25100

= ; 304

3,04100

= ;

в) ; ; ; ; .

127

2. а) 1 5

0,52 10

= = ; 1 2

0,25 10

= = ; 3 15

1,52 10

= = ;

6 121,2

5 10= = ;

3 61 1 1,6

5 10= = ;

1 513 13 13,5

2 10= = ;

б) 3 6

0,0650 100

= = ; 19 38

4 4 4,3850 100

= = ; 67 335

3,3520 100

= = ;

; 3 75

0,754 100

= = ; 5 125

1,254 100

= = ;

в) , ; ;

, ; .

3. а) 7

0,710

= ; 5 1

1,5 1 110 2

= = ; 4 2

2,4 2 210 5

= = ; 2 1

101,2 101 10110 5

= = ;

б) 11

0,11100

= ; 5 1

45,05 45 45100 20

= = ; 25 1

2,25 2 2100 4

= = ; 4 1

31,04 31 31100 25

= = ;

в) ; ; ;

; .

4. а) 1

0,(3)3

= ; 2

0,(6)3

= ; 50,8 3

6= ;

40,(571428)

7= ;

б) 121, 09

11= ;

563,7(3)

15= ;

1062,3(5)

45= ; ;

в) 7

3 3,(7)9

= ; ; ; 10

10 10,(769230)13

= .

5. а) 1

0,(3)3

= ; 1

1,(1) 19

= ; б) 5

8,(45) 811

= ; 7

10,(21) 1033

= ;

в) 262

33,(786) 33333

= ; 44

404,(044) 404999

= .

6. а) 1

0,0(6)15

= ; 91

1,10(1) 1900

= ; б) 5

0,0(45)110

= ; ;

в) ; .

7. 7 dm 0,7= m, 24 dm 2,4= m, 26 cm 0,26= m, 108 cm 1,08= m, 2mm 0,002= m,10 101 mm 10,101= m, 1km 5dm 3cm 6mm 1000,536=1 000,536m.

8. = 2 2 282cm 0,0082m 0,01m ; = 2 2 2851cm 0,0851m 0,09m ; =2 22dm 0,02m ; =2 299dm 0,99m ; = 2 2 24,5dm 0,045m 0,04m ;

= 2 2 2 2 2133dm 5cm 13mm 1,330513m 1,33m ; =2 2 22a 5m 23dm 205,23m .

9. =3 33m 3 000dm ; = 3 3 3217cm 0,217dm 0,2dm ; 38 550 = =3 3 338550cm 38,55dm 38,6dm ; = 3 3 32,78365m 2 783,65dm 2 783,6dm .

128

10. а) 0,2 0,5 ; б) 0,02 0,05 ; в) 0,002 0,005 .

11. а) 0,02 0,2 ; б) 0,3 > 0,03 ; в) 0,06 > 0,006 .

12. а) 0,05 > 0,04 ; б) 2,786 > 2,785 ; в) 99,4562 99,4568 .

13. а) 0,298 0,307 ; б) 10,583 10,62 ; в) 0,2 > 0,043.

14. 105 84 175 120

, , ,210 210 210 210

A =

, 2 1 4 55 2 7 6

;

0,6; 6,875; 4,12; 52,344B = , ;

, .

15. а) 40,4 4,4 4,04 0,44 0,404 0,4> > > > > ; б)10,01 1,1 1,001 0,11 0,1001 0,011> > > > > .

16. а) 14

> 0,2 ; б) 16

> 0,16 ; в) 18

= 0,125 ; г) 0,127 >3

25; д) 10,583

210

3; ђ) 0,45

613

.

17. а) 14

m 40 cm; б) 16

l>1,6 dl ; в) 18

kg=125 g; г) 13

дана = 8 сати;

д) 34

године > 7,5 месеци.

ПРиближна вРедност бРоја

1.

дати број 0,7257 55,555... 8,5238 100,00199 645,39645

број заокругљен нацео део

1 56 9 100 645

број заокругљен на1 децималу 0,7 55,6 8,5 100,0 645,4

број заокругљен на2 децимале 0,73 55,56 8,52 100,00 645,40

број заокругљен на3 децимале

0,726 55,556 8,524 100,002 645,396

129

2. 335,99 : 5 67,198 67,20=

3. Како је 199,9 : 3 66,6... 67= , на малом губитку je Јанко.

4.

дати број23

815

922

13235

77108

број заокругљен нацео део

1 1 0 4 1

број заокругљен на1 децималу

0,7 0,5 0,4 3,8 0,7

број заокругљен на2 децимале

0,67 0,53 0,41 3,77 0,71

број заокругљен на3 децимале

0,667 0,533 0,409 3,771 0,713

бРојевна ПолУПРава

1.

2. а)

б)

3.

1 2 3 7 17 11 2

2 3 4 6 12 4 .

0 1 1 2 235

43

12

74

415

0 1 2 3 3 412

32

74

14

0 1 2 212

23

34

76

1712

14

0 1 1 2 2,334

710

115

130

4. б)

в)

г)

5. б) 3 2

38 5

x ; в) 4 17

x 25 20

; г) 7 2

1 212 15

x .

6.

0 145

54

0 1 2 2,9 3 413

0 A14

D12

B(1) C1

24

0 1 2 33 435

16

131

РАЗЛОМЦИ ii ДЕО

1. Допуни шта недостаје:

а) 2 37 7 7+ ; б)

4 2 69 9+ ; в)

4 1115 15 15+ ;

г) 3 4 7

15 5+ ; д)

5 2 311 11 11 11+ + ; ђ)

1 3 61

7 7 7+ + ;

е) 5 3 9 7

116 16 16 16+ + + .

2. Израчунај:

а) 1

53+ ; б)

15 5

5+ ; в)

1 311

11 11+ ; г)

2 53 4

9 9+ ;

д) 3 1 5

8 3 18 8 8+ + ; ђ)

4 2 44 8 9

9 9 9+ + ; е)

1 1 32 3

5 5 5+ + ; ж)

3 7 12 115 2 4

20 20 20 20+ + + .

3. Попуни таблице: а) б) в)

+26

56

1636

64

+ 2 4 7

13

51

697

820

+18

31

858

23

8

2

78

4. Нађи збир свих правих разломака са имениоцем 6.

5. Марко је првог дана на излету препешачио 1

4 km5

, а другог дана 2

6 km5

. Колико је

километара Марко укупно препешачио на излету?

6. Допуни шта недостаје:

а) 7 1

10 10 10 ; б)

11 512 12 ; в)

13 515 15 15 3 ; г)

7 2 120 20 20 .

7. Израчунај:

а) 18 1425 25 ; б) ; в) ; г)

17 7 518 18 18 .

САбИРАњЕ И ОДуЗИМАњЕ РАЗЛОМАкА јЕДнАкИх ИМЕнИЛАЦА

132

8. Допуни шта недостаје:

а) 2

5 4 __5 5 ; б)

4 49 4 __

9 ; в)

2 18 5 __

3 3 ; г)

1 17 3 __

2 2 .

9. Израчунај:

а) 5 3

12 38 8 ; б)

3 28 2

5 5 ; в)

5 120 20

7 7 .

10. Израчунај:

а) 1

22

; б) 1

44

; в) 2

83

; г) 6

6 37

; д) 3

8 68

; ђ) 2

10 55

.

11. Одузми:

а) 1 2

3 23 3 ; б)

1 34 3

4 4 ; в)

5 79 2

8 8 ; г)

2 36 3

5 5 ;

д) 8 11

12 315 15 ; ђ)

9 2113 8

50 50 ; е)

1 891

99 99 ; ж)

1 135

17 17 .

12. Попуни таблице: а) б) в)

–1

23

78

51

9

7

8

3

–1

17

44

73

37

56

76

127

25

7

58

8

4

2

25

8

13. Уместо x стави одговарајући број тако да једнакост буде тачна:

а) 5 9

12 12 12x

+ ; б) 11 8 1921 21 x+ ; в)

23 1925 25 25

x ;

г) 3 6

2 1 110 10 10x ; д)

3 72 10 12

8 8 8x

+ ; ђ) 4 89 9 9

x+ .

14. Уместо x стави одговарајући број тако да једнакост буде тачна:

а) 7

115 15x+ ; б)

6 313 13 13

x ; в)

22 3

9 9x

+ ;

г) 5 1 11

10 10 10 10x

+ + ; д) 5 16 8

17 17 17 17x

+ ; ђ) 4 8

2 89 9

x+ .

133

15. Израчунај:

а) ; б) ;

в) ; г) .

16. Израчунај:

а) 52 1 4

3 25 5 5+ ; б) 12 ;

в) 7 9 11

6 1 512 12 12 + ; г)

3 17 921 9 5

20 20 20 .

17. Израчунај:

а) ; б) ;

в) ; г) .

18. Израчунај обим троугла чије странице имају дужине 1

5 cm10

, 3

6 cm10

и 7

7 cm10

.

19. Један продавац је продао 3

125

метара штофа, а други 1

185

метара штофа. Колико је више

штофа продао други продавац? Колико су штофа укупно продали?

20. Бициклиста је првог дана прешао 3

15 km8

, а другог дана за 1

2 km8

мање него првог

дана. Колико километара је прешао бициклиста за два дана?

1. Допуни шта недостаје:

а) 2 1 55 4 20 20 20+ + ; б)

2 1 45 2 10 10 10+ + ;

в) 1 35 4 20 20+ + ; г)

2 19 6 18 18+ + ;

д) 7 3

10 20+ + ; ђ)

5 3__

6 8+ + .

2. Израчунај:

а) 4 19 3+ ; б)

5 36 4+ ; в) ; г)

1 22 3+ ;

д) 3 3 58 4 6+ + ; ђ)

9 320 4+ ; е)

1 8 33 15 5+ + .

САбИРАњЕ И ОДуЗИМАњЕ РАЗЛОМАкА

134

3. Израчунај:

а) 2 2

1 45 7+ ; б)

1 55 3

2 12+ ; в)

4 33 5

15 10+ ;

г) 3 5

2 74 6+ ; д)

4 79 2

5 8+ ; ђ)

5 114 12

8 12+ .

4. Попуни таблицу: а) б)

+25

37

12

382314

+5

125

36

15

22

815

46

5

5. Израчунај:

а) 1 1

11 311 3+ ; б)

5 16 2

6 2+ ; в)

5 75 2

9 12+ ;

г) 5 11

7 312 15+ ; д)

5 714 3

6 15+ ; ђ)

13 112 19

18 12+ .

6. Израчунај:

а) 2 4 1

3 7 85 7 2+ + ; б)

3 5 32 7 8

4 6 8+ + ; в)

1 1 11 3 5

2 3 5+ + .

7. Допуни дату шему:

8. Допуни шта недостаје:

а) 1 2 52 5 10 10 10 ; б)

5 1 56 2 6 6

;

в) 7 28 3 24 ; г)

11 220 5 20 ;

д) 3 14 6 ; ђ)

6 17 2 .

135

9. Израчунај:

а) 5 36 8 ; б)

7 28 3 ; в)

9 1310 15 ;

г) 5 47 21 ; д)

11 218 9 ; ђ)

4 115 6 .

10. Израчунај:

а) 3 1

5 37 4 ; б)

1 312 8

5 4 ; в)

2 79 5

3 8 ;

г) 141 5

32 7 ; д)

2 38 7

3 4 ; ђ)

1 412 2

2 5 .

11. Израчунај:

а) 1 3 2

2 4 32 4 3+ ; б)

2 4 19 8 7

3 5 4+ ; в) ;

г) ; д) ; ђ) .

12. Попуни дату шему: а) б)

4

12

53423

18

43

9

81

157

420

13. Израчунај вредност израза:

а) ; б) .

14. Израчунај вредност израза:

а) ; б) .

15. Израчунај вредност израза:

а) ; б) .

16. Број 12 умањи за збир бројева 2

45

и 1

14

.

45

136

17. Број 2

55

увећај за разлику бројева 5

66

и 2

33

.

18. Броју 7

710

додај разлику бројева 9 и 4

615

.

19. Од броја 17

2020

одузми збир бројева 3

1010

и 5

88

.

20. Збиру бројева 2

105

и 2

15

додај разлику бројева 2

85

и 1

44

.

21. Разлици бројева 1

66

и 4

55

додај збир бројева 1

44

и 2

23

.

22. Од збира бројева 3

54

и 7

129

одузми разлику бројева 5

36

и 1

23

.

23. Разлици бројева 1

38

и 1112

додај разлику бројева 3

74

и 56

.

24. Израчунај збир четири броја од којих је први 2

45

, а сваки следећи је за 1

23

већи од његовог претходника.

25. Одреди обим троугла ако су његове странице 1

4 cm2

, 3

6 cm5

и 7

8 cm10

.

26. Обим троугла је 3

20 cm4

. Ако су дужине двеју страница 9

6 cm20

и 7

7 cm10

, одреди

дужину треће странице.

27. Обим троугла је 4

20 cm5

. Ако је једна страница 1

7 cm2

, друга за 2

1 cm5

краћа од прве,

колика је дужина треће странице?

28. Израчунај обим правоугаоника чија је дужина 1

8 m2

, а ширина је за 3

1 m4

краћа од дужине.

29. Шта је веће: збир бројева 3

24

и 7

58

или разлика бројева 1

142

и 7

58

?

30. Ако је 2

183

a , 1

64

b , 4

25

c израчунај:

a) a b c+ + ; б) a b c + ; в) a b c ; г) .

31. Ако је , 1 2

4 35 5

b израчунај a b+ .

137

32. Марко је потрошио 5

12 новца који је понео на екскурзију и остало му је још 700 динара.

Колико новца је Марко понео на екскурзију?

33. Жељка је прочитала 49

књиге и остало јој је да прочита још 50 страница. Колико

страница има књига?

34. Трговац је продао 7

15 укупне количине јагода и остало му је још 40kg јагода. Колико је

било килограма јагода у продавници?

35. Деда Милош ја продавао кромпир на пијаци. Прво је продао 7

20, а затим

38

од укупне

количине. Који део од укупне количине је деда Милош морао да врати кући?

36. Бициклиста је за три сата прешао одређену стазу, али тако што је у току првог сата

прешао 9

20, а у току другог

415

укупног пута. Који део пута је прешао у току трећег сата?

37. Аутомобилиста је првог сата прешао 19

пута, другог сата 1

12 пута више него првог, а

трећег сата 14

укупног пута. Колико му је још остало да пређе?

38. Ученик је прочитао књигу за три дана. Првог дана је прочитао 4

15 књиге, а другог дана

за 3

10 више него првог. Који део књиге је прочитао трећег дана?

Решење. Први дан: 4

15,

други дан: 4 3 8 9 17

15 10 30 30 30+ + ,

трећи дан: .

39. Радник је један посао урадио за три дана. Првог дана је урадио 7

12 посла, а другог дана

за 38

мање него првог. Који део посла треба да уради трећег дана?

40. Једна улица је асфалтирана за три дана. Првог дана је асфалтирано 1

km5

, другог дана 3

km20

више него првог дана, а трећег 1

km20

мање него другог дана. Колика је дужина улице?

138

41. Камен бачен у бунар падне у воду за три секунде. Прве секунде пређе 7

4 m10

а у свакој

следећој за 4

9 m5

више него у претходној секунди. Израчунај дубину бунара.

42. Базен пуне две цеви. Одреди који део базена је напуњен за 1 сат ако:

1) прва цев за 1 сат напуни 14

базена, а друга цев за 1 сат напуни 19

базена;

2) прва цев за 1 сат напуни 56

базена, а друга цев за 1 сат испразни 58

базена.

43. Базен се једном славином напуни за 8 сати, а другом се испразни за 12 сати. Који део базена је напуњен за 1 сат ако су истовремено отворене обе славине? За које време ће се базен напунити до врха ако су отворене обе славине?

Решење.како се базен једном славином напуни за 8 сати, за 1 сат напуни се

18

базена. Друга

славина испразни базен за 12 сати, а за 1 сат се испразни 1

12 базена.

Ако су отворене обе славине истовремено, прва га пуни, а друга празни, па ће за 1 сат

бити напуњена 1 1 3 2 18 12 24 24 24 базена, што значи да ће се базен напунити до врха

за 24 сата.

44. Базен пуне две цеви: једна за 6 сати, а друга за 4 сата. Трећа цев га празни за 12 сати. Који део базена је напуњен за 1 сат ако су истовремено отворене све три цеви?

45. Бојан опере очев аутомобил за 21 минут. Бојан и његов брат Воја заједно оперу ауто за 14 минута. За које време би Воја сам опрао очев аутомобил?

46. Један радник заврши неки посао за 12 часова, а други заврши исти посао за 15 часова. За које би време тај посао био завршен ако би радили заједно?

47. Један посао два радника могу да заврше за 15 дана. Ако један радник исти посао може да заврши за 20 дана, за колико би дана исти посао урадио други радник сам?

48. Дечак претрчи стазу дужине 500m за 256

минута, а девојчици је за исту стазу потребно 14

минута више. За колико минута девојчица претрчи ту стазу? Колико времена јој је

потребно да пређе стазу од 1 500m?

49. Бициклиста је прешао 38

пута. Када пређе још 15km, остаће му још 1

10 пута до половине

пута. Колика је дужина целог пута?

50. Ако се из једног бурета преспе у друго 1212

литра воде, а у треће 1534

, онда у сваком

бурету има по 12412

литра воде. Колико је било воде у сваком бурету пре пресипања?

139

1. Допуни шта недостаје:

2. Израчунај:а) 19,4 13,9+ ; б) 5,8 12,31+ ; в) 23 16,5+ ;г) 22,22 11,1+ ; д) 7,6 215,67+ ; ђ) 395,486 4,58+ ;е) 0,54 31,178+ ; ж) 1,9876 2007,01+ ; з) 105,4 31,023+ .

3. Попуни таблицу:

а) б)

+ 1 3 6

0,32

0,4

0,183

+ 2,6 7,91 3,199

4,4

11,3

13,45

4. Сабери:а) 2,3 5,9 8,1 0,7+ + + ; б) 4,4 35,82 0,276+ + ; в) 126,8 73,72 8,357+ + ;г) 0,372 9,49 17 56,2+ + + ; д) 4,23 3,004 0,0038+ + .

5. Допуни шта недостаје:

САбИРАњЕ И ОДуЗИМАњЕ ДЕЦИМАЛнИх бРОјЕвА

140

6. Израчунај:а) 55,5 22,2 ; б) 9,4 7,3 ; в) 45,67 18,2 ;г) 16,87 15,87 ; д) 3,4 1,29 ; ђ) 36,1 0,189 ;е) 107,79 103,79 ; ж) 88,852 4,69 ; з) 6,6 5,99 ;и) 10 4,989 ; ј) 5 3,027 ; к) 3,78 1,396 ;л) 23,341 13,341 ; љ) 24,24 24,239 ; м) 7,19 0,004 .

7. Попуни таблицу:а) б)

4,8

6,39

7,11

3,82

8,4

12,31

6,38

9,19

3,1

8. Израчунај:a) 24,08 8,792 0,97 + ; б) 2,17 16,9 8,483+ ;в) ; г) ;д) ; ђ) .

9. Ако је aa 7,24 ; bb 3,6 ; cc 0,379 , израчунај:а) a b c+ + ; б) a c b + ; в) a c b+ ; г) .

10. Израчунај:а) ; б) ; в) ; г) ;д) .

11. Претварањем разломака у децималне бројеве, израчунај:

а) 0,6 1,4+ ; б) 5

4 6,218+ ; в)

35 3,51

4 ; г)

16 4,515

2− ;

д) 7

5,12 420

; ђ) 4

7 0,55 ; е)

15 0,5

2 ; ж)

38,8 3

4 .

12. Претварањем децималних бројева у разломке, израчунај:

а) 3

8,32 920

+ ; б) 4

2 0,55 ; в)

19 0,5

2 ;

г) 3

5,5 34

− ; д) 5 1

3,58 2

+ .

141

13. Допуни дату шему:

14. Израчунај:

а) 1 3

0,125 0,25 0,34 10

+ + б)

15. Израчунај:

а) б) в)

16. Ако је aa 7,6 4,54 и bb 3,12 1,9 + , израчунај a b+ .

17. Ако је aa 15,06 4,9 + и bb 7,5 2,84 , израчунај a b .

18. У пошту су допремљена 4 пакета по 23,7kg , 13,25kg , 0,874kg и 2,396kg. Колика је тежина свих пакета заједно?

19. Са једне њиве је пожњевено 5,25t пшенице, са друге 9,18t и са треће 3,42t пшенице. Колико је укупно тона пожњевено са све три њиве?

20. Израчунај обим троугла ако су странице 4,7a , 0,9b a + , 1,9c b + .

21. Првог дана продато је 44,58m штофа, другог за 14,75m мање, а трећег 18,4m више него другог дана. Колико је продато штофа за три дана?

22. Броју 19,4 додај разлику бројева 52,17 и 44,444.

23. Од броја 25 одузми збир бројева 4,44 и 19,19.

24. Збиру бројева 7,6 и 18,15 додај разлику бројева 24,3 и 14,57.

25. Од разлике бројева 105,16 и 19,1 одузми збир бројева 52,4 и 14,16.

26. Збиру бројева 9,4 и 3

48

додај разлику бројева 7

520

и 2,25.

142

27. За колико је збир бројева 3

114

и 2,25 већи од разлике бројева 15,1 и 7

1010

?

28. Маја је у пекари купила кроасан са виршлом за 42 динaрa, питу са вишњама за 28,5 динара и јогурт за 8,35 динара. Колики кусур треба да јој врати продавац ако му је она дала 100 динара?

29. У првој корпи је 10,125kg грожђа, а у другој 9,45kg. Ако се из прве корпе извади 4,8kg, а у другу дода 1,55kg, колико грожђа ће бити у свакој корпи после премештања?

30. Планинар је првог сата прешао 34,4km, другог сата за 2,25km више него првог, а трећег 8,64km мање него другог. Колико је километара прешао за три сата?

31. Разгледајући Париз са Ајфелове куле, Милану је испао двоглед и пао на земљу за четири секунде. У првој секунди двоглед је прешао 4,9m а у свакој следећој за 9,8m више него у претходној секунди. Са које висине је Милан разгледао Париз?

32. Мајка је својим ћеркама поделила џепарац за ужину. Најмлађа ћерка је добила 26,5 динара, средња ћерка за 8,3 динара више од најмлађе, а најстарија је добила као прве две заједно. Колико новца је мајка укупно дала својим ћеркама?

33. Носивост лифта је 300kg. Ако су у лифт ушле две девојчице, једна тежине 40kg и друга која је 1,5kg лакша од ње, и бака, тежине 65,5kg, која носи торбу са пијаце тежине 8,75kg, колико још килограма може да прими лифт?

34. Попуни дате пирамиде ако за c

a b важи a b c+ :

17,66 7,8

4,95 0,75

в)

12,4

7,35 2,143,6 5,11 4,84

a) б)

143

1. Попуни празна поља тако да једнакости буду тачне:

а) 1 3 37 5 5+ + ; б)

2 32

9 4+

22

9+ ;

в) 1 1

13,3 1 12 2

+ + ; г) .

2. Попуни таблице и упореди последње две колоне:а)

a b a b+ b a+

32

73

14

78

91

46

4,11 7,3

б)

a b c

23

56

89

12

41

36

14

8

6,6 0,4 2,15

3. Користећи својства сабирања, израчунај:

а) 1 2 1

4 22 3 2+ ; б)

5 3 4 15 8 4 1

9 4 9 4+ + + ;

в) 2,75 7,6 3,25 4,4+ + + ; г) 2 5

3,9 5 8,6 23 6

+ + + .

4. Упрости изразе:

а) 2 0,3 4 2,6x x+ + + ; б) 1 1

3 3 4 42 3

a a+ + + .

5. Ако је 2,5a b+ израчунај:а) 0,7a b+ + ; б) 0,9a b + ;в) ; г) .

СвОјСтвА САбИРАњА

144

1. Доврши започето решавање једначина.

а) 1 22 3

x+

2 13 2

x

3

6x

6

x

Провера. 1 1 1 3 4 26 2 6 6 6 3+ +

б) 3,4 15,2x+ 15,2 ____x ____xПровера. 3,4 11,8 15,2+

в) 3 58 12

x

5 3

12 8x +

24 24

x +

x

Провера. 19 3 19 9 10 524 8 24 24 24 12

г) 6,19 2,9x ____ 2,9x ____xПровера. 6,19 3,29 2,9 .

2. Попуни празна поља таблице одговарајућим децималним бројевима:

+ 5,93 3,14

4,32 8,11

7,8

5

– 2,66

19,4 15,45

13,5

7,11 0,5

3. Попуни празна поља таблице одговарајућим разломцима:

+12

13

31

33

38

103

44

56

12

–59

71

205

418

33

50

87

15

јЕДнАчИнЕ

145

4. Реши једначине:

а) 2 57 9

x+ ; б) x3 1

x 25 2

+ ; в) 5 5

1 312 6

x+ .

5. Реши једначине:

а) 2 1

15 39 6

x ; б) 1 3

5 26 4

x ; в) x3 2

x 2 510 5

; г) 5 1

6 106 2

a .

6. Реши једначине:

а) xx 3,7 9,8+ ; б) 17,32 31,14x+ ; в) xx 5,4 1,25 ; г) xx 3,9 6,17 ;

д) 4,2 3,35x ; ђ) 7,98 3,31x ; е) 5,19 16,31y+ ; ж) xx 0,19 2,91 .

7. Реши једначине:

а) x2

x 3,53

; б) 1

11,3 52

a ; в) 1

8 5,62

m ;

г) x1

x 3 7,94

+ ; д) 2

3,3 105

x+ ; ђ) x5

x 4,8 56

.

8. Реши једначине:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; ђ) .

9. Реши једначине:

а) ; б) ;

в) ; г) .

10. Који број треба додати броју 3

35

да би се добио број 4

1415

?

11. Који број треба одузети од броја 7

1012

да би се добио број 5

118

?

146

12. Ком броју треба додати 1

22

да би се добио збир бројева 4

45

и 3

610

?

13. Који број треба додати разлици бројева 1

35

и 1

24

да би се добио број 1

66

?

14. За колико треба повећати израз 3 3 1

10 5 25 8 2+ да се добије 15?

15. Који број треба одузети од збира бројева 5

56

и 7

109

да би се добио збир бројева 9

310

и 2

23

?

16. Ако неки број саберемо са 3

14

, па тај збир одузмемо од броја 12, добићемо 4

49

. Који је то број?

17. Бициклиста је првог дана прешао 52,5km, а другог дана 3

10 km4

мање него првог дана.

Ако је укупна дужина пута 150km, колико још километара треба да пређе?

18. Ана, Бојана и Виолета су укупно убрале 224kg малина. Ана је убрала 73,6kg, а Бојана за 3

5 kg5

више од Ане. Колико је килограма убрала Виолета?

19. Два молера су за један дан окречила 1

15 зграде. Ако је један окречио

120

зграде, колико је окречио други молер?

1. Доврши започето решавање неједначина.

а) x2 7

x5 10

+

x7

x10 5

x4

x10

xx10

б) 1 3

3 62 4

x+

xx 6 34

xx 6 34 4

__x

нЕјЕДнАчИнЕ

0 1 2 30 1

147

в) x2 5

x 2 43 6

, видиш да је

x2

x 4 26

+

xx __ 26 6

+

xx 66

xx 7

г) xx 4,7 0,8 , 4,7x

xx 0,8 4, __ +

xx __, __

2. Доврши започето решавање неједначина:

а) 1 2

8 64 3

x , 1

84

x

1

8 __3

x

8 612

x

7 6x

__x

б) 5 3

12 58 4

x , 5

128

x

xx 12 58 4

xx __ __8 8

xx __ __8

xx __

3. Одреди решења неједначина у скупу природних бројева:

а) x3

x 97

; б) 3 5

5 108 6

x+ ; в) x2 1

x 7 29 4

;

г) 1 7

2 72 9

x+ ; д) 7 5

6 112 18

x .

4. Реши неједначине и решења представи на бројевној полуправој:

а) 3

5 35

x ; б) x3

x 3 54

+ ; в) 1 1

8 42 4

x ;

г) 7 5

12 1512 6

x+ ; д) y1 3

y 1 42 4

; ђ) 3 1

6 210 2

x ;

е) x3

x 5 105

; ж) 3 1

8 34 2

x ; з) x4 3

x 3 75 10

+ .

0 52 1023

712

0 5 10

0 1 2 0 5 10

2

23

x

148

5. Реши неједначине и решења представи на бројевној полуправој:а) xx 1,2 3,7+ ; б) xx 4,39 8,39+ ; в) 3,82 11,32x+ ;г) xx 4,45 2,15 ; д) 6,7 1,4x ; ђ) xx 5,45 2,55 .

6. Реши неједначине и решења представи на бројевној полуправој:

а) x1

x 4,5 64

; б) y1

y 0,5 25

; в) 3

3,5 74

x+ ;

г) 1

4 0,752

x ; д) x1

x 2,5 35

; ђ) 4

3,3 75

x+ .

7. Реши неједначине и решења представи на бројевној полуправој:

а) 4 2 2

3 5 65 3 5

x+ + ; б) ;

в) ; г) .

8. Реши неједначине и решења представи на бројевној полуправој:

а) ; б) ;

в) ; г) .

9. За које је вредности x израз мањи од 3

1010

?

10. Из скупа издвој елементе који припадају скупу решења неједначине

.

11. Које бројеве можеш додати броју 7

59

тако да збир буде мањи од 1

86

?

12. Које бројеве можеш одузети од 5

128

тако да добијена разлика не буде мања од 2

23

?

13. Од којих бројева можеш одузети збир бројева 2,9 и 6,17 тако да добијена разлика буде већа од 4,23?

14. Када од броја 7

1012

одузмеш неки број увећан за 3,3 добићеш број који је већи од 4

45

.

Одреди скуп таквих бројева.

15. Када разлику неког броја и броја 0,6 сабереш са 2

43

, добићеш број који није већи од 4

915

. Одреди скуп таквих бројева.

149

1. Израчунај:

а) + 2 49 9

; б) + 3 55 8

.

2. Израчунај:

а) 7

49

; б) 5 3

4 16 4

.

3. Ако је 9,38a , 4,8b и 0,432c , онда је +a b c :a) 9,332; б) 5,012; в) 8,9.

4. Вредност израза јесте:

a) 3

54

; б) 5; в) 3

64

; г) 1

54

.

5. Решење једначине јесте:

a) 1

112

; б) 4 ; в) 11

312

.

6. Решење неједначине 1 4

4 22 5

x јесте:

a) 7

110

x ; б) 7

110

x ; в) 7 1

1 410 2

x .

7. Од збира бројева 3

134

и 5

29

одузми разлику бројева 5

66

и 2

43

.

_______________________________________________________________

8. Марко је купио оловку, гумицу и свеску. Оловку је платио 38,25 динара, гумицу за 7,5 динара мање него оловку, а свеску 12,2 динара више него гумицу. Ако је трговцу дао 150 динара, кусур је био:

a) 38,05 ; б) 27,85 ; в) 32,75 .

тЕСтРешења:

1. а) 23

, б) 91

40; 2. a) 2

39

, б) 13

12; 3. б) 5,012; 4. а) 3

54

; 5. в) 113

12.

6. б) 7

110

x; 7. 514

36; 8. а) 38,05.

150

РАЗЛОМЦИ ii ДЕО – РЕШЕЊА

1. а) 2 3 57 7 7+ ; б)

4 2 69 9 9+ ; в)

4 7 1115 15 15+ ; г)

3 4 7 21

5 5 5 5+ ; д)

5 2 3 1011 11 11 11+ + ;

ђ) 1 3 6 10 3

17 7 7 7 7+ + ; е)

5 3 9 7 24 81

16 16 16 16 16 16+ + + .

2. а) 1

53

; б) 1

105

; в) 4

1111

; г) 7

79

; д) 1

138

; ђ) 1

229

; е) 6 ; ж) 13

1220

.

3. а) б) в)

+26

56

16

36

1

36

56

21

646

13

16

+ 2 4 7

13

51

75

110

51

69

18

91

139

113

97

820

710

207

1220

715

20

+18

31

858

23

83

38

54

87

38

21

28

33

85

28

78

12

28

41

8

4. 1 2 3 4 5 15 3 1

2 26 6 6 6 6 6 6 2+ + + + . 5.

310 km

5.

6. а) 7 1 6

10 10 10 ; б)

11 5 612 12 12 ; в)

13 8 5 115 15 15 3 ; г)

9 7 2 120 20 20 10 .

7. а) 4

25; б)

314

; в) 17

; г) 5

18.

8. а) 2 2

5 4 15 5 ; б)

4 49 4 5

9 9 ; в)

2 1 18 5 3

3 3 3 ; г)

1 17 3 4

2 2 .

9. а) 2 1

9 98 4 ; б)

16

5; в)

47

. 10. а) 1

12

; б) 3

34

; в) 1

73

; г) 1

27

; д) 5

18

; ђ) 3

45

.

11. а) 23

; б) 2 14 2 ; в)

6 36 6

8 4 ; г)

42

5; д)

12 48 8

15 5 ; ђ)

38 194 4

50 25 ; е)

11 199 9 ; ж)

54

17.

12. а) б) в)

–1

23

78

51

9

72

43

16

84

59

82

53

17

84

69

323

12

84

19

–1

17

44

73

37

56

74

57

12

72

37

612

75

117

28

73

97

25

7

14

757

61

7

32

85

88

55

8

4

2

28

82

585

28

13. а) xx 4 ; б) xx 21 ; в) xx 4 ; г) xx 9 ; д) xx 4 ; ђ) xx 4 .

14. а) xx 8 ; б) xx 3 ; в) xx 7 ; г) xx 5 ; д) xx 3 ; ђ) x4

x 69

.

15. а) 3

25

; б) 34

; в) 1

113

; г) 2

35

. 16. а) 4

55

; б) 5

79

; в) 3

104

; г) 17

520

.

САбИРАЊЕ И ОДуЗИМАЊЕ РАЗЛОМАкА јЕДнАкИх ИМЕнИЛАЦА

10

3

151

17. а) 1

83

; б) 10; в) 4

67

; г) 10

811

. 18. 1

1910

.

19. Други је продао 3

5 m5

штофа више од првог, а укупно су продали 4

30 m5

штофа.

20. 5

28 km8

.

САбИРАЊЕ И ОДуЗИМАЊЕ РАЗЛОМАкА 1. а)

2 1 8 5 135 4 20 20 20+ + ; б)

2 1 4 5 95 2 10 10 10+ + ; в)

1 3 4 15 195 4 20 20 20+ + ;

г) 2 1 4 3 79 6 18 18 18+ + ; д)

7 3 14 3 1710 20 20 20 20+ + ; ђ)

5 3 20 9 29 51

6 8 24 24 24 24+ + .

2. а) 79

; б) 7

112

; в) 7

124

; г) 1

16

; д) 23

124

; ђ) 1

15

; е) 7

115

.

3. а) 24

535

; б) 11

812

; в) 17

830

; г) 7

1012

; д) 27

1240

; ђ) 13

1724

.

4. а) б)

+25

37

12

38

3140

4556

78

23

11

152

121

11

614

1320

1928

34

+5

125

36

15

22

815

118

2029

1130

1913

3049

3136

54

1817

518

46

513

760

1910

303

1210

5. а) 14

1433

; б) 1

93

; в) 5

836

; г) 3

1120

; д) 3

1810

; ђ) 23

2236

.

6. а) 33

1970

; б) 23

1824

; в) 1

1030

.

7.

8. а) 1 2 5 4 12 5 10 10 10 ; б)

5 1 5 3 26 2 6 6 6 ; в)

7 2 21 16 58 3 24 24 24 ;

г) 11 2 11 8 320 5 20 20 20 ; д)

3 1 9 2 74 6 12 12 12 ; ђ)

6 1 12 7 57 2 14 14 14 .

9. а) 1124

; б) 5

24; в)

130

; г) 1121

; д) 7

18; ђ)

110

.

10. а) 5

228

; б) 9

320

; в) 19

324

; г) 11

1014

; д) 1112

; ђ) 7

910

.

152

11. а) 7

312

; б) 13

1160

; в) 7

1115

; г) 17

160

; д) 5

924

; ђ) 29

136

.

12. а) б)

33

823

140181

24

4

12

53423

81

157

420

18

43

9

13. а) 5

18

; б) 1

1014

. 14. а) 31

442

; б) 2

195

. 15. а) 4

4815

; б) 37

1442

.

16. . 17. . 18. .

19. 37

140

. 20. 19

1620

. 21. 17

760

. 22. 1

1736

. 23. 1

98

.

24. 3

315

. 25. 4

19 cm5

. 26. 3

6 cm5

. 27. 1

7 cm5

. 28. 1

30 m2

.

29. 3 7 1 7

2 5 14 54 8 2 8+ . 30. а)

4327

60; б)

1315

60; в)

379

60; г)

379

60.

31. 11

520

.

32. 5 12 5 7

112 12 12

му је остало, а то је 700 динара, па закључујемо

112

је 100 динара,

што значи да је понео 1200 динара.

33. 4 5

19 9

је остало, а то је 50 страница, 19

књиге има 10 страница, а цела књига има 90

страница.

34. 7 8

115 15

је остало, а то је 40kg јагода, 1

15 од укупне количине је 5kg , а укупна

количина јагода је 75kg .

35. укупне количине. 36. .

37. . 39. .

40. .

41. .

1115

453760

845

103120

3

4

153

42. а) 1 1 134 9 36+ ; б)

5 5 56 8 24 .

44. 1 1 1 16 4 12 3+ . 45.

1 1 114 21 42 , што значи да би Воја сам опрао ауто за 42 минута.

46. 1 1 9

12 15 60+ посла се заврши за 1 сат, а цео посао би се завршио за

60 20 26

9 3 3 сати,

то јест 6 сати и 40 минута.

47. 1 1 1

15 20 60 посла за 1 дан, а цео посао за 60 дана.

48. 5 1 1

2 36 4 12+ минута, а за 1 500 m потребно јој је

3 19 9

12 4 минута.

49. пута је 15 km , а цео пут је 15 40 600 km .

50. I буре: 1 1 3 3

124 12 15 152 l2 2 4 4+ + l; II буре:

1 1124 12 112 l

2 2 l; III буре:

1 3 3124 15 108 l

2 4 4 l.

САбИРАЊЕ И ОДуЗИМАЊЕ ДЕЦИМАЛнИх бРОјЕВА1. а) 9,5; б) 17,3; в) 4,14; г) 13,7; д) 12,42; ђ) 127,61.2. а) 33,3; б) 18,11; в) 39,5; г) 33,32; д) 223,27; ђ) 400,066; е) 31,718; ж) 2008,9976; з) 136,423.3. а) б)

+ 1 3 6

0,32 1,32 3,32 6,32

0,4 1,4 3,4 6,4

0,183 1,183 3,183 6,183

+ 2,6 7,91 3,199

4,4 7 12,31 7,599

11,3 13,9 19,21 14,499

13,45 16,05 21,36 16,649

4. а) 17; б) 40,496; в) 208,877; г) 83,062; д) 7,2378.5. а) 5,6; б) 2,7; в) 2,38; г) 0,55; д) 6,88; ђ) 4,63.6. а) 33,3; б) 2,1; в) 27,47; г) 1; д) 2,11; ђ) 35,911; е) 4; ж) 84,162;

з) 0,61; и) 5,011; ј) 1,973; к) 2,384; л) 10; љ) 0,001; м) 7,186.7. а) б)

1,6

3,19

3,91

0,62

4,8

6,39

7,11

3,82

8,4

12,31

6,38

6,22

5,28

9,19

3,26

3,1

154

8. а) 16,258; б) 10,587; в) 2,65; г) 601; д) 4,78; ђ) 7,1.

9. а) 11,219; б) 10,461; в) 4,019; г) 3,261.

10. а) 45,78; б) 51,78; в) 250,01; г) 91,492; д) 4,944.

11. а) 2; б) 10,835; в) 2,24; г) 1,985; д) 0,77; ђ) 7,3; е) 5; ж) 5,05.

12. а) 47

17100

; б) 3

210

; в) 9 ; г) 3

14

; д) 5

38

.

13.

14. а) 18

; б) 16

1245

. 15. а) 11,05; б) 5,75; в) 3,46. 16. 8,08. 17. 15,3. 18. 40,22kg.

19. 17,85t. 20. 17,8cm. 21. 122,64m. 22. 27,126. 23. 1,37.

24. 35,48. 25. 19,5. 16. 7

168

. 27. .

28. динара.

29. I корпа: 10,125 4,8 5,325 kg ; II корпа: 9,45 1,55 11kg+ .

30. .

31. .

32. динара.

33. .

34.52,38

31,12 21,2617,66 13,46 7,8

4,95 12,71 0,75 7,05

в)18,668,71 9,95

3,6 5,11 4,84

а) 21,899,49 12,4

7,35 2,14 10,26

б)

155

СВОјСТВА САбИРАЊА1. а)

17

; б) 34

; в) 13,3 ; г) 3

38

.

2. а)

б)

a b a b+ b a+

32

73

14

54

285

428

78

91

46

1712

1817

1218

4,11 7,3 11,41 11,41

a b c

23

56

89

72

187

218

12

41

36

14

813

924

139

246,6 0,4 2,15 9,15 9,15

a b b a+ + ;

3. а) 2

63

; б) 20; в) 18; г) 21. 4. а) 6x 2,9+ ; б) 5

7a 76

+ .

5. а) 3,2; б) 1,6; в) 14,91; г) 8,095.

јЕДнАЧИнЕ1. а)

16

; б) 11,8; в) 1924

; г) 3,29.

2.

+ 5,93 3,79 3,14

4,32 10,25 8,11 7,46

1,87 7,8 5,66 5,01

1,86 7,79 5,65 5

– 3,95 2,66 10,56

19,4 15,45 16,74 8,84

13,5 9,55 10,84 2,94

11,06 7,11 8,4 0,5

3.

+2

13

12

0

52

85

53

61

33

47

55

28

38

104

75

52

85

612

15

43

44

–59

71

203

35

54

65

418

52

87

130

52

82

345

12

40

52

859

8180

87

1517

560

4. а) x17

x63

; б) x9

x 110

; в) x5

x 212

. 5. а) x1

x 1218

; б) x5

x 212

; г) a1

x 173

.

156

6. а) xx 6,1 ; б) xx 13,82 ; в) xx 6,65 ; г) xx 10,07 ; д) xx 0,85 ; ђ) xx 4,67 ;

е) yx 11,12 ; ж) xx 3,1 .

7. а) x1

x 46

; б) a4

a 55

; в) m9

m 210

; г) x13

x 420

; д) x1

x 710

; ђ) 19

1030

x .

8. а) x73

x 6120

; б) a1

a 510

; в) x11

x 615

; г) x1

x 108

; д) x13

x 720

; ђ) x11

x 412

.

9. а) xx 8,9 ; б) x33

x 740

; в) x53

x60

; г) x5

x 39

.

10. x2

x 103

. 11. x11

x 936

. 12. x3

x 85

. 13. x13

x 560

.

14. x21

x 140

. 15. x2

x 1045

. 16. , x29

x 536

.

17. , xx 55,75 . Бициклиста треба да пређе још 55,75 km.

18. , xx 71,2 . Виолета је убрала 71,2 kg малина.

19. 1 1

x20 15+ , x

1x

60 .

нЕјЕДнАЧИнЕ1. а) x

3x

10 ; б) x

1x 3

4 ; в)

2 12 7

3 2x ; г) xx 5,5 .

2. а) 1 7

8 14 12

x ; б) x7

x 68

.

3. а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

4. а) x2

x 15

; б) x1

x 14

; в) x1

x 44

; г) x1

x 34

; д) y1

y 64

; ђ) x4

x 35

;

е) x3

x 155

; ж) x1

x 54

; з) x1

x 32

.

5. а) xx 2,5 ; б) xx 4 ; в) xx 7,5 ; г) xx 6,6 ; д) xx 5,3 ; ђ) xx 8 .

6. а) x3

x 104

; б) y7

y 210

; в) x1

x 44

; г) x3

x 34

; д) x7

x 510

; ђ) x1

x 42

.

7. а) x4

x 815

; б) 29

236

x ; в) 1

104

x ; г) 3

14

x .

8. а) x1

x 54

; б) x4

x 75

; в) y7

y 210

; г) 1

320

y .

9. x19

x 320

. 10. xx 1 , 3

0,25,9

. 11. x7

x 218

.

12. x23

x 924

. 13. xx 13,3 . 14. x29

x 260

. 15. x1

x 55

.

157

РАЗЛОМЦИ iii ДЕО

МнОжЕњЕ И ДЕљЕњЕ РАЗЛОМАкА пРИРОДнИМ бРОјЕМ

1. Допиши шта недостаје:

а) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7

724 24 24 24 24 24 24 24 24 24

= = = ;

б)

= = = =3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 34 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

;

в) 3 3 3 3 3 3 3 32 2 2 2 2 2 2 2 2

= = = = .

2. Попуни празна места тако да добијеш тачна тврђења:

а) 1 1 3

32 2

= = = ; б)

3 35

4 4

= = = ;

в) 4 10

107

= = = ; г)

76

3 3

= = = ;

д) 3

5 1 54 4

= = = = ; ђ)

= = = = =

52 10

6 3 3.

3. Допиши шта недостаје:

а) 1 1 1

: 23 3

= =

; б) 5 5

: 96

= =

;

в) 14

: 59

= =

; г) 49

: 311

= = =

;

д) 3

3 : 8 : 810

= = =

; ђ) 3

6 : 4 : 47

= = = =

..

4. Допиши шта недостаје:

а) 4 4 : 1

: 47 7

= = ; б) = = =18 :

: 310 10

;

в) 2 :

2 : 8 : 87 7

= = = ; г) 3 :

6 : 5 :7

= = = = .

5. Израчунај:

а) 1

25

; б) 1

: 25

; в) 7

103

;

г) 7

:103

; д) 2

3 :1817

; ђ) 2

18 317

.

6. Шта је веће: 34

од 340 или 58

од 400?

185 5

158

1. Попуни дате таблице, као што је започето:

·13

14

15

300

420

1083

215

: 3 4 5

300 100

420

108

2. Попуни празна места тако да добијеш тачна тврђења:

а) 1 1 1 1

: 37 3 7 7 3

= = =

; б) 1 6 6 6

: 77 13 13

= = =

;

в) = = =

35 1 35:

27 8 27 ; г) 1 1 21 1 21

5 :4 20 4 20 4

= = = =

;

д) 1 5 1 65

5 :4 12 4 12

= = = = =

.

3. Допиши шта недостаје:

а) 3 5 3 54 11 4 11

= =

; б)

2 4 23 9 3

= =

;

в)

= = =

17 3 38 5 5

; г) 4 11 49 7 7

= =

;

д) 5 6 5 19

16 13 6 13

= = = =

; ђ)

1 22 3

2 7 2 7

= = = =

.

4. Изврши одговарајућа скраћивања, па израчунај производе:

а) 3 24 5

; б) 2 57 6

; в) 15 38 5

; г) 3 11

22 7 ;

д) 5 1

17 13

; ђ) 5 8

37 13

; е) 3 1

2 34 5

; ж) 2 4

4 17 15

.

5. Изврши одговарајућа скраћивања, па израчунај производе:

а) 8 5

15 12 ; б)

25 2736 40

; в) 35 3322 65

; г) 39 10560 26

;

д) 3 14

34 25

; ђ) 8 19

151 100

; е) 3 5

3 314 9

; ж) 1 9

4 1291 100

.

МнОжЕњЕ РАЗЛОМАкА

159

6. Изврши одговарајућа скраћивања, па израчунај производе:

а) 42 15 575 32 28

; б) 102 20 27225 37 255

; в) 35 32 3918 65 12

.

7. Израчунај:

а) ; б) ; в) .

8. Упореди следеће производе:

а) 4 59 21

и 1 13 5

; б) 1 5

34 3

и 3 7

25 15

; в) 1 1

4 42 3

и 1 1

8 22 5

.

9. Шта је веће: 58

од 4

29

или 79

од 6

17

?

10. Докажи да је производ бројева 12

и 13

једнак разлици тих бројева.

11. Шта је мање, и за колико: производ или разлика бројева 3

28

и 56

?

12. Шта је веће, и за колико: збир или производ бројева 5

37

и 4

25

?

13. Ако су димензије собе 4

45

m, 3

34

m и 3

25

m, колика је запремина собе? Колико

квадратних метара ламината треба купити за под те собе?

14. Ако килограм јабука кошта 55 динара, колико треба платити за 1 800 грама?

ДЕљЕњЕ РАЗЛОМАкА1. Одреди реципрочне вредности следећих бројева:

а) 1, 4, 10, 101; б)12

, 1

16,

1105

, 1

997; в)

25

, 3367

, 97

, 13724

; г) 1

14

, 13

215

, 9

1010

, 1

2222

.

2. Допиши шта недостаје:

а) 1

1:11= ; б) 3 4

1:4

= = ; в) 7

1:6

= ;

г) 2 1 2

: 73 7 3

= = = = ; д)

13 1 13:

5 9 5

= = = = ;

ђ) 2 1 1

2 : :9 4 4

= = = = = .

160

3. Допиши шта недостаје:

а) 2 3 2 5

:7 5 7 3

= = =

; б)

7 6 7 13:

11 13

= = = =

;

в) 11 4 5 1

:15 5 15 3

= = =

; г)

5 3 5 1:

8 2 3

= = =

;

д) 5 6

2 :8 7 8 6

= = = =

; ђ)

5 1 21 : 5 :

6 4 4

= = = =

.

4. Израчунај количнике:

а) 4 2

:5 3

; б) 7 6

:10 15

; в) 12 8

:25 33

; г) 56 21

:121 22

;

д) 45 18

:8 25

; ђ) 36 27

:69 23

; е) 7 7

3 :10 25

; ж) 85 12

:191 39

.

5. Одреди вредност следећих двојних разломака:

а) ; б) ; в) ; г) .

6. Израчунај:

а) ; б) ; в) .

7. Докажи да је количник бројева 2

53

и 1

146

једнак 6

85 првог броја.

8. Шта је веће:

а) 2 47 5

или 2 4

:7 5

; б) 2 77 5

или 2 7

:7 5

; в) 2 2

1 33 5

или 2 2

1 : 33 5

?

9. Упореди следеће количнике:

а) 4 5

:9 17

и 1 4

:2 19

; б) 1 5

3 :5 4

и 1 3

3 :6 2

; в) 3 2

4 : 24 3

и 5 8

6 : 36 9

.

10. Који број треба помножити са 3

310

да би добијени производ био 1

12

?

11. Украсну траку Маша је поделила на два дела. Један део је 35

целе траке, а други је дуг 1

18 cm2

. Колико је била дуга цела трака?

12. Ако је Никола 750g јагода платио 135 динара, колика је цена једног килограма јагода?

161

1. Користећи асоцијативност и комутативност за множење разломака, израчунај производе:

а) ; б) ; в) 11 22 7545 89 33

; г) 3 2 8

216 5 35

.

2. Израчунај:

а) ; б) ; в) ; г) .

3. Користећи дистрибутивност множења у односу на сабирање, израчунај следеће бројевне изразе:

а) ; б) ; в) 13 16 29 13

2 319 45 45 19

; г) 3 16 14 22

1 211 25 11 25

.

4. Израчунај:

а) 1 2 2 1 5 26 5 5 3 6 5

; б) ;

в) 3 3 1 3 3 1

3 14 7 4 7 7 2

; г) .

5. Како се мења производ два броја ако се:

а) један чинилац помножи са 45

, а други остане непромењен;

б) један чинилац помножи са 54

, а други остане непромењен;

в) један чинилац помножи са 12

, а други са 2 ;

г) један чинилац помножи са 54

, а други са 45

;

д) један чинилац помножи са 78

, а други са 76

;

ђ) један чинилац помножи са 9

14, а други са

43

?

6. Како се мења количник два броја ако се:

а) дељеник помножи са 23

, а делилац остане непромењен;

б) дељеник помножи са 32

, а делилац остане непромењен;

в) дељеник и делилац помноже са 37

;

г) дељеник помножи са 59

, а делилац подели са 4

15

;

д) дељеник подели са 59

, а делилац помножи са 4

15

;

СвОјСтвА МнОжЕњА И ДЕљЕњА

162

ђ) дељеник помножи са 59

, а делилац помножи са 4

15

;

е) дељеник подели са 59

, а делилац подели са 4

15

;

ж) дељеник помножи са 3

11, а делилац помножи са

14

?

1. Попуни таблицу како је започето:

10 100 1 000 10 000 100 000

0,56943278 5,6943278

12,004563

0,000019804

67,2 6 720

95,003

2. Попуни таблицу како је започето:

0,067 0,67 6,7 67

0,2 13,4

1,7

34,57

50,019

3. Израчунај:а) 5 0,5 ; б) 0,77 8 ; в) 0,6 0,9 ; г) 1,7 0,4 ;д) 3,4 5,88 ; ђ) 56,89 8,9 ; е) 3,098 1,01 ; ж) 0,0071 4005,2 .

4. Израчунај производе и заокргли их на 2 децимале:

а) 1

0,34

; б) 7

4 8,3320

; в) (3,42 0,766) 0,8 ;

г) 1,1 (0,904 0,094) ; д) ; ђ) .

5. Упореди следеће производе:а) 5,6 0,02 и 0,25 0,4 ; б) 0,8 4,08 и 0,7 4,67 ; в) 3,88 0,36 и 9,7 0,144 .

МнОжЕњЕ ДЕЦИМАЛнИХ бРОјЕвА

163

6. Димитрије је купио 2,5kg кајсија по цени од 74,9 динара по килограму и 1,75kg јабука по цени од 49,9 динара по килограму. Колико је укупно платио то воће?

7. Спортска дворана има димензије 51,5m, 20,8m и 6,44m. Колико клима уређаја треба купити за ту дворану ако један покрива простор од 3100m ?

8. Пешак се креће брзином од 4,5km/h. Колико километара ће прећи за 2 сата и 15 минута?

ДЕљЕњЕ ДЕЦИМАЛнИХ бРОјЕвА

1. Попуни таблицу како је започето:

: 10 100 1 000 10 000

639732,54

1987,06

15,001

7,5 0,0075

0,03

2. Попуни таблицу како је започето:

: 0,087 0,87 8,7 87

0,87

1,74

19,227 0,221

263,61

3. Израчунај:

а) 0,77 : 9 ; б) 0,76 : 0,3 ; в) 9,7 : 0,44 ; г) 0,0058 : 0,25 ; д) 6,09 : 0,0609 .

164

4. Израчунај количнике и заокружи их на 2 децимале:

а) 3

1 : 0,0085

; б) 11

6,4 : 44125

; в) 7,2 : (3,65 2,6) ;

г) (16,8 0,7) : 0,025 ; д) ; ђ) .

5. Упореди следеће количнике:а) 0,0505 : 0,05 и 123,25 : 120,75 ; б) 1,326 : 0,5 и 0,7 : 0,307 ; в) 7,6836 :1,14 и 2,359 : 0,35 .

6. Шта је веће, и за колико: количник бројева 0,2727 и 2,7 или разлика бројева 0,2727 и 0,1727 ?

7. Попуни дате шеме. У ком случају је производ мањи од чинилаца? Зашто?

80

5,7

1,22

0,013

8,45

0,22

а) б)

8. Попуни „пирамиде“ поштујући правило да је производ два суседна поља уписан у поље изнад та два поља.

2,25

1,5

2 3,1

0,06655

12,1

0,11

1,1

9. Површина правоугаоног дворишта је 3,7485a, а ширина тог дворишта је 15,3m. Колико метара плетене жице треба купити да би се то двориште оградило?

10. Површина правоугаоног дворишта је 3,1104a, а дужина тог дворишта је 21,6m. Колико вертикалних делова има у огради тог дворишта ако је растојање између свака два таква дела 0,2m ?

11. Којом брзином треба да вози тракториста да би 45,5km прешао за 1 сат и 24 минута?

165

1. Израчунај вредност израза:

а) ; б) 1 3

3 6,63 5

; в) ; г) 3 7

4 0,374 8

;

д) ; ђ) 2

15,6 1 1,6073

; е) ; ж)3

4 3,83 0,4410

.

2. Израчунај вредност израза и резултате заокругли на две, а затим и на четири децимале:

а) ; б) 1 3

3 : 6,63 5

; в) ; г)3

10 3,83 : 0,4410

.

3. Израчунај вредност израза:

а) ; б) ;

в) ; г) .

4. Израчунај вредност израза:

а) ; б) 1 1 1

2 0,8 : 1,4 : 0,84 10 4

; в) 12,4 0,21 3,2 10 0,15 4 ;

г) 8 : 0,2 18,06 : 0,7 7,5 : 0,05 ; д) ;

ђ) 0,75 8 1

:0,4 5 4

; е) ; ж) 0,64 : 0,8 3

4,5 :0,2 20 5

.

5. Сваки од бројева 6 , 45

, 711

, 1

13

, 5

27

и 0,99 представи као збир два једнака сабирка.

6. Сваки од бројева 10 ,5

11,

45

, 5

27

и 0,68 представи као збир пет једнаких сабирака.

7. Израчунај a b c ако је:

а) 5 1

, 0,8, 16 5

a b c= = = ; б) 3 5

1 , 0,5,4 8

a b c= = = ; в) 1

, 0,9, 6,73

a b c= = = .

8. Израчунај бројевну вредност израза 3 7a b ако је:

а) 3 5

,4 9

a b= = ; б) 1 2

3 , 25 7

a b= = ; в) 7

1 , 6,38

a b= = ; г) 0,09, 90,08a b= = .

бРОјЕвнИ ИЗРАЗИ

166

9. Израчунај бројевну вредност израза 1 1

6 35 9

m n ако је:

а) 5 9

,7 14

m n= = ; б) 23 1

3 , 224 4

m n= = ; в) 1,27, 0,09m n= = .

10. Израчунај бројевну вредност израза 5

96,9 : 27

x y ако је:

а) 1 7

,3 19

x y= = ; б) 5, 0,77x y= = ; в) 3

0,12, 55

x y= = .

11. Израчунај бројевну вредност израза ако је 28 35

,37 111

a b= = .

12. Израчунај бројевну вредност израза ако је 6 1

, 7,8, 125 4

a b c= = = и 1

14

c = .

13. Израчунај :10a

b ако је a1 2 1

a 1 3 :1 15 5 4

= и b .

14. Израчунај вредности израза , ,

= 2 1

1 3,6 : 0.25 1,55 30

C и , па их упореди.

15. Израчунај вредности израза A , B2 5

B 1,6 : 0,5 0,25 4

= и

, па их упореди.

16. Од производа бројева 3

55

и 1,25 одузми њихову разлику.

17. Збир бројева 15,85 и 7

220

подели њиховом разликом.

18. Разлику бројева 3,75 и 34

подели њиховим збиром.

19. Од производа бројева 3,82 и 5 одузми количник бројева 2,25 и 521

.

20. За колико је производ бројева 3

38

и 56

мањи од њиховог количника?

167

21. Одреди број који је:

а) за 1

33

већи од 1

44

; б) 34

броја 1

13

;

в) пет пута мањи од 1

33

; г) 13

од 25

броја 15.

22. Израчунај разлику 56

опруженог угла и 23

правог угла.

23. Израчунај обим правоугаоника ABCD површине 224cm ако је 2

25

AB cm= cm.

24. У једном одељењу петог разреда има 35 ученика. Дечаци чине 47

одељења. Колико има девојчица у том одељењу?

25. Бака је Владу послала у продавницу да купи 2,5l млека, векну хлеба од 800g и 250g маргарина. Дала му је 250 динара и рекла да за остатак купи чоколаду. Ако литар млека стаје 31,3 динара, килограм хлеба 25 динара, а 125g маргарина 44,2 динара, да ли ће Влада моћи да купи своју омиљену чоколаду од 56,2 динара?

26. У књижари је било 1 200 књига. Продавац је прве недеље продао 25

књига, а следеће

недеље 13

преосталих. Колико је књига после тога остало у књижари?

27. Из магацина у коме је било 1

16 t4

шећера, једног дана је продато 5

13 укупне количине,

а другог дана 45

остатка. Колико је шећера остало?

28. За 1 минут само хладном водом се напуни 1

12 каде, а само врућом

118

каде. Ако су обе

славине отворене, који део каде се напуни за 6 минута? Ако се после 2 минута пуњења

отвори сливник, кроз који у минуту истекне 1

24 воде која стаје у каду када је она пуна,

да ли ће се после 10 минута када прелити?

29. Иван се бави атлетиком и најбоље резултате постиже у тркама на кратке стазе. На

једном од својих тренинга прво је 50m истрчао за 9s. Тим временом није био задовољан

и други пут је успео да време скрати за 16

, док га је у трећем покушају умор савладао и

постигао је време које је 1310

другог резултата. За колико је последњи резултат слабији

од првог?

30. Никола скупља поштанске маркице. Прве године је скупио 72 маркице, а друге године за трећину више маркица, док се треће године укупан број маркица увећао за две трећине броја маркица сакупљених претходне две године. Колико маркица има Никола после те три године?

168

31. Марија је првог дана прочитала 14

књиге, другог дана 25

остатка књиге, а трећег дана

је прочитавши последњих 36 страна завршила читање. Колико страна има књига коју је

Марија читала?

32. Попуни дате шеме:

а) б)

82

9,16

26

97,2

2,1

3,53

·0,75 –0,33

1. Доврши започето решавање једначина.

а) 2 89 15

x =

8 2

:15 9

x =

9

x =

12

x =

x =

б) 0,73 1,241x =

1,241:x =

: 73x =

x =

2. Доврши започето решавање једначина.

а) 6 8

: 27 27

x =

8 6

227 7

x =

27 7

x =

x =

x =

б) 0,567 : 31,5x =

0,567 :x =

: 315x =

x =

јЕДнАчИнЕ

Провера. _____________________ Провера. _____________________

Провера. _____________________ Провера. _____________________

169

3. Попуни празна поља одговарајућим разломцима.

23

0,073

718

0

5,61 161

350

:0,04 9,6

37

161

213

74

0

0

4. Реши једначине:

а) 7

2,120

x = ; б) 3

0,5 3,765

x = ; в) 5 7

5 1 2,7512 9

x = ;

г) ; д) ; ђ) .

5. Реши једначине:

а) 1 11

9 : 22 12

x = ; б) 3 2

5 : 25 15

x = ; в) ;

г) ; д) 7 1

:1 5,5 925 4

x = ; ђ) 5 7

5 1 : 2,7512 9

x = .

6. За коју вредност а израз 1 3

2 33 4

a узима вредност 7

624

?

7. За коју вредност m израз узима вредност 2

85

?

8. Којим бројем треба:а) помножити, б) поделити

разлику бројева 2

43

и 3,5 да се добије количник истих бројева?

9. Милица је замислила један број, па га је увећала 2,5 пута. Затим је од тако добијеног производа одузела 9,8 и добила 7,7 . Који број је Милица замислила?

10. Одреди број који помножен збиром бројева 0,75и 1

114

даје двадесети део броја 17 .

11. Који број треба поделити збиром бројева 0,5 и 3

14 да количник буде

54

11?

170

12. Којим бројем треба поделити разлику бројева 4 и 4

15 да би количник био

10,2

7 ?

13. Цена килограма јагода је 128,25 динара, а трешања 85,5 динара. Ако је Марина купила 800g јагода више него трешања, а рачун је износио 530,1 динар, колико трешања је купила Марина?

14. Ненад је прво пешачио 3 сата и 20 минута, а затим је 2,25 сати возио бицикл, и тако прешао 44,75km. Брзина којом се кретао док је возио бицикл за 5km/h је већа од оне када је пешачио. На основу ових података одреди обе брзине којима се Ненад кретао.

15. Отац је 25 година старији од ћерке, а ћеркине године чине 27

очевих година. Колико

свако од њих има година?

16. Јанко и Јована имају заједно 51 бомбону. Ако је 23

Јованиних бомбона исто што и 34

Јанкових, колико бомбона има свако од њих?

17. Александар, Јелена и Борис имају укупно 3 000 динара. Када Александар потроши 49

свог новца, Јелена 6

11 свог дела, а Борис 500 динара, остану им једнаке суме. Колико

новца је имао свако од њих?

18. Именилац једног разломка је за 9 већи од бројиоца истог разломка. Ако се бројиоцу

тог разломка дода број 2, а имениоцу одузме број 2, добија се разломак 23

. Који је то

разломак?

19. Бројилац једног разломка је за 2 мањи од имениоца истог разломка. Када се од

бројиоца одузме разломак 12

, а имениоцу дода разломак 14

, добија се разломак 1021

.

Који је то разломак?

20. На првој полици има 2 пута више књига него на другој. Када се 15

књига са прве полице

пребаци на другу, на њој ће бити 5 књига мање него на првој полици. Колико је било

књига на свакој од те две полице?

171

1. Доврши започето решавање неједначина.

нЕjЕДнАчИнЕ

0 1 0 1 2

0 1 0 1 2

а) 2 133 18

x

13

:18 3

x

3

18x

12

x

x

б) x31,5 56,7

x 56,7 : ____

x 567 : ____

x _____

в) 3

10,5 1,55

x

3

10,5 1,55

x

10,5 1,5 0,6x

10,5x

:10,5x

:105x

x

г) 2

2,8 ( 1) 43

x

1 :x

2. Реши неједначине и решења представи на бројевној полуправој:

а) 1

0,4 32

x ; б) 3 1

3 34 8

x ;

в) 2 1

8,25 4 13 4

x ; г) 2 7 77

0,89 8 90

x ;

д) ; ђ) .

172

3. Доврши започето решавање неједначина.

а) 3 1

: 47 12

x

1 3

412

x

12 7

x

x ; x

б) 5

: 4,928

x

5

4,9x

10 28

x

x

в) 5 1

1 : 314 6

x

1

: 314 6

x

:14 6

x

6

x ; x

г) 4

1,7 : 215

x

1,7 :x

:10 15

x

15

x ; x

д) 1

: 2,5 0,454

x

1

: 2,5 0,45x

: 0,45 0,25x

:x

2,5x

x

ђ) 2

2,1: (4,4 ) 0,5 15

x

1 7

2,1: (4,4 )5

x

7

2,1: ( )x

2,1:x

: 0,7x

4,4 x

4,4x x

0 1 2 3

0 1 2 3

0 1

0 1

0 1 2

0 1

173

4. Реши неједначине и решења представи на бројевној полуправој:

а) x1 3

x : 2 13 14

; б) 3

4,2 :5

x ; в) x1 37

x : 0,8753 105

;

г) 2 19

1 5,2 : 69 45

x ; д) ; ђ) .

5. Опиши скуп бројева:

а) који помножени са 0,3 дају производ већи од 2

13

;

б) који подељени са 35

дају количник који није мањи од 14

;

в) чија је трострука реципрочна вредност мања од 67

.

6. За које је вредности променљиве а:

а) производ 1 4

12 9

a мањи од разлике бројева 3

14

и 0,6;

б) збир 5 36 4

a већи од производа бројева 2,2 и 1,8;

в) количник израза 3,5a1

3,43

x и 0,75 за више од 1,2 већи од количника бројева 0,5 и 2

13

?

7. Ана жели мајци за рођендан да поклони букет ружа и парфем. Цена парфема је 1 354,75 динара, украсног папира 45,8 динара, а једне руже 50 динара. Када је сазнала ове цене, Ана је закључила да може да купи највише 7 ружа. Колико новца има Ана ако је најмања новчаница коју има од 100 динара?

8. Мајка је послала Јована да купи: 1l млека, 1 хлеб, 4 јогурта од 2dl и килограм и по јабука. Ако су цене поменутих артикала изражене у динарима: млеко - 58,70, хлеб - 25,00, јогурт (2dl) - 8,50, јабике (1kg) - 67,00, колико најмање (целих) динара треба да да мајка Јовану да би он имао довољно новца да поред наведених намирница сестри и себи купи по сладолед чија је цена 90,00 динара?

1. Израчунај аритметичке средине бројева:

а) 1

15

и 2,3;

a , a1,2

a2

= , aa= , a=

АРИтМЕтИчкА СРЕДИнА

174

б) 0,3 , 13

и 4

15

;

a , a , aa=

в) 7

109

и 5

12;

a=

__a=

г) 12

, 3

37

, 34

, 6 и 1,75 .

a=

__a=

2. Нина је прочитала књигу за пет дана читајући дневно 48, 53, 39, 57 и 33 стране. Колико страна има књига и колико је страна просечно на дан читала Нина?

3. Бициклиста је првог сата прешао 13,1km, другог 15,3km, а трећег 12,4km. Којом се просечном брзином кретао бициклиста?

4. Забележене максималне дневне температуре у току једне недеље маја дате су у следећој таблици:

понедељак уторак среда четвртак петак субота недеља

20°C 21,5°C 25,6°C 27,4°C 23°C 24,1°C 25,7°C

Колика је у просеку била максимална дневна температура те недеље?

5. Израчунај просечну оцену из математике у одељењу које има 30 ученика ако 6 ученика има одличну оцену, 8 врло добру, 9 добру, 4 довољну, а остали имају слабу оцену.

6. Аритметичка средина непознатог броја и 34

је 1,75. Који је то број?

7. Тачки A одговара број 23

, а тачки B број 1

22

. Који број одговара тачки S ако је та тачка

средиште дужи AB? Нацртај одговарајућу бројевну полуправу.

175

8. Тачки M одговара број 4

35

, а тачки S број 1

42

. Који број одговара тачки N ако је тачка S

средиште дужи MN? Нацртај одговарајућу бројевну полуправу.

9. Тачки C одговара број 5

16

, а тачки S број 1

13

. Који број одговара тачки D ако је тачка S

средиште дужи CD? Нацртај одговарајућу бројевну полуправу.

10. Никола има три оцене из математике и каже да му је просек оцена 4. Које оцене има Никола? Опиши све могућности.

1. Израчунај размере бројева:а) 12 и 3; б) 4 и 16; в) 18 и 27; г) 5,5 и 110;

1212 : 3

3 1= = = ________________ ________________ ________________

д) 3,5 и 0,21; ђ) 1113

и 27

; е) 1

23

и 1

57

.

3503,5 : 0,21 350 : 21= = =

11 2 11:

13 7 13= = __________________________

2. Испитаj да ли су следеће размере једнаке:а) 24 : 36 и 14 : 21;

Како је 24 2

24 : 36= = и 14 : 2121 3

= = дате размере су једнаке.

б) 3,7 : 2,5 и 3 2

:7 5

;

Како је 37

3,7 : 2,52,5

= = = и 3 2 3

:7 5 7

= = дате размере ______ једнаке.

в) 3 4

1 :4 7

и 2 3

1 :3 5

;

Како је _____________________ и _____________________ дате размере ______ једнаке.

г) 4,1: 0,07 и 14,35 : 0,245 .

Како је _____________________ и _____________________ дате размере ______ једнаке.

3. У ком односу су површине и обими две собе ако су димензије једне 3,4m и 4,6m, а друге 4,2m и 4,4m?

РАЗМЕРА

176

4. Ако је географска карта нацртана у размери: а) 1: 50005 000, б) 1:100000100 000колику раздаљину представља дуж од 5,6cm? Којом дужином је на истој карти предстaвљено растојање од 5km?

5. Подели дуж AB дужине 9cm у размери:а) 1:1; б) 1: 3 ; в) 2 :1; г) 7 : 2.

6. Јана и Немања треба да поделе 3 500 динара тако да се њихови делови односе као 4 : 3. Које суме ће добити свако од њих?

7. За припрему сока користе се сируп и вода у односу 1: 5 . Ако у бокал сипаш 75ml сирупа, колико воде треба да додаш? Колико литара сoка ће се добити од 350ml сирупа?

8. Реши једначине:

а) : 3 7 :11x = ; б) 3,4 : 1,5 : 2,7x = ; в) 1 3 2

: 3 :12 5 7

x = .

1. Израчунај: а)20% од 100; б) 20% од 10; в) 20% од 1 000; г) 20% од 5.

2. Израчунај: а)25% од 80; б) 20% од 100; в) 50% од 40; г) 80% од 25.

3. Израчунај: а) 30 % од 100; б) 5 % од 270 ; в) 43,2 % од 12,56; г) 115 % од 123.

4. У одељењу од 32 ученика 25 % су одлични ученици, а 56,25 % су девојчице. Колико има одличних ученика, а колико девојчица у том одељењу?

5. У одељењу од 32 ученика 25 % су одлични ученици, а од њих 37,5 % су девојчице. Колико има одличних ученика, а колико девојчица са одличним успехом у том одељењу?

6. Одреди број чијих 45 % умањено за 0,34 износи 15

.

7. Одреди број r ако је 35 % броја 4

15

сабрано са 25 % броја r једнако 1.

8. Цена фудбалске лопте је 875 динара. Колико ће коштати та лопта након снижења од 15%?

9. После поскупљења од 20 % цена повратне аутобуске карте Крагујевац–Београд је 660 динара. За колико динара је поскупела карта?

10. После поскупљења од 20 %, па појефтињења од 20 %, како се променила цена артикла? Да ли је он сада скупљи, јефтинији или му је цена иста као првобитна?

11. После појефтињења од 10 %, па поскупљења од 10 %, како се променила цена артикла? Да ли је он сада скупљи, јефтинији или му је цена иста као првобитна?

пРОЦЕнтИ

177

1. Израчунај:

а) =1

78

; б) =2

53

; в) =1

: 25

; г) =1

2 : 44

.

2. Израчунај:

а) =1 23 5

; б) =3 14

17 25

; в) =5

0,99

; г) =1,3 0,602 .

3. Заокружи слово испред тачних тврђења.

а) =2 5

:1,23 9

; б) =3 7 14

1 :5 4 5

; в) 2 3

: 0,57 4

; г) 1,57 : 0,87 2,095 .

4. Ако је цена једног метра украсне траке 185 динара, колико ће Ана платити за 60cm те траке? Заокружи слово испред тачног тврђења.

Анин рачун је износио:

а) мање од 100 динара; б) између 100 и 110 динара; в) више од 110 динара.

5. Број који је решење једначине =1

1 3,62

x јесте:

а) мањи или једнак 1; б) већи од 1, а мањи од 2; в) већи или једнак 2.

6. Који од бројева 1, 34

, 1

13

је решење једначине =7 3

3 2,910 5

x ?

То је број _________ .

7. Решења неједначине 2

2,3 1 3,15

x која припадају скупу јесу:

__________________ .

тЕСтРешења:

1. а) 78

; б) =101

333

; в) 110

; г) 916

.

2. а) 215

; б) 45

; в) 12

; г) 0,7826.

3. Тачна тврђења су под а) и в).4. Рачун износи 111 динара, па је тачно тврђење под в).

5. Решење једначине је 2

25

, па је тачно тврђење под в).

6. 1

13

.

7. Решење неједначине је сваки број већи од 22

123

, а из скупа A то су бројеви 2и23

230

.

178

РАЗЛОМЦИ III ДЕО – РЕШЕЊА

МнОжЕЊЕ И ДЕљЕЊЕ РАЗЛОМАкА пРИРОДнИМ бРОјЕМ

1. а) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 7

724 24 24 24 24 24 24 24 24 24

= = = ;

б)3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 11 1

11 84 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

= = = ;

в)3 3 3 3 3 3 3 3 3 8 3 24

8 122 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

= = = = .

2. а) 1 1 3 3 1

3 12 2 2 2

= = = ; б)

3 3 5 15 35 3

4 4 4 4

= = = ;

в) 4 10 4 40 5

10 57 7 7 7

= = = ; г)

7 7 6 7 26 14

3 3 1

= = = ;

д)3 7 5 7 35 3

5 1 5 84 4 4 4 4

= = = = ; ђ) 5 17 17 10 17 5 85 1

2 10 10 286 6 6 3 3 3

= = = = = .

3. а) 1 1 1

: 23 3 2 6

= =

; б) 5 5 5

: 96 6 9 54

= =

;

в) 14 14 14

: 59 9 5 45

= =

; г) 49 49 49 16

: 3 111 11 3 33 33

= = =

;

д) 3 33 33 33

3 : 8 : 810 10 10 8 80

= = =

; ђ) 3 45 45 45 176 : 4 : 4 1

7 7 7 4 28 28= = = =

.

4. а) 4 4 : 4 1

: 47 7 7

= = ; б) 18 18 : 3 6 1

: 3 15 5 5 5

= = = ;

в) 2 16 16 : 8 2

2 : 8 : 87 7 7 7

= = = ; г) 3 45 45 : 5 9 2

6 : 5 : 5 17 7 7 7 7

= = = = .

5. а) 25

; б) 1

10; в)

123

3; г)

730

; д) 53

306; ђ)

256

17.

6. Веће су три четвртине од 340, него пет осмина од 400, јер је 3

340 2554

= , а 5

400 2508

= .

МнОжЕЊЕ РАЗЛОМАкА1.

x y 13

14

15

300 100 75 60

420 140 105 84

108 36 273

215

:x y 3 4 5

300 100 75 60

420 140 105 84

108 36 273

215

2. а) 1 1 1 1 1

: 37 3 7 7 3 21

= = =

; б) 1 6 6 6 6

: 77 13 13 13 7 91

= = =

;

в) 35 1 35 35 35

: 827 8 27 27 8 216

= = =

; г)1 1 21 1 21 21 21

5 : 204 20 4 20 4 4 20 80

= = = =

;

179

д) 1 5 1 65 65 65 65 17

5 : 4 14 12 4 12 12 12 4 48 48

= = = = =

.

3. а) 3 5 3 5 154 11 4 11 44

= =

; б)

2 4 2 4 83 9 3 9 27

= =

; в)

17 3 17 3 51 111

8 5 8 5 40 40

= = =

;

г) 4 11 4 11 449 7 9 7 63

= =

; д)

5 6 5 19 95 171 1

6 13 6 13 78 78 = = = ; ђ)

1 2 5 23 115 32 3 8

2 7 2 7 14 14 = = = .

4. а) 3 2 3 1 34 5 2 5 10

= = ; б) 2 5 1 5 57 6 7 3 21

= = ; в) 15 3 3 3 9 1

18 5 8 1 8 8

= = = ;

г) 3 11 3 1 3

22 7 2 7 14 = = ; д)

5 1 5 14 5 2 101

7 13 7 13 1 13 13 = = = ;

ђ) 5 8 26 8 2 8 16 2

3 27 13 7 13 7 1 7 7

= = = = ; е) 3 1 11 16 11 4 44 4

2 3 84 5 4 5 1 5 5 5

= = = = ;

ж) 2 4 30 19 2 19 38 34 1 5

7 15 7 15 7 1 7 7 = = = = .

5. а) 8 5 2 1 2

15 12 3 3 9 = = ; б)

25 27 5 3 1536 40 4 8 32

= = ; в) 35 33 7 3 2122 65 2 13 26

= = ;

г) 39 105 3 7 21 5

260 26 4 2 8 8

= = = ; д) 3 14 15 14 3 7 21 1

3 24 25 4 25 2 5 10 10

= = = = ;

ђ) 8 19 8 119 2 7 14

151 100 51 100 3 25 75

= = = ; е) 3 5 45 32 5 16 80 3

3 3 1114 9 14 9 7 1 7 7

= = = = ;

ж) .

6. а) 42 15 5 3 1 1 375 32 28 1 32 2 64

= = ; б) 102 20 27 2 4 3 24225 37 255 5 37 5 925

= = ;

в) 35 32 39 7 4 1 28 1

318 65 12 9 1 1 9 9

= = = .

7. а) ; б) ;

в) .

8. а) 4 5 1 19 21 3 5

; б) 1 5 3 7

3 24 3 5 15

; в) 1 1 1 1

4 4 8 22 3 2 5

.

9. Како је 5 4 55

28 9 36

= , а 7 6 13 42

19 7 9 36

= = , закључујеш да је 58

од 4

29

веће од 79

од 6

17

.

10. Како је1 1 12 3 6

= и 1 1 3 2 12 3 6 6 6

= = , следи да је 1 1 1 12 3 2 3

= .

180

11. Како је 3 5 95

28 6 48

= , а 3 5 74

28 6 48

= , закључујеш да је производ бројева 3

28

и 56

већи од

њихове разлике за 95 74 21 748 48 48 16

= = .

12. Већи је производ тих бројева за 31

335

.

13. Запремина собе је 4

465

m3, а за под треба купити 18 m2 ламината.

14. Прво треба да уочиш да је 1 800 g kg4

15

= kg, па стога 1800 грама треба платити

455 1 99

5 = динара.

ДЕљЕЊЕ РАЗЛОМАкА

1. а) 1

11

= ,14

,1

10,

1101

; б) 2 ,16 ,105 , 997 ; в) 5 1

22 2

= ,67 1

233 33

= ,79

,24

137; г)

45

,1543

,100109

,22

485.

2. а) 1

1:1111

= ; б) 3 4 1

1: 14 3 3

= = ; в) 7 6

1:6 7

= ; г) 2 1 2 2 7 14 2

: 7 43 7 3 3 3 3

= = = = ;

д) 13 1 13 13 9 117 2

: 9 235 9 5 5 5 5

= = = = ; ђ)

2 1 20 1 20 20 4 80 82 : : 4 8

9 4 9 4 9 9 9 9

= = = = = .

3. а) 2 3 2 5 2 5 10

:7 5 7 3 7 3 21

= = =

; б)

7 6 7 13 7 13 91 25: 1

11 13 11 6 11 6 66 66

= = = =

;

в) 11 4 11 5 11 1 11

:15 5 15 4 3 4 12

= = =

; г)

5 3 5 2 5 1 5:

8 2 8 3 4 3 12

= = =

;

д) 5 6 21 7 7 7 49 1

2 : 38 7 8 6 8 2 16 16

= = = =

; ђ)

5 1 11 21 11 4 11 2 221 : 5 :

6 4 6 4 6 21 3 21 63

= = = =

.

4. а) 1

15

; б) 3

14

; в) 49

150

; г) 1633

; д) 13

716

; ђ) 49

; е) 3

1314

; ж) 57

.

5. а) 5

112

; б) 4

29

; в) 2188

; г) 1

26

.

6. а) 6392

б) 2335

в) 235378

7. Како је 2 1 17 6 2

5 :143 6 3 85 5

= = и 6 2 6 17 2

585 3 85 3 5

= = , следи да је количник бројева 2

53

и

114

6једнак

685

првог броја.

181

8. а) Како је 4

15

(када неки број a множиш бројем мањим од 1, добијаш производ који је

мањи од a, док када број a делиш бројем који је мањи од 1, добијаш количник који је

већи од a, закључујеш да је 2 47 5

2 4

:7 5

.

б) 2 77 5

2 7

:7 5

јер је 7

15

; в) 2 2

1 33 5

2 2

1 : 33 5

јер је 2

3 15

.

9. а) Како је 4 19 2

, 5 4

17 19 , не рачунајући количнике закључујемо да је

4 5:

9 17

1 4:

2 19.

б) Како је 1 1

3 35 6

, а 5 34 2

, не рачунајући количнике закључујемо да је 1 5

3 :5 4

1 3

3 :6 2

.

в) Како је 3 2 19 3 57 25

4 : 2 14 3 4 8 32 32

= = = , а 5 8 41 9 41 3 123 53

6 : 3 16 9 6 35 2 35 70 70

= = = = и 25 5332 70

закључујемо да је 3 2

4 : 24 3

5 8

6 : 36 9

.

10. 5

11. 11.

146

4cm. 12. 180 динара.

СвОјСтвА МнОжЕЊА И ДЕљЕЊА

1. а) 1117

; б) 30

119; в)

110801

; г) 15

. 2. а) 1

35

; б) 4549

; в) ; г) 13

.

3. а) 19 ; б) 3380

; в) 2

419

; г) 12

425

. 4. а) 8

15; б) 63 ; в)

67

; г) 20.

5. а) Ако чиниоце означиш са a и b, а производ са P ( P a b= ), тада је нови производ једнак

= =1

4 45 5

P a b P , то јест мањи је за четвртину производа P.

б) Нови производ је једнак 2

54

P P= , то јест већи је за четвртину производа P.

в) Нови производ је једнак 3

12

2P a b P= = , то јест једнак је производу P.

г) Нови производ је једнак 4

5 44 5

P a b P= = , то јест једнак је производу P.

182

д) Нови производ је једнак 5

7 7 49 11

8 6 48 48P a b P P= = = , то јест већи је за четрдесет осми

део производа P.

ђ) Нови производ је једнак 6

9 4 614 3 7

P a b P= = , то јест мањи је за седмину производа P.

6. а) Ако дељеник означиш са a, делилац са b, а количник са Q ( :a

Q a bb

= = ), тада је нови

количник једнак , то јест мањи је за трећину количника Q.

б) Нови количник је једнак , то јест већи је за половину количника Q.

в) Нови количник је једнак , то јест једнак је количнику Q.

г) Нови количник је једнак , то јест једнак је количнику Q.

д) Нови количник је једнак , то јест једнак је количнику Q.

ђ) Нови количник је једнак , то јест мањи је за педесет

шест осамдесет првих делова количника Q.

е) Нови количник је једнак , то јест већи је за педесет

шест двадесет петих делова количника Q.

ж) Нови количник је једнак , то јест већи је за један једанаести

део количника Q.

183

МнОжЕЊЕ ДЕЦИМАЛнИх бРОјЕвА1.

10 100 1 000 10 000 100 000

0,56943278 5,6943278 56,943278 569,43278 5 694,3278 56 943,278

12,004563 120,04563 1 200,4563 12 004,563 120 045,63 1 200 456,3

0,000019804 0,00019804 0,0019804 0,019804 0,19804 1,9804

67,2 672 6 720 67 200 672 000 6 720 000

95,003 950,03 9 500,3 95 003 950 030 9 500 300

2.

0,067 0,67 6,7 67

0,2 0,0134 0,134 1,34 13,4

1,7 0,1139 1,139 11,39 113,9

34,57 2,31619 23,1619 231,619 2 316,19

50,019 3,351273 33,51273 335,1273 3 351,273

3. а) 2,5 ; б) 6,16 ; в) 0,54 ; г) 0,68 ;

д) 19,992 ; ђ) 506,321; e) 3,12898 ; ж) 28,43692.

4. а) 0,075 0,08 ; б) 36,2355 36,24 ; в) 3,3488 3,35 ; г) 0,891 0,89 ;

д)13,6091 13,61 ; ђ) 0,4896 0,49 .

5. а) 5,6 0,02 0,25 0,4 ; б) 0,8 4,08 0,7 4,67 ; в) 3,88 0,36 = 9,7 0,144 .

6. 274,575 динара. 7. Треба купити 69 клима уређаја. 8. 10,125 km.

ДЕљЕЊЕ ДЕЦИМАЛнИх бРОјЕвА1.

: 10 100 1 000 10 000

639 732,54 63 973,254 6 397,3254 639,73254 63,973254

1987,06 198,706 19,8706 1,98706 0,198706

15,001 1,5001 0,15001 0,015001 0,0015001

7,5 0,75 0,075 0,0075 0,00075

0,03 0,003 0,0003 0,00003 0,000003

184

2.

: 0,087 0,87 8,7 87

0,87 10 1 0,1 0,01

1,74 20 2 0,2 0,02

19,227 221 22,1 2,21 0,221

263,61 3 030 303 30,3 3,03

3. а) 0,08(5); б) ; в) ; г) 0,0232 ; д) 100 .

4. Израчунај количнике и заокругли их на 2 децимале:

а) 200 200,00= ; б) 0,1451... 0,15 ; в) 6,857... 6,86 ;

г) 700=700,00; д) 0,888... 0,89 ; ђ) 0,333... 0,3 .

5. а) 0,0505 : 0,05 123,25 : 120,75; б) 1,326 : 0,5 0,7 : 0,307;

в) 7,6836 :1,14 = 2,359 : 0,35.

6. Количник бројева 0,2727 и 2,7 је за 0,001 већи од разлике бројева 0,2727 и 0,1727 .

7.

80

0,976

5,7

100

1,22

7,125

0,013

0,286

8,45

0,01

0,22

6,5

а) б)

8.20,925

2,25 9,3

1,5 1,5 6,2

2 0,75 2 3,1

0,06655

0,0055 12,1

0,05 0,11 110

0,5 0,1 1,1 100

9. 79,6 m. 10. 360 . 11. 32,5 km/h.

бРОјЕвнИ ИЗРАЗИ1. а) 24 ; б) 8,6 ; в) 4,48 ; г) 5,07375 ;

д) 23272500

; ђ) 24,393 ; е) 0,2068 ; ж) 2,6148 .

2. а) 0,463... 0,46 ; б) 12,155... 12,16 ; в) 1,068... 1,07 ; г) 1,595... 1,60 .

185

3. а) 2

25; б)

11

3; в)

215

106; г) 7,617.

4. а) 16

363

; б) 3

320

; в) 34,004 ; г)164,2 ; д) 2,6 ; ђ) 12 ; е) 18 ; ж) 1

46

.

5. 6 3 3= ; 4 2 25 5 5

= ; 7 7 711 22 22

= ;

1 2 21

3 3 3= ;

5 5 52 1 1

7 14 14= ; 0,99 0,495 0,495= .

6. 10 2 2 2 2 2= , 5 1 1 1 1 1

11 11 11 11 11 11= ,

4 4 4 4 4 45 25 25 25 25 25

= ,

5 19 19 19 19 192

7 35 35 35 35 35= , 0,68 0,136 0,136 0,136 0,136 0,136= .

7. а) 0,8 ; б) 3564

; в) 2,01. 8. а) 5

636

; б) 3

255

; в) 49,725; г) 630,83 .

9. а) 3

27

; б) 23

1724

; в) 7,594. 10. а) 289,7; б) 17,29; в) 792,3. 11. 1112

.

12. 539

2625

. 13. 2.

14. Како је AA 19,95= , BB 19,4= , C=15,75, D=23,65, следи да је C B A D .

15. Како је A=3,75, BB 3,35= , CC 4,25= , следи да је B A C .

16. 13

220

. 17. 47

1135

. 18. 23

. 19. 9,65 .

20. Производ бројева 3

38

и 56

мањи је од њиховог количника за 19

180

.

21. а) 7

712

; б) 1; в) 23

; г) 2.

22. 90°.

23. 24,8cm.

24. 15.

25. Како је , Влада може да купи чоколаду.

26. 480.

27. 2t.

28. Ако су обе славине отворене за 6 минута се напуни 56

каде. Ако се после 2 минута

пуњења отвори сливник, после 10 минута када ће преливати.

29. Последњи резултат је за 75 стотинки слабији од првог. 30. 280. 31. 80.

186

32. а) б)

123

20,6

13,74

8211

1315

9,16

128,4

26

19,14

97,2

3,86

2,1

129,611

575

2,8

96,87

3,53

1,77

·0,75 –0,33

jЕДнАчИнЕ1.

а) 2 89 15

x =

8 2

:15 9

x =

8 9

15 2x =

125

x =

2

25

x =

Провера: 2 12 89 5 15

=

б) 0,73 1,241x =

1,241: 0,73x =

124,1: 73x =

1,7x =

Провера: 0,73 1,7 1,241 =

2. а)

6 8: 2

7 27x =

8 6

227 7

x =

62 627 7

x =

12463

x =

61

163

x =

Провера: 61 6 124 7 62 8

1 : 263 7 63 6 27 27

= = =

б) 0,567 : 31,5x =

0,567 : 31,5x =

5,67 : 315x =

0,018x =

Провера: 0,567 : 0,018 31,5=

3. ·

23

2077

0

0,073 0

712

718

533

0

0 0 0 0

5,61 3,7416

135

0

: 0,049

379,6

37

510

716

121

5112

72185

279

371,6

374

0 0 0 0

0 0 0 0

4. а) xx 6= ; б) xx 6,32= ; в) x1

x 12

= ; г) xx 6= ; д) x37

x45

= ; ђ) x1

x 212

= .

187

5. а) x9

x 335

= ; б) x5

x 28

= ; в) x9

x 328

= ;

г) x2

x 33

= ; д) xx 4,8= ; ђ) 23

x = .

6. 1 3 7

2 3 63 4 24

a = ; 5

156

a= . 7. ; 37

m= .

8. а) x1

x 17

= ; б) x7

x8

= . 9. 2,5 9,8 7,7x = ; 7x = .

10. x ; x7

x15

= . 11. x ; 2

311

x = .

12. ; x8

x 109

= .

13. Ако са x означиш број килограма купљених трешања, задатку одговара следећа једначина , чије решење је x = 2. Дакле, Марина је купила 2kg трешања.

14. Ако са x означиш брзину (број километара по једном сату) којом се Ненад кретао када је

пешачио, задатку одговара следећа једначина , чије решење је

x = 6. Дакле, Ненад је пешачио брзином од 6km/h, док је бицикл возио брзином од 11km/h.

15. Ако са x означиш ћеркине године, задатку одговара следећа једначина , чије решење је x = 10. Дакле, ћерка има 10 година, а отац 35 година.

16. Ако са x означиш колико Јована има бомбона, задатку одговара следећа једначина

, чије решење је x = 27. Дакле, Јована има 27, а Јанко има 24 бомбоне.

17. Ако са x, y, z означиш суме које имају Александар, Јелена и Борис, тим редом, тада услове

задатка записујеш са следећим једначинама 3000x y z =3 000 и 5 5

5009 11

x y z= = .

На основу последњег добијаш да је и . Када то примениш

из прве једначине, добијаш 3 000, одакле је 1000z =1 000,

900x = , 1100y =1 100.

18. Нека је a бројилац траженог разломка. Тада је, по услову задатка, именилац једнак 9a , и

важи 2 2

( 9) 2 3a

a

=

. Одакле добијамо да је

22 ( 7)

3a a = , односно,

2 22 7

3 3a a = .

Дакле, 2 14

23 3

a a = . Како је 2 13 3

a a a= и 14 8

23 3

= , закључујемо да је

2 1 2 82 2

3 3 3 3a a a = , односно

1 83 3

a = . Дакле, 8 1

: 83 3

a= = . Тражени разломак је 8

17.

188

19. Ако именилац тог разломка означиш са b, задатку одговара једначина ,

чије решење је b = 5. Дакле, тражени разломак је 35

.

20. Ако са x означиш број књига на другој полици, задатку одговара једначина 1 1

2 2 2 55 5

x x x x = , чије решење је x = 25. Дакле, на првој полици је 50, а на

другој 25 књига.

нЕjЕДнАчИнЕ1.

а) 2 133 18

x

13 2

:18 3

x

13 318 2

x

1312

x

1

112

x

б) x31,5 56,7

x 56,7 : 31,5

x 567 : 315

x 1,8

в) 3

10,5 1,55

x

3

10,5 1,55

x

10,5 1,5 0,6x

10,5 2,1x

2,1:10,5x

21:105x

0,2x

г) 2

2,8 ( 1) 43

x

2

1 4 : 2,83

x

14 14

1 :3 5

x

14 5

13 14

x

5

13

x

5

13

x

23

x

0 1 11

120 1 21,8

0 10,2 0 1 223

189

2. а) xx 8,75 ; б) x5

x6

; в) x1

x 12

; г) 7

10x ; д)

61

15x ; ђ) x

1x 1

4 .

3. а)

3 1: 4

7 12x

1 3

412 7

x

49 312 7

x

74

x ; 3

14

x

б) 5

: 4,928

x

5

4,928

x

49 510 28

x

78

x

в) 5 1

1 : 314 6

x

5 1

1 : 314 6

x

19 19

:14 6

x

19 614 19

x ; 6 3

14 7x =

г) 4

1,7 : 215

x

4

1,7 : 215

x

17 34

:10 15

x

17 1510 34

x ; 34

x

д) 1

: 2,5 0,454

x

1

: 2,5 0,454

x

: 2,5 0,45 0,25x

: 2,5 0,7x

0,7 2,5x

1,75x

ђ) 2

2,1: (4,4 ) 0,5 15

x

1 7

2,1: (4,4 )2 5

x

7

2,1: (4,4 )10

x

7

4,4 2,1:10

x

4,4 2,1: 0,7x 4,4 3x 4,4 3x 1,4x

0 137

0 134

0 1 21,75

0 178

0 1 1 2 334

0 1 1,4 2

190

4. а) 5

26

x ; б) xx 7 ; в) 35

x ; г) xx 1 ; д) x1

x 14

; ђ) 2934

x .

5. а) 2

0,3 13

x ; 5

59

x ; б) 3 1

:5 4

x ; 3

20x ; в)

1 63

x 7 ;

13

2x .

6. а) 1 4 3

1 1 0,62 9 4

a ; 29

140

a ; б) 5 3

2,2 1,86 4

a ; 38

4225

a ;

в) ; 5

12a .

7. Најмања новчаница коју Ана има јесте она од 100 динара, а како су све веће

новчанице дељиве са 100, закључујемо да Ана поседује цео број стотина динара,

и означимо са x ( x N ) тај број стотина. Тада задатку одговарају неједнакости

7 50 100 (1354,75 45,8) 8 50x , одакле добијаш да је 1 750,551750,55 100 1800,55x 1 800,55,

односно x = 18. Дакле, Ана има 1 800 динара.

8. Нека је x сума новца коју је мајка дала Јовану. Тада треба да решиш једначину

(58,7 25 4 8,5 1,5 67) 2 90x . Дакле, мајка треба да да Јовану бар 399 динара.

АРИтМЕтИчкА СРЕДИнА

1. а) , 1,2 2,3

2a

= ,

3,52

a= , 1,75a= ;

б) , , 7390

a= ;

в) 7

109

и 5

12

40372

a=

43

572

a=

г) 12

, 3

37

, 34

, 6 и 1,75

8735

a=

17

235

a=

191

2. Књига има 230 страна, а Нина је читала у просеку 46 страница на дан.

3. 13,6km/h. 4. 23,9°C. 5. 1

33

.

6.

34 1,75

2

x = ; 2,75x = . 7. Тачки S одговара број

71

12.

8. Тачки N одговара број 1

55

. 9. Тачки D одговара број 56

.

10. Збир три Николине оцене из математике мора бити 3 4 12 = , па Николине оцене чине

један од скупова: .

РАЗМЕРА

1. а) 12 4

12 : 3 43 1

= = = ; б) 4 1

4 :1616 4

= = ; в) 18 2

18 : 2727 3

= = ;

г) 1

5,5 :11020

= ; д) 2

3,5 : 0,21 163

= ; ђ) 11 2 25

: 213 7 26

= ; е) 1 1 49

2 : 53 7 108

= .

2. а) Како је 24 2

24 : 3636 3

= = и 14 2

14 : 2121 3

= = , дате размере су једнаке.

б) Како је 3,7 37 12

3,7 : 2,5 12,5 25 25

= = = и 3 2 3 5 15 1

: 17 5 7 2 14 14

= = = , дате размере нису једнаке.

в) Како је 3 4 7 7 49 1

1 : 34 7 4 4 16 18

= = = и 2 3 5 5 25 7

1 : 23 5 3 3 9 9

= = = , дате размере нису једнаке.

г) Како је 410

4,1: 0,077

= и 410

14,35 : 0,2457

= , дате размере су једнаке.

3. 1 2

391:

462P P = ; 1 2

40:

43O O = .

4. а) 280m, 1m; б) 5,6km, 5cm.

5. а) 4,5cm и 4,5cm; б) 2,25cm и 6,75cm; в) 6cm и 3cm; г) 7cm и 2cm.

6. Јана ће добити 2 000, а Немања 1 500 динара.

7. У бокал треба додати 375ml воде, а од 2,1l сока.

8. а) x10

x 111

= ; б) xx 6,12= ; в) x2

x 15

= .

192

пРОЦЕнтИ

1. а) 20; б) 2; в) 200; г) 1.

2. а) 20; б) 20; в) 20; г) 20.

3. а) 30; б) 13,5; в) 5,4; г) 141,45.

4. У том одељењу има 8 одличних ученика и 18 девојчица.

5. У том одељењу има 8 одличних ученика, а од њих 3 су девојчице.

6. 1

0,45 0,345

x = ; 1,2x = . 7. 4

0,35 1 0,25 15

r = ; 1,48r = .

8. 743,75 динара.

9. Ако са c означиш цену карте пре поскупљења, онда важи 1,2 660c = . Дакле, цена карте је

била 550 динара, то јест карта је поскупела 110 динара.

10. Ако са c означиш првобитну цену артикла, добијаш да је нова цена једнака

1,2 0,8 0,96c c = , то јест производ је сада јефтинији.

11. Ако са c означиш првобитну цену артикла, добијаш да је нова цена једнака

0,9 1,1 0,99c c = , то јест производ је сада јефтинији.

193

ОСНА СИМЕТРИЈА

1. Заокружи слово испред цртежа на коме су приказане две фигуре које су осносиметричне у односу на одговарајућу праву.

2. Нацртај фигуре које су осносиметричне датим фигурама у односу на праву p.

пОЈАМ ОСНЕ СИМЕТРИЈЕ

194

4. Дате су три неколинеарне тачке , ,A B C. За сваку од њих конструиши тачку симетричну у односу на праву одређену преосталим двема тачкама.

5. Нађи слике полуправих Aa, Bb, Cc при осној симетрији у односу на праву s.

3. Милица и Јана су конструисале тачку А1 која је осносиметрична тачки A у односу на праву s. Миличина конструкција је приказана на слици лево, а Јанина на слици десно.

Ево како су оне описале своје конструкције. Допиши шта недостаје. Милица: „Најпре сам конструисала лук k1 кружнице са центром у тачки A и полупречником који је већи од растојања тачке A од праве s. Пресечне тачке тог лука и праве s означила сам са P и ___. Затим сам конструисала лукове k2 и k3 кружница истог полупречника чији су центри тачке ___ и Q. Тачку пресека ових лукова означила сам са N. Праву ( , )p A N означила сам са n. Права n је нормала на праву ___ из тачке A. Пресечну тачку правих s и n означила сам са ___. Најзад, конструисала сам лук 4k кружнице чији је центар тачка S и полупречник дуж ___. Тражена тачка 1A је пресечна тачка лука 4k и праве ___.“

Јана: „Најпре сам конструисала лук 1l кружнице са центром у тачки A и полупречником који је већи од растојања тачке A од праве s. Пресечне тачке тог лука и праве s означила сам са M и ___. Затим сам конструисала лукове 2l и 3l кружница чији су центри редом тачке ___ и N и полупречници дужи MA и NA . Једна тачка пресека ових лукова јесте тачка ___, а друга је тражена тачка 1A .“

Обе конструкције су исправне! Која је једноставнија?

195

8. Нацртај фигуре које су осносиметричне датим фигурама у односу на праву p. 1) 2)

9. Нацртај туп угао xOy и на краку Ox изабери тачку S различиту од O. Нацртај затим нормалу s на крак Ox и конструиши угао x1O1y1. осносиметричан углу xOy у односу на праву s. Одреди пресек угаоних линија xOy и x1O1y1 и обоји пресек углова xOy и x1O1y1.

10. Нацртај троугао ABC па га пресликај осном симетријом у односу на праву ( , )p B C .

11. Нацртај конвексан четвороугао ABCD а затим га пресликај осном симетријом у односу на праву ( , )p A C .

7. Нађи слику отворене изломљене линије ABCDE при осној симетрији у односу на праву s.

6. Нађи слику xOy при осној симетрији у односу на праву s.

196

ОСНА СИМЕТРИЧНОСТ ЈЕдНЕ фИгуРЕ

1. 1) Колико оса симетрије има полуправа? 2) Колико оса симетрије има права? 3) Колико оса симетрије има затворена изломљена линија

приказана на слици десно? Нацртај их!

4) Колико оса симетрије има фигура на слици десно? Нацртај их!

2. Која од датих слова су осносиметрична? Колико оса симетрије има свако од слова? Наведи још нека ћирилична и нека латинична слова која су осносиметрична.

15. Осном симетријом у односу на праву s тачка A се пресликава у тачку B. Нека је S пресек праве s и дужи AB и нека је C произвољна тачка праве s различита од S.

Осном симетријом у односу на праву s: 1) слика дужи AC јесте дуж _____;2) слика дужи AB јесте дуж _____;3) слика дужи AS јесте дуж _____;4) слика дужи CS јесте дуж _____;5) слика ACS јесте угао _______;6) слика ASC јесте угао _______;7) слика CAS јесте угао _______.

12. Нацртај троугао ABC и нормалу n из тачке A на праву ( , )p B C . Пресликај троугао ABC осном симетријом у односу на праву n.

13. Нацртај кружницу k(O,2cm) и праву s која је: 1) не сече; 2) додирује; 3) сече. Пресликај ову кружницу осном симетријом у односу на праву s.

14. Нацртај троугао ABC и праву s која сече странице AB и BC. Пресликај троугао осном симетријом у односу на праву s.

197

3. Нацртај све осе симетрија следећих фигура.

4. Нацртај бар један троугао који је осносиметричан.

5. Нацртај бар један четвороугао који је осносиметричан.

6. Нацртај дуж 5AB cm cm. Да ли су фигуре K(A,2cm)K(B,4cm) и K(A,2cm)K(B,4cm) осносиметричне? Колико оса симетрије имају ове фигуре?

7. Да ли је полуправа осносиметрична фигура? Да ли је полураван осносиметрична фигура?

8. Дат је квадрат ABCD. Тачке , , ,P Q R S су, тим редом, средишта страница , , ,AB BC CD DA . На одговарајућа места упиши шта је потребно.

а) Осе симетрије квадрата су: ( , ), ( , ), (__, __), (__, __)p A C p P R p p .

б) Тачка O је средиште дужи: AC, PR,, , ____, ____AC PQ .

в) Тачне су једнакости:

____ ____OA OB ____ ____OP OQ

____AC ____ ____ ____AB BC PR .

198

СИМЕТРАЛА дуЖИ1. Нацртај неку дуж и подели је на осам једнаких делова.

2. Конструиши дуж чија је дужина једнака 34

дужине дужи коју си произвољно изабрао/-ла.

3. Изабери две тачке А и B. Конструиши праву p, тако да се тачка A пресликава у тачку B при осној симетрији у односу на праву p.

4. Одреди тачку праве p која је подједнако удаљена од тачака A и B.

5. Одреди тачке дате кружнице које су подједнако удаљенe од тачака A и B. 1) 2)

6. Изабери три неколинеарне тачке и означи их са O, A, B. Конструиши затим кружницу са центром у тачки O тако да постоји тачно једна тачка те кружнице која је подједнако удаљена од тачака A и B.

7. Дати су троугао ABC и тачка B’. Пресликај дати троугао осном симетријом ако знаш да је при тој симетрији слика тачке B тачка B’.

8. Одреди тачку која је подједнако удаљена од тачака A и B и чије је растојање од тачке T једнако 3cm. Колико има таквих тачака?

199

10. У равни је дата права t и тачка T која јој припада. Конструиши све кружнице полупречника 3cm које додирују праву t у тачки T.

11. Конструиши квадрат ABCD ако су дати теме A и права p којој припадају темена B и D.

12. Конструиши квадрат ABCD ако су дата његова темена A и C.

13. Нацртај неки троугао и конструиши симетрале његових страница. Шта запажаш?

14. Дате су три неколинеарне тачке. Нађи тачку која је подједнако удаљена од ових тачака.

15. Нацртај троугао и одреди средишта сваке од његових страница. Нацртај затим дужи које спајају теме са средиштем наспрамне странице. Шта запажаш?

16. Нађи центар кружнице приказане на слици десно.

17. У равни је дата права t, тачка T која јој припада и тачка A која не припада овој правој. Конструиши кружницу која садржи тачку A и праву t додирује у тачки T.

9. Треба конструисати нормалу на праву p из тачке A која не припада овој правој. Како је Лазар поступио, приказано је на слици лево, а како је Милош, на слици десно.

200

4. Нацртај круг и конструиши централни угао који је једнак шеснаестини пуног угла.

5. Дат је оштар угао xOy и на његовом краку Ox тачка A. Одреди тачку угла xOy која је подједнако удаљена од тачке A и крака Oy.

6. Дат је угао xOy и на краку Ox тачка P. Конструиши кружницу која додирује краке угла и садржи тачку P.

7. Нацртај два суплементна угла са заједничким краком и конструиши њихове симетрале. Под којим углом се секу симетрале два суплементна угла са заједничким краком?

8. Нацртај два комплементна угла са заједничким краком и конструиши њихове симетрале. Под којим углом се секу симетрале два комплементна угла са заједничким краком?

9. Нацртај две паралелне праве и једну њихову трансверзалу. Конструиши кружницу која додирује све три праве. Колико таквих кружница можеш конструисати?

10. Нацртај неки троугао и конструиши симетрале његових унутрашњих углова. Шта запажаш?

СИМЕТРАЛА угЛА

1. Нацртај неки туп угао и подели га на на осам једнаких делова.

2. Конструиши (без употребе угломера) угао чија је мера: а) 45°; б) 22°30'; в) 11°15'; г) 135°; д) 225°; ђ) 315°.

3. Одреди тачке дате кружнице које су подједнако удаљене од кракова угла xOy.

201

1. Заокружи број испред слике на којој су приказане две фигуре које су осносиметричне у односу на праву s.

2. Посматрај слику са десне стране. Тачка A се осном симетријом у односу на праву s пресликава у тачку 'A . Одреди слике следећих фигура при осној симетрији у односу на праву s.

1) Слика дужи AC је __________.2) Слика дужи 'A S је __________.3) Слика дужи 'AA је __________.4) Слика дужи CS је __________.5) Слика угла ASC је __________.6) Слика угла ACS је __________.7) Слика троугла ACS је __________.8) Слика троугла 'AA S је __________.

3. Праве p и q се осном симетријом у односу на праву s пресликавају редом у праве 'p и 'q . Заокружи број испред тачне реченице.

1) Ако је ||p q , онда је и ' || 'p q .2) Ако је ||p s , онда је и ' ||p s.3) Ако је p q , онда је и ' 'p q .4) Ако је p s , онда је 'p p .

4. Нека су ', ', 'A B C слике тачака , ,A B C при осној симетрији у односу на праву s. Заокружи број испред тачних реченица.

1) Ако је A B C , могуће је да буде ' ' 'A C B .2) Ако је троугао ABC оштроугли, троугао ' ' 'A B C може бити тупоугли.3) Обим троугла ' ' 'A B C може бити већи од обима троугла ABC .4) Угао ABC може бити мањи од угла ' ' 'A B C .

5. Колико седмоугао, приказан на слици десно, има оса симетрије? 1) две; 2) седам; 3) четрнаест; 4) дванаест.(Заокружи број испред тачног одговора.)

6. Посматрај слику са десне стране. Колико има тачака кружнице k које су подједнако удаљене од тачака P и Q ?

1) ниједна; 2) тачно једна; 3) тачно две; 4) бесконачно много.(Заокружи број испред тачног одговора.)

ТЕСТ – ОСНА СИМЕТРИЈА

202

7. Конструиши угао који је једнак 58

α.

8. Посматрај слику са десне стране. Ако је права ( , )p A C симетрала угла BAa и ||a b, онда је мера угла θ:

1) 140°; 2) 70°; 3) 110°; 4) 100°.(Заокружи број испред тачног одговора.)

Решења:1. 3)2. 1) ' AC; 2) AS; 3) ' AA; 4) CS; 5) ' ASC; 6) ' ACS; 7) ACS; 8) ' AAS.3. Све реченице су тачне.4. Све реченице су нетачне.5. 2)6. 3)7.

8. 3)

203

3. Милица: „Најпре сам конструисала лук k1 кружнице са центром у тачки A и полупречником који је већи од растојања тачке A од праве s. Пресечне тачке тог лука и праве s означила сам са P и Q. Затим сам конструисала лукове k2 и k3 кружница истог полупречника чији су центри тачке P и Q. Тачку пресека ових лукова означила сам са N. Праву p(A,N) означила сам са n. Права n је нормала на праву s из тачке A. Пресечну тачку правих s и n означила сам са S. Најзад, конструисала сам лук k4 кружнице чији је центар тачка S и полупречник дуж SA. Тражена тачка A1 је пресечна тачка лука k4 и праве n.“Јана: „Најпре сам конструисала лук I1 кружнице са центром у тачки A и полупречником који је већи од растојања тачке A од праве s. Пресечне тачке тог лука и праве s означила сам са M и N. Затим сам конструисала лукове I2 и I3 кружница чији су центри редом тачке M и N и полупречници дужи MA и NA. Једна тачка пресека ових лукова је тачка A, а друга је тражена тачка A1.“

1. Осносиметричне фигуре приказане су на сликама под а) и В).

2.

4. 5.

ОСНА СИМЕТРИЈА – РЕШЕЊА

пОЈАМ ОСНЕ СИМЕТРИЈЕ

204

15. 1) слика дужи AC је дуж BC; 2) слика дужи AB је дуж AB; 3) слика дужи AS је дуж SB; 4) слика дужи CS је дуж CS; 5) слика ACS је BCS; 6) слика ASC је BSC; 7) слика CAS је CBS.

6. Нека је X произвољна тачка на краку Ox и Y тачка пресека крака Oy и праве s. Ако су 'O и 'X слике редом тачака O и X при осној симетрији у односу на праву s, онда је x’Oy’ слика xOy при тој осној симетрији.

7.

8. 1) 2)

9. 10.

1 1 1 1 xOy x O y OO

205

4. Ево три осносиметрична троугла. 5. Ево два осносиметрична четвороугла.

ОСНА СИМЕТРИЧНОСТ ЈЕДНЕ ФИГУРЕ

1. 1) Полуправа има једну осу симетрије. То је права на којој се она налази. 2) Права има бесконачно много оса симетрије. Поред те праве осе симетрије су и све

праве које су нормалне на њу. 3) Приказана фигура има две осе симетрије. 4) Фигура има четири осе симетрије.

2.

3. Унутар сваке фигуре уписан је број њених оса симетрије.

6. И пресек K(A,2cm)( ,2 ) ( ,4 )K A cm K B cmK(B,4cm) и унија K(A,2cm)( ,2 ) ( ,4 )K A cm K B cmK(B,4cm) су осносиметричне фигуре и имају по једну осу симетрије – праву која спаја центре ових кружница.

206

12. Конструиши најпре симетралу дужи AC и означи на пример са O средиште ове дужи. Темена B и D припадају конструисаној симетрали и кружници ( , )k O OA .

13. Симетрале страница троугла секу се у једној тачки. 14. Тражена тачка је пресечна тачка симетрала дужи које су одређенe двема од ове три

тачке. 15. Дужи које си нацртао/-ла секу се у једној тачки.

7. Полуправа је осносиметрична фигура и има само једну осу симетрије – праву на којој се налази. Полураван је осносиметрична фигура и има бесконачно много оса симетрије; свака права нормална на граничну праву те полуравни је њена оса симетрије.

8. 1) Осе симетрије квадрата су: ( , ), ( , ), ( , ), ( , )p A C p P R p B D p Q S .2) Тачка O је средиште дужи: AC, PR, BD, QS.3) Тачне су једнакости: OA OB OC OD , OP OQ OR OS , AC BD , AB BC PR CD DA QS .

СИМЕТРАЛА ДУЖИ

1. Дуж најпре подели на два једнака дела. Затим, сваку половину дужи подели напола. Најзад, добијене четвртине дужи поново подели напола.

2.

3. Права p, коју треба конструисати јесте симетрала дужи AB.4. Тачка праве p која је подједнако удаљена од тачака A и B је пресек праве p и симетрале

дужи AB.5. Тачке које треба одредити су тачке пресека кружнице и симетрале дужи AB. У првом

случају (а) постоје две такве тачке, док у другом (б) такве тачке не постоје. 6. Треба конструисати кружницу са центром у тачки O која додирује симетралу дужи AB.7. Троугао ABC треба пресликати осном симетријом у односу на симетралу дужи 'BB .8. Тражене тачке су тачке пресека симетрале дужи AB и кружнице k(T,3cm). 9. Правилније је поступио Милош. Лазар је нацртао нормалу, док ју је Милош конструисао!10. На нормали праве t у T треба одредити тачке 1O и 2O које су на растојању 3cm од T.

Кружнице k(O1,3cm) и k(O2,3cm) су тражене кружнице.

11. Тачка C је симетрична тачки A у односу на праву p. Темена B и D припадају правој p и кружници чији је пречник дуж AC.

207

1. Угао најпре треба поделити на два једнака дела. Затим, сваку половину угла треба поделити на два једнака дела. Најзад, добијене четвртине угла треба поново поделити напола.

2. Угао чија је мера 45° је половина правог угла; дакле, прав угао треба поделити на два једнака дела. Угао од 22°30' је половина угла од 45°, док је угао 11°15' половина угла од 22°30'. Угао чија је мера 135° можеш конструисати као збир правог угла и угла од 45° или као разлику опруженог угла и угла од 45°. Угао од 225° је збир опруженог угла и угла од 45°. Угао од 315° је разлика пуног угла и угла од 45°.

3. Тражене тачке су пресечне тачке дате кружнице и симетрале угла xOy.

4. Тражени централни угао има меру 22°30'.

5. Тражена тачка је пресек нормале на крак Ox у тачки A и симетрале угла xOy .

6. Центар О тражене кружнице је пресек нормале на крак Ox у тачки P и симетрале xOy , док је њен полупречник дуж OP .

7. Симетрале два упоредна (суплементни са заједничким краком) угла су међусобно нормалне.

8. Симетрале два комплементна угла са заједничким краком секу се под углом од 45°.

9. Постоје две такве кружнице.

16. Нацртај две тетиве које нису на паралелним правама. Симетрале ових тетива секу се у центру кружнице.

17. Нацртај нормалу n на праву t у тачки T. Пресечна тачка O симетрале дужи AT и праве n је центар тражене кружнице. Тражена кружница је ( , )k O OT .

СИМЕТРАЛА УГЛА

10. Симетрале унутрашњих углова троугла секу се у једној тачки.

CIP – Каталогизација у публикацијиНародна библиотека Србије, Београд

37.016:51 (075.2) (076)

МАТЕМАТИКА 5 : збирка задатака сарешењима : [за 5. разред основне школе] / Небојша Икодиновић... [и др.]. 3. изд. –Београд : Klett, 2010 (Суботица : Ротографика). - 207 стр. : илустр. ; 30 cm

Тираж 20.000.

ISBN 978-86-7762-123-01. Икодиновић, Небојша [аутор], 1973–

COBISS.SR-ID 173761036