Matematicas 5 II Periodo

8/16/2019 Matematicas 5 II Periodo

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MATEMATICAS °

LA MULTIPLICACIÓN

La multiplicación de números naturales es la operación que indica la adición desumandos iguales. Los números que se multiplican se denominan factores y al resultadose le denomina producto.

Ejemplo:

En un concurso de baile participan 159 parejas si cada parejapago $37.500 de inscripción, ¿cuánto dinero se recaudó en

total?Se efectúa la multiplicación así:

En total se recaudaron $5.962.500 por las inscripciones

PROPIEDADES DELA MULTIPLICACION

La multiplicación de los números naturales cumple las siguientes propiedades.

Conmutativa Asociativa Elemento neutro

En una multiplicación, alcambiar el orden de losfactores no se altera elproducto.

15.342 x 32 = 490.944

32 x 15.342 = 490.944

Al agrupar tres o más factoresde diferentes maneras, elproducto no cambia.

(1.234 x 324) x 5 = 1.999.0801.234 x (324 x 5) =1.999.080

Cualquier númeromultiplicado por 1 es igual almismo número.

297.402 x 1 = 297.4021 x 297.402 = 297.402


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Además de las anteriores propiedades, la multiplicación cumple con la siguientepropiedad.

Distributiva con respecto a la adición o a lasustracción

El producto de un número por una adición o por unasustracción indicada, es igual a la suma o a la resta de losproductos del número por cada término.

4.788 x (30 + 2) = (4.788 x 30) + (4.788 x 2)= 143.640 + 9.576= 153.216

LA DIVISION

La división es la operación inversa a la multiplicación. Con la división se puede resolversituaciones en las cuales se deben repartir, en partes iguales, cierta cantidad deelementos. Los términos de la división son: dividiendo, divisor, cociente y residuo.

En una división, el dividendo es igual al residuo más el producto del divisor por elcociente.

Ejemplo:

En una granja se recogieron 4.346 huevos. ¿Cuantas cajas de 15 huevos se pueden

organizar?Para resolver el problema se realiza la siguiente división:

Por tanto, se pueden organizar 289 cajas de huevos y sobran 11 huevos.


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SITUACION PROBLEMA

En una cena para recaudar fondos para una obra social serecaudaron $28.440.000. ¿Cuál es el aporte dado por cadauno de los 120 asistentes teniendo en cuenta que cada uno

aporto la misma cantidad de dinero? Comprende el problema

¿Cuál es la estrategia?

Comprender el enunciado

¿Qué datos hay en el problema?

El total del dinero recolectado

La cantidad de asistentes a la cena

Entonces:

28.440.000 ÷ 120 = $ 237.000

Cada asistente aporto $237.000 para la obra social.

MULTIPLOS

Los múltiplos de un número natural se obtienen multiplicando dicho número por cadauno de los números naturales. Los múltiplos de un número son infinitos.

Ejemplo

Para encontrar los múltiplos de 9 se multiplica así:

Luego se organiza en un conjunto de múltiplos de 9,simbolizado M8, así:

M8 = {0,9, 18, 2, 36, 45, 54, 63, 72, 81,90}


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DIVISORES

Los divisores de un número natural, son aquellos números naturales que lo dividenexactamente. El conjunto de los divisores de un número es finito.

Ejemplo:

¿Cómo se pueden hallar los divisores de 12?

Paso 1

Busca todas las multiplicaciones cuyo producto sea 12.

1 x 12 = 12 2 x 6 = 12 3 x 4 = 12

4 x 3 = 12 6 x 2 = 12 12 x 1 = 12

Paso 2

Organiza en un conjunto, los factores de menor a mayor, sin repetirlos.

D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Los criterios de divisibilidad son reglas prácticas que permiten verificar si un numeronatural es, o no, divisible entre otro, sin realizar la división.

Los principales criterios de divisibilidad son:

Divisibilidad entre 2: un número es divisible entre 2 si termina en 0o en cifra par.

Divisibilidad entre 3: un número es divisible entre 3 si al sumarsus cifras, el resultado es múltiplo de 3

Divisibilidad entre 4: un número es divisible entre 4 cuando sus dosúltimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 4.

Divisibilidad entre 5: un número es divisible entre 5 si termina en 0o en 5.


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Divisibilidad entre 6: un número es divisible entre 6 si es divisibleentre 2 y entre 3 al mismo tiempo.

Ejemplos:

1. 176 es divisible entre 2 porque termina en 6 que es un digito par.

2. 105 es divisible entre 3 porque 1 + 0+ 5 = 6 y 6 es múltiplo de 3.3. 212 es divisible entre 4 porque 12 es múltiplo de 4.4. 715 es divisible entre 5 porque su último digito es 5.5. 258 es divisible entre 6 porque 8 es un digito par y porque 2 + 5 + 8 = 15, 5 es

múltiplo de 3.

NUMEROS PRIMOS Y NUMEROS COMPUESTOS

De acuerdo con la cantidad de divisores, los números se pueden clasificar en:

Números primos: tienen únicamente dos divisores diferentes, el 1 y el mismonúmero.

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, …}

Números compuestos: tienen más de dos divisores. El 1 no es ni primo ni compuesto ya que tiene un único divisor que es el 1.

Ejemplo:

1. 29 es un número primo porque sus divisores son 1 y 29.2. 20 es un número compuesto ya que tiene seis divisores: 1, 2, 4, 5, 10 y 20.

DESCOMPOSICION EN FACTORES PRIMOS

Todo número compuesto se puede expresar como un producto de números primos. Porejemplo: 36 = 2 x2 x 3 x 3.

Para expresar un número como producto de factores primos se puede utilizar elprocedimiento de divisiones sucesivas con divisores primos.

Ejemplo:

Para descomponer el número 84 en factores primos usando el procedimiento dedivisiones sucesivas con divisores primos, se procede así:

Como 84 es par, se divide entre 2 y da 42. Como 42 es par, se divide de nuevo entre 2 y da 21.


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21 es divisible entre 3 da 7.

7 es primo asi que solo se puede dividir entre 7 y da 1. Al obtener el cociente 1, finaliza la descomposición.

La descomposición de 84 en factores primos es 84 = 2 x 2 x 3 x 7

MINIMO COMÚN MÚLTIPLO

El mínimo común múltiplo entre dos o más números es el menor de sus múltiploscomunes, distintos de cero. Se simboliza mcm.

Ejemplo:

1. Se puede hallar el mcm de 2 y 3 por medio de conjuntos de múltiplos así:

M2 = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22,…} M3 = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30,…}

M2∩M3 = {0, 6, 12, 18,…} mcm ( 2,3) = 6

2. Se puede hallar el mcm de 12 y 30 por descomposición en factores primos así:

2 x 2 x 3 x 5 = 60

mcm (12, 30) =60

MAXIMO COMUN DIVISOR

El máximo común divisor de dos o más números naturales es el mayor de sus divisores

comunes. Se simboliza mcd.

Cuando el mcd entre dos o números es 1, se dice que son primos relativos.

Ejemplo:

Para hallar el mcd se puede usar el método de descomposición en factores primos. Eneste, se ubican los números y se divide solo entre los divisores comunes así.

El procedimiento

termina cuando la

última división tiene

cociente 1.


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mcd ( 12, 18, 30) = 2 x 3 = 6

SITUACION PROBLEMA

David viaja a Argentina cada 6 años y a Canadácada 4años. Si viajo a ambos países en el 2010, ¿en qué añovolverá David a viajar a ambos países?

Primero:

Se halla el mcd entre 6 y 4

2 x 2 x 3 = 12

Luego, se suma al año 2010, el mcm entre 6 y 4.

2010 + 12 = 2022

David volverá a Argentina y Canadá en el año 2022.

POTENCIACION

La potenciación es la operación que permite abreviar el producto de factores iguales.Los elementos de la potenciación son base, exponente, potencia indicada y potencia.

Ejemplo:

El producto 5 x 5 x 5 se puede abreviar por medio de una potencia así:

5 x 5 x 5 = 53 = 125

El factor que se repite es la base: 5 El número que indica cuantas veces se repite la base es el exponente: 3

La expresión 53 se llama potencia indicada. El resultado se llama potencia: 125.


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RADICACION

La radicación es la operación que permite conocer la base de una potenciación si seconoce el exponente y la potencia.

El símbolo de la radicación es el signo radical .

Los términos de la radicación son:

Índice

∛ 27 = 3 raízse lee raíz cubica de 27 es 3.

Cantidad subradical Ejemplos:

Observa la solución de las siguientes raíces.

83 = 2 porque 23 = 8.

25 = 5 porque 52 = 25.

LOGARITMACION

La logaritmación es una operación que permite hallar el exponente en una potenciaciónsi se conoce la base y la potencia. Un logaritmo se representa simbólicamente como Log.

Ejemplo:

¿A cuánto equivale el siguiente logaritmo?

Log2 64 = 6 porque 26 =64

EXPRESIONES CON SIGNOS DE AGRUPACIONPara resolver expresiones con operaciones combinadas primero se soluciona laradicación, la potenciación y la logaritmación. Luego, la multiplicación y la división, y porúltimo, la adición y la sustracción.

Ejemplo:

Resolver la expresión


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SITUACION PROBLEMA

Cuatro amigos organizaron una fiesta de integración. Cadauno de ellos invito a cuatro amigos, y cada uno de ellos, a suvez, invito a otros cuatro amigos. ¿cuantas personas irán a la

fiesta?

Primero

Como cuatro es el factor que se repite, primero se plantea unapotencia con exponente 3 que es el número de veces que serepite.

43

Luego, se resuelve la potencia.

43 = 4 x 4 x 4 = 64

Primeropotenciaciones yradicaciones

Luego,multiplicaciones ydivisiones.

Por último,adiciones ysustracciones.

45 ÷ 5 + 23 x 5 – 15 x 4 ÷ 6 – 18 ÷ 32 x 5

45 ÷ 5 + 8 x 5 – 15 x 2 ÷ 6 – 18 ÷ 9 x 5

9 + 40 – 30 ÷ 6 – 2 x 5

9 + 40 – 5 – 10

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GEOMETRIA

CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

Una circunferencia es el conjunto de puntos que están auna distancia fija de otro punto, llamadocentro. A estadistancia se le llama radio de la circunferencia.

Un círculo es el conjunto de puntos que están en la circunferencia y en su interior.

Ejemplo:

Daniel utilizo un compás para trazar unacircunferencia con centro en el punto p ycon radio de 2 cm.

Luis coloreo el borde y el interior de lacircunferencia. Este es el circulo con centro

en el punto p y radio de 2 cm.

ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA

Existen varios puntos, rectas y segmentos,

singulares en la circunferencia:

Centro, es el punto interior equidistante detodos los puntos de la circunferencia;

Radio. Es el segmento que une el centro de la

circunferencia con un punto cualquiera de la

misma. El radio mide la mitad del diámetro. El

radio es igual a la longitud de la circunferencia

http://es.wikipedia.org/wiki/Rectahttp://es.wikipedia.org/wiki/Rectahttp://es.wikipedia.org/wiki/Rectahttp://es.wikipedia.org/wiki/Segmentohttp://es.wikipedia.org/wiki/Segmentohttp://es.wikipedia.org/wiki/Segmentohttp://es.wikipedia.org/wiki/Centro_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Centro_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Radio_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Radio_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Radio_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Centro_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Segmentohttp://es.wikipedia.org/wiki/Recta


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dividida entre 2π.

Diámetro. El diámetro de una circunferencia es el segmento que une dos puntos de la

circunferencia y pasa por el centro. El diámetro mide el doble del radio. El diámetro es

igual a la longitud de la circunferencia dividida entre π;

Cuerda. La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. El

diámetro es la cuerda de longitud máxima.

Recta secante. Es la línea que corta a la circunferencia en dos puntos;

Recta tangente. Es la línea que toca a la circunferencia en un sólo punto;

Punto de Tangencia es el punto de contacto de la recta tangente con la

circunferencia;

Arco. El arco de la circunferencia es cada una de las partes en que una cuerda divide

a la circunferencia. Un arco de circunferencia se denota con el símbolo sobre las

letras de los puntos extremos del arco. Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un

diámetro

POLIGONOS

Un polígono es una figura plana cerrada formada por segmentos que solo se intersecanen sus extremos. Los elementos de un polígono son:

Lados: los segmentos que delimitan un polígono.

Vértices: los puntos donde se unen dos lados. Ángulos: los que forman el interior de dos lados. Diagonales: los segmentos que unen dos vértices no consecutivos.

http://es.wikipedia.org/wiki/Di%C3%A1metrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Di%C3%A1metrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Cuerda_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Cuerda_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Recta_secantehttp://es.wikipedia.org/wiki/Recta_secantehttp://es.wikipedia.org/wiki/Recta_tangentehttp://es.wikipedia.org/wiki/Recta_tangentehttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Punto_de_Tangencia&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Punto_de_Tangencia&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Arco_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Arco_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Semicircunferencia&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Semicircunferencia&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Semicircunferencia&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Arco_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Punto_de_Tangencia&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Recta_tangentehttp://es.wikipedia.org/wiki/Recta_secantehttp://es.wikipedia.org/wiki/Cuerda_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Di%C3%A1metro


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Ejemplo

Los vértices del polígono son los puntos A, B, C, D.

Los ángulos del polígono son ∢ ABC, ∢ BCD, ∢ CDA, ∢ DAB.

Los lados del polígono son los segmentos AB, BC, CD Y DA.

Las diagonales son los segmentos AC y BD.

CLASES DE POLÍGONOS

Según su número de lados, los polígonos se llaman:

CLASIFICACION DE POLIGONOS SEGÚN SU FORMA

Según su forma, los polígonos se clasifican en cóncavos y convexos.

Polígono cóncavo: tiene por lo menos un ángulo interior cuya medida es mayor que180°.

Polígono convexo: la medida de todos sus ángulos interiores es menor que 180°.


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Ejemplo:

1. El polígono MNOPQ es cóncavo yaque el ángulo interior ∢ MNO mide

más de 180°.

2. El polígono XYZW es convexo yaque todos sus ángulos interiores

miden menos de 180°.

CLASIFICACION DE POLIGONOS SEGÚN LA MEDIDA DE SUS LADOS YANGULOS

Los polígonos también se clasifican, según la medida de sus lados y la amplitud de susángulos, en regulares e irregulares.

Un polígono es regular si todos sus lados tienen la misma longitud y todos sus ángulosinternos tienen la misma amplitud. Si no se cumple alguna de estas condiciones, entonces

el polígono es irregular.

Ejemplo:

Observa los dos pentágonos


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TRIANGULOS

Un triángulo, en geometría, es la reunión de tres segmentos que determinan tres puntos

del plano y no colineales. Cada punto dado pertenece a dos segmentos exactamente. Los

puntos comunes a cada par de segmentos se denominan vértices del triángulo y los

segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos formanuno de los ángulos interiores del triángulo. Un triángulo es una figura estrictamente

convexa.

Un triángulo tiene tres ángulos interiores, tres ángulos exteriores, tres lados y tres vértices

entre otros elementos.

CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

Dos triángulos son congruentes si cumplen uno de los

siguientes criterios:

Lado – lado – lado (L – L – L ): los tres lados de un

triángulo son congruentes con los tres lados del otro

triangulo.

Lado – ángulo – lado (L – A - L): Si los dos lados de un triángulo y el ángulo

formado por estos son congruentes con dos lados de otro triangulo y el ángulo

formado por estos.

Ejemplo:

Para determinar si dos triángulos son congruentes se deben

cumplir los criterios:

L – L – L

AB = FG

BC = GH

AC = HF

L – A – L

AB = FG

∢ B = ∢ G

BC = GH

http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9rtice_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9rtice_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa


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TRAPEZOIDES:No tiene lados paralelos.

CLASES DE PARALELOGRAMOS

Los paralelogramos se clasifican en:

CUADRADOS: Polígonos de cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos.

RECTANGULOS:Tienen cuatro ángulos rectos.

ROMBOS:Tienen sus cuatro lados iguales.

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ROMBOIDES:Cada par de lados opuestos miden igual.

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