GUIA 3 PERIODO 3 MATEMATICAS GRADO 9° TEMA ESTADISTICA

COLEGIO GERARDO MOLINA RAMIREZ

PEI: “COMUNICÁNDONOS CON CALIDAD MEJORAMOS EN HUMANIDAD”

NIT 900201695-6 DANE 111001104264

SECRETARÍA DE EDUCACIÓN DEL DISTRITO

Aprobación según Resolución No. 2735 de Julio 4 de 2007

Carrera 143 No: 142 A-62 Ciudadela Cafam II, Localidad de Suba PBX: 5553835/36/37 www.educacionbogota.edu.co

GUIA 3 PERIODO 3 MATEMATICAS GRADO 9°

TEMA ESTADISTICA

En esta guía trabajaremos el concepto de medidas de dispersión de un conjunto

de datos, para esto debemos recordar los conceptos de medidas de tendencia

central; media Y mediana para un conjunto de datos sueltos y agrupados.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL.

La mayor parte de las serie de datos muestran una clara tendencia a agruparse

alrededor de un cierto punto central. Así pues, dada cualquier serie de datos

particular, por lo general es posible seleccionar algún valor o promedio típico para

describir toda la serie de datos. Este valor descriptivo típico es una medición de

tendencia central.

Ejemplo. La edad promedio de los estudiantes de grado noveno es 14 años.

Con esta afirmación no estoy diciendo que todos los estudiantes de grado noveno

tienen 14 años. Esto lo que significa es que si usted es de grado noveno tiene 14

años o está próxima a esta edad.

Otra forma de mostrar la información es escribir las edades de los 160 estudiantes

de noveno. ¿Cuál cree que es la mejor manera???

Este dato de 14 años es la media de todas las edades de los estudiantes de grado

noveno.

MEDIA

La media o promedio de un conjunto de datos es un valor que representa a todo el

conjunto de datos.

El símbolo de la media es x

Para calcular la media debemos sumar todos los datos y dividir esta suma entre el

número de datos.

http://www.educacionbogota.edu.co/

https://aprendiendoadministracion.com/los-datos-estadisticos-tipos-y-tecnicas-de-obtencion/



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La fórmula utilizada es n

xx

i

ix es la suma de los datos

n es la cantidad de datos

ejemplo 1.

Las edades de un grupo de estudiantes son

12 17 18 14 19 10 13 14 16 14 14 13 14 15

Determinar la media o edad promedio.

5.14

14

203

14

1514131414161413101914181712

x

x

x

n

xx

i

El denominador es 14 porque hay 14 datos.

Respuesta. La edad promedio de este grupo de estudiantes es 14.5 años.

Cuando son muchos datos los agrupamos en una distribución de frecuencia

y luego calculamos la media en los datos agrupados.

En este caso utilizamos la siguiente expresión para determinar la media.




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i

ii

f

fxx

sumaleeSe

clasecadadeabsolutafrecuencialaf

clasecadademediopuntooclasedemarcalaEsx

muestralademedialaesx

i

i

EJEMPLO 2.

Una fábrica de cilindros desea llevar un control de la longitud en centímetros de

sus cilindros fabricados. La siguiente es una lista de las medidas observadas en

un día de producción.

239, 254, 255, 248, 246, 249, 242, 250, 249, 244, 253, 248 250, 258, 252, 251,

250, 253, 247, 243, 245, 251, 247, 250 248, 250, 259, 249, 249, 250, 251, 253,

241, 251, 249, 252 250, 247, 251, 259, 250, 246, 252, 238, 251, 238, 236, 259

249, 257, 249, 247, 251, 246, 245, 243, 250, 249, 242, 238

Determine la media de la longitud en centímetro de los cilindros fabricados.

Solución

Primero elaboramos una distribución de frecuencias para estos datos. (se

recuerda paso a paso como determinar la distribución de frecuencias)

1. De acuerdo a la información anterior primero encontramos el rango R de la

muestra. R = Mayor valor – Menor valor

R = 259 - 238

R = 21

2. Determinar el número n de clases o grupos.




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Deseo hacer 7 clases.

3. Encontrar el tamaño m de las clases

.3

37

21

unidadestamañodesonclaseslas

m

n

Rm

4. Organizar las clases cuidando que no halla superposición y que todos los datos

queden incluidos en ellas

absolutafrecuenciafi

clase if

238 – 241

241 – 244

244 – 247

247 – 250

250 – 253

253 - 256

256 – 259

clase if

238 – 240.9

241 – 243.9

244 – 246.9

247 – 249.9

250 – 252.9

253 – 255.9

256 – 259




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5. Hacer el conteo para determinar las frecuencias absolutas if de cada

clase

239, 254, 255, 248, 246, 249, 242, 250, 249, 244, 253, 248 250, 258, 252,

251, 250, 253, 247, 243, 245, 251, 247, 250 248, 250, 259, 249, 249, 250,

251, 253, 241, 251, 249, 252 250, 247, 251, 259, 250, 246, 252, 238, 251,

238, 236, 259 249, 257, 249, 247, 251, 246, 245, 243, 250, 249, 242, 238

Esta es la tabla de distribución de frecuencia

absoluta.

Algunas interpretaciones

15 cilindros miden entre 247 y 250

centímetros.

5 cilindros miden entre 253 y 256 centímetros

Al observar la fórmula para la media nos damos cuenta que también necesitamos

las marcas de clase de cada intervalo de la distribución ix

La marca de clase es la mitad de cada clase para calcularla sumamos los dos

límites de la clase y lo dividimos en dos. ( en la segunda clase los limites

verdaderos son 241 y 244 entonces 5.2422

2442412

x )

A hora si completemos la tabla de distribución con marcas de clase

clase if

238 – 240.9 5

241 – 243.9 5

244 – 246.9 6

247 – 249.9 15

250 – 252.9 19

253 – 255.9 5

256 – 259 5

total 60




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Como ya hicimos la distribución de frecuencia ya podemos encontrar la media para datos

agrupados

i

ii

f

fxx

Por comodidad podemos hacer los cómputos que necesitamos para la media en la

misma tabla de distribución ii fx y if

if ii fx

clase if ix

238 – 240.9 5 239.5

241 – 243.9 5 242.5

244 – 246.9 6 245.5

247 – 249.9 15 248.5

250 – 252.9 19 251.5

253 – 255.9 5 254.5

256 – 259 5 257.5

total 60

clase if ix

ii fx

238 – 240.9 5 239.5 1197,5

241 – 243.9 5 242.5 1212,5

244 – 246.9 6 245.5 1473

247 – 249.9 15 248.5 3727,5

250 – 252.9 19 251.5 4778,5

253 – 255.9 5 254.5 1272,5

256 – 259 5 257.5 1287,5

total 60 14949




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Luego 15,24960

14949

i

ii

f

fxx

RESPUESTA la media en la medida de los tubos construidos es de 249,15 cm

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Las medidas de dispersión son valores que miden la variabilidad de los datos, podría decirse que es

una medida de que tan alejados se distribuyen los datos alrededor de una medida de tendencia

central (en este caso de la media).

Las medidas de dispersión más utilizadas son: Rango, varianza, desviación estándar y el coeficiente

de variación.

RANGO

Es la diferencia entre el mayor y el menor valor de los datos

valorMenorvalormayorR

EJEMPLO 3

En el ejemplo anterior determinar el rango en la longitud de los cilindros fabricados.

R = Mayor valor – Menor valor

R = 259 - 238

R = 21

La mayor variación entre las longitudes de los cilindros fabricados es de 21 cm

VARIANZA

Antes de hablar de la varianza revisemos el concepto de desviación a la media.

La desviación de un dato a la media indica que tan distante o desviado está el

dato a la media.




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Para calcularlo hallamos la diferencia xxi donde ix representa el dato y

x La media de la muestra. (esta desviación también puede ser negativa.)

La VARIANZA es un promedio de los cuadrados de las desviaciones a la

media. Su símbolo es s2.

1

2

2

n

xxs

i

datosdecantidadn

medialaaesdesviaciondecuadradosdesumaxx

esdesviacionlasdecuadradosxx

medialaaesdesviacionxx

i

i

i

2

2

DESVIACION ESTANDAR S

La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza. La ventaja de la desviación

estándar es que las unidades de medidas son las mismas que la de los datos.

1

2

2

n

xxss

i

Coeficiente de Variación:

Es un estadístico de dispersión que tiene la ventaja de que no lleva asociada ninguna unidad, por lo que nos permitirá decir entre dos muestras, cual es la que presenta mayor dispersión. La denotaremos por C.V.

mediax

daresdesviaciónsx

sVC tan.




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NOTA.

A mayores valores de dispersión (rango, varianza, desviación estándar y

coeficiente de variación) significa que la dispersión es mayor lo que genera

desconfianza de la muestra.

Estas medidas de dispersión por lo general se utilizan para comparar dos o más

muestras.

EJEMPLO 4

Las edades de un grupo de estudiantes son

12 17 18 14 19 10 13 14 16 14 14 13 14 15

Determinar las cuatro medidas de dispersión; rango, desviación, varianza, desviación

estándar y coeficiente de variación

Solución.

a. Rango R = mayor valor - menor valor

R = 19 – 10

R = 9

El rango de la muestra son 9 años. O la mayor variación entre las edades es de 9

años.

b. Varianza. Para la varianza necesitamos la media de la muestra la cual se

calculó en el ejemplo 1

5.14

14

1514131414161413101914181712

x

x

n

xx

i

Para encontrar los datos de la varianza es más fácil elaborar una tabla.

Recuerde 5,14x




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dato Desviación a la media Cuadrado de la

desviación

ix xxi 2)( xxi

12 -2,5 6,25

17 2,5 6,25

18 3,5 12,25

14 -0,5 0,25

19 4,5 20,25

10 -4,5 20,25

13 -1,5 2,25

14 -0,5 0,25

16 1,5 2,25

14 -0,5 0.25

14 -0,5 0,25

13 -1,5 2,25

14 -0,5 0,25

15 0,5 0,25

sumas 0 73,5

65,5

13

5,73

114

5,73

1

2

2

2

2

2

s

s

s

n

xxs

i

14

5,732

n

xxquetenemostablalade i




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c. DESVIACIÓN ESTANDAR recordemos que la desviación

estándar es la raíz cuadrada de la varianza

37,265,5

1

2

2

n

xxss

i

d. COEFICIENTE DE VARIACIÓN

mediax

daresdesviaciónsx

sVC tan.

16.05.14

37.2.

x

sVC

Ahora damos un ejemplo donde se hace necesario utilizar una distribución de

frecuencias por la gran cantidad de datos que se manejan.

EJEMPLO 5

Una fábrica de cilindros desea llevar un control de la longitud en centímetros de

sus cilindros fabricados. La siguiente es una lista de las medidas observadas en

un día de producción.

239, 254, 255, 248, 246, 249, 242, 250, 249, 244, 253, 248 250, 258, 252, 251,

250, 253, 247, 243, 245, 251, 247, 250 248, 250, 259, 249, 249, 250, 251, 253,

241, 251, 249, 252 250, 247, 251, 259, 250, 246, 252, 238, 251, 238, 236, 259

249, 257, 249, 247, 251, 246, 245, 243, 250, 249, 242, 238




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Determinar las cuatro medidas de dispersión; rango, desviación, varianza, desviación

estándar y coeficiente de variación

SOLUCION

Como son muchos datos hacemos una distribución de frecuencias y lo trabajamos

como datos agrupados. Las formulas cambian un poquito veamos como

DATOS SUELTOS DATOS AGRUPADOS

MEDIA

n

xx

i

i

ii

f

fxx

RANGO valorMenorvalormayorR

VARIANZA

1

2

2

n

xxs

i

1

2

2

n

xxfs

ii

DESVIACIÓN

ESTANDAR 2ss

2ss

COEFICIENTE

DE

VARIACIÓN x

sVC .

x

sVC .

Ahora si resolvemos nuestro ejercicio.

Primero hacemos la distribución de frecuencia. Ya se hizo en el ejemplo 2

clase if ix

238 – 240.9 5 239.5

241 – 243.9 5 242.5

244 – 246.9 6 245.5

247 – 249.9 15 248.5

250 – 252.9 19 251.5

253 – 255.9 5 254.5

256 – 259 5 257.5

total 60

A esta tabla agregamos las

columnas necesarias para

encontrar todas las medidas

de dispersión




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Del resultado del ejemplo 2 tenemos que 15,249x

Rango R = Mayor valor – Menor valor

R = 259 - 238

R = 21

VARIANZA

21,23

59

65.1369

160

65,1369

1

2

2

n

xxfs

ii

clase if ix ii fx xxi

2)( xxi 2)( xxf ii

238 – 240.9 5 239.5 1197,5 -9,65 93,1225 465,6125

241 – 243.9 5 242.5 1212,5 -6,65 44,2225 221,1125

244 – 246.9 6 245.5 1473 -3,65 13,3225 79,935

247 – 249.9 15 248.5 3727,5 -0,65 0,4225 6,3375

250 – 252.9 19 251.5 4778,5 2,35 5,5225 104,9275

253 – 255.9 5 254.5 1272,5 5,35 28,6225 143,1125

256 – 259 5 257.5 1287,5 8,35 69,7225 348,6125

total 60 14949 1369,65




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DESVIACIÓN ESTANDAR COEFICIENTE DE VARIACIÓN.

019,0.

15,249

81,4.

.

VC

VC

x

sVC

ACTIVIDAD

En los ejercicios 1 y 2 determinar las cuatro medidas de dispersión; rango,

desviación, varianza, desviación estándar y coeficiente de variación utilizando las

fórmulas para datos sueltos.

1. Coronavirus en Colombia: 54.931 personas contagiadas y

1.801 muertes El últ imo informe del Minister io de Salud entregado el martes 16 junio confirmó 1.868 casos nuevos, 75 fallecidos más para un total de 1.801, mientras que 20.366 pacientes se han recuperado.

Bogotá se mantiene como la ciudad más afectada por el COV ID-19.

A continuación, se da un reporte de contagios por regiones

81,4

21,23

2

s

S

ss




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Bogotá: 16.896

Atlántico: 11.372

Valle del Cauca: 6.287

Bolívar: 5.423

Nariño: 2.205

Antioquia: 2.270

Amazonas: 2.171

Cundinamarca: 1.759

Meta: 1.027

Magdalena: 996

Chocó: 823

Cesar: 560

Tolima: 407

Risaralda: 325

Córdoba: 303

Huila: 281

Santander: 267

Boyacá: 256

Sucre: 272

Caldas: 205

Cauca: 197

Norte de Santander: 165

La Guajira: 148

Quindío: 129

Arauca: 46

Casanare: 38

Caquetá: 28

Vaupés: 27

San Andrés

y Providencia: 20

Putumayo: 14

Guainía: 7

Guaviare: 7

Vichada: 1




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2. Los siguientes valores corresponden a los ing resos que dejaron de

percibir 12 famil ias por consecuencias del covid 19

980000 750000 980000 1200000 870000 1000000

560000 650000 750000 850000 980000 980000

Para los ejercicios 3, 4 y 5 elabore en cada caso una distribución

de frecuencias y encuentre las cuatro medidas de dispersión

como datos agrupados (rango, varianza, desviación estándar y

coeficiente de variación).

3. Las calif icaciones de 50 alumnos en Matemáticas han sido las

siguientes:

5, 2, 4, 9, 7, 4, 5, 6, 5, 7, 7, 5, 5, 2, 10, 5, 6, 5, 4, 5, 8, 8, 4, 0, 8, 4, 8,

6, 6, 3, 6, 7, 6, 6, 7, 6, 7, 3, 5, 6, 9, 6, 1, 4, 6, 3, 5, 5, 6, 7

Completar la tabla de distribución de frecuencia:

Clases

(notas) if ix

0 – 1.99

2 – 3.99

4 – 5.99

6 – 7.99

8 – 10

4. En la siguiente tabla se presentan los pesos de 40 estudiantes de

la Universidad de Panamá, con una aproximación de una libra

138 164 150 132 144 125 149 157

146 164 140 147 136 148 152 144

168 126 138 176 163 118 154 165

146 173 142 147 135 153 140 135

161 145 135 142 150 156 145 126


http://www.monografias.com/trabajos13/admuniv/admuniv.shtml

http://www.monografias.com/trabajos10/lepan/lepan.shtml



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5. Una encuesta entre un grupo de madres-solteras, para analizar los problemas económicos que enfrentan, en determinada comunidad; arrojó los siguientes resultados acerca del número de niños en el hogar.

1 4 2 3 5 3 5 3 3 5

1 1 2 1 4 1 2 1 4 1

2 1 1 2 1 2 3 2 3 3

3 1 3 4 1 1 3 5 4 2

2 5 1 4 2 3 1 2 5 1


http://www.monografias.com/trabajos12/recoldat/recoldat.shtml#quees

http://www.monografias.com/trabajos14/dinamica-grupos/dinamica-grupos.shtml

http://www.monografias.com/trabajos15/calidad-serv/calidad-serv.shtml#PLANT

http://www.monografias.com/trabajos910/comunidades-de-hombres/comunidades-de-hombres.shtml

http://www.monografias.com/trabajos16/espacio-tiempo/espacio-tiempo.shtml

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