Embed Size (px)
Citation preview
Ligjeumlrata 12Analiza dinamike
Artane Rizvanolli MSc
Statistika peumlr ekonomiks dhe biznes
PERMBAJTJA
Kuptimi dhe metodat e analizeumls dinamike Metoda grafike Metoda e mesatareumls rreumlshqiteumlse Metoda e leumlkundjeve stinore Metodat e trendit
Trendi linear
Trendi i parabolleumls
Trendi eksponencial
Peumlrcaktimi i llojeve teuml trendit peumlrmes gabimeve standarde
KUPTIMI DHE METODAT E ANALIZEumlS DINAMIKE
Cto dukuri neuml boteuml (zhvillim) paraqitet si njeuml variacion qeuml ndryshon sipas koheumls
Peumlrcjellja dinamike e dukurive do te thoteuml shkalla e ndryshimeve cileumlsore sasiore dhe strukturore teuml tyre neuml njeuml periudhe kohore
Metodat dinamuke sheumlrbejneuml peumlr parashikimin e tendenceumls seuml ecuriseuml neuml teuml ardhmeumln
Tendenca eshte drejtimi i levizjes seuml dukuriseuml gjateuml njeuml periudhe teuml gjateuml kohore
Variacionet qeuml peumlrseumlriten dukuri e shpeshteuml neuml hulumtime
KUPTIMI DHE METODAT E ANALIZEumlS DINAMIKE
Peumlrdorimi i metodave teuml analizeumls dinamike beumlhet sipas dy periudhave Periudha njevjeqare ku analizohet qarkullimi vjetor teuml
hyrat vjetore teuml kompanive etj dhe
Periudha meuml teuml shkurta kur analizohet afarizmi i kompanive
Neuml analizeumln statistikore peumlrdoren keumlto metoda
bull Metoda grafike
bull Metoda e mesatareumls rreshqiteumlse
bull Metoda e leumlkundjeve stinore dhe
bull Metodat e trendit
METODA GRAFIKE
Metodeuml meuml e thjeshteuml e analizeumls dinamike Paraqitet tendenca e zhvillimit teuml dukurive
peumlr njeuml periudheuml teuml caktuar kohore Vijat e grafikut teuml fituara me keumlteuml metodeuml
sheumlrbejneuml veteumlm si pikeuml orientuese Aplikimi i keumlsaj metode neuml disa raste jep
informacione teuml mjaftueshme por nuk mund teuml beumlhen analiza teuml detalizuara
METODA E MESATARES RRESHQITESE
Peumlrdoret peumlr zbutjen e shmangieve dhe variacioneve
Shqyrtohen periudhat e shkurta (mujore) dhe ato meuml teuml gjata (vjetore)
Peumlrdoreuml mesataren aritmetike peumlr serineuml e dheumlneuml
Numri konstant i madheumlsive duhet teuml jeteuml meuml seuml paku 3 (por duhet teuml jeteuml tek)
METODA E MESATARES RRESHQITESE
Analiza me Tri teuml dheumlna
Analiza me Peseuml teuml dheumlna
3321
1
xxxm
3432
2
xxxm
3543
3
xxxm
354321
1
xxxxxm
365432
2
xxxxxm
376543
3
xxxxxm
Shembull ndash analiza vjetore
METODA E MESATARES RRESHQITESE
Seria e te dhenave(Xi) me 3 te dhena me 5 te dhena
1980 55 - -1981 58 563 -1982 56 583 5861983 61 60 5961984 63 613 6161985 60 637 6381986 68 65 6541987 67 68 6761988 69 70 7121989 74 737 7381990 78 777 -1991 81 - -
Nivelet e mesatares rreshqiteseVitet
METODA E MESATARES RRESHQITESE
Me tri teuml dheumlna
Me peseuml teuml dheumlna
E keumlshtu me rradheuml deri me m8
3563
565855
3321
1
xxx
m
3583
615658
3432
2
xxx
m
6583
6361565855
354321
1
xxxxx
m
6593
6063615658
365432
2
xxxxx
m
METODA E MESATARES RRESHQITESE
50
55
60
65
70
75
80
85
1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991
Seria e te dhenave
me 3 te dhena
me 5 te dhena
METODA E MESATARES RRESHQITESE
E njejta procedure aplikohet neuml rastet kur nevoitet peumlrcjellja e trendeve sipas muajve ku analizohet afarizmi i kompanive
Pra peumlrmes mesatares rreumlshqiteumlse peumlrdoret neuml analizat teuml ndryshme teuml dukurive ekonomike psh teuml ardhurat kombeumltare etj
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
Peumlr ecurineuml dhe tendenceumln e dukurive peumlrdoret edhe Metoda e Leumlkundjeve Stinore (dmth mirret leumlvizjet sezonale teuml dukurive)
Tendencat e dukurive mund teuml analizohen sipas viteve tre-mujorve muajve javeumlve etj
Produktet dhe sheumlrbimet qeuml mund teuml analizohen janeuml produktet bujqeumlsore vesheumlmbathjet punimet ndeumlrtimore turizmi etj
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
1986 1987 1988Janar 108 102 120 330 1100 880Shurt 102 100 115 317 1057 845Mars 113 109 135 357 1190 952Prill 124 119 160 403 1343 1075Maj 155 135 175 465 1550 1240
Qershor 164 138 171 473 1577 1262Korrik 154 140 162 456 1520 1216Gusht 141 132 134 407 1357 1086
Shtator 118 114 112 344 1147 917Tetor 112 107 110 329 1097 877
Nentor 90 100 106 296 987 789Dhjetor 95 105 122 322 1073 859Gjithsejt 1476 1401 1622 4499 14997
Muajt Seria e te dhenave sipas viteve Gjithsejt Mesatarja mujore
Indekset stinore
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
Mesatarja mujore e tri viteve llogaritet keumlshtu
Peumlr muajin janar
Peumlr muajin dhjetor
n
xx i
i ku i=1-12
1103
1201021081
x
21073
1221959512
x
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
Peumlr llogaritjen e indeksit stinoreuml duhet teuml llogaritet mesatarja e peumlrgjishme mujore
Ndeumlrsa indeksi stinore llogariteumln keumlshtu
9712412
74991
n
xx i
p
100p
isi x
xl ku i=1-12
08810097124
01101001
1 p
s x
xl
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
700
800
900
1000
1100
1200
1300
Janar Shurt Mars Prill Maj Qershor Korrik Gusht Shtator Tetor Nentor Dhjetor
Inde
kset
stino
re
METODAT E TRENDIT
Fjala trend neuml anglisht do teuml thot diccedilka qeuml eumlshteuml neuml leumlvizje
Trendi paraqet analizeumln e ndrushimeve teuml dukurive neuml periudha teuml gjata kohore
Me aplikimin e analizeumls dinamike tentohet teuml eliminohen apo teuml zbuten ndryshimet apo variacionet e dukurive teuml analizuara
Teuml dheumlnat e mbledhura interpolohen dhe zavendeumlsohen meuml seri teuml reja teuml rregulluara
METODAT E TRENDIT
Zgjedhja e funksionit matematikor teuml trendit bazohet neuml keumlto forma kryesore
Drejtvijezore ne rritje
Drejtvijezore ne renie
Vijelakore ne rritje
Vijelakore ne renie
Levizje me oscilime
Pa drejtime te caktuara
TRENDI LINEAR
Vareumlsisht nga rezultatet e diagramit nga teuml dheumlnat e serive sipas periudhave kohore caktohet lloji i funksionit matematikoreuml
Neumlse supozojme trendin linear ateumlhereuml funksioni matematikoreuml eumlshteuml
x ndash paraqet variableumln e pavarur (koheumln) y ndash paraqet funksionin (vlereumln e trendit) e cila analizoheta ndash vlera fillestare e trendit (kur x=0)b ndash koeficienti i rritjesreumlnies peumlr periudheumln e caktuar kohore
xbay
TRENDI LINEAR Peumlrdorimi i metodeumls seuml
katroreumlve meuml teuml vegjeumll me qeumlllim teuml fitimit teuml linearitetit meuml teuml afeumlrt
Shuma e shmangjeve teuml teuml dheumlnave nga vija e trendit duhet teuml jeteuml zero
Shuma e shmangjeve neuml katror teuml teuml dheumlnave nga vija e trendit duhet teuml jeteuml minimum
1 2 3 4 5
ab
a
a+5b
b
b
b
b
b
xbay y
x
0 ci yy
min2 ci yy
TRENDI LINEAR Pas rregullimit teuml
ekuacioneve teuml katroreumlve meuml teuml vegjeumll fitojmeuml dy ekuacione
Nga keumlto ekuacioone fitohen vlerat peumlr a dhe b
Meuml mireuml do teuml shihet kjo neuml shembulli e ardhsheumlm1 2 3 4 5
ab
a
a+5b
b
b
b
b
b
xbay y
x
xbany
2xbxaxy
TRENDI LINEAR
1979 12 0 0 00 91561980 10 1 1 100 132561981 18 2 4 360 173561982 20 3 9 600 214561983 30 4 16 1200 255561984 24 5 25 1200 296561985 38 6 36 2280 337561986 32 7 49 2240 378561987 46 8 64 3680 41956
Shuma 230 36 204 1166 230004
VitiShenja e
periudhes (x )
Produkti (xy )
Trendi (yc )Vlera e
investimeve (y )
xx2
Shembulli ndash Investimet neuml Kosoveuml gjateuml viteve
TRENDI LINEAR
Me aplikimin e akuacioneve teuml fituara meuml larteuml i llogarisim vlerat peumlr a dhe b
a=9156 dhe b=41 Neumlse keumlrkohet teuml llogaritet (prognozohen)
investimet peumlr vitin 1994 ateumlhereuml x=13
yc=9156+4113=62456
TRENDI LINEAR
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987
Vlera e investimeve (y) Trendi (yc)
TRENDI LINEAR
Metoda e trendit linear mund teuml thjeshteumlsohet duke e zhvendosur shenjeumln e periudheumls zero neuml mes teuml seriseuml seuml teuml dheumlnave
Poashtu llogaritja e trendit linear peumlrveq me numeumlr tek teuml teuml dheumlnave llogaritet edhe te seriteuml kohore me numeumlr ccedilift teuml dheumlnash
Gjithashtu peumlrmes metodeumls seuml trendit linear fitohen teuml dheumlna teuml rregullta edhe neuml rastet kur neuml serineuml mungon ndonje e dheumlneuml
TRENDI I PARABOLLES
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml leumlvizje disharmonike neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml i shkalleumls seuml dyteuml (neuml katror)
ose pas operacioneve matematikore
2xcxbay
4322
32
2
xcxbxayx
xcxbxayx
xcxbany
TRENDI I PARABOLLES
1978 31 -4 16 -64 256 -124 4960 270981979 46 -3 9 -27 81 -138 4140 501511980 61 -2 4 -8 16 -122 2440 671841981 74 -1 1 -1 1 -74 740 781971982 98 0 0 0 0 0 00 831901983 86 1 1 1 1 86 860 821631984 65 2 4 8 16 130 2600 751161985 61 3 9 27 81 183 5490 620491986 46 4 16 64 256 184 7360 42962
Shuma 568 0 60 0 708 125 2859 56811
VitiSiperfaqja e mbjellur (y )
Shenja e periudhes
(x )x x2y Trendi (yc )x x xy
Shembulli ndash mbjellja e fidaneve gjateuml viteve
x2 x3 x4 x2y
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr ab dhe c
TRENDI I PARABOLLES
0
20
40
60
80
100
120
1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986
Siperfaqja e mbjellur (y) Trendi (yc)
TRENDI EKSPONENCIAL
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml njeuml riteumlm tp njejteuml neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml eksponencial
ose pas operacioneve logaritmike fitojmeuml ekuacionet
xnmy
nxmxyx
nxmny
logloglog
logloglog2
TRENDI EKSPONENCIAL
1984 42 16 -3 9 -487 164 43651985 65 18 -2 4 -363 178 60541986 80 19 -1 1 -190 192 83971987 120 21 0 0 000 207 116461988 165 22 1 1 222 221 161531989 210 23 2 4 464 235 224051990 320 25 3 9 752 249 31075
Shuma 1002 0 28 398 1446 100094
Trendi (yc )logyVitiTe dhenat
(y )
Shenja e periudhes
(x )x x logy logy c
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr m dhe n
x2
TRENDI EKSPONENCIAL
0
50
100
150
200
250
300
350
1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
Te dhenat (y) Trendi (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Llojet e trendeve zakonisht nuk mung teuml
peumlrcaktohen lehteuml Deri tani eumlshteuml peumlrdoreuml meumlnyra vizuele
tendenceumls seuml dukurive neuml peumlrcaktimin e trendit Meumlnyra meuml e mireuml eumlshteuml peumlrmes gabimeve
standarde ku trendi meuml i mireuml peumlrcaktohet neuml bazeuml teuml gabimit meuml teuml vogeumll
n
yy ciyc
2
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
1976 36 -9 382 413 4271977 34 -8 422 443 4481978 44 -7 460 472 4701979 56 -6 498 501 4921980 58 -5 534 531 5161981 60 -4 569 560 5411982 64 -3 603 590 5671983 62 -2 635 619 5941984 70 -1 666 648 6231985 78 0 696 678 6531986 76 1 725 707 6851987 74 2 753 737 7181988 66 3 779 766 7531989 72 4 804 795 7891990 76 5 828 825 8271991 82 6 851 854 8671992 88 7 872 884 9091993 94 8 892 913 9531994 98 9 911 942 999n=19 1288 0 12880 12878 12831
Trendi Parabolloik
(yc )
Trendi Linear (yc )
Trendi Eksponencial
(yc )Viti
Te dhenat (y )
Periudha (x )
0
20
40
60
80
100
120
76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94
Te dhenat (y) Trendi Parabolloik (yc) Trendi Linear (yc) Trendi Eksponencial (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Gabimet standarde te trendi linear
Gabimet standarde te trendi i parabolleumls
Gabimet standarde te trendi eksponencial
Neuml bazeuml teuml gabimeve teuml llogaritura trendi i parabolleumls eumlshteuml meuml i peumlrshtatsheumlm peumlr rregullimin e teuml dheumlnave
8365
2
)(
n
yy cilyc
5995
2
)(
n
yy cipyc
7996
2
)(
n
yy cieyc
PERMBAJTJA
Kuptimi dhe metodat e analizeumls dinamike Metoda grafike Metoda e mesatareumls rreumlshqiteumlse Metoda e leumlkundjeve stinore Metodat e trendit
Trendi linear
Trendi i parabolleumls
Trendi eksponencial
Peumlrcaktimi i llojeve teuml trendit peumlrmes gabimeve standarde
KUPTIMI DHE METODAT E ANALIZEumlS DINAMIKE
Cto dukuri neuml boteuml (zhvillim) paraqitet si njeuml variacion qeuml ndryshon sipas koheumls
Peumlrcjellja dinamike e dukurive do te thoteuml shkalla e ndryshimeve cileumlsore sasiore dhe strukturore teuml tyre neuml njeuml periudhe kohore
Metodat dinamuke sheumlrbejneuml peumlr parashikimin e tendenceumls seuml ecuriseuml neuml teuml ardhmeumln
Tendenca eshte drejtimi i levizjes seuml dukuriseuml gjateuml njeuml periudhe teuml gjateuml kohore
Variacionet qeuml peumlrseumlriten dukuri e shpeshteuml neuml hulumtime
KUPTIMI DHE METODAT E ANALIZEumlS DINAMIKE
Peumlrdorimi i metodave teuml analizeumls dinamike beumlhet sipas dy periudhave Periudha njevjeqare ku analizohet qarkullimi vjetor teuml
hyrat vjetore teuml kompanive etj dhe
Periudha meuml teuml shkurta kur analizohet afarizmi i kompanive
Neuml analizeumln statistikore peumlrdoren keumlto metoda
bull Metoda grafike
bull Metoda e mesatareumls rreshqiteumlse
bull Metoda e leumlkundjeve stinore dhe
bull Metodat e trendit
METODA GRAFIKE
Metodeuml meuml e thjeshteuml e analizeumls dinamike Paraqitet tendenca e zhvillimit teuml dukurive
peumlr njeuml periudheuml teuml caktuar kohore Vijat e grafikut teuml fituara me keumlteuml metodeuml
sheumlrbejneuml veteumlm si pikeuml orientuese Aplikimi i keumlsaj metode neuml disa raste jep
informacione teuml mjaftueshme por nuk mund teuml beumlhen analiza teuml detalizuara
METODA E MESATARES RRESHQITESE
Peumlrdoret peumlr zbutjen e shmangieve dhe variacioneve
Shqyrtohen periudhat e shkurta (mujore) dhe ato meuml teuml gjata (vjetore)
Peumlrdoreuml mesataren aritmetike peumlr serineuml e dheumlneuml
Numri konstant i madheumlsive duhet teuml jeteuml meuml seuml paku 3 (por duhet teuml jeteuml tek)
METODA E MESATARES RRESHQITESE
Analiza me Tri teuml dheumlna
Analiza me Peseuml teuml dheumlna
3321
1
xxxm
3432
2
xxxm
3543
3
xxxm
354321
1
xxxxxm
365432
2
xxxxxm
376543
3
xxxxxm
Shembull ndash analiza vjetore
METODA E MESATARES RRESHQITESE
Seria e te dhenave(Xi) me 3 te dhena me 5 te dhena
1980 55 - -1981 58 563 -1982 56 583 5861983 61 60 5961984 63 613 6161985 60 637 6381986 68 65 6541987 67 68 6761988 69 70 7121989 74 737 7381990 78 777 -1991 81 - -
Nivelet e mesatares rreshqiteseVitet
METODA E MESATARES RRESHQITESE
Me tri teuml dheumlna
Me peseuml teuml dheumlna
E keumlshtu me rradheuml deri me m8
3563
565855
3321
1
xxx
m
3583
615658
3432
2
xxx
m
6583
6361565855
354321
1
xxxxx
m
6593
6063615658
365432
2
xxxxx
m
METODA E MESATARES RRESHQITESE
50
55
60
65
70
75
80
85
1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991
Seria e te dhenave
me 3 te dhena
me 5 te dhena
METODA E MESATARES RRESHQITESE
E njejta procedure aplikohet neuml rastet kur nevoitet peumlrcjellja e trendeve sipas muajve ku analizohet afarizmi i kompanive
Pra peumlrmes mesatares rreumlshqiteumlse peumlrdoret neuml analizat teuml ndryshme teuml dukurive ekonomike psh teuml ardhurat kombeumltare etj
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
Peumlr ecurineuml dhe tendenceumln e dukurive peumlrdoret edhe Metoda e Leumlkundjeve Stinore (dmth mirret leumlvizjet sezonale teuml dukurive)
Tendencat e dukurive mund teuml analizohen sipas viteve tre-mujorve muajve javeumlve etj
Produktet dhe sheumlrbimet qeuml mund teuml analizohen janeuml produktet bujqeumlsore vesheumlmbathjet punimet ndeumlrtimore turizmi etj
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
1986 1987 1988Janar 108 102 120 330 1100 880Shurt 102 100 115 317 1057 845Mars 113 109 135 357 1190 952Prill 124 119 160 403 1343 1075Maj 155 135 175 465 1550 1240
Qershor 164 138 171 473 1577 1262Korrik 154 140 162 456 1520 1216Gusht 141 132 134 407 1357 1086
Shtator 118 114 112 344 1147 917Tetor 112 107 110 329 1097 877
Nentor 90 100 106 296 987 789Dhjetor 95 105 122 322 1073 859Gjithsejt 1476 1401 1622 4499 14997
Muajt Seria e te dhenave sipas viteve Gjithsejt Mesatarja mujore
Indekset stinore
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
Mesatarja mujore e tri viteve llogaritet keumlshtu
Peumlr muajin janar
Peumlr muajin dhjetor
n
xx i
i ku i=1-12
1103
1201021081
x
21073
1221959512
x
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
Peumlr llogaritjen e indeksit stinoreuml duhet teuml llogaritet mesatarja e peumlrgjishme mujore
Ndeumlrsa indeksi stinore llogariteumln keumlshtu
9712412
74991
n
xx i
p
100p
isi x
xl ku i=1-12
08810097124
01101001
1 p
s x
xl
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
700
800
900
1000
1100
1200
1300
Janar Shurt Mars Prill Maj Qershor Korrik Gusht Shtator Tetor Nentor Dhjetor
Inde
kset
stino
re
METODAT E TRENDIT
Fjala trend neuml anglisht do teuml thot diccedilka qeuml eumlshteuml neuml leumlvizje
Trendi paraqet analizeumln e ndrushimeve teuml dukurive neuml periudha teuml gjata kohore
Me aplikimin e analizeumls dinamike tentohet teuml eliminohen apo teuml zbuten ndryshimet apo variacionet e dukurive teuml analizuara
Teuml dheumlnat e mbledhura interpolohen dhe zavendeumlsohen meuml seri teuml reja teuml rregulluara
METODAT E TRENDIT
Zgjedhja e funksionit matematikor teuml trendit bazohet neuml keumlto forma kryesore
Drejtvijezore ne rritje
Drejtvijezore ne renie
Vijelakore ne rritje
Vijelakore ne renie
Levizje me oscilime
Pa drejtime te caktuara
TRENDI LINEAR
Vareumlsisht nga rezultatet e diagramit nga teuml dheumlnat e serive sipas periudhave kohore caktohet lloji i funksionit matematikoreuml
Neumlse supozojme trendin linear ateumlhereuml funksioni matematikoreuml eumlshteuml
x ndash paraqet variableumln e pavarur (koheumln) y ndash paraqet funksionin (vlereumln e trendit) e cila analizoheta ndash vlera fillestare e trendit (kur x=0)b ndash koeficienti i rritjesreumlnies peumlr periudheumln e caktuar kohore
xbay
TRENDI LINEAR Peumlrdorimi i metodeumls seuml
katroreumlve meuml teuml vegjeumll me qeumlllim teuml fitimit teuml linearitetit meuml teuml afeumlrt
Shuma e shmangjeve teuml teuml dheumlnave nga vija e trendit duhet teuml jeteuml zero
Shuma e shmangjeve neuml katror teuml teuml dheumlnave nga vija e trendit duhet teuml jeteuml minimum
1 2 3 4 5
ab
a
a+5b
b
b
b
b
b
xbay y
x
0 ci yy
min2 ci yy
TRENDI LINEAR Pas rregullimit teuml
ekuacioneve teuml katroreumlve meuml teuml vegjeumll fitojmeuml dy ekuacione
Nga keumlto ekuacioone fitohen vlerat peumlr a dhe b
Meuml mireuml do teuml shihet kjo neuml shembulli e ardhsheumlm1 2 3 4 5
ab
a
a+5b
b
b
b
b
b
xbay y
x
xbany
2xbxaxy
TRENDI LINEAR
1979 12 0 0 00 91561980 10 1 1 100 132561981 18 2 4 360 173561982 20 3 9 600 214561983 30 4 16 1200 255561984 24 5 25 1200 296561985 38 6 36 2280 337561986 32 7 49 2240 378561987 46 8 64 3680 41956
Shuma 230 36 204 1166 230004
VitiShenja e
periudhes (x )
Produkti (xy )
Trendi (yc )Vlera e
investimeve (y )
xx2
Shembulli ndash Investimet neuml Kosoveuml gjateuml viteve
TRENDI LINEAR
Me aplikimin e akuacioneve teuml fituara meuml larteuml i llogarisim vlerat peumlr a dhe b
a=9156 dhe b=41 Neumlse keumlrkohet teuml llogaritet (prognozohen)
investimet peumlr vitin 1994 ateumlhereuml x=13
yc=9156+4113=62456
TRENDI LINEAR
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987
Vlera e investimeve (y) Trendi (yc)
TRENDI LINEAR
Metoda e trendit linear mund teuml thjeshteumlsohet duke e zhvendosur shenjeumln e periudheumls zero neuml mes teuml seriseuml seuml teuml dheumlnave
Poashtu llogaritja e trendit linear peumlrveq me numeumlr tek teuml teuml dheumlnave llogaritet edhe te seriteuml kohore me numeumlr ccedilift teuml dheumlnash
Gjithashtu peumlrmes metodeumls seuml trendit linear fitohen teuml dheumlna teuml rregullta edhe neuml rastet kur neuml serineuml mungon ndonje e dheumlneuml
TRENDI I PARABOLLES
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml leumlvizje disharmonike neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml i shkalleumls seuml dyteuml (neuml katror)
ose pas operacioneve matematikore
2xcxbay
4322
32
2
xcxbxayx
xcxbxayx
xcxbany
TRENDI I PARABOLLES
1978 31 -4 16 -64 256 -124 4960 270981979 46 -3 9 -27 81 -138 4140 501511980 61 -2 4 -8 16 -122 2440 671841981 74 -1 1 -1 1 -74 740 781971982 98 0 0 0 0 0 00 831901983 86 1 1 1 1 86 860 821631984 65 2 4 8 16 130 2600 751161985 61 3 9 27 81 183 5490 620491986 46 4 16 64 256 184 7360 42962
Shuma 568 0 60 0 708 125 2859 56811
VitiSiperfaqja e mbjellur (y )
Shenja e periudhes
(x )x x2y Trendi (yc )x x xy
Shembulli ndash mbjellja e fidaneve gjateuml viteve
x2 x3 x4 x2y
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr ab dhe c
TRENDI I PARABOLLES
0
20
40
60
80
100
120
1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986
Siperfaqja e mbjellur (y) Trendi (yc)
TRENDI EKSPONENCIAL
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml njeuml riteumlm tp njejteuml neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml eksponencial
ose pas operacioneve logaritmike fitojmeuml ekuacionet
xnmy
nxmxyx
nxmny
logloglog
logloglog2
TRENDI EKSPONENCIAL
1984 42 16 -3 9 -487 164 43651985 65 18 -2 4 -363 178 60541986 80 19 -1 1 -190 192 83971987 120 21 0 0 000 207 116461988 165 22 1 1 222 221 161531989 210 23 2 4 464 235 224051990 320 25 3 9 752 249 31075
Shuma 1002 0 28 398 1446 100094
Trendi (yc )logyVitiTe dhenat
(y )
Shenja e periudhes
(x )x x logy logy c
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr m dhe n
x2
TRENDI EKSPONENCIAL
0
50
100
150
200
250
300
350
1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
Te dhenat (y) Trendi (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Llojet e trendeve zakonisht nuk mung teuml
peumlrcaktohen lehteuml Deri tani eumlshteuml peumlrdoreuml meumlnyra vizuele
tendenceumls seuml dukurive neuml peumlrcaktimin e trendit Meumlnyra meuml e mireuml eumlshteuml peumlrmes gabimeve
standarde ku trendi meuml i mireuml peumlrcaktohet neuml bazeuml teuml gabimit meuml teuml vogeumll
n
yy ciyc
2
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
1976 36 -9 382 413 4271977 34 -8 422 443 4481978 44 -7 460 472 4701979 56 -6 498 501 4921980 58 -5 534 531 5161981 60 -4 569 560 5411982 64 -3 603 590 5671983 62 -2 635 619 5941984 70 -1 666 648 6231985 78 0 696 678 6531986 76 1 725 707 6851987 74 2 753 737 7181988 66 3 779 766 7531989 72 4 804 795 7891990 76 5 828 825 8271991 82 6 851 854 8671992 88 7 872 884 9091993 94 8 892 913 9531994 98 9 911 942 999n=19 1288 0 12880 12878 12831
Trendi Parabolloik
(yc )
Trendi Linear (yc )
Trendi Eksponencial
(yc )Viti
Te dhenat (y )
Periudha (x )
0
20
40
60
80
100
120
76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94
Te dhenat (y) Trendi Parabolloik (yc) Trendi Linear (yc) Trendi Eksponencial (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Gabimet standarde te trendi linear
Gabimet standarde te trendi i parabolleumls
Gabimet standarde te trendi eksponencial
Neuml bazeuml teuml gabimeve teuml llogaritura trendi i parabolleumls eumlshteuml meuml i peumlrshtatsheumlm peumlr rregullimin e teuml dheumlnave
8365
2
)(
n
yy cilyc
5995
2
)(
n
yy cipyc
7996
2
)(
n
yy cieyc
KUPTIMI DHE METODAT E ANALIZEumlS DINAMIKE
Cto dukuri neuml boteuml (zhvillim) paraqitet si njeuml variacion qeuml ndryshon sipas koheumls
Peumlrcjellja dinamike e dukurive do te thoteuml shkalla e ndryshimeve cileumlsore sasiore dhe strukturore teuml tyre neuml njeuml periudhe kohore
Metodat dinamuke sheumlrbejneuml peumlr parashikimin e tendenceumls seuml ecuriseuml neuml teuml ardhmeumln
Tendenca eshte drejtimi i levizjes seuml dukuriseuml gjateuml njeuml periudhe teuml gjateuml kohore
Variacionet qeuml peumlrseumlriten dukuri e shpeshteuml neuml hulumtime
KUPTIMI DHE METODAT E ANALIZEumlS DINAMIKE
Peumlrdorimi i metodave teuml analizeumls dinamike beumlhet sipas dy periudhave Periudha njevjeqare ku analizohet qarkullimi vjetor teuml
hyrat vjetore teuml kompanive etj dhe
Periudha meuml teuml shkurta kur analizohet afarizmi i kompanive
Neuml analizeumln statistikore peumlrdoren keumlto metoda
bull Metoda grafike
bull Metoda e mesatareumls rreshqiteumlse
bull Metoda e leumlkundjeve stinore dhe
bull Metodat e trendit
METODA GRAFIKE
Metodeuml meuml e thjeshteuml e analizeumls dinamike Paraqitet tendenca e zhvillimit teuml dukurive
peumlr njeuml periudheuml teuml caktuar kohore Vijat e grafikut teuml fituara me keumlteuml metodeuml
sheumlrbejneuml veteumlm si pikeuml orientuese Aplikimi i keumlsaj metode neuml disa raste jep
informacione teuml mjaftueshme por nuk mund teuml beumlhen analiza teuml detalizuara
METODA E MESATARES RRESHQITESE
Peumlrdoret peumlr zbutjen e shmangieve dhe variacioneve
Shqyrtohen periudhat e shkurta (mujore) dhe ato meuml teuml gjata (vjetore)
Peumlrdoreuml mesataren aritmetike peumlr serineuml e dheumlneuml
Numri konstant i madheumlsive duhet teuml jeteuml meuml seuml paku 3 (por duhet teuml jeteuml tek)
METODA E MESATARES RRESHQITESE
Analiza me Tri teuml dheumlna
Analiza me Peseuml teuml dheumlna
3321
1
xxxm
3432
2
xxxm
3543
3
xxxm
354321
1
xxxxxm
365432
2
xxxxxm
376543
3
xxxxxm
Shembull ndash analiza vjetore
METODA E MESATARES RRESHQITESE
Seria e te dhenave(Xi) me 3 te dhena me 5 te dhena
1980 55 - -1981 58 563 -1982 56 583 5861983 61 60 5961984 63 613 6161985 60 637 6381986 68 65 6541987 67 68 6761988 69 70 7121989 74 737 7381990 78 777 -1991 81 - -
Nivelet e mesatares rreshqiteseVitet
METODA E MESATARES RRESHQITESE
Me tri teuml dheumlna
Me peseuml teuml dheumlna
E keumlshtu me rradheuml deri me m8
3563
565855
3321
1
xxx
m
3583
615658
3432
2
xxx
m
6583
6361565855
354321
1
xxxxx
m
6593
6063615658
365432
2
xxxxx
m
METODA E MESATARES RRESHQITESE
50
55
60
65
70
75
80
85
1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991
Seria e te dhenave
me 3 te dhena
me 5 te dhena
METODA E MESATARES RRESHQITESE
E njejta procedure aplikohet neuml rastet kur nevoitet peumlrcjellja e trendeve sipas muajve ku analizohet afarizmi i kompanive
Pra peumlrmes mesatares rreumlshqiteumlse peumlrdoret neuml analizat teuml ndryshme teuml dukurive ekonomike psh teuml ardhurat kombeumltare etj
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
Peumlr ecurineuml dhe tendenceumln e dukurive peumlrdoret edhe Metoda e Leumlkundjeve Stinore (dmth mirret leumlvizjet sezonale teuml dukurive)
Tendencat e dukurive mund teuml analizohen sipas viteve tre-mujorve muajve javeumlve etj
Produktet dhe sheumlrbimet qeuml mund teuml analizohen janeuml produktet bujqeumlsore vesheumlmbathjet punimet ndeumlrtimore turizmi etj
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
1986 1987 1988Janar 108 102 120 330 1100 880Shurt 102 100 115 317 1057 845Mars 113 109 135 357 1190 952Prill 124 119 160 403 1343 1075Maj 155 135 175 465 1550 1240
Qershor 164 138 171 473 1577 1262Korrik 154 140 162 456 1520 1216Gusht 141 132 134 407 1357 1086
Shtator 118 114 112 344 1147 917Tetor 112 107 110 329 1097 877
Nentor 90 100 106 296 987 789Dhjetor 95 105 122 322 1073 859Gjithsejt 1476 1401 1622 4499 14997
Muajt Seria e te dhenave sipas viteve Gjithsejt Mesatarja mujore
Indekset stinore
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
Mesatarja mujore e tri viteve llogaritet keumlshtu
Peumlr muajin janar
Peumlr muajin dhjetor
n
xx i
i ku i=1-12
1103
1201021081
x
21073
1221959512
x
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
Peumlr llogaritjen e indeksit stinoreuml duhet teuml llogaritet mesatarja e peumlrgjishme mujore
Ndeumlrsa indeksi stinore llogariteumln keumlshtu
9712412
74991
n
xx i
p
100p
isi x
xl ku i=1-12
08810097124
01101001
1 p
s x
xl
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
700
800
900
1000
1100
1200
1300
Janar Shurt Mars Prill Maj Qershor Korrik Gusht Shtator Tetor Nentor Dhjetor
Inde
kset
stino
re
METODAT E TRENDIT
Fjala trend neuml anglisht do teuml thot diccedilka qeuml eumlshteuml neuml leumlvizje
Trendi paraqet analizeumln e ndrushimeve teuml dukurive neuml periudha teuml gjata kohore
Me aplikimin e analizeumls dinamike tentohet teuml eliminohen apo teuml zbuten ndryshimet apo variacionet e dukurive teuml analizuara
Teuml dheumlnat e mbledhura interpolohen dhe zavendeumlsohen meuml seri teuml reja teuml rregulluara
METODAT E TRENDIT
Zgjedhja e funksionit matematikor teuml trendit bazohet neuml keumlto forma kryesore
Drejtvijezore ne rritje
Drejtvijezore ne renie
Vijelakore ne rritje
Vijelakore ne renie
Levizje me oscilime
Pa drejtime te caktuara
TRENDI LINEAR
Vareumlsisht nga rezultatet e diagramit nga teuml dheumlnat e serive sipas periudhave kohore caktohet lloji i funksionit matematikoreuml
Neumlse supozojme trendin linear ateumlhereuml funksioni matematikoreuml eumlshteuml
x ndash paraqet variableumln e pavarur (koheumln) y ndash paraqet funksionin (vlereumln e trendit) e cila analizoheta ndash vlera fillestare e trendit (kur x=0)b ndash koeficienti i rritjesreumlnies peumlr periudheumln e caktuar kohore
xbay
TRENDI LINEAR Peumlrdorimi i metodeumls seuml
katroreumlve meuml teuml vegjeumll me qeumlllim teuml fitimit teuml linearitetit meuml teuml afeumlrt
Shuma e shmangjeve teuml teuml dheumlnave nga vija e trendit duhet teuml jeteuml zero
Shuma e shmangjeve neuml katror teuml teuml dheumlnave nga vija e trendit duhet teuml jeteuml minimum
1 2 3 4 5
ab
a
a+5b
b
b
b
b
b
xbay y
x
0 ci yy
min2 ci yy
TRENDI LINEAR Pas rregullimit teuml
ekuacioneve teuml katroreumlve meuml teuml vegjeumll fitojmeuml dy ekuacione
Nga keumlto ekuacioone fitohen vlerat peumlr a dhe b
Meuml mireuml do teuml shihet kjo neuml shembulli e ardhsheumlm1 2 3 4 5
ab
a
a+5b
b
b
b
b
b
xbay y
x
xbany
2xbxaxy
TRENDI LINEAR
1979 12 0 0 00 91561980 10 1 1 100 132561981 18 2 4 360 173561982 20 3 9 600 214561983 30 4 16 1200 255561984 24 5 25 1200 296561985 38 6 36 2280 337561986 32 7 49 2240 378561987 46 8 64 3680 41956
Shuma 230 36 204 1166 230004
VitiShenja e
periudhes (x )
Produkti (xy )
Trendi (yc )Vlera e
investimeve (y )
xx2
Shembulli ndash Investimet neuml Kosoveuml gjateuml viteve
TRENDI LINEAR
Me aplikimin e akuacioneve teuml fituara meuml larteuml i llogarisim vlerat peumlr a dhe b
a=9156 dhe b=41 Neumlse keumlrkohet teuml llogaritet (prognozohen)
investimet peumlr vitin 1994 ateumlhereuml x=13
yc=9156+4113=62456
TRENDI LINEAR
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987
Vlera e investimeve (y) Trendi (yc)
TRENDI LINEAR
Metoda e trendit linear mund teuml thjeshteumlsohet duke e zhvendosur shenjeumln e periudheumls zero neuml mes teuml seriseuml seuml teuml dheumlnave
Poashtu llogaritja e trendit linear peumlrveq me numeumlr tek teuml teuml dheumlnave llogaritet edhe te seriteuml kohore me numeumlr ccedilift teuml dheumlnash
Gjithashtu peumlrmes metodeumls seuml trendit linear fitohen teuml dheumlna teuml rregullta edhe neuml rastet kur neuml serineuml mungon ndonje e dheumlneuml
TRENDI I PARABOLLES
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml leumlvizje disharmonike neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml i shkalleumls seuml dyteuml (neuml katror)
ose pas operacioneve matematikore
2xcxbay
4322
32
2
xcxbxayx
xcxbxayx
xcxbany
TRENDI I PARABOLLES
1978 31 -4 16 -64 256 -124 4960 270981979 46 -3 9 -27 81 -138 4140 501511980 61 -2 4 -8 16 -122 2440 671841981 74 -1 1 -1 1 -74 740 781971982 98 0 0 0 0 0 00 831901983 86 1 1 1 1 86 860 821631984 65 2 4 8 16 130 2600 751161985 61 3 9 27 81 183 5490 620491986 46 4 16 64 256 184 7360 42962
Shuma 568 0 60 0 708 125 2859 56811
VitiSiperfaqja e mbjellur (y )
Shenja e periudhes
(x )x x2y Trendi (yc )x x xy
Shembulli ndash mbjellja e fidaneve gjateuml viteve
x2 x3 x4 x2y
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr ab dhe c
TRENDI I PARABOLLES
0
20
40
60
80
100
120
1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986
Siperfaqja e mbjellur (y) Trendi (yc)
TRENDI EKSPONENCIAL
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml njeuml riteumlm tp njejteuml neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml eksponencial
ose pas operacioneve logaritmike fitojmeuml ekuacionet
xnmy
nxmxyx
nxmny
logloglog
logloglog2
TRENDI EKSPONENCIAL
1984 42 16 -3 9 -487 164 43651985 65 18 -2 4 -363 178 60541986 80 19 -1 1 -190 192 83971987 120 21 0 0 000 207 116461988 165 22 1 1 222 221 161531989 210 23 2 4 464 235 224051990 320 25 3 9 752 249 31075
Shuma 1002 0 28 398 1446 100094
Trendi (yc )logyVitiTe dhenat
(y )
Shenja e periudhes
(x )x x logy logy c
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr m dhe n
x2
TRENDI EKSPONENCIAL
0
50
100
150
200
250
300
350
1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
Te dhenat (y) Trendi (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Llojet e trendeve zakonisht nuk mung teuml
peumlrcaktohen lehteuml Deri tani eumlshteuml peumlrdoreuml meumlnyra vizuele
tendenceumls seuml dukurive neuml peumlrcaktimin e trendit Meumlnyra meuml e mireuml eumlshteuml peumlrmes gabimeve
standarde ku trendi meuml i mireuml peumlrcaktohet neuml bazeuml teuml gabimit meuml teuml vogeumll
n
yy ciyc
2
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
1976 36 -9 382 413 4271977 34 -8 422 443 4481978 44 -7 460 472 4701979 56 -6 498 501 4921980 58 -5 534 531 5161981 60 -4 569 560 5411982 64 -3 603 590 5671983 62 -2 635 619 5941984 70 -1 666 648 6231985 78 0 696 678 6531986 76 1 725 707 6851987 74 2 753 737 7181988 66 3 779 766 7531989 72 4 804 795 7891990 76 5 828 825 8271991 82 6 851 854 8671992 88 7 872 884 9091993 94 8 892 913 9531994 98 9 911 942 999n=19 1288 0 12880 12878 12831
Trendi Parabolloik
(yc )
Trendi Linear (yc )
Trendi Eksponencial
(yc )Viti
Te dhenat (y )
Periudha (x )
0
20
40
60
80
100
120
76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94
Te dhenat (y) Trendi Parabolloik (yc) Trendi Linear (yc) Trendi Eksponencial (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Gabimet standarde te trendi linear
Gabimet standarde te trendi i parabolleumls
Gabimet standarde te trendi eksponencial
Neuml bazeuml teuml gabimeve teuml llogaritura trendi i parabolleumls eumlshteuml meuml i peumlrshtatsheumlm peumlr rregullimin e teuml dheumlnave
8365
2
)(
n
yy cilyc
5995
2
)(
n
yy cipyc
7996
2
)(
n
yy cieyc
KUPTIMI DHE METODAT E ANALIZEumlS DINAMIKE
Peumlrdorimi i metodave teuml analizeumls dinamike beumlhet sipas dy periudhave Periudha njevjeqare ku analizohet qarkullimi vjetor teuml
hyrat vjetore teuml kompanive etj dhe
Periudha meuml teuml shkurta kur analizohet afarizmi i kompanive
Neuml analizeumln statistikore peumlrdoren keumlto metoda
bull Metoda grafike
bull Metoda e mesatareumls rreshqiteumlse
bull Metoda e leumlkundjeve stinore dhe
bull Metodat e trendit
METODA GRAFIKE
Metodeuml meuml e thjeshteuml e analizeumls dinamike Paraqitet tendenca e zhvillimit teuml dukurive
peumlr njeuml periudheuml teuml caktuar kohore Vijat e grafikut teuml fituara me keumlteuml metodeuml
sheumlrbejneuml veteumlm si pikeuml orientuese Aplikimi i keumlsaj metode neuml disa raste jep
informacione teuml mjaftueshme por nuk mund teuml beumlhen analiza teuml detalizuara
METODA E MESATARES RRESHQITESE
Peumlrdoret peumlr zbutjen e shmangieve dhe variacioneve
Shqyrtohen periudhat e shkurta (mujore) dhe ato meuml teuml gjata (vjetore)
Peumlrdoreuml mesataren aritmetike peumlr serineuml e dheumlneuml
Numri konstant i madheumlsive duhet teuml jeteuml meuml seuml paku 3 (por duhet teuml jeteuml tek)
METODA E MESATARES RRESHQITESE
Analiza me Tri teuml dheumlna
Analiza me Peseuml teuml dheumlna
3321
1
xxxm
3432
2
xxxm
3543
3
xxxm
354321
1
xxxxxm
365432
2
xxxxxm
376543
3
xxxxxm
Shembull ndash analiza vjetore
METODA E MESATARES RRESHQITESE
Seria e te dhenave(Xi) me 3 te dhena me 5 te dhena
1980 55 - -1981 58 563 -1982 56 583 5861983 61 60 5961984 63 613 6161985 60 637 6381986 68 65 6541987 67 68 6761988 69 70 7121989 74 737 7381990 78 777 -1991 81 - -
Nivelet e mesatares rreshqiteseVitet
METODA E MESATARES RRESHQITESE
Me tri teuml dheumlna
Me peseuml teuml dheumlna
E keumlshtu me rradheuml deri me m8
3563
565855
3321
1
xxx
m
3583
615658
3432
2
xxx
m
6583
6361565855
354321
1
xxxxx
m
6593
6063615658
365432
2
xxxxx
m
METODA E MESATARES RRESHQITESE
50
55
60
65
70
75
80
85
1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991
Seria e te dhenave
me 3 te dhena
me 5 te dhena
METODA E MESATARES RRESHQITESE
E njejta procedure aplikohet neuml rastet kur nevoitet peumlrcjellja e trendeve sipas muajve ku analizohet afarizmi i kompanive
Pra peumlrmes mesatares rreumlshqiteumlse peumlrdoret neuml analizat teuml ndryshme teuml dukurive ekonomike psh teuml ardhurat kombeumltare etj
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
Peumlr ecurineuml dhe tendenceumln e dukurive peumlrdoret edhe Metoda e Leumlkundjeve Stinore (dmth mirret leumlvizjet sezonale teuml dukurive)
Tendencat e dukurive mund teuml analizohen sipas viteve tre-mujorve muajve javeumlve etj
Produktet dhe sheumlrbimet qeuml mund teuml analizohen janeuml produktet bujqeumlsore vesheumlmbathjet punimet ndeumlrtimore turizmi etj
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
1986 1987 1988Janar 108 102 120 330 1100 880Shurt 102 100 115 317 1057 845Mars 113 109 135 357 1190 952Prill 124 119 160 403 1343 1075Maj 155 135 175 465 1550 1240
Qershor 164 138 171 473 1577 1262Korrik 154 140 162 456 1520 1216Gusht 141 132 134 407 1357 1086
Shtator 118 114 112 344 1147 917Tetor 112 107 110 329 1097 877
Nentor 90 100 106 296 987 789Dhjetor 95 105 122 322 1073 859Gjithsejt 1476 1401 1622 4499 14997
Muajt Seria e te dhenave sipas viteve Gjithsejt Mesatarja mujore
Indekset stinore
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
Mesatarja mujore e tri viteve llogaritet keumlshtu
Peumlr muajin janar
Peumlr muajin dhjetor
n
xx i
i ku i=1-12
1103
1201021081
x
21073
1221959512
x
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
Peumlr llogaritjen e indeksit stinoreuml duhet teuml llogaritet mesatarja e peumlrgjishme mujore
Ndeumlrsa indeksi stinore llogariteumln keumlshtu
9712412
74991
n
xx i
p
100p
isi x
xl ku i=1-12
08810097124
01101001
1 p
s x
xl
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
700
800
900
1000
1100
1200
1300
Janar Shurt Mars Prill Maj Qershor Korrik Gusht Shtator Tetor Nentor Dhjetor
Inde
kset
stino
re
METODAT E TRENDIT
Fjala trend neuml anglisht do teuml thot diccedilka qeuml eumlshteuml neuml leumlvizje
Trendi paraqet analizeumln e ndrushimeve teuml dukurive neuml periudha teuml gjata kohore
Me aplikimin e analizeumls dinamike tentohet teuml eliminohen apo teuml zbuten ndryshimet apo variacionet e dukurive teuml analizuara
Teuml dheumlnat e mbledhura interpolohen dhe zavendeumlsohen meuml seri teuml reja teuml rregulluara
METODAT E TRENDIT
Zgjedhja e funksionit matematikor teuml trendit bazohet neuml keumlto forma kryesore
Drejtvijezore ne rritje
Drejtvijezore ne renie
Vijelakore ne rritje
Vijelakore ne renie
Levizje me oscilime
Pa drejtime te caktuara
TRENDI LINEAR
Vareumlsisht nga rezultatet e diagramit nga teuml dheumlnat e serive sipas periudhave kohore caktohet lloji i funksionit matematikoreuml
Neumlse supozojme trendin linear ateumlhereuml funksioni matematikoreuml eumlshteuml
x ndash paraqet variableumln e pavarur (koheumln) y ndash paraqet funksionin (vlereumln e trendit) e cila analizoheta ndash vlera fillestare e trendit (kur x=0)b ndash koeficienti i rritjesreumlnies peumlr periudheumln e caktuar kohore
xbay
TRENDI LINEAR Peumlrdorimi i metodeumls seuml
katroreumlve meuml teuml vegjeumll me qeumlllim teuml fitimit teuml linearitetit meuml teuml afeumlrt
Shuma e shmangjeve teuml teuml dheumlnave nga vija e trendit duhet teuml jeteuml zero
Shuma e shmangjeve neuml katror teuml teuml dheumlnave nga vija e trendit duhet teuml jeteuml minimum
1 2 3 4 5
ab
a
a+5b
b
b
b
b
b
xbay y
x
0 ci yy
min2 ci yy
TRENDI LINEAR Pas rregullimit teuml
ekuacioneve teuml katroreumlve meuml teuml vegjeumll fitojmeuml dy ekuacione
Nga keumlto ekuacioone fitohen vlerat peumlr a dhe b
Meuml mireuml do teuml shihet kjo neuml shembulli e ardhsheumlm1 2 3 4 5
ab
a
a+5b
b
b
b
b
b
xbay y
x
xbany
2xbxaxy
TRENDI LINEAR
1979 12 0 0 00 91561980 10 1 1 100 132561981 18 2 4 360 173561982 20 3 9 600 214561983 30 4 16 1200 255561984 24 5 25 1200 296561985 38 6 36 2280 337561986 32 7 49 2240 378561987 46 8 64 3680 41956
Shuma 230 36 204 1166 230004
VitiShenja e
periudhes (x )
Produkti (xy )
Trendi (yc )Vlera e
investimeve (y )
xx2
Shembulli ndash Investimet neuml Kosoveuml gjateuml viteve
TRENDI LINEAR
Me aplikimin e akuacioneve teuml fituara meuml larteuml i llogarisim vlerat peumlr a dhe b
a=9156 dhe b=41 Neumlse keumlrkohet teuml llogaritet (prognozohen)
investimet peumlr vitin 1994 ateumlhereuml x=13
yc=9156+4113=62456
TRENDI LINEAR
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987
Vlera e investimeve (y) Trendi (yc)
TRENDI LINEAR
Metoda e trendit linear mund teuml thjeshteumlsohet duke e zhvendosur shenjeumln e periudheumls zero neuml mes teuml seriseuml seuml teuml dheumlnave
Poashtu llogaritja e trendit linear peumlrveq me numeumlr tek teuml teuml dheumlnave llogaritet edhe te seriteuml kohore me numeumlr ccedilift teuml dheumlnash
Gjithashtu peumlrmes metodeumls seuml trendit linear fitohen teuml dheumlna teuml rregullta edhe neuml rastet kur neuml serineuml mungon ndonje e dheumlneuml
TRENDI I PARABOLLES
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml leumlvizje disharmonike neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml i shkalleumls seuml dyteuml (neuml katror)
ose pas operacioneve matematikore
2xcxbay
4322
32
2
xcxbxayx
xcxbxayx
xcxbany
TRENDI I PARABOLLES
1978 31 -4 16 -64 256 -124 4960 270981979 46 -3 9 -27 81 -138 4140 501511980 61 -2 4 -8 16 -122 2440 671841981 74 -1 1 -1 1 -74 740 781971982 98 0 0 0 0 0 00 831901983 86 1 1 1 1 86 860 821631984 65 2 4 8 16 130 2600 751161985 61 3 9 27 81 183 5490 620491986 46 4 16 64 256 184 7360 42962
Shuma 568 0 60 0 708 125 2859 56811
VitiSiperfaqja e mbjellur (y )
Shenja e periudhes
(x )x x2y Trendi (yc )x x xy
Shembulli ndash mbjellja e fidaneve gjateuml viteve
x2 x3 x4 x2y
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr ab dhe c
TRENDI I PARABOLLES
0
20
40
60
80
100
120
1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986
Siperfaqja e mbjellur (y) Trendi (yc)
TRENDI EKSPONENCIAL
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml njeuml riteumlm tp njejteuml neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml eksponencial
ose pas operacioneve logaritmike fitojmeuml ekuacionet
xnmy
nxmxyx
nxmny
logloglog
logloglog2
TRENDI EKSPONENCIAL
1984 42 16 -3 9 -487 164 43651985 65 18 -2 4 -363 178 60541986 80 19 -1 1 -190 192 83971987 120 21 0 0 000 207 116461988 165 22 1 1 222 221 161531989 210 23 2 4 464 235 224051990 320 25 3 9 752 249 31075
Shuma 1002 0 28 398 1446 100094
Trendi (yc )logyVitiTe dhenat
(y )
Shenja e periudhes
(x )x x logy logy c
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr m dhe n
x2
TRENDI EKSPONENCIAL
0
50
100
150
200
250
300
350
1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
Te dhenat (y) Trendi (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Llojet e trendeve zakonisht nuk mung teuml
peumlrcaktohen lehteuml Deri tani eumlshteuml peumlrdoreuml meumlnyra vizuele
tendenceumls seuml dukurive neuml peumlrcaktimin e trendit Meumlnyra meuml e mireuml eumlshteuml peumlrmes gabimeve
standarde ku trendi meuml i mireuml peumlrcaktohet neuml bazeuml teuml gabimit meuml teuml vogeumll
n
yy ciyc
2
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
1976 36 -9 382 413 4271977 34 -8 422 443 4481978 44 -7 460 472 4701979 56 -6 498 501 4921980 58 -5 534 531 5161981 60 -4 569 560 5411982 64 -3 603 590 5671983 62 -2 635 619 5941984 70 -1 666 648 6231985 78 0 696 678 6531986 76 1 725 707 6851987 74 2 753 737 7181988 66 3 779 766 7531989 72 4 804 795 7891990 76 5 828 825 8271991 82 6 851 854 8671992 88 7 872 884 9091993 94 8 892 913 9531994 98 9 911 942 999n=19 1288 0 12880 12878 12831
Trendi Parabolloik
(yc )
Trendi Linear (yc )
Trendi Eksponencial
(yc )Viti
Te dhenat (y )
Periudha (x )
0
20
40
60
80
100
120
76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94
Te dhenat (y) Trendi Parabolloik (yc) Trendi Linear (yc) Trendi Eksponencial (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Gabimet standarde te trendi linear
Gabimet standarde te trendi i parabolleumls
Gabimet standarde te trendi eksponencial
Neuml bazeuml teuml gabimeve teuml llogaritura trendi i parabolleumls eumlshteuml meuml i peumlrshtatsheumlm peumlr rregullimin e teuml dheumlnave
8365
2
)(
n
yy cilyc
5995
2
)(
n
yy cipyc
7996
2
)(
n
yy cieyc
METODA GRAFIKE
Metodeuml meuml e thjeshteuml e analizeumls dinamike Paraqitet tendenca e zhvillimit teuml dukurive
peumlr njeuml periudheuml teuml caktuar kohore Vijat e grafikut teuml fituara me keumlteuml metodeuml
sheumlrbejneuml veteumlm si pikeuml orientuese Aplikimi i keumlsaj metode neuml disa raste jep
informacione teuml mjaftueshme por nuk mund teuml beumlhen analiza teuml detalizuara
METODA E MESATARES RRESHQITESE
Peumlrdoret peumlr zbutjen e shmangieve dhe variacioneve
Shqyrtohen periudhat e shkurta (mujore) dhe ato meuml teuml gjata (vjetore)
Peumlrdoreuml mesataren aritmetike peumlr serineuml e dheumlneuml
Numri konstant i madheumlsive duhet teuml jeteuml meuml seuml paku 3 (por duhet teuml jeteuml tek)
METODA E MESATARES RRESHQITESE
Analiza me Tri teuml dheumlna
Analiza me Peseuml teuml dheumlna
3321
1
xxxm
3432
2
xxxm
3543
3
xxxm
354321
1
xxxxxm
365432
2
xxxxxm
376543
3
xxxxxm
Shembull ndash analiza vjetore
METODA E MESATARES RRESHQITESE
Seria e te dhenave(Xi) me 3 te dhena me 5 te dhena
1980 55 - -1981 58 563 -1982 56 583 5861983 61 60 5961984 63 613 6161985 60 637 6381986 68 65 6541987 67 68 6761988 69 70 7121989 74 737 7381990 78 777 -1991 81 - -
Nivelet e mesatares rreshqiteseVitet
METODA E MESATARES RRESHQITESE
Me tri teuml dheumlna
Me peseuml teuml dheumlna
E keumlshtu me rradheuml deri me m8
3563
565855
3321
1
xxx
m
3583
615658
3432
2
xxx
m
6583
6361565855
354321
1
xxxxx
m
6593
6063615658
365432
2
xxxxx
m
METODA E MESATARES RRESHQITESE
50
55
60
65
70
75
80
85
1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991
Seria e te dhenave
me 3 te dhena
me 5 te dhena
METODA E MESATARES RRESHQITESE
E njejta procedure aplikohet neuml rastet kur nevoitet peumlrcjellja e trendeve sipas muajve ku analizohet afarizmi i kompanive
Pra peumlrmes mesatares rreumlshqiteumlse peumlrdoret neuml analizat teuml ndryshme teuml dukurive ekonomike psh teuml ardhurat kombeumltare etj
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
Peumlr ecurineuml dhe tendenceumln e dukurive peumlrdoret edhe Metoda e Leumlkundjeve Stinore (dmth mirret leumlvizjet sezonale teuml dukurive)
Tendencat e dukurive mund teuml analizohen sipas viteve tre-mujorve muajve javeumlve etj
Produktet dhe sheumlrbimet qeuml mund teuml analizohen janeuml produktet bujqeumlsore vesheumlmbathjet punimet ndeumlrtimore turizmi etj
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
1986 1987 1988Janar 108 102 120 330 1100 880Shurt 102 100 115 317 1057 845Mars 113 109 135 357 1190 952Prill 124 119 160 403 1343 1075Maj 155 135 175 465 1550 1240
Qershor 164 138 171 473 1577 1262Korrik 154 140 162 456 1520 1216Gusht 141 132 134 407 1357 1086
Shtator 118 114 112 344 1147 917Tetor 112 107 110 329 1097 877
Nentor 90 100 106 296 987 789Dhjetor 95 105 122 322 1073 859Gjithsejt 1476 1401 1622 4499 14997
Muajt Seria e te dhenave sipas viteve Gjithsejt Mesatarja mujore
Indekset stinore
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
Mesatarja mujore e tri viteve llogaritet keumlshtu
Peumlr muajin janar
Peumlr muajin dhjetor
n
xx i
i ku i=1-12
1103
1201021081
x
21073
1221959512
x
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
Peumlr llogaritjen e indeksit stinoreuml duhet teuml llogaritet mesatarja e peumlrgjishme mujore
Ndeumlrsa indeksi stinore llogariteumln keumlshtu
9712412
74991
n
xx i
p
100p
isi x
xl ku i=1-12
08810097124
01101001
1 p
s x
xl
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
700
800
900
1000
1100
1200
1300
Janar Shurt Mars Prill Maj Qershor Korrik Gusht Shtator Tetor Nentor Dhjetor
Inde
kset
stino
re
METODAT E TRENDIT
Fjala trend neuml anglisht do teuml thot diccedilka qeuml eumlshteuml neuml leumlvizje
Trendi paraqet analizeumln e ndrushimeve teuml dukurive neuml periudha teuml gjata kohore
Me aplikimin e analizeumls dinamike tentohet teuml eliminohen apo teuml zbuten ndryshimet apo variacionet e dukurive teuml analizuara
Teuml dheumlnat e mbledhura interpolohen dhe zavendeumlsohen meuml seri teuml reja teuml rregulluara
METODAT E TRENDIT
Zgjedhja e funksionit matematikor teuml trendit bazohet neuml keumlto forma kryesore
Drejtvijezore ne rritje
Drejtvijezore ne renie
Vijelakore ne rritje
Vijelakore ne renie
Levizje me oscilime
Pa drejtime te caktuara
TRENDI LINEAR
Vareumlsisht nga rezultatet e diagramit nga teuml dheumlnat e serive sipas periudhave kohore caktohet lloji i funksionit matematikoreuml
Neumlse supozojme trendin linear ateumlhereuml funksioni matematikoreuml eumlshteuml
x ndash paraqet variableumln e pavarur (koheumln) y ndash paraqet funksionin (vlereumln e trendit) e cila analizoheta ndash vlera fillestare e trendit (kur x=0)b ndash koeficienti i rritjesreumlnies peumlr periudheumln e caktuar kohore
xbay
TRENDI LINEAR Peumlrdorimi i metodeumls seuml
katroreumlve meuml teuml vegjeumll me qeumlllim teuml fitimit teuml linearitetit meuml teuml afeumlrt
Shuma e shmangjeve teuml teuml dheumlnave nga vija e trendit duhet teuml jeteuml zero
Shuma e shmangjeve neuml katror teuml teuml dheumlnave nga vija e trendit duhet teuml jeteuml minimum
1 2 3 4 5
ab
a
a+5b
b
b
b
b
b
xbay y
x
0 ci yy
min2 ci yy
TRENDI LINEAR Pas rregullimit teuml
ekuacioneve teuml katroreumlve meuml teuml vegjeumll fitojmeuml dy ekuacione
Nga keumlto ekuacioone fitohen vlerat peumlr a dhe b
Meuml mireuml do teuml shihet kjo neuml shembulli e ardhsheumlm1 2 3 4 5
ab
a
a+5b
b
b
b
b
b
xbay y
x
xbany
2xbxaxy
TRENDI LINEAR
1979 12 0 0 00 91561980 10 1 1 100 132561981 18 2 4 360 173561982 20 3 9 600 214561983 30 4 16 1200 255561984 24 5 25 1200 296561985 38 6 36 2280 337561986 32 7 49 2240 378561987 46 8 64 3680 41956
Shuma 230 36 204 1166 230004
VitiShenja e
periudhes (x )
Produkti (xy )
Trendi (yc )Vlera e
investimeve (y )
xx2
Shembulli ndash Investimet neuml Kosoveuml gjateuml viteve
TRENDI LINEAR
Me aplikimin e akuacioneve teuml fituara meuml larteuml i llogarisim vlerat peumlr a dhe b
a=9156 dhe b=41 Neumlse keumlrkohet teuml llogaritet (prognozohen)
investimet peumlr vitin 1994 ateumlhereuml x=13
yc=9156+4113=62456
TRENDI LINEAR
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987
Vlera e investimeve (y) Trendi (yc)
TRENDI LINEAR
Metoda e trendit linear mund teuml thjeshteumlsohet duke e zhvendosur shenjeumln e periudheumls zero neuml mes teuml seriseuml seuml teuml dheumlnave
Poashtu llogaritja e trendit linear peumlrveq me numeumlr tek teuml teuml dheumlnave llogaritet edhe te seriteuml kohore me numeumlr ccedilift teuml dheumlnash
Gjithashtu peumlrmes metodeumls seuml trendit linear fitohen teuml dheumlna teuml rregullta edhe neuml rastet kur neuml serineuml mungon ndonje e dheumlneuml
TRENDI I PARABOLLES
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml leumlvizje disharmonike neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml i shkalleumls seuml dyteuml (neuml katror)
ose pas operacioneve matematikore
2xcxbay
4322
32
2
xcxbxayx
xcxbxayx
xcxbany
TRENDI I PARABOLLES
1978 31 -4 16 -64 256 -124 4960 270981979 46 -3 9 -27 81 -138 4140 501511980 61 -2 4 -8 16 -122 2440 671841981 74 -1 1 -1 1 -74 740 781971982 98 0 0 0 0 0 00 831901983 86 1 1 1 1 86 860 821631984 65 2 4 8 16 130 2600 751161985 61 3 9 27 81 183 5490 620491986 46 4 16 64 256 184 7360 42962
Shuma 568 0 60 0 708 125 2859 56811
VitiSiperfaqja e mbjellur (y )
Shenja e periudhes
(x )x x2y Trendi (yc )x x xy
Shembulli ndash mbjellja e fidaneve gjateuml viteve
x2 x3 x4 x2y
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr ab dhe c
TRENDI I PARABOLLES
0
20
40
60
80
100
120
1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986
Siperfaqja e mbjellur (y) Trendi (yc)
TRENDI EKSPONENCIAL
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml njeuml riteumlm tp njejteuml neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml eksponencial
ose pas operacioneve logaritmike fitojmeuml ekuacionet
xnmy
nxmxyx
nxmny
logloglog
logloglog2
TRENDI EKSPONENCIAL
1984 42 16 -3 9 -487 164 43651985 65 18 -2 4 -363 178 60541986 80 19 -1 1 -190 192 83971987 120 21 0 0 000 207 116461988 165 22 1 1 222 221 161531989 210 23 2 4 464 235 224051990 320 25 3 9 752 249 31075
Shuma 1002 0 28 398 1446 100094
Trendi (yc )logyVitiTe dhenat
(y )
Shenja e periudhes
(x )x x logy logy c
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr m dhe n
x2
TRENDI EKSPONENCIAL
0
50
100
150
200
250
300
350
1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
Te dhenat (y) Trendi (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Llojet e trendeve zakonisht nuk mung teuml
peumlrcaktohen lehteuml Deri tani eumlshteuml peumlrdoreuml meumlnyra vizuele
tendenceumls seuml dukurive neuml peumlrcaktimin e trendit Meumlnyra meuml e mireuml eumlshteuml peumlrmes gabimeve
standarde ku trendi meuml i mireuml peumlrcaktohet neuml bazeuml teuml gabimit meuml teuml vogeumll
n
yy ciyc
2
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
1976 36 -9 382 413 4271977 34 -8 422 443 4481978 44 -7 460 472 4701979 56 -6 498 501 4921980 58 -5 534 531 5161981 60 -4 569 560 5411982 64 -3 603 590 5671983 62 -2 635 619 5941984 70 -1 666 648 6231985 78 0 696 678 6531986 76 1 725 707 6851987 74 2 753 737 7181988 66 3 779 766 7531989 72 4 804 795 7891990 76 5 828 825 8271991 82 6 851 854 8671992 88 7 872 884 9091993 94 8 892 913 9531994 98 9 911 942 999n=19 1288 0 12880 12878 12831
Trendi Parabolloik
(yc )
Trendi Linear (yc )
Trendi Eksponencial
(yc )Viti
Te dhenat (y )
Periudha (x )
0
20
40
60
80
100
120
76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94
Te dhenat (y) Trendi Parabolloik (yc) Trendi Linear (yc) Trendi Eksponencial (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Gabimet standarde te trendi linear
Gabimet standarde te trendi i parabolleumls
Gabimet standarde te trendi eksponencial
Neuml bazeuml teuml gabimeve teuml llogaritura trendi i parabolleumls eumlshteuml meuml i peumlrshtatsheumlm peumlr rregullimin e teuml dheumlnave
8365
2
)(
n
yy cilyc
5995
2
)(
n
yy cipyc
7996
2
)(
n
yy cieyc
METODA E MESATARES RRESHQITESE
Peumlrdoret peumlr zbutjen e shmangieve dhe variacioneve
Shqyrtohen periudhat e shkurta (mujore) dhe ato meuml teuml gjata (vjetore)
Peumlrdoreuml mesataren aritmetike peumlr serineuml e dheumlneuml
Numri konstant i madheumlsive duhet teuml jeteuml meuml seuml paku 3 (por duhet teuml jeteuml tek)
METODA E MESATARES RRESHQITESE
Analiza me Tri teuml dheumlna
Analiza me Peseuml teuml dheumlna
3321
1
xxxm
3432
2
xxxm
3543
3
xxxm
354321
1
xxxxxm
365432
2
xxxxxm
376543
3
xxxxxm
Shembull ndash analiza vjetore
METODA E MESATARES RRESHQITESE
Seria e te dhenave(Xi) me 3 te dhena me 5 te dhena
1980 55 - -1981 58 563 -1982 56 583 5861983 61 60 5961984 63 613 6161985 60 637 6381986 68 65 6541987 67 68 6761988 69 70 7121989 74 737 7381990 78 777 -1991 81 - -
Nivelet e mesatares rreshqiteseVitet
METODA E MESATARES RRESHQITESE
Me tri teuml dheumlna
Me peseuml teuml dheumlna
E keumlshtu me rradheuml deri me m8
3563
565855
3321
1
xxx
m
3583
615658
3432
2
xxx
m
6583
6361565855
354321
1
xxxxx
m
6593
6063615658
365432
2
xxxxx
m
METODA E MESATARES RRESHQITESE
50
55
60
65
70
75
80
85
1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991
Seria e te dhenave
me 3 te dhena
me 5 te dhena
METODA E MESATARES RRESHQITESE
E njejta procedure aplikohet neuml rastet kur nevoitet peumlrcjellja e trendeve sipas muajve ku analizohet afarizmi i kompanive
Pra peumlrmes mesatares rreumlshqiteumlse peumlrdoret neuml analizat teuml ndryshme teuml dukurive ekonomike psh teuml ardhurat kombeumltare etj
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
Peumlr ecurineuml dhe tendenceumln e dukurive peumlrdoret edhe Metoda e Leumlkundjeve Stinore (dmth mirret leumlvizjet sezonale teuml dukurive)
Tendencat e dukurive mund teuml analizohen sipas viteve tre-mujorve muajve javeumlve etj
Produktet dhe sheumlrbimet qeuml mund teuml analizohen janeuml produktet bujqeumlsore vesheumlmbathjet punimet ndeumlrtimore turizmi etj
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
1986 1987 1988Janar 108 102 120 330 1100 880Shurt 102 100 115 317 1057 845Mars 113 109 135 357 1190 952Prill 124 119 160 403 1343 1075Maj 155 135 175 465 1550 1240
Qershor 164 138 171 473 1577 1262Korrik 154 140 162 456 1520 1216Gusht 141 132 134 407 1357 1086
Shtator 118 114 112 344 1147 917Tetor 112 107 110 329 1097 877
Nentor 90 100 106 296 987 789Dhjetor 95 105 122 322 1073 859Gjithsejt 1476 1401 1622 4499 14997
Muajt Seria e te dhenave sipas viteve Gjithsejt Mesatarja mujore
Indekset stinore
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
Mesatarja mujore e tri viteve llogaritet keumlshtu
Peumlr muajin janar
Peumlr muajin dhjetor
n
xx i
i ku i=1-12
1103
1201021081
x
21073
1221959512
x
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
Peumlr llogaritjen e indeksit stinoreuml duhet teuml llogaritet mesatarja e peumlrgjishme mujore
Ndeumlrsa indeksi stinore llogariteumln keumlshtu
9712412
74991
n
xx i
p
100p
isi x
xl ku i=1-12
08810097124
01101001
1 p
s x
xl
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
700
800
900
1000
1100
1200
1300
Janar Shurt Mars Prill Maj Qershor Korrik Gusht Shtator Tetor Nentor Dhjetor
Inde
kset
stino
re
METODAT E TRENDIT
Fjala trend neuml anglisht do teuml thot diccedilka qeuml eumlshteuml neuml leumlvizje
Trendi paraqet analizeumln e ndrushimeve teuml dukurive neuml periudha teuml gjata kohore
Me aplikimin e analizeumls dinamike tentohet teuml eliminohen apo teuml zbuten ndryshimet apo variacionet e dukurive teuml analizuara
Teuml dheumlnat e mbledhura interpolohen dhe zavendeumlsohen meuml seri teuml reja teuml rregulluara
METODAT E TRENDIT
Zgjedhja e funksionit matematikor teuml trendit bazohet neuml keumlto forma kryesore
Drejtvijezore ne rritje
Drejtvijezore ne renie
Vijelakore ne rritje
Vijelakore ne renie
Levizje me oscilime
Pa drejtime te caktuara
TRENDI LINEAR
Vareumlsisht nga rezultatet e diagramit nga teuml dheumlnat e serive sipas periudhave kohore caktohet lloji i funksionit matematikoreuml
Neumlse supozojme trendin linear ateumlhereuml funksioni matematikoreuml eumlshteuml
x ndash paraqet variableumln e pavarur (koheumln) y ndash paraqet funksionin (vlereumln e trendit) e cila analizoheta ndash vlera fillestare e trendit (kur x=0)b ndash koeficienti i rritjesreumlnies peumlr periudheumln e caktuar kohore
xbay
TRENDI LINEAR Peumlrdorimi i metodeumls seuml
katroreumlve meuml teuml vegjeumll me qeumlllim teuml fitimit teuml linearitetit meuml teuml afeumlrt
Shuma e shmangjeve teuml teuml dheumlnave nga vija e trendit duhet teuml jeteuml zero
Shuma e shmangjeve neuml katror teuml teuml dheumlnave nga vija e trendit duhet teuml jeteuml minimum
1 2 3 4 5
ab
a
a+5b
b
b
b
b
b
xbay y
x
0 ci yy
min2 ci yy
TRENDI LINEAR Pas rregullimit teuml
ekuacioneve teuml katroreumlve meuml teuml vegjeumll fitojmeuml dy ekuacione
Nga keumlto ekuacioone fitohen vlerat peumlr a dhe b
Meuml mireuml do teuml shihet kjo neuml shembulli e ardhsheumlm1 2 3 4 5
ab
a
a+5b
b
b
b
b
b
xbay y
x
xbany
2xbxaxy
TRENDI LINEAR
1979 12 0 0 00 91561980 10 1 1 100 132561981 18 2 4 360 173561982 20 3 9 600 214561983 30 4 16 1200 255561984 24 5 25 1200 296561985 38 6 36 2280 337561986 32 7 49 2240 378561987 46 8 64 3680 41956
Shuma 230 36 204 1166 230004
VitiShenja e
periudhes (x )
Produkti (xy )
Trendi (yc )Vlera e
investimeve (y )
xx2
Shembulli ndash Investimet neuml Kosoveuml gjateuml viteve
TRENDI LINEAR
Me aplikimin e akuacioneve teuml fituara meuml larteuml i llogarisim vlerat peumlr a dhe b
a=9156 dhe b=41 Neumlse keumlrkohet teuml llogaritet (prognozohen)
investimet peumlr vitin 1994 ateumlhereuml x=13
yc=9156+4113=62456
TRENDI LINEAR
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987
Vlera e investimeve (y) Trendi (yc)
TRENDI LINEAR
Metoda e trendit linear mund teuml thjeshteumlsohet duke e zhvendosur shenjeumln e periudheumls zero neuml mes teuml seriseuml seuml teuml dheumlnave
Poashtu llogaritja e trendit linear peumlrveq me numeumlr tek teuml teuml dheumlnave llogaritet edhe te seriteuml kohore me numeumlr ccedilift teuml dheumlnash
Gjithashtu peumlrmes metodeumls seuml trendit linear fitohen teuml dheumlna teuml rregullta edhe neuml rastet kur neuml serineuml mungon ndonje e dheumlneuml
TRENDI I PARABOLLES
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml leumlvizje disharmonike neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml i shkalleumls seuml dyteuml (neuml katror)
ose pas operacioneve matematikore
2xcxbay
4322
32
2
xcxbxayx
xcxbxayx
xcxbany
TRENDI I PARABOLLES
1978 31 -4 16 -64 256 -124 4960 270981979 46 -3 9 -27 81 -138 4140 501511980 61 -2 4 -8 16 -122 2440 671841981 74 -1 1 -1 1 -74 740 781971982 98 0 0 0 0 0 00 831901983 86 1 1 1 1 86 860 821631984 65 2 4 8 16 130 2600 751161985 61 3 9 27 81 183 5490 620491986 46 4 16 64 256 184 7360 42962
Shuma 568 0 60 0 708 125 2859 56811
VitiSiperfaqja e mbjellur (y )
Shenja e periudhes
(x )x x2y Trendi (yc )x x xy
Shembulli ndash mbjellja e fidaneve gjateuml viteve
x2 x3 x4 x2y
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr ab dhe c
TRENDI I PARABOLLES
0
20
40
60
80
100
120
1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986
Siperfaqja e mbjellur (y) Trendi (yc)
TRENDI EKSPONENCIAL
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml njeuml riteumlm tp njejteuml neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml eksponencial
ose pas operacioneve logaritmike fitojmeuml ekuacionet
xnmy
nxmxyx
nxmny
logloglog
logloglog2
TRENDI EKSPONENCIAL
1984 42 16 -3 9 -487 164 43651985 65 18 -2 4 -363 178 60541986 80 19 -1 1 -190 192 83971987 120 21 0 0 000 207 116461988 165 22 1 1 222 221 161531989 210 23 2 4 464 235 224051990 320 25 3 9 752 249 31075
Shuma 1002 0 28 398 1446 100094
Trendi (yc )logyVitiTe dhenat
(y )
Shenja e periudhes
(x )x x logy logy c
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr m dhe n
x2
TRENDI EKSPONENCIAL
0
50
100
150
200
250
300
350
1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
Te dhenat (y) Trendi (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Llojet e trendeve zakonisht nuk mung teuml
peumlrcaktohen lehteuml Deri tani eumlshteuml peumlrdoreuml meumlnyra vizuele
tendenceumls seuml dukurive neuml peumlrcaktimin e trendit Meumlnyra meuml e mireuml eumlshteuml peumlrmes gabimeve
standarde ku trendi meuml i mireuml peumlrcaktohet neuml bazeuml teuml gabimit meuml teuml vogeumll
n
yy ciyc
2
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
1976 36 -9 382 413 4271977 34 -8 422 443 4481978 44 -7 460 472 4701979 56 -6 498 501 4921980 58 -5 534 531 5161981 60 -4 569 560 5411982 64 -3 603 590 5671983 62 -2 635 619 5941984 70 -1 666 648 6231985 78 0 696 678 6531986 76 1 725 707 6851987 74 2 753 737 7181988 66 3 779 766 7531989 72 4 804 795 7891990 76 5 828 825 8271991 82 6 851 854 8671992 88 7 872 884 9091993 94 8 892 913 9531994 98 9 911 942 999n=19 1288 0 12880 12878 12831
Trendi Parabolloik
(yc )
Trendi Linear (yc )
Trendi Eksponencial
(yc )Viti
Te dhenat (y )
Periudha (x )
0
20
40
60
80
100
120
76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94
Te dhenat (y) Trendi Parabolloik (yc) Trendi Linear (yc) Trendi Eksponencial (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Gabimet standarde te trendi linear
Gabimet standarde te trendi i parabolleumls
Gabimet standarde te trendi eksponencial
Neuml bazeuml teuml gabimeve teuml llogaritura trendi i parabolleumls eumlshteuml meuml i peumlrshtatsheumlm peumlr rregullimin e teuml dheumlnave
8365
2
)(
n
yy cilyc
5995
2
)(
n
yy cipyc
7996
2
)(
n
yy cieyc
METODA E MESATARES RRESHQITESE
Analiza me Tri teuml dheumlna
Analiza me Peseuml teuml dheumlna
3321
1
xxxm
3432
2
xxxm
3543
3
xxxm
354321
1
xxxxxm
365432
2
xxxxxm
376543
3
xxxxxm
Shembull ndash analiza vjetore
METODA E MESATARES RRESHQITESE
Seria e te dhenave(Xi) me 3 te dhena me 5 te dhena
1980 55 - -1981 58 563 -1982 56 583 5861983 61 60 5961984 63 613 6161985 60 637 6381986 68 65 6541987 67 68 6761988 69 70 7121989 74 737 7381990 78 777 -1991 81 - -
Nivelet e mesatares rreshqiteseVitet
METODA E MESATARES RRESHQITESE
Me tri teuml dheumlna
Me peseuml teuml dheumlna
E keumlshtu me rradheuml deri me m8
3563
565855
3321
1
xxx
m
3583
615658
3432
2
xxx
m
6583
6361565855
354321
1
xxxxx
m
6593
6063615658
365432
2
xxxxx
m
METODA E MESATARES RRESHQITESE
50
55
60
65
70
75
80
85
1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991
Seria e te dhenave
me 3 te dhena
me 5 te dhena
METODA E MESATARES RRESHQITESE
E njejta procedure aplikohet neuml rastet kur nevoitet peumlrcjellja e trendeve sipas muajve ku analizohet afarizmi i kompanive
Pra peumlrmes mesatares rreumlshqiteumlse peumlrdoret neuml analizat teuml ndryshme teuml dukurive ekonomike psh teuml ardhurat kombeumltare etj
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
Peumlr ecurineuml dhe tendenceumln e dukurive peumlrdoret edhe Metoda e Leumlkundjeve Stinore (dmth mirret leumlvizjet sezonale teuml dukurive)
Tendencat e dukurive mund teuml analizohen sipas viteve tre-mujorve muajve javeumlve etj
Produktet dhe sheumlrbimet qeuml mund teuml analizohen janeuml produktet bujqeumlsore vesheumlmbathjet punimet ndeumlrtimore turizmi etj
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
1986 1987 1988Janar 108 102 120 330 1100 880Shurt 102 100 115 317 1057 845Mars 113 109 135 357 1190 952Prill 124 119 160 403 1343 1075Maj 155 135 175 465 1550 1240
Qershor 164 138 171 473 1577 1262Korrik 154 140 162 456 1520 1216Gusht 141 132 134 407 1357 1086
Shtator 118 114 112 344 1147 917Tetor 112 107 110 329 1097 877
Nentor 90 100 106 296 987 789Dhjetor 95 105 122 322 1073 859Gjithsejt 1476 1401 1622 4499 14997
Muajt Seria e te dhenave sipas viteve Gjithsejt Mesatarja mujore
Indekset stinore
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
Mesatarja mujore e tri viteve llogaritet keumlshtu
Peumlr muajin janar
Peumlr muajin dhjetor
n
xx i
i ku i=1-12
1103
1201021081
x
21073
1221959512
x
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
Peumlr llogaritjen e indeksit stinoreuml duhet teuml llogaritet mesatarja e peumlrgjishme mujore
Ndeumlrsa indeksi stinore llogariteumln keumlshtu
9712412
74991
n
xx i
p
100p
isi x
xl ku i=1-12
08810097124
01101001
1 p
s x
xl
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
700
800
900
1000
1100
1200
1300
Janar Shurt Mars Prill Maj Qershor Korrik Gusht Shtator Tetor Nentor Dhjetor
Inde
kset
stino
re
METODAT E TRENDIT
Fjala trend neuml anglisht do teuml thot diccedilka qeuml eumlshteuml neuml leumlvizje
Trendi paraqet analizeumln e ndrushimeve teuml dukurive neuml periudha teuml gjata kohore
Me aplikimin e analizeumls dinamike tentohet teuml eliminohen apo teuml zbuten ndryshimet apo variacionet e dukurive teuml analizuara
Teuml dheumlnat e mbledhura interpolohen dhe zavendeumlsohen meuml seri teuml reja teuml rregulluara
METODAT E TRENDIT
Zgjedhja e funksionit matematikor teuml trendit bazohet neuml keumlto forma kryesore
Drejtvijezore ne rritje
Drejtvijezore ne renie
Vijelakore ne rritje
Vijelakore ne renie
Levizje me oscilime
Pa drejtime te caktuara
TRENDI LINEAR
Vareumlsisht nga rezultatet e diagramit nga teuml dheumlnat e serive sipas periudhave kohore caktohet lloji i funksionit matematikoreuml
Neumlse supozojme trendin linear ateumlhereuml funksioni matematikoreuml eumlshteuml
x ndash paraqet variableumln e pavarur (koheumln) y ndash paraqet funksionin (vlereumln e trendit) e cila analizoheta ndash vlera fillestare e trendit (kur x=0)b ndash koeficienti i rritjesreumlnies peumlr periudheumln e caktuar kohore
xbay
TRENDI LINEAR Peumlrdorimi i metodeumls seuml
katroreumlve meuml teuml vegjeumll me qeumlllim teuml fitimit teuml linearitetit meuml teuml afeumlrt
Shuma e shmangjeve teuml teuml dheumlnave nga vija e trendit duhet teuml jeteuml zero
Shuma e shmangjeve neuml katror teuml teuml dheumlnave nga vija e trendit duhet teuml jeteuml minimum
1 2 3 4 5
ab
a
a+5b
b
b
b
b
b
xbay y
x
0 ci yy
min2 ci yy
TRENDI LINEAR Pas rregullimit teuml
ekuacioneve teuml katroreumlve meuml teuml vegjeumll fitojmeuml dy ekuacione
Nga keumlto ekuacioone fitohen vlerat peumlr a dhe b
Meuml mireuml do teuml shihet kjo neuml shembulli e ardhsheumlm1 2 3 4 5
ab
a
a+5b
b
b
b
b
b
xbay y
x
xbany
2xbxaxy
TRENDI LINEAR
1979 12 0 0 00 91561980 10 1 1 100 132561981 18 2 4 360 173561982 20 3 9 600 214561983 30 4 16 1200 255561984 24 5 25 1200 296561985 38 6 36 2280 337561986 32 7 49 2240 378561987 46 8 64 3680 41956
Shuma 230 36 204 1166 230004
VitiShenja e
periudhes (x )
Produkti (xy )
Trendi (yc )Vlera e
investimeve (y )
xx2
Shembulli ndash Investimet neuml Kosoveuml gjateuml viteve
TRENDI LINEAR
Me aplikimin e akuacioneve teuml fituara meuml larteuml i llogarisim vlerat peumlr a dhe b
a=9156 dhe b=41 Neumlse keumlrkohet teuml llogaritet (prognozohen)
investimet peumlr vitin 1994 ateumlhereuml x=13
yc=9156+4113=62456
TRENDI LINEAR
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987
Vlera e investimeve (y) Trendi (yc)
TRENDI LINEAR
Metoda e trendit linear mund teuml thjeshteumlsohet duke e zhvendosur shenjeumln e periudheumls zero neuml mes teuml seriseuml seuml teuml dheumlnave
Poashtu llogaritja e trendit linear peumlrveq me numeumlr tek teuml teuml dheumlnave llogaritet edhe te seriteuml kohore me numeumlr ccedilift teuml dheumlnash
Gjithashtu peumlrmes metodeumls seuml trendit linear fitohen teuml dheumlna teuml rregullta edhe neuml rastet kur neuml serineuml mungon ndonje e dheumlneuml
TRENDI I PARABOLLES
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml leumlvizje disharmonike neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml i shkalleumls seuml dyteuml (neuml katror)
ose pas operacioneve matematikore
2xcxbay
4322
32
2
xcxbxayx
xcxbxayx
xcxbany
TRENDI I PARABOLLES
1978 31 -4 16 -64 256 -124 4960 270981979 46 -3 9 -27 81 -138 4140 501511980 61 -2 4 -8 16 -122 2440 671841981 74 -1 1 -1 1 -74 740 781971982 98 0 0 0 0 0 00 831901983 86 1 1 1 1 86 860 821631984 65 2 4 8 16 130 2600 751161985 61 3 9 27 81 183 5490 620491986 46 4 16 64 256 184 7360 42962
Shuma 568 0 60 0 708 125 2859 56811
VitiSiperfaqja e mbjellur (y )
Shenja e periudhes
(x )x x2y Trendi (yc )x x xy
Shembulli ndash mbjellja e fidaneve gjateuml viteve
x2 x3 x4 x2y
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr ab dhe c
TRENDI I PARABOLLES
0
20
40
60
80
100
120
1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986
Siperfaqja e mbjellur (y) Trendi (yc)
TRENDI EKSPONENCIAL
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml njeuml riteumlm tp njejteuml neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml eksponencial
ose pas operacioneve logaritmike fitojmeuml ekuacionet
xnmy
nxmxyx
nxmny
logloglog
logloglog2
TRENDI EKSPONENCIAL
1984 42 16 -3 9 -487 164 43651985 65 18 -2 4 -363 178 60541986 80 19 -1 1 -190 192 83971987 120 21 0 0 000 207 116461988 165 22 1 1 222 221 161531989 210 23 2 4 464 235 224051990 320 25 3 9 752 249 31075
Shuma 1002 0 28 398 1446 100094
Trendi (yc )logyVitiTe dhenat
(y )
Shenja e periudhes
(x )x x logy logy c
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr m dhe n
x2
TRENDI EKSPONENCIAL
0
50
100
150
200
250
300
350
1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
Te dhenat (y) Trendi (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Llojet e trendeve zakonisht nuk mung teuml
peumlrcaktohen lehteuml Deri tani eumlshteuml peumlrdoreuml meumlnyra vizuele
tendenceumls seuml dukurive neuml peumlrcaktimin e trendit Meumlnyra meuml e mireuml eumlshteuml peumlrmes gabimeve
standarde ku trendi meuml i mireuml peumlrcaktohet neuml bazeuml teuml gabimit meuml teuml vogeumll
n
yy ciyc
2
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
1976 36 -9 382 413 4271977 34 -8 422 443 4481978 44 -7 460 472 4701979 56 -6 498 501 4921980 58 -5 534 531 5161981 60 -4 569 560 5411982 64 -3 603 590 5671983 62 -2 635 619 5941984 70 -1 666 648 6231985 78 0 696 678 6531986 76 1 725 707 6851987 74 2 753 737 7181988 66 3 779 766 7531989 72 4 804 795 7891990 76 5 828 825 8271991 82 6 851 854 8671992 88 7 872 884 9091993 94 8 892 913 9531994 98 9 911 942 999n=19 1288 0 12880 12878 12831
Trendi Parabolloik
(yc )
Trendi Linear (yc )
Trendi Eksponencial
(yc )Viti
Te dhenat (y )
Periudha (x )
0
20
40
60
80
100
120
76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94
Te dhenat (y) Trendi Parabolloik (yc) Trendi Linear (yc) Trendi Eksponencial (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Gabimet standarde te trendi linear
Gabimet standarde te trendi i parabolleumls
Gabimet standarde te trendi eksponencial
Neuml bazeuml teuml gabimeve teuml llogaritura trendi i parabolleumls eumlshteuml meuml i peumlrshtatsheumlm peumlr rregullimin e teuml dheumlnave
8365
2
)(
n
yy cilyc
5995
2
)(
n
yy cipyc
7996
2
)(
n
yy cieyc
Shembull ndash analiza vjetore
METODA E MESATARES RRESHQITESE
Seria e te dhenave(Xi) me 3 te dhena me 5 te dhena
1980 55 - -1981 58 563 -1982 56 583 5861983 61 60 5961984 63 613 6161985 60 637 6381986 68 65 6541987 67 68 6761988 69 70 7121989 74 737 7381990 78 777 -1991 81 - -
Nivelet e mesatares rreshqiteseVitet
METODA E MESATARES RRESHQITESE
Me tri teuml dheumlna
Me peseuml teuml dheumlna
E keumlshtu me rradheuml deri me m8
3563
565855
3321
1
xxx
m
3583
615658
3432
2
xxx
m
6583
6361565855
354321
1
xxxxx
m
6593
6063615658
365432
2
xxxxx
m
METODA E MESATARES RRESHQITESE
50
55
60
65
70
75
80
85
1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991
Seria e te dhenave
me 3 te dhena
me 5 te dhena
METODA E MESATARES RRESHQITESE
E njejta procedure aplikohet neuml rastet kur nevoitet peumlrcjellja e trendeve sipas muajve ku analizohet afarizmi i kompanive
Pra peumlrmes mesatares rreumlshqiteumlse peumlrdoret neuml analizat teuml ndryshme teuml dukurive ekonomike psh teuml ardhurat kombeumltare etj
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
Peumlr ecurineuml dhe tendenceumln e dukurive peumlrdoret edhe Metoda e Leumlkundjeve Stinore (dmth mirret leumlvizjet sezonale teuml dukurive)
Tendencat e dukurive mund teuml analizohen sipas viteve tre-mujorve muajve javeumlve etj
Produktet dhe sheumlrbimet qeuml mund teuml analizohen janeuml produktet bujqeumlsore vesheumlmbathjet punimet ndeumlrtimore turizmi etj
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
1986 1987 1988Janar 108 102 120 330 1100 880Shurt 102 100 115 317 1057 845Mars 113 109 135 357 1190 952Prill 124 119 160 403 1343 1075Maj 155 135 175 465 1550 1240
Qershor 164 138 171 473 1577 1262Korrik 154 140 162 456 1520 1216Gusht 141 132 134 407 1357 1086
Shtator 118 114 112 344 1147 917Tetor 112 107 110 329 1097 877
Nentor 90 100 106 296 987 789Dhjetor 95 105 122 322 1073 859Gjithsejt 1476 1401 1622 4499 14997
Muajt Seria e te dhenave sipas viteve Gjithsejt Mesatarja mujore
Indekset stinore
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
Mesatarja mujore e tri viteve llogaritet keumlshtu
Peumlr muajin janar
Peumlr muajin dhjetor
n
xx i
i ku i=1-12
1103
1201021081
x
21073
1221959512
x
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
Peumlr llogaritjen e indeksit stinoreuml duhet teuml llogaritet mesatarja e peumlrgjishme mujore
Ndeumlrsa indeksi stinore llogariteumln keumlshtu
9712412
74991
n
xx i
p
100p
isi x
xl ku i=1-12
08810097124
01101001
1 p
s x
xl
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
700
800
900
1000
1100
1200
1300
Janar Shurt Mars Prill Maj Qershor Korrik Gusht Shtator Tetor Nentor Dhjetor
Inde
kset
stino
re
METODAT E TRENDIT
Fjala trend neuml anglisht do teuml thot diccedilka qeuml eumlshteuml neuml leumlvizje
Trendi paraqet analizeumln e ndrushimeve teuml dukurive neuml periudha teuml gjata kohore
Me aplikimin e analizeumls dinamike tentohet teuml eliminohen apo teuml zbuten ndryshimet apo variacionet e dukurive teuml analizuara
Teuml dheumlnat e mbledhura interpolohen dhe zavendeumlsohen meuml seri teuml reja teuml rregulluara
METODAT E TRENDIT
Zgjedhja e funksionit matematikor teuml trendit bazohet neuml keumlto forma kryesore
Drejtvijezore ne rritje
Drejtvijezore ne renie
Vijelakore ne rritje
Vijelakore ne renie
Levizje me oscilime
Pa drejtime te caktuara
TRENDI LINEAR
Vareumlsisht nga rezultatet e diagramit nga teuml dheumlnat e serive sipas periudhave kohore caktohet lloji i funksionit matematikoreuml
Neumlse supozojme trendin linear ateumlhereuml funksioni matematikoreuml eumlshteuml
x ndash paraqet variableumln e pavarur (koheumln) y ndash paraqet funksionin (vlereumln e trendit) e cila analizoheta ndash vlera fillestare e trendit (kur x=0)b ndash koeficienti i rritjesreumlnies peumlr periudheumln e caktuar kohore
xbay
TRENDI LINEAR Peumlrdorimi i metodeumls seuml
katroreumlve meuml teuml vegjeumll me qeumlllim teuml fitimit teuml linearitetit meuml teuml afeumlrt
Shuma e shmangjeve teuml teuml dheumlnave nga vija e trendit duhet teuml jeteuml zero
Shuma e shmangjeve neuml katror teuml teuml dheumlnave nga vija e trendit duhet teuml jeteuml minimum
1 2 3 4 5
ab
a
a+5b
b
b
b
b
b
xbay y
x
0 ci yy
min2 ci yy
TRENDI LINEAR Pas rregullimit teuml
ekuacioneve teuml katroreumlve meuml teuml vegjeumll fitojmeuml dy ekuacione
Nga keumlto ekuacioone fitohen vlerat peumlr a dhe b
Meuml mireuml do teuml shihet kjo neuml shembulli e ardhsheumlm1 2 3 4 5
ab
a
a+5b
b
b
b
b
b
xbay y
x
xbany
2xbxaxy
TRENDI LINEAR
1979 12 0 0 00 91561980 10 1 1 100 132561981 18 2 4 360 173561982 20 3 9 600 214561983 30 4 16 1200 255561984 24 5 25 1200 296561985 38 6 36 2280 337561986 32 7 49 2240 378561987 46 8 64 3680 41956
Shuma 230 36 204 1166 230004
VitiShenja e
periudhes (x )
Produkti (xy )
Trendi (yc )Vlera e
investimeve (y )
xx2
Shembulli ndash Investimet neuml Kosoveuml gjateuml viteve
TRENDI LINEAR
Me aplikimin e akuacioneve teuml fituara meuml larteuml i llogarisim vlerat peumlr a dhe b
a=9156 dhe b=41 Neumlse keumlrkohet teuml llogaritet (prognozohen)
investimet peumlr vitin 1994 ateumlhereuml x=13
yc=9156+4113=62456
TRENDI LINEAR
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987
Vlera e investimeve (y) Trendi (yc)
TRENDI LINEAR
Metoda e trendit linear mund teuml thjeshteumlsohet duke e zhvendosur shenjeumln e periudheumls zero neuml mes teuml seriseuml seuml teuml dheumlnave
Poashtu llogaritja e trendit linear peumlrveq me numeumlr tek teuml teuml dheumlnave llogaritet edhe te seriteuml kohore me numeumlr ccedilift teuml dheumlnash
Gjithashtu peumlrmes metodeumls seuml trendit linear fitohen teuml dheumlna teuml rregullta edhe neuml rastet kur neuml serineuml mungon ndonje e dheumlneuml
TRENDI I PARABOLLES
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml leumlvizje disharmonike neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml i shkalleumls seuml dyteuml (neuml katror)
ose pas operacioneve matematikore
2xcxbay
4322
32
2
xcxbxayx
xcxbxayx
xcxbany
TRENDI I PARABOLLES
1978 31 -4 16 -64 256 -124 4960 270981979 46 -3 9 -27 81 -138 4140 501511980 61 -2 4 -8 16 -122 2440 671841981 74 -1 1 -1 1 -74 740 781971982 98 0 0 0 0 0 00 831901983 86 1 1 1 1 86 860 821631984 65 2 4 8 16 130 2600 751161985 61 3 9 27 81 183 5490 620491986 46 4 16 64 256 184 7360 42962
Shuma 568 0 60 0 708 125 2859 56811
VitiSiperfaqja e mbjellur (y )
Shenja e periudhes
(x )x x2y Trendi (yc )x x xy
Shembulli ndash mbjellja e fidaneve gjateuml viteve
x2 x3 x4 x2y
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr ab dhe c
TRENDI I PARABOLLES
0
20
40
60
80
100
120
1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986
Siperfaqja e mbjellur (y) Trendi (yc)
TRENDI EKSPONENCIAL
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml njeuml riteumlm tp njejteuml neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml eksponencial
ose pas operacioneve logaritmike fitojmeuml ekuacionet
xnmy
nxmxyx
nxmny
logloglog
logloglog2
TRENDI EKSPONENCIAL
1984 42 16 -3 9 -487 164 43651985 65 18 -2 4 -363 178 60541986 80 19 -1 1 -190 192 83971987 120 21 0 0 000 207 116461988 165 22 1 1 222 221 161531989 210 23 2 4 464 235 224051990 320 25 3 9 752 249 31075
Shuma 1002 0 28 398 1446 100094
Trendi (yc )logyVitiTe dhenat
(y )
Shenja e periudhes
(x )x x logy logy c
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr m dhe n
x2
TRENDI EKSPONENCIAL
0
50
100
150
200
250
300
350
1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
Te dhenat (y) Trendi (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Llojet e trendeve zakonisht nuk mung teuml
peumlrcaktohen lehteuml Deri tani eumlshteuml peumlrdoreuml meumlnyra vizuele
tendenceumls seuml dukurive neuml peumlrcaktimin e trendit Meumlnyra meuml e mireuml eumlshteuml peumlrmes gabimeve
standarde ku trendi meuml i mireuml peumlrcaktohet neuml bazeuml teuml gabimit meuml teuml vogeumll
n
yy ciyc
2
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
1976 36 -9 382 413 4271977 34 -8 422 443 4481978 44 -7 460 472 4701979 56 -6 498 501 4921980 58 -5 534 531 5161981 60 -4 569 560 5411982 64 -3 603 590 5671983 62 -2 635 619 5941984 70 -1 666 648 6231985 78 0 696 678 6531986 76 1 725 707 6851987 74 2 753 737 7181988 66 3 779 766 7531989 72 4 804 795 7891990 76 5 828 825 8271991 82 6 851 854 8671992 88 7 872 884 9091993 94 8 892 913 9531994 98 9 911 942 999n=19 1288 0 12880 12878 12831
Trendi Parabolloik
(yc )
Trendi Linear (yc )
Trendi Eksponencial
(yc )Viti
Te dhenat (y )
Periudha (x )
0
20
40
60
80
100
120
76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94
Te dhenat (y) Trendi Parabolloik (yc) Trendi Linear (yc) Trendi Eksponencial (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Gabimet standarde te trendi linear
Gabimet standarde te trendi i parabolleumls
Gabimet standarde te trendi eksponencial
Neuml bazeuml teuml gabimeve teuml llogaritura trendi i parabolleumls eumlshteuml meuml i peumlrshtatsheumlm peumlr rregullimin e teuml dheumlnave
8365
2
)(
n
yy cilyc
5995
2
)(
n
yy cipyc
7996
2
)(
n
yy cieyc
METODA E MESATARES RRESHQITESE
Me tri teuml dheumlna
Me peseuml teuml dheumlna
E keumlshtu me rradheuml deri me m8
3563
565855
3321
1
xxx
m
3583
615658
3432
2
xxx
m
6583
6361565855
354321
1
xxxxx
m
6593
6063615658
365432
2
xxxxx
m
METODA E MESATARES RRESHQITESE
50
55
60
65
70
75
80
85
1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991
Seria e te dhenave
me 3 te dhena
me 5 te dhena
METODA E MESATARES RRESHQITESE
E njejta procedure aplikohet neuml rastet kur nevoitet peumlrcjellja e trendeve sipas muajve ku analizohet afarizmi i kompanive
Pra peumlrmes mesatares rreumlshqiteumlse peumlrdoret neuml analizat teuml ndryshme teuml dukurive ekonomike psh teuml ardhurat kombeumltare etj
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
Peumlr ecurineuml dhe tendenceumln e dukurive peumlrdoret edhe Metoda e Leumlkundjeve Stinore (dmth mirret leumlvizjet sezonale teuml dukurive)
Tendencat e dukurive mund teuml analizohen sipas viteve tre-mujorve muajve javeumlve etj
Produktet dhe sheumlrbimet qeuml mund teuml analizohen janeuml produktet bujqeumlsore vesheumlmbathjet punimet ndeumlrtimore turizmi etj
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
1986 1987 1988Janar 108 102 120 330 1100 880Shurt 102 100 115 317 1057 845Mars 113 109 135 357 1190 952Prill 124 119 160 403 1343 1075Maj 155 135 175 465 1550 1240
Qershor 164 138 171 473 1577 1262Korrik 154 140 162 456 1520 1216Gusht 141 132 134 407 1357 1086
Shtator 118 114 112 344 1147 917Tetor 112 107 110 329 1097 877
Nentor 90 100 106 296 987 789Dhjetor 95 105 122 322 1073 859Gjithsejt 1476 1401 1622 4499 14997
Muajt Seria e te dhenave sipas viteve Gjithsejt Mesatarja mujore
Indekset stinore
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
Mesatarja mujore e tri viteve llogaritet keumlshtu
Peumlr muajin janar
Peumlr muajin dhjetor
n
xx i
i ku i=1-12
1103
1201021081
x
21073
1221959512
x
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
Peumlr llogaritjen e indeksit stinoreuml duhet teuml llogaritet mesatarja e peumlrgjishme mujore
Ndeumlrsa indeksi stinore llogariteumln keumlshtu
9712412
74991
n
xx i
p
100p
isi x
xl ku i=1-12
08810097124
01101001
1 p
s x
xl
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
700
800
900
1000
1100
1200
1300
Janar Shurt Mars Prill Maj Qershor Korrik Gusht Shtator Tetor Nentor Dhjetor
Inde
kset
stino
re
METODAT E TRENDIT
Fjala trend neuml anglisht do teuml thot diccedilka qeuml eumlshteuml neuml leumlvizje
Trendi paraqet analizeumln e ndrushimeve teuml dukurive neuml periudha teuml gjata kohore
Me aplikimin e analizeumls dinamike tentohet teuml eliminohen apo teuml zbuten ndryshimet apo variacionet e dukurive teuml analizuara
Teuml dheumlnat e mbledhura interpolohen dhe zavendeumlsohen meuml seri teuml reja teuml rregulluara
METODAT E TRENDIT
Zgjedhja e funksionit matematikor teuml trendit bazohet neuml keumlto forma kryesore
Drejtvijezore ne rritje
Drejtvijezore ne renie
Vijelakore ne rritje
Vijelakore ne renie
Levizje me oscilime
Pa drejtime te caktuara
TRENDI LINEAR
Vareumlsisht nga rezultatet e diagramit nga teuml dheumlnat e serive sipas periudhave kohore caktohet lloji i funksionit matematikoreuml
Neumlse supozojme trendin linear ateumlhereuml funksioni matematikoreuml eumlshteuml
x ndash paraqet variableumln e pavarur (koheumln) y ndash paraqet funksionin (vlereumln e trendit) e cila analizoheta ndash vlera fillestare e trendit (kur x=0)b ndash koeficienti i rritjesreumlnies peumlr periudheumln e caktuar kohore
xbay
TRENDI LINEAR Peumlrdorimi i metodeumls seuml
katroreumlve meuml teuml vegjeumll me qeumlllim teuml fitimit teuml linearitetit meuml teuml afeumlrt
Shuma e shmangjeve teuml teuml dheumlnave nga vija e trendit duhet teuml jeteuml zero
Shuma e shmangjeve neuml katror teuml teuml dheumlnave nga vija e trendit duhet teuml jeteuml minimum
1 2 3 4 5
ab
a
a+5b
b
b
b
b
b
xbay y
x
0 ci yy
min2 ci yy
TRENDI LINEAR Pas rregullimit teuml
ekuacioneve teuml katroreumlve meuml teuml vegjeumll fitojmeuml dy ekuacione
Nga keumlto ekuacioone fitohen vlerat peumlr a dhe b
Meuml mireuml do teuml shihet kjo neuml shembulli e ardhsheumlm1 2 3 4 5
ab
a
a+5b
b
b
b
b
b
xbay y
x
xbany
2xbxaxy
TRENDI LINEAR
1979 12 0 0 00 91561980 10 1 1 100 132561981 18 2 4 360 173561982 20 3 9 600 214561983 30 4 16 1200 255561984 24 5 25 1200 296561985 38 6 36 2280 337561986 32 7 49 2240 378561987 46 8 64 3680 41956
Shuma 230 36 204 1166 230004
VitiShenja e
periudhes (x )
Produkti (xy )
Trendi (yc )Vlera e
investimeve (y )
xx2
Shembulli ndash Investimet neuml Kosoveuml gjateuml viteve
TRENDI LINEAR
Me aplikimin e akuacioneve teuml fituara meuml larteuml i llogarisim vlerat peumlr a dhe b
a=9156 dhe b=41 Neumlse keumlrkohet teuml llogaritet (prognozohen)
investimet peumlr vitin 1994 ateumlhereuml x=13
yc=9156+4113=62456
TRENDI LINEAR
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987
Vlera e investimeve (y) Trendi (yc)
TRENDI LINEAR
Metoda e trendit linear mund teuml thjeshteumlsohet duke e zhvendosur shenjeumln e periudheumls zero neuml mes teuml seriseuml seuml teuml dheumlnave
Poashtu llogaritja e trendit linear peumlrveq me numeumlr tek teuml teuml dheumlnave llogaritet edhe te seriteuml kohore me numeumlr ccedilift teuml dheumlnash
Gjithashtu peumlrmes metodeumls seuml trendit linear fitohen teuml dheumlna teuml rregullta edhe neuml rastet kur neuml serineuml mungon ndonje e dheumlneuml
TRENDI I PARABOLLES
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml leumlvizje disharmonike neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml i shkalleumls seuml dyteuml (neuml katror)
ose pas operacioneve matematikore
2xcxbay
4322
32
2
xcxbxayx
xcxbxayx
xcxbany
TRENDI I PARABOLLES
1978 31 -4 16 -64 256 -124 4960 270981979 46 -3 9 -27 81 -138 4140 501511980 61 -2 4 -8 16 -122 2440 671841981 74 -1 1 -1 1 -74 740 781971982 98 0 0 0 0 0 00 831901983 86 1 1 1 1 86 860 821631984 65 2 4 8 16 130 2600 751161985 61 3 9 27 81 183 5490 620491986 46 4 16 64 256 184 7360 42962
Shuma 568 0 60 0 708 125 2859 56811
VitiSiperfaqja e mbjellur (y )
Shenja e periudhes
(x )x x2y Trendi (yc )x x xy
Shembulli ndash mbjellja e fidaneve gjateuml viteve
x2 x3 x4 x2y
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr ab dhe c
TRENDI I PARABOLLES
0
20
40
60
80
100
120
1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986
Siperfaqja e mbjellur (y) Trendi (yc)
TRENDI EKSPONENCIAL
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml njeuml riteumlm tp njejteuml neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml eksponencial
ose pas operacioneve logaritmike fitojmeuml ekuacionet
xnmy
nxmxyx
nxmny
logloglog
logloglog2
TRENDI EKSPONENCIAL
1984 42 16 -3 9 -487 164 43651985 65 18 -2 4 -363 178 60541986 80 19 -1 1 -190 192 83971987 120 21 0 0 000 207 116461988 165 22 1 1 222 221 161531989 210 23 2 4 464 235 224051990 320 25 3 9 752 249 31075
Shuma 1002 0 28 398 1446 100094
Trendi (yc )logyVitiTe dhenat
(y )
Shenja e periudhes
(x )x x logy logy c
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr m dhe n
x2
TRENDI EKSPONENCIAL
0
50
100
150
200
250
300
350
1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
Te dhenat (y) Trendi (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Llojet e trendeve zakonisht nuk mung teuml
peumlrcaktohen lehteuml Deri tani eumlshteuml peumlrdoreuml meumlnyra vizuele
tendenceumls seuml dukurive neuml peumlrcaktimin e trendit Meumlnyra meuml e mireuml eumlshteuml peumlrmes gabimeve
standarde ku trendi meuml i mireuml peumlrcaktohet neuml bazeuml teuml gabimit meuml teuml vogeumll
n
yy ciyc
2
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
1976 36 -9 382 413 4271977 34 -8 422 443 4481978 44 -7 460 472 4701979 56 -6 498 501 4921980 58 -5 534 531 5161981 60 -4 569 560 5411982 64 -3 603 590 5671983 62 -2 635 619 5941984 70 -1 666 648 6231985 78 0 696 678 6531986 76 1 725 707 6851987 74 2 753 737 7181988 66 3 779 766 7531989 72 4 804 795 7891990 76 5 828 825 8271991 82 6 851 854 8671992 88 7 872 884 9091993 94 8 892 913 9531994 98 9 911 942 999n=19 1288 0 12880 12878 12831
Trendi Parabolloik
(yc )
Trendi Linear (yc )
Trendi Eksponencial
(yc )Viti
Te dhenat (y )
Periudha (x )
0
20
40
60
80
100
120
76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94
Te dhenat (y) Trendi Parabolloik (yc) Trendi Linear (yc) Trendi Eksponencial (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Gabimet standarde te trendi linear
Gabimet standarde te trendi i parabolleumls
Gabimet standarde te trendi eksponencial
Neuml bazeuml teuml gabimeve teuml llogaritura trendi i parabolleumls eumlshteuml meuml i peumlrshtatsheumlm peumlr rregullimin e teuml dheumlnave
8365
2
)(
n
yy cilyc
5995
2
)(
n
yy cipyc
7996
2
)(
n
yy cieyc
METODA E MESATARES RRESHQITESE
50
55
60
65
70
75
80
85
1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991
Seria e te dhenave
me 3 te dhena
me 5 te dhena
METODA E MESATARES RRESHQITESE
E njejta procedure aplikohet neuml rastet kur nevoitet peumlrcjellja e trendeve sipas muajve ku analizohet afarizmi i kompanive
Pra peumlrmes mesatares rreumlshqiteumlse peumlrdoret neuml analizat teuml ndryshme teuml dukurive ekonomike psh teuml ardhurat kombeumltare etj
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
Peumlr ecurineuml dhe tendenceumln e dukurive peumlrdoret edhe Metoda e Leumlkundjeve Stinore (dmth mirret leumlvizjet sezonale teuml dukurive)
Tendencat e dukurive mund teuml analizohen sipas viteve tre-mujorve muajve javeumlve etj
Produktet dhe sheumlrbimet qeuml mund teuml analizohen janeuml produktet bujqeumlsore vesheumlmbathjet punimet ndeumlrtimore turizmi etj
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
1986 1987 1988Janar 108 102 120 330 1100 880Shurt 102 100 115 317 1057 845Mars 113 109 135 357 1190 952Prill 124 119 160 403 1343 1075Maj 155 135 175 465 1550 1240
Qershor 164 138 171 473 1577 1262Korrik 154 140 162 456 1520 1216Gusht 141 132 134 407 1357 1086
Shtator 118 114 112 344 1147 917Tetor 112 107 110 329 1097 877
Nentor 90 100 106 296 987 789Dhjetor 95 105 122 322 1073 859Gjithsejt 1476 1401 1622 4499 14997
Muajt Seria e te dhenave sipas viteve Gjithsejt Mesatarja mujore
Indekset stinore
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
Mesatarja mujore e tri viteve llogaritet keumlshtu
Peumlr muajin janar
Peumlr muajin dhjetor
n
xx i
i ku i=1-12
1103
1201021081
x
21073
1221959512
x
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
Peumlr llogaritjen e indeksit stinoreuml duhet teuml llogaritet mesatarja e peumlrgjishme mujore
Ndeumlrsa indeksi stinore llogariteumln keumlshtu
9712412
74991
n
xx i
p
100p
isi x
xl ku i=1-12
08810097124
01101001
1 p
s x
xl
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
700
800
900
1000
1100
1200
1300
Janar Shurt Mars Prill Maj Qershor Korrik Gusht Shtator Tetor Nentor Dhjetor
Inde
kset
stino
re
METODAT E TRENDIT
Fjala trend neuml anglisht do teuml thot diccedilka qeuml eumlshteuml neuml leumlvizje
Trendi paraqet analizeumln e ndrushimeve teuml dukurive neuml periudha teuml gjata kohore
Me aplikimin e analizeumls dinamike tentohet teuml eliminohen apo teuml zbuten ndryshimet apo variacionet e dukurive teuml analizuara
Teuml dheumlnat e mbledhura interpolohen dhe zavendeumlsohen meuml seri teuml reja teuml rregulluara
METODAT E TRENDIT
Zgjedhja e funksionit matematikor teuml trendit bazohet neuml keumlto forma kryesore
Drejtvijezore ne rritje
Drejtvijezore ne renie
Vijelakore ne rritje
Vijelakore ne renie
Levizje me oscilime
Pa drejtime te caktuara
TRENDI LINEAR
Vareumlsisht nga rezultatet e diagramit nga teuml dheumlnat e serive sipas periudhave kohore caktohet lloji i funksionit matematikoreuml
Neumlse supozojme trendin linear ateumlhereuml funksioni matematikoreuml eumlshteuml
x ndash paraqet variableumln e pavarur (koheumln) y ndash paraqet funksionin (vlereumln e trendit) e cila analizoheta ndash vlera fillestare e trendit (kur x=0)b ndash koeficienti i rritjesreumlnies peumlr periudheumln e caktuar kohore
xbay
TRENDI LINEAR Peumlrdorimi i metodeumls seuml
katroreumlve meuml teuml vegjeumll me qeumlllim teuml fitimit teuml linearitetit meuml teuml afeumlrt
Shuma e shmangjeve teuml teuml dheumlnave nga vija e trendit duhet teuml jeteuml zero
Shuma e shmangjeve neuml katror teuml teuml dheumlnave nga vija e trendit duhet teuml jeteuml minimum
1 2 3 4 5
ab
a
a+5b
b
b
b
b
b
xbay y
x
0 ci yy
min2 ci yy
TRENDI LINEAR Pas rregullimit teuml
ekuacioneve teuml katroreumlve meuml teuml vegjeumll fitojmeuml dy ekuacione
Nga keumlto ekuacioone fitohen vlerat peumlr a dhe b
Meuml mireuml do teuml shihet kjo neuml shembulli e ardhsheumlm1 2 3 4 5
ab
a
a+5b
b
b
b
b
b
xbay y
x
xbany
2xbxaxy
TRENDI LINEAR
1979 12 0 0 00 91561980 10 1 1 100 132561981 18 2 4 360 173561982 20 3 9 600 214561983 30 4 16 1200 255561984 24 5 25 1200 296561985 38 6 36 2280 337561986 32 7 49 2240 378561987 46 8 64 3680 41956
Shuma 230 36 204 1166 230004
VitiShenja e
periudhes (x )
Produkti (xy )
Trendi (yc )Vlera e
investimeve (y )
xx2
Shembulli ndash Investimet neuml Kosoveuml gjateuml viteve
TRENDI LINEAR
Me aplikimin e akuacioneve teuml fituara meuml larteuml i llogarisim vlerat peumlr a dhe b
a=9156 dhe b=41 Neumlse keumlrkohet teuml llogaritet (prognozohen)
investimet peumlr vitin 1994 ateumlhereuml x=13
yc=9156+4113=62456
TRENDI LINEAR
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987
Vlera e investimeve (y) Trendi (yc)
TRENDI LINEAR
Metoda e trendit linear mund teuml thjeshteumlsohet duke e zhvendosur shenjeumln e periudheumls zero neuml mes teuml seriseuml seuml teuml dheumlnave
Poashtu llogaritja e trendit linear peumlrveq me numeumlr tek teuml teuml dheumlnave llogaritet edhe te seriteuml kohore me numeumlr ccedilift teuml dheumlnash
Gjithashtu peumlrmes metodeumls seuml trendit linear fitohen teuml dheumlna teuml rregullta edhe neuml rastet kur neuml serineuml mungon ndonje e dheumlneuml
TRENDI I PARABOLLES
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml leumlvizje disharmonike neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml i shkalleumls seuml dyteuml (neuml katror)
ose pas operacioneve matematikore
2xcxbay
4322
32
2
xcxbxayx
xcxbxayx
xcxbany
TRENDI I PARABOLLES
1978 31 -4 16 -64 256 -124 4960 270981979 46 -3 9 -27 81 -138 4140 501511980 61 -2 4 -8 16 -122 2440 671841981 74 -1 1 -1 1 -74 740 781971982 98 0 0 0 0 0 00 831901983 86 1 1 1 1 86 860 821631984 65 2 4 8 16 130 2600 751161985 61 3 9 27 81 183 5490 620491986 46 4 16 64 256 184 7360 42962
Shuma 568 0 60 0 708 125 2859 56811
VitiSiperfaqja e mbjellur (y )
Shenja e periudhes
(x )x x2y Trendi (yc )x x xy
Shembulli ndash mbjellja e fidaneve gjateuml viteve
x2 x3 x4 x2y
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr ab dhe c
TRENDI I PARABOLLES
0
20
40
60
80
100
120
1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986
Siperfaqja e mbjellur (y) Trendi (yc)
TRENDI EKSPONENCIAL
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml njeuml riteumlm tp njejteuml neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml eksponencial
ose pas operacioneve logaritmike fitojmeuml ekuacionet
xnmy
nxmxyx
nxmny
logloglog
logloglog2
TRENDI EKSPONENCIAL
1984 42 16 -3 9 -487 164 43651985 65 18 -2 4 -363 178 60541986 80 19 -1 1 -190 192 83971987 120 21 0 0 000 207 116461988 165 22 1 1 222 221 161531989 210 23 2 4 464 235 224051990 320 25 3 9 752 249 31075
Shuma 1002 0 28 398 1446 100094
Trendi (yc )logyVitiTe dhenat
(y )
Shenja e periudhes
(x )x x logy logy c
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr m dhe n
x2
TRENDI EKSPONENCIAL
0
50
100
150
200
250
300
350
1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
Te dhenat (y) Trendi (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Llojet e trendeve zakonisht nuk mung teuml
peumlrcaktohen lehteuml Deri tani eumlshteuml peumlrdoreuml meumlnyra vizuele
tendenceumls seuml dukurive neuml peumlrcaktimin e trendit Meumlnyra meuml e mireuml eumlshteuml peumlrmes gabimeve
standarde ku trendi meuml i mireuml peumlrcaktohet neuml bazeuml teuml gabimit meuml teuml vogeumll
n
yy ciyc
2
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
1976 36 -9 382 413 4271977 34 -8 422 443 4481978 44 -7 460 472 4701979 56 -6 498 501 4921980 58 -5 534 531 5161981 60 -4 569 560 5411982 64 -3 603 590 5671983 62 -2 635 619 5941984 70 -1 666 648 6231985 78 0 696 678 6531986 76 1 725 707 6851987 74 2 753 737 7181988 66 3 779 766 7531989 72 4 804 795 7891990 76 5 828 825 8271991 82 6 851 854 8671992 88 7 872 884 9091993 94 8 892 913 9531994 98 9 911 942 999n=19 1288 0 12880 12878 12831
Trendi Parabolloik
(yc )
Trendi Linear (yc )
Trendi Eksponencial
(yc )Viti
Te dhenat (y )
Periudha (x )
0
20
40
60
80
100
120
76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94
Te dhenat (y) Trendi Parabolloik (yc) Trendi Linear (yc) Trendi Eksponencial (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Gabimet standarde te trendi linear
Gabimet standarde te trendi i parabolleumls
Gabimet standarde te trendi eksponencial
Neuml bazeuml teuml gabimeve teuml llogaritura trendi i parabolleumls eumlshteuml meuml i peumlrshtatsheumlm peumlr rregullimin e teuml dheumlnave
8365
2
)(
n
yy cilyc
5995
2
)(
n
yy cipyc
7996
2
)(
n
yy cieyc
METODA E MESATARES RRESHQITESE
E njejta procedure aplikohet neuml rastet kur nevoitet peumlrcjellja e trendeve sipas muajve ku analizohet afarizmi i kompanive
Pra peumlrmes mesatares rreumlshqiteumlse peumlrdoret neuml analizat teuml ndryshme teuml dukurive ekonomike psh teuml ardhurat kombeumltare etj
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
Peumlr ecurineuml dhe tendenceumln e dukurive peumlrdoret edhe Metoda e Leumlkundjeve Stinore (dmth mirret leumlvizjet sezonale teuml dukurive)
Tendencat e dukurive mund teuml analizohen sipas viteve tre-mujorve muajve javeumlve etj
Produktet dhe sheumlrbimet qeuml mund teuml analizohen janeuml produktet bujqeumlsore vesheumlmbathjet punimet ndeumlrtimore turizmi etj
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
1986 1987 1988Janar 108 102 120 330 1100 880Shurt 102 100 115 317 1057 845Mars 113 109 135 357 1190 952Prill 124 119 160 403 1343 1075Maj 155 135 175 465 1550 1240
Qershor 164 138 171 473 1577 1262Korrik 154 140 162 456 1520 1216Gusht 141 132 134 407 1357 1086
Shtator 118 114 112 344 1147 917Tetor 112 107 110 329 1097 877
Nentor 90 100 106 296 987 789Dhjetor 95 105 122 322 1073 859Gjithsejt 1476 1401 1622 4499 14997
Muajt Seria e te dhenave sipas viteve Gjithsejt Mesatarja mujore
Indekset stinore
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
Mesatarja mujore e tri viteve llogaritet keumlshtu
Peumlr muajin janar
Peumlr muajin dhjetor
n
xx i
i ku i=1-12
1103
1201021081
x
21073
1221959512
x
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
Peumlr llogaritjen e indeksit stinoreuml duhet teuml llogaritet mesatarja e peumlrgjishme mujore
Ndeumlrsa indeksi stinore llogariteumln keumlshtu
9712412
74991
n
xx i
p
100p
isi x
xl ku i=1-12
08810097124
01101001
1 p
s x
xl
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
700
800
900
1000
1100
1200
1300
Janar Shurt Mars Prill Maj Qershor Korrik Gusht Shtator Tetor Nentor Dhjetor
Inde
kset
stino
re
METODAT E TRENDIT
Fjala trend neuml anglisht do teuml thot diccedilka qeuml eumlshteuml neuml leumlvizje
Trendi paraqet analizeumln e ndrushimeve teuml dukurive neuml periudha teuml gjata kohore
Me aplikimin e analizeumls dinamike tentohet teuml eliminohen apo teuml zbuten ndryshimet apo variacionet e dukurive teuml analizuara
Teuml dheumlnat e mbledhura interpolohen dhe zavendeumlsohen meuml seri teuml reja teuml rregulluara
METODAT E TRENDIT
Zgjedhja e funksionit matematikor teuml trendit bazohet neuml keumlto forma kryesore
Drejtvijezore ne rritje
Drejtvijezore ne renie
Vijelakore ne rritje
Vijelakore ne renie
Levizje me oscilime
Pa drejtime te caktuara
TRENDI LINEAR
Vareumlsisht nga rezultatet e diagramit nga teuml dheumlnat e serive sipas periudhave kohore caktohet lloji i funksionit matematikoreuml
Neumlse supozojme trendin linear ateumlhereuml funksioni matematikoreuml eumlshteuml
x ndash paraqet variableumln e pavarur (koheumln) y ndash paraqet funksionin (vlereumln e trendit) e cila analizoheta ndash vlera fillestare e trendit (kur x=0)b ndash koeficienti i rritjesreumlnies peumlr periudheumln e caktuar kohore
xbay
TRENDI LINEAR Peumlrdorimi i metodeumls seuml
katroreumlve meuml teuml vegjeumll me qeumlllim teuml fitimit teuml linearitetit meuml teuml afeumlrt
Shuma e shmangjeve teuml teuml dheumlnave nga vija e trendit duhet teuml jeteuml zero
Shuma e shmangjeve neuml katror teuml teuml dheumlnave nga vija e trendit duhet teuml jeteuml minimum
1 2 3 4 5
ab
a
a+5b
b
b
b
b
b
xbay y
x
0 ci yy
min2 ci yy
TRENDI LINEAR Pas rregullimit teuml
ekuacioneve teuml katroreumlve meuml teuml vegjeumll fitojmeuml dy ekuacione
Nga keumlto ekuacioone fitohen vlerat peumlr a dhe b
Meuml mireuml do teuml shihet kjo neuml shembulli e ardhsheumlm1 2 3 4 5
ab
a
a+5b
b
b
b
b
b
xbay y
x
xbany
2xbxaxy
TRENDI LINEAR
1979 12 0 0 00 91561980 10 1 1 100 132561981 18 2 4 360 173561982 20 3 9 600 214561983 30 4 16 1200 255561984 24 5 25 1200 296561985 38 6 36 2280 337561986 32 7 49 2240 378561987 46 8 64 3680 41956
Shuma 230 36 204 1166 230004
VitiShenja e
periudhes (x )
Produkti (xy )
Trendi (yc )Vlera e
investimeve (y )
xx2
Shembulli ndash Investimet neuml Kosoveuml gjateuml viteve
TRENDI LINEAR
Me aplikimin e akuacioneve teuml fituara meuml larteuml i llogarisim vlerat peumlr a dhe b
a=9156 dhe b=41 Neumlse keumlrkohet teuml llogaritet (prognozohen)
investimet peumlr vitin 1994 ateumlhereuml x=13
yc=9156+4113=62456
TRENDI LINEAR
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987
Vlera e investimeve (y) Trendi (yc)
TRENDI LINEAR
Metoda e trendit linear mund teuml thjeshteumlsohet duke e zhvendosur shenjeumln e periudheumls zero neuml mes teuml seriseuml seuml teuml dheumlnave
Poashtu llogaritja e trendit linear peumlrveq me numeumlr tek teuml teuml dheumlnave llogaritet edhe te seriteuml kohore me numeumlr ccedilift teuml dheumlnash
Gjithashtu peumlrmes metodeumls seuml trendit linear fitohen teuml dheumlna teuml rregullta edhe neuml rastet kur neuml serineuml mungon ndonje e dheumlneuml
TRENDI I PARABOLLES
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml leumlvizje disharmonike neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml i shkalleumls seuml dyteuml (neuml katror)
ose pas operacioneve matematikore
2xcxbay
4322
32
2
xcxbxayx
xcxbxayx
xcxbany
TRENDI I PARABOLLES
1978 31 -4 16 -64 256 -124 4960 270981979 46 -3 9 -27 81 -138 4140 501511980 61 -2 4 -8 16 -122 2440 671841981 74 -1 1 -1 1 -74 740 781971982 98 0 0 0 0 0 00 831901983 86 1 1 1 1 86 860 821631984 65 2 4 8 16 130 2600 751161985 61 3 9 27 81 183 5490 620491986 46 4 16 64 256 184 7360 42962
Shuma 568 0 60 0 708 125 2859 56811
VitiSiperfaqja e mbjellur (y )
Shenja e periudhes
(x )x x2y Trendi (yc )x x xy
Shembulli ndash mbjellja e fidaneve gjateuml viteve
x2 x3 x4 x2y
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr ab dhe c
TRENDI I PARABOLLES
0
20
40
60
80
100
120
1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986
Siperfaqja e mbjellur (y) Trendi (yc)
TRENDI EKSPONENCIAL
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml njeuml riteumlm tp njejteuml neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml eksponencial
ose pas operacioneve logaritmike fitojmeuml ekuacionet
xnmy
nxmxyx
nxmny
logloglog
logloglog2
TRENDI EKSPONENCIAL
1984 42 16 -3 9 -487 164 43651985 65 18 -2 4 -363 178 60541986 80 19 -1 1 -190 192 83971987 120 21 0 0 000 207 116461988 165 22 1 1 222 221 161531989 210 23 2 4 464 235 224051990 320 25 3 9 752 249 31075
Shuma 1002 0 28 398 1446 100094
Trendi (yc )logyVitiTe dhenat
(y )
Shenja e periudhes
(x )x x logy logy c
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr m dhe n
x2
TRENDI EKSPONENCIAL
0
50
100
150
200
250
300
350
1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
Te dhenat (y) Trendi (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Llojet e trendeve zakonisht nuk mung teuml
peumlrcaktohen lehteuml Deri tani eumlshteuml peumlrdoreuml meumlnyra vizuele
tendenceumls seuml dukurive neuml peumlrcaktimin e trendit Meumlnyra meuml e mireuml eumlshteuml peumlrmes gabimeve
standarde ku trendi meuml i mireuml peumlrcaktohet neuml bazeuml teuml gabimit meuml teuml vogeumll
n
yy ciyc
2
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
1976 36 -9 382 413 4271977 34 -8 422 443 4481978 44 -7 460 472 4701979 56 -6 498 501 4921980 58 -5 534 531 5161981 60 -4 569 560 5411982 64 -3 603 590 5671983 62 -2 635 619 5941984 70 -1 666 648 6231985 78 0 696 678 6531986 76 1 725 707 6851987 74 2 753 737 7181988 66 3 779 766 7531989 72 4 804 795 7891990 76 5 828 825 8271991 82 6 851 854 8671992 88 7 872 884 9091993 94 8 892 913 9531994 98 9 911 942 999n=19 1288 0 12880 12878 12831
Trendi Parabolloik
(yc )
Trendi Linear (yc )
Trendi Eksponencial
(yc )Viti
Te dhenat (y )
Periudha (x )
0
20
40
60
80
100
120
76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94
Te dhenat (y) Trendi Parabolloik (yc) Trendi Linear (yc) Trendi Eksponencial (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Gabimet standarde te trendi linear
Gabimet standarde te trendi i parabolleumls
Gabimet standarde te trendi eksponencial
Neuml bazeuml teuml gabimeve teuml llogaritura trendi i parabolleumls eumlshteuml meuml i peumlrshtatsheumlm peumlr rregullimin e teuml dheumlnave
8365
2
)(
n
yy cilyc
5995
2
)(
n
yy cipyc
7996
2
)(
n
yy cieyc
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
Peumlr ecurineuml dhe tendenceumln e dukurive peumlrdoret edhe Metoda e Leumlkundjeve Stinore (dmth mirret leumlvizjet sezonale teuml dukurive)
Tendencat e dukurive mund teuml analizohen sipas viteve tre-mujorve muajve javeumlve etj
Produktet dhe sheumlrbimet qeuml mund teuml analizohen janeuml produktet bujqeumlsore vesheumlmbathjet punimet ndeumlrtimore turizmi etj
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
1986 1987 1988Janar 108 102 120 330 1100 880Shurt 102 100 115 317 1057 845Mars 113 109 135 357 1190 952Prill 124 119 160 403 1343 1075Maj 155 135 175 465 1550 1240
Qershor 164 138 171 473 1577 1262Korrik 154 140 162 456 1520 1216Gusht 141 132 134 407 1357 1086
Shtator 118 114 112 344 1147 917Tetor 112 107 110 329 1097 877
Nentor 90 100 106 296 987 789Dhjetor 95 105 122 322 1073 859Gjithsejt 1476 1401 1622 4499 14997
Muajt Seria e te dhenave sipas viteve Gjithsejt Mesatarja mujore
Indekset stinore
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
Mesatarja mujore e tri viteve llogaritet keumlshtu
Peumlr muajin janar
Peumlr muajin dhjetor
n
xx i
i ku i=1-12
1103
1201021081
x
21073
1221959512
x
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
Peumlr llogaritjen e indeksit stinoreuml duhet teuml llogaritet mesatarja e peumlrgjishme mujore
Ndeumlrsa indeksi stinore llogariteumln keumlshtu
9712412
74991
n
xx i
p
100p
isi x
xl ku i=1-12
08810097124
01101001
1 p
s x
xl
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
700
800
900
1000
1100
1200
1300
Janar Shurt Mars Prill Maj Qershor Korrik Gusht Shtator Tetor Nentor Dhjetor
Inde
kset
stino
re
METODAT E TRENDIT
Fjala trend neuml anglisht do teuml thot diccedilka qeuml eumlshteuml neuml leumlvizje
Trendi paraqet analizeumln e ndrushimeve teuml dukurive neuml periudha teuml gjata kohore
Me aplikimin e analizeumls dinamike tentohet teuml eliminohen apo teuml zbuten ndryshimet apo variacionet e dukurive teuml analizuara
Teuml dheumlnat e mbledhura interpolohen dhe zavendeumlsohen meuml seri teuml reja teuml rregulluara
METODAT E TRENDIT
Zgjedhja e funksionit matematikor teuml trendit bazohet neuml keumlto forma kryesore
Drejtvijezore ne rritje
Drejtvijezore ne renie
Vijelakore ne rritje
Vijelakore ne renie
Levizje me oscilime
Pa drejtime te caktuara
TRENDI LINEAR
Vareumlsisht nga rezultatet e diagramit nga teuml dheumlnat e serive sipas periudhave kohore caktohet lloji i funksionit matematikoreuml
Neumlse supozojme trendin linear ateumlhereuml funksioni matematikoreuml eumlshteuml
x ndash paraqet variableumln e pavarur (koheumln) y ndash paraqet funksionin (vlereumln e trendit) e cila analizoheta ndash vlera fillestare e trendit (kur x=0)b ndash koeficienti i rritjesreumlnies peumlr periudheumln e caktuar kohore
xbay
TRENDI LINEAR Peumlrdorimi i metodeumls seuml
katroreumlve meuml teuml vegjeumll me qeumlllim teuml fitimit teuml linearitetit meuml teuml afeumlrt
Shuma e shmangjeve teuml teuml dheumlnave nga vija e trendit duhet teuml jeteuml zero
Shuma e shmangjeve neuml katror teuml teuml dheumlnave nga vija e trendit duhet teuml jeteuml minimum
1 2 3 4 5
ab
a
a+5b
b
b
b
b
b
xbay y
x
0 ci yy
min2 ci yy
TRENDI LINEAR Pas rregullimit teuml
ekuacioneve teuml katroreumlve meuml teuml vegjeumll fitojmeuml dy ekuacione
Nga keumlto ekuacioone fitohen vlerat peumlr a dhe b
Meuml mireuml do teuml shihet kjo neuml shembulli e ardhsheumlm1 2 3 4 5
ab
a
a+5b
b
b
b
b
b
xbay y
x
xbany
2xbxaxy
TRENDI LINEAR
1979 12 0 0 00 91561980 10 1 1 100 132561981 18 2 4 360 173561982 20 3 9 600 214561983 30 4 16 1200 255561984 24 5 25 1200 296561985 38 6 36 2280 337561986 32 7 49 2240 378561987 46 8 64 3680 41956
Shuma 230 36 204 1166 230004
VitiShenja e
periudhes (x )
Produkti (xy )
Trendi (yc )Vlera e
investimeve (y )
xx2
Shembulli ndash Investimet neuml Kosoveuml gjateuml viteve
TRENDI LINEAR
Me aplikimin e akuacioneve teuml fituara meuml larteuml i llogarisim vlerat peumlr a dhe b
a=9156 dhe b=41 Neumlse keumlrkohet teuml llogaritet (prognozohen)
investimet peumlr vitin 1994 ateumlhereuml x=13
yc=9156+4113=62456
TRENDI LINEAR
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987
Vlera e investimeve (y) Trendi (yc)
TRENDI LINEAR
Metoda e trendit linear mund teuml thjeshteumlsohet duke e zhvendosur shenjeumln e periudheumls zero neuml mes teuml seriseuml seuml teuml dheumlnave
Poashtu llogaritja e trendit linear peumlrveq me numeumlr tek teuml teuml dheumlnave llogaritet edhe te seriteuml kohore me numeumlr ccedilift teuml dheumlnash
Gjithashtu peumlrmes metodeumls seuml trendit linear fitohen teuml dheumlna teuml rregullta edhe neuml rastet kur neuml serineuml mungon ndonje e dheumlneuml
TRENDI I PARABOLLES
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml leumlvizje disharmonike neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml i shkalleumls seuml dyteuml (neuml katror)
ose pas operacioneve matematikore
2xcxbay
4322
32
2
xcxbxayx
xcxbxayx
xcxbany
TRENDI I PARABOLLES
1978 31 -4 16 -64 256 -124 4960 270981979 46 -3 9 -27 81 -138 4140 501511980 61 -2 4 -8 16 -122 2440 671841981 74 -1 1 -1 1 -74 740 781971982 98 0 0 0 0 0 00 831901983 86 1 1 1 1 86 860 821631984 65 2 4 8 16 130 2600 751161985 61 3 9 27 81 183 5490 620491986 46 4 16 64 256 184 7360 42962
Shuma 568 0 60 0 708 125 2859 56811
VitiSiperfaqja e mbjellur (y )
Shenja e periudhes
(x )x x2y Trendi (yc )x x xy
Shembulli ndash mbjellja e fidaneve gjateuml viteve
x2 x3 x4 x2y
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr ab dhe c
TRENDI I PARABOLLES
0
20
40
60
80
100
120
1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986
Siperfaqja e mbjellur (y) Trendi (yc)
TRENDI EKSPONENCIAL
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml njeuml riteumlm tp njejteuml neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml eksponencial
ose pas operacioneve logaritmike fitojmeuml ekuacionet
xnmy
nxmxyx
nxmny
logloglog
logloglog2
TRENDI EKSPONENCIAL
1984 42 16 -3 9 -487 164 43651985 65 18 -2 4 -363 178 60541986 80 19 -1 1 -190 192 83971987 120 21 0 0 000 207 116461988 165 22 1 1 222 221 161531989 210 23 2 4 464 235 224051990 320 25 3 9 752 249 31075
Shuma 1002 0 28 398 1446 100094
Trendi (yc )logyVitiTe dhenat
(y )
Shenja e periudhes
(x )x x logy logy c
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr m dhe n
x2
TRENDI EKSPONENCIAL
0
50
100
150
200
250
300
350
1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
Te dhenat (y) Trendi (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Llojet e trendeve zakonisht nuk mung teuml
peumlrcaktohen lehteuml Deri tani eumlshteuml peumlrdoreuml meumlnyra vizuele
tendenceumls seuml dukurive neuml peumlrcaktimin e trendit Meumlnyra meuml e mireuml eumlshteuml peumlrmes gabimeve
standarde ku trendi meuml i mireuml peumlrcaktohet neuml bazeuml teuml gabimit meuml teuml vogeumll
n
yy ciyc
2
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
1976 36 -9 382 413 4271977 34 -8 422 443 4481978 44 -7 460 472 4701979 56 -6 498 501 4921980 58 -5 534 531 5161981 60 -4 569 560 5411982 64 -3 603 590 5671983 62 -2 635 619 5941984 70 -1 666 648 6231985 78 0 696 678 6531986 76 1 725 707 6851987 74 2 753 737 7181988 66 3 779 766 7531989 72 4 804 795 7891990 76 5 828 825 8271991 82 6 851 854 8671992 88 7 872 884 9091993 94 8 892 913 9531994 98 9 911 942 999n=19 1288 0 12880 12878 12831
Trendi Parabolloik
(yc )
Trendi Linear (yc )
Trendi Eksponencial
(yc )Viti
Te dhenat (y )
Periudha (x )
0
20
40
60
80
100
120
76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94
Te dhenat (y) Trendi Parabolloik (yc) Trendi Linear (yc) Trendi Eksponencial (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Gabimet standarde te trendi linear
Gabimet standarde te trendi i parabolleumls
Gabimet standarde te trendi eksponencial
Neuml bazeuml teuml gabimeve teuml llogaritura trendi i parabolleumls eumlshteuml meuml i peumlrshtatsheumlm peumlr rregullimin e teuml dheumlnave
8365
2
)(
n
yy cilyc
5995
2
)(
n
yy cipyc
7996
2
)(
n
yy cieyc
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
1986 1987 1988Janar 108 102 120 330 1100 880Shurt 102 100 115 317 1057 845Mars 113 109 135 357 1190 952Prill 124 119 160 403 1343 1075Maj 155 135 175 465 1550 1240
Qershor 164 138 171 473 1577 1262Korrik 154 140 162 456 1520 1216Gusht 141 132 134 407 1357 1086
Shtator 118 114 112 344 1147 917Tetor 112 107 110 329 1097 877
Nentor 90 100 106 296 987 789Dhjetor 95 105 122 322 1073 859Gjithsejt 1476 1401 1622 4499 14997
Muajt Seria e te dhenave sipas viteve Gjithsejt Mesatarja mujore
Indekset stinore
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
Mesatarja mujore e tri viteve llogaritet keumlshtu
Peumlr muajin janar
Peumlr muajin dhjetor
n
xx i
i ku i=1-12
1103
1201021081
x
21073
1221959512
x
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
Peumlr llogaritjen e indeksit stinoreuml duhet teuml llogaritet mesatarja e peumlrgjishme mujore
Ndeumlrsa indeksi stinore llogariteumln keumlshtu
9712412
74991
n
xx i
p
100p
isi x
xl ku i=1-12
08810097124
01101001
1 p
s x
xl
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
700
800
900
1000
1100
1200
1300
Janar Shurt Mars Prill Maj Qershor Korrik Gusht Shtator Tetor Nentor Dhjetor
Inde
kset
stino
re
METODAT E TRENDIT
Fjala trend neuml anglisht do teuml thot diccedilka qeuml eumlshteuml neuml leumlvizje
Trendi paraqet analizeumln e ndrushimeve teuml dukurive neuml periudha teuml gjata kohore
Me aplikimin e analizeumls dinamike tentohet teuml eliminohen apo teuml zbuten ndryshimet apo variacionet e dukurive teuml analizuara
Teuml dheumlnat e mbledhura interpolohen dhe zavendeumlsohen meuml seri teuml reja teuml rregulluara
METODAT E TRENDIT
Zgjedhja e funksionit matematikor teuml trendit bazohet neuml keumlto forma kryesore
Drejtvijezore ne rritje
Drejtvijezore ne renie
Vijelakore ne rritje
Vijelakore ne renie
Levizje me oscilime
Pa drejtime te caktuara
TRENDI LINEAR
Vareumlsisht nga rezultatet e diagramit nga teuml dheumlnat e serive sipas periudhave kohore caktohet lloji i funksionit matematikoreuml
Neumlse supozojme trendin linear ateumlhereuml funksioni matematikoreuml eumlshteuml
x ndash paraqet variableumln e pavarur (koheumln) y ndash paraqet funksionin (vlereumln e trendit) e cila analizoheta ndash vlera fillestare e trendit (kur x=0)b ndash koeficienti i rritjesreumlnies peumlr periudheumln e caktuar kohore
xbay
TRENDI LINEAR Peumlrdorimi i metodeumls seuml
katroreumlve meuml teuml vegjeumll me qeumlllim teuml fitimit teuml linearitetit meuml teuml afeumlrt
Shuma e shmangjeve teuml teuml dheumlnave nga vija e trendit duhet teuml jeteuml zero
Shuma e shmangjeve neuml katror teuml teuml dheumlnave nga vija e trendit duhet teuml jeteuml minimum
1 2 3 4 5
ab
a
a+5b
b
b
b
b
b
xbay y
x
0 ci yy
min2 ci yy
TRENDI LINEAR Pas rregullimit teuml
ekuacioneve teuml katroreumlve meuml teuml vegjeumll fitojmeuml dy ekuacione
Nga keumlto ekuacioone fitohen vlerat peumlr a dhe b
Meuml mireuml do teuml shihet kjo neuml shembulli e ardhsheumlm1 2 3 4 5
ab
a
a+5b
b
b
b
b
b
xbay y
x
xbany
2xbxaxy
TRENDI LINEAR
1979 12 0 0 00 91561980 10 1 1 100 132561981 18 2 4 360 173561982 20 3 9 600 214561983 30 4 16 1200 255561984 24 5 25 1200 296561985 38 6 36 2280 337561986 32 7 49 2240 378561987 46 8 64 3680 41956
Shuma 230 36 204 1166 230004
VitiShenja e
periudhes (x )
Produkti (xy )
Trendi (yc )Vlera e
investimeve (y )
xx2
Shembulli ndash Investimet neuml Kosoveuml gjateuml viteve
TRENDI LINEAR
Me aplikimin e akuacioneve teuml fituara meuml larteuml i llogarisim vlerat peumlr a dhe b
a=9156 dhe b=41 Neumlse keumlrkohet teuml llogaritet (prognozohen)
investimet peumlr vitin 1994 ateumlhereuml x=13
yc=9156+4113=62456
TRENDI LINEAR
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987
Vlera e investimeve (y) Trendi (yc)
TRENDI LINEAR
Metoda e trendit linear mund teuml thjeshteumlsohet duke e zhvendosur shenjeumln e periudheumls zero neuml mes teuml seriseuml seuml teuml dheumlnave
Poashtu llogaritja e trendit linear peumlrveq me numeumlr tek teuml teuml dheumlnave llogaritet edhe te seriteuml kohore me numeumlr ccedilift teuml dheumlnash
Gjithashtu peumlrmes metodeumls seuml trendit linear fitohen teuml dheumlna teuml rregullta edhe neuml rastet kur neuml serineuml mungon ndonje e dheumlneuml
TRENDI I PARABOLLES
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml leumlvizje disharmonike neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml i shkalleumls seuml dyteuml (neuml katror)
ose pas operacioneve matematikore
2xcxbay
4322
32
2
xcxbxayx
xcxbxayx
xcxbany
TRENDI I PARABOLLES
1978 31 -4 16 -64 256 -124 4960 270981979 46 -3 9 -27 81 -138 4140 501511980 61 -2 4 -8 16 -122 2440 671841981 74 -1 1 -1 1 -74 740 781971982 98 0 0 0 0 0 00 831901983 86 1 1 1 1 86 860 821631984 65 2 4 8 16 130 2600 751161985 61 3 9 27 81 183 5490 620491986 46 4 16 64 256 184 7360 42962
Shuma 568 0 60 0 708 125 2859 56811
VitiSiperfaqja e mbjellur (y )
Shenja e periudhes
(x )x x2y Trendi (yc )x x xy
Shembulli ndash mbjellja e fidaneve gjateuml viteve
x2 x3 x4 x2y
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr ab dhe c
TRENDI I PARABOLLES
0
20
40
60
80
100
120
1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986
Siperfaqja e mbjellur (y) Trendi (yc)
TRENDI EKSPONENCIAL
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml njeuml riteumlm tp njejteuml neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml eksponencial
ose pas operacioneve logaritmike fitojmeuml ekuacionet
xnmy
nxmxyx
nxmny
logloglog
logloglog2
TRENDI EKSPONENCIAL
1984 42 16 -3 9 -487 164 43651985 65 18 -2 4 -363 178 60541986 80 19 -1 1 -190 192 83971987 120 21 0 0 000 207 116461988 165 22 1 1 222 221 161531989 210 23 2 4 464 235 224051990 320 25 3 9 752 249 31075
Shuma 1002 0 28 398 1446 100094
Trendi (yc )logyVitiTe dhenat
(y )
Shenja e periudhes
(x )x x logy logy c
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr m dhe n
x2
TRENDI EKSPONENCIAL
0
50
100
150
200
250
300
350
1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
Te dhenat (y) Trendi (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Llojet e trendeve zakonisht nuk mung teuml
peumlrcaktohen lehteuml Deri tani eumlshteuml peumlrdoreuml meumlnyra vizuele
tendenceumls seuml dukurive neuml peumlrcaktimin e trendit Meumlnyra meuml e mireuml eumlshteuml peumlrmes gabimeve
standarde ku trendi meuml i mireuml peumlrcaktohet neuml bazeuml teuml gabimit meuml teuml vogeumll
n
yy ciyc
2
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
1976 36 -9 382 413 4271977 34 -8 422 443 4481978 44 -7 460 472 4701979 56 -6 498 501 4921980 58 -5 534 531 5161981 60 -4 569 560 5411982 64 -3 603 590 5671983 62 -2 635 619 5941984 70 -1 666 648 6231985 78 0 696 678 6531986 76 1 725 707 6851987 74 2 753 737 7181988 66 3 779 766 7531989 72 4 804 795 7891990 76 5 828 825 8271991 82 6 851 854 8671992 88 7 872 884 9091993 94 8 892 913 9531994 98 9 911 942 999n=19 1288 0 12880 12878 12831
Trendi Parabolloik
(yc )
Trendi Linear (yc )
Trendi Eksponencial
(yc )Viti
Te dhenat (y )
Periudha (x )
0
20
40
60
80
100
120
76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94
Te dhenat (y) Trendi Parabolloik (yc) Trendi Linear (yc) Trendi Eksponencial (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Gabimet standarde te trendi linear
Gabimet standarde te trendi i parabolleumls
Gabimet standarde te trendi eksponencial
Neuml bazeuml teuml gabimeve teuml llogaritura trendi i parabolleumls eumlshteuml meuml i peumlrshtatsheumlm peumlr rregullimin e teuml dheumlnave
8365
2
)(
n
yy cilyc
5995
2
)(
n
yy cipyc
7996
2
)(
n
yy cieyc
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
Mesatarja mujore e tri viteve llogaritet keumlshtu
Peumlr muajin janar
Peumlr muajin dhjetor
n
xx i
i ku i=1-12
1103
1201021081
x
21073
1221959512
x
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
Peumlr llogaritjen e indeksit stinoreuml duhet teuml llogaritet mesatarja e peumlrgjishme mujore
Ndeumlrsa indeksi stinore llogariteumln keumlshtu
9712412
74991
n
xx i
p
100p
isi x
xl ku i=1-12
08810097124
01101001
1 p
s x
xl
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
700
800
900
1000
1100
1200
1300
Janar Shurt Mars Prill Maj Qershor Korrik Gusht Shtator Tetor Nentor Dhjetor
Inde
kset
stino
re
METODAT E TRENDIT
Fjala trend neuml anglisht do teuml thot diccedilka qeuml eumlshteuml neuml leumlvizje
Trendi paraqet analizeumln e ndrushimeve teuml dukurive neuml periudha teuml gjata kohore
Me aplikimin e analizeumls dinamike tentohet teuml eliminohen apo teuml zbuten ndryshimet apo variacionet e dukurive teuml analizuara
Teuml dheumlnat e mbledhura interpolohen dhe zavendeumlsohen meuml seri teuml reja teuml rregulluara
METODAT E TRENDIT
Zgjedhja e funksionit matematikor teuml trendit bazohet neuml keumlto forma kryesore
Drejtvijezore ne rritje
Drejtvijezore ne renie
Vijelakore ne rritje
Vijelakore ne renie
Levizje me oscilime
Pa drejtime te caktuara
TRENDI LINEAR
Vareumlsisht nga rezultatet e diagramit nga teuml dheumlnat e serive sipas periudhave kohore caktohet lloji i funksionit matematikoreuml
Neumlse supozojme trendin linear ateumlhereuml funksioni matematikoreuml eumlshteuml
x ndash paraqet variableumln e pavarur (koheumln) y ndash paraqet funksionin (vlereumln e trendit) e cila analizoheta ndash vlera fillestare e trendit (kur x=0)b ndash koeficienti i rritjesreumlnies peumlr periudheumln e caktuar kohore
xbay
TRENDI LINEAR Peumlrdorimi i metodeumls seuml
katroreumlve meuml teuml vegjeumll me qeumlllim teuml fitimit teuml linearitetit meuml teuml afeumlrt
Shuma e shmangjeve teuml teuml dheumlnave nga vija e trendit duhet teuml jeteuml zero
Shuma e shmangjeve neuml katror teuml teuml dheumlnave nga vija e trendit duhet teuml jeteuml minimum
1 2 3 4 5
ab
a
a+5b
b
b
b
b
b
xbay y
x
0 ci yy
min2 ci yy
TRENDI LINEAR Pas rregullimit teuml
ekuacioneve teuml katroreumlve meuml teuml vegjeumll fitojmeuml dy ekuacione
Nga keumlto ekuacioone fitohen vlerat peumlr a dhe b
Meuml mireuml do teuml shihet kjo neuml shembulli e ardhsheumlm1 2 3 4 5
ab
a
a+5b
b
b
b
b
b
xbay y
x
xbany
2xbxaxy
TRENDI LINEAR
1979 12 0 0 00 91561980 10 1 1 100 132561981 18 2 4 360 173561982 20 3 9 600 214561983 30 4 16 1200 255561984 24 5 25 1200 296561985 38 6 36 2280 337561986 32 7 49 2240 378561987 46 8 64 3680 41956
Shuma 230 36 204 1166 230004
VitiShenja e
periudhes (x )
Produkti (xy )
Trendi (yc )Vlera e
investimeve (y )
xx2
Shembulli ndash Investimet neuml Kosoveuml gjateuml viteve
TRENDI LINEAR
Me aplikimin e akuacioneve teuml fituara meuml larteuml i llogarisim vlerat peumlr a dhe b
a=9156 dhe b=41 Neumlse keumlrkohet teuml llogaritet (prognozohen)
investimet peumlr vitin 1994 ateumlhereuml x=13
yc=9156+4113=62456
TRENDI LINEAR
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987
Vlera e investimeve (y) Trendi (yc)
TRENDI LINEAR
Metoda e trendit linear mund teuml thjeshteumlsohet duke e zhvendosur shenjeumln e periudheumls zero neuml mes teuml seriseuml seuml teuml dheumlnave
Poashtu llogaritja e trendit linear peumlrveq me numeumlr tek teuml teuml dheumlnave llogaritet edhe te seriteuml kohore me numeumlr ccedilift teuml dheumlnash
Gjithashtu peumlrmes metodeumls seuml trendit linear fitohen teuml dheumlna teuml rregullta edhe neuml rastet kur neuml serineuml mungon ndonje e dheumlneuml
TRENDI I PARABOLLES
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml leumlvizje disharmonike neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml i shkalleumls seuml dyteuml (neuml katror)
ose pas operacioneve matematikore
2xcxbay
4322
32
2
xcxbxayx
xcxbxayx
xcxbany
TRENDI I PARABOLLES
1978 31 -4 16 -64 256 -124 4960 270981979 46 -3 9 -27 81 -138 4140 501511980 61 -2 4 -8 16 -122 2440 671841981 74 -1 1 -1 1 -74 740 781971982 98 0 0 0 0 0 00 831901983 86 1 1 1 1 86 860 821631984 65 2 4 8 16 130 2600 751161985 61 3 9 27 81 183 5490 620491986 46 4 16 64 256 184 7360 42962
Shuma 568 0 60 0 708 125 2859 56811
VitiSiperfaqja e mbjellur (y )
Shenja e periudhes
(x )x x2y Trendi (yc )x x xy
Shembulli ndash mbjellja e fidaneve gjateuml viteve
x2 x3 x4 x2y
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr ab dhe c
TRENDI I PARABOLLES
0
20
40
60
80
100
120
1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986
Siperfaqja e mbjellur (y) Trendi (yc)
TRENDI EKSPONENCIAL
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml njeuml riteumlm tp njejteuml neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml eksponencial
ose pas operacioneve logaritmike fitojmeuml ekuacionet
xnmy
nxmxyx
nxmny
logloglog
logloglog2
TRENDI EKSPONENCIAL
1984 42 16 -3 9 -487 164 43651985 65 18 -2 4 -363 178 60541986 80 19 -1 1 -190 192 83971987 120 21 0 0 000 207 116461988 165 22 1 1 222 221 161531989 210 23 2 4 464 235 224051990 320 25 3 9 752 249 31075
Shuma 1002 0 28 398 1446 100094
Trendi (yc )logyVitiTe dhenat
(y )
Shenja e periudhes
(x )x x logy logy c
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr m dhe n
x2
TRENDI EKSPONENCIAL
0
50
100
150
200
250
300
350
1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
Te dhenat (y) Trendi (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Llojet e trendeve zakonisht nuk mung teuml
peumlrcaktohen lehteuml Deri tani eumlshteuml peumlrdoreuml meumlnyra vizuele
tendenceumls seuml dukurive neuml peumlrcaktimin e trendit Meumlnyra meuml e mireuml eumlshteuml peumlrmes gabimeve
standarde ku trendi meuml i mireuml peumlrcaktohet neuml bazeuml teuml gabimit meuml teuml vogeumll
n
yy ciyc
2
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
1976 36 -9 382 413 4271977 34 -8 422 443 4481978 44 -7 460 472 4701979 56 -6 498 501 4921980 58 -5 534 531 5161981 60 -4 569 560 5411982 64 -3 603 590 5671983 62 -2 635 619 5941984 70 -1 666 648 6231985 78 0 696 678 6531986 76 1 725 707 6851987 74 2 753 737 7181988 66 3 779 766 7531989 72 4 804 795 7891990 76 5 828 825 8271991 82 6 851 854 8671992 88 7 872 884 9091993 94 8 892 913 9531994 98 9 911 942 999n=19 1288 0 12880 12878 12831
Trendi Parabolloik
(yc )
Trendi Linear (yc )
Trendi Eksponencial
(yc )Viti
Te dhenat (y )
Periudha (x )
0
20
40
60
80
100
120
76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94
Te dhenat (y) Trendi Parabolloik (yc) Trendi Linear (yc) Trendi Eksponencial (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Gabimet standarde te trendi linear
Gabimet standarde te trendi i parabolleumls
Gabimet standarde te trendi eksponencial
Neuml bazeuml teuml gabimeve teuml llogaritura trendi i parabolleumls eumlshteuml meuml i peumlrshtatsheumlm peumlr rregullimin e teuml dheumlnave
8365
2
)(
n
yy cilyc
5995
2
)(
n
yy cipyc
7996
2
)(
n
yy cieyc
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
Peumlr llogaritjen e indeksit stinoreuml duhet teuml llogaritet mesatarja e peumlrgjishme mujore
Ndeumlrsa indeksi stinore llogariteumln keumlshtu
9712412
74991
n
xx i
p
100p
isi x
xl ku i=1-12
08810097124
01101001
1 p
s x
xl
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
700
800
900
1000
1100
1200
1300
Janar Shurt Mars Prill Maj Qershor Korrik Gusht Shtator Tetor Nentor Dhjetor
Inde
kset
stino
re
METODAT E TRENDIT
Fjala trend neuml anglisht do teuml thot diccedilka qeuml eumlshteuml neuml leumlvizje
Trendi paraqet analizeumln e ndrushimeve teuml dukurive neuml periudha teuml gjata kohore
Me aplikimin e analizeumls dinamike tentohet teuml eliminohen apo teuml zbuten ndryshimet apo variacionet e dukurive teuml analizuara
Teuml dheumlnat e mbledhura interpolohen dhe zavendeumlsohen meuml seri teuml reja teuml rregulluara
METODAT E TRENDIT
Zgjedhja e funksionit matematikor teuml trendit bazohet neuml keumlto forma kryesore
Drejtvijezore ne rritje
Drejtvijezore ne renie
Vijelakore ne rritje
Vijelakore ne renie
Levizje me oscilime
Pa drejtime te caktuara
TRENDI LINEAR
Vareumlsisht nga rezultatet e diagramit nga teuml dheumlnat e serive sipas periudhave kohore caktohet lloji i funksionit matematikoreuml
Neumlse supozojme trendin linear ateumlhereuml funksioni matematikoreuml eumlshteuml
x ndash paraqet variableumln e pavarur (koheumln) y ndash paraqet funksionin (vlereumln e trendit) e cila analizoheta ndash vlera fillestare e trendit (kur x=0)b ndash koeficienti i rritjesreumlnies peumlr periudheumln e caktuar kohore
xbay
TRENDI LINEAR Peumlrdorimi i metodeumls seuml
katroreumlve meuml teuml vegjeumll me qeumlllim teuml fitimit teuml linearitetit meuml teuml afeumlrt
Shuma e shmangjeve teuml teuml dheumlnave nga vija e trendit duhet teuml jeteuml zero
Shuma e shmangjeve neuml katror teuml teuml dheumlnave nga vija e trendit duhet teuml jeteuml minimum
1 2 3 4 5
ab
a
a+5b
b
b
b
b
b
xbay y
x
0 ci yy
min2 ci yy
TRENDI LINEAR Pas rregullimit teuml
ekuacioneve teuml katroreumlve meuml teuml vegjeumll fitojmeuml dy ekuacione
Nga keumlto ekuacioone fitohen vlerat peumlr a dhe b
Meuml mireuml do teuml shihet kjo neuml shembulli e ardhsheumlm1 2 3 4 5
ab
a
a+5b
b
b
b
b
b
xbay y
x
xbany
2xbxaxy
TRENDI LINEAR
1979 12 0 0 00 91561980 10 1 1 100 132561981 18 2 4 360 173561982 20 3 9 600 214561983 30 4 16 1200 255561984 24 5 25 1200 296561985 38 6 36 2280 337561986 32 7 49 2240 378561987 46 8 64 3680 41956
Shuma 230 36 204 1166 230004
VitiShenja e
periudhes (x )
Produkti (xy )
Trendi (yc )Vlera e
investimeve (y )
xx2
Shembulli ndash Investimet neuml Kosoveuml gjateuml viteve
TRENDI LINEAR
Me aplikimin e akuacioneve teuml fituara meuml larteuml i llogarisim vlerat peumlr a dhe b
a=9156 dhe b=41 Neumlse keumlrkohet teuml llogaritet (prognozohen)
investimet peumlr vitin 1994 ateumlhereuml x=13
yc=9156+4113=62456
TRENDI LINEAR
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987
Vlera e investimeve (y) Trendi (yc)
TRENDI LINEAR
Metoda e trendit linear mund teuml thjeshteumlsohet duke e zhvendosur shenjeumln e periudheumls zero neuml mes teuml seriseuml seuml teuml dheumlnave
Poashtu llogaritja e trendit linear peumlrveq me numeumlr tek teuml teuml dheumlnave llogaritet edhe te seriteuml kohore me numeumlr ccedilift teuml dheumlnash
Gjithashtu peumlrmes metodeumls seuml trendit linear fitohen teuml dheumlna teuml rregullta edhe neuml rastet kur neuml serineuml mungon ndonje e dheumlneuml
TRENDI I PARABOLLES
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml leumlvizje disharmonike neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml i shkalleumls seuml dyteuml (neuml katror)
ose pas operacioneve matematikore
2xcxbay
4322
32
2
xcxbxayx
xcxbxayx
xcxbany
TRENDI I PARABOLLES
1978 31 -4 16 -64 256 -124 4960 270981979 46 -3 9 -27 81 -138 4140 501511980 61 -2 4 -8 16 -122 2440 671841981 74 -1 1 -1 1 -74 740 781971982 98 0 0 0 0 0 00 831901983 86 1 1 1 1 86 860 821631984 65 2 4 8 16 130 2600 751161985 61 3 9 27 81 183 5490 620491986 46 4 16 64 256 184 7360 42962
Shuma 568 0 60 0 708 125 2859 56811
VitiSiperfaqja e mbjellur (y )
Shenja e periudhes
(x )x x2y Trendi (yc )x x xy
Shembulli ndash mbjellja e fidaneve gjateuml viteve
x2 x3 x4 x2y
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr ab dhe c
TRENDI I PARABOLLES
0
20
40
60
80
100
120
1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986
Siperfaqja e mbjellur (y) Trendi (yc)
TRENDI EKSPONENCIAL
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml njeuml riteumlm tp njejteuml neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml eksponencial
ose pas operacioneve logaritmike fitojmeuml ekuacionet
xnmy
nxmxyx
nxmny
logloglog
logloglog2
TRENDI EKSPONENCIAL
1984 42 16 -3 9 -487 164 43651985 65 18 -2 4 -363 178 60541986 80 19 -1 1 -190 192 83971987 120 21 0 0 000 207 116461988 165 22 1 1 222 221 161531989 210 23 2 4 464 235 224051990 320 25 3 9 752 249 31075
Shuma 1002 0 28 398 1446 100094
Trendi (yc )logyVitiTe dhenat
(y )
Shenja e periudhes
(x )x x logy logy c
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr m dhe n
x2
TRENDI EKSPONENCIAL
0
50
100
150
200
250
300
350
1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
Te dhenat (y) Trendi (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Llojet e trendeve zakonisht nuk mung teuml
peumlrcaktohen lehteuml Deri tani eumlshteuml peumlrdoreuml meumlnyra vizuele
tendenceumls seuml dukurive neuml peumlrcaktimin e trendit Meumlnyra meuml e mireuml eumlshteuml peumlrmes gabimeve
standarde ku trendi meuml i mireuml peumlrcaktohet neuml bazeuml teuml gabimit meuml teuml vogeumll
n
yy ciyc
2
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
1976 36 -9 382 413 4271977 34 -8 422 443 4481978 44 -7 460 472 4701979 56 -6 498 501 4921980 58 -5 534 531 5161981 60 -4 569 560 5411982 64 -3 603 590 5671983 62 -2 635 619 5941984 70 -1 666 648 6231985 78 0 696 678 6531986 76 1 725 707 6851987 74 2 753 737 7181988 66 3 779 766 7531989 72 4 804 795 7891990 76 5 828 825 8271991 82 6 851 854 8671992 88 7 872 884 9091993 94 8 892 913 9531994 98 9 911 942 999n=19 1288 0 12880 12878 12831
Trendi Parabolloik
(yc )
Trendi Linear (yc )
Trendi Eksponencial
(yc )Viti
Te dhenat (y )
Periudha (x )
0
20
40
60
80
100
120
76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94
Te dhenat (y) Trendi Parabolloik (yc) Trendi Linear (yc) Trendi Eksponencial (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Gabimet standarde te trendi linear
Gabimet standarde te trendi i parabolleumls
Gabimet standarde te trendi eksponencial
Neuml bazeuml teuml gabimeve teuml llogaritura trendi i parabolleumls eumlshteuml meuml i peumlrshtatsheumlm peumlr rregullimin e teuml dheumlnave
8365
2
)(
n
yy cilyc
5995
2
)(
n
yy cipyc
7996
2
)(
n
yy cieyc
METODA E LEKUNDJEVE STINORE
700
800
900
1000
1100
1200
1300
Janar Shurt Mars Prill Maj Qershor Korrik Gusht Shtator Tetor Nentor Dhjetor
Inde
kset
stino
re
METODAT E TRENDIT
Fjala trend neuml anglisht do teuml thot diccedilka qeuml eumlshteuml neuml leumlvizje
Trendi paraqet analizeumln e ndrushimeve teuml dukurive neuml periudha teuml gjata kohore
Me aplikimin e analizeumls dinamike tentohet teuml eliminohen apo teuml zbuten ndryshimet apo variacionet e dukurive teuml analizuara
Teuml dheumlnat e mbledhura interpolohen dhe zavendeumlsohen meuml seri teuml reja teuml rregulluara
METODAT E TRENDIT
Zgjedhja e funksionit matematikor teuml trendit bazohet neuml keumlto forma kryesore
Drejtvijezore ne rritje
Drejtvijezore ne renie
Vijelakore ne rritje
Vijelakore ne renie
Levizje me oscilime
Pa drejtime te caktuara
TRENDI LINEAR
Vareumlsisht nga rezultatet e diagramit nga teuml dheumlnat e serive sipas periudhave kohore caktohet lloji i funksionit matematikoreuml
Neumlse supozojme trendin linear ateumlhereuml funksioni matematikoreuml eumlshteuml
x ndash paraqet variableumln e pavarur (koheumln) y ndash paraqet funksionin (vlereumln e trendit) e cila analizoheta ndash vlera fillestare e trendit (kur x=0)b ndash koeficienti i rritjesreumlnies peumlr periudheumln e caktuar kohore
xbay
TRENDI LINEAR Peumlrdorimi i metodeumls seuml
katroreumlve meuml teuml vegjeumll me qeumlllim teuml fitimit teuml linearitetit meuml teuml afeumlrt
Shuma e shmangjeve teuml teuml dheumlnave nga vija e trendit duhet teuml jeteuml zero
Shuma e shmangjeve neuml katror teuml teuml dheumlnave nga vija e trendit duhet teuml jeteuml minimum
1 2 3 4 5
ab
a
a+5b
b
b
b
b
b
xbay y
x
0 ci yy
min2 ci yy
TRENDI LINEAR Pas rregullimit teuml
ekuacioneve teuml katroreumlve meuml teuml vegjeumll fitojmeuml dy ekuacione
Nga keumlto ekuacioone fitohen vlerat peumlr a dhe b
Meuml mireuml do teuml shihet kjo neuml shembulli e ardhsheumlm1 2 3 4 5
ab
a
a+5b
b
b
b
b
b
xbay y
x
xbany
2xbxaxy
TRENDI LINEAR
1979 12 0 0 00 91561980 10 1 1 100 132561981 18 2 4 360 173561982 20 3 9 600 214561983 30 4 16 1200 255561984 24 5 25 1200 296561985 38 6 36 2280 337561986 32 7 49 2240 378561987 46 8 64 3680 41956
Shuma 230 36 204 1166 230004
VitiShenja e
periudhes (x )
Produkti (xy )
Trendi (yc )Vlera e
investimeve (y )
xx2
Shembulli ndash Investimet neuml Kosoveuml gjateuml viteve
TRENDI LINEAR
Me aplikimin e akuacioneve teuml fituara meuml larteuml i llogarisim vlerat peumlr a dhe b
a=9156 dhe b=41 Neumlse keumlrkohet teuml llogaritet (prognozohen)
investimet peumlr vitin 1994 ateumlhereuml x=13
yc=9156+4113=62456
TRENDI LINEAR
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987
Vlera e investimeve (y) Trendi (yc)
TRENDI LINEAR
Metoda e trendit linear mund teuml thjeshteumlsohet duke e zhvendosur shenjeumln e periudheumls zero neuml mes teuml seriseuml seuml teuml dheumlnave
Poashtu llogaritja e trendit linear peumlrveq me numeumlr tek teuml teuml dheumlnave llogaritet edhe te seriteuml kohore me numeumlr ccedilift teuml dheumlnash
Gjithashtu peumlrmes metodeumls seuml trendit linear fitohen teuml dheumlna teuml rregullta edhe neuml rastet kur neuml serineuml mungon ndonje e dheumlneuml
TRENDI I PARABOLLES
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml leumlvizje disharmonike neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml i shkalleumls seuml dyteuml (neuml katror)
ose pas operacioneve matematikore
2xcxbay
4322
32
2
xcxbxayx
xcxbxayx
xcxbany
TRENDI I PARABOLLES
1978 31 -4 16 -64 256 -124 4960 270981979 46 -3 9 -27 81 -138 4140 501511980 61 -2 4 -8 16 -122 2440 671841981 74 -1 1 -1 1 -74 740 781971982 98 0 0 0 0 0 00 831901983 86 1 1 1 1 86 860 821631984 65 2 4 8 16 130 2600 751161985 61 3 9 27 81 183 5490 620491986 46 4 16 64 256 184 7360 42962
Shuma 568 0 60 0 708 125 2859 56811
VitiSiperfaqja e mbjellur (y )
Shenja e periudhes
(x )x x2y Trendi (yc )x x xy
Shembulli ndash mbjellja e fidaneve gjateuml viteve
x2 x3 x4 x2y
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr ab dhe c
TRENDI I PARABOLLES
0
20
40
60
80
100
120
1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986
Siperfaqja e mbjellur (y) Trendi (yc)
TRENDI EKSPONENCIAL
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml njeuml riteumlm tp njejteuml neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml eksponencial
ose pas operacioneve logaritmike fitojmeuml ekuacionet
xnmy
nxmxyx
nxmny
logloglog
logloglog2
TRENDI EKSPONENCIAL
1984 42 16 -3 9 -487 164 43651985 65 18 -2 4 -363 178 60541986 80 19 -1 1 -190 192 83971987 120 21 0 0 000 207 116461988 165 22 1 1 222 221 161531989 210 23 2 4 464 235 224051990 320 25 3 9 752 249 31075
Shuma 1002 0 28 398 1446 100094
Trendi (yc )logyVitiTe dhenat
(y )
Shenja e periudhes
(x )x x logy logy c
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr m dhe n
x2
TRENDI EKSPONENCIAL
0
50
100
150
200
250
300
350
1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
Te dhenat (y) Trendi (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Llojet e trendeve zakonisht nuk mung teuml
peumlrcaktohen lehteuml Deri tani eumlshteuml peumlrdoreuml meumlnyra vizuele
tendenceumls seuml dukurive neuml peumlrcaktimin e trendit Meumlnyra meuml e mireuml eumlshteuml peumlrmes gabimeve
standarde ku trendi meuml i mireuml peumlrcaktohet neuml bazeuml teuml gabimit meuml teuml vogeumll
n
yy ciyc
2
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
1976 36 -9 382 413 4271977 34 -8 422 443 4481978 44 -7 460 472 4701979 56 -6 498 501 4921980 58 -5 534 531 5161981 60 -4 569 560 5411982 64 -3 603 590 5671983 62 -2 635 619 5941984 70 -1 666 648 6231985 78 0 696 678 6531986 76 1 725 707 6851987 74 2 753 737 7181988 66 3 779 766 7531989 72 4 804 795 7891990 76 5 828 825 8271991 82 6 851 854 8671992 88 7 872 884 9091993 94 8 892 913 9531994 98 9 911 942 999n=19 1288 0 12880 12878 12831
Trendi Parabolloik
(yc )
Trendi Linear (yc )
Trendi Eksponencial
(yc )Viti
Te dhenat (y )
Periudha (x )
0
20
40
60
80
100
120
76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94
Te dhenat (y) Trendi Parabolloik (yc) Trendi Linear (yc) Trendi Eksponencial (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Gabimet standarde te trendi linear
Gabimet standarde te trendi i parabolleumls
Gabimet standarde te trendi eksponencial
Neuml bazeuml teuml gabimeve teuml llogaritura trendi i parabolleumls eumlshteuml meuml i peumlrshtatsheumlm peumlr rregullimin e teuml dheumlnave
8365
2
)(
n
yy cilyc
5995
2
)(
n
yy cipyc
7996
2
)(
n
yy cieyc
METODAT E TRENDIT
Fjala trend neuml anglisht do teuml thot diccedilka qeuml eumlshteuml neuml leumlvizje
Trendi paraqet analizeumln e ndrushimeve teuml dukurive neuml periudha teuml gjata kohore
Me aplikimin e analizeumls dinamike tentohet teuml eliminohen apo teuml zbuten ndryshimet apo variacionet e dukurive teuml analizuara
Teuml dheumlnat e mbledhura interpolohen dhe zavendeumlsohen meuml seri teuml reja teuml rregulluara
METODAT E TRENDIT
Zgjedhja e funksionit matematikor teuml trendit bazohet neuml keumlto forma kryesore
Drejtvijezore ne rritje
Drejtvijezore ne renie
Vijelakore ne rritje
Vijelakore ne renie
Levizje me oscilime
Pa drejtime te caktuara
TRENDI LINEAR
Vareumlsisht nga rezultatet e diagramit nga teuml dheumlnat e serive sipas periudhave kohore caktohet lloji i funksionit matematikoreuml
Neumlse supozojme trendin linear ateumlhereuml funksioni matematikoreuml eumlshteuml
x ndash paraqet variableumln e pavarur (koheumln) y ndash paraqet funksionin (vlereumln e trendit) e cila analizoheta ndash vlera fillestare e trendit (kur x=0)b ndash koeficienti i rritjesreumlnies peumlr periudheumln e caktuar kohore
xbay
TRENDI LINEAR Peumlrdorimi i metodeumls seuml
katroreumlve meuml teuml vegjeumll me qeumlllim teuml fitimit teuml linearitetit meuml teuml afeumlrt
Shuma e shmangjeve teuml teuml dheumlnave nga vija e trendit duhet teuml jeteuml zero
Shuma e shmangjeve neuml katror teuml teuml dheumlnave nga vija e trendit duhet teuml jeteuml minimum
1 2 3 4 5
ab
a
a+5b
b
b
b
b
b
xbay y
x
0 ci yy
min2 ci yy
TRENDI LINEAR Pas rregullimit teuml
ekuacioneve teuml katroreumlve meuml teuml vegjeumll fitojmeuml dy ekuacione
Nga keumlto ekuacioone fitohen vlerat peumlr a dhe b
Meuml mireuml do teuml shihet kjo neuml shembulli e ardhsheumlm1 2 3 4 5
ab
a
a+5b
b
b
b
b
b
xbay y
x
xbany
2xbxaxy
TRENDI LINEAR
1979 12 0 0 00 91561980 10 1 1 100 132561981 18 2 4 360 173561982 20 3 9 600 214561983 30 4 16 1200 255561984 24 5 25 1200 296561985 38 6 36 2280 337561986 32 7 49 2240 378561987 46 8 64 3680 41956
Shuma 230 36 204 1166 230004
VitiShenja e
periudhes (x )
Produkti (xy )
Trendi (yc )Vlera e
investimeve (y )
xx2
Shembulli ndash Investimet neuml Kosoveuml gjateuml viteve
TRENDI LINEAR
Me aplikimin e akuacioneve teuml fituara meuml larteuml i llogarisim vlerat peumlr a dhe b
a=9156 dhe b=41 Neumlse keumlrkohet teuml llogaritet (prognozohen)
investimet peumlr vitin 1994 ateumlhereuml x=13
yc=9156+4113=62456
TRENDI LINEAR
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987
Vlera e investimeve (y) Trendi (yc)
TRENDI LINEAR
Metoda e trendit linear mund teuml thjeshteumlsohet duke e zhvendosur shenjeumln e periudheumls zero neuml mes teuml seriseuml seuml teuml dheumlnave
Poashtu llogaritja e trendit linear peumlrveq me numeumlr tek teuml teuml dheumlnave llogaritet edhe te seriteuml kohore me numeumlr ccedilift teuml dheumlnash
Gjithashtu peumlrmes metodeumls seuml trendit linear fitohen teuml dheumlna teuml rregullta edhe neuml rastet kur neuml serineuml mungon ndonje e dheumlneuml
TRENDI I PARABOLLES
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml leumlvizje disharmonike neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml i shkalleumls seuml dyteuml (neuml katror)
ose pas operacioneve matematikore
2xcxbay
4322
32
2
xcxbxayx
xcxbxayx
xcxbany
TRENDI I PARABOLLES
1978 31 -4 16 -64 256 -124 4960 270981979 46 -3 9 -27 81 -138 4140 501511980 61 -2 4 -8 16 -122 2440 671841981 74 -1 1 -1 1 -74 740 781971982 98 0 0 0 0 0 00 831901983 86 1 1 1 1 86 860 821631984 65 2 4 8 16 130 2600 751161985 61 3 9 27 81 183 5490 620491986 46 4 16 64 256 184 7360 42962
Shuma 568 0 60 0 708 125 2859 56811
VitiSiperfaqja e mbjellur (y )
Shenja e periudhes
(x )x x2y Trendi (yc )x x xy
Shembulli ndash mbjellja e fidaneve gjateuml viteve
x2 x3 x4 x2y
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr ab dhe c
TRENDI I PARABOLLES
0
20
40
60
80
100
120
1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986
Siperfaqja e mbjellur (y) Trendi (yc)
TRENDI EKSPONENCIAL
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml njeuml riteumlm tp njejteuml neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml eksponencial
ose pas operacioneve logaritmike fitojmeuml ekuacionet
xnmy
nxmxyx
nxmny
logloglog
logloglog2
TRENDI EKSPONENCIAL
1984 42 16 -3 9 -487 164 43651985 65 18 -2 4 -363 178 60541986 80 19 -1 1 -190 192 83971987 120 21 0 0 000 207 116461988 165 22 1 1 222 221 161531989 210 23 2 4 464 235 224051990 320 25 3 9 752 249 31075
Shuma 1002 0 28 398 1446 100094
Trendi (yc )logyVitiTe dhenat
(y )
Shenja e periudhes
(x )x x logy logy c
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr m dhe n
x2
TRENDI EKSPONENCIAL
0
50
100
150
200
250
300
350
1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
Te dhenat (y) Trendi (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Llojet e trendeve zakonisht nuk mung teuml
peumlrcaktohen lehteuml Deri tani eumlshteuml peumlrdoreuml meumlnyra vizuele
tendenceumls seuml dukurive neuml peumlrcaktimin e trendit Meumlnyra meuml e mireuml eumlshteuml peumlrmes gabimeve
standarde ku trendi meuml i mireuml peumlrcaktohet neuml bazeuml teuml gabimit meuml teuml vogeumll
n
yy ciyc
2
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
1976 36 -9 382 413 4271977 34 -8 422 443 4481978 44 -7 460 472 4701979 56 -6 498 501 4921980 58 -5 534 531 5161981 60 -4 569 560 5411982 64 -3 603 590 5671983 62 -2 635 619 5941984 70 -1 666 648 6231985 78 0 696 678 6531986 76 1 725 707 6851987 74 2 753 737 7181988 66 3 779 766 7531989 72 4 804 795 7891990 76 5 828 825 8271991 82 6 851 854 8671992 88 7 872 884 9091993 94 8 892 913 9531994 98 9 911 942 999n=19 1288 0 12880 12878 12831
Trendi Parabolloik
(yc )
Trendi Linear (yc )
Trendi Eksponencial
(yc )Viti
Te dhenat (y )
Periudha (x )
0
20
40
60
80
100
120
76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94
Te dhenat (y) Trendi Parabolloik (yc) Trendi Linear (yc) Trendi Eksponencial (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Gabimet standarde te trendi linear
Gabimet standarde te trendi i parabolleumls
Gabimet standarde te trendi eksponencial
Neuml bazeuml teuml gabimeve teuml llogaritura trendi i parabolleumls eumlshteuml meuml i peumlrshtatsheumlm peumlr rregullimin e teuml dheumlnave
8365
2
)(
n
yy cilyc
5995
2
)(
n
yy cipyc
7996
2
)(
n
yy cieyc
METODAT E TRENDIT
Zgjedhja e funksionit matematikor teuml trendit bazohet neuml keumlto forma kryesore
Drejtvijezore ne rritje
Drejtvijezore ne renie
Vijelakore ne rritje
Vijelakore ne renie
Levizje me oscilime
Pa drejtime te caktuara
TRENDI LINEAR
Vareumlsisht nga rezultatet e diagramit nga teuml dheumlnat e serive sipas periudhave kohore caktohet lloji i funksionit matematikoreuml
Neumlse supozojme trendin linear ateumlhereuml funksioni matematikoreuml eumlshteuml
x ndash paraqet variableumln e pavarur (koheumln) y ndash paraqet funksionin (vlereumln e trendit) e cila analizoheta ndash vlera fillestare e trendit (kur x=0)b ndash koeficienti i rritjesreumlnies peumlr periudheumln e caktuar kohore
xbay
TRENDI LINEAR Peumlrdorimi i metodeumls seuml
katroreumlve meuml teuml vegjeumll me qeumlllim teuml fitimit teuml linearitetit meuml teuml afeumlrt
Shuma e shmangjeve teuml teuml dheumlnave nga vija e trendit duhet teuml jeteuml zero
Shuma e shmangjeve neuml katror teuml teuml dheumlnave nga vija e trendit duhet teuml jeteuml minimum
1 2 3 4 5
ab
a
a+5b
b
b
b
b
b
xbay y
x
0 ci yy
min2 ci yy
TRENDI LINEAR Pas rregullimit teuml
ekuacioneve teuml katroreumlve meuml teuml vegjeumll fitojmeuml dy ekuacione
Nga keumlto ekuacioone fitohen vlerat peumlr a dhe b
Meuml mireuml do teuml shihet kjo neuml shembulli e ardhsheumlm1 2 3 4 5
ab
a
a+5b
b
b
b
b
b
xbay y
x
xbany
2xbxaxy
TRENDI LINEAR
1979 12 0 0 00 91561980 10 1 1 100 132561981 18 2 4 360 173561982 20 3 9 600 214561983 30 4 16 1200 255561984 24 5 25 1200 296561985 38 6 36 2280 337561986 32 7 49 2240 378561987 46 8 64 3680 41956
Shuma 230 36 204 1166 230004
VitiShenja e
periudhes (x )
Produkti (xy )
Trendi (yc )Vlera e
investimeve (y )
xx2
Shembulli ndash Investimet neuml Kosoveuml gjateuml viteve
TRENDI LINEAR
Me aplikimin e akuacioneve teuml fituara meuml larteuml i llogarisim vlerat peumlr a dhe b
a=9156 dhe b=41 Neumlse keumlrkohet teuml llogaritet (prognozohen)
investimet peumlr vitin 1994 ateumlhereuml x=13
yc=9156+4113=62456
TRENDI LINEAR
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987
Vlera e investimeve (y) Trendi (yc)
TRENDI LINEAR
Metoda e trendit linear mund teuml thjeshteumlsohet duke e zhvendosur shenjeumln e periudheumls zero neuml mes teuml seriseuml seuml teuml dheumlnave
Poashtu llogaritja e trendit linear peumlrveq me numeumlr tek teuml teuml dheumlnave llogaritet edhe te seriteuml kohore me numeumlr ccedilift teuml dheumlnash
Gjithashtu peumlrmes metodeumls seuml trendit linear fitohen teuml dheumlna teuml rregullta edhe neuml rastet kur neuml serineuml mungon ndonje e dheumlneuml
TRENDI I PARABOLLES
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml leumlvizje disharmonike neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml i shkalleumls seuml dyteuml (neuml katror)
ose pas operacioneve matematikore
2xcxbay
4322
32
2
xcxbxayx
xcxbxayx
xcxbany
TRENDI I PARABOLLES
1978 31 -4 16 -64 256 -124 4960 270981979 46 -3 9 -27 81 -138 4140 501511980 61 -2 4 -8 16 -122 2440 671841981 74 -1 1 -1 1 -74 740 781971982 98 0 0 0 0 0 00 831901983 86 1 1 1 1 86 860 821631984 65 2 4 8 16 130 2600 751161985 61 3 9 27 81 183 5490 620491986 46 4 16 64 256 184 7360 42962
Shuma 568 0 60 0 708 125 2859 56811
VitiSiperfaqja e mbjellur (y )
Shenja e periudhes
(x )x x2y Trendi (yc )x x xy
Shembulli ndash mbjellja e fidaneve gjateuml viteve
x2 x3 x4 x2y
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr ab dhe c
TRENDI I PARABOLLES
0
20
40
60
80
100
120
1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986
Siperfaqja e mbjellur (y) Trendi (yc)
TRENDI EKSPONENCIAL
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml njeuml riteumlm tp njejteuml neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml eksponencial
ose pas operacioneve logaritmike fitojmeuml ekuacionet
xnmy
nxmxyx
nxmny
logloglog
logloglog2
TRENDI EKSPONENCIAL
1984 42 16 -3 9 -487 164 43651985 65 18 -2 4 -363 178 60541986 80 19 -1 1 -190 192 83971987 120 21 0 0 000 207 116461988 165 22 1 1 222 221 161531989 210 23 2 4 464 235 224051990 320 25 3 9 752 249 31075
Shuma 1002 0 28 398 1446 100094
Trendi (yc )logyVitiTe dhenat
(y )
Shenja e periudhes
(x )x x logy logy c
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr m dhe n
x2
TRENDI EKSPONENCIAL
0
50
100
150
200
250
300
350
1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
Te dhenat (y) Trendi (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Llojet e trendeve zakonisht nuk mung teuml
peumlrcaktohen lehteuml Deri tani eumlshteuml peumlrdoreuml meumlnyra vizuele
tendenceumls seuml dukurive neuml peumlrcaktimin e trendit Meumlnyra meuml e mireuml eumlshteuml peumlrmes gabimeve
standarde ku trendi meuml i mireuml peumlrcaktohet neuml bazeuml teuml gabimit meuml teuml vogeumll
n
yy ciyc
2
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
1976 36 -9 382 413 4271977 34 -8 422 443 4481978 44 -7 460 472 4701979 56 -6 498 501 4921980 58 -5 534 531 5161981 60 -4 569 560 5411982 64 -3 603 590 5671983 62 -2 635 619 5941984 70 -1 666 648 6231985 78 0 696 678 6531986 76 1 725 707 6851987 74 2 753 737 7181988 66 3 779 766 7531989 72 4 804 795 7891990 76 5 828 825 8271991 82 6 851 854 8671992 88 7 872 884 9091993 94 8 892 913 9531994 98 9 911 942 999n=19 1288 0 12880 12878 12831
Trendi Parabolloik
(yc )
Trendi Linear (yc )
Trendi Eksponencial
(yc )Viti
Te dhenat (y )
Periudha (x )
0
20
40
60
80
100
120
76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94
Te dhenat (y) Trendi Parabolloik (yc) Trendi Linear (yc) Trendi Eksponencial (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Gabimet standarde te trendi linear
Gabimet standarde te trendi i parabolleumls
Gabimet standarde te trendi eksponencial
Neuml bazeuml teuml gabimeve teuml llogaritura trendi i parabolleumls eumlshteuml meuml i peumlrshtatsheumlm peumlr rregullimin e teuml dheumlnave
8365
2
)(
n
yy cilyc
5995
2
)(
n
yy cipyc
7996
2
)(
n
yy cieyc
TRENDI LINEAR
Vareumlsisht nga rezultatet e diagramit nga teuml dheumlnat e serive sipas periudhave kohore caktohet lloji i funksionit matematikoreuml
Neumlse supozojme trendin linear ateumlhereuml funksioni matematikoreuml eumlshteuml
x ndash paraqet variableumln e pavarur (koheumln) y ndash paraqet funksionin (vlereumln e trendit) e cila analizoheta ndash vlera fillestare e trendit (kur x=0)b ndash koeficienti i rritjesreumlnies peumlr periudheumln e caktuar kohore
xbay
TRENDI LINEAR Peumlrdorimi i metodeumls seuml
katroreumlve meuml teuml vegjeumll me qeumlllim teuml fitimit teuml linearitetit meuml teuml afeumlrt
Shuma e shmangjeve teuml teuml dheumlnave nga vija e trendit duhet teuml jeteuml zero
Shuma e shmangjeve neuml katror teuml teuml dheumlnave nga vija e trendit duhet teuml jeteuml minimum
1 2 3 4 5
ab
a
a+5b
b
b
b
b
b
xbay y
x
0 ci yy
min2 ci yy
TRENDI LINEAR Pas rregullimit teuml
ekuacioneve teuml katroreumlve meuml teuml vegjeumll fitojmeuml dy ekuacione
Nga keumlto ekuacioone fitohen vlerat peumlr a dhe b
Meuml mireuml do teuml shihet kjo neuml shembulli e ardhsheumlm1 2 3 4 5
ab
a
a+5b
b
b
b
b
b
xbay y
x
xbany
2xbxaxy
TRENDI LINEAR
1979 12 0 0 00 91561980 10 1 1 100 132561981 18 2 4 360 173561982 20 3 9 600 214561983 30 4 16 1200 255561984 24 5 25 1200 296561985 38 6 36 2280 337561986 32 7 49 2240 378561987 46 8 64 3680 41956
Shuma 230 36 204 1166 230004
VitiShenja e
periudhes (x )
Produkti (xy )
Trendi (yc )Vlera e
investimeve (y )
xx2
Shembulli ndash Investimet neuml Kosoveuml gjateuml viteve
TRENDI LINEAR
Me aplikimin e akuacioneve teuml fituara meuml larteuml i llogarisim vlerat peumlr a dhe b
a=9156 dhe b=41 Neumlse keumlrkohet teuml llogaritet (prognozohen)
investimet peumlr vitin 1994 ateumlhereuml x=13
yc=9156+4113=62456
TRENDI LINEAR
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987
Vlera e investimeve (y) Trendi (yc)
TRENDI LINEAR
Metoda e trendit linear mund teuml thjeshteumlsohet duke e zhvendosur shenjeumln e periudheumls zero neuml mes teuml seriseuml seuml teuml dheumlnave
Poashtu llogaritja e trendit linear peumlrveq me numeumlr tek teuml teuml dheumlnave llogaritet edhe te seriteuml kohore me numeumlr ccedilift teuml dheumlnash
Gjithashtu peumlrmes metodeumls seuml trendit linear fitohen teuml dheumlna teuml rregullta edhe neuml rastet kur neuml serineuml mungon ndonje e dheumlneuml
TRENDI I PARABOLLES
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml leumlvizje disharmonike neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml i shkalleumls seuml dyteuml (neuml katror)
ose pas operacioneve matematikore
2xcxbay
4322
32
2
xcxbxayx
xcxbxayx
xcxbany
TRENDI I PARABOLLES
1978 31 -4 16 -64 256 -124 4960 270981979 46 -3 9 -27 81 -138 4140 501511980 61 -2 4 -8 16 -122 2440 671841981 74 -1 1 -1 1 -74 740 781971982 98 0 0 0 0 0 00 831901983 86 1 1 1 1 86 860 821631984 65 2 4 8 16 130 2600 751161985 61 3 9 27 81 183 5490 620491986 46 4 16 64 256 184 7360 42962
Shuma 568 0 60 0 708 125 2859 56811
VitiSiperfaqja e mbjellur (y )
Shenja e periudhes
(x )x x2y Trendi (yc )x x xy
Shembulli ndash mbjellja e fidaneve gjateuml viteve
x2 x3 x4 x2y
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr ab dhe c
TRENDI I PARABOLLES
0
20
40
60
80
100
120
1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986
Siperfaqja e mbjellur (y) Trendi (yc)
TRENDI EKSPONENCIAL
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml njeuml riteumlm tp njejteuml neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml eksponencial
ose pas operacioneve logaritmike fitojmeuml ekuacionet
xnmy
nxmxyx
nxmny
logloglog
logloglog2
TRENDI EKSPONENCIAL
1984 42 16 -3 9 -487 164 43651985 65 18 -2 4 -363 178 60541986 80 19 -1 1 -190 192 83971987 120 21 0 0 000 207 116461988 165 22 1 1 222 221 161531989 210 23 2 4 464 235 224051990 320 25 3 9 752 249 31075
Shuma 1002 0 28 398 1446 100094
Trendi (yc )logyVitiTe dhenat
(y )
Shenja e periudhes
(x )x x logy logy c
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr m dhe n
x2
TRENDI EKSPONENCIAL
0
50
100
150
200
250
300
350
1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
Te dhenat (y) Trendi (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Llojet e trendeve zakonisht nuk mung teuml
peumlrcaktohen lehteuml Deri tani eumlshteuml peumlrdoreuml meumlnyra vizuele
tendenceumls seuml dukurive neuml peumlrcaktimin e trendit Meumlnyra meuml e mireuml eumlshteuml peumlrmes gabimeve
standarde ku trendi meuml i mireuml peumlrcaktohet neuml bazeuml teuml gabimit meuml teuml vogeumll
n
yy ciyc
2
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
1976 36 -9 382 413 4271977 34 -8 422 443 4481978 44 -7 460 472 4701979 56 -6 498 501 4921980 58 -5 534 531 5161981 60 -4 569 560 5411982 64 -3 603 590 5671983 62 -2 635 619 5941984 70 -1 666 648 6231985 78 0 696 678 6531986 76 1 725 707 6851987 74 2 753 737 7181988 66 3 779 766 7531989 72 4 804 795 7891990 76 5 828 825 8271991 82 6 851 854 8671992 88 7 872 884 9091993 94 8 892 913 9531994 98 9 911 942 999n=19 1288 0 12880 12878 12831
Trendi Parabolloik
(yc )
Trendi Linear (yc )
Trendi Eksponencial
(yc )Viti
Te dhenat (y )
Periudha (x )
0
20
40
60
80
100
120
76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94
Te dhenat (y) Trendi Parabolloik (yc) Trendi Linear (yc) Trendi Eksponencial (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Gabimet standarde te trendi linear
Gabimet standarde te trendi i parabolleumls
Gabimet standarde te trendi eksponencial
Neuml bazeuml teuml gabimeve teuml llogaritura trendi i parabolleumls eumlshteuml meuml i peumlrshtatsheumlm peumlr rregullimin e teuml dheumlnave
8365
2
)(
n
yy cilyc
5995
2
)(
n
yy cipyc
7996
2
)(
n
yy cieyc
TRENDI LINEAR Peumlrdorimi i metodeumls seuml
katroreumlve meuml teuml vegjeumll me qeumlllim teuml fitimit teuml linearitetit meuml teuml afeumlrt
Shuma e shmangjeve teuml teuml dheumlnave nga vija e trendit duhet teuml jeteuml zero
Shuma e shmangjeve neuml katror teuml teuml dheumlnave nga vija e trendit duhet teuml jeteuml minimum
1 2 3 4 5
ab
a
a+5b
b
b
b
b
b
xbay y
x
0 ci yy
min2 ci yy
TRENDI LINEAR Pas rregullimit teuml
ekuacioneve teuml katroreumlve meuml teuml vegjeumll fitojmeuml dy ekuacione
Nga keumlto ekuacioone fitohen vlerat peumlr a dhe b
Meuml mireuml do teuml shihet kjo neuml shembulli e ardhsheumlm1 2 3 4 5
ab
a
a+5b
b
b
b
b
b
xbay y
x
xbany
2xbxaxy
TRENDI LINEAR
1979 12 0 0 00 91561980 10 1 1 100 132561981 18 2 4 360 173561982 20 3 9 600 214561983 30 4 16 1200 255561984 24 5 25 1200 296561985 38 6 36 2280 337561986 32 7 49 2240 378561987 46 8 64 3680 41956
Shuma 230 36 204 1166 230004
VitiShenja e
periudhes (x )
Produkti (xy )
Trendi (yc )Vlera e
investimeve (y )
xx2
Shembulli ndash Investimet neuml Kosoveuml gjateuml viteve
TRENDI LINEAR
Me aplikimin e akuacioneve teuml fituara meuml larteuml i llogarisim vlerat peumlr a dhe b
a=9156 dhe b=41 Neumlse keumlrkohet teuml llogaritet (prognozohen)
investimet peumlr vitin 1994 ateumlhereuml x=13
yc=9156+4113=62456
TRENDI LINEAR
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987
Vlera e investimeve (y) Trendi (yc)
TRENDI LINEAR
Metoda e trendit linear mund teuml thjeshteumlsohet duke e zhvendosur shenjeumln e periudheumls zero neuml mes teuml seriseuml seuml teuml dheumlnave
Poashtu llogaritja e trendit linear peumlrveq me numeumlr tek teuml teuml dheumlnave llogaritet edhe te seriteuml kohore me numeumlr ccedilift teuml dheumlnash
Gjithashtu peumlrmes metodeumls seuml trendit linear fitohen teuml dheumlna teuml rregullta edhe neuml rastet kur neuml serineuml mungon ndonje e dheumlneuml
TRENDI I PARABOLLES
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml leumlvizje disharmonike neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml i shkalleumls seuml dyteuml (neuml katror)
ose pas operacioneve matematikore
2xcxbay
4322
32
2
xcxbxayx
xcxbxayx
xcxbany
TRENDI I PARABOLLES
1978 31 -4 16 -64 256 -124 4960 270981979 46 -3 9 -27 81 -138 4140 501511980 61 -2 4 -8 16 -122 2440 671841981 74 -1 1 -1 1 -74 740 781971982 98 0 0 0 0 0 00 831901983 86 1 1 1 1 86 860 821631984 65 2 4 8 16 130 2600 751161985 61 3 9 27 81 183 5490 620491986 46 4 16 64 256 184 7360 42962
Shuma 568 0 60 0 708 125 2859 56811
VitiSiperfaqja e mbjellur (y )
Shenja e periudhes
(x )x x2y Trendi (yc )x x xy
Shembulli ndash mbjellja e fidaneve gjateuml viteve
x2 x3 x4 x2y
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr ab dhe c
TRENDI I PARABOLLES
0
20
40
60
80
100
120
1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986
Siperfaqja e mbjellur (y) Trendi (yc)
TRENDI EKSPONENCIAL
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml njeuml riteumlm tp njejteuml neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml eksponencial
ose pas operacioneve logaritmike fitojmeuml ekuacionet
xnmy
nxmxyx
nxmny
logloglog
logloglog2
TRENDI EKSPONENCIAL
1984 42 16 -3 9 -487 164 43651985 65 18 -2 4 -363 178 60541986 80 19 -1 1 -190 192 83971987 120 21 0 0 000 207 116461988 165 22 1 1 222 221 161531989 210 23 2 4 464 235 224051990 320 25 3 9 752 249 31075
Shuma 1002 0 28 398 1446 100094
Trendi (yc )logyVitiTe dhenat
(y )
Shenja e periudhes
(x )x x logy logy c
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr m dhe n
x2
TRENDI EKSPONENCIAL
0
50
100
150
200
250
300
350
1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
Te dhenat (y) Trendi (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Llojet e trendeve zakonisht nuk mung teuml
peumlrcaktohen lehteuml Deri tani eumlshteuml peumlrdoreuml meumlnyra vizuele
tendenceumls seuml dukurive neuml peumlrcaktimin e trendit Meumlnyra meuml e mireuml eumlshteuml peumlrmes gabimeve
standarde ku trendi meuml i mireuml peumlrcaktohet neuml bazeuml teuml gabimit meuml teuml vogeumll
n
yy ciyc
2
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
1976 36 -9 382 413 4271977 34 -8 422 443 4481978 44 -7 460 472 4701979 56 -6 498 501 4921980 58 -5 534 531 5161981 60 -4 569 560 5411982 64 -3 603 590 5671983 62 -2 635 619 5941984 70 -1 666 648 6231985 78 0 696 678 6531986 76 1 725 707 6851987 74 2 753 737 7181988 66 3 779 766 7531989 72 4 804 795 7891990 76 5 828 825 8271991 82 6 851 854 8671992 88 7 872 884 9091993 94 8 892 913 9531994 98 9 911 942 999n=19 1288 0 12880 12878 12831
Trendi Parabolloik
(yc )
Trendi Linear (yc )
Trendi Eksponencial
(yc )Viti
Te dhenat (y )
Periudha (x )
0
20
40
60
80
100
120
76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94
Te dhenat (y) Trendi Parabolloik (yc) Trendi Linear (yc) Trendi Eksponencial (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Gabimet standarde te trendi linear
Gabimet standarde te trendi i parabolleumls
Gabimet standarde te trendi eksponencial
Neuml bazeuml teuml gabimeve teuml llogaritura trendi i parabolleumls eumlshteuml meuml i peumlrshtatsheumlm peumlr rregullimin e teuml dheumlnave
8365
2
)(
n
yy cilyc
5995
2
)(
n
yy cipyc
7996
2
)(
n
yy cieyc
TRENDI LINEAR Pas rregullimit teuml
ekuacioneve teuml katroreumlve meuml teuml vegjeumll fitojmeuml dy ekuacione
Nga keumlto ekuacioone fitohen vlerat peumlr a dhe b
Meuml mireuml do teuml shihet kjo neuml shembulli e ardhsheumlm1 2 3 4 5
ab
a
a+5b
b
b
b
b
b
xbay y
x
xbany
2xbxaxy
TRENDI LINEAR
1979 12 0 0 00 91561980 10 1 1 100 132561981 18 2 4 360 173561982 20 3 9 600 214561983 30 4 16 1200 255561984 24 5 25 1200 296561985 38 6 36 2280 337561986 32 7 49 2240 378561987 46 8 64 3680 41956
Shuma 230 36 204 1166 230004
VitiShenja e
periudhes (x )
Produkti (xy )
Trendi (yc )Vlera e
investimeve (y )
xx2
Shembulli ndash Investimet neuml Kosoveuml gjateuml viteve
TRENDI LINEAR
Me aplikimin e akuacioneve teuml fituara meuml larteuml i llogarisim vlerat peumlr a dhe b
a=9156 dhe b=41 Neumlse keumlrkohet teuml llogaritet (prognozohen)
investimet peumlr vitin 1994 ateumlhereuml x=13
yc=9156+4113=62456
TRENDI LINEAR
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987
Vlera e investimeve (y) Trendi (yc)
TRENDI LINEAR
Metoda e trendit linear mund teuml thjeshteumlsohet duke e zhvendosur shenjeumln e periudheumls zero neuml mes teuml seriseuml seuml teuml dheumlnave
Poashtu llogaritja e trendit linear peumlrveq me numeumlr tek teuml teuml dheumlnave llogaritet edhe te seriteuml kohore me numeumlr ccedilift teuml dheumlnash
Gjithashtu peumlrmes metodeumls seuml trendit linear fitohen teuml dheumlna teuml rregullta edhe neuml rastet kur neuml serineuml mungon ndonje e dheumlneuml
TRENDI I PARABOLLES
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml leumlvizje disharmonike neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml i shkalleumls seuml dyteuml (neuml katror)
ose pas operacioneve matematikore
2xcxbay
4322
32
2
xcxbxayx
xcxbxayx
xcxbany
TRENDI I PARABOLLES
1978 31 -4 16 -64 256 -124 4960 270981979 46 -3 9 -27 81 -138 4140 501511980 61 -2 4 -8 16 -122 2440 671841981 74 -1 1 -1 1 -74 740 781971982 98 0 0 0 0 0 00 831901983 86 1 1 1 1 86 860 821631984 65 2 4 8 16 130 2600 751161985 61 3 9 27 81 183 5490 620491986 46 4 16 64 256 184 7360 42962
Shuma 568 0 60 0 708 125 2859 56811
VitiSiperfaqja e mbjellur (y )
Shenja e periudhes
(x )x x2y Trendi (yc )x x xy
Shembulli ndash mbjellja e fidaneve gjateuml viteve
x2 x3 x4 x2y
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr ab dhe c
TRENDI I PARABOLLES
0
20
40
60
80
100
120
1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986
Siperfaqja e mbjellur (y) Trendi (yc)
TRENDI EKSPONENCIAL
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml njeuml riteumlm tp njejteuml neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml eksponencial
ose pas operacioneve logaritmike fitojmeuml ekuacionet
xnmy
nxmxyx
nxmny
logloglog
logloglog2
TRENDI EKSPONENCIAL
1984 42 16 -3 9 -487 164 43651985 65 18 -2 4 -363 178 60541986 80 19 -1 1 -190 192 83971987 120 21 0 0 000 207 116461988 165 22 1 1 222 221 161531989 210 23 2 4 464 235 224051990 320 25 3 9 752 249 31075
Shuma 1002 0 28 398 1446 100094
Trendi (yc )logyVitiTe dhenat
(y )
Shenja e periudhes
(x )x x logy logy c
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr m dhe n
x2
TRENDI EKSPONENCIAL
0
50
100
150
200
250
300
350
1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
Te dhenat (y) Trendi (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Llojet e trendeve zakonisht nuk mung teuml
peumlrcaktohen lehteuml Deri tani eumlshteuml peumlrdoreuml meumlnyra vizuele
tendenceumls seuml dukurive neuml peumlrcaktimin e trendit Meumlnyra meuml e mireuml eumlshteuml peumlrmes gabimeve
standarde ku trendi meuml i mireuml peumlrcaktohet neuml bazeuml teuml gabimit meuml teuml vogeumll
n
yy ciyc
2
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
1976 36 -9 382 413 4271977 34 -8 422 443 4481978 44 -7 460 472 4701979 56 -6 498 501 4921980 58 -5 534 531 5161981 60 -4 569 560 5411982 64 -3 603 590 5671983 62 -2 635 619 5941984 70 -1 666 648 6231985 78 0 696 678 6531986 76 1 725 707 6851987 74 2 753 737 7181988 66 3 779 766 7531989 72 4 804 795 7891990 76 5 828 825 8271991 82 6 851 854 8671992 88 7 872 884 9091993 94 8 892 913 9531994 98 9 911 942 999n=19 1288 0 12880 12878 12831
Trendi Parabolloik
(yc )
Trendi Linear (yc )
Trendi Eksponencial
(yc )Viti
Te dhenat (y )
Periudha (x )
0
20
40
60
80
100
120
76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94
Te dhenat (y) Trendi Parabolloik (yc) Trendi Linear (yc) Trendi Eksponencial (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Gabimet standarde te trendi linear
Gabimet standarde te trendi i parabolleumls
Gabimet standarde te trendi eksponencial
Neuml bazeuml teuml gabimeve teuml llogaritura trendi i parabolleumls eumlshteuml meuml i peumlrshtatsheumlm peumlr rregullimin e teuml dheumlnave
8365
2
)(
n
yy cilyc
5995
2
)(
n
yy cipyc
7996
2
)(
n
yy cieyc
TRENDI LINEAR
1979 12 0 0 00 91561980 10 1 1 100 132561981 18 2 4 360 173561982 20 3 9 600 214561983 30 4 16 1200 255561984 24 5 25 1200 296561985 38 6 36 2280 337561986 32 7 49 2240 378561987 46 8 64 3680 41956
Shuma 230 36 204 1166 230004
VitiShenja e
periudhes (x )
Produkti (xy )
Trendi (yc )Vlera e
investimeve (y )
xx2
Shembulli ndash Investimet neuml Kosoveuml gjateuml viteve
TRENDI LINEAR
Me aplikimin e akuacioneve teuml fituara meuml larteuml i llogarisim vlerat peumlr a dhe b
a=9156 dhe b=41 Neumlse keumlrkohet teuml llogaritet (prognozohen)
investimet peumlr vitin 1994 ateumlhereuml x=13
yc=9156+4113=62456
TRENDI LINEAR
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987
Vlera e investimeve (y) Trendi (yc)
TRENDI LINEAR
Metoda e trendit linear mund teuml thjeshteumlsohet duke e zhvendosur shenjeumln e periudheumls zero neuml mes teuml seriseuml seuml teuml dheumlnave
Poashtu llogaritja e trendit linear peumlrveq me numeumlr tek teuml teuml dheumlnave llogaritet edhe te seriteuml kohore me numeumlr ccedilift teuml dheumlnash
Gjithashtu peumlrmes metodeumls seuml trendit linear fitohen teuml dheumlna teuml rregullta edhe neuml rastet kur neuml serineuml mungon ndonje e dheumlneuml
TRENDI I PARABOLLES
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml leumlvizje disharmonike neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml i shkalleumls seuml dyteuml (neuml katror)
ose pas operacioneve matematikore
2xcxbay
4322
32
2
xcxbxayx
xcxbxayx
xcxbany
TRENDI I PARABOLLES
1978 31 -4 16 -64 256 -124 4960 270981979 46 -3 9 -27 81 -138 4140 501511980 61 -2 4 -8 16 -122 2440 671841981 74 -1 1 -1 1 -74 740 781971982 98 0 0 0 0 0 00 831901983 86 1 1 1 1 86 860 821631984 65 2 4 8 16 130 2600 751161985 61 3 9 27 81 183 5490 620491986 46 4 16 64 256 184 7360 42962
Shuma 568 0 60 0 708 125 2859 56811
VitiSiperfaqja e mbjellur (y )
Shenja e periudhes
(x )x x2y Trendi (yc )x x xy
Shembulli ndash mbjellja e fidaneve gjateuml viteve
x2 x3 x4 x2y
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr ab dhe c
TRENDI I PARABOLLES
0
20
40
60
80
100
120
1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986
Siperfaqja e mbjellur (y) Trendi (yc)
TRENDI EKSPONENCIAL
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml njeuml riteumlm tp njejteuml neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml eksponencial
ose pas operacioneve logaritmike fitojmeuml ekuacionet
xnmy
nxmxyx
nxmny
logloglog
logloglog2
TRENDI EKSPONENCIAL
1984 42 16 -3 9 -487 164 43651985 65 18 -2 4 -363 178 60541986 80 19 -1 1 -190 192 83971987 120 21 0 0 000 207 116461988 165 22 1 1 222 221 161531989 210 23 2 4 464 235 224051990 320 25 3 9 752 249 31075
Shuma 1002 0 28 398 1446 100094
Trendi (yc )logyVitiTe dhenat
(y )
Shenja e periudhes
(x )x x logy logy c
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr m dhe n
x2
TRENDI EKSPONENCIAL
0
50
100
150
200
250
300
350
1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
Te dhenat (y) Trendi (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Llojet e trendeve zakonisht nuk mung teuml
peumlrcaktohen lehteuml Deri tani eumlshteuml peumlrdoreuml meumlnyra vizuele
tendenceumls seuml dukurive neuml peumlrcaktimin e trendit Meumlnyra meuml e mireuml eumlshteuml peumlrmes gabimeve
standarde ku trendi meuml i mireuml peumlrcaktohet neuml bazeuml teuml gabimit meuml teuml vogeumll
n
yy ciyc
2
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
1976 36 -9 382 413 4271977 34 -8 422 443 4481978 44 -7 460 472 4701979 56 -6 498 501 4921980 58 -5 534 531 5161981 60 -4 569 560 5411982 64 -3 603 590 5671983 62 -2 635 619 5941984 70 -1 666 648 6231985 78 0 696 678 6531986 76 1 725 707 6851987 74 2 753 737 7181988 66 3 779 766 7531989 72 4 804 795 7891990 76 5 828 825 8271991 82 6 851 854 8671992 88 7 872 884 9091993 94 8 892 913 9531994 98 9 911 942 999n=19 1288 0 12880 12878 12831
Trendi Parabolloik
(yc )
Trendi Linear (yc )
Trendi Eksponencial
(yc )Viti
Te dhenat (y )
Periudha (x )
0
20
40
60
80
100
120
76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94
Te dhenat (y) Trendi Parabolloik (yc) Trendi Linear (yc) Trendi Eksponencial (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Gabimet standarde te trendi linear
Gabimet standarde te trendi i parabolleumls
Gabimet standarde te trendi eksponencial
Neuml bazeuml teuml gabimeve teuml llogaritura trendi i parabolleumls eumlshteuml meuml i peumlrshtatsheumlm peumlr rregullimin e teuml dheumlnave
8365
2
)(
n
yy cilyc
5995
2
)(
n
yy cipyc
7996
2
)(
n
yy cieyc
TRENDI LINEAR
Me aplikimin e akuacioneve teuml fituara meuml larteuml i llogarisim vlerat peumlr a dhe b
a=9156 dhe b=41 Neumlse keumlrkohet teuml llogaritet (prognozohen)
investimet peumlr vitin 1994 ateumlhereuml x=13
yc=9156+4113=62456
TRENDI LINEAR
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987
Vlera e investimeve (y) Trendi (yc)
TRENDI LINEAR
Metoda e trendit linear mund teuml thjeshteumlsohet duke e zhvendosur shenjeumln e periudheumls zero neuml mes teuml seriseuml seuml teuml dheumlnave
Poashtu llogaritja e trendit linear peumlrveq me numeumlr tek teuml teuml dheumlnave llogaritet edhe te seriteuml kohore me numeumlr ccedilift teuml dheumlnash
Gjithashtu peumlrmes metodeumls seuml trendit linear fitohen teuml dheumlna teuml rregullta edhe neuml rastet kur neuml serineuml mungon ndonje e dheumlneuml
TRENDI I PARABOLLES
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml leumlvizje disharmonike neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml i shkalleumls seuml dyteuml (neuml katror)
ose pas operacioneve matematikore
2xcxbay
4322
32
2
xcxbxayx
xcxbxayx
xcxbany
TRENDI I PARABOLLES
1978 31 -4 16 -64 256 -124 4960 270981979 46 -3 9 -27 81 -138 4140 501511980 61 -2 4 -8 16 -122 2440 671841981 74 -1 1 -1 1 -74 740 781971982 98 0 0 0 0 0 00 831901983 86 1 1 1 1 86 860 821631984 65 2 4 8 16 130 2600 751161985 61 3 9 27 81 183 5490 620491986 46 4 16 64 256 184 7360 42962
Shuma 568 0 60 0 708 125 2859 56811
VitiSiperfaqja e mbjellur (y )
Shenja e periudhes
(x )x x2y Trendi (yc )x x xy
Shembulli ndash mbjellja e fidaneve gjateuml viteve
x2 x3 x4 x2y
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr ab dhe c
TRENDI I PARABOLLES
0
20
40
60
80
100
120
1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986
Siperfaqja e mbjellur (y) Trendi (yc)
TRENDI EKSPONENCIAL
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml njeuml riteumlm tp njejteuml neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml eksponencial
ose pas operacioneve logaritmike fitojmeuml ekuacionet
xnmy
nxmxyx
nxmny
logloglog
logloglog2
TRENDI EKSPONENCIAL
1984 42 16 -3 9 -487 164 43651985 65 18 -2 4 -363 178 60541986 80 19 -1 1 -190 192 83971987 120 21 0 0 000 207 116461988 165 22 1 1 222 221 161531989 210 23 2 4 464 235 224051990 320 25 3 9 752 249 31075
Shuma 1002 0 28 398 1446 100094
Trendi (yc )logyVitiTe dhenat
(y )
Shenja e periudhes
(x )x x logy logy c
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr m dhe n
x2
TRENDI EKSPONENCIAL
0
50
100
150
200
250
300
350
1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
Te dhenat (y) Trendi (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Llojet e trendeve zakonisht nuk mung teuml
peumlrcaktohen lehteuml Deri tani eumlshteuml peumlrdoreuml meumlnyra vizuele
tendenceumls seuml dukurive neuml peumlrcaktimin e trendit Meumlnyra meuml e mireuml eumlshteuml peumlrmes gabimeve
standarde ku trendi meuml i mireuml peumlrcaktohet neuml bazeuml teuml gabimit meuml teuml vogeumll
n
yy ciyc
2
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
1976 36 -9 382 413 4271977 34 -8 422 443 4481978 44 -7 460 472 4701979 56 -6 498 501 4921980 58 -5 534 531 5161981 60 -4 569 560 5411982 64 -3 603 590 5671983 62 -2 635 619 5941984 70 -1 666 648 6231985 78 0 696 678 6531986 76 1 725 707 6851987 74 2 753 737 7181988 66 3 779 766 7531989 72 4 804 795 7891990 76 5 828 825 8271991 82 6 851 854 8671992 88 7 872 884 9091993 94 8 892 913 9531994 98 9 911 942 999n=19 1288 0 12880 12878 12831
Trendi Parabolloik
(yc )
Trendi Linear (yc )
Trendi Eksponencial
(yc )Viti
Te dhenat (y )
Periudha (x )
0
20
40
60
80
100
120
76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94
Te dhenat (y) Trendi Parabolloik (yc) Trendi Linear (yc) Trendi Eksponencial (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Gabimet standarde te trendi linear
Gabimet standarde te trendi i parabolleumls
Gabimet standarde te trendi eksponencial
Neuml bazeuml teuml gabimeve teuml llogaritura trendi i parabolleumls eumlshteuml meuml i peumlrshtatsheumlm peumlr rregullimin e teuml dheumlnave
8365
2
)(
n
yy cilyc
5995
2
)(
n
yy cipyc
7996
2
)(
n
yy cieyc
TRENDI LINEAR
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987
Vlera e investimeve (y) Trendi (yc)
TRENDI LINEAR
Metoda e trendit linear mund teuml thjeshteumlsohet duke e zhvendosur shenjeumln e periudheumls zero neuml mes teuml seriseuml seuml teuml dheumlnave
Poashtu llogaritja e trendit linear peumlrveq me numeumlr tek teuml teuml dheumlnave llogaritet edhe te seriteuml kohore me numeumlr ccedilift teuml dheumlnash
Gjithashtu peumlrmes metodeumls seuml trendit linear fitohen teuml dheumlna teuml rregullta edhe neuml rastet kur neuml serineuml mungon ndonje e dheumlneuml
TRENDI I PARABOLLES
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml leumlvizje disharmonike neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml i shkalleumls seuml dyteuml (neuml katror)
ose pas operacioneve matematikore
2xcxbay
4322
32
2
xcxbxayx
xcxbxayx
xcxbany
TRENDI I PARABOLLES
1978 31 -4 16 -64 256 -124 4960 270981979 46 -3 9 -27 81 -138 4140 501511980 61 -2 4 -8 16 -122 2440 671841981 74 -1 1 -1 1 -74 740 781971982 98 0 0 0 0 0 00 831901983 86 1 1 1 1 86 860 821631984 65 2 4 8 16 130 2600 751161985 61 3 9 27 81 183 5490 620491986 46 4 16 64 256 184 7360 42962
Shuma 568 0 60 0 708 125 2859 56811
VitiSiperfaqja e mbjellur (y )
Shenja e periudhes
(x )x x2y Trendi (yc )x x xy
Shembulli ndash mbjellja e fidaneve gjateuml viteve
x2 x3 x4 x2y
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr ab dhe c
TRENDI I PARABOLLES
0
20
40
60
80
100
120
1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986
Siperfaqja e mbjellur (y) Trendi (yc)
TRENDI EKSPONENCIAL
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml njeuml riteumlm tp njejteuml neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml eksponencial
ose pas operacioneve logaritmike fitojmeuml ekuacionet
xnmy
nxmxyx
nxmny
logloglog
logloglog2
TRENDI EKSPONENCIAL
1984 42 16 -3 9 -487 164 43651985 65 18 -2 4 -363 178 60541986 80 19 -1 1 -190 192 83971987 120 21 0 0 000 207 116461988 165 22 1 1 222 221 161531989 210 23 2 4 464 235 224051990 320 25 3 9 752 249 31075
Shuma 1002 0 28 398 1446 100094
Trendi (yc )logyVitiTe dhenat
(y )
Shenja e periudhes
(x )x x logy logy c
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr m dhe n
x2
TRENDI EKSPONENCIAL
0
50
100
150
200
250
300
350
1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
Te dhenat (y) Trendi (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Llojet e trendeve zakonisht nuk mung teuml
peumlrcaktohen lehteuml Deri tani eumlshteuml peumlrdoreuml meumlnyra vizuele
tendenceumls seuml dukurive neuml peumlrcaktimin e trendit Meumlnyra meuml e mireuml eumlshteuml peumlrmes gabimeve
standarde ku trendi meuml i mireuml peumlrcaktohet neuml bazeuml teuml gabimit meuml teuml vogeumll
n
yy ciyc
2
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
1976 36 -9 382 413 4271977 34 -8 422 443 4481978 44 -7 460 472 4701979 56 -6 498 501 4921980 58 -5 534 531 5161981 60 -4 569 560 5411982 64 -3 603 590 5671983 62 -2 635 619 5941984 70 -1 666 648 6231985 78 0 696 678 6531986 76 1 725 707 6851987 74 2 753 737 7181988 66 3 779 766 7531989 72 4 804 795 7891990 76 5 828 825 8271991 82 6 851 854 8671992 88 7 872 884 9091993 94 8 892 913 9531994 98 9 911 942 999n=19 1288 0 12880 12878 12831
Trendi Parabolloik
(yc )
Trendi Linear (yc )
Trendi Eksponencial
(yc )Viti
Te dhenat (y )
Periudha (x )
0
20
40
60
80
100
120
76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94
Te dhenat (y) Trendi Parabolloik (yc) Trendi Linear (yc) Trendi Eksponencial (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Gabimet standarde te trendi linear
Gabimet standarde te trendi i parabolleumls
Gabimet standarde te trendi eksponencial
Neuml bazeuml teuml gabimeve teuml llogaritura trendi i parabolleumls eumlshteuml meuml i peumlrshtatsheumlm peumlr rregullimin e teuml dheumlnave
8365
2
)(
n
yy cilyc
5995
2
)(
n
yy cipyc
7996
2
)(
n
yy cieyc
TRENDI LINEAR
Metoda e trendit linear mund teuml thjeshteumlsohet duke e zhvendosur shenjeumln e periudheumls zero neuml mes teuml seriseuml seuml teuml dheumlnave
Poashtu llogaritja e trendit linear peumlrveq me numeumlr tek teuml teuml dheumlnave llogaritet edhe te seriteuml kohore me numeumlr ccedilift teuml dheumlnash
Gjithashtu peumlrmes metodeumls seuml trendit linear fitohen teuml dheumlna teuml rregullta edhe neuml rastet kur neuml serineuml mungon ndonje e dheumlneuml
TRENDI I PARABOLLES
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml leumlvizje disharmonike neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml i shkalleumls seuml dyteuml (neuml katror)
ose pas operacioneve matematikore
2xcxbay
4322
32
2
xcxbxayx
xcxbxayx
xcxbany
TRENDI I PARABOLLES
1978 31 -4 16 -64 256 -124 4960 270981979 46 -3 9 -27 81 -138 4140 501511980 61 -2 4 -8 16 -122 2440 671841981 74 -1 1 -1 1 -74 740 781971982 98 0 0 0 0 0 00 831901983 86 1 1 1 1 86 860 821631984 65 2 4 8 16 130 2600 751161985 61 3 9 27 81 183 5490 620491986 46 4 16 64 256 184 7360 42962
Shuma 568 0 60 0 708 125 2859 56811
VitiSiperfaqja e mbjellur (y )
Shenja e periudhes
(x )x x2y Trendi (yc )x x xy
Shembulli ndash mbjellja e fidaneve gjateuml viteve
x2 x3 x4 x2y
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr ab dhe c
TRENDI I PARABOLLES
0
20
40
60
80
100
120
1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986
Siperfaqja e mbjellur (y) Trendi (yc)
TRENDI EKSPONENCIAL
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml njeuml riteumlm tp njejteuml neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml eksponencial
ose pas operacioneve logaritmike fitojmeuml ekuacionet
xnmy
nxmxyx
nxmny
logloglog
logloglog2
TRENDI EKSPONENCIAL
1984 42 16 -3 9 -487 164 43651985 65 18 -2 4 -363 178 60541986 80 19 -1 1 -190 192 83971987 120 21 0 0 000 207 116461988 165 22 1 1 222 221 161531989 210 23 2 4 464 235 224051990 320 25 3 9 752 249 31075
Shuma 1002 0 28 398 1446 100094
Trendi (yc )logyVitiTe dhenat
(y )
Shenja e periudhes
(x )x x logy logy c
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr m dhe n
x2
TRENDI EKSPONENCIAL
0
50
100
150
200
250
300
350
1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
Te dhenat (y) Trendi (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Llojet e trendeve zakonisht nuk mung teuml
peumlrcaktohen lehteuml Deri tani eumlshteuml peumlrdoreuml meumlnyra vizuele
tendenceumls seuml dukurive neuml peumlrcaktimin e trendit Meumlnyra meuml e mireuml eumlshteuml peumlrmes gabimeve
standarde ku trendi meuml i mireuml peumlrcaktohet neuml bazeuml teuml gabimit meuml teuml vogeumll
n
yy ciyc
2
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
1976 36 -9 382 413 4271977 34 -8 422 443 4481978 44 -7 460 472 4701979 56 -6 498 501 4921980 58 -5 534 531 5161981 60 -4 569 560 5411982 64 -3 603 590 5671983 62 -2 635 619 5941984 70 -1 666 648 6231985 78 0 696 678 6531986 76 1 725 707 6851987 74 2 753 737 7181988 66 3 779 766 7531989 72 4 804 795 7891990 76 5 828 825 8271991 82 6 851 854 8671992 88 7 872 884 9091993 94 8 892 913 9531994 98 9 911 942 999n=19 1288 0 12880 12878 12831
Trendi Parabolloik
(yc )
Trendi Linear (yc )
Trendi Eksponencial
(yc )Viti
Te dhenat (y )
Periudha (x )
0
20
40
60
80
100
120
76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94
Te dhenat (y) Trendi Parabolloik (yc) Trendi Linear (yc) Trendi Eksponencial (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Gabimet standarde te trendi linear
Gabimet standarde te trendi i parabolleumls
Gabimet standarde te trendi eksponencial
Neuml bazeuml teuml gabimeve teuml llogaritura trendi i parabolleumls eumlshteuml meuml i peumlrshtatsheumlm peumlr rregullimin e teuml dheumlnave
8365
2
)(
n
yy cilyc
5995
2
)(
n
yy cipyc
7996
2
)(
n
yy cieyc
TRENDI I PARABOLLES
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml leumlvizje disharmonike neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml i shkalleumls seuml dyteuml (neuml katror)
ose pas operacioneve matematikore
2xcxbay
4322
32
2
xcxbxayx
xcxbxayx
xcxbany
TRENDI I PARABOLLES
1978 31 -4 16 -64 256 -124 4960 270981979 46 -3 9 -27 81 -138 4140 501511980 61 -2 4 -8 16 -122 2440 671841981 74 -1 1 -1 1 -74 740 781971982 98 0 0 0 0 0 00 831901983 86 1 1 1 1 86 860 821631984 65 2 4 8 16 130 2600 751161985 61 3 9 27 81 183 5490 620491986 46 4 16 64 256 184 7360 42962
Shuma 568 0 60 0 708 125 2859 56811
VitiSiperfaqja e mbjellur (y )
Shenja e periudhes
(x )x x2y Trendi (yc )x x xy
Shembulli ndash mbjellja e fidaneve gjateuml viteve
x2 x3 x4 x2y
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr ab dhe c
TRENDI I PARABOLLES
0
20
40
60
80
100
120
1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986
Siperfaqja e mbjellur (y) Trendi (yc)
TRENDI EKSPONENCIAL
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml njeuml riteumlm tp njejteuml neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml eksponencial
ose pas operacioneve logaritmike fitojmeuml ekuacionet
xnmy
nxmxyx
nxmny
logloglog
logloglog2
TRENDI EKSPONENCIAL
1984 42 16 -3 9 -487 164 43651985 65 18 -2 4 -363 178 60541986 80 19 -1 1 -190 192 83971987 120 21 0 0 000 207 116461988 165 22 1 1 222 221 161531989 210 23 2 4 464 235 224051990 320 25 3 9 752 249 31075
Shuma 1002 0 28 398 1446 100094
Trendi (yc )logyVitiTe dhenat
(y )
Shenja e periudhes
(x )x x logy logy c
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr m dhe n
x2
TRENDI EKSPONENCIAL
0
50
100
150
200
250
300
350
1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
Te dhenat (y) Trendi (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Llojet e trendeve zakonisht nuk mung teuml
peumlrcaktohen lehteuml Deri tani eumlshteuml peumlrdoreuml meumlnyra vizuele
tendenceumls seuml dukurive neuml peumlrcaktimin e trendit Meumlnyra meuml e mireuml eumlshteuml peumlrmes gabimeve
standarde ku trendi meuml i mireuml peumlrcaktohet neuml bazeuml teuml gabimit meuml teuml vogeumll
n
yy ciyc
2
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
1976 36 -9 382 413 4271977 34 -8 422 443 4481978 44 -7 460 472 4701979 56 -6 498 501 4921980 58 -5 534 531 5161981 60 -4 569 560 5411982 64 -3 603 590 5671983 62 -2 635 619 5941984 70 -1 666 648 6231985 78 0 696 678 6531986 76 1 725 707 6851987 74 2 753 737 7181988 66 3 779 766 7531989 72 4 804 795 7891990 76 5 828 825 8271991 82 6 851 854 8671992 88 7 872 884 9091993 94 8 892 913 9531994 98 9 911 942 999n=19 1288 0 12880 12878 12831
Trendi Parabolloik
(yc )
Trendi Linear (yc )
Trendi Eksponencial
(yc )Viti
Te dhenat (y )
Periudha (x )
0
20
40
60
80
100
120
76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94
Te dhenat (y) Trendi Parabolloik (yc) Trendi Linear (yc) Trendi Eksponencial (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Gabimet standarde te trendi linear
Gabimet standarde te trendi i parabolleumls
Gabimet standarde te trendi eksponencial
Neuml bazeuml teuml gabimeve teuml llogaritura trendi i parabolleumls eumlshteuml meuml i peumlrshtatsheumlm peumlr rregullimin e teuml dheumlnave
8365
2
)(
n
yy cilyc
5995
2
)(
n
yy cipyc
7996
2
)(
n
yy cieyc
TRENDI I PARABOLLES
1978 31 -4 16 -64 256 -124 4960 270981979 46 -3 9 -27 81 -138 4140 501511980 61 -2 4 -8 16 -122 2440 671841981 74 -1 1 -1 1 -74 740 781971982 98 0 0 0 0 0 00 831901983 86 1 1 1 1 86 860 821631984 65 2 4 8 16 130 2600 751161985 61 3 9 27 81 183 5490 620491986 46 4 16 64 256 184 7360 42962
Shuma 568 0 60 0 708 125 2859 56811
VitiSiperfaqja e mbjellur (y )
Shenja e periudhes
(x )x x2y Trendi (yc )x x xy
Shembulli ndash mbjellja e fidaneve gjateuml viteve
x2 x3 x4 x2y
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr ab dhe c
TRENDI I PARABOLLES
0
20
40
60
80
100
120
1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986
Siperfaqja e mbjellur (y) Trendi (yc)
TRENDI EKSPONENCIAL
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml njeuml riteumlm tp njejteuml neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml eksponencial
ose pas operacioneve logaritmike fitojmeuml ekuacionet
xnmy
nxmxyx
nxmny
logloglog
logloglog2
TRENDI EKSPONENCIAL
1984 42 16 -3 9 -487 164 43651985 65 18 -2 4 -363 178 60541986 80 19 -1 1 -190 192 83971987 120 21 0 0 000 207 116461988 165 22 1 1 222 221 161531989 210 23 2 4 464 235 224051990 320 25 3 9 752 249 31075
Shuma 1002 0 28 398 1446 100094
Trendi (yc )logyVitiTe dhenat
(y )
Shenja e periudhes
(x )x x logy logy c
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr m dhe n
x2
TRENDI EKSPONENCIAL
0
50
100
150
200
250
300
350
1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
Te dhenat (y) Trendi (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Llojet e trendeve zakonisht nuk mung teuml
peumlrcaktohen lehteuml Deri tani eumlshteuml peumlrdoreuml meumlnyra vizuele
tendenceumls seuml dukurive neuml peumlrcaktimin e trendit Meumlnyra meuml e mireuml eumlshteuml peumlrmes gabimeve
standarde ku trendi meuml i mireuml peumlrcaktohet neuml bazeuml teuml gabimit meuml teuml vogeumll
n
yy ciyc
2
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
1976 36 -9 382 413 4271977 34 -8 422 443 4481978 44 -7 460 472 4701979 56 -6 498 501 4921980 58 -5 534 531 5161981 60 -4 569 560 5411982 64 -3 603 590 5671983 62 -2 635 619 5941984 70 -1 666 648 6231985 78 0 696 678 6531986 76 1 725 707 6851987 74 2 753 737 7181988 66 3 779 766 7531989 72 4 804 795 7891990 76 5 828 825 8271991 82 6 851 854 8671992 88 7 872 884 9091993 94 8 892 913 9531994 98 9 911 942 999n=19 1288 0 12880 12878 12831
Trendi Parabolloik
(yc )
Trendi Linear (yc )
Trendi Eksponencial
(yc )Viti
Te dhenat (y )
Periudha (x )
0
20
40
60
80
100
120
76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94
Te dhenat (y) Trendi Parabolloik (yc) Trendi Linear (yc) Trendi Eksponencial (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Gabimet standarde te trendi linear
Gabimet standarde te trendi i parabolleumls
Gabimet standarde te trendi eksponencial
Neuml bazeuml teuml gabimeve teuml llogaritura trendi i parabolleumls eumlshteuml meuml i peumlrshtatsheumlm peumlr rregullimin e teuml dheumlnave
8365
2
)(
n
yy cilyc
5995
2
)(
n
yy cipyc
7996
2
)(
n
yy cieyc
TRENDI I PARABOLLES
0
20
40
60
80
100
120
1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986
Siperfaqja e mbjellur (y) Trendi (yc)
TRENDI EKSPONENCIAL
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml njeuml riteumlm tp njejteuml neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml eksponencial
ose pas operacioneve logaritmike fitojmeuml ekuacionet
xnmy
nxmxyx
nxmny
logloglog
logloglog2
TRENDI EKSPONENCIAL
1984 42 16 -3 9 -487 164 43651985 65 18 -2 4 -363 178 60541986 80 19 -1 1 -190 192 83971987 120 21 0 0 000 207 116461988 165 22 1 1 222 221 161531989 210 23 2 4 464 235 224051990 320 25 3 9 752 249 31075
Shuma 1002 0 28 398 1446 100094
Trendi (yc )logyVitiTe dhenat
(y )
Shenja e periudhes
(x )x x logy logy c
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr m dhe n
x2
TRENDI EKSPONENCIAL
0
50
100
150
200
250
300
350
1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
Te dhenat (y) Trendi (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Llojet e trendeve zakonisht nuk mung teuml
peumlrcaktohen lehteuml Deri tani eumlshteuml peumlrdoreuml meumlnyra vizuele
tendenceumls seuml dukurive neuml peumlrcaktimin e trendit Meumlnyra meuml e mireuml eumlshteuml peumlrmes gabimeve
standarde ku trendi meuml i mireuml peumlrcaktohet neuml bazeuml teuml gabimit meuml teuml vogeumll
n
yy ciyc
2
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
1976 36 -9 382 413 4271977 34 -8 422 443 4481978 44 -7 460 472 4701979 56 -6 498 501 4921980 58 -5 534 531 5161981 60 -4 569 560 5411982 64 -3 603 590 5671983 62 -2 635 619 5941984 70 -1 666 648 6231985 78 0 696 678 6531986 76 1 725 707 6851987 74 2 753 737 7181988 66 3 779 766 7531989 72 4 804 795 7891990 76 5 828 825 8271991 82 6 851 854 8671992 88 7 872 884 9091993 94 8 892 913 9531994 98 9 911 942 999n=19 1288 0 12880 12878 12831
Trendi Parabolloik
(yc )
Trendi Linear (yc )
Trendi Eksponencial
(yc )Viti
Te dhenat (y )
Periudha (x )
0
20
40
60
80
100
120
76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94
Te dhenat (y) Trendi Parabolloik (yc) Trendi Linear (yc) Trendi Eksponencial (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Gabimet standarde te trendi linear
Gabimet standarde te trendi i parabolleumls
Gabimet standarde te trendi eksponencial
Neuml bazeuml teuml gabimeve teuml llogaritura trendi i parabolleumls eumlshteuml meuml i peumlrshtatsheumlm peumlr rregullimin e teuml dheumlnave
8365
2
)(
n
yy cilyc
5995
2
)(
n
yy cipyc
7996
2
)(
n
yy cieyc
TRENDI EKSPONENCIAL
Peumlrdoret peumlr rregullimin e teuml dheumlnave teuml dukurive teuml cilat kaneuml njeuml riteumlm tp njejteuml neuml periudheumln e tyre zhveumlllimore
Te rasti i trendit teuml parabolleumls funksioni eumlshteuml eksponencial
ose pas operacioneve logaritmike fitojmeuml ekuacionet
xnmy
nxmxyx
nxmny
logloglog
logloglog2
TRENDI EKSPONENCIAL
1984 42 16 -3 9 -487 164 43651985 65 18 -2 4 -363 178 60541986 80 19 -1 1 -190 192 83971987 120 21 0 0 000 207 116461988 165 22 1 1 222 221 161531989 210 23 2 4 464 235 224051990 320 25 3 9 752 249 31075
Shuma 1002 0 28 398 1446 100094
Trendi (yc )logyVitiTe dhenat
(y )
Shenja e periudhes
(x )x x logy logy c
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr m dhe n
x2
TRENDI EKSPONENCIAL
0
50
100
150
200
250
300
350
1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
Te dhenat (y) Trendi (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Llojet e trendeve zakonisht nuk mung teuml
peumlrcaktohen lehteuml Deri tani eumlshteuml peumlrdoreuml meumlnyra vizuele
tendenceumls seuml dukurive neuml peumlrcaktimin e trendit Meumlnyra meuml e mireuml eumlshteuml peumlrmes gabimeve
standarde ku trendi meuml i mireuml peumlrcaktohet neuml bazeuml teuml gabimit meuml teuml vogeumll
n
yy ciyc
2
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
1976 36 -9 382 413 4271977 34 -8 422 443 4481978 44 -7 460 472 4701979 56 -6 498 501 4921980 58 -5 534 531 5161981 60 -4 569 560 5411982 64 -3 603 590 5671983 62 -2 635 619 5941984 70 -1 666 648 6231985 78 0 696 678 6531986 76 1 725 707 6851987 74 2 753 737 7181988 66 3 779 766 7531989 72 4 804 795 7891990 76 5 828 825 8271991 82 6 851 854 8671992 88 7 872 884 9091993 94 8 892 913 9531994 98 9 911 942 999n=19 1288 0 12880 12878 12831
Trendi Parabolloik
(yc )
Trendi Linear (yc )
Trendi Eksponencial
(yc )Viti
Te dhenat (y )
Periudha (x )
0
20
40
60
80
100
120
76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94
Te dhenat (y) Trendi Parabolloik (yc) Trendi Linear (yc) Trendi Eksponencial (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Gabimet standarde te trendi linear
Gabimet standarde te trendi i parabolleumls
Gabimet standarde te trendi eksponencial
Neuml bazeuml teuml gabimeve teuml llogaritura trendi i parabolleumls eumlshteuml meuml i peumlrshtatsheumlm peumlr rregullimin e teuml dheumlnave
8365
2
)(
n
yy cilyc
5995
2
)(
n
yy cipyc
7996
2
)(
n
yy cieyc
TRENDI EKSPONENCIAL
1984 42 16 -3 9 -487 164 43651985 65 18 -2 4 -363 178 60541986 80 19 -1 1 -190 192 83971987 120 21 0 0 000 207 116461988 165 22 1 1 222 221 161531989 210 23 2 4 464 235 224051990 320 25 3 9 752 249 31075
Shuma 1002 0 28 398 1446 100094
Trendi (yc )logyVitiTe dhenat
(y )
Shenja e periudhes
(x )x x logy logy c
Me zavendeumlsimin e vlerave nga tabela neuml ekuacionet e meumlhershme fitojme vjerat peumlr m dhe n
x2
TRENDI EKSPONENCIAL
0
50
100
150
200
250
300
350
1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
Te dhenat (y) Trendi (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Llojet e trendeve zakonisht nuk mung teuml
peumlrcaktohen lehteuml Deri tani eumlshteuml peumlrdoreuml meumlnyra vizuele
tendenceumls seuml dukurive neuml peumlrcaktimin e trendit Meumlnyra meuml e mireuml eumlshteuml peumlrmes gabimeve
standarde ku trendi meuml i mireuml peumlrcaktohet neuml bazeuml teuml gabimit meuml teuml vogeumll
n
yy ciyc
2
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
1976 36 -9 382 413 4271977 34 -8 422 443 4481978 44 -7 460 472 4701979 56 -6 498 501 4921980 58 -5 534 531 5161981 60 -4 569 560 5411982 64 -3 603 590 5671983 62 -2 635 619 5941984 70 -1 666 648 6231985 78 0 696 678 6531986 76 1 725 707 6851987 74 2 753 737 7181988 66 3 779 766 7531989 72 4 804 795 7891990 76 5 828 825 8271991 82 6 851 854 8671992 88 7 872 884 9091993 94 8 892 913 9531994 98 9 911 942 999n=19 1288 0 12880 12878 12831
Trendi Parabolloik
(yc )
Trendi Linear (yc )
Trendi Eksponencial
(yc )Viti
Te dhenat (y )
Periudha (x )
0
20
40
60
80
100
120
76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94
Te dhenat (y) Trendi Parabolloik (yc) Trendi Linear (yc) Trendi Eksponencial (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Gabimet standarde te trendi linear
Gabimet standarde te trendi i parabolleumls
Gabimet standarde te trendi eksponencial
Neuml bazeuml teuml gabimeve teuml llogaritura trendi i parabolleumls eumlshteuml meuml i peumlrshtatsheumlm peumlr rregullimin e teuml dheumlnave
8365
2
)(
n
yy cilyc
5995
2
)(
n
yy cipyc
7996
2
)(
n
yy cieyc
TRENDI EKSPONENCIAL
0
50
100
150
200
250
300
350
1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
Te dhenat (y) Trendi (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Llojet e trendeve zakonisht nuk mung teuml
peumlrcaktohen lehteuml Deri tani eumlshteuml peumlrdoreuml meumlnyra vizuele
tendenceumls seuml dukurive neuml peumlrcaktimin e trendit Meumlnyra meuml e mireuml eumlshteuml peumlrmes gabimeve
standarde ku trendi meuml i mireuml peumlrcaktohet neuml bazeuml teuml gabimit meuml teuml vogeumll
n
yy ciyc
2
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
1976 36 -9 382 413 4271977 34 -8 422 443 4481978 44 -7 460 472 4701979 56 -6 498 501 4921980 58 -5 534 531 5161981 60 -4 569 560 5411982 64 -3 603 590 5671983 62 -2 635 619 5941984 70 -1 666 648 6231985 78 0 696 678 6531986 76 1 725 707 6851987 74 2 753 737 7181988 66 3 779 766 7531989 72 4 804 795 7891990 76 5 828 825 8271991 82 6 851 854 8671992 88 7 872 884 9091993 94 8 892 913 9531994 98 9 911 942 999n=19 1288 0 12880 12878 12831
Trendi Parabolloik
(yc )
Trendi Linear (yc )
Trendi Eksponencial
(yc )Viti
Te dhenat (y )
Periudha (x )
0
20
40
60
80
100
120
76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94
Te dhenat (y) Trendi Parabolloik (yc) Trendi Linear (yc) Trendi Eksponencial (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Gabimet standarde te trendi linear
Gabimet standarde te trendi i parabolleumls
Gabimet standarde te trendi eksponencial
Neuml bazeuml teuml gabimeve teuml llogaritura trendi i parabolleumls eumlshteuml meuml i peumlrshtatsheumlm peumlr rregullimin e teuml dheumlnave
8365
2
)(
n
yy cilyc
5995
2
)(
n
yy cipyc
7996
2
)(
n
yy cieyc
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Llojet e trendeve zakonisht nuk mung teuml
peumlrcaktohen lehteuml Deri tani eumlshteuml peumlrdoreuml meumlnyra vizuele
tendenceumls seuml dukurive neuml peumlrcaktimin e trendit Meumlnyra meuml e mireuml eumlshteuml peumlrmes gabimeve
standarde ku trendi meuml i mireuml peumlrcaktohet neuml bazeuml teuml gabimit meuml teuml vogeumll
n
yy ciyc
2
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
1976 36 -9 382 413 4271977 34 -8 422 443 4481978 44 -7 460 472 4701979 56 -6 498 501 4921980 58 -5 534 531 5161981 60 -4 569 560 5411982 64 -3 603 590 5671983 62 -2 635 619 5941984 70 -1 666 648 6231985 78 0 696 678 6531986 76 1 725 707 6851987 74 2 753 737 7181988 66 3 779 766 7531989 72 4 804 795 7891990 76 5 828 825 8271991 82 6 851 854 8671992 88 7 872 884 9091993 94 8 892 913 9531994 98 9 911 942 999n=19 1288 0 12880 12878 12831
Trendi Parabolloik
(yc )
Trendi Linear (yc )
Trendi Eksponencial
(yc )Viti
Te dhenat (y )
Periudha (x )
0
20
40
60
80
100
120
76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94
Te dhenat (y) Trendi Parabolloik (yc) Trendi Linear (yc) Trendi Eksponencial (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Gabimet standarde te trendi linear
Gabimet standarde te trendi i parabolleumls
Gabimet standarde te trendi eksponencial
Neuml bazeuml teuml gabimeve teuml llogaritura trendi i parabolleumls eumlshteuml meuml i peumlrshtatsheumlm peumlr rregullimin e teuml dheumlnave
8365
2
)(
n
yy cilyc
5995
2
)(
n
yy cipyc
7996
2
)(
n
yy cieyc
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
1976 36 -9 382 413 4271977 34 -8 422 443 4481978 44 -7 460 472 4701979 56 -6 498 501 4921980 58 -5 534 531 5161981 60 -4 569 560 5411982 64 -3 603 590 5671983 62 -2 635 619 5941984 70 -1 666 648 6231985 78 0 696 678 6531986 76 1 725 707 6851987 74 2 753 737 7181988 66 3 779 766 7531989 72 4 804 795 7891990 76 5 828 825 8271991 82 6 851 854 8671992 88 7 872 884 9091993 94 8 892 913 9531994 98 9 911 942 999n=19 1288 0 12880 12878 12831
Trendi Parabolloik
(yc )
Trendi Linear (yc )
Trendi Eksponencial
(yc )Viti
Te dhenat (y )
Periudha (x )
0
20
40
60
80
100
120
76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94
Te dhenat (y) Trendi Parabolloik (yc) Trendi Linear (yc) Trendi Eksponencial (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Gabimet standarde te trendi linear
Gabimet standarde te trendi i parabolleumls
Gabimet standarde te trendi eksponencial
Neuml bazeuml teuml gabimeve teuml llogaritura trendi i parabolleumls eumlshteuml meuml i peumlrshtatsheumlm peumlr rregullimin e teuml dheumlnave
8365
2
)(
n
yy cilyc
5995
2
)(
n
yy cipyc
7996
2
)(
n
yy cieyc
0
20
40
60
80
100
120
76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94
Te dhenat (y) Trendi Parabolloik (yc) Trendi Linear (yc) Trendi Eksponencial (yc)
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Gabimet standarde te trendi linear
Gabimet standarde te trendi i parabolleumls
Gabimet standarde te trendi eksponencial
Neuml bazeuml teuml gabimeve teuml llogaritura trendi i parabolleumls eumlshteuml meuml i peumlrshtatsheumlm peumlr rregullimin e teuml dheumlnave
8365
2
)(
n
yy cilyc
5995
2
)(
n
yy cipyc
7996
2
)(
n
yy cieyc
PERCAKTIMI I LLOJIT TE TRENDIT PERMES GABIMEVE STANDARDE Gabimet standarde te trendi linear
Gabimet standarde te trendi i parabolleumls
Gabimet standarde te trendi eksponencial
Neuml bazeuml teuml gabimeve teuml llogaritura trendi i parabolleumls eumlshteuml meuml i peumlrshtatsheumlm peumlr rregullimin e teuml dheumlnave
8365
2
)(
n
yy cilyc
5995
2
)(
n
yy cipyc
7996
2
)(
n
yy cieyc
