Iris Merkac FILOZOFIJA koncno · KLJU ČNE BESEDE: filozofija matematike, aritmetika, abstraktni objekti, Fregejev logicizem, Peanovi aksiomi, Aksiom V, Russllov paradoks . FREGE’S

UNIVERZA V MARIBORU

FILOZOFSKA FAKULTETA

Oddelek za filozofijo

DIPLOMSKO DELO

Iris Merkač

Maribor, 2009

UNIVERZA V MARIBORU


Oddelek za filozofijo

Diplomsko delo

FREGEJEV LOGICIZEM

Mentor: Kandidatka:

red. prof. dr. Nenad Miščević Iris Merkač

Somentor:

red. prof. dr. Bojan Borstner

Maribor, 2009

Lektorica:

Saša Kokol, prof. slovenščine

Prevajalka:

Aleksandra Kukovič, prof. angleščine in sociologije

ZAHVALA

Moje sanje niso bile del mojega razuma,

zato sem poiskala druge.

Velika hvala vsem vam,

ki mi ob njih zaupate.

Neprecenljiva zahvala velja mojemu mentorju,

spoštovanemu red. prof. dr. Nenadu Miščeviću,

ki je v meni vzbudil zanimanje za filozofijo matematike.

V posebno pomoč pri izdelavi diplomskega dela pa mi je bil tudi moj somentor,

spoštovani red. prof. dr. Bojan Borstner, za kar mu velja iskrena zahvala.

UNIVERZA V MARIBORU


Koroška cesta 160

2000 Maribor

IZJAVA

Podpisana Iris Merkač, rojena 31. 10. 1984, študentka Fakultete za naravoslovje

in matematiko Univerze v Mariboru, smer matematika in filozofija, izjavljam, da

je diplomsko delo z naslovom

FREGEJEV LOGICIZEM

pri mentorju red. prof. dr. Nenadu Miščeviću in somentorju red. prof. dr. Bojanu

Borstnerju, avtorsko delo. V diplomskem delu so uporabljeni viri in literatura

korektno navedeni; teksti niso prepisani brez navedbe avtorjev.

Maribor, 19. 7. 2009

FREGEJEV LOGICIZEM

POVZETEK

Namen diplomskega dela je rekonstruirati najperspektivnejšo današnjo obliko

Fregejevega logicizma, izhajajočega iz Friedricha Ludwiga Gottloba Fregeja

(1848-1925), nemškega filozofa, logika in matematika v logični matematiki.

Zraven tega je predstavljen paradoks, ki ga je Bertrand Arthur William Russell

(1872-1970), angleški filozof, izpeljal iz slavnega Aksioma V in se nanaša na

aksiom razredov ali množic ter ga imenujemo Russllov paradoks. V diplomskem

delu se sklicujemo na delo Frege’s conception of numbers as objects, britanskega

filozofa Crispina Wrighta (1942). Raziskava diplomskega dela je teoretično

temeljila na deskriptivnem in praktično na analitičnem pristopu poskusa Fregejeve

utemeljitve logicizma in rešitve problema s stališča filozofa C. Wrighta.

KLJUČNE BESEDE: filozofija matematike, aritmetika, abstraktni objekti,

Fregejev logicizem, Peanovi aksiomi, Aksiom V,

Russllov paradoks

FREGE’S LOGICISM

ABSTRACT

The diploma work was made with an aim to reconstruate the most perspective

contemporary variant of Frege's logicism. It was invented by a German

philosopher, logician and mathematician Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848-

1925). The paradox, which Bertrand Arthur William Russel (1872-1970), an

English philosopher, carried out of the famous Axiom V, is also presented. It is

about the axiom of classes or sets called Russell's paradox. In this diploma work

we are refering to the work of the British philosopher Crispin Wright (1942),

Frege's conception of numbers as objects. The theoretical part of the research was

based on the descriptive approach and the practical part on the analitical approach

to attempt Frege's argumentation of logicism and the solution to the problem from

the prospective of the philosopher C. Wright.

KEYWORDS: Philosophy of Mathematics, arithmetic, abstract objects,

Frege's logicism, the Peano Axioms, Axiom V,

Russell's paradox

KAZALO

UVOD ................................................................................................................. 1 1 RAZISKOVANJE OSNOV ARITMETIKE................................................. 4

1.1 Kritika predhodnikov: Mill, Kant in psihologizem................................ 4 1.2 Uvedba abstraktnih objektov s pomočjo abstrakcije............................ 11

2 FREGEJEV LOGICIZEM.......................................................................... 19 2.1 Predikatna logika................................................................................ 19 2.2 Izpeljevanje Peanovih aksiomov......................................................... 22

3 RUSSLLOVA ANTINOMIJA ................................................................... 50 ZAKLJUČEK.................................................................................................... 67 LITERATURA .................................................................................................. 69 PRILOGA.......................................................................................................... 71

Univerza v Mariboru – Filozofska fakulteta Diplomsko delo

1

UVOD

»Bistvo matematike je v njeni svobodi.«

(Cantor)

»Matematiko bi torej mogli definirati kot vedo,

v kateri nikoli ne vemo, o čem govorimo,

niti ali je to, kar govorimo, res.«

(B. Russell)

K pisanju diplomskega dela nas je vodila radovednost ali lahko matematiko,

natančneje aritmetiko in analizo, izpeljemo iz logike. Temu filozofskemu nazoru

pravimo logicizem.

Tekom diplomskega dela bomo natančenje obravnavali Fregejev logicizem, s

katerim se je Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848-1925), nemški filozof, logik

in matematik, ukvarjal v delih Die Grundlagen der Arithmetik (slo. Osnove

aritmetike in drugi spisi) od leta 1884 in Grundgesetze der Arithmetik od leta

1893/1903. V delu se bomo nanašali na britanskega filozofa Crispina Wrighta

(1942).

Vprašanje, kako definirati število, vodi do raziskovanja filozofov in matematikov,

ki so se prvi preizkušali v tovrstni nalogi.

»Vse stvari so števila.«

(Pitagora)

»Število ena je neka reč.«

(G. Frege)

Na vprašanje, ali števila eksistirajo, bi večina ljudi odgovorilo, da sicer ne na enak

način kot šolska tabla ali kreda, vendar na poseben način, so abstraktna.

Obravnavanje Fregejevega sprejemanja abstraktnih objektov bomo predstavili v


2

drugem delu prvega poglavja diplomskega dela. V prvem delu pa bomo podali

Fregejevo kritiko tez o aritmetiki pri njegovih predhodnikih.

Sodobni neo-fregejevci poskušajo utemeljiti logicizem na skromen način,

izhajajoč iz Fregejeve definicije števil, katere strategijo bomo pokazali v drugem

poglavju.

Ker se je Fregejev poskus zataknil z odkritjem Russllovega paradoksa, ki se

nanaša na aksiom razredov ali množic, bomo analizirali C. Wrightovo

interpretacijo Fregejevih dveh različnih izpeljav paradoksa iz Aksioma V v

Grundgesetze der Arithmetik.

Namen diplomskega dela je torej rekonstruirati najperspektivnejšo današnjo

obliko Fregejevega logicizma, omogočiti lažje razumevanje ter ponovno sestavo

ustreznih dokazov petih Peanovih aksiomov in analizirati C. Wrightovo

interpretacijo Russllovega paradoksa.

Osnovni raziskovalni vprašanji v diplomskem delu sta naslednji:

Katera je najboljša možna interpretacija Fregejeve definicije števil?

Kako C. Wright interpretira Fregejev logicizem in Russllov paradoks?

Podajamo tudi splošno raziskovalno hipotezo: predpostavljamo, da je za Fregeja

matematika resnična, kar nas vodi do pomena posameznih števil kot abstraktnih

objektov.

Pri proučevanju študijskega gradiva in izdelavi diplomskega dela smo v

raziskovanju teoretičnega dela uporabljali opisovalni oziroma deskriptivni pristop

s poudarkom na metodah kompilacije in komparacije; v praktičnem delu pa smo

uporabljali spoznavni oziroma analitični pristop z naslednjimi metodami:

kvantitativnim sklepanjem, kvalitativnim sklepanjem, analizi in sintezi ter

dokazovanju.

V diplomskem delu so uporabljeni primarni in sekundarni viri. Kot primarna vira

sta najpogosteje uporabljeni deli Osnove aritmetike in drugi spisi, avtorja Fregeja


3

ter Frege’s conception of numbers as objects, avtorja C. Wrighta, kjer interpretira

Fregejevo slavno izpeljavo naravnih števil s pomočjo petih Peanovih aksiomov in

s tem predstavi Fregejev logicizem. Kot sekundarni vir pa smo največkrat

uporabili delo Osnovna filozofska vprašanja sodobne logike, avtorja Andreja

Uleta (1946), slovenskega logika in filozofa.


4

1 RAZISKOVANJE OSNOV ARITMETIKE

Ime aritmetika izvira iz grške besede αριθµός [aritmos] = število; aritmetika je

področje matematike, ki se ukvarja s števili.

Frege želi v delu Die Grundlagen der Arithmetik definirati pojem števila in si

prizadeva izpeljati aritmetična načela iz logičnih načel, čemur natančneje pravimo

logicizem.

V prvem delu tega poglavja si bomo ogledali Fregejevo kritiko tez o aritmetiki,

njegovih predhodnikov. V drugem delu pa bomo uvedli abstraktne objekte

(števila) s pomočjo abstrakcije.

1.1 Kritika predhodnikov: Mill, Kant in psihologizem

Frege nas v delu Die Grundlagen der Arithmetik opozori na pomanjkljivosti

tedanje opredelitve števila pri angleškem filozofu Johnu Stuartu Millu (1806-

1873).

Mill želi kot Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), nemški filozof, aritmetiko

utemeljiti na definicijah, vendar je njegov predsodek, da je vsa vrednost

empirična. Pouči nas o tistih definicijah, ki niso v logičnem smislu definicije, ne

določajo samo pomena kakega izraza, temveč obenem zatrdijo neko opaženo

dejstvo. Millovo mnenje, da računi ne sledijo iz definicije same, ampak iz

opaženega dejstva, je neutemeljeno (Frege, 2001, str. 31-32). Glede števila 0

meni, da je od nekdaj uganka. Do sedaj še ni nihče otipal ali videl 0 produktov.

Mill bi naj 0 razjasnil zgolj za način izražanja in za nekaj brez smisla. Računi z 0

bi bili gola igra s praznimi znaki, bilo bi čudno samo to, kako se iz tega sploh

lahko izcimi kaj umnega. Če pa imajo ti računi kak resen pomen, potem pa znak 0

sam ne more biti čisto brez smisla (Frege, 2001, str. 33). Frege Millu pritrdi, da so

števila res nekaj, kar se tiče celot in ne posameznih stvari, vendar to še ne pomeni,

da so vezana na konkretne lastnosti ali da so lastnosti celot.


5

Frege ugotavlja, da Mill za formulo 5 2 7+ = uporablja stavek: »˝Kar je

sestavljeno iz delov, je sestavljeno iz delov teh delov.˝ To ima za bolj značilen

izraz stavka, ki je sicer znan v obliki: ˝Vsote enakega so enake˝« (Frege, 2001, str.

34). To ima za naravni zakon najvišjega reda, za induktivno resnico. Tega ne zna

uporabiti, kljub temu pa se zdi, da bi njegova induktivna resnica lahko

nadomeščala Leibnizov aksiom: »˝Če zamenjamo enako z enakim, enakost

ostane˝« (Frege, 2001, str. 34). Da bi lahko imel za naravne zakone aritmetične

resnice, jim Mill pripiše smisel, ki ga nimajo (Frege, 2001, str. 34). Tako torej

zamenjuje aritmetične resnice z njihovimi aplikacijami, s tem ko jih imenuje

naravni zakoni (Frege, 2001, str. 34-35). Millova indukcija torej ne more nikoli

pripeljati do strogo deduktivnih in splošnih matematičnih resnic, saj teorija

verjetnosti, ki bi naj opravičevala indukcijo, ni zadostna.

V logiki velja indukcija za sklepanje iz posameznega na splošno. Induktivno

sklepanje (ali induktivni argument) je tisto sklepanje, pri katerem premise ne

podpirajo sklepa popolnoma, vendar z neko stopnjo verjetnosti. Glede na

opredelitev spada v logiko kot znanost o sklepanju oziroma argumentiranju.

Indukcija velja za verjetnostno sklepanje, njeno nasprotje pa je dedukcija, ki velja

za logično nujno sklepanje. Pri deduktivnem sklepanju (ali deduktivnem

argumentu) premise popolnoma podpirajo sklep. Deduktivno sklepanje je

monotono, induktivno pa ne. To pomeni, da se lahko stopnja zanesljivosti pri

slednjem spreminja (Uršič in Markič, 1997, str. 231).

V delu Die Grundlagen der Arithmetik Frege omenja, da Mill pojasnjuje, da

vsakdo, ki uporablja matematične znake ali besede, verjame v to, da nekaj

pomenijo, nihče ne pričakuje, da bo iz praznih znakov izšlo kaj smiselnega.

Resnično pa je, da matematik izvede daljše račune, ne da bi pod svojimi znaki

razumel kaj čutno zaznavnega, nazornega (Frege, 2001, str. 41-42).

Na vprašanje, čemu kot lastnost pripada število, Mill odgovarja: »˝Ime števila

seveda hkrati označuje neko lastnost, ki pripada agregatu stvari, ki jih označujemo

s tem imenom; in ta lastnost je značilni način, kako lahko ta agregat sestavimo ali

ga razstavimo na dele˝« (Frege, 2001, str. 46). To si Frege razlaga tako, da lahko

dane agregate deli na različne načine, torej bi jim ustrezala različna števila hkrati,


6

kar je absurd. Frege navaja primer o snopu slame, ki ga lahko razstavi tako, da vse

bilke prereže, ali tako da ga razveže v posamezne bilke, ali tako da iz njega naredi

dva snopa (Frege, 2001, str. 47). Tako zanj ni ustrezna a posteriorna empiristična

ali psihologistična razlaga števil. Za Fregeja je izvor in način abstrahiranja

povsem drugačen, ne pa pojmovanje, da dobi število po abstrakciji (Ule, 1982, str.

56).

Za Milla je izvor števil v celoti ali množini, medtem kot je za Fregeja v pojmu.

Kaj je za Fregeja pojem, bomo torej poskušali proučiti s pomočjo števil.

Pojasnjuje, da ima predstava števil svoj razvoj in svojo zgodovino. V preteklosti

so morda živeča bitja sprejemala, da je 2 2 5⋅ = , mi sprejemamo, da je 2 2 4⋅ = , ki

pa se bo morda na enak način razvilo naprej v 2 2 3⋅ = . Frege ne sprejema

2 2 5⋅ = in 2 2 3⋅ = , zanj je le točna zadeva pojem, 2 2 5⋅ = ali 2 2 3⋅ = ima le za

napačni predstavi 2 2 4⋅ = (Frege, 2001, str. 21).

Frege se ukvarja tudi s kritiko Kantovih tez o aritmetiki. Dokazuje namreč, da je

aritmetika vendarle analitična in ne sintetična veda, kot je to trdil Immanuel Kant

(1724-1804), nemški filozof in razsvetljenec.

Najprej bomo pojasnili Kantovo razlikovanje med a priornim in a posteriornim

spoznanjem ter s tem povezanimi analitičnimi in sintetičnimi sodbami. A priorno

spoznanje je neodvisno od izkustva in od vseh izkustvenih vtisov. A posteriorno

spoznanje pa je odvisno od izkustva (Kant, 2001, str. 37-38). Analitične sodbe so

sodbe, katerih predikat je vsebovan v subjektu, njuna povezava pa je mišljena

skozi identiteto. Te sodbe so razlagalne, ker predikat ničesar ne doda pojmu

subjekta, ampak ga z razčlenitvijo le razbije v njegove delne pojme, ki so že bili

mišljeni v njem. Sintetične sodbe pa so sodbe, kjer predikat leži povsem zunaj

subjekta, čeprav je v povezavi z njim, je njuna povezava mišljena brez identitete.

Te sodbe so razširjevalne, katere pojmu subjekta dodajo neki novi predikat, ki še

ni bil mišljen v njem in ga z nobeno razčlenitvijo ne bi mogli dobiti iz njega

(Kant, 2001, str. 43). Opazimo, da lahko analitične sodbe označimo kot a priorne

(sodbe, ki ne temeljijo na izkustvu, ne razširjajo vednosti, temveč zgolj razlagajo,

na primer.: Krog je okrogel.), sintetične sodbe pa kot a posteriorne (izkustvene

sodbe, ki razširjajo vednost in so naključne, na primer.: Miza je rumena.). Kant


7

meni, da obstajajo še a priorne sintetične sodbe, ki so neodvisne od vsakega

izkustva, razširjajo vednost in imajo status nujnosti. Take sodbe so zanj pogoj

znanosti. Med znanosti uvršča matematiko in čisto naravoslovje, ker imata take

sodbe, išče pa možnost takih sodb v metafiziki, saj bi ji s tem omogočil status

znanosti (Kant, 1999, str. 58).

Frege nasprotuje Kantu pri a priornih sintetičnih sodbah. Trdi namreč, da je

aritmetika analitična in ne sintetična veda, Kant pa, da je sintetična. Do njunega

nasprotovanja pride, ker Frege popravi preozke Kantove definicije sintetičnega in

analitičnega. Frege pojasnjuje, da so analitične sodbe tiste, ki jih lahko izpeljemo

iz splošnih logičnih zakonov in definicij. Sintetične sodbe pa so tiste, do katerih

ne moremo priti le z uporabo definicij in splošnih logičnih zakonov in se nanašajo

na posebno področje vedenja (Frege, 2001, str. 27).

Prav tako je Frege na podoben način kot Kant ločil še a priorno in a posteriorno

spoznanje. Resnica je a priorna, če dokaz v celoti izpelje iz splošnih zakonov,

katerih dokaz ni niti možen niti potreben. Da pa bi bila resnica a posteriorna,

njen dokaz brez sklicevanja na dejstva ne sme biti izvedljiv; tj. na nedokazljive

resnice brez splošnosti, ki vsebujejo izjave o določenih predmetih (Frege, 2001,

str. 27).

Ule v delu Osnovna filozofska vprašanja sodobne logike interpretira Fregejevo

pojasnjevanje Kantovih sodb. Frege pravi, da je Kant analitične sodbe

podcenjeval. Trdil je, da so prazne in da ne dajejo nobenega novega spoznanja. Za

sintetične sodbe pa je menil, da dajejo nekaj novega k pojmu in zato ne morejo

slediti iz njega po zakonu identitete (Ule, 1982, str. 57). Zanj je pojem določen s

prirejenimi značilnostmi, kar je najmanj plodna tvorba pojma. Podobno velja za

plodne definicije v matematiki, pri njej ne gre za prirejene značilnosti, vendar za

tesnejšo organsko povezavo določil. To je razvidno iz naslednjega citata:

Če pojme (ali njihove obsege) prikažemo z okrožji ravnine, potem pojmu,

ki je definiran s prirejenimi značilnostmi, ustreza tisto okrožje, ki je

skupno vsem okrožjem teh značilnosti; okrožje pojma je obdano z deli

njihovih zamejitev. Pri takšni definiciji gre torej – če govorimo v sliki – za

to, da že dane črte uporabimo na nov način za zamejitev nekega okrožja.


8

Toda s tem ne pride na dan nič bistveno novega. Plodne pojmovne

določitve potegnejo razmejitvene črte, ki jih sploh še ni bilo. Tega, kaj

sledi iz njih, ni mogoče predvideti že vnaprej (Frege, 2001, str. 104).

Frege torej razbere, da kar sledi iz definicij, ni vsebovano v njih kot v kakšni

škatli, temveč implicitno kot rastlina v semenu, ne pa kakor tramovi v hiši (Frege,

2001, str. 104).

Kot je znano, Frege Kantovo razlikovanje analitičnih in sintetičnih stavkov ne

zavrne povsem in tudi ne njegovega pogleda na matematiko. Pravi, da je Kant

resnično bistvo geometrijskih resnic razkril, ko jih je imenoval sintetične in a

priori. Zanj je pomembno, da obstajajo sintetične sodbe a priori, ali te nastopajo

samo v geometriji ali tudi v aritmetiki, pa zanj ni tako pomembno (Frege, 2001,

str. 105). Frege njegovi trditvi ugovarja, s tem da ne bi bil dan noben predmet brez

čutnosti (Frege, 2001, str. 104). To si lahko razlagamo tako, da analitičnost ne širi

našega spoznanja. Velik del matematike ima Frege za analitično disciplino.

Brez uporabe aksioma dokaže stavek, ki bi ga imeli na prvi pogled za

sintetičnega. »Če je odnos vsakega člena zaporedja do naslednjega člena

enoznačen in če v tem zaporedju m in y sledita x, potem y v tem zaporedju

predhaja m ali sovpade z njim ali pa mu sledi« (Frege, 2001, str. 106). Iz

navedenega stavka razberemo, da je stavek analitičen in da razširja naša znanja.

Kot je znano ime aksiom izvira iz starogrške besede ἀξίωµα [axíoma] = stališče,

načelo, teza, sodba, katero sprejmemo brez dokazov in velja kot načelo ali

premisa deduktivnega dokazovanja. V matematiki aksiom velja za očitno

(temeljno) trditev ali načelo kot izrek, katere ne dokazujemo.

Glede na proučeno vidimo, da so aksiomi po Kantovem razumevanju neposredno

odvisni od sintetičnih sodb a priori.

V nadaljevanju si bomo ogledali Fregejevo kritiko psihologizma.


9

Frege pravi, da so števila eden najenostavnejših aritmetičnih pojmov in si jih tako

matematika kot psihologija razlagata različno. Za matematike in matematičarke je

pomembna trdnost in določnost matematičnih pojmov in predmetov, predvsem

iščejo bistvo stvari. Pri psihologiji pa gre za notranjo predstavo, za notranje slike,

ki so se zlile iz sledi prejšnjih čutnih vtisov. Toda matematični predmeti niso

notranje slike, te so le pri manjših številih. Vse te podobe so nedoločne in

nestanovitne. Definicija ni opis nastanka predstave pojma. Dokaz za pojem pa ni

navedba duševnih in telesnih pogojev za zavest o pojmu. Notranje slike torej

varirajo od posameznika do posameznika. Dejstvo, da mislimo, da pojem ni isti

kot pojem, je resnično (Frege, 2001, str. 19-21). Za to navede primer: »… tako

kakor se sonce ne uniči, če zapremo oči« (Frege, 2001, str. 21). Njegovo trditev si

razlagamo, da sonce obstaja neodvisno od naše predstave in opazimo, da ni

definiral pojma resnice. Vidimo, da že s samo formo trdilnega stavka zatrdimo

resničnost. Prišli smo torej do spoznanja, da filozof močno zavrača psihologizem

v logiki in matematiki ter dokazuje čisto logični izvor vse matematike, razen

geometrije in t.i. »uporabne matematike« (Ule, 1982, str. 47).

Navedeno lahko ponazorimo tudi z naslednjim zgledom.

ZGLED 1 Zatrdimo, da je račun » 2 5 7+ = resničen«. Nato

prenehamo misliti na račun. To še ne pomeni, da račun 2 5 7+ = ni

resničen. Vidimo, da je račun resničen neodvisno od našega

mišljenja in da lahko resničnost pripišemo le trdilnim stavkom, ne

pa njihovim smislom – mislim.

Filozof želi za filozofe in filozofinje obravnavana sporna vprašanja narediti čim

bolj dostopna, to pa mu uspe tako, da se je spustil v psihologijo, četudi samo zato

da bi zavrnil njen vdor v matematiko. Pojasnjuje, da lahko matematiki strogo

prepovemo vsako pomoč psihologije, ne moremo zanikati njene povezanosti z

logiko. Ostro ločevanje je zanj nemogoče. Vsaka raziskava tako o moči

argumenta kot o upravičenosti definicije mora biti logična. Matematiki in

matematičarke se pri takšnih raziskavah zadovoljijo, da zadostijo neposrednim

potrebam. Večinoma menijo, da je definicija dovolj potrjena, če je dovolj plodna

in primerna za dokaze. Strogost dokaza pa ostane videz, tudi ko pri sklepanju ne


10

pridemo do nasprotij, če so definicije le naknadno upravičene, s tem da nismo

naleteli na protislovje. Zato moramo seči nazaj, čeprav se morda zdi večini

matematikov in matematičark nepotrebno – k splošnim logičnim osnovam (Frege,

2001, str. 22-23).

Fregeja torej ne zanima vprašanje, kako lahko spoznamo matematične resnice,

ampak, zakaj so matematične resnice resnice, kaj je podlaga za to, da so resnice.

Vidimo, da je to logika1.

Na vprašanje, ali je število nekaj subjektivnega ali objektivnega, Frege odgovarja

nasprotno kot nekateri psihologisti. Njegov odgovor je razviden iz sledečega

citata:

… število ni predmet psihologije ali rezultat psihičnih procesov, enako kot

to ni npr. Severno morje. Če je od naše volje odvisno, katerih del splošne

vodne površine zemlje bomo razmejili in ga imenovali ˝Severno morje˝, to

v ničemer ne vpliva na objektivnost Severnega morja. Zaradi tega morja

ne bomo raziskovali po psihološki poti. Tako je tudi število nekaj

objektivnega (Frege, 2001, str. 49-50).

Iz citata vidimo, da je za Fregeja število nekaj objektivnega, to pa je nekaj, kar ni

predmet psihologije. Ule pojasnjuje, da je Frege na prvo mesto postavljal

objektivnost matematike in logike, ne pa psihološke in subjektivne momente, ki

zadevajo le našo zmožnost prepoznavanja matematičnih in logičnih zakonov (Ule,

1982, str. 49).

Da bomo upravičili Uletovo interpretacijo, si oglejmo naslednji citat, v katerem je

podano Fregejevo razumevanje objektivnosti:

Objektivno razlikujemo od otipljivega, prostorskega, dejanskega. Zemljina

os in masno središče sončnega sistema sta objektivna, drugače kot za

1 Logika izvira iz grške besede λόγος [lógos] = beseda, smisel, misel, načelo. Pomen besede logika lahko razdelimo na širši in ožji. V širšem pomenu je znanost o oblikah (formah) racionalnega jezika in hkrati tudi splošna metoda racionalnega spoznanja. V ožjem pomenu pa je znanost o pravilnem sklepanju. Pri sklepanju gre za izpeljavo sklepov iz premis (predpostavk); logika v ožjem pomenu je torej teorija dokazovanja (argumentacije) (Uršič in Markič, 1997, str. 1).


11

Zemljo pa ne bi rekel, da sta dejanska. Pogosto rečemo, da je ekvator

zamišljena linija, napačno pa bi ji bilo reči izmišljena linija; ni nastala z

mišljenjem, ni rezultat kakšnega duševnega procesa, temveč jo je

mišljenje samo spoznalo, zgrabilo (Frege, 2001, str. 50) .

Frege torej predpostavlja, da je mišljenje umska zmožnost, s katero odkrivamo

realnost nekega pojma. Ker pa lahko lastnost objektivnosti prepozna um le preko

formalnih ugotovitev logike in matematike, je to stališče »formalno ontološko«

(Ule, 1982, str. 49-50).

Pokazali smo torej, da je Frege razlikoval med objektivnostjo pojmov in

objektivnostjo vsakdanjih predmetov. Spoznali smo, da je strogo ločil

matematično in logično objektivnost od empirične objektivnosti oziroma le

nečutno stvarno mu je veljalo za objektivno. Glede predmetov matematike in

logike smo videli, da so zanj nezaznavni, nečutni in nenazorni. V nadaljevanju pa

bomo podali njihovo uvedbo s pomočjo abstrakcije.

1.2 Uvedba abstraktnih objektov s pomočjo abstrakcije

Vprašanji, Kaj so abstraktni objekti2? Ali abstraktni objekti eksistirajo?, smo si

zastavili že v uvodu diplomskega dela. Splošno sprejetih odgovorov sicer ne

poznamo, lahko pa si ogledamo, kako so na vprašanji odgovarjali matematični

platonisti. Za njih so abstraktni objekti matematični objekti, kot so števila,

množice, funkcije, ki so neodvisni od zavesti posameznika in družbe, eksistirajo

zunaj časa in prostora ter zunaj materije in misli.

Namen tega dela poglavja je torej uvedba Fregejevih abstraktnih objektov,

natančneje števil s pomočjo abstrakcije.

Najprej bo govora o treh načelih, v katerih je Frege opredelil značilnosti stavkov o

številih. Nato bomo raziskali eksistenco, katere zanikanje v času in prostoru uvede

2 V diplomskem delu bomo ponekod namesto abstraktnih objektov uporabljali abstraktne predmete, pojasnjujemo, da je njihov pomen identičen.


12

števila kot abstraktne objekte. Vpeljali pa bomo tudi razumevanje pojma

enakoštevnosti, da bomo lahko uvedli abstraktne objekte.

Frege v delu Die Grundlagen der Arithmetik definira števila v treh stopnjah in

dokazuje, da število govori o pojmu, zato je pojem pojma. Filozof je značilnosti

stavkov o številih opredelil iz osnovnih načel, katera je podal že v uvodu

navedenega dela.

Oglejmo si njegova načela:

• ostro moramo ločevati subjektivno od objektivnega, psihološko od

logičnega;

• po pomenu besed moramo spraševati v stavčni celoti, ne v njihovi

izolaciji;

• upoštevati moramo razliko med pojmom in predmetom (Frege, 2001, str.

23).

S prvim načelom smo se srečali že pri Fregejevi kritiki psihologizma, druga dva

pa bomo obravnavali v nadaljevanju diplomskega dela.

Fregejev pojem števila je tesno povezan z njegovim pojmovanjem eksistence, kar

je tudi eden izmed razlogov za raziskavo njegove definicije števila. Najprej

razlikuje med smislom in pomenom imen in smislom in pomenom stavkov. Kjer

gre za to, da imajo vsa imena svoj smisel in jih ne smemo jemati kot posebne, od

vseh stavkov ločene smisle. V delu Osnovna filozofska vprašanja sodobne logike

Ule interpretira Fregejeve stavke o številih kot stavke, ki niso niti o predmetih,

niti o celoti predmetov, vendar o pojmih (Ule, 1982, str. 60). To je razvidno iz

Fregejevega stavka o ničli: »Venera ima 0 lun« (Frege, 2001, str. 69). Stavek ne

govori o množici lun, ne o Veneri, vendar le o pojmu »Venerinih lun« in o

nepraznosti pojma »biti Venerina luna«. Opazimo, da Frege ne sprašuje po

eksistenci števil, saj imamo pojme in njihove značilnosti (Ule, 1982, str. 60).


13

Glede značilnosti pa pojasnjuje, da

… so lastnosti reči, ki spadajo pod ta pojem, ne lastnosti pojma. Tako

˝pravokoten˝ ni lastnost pojma ˝pravokoten trikotnik˝; stavek, da ne

obstaja pravokotni, premočrtni, enakostranični trikotnik, pa izreka neko

lastnost pojma ˝pravokotni, premočrtni, enakostranični trikotnik˝- temu

pojmu je pripisano število nič (Frege, 2001, str. 73).

Nosilci števila so torej pojmi in ne predmeti. Nekemu pojmu sicer ne moremo

pripisati različna števila, medtem kot predmetu lahko. Števila so torej v odnosu do

nekega pojma med seboj izključujoča. Kako je to povezano z eksistenco, vidimo

iz naslednjega citata: »V tem pogledu je eksistenca podobna številu. Zatrditev

eksistence ni pač nič drugega kot zanikanje števila nič« (Frege, 2001, str. 73). Iz

citata je razvidna podobnost med številom in eksistenco, ki se kaže v tem, da tudi

število ni določilo pojma.

Po Fregeju število ne eksistira v prostoru, kar je razvidno iz naslednjega citata:

»… kje je pa število 4? Število 4 ni niti zunaj nas niti v nas. To je razumljeno v

prostorskem smislu, pravilno« (Frege, 2001, str. 79). Za Fregeja krajevno določilo

za število 4 nima nobenega pomena, torej ni prostorski predmet. Tukaj moramo

paziti, da števila štiri ne zanikamo nasploh kot predmet, saj če bi to storili, bi

zanikali, da je število abstraktni predmet. Frege namreč pravi, da abstraktni

predmeti, natančneje števila, ne eksistirajo v prostoru in času.

Drugo stopnjo definicije števila Frege razvije s pomočjo enakosti in neenakosti

števil. Sprva pričakuje, da je pojem enakosti že določen in bo kasneje iz njega in

iz pojma števil izhajalo, kdaj so si števila enaka. Ker pa še zmeraj nima

določenega pojma števil, najprej poda neobičajno definicijo: »Enakosti torej

nimamo namena opredeliti posebej za ta primer, temveč s pomočjo že znanega

pojma enakosti dobiti to, kar je treba obravnavati kot enako« (Frege, 2001, str.

81). To ni neznana definicija. Kot primer vzame Frege premice v ravnini.3 Vsaka

3 Frege ima v mislih premice v Evklidski ravnini 2R , ki je dvorazsežni Evklidski prostor.


14

premica ima neskončno mnogo vzporednih premic. Relacija, biti vzporeden s

premico p, določa neki pojem, ki zajema vse vzporedne premice s p in samo te.

Zaradi vpeljave pojma relacija si oglejmo logiko relacij. Predikate stopenj >1n

običajno imenujemo relacije (Uršič in Markič; 1997, str. 189). V teoriji množic

veljajo relacije za množice urejenih parov (zgled 3), trojk (zgled 2), četvork, itd.

ZGLED 2 Relacija »p je med s in o« je tromestna relacija oziroma

predikat, katerega zapišemo kot: Mspo; ekstenzionalno je M

množica vseh urejenih trojk individuov, za katere velja relacija

vmesnosti. Če črke (variable) o, p in s uporabimo bolj konkretno:

»Planjava je med Skuto in Ojstrico.«, vidimo, da je vrstni red

variabel v relaciji pomemben.

Pri osnovah logike se najpogosteje srečujemo z dvomestnimi relacijami. To so

relacije z dvema argumentoma. Formalno jih lahko pišemo kot Rxy ali xRy. V

diplomskem delu pa bomo pri posplošitvah na stopnje >2n pisali predikat na

začetku pred vsemi variablami, torej Rxy.

ZGLED 3 Dvomestna relacija »Martin je brat od Petra.« je

simetrična, saj je tudi »Peter brat od Martina«.

Vrnimo se k Fregejevi relaciji vzporednosti in na podlagi te vpeljimo tri glavne

lastnosti (dvomestnih) relacij.

• Relacija je refleksivna, če velja naslednje: »premica p je vzporedna

premici p«.

• Relacija je simetrična, če je »premica p vzporedna premici q, potem je

tudi premica q vzporedna premici p«.

• Relacija je tranzitivna, če je »premica p vzporedna premici q in premica

q vzporedna premici r, potem je premica p vzporedna premici r.


15

Relacije, ki izpolnjujejo vse tri lastnosti, v matematiki imenujemo ekvivalenčne

relacije.

Za vsako relacijo Frege trdi, da ji ustreza določen objekt, ki ga lahko opišemo

glede na množico objektov, ki so v relaciji. Že prej omenjeni pojem vzporednosti

z dano premico določa nov objekt, to je »smer premice«. Namesto da govorimo:

»˝Premica a je vzporedna premici b.˝« (Frege, 2001, str. 82), rečemo: »˝Smer

premice a je enaka smeri premice b˝« (Frege, 2001, str. 82). Ker lahko od tod

hitro izvira pomislek, Frege vpelje Leibnizovo opredelitev enakosti: »˝Stvari sta

isti, ko lahko eno zamenjamo z drugo brez škode za resnico˝« (Frege, 2001, str.

82). Torej, da upravičimo naš poskus definicije smeri premice, moramo pokazati,

da lahko »smer premice a« povsod zamenjamo s »smer premice b«. Dokazati

moramo, torej le zamenljivost v takšni enakosti (Frege, 2001, str. 83).

Frege postavi še tretji pomislek glede definicije števila. V stavku »˝Smer premice

a je enaka smeri premice b.˝« (Frege, 2001, str. 82) smer od a razume kot

predmet, če bi na primer v drugi podobi nastopil kot smer od b. Navedeno

sredstvo ne zadostuje vsem primerom. Zato nam stavka »˝Smer od a je enaka q˝«

in »˝q je enak smeri od b˝« ne povesta ali ju potrdimo ali zanikamo, če q ni podan

v prvem stavku obliki »smer od b« in drugem kot »smer od a« (Frege, 2001, str.

84).

Ker Frege z zgornjim načinom ne more dobiti pojma smeri in tudi ne

zamenjanega pojma števila, na mesto premic postavi pojme, na mesto

vzporednosti pa možnosti, da predmete, ki spadajo pod en pojem in predmete, ki

spadajo pod drugi pojem, priredi obojestransko enoznačno (Frege, 2001, 85).

Tako se stavek, ki se je prej glasil: »Smer premice a je obseg pojma ˝vzporeden

premici a.˝«, sedaj glasi: »Število, ki pripada pojmu F, je obseg4 pojma

˝enakošteven pojmu F˝« (Frege, 2001, 85).

Opazimo, da Frege sprva misli, da je »obseg« pojma tako preprost, da ga ni

mogoče definirati in ga vsak razume (to je ironično, saj iz tega izhajajo problemi).

Sam celo zapiše: »Vključitvi obsega pojma tudi sam ne dajem odločilne teže«

4 »Prepričan sem, da bi lahko namesto ˝obseg pojma˝ rekli preprosto ˝pojem˝« (Frege, 2001, str. 85).


16

(Frege, 2001, 117). Vendar takoj, ko poda stavek »Število, ki pripada pojmu F, je

obseg pojma ˝enakošteven pojmu F.˝«, vidimo, da si postavi vprašanje, kaj imamo

v mislih, ko govorimo o obsegu pojma, saj je ta ključnega pomena za

razumevanje našega stavka. Pri obsegu pojma torej misli:

1. na enakost;

2. da je en pojem obsežnejši od drugega (Frege, 2001, str. 86).

Pojasni, da je stavek: »Obseg pojma ˝enakošteven pojmu F˝ je enak obsegu pojma

˝enakošteven pojmu G˝.« (Frege, 2001, str. 86) resničen natanko tedaj, ko je

resničen tudi stavek »˝Pojmu F pripada isto število kot pojmu G˝« (Frege, 2001,

str. 86). Medtem kot meni, da stavek: obseg pojma »˝enakošteven pojmu F˝«

(Frege, 2001, str. 86) je obsežnejši od obsega pojma »˝enakošteven pojmu G˝«

(Frege, 2001, str. 86) ni možen.

Ule prijazno do bralca pojasnjuje »enakoštevnost« kot izraz, v katerem najdemo

ime »število«, po pomenu pa ne nastopa v relaciji (Ule, 1982, str. 63). Frege pa

glede enakoštevnosti pravi, da če so vsi pojmi, ki so enakoštevni pojmu G, tudi

enakoštevni pojmu F, potem so tudi obratno vsi pojmi, ki so enakoštevni pojmu F,

enakoštevni pojmu G (Frege, 2001, str. 86-87). Enakoštevnost torej pomeni, da

vsakemu predmetu, ki spada pod neki pojem, priredi natančno en predmet, ki

pripada drugemu pojmu, in obratno, vsakemu predmetu, ki spada pod drugi

pojem, lahko najde natančno en predmet, ki pripada prvemu pojmu. Temu v

matematiki pravimo bijektivna preslikava ali bijekcija5.

V sledečem zgledu si bomo ogledali enakoštevnost dveh pojmov, in v katerem

primeru pojma nista enakoštevna.

ZGLED 4 Na sliki 1.1 sta pojma F in G enakoštevna, saj je število

predmetov padajočih pod F enako številu predmetov padajočih pod

G. Pojma F in G na sliki 1.2 pa nista enakoštevna.

5 V matematiki je bijektivna preslikava (bijekcija) preslikava :f F G→ , ki je injektivna in

surjektivna hkrati. Pri bijektivni preslikavi je poljuben element iz množice G slika točno enega

elementa iz množice F, tako v tem primeru obstaja obratna preslikava 1 :f F G−→ .


17

Slika 1.1: Pojma F in G sta enakoštevna v relaciji 1R .

Slika 1.2: Nobena relacija ne zadošča definiciji enakoštevnosti.

Glede na to, da smo utemeljili vzporednost dveh premic in enakoštevnost dveh

pojmov, se nam zdi smiselno, da preverimo, ali je enakoštevnost ekvivalenčna

relacija podobno kot vzporednost.

Edward N. Zalta (1952), ameriški filozof, v članku Frege’s Logic, Theorem, and

Fundations for Arithmetic, interpretira Fregejevo razumevanje enakoštevnosti kot

ekvivalenčne relacije s pomočjo štirih dejstev. Prvo dejstvo pravi, da stvarni

ekvivalenci dveh pojmov kažeta na njihovo enakoštevnost, naslednje, da je

enakoštevnost povratna (refleksivna), tretje pojasnjuje, da je enakoštevnost

simetrična in četrto, da je tranzitivna. Ta dejstva so dokazljiva v naslednjih

formalnih izrazih:

Dejstva o enakoštevnosti:

1. ∀ x(Fx ≡ Gx) → F ≈ G

2. F ≈ F

a• c• b•

F • e

• g

• f

• h

G

a• c• b•

F

• e • g • f

G

1R


18

3. F ≈ G → G ≈ F

4. F ≈ G & G ≈ H → F ≈ H

(Zalta, 2009)

Da bi dokazali ta dejstva, v vsakem primeru potrebujemo identifikacijo relacije, ki

je priča ustreznim enakoštevnim trditvam. Najprej se spomnimo, kako smo

definirali ekvivalenčno relacijo, nakar vidimo, da vpeljana dejstva (2.), (3.) in (4.)

pojasnjujejo, da je enakoštevnost ekvivalenčna relacija, ki razdeli domeno pojmov

na »ekvivalenčne razrede« enakoštevnih pojmov.

Opazimo torej, da je relacija enakoštevnosti ekvivalenčna relacija, kar pomeni, da

lahko razdeli vse pojme na strogo ločene ekvivalenčne razrede. Takrat pa lahko

določi nove abstraktne objekte. Frege je torej za objekte, ki predstavljajo

ekvivalentne pojme glede na relacijo enakoštevnosti, imenoval števila. Tako

vidimo, da se vse izjave o številu da prevesti na izjave o enakoštevnih pojmih.

Ule pojasnjuje, da pa je prav »tvorjenje ekvivalenčnih podrazredov iz danega

razreda elementov in oblikovanje novega abstraktnega pojma, ki mu ustrezajo ti

razredi kot elementi« (Ule, 1982, str. 489), abstrakcija.

Tekom poglavja smo spoznali, da Frege obravnava abstraktne objekte kot števila.

Še enkrat si oglejmo lastnosti, ki jim jih pripisuje:

1. So nezaznavni, nečutni in nenazorni.

2. Dojamemo jih lahko le z razumom.

3. Ne eksistirajo v času in prostoru.

4. So relacijske lastnosti.

Pri tem razumemo abstrakcijo kot pogojnik, s pomočjo katerega uvedemo

abstraktne objekte.

C. Wright je v delu Frege’s conception of numbers as objects ponudil

formalizacijo strategije števil, ki jo bomo pokazali in komentirali v sledečem

poglavju.


19

2 FREGEJEV LOGICIZEM

Logicizem velja za smer v filozofiji matematike, ki izpeljuje matematiko,

natančneje aritmetiko oziroma teorijo števil in analizo iz logike.

Frege se je v delu Die Grundlagen der Arithmetik lotil svoje slavne izpeljave

naravnih števil, katerih celotna teorija je zgrajena iz petih Peanovih aksiomov s

pomočjo logike. Za razumevanje Fregejevega logicizma bomo uporabili delo

Frege’s conception of numbers as objects, avtorja C. Wrighta.

Prvi del poglavja bomo namenili logiki predikatov, ki je potrebna za nadaljnjo

razumevanje našega raziskovanja.

V drugem delu pa se bomo lotili C. Wrightove interpretacije Fregejeve strategije

števil.

2.1 Predikatna logika

»…logika kvantifikatorjev.«

(D. Šuster)

Preden se lotimo proučevanja predikatne logike se spomnimo propozicionalne6

oziroma stavčne logike.

Slovenski analitični filozof in logik Danilo Šuster v delu Simbolna logika prijazno

do bralca pojasnjuje, da v propozicionalni logiki preučujemo sklepanja, ki

temeljijo na povezavah med ponavljajočimi se nastopi določenih propozicij.

Glede predikatne logike pa pravi, da preučuje logično sledenje na podlagi notranje

zgradbe propozicij (s tem vključuje spoznanja propozicionalne logike) in odnosov

med propozicijami (Šuster, 2000, str. 165).

6 Elementi propozicionalne logike so propozicije. »Propozicija je tisto, kar stavek izraža« (Uršič in Markič, 1997, str. 75).


20

Predikatna logika ima torej lastnost, da lahko obravnava odnose logičnega

sledenja tako tistih argumentov, ki temeljijo na odnosih med propozicijami kot

tistih, ki temeljijo na notranji zgradbi stavka.

V naslednjem zgledu si bomo ogledali stavka, ki ju s propozicionalno logiko ne

moremo rešiti, zato se ju bomo lotili s predikatno logiko.

ZGLED 5 V stavkih: »Martin je lačen. Torej je nekdo lačen.«

najprej poiščemo tisto, kar je obema propozicijama skupno. V

našem primeru je to » … je lačen« (predikat). Nato še poiščemo

subjekt7, to je »Martin«. Besedo »Nekdo …« pa razumemo kot

kvantifikator, ki nam pove koliko oseb ima določeno lastnost, ki je

določena s predikatom.

Iz prvega stavka v zgledu 5 vidimo, da lahko vsak stavek razdelimo na dva dela,

to je na subjekt in predikat. Subjekt (osebek8) v stavku predstavlja del, o

katerem govorimo, predikat (povedek) pa del, ki o subjektu nekaj govori. Na tem

mestu moramo biti pozorni, da ne razumemo predikata kot stavka, ki se nanaša na

nek predmet, vendar da velja za ta predmet. Predikat namreč razumemo kot tisti

del stavka, ki je resničen ali neresničen za nek predmet, ta pa zadosti ali ne zadosti

dani predikat (Šuster, 2000, str. 166).

Osnovni stavek v predikatni logiki je torej subjektno-predikatski stavek (Šuster,

2000, str. 166).

V prvem stavku iz zgleda 5 opazimo tudi, da kvantifikator v njem ne nastopa. V

primeru da pa namesto osebka »Martin« vstavimo kvantifikator »nekdo«, dobimo

slovnično pravilni stavek. Šuster tak stavek, v katerem nastopa kvantifikator,

imenuje splošni stavek, saj gre za neko posplošitev, nek predikat je resničen za

vse (celostni zaimek), nekaj (nedoločni zaimek), nič (nikalni zaimek), itd.

Kvantifikator pa definira kot nekaj, ki pove »kvantiteto«, koliko predmetov

določene vrste zadosti dani predikat (Šuster, 2000, str. 172).

7 Subjekt je lahko lastno ali pa občno ime. 8 »Osebek je samostalniška beseda, ki označuje (designira) predmet ali skupino predmetov« (Šuster, 2000, str. 166).


21

Frege je bil tisti, ki je razvil lastni nazorni zapis za univerzalne kvantifikatorje in

za njihove spremenljivke uporabil gotske črke. Z univerzalnim kvantifikatorjem

(ki ga označujemo z ∀ ) povemo, da je nek predikat resničen za vsak predmet v

domeni kvantifikacije. Z eksistencialnim kvantifikatorjem (ki ga označujemo z

∃ ) pa povemo, da je nek predikat resničen za vsaj en predmet (Šuster, 2000, str.

175-176).

Iz zgledov 5, 3 in 2, ki smo jih podali v diplomskem delu, je očitno, da lahko

predikat izpolni en, dva ali več predmetov.

In sicer, enomestni ali monadični predikati so takšni, da jih izpolni en sam

predmet (Šuster, 2000, str. 168). Primer za takšen predikat smo podali v prvem

stavku zgleda 5.

Ko govorimo o odnosu ali relaciji, govorimo o dvomestnem predikatu. Torej

predikati, ki so resnični ali neresnični za dva predmeta, so dvomestni (zgled 3). V

navedenem zgledu 3 gre za relacijo med dvema osebama. O tromestnem predikatu

pa govorimo, ko govorimo o tromestni relaciji. Primer tromestne relacije smo

podali v zgledu 2.

Kot oznako za predikate jemljemo velike tiskane črke (F, G, …) kot oznako za

konstante, katere zaznamujejo predmete, pa male tiskane črke (a ali b ali …). Te

so lahko tudi začetnice lastnih imen.

Zdaj smo podali vse potrebno, da lahko pojasnimo razdelitev predikatne logike.

Predikatno logiko razdelimo na logiko prvega in logiko drugega reda. Logika

prvega reda je logika predikatov, ki se nanašajo le na neke vrste individue,

oziroma na individualne argumente, ne pa ponovno na druge predikate (Ule, 1982,

str. 417). V predikatni logiki z enomestnim predikatom prvega reda imajo

predikati v stavčnih (propozicijskih) funkcijah po samo en argument in vsi

argumenti so individualne variable. To pomeni, da se kvantifikatorja (∀ in ∃ )

nanašata le na individualne variable, saj predikate prvega reda obravnavamo

dejansko kot (predikatne) konstante (Uršič in Markič, 1997, str. 188).


22

V enomestni predikatni logiki se tako ukvarjamo zgolj s predikati, ki jih izpolni en

sam predmet. Kadar pa enomestnim predikatom dodamo dvomestne predikate,

logiko razširimo. Tedaj dobimo logiko drugega reda. To je logika, kjer nastopajo

predikati predikatov (Ule, 1982, str. 417).

V delu Begriffsschrift je Frege vpeljal predikatni račun, za katerega je kasneje

postalo jasno9, da sta jezik in logika iz njegovega predikatnega računa »drugega

reda«.

2.2 Izpeljevanje Peanovih aksiomov

V tem delu drugega poglavja je naš namen osnovati, kako je lahko ustrezna logika

višjega reda, ki je dopolnjena z =N 10 kot predpostavko, narejena, da dokonča

dokaze petih Peanovih aksiomov. Tukaj se ne bomo lotili natančne formulacije

sintakse ali dokazne teorije za logiko ustrezne vrste in tudi še bolj ne bomo strogi

do povsem eksplicitnih izpeljav, podanih Peanovih aksiomov.

Za razumevanje vsega, kar je izvzeto po Fregeju v delu Die Grundlagen der

Arithmetik, od §70 do §83, je opravljena analiza C. Wrightovega dela Frege’s

conception of numbers as objects.

C. Wright prijazno do bralca pojasnjuje, da mora biti formalni jezik, ki ga

uporabljamo, tako razumljen kot sestavljen v sklad s Fregejevo hierarhijo stopenj

(slika 2.1).

Stopnjo 0 in 1 tvorijo singularni izrazi in n-mestni predikati objektov, a vsaka

naslednja stopnja n vsebuje ogrodja za kvantifikacijo nad referenti reči stopnje

2−n . Vsako smiselno sodbo v tem jeziku tvorijo konkatenacija para izrazov iz

sosednjih stopenj; rezultat brisanja (poljubnega števila pojavov) izraza stopnje n iz

smiselne sodbe je v vseh primerih izraz stopnje 1+n ali stopnje 1−n . Zlasti

rezultat brisanja poljubnega števila pojavov singularnega izraza ali števila

singularnih izrazov iz smiselne sodbe je izraz stopnje 1, neodvisno od stopenj

drugih izrazov, katere ga vsebujejo. 9 Frege je dovolil kvantifikatorje pri predmetih in funkcijah, zato postaja jezik njegovega predikatnega računa drugega reda. 10 =N razumemo kot definicijo enakosti naravnih števil.


23

C. Wright pravi, da bo v sklepanju, ki sledi, najvišja stopnja kvantifikatorjev ob

katerih bomo potrebovali sklicevanje na stopnjo 3 , to je izrazov za kvantifikacijo

»drugega reda« nad pojmi in relacijami med objekti (Wright, 1983, str. 154).

0. »Martin«, »Klara« (singularni izrazi)

1. »… je suh«, »… je punca«, »… ljubi …« (1-mestni predikat objekta)

2. ∀ , ∃ (kvantifikatorja)

3. ^

...

Slika 2.1: Shema Fregejeve hierarhije stopenj.

V sledečem zgledu bomo pojasnili analizo najpreprostejšega atomskega stavka na

podlagi Fregejeve hierarhije stopenj (slika 2.1).

ZGLED 6 V smiselni sodbi »Martin je suh.« predstavlja »Martin«

0-mestni predikat »… je suh« pa 1-mestni predikat. »Martin« je

argument (vendar argumenti niso le lastna imena, temveč tudi

izrazi (variable), ki nadomeščajo množice individuov in jih zato

imenujemo individualne variable), katerega vstavimo v funkcijo

»… je suh«. Smiselno sodbo formalno zapišemo: Sm, kjer eno

mestni predikat S nadomešča izraz »… je suh«, argument m pa

lastno ime »Martin«.

Iz sheme Fregejeve hierarhije stopenj (slika 2.1) lahko razberemo, da je eksistenca

(eksistencialni kvantifikator) za Fregeja predikat drugega reda oziroma dvo mestni

predikat. Tako je eksistenca funkcija, katere argumenti niso singularni izrazi,

vendar pojmi prvega reda ali eno mestni predikati.


24

C. Wright pravi, da je osnovno besedišče jezika besedišče prvega reda predikatne

logike z identiteto, obogateno z dodajanjem števno mnogo načinov spremenljivk

za predikate in relacije za to, da se uspešno uredi še tako visoka stopnja

kvantifikacije, kot si jo lahko želimo in edini osnovni funktor, »N…«(Wright,

1983, str. 155).

Iz sheme (slika 2.1) je razvidno, da so vsi potrebovani kvantifikatorji višjega reda

stopnje 3, zato jih bomo zapisali na standardni način kot (F), ( F∃ ), (R), itd. Glede

načel sklepanja k in iz izjav s takšnim začetnim kvantifikatorjem pa pojasnjuje, da

so kolikor je to le mogoče, točno analogna, s temi katere upravlja s kvantifikatorji

prvega reda (to je kvantifikatorji stopnje 2).

V nadaljevanju diplomskega dela se bomo lotili C. Wrightove interpretacije

Fregejeve slavne izpeljave teorije naravnih števil11 iz logike, natančneje

Fregejevega logicizma.

Obrnimo se k vprašanju, kako so sestavljeni Peanovi aksiomi. C. Wright jih

interpretira na naslednji način:

1. aksiom: 0Nat

2. aksiom: ( ) ( )( )( )PxyyNatyxNatx &∃→

3. aksiom: ( )( )( )( ) ( )( )zwyxPyzPxwzwyx =↔=→&

4. aksiom: ( )( )0& PxxNatx∃−

5. aksiom: ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( )[ ]FxxNatxFyPxyyFxxFF →→→→&0

(Wright, 1983, str. 158)

Ker nas zanima izpeljava aksiomov iz logike, si poglejmo, kako jih v delu

Matematične strukture I interpretira Niko Prijatelj (1922-2003), slovenski

matematik. Za izhodišče teorije naravnih števil pojasni, da si izberemo vsako

abstraktno množico, ki ustreza petim Peanovim aksiomom.

11 Naravno število je katerokoli število iz neskončne množice pozitivnih celih števil { },...4,3,2,1 .

Na nekaterih področjih matematike (teoriji množic in matematični logiki) včasih privzamemo, da je tudi število 0 naravno število. Tekom diplomskega dela bomo uporabljali angleško oznako za naravna števila (Nat.).


25

To množico Prijatelj imenuje »Peanova množica« (Prijatelj, 1964, str. 182) in

zanjo navede naslednje aksiome:

1. aksiom: V množici je neki element, ki ga označujemo s simbolom 0.12

2. aksiom: Če je x element množice, potem obstaja v tej množici natanko

en element, ki ga imenujemo neposredni naslednik elementa x in

označimo s simbolom y.

3. aksiom: Če sta x in y elementa množice in sta njuna neposredna

naslednika w in z enaka, potem sta tudi ta dva elementa enaka.

4. aksiom: V množici ni nobenega elementa, ki bi imel za svojega

neposrednega naslednika element 0.

5. aksiom: Če je F taka podmnožica Peanove množice, da je 0 njen

element in da je tudi y njen element, če je le x njen element, ki je

neposredni predhodnik od elementa y, potem je množica F enaka vsej

Peanovi množici (Prijatelj, 1964, str. 182-183).

Za lažje razumevanje Peanovih aksiomov bomo vpeljali naslednje diagrame (slika

2.2 in slika 2.3), v katerih bomo Peanovo množico označili z A.

1. aksiom 2. aksiom 3. aksiom

Slika 2.2: Prikaz prvih treh Peanovih aksiomov z diagrami.

12 Pri tem štejemo število 0 k naravnim številom.

x•

y•

A x=y•

w=z•

A

yxzw

PyzPxwAyx

=⇒=

∈ &&;,

0•

A

N;0 ∈∈ AA PxyAyAx ⇒∈∃∈ !;


26

4. aksiom 5. aksiom

Slika 2.3: Prikaz 4. in 5. Peanovega aksioma z diagramoma.

C. Wright pojasnjuje, da obstajajo tri prvine iskane definicije: individualna

konstanta, »0«; predikat, » xNat « - x je naravno število; in relacija, » Pxy « - x

je neposredno pred y. Tako predpostavimo, da je naš sistem logike podan kot niz

pravil naravne dedukcije, ki je uporabljen ob edinem postulatu:

( )( ) ( )( )( )GxFxRGxNxFxNxGFN R11::: −∃↔==

(Za objekte naravnih števil enakosti, ki spadajo pod predikata F in G velja, da je

število objektov, ki spadajo pod predikat F, enako predikatu G natanko tedaj, ko

obstaja relacija R, to je relacija R ena-ena med predikatoma F in G.)13

Relacija »R ena-ena« je relacija enakosti oziroma obojestranska relacija.

Tekom diplomskega dela jo bomo uporabljali kot jo je uporabljal Frege. Enakost

je izpolnjena le, če je vrednost na levi strani enaka vrednosti na desni strani.

Vidimo torej, da je posplošitev relacije enakosti enakoštevnost, nadaljnja

posplošitev tega pojma pa je ekvivalenčna relacija, kar smo razložili že v prvem

poglavju. Frege je torej pojem enakoštevnosti (v §73) izpolnil na naslednji način:

»Če je število, ki pripada pojmu F, isto kot število, ki pripada pojmu G, potem je

pojem F enakošteven pojmu G« (Frege, 2001, str. 92).

13 Tekom diplomskega dela bomo razlago formul podali v oklepaju in ležečem zapisu, pod samimi formulami.

F

A

AyxPxyFxFyF

AF

∈⇒∈∈∈

⊆

,,0&&&0

;

0• x• y•

0•

A

AxPxA ∉⇒−∈ 0;0


27

Naša naloga je izpeljati naivno abstrakcijo za števila. Tega se lotimo tako, da iz

zgornje formule izpeljemo naslednjo lemo:

Lema 1: ( )( )( )FxNxyyF :=∃

(Za vsak predikat F obstaja y, ki obsega število objektov, ki spadajo pod

predikat F.)

Skica dokaza: Vzamemo oba F in G v =N kot enaka; pokažemo, da

( )( )( )FxFxRF R11−∃ ,

(Za vsak predikat F obstaja relacija R, ta relacija R ena-ena je med predikatoma

F in F, med katerima spadajo objekti tega predikata.)

in zato pridemo do ( )( )FxNxFxNxF :: = .

(Za vsak predikat F velja, da je število objektov, ki pripada

predikatu F enako njemu samemu.)

Lema 1 je nato neposredno očitna s pomočjo pravila vpeljevanja kvantifikatorja in

eliminacije.14

Po Lemi 1 imamo: ( )( )xxNxyy ≠=∃ : .

(Obstaja y, ki obsega število objektov, kjer noben ni enak

samemu sebi.)

To upravičuje naslednjo definicijo, ki jo je vpeljal Frege v delu Die Grundlagen

der Arithmetik, v §74. Vpeljal pa jo je zato, ker pod pojem »ni enak samemu sebi«

ali »sam sebi neenak« ne spada nič.

Def. 0: xxNx ≠= :0 .

(0 obsega število objektov, kjer noben ni enak samemu sebi.)

Frege definicijo števila 0 definira kot: »0 je število, ki pripada pojmu ˝sam sebi

neenak˝« (Frege, 2001, str. 92). Nato pojasni, da je vse, kar lahko s strani logike

in za strogost dokazovanja zahtevamo od nekega pojma, njegova ostra zamejitev,

tako da je za vsak predmet določeno, ali spada pod njega ali ne. Nakar opazi, da 14 Ta lema je v nadaljevanju uporabljena tako pogosto, da bomo na splošno izpustil njeno navedbo.


28

zahtevi zadosti tudi v sebi protisloven pojem, ta je »sam sebi neenak«, saj za vsak

predmet vidi, da ne spada pod naveden pojem. Za definicijo števila 0 je torej

filozof z namenom izbral pojem »sam sebi neenak«, saj je besedo »enak« prevzel

od Leibniza, kot smo razložili v prvem poglavju (Frege, 2001, str. 92-93).

Frege v §75 poda odnos, v katerem obstajata dva sosednja člena zaporedja

naravnih števil. To C. Wright interpretira z definicijo neposrednega predhodnika,

v kateri uporabimo lemo 1.

Def. P: ( )( ) ( )( )zvFvNvxFwNwyFzzFPxy ≠==∃∃↔ &:&:& .

(x je neposredno pred y natanko tedaj, ko obstaja predikat F in ko

obstaja z, tedaj z spada pod predikat F in y obsega objekte, kateri

spadajo pod predikat F in x obsegajo objekte, kateri spadajo pod

predikat F in niso enaki z z.)

C. Wright definicijo neposrednega predhodnika definira kot: »x je neposredno

pred y«, Frege pa jo v delu Die Grundlagen der Arithmetik razloži kot: »x v

zaporedju naravnih števil neposredno sledi y« (Frege, 2001, str. 95). Opazimo, da

se je Frege izogibal izrazu: »x je naslednik temu y«, ki izhaja iz Leibnizove

definicije števila. Ta je namreč definiral število s pojmom naslednika na naslednji

način: »S takšnimi definicijami se neskončna množica števil zvede na ena in

povečanje za ena, in vsaka od neskončno mnogo številskih formul se lahko

dokaže iz nekaj splošnih stavkov« (Frege, 2001, str. 30).

Definicija neposrednega predhodnika je enaka ena-ena. V sledeči lemi uporabimo

vse do sedaj pojasnjeno.

Lema 2: ( )( )( ) ( ) ( )[ ]zxPzyPxyzyPxzPxyzyx =→=→ &&&

(Za vse x, y in z velja, da če je x neposredno pred y in x neposredno pred

z, potem je zy = in tudi, da če je x neposredno pred y in z neposredno

pred y, potem je zx = .)


29

Skica dokaza: Predpostavimo Pxy in Pxz . Potem obstaja Fx tako, da

FxNxy := ;

(y obsega število objektov, ki pripadajo predikatu F.)

in ( )wuFuNux ≠= &: , kjer je w določen F. Prav tako obstaja Gx tako, da

GxNxz := , in ( )vuGuNux ≠= &: , kjer je v določen G. Zato po =N obstaja R

tako, da vuGuwuFu R ≠−≠ &11& .

(Predikat F, ki obsega objekt u, in objekt u, ki je različen od w, je v

relaciji R ena-ena s predikatom G, ki obsega objekt u in kateri je

različen od v.)

Naj se S razlikuje, če sploh, od tega R samo v Swv , in ta w je edina postavka, ki

izpolnjuje »S…v« in v je edina postavka, ki izpolnjuje »Sw…«.15 Potem je

GxFx S11− ; torej zy = , po =N .

Zdaj predpostavimo Pxy in Pxz . Potem obstaja Fx tako, da FxNxy := ;

in ( )wuFuNux ≠= &: , kjer je w določen F; in obstaja Gx tako, da GxNxy :=

in vuGuNuz ≠= &: , kjer je v določen G. Pokazali bomo, da

( )( )vuGuwuFuR R ≠−≠∃ &11& . Po =N obstaja R tako, da GxFx R11− . Naj bo

a tako, da Fa in Rav; in naj bo b tako, da Gb in Rwb. In naj se S razlikuje, če

sploh od R samo v tem a, in edinem a med F-i, dopuščamo S k b in edinem b med

G-ji; in v tem w, in edinem w med F-i dopuščamo S k v in edinem v med G-ji.

Potem je vuGuwuFu S ≠−≠ &11& . Torej, po =N , zx = .

Lema 2 neposredno prinaša aksiom III kot logično posledico. Kajti če je P ena-

ena, sta kombinaciji { }wzPywPxzyx =≠ ,,, in { }wzPywPxzyx ≠= ,,, napačni

(zgled 7).

ZGLED 7 Preverimo ali je kombinacija { }wzPywPxzyx =≠ ,,,

zares napačna. Za x vzamemo število 1, za y pa 3. Torej 31 ≠ drži.

Nato vidimo, da je število 1 neposredni predhodnik od števila 2, ki

je v našem primeru z. Število 3, pa je neposredni predhodnik od

15 To se pravi: Sab je resničen, samo v primeru:

( ) ( )vbwaRabGbFavbwa ==∨≠≠ &&&&& .


30

števila 4, ki je v našem primeru w. Od tod sledi, da wz = ni res,

ker 42 ≠ . Torej je naša kombinacija zares napačna.

Zdaj potrebujemo Fregejevo znamenito definicijo predniške relacije R –

intuitivno ta relacija x dopušča k y, samo v primeru, ko obstaja zaporedje:

ykbax ,,...,,, , da vsak element dopušča R k naslednjemu:

Def. predniške relacije:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )[ ]FyFwRvwFvwvFzRxzzFxyR →→→↔ &&*

C. Wright pojasnjuje: x dopušča predniško relacijo R k y, samo v primeru, ko y

ponazarja vsak pojem, za katerega je R kongruenčna relacija in kateri je

ponazorjen z nekim R-jem, pri x. Ali to zavzame predviden intuitivni pomen?

Jasno je, da če obstaja zaporedje ustrezne vrste, bo desna-stran Fregejeve

definicije gotovo izpolnjena. Vprašanje zadeva nasprotno: ali izpolnitev

Fregejevega pogoja zagotovi dostopnost y iz x pri zaporedju R korakov? No,

očitno ne, če je glavni pogojnik razložen kot bistven; zdi se, da se je lahko za y

pravkar zgodila ponazoritev vsakega Fx

(Predikat F, ki obsega objekt x.)

ustreznega znaka, ki je doslej stal popolnoma R-nepovezano z x. Fregejev cilj je

resnica posledice njegove razlage. Fy bi moral biti zagotovljen ob izpolnitvi dveh

pogojev, združenih v njegovem antecedentu. Ampak ta cilj ni zajet pri obliki

zgornjega izraza (in to je prijetno vprašanje, kako je lahko zajet) (Wright, 1983,

str. 159-160).

Ker je Fregejeva definicija predniške relacije primerna za naše cilje, nadaljujemo

z dvema lemama.

Lema 3: ( )( )( )( )xyRRxyyxR *→

(Za vsako relacijo R in x ter y velja, da če je x v relaciji R z y, potem x

dopušča predniško relacijo R k y.)


31

Skica dokaza: Prevzamemo antecedent desne strani def. predniške relacije in

vzamemo y za z.

V skici dokaza leme 3 vzamemo y za z, da bomo lahko dokazali tranzitivnost s

predniško relacijo R.

Lema 4: ( )( )( )( )( )xzRyzRxyRzyxR *** & → (tranzitivnost s predniško relacijo)

(Za vsako relacijo R in vse x, y, z velja, da če x dopušča predniško

relacijo R k y in y dopušča predniško relacijo R k z, potem x dopušča

predniško relacijo R k z.)

Skica dokaza: Naj bo Fx poljubni pojem, za katerega je R kongruenčna relacija in

kateri je ponazorjen pri poljubni postavki R-ja z x. Nato, ker xyR* , y ponazarja

Fx. Ampak tako počne karkoli relacija R pri y – pri kongruenci od R za Fx. Zato,

ker yzR* tako počne z. Torej, pri def. predniške relacije xzR* .

Zdaj smo v položaju, da definiramo naravno število.

Ker nam je definicija števila 0 že znana, si oglejmo kako je Frege definiral

naravno število 1 (v §77). Filozof pojasnjuje, da če želimo priti do števila 1,

potem moramo najprej pokazati, da obstaja nekaj, kar v zaporedju naravnih števil

neposredno sledi 0. Predlaga, da si ogledamo pojem oziroma predikat »enak 0«.

Pod ta pojem spada 0. Vidimo, da noben predmet nasprotno ne spada v pojem

»enak 0, vendar ne enak 0« (Frege, 2001, str. 95), tako število 0 velja za število, ki

pripada temu pojmu. Potemtakem imamo predmet 0, ki spada pod pojem »enak 0«

in za njiju velja:

Število, ki pripada pojmu ˝enak 0˝, je enako številu, ki pripada pojmu

˝enak 0˝.

Število, ki pripada pojmu ˝enak 0, vendar ne enak ne 0˝, je 0.

Po naši opredelitvi torej število, ki pripada pojmu ˝enak 0˝, v zaporedju

naravnih števil neposredno sledi 0 (Frege, 2001, str. 95).


32

Od tod vidimo, da je 1 število, katero pripada pojmu »enak 0« in v zaporedju

naravnih števil neposredno sledi 0.

C. Wright je interpretira Fregejevo definicijo naravnega števila na naslednji način:

Def. Nat.: ( )xPxxNat 00 *∨=↔

(x je element množice naravnih števil natanko tedaj, ko sta x in 0

identična ali ko 0 dopušča predniško P k x.)

V definiciji naravnih števil je intuitivno izraženo, da biti naravno število je tako

bodisi biti ničla ali – razveljaviti pogoj glede def. predniške relacije – biti

dostopno iz ničle s pomočjo zaporedja P-povezanih korakov. Opazimo, da je

aksiom I neposredna logična posledica definicije naravnih števil.

Po definiciji števila 0 in definiciji števila 1 bomo poskušali logično dokazati, da

Frege upravičeno sklepa, da vsakemu številu n v zaporedju naravnih števil,

neposredno sledi število 1+n in da je to število število, ki pripada pojmu »enak

n«.

Najbolj osupljiva posledica definicije naravnih števil je vsekakor slavni Aksiom

V, to je aksiom matematične ali popolne indukcije.16

Skica dokaza: Pokazati moramo, da za poljubni Fx, podamo (i) F0 in (ii)

( ) ( )( )( )FyPxyyFxx →→ , iz tega sledi, da vsako naravno število ponazarja Fx.

(Za vsak x velja, da če predikat F obsega objekt x, potem za vsak y velja, da če je

x neposredno pred y, potem predikat F obsega objekt y.)

Torej, naj bo k poljubno naravno število. Potem je 0=k ali kP 0* - def. Nat.

Primer 1: Nato je Fk, po (i).

16 Princip popolne indukcije: 1. premisa: »1 je naravno število.« 2. premisa: »Če je n naravno število, potem je tudi njegov naslednik n+1 naravno število.« Sklep: »Vsa števila n so naravna števila.«


33

Primer 2: kP 0* . Nato je

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )[ ]FkFwPvwFvwvFzzPzF →→→ &&0 , po def. predniške

relacije.

Zdaj imamo iz (ii): ( )( )FzzPzF →→ 00 ; zato, po (i), ( )( )FzzPz →0 . Enako iz

(ii) zamenjamo spremenljivke in imamo pri običajnih premikih:

( )( ) ( )( )FwPvwFvwv →& . Ampak to nadomešča – obe konjunkciji predniške

kP 0* . Zato je njegova posledica: Fk.

C. Wright priznava, da je navedeno uspešna poteza v Fregejevem delu.

Pojasnjuje, da je Fregejeva razlaga predniške relacije mogoča v smislu

definiranja naravnih števil kot entitet, za katere indukcija drži, tako da veljavnost

Aksioma V še zdaleč ni nekaj »sui generis« (Wright, 1983, str. 161) in bistveno

aritmetična, temveč je preprosta logična posledica naših pojasnil Fregejevega

značilnega aritmetičnega besedišča. (Uspešna poteza je seveda popolnoma

nespodbita s prejšnjim dvomom o def. predniške relacije, za dokaz potrebujemo

rekurz le k Fregejevi dejanski formulaciji – ni potrebno privzeti, da ta formulacija

zares točno zavzema predviden intuitivni pojem, »x je povezan pri zaporedju R-

korakov z y«) (Wright, 1983, str. 161).

Z indukcijo na čelu smo v položaju, da se soočimo z izzivom postavljenim pri

aksiomu II, čeprav se bomo najprej ustavili in sklepali aksiom IV.

Skica dokaza: Predpostavimo da ( )( )0Pxx∃ .

(Obstaja tak x, da je x neposredno pred 0.)

Potem po def. P, za nek b velja

( )( ) ( )( )zyFyNybFxNxFzzF ≠==∃∃ &:&:0& .

(Obstaja predikat F in obstaja z da velja, da predikat F obsega objekt z in 0

obsega število objektov, kateri spadajo pod predikat F in b obsega število

objektov, kateri spadajo pod predikat F in niso identični z z.)


34

Zato ( )( )( )FxNxFzzF :0& =∃∃ . Ampak to je preprosto pokazalo, da

( ) ( )( )( )FxxFxNxF ∃−→= :0 .

(Za vsak predikat F velja, da če 0 obsega število objektov, kateri spadajo pod

predikat F, potem ni res, da obstaja x, ki spada pod predikat F.)

Torej je nasprotno predpostavljenemu, ( )( )0Pxx∃− ; še bolj nasprotno

( )( )0& PxNatxx∃− .

C. Wright pravi, da aksiom II v prisotnosti aksiomov I, III in IV dosega

neskončnost iz števila zaporedij. Dokazati to je tako vrhunec teorije števil

logičnega programa (Wright, 1983, str. 161). Filozof pojasnjuje, da mora biti

ustrezna skica dokaza za aksiom II, na srečo precej bolj izpopolnjena od zgornjih

skic, četudi ni zelo težavna, je zapletena.17 Celotna strategija je torej točno to, kar

bi lahko nekdo pričakoval. Intuitivni razlog, zakaj =N sproža obstoj, ki se ne

konča z naravnimi števili je, ker nam omogoča dokazati, kdaj so števila

zaporedoma definirana kot prej, da vsak pojem, pod katerega zgolj doslej

definirana števila spadajo, določa novo število. Kar moramo pokazati je, da je ta

»zaznava«, ki =N dopušča neomejeno veliko različnih naravnih števil, ki so

definirana, lahko izražena v formalni izpeljavi aksioma II. Aksiom II zahteva, da

je za vsako naravno število a, lahko pojem Gx konstruiran tako, da je

( )GxNxaP :, in ( )GxNxNat : . Kar intuitivno sklepanje predlaga je to, ker je vsak

zaporedni definiran a identičen z Nx: [x je naravno število predniško pred a],

primerni Gx, pri sklicevanju na katero definiramo naslednika a, pa je: x je naravno

število predniško pred a ali ax = (Wright, 1983, str. 162).

Za dokaz aksioma II potrebujemo naslednjo lemo:

Lema 5:

( ) ( )( )( ) ( )( )( )[ ]{ }xyyxPyNatNyxPxyyxPyNatNyNatxNatx =∨=∨→ ** &:,&&:(Za vsak x velja, da če je x naravno število, potem je naravno število, ki obsega

število objektov y in y je predniško pred x ali pa sta y in x identična in vsak

zaporedni definiran x je identičen z Ny: [y je naravno število predniško pred x], ki

17 Ker je dokaz aksioma 2 zapleten, smo v prilogi diplomskega dela dodali drevo za skico dokaza

za aksiom II.


35

je število objektov, ki pripadajo naravnemu številu y in y je predniško pred x ali

pa sta y in x identična.)

Iz leme 5 je aksiom II neposredni, zato potrebujemo dve podlemi. Prva bo

pojasnjevala, da je vsako naravno število zares število svojih predhodnikov:

Lema 51: ( ) ( )( )yxPyNatNyxxNatx *&:=→ ,

(Za vsak x velja, da če je x naravno število, potem x obsega število objektov, ki

pripadajo naravnemu številu y in y je predniško pred x.)

druga pa, da ni naravnega števila predniško pred njim samim:

Lema 52: ( )( )xxPxNatx *−→ .

(Za vsak x velja, da če je x naravno število, potem ni res, da je x predniško pred

samim seboj.)

(Če je aaP* držalo, potem je bil yaP* enake ekstenzije s ayyaP =∨* ; in zadnji

ni uspel podati naslednika za a.)

C. Wright pojasnjuje, da večji del raziskovanja zadeva vpeljavo leme 51.

Postopek je indukcija: tako obravnavamo lemo kot primer substitucije iz posledice

Aksioma V, kjer ( )yxPyNatNyx *&:= nadomešča »Fx«. Nato zahtevamo

dokazovanje konjunkcij antecedenta: F0 in ( ) ( )( )( )FzPxzzFxx →→ , po tej

substituciji je to

Lema 511: ( )0&:0 * yPyNatNy= in

(0 je število objektov, ki pripadajo naravnemu številu y in y je predniško pred 0.)

Lema 512: ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]yzPyNatNyzPxzzyxPyNatNyxx ** &:&: =→→= .

Skica dokaza za lemo 511: Pri aksiomu IV 0 nima nobenega naravnega števila za

neposrednega predhodnika. Samoumevni podvig je uporabiti def. predniške

relacije, ki pokaže, da 0 potemtakem nima nobenega naravnega števila niti za


36

predniški predhodnik. Potemtakem vzemimo R v def. predniške relacije kot P in

Fx kot ( )( )PzxzNatz &∃ .

(Obstaja z, ki je naravno število in je neposredno pred x.)

Naj bosta a in b poljubni par naravnih števil tako, da je abP* . Potem je naš cilj

vpeljati konjunkciji antecedenta iz def. predniške relacije na osnovi ustreznih

interpretacij, to je

(i) ( ) ( )( )( )PyzyNatyPazz &∃→ , in

(Za vsak z velja, da če je a neposredno pred z, potem obstaja naravno

število y, ki je neposredno pred z.)

(ii) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )[ ]PywyNatyPvwPyvyNatywv &&& ∃→∃

(Za v in w velja, da če obstaja naravno število y, ki je neposredno pred

v in v, je neposredno pred w, potem obstaja naravno število y, ki je

neposredno pred w.)

in zato vpeljemo Fb, to je ( )( )PybyNaty &∃ .

Vidimo, da so stvari enostavne. Za (i), vzamemo, da je y identičen z a. Za (ii),

najprej predpostavimo P0v: nato (po lemi 3) vP 0* ; torej, ker je Pvw, je v enak y

tako, da je PvwyNat & . Zdaj namesto tega predpostavimo PuvuP &0* ; nato (po

lemi 3 in lemi 4) vP 0* ; torej ponovno je v enak y, tako da je PvwyNat & .

Navedeno posplošujemo in pridemo d

Lema 5111: ( )( ) ( )( )( )PzyzNatzxyPyNatxNatyx &&& * ∃→ .

(Če sta x in y naravni števili in je x predniško pred y, potem obstaja neko naravno

število z neposredno pred y.)

Preostane nam, da vzamemo y kot 0 in predpostavimo nasprotno s pomočjo

aksioma IV. Nato lema 511 izhaja s pomočjo enostavnega dokaza:


37

( ) FxNxFxx :0 =→∃− .

(Če ni res da obstaja objekt x, katerega obsega predikat F, potem 0 obsega število

objektov, ki pripadajo predikatu F.)

V nadaljevanju podamo dokaz za lemo 512.

Skica dokaza za lemo 512: Naj bosta a in b poljuben par naravnih števil, tako da

je ( )ybPyNatNya *&:= in Pab. Naša naloga je pokazati, da to sledi temu:

( )ybPyNatNyb *&:= . Celotna strategija je preprosta. Ker je Pab, sta neka

določena Fx in z taka, da je ( )zyFyNyaFxNxbFz ≠== &:&:& . Zato je pri

=N neka določena relacija R taka, da je

zyFyyaPyNat R ≠− &11& * .

(Naj bo y naravno število in y predniško pred a, v relaciji R ena-ena s predikatom

F, ki obsega objekt y in kateri je različen od z.)

Predpostavimo, da smo dokazali lemo 52, tako imamo aaP*− ; in predpostavimo,

da je naša logika relacij dovolj bogata, da dobimo:

( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )

=∨−=∨∃

→−−→−∃

wxGxvxFxS

GwFvwvGxFxRGF

SR 11

&11 .

(Za predikata F in G velja, da če obstaja relacija R, ki je ena-ena relacija med

predikatoma F in G, med katerima spadajo objekti, potem za objekta v in w velja,

da če ni res, da predikat F obsega objekt v in ni res, da predikat G obsega objekt

w, potem obstaja relacija S, da je predikat F, ki obsega objekt x ali objekt x, ki je

enak v, v relaciji S ena-ena s predikatom G, ki obsega objekt x ali objekt x, ki je

enak w.)

Potem imamo za primerno relacijo S,

( ) ( ) zyzyFyayyaPyNat S =∨≠−=∨ &11& * .

(Naravno število y, ki je predniško pred a ali ki je identično z a, je v relaciji S ena-

ena s predikatom F, ki obsega objekt y, ki je različen od z ali pa sta y in z

identična.)

V prisotnosti aNat in Fz se to spremeni v ( ) FyayyaPyNat S11& * −=∨ .


38

Zato, ker je FyNyb := , in predpostavljanje, da je naša logika relacij dovolj

bogata, daje

( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )[ ]HxFxTHxGxSGxFxRHGF TSR 111111 −∃→−∃→−∃ , se naša

naloga zmanjšuje s pomočjo =N , k tej, s kazanjem da

( ) ( )( )ybPyNatayyaPyNatR R** &11& −=∨∃ .

Ker dokaz za lemo 512 ni zadosten, vpeljemo naslednjo podlemo.

Lema 5121:

( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]zyPzNatxzzxPzNatzPxyyNatxNatyx ** &&& ↔=∨→→

(Če sta x in y naravni števili in je x neposredno pred y, potem so naravna števila,

katera so predniška pred x ali pa so identična z x, prav tako naravna števila,

katera so predniška pred y.)

Skica dokaza: Naj bosta a in b poljubni naravni števili, tako da je Pab . Zdaj

poskušamo vpeljati povratnopogojno klavzulo iz leme 5121 za poljubno naravno

število z.

Od-leve-proti-desni: Preprosto. Imamo azzaP =∨* . Če je az = , potem ker je

Pab , je zbP* (po lemi 3). Če je zaP* , potem ker je Pab , je zbP* (po lemi 3 in

lemi 4).

Od-desne-proti-levi: Ni tako preprosto! Zato nadaljujemo s pomočjo dveh

podlem:

Lema 51211: ( )( )( ) ( )( )( )[ ]zyyzPxzPPxyzNatyNatxNatzyx =∨→→→ **&&

(Za poljubna tri naravna števila, x, y, z; če je x neposredno pred y in predniško

pred z, potem je bodisi y predniško pred z, ali pa sta y in z identična.)

Lema 51212: ( )( ) ( )[ ]yxPyxxyPyNatxNatyx **& ∨=∨→

(Poljubni pari različnih naravnih števil so takšni, da je eden predniško pred

drugimi.)


39

Pri uporabljanju teh podlem, ob trenutnem problemu dobimo:

( )( )zbbzPazPPab =∨→→ ** - Lema 51211;

(a je neposredno pred b in predniško pred z, potem je bodisi b predniško pred z

ali pa sta b in z identična.)

torej ( )zbPazPPab ** −→→ - Lema 5218;

(a je neposredno pred b in predniško pred z, potem ni res, da je z predniško

pred b.)

iz katere ( )azPzbPPab ** −→→ ;

(a je neposredno pred b, če je z predniško pred b, potem ni res, da je a

predniško pred z.)

torej ( )( )azzaPzbPPab =∨→→ ** - Lema 51212;

(a je neposredno pred b, če je z predniško pred b, potem je z predniško pred

a ali pa sta z in a identična.)

in nazadnje je to točno, kar smo si želeli.

Skica dokaza za lemo 51211: V nadaljevanju je bistven dokaz propozicije 124 iz

Fregejevega dela Begriffsschrift. Tako za poljubno ena-ena, relacijo R in poljubne

a, b, c pokažemo, da:

R je ena-ena ( )( )( )cbbcRacRRab =∨→→→ ** .

(Če je R ena-ena relacija, tako da Rab in acR* , potem je, če b in c nista identični,

bcR* .)

(Lema 51211 sledi po Lemi 2.) Jasno je

(1) R je ena-ena ( )( )( )xbRaxxRab =→→→ ; zato

(Če je relacija R ena-ena taka, da je a v relaciji R z b, potem za vsak x velja,

da če je a v relaciji R z x, potem je b enak x.)

18 Kajti, če je b=z in zbP* , potem je bbP* ; in če je bzP* in zbP* potem je bbP* (Lema 4).

Tako ali tako je potem bbP* ; v nasprotju z Lemo 52.


40

(2) R je ena-ena ( ) ( )( )( )xbbxRRaxxRab =∨→→→ * .

(Če je relacija R ena-ena taka, da je a v relaciji R z b, potem za vsak x velja,

da če je a v relaciji R z x, potem je b v predniški relaciji R z x ali pa sta b in x

identična.)

Potemtakem v ( )( ) ( ) ( )( )( )SQPSRRQP →→→→→→→ nadomestimo kot

sledi: P/R je ena-ena; Q/Rab; ( ) ( )( )xbbxRRaxxR =∨→ */ ;

( )cbbcRacRS =∨→ **/ . Rezultat je

(3) ( ) ( )( ) ( )( ){ }[ ]1242 *** →=∨→→=∨→→ cbbcRacRxbbxRRaxx

Za to, kar zahtevamo, je dokaz iz

(4) podformule iz (3), ki je v zavitih oklepajih.

Tako iz def. predniške relacije enostavno sledi, da

(5) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )[ ]FcacRFxRaxxFyRxyFxyx →→→→→ *&

(Za x in y velja, da če predikat F obsega objekt x in je x v relaciji R z y, potem

predikat F obsega objekt y, če to velja, potem za vsak x, če je a v relaciji R z x,

potem predikat F obsega objekt x, potem če je a v predniški relaciji R z c,

predikat F obsega objekt c.)

Potemtakem v (5) najde nadomestek za Fx: xbbxR =∨* . Rezultat je:

(6) ( )( ) ( )( ) ( )[ ] 4& ** →=∨→=∨ ybbyRRxyxbbxRyx

Torej zahtevamo dokaz antecedenta iz (6), kateri je enostaven: če je xb = , potem,

ker je Rxy, Rby; torej je byR* (po lemi 3); torej ybbyR =∨* . Če je bxR* ,

potem, ker je Rxy, je byR* (po lemi 3 in lemi4); torej je ybbyR =∨* .

C. Wrightovo skico za dokaz leme 51211 smo izvedli, sedaj pa potrebujemo še

skico dokaza za lemo 51212.


41

Skica dokaza za lemo 51212: Izpeljemo indukcijo na Fx kot:

( ) ( ) ( )( )yxPyxxyPyNaty ** ∨=∨→ .

(Za vsak y velja, da če je naravno število, potem je x predniško pred y ali sta x in

y identična ali pa je y predniško pred x.)

(i) F0: neposredni, po def. Nat in P.

(ii) ( ) ( )( )( )FyPxyyFxx →→ : predpostavimo za določen a, da je

( ) ( )( )yaPyaayPyNaty ** ∨=∨→ , in Pab. Za poljubno naravno

število k poskušamo pokazati ( )kbPkbbkPkNat ** ∨=∨→ .

(Če je k naravno število, potem je b

predniško pred k, ali sta b in k

identična, ali pa je k predniško pred b.)

C. Wright vpelje tri primere, katerih rezultat dobimo z upoštevanjem navedenega:

(1.) ka = .

Potem je Pkb, torej kbP* (po lemi 3); tako je ( )kbPkbbkP ** ∨=∨ .

(2.) kaP* .

Potem, ker je Pab, je kbP* (po lemi 3 in lemi 4); tako je ( )kbPkbbkP ** ∨=∨ .

(3.) akP* .

Potem, ker je Pab, je kbbkP =∨* (po lemi 51211); tako je

( )kbPkbbkP ** ∨=∨ .

Rezultat je: ( ) ( ) ( )( )( )yxPyxxyPyNatyxNatx ** ∨=∨→→ ; kateri je zelo hitro

pokazal ekvivalenco z lemo 51212.

Zaključili smo torej dokaz leme 51, ki pravi, da je vsako naravno število, število

naravnih števil, ki so predniško pred njim. Zaradi široke strukture izpeljave leme

51 bomo vpeljali naslednjo shemo, iz katere je razvidna njena izpeljava:


42

Prop. 124

Prop. 124

Lema 51

Slika 2.4: Shema izpeljave leme 51.19

Navedli smo, da za dokaz aksioma II iz Leme 5 potrebujemo dve podlemi. Lemo

51 smo dokazali, sedaj pa potrebujemo še dokaz leme 52, ki pojasnjuje, da ni

naravnega števila predniško pred njim samim.

Skica dokaza za Lemo 52:

Definirajmo Fx < Gx kot sledi:

(Predikat F, ki obsega objekt x, ima manjšo ekstenzionalnost kot

predikat G, ki obsega objekt x.)

Def. <: ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )[ ]HyGyyHxGxFxHRGxFxGF R −∃−∃∃↔< &&&11 20

(Za predikata F in G velja, da če ima predikat F, ki obsega objekt x, manjšo

ekstenzionalnost kot predikat G, ki obsega isti objekt natanko tedaj, ko obstajata

19 Nadčrtana formula brez vzpenjanja poti je zaenkrat še nedokazana. 20 Tako definiran »<« sovpada samo z »ima manjšo ekstenzionalnost kot«, seveda, za pojme

končne ekstenzije. (Wright, 1983, str. 165)

Aksiom V, Lema 51211

Lema 51211, Lema 51212, Lema 52

Lema 5121, Lema 52 Aksiom IV, Lema 51111

Lema 511, Lema 512, Aksiom V


43

relacija R in predikat H, za katera velja, da je predikat F, ki obsega objekt x, v

relaciji R ena-ena s predikatom G, ki obsega objekt x in predikatom H, ki obsega

isti objekt, in obstaja y ki je objekt, katerega obsega predikat G in y ni objekt

predikata H.)

Tukaj vpeljemo naslednji podlemi:

Lema 521: ( )( ) ( )( )( )( )( )GzFzGuNuyFuNuxGFxyPyx <→==→ :&:*

Lema 522: ( ) ( ) ( )( )( )GzGzGuNuxGxNatx <−→=→ :

Ker je ( ) ( )( )( )GuNuxGxNatx :=∃→ enostavno dokazati, je lema 52 neposredna.

Skica dokaza za lemo 521: Naj bosta a in b poljuben par tako, da je abP* in

vzamemo Fx v def. predniške relacije, da obstaja:

( )( ) ( )( )JzIzJyNyxIyNyaJI <→== :&: .

Nato zadošča pokazati Fb. Potemtakem poskušamo preveriti

( )( )FzPazz → in

(Za vsak z velja, da če je a neposredno pred z, potem predikat F obsega objekt z.)

( )( ) ( )( )FwPvwFvwv →& , v skladu z naslednjo C. Wrightovo interpretacijo.

(Za v in w velja, da če predikat F obsega objekt v in je v neposredno pred w,

potem predikat F obsega objekt w.)

( )( )FzPazz → : Predpostavimo Paz, in naj bo IxNxa := in JxNxz := . Potem

imamo pri def. P za določen Gx, in y, da

( )yxGxNxaGxNxzGy ≠== &:&:& . Zato pri =N obstaja R tako, da

JxGx R11− , in S tako, da IxyxGx S11& −≠ . Naj bo w enak J tako, da je Ryw.

Dokazati moramo, da je Ix < Jx. Torej vzamemo wx ≠ za Hx in def. <. Kaj mora

biti pojasnjeno, je tako: ( ) ( )( )wxJxIxT T ≠−∃ &11 . Ker je

( ) ( )wxJxyxGxIx RS ≠−≠− &11&11 , preprosto za prikazati (in ni težko


44

dokazati), da je ustrezni T tako imenovana rezultanta od S in R: S├ ( )yxR , , katera

drži med x in y, samo v primeru ( )( )RzySxzz &∃ . Ker ( ) ( )( )wyJyy ≠−∃ & ,

namreč w sam, je neposreden temu Ix < Jx; in zato ta z izpolnjuje ustrezno

interpretacijo Fz.

( )( ) ( )( )FwPvwFvwv →& : Predpostavimo Pvw in Fv; to je

( )( ) ( )( )JzIzJxNxvIxNxaJI <→== :&: . Potem pri def. P obstaja določen Gx,

in y, tako da ( )yxGxNxvGxNxwGy ≠== &:&:& . Za določena Ix in Jx

predpostavimo, da je IxNxa := in JxNxw := . Nato moramo dokazati Ix < Jx;

to je najti Hx in T tako, da ( ) ( )( )HxJxxHxJxIx T −∃− &&&11 .

Po hipotezi ( )yxGxIx ≠< & , to je za določen R in Mx

( ) ( )( )MzyzGzzMxyxGxIx R −≠∃≠− &&&&&11 . Potemtakem moramo prvo

dokazati Ix < Gx, pri ohranjanju R in izbiranju ustreznega Hx kot: Mxyx &≠ .

(Za z tako, da MzyzGz −≠ && je z tako, da ( )MzyzGz && ≠− . Nato

premišljujemo da, ker je w oboje Nx:Gx in Nx:Jx, =N daje to, za določen

JxGxS S11, − . Zato je T, ki ga potrebujemo za Ix < Jx enak R|S; in primerni Hx je

( )( )SuxyuMuGuu &&& ≠∃ . Torej Ix < Jx; in w izpolnjuje ustrezno

interpretacijo Fw.

Skica dokaza za lemo 522: Pokazati moramo, da

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )

−∃−∃∃−

→=→

HyGyyHxGxGxHR

GyNyxGxNatx

R &&&11

:.

Nato nadaljujemo z indukcijo na Fx, = zaviti oklepaj zgornje klavzule.

F0: neposreden, ker če GxNx :0 = , potem ( )Gyy∃− .

( ) ( )( )( )FyPxyyFxx →→ : Predpostavimo (i) Fa, (ii) Pab in (iii) – Fb. Potem pri

(ii) za določen z in ( )zyJyNyaJyNybJzJx ≠== &:&:&: . In (iii) za

določen ( )( ) ( ) ( )( )( )HyGyyHxGxGxHRGyNybGx R −∃−∃∃= &&&11&:: . Pri

=N imamo za določeno relacijo S, da ( )HxGxJx S &11− . Naj bo k zadnji primer


45

tako, da je Szk. Potem (ob isti predpostavki o naši osnovni logiki relacij, ki je bila

prva v smeri skice dokaza za lemo 512) vzamemo, da obstaja R tako, da

( ) ( )kxHxGxzxJx R ≠−≠ &&11& . Tako je ( )kxHxGxNxa ≠= &&: . Vendar

za nek T imamo tudi ta: GxJx T11− . Naj bo y tak primer od prejšnjega, da je Tyk.

Nato (po enaki predpostavki) obstaja R tako, da ( ) ( )kxGxyxJx R ≠−≠ &11& ; in

R tako, da ( ) ( )yxJxzxJx R ≠−≠ &11& . Torej (po drugi predpostavki o naši

osnovni logiki relacij, ki je bila v skici dokaza za Lemo 512, in =N ) sledi, da je

( )kxGxNxa ≠= &: . Ta situacija je tako:

( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]HxkxGxkxGxHRkxGxNxa R &&11&&&: ≠−≠∃∃≠= .

Poleg tega, ker ( )( )HyGyy −∃ & - pri (iii) – in Gk in Hk, vemo, da

( )( )HykyGyy −≠∃ && . Torej imamo protislovje s hipotezo (i); zato

nasprotujemo Fb.

S podlemama 521 in 522 je C. Wright dokazal lemo 52. Preostane nam še podati

le njegovo skico izpeljave leme 5 iz leme 51 in leme 52. Torej imamo:

(51) ( ) ( )( )yxPyNatNyxxNatx *&:=→

(Za vsak x velja, da če je x naravno število, potem x obsega število objektov,

ki pripadajo naravnemu številu y in katero je predniško pred x.)

(52) ( )( )xxPxNatx *−→

(Za vsak x velja, da če je x naravno število, potem ni res, da je predniško

pred samim seboj.)

in za poljubno naravno število k zahtevamo, da

(i) ( )( )( )kyykPyNatNyNat =∨*&: in, da

(ii) ( )( )( )kyykPyNatNykP =∨*&:, .


46

Potem predpostavimo kNat . Nato - ( )ykPyNatNykkkP ** &:& = .

(Ni res, da je k predniško pred njim samim in,

da k obsega število objektov, ki pripadajo

naravnemu številu y, kateri je predniško pred

k.)

Naj bo ( )( )kyykPyNatNym =∨= *&: .

Preučimo pojem, ( ) kykyykPyNat ≠=∨ && * . Verjetno dobimo izrek:

( )( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]GyFyHyHyGyFyyGyHyy &&&& ↔−∨→∃− .

(Če ni res da obstaja objekt y, katerega predikata H in G obsegata, potem za vsak

y velja, da predikat F obsega objekt y in predikata G ali H obsegata objekt y in ni

res, da predikat H obsega objekt y natanko tedaj, ko predikata F in G obsegata

objekt y.)

Nato nadomestimo, kot sledi: kyHyykPGyyNatFy =/;/;/ * , dosežemo s

pomočjo leme 52, na: ( ) ( )( ) ( )[ ]ykPyNatkykyykPyNaty ** &&& ↔≠=∨ .

(Za vsako naravno število y velja, da je predniško pred k ali

identično z k, in tudi različno od k natanko tedaj, ko je y

naravno število in predniško pred k.)

Zato: ( ) ( )( ) ( )[ ]ykPyNatkykyykPyNatR R** &11&& −≠=∨∃ .

(Obstaja relacija R, za katero velja, da je y naravno število in predniško

pred k ali identično z k in y ni enako k, v relaciji R ena-ena z naravnim

številom y, ki je predniško pred k.)

Zato: ( )( ) ( )( )

( )( )

≠=∨=

=∨==∨∃

zykyykPyNatNyk

kyykPyNatNymkzzkPzNatz

&*&:

&*&:&*&.

(Obstaja z, ki je naravno število ali identično z k in m, ki obsega število objektov,

ki pripadajo naravnemu številu y, katero je predniško pred k ali identično z k in k,

ki obsega število objektov, ki pripadajo naravnemu številu y, katero je predniško

pred k ali identično z k in y ni enako z.)

- za tak z je k sam.


47

Zato:

Pkm; pri def. P.

(k je neposredno pred m.)

Zato: ( )( )kyykPyNatNykP =∨*&:, , = (ii).

Zdaj neposredno sklepamo, da (i) drži (s pomočjo kNat , (ii) leme 3 in leme 4, in

def. Nat.). Lema 5 sledi s posploševanjem.

Za ta rezultat smo delali precej naporno. C. Wright meni, da nekateri morda

mislijo, da smo delali prenaporno, za to kar je bilo dejansko doseženo. Kajti po

eni strani še zmeraj nismo ustrezno skicirali primerne osnove za običajne

postopke v teoriji števil; nimamo nobenih operatorjev za formuliranje terminov,

razen »Nx: … x …«, in zlasti nobena razlaga ni bil izrečena od » + « in »× «. Po

drugi strani pa je bilo intuitivno jasno na začetku, da je =N dopustil neskončno

sestavo naravnih števil. Tako naj ne bi vedeli ničesar, kar nismo vedeli že prej;

doslej smo se le dotaknili površine tehnične naloge (Wright, 1983, str. 168).

C. Wright pojasnjuje, da ta misel popolnoma zgreši cilj našega truda. Če ponovno

poudarimo, kar je bilo povedano na začetku tega dela poglavja, opazimo, da je

prav irelevantno to, da intuitivno razumemo možnost neskončnega ponavljanja

Fregejeve tehnike za definiranje posameznih števil. Če lahko zgornje sklepanje

razvijemo na neizpodbitni in podroben način, bo to dalo neskončnosti zaporedja

števil povsem drugo osnovno. Očitno bo, da so izjave, imenovane Peanovi

aksiomi, tu oblikovane, kot so logične posledice izjave, katerih skupna posledica

je, da naravna števila predstavljajo neskončno zaporedje, ki določa bistvo razlage

pojma kardinalnega števila (Wright, 1983, str. 168).

Frege trdi, da v zaporedju naravnih števil vsakemu številu sledi neko število

(Frege, 2001, 117). Njegova vrsta naravnih števil je torej neskončna in zato

veljajo zanjo zakoni matematične indukcije.

Glede na navedeno vidimo, da se neskončno zaporedje naravnih števil pri Fregeju

pojavi v najbolj dobesednem smislu in je obrazloženo na enak način kot

kardinalno število.


48

Kardinalno število v matematiki razumemo kot posplošeno število, katero izraža

moč ali kardinalnost množice. Matematik Prijatelj navaja: »Kardinalno število je

končno ali neskončno natanko tedaj, kadar je množica, kateri je prirejeno končna

ali neskončna« (Prijatelj, 1964, str. 204). V naslednjem zgledu bomo podali

primer končnih kardinalnih števil.

ZGLED 8 Primer končnih kardinalnih števil: ( )ΦK , { }( )ΦK ,

{ }{ }( )ΦΦ,K , … itd.

Množico vseh končnih kardinalnih števil razumemo kot Peanovo množico. Tako

je element 0 iz aksioma I v množici vseh končnih kardinalnih števil kardinalno

število ( )ΦK (Prijatelj, 1964, 203). Element 0 je najmanjše kardinalno število in

mu je enaka moč prazne množice.21 Ker je množica vseh končnih kardinalnih

števil Peanova množica, jo lahko tolmačimo kot množico naravnih števil, pri

čemer so posamezna naravna števila definirana takole:

( ){ }( )

{ }{ }( )

…

ΦΦ=

Φ=

Φ=

,2

1

0

K

K

K

itd.

Od tod vidimo, da je zaporedje naravnih števil neskončno.

Po Fregeju, kardinalnemu številu sledita dve posledici: prva je, da je povsem

nepotrebno razumevati neskončnost naravnih števil, kot neko vrsto predpostavke

znanje, katere je nemogoče pridobiti; druga pa je, da se je povsem nepotrebno

sklicevati na kakšne koli naše razumske sposobnosti, razen na sklepanje

sposobnosti, zato da bi pojasnili, kako je možno naše obvladanje tega znanja.

Glede na posledici vidimo, da predpostavka, da so matematične izjave resnične,

sledi iz logicizma, ker se Frege o resničnosti matematičnih izjav sploh ne sprašuje.

21 Običajni zapis prazne množice z znaki je naslednji: Φ in { }.


49

To je razvidno iz logične izpeljave Peanovih aksiomov, za katere se ni spraševal

ali so resnični, vendar jih je uporabil, da je izpeljal matematiko iz logike. Logična

izpeljava Peanovih aksiomov ga je vodilo do pomena posameznih števil in tudi do

dokaza njegovega logicizma.

Fregejeva strategija je torej prikazala, da noben poziv k zoru ne zahteva za

izpeljavo izrekov, teorije števil. To zahteva, da nam Frege pokaže, da izpeljava

uporablja samo pravila sklepanja, aksiome, in definicije, ki so izključno analitična

načela logike (Zalta, 2009). To stališče poznamo kot logicizem. Navedeno je

razvidno v naslednjih Fregejevih citatih:

Kako, naj nam bo potem dano število, če o njem ne moremo imeti nobene

predstave ali zora? Samo v kontekstu stavka besede nekaj pomenijo. Šlo bi

torej za to, da opredelimo smisel stavka, v katerem nastopa števnik (Frege,

2001, str. 80).

Upam, da mi je v tem spisu uspelo pokazati verjetnost trditve, da so

aritmetični zakoni analitične sodbe in da so potemtakem a priori. V skladu

s tem bi bila aritmetika samo nekoliko bolj razvita logika, vsak aritmetični

stavek pa logični zakon, le da izpeljan (Frege, 2001, str. 103).

Po Fregejevem prepričanju je tako uspela redukcija na logiko in na »formalno

ontologijo«, ki je neempirična in nepsihološka stvar. Frege pa je bil prvi, ki je po

Leibnizu formuliral in izvedel program logicizma.

V Fregejev logicizem je ob začetku 20. stoletja začel dvomiti veliki angleški

filozof in matematik Bertrand Arthur William Russell (1872-1970).

Russell je trdil, da ne le da Aksiom V ne zadostuje za obstoj logične trditve, že

izid sistema je dokazal, da je nekonsistenten.

Navedenega se je Frege zavedal, ker mu je Russell poslal pismo formulirano kot

»Russllov paradoks«, ko je šel tiskati drugi zvezek Grundgesetze der Arithmetik.

Zato je vanj hitro vstavil dodatek, v katerem je opisal dve različni poti izpeljanega

paradoksa iz Aksioma V. Navedeno si bomo ogledali v naslednjem poglavju.


50

3 RUSSLLOVA ANTINOMIJA

Iz Russllovega citata, ki smo ga podali v uvodu diplomskega dela, je razvidno, da

si Russell in Frege nasprotujeta. Russell se namreč sprašuje o resničnosti

matematičnih izjav, medtem kot smo tekom diplomskega dela spoznali, da so te

za Fregeja očitne. To vidimo kot enega izmed razlogov, da je Russell začel

dvomiti v Fregejev logicizem.

V tem poglavju si bomo natančneje ogledali C. Wrightovo interpretacijo

Russllovega paradoksa, izpeljanega iz slavnega Aksioma V, v Fregejevem delu

Grundgesetze der Arithmetik.

Najprej se spomnimo C. Wrightove interpretacije Fregejeve hierarhije stopenj

(slika 2.1). C. Wright pojasnjuje, da hierarhija stopenj preprečuje sestavo

najpreprostejših vrst povratnega paradoksa, ponazorjenega z intenzionalno

različico Russllove antinomije:

( )( )FFFF −↔φ Def.

(Za vsak predikat F velja, da zadošča množici Φ natanko tedaj, ko množica ne

more biti predikat sama sebi.)

Glede zgornje definicije navaja, da ne more biti niti izražena v jeziku, katerega

sintaksa togo reflektira hierarhijo stopenj, ker bo njena desna stran v nasprotju s

pravili formulacije – vsebovala na primer neizpolnjeno mesto argumenta, če bo

sprejet Fregejev lastni pristop. Pojasnjuje, da hierarhija stopenj ne daje nobenega

jamstva proti sestavljanju »paradoksnih« objektov – kot to jasno prikazuje bolj

znana različica Russllove antinomije, paradoksa množice vseh množic, ki niso

elementi samih sebe. Zato pravi, da je pomembno drugo, da razmislimo, zakaj =N

ne more ustvariti paradoksa popolnoma analognega tistemu, katerega je izpeljal

Russell iz Aksioma V v Grundgesetze der Arithmetik (Wright, 1983, str. 155).

V sledečem zgledu bomo pojasnili pojem »množica vseh množic« in z njim podali

Russllov paradoks.


51

ZGLED 9 Za vsako podano množico se vprašamo, ali ima samo

sebe za element ali ne. Vzamemo na primer množico naravnih

števil in vidimo, da nima same sebe za element, saj množica

naravnih števil ni naravno število, ampak je množica. Nasprotni

primer pa je množica vseh abstraktnih pojmov, katera bi imela

samo sebe za element, ker je sama abstraktni pojem. Tako je

lastnost »ni element sama sebe« za množice smiselna in jo

uporabimo na množici vseh množic. Zato bi v množici vseh

množic morala obstajati taka podmnožica, ki bi imela za elemente

tiste množice, ki imajo zgoraj opisano lastnost. Torej nimajo same

sebe za elemente. Tukaj se nam zastavi ključno vprašanje, in sicer

ali ta lastnost velja tudi za podmnožico? Če lastnost, da nima same

sebe za element, velja za podmnožico, potem bi istočasno morala

imeti tudi samo sebe za element, ker ima po definiciji za elemente

vse tiste množice, ki to lastnost imajo. Če pa navedene lastnosti

podmnožica nima, potem hkrati tudi ne bi smela imeti same sebe

za element neke množice, ker ima po definiciji za elemente le tiste

množice, ki to lastnost imajo. Podmnožica torej bi imela ali pa ne

to lastnost, kar je za matematiko in logiko nesprejemljivo.

Za lažje razumevanje zgleda 9 bomo ponazorili Russllov paradoks, kot ga

ponazarjamo v teoriji množic.

Definirajmo množico vseh množic, ki ne vsebujejo same sebe: { }EEEM ∉= | .

Dokazati moramo, da je MM ∈ in MM ∉ , da izpeljemo zgoraj pojasnjeno

protislovje.

Če MM ∈ , ker množica M vsebuje le takšne (elemente) E , za katere EE ∉ ,

more veljati MM ∉ .

Če MM ∉ , ker M vsebuje vse takšne E , za katere EE ∉ , more veljati

MM ∈ .

Torej vidimo, da je pojem »množica vseh množic« protisloven.


52

C. Wright pojasnjuje, da zato da dobimo Russllov paradoks iz Aksioma V22:

( )( ) ( )( )

↔↔= GxFxxGxxFxxGF ::

^^

,

(Za predikata F in G velja, da so elementi ki zadoščajo predikatu F, enaki

elementom, ki zadoščajo predikatu G natanko tedaj, ko za vsak element x velja, da

pripada predikatu F natanko tedaj, ko pripada predikatu G.)

Slika 3.1: Diagram 1, s katerim si predstavljamo zgornjo formulo.

najprej izpeljemo:

( )( )

=∃ FxxyyF :

^

– »naivno« abstrakcijo za množice –

(Za vsak predikat F obstaja množica y, ki obsega natanko tiste elemente, ki

zadoščajo temu predikatu.)

Slika 3.2: Diagram 2.

22 Pri izpeljavi Russllovega paradoksa iz Aksioma V si bomo pomagali z diagrami, katere bomo tekom diplomskega dela označevali kot slike.

1x •

2x •

y

Fyyxxy ∈∈∃ ;,; 21

• 1x 2x •

3x •

F=G

3,2,1);;(

),,&,,( 321321

=∀∈⇔∈∀⇔

∈∈

iGxFxx

GxxxFxxx

iii


53

in potem vzamemo F za pojem, »ki ni element samega sebe«, to je

( )

−→= GzGxxzG :

^

,23

(Za vsak predikat G je z množica vseh tistih elementov, ki zadoščajo predikatu G,

če kateri element ni v predikatu G, potem množica ni v predikatu G. )


tako pridemo do Russllove množice:

( ) rGzGxxzGz =

−→= ::

^^

.

(r je množica vseh tistih elementov množice z, predikata G, če kateri element iz

množice z ni v predikatu G, potem celotna množica ni v tem predikatu.)


Predpostavimo, da Russllova množica r izpolnjuje ta pogoj na lastne elemente, to

je

23 Množica nima same sebe za element natanko tedaj, ko nima nobene lastnosti, ki je značilna za

vse in samo njene elemente.

z

r

2,1;)(

;;,;, 321

=∀∉⇒∉⇒∉∃

∈∈∈

iGrGzGx

Grrxzzxx

i

1x • 2x •

3x •

1x •

2x •

z

2,1;

;;, 21

=∀∉⇒∉∃

∈∈

iGzGx

Gzzxx

i


54

( )

−→= GrGxxrG :

^

(Za vsak predikat G je r množica vseh tistih elementov, ki zadoščajo predikatu G,

če kateri od teh elementov ni v predikatu G, potem množica r ni v tem predikatu.)


in vzamemo G kot prav ta pogoj. Potem, ker je

Gxxr :^

= , imamo

(r je množica vseh elementov, ki zadoščajo predikatu G.)

Gr− ,

(Množica r ni v predikatu G, ker niso njeni elementi v tem predikatu.)

torej Russllova množica r ne izpolnjuje tega pogoja. Vendar:

( )

=∃ GrGxxrG &:

^

.

(Obstaja predikat G, v katerem je r množica vseh tistih elementov, ki pripadajo

predikatu G in tudi sama pripada predikatu G.)


• 1x 2x •

3x •

r

GrGxxxrxxx ∈⇒∈∈ ),,&,,( 321321

• 1x 2x •

3x •

r

3,2,1;

;;,, 321

=∀∉⇒∉∃

∈∈

iGrGx

Grrxxx

i


55

Opazimo, da pogoj, ki dela to eksistenčno izjavo resnično, mora, po Aksiomu V,

biti enake ekstenzije s tem, na podlagi katerega je bila Russllova množica r

definirana. Zato mora biti r, po vsem, izpolnjena ta zadnja.

Kot smo navedli, je Frege v svojem delu Grundgesetze der Arithmetik podal še

eno izpeljavo Russllovega paradoksa iz Aksioma V, ki je zahtevnejša kot prva.

Tudi pri obravnavi te nanašamo na C. Wrighta. Filozof pravi, da bi, namesto da bi

uporabili standardni simbol množice elementov, »ε «, naredili načrt, kako obstaja

vsaj prima facie pričakovanje podobne antinomije z =N .

Tako najprej uporabimo =N , da dobimo

( )( )( )FxNxyyF :=∃

(Za vsak predikat F obstaja množica y, ki obsega število objektov, ki spadajo pod

predikat F.)


in potem vzamemo F kot prav analogni pogoj z Russllovim,

( )( )FzFxNxzF −→= : ,

(Za vsak predikat F je z množica, ki obsega število objektov, kateri spadajo pod

predikat F, če kateri objekt ni v predikatu F, potem množica z ni v tem predikatu.)

1x 2x

y

FxxFyyxxy ∈⇒∈∈∃ 2121 ,)&,(;


56


dosežemo »nepristno« število:

( )( )FzFxNxzFNz −→= ::

(s je množica vseh tistih objektov množice z, ki niso v predikatu F.)

Slika: 3.9: Diagram 9.

ki je s, število števil, katera ne spadajo pod pojme od katerih števila so. Zdaj

sprašujemo, ali s spada pod njegov določevalni pogoj, to je ali

( )( )FsFxNxsF −→= : .

(Za vsak predikat F je s množica, ki obsega število objektov, kateri spadajo pod

predikat F, če kateri objekt ni v predikatu F, potem množica s ni v tem predikatu.)

1x 2x

z

FsFzFxx

Fsszzxx

∉⇒∉⇒∉

∈∈∈

),(

;;,

21

21

s

1x 2x

z

2,1;

;;, 21

=∀∉⇒∉∃

∈∈

iFzFx

Fzzxx

i


57


Če je tako, potem vzamemo F kot ta pravi pogoj, neposredno dobimo, da se ne

izpolni. Doslej, tako slab kot je bil. Ampak ali lahko izpolnimo drugo polovico?

Imamo:

( )( )FsFxNxsF &:=∃ ,

(Obstaja predikat F, v katerem je s množica, ki obsega število objektov, ki

pripadajo predikatu F in tudi sama pripada predikatu F.)


vendar zdaj se nam naslednji korak ne izpolni. Iz dejstva ne moremo sklepati, da s

spada pod neki pogoj, zaradi katerih primerov je število, ki spada pod točno

njegov prvotni določevalni pogoj, ker v nasprotju s situacijo iz množic tega

nimamo na splošno:

1x 2x

s

)(&),(

;,,

21

21

Fssxx

Fsxx

∈∈

∈

1x 2x

s

2,1;

;;, 21

=∀∉⇒∉∃

∈∈

iFsFx

Fssxx

i


58

( ) ( )( )GxFxxGxNxkFxNxk ↔→== :&: .

(Če je k množica, ki obsega število objektov, ki pripadajo predikatu F in to isto

število objektov pripada predikatu G, potem za vsak element x velja, da pripada

predikatu F, natanko tedaj, ko pripada predikatu G.)


Torej, vse kar izhaja, je dokaz, da s spada pod neki pojem, zaradi katerih primerov

je število; katero, doslej paradoksno, je verjetno dovolj za vsa števila, končna prav

tako kot neskončna.

C. Wright pojasnjuje, da bi mogel nekdo vsekakor dregniti v nepredikativno

naravo tega »dokaza« - dejstvo, da je s določevalni pogoj vzet za položaj znotraj

vrste njegovega lastnega kvantifikatorja. Toda naša sedanja skrb je samo z vidiki

konsistentne formulacije načina, čim bliže duhu Fregejevih logicističnih osnov za

teorijo števil, kot se jo drznemo iti, in ne s posameznostmi optimalne formulacije

(Wright, 1983, str. 156).

C. Wright pravi, da podobna postavka onemogoča poskus razvijanja analogij

cikličnih ekstenzij Russellovega paradoksa. Naj » yx 2∈ « pomeni, da je x

element nečesa, ki je element od y, kar ponazorimo z diagramom na naslednji

način:

1x 2x

k

2,1);;()&(

;, 21

=∀∈∀⇔∈∀⇒∈∈

∈

iGxFxxGkFk

kxx

iii


59


» yx 3∈ « pa pomeni, da je x element nečesa, ki je element nečesa, ki je element

od y in je ponazorjen na naslednji način:


Nato vsakega od pogojev, xx 2∉ ,

(Ni res, da je x element nečesa, ki je element od x.)

xx 3∉ , itd., vpelje po naivni abstrakciji v paradoksno množico. Da vzamemo

najpreprostejši primer, naj bo

xxxa 2^

: ∉= ,

(a je množica vseh tistih elementov, za katere velja, da ni res, da so elementi

nečesa, ki je element njih samih.)

da je ( )( )xyyxyx ∉→∈:^

;

(Množica vseh tistih elementov, kjer za vsako množico y velja, da če je kateri

izmed elementov množice x element od množice y, potem množica y ni

element od množice x.)

A B

yxyBBAAx 3)&)&(( ∈⇒∈∈∈

x•

y

A

y

yxyAAx 2)&( ∈⇒∈∈

x•


60

)&()(

;,;;

1

21

xyyxyx

yxxxxy

∉∈⇒∈

∈∈∀ Slika 3.15: Diagram 15.

in predpostavimo, da aa ∈ . Nato

( )( )ayyay ∉→∈ .

(Za vsako množico y velja, da če je množica a element od množice y, potem

množica y ni element od množice a.)

)()(

;,;,; 321

ayya

yxaaxxy

∉⇒∈

∈∈∀ Slika 3.16: Diagram 16.

Posebno zato aaaa ∉→∈ .

(Če je množica a element od množice a, potem množica a ni

element od množice a.)

Torej aa ∉ . Zato ( )( )ayyay ∈∈∃ &

(Obstaja množica y, kjer je množica a element od množice y in

množice y element od množice a.)

a

y

1x • 2x •

3x •

y

1x •

a

x • 2x


61

- naj bo y enak b. Odkar ab ∈ , imamo ( )( )byyby ∉→∈ ;

(Za vsako množico y velja, da če je

množica b element od množice y, potem

množica y ni element od množice b.)

torej v podrobnosti, baab ∉→∈ . Zato ba ∉ . Ampak ba ∈ . Torej aa ∉ je

pripeljalo do protislovja, zato moramo sklepati aa ∈ , … itd. C. Wright trdi, da ne

izgleda, kot da bi analogni paradoks izhajal iz =N , ne glede na to, kako je

konstruirana potrebna analogija »∈«. Zlasti, če se pravilno oprimemo različice, ki

je pravkar uporabljena v diskusiji Russellovega paradoksa, jemljemo x»∈«y kot:

( )( )FxFzNzyF &:=∃ ,

(Obstaja predikat F, v katerem je y množica, ki obsega število objektov, ki

pripadajo predikatu F in tudi množica x pripada predikatu.)

)(&),(

;,,

Fxyxz

Fyxz

∈∈

∈ Slika 3.17: Diagram 17.

potem je število n, ustrezno paradoksni množici a, naslednje:

( ) ( )( ) ( )( )[ ][ ]FyFzNzxFFxFzNzyFyNx &:&:: =∃−→=∃ .

(n je množica vseh tistih objektov iz množice x, kjer za vsako množico y velja, da

če obstaja predikat F, za katerega množica y obsega število objektov, ki spadajo

pod ta predikat, pod katerega spada tudi množica x, potem ni res, da obstaja

predikat F, za katerega množica x obsega število objektov, ki spadajo pod

predikat F in pod katerega spada tudi množica y.)

x

1x •

y

z


62

)&,())(&),,((

;,;

2121

21

FyxzzFxyxzz

nzzy

∈∈−⇒∈∈

∈∀ Slika 3.18: Diagram 18.

Nato predpostavimo, da n»∈«n.

(Množica n je element sama sebe.)

Potem ( )( )FnFzNznF &:=∃ .

(Obstaja predikat F, v katerem je n množica, ki obsega število objektov, ki

pripadajo predikatu F in tudi sama pripada temu predikatu.)


Toda ker nismo podali razloga za predpostavko, da je ta F resničen iz nekaterih

pojmov kot predikat, na podlagi katerega je bil n definiran, ne moremo sklepati,

da se n izvrši zadnji; tako je iskanje polno nevšečnosti še preden se začne.

C. Wright navede, da je samoumevni podvig namesto tega vpeljati x»∈«y kot

1z 2z

n

)(&),(

,,

21

21

Fnnzz

Fnzz

∈∈

∈

1z 2z

y

n

x


63

( )( )FxFzNzyF →= : , tako da n postane:

(Za vsak predikat F velja, da je y množica objektov, ki spadajo pod ta predikat, če

kateri izmed objektov spada pod predikat F, potem množica x spada pod ta

predikat.)

)&()&,( FzFxFyyzx ∈∈⇒∈∈ Slika 3.20: Diagram 20.

( ) ( )( ) ( )( )[ ][ ]FyFzNzxFFxFzNzyFyNx →=−→→= ::: .

(n je množica tistih objektov množice x, kjer za vsako množico y velja, da če je za

vsak predikat F, y množica objektov iz tega predikata in če kateri izmed objektov

spada pod ta predikat, potem tudi množica x spada pod ta predikat, če to velja,

potem ni res, da je za vsak predikat F množica x sestavljena iz objektov tega

predikata, kajti če kateri izmed objektov spada pod ta predikat, potem tudi

množica y spada pod ta predikat.)

))()&,(())()&,,((; 2121 FyFxxzzFxFyyzzxy ∈⇒∈∈−⇒∈⇒∈∈∀


1z 2z

y

n

x

x

1x •

y

z


64

Zdaj je n»∈«n: ( )( )FnFzNznF →= : .

(Za vsak predikat F je n množica, ki obsega število objektov, ki

spadajo pod ta predikat, če neki objekt spada pod ta predikat,

potem množica n spada pod ta predikat.)


Zato z jemanjem določevalnega pogoja za n kot F dobimo

( ) ( )( ) ( )( )[ ]FyFzNznFFnFzNzyFy →=−→→= :: ;

))()&,(())()&,,((; 2121 FyFnnzzFnFyyzzny ∈⇒∈∈−⇒∈⇒∈∈∀


torej, zlasti

( )( ) ( )( )[ ]FnFzNznFFnFzNznF →=−→→= :: .

1z 2z

n

y

1z 2z

n

2,1;

;;, 21

=∀∈⇒∈∃

∈∈

iFnFz

Fnnzz

i


65

Zato ( )( )FnFzNznF →=− : ; to je, n»∉«n. Ampak, kako bi se zdaj vrnili nazaj

in zaključili paradoks? Imamo to ( )( )FnFzNznF −=∃ &: ; tako predpostavimo,

da smo podali, da je bil ustrezen F enake ekstenzije z n določevalnim pogojem.

Potem lahko iz –Fn sklepamo:

( ) ( )( ) ( )( )[ ]FyFzNznFFnFzNzyFy →=→→=− :: ;

to je

( ) ( )( ) ( )( )[ ]FyFzNznFFnFzNzyFy →=→=∃ :&: .

(Obstaja množica y, kjer za vsak predikat F velja, da sta y in n množici, ki

obsegata število objektov, ki spadajo pod ta predikat. Če kateri izmed objektov

množice y spada pod predikat F, potem tudi množica n spada pod ta predikat in če

kateri izmed objektov množice n spada pod predikat F, potem tudi množica y

spada pod ta predikat.)

Dopuščamo, da bo b ustrezen y, tako da

( )( ) ( )( )FbFzNznFFnFzNzbF →=→= :&: ,

imamo po desni strani konjunkcije, da b izpolnjuje n, določevalni pogoj, to je

( ) ( )( ) ( )( )[ ]FyFzNzbFFbFzNzyFy →=−→→= :: .

Zato, zlasti ( )( ) ( )( ).:: FnFzNzbFFbFzNznF →=−→→=

Ampak zdaj imamo antecedent od tega, ki je zgoraj združen s protislovjem

njegove posledice. Zato n»∈«n vodi v protislovje in krog paradoksa je sklenjen.

Kakorkoli, postavka je vsekakor, da nimamo razloga za mnenje in tudi ne nekega

jasnega pričakovanja za dokazovanje, da je F, kateri dokazuje:

( )( )FnFzNznF −=∃ &: ,

(Obstaja predikat F v katerem je n množica, ki obsega število objektov, ki

pripadajo predmetu F in ni res, da sama pripada temu predikatu.)

enake ekstenzije z n določevalnim pogojem. Zato nam ponovno manjka točno to:

( ) ( )( )GxFxxGxNxnFxNxn ↔→== :&: .

(Če je n množica, ki obsega enako število objektov, ki pripadajo predikatoma F in

G, potem za vsak x velja, da pripada predikatu F natanko tedaj, ko pripada

predikatu G.)


66


Toda brez te predpostavke ni postopka za posnemanje 2∉ paradoksa.

Opazimo, da ima C. Wrightov skicirani sistem veliko skupnega z »naivno« teorijo

iz Fregejevega dela Grundgesetze der Arithmetik. Ta je namreč prišla na dan v

paradoksu: posamezne spremenljivke se vrstijo nediskriminatorno čez vse

objekte; pojmi in relacije izraženi s pomočjo kvantifikatorjev višjega reda so bili

domnevni, kjer primerni spadajo znotraj vrste teh istih: in so prisotne analogije v

Aksiomu V in naivni abstrakciji (Wright, 1983, str. 158).

1x 2x

n

2,1);;()&( =∀∈⇔∈∀⇒∈∈ iGxFxxGnFn iii


67

ZAKLJUČEK

V zaključku bomo povzeli najpomembnejše ugotovitve, ki smo jih dognali pri

proučevanju študijskega gradiva in izdelavi diplomskega dela.

Z rekonstrukcijo Fregejevega logicizma smo skoraj popolnoma potrdili

izhodiščno hipotezo diplomskega dela. Predpostavljali smo namreč, da je

matematika za Fregeja resnična, to pa nas je vodilo do pomena abstraktnih

objektov, natančneje posameznih števil. Predpostavko o Fregejevi resničnosti

matematičnih izjav smo dokazali, ko smo sledili C. Wrightovi interpretaciji

Fregejeve logične izpeljave Peanovih aksiomov. Tam smo opazili, da se Frege o

resničnosti matematičnih izjav, kot so Peanovi aksiomi, kardinalna števila, ne

sprašuje, vendar jih preprosto uporabi za izpeljavo matematike iz logike.

Pri interpretaciji Fregejeve definicije števil smo ugotovili, da so števila za zanj

abstraktni objekti, ki jih uvedemo s pomočjo abstrakcije. Lastnosti, ki jih filozof

pripiše številom, so naslednje:

1. So nezaznavni, nečutni in nenazorni.

2. Dojamemo jih lahko le z razumom.

3. Ne eksistirajo v času in prostoru.

4. So relacijske lastnosti.

Abstrakcijo pa smo v prvem poglavju diplomskega dela razložili kot pogojnik, s

katerim uvedemo abstraktne objekte.

V zadnjem poglavju diplomskega dela smo podali C. Wrightovo interpretacijo

dveh izpeljav Russllovega paradoksa iz Aksioma V v Fregejevem delu

Grundgesetze der Arithmetik. Kot osnovo za Russllov dvom v Fregejev logicizem

smo navedli Russllov dvom v resničnost matematičnih izjav. Russell se namreč ne

strinja s Fregejem, ki misli, da lahko samoumevno odgovorimo na vprašanje, kot

je na primer: »Kako razumemo logične objekte?« (Zalta, 2009).


68

Tekom diplomskega dela smo nekatere definicije in nejasnosti ponazorili z zgledi.

V drugem in tretjem poglavju smo zahtevnejše formule predstavili z diagrami,

hkrati pa smo pod formulami (v oklepaju) zapisali našo interpretacijo teh formul.


69

LITERATURA

1. Aspray, W. in Kitcher, P. (1988). History and Philosophy of Modern

Mathematics. Minneapolis: University of Minnesota Press.

2. Cantor, G. (2007). Contributions to the founding of the theory of

transfinite numbers. New York: Donver Publications.

3. Dedekind, R. Essays on the Theory of Numbers. New York: Dover

Publications.

4. Dummett. M. (1991). Frege: philosophy of mathematics. Great Britain:

Harvard University Press Cambridge.

5. Frege, G. (2001). Osnove aritmetike in drugi spisi. V B. Cerkovnik. in Z.

Kobe. (Ur.), Ljubljana: Krtina.

6. Frege, G. (2007). Begriffsschrift und andere Aufsätze. V I. Angelelli. (Ur.),

Germany: Georg Olms Verlag.

7. Frege, G. (1999). Begriffsschrift. V J. von Heijenoort (Ur.), USA: Harvard

College.

8. Hersh, R. (1997). What is Mathematics, Really? New York: Oxford

University Press.

9. Kant, I. (2001). Kritika čistega uma ¼. Ljubljana: Analecta.

10. Kant, I. (1999). Prolegomena. Ljubljana: DZS.

11. Prijatelj, N. (1964). Matematične strukture I. Ljubljana: Mladinska knjiga.


70

12. Russell, B. (1993). Introduction to mathematical philosophy. New York:

Dover Publications.

13. Shapiro, S. (2000). Thinking about Mathematics. New York: Oxford

University Press.

14. Šporer, Z. (1984). Oh, ta matematika. Ljubljana: DMFA.

15. Šuster, D. (2000). Simbolna logika. Maribor: Pedagoška fakulteta.

16. Šuster, D. (1998). Moč argumenta. Logika in kritično razmišljanje.

Maribor: Pedagoška fakulteta.

17. Ule, A. (1982). Osnovna filozofska vprašanja sodobne logike. Ljubljana:

Cankarjeva založba.

18. Uršič, M. in Markič, O. (1997). Osnove logike. Ljubljana: Filozofska

fakulteta.

19. Wright, C. (1983). Frege’s conception of numbers as objects. Great

Britain: Aberdeen University Press.

20. Zalta, E. N. (1996). Principia Metaphysica. Pridobljeno 1.7.2009, iz

http://mally.stanford.edu/principia/principia.html

21. Zalta, E. N. (2009). Frege’s Logic, Theorem, and Fundations for

Arithmetic. Pridobljeno 2.7.2009, iz

http://plato.stanford.edu/entries/frege-logic/


71

Fregejeva propozicija 124: Če je R ena-ena

relacija, tako da Rab in acR* , potem, če b in

c nista identična, bcR* .

Lema 2: P je ena-ena.

Lema 51211: Za poljubna tri naravna

števila, x, y, z; če je x neposredno pred y

in predniško pred, z, potem je bodisi y

predniško pred z ali pa sta y in z

identična.

Aksiom V: Indukcija.

Lema 4: Tranzitivnost

predniške relacije.

Lema 3: Če Rab, potem

abR* .

Lema 51211: Za poljubna tri naravna

števila, x, y, z; če je x neposredno

pred y in predniško pred, z, potem je

bodisi y predniško pred z ali pa sta y

in z identična.

Lema 4: Tranzitivnost predniške

relacije.

Lema 51212: Poljubni pari

različnih naravnih števil so taki,

da je eden predniško pred

drugimi.

Lema 3: Če Rab, potem abR* .

Lema 52: Nobeno naravno število

ni predniško pred njim samim.

(Dokaz pod črto.)

Lema 5121

PRILOGA

DREVO ZA SKICO DOKAZA AKSIOMA II


72

Definicija 0

0 izpolnjuje lemo 522.


Definicija od P

Če naravno število izpolnjuje lemo 522,

tako naredi karkoli, da je neposredno

pred njo.

Definicija predniške relacije, vzamemo R kot

P in Fx kot: če je a število F-jev, in x število

G-jev, potem so lahko F-ji 1-1 povezani z

neutemeljeno nepopolno-zbirko G-jev.

Lema 522: Nobeno naravno število ni

število poljubnega pojma, Fx,

katerega primeri so lahko v 1-1

povezani z neutemeljeno nepopolno-

zbirko samih sebe.

Lema 521: Če je x predniško pred y

in je x število F-jev, in y število G-

jev, potem so lahko F-ji v 1-1

povezani z neutemeljeno

nepopolno-zbirko G-jev.

Lema 5121: Če sta x in y naravni števili in

je x neposredno pred y, potem so naravna

števila, katera so predniška pred x ali pa so

identična z x, so prav tako naravna števila,

katera so predniška pred y.

Lema 52: Nobeno

naravno število ni

predniško pred njim

samim.

Lema 512 Lema 52


73

Aksiom IV: 0 nima

neposrednih

predhodnikov.

Lema 5111: Če sta x in y naravni

števili in je x predniško pred y,

potem je neko naravno število

neposredno pred y.

Definicija predniške relacije, vzamemo R kot P in Fx kot:

če je a število F-jev, in x število G-jev, potem so lahko F-

ji 1-1 povezani z neutemeljeno nepopolno-zbirko G-jev.

Lema 511: 0 izpolnjuje lemo

51.


Lema 512: Če naravno število

izpolnjuje lemo 51, počne karkoli,

ki je neposredno pred njo.

Lema 51: Vsako naravno število je

število naravnih števil, predniško

predhodnega števila.

Lema 52: Nobeno naravno število

ni predniško pred njim samim.

Lema 5: Vsako naravno število, k,

neposredno pred številom spada k pojmu:

x predniško pred k ali x je enak k.

Aksiom II: Vsako naravno število ima

naslednika, kateri je naravno število.

Documents

Iris Merkac FILOZOFIJA koncno · KLJU ČNE BESEDE: filozofija matematike, aritmetika, abstraktni objekti, Fregejev logicizem, Peanovi aksiomi, Aksiom V, Russllov paradoks . FREGE’S