INTEGRALI IMMEDIATI – FRAZIONARI

1.      1

1+ 𝑥!  𝑑𝑥 = arctan 𝑥 + 𝑐

   

2.      1

1− 𝑥!  𝑑𝑥 = arcsin 𝑥 + 𝑐

   

3.      𝑥

𝑥! + 3  𝑑𝑥 = 𝑥 𝑥! + 3 !!! 𝑑𝑥 =

12 2𝑥 𝑥! + 3 !!!𝑑𝑥 = 𝑥! + 3

!! + 𝑐 = 𝑥! + 3+ 𝑐

   

4.      𝑥

2− 𝑥!  𝑑𝑥 = 𝑥 2− 𝑥! !!! 𝑑𝑥 = −

12 −2𝑥 2− 𝑥! !!!𝑑𝑥 = − 2− 𝑥! + 𝑐

   

5.      1

25+ 4𝑥!  𝑑𝑥 =14

1254 + 𝑥!

𝑑𝑥 =14 ∗

25  arctan

2𝑥5 + 𝑐 =

110  arctan

2𝑥5 + 𝑐  

Per risolvere questo integrale si raccoglie il coefficiente 4 di 𝑥! per applicare la formula integrale dell’arctangente: !

!!!!!𝑑𝑥 = !

!arctan !

!+ c

 

6.      1

−3𝑥! + 4𝑥 − 1  𝑑𝑥 =

13

1

−𝑥! + 43 𝑥 −13

𝑑𝑥 =13

1

19− 𝑥 − 23

!𝑑𝑥  

           =13arcsin

𝑥 − 2313

+ 𝑐 =13arcsin 3𝑥 − 2 + 𝑐

Per risolvere questo integrale si opera sul radicando di 2° grado per far comparire un quadrato di binomio con il coefficiente della x unitario. Dopo questa procedura si applica la formula integrale dell’arcseno !

!!!!!𝑑𝑥 = arcsin !

!+ 𝑐

7.      1

𝑥! + 2𝑥 + 5𝑑𝑥 =1

𝑥 + 1 ! + 4𝑑𝑥 =12 arctan

𝑥 + 12 + 𝑐

Per risolvere questo integrale si opera sul radicando di 2° grado per far comparire un quadrato di binomio. Dopo questa procedura si applica la formula integrale dell’arctangente !

!!!!!𝑑𝑥 =

!!arctan !

!+ c

8.      1

2 cos! 𝑥 + sin 𝑥 cos 𝑥 + sin! 𝑥 𝑑𝑥 =1

2+ tan 𝑥 + tan! 𝑥    1

cos! 𝑥 𝑑𝑥 =

 

=1

tan 𝑥 + 12!+ 74

   1

cos! 𝑥 𝑑𝑥 =27arctan

tan 𝑥 + 1212

+ 𝑐 =27arctan(2 tan 𝑥 + 1)+ 𝑐

Per risolvere questo integrale si opera sul radicando di 2° grado per far comparire un quadrato

di binomio. Dopo questa procedura si applica la formula integrale dell’arctangente !! !!!! ! ! ! 𝑑𝑥 =

!!arctan !(!)

!+ c

9.      6𝑥 + 5

3𝑥! + 5𝑥 + 2𝑑𝑥 = 6𝑥 + 5 3𝑥! + 5𝑥 + 2 !!!𝑑𝑥 =

1

1− 123𝑥! + 5𝑥 + 2 !!!! + 𝑐  

             = 2 3𝑥! + 5𝑥 + 2+ 𝑐   In questo integrale il numeratore è la derivata del radicando. Si applica la formula integrale

𝑓 𝑥 !  𝑓! 𝑥 𝑑𝑥 = ! ! !!!

!!!+ c

10.      1

2𝑥! − 2𝑥 + 1𝑑𝑥 =12

1

𝑥! − 𝑥 + 12𝑑𝑥 =

12

1

𝑥 − 12!+ 14

𝑑𝑥 =  

               =12 ∗ 2 arctan 2 𝑥 −

12 + 𝑐 = arctan 2𝑥 − 1 + 𝑐    

Per risolvere questo integrale si opera sul radicando di 2° grado per far comparire un quadrato di binomio con il coefficiente della x unitario. Dopo questa procedura si applica la formula integrale dell’arctangente !! !

!!! ! ! ! 𝑑𝑥 =!!arctan !(!)

!+ c