Informe Ondas Estacionarias en Una Cuerda 1223073689070818 8

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LABORATORIO DE FISICA CALOR Y ONDAS, SEMESTRE II 2008

ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA

Castillo Sierra Rafael♦, Ríos Nupan Luís

♦

Universidad del Norte

(Recibido 03 de Octubre de2008, Aceptado 03 de Octubre de 2008, Publicado 03 de Octubre de 2008)

RESUMEN

En este laboratorio se analiza el comportamiento de una onda estacionaria en un modelo real de laboratorio

donde se nota la relación entre la frecuencia y la tensión, la velocidad de la onda y la tensión, la longitud de la

cuerda y la frecuencia; además de otros aspectos importantes en el estudio del movimiento de una onda que no

ayudaron a comprender mejor fenómenos cotidianos asociados con dicho tema como lo son el análisis de laimportancia de las cuerdas en los instrumentos musicales, el eco; entre otras.

PALABRAS CLAVES: frecuencia, tensión, onda estacionaria, longitud de onda, velocidad de la onda,

numero de usos, numero de segmentos.

ABSTRACTIn this laboratory the behavior of a standing wave in a real model of laboratory is analyzed where the relation

between the frequency and the tension notices, the speed of the wave and the tension, the chord length and the

frequency; besides other important aspects in the study of the movement of a wave that helped us to

include/understand better associate daily phenomena with this subject as they are it the analysis of the

importance of the cords in the musical instruments and the echo; among others.

Key Words: frequency, tension, standing wave, wavelength, speed of the wave, I number of uses, I number of

segments.

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MARCO TEORICO

Para esta experiencia se necesitan conocer unos conceptos muy importantes como son:

• Onda estacionaria: son aquellas que se forman por una superposición de dos ondas que viajan en

sentido contrario y que tienen la misma velocidad amplitud y longitud de onda; además de que sunodos permanecen inmóviles.

( ) ( ) t senkx Asent xu ω =,

• Frecuencia de una onda estacionaria: se define como el número de oscilaciones por unidad de

tiempo para el caso de las ondas estacionarias la frecuencia tiene relación directa con la tensión quese le ejerce a la cuerda y relación inversa con la longitud de la cuerda y la densidad lineal de masa.

• Velocidad de la onda en una cuerda tensionada: para un sistema conformado por una cuerdatensionada con una frecuencia f se observa que se debe tener en cuenta la masa por unidad de

longitud de masa expresada por así que estos dos factores están relacionados de la siguiente

forma:

• Masa por unidad de longitud: pararecrear una onda con una cuerda debemos tener en cuenta la masa de la cuerda; para esto utilizam

la relación de masa por unidad de longitud. Ya que el segmento forma parte de una circunferencia

subtiende un ángulo obteniendo la siguiente relación:

• Tensión: para una onda observada en una cuerda debemos tener en cuenta la tensión de esta ya que

existe una relación inversa entre la tensión ejercida y el numero de segmentos de la onda de la

siguiente forma:

µ

22

=

n

Lf T n

ANÁLISIS DE DATOS

2




Pregunta 1.¿Aumenta o disminuye el número de segmentos cuando la tensión de la cuerda aument

y la frecuencia permanece constante? Explique

Cuando la frecuencia permanece constante y la tensión de la cuerda aumenta disminuyen el número d

segmentos. Sabiendo que:

µ

T

L

n f n

2=

Despejamos la tensión y nos queda lo siguiente:

µ

22

=

n

Lf T n

De esta manera vemos que hay una relación inversa entre la tensión y el cuadrado del número d

segmentos, cuando mantenemos la frecuencia constante. Así que si la tensión aumenta el numero d

segmentos será menor en cambio si disminuye aumentaran el numero de segmentos.

Lo anterior también lo podemos comprobar observando la tabla 1 y la grafica de Tensión vs. Numero d

husos.

Figura 1. Tensión vs. Numero de husos.

3




En esta grafica se muestra la relación entre la tensión y

numero de husos, es claro que a medida que se diminuye

tensión de la cuerda aumenta el numero de husos.

La grafica azul representa la función tensión la cual depen

de los husos y los punto en colores representan los da

experimentales que se obtuvieron en la experiencia.

datos teóricos

husos (n) Masa ( kg) Tensión(N)

1 0,519 5,0868

2 0,1297 1,2717

3 0,0576 0,5652

4 0,0324 0,3179

5 0,0207 0,2034

6 0,01441 0,1413

7 0,0105 0,1038

Pregunta 2¿Aumenta, disminuye o permanece igual la velocidad de las ondas cuando la tensió

aumenta y la frecuencia se mantiene constante?

La velocidad de propagación de la onda no depende de la frecuenc

si no de la tensión en este caso. De esta manera cuando la tensió

aumenta hay un cambio en la velocidad. Existe una relación entre

tensión y la velocidad por medio de:

T v =

Tabla 1: Tensión en función del número

de segmentos o husos

Frecuencia: 30Hz

Longitud: 1.5m

Segmentos

o husos

( n)

Masa ( kg) Tensión(N)

1 0.479 4.6942

2 0.129 1.2642

3 0.059 0.5782

4 0.029 0.284

5 0.02 0.1960

Densidad lineal de masa:

41028.6 −× Kg/m

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Entonces decimos que si la tensión aumenta la velocidad aumentara ya que su

relación es directamente proporcional. Lo podemos demostrar realizando algunos cálculos utilizando

información de la tabla 1.

El la grafica se muestra mas claramente la variación de la velocidad con la tensión, a mayor tensión

mayor va a ser la velocidad de propagación de la onda en la cuerda.

Figura 2. Velocidad vs. Tensión

Pregunta 3.¿A partir de la Tabla 1 que relación puedes inferir entre la tensión y el número d

segmentos o husos?

A medida que la tensión aumenta el número de husos que se pueden observar en la cuerda es cada ve

menor. Observando la tabla o el grafico podemos inferir que mientras más grande sea la tensión menor v

a ser el número de husos que aparecen. Por lo tanto hay una relación inversa entre la tensión y el núme

de husos.

Pregunta 4.¿Aumenta o disminuye el número de segmentos cuando la frecuencia de vibración de

cuerda aumenta y la tensión permanece constante?

Por la relación:

T n f n =

Entonces hay una relación directa entre el número d

segmentos y la frecuencia de vibración de la cuerda. Si

frecuencia aumenta el número de segmentos tambi

aumentara siempre y cuando la tensión permanezca constante

Tabla 2: Frecuencia en funcióndel número de husos

Tensión: 4.7 N

Longitud: 1.5m

Número

de husos

Frecuencia

( Hz)

Longitud

de onda

(m)

0 0 0

1 30 3

2 58 1.53 90 1

4 120 0.75

5 150 0.6

5




Pregunta 5. ¿Aumenta, disminuye o permanece igual la velocidad de las ondas cuando la frecuenci

aumenta y la tensión permanece constante?

Por la relación:

µ

T v =

Vemos que la velocidad no depende de la frecuencia, si no de la tensión; y si la tensión permanec

constante entonces no habrá variación alguna en la velocidad de propagación de la onda. Cuando s

dedujo la ecuación diferencial que define a una onda senoidal unidimensional, la velocidad con la que propaga la onda solo depende de un factor de fuerza, la cual es la tensión, dividido entre un factor d

masa, que en este caso es la densidad lineal de masa. No importa la frecuencia que la onda tenga

velocidad de propagación siempre es la misma.

Pregunta 6. ¿A partir de la Tabla 2 que relación puedes inferir entre la frecuencia y el número d

segmentos o husos?

La relación que existe entre la frecuencia y el número de segmentos es directamente proporcional, ya qu

por la relación:

1nf f n =

Esta relación dice dos cosas, la primera es que la frecuencia de un modo normal de oscilación es un

múltiplo entero positivo de la frecuencia fundamental y la segunda es a medida que aumenta n la

frecuencia también lo hace, la grafica de la frecuencia versus numero de husos es una línea recta que pas

por el origen.

Pregunta 7.¿Aumenta o disminuye la longitud de onda de la cuerda al aumentar la frecuencia?

La frecuencia de vibración de la cuerda la podemos escribir como:

µ λ

T f

n

n

1=

Notamos que existe una relación inversa entre la frecuencia y la longitud de onda. De manera que

aumenta la frecuencia disminuya la longitud de onda.

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Esto se nota en la tabla 2, a medida que aumenta la frecuencia, la longitud de onda disminuye.

Pregunta 8. ¿A partir de la Tabla 2 que relación puedes inferir entre la longitud de onda y l

longitud de la cuerda?

Concepciones de los estudiantes

1. ¿Puedes imaginar que determina la velocidad de un pulso en una cuerda?

Los pulsos de una cuerda los determina la densidad lineal de masa de la cuerda y la tensión a la cual es

sometida, no es lo mismo ejecutar un pulso en un hilo de nylon que en una cabuya.

2. ¿La velocidad de una partícula de la cuerda es igual a la velocidad de la onda? Explique.

La velocidad de propagación de una onda se halla por medio de la ecuación diferencial que define una

onda la cual es:

µ

T v =

Pero la velocidad de una partícula ubicada en una posición x de la cuerda esta dado por:

( ) )cos()()()( t kx Asent senkx Asent

ω ω ω =∂

∂

Esta velocidad es perpendicular al desplazamiento de la onda, esto quiere decir que la velocidad de

propagación es perpendicular a la velocidad de las partículas en la cuerda, por lo tanto estas velocidades

no son las mismas.

3. Se generaron ondas estacionarias resonantes en una columna de aire confinada en una tubo ¿S

pueden generar ondas estacionarias resonantes en una cuerda?

Cuando una cuerda se pone a vibrar esta llega un momento en el cual se presenta un patrón definido d

husos simétricos, esto indica que las ondas en una cuerda están resonando, es decir, la onda que viaja a l

derecha tiene la misma frecuencia de la onda de la izquierda, formando un patrón simétrico en la cuerd

las frecuencias resonantes son las frecuencias que surgen en los distintos modos de la cuerda. Cada mod

de oscilación posee una frecuencia de resonancia, la cual aumenta con el número de husos que aparecen

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4. Algunas cuerdas de guitarra o de piano tienen enrollado un alambre o una cinta de met

alrededor de ellas ¿Cuál es su finalidad?

Algunas cuerdas de guitarra o de piano tiene enrollado un alambre o cinta de metal para aumentar s

densidad lineal de masa, con esto lo que se busca es que dicha cuerda genere sonidos mas graves que l

que produciría sin dicho alambre enrollado.

5. En una onda estacionaria en una cuerda es cero la densidad de energía en los nodos? Explique.

Para responder a la pregunta analicemos las siguientes ecuaciones:

( )22

)cos()(2

1

2

1t kx Asen

t

yU K ω ω µ µ =

∂∂=

( ) 2

2

)()cos(2

1

2

1t senkxkA F

x

y F U P ω =

∂∂=

La energía cinética en cualquier punto de un onda depende de su movimiento, un nodo no se mueve por

lo tanto no posee energía cinética.

Otra manera de analizarlo es: los nodos están ubicados en los lugares en los cuales el 0)( =kx sen , es

decir en los lugares en los cuales:

,...1,0, == nk

n x

π

Reemplazando esto en la formula de la energía cinética, el resultado es cero, es decir, la energía cinética

de los nodos es cero.

De manera similar se procede con la energía potencial, se sabe donde los nodos están ubicados,

reemplazado estos valores en la ecuación de energía potencial se obtiene lo siguiente:

( ) 2)(

2

1t kAsen F U P ω =

La energía potencial en los nodos solo se hace cero en los tiempos en los cuales:

,...1,0, == nn

t ω

π

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En conclusión los nodos poseen energía potencial en intervalos de tiempos en los cuales los límites de lo

intervalos están dados por:ω

π n

6. ¿Por qué los trastes de la guitarra no están uniformemente espaciados?

A partir del traste numero 12 de una guitarra acústica se comienza a disminuir el espacio entre ello

debido a que entre mas nos acercamos a la caja de resonancia el sonido varia con mayor amplitud lo qu

permite al músico tocar tonos uniformes; si los traste estuviesen separados a la misma distancia;

músico perdería la entonación.

7. ¿ Porque los instrumentos de cuerda son huecos?¿qué papel juega la forma del cuerpo d

un instrumento

En los instrumentos de cuerda son huecos por que cumple la función de amplificar el sonido y es un factor

decisivo en el timbre del instrumento, siendo importante la calidad de la madera, el número de piezas conlas que esté hecha la caja de resonancia y su estructura. Los instrumentos que cubren rangos de sonidos

graves, como el contrabajo o el violonchelo, necesitan una caja de resonancia mucho mayor que el resto, E

importante que la tapa inferior sea de una madera blanda, esto es para que vibre con facilidad.

CONCLUSION

1. A partir de la gráfica de la tensión en función del número de husos ¿cuál es el modelo matemático quemejor relaciona estas cantidades físicas?De la relación de la frecuencia en los modos normales se saca la siguiente:

µ

22

=

n

Lf T n

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Este es el modelo matemático que mejor relaciona la tensión con el número de husos, se puede apreciar en la

figura 1 la representación grafica de esta relación.Se nota que la relación es inversa, es decir que cuando n aumenta la tensión disminuye.

2. A partir de la gráfica de la frecuencia en función del número de husos ¿cuál es el modelo matemáticoque mejor relaciona estas cantidades físicas?

La ecuación:

µ

T

L

n f n

2=

Es la que mejor describe el comportamiento de la grafica de frecuencia versus

número de husos, la gráfica es una línea recta la cual su pendiente es:

µ

T

L f

dn

df

2

11 ==

La pendiente es la frecuencia en el estado fundamental, esto quiere decir que lasfrecuencias posteriores siempre van a ser mayores que la fundamental.

Figura 3. Frecuencia vs. n.

3. A partir de los datos registrados en la Tabla 2 ¿Qué relación puedes establecer entre la longitud de lacuerda y la longitud de onda?

λ

π π 2==

L

n K n →

λ

π π 2=

L

n

Si despejamos L nos queda:

2

λ n L =

Esta relación nos indica que la longitud de la cuerda siempre es un múltiplo entero de medias longitudes de

onda, como la longitud de la onda es constante y además como n aumenta, para mantener la igualdad la

longitud de la onda debe disminuir proporcionalmente a como aumente n.4. A partir de los modelos matemáticos hallados en las preguntas 1 y 2 de esta sección ¿cómo determinasla densidad lineal de la cuerda? ¿Qué factores físicos explican el error cometido?La densidad lineal de masa se puede hallar de la siguiente manera:

µ

22

=

n

Lf T n →

2

2

)2( n Lf

Tn= µ

10




µ λ

T f n

1= → 2)( n f

T

λ µ =

Analizando las formulas se puede decir lo siguiente:

Para hallar la densidad lineal de masa se fija una tensión, luego escoger un modo normal de oscilación (n=1,2,…) y luego se procede a hallar la densidad, para mayor exactitud se hace varias veces el calculo con distintos

modos de oscilación.

5. Suponga que una cuerda 1 es dos veces más densa que la cuerda 2, pero ambas tienen la misma tensióy la misma longitud. Si cada una de las cuerdas está vibrando en su modo fundamental ¿qué cuerda

vibrará con la mayor frecuencia?Sean:

2

1

2

2

2

1

µ

µ

T

L

n f

T

L

n f

n

n

=

=

Las frecuencias de cada una de las cuerdas, la relación entre sus densidades es:

21 2 µ µ =Cada una de las cuerdas vibra en su modo fundamental:

2

1

1

1

2

1

2

1

2

1

µ

µ

T

L f

T

L f

=

=

Para hallar la relación entre las frecuencias, se despeja L en cada relación y se igualan ya que las dos cuerdas

poseen la misma longitud:

211121

2

1

2

1

µ µ

T

f

T

f =

11




21 112

2 f f =

Esta relación nos indica que la frecuencia fundamental de la cuerda 1 es menor que la frecuencia fundamental

de la cuerda 2.

Lo cual es razonable ya que la cuerda 1 es mas densa y por ende la frecuencia a la que vibra va a ser menor qu

la frecuencia de la cuerda 2.

En un sistema conformado por una cuerda de nylon atada de un extremo a una fuente de vibración variable ydel otro extremo someterla a varias masas y con la ayuda del software dataestudio pudimos notar que cumple

las condiciones para producir ondas; al estudiarlas nos dimos cuenta de que se asemejaban mucho al modeloideal y al variarle el peso y la frecuencia pudimos notar los diferentes tipos de ondas que se presentan en lanaturaleza y que por ser invisibles no la podemos ver. Pero gracias al laboratorio hecho pudimos hacernos

ideas mas claras de ellas.

REFERENCIASSears, Zemansky, Young y Freedman. Física universitariaTeoría dada en clase.

Alonso, M. y Finn, E. Física Pearson.

http://www.monografias.com/

Serway. Física universitaria

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