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Fisica
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Capítulo 18
Superposición y Ondas Estacionarias
Ondas vs. Partículas
Partículas tienen tamaño cero.
Las ondas tienen un tamaño característico – su longitud de onda
Múltiples partículas pueden existir en diferentes lugares
Múltiple ondas pueden combinarse en un punto en el mismo medio – pueden estar presentes en el mismo lugar
Superposition Principle Si una o más ondas viajeras se mueven a
través de un medio, el valor resultante de la función de onda en cualquier punto es la suma algebráica de los valores de las funciones de ondas de las ondas individuales.
Las ondas que obedecen el principio de superposición son las ondas lineales. Para ondas mecánicas, las ondas lineales
tienen amplitudes mucho menores que su longitud de onda.
Superposición e Interferencia Dos ondas viajeras pueden pasar
una sobre otra sin que se destruyan o alteren. A consequence of the superposition
principle La combinación de dos ondas
separadas en la misma región del espacio para producir una onda resultante es llamada interferencia
Ejemplo de Superposición Dos pulsos viajeros viajan
en direcciones opuestas La función de onda del
pulso que se mueve a la derecha es y1 y por la otra a la izquierda es y2
Los pulsos tienen la misma velocidad pero diferente forma.
El desplazamiento de los elementes es positivo para ambos.
Ejemplo de Superposición, cont
Cuando las ondas se empiezan a empalmar (b), la función de onda resultante es y1 + y2
CUando la cresta llega a la cresta (c ) la onda resultante tiene mayor amplitud que cualquiera de las ondas que la originaron.
Ejemplo de Superposición, final Los dos pulsos
separados Se continúan
moviendo en sus direcciones originales
La forma de los pulsos permanece constante
Superposición en un resorte estresado Dos pulsos
iguales y simétricos, viajan en direcciones opuestas en un resorte estresado.
Obedecen el principio de superposición
Tipos de Interferencia Interferencia Constructiva ocurre
cuando el desplazamiento causada por los dos pulsos está en la misma dirección La amplitud del pulso resultante es mayor que
cualquiera de los pulsos individuales. Interferencia Destructiva ocurre cuando
el desplazamiento causado por los dos pulsos está en direcciones opuestas. La amplitud del pulso resultante es menor que
la de los pulsos individuales.
Interferencia Destructiva Ejemplo
Dos pulsos viajan en direcciones opuestas
Sus desplazamientos son invertidos con respecto al otro
Cuando se empalman, sus desplazamientos se cancelan parcialmente uno al otro
Superposición de ondas Sinosoidales Asuma que dos ondas están viajando en
la misma dirección, con la misma frecuencia, longitud de onda y amplitud.
Las ondas difieren en fase y1 = A sin (kx - t) y2 = A sin (kx - t + ) y = y1+y2
= 2A cos (/2) sin (kx - t + /2)
Superposición de ondas Sinosoidales, cont La onda resultante, y, es también
sinusoidal La onda resultante tiene la misma
frecuencia y longitud de onda que las ondas originales. La amplitud de la onda resultante es 2A cos (/2)
La fase de la onda resultante es /2
Ondas Sinusoidales con Interferencia Constructiva
Cuando = 0, despuéscos (/2) = 1
La amplitud de la onda resultante es 2A Las crestas de una onda
coinciden con las crestas de otra onda
Las ondas estan en todas partes en fase
Las ondas interfieren constructivamente
Ondas Sinusoidales con Interferencia Destructiva
Cuando = , tenemos cos (/2) = 0
También con cualquier múltiplo par de
La amplitud de la onda resultante es 0
Las crestas de una onda coinciden con los valles de la otra onda
Las ondas interfieren destructivamente
Ondas Sinusoidales con, Interferencia General
Cuando es diferente a 0 un múltiplo par de , la amplitud resultante varía de 0 a 2A
Las funciones de onda como quiera se suman
Ondas Sinusoidales, Resumen de interferencia La interferencia constructiva ocurre
cuando = 0
La amplitud de la resultante es 2A La interferencia destructiva ocurre cuando = n donde n es un entero par
La amplitud es 0 La interferencia General ocurre cuando
0 < < n Amplitud es 0 < Aresultante < 2A
Interferencia en ondas de sonido
EL sonido de S puede llegar a R por dos caminos
El camino de arriba puede variar
Whenever r = |r2 – r1| = n (n = 0, 1, …), ocurre interferencia constructiva
Interferencia en Ondas de Sonido, 2 Whenever r = |r2 – r1| = (n/2) (n es
impar), ocurre interferencia destructiva Una diferencia de fase puede generarse
entre dos ondas generadas por la misma fuente cuando viajan a traves de caminos de diferentes longitudes.
En general, la diferencia de caminos puede expresarse en términos de ángulos de fase.
Interferencia en Ondas de Sonido, 3 Usando la relación entre r y permite
una expresión para las condiciones de interferencia.
Si la diferencia de caminos es un múltiplo par de /2, then = 2n donde n = 0, 1, 2, … la interferencia es constructiva.
Si la diferencia de caminos es un múltiplo impar de /2, then = (2n+1) donde n = 0, 1, 2, … la interferencia es destructiva.
Interferencia en Ondas de sonido, final Para interferencia constructiva:
Para interferencia destructiva :
Ondas Estacionarias Asuma dos ondas con la misma
amplitud, frecuencia y longitud de onda, viajando en direcciones opuestas en un medio.
y1 = A sin (kx – t) and y2 = A sin (kx + t)
Interfieren conforme el principio de superposición
Ondas Estacionarias, cont La onda resultante será
y = (2A sin kx) cos t Esta es la función de onda de
una onda estacionaria No tenemos el término kx – t ,
por lo que no es una onda viajera En una onda estacionaria
observable, no hay sensacion de movimiento en la dirección de propagacion de ninguna de las ondas originales.
Notas en Amplitudes Hay tres tipos de amplitudes usadas
para describir las ondas Las amplitudes de las ondas
individuales, A La amplitud del movimiento armónico
simple de los elementos en el medio,2A sin kx
La amplitud de la onda estacionaria, 2A Un elemento dado en una onda estacionaria
vibra entre un rango restringido por la función envolvente 2Asin kx, donde x es la posición del elemento en el medio.
Ondas Estacionarias, Movimiento de las Partículas Cada elemento en el medio oscila
en un movimiento armónico simple con la misma frecuencia,
Sin embargo, la amplitud del movimiento armónico simple depende en el lugar del elemento en el medio
Ondas estacionarias, Definiciones Un nodo ocurre en el punto de amplitud
cero curs at a point of zero amplitude Esto corresponde a las posiciones de x donde
Un antinodo ocurre en el punto de máximo desplazamiento, 2A Esto corresponde a las posciones de x donde
Características de Nodos y Antinodos La distancia entre antinodos
adyacentes es /2 La distancia entre nodos
adyacentes /2 La distancia entre nodo y antinodo
adyacentes /4
Nodos y Antinodos, cont
Los diagramas de arriba muestran los patrones de ondas estacionarios, producidos en varios tiempo por dos ondas de igual amplitud viajando en direcciones opuestas.
En una onda estacionaria, los elementos del medio alternan entre los extremos mostrados en (a) y (c)
Ondas Estacionarias en una cuerda
Considere una cuerda fija en sus dos extremos
La cuerda tiene longitud L
Ondas estacionarias se forman por una continua superposición de las ondas incidentes y reflejadas en los extremos.
Existe una condición de frontera en las ondas
Ondas Estacionarias en una Cuerda, 2
Los extremos de la cuerda son necesariamente nodos Son fijos y por ello tienen cero desplazamiento
La condición de frontera hace que la cuerda tenga un conjunto de modos normales de vibración Cada modo tiene una frecuencia característica Los modos normales de oscilación de la cuerda
pueden ser descritos imponiendo como requisito que las terminales son nodos y que los nodos y antinodos están separados /4
Ondas Estacionarias en una Cuerda, 3
Este es el primer modo normal que es consistente con las condiciones de frontera
Hay nodos en ambos extremos
En el centro tenemos el antinodo
Este es el modo de mayor longitud de onda 1/2 = L y = 2L
Ondas Estacionarias en una cuerda, 4 Consecutive
normal modes add an antinode at each step
EL segundo modo (c) corresponde a = L
El tercer modo (d) corresponde a = 2L/3
Ondas Estacionarias en una Cuerda, Resumen Las longitudes de onda de los modos
normales para una cuerda de longitud L fija en ambos extremos son
n = 2L / n n = 1, 2, 3, … n es el enésimo modo normal de oscilacion Estos son los modos posibles para una
cuerda Las frecuencias naturales son
Cuantización La situación en la cual ciertas
frecuencias de oscilación son premitidas se llama cuantización
Cuantización ocurre comunmente cuando las ondas están sujetas a condiciones de frontera
Ondas en una Cuerda, Series Armónicas La frequencia fundamental corresponde a
n = 1 Esta es la frecuencia menor, ƒ1
Las frecuencias modos naturales restantes son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental
ƒn = nƒ1
Las frecuencias de los modos normales que exhiben esta forma de relación se llaman series armónicas.
Los modos normales son llamados armónicas
Notas musicales de una Cuerda Una nota musical
está definida por su frecuencia fundamental
La frecuencia de la cuerda puede cambiar si se varía su tensión y su longitud.
Armónicas, Ejemplo Una media “C” en un piano tiene la
frecuencia fundamental de 262 Hz. Cuales son las siguientes armónicas en la cuerda? ƒ1 = 262 Hz ƒ2 = 2ƒ1 = 524 Hz ƒ3 = 3ƒ1 = 786 Hz
Onda estacionaria en una cuerda, Ejemplo
Un extremo se fija a una cuchilla vibrante. El otro extremo pasa sobre una polea con
una masa colgante pegada en un extremo Esto produce una tensión en la cuerda
Esta cuerda vibra en su segunda armónica
Resonancia Un sistema es capaz
de oscilar en uno o más modos
Si una fuerza periódica es aplicada a un sistema, la amplitud del movimiento resultante es máxima cuando la frecuencia de la fuerza aplicada es igual a una de las frecuencias naturales del sistema
Resonancia, cont Debido a que un sistema oscilante
muestra una gran amplitud cuando esta en sus frecuencias naturales, estas frecuencias las llamamos frecuencias de resonancia.
La frecuencia de resonancia es simbolizada por by ƒo
La amplitud máxima esta limitada por la fricción en un sistema.
Resonancia, Ejemplo 1 Si un péndulo A se pone
en movimiento, los otros péndulos empiezan a oscilar debido a las ondas transmitidas por el haz
EL péndulo C tiene una mayor amplitud que B o D
La longitud de C es cercana a la longitud de A y la frecuencia natural de C es cercana a la frecuencia de A.
Resonancia, Ejemplo 2 Las ondas estacionarias
se generan en una cuerda cuando un extremo se conecta a una cuchilla vibrante
Cuando la cuchilla vibra a una de las frecuencias naturales de la cuerda, se producen ondas estacionarias de gran amplitud.
Ondas estacionarias en columnas de Aire Las ondas estacionarias en columnas de
aire son el resultado entre la interferencia de ondas de sonido longitudinales viajando en direcciones opuestas.
Las relaciones de fase entre la onda incidente y reflejada depende si las terminales del tubo están abiertas o cerradas.
Ondas estacionarias en columnas de agua, Extremo cerrado La terminal de un tubo cerrado es un nodo
desplazado en una onda estacionaria La pared en el extremo del tubo, no
permitirá un movimiento longitudinal en el aire
La onda reflejada está 180o fuera de fase de la onda incidente
EL extremo cerrado corresponde a un antinodo presurizado. Este es el punto de máximas variaciones de
presión.
Ondas estacionarias en columnas de aire, Extremo abierto
El extremo abierto de un tubo es un antinodo con desplazamiento en una onda estacionaria.
La región de compresión de la onda disminuye en el extremo abierto del tubo, al no estar la pared del tubo, el aire comprimido es libre de expandirse a la atmósfera.
El extremo abierto corresponde a un nodo de presión En este punto no existe variación de presión.
Ondas estacionarias en un tubo abierto
Ambos extremos son antinodos La frecuencia fundamental es v/2L
Esto corresponde al primer diagrama Las armónicas mayores son ƒn = nƒ1 = n (v/2L)
donde n = 1, 2, 3, …
Ondas estacionarias en un tubo con un extremo cerrado
La extremo cerrado es un nodo. El extremo abierto es un antinodo. La fundamental corresponde a ¼ Las frecuencias son ƒn = nƒ = n (v/4L)
donde n = 1, 3, 5, …
Ondas estacionarias en columnas de aire, Resumen En un tubo con extremos abiertos , las
frecuencias naturales de oscilación forman una serie de armónicas que incluyen todos los múltiplos enteros de la frecuencia fundamental.
En un tubo con un extremo cerrado, las frecuencias naturales de oscilacion forman una serie de armónicas que incluyen sólo números enteros impares de la frecuencia fundamental.
Notas sobre instrumentos Al aumentar la temperatura:
EL sonido producido por columnas de aire, se agudiza
Frecuencias Altas Alta velocidad debido a alta temperatura.
El sonido producido por las cuerdas se vuelve plano
Menor frecuencia Las cuerdas se expanden por la alta
temperatura Al expandirse las cuerdas, la tensión decrece.
Más sobre Instrumentos Los instrumentos musicales basados en
columnas de aire, son generalmente excitados por resonancia.
La columna de aire se presenta con una onda de sonido rica en muchas frecuencias.
El sonido es proporcionado por: Una caña vibrante en maderas de viento Vibraciones de los labios en trompetas. Soplar sobre la orilla de la boquilla una
flauta.
Resonancia en columnas de aire, Ejemplo
Un diapasón se acerca a un tubo con un extremo abierto
Cuando L corresponde a la frecuencia de resonancia del tubo, el sonido es mayor.
El agua actúa como el extremo cerrado del tubo
Las longitudes de onda pueden ser calculadas de las longitudes donde la resonancia ocurre.
Ondas estacionarias en barras
Una barra es sujetada en la parte media
El sujetador es golpeado paralelamente a la barra.
La barra oscilará. El sujetador obliga a que
se genere un nodo en la parte media.
Las terminales de la barra son libres de vibrar y corresponderán a antinodos.
Ondas estacionarias en barras, cont
Sujetando la barra en otros puntos, se producen otros modos normales de oscilación
La barra está sujeta a L/4 de un extremo
Esto produce el segundo modo normal
Ondas estacionarias en Membranas
Oscilaciones en dos dimensiones pueden darse en cualquier membrana flexible estresada sobre un bastidor circular.
El sonido resultante no es armónico porque las ondas estacionarias tienen frecuencias que no están relacionadas con múltiplos enteros.
La frecuencia fundamentarl contiene una curva nodal.
Interferencia Temporal y Espacial La interferencia espacial ocurre cuando
la amplitud de oscilación en un medio varía con la posición en el espacio del elemento. Este tipo de interferencia es ampliamente
discutida. La interferencia temporal, ocurre cuando
la onda está periódicamente en fase o fuera de fase. Existe una alternancia temporal entre la
interferencia destructiva y constructiva.
Pulsos La interferencia temporal ocurrirá
cuando las ondas que interfieren tienen frecuencias levemente diferentes
Pulsación es una variación periódica en amplitud en un punto dado debido a la superposición de dos ondas con una pequeña diferencia de frecuencias.
Frecuencia de Pulsos
El número de máxima amplitud que se puede escuchar por segundo es la frecuencia de pulsación.
Es igual a la diferencia entre las frecuencias de dos fuentes.
El oído humano puede detectar una frecuencia de pulsos hasta de 20 pulsos/seg
Pulsos, Final La amplitud de una onda resultante varia
en el tiempo acorde a
Por lo tanto, la intensidad también varía en el tiempo
La frecuencia de pulsos es ƒpulsos = |ƒ1 – ƒ2|
Patrones de ondas no sinusoidales. Los patrones de ondas producidos por un
instrumento musical son el resultado de la superposición de varias armónicas.
La respuesta perceptiva humana asociada con varias mezclas de armónicas calidad o timbre del sonido.
La respuesta perceptiva humana a un sonido que permite poner el sonido en una escala de alto a bajo es el tono del sonido
Calidad del sonido –Diapasón Un diapasón
produce sólo la frecuencia fundamental
Calidad del sonido – Flauta La misma nota en
una flauta suena diferente
La segunda armónica es muy fuerte
La cuarta armónica es más fuerte que la primera.
Calidad del sonido–Clarinete La quinta
armónica es la más fuerte.
La primera y cuarta armónica son muy similares, con la tercera muy cercana a ella
Análisis de Patrones no sinusoidales Si el patrón de la onda es periódico, puede
ser representada tan cercanamente como se desea por la combinación de un número suficientemente grande de ondas sinusoidales que forman la serie de armónicas.
Cualquier función armónica puede ser representada como una serie de términos de senos y cosenos Está basada en la técnica matemática
teorema de Fourier
Series de Fourier Una Serie de Fourier es la suma
correspondiente de todos los términos que representan un patrón de onda periódica.
Si tenemos una función y que es periódica en el tiempo, el teorema de Fourier dice que la función puede ser escrita como
ƒ1 = 1/T and ƒn= nƒ1
An y Bn son las amplitudes de las ondas
Síntesis de Fourier de una Onda Cuadrada
La síntesis de Fourier de una onda cuadrada, la cual es representada por la suma de los múltiplos impares de la primera armónica, que tiene la frecuencia f
En (a) ondas de frecuencia f y 3f se suman.
En (b) la armónica de frecuencia 5f está sumada.
En (c) la onda se aproxima más a la onda cuadrada cuando las frecuencias impares hasta 9f están sumadas.
