TEMA I.12 - Ondas Estacionarias en una Cuerda

TEMA I.12Ondas Estacionarias en una Cuerda

Dr. Juan Pablo Torres-Papaqui

Departamento de AstronomıaUniversidad de Guanajuato

DA-UG (Mexico)

[email protected]

Division de Ciencias Naturales y Exactas,Campus Guanajuato, Sede Noria Alta

TEMA I.12: Ondas Estacionarias en una Cuerda J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 1 / 13

Ondas Estacionarias en una Cuerda

Consideramos una cuerda de longitud L sujeta en ambos extremo(Ejemplo: Una cuerda de instrumento musical; guitarra, piano, violın etc.).

Cuando se pulsa la cuerda, se produce una onda que se refleja una y otravez. La interferencia de las ondas forma una onda estacionaria.

La vibracion de la cuerda se transmite al aire, que vibra a la mismafrecuencia que la cuerda.

Como debe haber un nodo a ambos extremos, la longitud de la cuerdadebe ser igual a:

λ

2,

2λ

2,

3λ

2, ...,

n λ

2

L =n λ

2, n = 1, 2, 3,... (I.12.1)



La condicion para haber una onda estacionaria es:

λn =2 L

n, n = 1, 2, 3,... (I.12.2)

A cada una de las posibles longitudes de ondas corresponderıa de unaposible frecuencia: fn = ν/λn

La frecuencia mas pequena tiene la longitud mas grande: n = 1 ⇒ λ1 =2 L

f1 =ν

2 L(I.12.3)

A esto se le denomina como frecuencia fundamental del sistema.

Las otras frecuencias serıan los armonicos o sobretonos (ver Figura I.12.1).



Figura I.12.1: Los primeros cuatro modos normales de una cuerda fija en ambosextremos.



La serie amonica esta dada por:

fn = nν

2 L= n f1 (I.12.4)

Para una cuerda con extremos fijos en x = 0 y x = L:

y(x , t) = Aoe sen(κnx) cos(ωnt) , conωn = 2π fn yκn =2π

λn(I.12.5)

Un modo normal de un sistema oscilante, es un movimiento en el quetodas las partıculas del sistema se mueven sencillamente a la mismafrecuencia.

Para una cuerda de longitud L, las longitudes de ondas λn, corresponden amodos normales.



En un oscilador con una partıcula, hay solo un modo normal. Para unsistema como una cuerda, hay un numero infinito de modos normales.

En un instrumento de musica, en la vibracion estan presentes lafundamental y muchos sobretonos.

El tono es una combinacion o superposicion de muchos modos.

El contenido armonico: es el grado en que estan presentes las frecuenciasmas altas que la fundamental.

La onda estacionaria en la cuerda y la onda sonora viajando en el aire,tienen el mismo contenido armonico.

El contenido armonico explica la riqueza y complejidad del sonido de losinstrumentos de musica.



El analisis armonico consiste en encontrar la representacion para unavibracion dada.

La suma de ondas senosoidales que representen una onda compleja es unaserie de Fourier (ver Figura I.12.2).

Como la frecuencia fundamental es dada como: f1 = ν/2 L y donde ν =√FT/µ

f1 =1

2 L

√FT/µ (I.12.6)

Instrumentos con L cortos (Viola, Violın) producen sonido de altafrecuencia.

Aumentar la tension FT tambien aumenta la frecuencia del sonido.

Pero si µ aumenta (usando cuerdas mas gruesas como en el Cello o Bajo),la frecuencia baja (ver Figura I.12.3).



Figura I.12.2: La onda estacionaria que resulta de pulsar una cuerda de guitarradandole una forma triangular se representa bien con la suma de funcionessenosoidales.



Figura I.12.3: Comparacion de gammas de un piano, un violın, una viola, un celloy un contrabajo. en todos los casos, las cuerdas mas largas producen notas gravesy las mas cortas notas agudas.



Ejemplo: Violın gigante

Longitud de la cuerda: L = 5.0 m, densidad de masa lineal: µ = 40.0grs/m.

La frecuencia fundamental es f1 = 20.0 Hz (frecuencia mas baja quepuede detectar el oıdo humano).

La tension en la cuerda es:

F = 4µL2f 21 = 4 (40.0× 10−3 kg

m)(5.0m)2(20.0 s−1)2 = 1600N

En comparacion, un violın real: F ≈ 100 N

La frecuencia del segundo armonico (n = 2): f2 = 2 f1 = 40.0 Hz

Con longitud de onda: λ2 = 2 L/2 = 5.00 m



La frecuencia del tercero armonico (n = 3): f3 = 3 f1 = 60.0 Hz

Con longitud de onda: λ3 = 2 L/3 = 3.33 m

Si la cuerda vibra a una cierta frecuencia, el aire vibra a la mismafrecuencia f1 = 20.0 Hz .

Pero la velocidad de la onda es diferente en el aire y, por tanto, la longitudde onda.

A 20 oC , la velocidad del sonido en el aire: ν = 344 m/s.



Para la cuerda: λ1 = 2 L = 2(5.00 m) = 10.0 m

⇒ νcuerda = λ1f1 = (10.0m)(20.0 s−1) = 200m

s

En el aire λsonido = νsonido/f1 = (344 m/s)/(20.0 Hz) = 17.2 m.

Para cualquier modo normal, λsonido > λcuerda, por un factor de:

νsonidoνcuerda

=344m/s

200m/s= 1.72



Ejercicio: Una cuerda fija por ambos extremos tiene 3 m de largo.Resuena en su segundo armonico a una frecuencia de 60 Hz . ¿Cual es lavelocidad de las ondas transversales en ella?

Ejercicio: Una cuerda de 3 m de largo y fija por sus dos extremosesta vibrando en su tercer armonico. El desplazamiento maximo de lospuntos de la cuerda es de 4 mm. La velocidad de las ondas transversalesen ella es 50 m/s. (a) ¿Cuales son la longitud de onda y la frecuencia deesta onda? (b) Escribir la funcion de onda correspondiente a este caso.


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