Ondas Estacionarias Sonoras - 2018-10-26آ  Ondas estacionarias en columnas de aire El modelo de onda

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  • FS-200 F́ısica General II UNAH

    Universidad Nacional Autónoma de Honduras

    Facultad de Ciencias Escuela de F́ısica

    Ondas Estacionarias Sonoras

    Elaborada por: Héctor Láınez Supervisada por Fis. Ricardo Salgado

    Coordinador de la asignatura Fis. Ramón Chávez.

    Objetivos

    1. Determinar experimentalmente la velocidad del sonido utilizando un tubo de resonancia.

    2. Percibir el efecto de las ondas estacionarias sonoras en columnas de aire.

    3. Calcular el factor de corrección (Efecto de borde) en el extremo abierto del tubo utilizado.

    Figura 1: Tubo de Kundt.

    Materiales y equipo

    1. Tubo de Kundt

    2. Soportes

    3. Generador de señales

    4. Bocina

    5. Termómetro

    Marco teórico

    Ondas Estacionarias

    Considere funciones de onda para dos ondas cosenoidales transversales que tengan la misma amplitud, frecuencia y longitud de onda pero que viajen en direcciones opuestas en el mismo medio:

    y1 = A cos(kx− wt) y2 = −A cos(kx+ wt) donde y1 representa una onda que viaja en la dirección +x y y2 representa una que viaja en la dirección −x. Al sumar estas dos funciones da la función de onda resultante y:

    y = y1 + y2

    Reduciendo la expresión anterior utilizando identidades trigonométricas, la función de onda resultante se reduce a:

    y = (2A sin kx) sinwt (1)

    donde:

    A = Amplitud de las ondas iniciales.

    k = Número de onda.

    w = Frecuencia angular.

    La ecuación (1) representa la función de onda de una onda estacionaria.

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  • FS-200 F́ısica General II UNAH

    ¿Qué es una onda estacionaria?

    Es un patrón de oscilación con un contorno estacionario que resulta de la sobreposicioón de dos ondas idénticas que viajan en direcciones opuestas.

    Nodos y Antinodos

    De la ecuación (1) se puede observar que la expresión 2A sin kx es la amplitud de la onda estacionaria.

    Nodos

    A los puntos donde 2A sin kx = 0 se le llaman nodos. Si se resuelve la ecuación para x y recordando que k = 2π

    λ se obtienen las posiciones para los nodos

    x = 0, λ

    2 , λ,

    2 , .... =

    2 (2)

    donde n = 0, 1, 2, 3...

    Antinodos

    A los puntos donde 2A sin kx = 2A es decir los puntos donde la amplitud es máxima se le llaman antinodos. Si se resuelve la ecuación para x y recordando siempre que k = 2π

    λ se obtienen las posiciones para

    los antinodos.

    x = λ

    4 , 3λ

    4 , 5λ

    4 , ... =

    4 (3)

    donde n = 1, 3, 5, ...

    Ondas estacionarias en columnas de aire

    El modelo de onda bajo condiciones de frontera también se aplica a ondas sonoras en una columna de aire como la que se encuentra en el interior de un tubo. Las ondas estacionarias son el resultado de la interferencia entre ondas sonoras longitudinales que viajan en direcciones opuestas. Podemos analizar las ondas sonoras estacionarias en una columna de aire con un aparato llamado Tubo de Kundt, se trata de un tubo horizontal cerrado en un extremo.

    En dicho tubo, el extremo cerrado es un nodo de desplazamiento porque la barrera ŕıgida en este extremo no permite el movimiento longitudinal del aire. El extremo abierto de una columna de aire es aproximadamente un antinodo de desplazamiento. En sentido estricto, el antinodo de desplazamiento realmente se presenta un poco más allá del extremo abierto de un tubo, esto se conoce como efecto borde y es necesario introducir un factor de corrección.

    Con las condiciones de frontera de nodos y antinodos en los extremos de la columna de aire se tiene un conjunto de modos normales de oscilación, por lo tanto las frecuencias en una columna de aire para las cuales se forman ondas estacionarias son cuantizadas.

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    Un tubo abierto en un extremo y cerrado en el otro se conoce como tubo cerrado. El extremo abierto es un antinodo de desplazamiento y el extremo cerrado es siempre un nodo de despazamiento. La figura 2 muestra los primeros 3 modos normales en un tubo cerrado. Las posibles longitudes de onda están dadas por:

    λn = 4L

    n (n = 1, 3, 5, ...) (4)

    Las frecuencias naturales asociadas con los modos normales se obtienen de la relación:

    v = λf (5) Figura 2: Primeros 3 modos normales,

    tubo abierto-cerrado.

    De la relación en (4) se puede observa que una manera para obtener diferentes modos normales en un tubo cerrado es variar su longitud. A mayor longitud, mayor será el modo normal (n) que se presentará en el tubo. Si se utiliza una frecuencia constante, es posible determinar la velocidad a la que se mueven las ondas en el aire (velocidad del sonido) a través de la ecuación (5). Sustituyendo (4) en (5) se obtine para las frecuencias naturales:

    f = nv

    4Ln (n = 1, 3, 5, ...) (6)

    Como fue mencionado antes, el antinodo de desplazamiento se encuentra un poco mas allá del extremo abierto, por lo que es necesario introducir un factor de corrección que será denotado por e . Intoduciendo este factor en la ecuación anterior se obtiene:

    f = nv

    4(Ln + e) (n = 1, 3, 5, ...) (7)

    Donde:

    f = Frecuencia de la onda.

    n = Modo normal.

    Ln = Longitud del tubo para cada modo normal.

    v = Velocidad del sonido.

    e = Factor de corrección.

    La velocidad del sonido vaŕıa dependiendo de la temperatura, es posible obtener un valor teórico de la velocidad del sonido en el aire utilizando la siguiente relación emṕırica:

    vteórica = (331m/s)

    √ 1 +

    Tc 273

    (8)

    Donde Tc es la temperatura en grados Celsius.

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    Procedimiento Experimental

    Procedimiento # 1: f = 1500Hz

    1. Monte el tubo de kundt como se muestra en la figura 1.

    2. Ajuste la frecuencia del generador de señales a 1500Hz.

    3. Ajuste la intensidad de la señal de sonido hasta un valor que sea auditivamente perceptible perceptible.

    4. Coloque el pistón del tubo en su posición de mı́nima amplitud.

    5. Expanda la longitud del tubo de kundt utilizando el pistón hasta que perciba un pico en la intensidad del sonido. En este punto se habrá formado el primer modo normal(n = 1) de oscilación.

    6. Utilizando la cinta métrica que se encuentra en el tubo, anote el valor de longitud para la cual se forma el primer modo normal en la tabla 1.

    7. Expanda la longitud del tubo de kundt utilizando el pistón hasta que perciba el siguiente pico en la intensidad del sonido. En este punto se habrá formado el tercer modo normal(n = 3) de oscilación.

    8. Anote el valor de longitud para el cual se forma el tercer modo normal en la tabla 1.

    9. Repita los pasos 5 y 6 para los modos normales de oscilación superiores tomando nota de la longitud del tubo en cada uno de los modos normales en la tabla 1.

    Procedimiento # 2: f = 2000Hz

    1. Monte el tubo de kundt como se muestra en la figura 1.

    2. Ajuste la frecuencia del generador de señales a 2000Hz.

    3. Repita los pasos 3 al 9 del procedimiento # 1 anotando los datos obtenidos en la tabla 2.

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    Tabla de datos experimentales

    N° f (Hz) n Ln (m) T (°C) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

    1500

    Tabla 1: Datos experimentales f= 1500Hz.

    N° f (Hz) n Ln (m) T (°C) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

    2000

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    Tabla 2: Datos experimentales f= 2000Hz.

    Tratamiento de datos experimentales

    1. Cálculo de la velocidad del sonido mediante regresión lineal: Se calculará el valor de la velocidad del sonido utilizando el método de regresión lineal a partir de la ecuación (7) del marco teórico. Reordenando los factores se obtiene:

    Ln + e = nv

    4f

    Ahora despejando para Ln:

    Ln = nv

    4f − e (9)

    Donde:

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    y = Ln

    x = n 4f

    A = −e B = v

    De tal manera que la ecuación (7) se exprese como y = A+Bx donde las constantes A y B pueden ser calculadas mediante regresión lineal.

    Cálculos a realizar:

    Realizar una regresión lineal con el modelo y definiciones anteriores y obtener el valor de A, ∆A, B y ∆B utilizando los datos de la tabla 1.

    Exprese sus resultados de la siguiente manera:

    A = A±∆A

    B = B ±∆B

    Gráfica Realize un gráfico de la ecuación de ajuste lineal obtenida (y = A + Bx) junto con los puntos de los valores experimentales.

    De las definiciones anteriores se identifica al valor de la pendiente ’a’ como la velocidad del sonido, exprese el resultado de la velocidad del sonido obtenido de la siguiente manera:

    v = (B ±∆B)m/s

    Error Relativo Cálcule un valor teórico (vteórica) para la velocidad del sonido mediante la ecuación (8) y el valor de temperatura de la tabla 1. Con este calcúle el error relativo del resultado experimental mediante

    � = |vteórica − vexperimental|

    vteórica × 100 % (10)

    Repita los cálculos anteriores utilizando los datos de la tabla 2.

    2. Analizando Nodos: Como se puede observar en la figura 2, la distancia entre un par de nodos adyacentes es siempre igual a λ

    2 , esta distancia puede ser calculada experimentalmente como la resta de la

    longitud del tubo para modos normales consecutivos,