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RAIOS E FRENTES DE ONDA

ONDAS SONORAS17. 1,2

ONDAS SONORAS SÃO ONDAS DE PRESSÃO

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ONDAS SONORAS

( , ) cos( ) ms x t s kx tω= −

x

sv

Onda sonora harmônica progressivaDeslocamento das partículas do ar: s (x,t)

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17. 3

Módulo de elasticidade volumétrico B de um material:

VV

pB

/∆

∆−=

O volume ocupado pela massa ∆∆∆∆m varia, logo a pressão varia.∆p(x,t) está relacionado com s (x,t).

Pressão ∆p(x,t) Deslocamento das partículas s (x,t)

17. 3A velocidade do som

)(/

PaVV

pB

∆

∆−=

A velocidade de propagação de uma onda depende do meio.Na corda, depende apenas da tensão e da densidade linear de massa.

ρ

Bv =Velocidade do som (análise dimensional)

µ

τ=vVelocidade da onda numa corda

A velocidade do som num meio depende apenas do módulo deElasticidade volumétrico B (“bulk modulus”) e da densidade do meio ρρρρ.

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x

s(x,t)

∆V=[s(x+∆x,t) - s(x,t)]A

∆V=∆s A

V = ∆x Ax+∆x

Ondas sonoras: relação entre deslocamento das partículas e pressão

Variação do volume ∆V, correspondente à massa ∆m

17. 4

∆m

s(x+∆x,t)

Ondas sonoras progressivas

ctetxA

sAB

V

VBtxp

∆

∆−=

∆−=∆ ),(

x

sBtxp

∂

∂−=∆ ),(

Relação entre pressão e deslocamento das partículas

definiçãoVV

pB

/∆

∆−=

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Da 2a Lei de Newton:

som

Bv

ρ=

2

22

2

2

x

sv

t

s

∂

∂=

∂

∂

Solução da Equação de Onda

Vamos ver que s deve satisfazer a uma equação de onda e obter a velocidade da onda.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

)()(

x

sB

t

s

x

sBxAx

x

pA

t

sxA

dxxpAxpAt

smF

∂

∂=

∂

∂

∂

∂∆=∆

∂

∂−=

∂

∂∆

+−=∂

∂∆=

ρ

ρ

)cos(),( tkxstxs m ω−=

( , ) cos( ) ms x t s kx tω= −

( , ) sen( ) mp x t v s kx tρ ω ω∆ = −

x

sBtxp

∂

∂−=∆ ),(

Onde a velocidade do som éρ

ω B

kv ==

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x (cm)

0 20 40 60 80s (µ

m)

-10

-5

0

5

10

x (cm)

0 20 40 60 80

∆p

(Pa)

-10

-5

0

5

10

t fixo

compressão rarefação

B

vρ

=

meio v (m/s)

Ar 331

Ar (20oC) 343

Hélio 965

CO2 259

Água 1402

Água (20oC) 1482

Alumínio 6420

Aço 5941a 0oC e 1atm

VELOCIDADE DO SOM

/

pB

V V

−∆=

∆

módulo de elasticidadevolumétrica

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A amplitude de pressão máxima que o ouvido humano pode tolerar em sons altos é de cerca de 28 Pa (muito menor que a pressão normal, de aprox. 105 Pa). Qual a amplitude do deslocamento para tal som? sendo f = 1000 Hz, ρ = 1,21 kg/m3 e vsom= 343 m/s.

R: sm = 11 µm

INTERFERÊNCIA

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INTERFERÊNCIA:DIFERENÇA DE FASE DIFERENÇA DE CAMINHOS

Fontes em fase

Interferência construtiva

Interferência destrutiva

λπ

φ L∆=

∆

2

λπφ nLn =∆→=∆ 2

2)12()12(

λπφ +=∆→+=∆ nLn

INTERFERÊNCIA:DIFERENÇA DE CAMINHOS

Duas fontes pontuais em fase.D = 1,5 λ

Qual a diferença de percurso em P1? Que tipo de interferência ocorre?

Qual a diferença de percurso em P2? Que tipo de interferência ocorre?

Qual o número de pontos (N) nos quais a interferência é totalmente construtiva?

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INTERFERÊNCIA:DIFERENÇA DE CAMINHOS

Calcule x para que a interferência seja construtiva

f = 200 Hz

v = 343 m/s

R: x = 2,12 m

INTENSIDADE E

NÍVEL SONORO

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Intensidade de uma ondaDefinição: Intensidade é a energia média transportada pela onda por unidade de área por unidade de tempo.

Intensidade = Potência média por unidade de área A

PI méd=

Fonte pontual emitindo ondas

uniformemente em todas as direções.

Conservação de energia: toda a energia emitida atravessa a área de cada superfície esférica.

Área da superfície esférica centrada em S:

4πr2

24 r

PI méd

π=

Intensidade de uma onda em função da amplitude de deslocamento

Energia cinética de dm

)(sen

2

1 2

tkxst

sv

vdmdK

ms

s

ωω −−=∂

∂=

=

V = ∆x A∆x

vs

22

222

22

4

1

)(sen2

1

)(sen)()(2

1

m

med

m

m

sAdt

dK

tkxsAdt

dK

tkxsdxAdK

ωρ

ωωρ

ωωρ

v

v

=

−=

−−=

)cos( tkxss m ω−=

Taxa média com que a Energia cinética é transportada

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A

PI med=

A intensidade é proporcional ao quadrado da amplitude de deslocamento

22

2

12 m

medmed

med sAdt

dK

dt

dUP ωρ v===

Taxa média com que a energia total é transportada

22

2

1msI ωρ v=

Amplitude de deslocamento (sm) no ouvido humano variade ~10−5m (limite superior tolerável) a ~10−11m (limite inferior detectável).

A intensidade é proporcional a sm2.

Razão entre as intensidades máxima e mínima na faixa audível: 1012

Para lidar com intervalos tão grandes costuma-se usar a escala logarítmica.Define-se nível sonoro ββββ:

Nível sonoro e a Escala Decibel

0

log10I

IdB=β

onde dB = decibel e I0 = 10−12 W/m2 (intensidade de referência)

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dBLimite inferior de audição 0Roçar das folhas 10Conversação 60Concerto de rock 110Limiar da dor 120Motor a jato 130

Alguns níveis sonoros

Exemplo:

Se um protetor de ouvido diminui o nível sonoro por 20 dB, qual é a razão entre a intensidade final If e a intensidade inicial Ii do som.

BATIMENTOS

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SUPERPOSIÇÃO DE ONDAS HARMÔNICASSUPERPOSIÇÃO DE ONDAS HARMÔNICAS(freqüências diferentes)(freqüências diferentes)

SUPERPOSIÇÃO DE ONDAS HARMÔNICAS SUPERPOSIÇÃO DE ONDAS HARMÔNICAS (freqüências diferentes)(freqüências diferentes)

batimentosbatimentos

ttss

ttssss

tsstss

m

m

mm

2cos

2cos2

2cos

2cos2coscos

)cos(cos

cos;cos

2121

2121

2211

ωωωω

βαβαβα

ωω

ωω

+−=

+−=+

+=+=

==

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BATIMENTOS

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ONDAS EM TUBOS

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TUBO ABERTO/ABERTO

2

Lλ

=

2 2

Lλ

=

3 2

Lλ

=

4 2

Lλ

=

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qual a frequência fundamental?

L = 1 mv= 343 m/s

R: f1 = 171,5 Hz

TUBO ABERTO/FECHADO

4

Lλ

=

3 4

Lλ

=

5 4

Lλ

=

7 4

Lλ

=

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qual a frequência fundamental?

L = 1 mv= 343 m/s

R: f1= 85,75 Hz

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TUBO FECHADO/FECHADO

???

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EFEITO DOPPLER

FONTE ESTACIONÁRIA

FONTE EMMOVIMENTO

OBSERVADOR estacionário

f

f ' > ff ' < f

ou em movimento

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OBSERVADOR: em repouso

FONTE: em movimento(na direção do observador)

estacionário

' fon

vf f

v v=

m' ' somf f v vλ λ= = ≡

' fonv

fλ λ= −'

fonv

fλ λ= +

Distância percorrida pela fonte em um período

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FONTE EM MOVIMENTO

mach 0,7 mach 1,0 mach 1,4

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FONTE: em repouso

OBSERVADOR: em movimento(na direção do observador)

OBSERVADOR EM MOVIMENTO

' obsv vf f

v

±=

fonte

estacionária

fonte

estacionária

observador

estacionário

observador

em movimento

' rel obs

vf

v v vf

λ

λ λ

=

±= =

v

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' obs

fon

v vf f

v v

±=

m

FONTE e OBSERVADOR:em movimento (na mesma reta)