3. Ondas sonoras
3. ONDAS SONORASAlgunas de las ondas discutidas en el captulo
anterior estn dentro de la categora de ondas elsticas en las cuales
la perturbacin del medio, sea sta una deformacin, una presin un
desplazamiento de un volumen, se propaga con una velocidad que
depende de las propiedades elsticas del medio, Estas ondas elsticas
son tambin llamadas ondas sonoras sonido. En lenguaje popular, el
sonido est relacionado con la sensacin auditiva. Siempre que una
onda elstica que se propaga a travs de un gas, lquido slido alcanza
nuestro odo, produce vibraciones en la membrana auditiva y el
proceso se conoce como audicin. Nuestra sistema nervioso produce
sensacin auditiva solo para frecuencias comprendidas entre
16-20.000 Hz. Fuera de estos lmites, el sonido no es audible,
aunque a las ondas elsticas correspondientes se les sigue llamando
sonido. La fsica de las ondas elsticas de frecuencia por encima de
20 KHz se denomina ultrasnica. La ciencia que se ocupa de los
mtodos de generacin, recepcin y propagacin del sonido se llama
acstica. Utilizando el aparato fsico-matemtico desarrollado en
captulos anteriores para los fenmenos ondulatorios, nos centraremos
en ste en el anlisis de las ondas sonoras conceptuadas como ondas
de presin en un gas.
3.1 Ondas sonorasA continuacin estudiaremos las ondas elsticas
que se producen en un gas debido a las variaciones de presin. El
sonido es el ejemplo ms importante de este tipo de ondas. Sean p0 y
o la presin y la densidad del gas en condiciones de equilibrio,
iguales en todo el volumen del mismo. Si la presin del gas se
modifica, un volumen elemental Adx, figura 3.1, se pone en
movimiento debido a una fuerza neta no nula. En consecuencia la
seccin A se desplaza una distancia , al coincidir el desplazamiento
con la direccin de propagacin tendremos ondas longitudinales, y A
se desplaza de modo que el espesor del volumen Figura 3.1. Onda de
presin en una columna de elemental despus de la deformacin es
dx+(-)=dx+d de forma anloga al caso gas de las ondas elsticas en
una barra. Sin embargo, debido al cambio de volumen, la densidad
del gas cambia porque ste es ms compresible. La masa del volumen
elemental en equilibrio es 0Adx y la masa del volumen perturbado es
A(dx+). El principio de conservacin de la masa requiere que ambas
masas sean iguales, es decir A( dx + d ) = 0 Adx y despejando
3-1
[3.1]
3. Ondas sonoras
=
0 1+ x
[3.2]
Como en general x es pequeo y utilizando el desarrollo en serie
de potencias queda = 0 (1 ) x
[3.3]
La presin p est relacionada con la densidad por la ecuacin de
estado
0 p = p0 + 0
[3.4]
donde recibe el nombre de mdulo de compresibilidad. Usando [3.3]
para eliminar -0 tenemosp = p0 x
[3.5]
ecuacin que relaciona la presin en cualquier punto del gas con
la deformacin longitudinal en dicho punto. Necesitamos ahora la
ecuacin de movimiento del 2 volumen elemental; la masa es 0Adx y su
aceleracin 2 . La fuerza neta t resultante es (p-p)A=-Adp con lo
que la ecuacin del movimiento es p 2 = 0 2 x t que junto a la
ecuacin [3.5] conducen a 2 2 = t 2 0 x 2 [3.7] [3.6]
con lo que el desplazamiento cumple la ecuacin de ondas y la
velocidad del desplazamiento producido por la perturbacin de la
presin del gas es igual a
v=
0
[3.8]
3-2
3. Ondas sonoras
RT De la teora cintica de gases se deduce que = donde es una 0 M
constante que depende del gas que para el aire toma un valor de
1.4, R es la constante universal de los gases R=8,314 J/mol.K y M
es la masa molar del gas que para el aire vale M=29x10-3 kg/mol.
Por tanto la velocidad de propagacin de las ondas sonoras nicamente
depende de la T absoluta segn la ecuacin
v=
RT M
[3.9]
Combinando las ecuaciones [3.5] y [3.6] podemos verificar que la
presin p del gas tambin verifica la ecuacin de ondas 2 p 2 p = t 2
0 x 2 [3.10]
Esta es la razn por la cual a las ondas elsticas en un gas se
les llama ondas de presin. El sonido es simplemente una onda de
presin que a su vez consistente en una onda elstica longitudinal en
un gas. La velocidad de propagacin del sonido en el aire a 0 C es
aproximadamente igual a 332 m/s. Un razonamiento anlogo al expuesto
lleva a que la velocidad de las ondas sonoras en un lquido viene
dada por la ecuacin [3.11] donde Q es el mdulo de compresibilidad
del lquido y 0 su densidad. En el agua a 0C la velocidad de
propagacin es alrededor de 1500 m/s
v=
Q 0
[3.11]
3.1.1 Ondas sonoras armnicas: Una posible solucin de las
ecuaciones [3.7] [3.10] es una onda sonora armnica generada por
ejemplo por un diapasn por un altavoz que vibra con movimiento
armnico simple. La fuente vibrante hace que las molculas de aire
prximas oscilen con MAS alrededor de sus posiciones de equilibrio.
Estas molculas chocan con otras prximas hacindolas oscilar, y por
tanto propagando la onda sonora. El desplazamiento de las molculas
de su posicin de equilibrio viene dado por = 0 sen (kx wt)
[3.12]
Estos desplazamientos se verifican a lo largo de la direccin de
movimiento de la onda y dan lugar a variaciones de densidad y
presin de aire, compresiones y enrarecimientos, tal y como se
muestra en la figura 3.2. Los grficos muestra como3-3
3. Ondas sonoras
la presin est desfasada 90 respecto al desplazamiento; all donde
el desplazamiento es cero el cambio de densidad, y por tanto
presin, es un mximo un mnimo. La onda de presin viene dada, a
partir de [3.5] y [3.12], por p = p0 sen ( kx t 2 ) [3.13]
donde p representa el cambio de presin y p0 es el valor mximo de
este cambio. A partir de las ecuaciones anteriores puede deducirse
que el mximo cambio de presin p0, est relacionada con la mxima
amplitud de desplazamiento o por la ecuacin p 0 = 0 k = 0v 0
[3.14]
En el lenguaje popular el sonido Figura 3.2. Onda sonora armnica
mostrando: est relacionado con la sensacin auditiva. a)
desplazamiento de las molculas de aire Siempre que una onda elstica
que se respecto al equilibrio, b) y c) posiciones de molculas antes
y con la onda sonora, d) propaga a travs de un gas, un lquido
densidad del aire y e) cambio de presin un slido alcance nuestro
odo, produce proporcional a la densidad vibraciones en la membrana
auditiva; estas vibraciones provocan una reaccin del nervio
auditivo y el proceso se conoce como audicin. Nuestro sistema
auditivo produce sensacin solo para frecuencias comprendidas entre
16 Hz y 20.000 Hz recibiendo el nombre de ultrasonidos por encima
de esta frecuencia.
3.2 Intensidad de las ondas sonorasEn el captulo 2 vimos como
expresar la densidad de energa del movimiento ondulatorio en funcin
de la amplitud del desplazamiento, ecuacin [2.23]. Particularizando
para ondas sonoras obtenemos que u=2 p0 2v 2 0
[3.15]
y por tanto la intensidad de la onda sonora, que es igual a la
densidad de energa multiplicada por la velocidad, ser igual a
3-4
3. Ondas sonoras2 p0 2v 0
I=
[3.16]
Recuerdese que por definicin, la intensidad es la energa que
atraviesa por segundo la unidad de superficie colocada de forma
normal a la direccin de propagacin y es medida en Wm-2. El producto
densidad 0 por velocidad de propagacin v recibe el nombre de
impedancia resistencia acstica Z, midindose en ohmios acsticos Z =
0v de tal forma que la ecuacin [3.14] queda igual a0 = p0 Z
[3.17]
[3.18]
Evidentemente y segn [3.17] la impedancia acstica depende del
medio y as, por ejemplo es del orden de 4000 veces mayor en el agua
que en el aire. Para una misma excitacin p0 recibida, al aumentar
Z, la amplitud del desplazamiento 0 se hace menor. 3.2.1 Intensidad
de ondas esfricas en un fluido. Consideremos una onda de presin en
un fluido homogneo e istropo. Observemos como mientras la onda
esfrica se propaga, figura 3.3, el frente de ondas se extiende
continuamente creciendo con r2. Esto sugiere que la amplitud de la
onda de presin debe disminuir a medida que la distancia a la fuente
aumenta, ya que acta sobre un rea mayor. Este resultado est
confirmado experimental y tericamente y Figura 3.3. Onda de presin
esfrica arroja, si el fluido es istropo, para la onda de presin la
ecuacinp p0 = 1 f ( r vt ) r
[3.19]
donde aparece el factor geomtrico 1 r , que no apareca en una
onda plana, y que explica que la presin disminuye con la distancia
a la fuente. La velocidad de propagacin viene dada por la misma
expresin obtenida para las ondas planas. Un caso particularmente
interesante es el de una onda armnica esfrica de presin expresada
por3-5
3. Ondas sonoras
p =
p0 sen( kr t ) r
[3.20]
La amplitud de la onda de presin es p 0 r y disminuye con la
distancia a la fuente. Considerando este hecho calculemos la
intensidad de la onda esfrica. A partir de la ecuacin [3.15] la
densidad de energa viene dada por u= p 2 1 0 2 02 = 2 0 2 2 r2 2v 0
r [3.21]
que disminuye con r2 . Este resultado es compatible con la
conservacin de la energa ya que si la energa que fluye a travs de
cada superficie esfrica debe ser la misma, y el rea de la esfera
vara con r2 , esto implica que la densidad de energa debe variar
con r-2. La intensidad de una onda esfrica, promedio de energa que
atraviesa la unidad de rea en la unidad de tiempo, es igual a2 p0 P
I = vu = = 2 2v 0 r 4r 2
[3.22]
con P = 2p0 v potencia media del foco igual a la energa emitida
por el foco 02
sonoro por segundo y en todas las direcciones. Es decir, en una
onda esfrica la intensidad es inversamente proporcional al cuadrado
de la distancia a la fuente, resultado que encuentra muchas
aplicaciones tanto en acstica como en ptica. 3.2.2 Absorcin de
ondas sonoras. Otros factores que motivan la disminucin de la
intensidad de las ondas sonoras al propagarse por un medio son la
disipacin de energa en forma de calor debido a la viscosidad del
medio, la perdida de energa por difusin al aparecer fenmenos de
reflexin de ondas en partculas en suspensin en el medio tales como
nieve lluvia en el aire. Todos estos fenmenos provocan una
atenuacin de la intensidad de la onda segn la ecuacin I = I 0 exp(
x) [3.23]
donde recibe el nombre de coeficiente de absorcin. Para medios
con un coeficiente de viscosidad , el coeficiente de absorcin
depende de la frecuencia f de la onda sonora de la forma 16 2 f 2 =
3v 3 [3.24]
3-6
3. Ondas sonoras
3.3 Ondas sonoras estacionariasUn tubo de organo es un ejemplo
familiar de ondas estacionarias en columnas de aire donde al soplar
a travs de la boquilla se producen, para ciertas frecuencias
naturales de resonancia, ondas sonoras estacionarias debido a la
reflexin en el otro extremo. En un tubo de organo abierto, la
presin en ambos extremos es igual a la presin atmosfrica y no vara.
Por tanto, existe un nodo de presin en los dos extremos del tubo
que como vimos en el captulo 2 corresponde a un antinodo de
desplazamiento, como se muestra en la figura 3.4.a, al estar ambas
ondas desplazadas 90. Nuestras condiciones de contorno
correspondientes a antinodos son =mximo x = 0 para x=0 y x=L.
Introduciendo estas condiciones en la ecuacin de ondas general de
una onda armnica estacionaria ( x, t ) = ( Asenkx + B cos kx )
senwt queda = k ( A cos kx Bsenkx) senwt x
[3.25]
Haciendo x=0 y x=L ( x = 0) = kAsent = 0 x ( x = L) =
kBsenkLsenwt = 0 x
t, t,
implica que A=0 implica kL=n
y por tanto llegamos a= 2L n
[3.26]
y las frecuencias de las ondas estacionariasfn = v = n = f 1 ,2
f 1 ,3 f 1 ,... 2L
[3.27]
y por tanto las frecuencias posibles comprenden todos los
armnicos correspondientes al tono fundamental de frecuencia f 1 = v
2 L . En la figura 3.4.a se muestran en lneas de trazos la
distribucin de amplitud para los tres primeros armnicos.
3-7
3. Ondas sonoras
Analicemos ahora el caso de un tubo de organo con el extremo
opuesto al de la boquilla cerrado, figura 3.4.b. Ahora en el
extremo cerrado debemos tener un nodo en el desplazamiento, =0 para
x=L. Aplicando estas condiciones de contorno obtenemos ( L, t ) = B
cos kLsenwt = 0
t,
y esto implica coskL=0, es decir [3.28]
kL = ( 2n + 1)
4L (pasando a longitud de onda) = 2 2n + 1
con la frecuencia correspondientef = ( 2n + 1) v = f 1 ,3 f 1 ,5
f 1 ,.... 4L
[3.29]
Los modos de vibracin son ahora los armnicos impares de
fundamental v . Por tanto, para longitudes iguales, la frecuencia
fundamental de un tubo f1 = 4 L cerrado es la mitad de la de un
tubo abierto.
(a)
(b)
Figura 3.4.a) Onda de desplazamiento estacionaria en una columna
de aire abierta en uno de sus extremos. b) Onda de desplazamiento
estacionaria en una columna de aire cerrada 3-8
3. Ondas sonoras
En general, los instrumentos musicales son mucho ms complicados
que un simple tubo. Esto provoca que , cuando por ejemplo un oboe y
un clarinete tocan la misma nota, por ejemplo Sol, suenen de forma
muy diferente. Ambas notas tienen el mismo tono, que es una
sensacin fisiolgica de la altura de la nota, muy correlacionada con
su frecuencia. Sin embargo, las notas difieren en lo que se
denomina cualidad del tono timbre. La razn fundamental para la
diferencia del timbre es que, aunque el oboe y el clarinete estn
produciendo vibraciones con la Figura 3.5. Ondas de presin para un
diapasn, misma frecuencia fundamental, cada uno clarinete y oboe,
todos con la misma frecuencia de ellos est tambin produciendo
fundamental, 440 Hz, y la misma intensidad armnicos cuyas
intensidades relativas aproximada dependen del instrumento y de la
forma en que se toque. En la figura 3.5 se muestran los grficos de
las variaciones de presin en funcin del tiempo para un diapasn, un
clarinete y un oboe que tocan la misma nota. La forma de onda para
un diapasn es prcticamente una onda sinusoidal pura, lo cual no
ocurre para los instrumentos. Las formas de onda pueden analizarse
descomponindolas en los armnicos. Dicho anlisis recibe el nombre de
anlisis armnico de Fourier. La figura 3.6 muestra una representacin
de las intensidades relativas de los armnicos de las formas de onda
de la figura 3.5.
Figura 3.6. Intensidades relativas de los armnicos de las formas
de onda de la figura anterior 3-9
3. Ondas sonoras
3.3.1 Ondas sonoras estacionarias en una caja. Analicemos ahora
el caso de una onda sonora confinada en una caja rectangular de
dimensiones Lx , Ly y Lz . Sabemos que la presin del aire dentro de
la caja debe cumplir la ecuacin de ondas
r 2 p (r , t ) r = v 2 2 p ( r , t ) t 2
[3.30]
y que las condiciones de contorno impuestas por el problema
obligan a que el desplazamientos en las paredes de la caja sean
cero, es decir, dado el desfase de /2 entre desplazamiento y
presin, los cambios de presin en las paredes deben ser mximos
p x
x =0 x = Lx
=0
p y
y =0 y = Ly
=0
p z
z= 0 z = Lz
=0
[3.31]
Con estas condiciones de contorno, la solucin a la ecuacin de
ondas en forma de onda sonora armnica estacionaria toma la
forma
n ny r p(r ,t ) = Aeit cos x x cos L L x y
n y cos z z Lz
[3.32]
r con nx , ny y nz nmeros enteros y donde las componentes del
vector de ondas k son
r n n y n z k = x , , L Ly Lz x
[3.33]
Utilizando la relacin que liga frecuencia con vector de ondas,
=vk, llegamos a que las frecuentas f permitidas dentro de la caja
son aquella que cumplen la ecuacinv f (n x , n y , nz ) = 2 nx L x
ny nz + + L L y z2 2
2
[3.34]
De nuevo llegamos a una ecuacin que muestra que son solo
posibles ciertas frecuencias de oscilacin de las ondas sonoras
dentro de la caja, denominadas frecuencias na turales de oscilacin,
y que dependen bsicamente de las dimensiones de la caja y que estn
caracterizadas por tres nmeros enteros (nx , ny , nz ). Tambin se
observa como estas frecuencias permitidas no son mltiplos unas
3-10
3. Ondas sonoras
de otras. El hecho de que las frecuencias naturales est n
relacionadas armnicamente no es cierta en tres dimensiones. Las
condiciones de contorno dadas por [3.31] consideran que la caja es
perfectamente rgida, hecho que no se cumple en las cavidades reales
donde es posible un cierto desplazamiento de las partculas de la
pared respecto a su posicin de equilibrio y caracterizado por un
trmino de amortiguamiento. Este hecho conlleva un cierto
relajamiento en las posibles frecuencias dentro de la caja que a
continuacin pasamos a estimar. Consideremos la existencia en la
caja de una fuerza externa F0cost que provoca ondas sonoras
armnicas, por ejemplo un altavoz, y que las paredes no son
perfectamente rgidas existiendo un tmino de disipacin de energa. Si
las paredes fuesen perfectamente rgidas, solo cuando la frecuencia
de la fuerza externa coincidiese con una de las frecuencia
naturales de la caja tendramos resonancia y la onda sonora podra
propagarse. Sin embargo, en las paredes de la caja y debido a esta
fuerza externa, la presin responder a un movimiento oscilatorio
armnico con un trmino de amortiguamiento dado por la ecuacin
diferencial.
d2 p dp m 2 +b + 02 p = F0 cos(wt ) dt dt
[3.35]
Este problema ya lo hemos tratado en el captulo 1 y sabemos que
en este caso tenemos una oscilacin armnica forzada amortiguada con
una solucin en el estado estacionario dada por
F0 p(t ) =
[(
m2 2
2
0 ) + 4 2 2
]
1
sen( wt + )2
[3.36]
Cada vez que el altavoz emita con una frecuencia coincidente con
una de las frecuencias naturales 0 tendremos resonancia en la caja
y el sonido se propagar. Por otro lado, y dada la no rigidez de las
paredes, en un intervalo alrededor de la frecuencia de resonancia
es posible la existencia de ondas sonoras con una amplitud que
decae segn nos alejamos de la resonancia. Este intervalo viene
caracterizado por la anchura a mitad del pico de resonancia,
situado en 0 , y cumplindose que
0 =Q [3.37]
= 2
3-11
3. Ondas sonoras
3.4 Propagacin del sonidoLas ondas sonoras pueden reflejarse y
refractarse siguiendo las leyes generales que ya vimos en el
captulo anterior y dando lugar a fenmenos curiosos al propagarse en
la atmsfera debidos al hecho de que el aire no est en reposo, ni su
temperatura es constante. En otras palabras, el aire no puede
considerarse un medio homogeneo. Todos estos fenmenos se explican
teniendo en cuenta la ley de la refraccin que pone de manifiesto
que los rayos sonoros se curvan siempre hacia el medio en que es
menor la velocidad de propagacin. Fijemos la atencin primeramente
en lo que sucede cuando una onda sonora marcha a favor en contra
del viento. Cabe pensar en un simple arrastre de las ondas sonoras
por el viento, pero generalmente el efecto sobre el alcance del
sonido es mucho ms considerable de lo que el arrastre puede
justificar. Ello se debe a que la velocidad del viento, en general,
aumenta con la altura, y por consiguiente, si la onda avanza a
favor de viento, figura 3.7.a, resulta que el rayo sonoro, normal a
las superficies de onda esfricas, se curva hacia abajo adquiriendo
una trayectoria descendente y aumentando su alcance. Un efecto
contrario ocurre cuando la onda sonora va contra el viento, figura
3.7.b. Por otro lado, hemos demostrado que la velocidad de la onda
sonora aumenta proporcionalmente a la raiz cuadrada de la
temperatura. Por lo tanto, en la atmsfera donde, en general, la
temperatura va disminuyendo con la altura ocurrira lo mismo con la
velocidad de propagacin del sonido y los rayos sonoros se desviarn
ordinariamente hacia capas altas, figura 3.7.c. Los rayos sonoros
ascendentes pueden encontrar inversiones trmicas, figura 3.7.d, en
cuyo caso invierten su curvatura siendo devueltos hacia el suelo y
justificando la existencia de amplias zonas de silencio entre el
foco y el observador.
Figura 3.7. Refraccin de una onda sonora propagndose en la
atmsfera en diferentes situaciones: a) y b) a favor y en contra del
viento, c) y d) con diferentes situaciones trmicas
3-12
3. Ondas sonoras
Al incidir la onda sonora sobre la superficie de limitacin de
dos medios vimos en el captulo anterior como parte de la onda ser
reflejada y parte transmitida. El conocido fenmeno del eco es
fcilmente explicado aplicando la reflexin de las ondas sonoras en
las superficies de separacin de medios. Debe tenerse en cuenta que
el oido no separa sonidos recibidos con intervalos inferiores a 0,1
segundo, de modo que la mnima distancia a que debe estar colocado
un obstculo para dar lugar a la percepcin del eco es l 2 vt =
333.0,1 y l 17m . En cuanto a la energa transmitida de la onda
sonora, y siguiendo el razonamiento descrito en el apartado 2.9,
los coeficientes de tranmisin y reflexin al incidir la onda sobre
la superficie de separacin de dos medios de impedancia acstica Z1 y
Z2 vienen dados, para incidencia normal, por las ecuacionesT= 2 Z1
Z1 + Z 2
Z Z2 R= 1 Z1 + Z 2
[3.38]
Debe recordarse que estos coeficientes relacionaban la amplitud
incidente con la transmitida y la reflejada. Generalmente estamos
ms interesados en analizar las intensidades transmitidas y
reflejadas que las amplitudes. Esto lleva a la definicin de los
factores de transmisin t, razn de la intensidad transmitida e
incidente y reflexin r, razn de la intensidad reflejada e
incidente, comot= It Ii
I r= r Ii
[3.39]
Recordando que la intensidad se relaciona con la densidad de
energa y amplitud segn I = uv = 1 2 2 v 02 podemos escribir los
factores de transmisin t y reflexin r en funcin de las impedancias
acsticas de los medios Z1 y Z2 como
4s (1 + s) 2 4s r =1 (1 + s ) 2 t=
[3.40]
donde s es la razn de impedancias s = Z 2 Z . Por tanto si s es
cas igual a la unidad 1 (Z2Z1), la energa incidente pasa casi
integramente al segundo medio, mientras que3-13
3. Ondas sonoras
si s es muy grande (Z2>>Z1) muy pequeo (Z2
