INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMTICA mauro/ine5403/slides_novos/pdfs_texs/   7 - ESTRUTURAS

  • View
    212

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMTICA mauro/ine5403/slides_novos/pdfs_texs/   7 - ESTRUTURAS

INE5403

FUNDAMENTOS DEMATEMTICA DISCRETA

PARA A COMPUTAO

PROF. DANIEL S. FREITAS

UFSC - CTC - INE

Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.1/31

7 - ESTRUTURAS ALGBRICAS

7.1) Operaes Binrias

7.2) Semigrupos

7.3) Produtos e Quocientes de Semigrupos

7.4) Grupos

7.5) Produtos e Quocientes de Grupos

Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.2/31

SEMIGRUPOS

Semigrupo: conjunto S + oper. binria associativa definida sobre S.

Sistema algbrico simples.

Muitas aplicaes importantes.

Ex.: mquinas de estados finitos

Denotado por (S, ).

Ou simplesmente por S (quando fica claro o que ).

Tambm nos referimos a a b como o produto de a e b.

(S, ) chamado de comutativo se uma operao comutativa.

Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.3/31

EXEMPLOS DE SEMIGRUPOS

Exemplo: (Z, +) um semigrupo comutativo.

Exemplo: (P (S),) um semigrupo comutativo.

Exemplo: (Z,) no um semigrupo

pois a subtrao no associativa.

Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.4/31

EXEMPLOS DE SEMIGRUPOS

Exemplo: Seja S um conjunto fixo no-vazio.

E seja SS o conjunto de todas as funes f : S S

Ento, sejam f e g dois elementos de SS :

definimos f g como f g (funo composta)

uma operao binria associativa sobre SS

Portanto, (SS , ) um semigrupo (no-comutativo).

Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.5/31

EXEMPLOS DE SEMIGRUPOS

Exemplo: Seja (L,) um reticulado.

Definio: a b = a b

Ento, L um semigrupo.

Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.6/31

EXEMPLOS DE SEMIGRUPOS

Exemplo: Seja A = {a1, a2, . . . , an}.

Sejam e dois elementos de A.

Note que concatenao () uma operao binaria sobre A.

associativa: se , e so elementos quaisquer de A:

( ) = ( )

Logo, (A, ) um semigrupo.

( o chamado semigrupo livre gerado por A)

Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.7/31

ASSOCIATIVIDADE EM SEMIGRUPOS

Em um semigrupo (S, ) a propriedade associativa pode sergeneralizada:

Teorema: O produto dos elementos a1, a2, . . . , an (n 3), de umsemigrupo, no depende da insero de parnteses.

Ou seja, este produto pode ser escrito como: a1 a2 an

Exemplo: So iguais os produtos:

((a1 a2) a3) a4

a1 (a2 (a3 a4))

(a1 (a2 a3)) a4

Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.8/31

IDENTIDADES EM SEMIGRUPOS

Um elemento identidade de um semigrupo satisfaz a:

e a = a e = a , a S

Exemplo: O nmero 0 uma identidade do semigrupo (Z, +).

Teorema: Se um semigrupo (S, ) tem uma identidade, ela nica.

Prova:

Suponha que e e e so identidades em S.

Como e uma identidade: e e = e

Tambm, como e uma identidade: e e = e

Portanto: e = e

Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.9/31

MONIDES

Monide: semigrupo que tem identidade.

Exemplo: O semigrupo (P (S),) um monide.

A identidade o elemento , pois:

A = A = A = A = A , A P (S)

Exemplo: O semigrupo (A, ) um monide.

A identidade o elemento , pois:

= = , A

Exemplo: O conjunto de todas as relaes sobre um conjunto A um monide sob a operao de composio.

A identidade a relao de igualdade .

Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.10/31

SUBSEMIGRUPOS & SUBMONIDES

Sejam (S, ) um semigrupo e T um subconjunto de S:

(T, ) um subsemigrupo de (S, ) se T for fechado sob

(fechado: a b T sempre que a, b T )

Similarmente:

Seja (S, ) um monide (com identidade e) e seja T umsubconjunto de S.

(T, ) um submonide de (S, ) se T for fechado sob ese e T .

Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.11/31

SUBSEMIGRUPOS & SUBMONIDES

Note que a associatividade vale em qualquer subconjunto de umsemigrupo.

Deste modo, um subsemigrupo (T, ) de um semigrupo (S, ) por simesmo um semigrupo.

Da mesma forma: um submonide de um monide ele prprio ummonide.

Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.12/31

SUBSEMIGRUPOS & SUBMONIDES

Exemplo:

Seja (S, ) um semigrupo. Ento:

(S, ) um subsemigrupo de (S, )

Seja (S, ) um monide. Ento:

(S, ) um submonide de (S, )

({e}, ) tambm um submonide de (S, )

Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.13/31

POTNCIAS EM SEMIGRUPOS

Seja a um elemento de um semigrupo (S, )

Para n Z+, definimos recursivamente as potncias an:

a1 = a

an = an1 a, n 2

Alm disto:

se (S, ) um monide, definimos: a0 = e

se m e n so inteiros no-negativos: am an = am+n

Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.14/31

POTNCIAS EM SEMIGRUPOS

Exemplo:

Se (S, ) um semigrupo e:

a S

T = {ai | i Z+}

Ento (T, ) um subsemigrupo de (S, ).

Exemplo:

Se (S, ) um monide e:

a S

T = {ai | i Z+ ou i = 0}

Ento (T, ) um submonide de (S, ).

Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.15/31

POTNCIAS EM SEMIGRUPOS

Exemplo: Seja T o conjunto de todos os inteiros pares.

Ento (T,) um subsemigrupo do monide (Z,).

Mas no um submonide:

a identidade de Z (o nmero 1), no pertence a T .

Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.16/31

ISOMORFISMOS

Sejam (S, ) e (T, ) dois semigrupos.

Uma f : S T um isomorfismo de (S, ) para (T, ) se:

ela for uma bijeo de S para T

f(a b) = f(a) f(b), a, b S

Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.17/31

ISOMORFISMOS

J que f uma bijeo de S para T :

f1 existe e uma correspondncia um-para-um de T para S.

Proposio: f1 um isomorfismo de (T, ) para (S, ).

Prova:

sejam a e b elementos de T

j que f sobrejetiva:

devem existir a e b em S tais que f(a) = a e f(b) = b

ento: a = f1(a) e b = f1(b)

da: f1(a b) = f1(f(a) f(b))

= f1(f(a b))

= (f1 f)(a b)

= a b

= f1(a) f1(b)

Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.18/31

ISOMORFISMOS

Se (S, ) e (T, ) so isomrficos, escrevemos: S ' T

Procedimento para mostrar que (S, ) e (T, ) so isomrficos:

1. Defina uma funo f : S T com Dom(f) = S.

2. Mostre que f um-para-um (injetiva).

3. Mostre que f sobrejetiva.

4. Mostre que f(a b) = f(a) f(b).

Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.19/31

ISOMORFISMOS

Exemplo: Seja T os inteiros pares. Mostre que os semigrupos(Z, +) e (T, +) so isomrficos.

Passo 1: a funo f : Z T f(a) = 2a

Passo 2: mostrando que f injetiva (um-para-um):

suponha que f(a1) = f(a2)

ento: 2a1 = 2a2 = a1 = a2

Passo 3: mostrando que f sobrejetiva:

seja b qualquer inteiro par

ento: b/2 = a Z

Passo 4: f preserva relao entre operaes:

f(a + b) = 2(a + b) = 2a + 2b = f(a) + f(b)

Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.20/31

ISOMORFISMOS

Em geral:

fcil verificar se uma f : S T ou no um isomorfismo

mas difcil mostrar que dois semigrupos so isomrficos

Como no caso dos reticulados:

quando dois semigrupos so isomrficos, s podem diferir nanatureza dos seus elementos

suas estruturas de semigrupos devem ser idnticas

Se S e T so semigrupos finitos:

operaes binrias dadas por tabelas de multiplicao

S e T sero isomrficos se, rearranjando e renomeando oselementos de S, obtemos a tabela de T .

Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.21/31

ISOMORFISMOS

Exemplo: Seja S = {a, b, c} e T = {x, y, z}.

Sejam as seguintes tabelas de multiplicao:

a b c

a a b c

b b c a

c c a b

x y z

x z x y

y x y z

z y z x

Fcil verificar que impem estruturas de semigrupo a S e T .

Agora, considere a funo: f(a) = y f(b) = x f(c) = z

Substituindo os elementos de S por suas imagens e rearranjandoa tabela, obtemos, exatamente, a tabela de T

portanto, S e T so isomrficos.

Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.22/31

ISOMORFISMOS

Teorema:

Sejam os monides:(S, ), com identidade e(T, ), com identidade e.

Ento, se f : S T um isomorfismo, f(e) = e.

Prova:

Seja b um elemento qualquer de T .

Como f sobrejetiva, h um a em S tal que f(a) = b.

Ento: b = f(a) = f(a e) = f(a) f(e) = b f(e)

Similarmente, como a = e a, temos que: b = f(e) b.

Logo, b T : b = b f(e) = f(e) b.

Ou seja, f(e) uma identidade para T .

Da, como a identidade tem que ser nica: f(e) = e

Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.23/31

ISOMORFISMOS

Conseqncia do teorema anterior:

Um semigrupo com identidade no pode ser isomrfico a umsemigrupo sem identidade.

Exemplo: Seja T o conjunto dos inteiros pares.

Ento os semigrupos (Z,) e (T,) no so isomrficos.

Pois Z tem uma identidade e T no.

Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.24/31

HOMOMORFISMOS

Agora vamos tirar da definio de isomorfismo de semigrupos asexigncias de que ele seja injetivo e sobrejetivo.

Obtemos outro importante mtodo para comparar as estruturasalgbricas de dois semigrupos: