INE0003 FUNDAMENTOS DE MATEMTICA mauro/ine5403/slides_novos/pdfs_texs/   ine0003 fundamentos

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  • INE0003

    FUNDAMENTOS DEMATEMTICA DISCRETA

    PARA A COMPUTAO

    PROF. DANIEL S. FREITAS

    UFSC - CTC - INE

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.1/52

  • 7 - ESTRUTURAS ALGBRICAS

    7.1) Operaes Binrias

    7.2) Semigrupos

    7.3) Produtos e Quocientes de Semigrupos

    7.4) Grupos

    7.5) Produtos e Quocientes de Grupos

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.2/52

  • LGEBRA ABSTRATA

    Noo familiar: lgebra Elementar.

    Exemplo: adio e multiplicao sobre os inteiros.

    Essncia: operao binria sobre um conjunto de elementos.

    Abstrao: recurso poderoso.

    Consiste em isolar a essncia do problema.

    Conexo entre problemas aparentemente no relacionados.

    Problemas complexos viram simples casos particulares deesquema mais geral.

    Uma vez identificada a classe de um problema, pode-seaproveitar resultados prontos.

    Ponto de vista de modelagem em Cincia da Computao:

    interessa justamente mais o esquema geral do que os detalhes

    abstrao permite focar apenas no que interessa

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.3/52

  • OPERAES BINRIAS

    Precisamos de uma definio precisa desta idia familiar.

    Operao Binria sobre um conjunto A:

    funo f : A A A

    definida para todo par ordenado de elementos de A

    apenas um elemento de A atribudo a cada par de A A

    Ou seja: regra que atribui um nico elemento de A a cada parordenado de elementos de A.

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.4/52

  • OPERAES BINRIAS

    Notao:

    como se trata de uma funo, o normal seria denotar o elementoatribudo a (a, b) por (a, b)

    mas o usual a b

    Importante: lembrar que a b A

    tambm se diz que A fechado sob a operao

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.5/52

  • OPERAES BINRIAS

    Exemplo 1(/6): Seja A = Z.

    Defina a b como a + b.

    Ento uma operao binria sobre Z

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.6/52

  • OPERAES BINRIAS

    Exemplo 2(/6): Seja A = R.

    Defina a b como a/b.

    Ento no uma operao binria

    pois no definida para todo par ordenado de A A

    por exemplo, 3 0 no definida

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.7/52

  • OPERAES BINRIAS

    Exemplo 3(/6): Seja A = Z+.

    Defina a b como a b.

    Ento no uma operao binria:

    no atribui um elemento de A para todo par de A A

    por exemplo, 2 5 / A

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.8/52

  • OPERAES BINRIAS

    Exemplo 4(/6): Seja A = Z.

    Defina a b como um nmero menor do que a e do que b.

    Ento no uma operao binria:

    no atribui um elemento nico de A para todo par de A A

    por exemplo, 8 6 poderia ser 5, 4, 3, 2, 1, etc.

    Neste caso, seria uma relao de A A para A

    mas no uma funo

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.9/52

  • OPERAES BINRIAS

    Exemplo 5(/6): Seja A = Z.

    Defina a b como max{a, b}.

    Ento uma operao binria:

    2 4 = 4

    3 (5) = 3

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.10/52

  • OPERAES BINRIAS

    Exemplo 6(/6): Seja A = P (S), para algum conjunto S.

    Sejam V e W dois subconjuntos de S.

    V W definida como V W uma operao

    binria sobre A.

    Mas: V W definida como V W tambm.

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.11/52

  • OPERAES BINRIAS

    Note que possvel definir muitas operaes binrias sobre omesmo conjunto.

    Exemplo: Seja M o conjunto de todas as matrizes Booleanas.

    So operaes binrias:

    A B definido como A B

    A B definido como A B

    Exemplo: Seja L um reticulado.

    So operaes binrias sobre L:

    a b definido como a b (GLB de a e b)

    a b definido como a b (LUB de a e b)

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.12/52

  • OPERAES BINRIAS & TABELAS

    Pode-se definir uma operao binria sobre um conjuntoA = {a1, a2, . . . , an} por meio de uma tabela:

    a1 a2 . . . aj . . . an

    a1

    a2

    . . .

    ai ai aj

    . . .

    an

    Elemento na posio i, j denota ai aj

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.13/52

  • OPERAES BINRIAS & TABELAS

    Exemplo: Operaes e sobre A = {0, 1}:

    0 1

    0 0 1

    1 1 1

    0 1

    0 0 0

    1 0 1

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.14/52

  • NMERO DE OPERAES BINRIAS

    Seja A = {a, b}.

    O nmero de operaes binrias que podem ser definidas sobre A :

    toda operao binria sobre A pode ser descrita pela tabela:

    a b

    a

    b

    como cada espao vazio pode ser preenchido com a ou b:

    h 2 2 2 2 = 24 = 16 modos de completar a tabela

    Logo, existem 16 operaes binrias possveis sobre A.

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.15/52

  • PROPRIEDADES DAS OPERAES BINRIAS

    Prop1: Uma operao binria comutativa se:

    a b = b a a, b A

    Exemplo: a + b sobre A = Z comutativa.

    Exemplo: a b sobre A = Z no comutativa, pois:

    2 3 6= 3 2

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.16/52

  • PROPRIEDADES DAS OPERAES BINRIAS

    Uma operao binria definida por uma tabela simtrica se esomente se a tabela simtrica.

    Exemplo: Sejam as operaes binrias sobre A:

    a b c d

    a a c b d

    b b c b a

    c c d b c

    d a a b b

    a b c d

    a a c b d

    b c d b a

    c b b a c

    d d a c d

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.17/52

  • PROPRIEDADES DAS OPERAES BINRIAS

    Prop2: Uma operao binria associativa se:

    a (b c) = (a b) c a, b, c A

    Exemplo: a + b sobre A = Z associativa.

    Exemplo: a b sobre A = Z no associativa, pois:

    2 (3 5) 6= (2 3) 5

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.18/52

  • PROPRIEDADES DAS OPERAES BINRIAS

    Exemplo: A operao binria a b = a b, sobre um reticulado L, comutativa e associativa.

    Tambm idempotente: a a = a.

    Nota: o converso disto parcialmente verdadeiro...

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.19/52

  • PROPRIEDADES DAS OPERAES BINRIAS

    Exemplo:

    Seja uma operao binria sobre A que satisfaz:

    a = a a (idempotncia)

    a b = b a (comutatividade)

    a (b c) = (a b) c (associatividade)

    E seja uma relao sobre A definida por:

    a b se e somente se a = a b

    Ento, mostre que:

    1) (A,) um poset

    2) GLB(a, b) = a b, a, b A

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.20/52

  • PROPRIEDADES DAS OPERAES BINRIAS

    Exemplo (cont.):

    1) Mostrando que (A,) um poset:

    reflexiva: como a = a a, temos que

    a a, a A

    antissimtrica: se a b e b a, ento:

    a = a b = b a = b

    transitiva: se a b e b c, ento:

    a = a b = a (b c) = (a b) c = a c

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.21/52

  • PROPRIEDADES DAS OPERAES BINRIAS

    Exemplo (cont.):

    2) Mostrando que a b = a b:

    temos que: a b = a (b b) = (a b) b

    de modo que: a b b

    similarmente: a b a

    concluso: a b uma cota inferior para a e b

    agora, se c a e c b:

    c = c a e c = c b

    portanto: c = (c a) b = c (a b)

    de modo que: c a b

    concluso: a b a maior cota superior de a e b.

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.22/52

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