INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMTICA mauro/ine5403/slides_novos/pdfs_texs/   ine5403 fundamentos

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  • INE5403

    FUNDAMENTOS DEMATEMTICA DISCRETA

    PARA A COMPUTAO

    PROF. DANIEL S. FREITAS

    UFSC - CTC - INE

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.1/27

  • 4 - INTROD. ANLISE COMBINATRIA

    4.1) Arranjos (permutaes)

    4.2) Combinaes

    4.3) O Princpio do Pombal

    4.4) Relaes de Recorrncia

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.2/27

  • RELAES DE RECORRNCIA

    Quando o problema encontrar uma frmula para uma seqnciadefinida recursivamente, esta frmula recursiva chamada derelao de recorrncia.

    As definies recursivas de seqncias, que j vimos, so exemplosde relaes de recorrncia.

    Lembre que, para definir uma seqncia recursivamente, umafrmula recursiva deve ser acompanhada por informao sobre oincio da seqncia.

    Esta informao chamada de condio inicial para aseqncia.

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.3/27

  • RELAES DE RECORRNCIA

    Exemplo 1:

    (a) A relao de recorrncia an = an1 + 3 com a1 = 4recursivamente define a seqncia:

    4, 7, 10, 13, . . ..

    (b) A relao de recorrncia fn = fn1 + fn2 , f1 = f2 = 1 definerecursivamente a seqncia de Fibonacci:

    1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . .

    Relaes de recorrncia aparecem naturalmente em muitosproblemas de contagem e na anlise de problemas de programao.

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.4/27

  • RELAES DE RECORRNCIA

    Exemplo 2 (1/2): Seja A = {0, 1}. Fornea uma relao derecorrncia para cn: nmero de strings de comprimento n em A

    que no contm 0s adjacentes.

    Soluo:

    0 e 1 so as nicas strings de comprimento 1 c1 = 2

    c2 = 3: as nicas strings deste tipo so 01, 10, 11

    Em geral, toda string w de comprimento n 1 que no contm00, se concatenada com 1, forma uma string 1 w

    de comprimento n e no contm 00

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.5/27

  • RELAES DE RECORRNCIA

    Exemplo 2 (2/2): Seja A = {0, 1}. Fornea uma relao derecorrncia para cn: nmero de strings de comprimento n em A

    que no contm 0s adjacentes.

    Soluo:

    nica outra possibilidade de incio para uma string boa decomprimento n: 01

    ou seja, pode at comear com 0, desde que seguido por 1

    estas strings so da forma 01 v

    onde v uma string boa de comprimento n 2

    Portanto: cn = cn1 + cn2

    com as condies iniciais: c1 = 2 e c2 = 3 2

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.6/27

  • RELAES DE RECORRNCIA

    Exemplo 3 (1/2): Suponha que queremos listar todas as seqnciasde n elementos sem repeties que podem ser construdas a partirdo conjunto {1, 2, 3, . . . , n}.

    Uma abordagem para resolver este problema procederrecursivamente:

    Passo 1: produza uma lista de todas as seqncias semrepeties que podem feitas a partir de {1, 2, 3, . . . , n 1}

    Passo 2: Para cada seqncia do passo 1, insira n em cada umdos n locais possveis:

    no incio, no final e entre cada par de nmeros na seqncia

    imprima o resultado e remova n

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.7/27

  • RELAES DE RECORRNCIA

    Exemplo 3 (2/2): Listar seqncias de n elementos sem repetiesconstrudas do conjunto {1, 2, 3, . . . , n}.

    O nmero de aes do tipo inserir-imprimir-remover o nmerode seqncias de n elementos.

    ou: n vezes o nmero de seqncias produzidas no passo 2

    logo:

    nro de seqs de n elems = n(nro de seqs de (n 1) elems)

    isto fornece uma frmula recursiva para o nmero de seqnciasde n elementos

    condio inicial?

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.8/27

  • RELAES DE RECORRNCIA

    Uma tcnica para encontrar uma frmula explcita para a seqnciadefinida por uma relao de recorrncia o backtracking.

    Ilustrado no exemplo a seguir...

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.9/27

  • BACKTRACKING

    Exemplo 4 (1/2): A relao de recorrncia an = an1 + 3 coma1 = 2 define a seqncia: 2, 5, 8, . . ..

    Fazemos o backtracking de an substituindo a definio dean1, an2 e assim por diante

    at que um padro fique claro:

    an = an1 + 3 ou an = an1 + 3

    = (an2 + 3) + 3 = an2 + 2 3

    = ((an3 + 3) + 3) + 3 = an3 + 3 3

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.10/27

  • BACKTRACKING

    Exemplo 4 (2/2): A relao de recorrncia an = an1 + 3 coma1 = 2 define a seqncia: 2, 5, 8, . . ..

    eventualmente, chegaremos a:

    an = an(n1) + (n 1) 3

    = a1 + (n 1) 3

    = 2 + (n 1) 3

    logo, uma frmula explcita para a seqncia :

    an = 2 + (n 1)3 2

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.11/27

  • BACKTRACKING

    Exemplo 5 (1/2): Use o backtracking para encontrar uma frmulaexplcita para a seqncia definida pela relao de recorrnciabn = 2.bn1 + 1 com condio inicial b1 = 7.

    Soluo:

    Comeamos substituindo a definio do termo anterior nafrmula:

    bn = 2bn1 + 1

    = 2(2bn2 + 1) + 1

    = 2[2(2bn3 + 1) + 1] + 1

    = 23bn3 + 4 + 2 + 1

    = 23bn3 + 22 + 21 + 1

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.12/27

  • BACKTRACKING

    Exemplo 5 (2/2): Use o backtracking para encontrar uma frmulaexplcita para a seqncia definida por bn = 2.bn1 + 1 comcondio inicial b1 = 7.

    Soluo:

    Note que um padro est aparecendo com as re-escritas de bn.Nota: no h regras feitas para esta re-escrita.

    Pode ser necessrio experimentar um pouco.

    O backtracking terminar em:

    bn = 2n1bn(n1) + 2

    n2 + 2n3 + + 22 + 21 + 1

    = 2n1b1 + 2n1 1 (ver exerc. de induo)

    = 7 2n1 + 2n1 1 (usando b1 = 7)

    = 8 2n1 1 = 2n+2 1 2

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.13/27

  • BACKTRACKING

    Nota 1: duas somas muito teis, que j foram provadas:

    S1) 1 + a + a2 + a3 + + an1 = an

    1a1

    S2) 1 + 2 + 3 + + n = n(n+1)2

    Nota 2: o backtracking pode no revelar um padro explcito para aseqncia definida por uma relao de recorrncia.

    Em seguida, veremos uma tcnica mais geral para resolver umarelao de recorrncia...

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.14/27

  • EQUAES CARACTERSTICAS

    Antes uma definio til...

    Uma relao de recorrncia uma relao homognea linear degrau k se for da forma:

    an = r1an1 + r2an2 + + rkank

    aonde os ris so constantes

    De maneira informal:

    cada parcela construda do mesmo (homogneo) modo:

    cada parcela um mltiplo de um dos k (grau k) termos queantecedem an (linear)

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.15/27

  • EQUAES CARACTERSTICAS

    Exemplo 6:

    (a) A relao cn = (2)cn1 uma relao de recorrnciahomognea linear de grau 1.

    (b) A relao an = an1 + 3 no uma relao de recorrnciahomognea linear.

    (c) A relao fn = fn1 + fn2 uma relao de recorrnciahomognea linear de grau 2.

    (d) A relao gn = g2n1 + gn2 no uma relao homognealinear.

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.16/27

  • EQUAES CARACTERSTICAS

    Seja uma relao de recorrncia homognea linear de grau k:

    an = r1an1 + r2an2 + + rkank

    A sua equao caracterstica dada pelo polinmio de grau k a elaassociado:

    xk = r1xk1 + r2x

    k2 + + rk

    as razes desta equao tm um papel chave na frmula explcitapara a seqncia definida pela relao de recorrncia e ascondies iniciais

    O caso geral pode ser resolvido, mas veremos apenas o grau 2

    neste caso, comum escrever a equao caracterstica como:

    x2 r1x r2 = 0

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.17/27

  • EQUAES CARACTERSTICAS

    Teorema 1:

    (a) Se a equao caracterstica x2 r1x r2 = 0, da relao derecorrncia an = r1an1 + r2an2, tem duas razes distintass1 e s2, ento a frmula explcita para a seqncia dada por:

    an = usn1 + vs

    n2

    (b) Se a equao caracterstica x2 r1x r2 = 0 tem uma raznica s, a frmula explcita dada por:

    an = usn + vnsn

    onde u e v dependem das condies iniciais.

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.18/27

  • EQUAES CARACTERSTICAS

    Prova de (a): (duas razes distintas: an = usn1 + vsn2 )

    j que s1 e s2 so razes de x2 r1x r2 = 0, temos:

    s21 r1s1 r2 = 0 e s22 r1s2 r2 = 0

    vamos mostrar que: an = usn1 + vsn

    2, n 1

    define a mesma seqncia que: an = r1an1 + r2an2

    primeiro, note que as condies iniciais so satisfeitas, pois u e v vm de:

    a1 = us1 + vs2 e a2 = us21 + vs22

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.19/27

  • EQUAES CARACTERSTICAS

    Prova de (a): (duas razes distintas: an = usn1 + vsn2 )

    j que s1 e s2 so razes de x2 r1x r2 = 0, temos:

    s21 r1s1 r2 = 0 e s22 r1s2 r2 = 0

    vamos mostrar que: an = usn1 + vsn

    2, n 1

    define a mesma seqncia que: an = r1an1 + r2an2

    primeiro, note que as condies iniciais so satisfeitas, pois u e v vm de:

    a1 = us1 + vs2 e a2 = us21 + vs22

    ento: an = usn1 + vsn

    2

    = usn21

    s21

    + vsn22

    s22

    = usn21

    (r1s1 + r2) + vsn2

    2(r1s2 + r2)

    = r1usn1

    1+ r2us

    n2

    1+ r1vs

    n1

    2+ r2vs

    n2

    2)

    = r1(usn1

    1+ vsn1

    2) + r2(us

    n2

    1+ vsn2

    2)

    = r1an1 + r2an2 2

    Prova de (b): totalmente similar.

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.20/27

  • EQUAES CARACTERSTICAS

    Exemplo 7: Encontre uma frmula explcita para a seqncia:

    cn = 3cn1 2cn2

    condies iniciais: c1 = 5 e c2 = 3

    Soluo:

    a relao dada homognea linear de grau 2

    equao associada: x2 = 3x 2ou: x2 3x + 2 = 0, razes: 1 e 2

    o teorema 1 mostra que u e v vm da soluo de:

    c1 = u.(1) + v.(2) e c2 = u.(1)2 + v.(2)2

    levando a: u = 7 e v = 1

    da, pelo teorema 1, temos:

    cn =