INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMTICA DISCRETA mauro.roisenberg/ine5403/slides_novos/pdfs_texs/p... 

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  • INE5403

    FUNDAMENTOS DEMATEMTICA DISCRETA

    PARA A COMPUTAO

    PROF. DANIEL S. FREITAS

    UFSC - CTC - INE

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.1/59

  • 2 - FUNDAMENTOS

    2.1) Teoria dos Conjuntos

    2.2) Nmeros Inteiros

    2.3) Funes

    2.4) Seqncias e somas

    2.5) Crescimento de funes

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.2/59

  • CONJUNTOS E SUBCONJUNTOS

    Um conjunto uma coleo bem-definida de objetos (chamadosde membros ou elementos do conjunto).

    Bem-definida significa simplesmente que possvel decidir seum dado objeto pertence ou no coleo.

    Ou: coleo no-ordenada de objetos.

    Normalmente, os objetos em um conjunto possuem uma mesmapropriedade.

    Exemplo: o conjunto dos inteiros menores do que 4:

    A = {1, 2, 3}

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.3/59

  • EXEMPLOS DE CONJUNTOS

    Conjunto dos livros da livraria da FEESC (finito).

    Conjunto dos nmeros naturais (infinito).

    Conjunto dos dinossauros vivos (conj. Vazio, , )

    Conjunto S de 2 elementos, um dos quais o conjunto das letrasminsculas do alfabeto e o outro o conjunto dos dgitos decimais:

    X = {a, b, c, d, . . . , y, z}

    Y = {0, 1, 2, . . . , 9}

    S = {X, Y } = {{a, b, c, . . . , y, z}, {0, 1, 2, . . . , 9}}

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.4/59

  • CONJUNTOS E SUBCONJUNTOS

    Usualmente:

    letras maisculas denotam conjuntos

    letras minsculas denotam elementos de um conjunto

    (Pertinncia) O smbolo denota que um elemento pertence aoconjunto. Ex.: a A

    Exemplo: Se A = {violeta, amarelo, vermelho}, ento:

    amarelo A

    azul / A

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.5/59

  • CARACTERSTICAS DOS CONJUNTOS

    A ordem em que os elementos so listados em um conjunto irrelevante:

    {3, 2, 1} e {1, 3, 2} representam o mesmo conjunto

    A repetio dos elementos em um conjunto irrelevante:

    {1, 1, 1, 3, 2} uma outra representao de {1, 2, 3}

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.6/59

  • CONJUNTOS DEFINIDOS POR PROPRIEDADES

    Conjuntos infinitos podem ser definidos indicando-se um padro.

    Exemplo: o conjunto S, de todos os inteiros pares, pode serexpresso como {2, 4, 6, ...}

    S tambm pode ser definido por recurso:

    1. 2 S

    2. Se n S, ento (n + 2) S

    Forma mais clara (e mais segura) de descrever este conjunto S:

    S = {x | x inteiro positivo par}

    ou: o conjunto de todos os x tal que x inteiro positivo e par

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.7/59

  • CONJUNTOS DEFINIDOS POR PROPRIEDADES

    A melhor maneira de definir um conjunto especificando umapropriedade que os elementos do conjunto tm em comum.

    Usa-se um predicado P (x) para denotar uma propriedade Preferente a uma varivel objeto x.

    Notao para um conjunto S cujos elementos tm a propriedade P :

    S = {x | P (x)}

    O que significa tambm:

    {x | x S P (x)}

    {x S | P (x)}

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.8/59

  • CONJUNTOS DEFINIDOS POR PROPRIEDADES

    Exemplos:

    1. {x | x um inteiro e 3 < x 7}

    2. {x | x um ms com exatamente 30 dias}

    3. {x | x a capital do Brasil}

    Exerccios: Descreva os seguintes conjuntos:

    1. {1, 4, 9, 16}

    2. {o pedreiro, o padeiro, o alfaiate}

    3. {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . .}

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.9/59

  • CONJUNTOS ESPECIAIS

    N : conjunto dos nmeros naturais: {0, 1, 2, 3, . . .}

    Z : conjunto dos nmeros inteiros: {. . . ,2,1, 0, 1, 2, . . .}

    Z : conjunto dos nmeros inteiros positivos: {1, 2, 3, . . .}

    Q: conjunto dos nmeros racionais: {x | x = n/m, m, n Z e m 6= 0}

    R: conjunto dos nmeros reais: {x | x um nmero real}

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.10/59

  • IGUALDADE DE CONJUNTOS

    Dois conjuntos A e B so ditos iguais se e somente se elespossuem os mesmos elementos.

    Neste caso, escreve-se: A = B

    A=B significa:

    (x)[(x A x B) (x B x A)]

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.11/59

  • SUBCONJUNTOS

    O conjunto A dito um subconjunto de B se e somente se todoelemento de A tambm um elemento de B.

    Isto : x (x A x B)

    Diz-se que A est contido em B e escreve-se A B

    Se A no um subconjunto de B, escreve-se A / B

    Se A um subconjunto de B, mas queremos enfatizar queA 6= B, escrevemos A B

    neste caso, A um subconjunto prprio de B

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.12/59

  • SUBCONJUNTOS (EXEMPLOS)

    Sejam os conjuntos:

    A = {1, 7, 9, 15}

    B = {7, 9}

    C = {7, 9, 15, 20}

    Ento as seguintes sentenas so verdadeiras:

    B C 15 C

    B A {7, 9} B

    B A {7} A

    A / C C

    Nota: O conjunto Vazio um subconjunto de todo conjunto, pois:

    se x , ento x S

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.13/59

  • SUBCONJUNTOS (EXEMPLOS)

    Conjuntos podem ter outros conjuntos como membros.

    Exemplos:

    {, {a}, {b}, {a, b}}

    {x | x um subconjunto do conjunto {a, b}}(Note que estes dois conjuntos so iguais.)

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.14/59

  • SUBCONJUNTOS (EXEMPLOS)

    Conjuntos podem ter outros conjuntos como membros.

    Exemplo: Seja A um conjunto e seja B = {A, {A}}.

    Como A e {A} so elementos de B, tem-se que:

    A B e tambm que {A} B

    Segue ento que {A} B e que {{A}} B

    Mas no verdade que A B (Por qu?)

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.15/59

  • SUBCONJUNTOS

    Suponha que B = {x | P (x)} e que A B

    Para provar que A B:

    toma-se um x A arbitrrio

    mostramos que P (x) verdadeira(os elementos de A herdam a propriedade de B)

    Exemplo: seja B = {x | x mltiplo de 4}

    A = {x | x mltiplo de 8}

    para mostrar que A B, tomamos um x A:

    x = m.8 para algum inteiro m

    ento x = m.2.4

    ou x = k.4, onde k = 2m tambm um inteiro

    isto mostra que x mltiplo de 4 e que, portanto, x B

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.16/59

  • IGUALDADE DE CONJUNTOS

    A e B so iguais se e somente se contm os mesmos elementos

    Logo, podemos provar que A=B provando que:

    A B e B A

    Exemplo: Provar que:

    {x | x N e x2 < 15} = {x | x N e 2x < 7}

    Elementos de A: {0, 1, 2, 3} (todos com dobro < 7)

    Elementos de B: {0, 1, 2, 3} (todos com quadrado < 15)

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.17/59

  • CONJUNTO POTNCIA

    Muitos problemas envolvem testar todas as combinaes doselementos de um conjunto para ver se elas satisfazem algumapropriedade.

    Dado um conjunto A, o conjunto potncia de A o conjuntoformado por todos os subconjuntos de A.

    denotado por P (A) ou 2A

    tambm chamado de conjunto de todas as partes de A

    Exemplo: Seja A = {1, 2, 3}.

    Ento P (A) consiste dos seguintes subconjuntos de A:

    , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}

    Nota: se A tem n elementos, ento P (A) tem 2n elementos.

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.18/59

  • SEQNCIAS

    Como os conjuntos no so ordenados, uma estrutura diferente necessria para representar colees ordenadas.

    Uma seqncia uma lista de objetos em ordem.

    um primeiro elemento, um segundo elemento,...

    a lista pode ser finita ou no

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.19/59

  • EXEMPLOS DE SEQNCIAS

    A seqncia 1,0,0,1,0,1,0,0,1,1,1

    A seqncia 1,4,9,16,25,... (quadrados dos nos positivos) infinita

    tambm pode ser denotada por (n2)1n

    A seqncia finita 1,2,4,...,256 pode ser denotada por (2n)0n8

    A notao (1/n)2n representa a seqncia: 1/2, 1/3, 1/4,...

    A palavra pesquisa pode ser vista como a seqncia finita:p,e,s,q,u,i,s,a

    costume omitir-se as vrgulas e escrever a palavra no modo usual

    mesmo uma palavra sem sentido, como abacabcd pode ser vista como umaseqncia de tamanho 8

    seqncias de letras ou outros smbolos, escritos sem vrgulas, so chamadas destrings

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.20/59

  • CONJUNTO CORRESPONDENTE A UMA SEQNCIA

    Conjunto de todos os elementos distintos na seqncia.

    Exemplo: o conjunto correspondente seqncia:

    a,b,a,b,a,b,a,b,...

    , simplesmente: {a, b}

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.21/59

  • CARDINALIDADE DE CONJUNTOS

    Um conjunto dito contvel se for o conjunto correspondente aalguma seqncia.

    Informalmente: os elementos do conjunto podem ser arranjados emuma lista ordenada, a qual pode, portanto, ser contada.

    Todos os conjuntos finitos so contveis.

    Alguns conjuntos infinitos tambm:

    Exemplo: por definio, o conjunto Z+ = {1, 2, 3, 4, 5, . . .} contvel.

    Um conjunto que no contvel dito incontvel.

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.22/59

  • CARDINALIDADE DE CONJUNTOS

    O nmero de elementos em um conjunto X a cardinalidade de X.

    denotada por |X|

    Exemplo: |{2, 5, 7}| = 3

    Importante: saber se dois conjuntos possuem mesma cardinalidade.

    se ambos forem finitos, s contar os elementos de cada um

    porm: ser que Z, Q, e R possuem a mesma cardinalidade?

    Ainda: ser que Z, Q, e R so contveis?

    Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.23/59

  • CARDINALIDADE DE CONJUNTOS

    Para nos convencermos de que dois conjuntos X e Y possuem amesma cardinalidade:

    tentamos produzir um emparelhamento de cada x em X comapenas um y em Y

    de maneira que cada eleme