Discreta para a Computa§£o Fundamentos de Matem mauro/ine5403/slides_novos/zpdfs_ppts/p24seqs... 

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  • INE5403INE5403 -- Fundamentos de Matemtica Fundamentos de Matemtica Discreta para a ComputaoDiscreta para a Computao

    2) Fundamentos2) Fundamentos

    2.1) Conjuntos e Sub2.1) Conjuntos e Sub--conjuntosconjuntos

    2.2) Nmeros Inteiros2.2) Nmeros Inteiros

    2.3) Funes2.3) Funes

    2.4) Seqncias e Somas2.4) Seqncias e Somas

    2.5) Crescimento de Funes2.5) Crescimento de Funes

  • SeqnciasSeqncias

    Uma seqncia uma estrutura ordenada usada para Uma seqncia uma estrutura ordenada usada para representar lista ordenada de elementos.representar lista ordenada de elementos.

    Def.Def.: uma : uma seqnciaseqncia uma funo de um subconjunto dos uma funo de um subconjunto dos inteiros, {0,1,2,...} ou {1,2,3,...} para um conjunto S.inteiros, {0,1,2,...} ou {1,2,3,...} para um conjunto S.

    aann a imagem do inteiro n a imagem do inteiro n

    aann um termo da seqncia um termo da seqncia

    Usamos a notao {Usamos a notao {aann} para denotar a seqncia} para denotar a seqncia

    Note que Note que aann representa um termo da seqncia {representa um termo da seqncia {aann} }

  • SeqnciasSeqncias

    Descrevemos seqncias listando os seus termos em Descrevemos seqncias listando os seus termos em ordem crescente do ndice.ordem crescente do ndice.

    ExemploExemplo: considere a seqncia {: considere a seqncia {aann}, onde:}, onde:

    aann = 1/n= 1/n

    A lista dos termos desta seqncia, ou seja:A lista dos termos desta seqncia, ou seja:

    aa11, a, a22, a, a33, a, a44,...,...

    Comea com:Comea com:

    1, , 1/3, , ...1, , 1/3, , ...

  • SeqnciasSeqncias

    ExemploExemplo: uma : uma progresso progresso aritmtricaaritmtrica uma seqncia da uma seqncia da forma:forma:

    a, a+d, a+2d,..., a, a+d, a+2d,..., a+nda+nd Ex.: {Ex.: {ssnn}, onde }, onde ssnn==--1+4n1+4n

    a lista de termos sa lista de termos s00, s, s11, s, s22, s, s33,... comea com:,... comea com:

    --1,3,7,11,...1,3,7,11,...

  • SeqnciasSeqncias

    ExemploExemplo: uma : uma progresso geomtricaprogresso geomtrica uma seqncia da uma seqncia da forma:forma:

    a, ar, ara, ar, ar22,..., ,..., ararnn

    Ex.: {Ex.: {ccnn}, onde }, onde ccnn=343=343 a lista de termos ca lista de termos c11, c, c22, c, c33, c, c44,... comea com:,... comea com:

    10,50,250,1250,...10,50,250,1250,...

  • SeqnciasSeqncias

    Seqncias finitas do tipo Seqncias finitas do tipo aa11,,aa22,...,,...,aann so muito usadas so muito usadas na Cincia da Computaona Cincia da Computao

    Tambm so chamadas de Tambm so chamadas de stringsstrings

    O O comprimentocomprimento de uma string o seu de uma string o seu nronro de termosde termos

    ExemploExemplo: a seqncia : a seqncia abcdabcd uma string de uma string de comprimento 4.comprimento 4.

  • Seqncias especiaisSeqncias especiais

    Problema: encontrar uma Problema: encontrar uma frmulafrmula (regra geral) para a (regra geral) para a construo dos termosconstruo dos termos de uma seqncia.de uma seqncia.

    s vezes, apenas alguns termos so conhecidos (so s vezes, apenas alguns termos so conhecidos (so soluo de algum problema).soluo de algum problema).

    Como identificar a seqncia?Como identificar a seqncia?

    Os primeiros termos Os primeiros termos no definem no definem a seqncia inteira:a seqncia inteira:

    existem infinitas seqncias que comeam com os existem infinitas seqncias que comeam com os mesmos termos iniciaismesmos termos iniciais

    mas eles podem ajudar a montar uma mas eles podem ajudar a montar uma conjecturaconjectura sobre a sobre a identidade da seqnciaidentidade da seqncia

  • Seqncias especiaisSeqncias especiais

    Ao tentar deduzir uma regra de formao, buscaAo tentar deduzir uma regra de formao, busca--se um se um padropadro nos primeiros termos.nos primeiros termos.

    PodePode--se tambm tentar determinar se tambm tentar determinar comocomo um termo um termo produzido a partir dos que o precedem.produzido a partir dos que o precedem.

  • Seqncias especiaisSeqncias especiais

    Algumas questes teis:Algumas questes teis:

    O mesmo valor O mesmo valor reaparecereaparece??

    H termos obtidos a partir dos anteriores pela H termos obtidos a partir dos anteriores pela adio de adio de uma qtde fixauma qtde fixa??

    ou de uma qtde que dependa da posio?ou de uma qtde que dependa da posio?

    H termos obtidos a partir dos anteriores pela H termos obtidos a partir dos anteriores pela multiplicao por um valor fixomultiplicao por um valor fixo??

    H termos obtidos a partir de uma H termos obtidos a partir de uma combinao dos combinao dos anterioresanteriores??

    H algum termo que H algum termo que se repetese repete??

  • Seqncias especiaisSeqncias especiais

    ExemploExemplo: encontre frmulas para a seqncia cujos 1ros : encontre frmulas para a seqncia cujos 1ros termos so dados por: 1,1/2,1/4,1/8,1/16termos so dados por: 1,1/2,1/4,1/8,1/16

    RespostaResposta::

    os denominadores so potncias de 2os denominadores so potncias de 2

    opo possvel: opo possvel: aann=1/2=1/2nn--11

    ou: PG com a=1 e ou: PG com a=1 e r=1/2r=1/2

  • Seqncias especiaisSeqncias especiais

    ExemploExemplo: encontre frmulas para as seqncias cujos 1ros : encontre frmulas para as seqncias cujos 1ros termos so dados por: 1,3,5,7,9termos so dados por: 1,3,5,7,9

    RespostaResposta::

    cada termo obtido pela adio de 2 ao anteriorcada termo obtido pela adio de 2 ao anterior

    opo possvel: opo possvel: aann=2n=2n--11

    ou: PA com a=1 e d=2ou: PA com a=1 e d=2

  • Seqncias especiaisSeqncias especiais

    ExemploExemplo: encontre frmulas para as seqncias cujos : encontre frmulas para as seqncias cujos 1ros termos so dados por: 1,1ros termos so dados por: 1,--1,1,1,1,--1,11,1

    Resposta:Resposta:

    os termos alternam entre 1 e os termos alternam entre 1 e --11

    opo possvel: opo possvel: aann=(=(--1)1)n+1n+1

    ou: PG com a=1 e r=ou: PG com a=1 e r=--11

  • Formas de construoFormas de construo

    ExemploExemplo: como se pode produzir uma seqncia cujos : como se pode produzir uma seqncia cujos 10 primeiros termos so dados por 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4?10 primeiros termos so dados por 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4?

    o 1 aparece uma vezo 1 aparece uma vez

    o 2 aparece duas vezes,...o 2 aparece duas vezes,...

    Possvel regra de formao: o inteiro n aparece Possvel regra de formao: o inteiro n aparece exatamente n vezesexatamente n vezes

  • Formas de construoFormas de construo

    ExemploExemplo: como se pode produzir uma seqncia cujos : como se pode produzir uma seqncia cujos 10 primeiros termos so dados por 10 primeiros termos so dados por 5,11,17,23,29,35,41,47,53,59?5,11,17,23,29,35,41,47,53,59?

    RespostaResposta::

    cada um dos 10 primeiros termos obtido pela cada um dos 10 primeiros termos obtido pela adio de 6 ao anterioradio de 6 ao anterior

    possvel regra de formao: o possvel regra de formao: o nn--simosimo termo pode termo pode ser produzido comeandoser produzido comeando--se com 5 e adicionandose com 5 e adicionando--se se 6 por n6 por n--1 vezes1 vezes

    ou seja: o ou seja: o nn--simosimo termo 5+6(ntermo 5+6(n--1)=6n1)=6n--11

  • Formas de construoFormas de construo

    Outra tcnica: comparar os termos da seqncia de Outra tcnica: comparar os termos da seqncia de interesse com os termos de uma seqncia bem interesse com os termos de uma seqncia bem conhecida, como:conhecida, como:

    termos de uma PA, PGtermos de uma PA, PG

    quadrados perfeitosquadrados perfeitos

    cubos perfeitoscubos perfeitos

  • Seqncias teisSeqncias teis

    1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,3628800...1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,3628800...n!n!

    3,9,27,81,243,729,2187,6561,19683,59049,...3,9,27,81,243,729,2187,6561,19683,59049,...33nn

    2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,...2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,...22nn

    1,16,81,256,625,1296,2401,4096,6561,10000,...1,16,81,256,625,1296,2401,4096,6561,10000,...nn44

    1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000,...1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000,...nn33

    1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,...1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,...nn22

    primeiros 10 termosprimeiros 10 termosnn--simosimo termotermo

  • Formas de construoFormas de construo

    ExemploExemplo: Deduza uma frmula simples para : Deduza uma frmula simples para aann se os 10 1ros se os 10 1ros termos da seqncia {termos da seqncia {aann} so } so 1,7,25,79,241,727,2185,6559,19681,59047.1,7,25,79,241,727,2185,6559,19681,59047.

    Resposta:Resposta: as diferenas entre termos consecutivos no as diferenas entre termos consecutivos no indicam nenhum padro...indicam nenhum padro...

    Razo entre termos consecutivos:Razo entre termos consecutivos: embora varivel, fica prxima de 3embora varivel, fica prxima de 3

    suspeita: frmula envolvendo 3suspeita: frmula envolvendo 3nn

    comparando com a seqncia {3comparando com a seqncia {3nn}:}: nn--simosimo termo = 2 a menos do correspondentetermo = 2 a menos do correspondente ou seja: ou seja: aann = 3= 3n n -- 22

  • Formas de construoFormas de construo

    Neil Neil SloaneSloane::

    Enciclopdia da Seqncias de inteirosEnciclopdia da Seqncias de inteiros

    Coleo de mais de 8000 seqncias na InternetColeo de mais de 8000 seqncias na Internet

    Tambm tem um programa que busca na Tambm tem um programa que busca na enciclopdia quais as seqncias que combinam com enciclopdia quais as seqncias que combinam com termos iniciais fornecidos..termos iniciais fornecidos..

  • SeqnciasSeqncias

    Exerccio Exerccio (seleo para a (seleo para a googlegoogle): encontre a ): encontre a prxima prxima linha