INE5403INE5403 -- Fundamentos de Matemática Fundamentos de Matemática Discreta para a ComputaçãoDiscreta para a Computação

2) Fundamentos2) Fundamentos

2.1) Conjuntos e Sub2.1) Conjuntos e Sub--conjuntosconjuntos

2.2) Números Inteiros2.2) Números Inteiros

2.3) Funções2.3) Funções

2.4) Seqüências e Somas2.4) Seqüências e Somas

2.5) Crescimento de Funções2.5) Crescimento de Funções

SeqüênciasSeqüências

•• Uma seqüência é uma estrutura ordenada usada para Uma seqüência é uma estrutura ordenada usada para representar lista ordenada de elementos.representar lista ordenada de elementos.

Def.Def.: uma : uma seqüênciaseqüência é uma função de um subconjunto dos é uma função de um subconjunto dos inteiros, {0,1,2,...} ou {1,2,3,...} para um conjunto S.inteiros, {0,1,2,...} ou {1,2,3,...} para um conjunto S.

•• aann é a imagem do inteiro né a imagem do inteiro n

•• aann é um termo da seqüênciaé um termo da seqüência

•• Usamos a notação {Usamos a notação {aann} para denotar a seqüência} para denotar a seqüência

•• Note que Note que aann representa um termo da seqüência {representa um termo da seqüência {aann} }

SeqüênciasSeqüências

•• Descrevemos seqüências listando os seus termos em Descrevemos seqüências listando os seus termos em ordem crescente do índice.ordem crescente do índice.

•• ExemploExemplo: considere a seqüência {: considere a seqüência {aann}, onde:}, onde:

aann = 1/n= 1/n

–– A lista dos termos desta seqüência, ou seja:A lista dos termos desta seqüência, ou seja:

aa11, a, a22, a, a33, a, a44,...,...

–– Começa com:Começa com:

1, ½, 1/3, ¼, ...1, ½, 1/3, ¼, ...

SeqüênciasSeqüências

•• ExemploExemplo: uma : uma progressão progressão aritmétricaaritmétrica é uma seqüência da é uma seqüência da forma:forma:

–– a, a+d, a+2d,..., a, a+d, a+2d,..., a+nda+nd

–– Ex.: {Ex.: {ssnn}, onde }, onde ssnn==--1+4n1+4n•• a lista de termos sa lista de termos s00, s, s11, s, s22, s, s33,... começa com:,... começa com:

--1,3,7,11,...1,3,7,11,...

SeqüênciasSeqüências

•• ExemploExemplo: uma : uma progressão geométricaprogressão geométrica é uma seqüência da é uma seqüência da forma:forma:

–– a, ar, ara, ar, ar22,..., ,..., ararnn

–– Ex.: {Ex.: {ccnn}, onde }, onde ccnn=343=343•• a lista de termos ca lista de termos c11, c, c22, c, c33, c, c44,... começa com:,... começa com:

10,50,250,1250,...10,50,250,1250,...

SeqüênciasSeqüências

•• Seqüências finitas do tipo Seqüências finitas do tipo aa11,,aa22,...,,...,aann são muito usadas são muito usadas na Ciência da Computaçãona Ciência da Computação

–– Também são chamadas de Também são chamadas de stringsstrings

–– O O comprimentocomprimento de uma string é o seu de uma string é o seu nronro de termosde termos

•• ExemploExemplo: a seqüência : a seqüência abcdabcd é uma string de é uma string de comprimento 4.comprimento 4.

Seqüências especiaisSeqüências especiais

•• Problema: encontrar uma Problema: encontrar uma fórmulafórmula (regra geral) para a (regra geral) para a construção dos termosconstrução dos termos de uma seqüência.de uma seqüência.

–– Às vezes, apenas alguns termos são conhecidos (são Às vezes, apenas alguns termos são conhecidos (são solução de algum problema).solução de algum problema).

–– Como identificar a seqüência?Como identificar a seqüência?

•• Os primeiros termos Os primeiros termos não definem não definem a seqüência inteira:a seqüência inteira:

–– existem infinitas seqüências que começam com os existem infinitas seqüências que começam com os mesmos termos iniciaismesmos termos iniciais

–– mas eles podem ajudar a montar uma mas eles podem ajudar a montar uma conjecturaconjectura sobre a sobre a identidade da seqüênciaidentidade da seqüência

Seqüências especiaisSeqüências especiais

•• Ao tentar deduzir uma regra de formação, buscaAo tentar deduzir uma regra de formação, busca--se um se um padrãopadrão nos primeiros termos.nos primeiros termos.

•• PodePode--se também tentar determinar se também tentar determinar comocomo um termo é um termo é produzido a partir dos que o precedem.produzido a partir dos que o precedem.

Seqüências especiaisSeqüências especiais

•• Algumas questões úteis:Algumas questões úteis:

–– O mesmo valor O mesmo valor reaparecereaparece??

–– Há termos obtidos a partir dos anteriores pela Há termos obtidos a partir dos anteriores pela adição de adição de uma qtde fixauma qtde fixa??

•• ou de uma qtde que dependa da posição?ou de uma qtde que dependa da posição?

–– Há termos obtidos a partir dos anteriores pela Há termos obtidos a partir dos anteriores pela multiplicação por um valor fixomultiplicação por um valor fixo??

–– Há termos obtidos a partir de uma Há termos obtidos a partir de uma combinação dos combinação dos anterioresanteriores??

–– Há algum termo que Há algum termo que se repetese repete??

Seqüências especiaisSeqüências especiais

•• ExemploExemplo: encontre fórmulas para a seqüência cujos 1ros : encontre fórmulas para a seqüência cujos 1ros termos são dados por: 1,1/2,1/4,1/8,1/16termos são dados por: 1,1/2,1/4,1/8,1/16

•• RespostaResposta::

–– os denominadores são potências de 2os denominadores são potências de 2

–– opção possível: opção possível: aann=1/2=1/2nn--11

–– ou: PG com a=1 e ou: PG com a=1 e r=1/2r=1/2

Seqüências especiaisSeqüências especiais

•• ExemploExemplo: encontre fórmulas para as seqüências cujos 1ros : encontre fórmulas para as seqüências cujos 1ros termos são dados por: 1,3,5,7,9termos são dados por: 1,3,5,7,9

•• RespostaResposta::

–– cada termo obtido pela adição de 2 ao anteriorcada termo obtido pela adição de 2 ao anterior

–– opção possível: opção possível: aann=2n=2n--11

–– ou: PA com a=1 e d=2ou: PA com a=1 e d=2

Seqüências especiaisSeqüências especiais

•• ExemploExemplo: encontre fórmulas para as seqüências cujos : encontre fórmulas para as seqüências cujos 1ros termos são dados por: 1,1ros termos são dados por: 1,--1,1,1,1,--1,11,1

•• Resposta:Resposta:

–– os termos alternam entre 1 e os termos alternam entre 1 e --11

–– opção possível: opção possível: aann=(=(--1)1)n+1n+1

–– ou: PG com a=1 e r=ou: PG com a=1 e r=--11

Formas de construçãoFormas de construção

•• ExemploExemplo: como se pode produzir uma seqüência cujos : como se pode produzir uma seqüência cujos 10 primeiros termos são dados por 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4?10 primeiros termos são dados por 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4?

–– o 1 aparece uma vezo 1 aparece uma vez

–– o 2 aparece duas vezes,...o 2 aparece duas vezes,...

–– Possível regra de formação: “o inteiro n aparece Possível regra de formação: “o inteiro n aparece exatamente n vezes”exatamente n vezes”

Formas de construçãoFormas de construção

•• ExemploExemplo: como se pode produzir uma seqüência cujos : como se pode produzir uma seqüência cujos 10 primeiros termos são dados por 10 primeiros termos são dados por 5,11,17,23,29,35,41,47,53,59?5,11,17,23,29,35,41,47,53,59?

•• RespostaResposta::

–– cada um dos 10 primeiros termos é obtido pela cada um dos 10 primeiros termos é obtido pela adição de 6 ao anterioradição de 6 ao anterior

–– possível regra de formação: “o possível regra de formação: “o nn--ésimoésimo termo pode termo pode ser produzido começandoser produzido começando--se com 5 e adicionandose com 5 e adicionando--se se 6 por n6 por n--1 vezes”1 vezes”

–– ou seja: o ou seja: o nn--ésimoésimo termo é 5+6(ntermo é 5+6(n--1)=6n1)=6n--11

Formas de construçãoFormas de construção

•• Outra técnica: comparar os termos da seqüência de Outra técnica: comparar os termos da seqüência de interesse com os termos de uma seqüência bem interesse com os termos de uma seqüência bem conhecida, como:conhecida, como:

–– termos de uma PA, PGtermos de uma PA, PG

–– quadrados perfeitosquadrados perfeitos

–– cubos perfeitoscubos perfeitos

Seqüências úteisSeqüências úteis

1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,3628800...1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,3628800...n!n!

3,9,27,81,243,729,2187,6561,19683,59049,...3,9,27,81,243,729,2187,6561,19683,59049,...33nn

2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,...2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,...22nn

1,16,81,256,625,1296,2401,4096,6561,10000,...1,16,81,256,625,1296,2401,4096,6561,10000,...nn44

1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000,...1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000,...nn33

1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,...1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,...nn22

primeiros 10 termosprimeiros 10 termosnn--ésimoésimo termotermo

Formas de construçãoFormas de construção

•• ExemploExemplo: Deduza uma fórmula simples para : Deduza uma fórmula simples para aann se os 10 1ros se os 10 1ros termos da seqüência {termos da seqüência {aann} são } são 1,7,25,79,241,727,2185,6559,19681,59047.1,7,25,79,241,727,2185,6559,19681,59047.

•• Resposta:Resposta: as diferenças entre termos consecutivos não as diferenças entre termos consecutivos não indicam nenhum padrão...indicam nenhum padrão...

–– Razão entre termos consecutivos:Razão entre termos consecutivos:

•• embora variável, fica próxima de 3embora variável, fica próxima de 3

•• suspeita: fórmula envolvendo 3suspeita: fórmula envolvendo 3nn

•• comparando com a seqüência {3comparando com a seqüência {3nn}:}:–– nn--ésimoésimo termo = 2 a menos do correspondentetermo = 2 a menos do correspondente–– ou seja: ou seja: aann = 3= 3n n -- 22

Formas de construçãoFormas de construção

•• Neil Neil SloaneSloane::

–– Enciclopédia da Seqüências de inteirosEnciclopédia da Seqüências de inteiros

–– Coleção de mais de 8000 seqüências na InternetColeção de mais de 8000 seqüências na Internet

–– Também tem um programa que busca na Também tem um programa que busca na enciclopédia quais as seqüências que combinam com enciclopédia quais as seqüências que combinam com termos iniciais fornecidos..termos iniciais fornecidos..

SeqüênciasSeqüências

•• Exercício Exercício (seleção para a (seleção para a googlegoogle): encontre a ): encontre a próxima próxima linhalinha da seqüência abaixo:da seqüência abaixo:

11

1 11 1

2 12 1

1 2 1 11 2 1 1

SomasSomas

•• Notação usada para expressar a soma dos termos:Notação usada para expressar a soma dos termos:

aamm,,aam+1m+1,...,,...,aann

–– a partir da seqüência {a partir da seqüência {aann}:}:

∑=

n

mjja

•• Note que a escolha da letra “j” como índice é arbitráriaNote que a escolha da letra “j” como índice é arbitrária

SomasSomas

•• ExemploExemplo: A soma dos 100 primeiros termos da seqüência : A soma dos 100 primeiros termos da seqüência {{aann}, onde }, onde aann=1/n=1/n, para n=1,2,3,.... é dada por:, para n=1,2,3,.... é dada por:

∑=

100

1

1j j

SomasSomas

•• ExemploExemplo: qual o valor de ?: qual o valor de ?∑ =

5

12

jj

–– SoluçãoSolução: temos: temos

5554321 222225

1

2 =++++=∑=j

j

Deslocamento do índiceDeslocamento do índice

•• Útil quando duas somas precisam ser adicionadas, mas os seus Útil quando duas somas precisam ser adicionadas, mas os seus índices não combinamíndices não combinam..

•• Importante fazer as mudanças apropriadas no somando.Importante fazer as mudanças apropriadas no somando.

•• ExemploExemplo: Suponha que tenhamos a soma:: Suponha que tenhamos a soma:–– mas precisamos que o índice vá de 0 a 4, em vez de 1 a 5mas precisamos que o índice vá de 0 a 4, em vez de 1 a 5–– para isto, fazemos k=jpara isto, fazemos k=j--11–– o termo jo termo j22 se torna (k+1)se torna (k+1)22

∑ =

5

12

jj

55)1(4

0

25

1

2∑∑

==

=+=kj

kj

Somas Somas duplasduplas

•• Aparecem em muitos contextos.Aparecem em muitos contextos.

–– Por exemplo: na análise de Por exemplo: na análise de loopsloops “aninhados” em “aninhados” em programasprogramas

•• ExemploExemplo: : ∑∑= =

4

1

3

1i jij

•• Para Para avaliaravaliar a soma dupla, expanda a soma interna e então a soma dupla, expanda a soma interna e então compute a externa:compute a externa:

602418126

6

)32(

4

1

4

1

4

1

3

1

=+++=

==

=++=

∑

∑ ∑∑

=

= ==

i

i ij

i

iiiij

Somas completasSomas completas

•• PodePode--se usar esta notação para adicionar todos os valores se usar esta notação para adicionar todos os valores de uma função ou termos de um conjunto indexado.de uma função ou termos de um conjunto indexado.

•• Ou seja, escreveOu seja, escreve--se:se:

–– para representar a soma dos valores f(s), para representar a soma dos valores f(s), para todos os para todos os membros membros s de S.s de S.

∑∈ Ss

sf )(

Somas completasSomas completas

•• ExemploExemplo: qual o valor de ?: qual o valor de ?

–– SoluçãoSolução::

∑ ∈ }4,2,0{ss

6420}4,2,0{

=++=∑ ∈ss

Somas conhecidasSomas conhecidas

•• Certas somas aparecem repetidamente ao longo da Certas somas aparecem repetidamente ao longo da matemática discreta.matemática discreta.

•• Útil ter uma coleção de fórmulas para estas somas.Útil ter uma coleção de fórmulas para estas somas.

•• Há muitas maneiras de provar/obter estas somas.Há muitas maneiras de provar/obter estas somas.

–– Mas note que todas elas podem ser provadas por Mas note que todas elas podem ser provadas por indução matemática.indução matemática.

Algumas fórmulas de somas úteisAlgumas fórmulas de somas úteis

Forma fechadaForma fechadaSomaSoma

)0(,0

≠∑ =rarn

kk

∑ =

n

kk

1

∑ =

n

kk

12

∑=

n

kk

1

3

1,0

<∑∞

=xx

kk

1,1

1 <∑∞

=− xkx

kk

)1(,1

1

≠−

−+

rr

aarn

( )2

1+nn

( )( )6

121 ++ nnn

( )4

1 22 +nn

x−11

( )211x−

Uso das somas conhecidasUso das somas conhecidas

•• ExemploExemplo: Encontre: Encontre ∑=

100

50

2

kk

•• SoluçãoSolução: :

–– primeiro note que:primeiro note que:

–– então, usando a fórmula para então, usando a fórmula para ΣΣ (k(k22) da tabela, obtemos:) da tabela, obtemos:

∑∑∑===

−=49

1

2100

1

2100

50

2

kkkkkk

2979256

9950496

201101100100

50

2 =⋅⋅−⋅⋅=∑=k

k

Uso das somas conhecidasUso das somas conhecidas

•• ExemploExemplo: Seja x um : Seja x um nronro real com |x|<1. Ache real com |x|<1. Ache ∑∞

=0nnx

•• Então, já que |x|<1, Então, já que |x|<1, xxk+1k+1 se aproxima de zero quando k se aproxima de zero quando k tende a infinito.tende a infinito.

–– portanto:portanto:

111

0 −−=

+

=∑ x

xxkk

n

n

xxxxx

k

kn

n

−=

−−=

−−=

+

∞→

∞

=∑ 1

11

111lim

1

0

•• SoluçãoSolução: pela primeira fórmula da tabela, com a=1 e : pela primeira fórmula da tabela, com a=1 e r=x, obtemos:r=x, obtemos: