INE0003 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETAmauro/ine5403/slides_novos/pdfs_texs/p64bool... · ine0003 fundamentos de matemÁtica discreta para a computaÇÃo prof. daniel s. freitas

INE0003

FUNDAMENTOS DE

MATEMÁTICA DISCRETA

PARA A COMPUTAÇÃO

PROF. DANIEL S. FREITAS

UFSC - CTC - INE

Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.1/51

6 - RELAÇÕES DE ORDENAMENTO

6.1) Conjuntos parcialmente ordenados (posets)

6.2) Extremos de posets

6.3) Reticulados

6.4) Álgebras Booleanas Finitas

6.5) Funções Booleanas


RETICULADOS (P (S),⊆)

Vamos restringir nossa atenção aos reticulados do tipo (P (S),⊆),onde S é um conjunto finito.

Muitas propriedades que não valem para reticulados em geral.

Por isto, são mais fáceis de trabalhar

Têm papel importante em muitas aplicações na Ciência daComputação:

construção de representações lógicas para os circuitos docomputador

estudo de cifradores simétricos, na Criptografia



Teorema: Sejam S1 = {x1, x2..., xn} e S2 = {y1, y2..., yn} doisconjuntos finitos quaisquer com n elementos.

Então os reticulados (P (S1),⊆) e (P (S2),⊆) são isomórficos

ou seja, seus diagramas de Hasse são idênticos

Prova: arranjar os conjuntos e definir a seguinte f :

subconj. A

S1: x1 x2 . . . xn S1: x1

︷︸︸︷x2 x3 x4 . . . xn

l l l

S2: y1 y2 . . . yn S2: y1 y2 y3 y4︸︷︷︸

. . . yn

subconj. f(A)



Prova (cont.):

f(A): elementos de S2 que correspondem aos elementos de A

f : bijeção de subconjuntos de S1 para subconjuntos de S2

além disto, se A e B são subconjuntos quaisquer de S1:

A ⊆ B ⇔ f(A) ⊆ f(B)

Logo, os reticulados (P (S1),⊆) e (P (S2),⊆) são isomórficos.

�



Logo: a condição de poset do reticulado (P (S),⊆) é determinadapelo número |S| e não depende da natureza dos elementos de S.

Exemplo: Sejam os posets:

(P (S),⊆) , S = {a, b, c}: (P (T ),⊆) , T = {2, 3, 5}:



Note que os 2 reticulados são isomórficos, sendo um possívelisomorfismo f : P (S) → P (T ) dado por:

f({a}) = {2}

f({b}) = {3}

f({c}) = {5}

f({a, b}) = {2, 3}

f({b, c}) = {3, 5}

f({a, c}) = {2, 5}

f({a, b, c}) = {2, 3, 5}



Conclusão: para cada n = 0, 1, 2, . . ., há apenas um tipo dereticulado com a forma (P (S),⊆)

o qual depende apenas de n (e não de S)

e tem 2n elementos (= nro de possíveis subconjuntos de S).

Pode-se, portanto, tomar um diagrama de Hasse genérico para(P (S),⊆) e rotulá-lo assim:



Rotulando desta forma, este diagrama serve para descrever os 2reticulados anteriores.

Melhor: para descrever um reticulado (P (S),⊆) originado dequalquer conjunto S com 3 elementos.

Se o diagrama de Hasse do reticulado correspondente a umconjunto com n elementos é rotulado desta forma (seqüências de 0se 1s de comprimento n), o reticulado resultante é chamado de Bn.


PROPRIEDADES DO ORDENAMENTO PARCIAL EM Bn

Sejam 2 elementos de Bn: x = a1a2 . . . an e y = b1b2 . . . bn.

Então:

x ≤ y se e somente se ak ≤ bk para k = 1, 2, . . . , n

x ∧ y = c1c2 . . . cn , onde ck = min{ak, bk}

x ∨ y = d1d2 . . . dn , onde dk = max{ak, bk}

o complemento de x é dado por x′ = z1z2 . . . zn , onde:

zk = 1 se xk = 0

zk = 0 se xk = 1


PROPRIEDADES DO ORDENAMENTO PARCIAL EM Bn

Estas afirmações podem ser confirmadas pela observação de que(Bn,≤) é isomórfico a (P (S),⊆):

x, y ∈ Bn correspondem a subconjuntos A e B de S

então:

x ≤ y corresponde a A ⊆ B

x ∧ y corresponde a A ∩ B

x ∨ y corresponde a A ∪ B

x′ corresponde a A


RETICULADOS Bn

Diagramas de Hasse dos reticulados B0, B1, B2 e B3:

n=0: •

n=1: n=2: n=3:


RETICULADOS Bn

Todo reticulado (P (S),⊆) é isomórfico com Bn, onde n =| S |.

Outros reticulados também podem ser isomórficos com algum Bn.

Possuindo todas as propriedades especiais que o Bn possui.

Exemplo: D6 (divisores de 6, ordem parcial de divisibilidade).

Isomorfismo f : D6 → B2 dado por:

f(1) = 00 f(2) = 10 f(3) = 01 f(6) = 11


ÁLGEBRAS BOOLEANAS

Em geral: um reticulado finito é chamado de Álgebra Booleana seele for isomórfico com algum Bn.

Portanto:

todo Bn é uma Álgebra Booleana

assim como todo reticulado (P (S),⊆).


ÁLGEBRAS BOOLEANAS

Exemplo: reticulados D20 e D30 (divisores de 20 e 30, ordem parcialde divisibilidade):


ÁLGEBRAS BOOLEANAS

Exemplo (cont.):

D20 tem 6 elementos:

6 6= 2n

D20 não é uma Álgebra Booleana

Já o poset D30 tem 8 elementos:

8 = 23 ⇒ chance de ser Álgebra Booleana

note que D30 é isómórfico com B3

· com isomorfismo f : D30 → B3 dado por:

f(1) = 000 f(2) = 100 f(3) = 010 f(5) = 001

f(6) = 110 f(10) = 101 f(15) = 011 f(30) = 111

portanto, D30 é uma Álgebra Booleana. �


ÁLGEBRAS BOOLEANAS

CONCLUSÃO:

Se um reticulado L não contém 2n elementos, sabemos que Lnão pode ser uma Álgebra Booleana.

Se | L |= 2n, então L pode ou não ser uma Álgebra Booleana.

Se L for pequeno, pode-se tentar comparar o seu diagrama deHasse com o de Bn

no entanto, esta técnica pode não ser prática se L for grande

· aí tenta-se construir diretamente um isomorfismo com Bn

ou com (P (S),⊆)


ÁLGEBRAS BOOLEANAS GRANDES

Para ver se um dado reticulado Dn (n grande) é Álgebra Booleana:

Teorema: Seja n = p1p2 . . . pk onde os pi são primos distintos.Então Dn é uma Álgebra booleana.

Prova:Seja S = {p1, p2, . . . , pk}.

Todo divisor de n deve ser da forma aT , onde:aT é o produto dos primos em algum subconjunto T de S (nota: a∅ = 1)

Aí, se V e T são subconjuntos de S:V ⊆ T se e somente se aV | aT

aV ∩T = aV ∧ aT (= MDC(aV , aT ))aV ∪T = aV ∨ aT (= MMC(aV , aT ))

Logo, f : P (S) → Dn, dada por f(T ) = aT , é um isomorfismo de P (S) para Dn

Então, como (P (S),⊆) é uma Álgebra Booleana, Dn também o é. �



Exemplo:

210 = 2.3.5.7 ⇒ D210 é Álgebra Booleana

66 = 2.3.11 ⇒ D66 é Álgebra Booleana

646 = 2.17.19 ⇒ D646 é Álgebra Booleana



Outros casos de reticulados L grandes:

tentar mostrar que L não é uma Álgebra Booleanamostrando que o ordenamento parcial de L não apresenta aspropriedades necessárias.

Exemplo: uma Álg. Booleana é sempre isomórfica com algum Bn e,portanto, com algum reticulado (P (S),⊆).

Logo, se o reticulado L for uma Álgebra Booleana:ele deverá ser limitado (deverá possuir LUB e GLB)cada um dos seus elementos deverá possuir um complemento

Ou seja, para que L seja reticulado:L deverá ter um maior elemento I (⇔ S) e um menorelemento O (⇔ ∅)todo elemento x de L deverá ter um complemento x′


ÁLGEBRAS BOOLEANAS

O Princípio da Correspondência entre posets ajuda a estabelecerpropriedades das Álgebras Booleanas.

Teorema (REGRA DA SUBSTITUIÇÃO):

Toda fórmula que envolve ∪ e ∩, ou que vale para subconjuntosarbitrários de um conjunto S, continuará a valer para elementosarbitrários de uma Álgebra Booleana L se:

∩ for substituído por ∧

∪ for substituído por ∨


ÁLGEBRAS BOOLEANAS

Exemplo: Se x, y e z são elementos de uma Álgebra Booleanaqualquer L, valem:

(a) (x′)′ = x −→ involução

(b) (x ∧ y)′ = x′ ∨ y′ −→ 1a. lei de De Morgan

(c) (x ∨ y)′ = x′ ∧ y′ −→ 2a. lei de De Morgan

Isto vale para Álgebras booleanas, pois sabemos que as fórmulas:

(a’) (A) = A

(b’) (A ∩ B) = A ∪ B

(c’) (A ∪ B) = A ∩ B

valem para subconjuntos arbitrários A e B de um conjunto S.


PROPRIEDADES DAS ÁLGEBRAS BOOLEANAS (L,≤)

De maneira similar, podemos listar outras propriedades que devemvaler em qualquer Álgebra Booleana em conseqüência da regra desubstituição.

Na tabela a seguir:

x, y e z são elementos arbitrários em L

A, B e C são subconjuntos arbitrários de S

I e O denotam o maior e o menor elemento de L,respectivamente.


PROPRIEDADES DAS ÁLGEBRAS BOOLEANAS (L,≤) (1/2)

Algumas propriedades básicas Propriedade correspondente para

de uma Álgebra Booleana (L,≤) subconjuntos de um conjunto S

1) x ≤ y se e somente se x ∨ y = y 1’) A ⊆ B se e somente se A ∪ B = B

2) x ≤ y se e somente se x ∧ y = x 2’) A ⊆ B se e somente se A ∩ B = A

3) (a) x ∨ x = x 3’) (a) A ∪ A = A

(b) x ∧ x = x (b) A ∩ A = A

4) (a) x ∨ y = y ∨ x 4’) (a) A ∪ B = B ∪ A

(b) x ∧ y = y ∧ x (b) A ∩ B = B ∩ A

5) (a) x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z 5’) (a) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

(b) x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z (b) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

6) (a) x ∨ (x ∧ y) = x 6’) (a) A ∪ (A ∩ B) = A

(b) x ∧ (x ∨ y) = x (b) A ∩ (A ∪ B) = A

7) O ≤ x ≤ I, ∀x ∈ L 7’) ∅ ⊆ A ⊆ S, ∀A ∈ P (S)

8) (a) x ∨ O = x 8’) (a) A ∪ ∅ = A

(b) x ∧ O = O (b) A ∩ ∅ = ∅


PROPRIEDADES DAS ÁLGEBRAS BOOLEANAS (L,≤) (2/2)

Algumas propriedades básicas Propriedade correspondente para

de uma Álgebra Booleana (L,≤) subconjuntos de um conjunto S

9) (a) x ∨ I = I 9’) (a) A ∪ S = S

(b) x ∧ I = x (b) A ∩ S = A

10) (a) x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) 10’) (a) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

(b) x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) (b) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

11) Todo elemento x tem um único 11’) Todo elemento A tem um único

(a) x ∨ x′ = I (a) A ∪ A = S

(b) x ∧ x′ = O (b) A ∩ A = ∅

12) (a) O′ = I 12’) (a) ∅ = S

(b) I′ = O (b) S = ∅

13) (x′)′ = x 13’) A = A

14) (a) (x ∧ y)′ = x′ ∨ y′ 14’) (a) A ∩ B = A ∪ B

(b) (x ∨ y)′ = x′ ∧ y′ (b) A ∪ B = A ∩ B



Talvez seja possível mostrar que um reticulado L não é ÁlgebraBooleana mostrando que ele não possui alguma propriedade básica.

Exemplo: Mostre que o reticulado abaixo não é Álgebra Booleana:



Exemplo (cont.):

Os elementos a e g são ambos complementos de c

ou seja, ambos satisfazem as propriedades 11(a) e 11(b) comrespeito ao elemento c.

Mas a propriedade estabelece que tal elemento deve ser únicoem qualquer Álgebra booleana.

Logo, o reticulado dado não é uma Álgebra booleana. �



Exemplo: Mostre que se p2 | n, onde p é um primo, então Dn não éuma Álgebra Booleana.

suponha que p2 | n

então n = p2.q

mas p também é divisor de n, de modo que p ∈ Dn

se Dn é uma Álg. Booleana, p deve ter um complemento p′

de modo que MDC(p, p′) = 1 e MMC(p, p′) = n

daí temos que p.p′ = n

de modo que p′ = n/p = p.q

mas isto significa que MDC(p, p.q) teria que ser 1 (!!)

Logo, Dn não pode ser uma Álg. Booleana. �



Na verdade, de acordo com um teorema já visto,

“Seja n = p1p2 . . . pk onde os pi são primos distintos. Então Dn

é uma Álgebra booleana”.

concluímos que:

Dn é uma Álgebra Booleana se e somente se nenhum primodivide n mais do que uma vez.

Exemplo: 40 = 23.5 e 125 = 3.52

Então: nem D40 nem D125 podem ser Álgebras Booleanas.


ÁLGEBRAS BOOLEANAS

Final deste item.

Dica: fazer exercícios sobre Álgebras Booleanas...


Documents

INE0003 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETAmauro/ine5403/slides_novos/pdfs_texs/p64bool... · ine0003 fundamentos de matemÁtica discreta para a computaÇÃo prof. daniel s. freitas