INE5381 - Fundamentos Matemáticos INE5381 - Fundamentos Matemáticos da Computaçãoda Computação

Parte I - Elementos básicos:Parte I - Elementos básicos: 1. Lógica Matemática1. Lógica Matemática 2. Conjuntos e subconjuntos2. Conjuntos e subconjuntos - Operações sobre conjuntos- Operações sobre conjuntos 3. Indução e recursão3. Indução e recursão 4. Números inteiros4. Números inteiros - Divisão nos inteiros, inteiros módulo n- Divisão nos inteiros, inteiros módulo n 5. Matrizes5. Matrizes 6. Seqüêncas e somas6. Seqüêncas e somas

MatrizesMatrizes

• Matrizes são usadas para representar Matrizes são usadas para representar relações entre relações entre elementoselementos de conjuntos. de conjuntos.• Exemplo: redes de comunicaçõesExemplo: redes de comunicações

• DefiniçãoDefinição: uma matriz é uma : uma matriz é uma tabela numéricatabela numérica arranjada em arranjada em um número m de linhas e um número n de colunas.um número m de linhas e um número n de colunas.

mn2m1m

n22221

n11211

a...aa::::

a...aaa...aa

A

MatrizesMatrizes

• A i-ésima linha de A é:A i-ésima linha de A é:

miaaa inii 121

• A j-ésima coluna de A é:A j-ésima coluna de A é:

nj

a

aa

mj

j

j

12

1

Matrizes – Notações e terminologiaMatrizes – Notações e terminologia

AAmxnmxn: matriz A com m linhas e n colunas: matriz A com m linhas e n colunas

AAnxnnxn: matriz : matriz quadradaquadrada de tamanho n de tamanho n

: diagonal principal de A: diagonal principal de A

aaijij: : elementoelemento da i-ésima linha e da j-ésima coluna da matriz A da i-ésima linha e da j-ésima coluna da matriz A

[a[aijij]: denota uma ]: denota uma matrizmatriz A onde a dimensão está definida A onde a dimensão está definida

nnaaa 2211

Exemplos de matrizesExemplos de matrizes

210532

A

6432

B

021

C

4311 E

542321101

D

MatrizesMatrizes

DefiniçãoDefinição: Uma matriz : Uma matriz quadradaquadrada A=[a A=[aijij] em que todos ] em que todos elementos fora da diagonal são iguais a zero, isto é, elementos fora da diagonal são iguais a zero, isto é, aaijij=0 para i=0 para ij, é chamada de j, é chamada de matriz diagonalmatriz diagonal. .

3004

F

ExemplosExemplos::

500030002

G

MatrizesMatrizes

DefiniçãoDefinição: Duas matrizes mxn A=[a: Duas matrizes mxn A=[aijij] e B=[b] e B=[bijij] são ditas ] são ditas iguaisiguais se a se aijij=b=bijij para 1 para 1iim e 1m e 1jjn.n.

644250132

A

ExemploExemplo::

• A=B se e somente se x=-3, y=0, e z=6.A=B se e somente se x=-3, y=0, e z=6.

zy

xB

442512

Aritmética de matrizesAritmética de matrizes

Def.Def.: Se A=[a: Se A=[aijij] e B=[b] e B=[bijij] são duas matrizes mxn, ] são duas matrizes mxn, então a então a soma de A e Bsoma de A e B é a matriz C=[c é a matriz C=[cijij], de ], de ordem mxn, definida por:ordem mxn, definida por:

205143

A

ExemploExemplo::

ccijij = a = aijij + b + bijij (1 (1iim , 1m , 1jjn)n)

230354

B

035297

22)3(005315443

BAC

Aritmética de matrizesAritmética de matrizes

DefiniçãoDefinição: Uma matriz cujos elementos são todos : Uma matriz cujos elementos são todos nulos é chamada de nulos é chamada de matriz nulamatriz nula e é denotada por e é denotada por 00..

000

00032O

ExemplosExemplos::

000000000

33O

Propriedades da soma de matrizesPropriedades da soma de matrizes

TeoremaTeorema::

a) A + B = B + Aa) A + B = B + A

b) (A + B) + C = A+ (B + C)b) (A + B) + C = A+ (B + C)

c) A + c) A + 00 = = 00 + A = A + A = A

mn2m1m

ij

n22221

n11211

pnpj2p1p

n2j22221

n1j11211

mp2m1m

ip2i1i

p22221

p11211

cccc

cccccc

bbbb

bbbbbbbb

aaa

aaa

aaaaaa

Aritmética de matrizesAritmética de matrizes

Def.Def.: Se A=[a: Se A=[aijij] é uma matriz mxp e B=[b] é uma matriz mxp e B=[bijij] é uma matriz ] é uma matriz pxn, então o pxn, então o produtoproduto de A e B (AxB) é a matriz C=[c de A e B (AxB) é a matriz C=[cijij], de ], de ordem mxn, definida por: ordem mxn, definida por:

p

kkjikpjipjijiij babababac

12211 njmi 1,1

Produto de matrizesProduto de matrizes

321

432A 32

352213

B 23

??

??C 22

ExemploExemplo::

332211532231342312542332

C

4142020

C

Propriedades do produto de matrizesPropriedades do produto de matrizes• As propriedades básicas do produto de matrizes As propriedades básicas do produto de matrizes

são dadas pelo seguinte teorema:são dadas pelo seguinte teorema:

• TeoremaTeorema::a) A(BC) = (AB)Ca) A(BC) = (AB)Cb) A(B + C) = AB + ACb) A(B + C) = AB + ACc) (A + B)C = AC + BCc) (A + B)C = AC + BC

• Note que, dadas duas matrizes ANote que, dadas duas matrizes Amxpmxp e B e Bpxnpxn, então A.B , então A.B pode ser calculada (mxn). Quanto a B.A pode ocorrer:pode ser calculada (mxn). Quanto a B.A pode ocorrer:

1. o produto B.A pode não ser definido1. o produto B.A pode não ser definido2. (m=n) e B.A é definida 2. (m=n) e B.A é definida mas A.B mas A.B B.A (tamanho) B.A (tamanho)3. A.B e B.A podem ter o mesmo tamanho mas A.B 3. A.B e B.A podem ter o mesmo tamanho mas A.B B.A B.A

4. A.B = B.A4. A.B = B.A

Propriedades do produto de matrizesPropriedades do produto de matrizes

ExemplosExemplos: :

2312

A 22

3211

B 22

321

432A 32

524328512914

B 43

21

12A 22

51

15B 22

Multiplicação de matrizesMultiplicação de matrizes

QuestãoQuestão: quantas operações são necessárias para : quantas operações são necessárias para calcular o produto Ccalcular o produto Cmxnmxn de duas matrizes A de duas matrizes Amxpmxp e B e Bpxnpxn??

Resp.Resp.:: - Há mxn elementos no produto de A- Há mxn elementos no produto de Amxpmxp e B e Bpxnpxn

QuestãoQuestão: Em que ordem as matrizes A: Em que ordem as matrizes A11(30x20), A(30x20), A22(20x40) e (20x40) e AA33(40x10) devem ser multiplicadas (matrizes de inteiros) (40x10) devem ser multiplicadas (matrizes de inteiros) para usar o menor npara usar o menor noo possível de operações? possível de operações?• AA11(A(A22AA33) ) 20.40.10 para obter a matriz 20x10 A 20.40.10 para obter a matriz 20x10 A22AA33

+ 30.20.10 para multiplicar por A+ 30.20.10 para multiplicar por A11 = 14000 = 14000

- Para encontrar cada elemento são necessárias p (x) e p (+)- Para encontrar cada elemento são necessárias p (x) e p (+)- Logo, um total de m.n.p (x) e m.n.p (+) são usadas.- Logo, um total de m.n.p (x) e m.n.p (+) são usadas.

• (A(A11AA22)) AA33 30.20.40 + 30.40.10 = 36000 (!) 30.20.40 + 30.40.10 = 36000 (!)

Matriz identidadeMatriz identidade• DefiniçãoDefinição: a matriz diagonal n: a matriz diagonal nn na qual todos os n na qual todos os

elementos da diagonal são 1’s é chamado de elementos da diagonal são 1’s é chamado de matriz matriz identidadeidentidade de ordem n e é denotada por de ordem n e é denotada por IInn..

• NotaNota: se A é uma matriz m: se A é uma matriz mn, vale:n, vale:IImm.A = A..A = A.IInn = A = A

1...000:::::0...1000...0100...001

I

Potências de matrizesPotências de matrizes

• Pode-se definir Pode-se definir potênciaspotências de matrizes quadradas. de matrizes quadradas.• Se A é uma matriz quadrada nxn, temos:Se A é uma matriz quadrada nxn, temos:

AApp = A.A...A = A.A...Ap vezesp vezes

onde: Aonde: A00 = I = Inn

• Também se pode provar as leis de Também se pode provar as leis de exponenciaçãoexponenciação::

AAppAAqq = A = Ap+qp+q

(A(App))qq = A = Ap.qp.q

Matrizes transpostasMatrizes transpostas

DefiniçãoDefinição: Se A é uma matriz mxn, então a matriz : Se A é uma matriz mxn, então a matriz nxm:nxm:

tijt aA onde:onde:

é chamada de é chamada de transpostatransposta da matriz A. da matriz A.

ExemplosExemplos::

jitij aa nj1emi1

261012543

A

205614123

A t

031

B 031Bt

Propriedades de matrizes transpostasPropriedades de matrizes transpostas

TeoremaTeorema: Se A e B são matrizes, então:: Se A e B são matrizes, então:

ExemploExemplo::

a) (Aa) (Att))tt = A = Ab) (A+B)b) (A+B)tt = A = Att + B + Btt

c) (A.B)c) (A.B)tt = B = Btt.A.Att

DefiniçãoDefinição: Uma matriz A=[a: Uma matriz A=[aijij] é chamada simétrica se A] é chamada simétrica se Att=A=A• se A é simétrica, A se A é simétrica, A deve serdeve ser uma matriz uma matriz quadrada.quadrada.

205014543

A

Matrizes booleanasMatrizes booleanas• Matrizes constituídas Matrizes constituídas apenas de zeros e 1’sapenas de zeros e 1’s são são

frequentemente utilizadas para representar frequentemente utilizadas para representar estruturas discretas (como as relações - parte II).estruturas discretas (como as relações - parte II).

DefiniçãoDefinição: Uma : Uma matriz booleanamatriz booleana é uma matriz mxn é uma matriz mxn em que os elementos são zeros ou uns.em que os elementos são zeros ou uns.

ExemploExemplo::

001001010100110

B

Operações com matrizes booleanasOperações com matrizes booleanas

Def.Def.: sejam A=[a: sejam A=[aijij] e B=[b] e B=[bijij] duas matrizes booleanas,] duas matrizes booleanas,

0be0ase01bou1ase1

cijij

ijijij

1) A1) AB=C=[cB=C=[cijij] é a ] é a junçãojunção de A e B, dada por: de A e B, dada por:

2) A2) AB=D=[dB=D=[dijij] é o ] é o encontroencontro de A e B, dado por: de A e B, dado por:

Note que A e B Note que A e B devem ter o devem ter o mesmo tamanhomesmo tamanho

0bou0ase01be1ase1

dijij

ijijij

Operações com matrizes booleanasOperações com matrizes booleanas

ExemploExemplo: Calcule a junção e o encontro de:: Calcule a junção e o encontro de:

010101

A

SoluçãoSolução::

011010

B

011111

001110011001

BA

010000

001110011001

BA

Operações com matrizes booleanasOperações com matrizes booleanas

Def.Def.: Sejam as matrizes booleanas A=[a: Sejam as matrizes booleanas A=[a ijij] (mxp) e B=[b] (mxp) e B=[bijij] ] (pxn). O (pxn). O produto booleanoproduto booleano de A e B é a matriz C mxn cujos de A e B é a matriz C mxn cujos elementos são dados por:elementos são dados por:

ccijij = (a = (ai1i1bb1j1j) ) (a (ai2i2bb2j2j) ) ... ... (a(aipipbbpjpj))

• Denota-se este produto por ADenota-se este produto por ABB

• Note que esta operação é idêntica à multiplicação matricial Note que esta operação é idêntica à multiplicação matricial ordinária em que:ordinária em que:- a adição é substituída por - a adição é substituída por - a multiplicação é substituída por - a multiplicação é substituída por

Produto booleanoProduto booleanoExemploExemplo: Encontre o produto booleano de A e B, onde:: Encontre o produto booleano de A e B, onde:

011001

A

Note que #-Note que #-colunas de A deve colunas de A deve ser = ser = #-linhas de B#-linhas de B

110011

B

100110110011110011100110100110110011

BA

011110011

000101101000000101

BA

Operações com matrizes booleanasOperações com matrizes booleanas

TeoremaTeorema: Se A, B e C são matrizes booleanas, então:: Se A, B e C são matrizes booleanas, então:

1)1) a) A a) A B = B B = B A Ab) A b) A B = B B = B A A

2)2) a) (A a) (A B) B) C = A C = A (B (B C) C) b) (A b) (A B) B) C = A C = A (B (B C) C)

3)3) a) A a) A (B (B C) = (A C) = (A B) B) (A (A C) C) b) A b) A (B (B C) = (A C) = (A B) B) (A (A C) C)

4)4) A A (B (B C) = (A C) = (A B) B) C C