Discreta para a Computao Fundamentos de mauro.roisenberg/ine5403/slides_novos/zpdfs_ppts/...INE5403-Fundamentos de Matemtica Discreta para a Computao • 2) Fundamentos •

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  • INE5403INE5403 -- Fundamentos de Matemtica Fundamentos de Matemtica Discreta para a ComputaoDiscreta para a Computao

    2) Fundamentos2) Fundamentos

    2.1) Conjuntos e Sub2.1) Conjuntos e Sub--conjuntosconjuntos

    2.2) Nmeros Inteiros2.2) Nmeros Inteiros

    2.3) Funes2.3) Funes

    2.4) Seqncias e Somas2.4) Seqncias e Somas

    2.5) Crescimento de Funes2.5) Crescimento de Funes

  • FunesFunes

    Def.Def.: Sejam A e B conjuntos no: Sejam A e B conjuntos no--vazios. Uma vazios. Uma funofuno f de A em B, f de A em B, denotada por f:Adenotada por f:AB, B, uma uma relarelaoo de A em B tal que:de A em B tal que:

    para todo apara todo aDom(f), f(a) contDom(f), f(a) contm m apenas um elementoapenas um elemento..

    f

    f

    a b=f(a)

    BA

  • FunesFunes

    f

    a

    BA

    NO funo:

    f

    BA

    Exemplo de funo:

  • FunesFunes

    Observaes:Observaes:

    Se aSe aDom(f), ento f(a)=Dom(f), ento f(a)=

    Se f(a)={b}, escreveSe f(a)={b}, escreve--se f(a)=bse f(a)=b

    A relaA relao f como definida acima pode ser escrita como o o f como definida acima pode ser escrita como o conjunto dos pares:conjunto dos pares:

    {(a,f(a)) | a{(a,f(a)) | aDom(f)}Dom(f)}

    o valor a chamado de o valor a chamado de argumentoargumento da funo e f(a) da funo e f(a) chamado de valor de f para o argumento a.chamado de valor de f para o argumento a.

  • FunesFunes

    Exemplo1Exemplo1: Sejam A={1,2,3,4} e B={a,b,c,d} e seja: Sejam A={1,2,3,4} e B={a,b,c,d} e seja

    f={(1,a),(2,a),(3,d),(4,c)}f={(1,a),(2,a),(3,d),(4,c)}

    Assim, os valores de f de x, para cada xAssim, os valores de f de x, para cada xA so:A so:

    f(1)={a}, f(2)={b}, f(3)={d}, f(4)={c}f(1)={a}, f(2)={b}, f(3)={d}, f(4)={c}

    como cada conjunto f(x), para xcomo cada conjunto f(x), para xA, tem A, tem um um nico valornico valor, , ento ento f f uma funuma funoo..

  • FunesFunes

    Exemplo2Exemplo2: Sejam A={1,2,3} e B={x,y,z} e considere as relaes: Sejam A={1,2,3} e B={x,y,z} e considere as relaes

    R={(1,x),(2,x)} e S={(1,x),(1,y),(2,z),(3,y)}R={(1,x),(2,x)} e S={(1,x),(1,y),(2,z),(3,y)}

    Ento:Ento:

    R uma funo com Dom(R)={1,2} e R uma funo com Dom(R)={1,2} e ImIm(R)={x}(R)={x}

    S S no uma funono uma funo pois S(1)={x,y}pois S(1)={x,y}

    Exemplo3Exemplo3: Seja A um conjunto arbitrrio no: Seja A um conjunto arbitrrio no--vazio. A funo vazio. A funo identidade de Aidentidade de A, denotada por , denotada por 11AA, definida por, definida por

    11AA(a)=a(a)=a

  • Tipos especiais de funesTipos especiais de funes

    Def.Def.: Uma funo f de A em B dita um: Uma funo f de A em B dita um--parapara--um ou um ou injetorainjetorase e somente se f(a) se e somente se f(a) f(b) sempre que a f(b) sempre que a b.b.

    Exemplo1Exemplo1: Determine se a funo f de {a,b,c,d} em {1,2,3,4,5}, : Determine se a funo f de {a,b,c,d} em {1,2,3,4,5}, com f(a)=4, f(b)=5, f(c)=1 e f(d)=3 injetora.com f(a)=4, f(b)=5, f(c)=1 e f(d)=3 injetora.

    a

    b

    c

    d

    1

    23

    4

    5

  • Funes injetorasFunes injetoras

    Exemplo2Exemplo2: Determine se a funo f(x)=x: Determine se a funo f(x)=x22, dos inteiros para os , dos inteiros para os inteiros, injetora.inteiros, injetora.

    SoluoSoluo: A funo f(x)=x: A funo f(x)=x2 2 no injetorano injetora

    pois, por exemplo, f(1)=f(pois, por exemplo, f(1)=f(--1)=1, mas 1 1)=1, mas 1 --11..

    Exemplo3Exemplo3: Determine se a funo f(x)=x+1 injetora.: Determine se a funo f(x)=x+1 injetora.

    SoluoSoluo: A funo f(x)=x+1: A funo f(x)=x+1 injetora injetora. .

    Para provar isto, note que x+1 Para provar isto, note que x+1 y+1 quando x y+1 quando x y.y.

  • Tipos especiais de funesTipos especiais de funes

    Def.Def.: Uma funo f de A em B chamada de : Uma funo f de A em B chamada de sobrejetorasobrejetora se e se e somente se para todo elemento bsomente se para todo elemento bB hB h um elemento um elemento aaA com A com f(a)=b.f(a)=b.

    Equivalentemente, f Equivalentemente, f sobrejetorasobrejetora se se ImIm(f)=B (inteiro)(f)=B (inteiro)

    Exemplo1Exemplo1: Seja f a funo de {a,b,c,d} em {1,2,3}, definida por : Seja f a funo de {a,b,c,d} em {1,2,3}, definida por f(a)=3, f(b)=2, f(c)=1 e f(d)=3. Esta funo f(a)=3, f(b)=2, f(c)=1 e f(d)=3. Esta funo sobrejetorasobrejetora??

    a

    b

    c

    d

    1

    2

    3

  • Funes Funes sobrejetorassobrejetoras

    Exemplo2Exemplo2: A funo f(x) = x: A funo f(x) = x22, , dos inteiros para os inteirosdos inteiros para os inteiros, , sobrejetorasobrejetora??

    SoluoSoluo: A funo f: A funo f no no sobrejetorasobrejetora

    pois, por exemplo, no h inteiro x que fornea xpois, por exemplo, no h inteiro x que fornea x22 = = --1.1.

    Exemplo3Exemplo3: Determine se a funo f(x)=x+1, dos inteiros para os : Determine se a funo f(x)=x+1, dos inteiros para os inteiros, inteiros, sobrejetorasobrejetora..

    SoluoSoluo: Esta funo : Esta funo sobrejetorasobrejetora, pois:, pois:

    para todo inteiro y, para todo inteiro y, sempre hsempre h um inteiro x tal que f(x)=y. um inteiro x tal que f(x)=y.

  • Tipos especiais de funesTipos especiais de funes

    Def.Def.: Uma funo f uma correspondncia de um: Uma funo f uma correspondncia de um--parapara--um, ou um, ou uma uma funo funo bijetorabijetora, se ela for , se ela for injetorainjetora e e sobrejetorasobrejetora..

    ResumindoResumindo: Exemplos de diferentes tipos de correspondncias:: Exemplos de diferentes tipos de correspondncias:

    a

    b

    c

    1

    2

    3

    4

    a) Injetora, mas no sobrejetora:

    b) Sobrejetora, mas no injetora:

    c) Injetora e sobrejetora:

    a

    b

    c

    1

    2

    3d

    a

    b

    c

    d

    1

    2

    3

    4

  • Tipos especiais de funesTipos especiais de funes

    ResumindoResumindo: diferentes tipos de correspondncias (continuao):: diferentes tipos de correspondncias (continuao):

    d) Nem injetora, nem sobrejetora:

    e) No funo:

    a

    b

    c

    d

    1

    2

    3

    4

    a

    b

    c

    1

    2

    3

    4

  • Tipos especiais de funesTipos especiais de funes

    Def.Def.: Seja f:A: Seja f:ABB uma funo bijetora. A uma funo bijetora. A funo inversa de f funo inversa de f a funo que associa a um elemento a funo que associa a um elemento bbB o elemento B o elemento nico nico aaem A tal que f(a)=b.em A tal que f(a)=b.

    A funo inversa de f denotada por fA funo inversa de f denotada por f--11..

    Portanto, fPortanto, f--11(b) = a quando f(a)=b.(b) = a quando f(a)=b.

    Uma funo bijetora chamada de Uma funo bijetora chamada de inversvelinversvel..

  • Funes inversasFunes inversas

    Exemplo1Exemplo1: Seja f a funo de {a,b,c} para {1,2,3} tal que : Seja f a funo de {a,b,c} para {1,2,3} tal que f(a)=2, f(b)=3 e f(c)=1. Verifique se a funo f f(a)=2, f(b)=3 e f(c)=1. Verifique se a funo f inversvelinversvel e, em e, em caso afirmativo, determine a sua inversa.caso afirmativo, determine a sua inversa.

    SoluoSoluo: A funo f : A funo f inversvelinversvel, pois bijetora. A funo f, pois bijetora. A funo f--11 dada por:dada por:

    ff--11(1)=c, f(1)=c, f--11(2)=a e f(2)=a e f--11(3)=b.(3)=b.

  • Funes inversasFunes inversas

    Exemplo2Exemplo2: Seja f a funo de Z para Z com f(x)=x: Seja f a funo de Z para Z com f(x)=x22. Esta funo . Esta funo inversvelinversvel??

    SoluoSoluo: : -- Como f(Como f(--1)=f(1)=1, f no injetora.1)=f(1)=1, f no injetora.-- Se uma fSe uma f--11 fosse definida, ela teria que associar doisfosse definida, ela teria que associar dois

    elementos a 1 elementos a 1 f no f no inversinversvelvel..

  • Composio de funesComposio de funes

    Def.Def.: Sejam:: Sejam:

    g uma funo do conjunto A para o conjunto B e g uma funo do conjunto A para o conjunto B e

    f uma funo do conjunto B para o conjunto C. f uma funo do conjunto B para o conjunto C.

    A A composiocomposio das funes f e g, denotada por f das funes f e g, denotada por f oo g, definida g, definida por:por:

    (f(f oo g)(a) = f(g(a))g)(a) = f(g(a))

    ou seja, fou seja, f oo g a funo que associa ao elemento ag a funo que associa ao elemento aA o A o elemento elemento associado por f a g(a)associado por f a g(a)

  • Composio de funesComposio de funes

    A B C

    g f

    a g(a) f(g(a))

    fog

  • Composio de funesComposio de funes

    Exemplo1Exemplo1: : -- Seja g a funo do conjunto {a,b,c} para ele mesmo tal queSeja g a funo do conjunto {a,b,c} para ele mesmo tal que

    g(a)=b, g(b)=c e g(c)=ag(a)=b, g(b)=c e g(c)=a-- Seja f a funo do conjunto {a,b,c} para o conjunto {1,2,3} talSeja f a funo do conjunto {a,b,c} para o conjunto {1,2,3} tal

    que f(a)=3, f(b)=2 e f(c)=1. que f(a)=3, f(b)=2 e f(c)=1. -- Determine a composio de f e g e a composio de g e f.Determine a composio de f e g e a composio de g e f.

    SoluoSoluo::

    A composio fA composio f oo g definida por:g definida por:(f(f oo g)(a) = f(g(a)) = f(b)=2g)(a) = f(g(a)) = f(b)=2(f(f oo g)(b) = f(g(b)) = f(c)=1g)(b) = f(g(b)) = f(c)=1(f(f oo g)(c) = f(g(c)) = f(a)=3g)(c) = f(g(c)) = f(a)=3

    Note que gNote que g oo f no est definida, pois o contradomnio de f f no est definida, pois o contradomnio de f no um subconjunto do domnio de g.no um subconjunto do domnio de g.

  • Composio de funesComposio de funes

    Exemplo2Exemplo2: Sejam f e g as funes do conjunto dos inteiros para : Sejam f e g as funes do conjunto dos inteiros p