INE5403INE5403 -- Fundamentos de Matemática Fundamentos de Matemática Discreta para a ComputaçãoDiscreta para a Computação

•• 2) Fundamentos2) Fundamentos

•• 2.1) Conjuntos e Sub2.1) Conjuntos e Sub--conjuntosconjuntos

•• 2.2) Números Inteiros2.2) Números Inteiros

•• 2.3) Funções2.3) Funções

•• 2.4) Seqüências e Somas2.4) Seqüências e Somas

•• 2.5) Crescimento de Funções2.5) Crescimento de Funções

FunçõesFunções

•• Def.Def.: Sejam A e B conjuntos não: Sejam A e B conjuntos não--vazios. Uma vazios. Uma funçãofunção f de A em B, f de A em B, denotada por f:Adenotada por f:A→→B, B, éé uma uma relarelaççãoão de A em B tal que:de A em B tal que:

–– para todo apara todo a∈∈ Dom(f), f(a) contDom(f), f(a) contéém m apenas um elementoapenas um elemento..

f

f

a b=f(a)

BA

FunçõesFunções

f

a

BA

NÃO é função:

f

BA

Exemplo de função:

FunçõesFunções

•• Observações:Observações:

–– Se aSe a∉∉ Dom(f), então f(a)=Dom(f), então f(a)=∅∅

–– Se f(a)={b}, escreveSe f(a)={b}, escreve--se f(a)=bse f(a)=b

–– A relaA relaçção f como definida acima pode ser escrita como o ão f como definida acima pode ser escrita como o conjunto dos pares:conjunto dos pares:

{(a,f(a)) | a{(a,f(a)) | a∈∈ Dom(f)}Dom(f)}

–– o valor a é chamado de o valor a é chamado de argumentoargumento da função e f(a) é da função e f(a) é chamado de valor de f para o argumento a.chamado de valor de f para o argumento a.

FunçõesFunções

•• Exemplo1Exemplo1: Sejam A={1,2,3,4} e B={a,b,c,d} e seja: Sejam A={1,2,3,4} e B={a,b,c,d} e seja

f={(1,a),(2,a),(3,d),(4,c)}f={(1,a),(2,a),(3,d),(4,c)}

–– Assim, os valores de f de x, para cada xAssim, os valores de f de x, para cada x∈∈ A são:A são:

f(1)={a}, f(2)={b}, f(3)={d}, f(4)={c}f(1)={a}, f(2)={b}, f(3)={d}, f(4)={c}

–– como cada conjunto f(x), para xcomo cada conjunto f(x), para x∈∈ A, tem A, tem um um úúnico valornico valor, , então então f f éé uma funuma funççãoão..

FunçõesFunções

•• Exemplo2Exemplo2: Sejam A={1,2,3} e B={x,y,z} e considere as relações: Sejam A={1,2,3} e B={x,y,z} e considere as relações

R={(1,x),(2,x)} e S={(1,x),(1,y),(2,z),(3,y)}R={(1,x),(2,x)} e S={(1,x),(1,y),(2,z),(3,y)}

Então:Então:

–– R é uma função com Dom(R)={1,2} e R é uma função com Dom(R)={1,2} e ImIm(R)={x}(R)={x}

–– S S não é uma funçãonão é uma função pois S(1)={x,y}pois S(1)={x,y}

•• Exemplo3Exemplo3: Seja A um conjunto arbitrário não: Seja A um conjunto arbitrário não--vazio. A função vazio. A função identidade de Aidentidade de A, denotada por , denotada por 11AA, é definida por, é definida por

11AA(a)=a(a)=a

Tipos especiais de funçõesTipos especiais de funções

•• Def.Def.: Uma função f de A em B é dita “um: Uma função f de A em B é dita “um--parapara--um” ou um” ou injetorainjetorase e somente se f(a) se e somente se f(a) ≠≠ f(b) sempre que a f(b) sempre que a ≠≠ b.b.

•• Exemplo1Exemplo1: Determine se a função f de {a,b,c,d} em {1,2,3,4,5}, : Determine se a função f de {a,b,c,d} em {1,2,3,4,5}, com f(a)=4, f(b)=5, f(c)=1 e f(d)=3 é injetora.com f(a)=4, f(b)=5, f(c)=1 e f(d)=3 é injetora.

a

b

c

d

1

23

4

5

Funções injetorasFunções injetoras

•• Exemplo2Exemplo2: Determine se a função f(x)=x: Determine se a função f(x)=x22, dos inteiros para os , dos inteiros para os inteiros, é injetora.inteiros, é injetora.

SoluçãoSolução: A função f(x)=x: A função f(x)=x2 2 não é injetoranão é injetora

–– pois, por exemplo, f(1)=f(pois, por exemplo, f(1)=f(--1)=1, mas 1 1)=1, mas 1 ≠≠ --11..

•• Exemplo3Exemplo3: Determine se a função f(x)=x+1 é injetora.: Determine se a função f(x)=x+1 é injetora.

SoluçãoSolução: A função f(x)=x+1: A função f(x)=x+1 é injetoraé injetora. .

–– Para provar isto, note que x+1 Para provar isto, note que x+1 ≠≠ y+1 quando x y+1 quando x ≠≠ y.y.

Tipos especiais de funçõesTipos especiais de funções

•• Def.Def.: Uma função f de A em B é chamada de : Uma função f de A em B é chamada de sobrejetorasobrejetora se e se e somente se para todo elemento bsomente se para todo elemento b∈∈ B hB háá um elemento um elemento aa∈∈ A com A com f(a)=b.f(a)=b.

–– Equivalentemente, f Equivalentemente, f éé sobrejetorasobrejetora se se ImIm(f)=B (inteiro)(f)=B (inteiro)

•• Exemplo1Exemplo1: Seja f a função de {a,b,c,d} em {1,2,3}, definida por : Seja f a função de {a,b,c,d} em {1,2,3}, definida por f(a)=3, f(b)=2, f(c)=1 e f(d)=3. Esta função é f(a)=3, f(b)=2, f(c)=1 e f(d)=3. Esta função é sobrejetorasobrejetora??

a

b

c

d

1

2

3

Funções Funções sobrejetorassobrejetoras

•• Exemplo2Exemplo2: A função f(x) = x: A função f(x) = x22, , dos inteiros para os inteirosdos inteiros para os inteiros, é , é sobrejetorasobrejetora??

SoluçãoSolução: A função f: A função f não é não é sobrejetorasobrejetora

–– pois, por exemplo, não há inteiro x que forneça xpois, por exemplo, não há inteiro x que forneça x22 = = --1.1.

•• Exemplo3Exemplo3: Determine se a função f(x)=x+1, dos inteiros para os : Determine se a função f(x)=x+1, dos inteiros para os inteiros, é inteiros, é sobrejetorasobrejetora..

SoluçãoSolução: Esta função : Esta função é é sobrejetorasobrejetora, pois:, pois:

–– para todo inteiro y, para todo inteiro y, sempre hásempre há um inteiro x tal que f(x)=y. um inteiro x tal que f(x)=y.

Tipos especiais de funçõesTipos especiais de funções

•• Def.Def.: Uma função f é uma correspondência de um: Uma função f é uma correspondência de um--parapara--um, ou um, ou uma uma função função bijetorabijetora, se ela for , se ela for injetorainjetora e e sobrejetorasobrejetora..

•• ResumindoResumindo: Exemplos de diferentes tipos de correspondências:: Exemplos de diferentes tipos de correspondências:

a

b

c

1

2

3

4

a) Injetora, mas não sobrejetora:

b) Sobrejetora, mas não injetora:

c) Injetora e sobrejetora:

a

b

c

1

2

3d

a

b

c

d

1

2

3

4

Tipos especiais de funçõesTipos especiais de funções

•• ResumindoResumindo: diferentes tipos de correspondências (continuação):: diferentes tipos de correspondências (continuação):

d) Nem injetora, nem sobrejetora:

e) Não é função:

a

b

c

d

1

2

3

4

a

b

c

1

2

3

4

Tipos especiais de funçõesTipos especiais de funções

•• Def.Def.: Seja f:A: Seja f:A→→BB uma função bijetora. A uma função bijetora. A função inversa de f função inversa de f é é a função que associa a um elemento a função que associa a um elemento bb∈∈ B o elemento B o elemento úúnico nico aaem A tal que f(a)=b.em A tal que f(a)=b.

–– A função inversa de f é denotada por fA função inversa de f é denotada por f--11..

–– Portanto, fPortanto, f--11(b) = a quando f(a)=b.(b) = a quando f(a)=b.

–– Uma função bijetora é chamada de Uma função bijetora é chamada de inversívelinversível..

Funções inversasFunções inversas

•• Exemplo1Exemplo1: Seja f a função de {a,b,c} para {1,2,3} tal que : Seja f a função de {a,b,c} para {1,2,3} tal que f(a)=2, f(b)=3 e f(c)=1. Verifique se a função f é f(a)=2, f(b)=3 e f(c)=1. Verifique se a função f é inversívelinversível e, em e, em caso afirmativo, determine a sua inversa.caso afirmativo, determine a sua inversa.

•• SoluçãoSolução: A função f é : A função f é inversívelinversível, pois é bijetora. A função f, pois é bijetora. A função f--11 é é dada por:dada por:

ff--11(1)=c, f(1)=c, f--11(2)=a e f(2)=a e f--11(3)=b.(3)=b.

Funções inversasFunções inversas

•• Exemplo2Exemplo2: Seja f a função de Z para Z com f(x)=x: Seja f a função de Z para Z com f(x)=x22. Esta função . Esta função é é inversívelinversível??

•• SoluçãoSolução: : -- Como f(Como f(--1)=f(1)=1, f não é injetora.1)=f(1)=1, f não é injetora.-- Se uma fSe uma f--11 fosse definida, ela teria que associar doisfosse definida, ela teria que associar dois

elementos a 1 elementos a 1 ⇒⇒ f não f não éé inversinversíívelvel..

Composição de funçõesComposição de funções

•• Def.Def.: Sejam:: Sejam:

–– g uma função do conjunto A para o conjunto B e g uma função do conjunto A para o conjunto B e

–– f uma função do conjunto B para o conjunto C. f uma função do conjunto B para o conjunto C.

A A composiçãocomposição das funções f e g, denotada por f das funções f e g, denotada por f oo g, é definida g, é definida por:por:

(f(f oo g)(a) = f(g(a))g)(a) = f(g(a))

•• ou seja, fou seja, f oo g é a função que associa ao elemento ag é a função que associa ao elemento a∈∈ A o A o elemento elemento associado por f a g(a)associado por f a g(a)

Composição de funçõesComposição de funções

A B C

g f

a g(a) f(g(a))

fog

Composição de funçõesComposição de funções

•• Exemplo1Exemplo1: : -- Seja g a função do conjunto {a,b,c} para ele mesmo tal queSeja g a função do conjunto {a,b,c} para ele mesmo tal que

g(a)=b, g(b)=c e g(c)=ag(a)=b, g(b)=c e g(c)=a-- Seja f a função do conjunto {a,b,c} para o conjunto {1,2,3} talSeja f a função do conjunto {a,b,c} para o conjunto {1,2,3} tal

que f(a)=3, f(b)=2 e f(c)=1. que f(a)=3, f(b)=2 e f(c)=1. -- Determine a composição de f e g e a composição de g e f.Determine a composição de f e g e a composição de g e f.

•• SoluçãoSolução::

–– A composição fA composição f oo g é definida por:g é definida por:(f(f oo g)(a) = f(g(a)) = f(b)=2g)(a) = f(g(a)) = f(b)=2(f(f oo g)(b) = f(g(b)) = f(c)=1g)(b) = f(g(b)) = f(c)=1(f(f oo g)(c) = f(g(c)) = f(a)=3g)(c) = f(g(c)) = f(a)=3

–– Note que gNote que g oo f não está definida, pois o contradomínio de f f não está definida, pois o contradomínio de f não é um subconjunto do domínio de g.não é um subconjunto do domínio de g.

Composição de funçõesComposição de funções

•• Exemplo2Exemplo2: Sejam f e g as funções do conjunto dos inteiros para : Sejam f e g as funções do conjunto dos inteiros para o conjunto dos inteiros definidas por:o conjunto dos inteiros definidas por:

f(x) = 2x + 3f(x) = 2x + 3g(x) = 3x + 2g(x) = 3x + 2

Determine a composição de f e g e a composição de g e f.Determine a composição de f e g e a composição de g e f.

•• SoluçãoSolução: :

(f(f oo g)(x) = f(g(x)) = f(3x+2) = 2.(3x+2) + 3 = 6x+7g)(x) = f(g(x)) = f(3x+2) = 2.(3x+2) + 3 = 6x+7

(g(g oo f)(x) = g(f(x)) = g(2x+3) = 3.(2x+3) + 2 = 6x + 11f)(x) = g(f(x)) = g(2x+3) = 3.(2x+3) + 2 = 6x + 11

FunçõesFunções

•• Exemplo3Exemplo3: Seja A=Z, B=Z e C o conjunto dos inteiros pares. Seja : Seja A=Z, B=Z e C o conjunto dos inteiros pares. Seja f:Af:A→→B e g:BB e g:B→→C definida porC definida por

f(a)=a+1,f(a)=a+1, para apara a∈∈ AAg(b)=2.b, g(b)=2.b, para bpara b∈∈ BB

Encontre Encontre gg oo f.f.

SoluSoluççãoão: : gg oo f(a) = g(f(a)) = g(a+1) = 2.(a+1)f(a) = g(f(a)) = g(a+1) = 2.(a+1)

⇒⇒ gg oo f(a) = 2.(a+1)f(a) = 2.(a+1)

Composição de funçõesComposição de funções

•• Note que a composição de funções Note que a composição de funções não é comutativanão é comutativa..

•• A composição de uma A composição de uma função e sua inversafunção e sua inversa, em qualquer , em qualquer ordem, leva à ordem, leva à função identidadefunção identidade::

–– Suponha que f é uma função bijetora de A para BSuponha que f é uma função bijetora de A para B

–– A função inversa reverte a correspondência da função original:A função inversa reverte a correspondência da função original:

ff--11(b)=a quando f(a)=b(b)=a quando f(a)=bf(a)=b quando ff(a)=b quando f--11(b)=a(b)=a

–– Portanto:Portanto:

(f(f--11 oo f)(a) = ff)(a) = f--11(f(a)) = f(f(a)) = f--11(b) = a(b) = a(f(f--11 oo f)(b) = ff)(b) = f--11(f(b)) = f(f(b)) = f--11(a) = b(a) = b

–– Consequentemente,Consequentemente,

ff--11 oo f = 1f = 1AAf f oo ff--11 = 1= 1BB