Granična stanja nosivosi betonskih konstrukcija

Igor Gukov Granična stanja nosivosti betonskih konstrukcija

1

GRANIČNA STANJA NOSIVOSTI BETONSKIH KONSTRUKCIJA

SADRŽAJ 1 FIZIKALNO-MEHANIČKA SVOJSTVA MATERIJALA.......................................... 2

1.1 Beton .............................................................................................................. 2 1.1.1 Računska čvrstoća betona ..................................................................... 6 1.1.2 Višeosno stanje naprezanja.................................................................... 6 1.1.3 Razred okoliša ........................................................................................ 7

1.2 Čelik za armiranje .......................................................................................... 8

2 OSNOVE PRORAČUNA KONSTRUKCIJA........................................................ 11

3 DIMENZIONIRANJE PREMA GRANIČNOM STANJU NOSIVOSTI.................. 13

3.1 Elementi naprezani na savijanje .................................................................. 13 3.1.1 Jednostruko armirani pravokutni presjek............................................. 13 3.1.2 Dvostruko armirani pravokutni presjek ................................................. 15 3.1.3 Dimenzioniranje T-presjeka na moment savijanja................................ 16 3.1.4 Minimalna armatura .............................................................................. 18 3.1.5 Maksimalna armatura ........................................................................... 19

3.2 Elementi naprezani uzdužnom silom ........................................................... 19 3.2.1 Centrično tlačno naprezani elementi .................................................... 19 3.2.2 Centrično vlačno naprezani elementi ................................................... 22

3.3 Dimenzioniranje pravokutnih presjeka pomoću dijagrama interakcije......... 22 3.4 Dimenzioniranje pravokutnih presjeka na ekscentrični tlak ......................... 23 3.5 Dimenzioniranje pravokutnih presjeka na ekscentrični vlak ........................ 24

3.5.1 Vlačna sila djeluje između armatura (mali ekscentricitet) .................... 24 3.5.2 Vlačna sila djeluje izvan presjeka (veliki ekscentricitet) ....................... 24

3.6 Lokalna tlačna naprezanja ........................................................................... 25 3.7 Poprečna armatura u gredama.................................................................... 27 3.8 Dimenzioniranje presjeka na moment torzije............................................... 32 3.9 Proračun ploča na proboj............................................................................. 35 3.10 Vitki elementi naprezani ekscentričnom tlačnom silom ............................ 40

3.10.1 Približan proračun prema EC2.............................................................. 41

4 LITERATURA ..................................................................................................... 43

Zagreb, 2011.


2

1 FIZIKALNO-MEHANIČKA SVOJSTVA MATERIJALA Svojstva materijala koriste se za određivanje otpornosti (nosivosti) elemenata i konstrukcija. Određuju se ispitivanjem u skladu s EC2, odnosno ENV 206 (Europäische Vornorm). 1.1 Beton Beton je građevinski materijal izrađen miješanjem veziva (cement), vode i agregata (pijesak, šljunak drobljenac). Osim tih obaveznih komponenti u sastav betona mogu ulaziti i dodaci (aditivi) koji mu daju posebna svojstva (zaptivači, aeranti, plastifikatori, regulatori vezivanja, sredstva protiv mraza...) U skladu sa ENV 206, beton koji se predviđa za sustave od betona, armiranog i prednapetog betona, treba biti načinjen od agregata, cementa, vode i dodataka u omjeru koji će osigurati dobru obradivost i svojstva koja ne smiju biti ispod vrijednosti danih tim propisima. Za gustoću nearmiranog betona uzima se ρ = 2400 kg/m3, a armiranog ρ = 2500 kg/m3.

24.00

24.50

25.00

25.50

26.00

26.50

100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300

Armatura (kg/m3)

Zapr

emin

sa te

žina

AB

(kN

/m3)

Slika 1.1 Utjecaj količine armature na zapreminsku težinu armiranog betona.

Zapreminska težina armiranog betona ovisi o količini armature. Neki elementi mogu imati veliki postotak armiranja uzdužnom i poprečnom armaturom, a time i veću zapreminsku težinu. Ako pretpostavimo zapreminsku težinu nearmiranog betona 24.0 kN/m3 može se koristiti slijedeći izraz za izračun zapreminske težine armiranog betona:

Zapreminska težina AB=24+As,uk*0.007 U gornji izraz potrebno je upisati As,uk u kg/m3 da bi dobili zapreminsku težinu u kN/m3. Npr. za 143 kg/m3 proizlazi zapreminska težina AB od 25.0 kN/m3. Npr. za 286 kg/m3 proizlazi zapreminska težina AB od 26.0 kN/m3. Glavne mehaničke karakteristike betona jesu njegove čvrstoće (tlačna, vlačna i posmična) i deformabilnost. Deformabilnost materijala je njegovo svojstvo da se elastično i plastično deformira do trenutka razaranja. Na ova mehanička svojstva betona utječe veliki broj čimbenika, od kojih su najvažniji:

kakvoća cementa, kakvoća i granulometrijski sastav ispune,


3

vodocementni faktor, konstrukcija smjese betona, prirodne primjese u ispuni i vodi, te posebni dodaci cementu ili

betonskoj smjesi da bi se postigla posebna svojstva, način pripreme i ugradnje betona u konstrukciju i njega betona.

Karakteristična tlačna čvrstoća (klasa betona) određuje se na osnovi računa vjerojatnosti i statistike korištenjem rezultata ispitivanja probnih uzoraka u obliku valjka dimenzija 150/300 mm, starih 28 dana. Zahtijeva se da najmanje 95% svih rezultata pokaže čvrstoću veću ili jednaku propisanoj klasi betona, odnosno da najviše 5% rezultata može biti manje čvrstoće od određene klase betona (5% fraktil). Pretpostavka je da će statistička raspodjela rezultata ispitivanja tlačne čvrstoće slijediti lognormalnu (Gaussovu) krivulju (Slika 1.2).

Uce

stal

ost

σ

cmf

σ

fck

p=5%

σ1.64fcCvrstoca

Slika 1.2 Gaussova (lognormalna) krivulja raspodjele rezultata ispitivanja tlačne čvrstoće betona.

Sva pravila i formule za konstruiranje i dimenzioniranje, prema Eurokodu 2, osnivaju se na karakterističnoj čvrstoći dobivenoj preko valjaka fck,cyl ili skraćeno fck. Međutim, kako neke zemlje određuju karakterističnu čvrstoću betona preko rezultata dobivenih ispitivanjem kocki stranice 200 mm fck,cube , to se daje tablica za pretvorbu ovih čvrstoća. Ako je potrebno poznavati srednju tlačnu čvrstoću betona, ona se može približno odrediti po izrazu:

fcm = fck + 8 (N/mm2) (1.1)

Razredi betona

C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60

fck (N/mm2) 12 16 20 25 30 35 40 45 50 fck,cube 15 20 25 30 37 45 50 55 60 fcm 20 24 28 33 38 43 48 53 58

Tablica 1.1 Razredi betona. Čvrstoća betona starosti do 1000 dana u odnosu na konačnu fc∞ može se približno odrediti korištenjem dijagrama.


4

Slika 1.3 Promjena čvrstoće betona starenjem.

Idealizirani radni dijagram naprezanje−deformacija za beton, predložen Eurokodom 2 za analizu armiranobetonskih i prednapetih sustava po nelinearnoj teoriji, teoriji plastičnosti ili za proračun po teoriji drugog reda za kratkotrajno opterećenje prikazan je na slici 1.4.

cσ

εc

α =arctgE1 cm

fc

0.4fc

εc1 cuε Slika 1.4 Idealizirani dijagram σ - ε za beton.

Funkcija dijagrama na slici 1.4. u intervalu 0 ≥ εc ≥ εcu dana je u obliku:

2( )1 ( 2)c

cf k

kη ησ

η− −

=+ −

(1.2)

fc - tlačna čvrstoća betona za koju se uzima da je jednaka računskoj čvrstoći (fc = fcd = fck/γc) η = εc/εc1 - odnos deformacije betona prema εc1 εc1 - odgovarajuća deformacija maksimalnoj vrijednosti naprezanja fc,

obično se uzima εc1 = 0.0022 (εc < 0 ako je naprezanje tlačno) k = 1.1 Ec ⋅ εc1 /fc (1.3)

Ecm - sekantni ili statički modul elastičnosti betona

( )139500 8cm ckE f= ⋅ + (1.4)

Na slici 1.5 vrijednost fck predstavlja karakterističnu tlačnu čvrstoću betona dobivenu ispitivanjem valjka, a fcd=fck/γc predstavlja računsku čvrstoću betona. Koeficijentom α=0.85 uzima se u obzir nepovoljno djelovanje dugotrajnog opterećenja te drugih nepovoljnih čimbenika na čvrstoću betona.


5

Eurocode 2 predlaže dva računska dijagrama betona. Prvi je oblika pravokutnik plus parabola i drugi oblika pravokutnika. Oba dijagrama imaju graničnu deformaciju εcu=-3.5‰. Kod centričkog tlaka granična deformacija ne smije prelaziti -2.0‰.

-3,5-2 cε

σ

fcd

c

-0,7

σc

ε -3,5 c

α

α=0,85 α=0,95∗0,85

α fcd0.4f ck

c1ε

=arctgEα1 cm

cuε

fck

cσ

cε

f =fcd ck /γc

Radni dijagram Racunski dijagram Racunski dijagram

Slika 1.5 Radni i računski dijagrami betona.

Vlačna čvrstoća betona definirana je prema obliku uzorka i metodi ispitivanja na vlak. Tako se razlikuje: fct,ax - vlačna čvrstoća dobivena ispitivanjem uzorka na središnji vlak fct,sp - vlačna čvrstoća dobivena cijepanjem fct,fl - vlačna čvrstoća dobivena savijanjem uzorka. Kako se za proračun koristi fct,ax, to su izrazi za pretvorbu: fct,ax = 0.9 fct,sp fct,ax = 0.5 fct,fl. Budući da vlačna čvrstoća u pravilu jako varira za neku klasu betona, a može biti značajna u analizi sigurnosti i trajnosti, uvodi se srednja vrijednost za vlačnu čvrstoću između donje granice za karakterističnu vlačnu čvrstoću fctk,0.05 i gornje granice fctk,0.95, odnosno one s 5%-tnim i druge s 95%-tnim fraktilom. Ovisno o klasi betona, vlačne čvrstoće su dane u tablici 1.2 u N/mm2.

Klasa betona

C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60

fct,m 1.6 1.9 2.2 2.6 2.9 3.2 3.5 3.8 4.1 fctk, 0,05 1.1 1.3 1.5 1.8 2.0 2.2 2.5 2.7 2.9 fctk, 0,95 2.0 2.5 2.9 3.3 3.8 4.2 4.6 4.9 5.3

Tablica 1.2 Vlačne čvrstoće betona. Također daju se približni izrazi za procjenu srednje vlačne čvrstoće te karakterističnih: fct,m = 0.30 fck2/3 (1.5) fctk, 0.05 = 0.70 fct,m (1.6)

fctk, 0.95 = 1.3 fct,m (1.7) Donja granična vrijednost za vlačnu čvrstoću fctk,0.05 predstavlja veličinu koju će imati ili čak premašiti 95% rezultata ispitivanja, a samo će 5% biti ispod nje. Gornja granična vrijednost za vlačnu čvrstoću fctk,0.95, predstavlja veličinu koju će premašiti samo 5% rezultata, a 95% će dati vrijednost jednaku ili manju od nje.


6

Kada se određuje deformacija betona pod opterećenjem, koristi se sekantni modul elastičnosti između naprezanja σc = 0 i σc = 0.4 fck, a označuje se za beton normalne gustoće kao Ecm. Ako nema točnijeg podatka za sekantni modul elastičnosti betona, dopušta se približni izraz za njegovo prognoziranje:

39500 8cm ckE f= + (N/mm2). (1.8) Vrijednosti dobivene pomoću izraza zaokružene su i svrstane u tablicu.

Razred betona

C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60

Ecm(N/mm2) 26000

27500

29000

30500

32000

33500

35000

36000

37000

Tablica 1.3 Moduli elastičnosti betona. Koeficijent poprečne deformacije bira se između 0 i 0.2. Kada je utjecaj poprečne deformacije znatan, uzima se μc = 0.2. Za naponsko stanje II. (pojava pukotina u vlačnoj zoni) može se uzeti μc = 0. Za temperaturni koeficijent predlaže se vrijednost αT,c = 10-5 K-1.

1.1.1 Računska čvrstoća betona Za dimenzioniranje prema graničnim stanjima nosivosti potrebno je poznavati računsku čvrstoću betona. Prema Eurocodeu 2 računska čvrstoća se dobije tako da se tlačna čvrstoća dobivena ispitivanjem valjaka podijeli s koeficijentom sigurnosti za materijale γM=γc=1.5, koja se još reducira koeficijentom α = 0.85 ili α = 0.80 zbog nepovoljnih učinaka dugotrajnog opterećenja i dinamičkog djelovanja te zbog razlike između čvrstoće betona u konstrukciji i one probnih tijela. Računska tlačna čvrstoća betona iznosi:

α⋅fcd=α⋅fck/γc=0.85⋅fck/1.5 (1.9)

Slika 1.6 Računski dijagram betona oblika parabola + pravokutnik.

Parabola: ( )44

cdc c c

fασ ε ε⋅= − za 0 2cε≤ ≤ ‰

Pravac: c cdfσ α= ⋅ za 2 3.5cε≤ ≤ ‰

1.1.2 Višeosno stanje naprezanja Deformacije i čvrstoće betona razlikuju se ovisno o tome je li to jednoosno ili višeosno stanje naprezanja. Prema rezultatima ispitivanja u stanju troosnog tlačnog naprezanja prema radovima Richarta, Balmera, Brandtzaega i Browna dolazi do velikog porasta čvrstoće i deformacije betona. Za isti razred betona deformacija je porasla za 20 puta na 60‰, a tlačna čvrstoća je i 6 puta veća. Kod višeosnog stanja naprezanja pojavljuju se velike plastične deformacije pred slom betona, koje rastu i bez prirasta opterećenja.


7

Slika 1.7 Radni dijagrami betona kod višeosnog tlačnog naprezanja prema Richartu.

Beton je materijal s izrazito nehomogenom strukturom, a osim toga protkan je porama s mjestimičnim nalazištima krupnijih šupljina. U očvrslome cementnom tijestu, a naročito na spoju s agregatom, ima mikropukotina i prije nego je beton opterećen. Zbog tih razloga uobičajene teorije čvrstoća mogu se na beton primjenjivati samo s izvjesnom aproksimacijom. Richard, Brandtzaeg i Brown na osnovi eksperimenata postavljaju izraz za tlačnu čvrstoću betona:

fcc=fck+4.1⋅fl gdje su:

fcc - tlačna čvrstoća betona pri troosnom tlaku fck - tlačna čvrstoća betona pri jednoosnom tlaku (razred betona) fl - bočni tlak.

Taj efekt povećane nosivosti u smjeru glavnog naprezanja pri troosnom tlaku primjenjuje se kod ovijenih stupova.

1.1.3 Razred okoliša Beton u eksploataciji može biti izložen različitim djelovanjima. Prema uvjetima u kojima se beton nalazi propisani su minimalni tehnološki zahtjevi u vezi sastava betona, karakteristične tlačne čvrstoće, minimalnog zaštitnog sloja, vodocementni omjer i sl. prema kojima treba odabirati i projektirati razred betona.

Razred Opis okoliša Informativni primjer moguće pojave razreda izloženosti

Najmanji razred tlačne čvrstoće betona

Minim. Zaštitni sloj cmin (mm)

1. Nema rizika od oštećenja

X0 Bez rizika djelovanja Elementi bez armature u neagresivnom okolišu (npr. Nearmirani temelji koji nisu izloženi smrzavanju i odmrzavanju, nearmirani unutarnji elementi)

C 20/25 15

2. Korozija armature uzrokovana karbonitizacijom

XC1 Suho ili trajno vlažno Elementi u prostorijama obične vlažnosti zraka (uključujući kuhinje, kupaonice, praonice rublja u stambenim zgradama); elementi stalno uronjeni u vodu

C 20/25 20

XC2 Vlažno, rijetko suho Dijelovi spremnika za vodu; dijelovi temelja C 30/37 35

XC3 Umjerena vlažnost Dijelovi do kojih vanjski zrak ima stalni ili povremeni pristup (npr. Zgrade otvorenih oblika); prostorije s atmosferom visoke vlažnosti (npr. C 30/37 35


8

Javne kuhinje, kupališta, praonice, vlažni prostori zatvorenih bazena za kupanje,…)

XC4 Cikličko vlažno I suho Vanjski betonski elementi izravno izloženi kiši; elementi u području vlaženja vodom (slatkovodna jezera i/ili rijeke,… C 30/37 40

3. Korozija armature uzrokovana kloridima koji nisu iz mora XD1 Suho ili trajno vlažno Područja prskanja vode s prometnih površina; privatne garaže C 30/37 55

XD2 Vlažno, rijetko suho Bazeni za plivanje i kupališta sa slanom vodom; elementi izloženi industrijskim vodama koji sadrže kloride C 30/37 55

XD3 Cikličko vlažno i suho Elementi izloženi prskanju vode s prometnih površina na koja se nanose sredstva za odleđivanje; parkirališne ploče bez zaštitnog sloja C 35/45 55

4. Korozija armature uzrokovana kloridima iz mora

XS1

Izloženi soli iz zraka, ali ne u direktnom dodiru s morskom vodom

Vanjski elementi u blizini obale C 30/37 55

XS2 Uronjeno Stalno uronjeni elementi u lukama C 35/45 55

XS3 U zonama plime i prskanja vode Zidovi lukobrana i molova C 35/45 55

XF1 Umjereno zasićeno vodom bez sredstava za odleđivanje

Vanjski elementi C 30/37 -

XF2

Umjereno zasićeno vodom sa sredstvom za odleđivanje ili morska voda

Područja prskanja vode s prometnih površina, sa sredstvom za odleđivanje (ali drukčije od onog kod XF4); područje prskanja morskom vodom C 25/30 -

XF3 Jako zasićeno vodom bez sredstava za odleđivanje

Otvoreni spremnici za vodu; elementi u području kvašenja vodom (slatkovodna jezera i/ili rijeke) C 30/37 -

XF4

Jako zasićeno vodom sa sredstvom za odleđivanje ili morska voda

Prometne površine tretirane sredstvima za odleđivanje; pretežno vodoravni elementi izloženi prskanju vode s prometnih površina na koja se nanose sredstva za odleđivanje; parkirališne ploče bez zaštitnog sloja); elementi u području morske plime; mjesta na kojima može doći do struganja u postrojenjima za tretiranje voda iz kanalizacije

C 30/37 -

XA1 Slabo kemijski agresivan okoliš

Spremnici u postrojenjima za tretiranje voda iz kanalizacije; spremnici tekućih umjetnih gnojiva C 30/37 -

XA2

Umjereno kem. agresivan okoliš; konstrukcije u marinama

Betonski elementi u dodiru s morskom vodom; elementi u agresivnom tlu C 35/45 -

XA3 Jako kemijski agresivan okoliš

Kemijski agresivne vode u postrojenjima za tretiranje otpadnih voda; spremnici za silažu i korita (žlijebovi) za hranjenje životinja; rashladni tornjevi s dimnjacima za odvođenje dimnih plinova

C 35/45 -

XM1 Umjereno habanje Elementi industrijskih konstrukcija izloženi prometu vozila s pneumatskim gumama na kotačima C 30/37 25

XM2 Znatno habanje Elementi industrijskih konstrukcija izloženi prometu viljuškara s pneumatskim ili tvrdim gumama na kotačima C 30/37 45

XM3 Ekstremno habanje

Elementi industrijskih konstrukcija izloženi prometu viljuškara s pneumatskim gumama ili čeličnim kotačima; hidrauličke konstrukcije u vrtložnim (uzburkanim) vodama (npr. Bazeni za destilaciju); površine izložene prometu gusjeničara

C 35/45 50

Tablica 1.4 Razredi izloženosti i minimalne vrijednosti razreda betona i zaštitnih slojeva.

1.2 Čelik za armiranje Za armiranje betonskih konstrukcija rabe se čelici pod nazivom betonski čelik ili čelik za armiranje. Betonski čelik dijeli se prema:

profilu, na žice φ ≤ 12 mm i šipke φ > 12 mm; mehaničkim karakteristikama (granica popuštanja, vlačna čvrstoća i rastezljivost pri

slomu probnog uzorka na dijelu njegove dužine 10φ), na visoko i normalno duktilne čelike;

zavarljivosti, na nezavarljiv, zavarljiv pod određenim uvjetima i zavarljiv; površinskoj obradi pri izvlačenju, na glatki i rebrasti, uključujući i zavarene mreže; vrsti obrade, na toplo valjan, toplo valjan i hladno obrađen i termički poboljšan čelik.

Proizvođač čelika za armiranje garantira ove mehaničke karakteristike:

karakterističnu čvrstoću pri kidanju (vlačna čvrstoća) (ftk);


9

karakterističnu granicu popuštanja (fyk); rastezljivost poslije kidanja na dužini od 10φ (δ); sposobnost savijanja i povratnog savijanja šipke oko trna određenog promjera s

određenim kutom savijanja bez pukotina šipke u vlačnom i tlačnom pojasu; karakterističnu dinamičku čvrstoću (granicu zamora).

Dokaz svih nabrojenih mehaničkih svojstava armature obavlja se prema standardima ispitivanja čelika za armiranje. Jedan od glavnih uvjeta armiranobetonskih konstrukcija je potpuno sprezanje između betona i čelika, što znači da ne smije nastupiti klizanje armature u betonu. Pri malim posmičnim naprezanjima između armature i betona zadovoljava glatki okrugli presjek. S izradom kvalitetnijeg čelika rasla je sila u armaturi, pa je sve više prijetila opasnost da se čelik odijeli od betona. Sprečavanje klizanja postiže se upotrebom rebrastih ili sukanih profila te sukano rebrastih profila. Rebrasti čelici imaju znatno bolju prionljivost od glatkih čelika pa dopuštaju upotrebu većih naprezanja s tim da se mogu očekivati pravilno raspoređene pukotine u betonu manjih širina. Od čelika za armiranje zahtijeva se i velika rastezljivost, tj. veliko relativno produljenje prije sloma. Ona je potrebna u prvom redu radi izravnavanja naprezanja u pojedinim šipkama armature na mjestu pukotina. Svojstvo velike rastezljivosti poželjno je i za nekontrolirano preopterećenje konstrukcije, kad velika rastezanja armature izazivaju u betonu široke pukotine i upućuju na opasnost od sloma. S druge strane, potrebna je velika rastezljivost pri hladnoj izradi kuka i ogiba. Čelične šipke male rastezljivosti moraju se savijati u užarenom stanju, što znatno otežava rad, a kod nekih vrsta čelika time se kvare ili mijenjaju njegova svojstva (hladno obrađeni čelik). Čelik koji se rabi za armaturu dobavlja se u šipkama, kolutovima i mrežama raznih oblika i presjeka, raznih duljina, a i raznih kvaliteta. Na slici 1.8 prikazano je nekoliko oblika armatura koje se upotrebljavaju u armiranom betonu:

Glatka armatura je od prirodnog čelika B240, B220 (GA 240/360). Rebrasta armatura je od visokovrijednoga prirodno tvrdog čelika dobivenoga

prikladnim legiranjem B400, B500 (RA 400/500, RA 500/550). Sukani profili su hladno obrađeni čelici. Mrežasta armatura je također od hladno obrađenih glatkih i rebrastih žica koje se

zavaruju točkasto elektrootporom u krutu mrežu MAG 500/560 i MAR 500/560. Bi-armatura sastoji se od dvije hladno obrađene žice međusobno spojene

poprečnim šipkama od prirodnog čelika i zavarene. Nije dopuštena za dinamičko opterećene konstrukcije i konstrukcije koje moraju biti nepropusne za vodu B680 (BiA- 680/800).


10

Slika 1.8 Oblici armature.

Kod nas se je do sada upotrebljavala GA 240/360, rebrasta RA 400/500 i RA 500/550 te mrežasta armatura MAG 500/560. Rebrasta armatura isporučuje se u snopovima ravnih šipaka duljine od 12 do iznimno 14m, a po narudžbi kupaca profili od 8, 10, 12 i 14 mm u kolutovima duljine do 50 m. Radni dijagram naprezanje-deformacija za meki čelik (sl.1.9), vrijednost ftk znači karakterističnu vlačnu čvrstoću čelika, a fyk karakterističnu granicu popuštanja koja odgovara naprezanju za koje je nepovratna deformacija 0.2%.

=arctgE

fy

α s

εy εu sε

sσ

f t yk

=arctgE

εyk

α

ε uk

s

εs

tkf

f

sσ

ydf

f td

εyd =10,0% ydε

ydf

sσ

s

sα=arctgE

20,0% ε

Radni dijagram Racunski dijagram Racunski dijagram

Slika 1.9 Radni i računski dijagrami armature.

Eurokodom 2, odnosno EN 10080, zahtijeva se: - za čelik visoke duktilnosti da je εuk ≥ 5%, (ft/fy)k ≥ 1.08, - za čelik normalne duktilnosti da bude εuk ≥ 2.5%, (ft/fy)k ≥ 1.05. Za modul elastičnosti predlaže se stalna veličina Es = 200000 N/mm2, a za temperaturni koeficijent αT,s = 10-5 K-1 kod temperatura od - 20o do 200oC.


11

Normama za čelik predviđaju se dvije vrste betonskog čelika različitih prema duktilnosti: B500H - čelik kome je granica popuštanja 500 N/mm2 i koji ima visok duktilitet

((ft/fy)k = 1.08, εuk > 5.0%), B500N - čelik kome je granica popuštanja 500 N/mm2 i koji ima normalan duktilitet

((ft/fy)k = 1.05, εuk > 2.5%).

Vrsta kombinacije Beton

γc

Armatura i prednapeti čelik

γs

Osnovne kombinacije 1.5 1.15 Izvanredne kombinacije (osim potresa) 1.3 1.0

Tablica 1.5 Parcijalni koeficijenti sigurnosti za svojstva gradiva.

2 OSNOVE PRORAČUNA KONSTRUKCIJA Konstrukcija mora biti planirana, projektirana i izvedena na način da tijekom predviđenog vijeka trajanja uz zadovoljavajući stupanj pouzdanosti i na ekonomičan način:

• ostane uporabiva za predviđenu namjenu • bude u stanju podnijeti sva predvidiva djelovanja i učinke tijekom izvedbe i uporabe

Proračun i izvedba konstrukcije moraju biti takvi da se ona ne može oštetiti zbog požara, eksplozije, udara ili ljudske greške nerazmjerno uzroku (mora se ostvarivati razmjernost uzroka i posljedice). Proračunske situacije opisuju okolnosti u kojima konstrukcija ispunjava svoju ulogu a moraju biti dovoljno zahtjevne i tako varirane da obuhvate sve uvjete koji se mogu očekivati tijekom izvedbe i uporabe konstrukcije. Proračunske situacije dijele se na:

• Stalne situacije – svi uvjeti uobičajene uporabe • Prolazne situacije – povremeni uvjeti, npr. tijekom izvedbe ili popravka • Izvanredne situacije – iznimni uvjeti ili požar, eksplozija, udar • Seizmičke situacije – potres

Sigurnost neke nosive konstrukcije protiv otkazivanja nosivosti općenito je uvjetovana time da njena otpornost R bude veća od ekstremnog djelovanja S, koje će na nju djelovati u vijeku njenog trajanja. Kriterij za određivanje sigurnosti nosive konstrukcije može se iskazati na sljedeći način:

R>S (2.1) Zona sigurnosti ili veličina stanja nosivosti definirana je kao razlika između otpornosti i djelovanja na konstrukciju:

Z=R-S (2.2) U pristupima sigurnosti građevina razlikujemo dva osnovna pristupa: determinističko i probabilističko poimanje sigurnosti.


12

Determinističko poimanje sigurnosti koristilo se u prvim metodama proračuna (metoda dopuštenih napona). Pretpostavlja sigurnu konstrukciju, kada su naprezanja od vanjskog opterećenja manja od propisanih dopuštenih naprezanja. Dopuštena naprezanja vezana su s faktorom sigurnosti uz određene granične veličine (npr. granica popuštanja, čvrstoća). Probabilističko poimanje sigurnosti temelji se na pretpostavci da ne postoji potpuno sigurna konstrukcija. Svaka konstrukcija odnosno element konstrukcije ima neku vjerojatnost otkazivanja nosivosti. Za proračun je potrebno sve varijable statistički obraditi i koristiti ih u obliku funkcija određene raspodijele vjerojatnosti. Granična stanja su stanja izvan kojih konstrukcija više ne zadovoljava projektom predviđene zahtjeve. Razlikuju se:

• granična stanja nosivosti – GSN (eng. ULS) i • granična stanja uporabljivosti – GSU (eng. SLS).

Metoda dopuštenih naprezanja:

γRS ≤ (2.3)

Gdje je S-vanjski utjecaj, a R- otpornost. Dosadašnja metoda graničnih stanja prebacila je koeficijent sigurnosti na drugu stranu ove nejednadžbe.

RS ≤⋅γ (2.4) Globalni koeficijent sigurnosti u novom propisu rastavlja se na parcijalne koeficijente sigurnosti za djelovanja γS i parcijalne koeficijente sigurnosti za otpornost γR:

RSSR ≤⋅⋅γγ (2.5) Konstrukcija je sigurna ako vrijedi:

RS

RSγ

γ ≤⋅ (2.6)

Osnove novog postupka proračuna konstrukcija sadržane su u europskoj normi EN 1990, glavnom eurokodu u sklopu usklađene grupe europskih normi za projektiranje konstrukcija -Structural Eurocodes. Metoda graničnih stanja je semiprobabilistička metoda u kojoj se po zakonima vjerojatnosti određuju reprezentativne vrijednosti za djelovanje i karakteristične vrijednosti za otpornost materijala. Tim se vrijednostima pridružuju parcijalni koeficijenti sigurnosti pa se dobivaju računske vrijednosti. Metoda je slična determinističkoj metodi s tom razlikom da se pojedine veličine određuju probabilističkim postupcima. Koeficijenti sigurnosti služe da pokriju sve netočne pretpostavke koje smo uveli u proračun, kao što su:

Netočnost procjene stalnog i pokretnog opterećenja, Netočnost određivanja čvrstoća i deformacija materijala, Netočnost usvojenog statičkog sustava u odnosu na stvarno ponašanje

konstrukcije, Odstupanje računskih radnih dijagrama σ−ε od stvarnih za pojedine materijale, Tolerantne greške proračuna, Greške određivanja kritičnih presjeka kod dimenzioniranja konstrukcije,


13

Utjecaj puzanja i skupljanja betona na konačnu čvrstoću, kao i utjecaj nejednolike temperature,

Netočnosti izvedbe (tolerantna odstupanja vertikalnosti elemenata, netočnost dimenzija presjeka, itd.),

Netočnost u položaju armature, naročito odstupanje u veličini zaštitnog sloja u odnosu na projektiranu statičku visinu presjeka,

Moguću koroziju čelika, koja utječe na smanjenje nosivosti, Zanemarivanje prostornog djelovanja konstrukcije i zanemarivanje prostornog

stanja naprezanja na čvrstoće. GSN (ULS) – granična stanja nosivosti – stanja koja mogu izazvati rušenje konstrukcije (stanja netom prije rušenja konstrukcije) ili dovode konstrukciju u stanje mehanizma. Tu spadaju:

gubitak ravnoteže konstrukcije ili njezina elementa promatranih kao kruto tijelo granično stanje sloma ili prekomjerne deformacije kritičnog presjeka gubitak ravnoteže zbog velikog deformiranja(teorija II. reda) granično stanje sloma uzrokovano zamorom transformacija konstrukcije u mehanizam

Metoda graničnih stanja temelji se na šest pretpostavki:

1. vrijedi Bernoullijeva hipoteza ravnih presjeka, 2. beton u vlačnoj zoni uopće ne sudjeluje u nošenju, 3. ostvarena je dobra prionljivost između armature i betona do sloma, 4. vrijedi računski dijagram betona σc - εc, 5. vrijedi računski dijagram armature σs - εs, 6. unutarnje sile proračunavaju se po teoriji elastičnosti za naponsko stanje I (bez

pukotina) Granično stanje sloma:

Sd ≤ Rd (2.7) Sd - proračunska vrijednost djelovanja Rd - proračunska vrijednost nosivosti (svojstva materijala) Granično stanje statičke ravnoteže ili velikih pomaka konstrukcije:

Ed,dst ≤ Ed,stb (2.8) Ed,dst - proračunska vrijednost destabilizirajućeg djelovanja Ed,stb - proračunska vrijednost stabilizirajućeg djelovanja

3 DIMENZIONIRANJE PREMA GRANIČNOM STANJU NOSIVOSTI

3.1 Elementi naprezani na savijanje

3.1.1 Jednostruko armirani pravokutni presjek Izrazi za dimenzioniranje dobiju se iz uvjeta ravnoteže koji za savijanje glasi: Msd = MRd gdje je: Msd = Σ(γg,i ⋅ Mg,i + γq ⋅ Mq,1 )+ γp ⋅ Mp - računski moment savijanja (3.1)


14

MRd = Fc ⋅ z = 0.85 ⋅ αv ⋅ x ⋅ b ⋅ fcd ⋅ z = μRd ⋅ b ⋅ d2 ⋅ fcd - računski moment nosivosti presjeka αv - koeficijent punoće x = ξ ⋅ d - udaljenost neutralne osi od tlačnog ruba z = ζ ⋅ d - krak unutrašnjih sila μRd - bezdimenzijska vrijednost za moment nosivosti. Uvrštavanjem izraza za računske momente u jednadžbu (3.1) dolazi se do formule za bezdimenzijsku vrijednost momenta savijanja:

sdsd rd v2

cd

M 0.85b d f

μ μ α ξ ζ= = = ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

(3.2)

gdje je c2

s1 c2

εξε ε

=+

- koeficijent udaljenosti neutralne osi od tlačnog ruba (3.3)

d

s1Aεs1

εc

Fs1

0.85f

x

cF

cd

zh

b

n.osd1

Slika 3.1 Dimenzioniranje na moment savijanja.

εc – deformacija betona na tlačnom rubu εs1 – deformacija armature u težištu vlačnih šipki Fs1 – sila u vlačnoj armaturi Fc – sila u betonu Izraz za potrebnu vlačnu armaturu dobije se iz uvjeta ravnoteže:

Sd s1 yd s1M F z f A z= ⋅ = ⋅ ⋅ (3.4)

Sd Sds1

yd yd

M MAz f ( d)fζ

= =⋅ ⋅

(3.5)

Pet osnovnih mogućnosti naprezanja ovisit će o deformacijama betona i čelika:

A

A

s1

s2

b

h dd-

dd2

2d 1

s1εεc1

c2ε

20% -2%3%

-3,5%

0

1

2 3

4

5

Slika 3.2 Dijagrami deformacija.

1. Ekscentrični vlak s malim ekscentritetom, čelik je potpuno iskorišten.


15

2. Savijanje ili savijanje s uzdužnom vlačnom silom, čelik je potpuno iskorišten, beton dostiže granične deformacije.

3. Savijanje ili savijanje s uzdužnom tlačnom silom, beton i čelik su potpuno iskorišteni. 4. Ekscentrični tlak, beton je potpuno iskorišten, čelik dostiže graničnu deformaciju 5. Ekscentrični tlak s malim ekscentricitetom, cijeli presjek je u tlaku, deformacije u betonu

ograničuju se od -3,5 ÷ -2,0 o/oo.

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

Sdμ

ξ

ζζ, ξ

Slika 3.3 Funkcija ovisnosti koeficijenta neutralne osi i kraka unutarnjih sila o μSd.

Vrijednosti koeficijenta neutralne osi i kraka unutarnjih sila određene su za različite vrijednosti deformacija na gornjem i donjem rubu presjeka (εs1i εc2) prema slici 3.2, i dane u tabličnom obliku. Funkcionalna ovisnost koeficijenata ζ i ξ prikazana je na slici 3.3 i može se dobro interpolirati polinomom drugog stupnja. Maksimalno odstupanje za ζ funkciju iznosi 1%.

20.938-0.475 - 0.992= SdSd μμζ ⋅⋅ (3.6) 2492.2045.10.029 = SdSd μμξ ⋅+⋅+ (3.7)

Izrazi 3.6 i 3.7 mogu se upotrijebiti u probabilističkom proračunu potrebne armature kad je potrebno napisati izraze u zatvorenom obliku. Da bi se osigurala sposobnost rotacije presjeka (duktilnost), Eurokodom 2 propisuje se dodatni uvjet da odnos x/d ne prekorači limitiranu vrijednost:

ξ lim =0.45=(x/d)lim za razrede betona do C35/45 ξ lim =0.35=(x/d)lim za razrede betona od C40/50 i više ξ lim =0.25=(x/d)lim kod primjene teorije plastičnosti za proračun unutarnjih sila u

pločama.

Razred betona C μlim ζlim ξlim c2ε (‰) s1ε (‰)

≤C35/45 0.252 0.813 0.45 -3.5 4.278

≥C40/50 0.206 0.854 0.35 -3.5 6.5 Tablica 3.1 Limitirane vrijednosti ovise o razredu betona.

Ukoliko je proračunski moment savijanja veći od limitiranog MSd>MRd,lim potrebno je povećati visinu presjeka. Ako to nije moguće presjek se može dvostruko armirati.

3.1.2 Dvostruko armirani pravokutni presjek Ukoliko je MSd>MRd,lim ili ( Sdμ > limμ ) presjek se mora dvostruko armirati. Presjek je potrebno armirati i u tlačnoj zoni.


16

εs1

N. OS

As2

εc 0.85fcd

Fs

cF

z

x

x x

s1

11

bw

2

h dd 1

d-d

d2

Slika 3.4. Dvostruko armirani presjek za negativni moment savijanja.

Najveći moment savijanja koji jednostruko armirani presjek može preuzeti je: 2

Rd,lim lim w cdM b d fμ= (3.8)

Tlačna armatura povećava duktilnost, ali ukupna armatura mora biti manja od 4% presjeka betona. Koeficijent armiranja cjelokupnog presjeka:

04,0hbAA

w

max,2smax,1smax ≤

⋅

+=ρ

Ukupna vlačna armatura sastoji se od dva dijela: As1=As1,lim+As2 (3.9)

Vlačna i tlačna armatura dane su izrazima:

Rd,lim Sd Rd,lims1

lim yd 2 yd

M M MA

( d)f (d d )fζ−

= +⋅ −

-vlačna armatura (3.10)

Sd Rd,lims2

2 yd

M MA

(d d )f−

=−

- tlačna armatura (3.11)

Kako bi osigurali tlačnu armaturu od izvijanja, u dvostruko armiranom presjeku utjecaj tlačne armature na njegovu nosivost može se uzeti u obzir ako je ona povezana sponama na razmaku: sw≤15φ (φ - promjer šipke tlačne armature) i ako je zadovoljen uvjet x ≥ 2d2 (x - udaljenost neutralne osi od tlačnog ruba presjeka, d2 -udaljenost težišta tlačne armature od ruba presjeka).

Povećanjem armature smanjujemo duktilnost presjeka.

Eurokod 8 daje slijedeće klase duktilnosti:

Visoka “H” → 0015,0ff

35,01s

2s

yd

cdmax,1s +

ρρ

⋅=ρ (3.12)

Srednja “N” → 0015,0ff

65,01s

2s

yd

cdmax,1s +

ρρ

⋅=ρ (3.13)

Niska “L” → 03,075,0 maxmax,1s =ρ=ρ (3.14)

3.1.3 Dimenzioniranje T-presjeka na moment savijanja Kod ploča s rebrima proračunska širina ploče ovisi o dimenzijama ploče i rebra, o vrsti opterećenja, rasponu, uvjetima na ležajevima i poprečnoj armaturi. Za proračun unutarnjih sila, kada se ne zahtijeva velika točnost (npr. kontinuirani nosači u zgradama), može se pretpostaviti stalna širina duž čitavog raspona.


17

Slika 3.5 Sudjelujuća širina grede T-presjeka.

0i i i

Lm b ; m10

≤ ≤

Proračunska širina ploče, beff, za unutarnju gredu T-presjeka uzima se iz dva uvjeta:

beff

1 w 2

0 0 0w w

b b bL L Lb b10 10 5

+ +⎧⎪≤ ⎨

+ + = +⎪⎩

gdje su: b1 i b2 - polovica svijetlog razmaka rebara lijevo, odnosno desno od rebra. L0 - razmak nul-točaka mom. dijagrama (za prvo polje L0=0.85⋅L, za srednje L0 =0.7⋅L, a za prostu gredu L0 =L, za konzolu L0 =2L). Proračunska širina ploče, beff, za rubnu gredu uzima se iz dva uvjeta:

beff

1 w

0w

b bL b10

+⎧⎪≤ ⎨

+⎪⎩

Za pozitivni moment b=beff: poljeSd

sd 2eff cd

Mb d f

μ =⋅ ⋅

; Uz uvjet da neutralna os prolazi kroz ploču

(x≤hf)

Za negativni moment b=bw: ležajSd

sd 2w cd

Mb d f

μ =⋅ ⋅

;

Potrebna armatura: Sds1

yd

MA( d) fζ

=⋅ ⋅

Kod pozitivnog momenta savijanja, kad neutralna os prolazi kroz ploču ili njezinim donjim rubom, presjek se računa kao greda dimenzija beff/h. Poprečna armatura računa se za širinu rebra bw.

Slika 3.6 Dimenzioniranje T-presjeka na pozitivan moment savijanja..


18

Slika 3.7 Dimenzioniranje T-presjeka na negativan moment savijanja.

Ukoliko kod dimenzioniranja na pozitivan moment savijanja neutralna os prolazi kroz rebro (x>hf) tada postoje dva slučaja:

1. Za beff ≥ 5bw -može se zanemariti dio rebra ispod ploče, te tada cijelu tlačnu silu preuzima ploča, tj.pojasnica T-presjeka.

Potrebna armatura: poljeSd

s1f

yd

MA h(d )f2

=−

Tlačna naprezanja ne smiju premašiti računsku čvrstoću betona proračunska:

( )

poljeSd

cd cdf

eff f

M 0.85 fh(d ) b h2

σ = ≤ ⋅− ⋅ ⋅

2. Za beff <5bw - takav T-presjek treba računati tako da se tlačni dio presjeka zamijeni

pravokutnikom širine bi kojem neutralna os prolazi donjim rubom. bi = λb·beff Koeficijent λb pronalazi se u tablici ovisno o: hf/d i beff/bw , te ξ=x/d koji se uzima za εc2=- 0.0035 i εs1= 0.01. Nakon toga provodi se dimenzioniranje kao za pravokutni presjek bi/h.

Minimalna površina armature za T-presjek računa se prema izrazu:

Polje: s1,min w yk wA 0.6 b d / f 0.0015 b d= ⋅ ⋅ ≥ ⋅ ⋅ Ležaj: s1,min effA 0.0015 b d= ⋅ ⋅

Maksimalna površina armature za T-presjek u polju računa se prema izrazu:

cds1,max eff f

yd

fA 0.85 b hf

= ⋅ ⋅ ⋅

3.1.4 Minimalna armatura Slom slabo armiranih presjeka nastaje trenutačno. Da se takav slom ne dogodi potrebno je presjek armirati minimalnom armaturom. Količina armature u vlačnoj zoni mora biti tolika da primi silu vlaka koju prije pojave prve pukotine preuzima vlačna zona betona. Minimalna armatura je armatura momenta prve pukotine.

c ct,mcrs1,min

yk yk

W fMAz f (0.9 d) f

⋅= =

⋅ ⋅ ⋅ (3.15)

s1,min yk c ct ,mA f (0.9 d) W f⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ (3.16)

cW - moment otpora betonskog presjeka

ct ,mf - srednja vlačna čvrstoća betona.


19

Za pravokutni presjek: z=0.9*d- krak unutarnjih sila

( )222

cb 1.1 db hW 0.2 b d

6 6⋅ ⋅⋅

= = = ⋅ ⋅ (3.17)

ct ,m ckf 0.1 f≈ ⋅ (3.18) 2

s1,min yk ckA f 0.9 d 0.1 f 0.2 b d⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (3.19)

cks1,min

yk

fA 0.022 b df

= ⋅ ⋅ ⋅ (3.20)

Prema HRN ENV 1992-1-1 minimalna armatura određuje se po izrazu: s1,min t yk tA 0.6 b d / f 0.0015 b d= ⋅ ⋅ ≥ ⋅ ⋅ (fyk u N/mm2) (3.21)

gdje je bt srednja širina vlačne zone. Iz uvjeta duktilnosti, kako ne bi došlo do krtog loma, odabrana armatura mora biti veća od minimalne i manja od maksimalne.

3.1.5 Maksimalna armatura Prema HRN ENV 1992-1-1 maksimalna armatura određuje se po izrazu:

s1,maxA 0.04 b d= ⋅ ⋅ (3.22) Prema kriteriju za položaj neutralne osi, maksimalna armatura za jednostruko armirani presjek:

za C ≤ 35/45 (x/d ≤ 0.45) cks1,max

y

fA 0.238 b df

= ⋅ ⋅ ⋅ (npr. za C25 i B500 ⇒As1max=1.19%bd)

za C ≥ 40/50 (x/d ≤ 0.35) cks1,max

y

fA 0.185 b df

= ⋅ ⋅ ⋅ (npr. za C40 i B500 ⇒As1max=1.48% bd)

Maksimalna armatura za dvostruko armirani presjek određuje se iz dva kriterija: 1. Vlačna armatura mora biti manja od 2% betonskog presjeka: s1,maxA 0.02 b d= ⋅ ⋅ 2. Maksimalni moment mora biti manji od Rd,lim1.5 M⋅ :

za C ≤ 35/45 (x/d ≤ 0.45) cks1,max

y

fA 0.356 b df

= ⋅ ⋅ ⋅ (npr. za C25 i B500

⇒As1max=1.78%bd)

za C ≥ 40/50 (x/d ≤ 0.35) cks1,max

y

fA 0.277 b df

= ⋅ ⋅ ⋅ (npr. za C40 i B500 ⇒As1max=2.00% bd)

3.2 Elementi naprezani uzdužnom silom

3.2.1 Centrično tlačno naprezani elementi Kratki elementi, odnosno elementi kojima je vitkost λ ≤ 25, te odnos stranica h ≤ 4b, proračunavaju se ne uzimajući u obzir imperfekcije:

min;

30 3020

⎧⎪≥ ⎨⎪⎩

h be

mm imperfekcije od netočnosti izvedbe.


20

Slika 3.8. Poprečni presjek naprezan centričnom tlačnom silom.

Uz pretpostavku zajedničke nosivosti betona i čelika izraz za centrično opterećen element glasi:

NSd ≤ NRd (3.23) Sd c c s sN A Aσ σ= ⋅ + ⋅

Za punu iskorištenost betona cε = -2.0 ‰ i čelika proizlazi:

Sd c cd s ydN A 0.85 f A f= ⋅ ⋅ + ⋅ (3.24) Potrebna uzdužna armatura prema EC2 računa se po izrazu:

Sd c cds

yd

N A 0.85 fAf

− ⋅ ⋅= (3.25)

Izraz definiran prema EC2 nije na strani sigurnosti jer ne oduzima površinu armature od površine betona. Točniji izraz glasi:

Sd c s c s s c s cd s ydN (A A ) A (A A ) 0.85 f A fσ σ= − ⋅ + ⋅ = − ⋅ ⋅ + ⋅ (3.26) Potrebna armatura za presjek opterećen centričnom tlačnom silom iznosi:

Sd c cds

yd cd

N A 0.85 fAf 0.85 f

− ⋅ ⋅=

− ⋅ (3.27)

Minimalne dimenzije tlačnih elemenata jesu:

20 cm - za stup izveden na licu mjesta 14 cm - za predgotovljeni tlačni element.

Minimalna površina uzdužne armature proračuna se po izrazu: As,min = 0.15 ⋅ Nsd/fyd ≥ 0.003 Ac (3.28) a za najmanji profil treba uzeti φ 12 mm. Maksimalna količina armature na mjestu nastavaka može biti: As,max = 0.08 Ac (3.29) Najmanji profil spona je φ 6 mm, ali ne manji od 1/4 φ (uzdužne armature). Razmak spona treba biti: e ≤ b ≤ 12 φ ≤ 300 mm gdje je: b - manja stranica presjeka φ - promjer najtanje uzdužne šipke. Razmak spona treba reducirati faktorom 0.6:

- iznad grede ili ploče oslonjene na stup i ispod nje na dužini veće dimenzije stupa - na mjestu nastavaka uzdužnih šipki profila većih od 14 mm.


21

Svaku šipku ili grupu šipki u kutu presjeka valja sponama pridržati od izvijanja. Do 5 šipki u kutu ili blizu njega može se osigurati od izvijanja jednom sponom. U stupovima poligonalnog presjeka mora se, u svakom njegovu kutu, predvidjeti barem jedna uzdužna šipka, a u onima kružnog presjeka barem 6 uzdužnih šipki jednoliko raspoređenih po opsegu spona.

Slika 3.9. Razmak poprečne armature stupa.

Naprezanje u betonu i armaturi kod centrično tlačno opterećenog presjeka:

Sd c sN F F= + (3.30)

c sε ε= (3.31)

c s

cm sE Eσ σ

= (3.32)

ss c e c

cm

EE

σ σ α σ= ⋅ = ⋅ (3.33)

Sd c s c s sN (A A ) Aσ σ= − ⋅ + ⋅ (3.34)

Sd c s c s e cN (A A ) Aσ α σ= − ⋅ + ⋅ ⋅ (3.35) Naprezanje u betonu u trenutku opterećenja t=0.

Sd Sd Sdc

c s s e c s e id

N N N(A A ) A A A ( 1) A

σα α

= = =− + ⋅ + ⋅ − (3.36)

Idealna površina poprečnog presjeka: id c s e c eA A A ( 1) A ( 1)α ρ α= + ⋅ − = + ⋅ − (3.37)

s

c

AA

ρ = (3.38)


22

Vremenom, zbog puzanja i skupljanja, beton se skraćuje, naprezanje u betonu se smanjuje a naprezanje u armaturi raste. Utjecaj puzanja betona može se približno uzeti preko efektivnog modula elastičnosti:

cmc,eff

0

EE1.0 (t , t )ϕ ∞

=+

(3.39)

Odnos modula elastičnosti čelika i betona: e s cmE / Eα = za t=0 (3.40) e s c,effE / Eα = za t=∝ (3.41)

3.2.2 Centrično vlačno naprezani elementi

Slika 3.10. Poprečni presjek naprezan centričnom vlačnom silom.

Sve sile vlaka preuzima armatura. Potrebna uzdužna armatura računa se po izrazu: NSd ≤ NRd (3.42)

Sd s s s ydN A A fσ= ⋅ = ⋅ (3.43) Sd

syd

NAf

= (3.44)

3.3 Dimenzioniranje pravokutnih presjeka pomoću dijagrama interakcije Armiranobetonske presjeke naprezane ekscentričnom tlačnom ili vlačnom silom vrlo je jednostavno dimenzionirati upotrebom dijagrama interakcije. Ovi dijagrami konstruirani su za pravokutne i okrugle presjeke naprezane oko jedne glavne osi i oko dvije glavne osi sa i bez uzdužne sile.

Slika 3.11. Poprečni presjek, dijagrami deformacija i naprezanja.

Dijagrami interakcije konstruirani su upotrebom jednadžbi ravnoteže:

Nsd = NRd


23

Msd = MRd Uvrštavanjem vrijednosti za računske nosivosti dolazi se do formula za bezdimenzijske vrijednosti:

SdSd

cd

Nb d f

ν =⋅ ⋅

(3.45)

SdSd 2

cd

Mb d f

μ =⋅ ⋅

(3.46)

Iz dijagrama interakcije očita se mehanički koeficijent armiranja ω. yd

1 1cd

ff

ω ρ= ⋅ - mehanički koeficijent armiranja vlačne armature.

yd2 2

cd

ff

ω ρ= ⋅ - mehanički koeficijent armiranja tlačne armature.

Dijagrami interakcije su napravljeni za ekscentrični tlak i vlak, za različite čvrstoće armature, za različite omjere d1/h (d2/h) te za različite odnose tlačne i vlačne armature β=As2/As1. Za simetričnu armaturu koeficijent β=1. Potrebna armatura računa se po izrazu:

cds1

yd

fA b hf

ω= ⋅ ⋅ ⋅ (3.47)

s2 s1A Aβ= ⋅ (3.48) 3.4 Dimenzioniranje pravokutnih presjeka na ekscentrični tlak Proračun se može provoditi prema postupku Wuczkowskog upotrebom tablica za dimenzioniranje pravokutnih presjeka naprezanih na savijanje.

Slika 3.12. Presjek opterećen na ekscentrični tlak.

Sds Sd Sd s1M M N z= + ⋅ (3.49)

SdsSd 2

cd

Mb d f

μ =⋅ ⋅

(3.50)

Sds Sds1

yd yd

M NAz f f

= −⋅

(3.51)

Ukoliko je MSd>MRd,lim ili ( Sdμ > limμ ) presjek se mora dvostruko armirati.


24

Rds,lim Sds Rds,lim Sds1

lim yd 2 yd yd

M M M NA( d)f (d d )f fζ

−= + −

⋅ − (3.52)

Sds Rds,lims2

2 yd

M MA

(d d )f−

=−

(3.53)

3.5 Dimenzioniranje pravokutnih presjeka na ekscentrični vlak

3.5.1 Vlačna sila djeluje između armatura (mali ekscentricitet) Cijeli je presjek opterećen na vlak (mali ekscentricitet). Računska vlačna sila se u odnosu udaljenosti dijeli na sile u armaturi.

Slika 3.13. Element opterećen ekscentričnom vlačnom silom.

Potrebna armatura: sd 1

s1yd 1 2

N eAf e e

=+

gornja armatura (prema slici) (3.54)

sd 2s1

yd 1 2

N eAf e e

=+

donja armatura (prema slici) (3.55)

3.5.2 Vlačna sila djeluje izvan presjeka (veliki ekscentricitet) Proračun se može provoditi prema postupku Wuczkowskog upotrebom tablica za dimenzioniranje pravokutnih presjeka naprezanih na savijanje.

Slika 3.14. Presjek opterećen na ekscentrični vlak.

Moment savijanja s obzirom na težište vlačne armature bit će: Sds Sd Sd s1M M N z= − ⋅ (3.56)

SdsSd 2

cd

Mb d f

μ =⋅ ⋅

(3.57)


25

Sds Sds1

yd yd

M NAz f f

= +⋅

(3.58)

Ukoliko je MSd>MRd,lim ili ( Sdμ > limμ ) presjek se mora dvostruko armirati.

Rds,lim Sds Rds,lim Sds1

lim yd 2 yd yd

M M M NA( d)f (d d )f fζ

−= + +

⋅ − (3.59)

Sds Rds,lims2

2 yd

M MA

(d d )f−

=−

(3.60)

3.6 Lokalna tlačna naprezanja

Lokalna tlačna naprezanja pojavljuju se u području elementa gdje se predaje vanjska sila u element preko smanjene površine. Lokalni tlačni naponi pojavljuju se u području elementa gdje se predaje vanjska sila u element preko smanjene površine. Na primjer na mjestu uvođenja sile prednapinjanja, ili kod ležajeva na mostu. Lokalni tlačna naprezanja rasprostiru se u dubinu elementa, pa je na dubini z ≈ d njihova raspodjela približno konstantna po cijeloj širini elementa. Tlak se rasprostire u oba pravca.

Slika 3.15 Rasprostiranje tlačnih naprezanja

Za veće dimenzije presjeka elementa na koje djeluje lokalno naprezanje koje može biti i nesimetrično ili za djelovanje više lokalnih naprezanja, površina rasprostiranja može biti i manja od površine presjeka elementa, pa ju je za svaki konkretan slučaj djelovanja potrebno odrediti. Nagib rasprostiranja uzima se približno 1:2, s tim da bude b1 ≤ 3b0 i d1 ≤ 3d0 Zbog otklona trajektorija tlaka σz dolazi do pojave vlačnih naprezanja σx okomito na trajektorije tlaka. Do dubine z ≈ 0.1⋅d1 od površine naprezanja σx su tlačna, a za dubine z > 0.1⋅d1 ona su vlačna. Najveća su vlačna naprezanja na dubini z = 0.6⋅d1. Ona se mogu dobiti prema empirijskom izrazu:

( )0 1 02

1 1

0.508xF d d

b dσ

−⋅

⋅ (3.61)

Ukupna vlačna sila cijepanja u elementu na visini elementa z izračunava se iz odnosa:


26

0 1 0 1: :2 4 4 2qF d d dF ⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.62)

Slika 3.16 Dijagram naprezanja.

Iz čega je:

00

1

0.25 1qdF Fd

⎛ ⎞= ⋅ −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.63)

Tako dobivena sila cijepanja nešto je manja od izračunane po empirijskoj formuli koja se preporučuje za upotrebu:

00

1

0.3 1qdF Fd

⎛ ⎞= ⋅ −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.64)

Računska sila cijepanja bit će: Fqd =1.35FqG+1.5FqQ. a poprečna armatura u obliku spona:

qdsw

yd

FA

f= (3.65)

Za drugi smjer proračun je analogan.


27

Slika 3.17 Površine rasprostiranja nesimetričnih tlačnih naprezanja.

3.7 Poprečna armatura u gredama

Proračun elemenata na poprečne sile provodi se prema poboljšanoj Mörsch-Ritterovoj analogiji s rešetkom. Prema toj metodi pretpostavlja se da jedan dio poprečne sile preuzima beton i uzdužna armatura, a preostali se dio prihvaća sponama ili kosom armaturom (Standardna metoda).

Prema drugoj metodi (Metoda slobodnog odabira nagiba tlačnih štapova), nosivost betona se ne uzima u obzir, već se uzima blaži kut nagiba tlačnih dijagonala od 45°. Time se dobiva manja poprečna armatura ali se povećava uzdužna armatura ili dolazi do većeg pomaka dijagrama vlačnih sila.

Slika 3.18 Mörschova rešetka - nosivi mehanizam s vertikalnim sponama.

Slika 3.19 Mörschova rešetka - nosivi mehanizam s kosim sponama.

Uvjet nosivosti na poprečne sile:


28

Sd RdV V≤ (3.66)

VSd – računska poprečna sila ( )Sd G G Q QV V Vγ γ= ⋅ + ⋅

VRd – računska nosivost na poprečne sile

Računska poprečna sila proračunava se na udaljenosti “a” od osi ležaja:

( )Sd Sd G Q Sd sdV V a g q V a qγ γ′ = − ⋅ ⋅ + ⋅ = − ⋅ (3.67)

d2

ba lez +=

i može se nalaziti u slijedećim granicama:

SdV VRd2Rd1V0

KONSTRUKTIVNAPOPR. ARMATURA

PRORAČUNPOPR. ARMATURE PODRUČJE

NEDOPUŠTENO

Vwd

VSd

Slika 3.20 Područja poprečnih sila.

Proračunska nosivost na poprečnu silu elementa bez poprečne armature dana je izrazom:

( )Rd1 Rd 1 cp wV k 1.2 40 0.15 b dτ ρ σ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦ (3.68)

gdje je:

Rdτ - računska posmična čvrstoća betona C 12/16 16/20 20/25 25/30 30/37 35/45 40/50 45/55 50/60

�Rd 0,18 0,22 0,26 0,30 0,34 0,37 0,41 0,44 0,48 Tablica 3.2 Računska posmična čvrstoća betona

0.1d6.1k ≥−= korekcijski faktor kojim se povećava nosivost na poprečne sile (d je u metrima)

sl1

w

A 0.02b d

ρ = ≤⋅

- koeficijent armiranja uzdužne armature sidrene za najmanje (d+lb,net)

iza promatranog presjeka.

cQGcp A/)N5.1N35.1( +=σ - središnje tlačno naprezanje Proračunska nosivost tlačnih štapova je:

Rd2 cd wV 0.5 f b zν= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (3.69) gdje je: ν - koeficijent redukcije tlačne čvrstoće betonskih tlačnih štapova

200f

7.0 ck−=ν , fck i 200 dani su u N/mm2, 0.5≤ν<0.7


29

wb - najmanja širina presjeka u vlačnoj zoni z=0.9⋅d - krak unutarnjih sila Kad je element naprezan uzdužnom tlačnom silom Rd2V se umanjuje prema izrazu:

( )Rd2 Rd2 cp,eff cd Rd2V 1.67 V 1 / f Vσ= ⋅ ⋅ − ≤ (3.70)

( )cp,eff Sd yk s2 s cN f A / / Aσ γ= − ⋅ (3.71) Kako se pukotine javljaju u smjeru tlaka, a da ne bi došlo do drobljenja betona mora vrijediti:

VSd<VRd2. U protivnom nužno je povećati presjek grede (visinu ili širinu) ili razred betona. Poprečnu armaturu potrebno je proračunati za prihvaćanje poprečnih sila ako je:

VRd1<VSd≤VRd2 (3.72)

Slika 3.21 Reducirani dijagram poprečnih sila na primjeru grede s jednim prepustom.

Na slici su prikazana područja poprečnih sila. U području 1, gdje je poprečna sila VSd<VRd1 postavlja se minimalna armatura. U području 2 gdje je VRd1<VSd≤VRd2 potrebno je proračunati poprečnu armaturu. Granica između područja je VRd1, a udaljenost od osi ležaja do granice “x“ određuje se:

Sd Rd1Rd1 Sd Sd

Sd

V VV V q x xq−

= − ⋅ ⇒ = (3.73)

Dvije su metode za proračun poprečne armature u gredama: • Standardna metoda i • Metoda slobodnog izbora nagiba tlačnih štapova.

U obje metode pretpostavlja se profil spona i njihova reznost te se proračunava potreban razmak pretpostavljenih spona. a) Standardna metoda


30

Standardna metoda pretpostavlja nagib tlačnih štapova u betonu od 45°. Obuhvaća kontrolu nosivosti tlačnih štapova (VSd≤VRd2) i proračun poprečne armature korištenjem uvjeta ravnoteže: SdV = VRd = Vcd + Vwd

Vwd = sw yw,d

w

A f zs⋅ ⋅ - dio poprečne sile koji preuzimaju vertikalne spone

Vwd = V 'Sd - Vcd = V '

Sd - VRd1

sw yw,d

w

A f zs⋅ ⋅ = V '

Sd - VRd1 ⇒ sw = yw,dsw'Sd Rd1

A f zV V

⋅ ⋅−

Potreban razmak vertikalnih spona:

sw,1 yw,dw

Sd Rd1

A m f 0.9 ds

V V⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=′ −

(3.74)

Potreban razmak kosih spona:

( )sw,1 yw,dw

Sd Rd1

A m f 0.9 d sins 1 ctg

V Vα

α⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= +′ −

(3.75)

gdje je α kut nagiba spona u odnosu na uzdužnu os. b) Metoda slobodnog izbora nagiba tlačnih štapova Uzima doprinos betona nosivosti na poprečne sile preko nagiba tlačnih dijagonala koji je redovito blaži od 45o. Obično se koristi kada istodobno djeluje poprečna sila i moment torzije. Nagib tlačnih štapova prema uzdužnoj osi grede bira se u granicama: 0.4 ≤ ctgΘ ≤ 2.5 - kada se glavna uzdužna armatura vodi do ležaja 0.5 ≤ ctgΘ ≤ 2.0 - kada se glavna uzdužna armatura postepeno prekida u polju. Za armiranobetonske elemente predlaže se θ=39° koji se umanjuje ako djeluje još i tlačna sila uzduž elementa i/ili sila prednapinjanja. Potreban razmak vertikalnih spona:

sw,1 yw,dw

Sd

A m f 0.9 d ctgsV

θ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= (3.76)

Potreban razmak kosih spona:

( )sw,1 yw,dw

Sd

A m f 0.9 d sins ctg ctgV

α θ α⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= + (3.77)

gdje je α kut nagiba spona u odnosu na uzdužnu os. Kod elemenata s kosom poprečnom armaturom granična nosivost na poprečne sile iznosi:

Rd2 cd w 2ctg ctgV f b z

1 ctgθ αν

θ+

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅+

(3.78)

Uz uvjet: sw yw,d cd

w w

A f 0.5 f sinb s 1 cos

ν αα

⋅ ⋅ ⋅ ⋅≤

⋅ − (3.79)


31

Slika 3.22 Kutevi nagiba tlačnih i vlačnih dijagonala zamišljene rešetke.

Nakon raspucavanja nosača, sila u donjem pojasu, odnosno sila u armaturi iznosi:

( )SdSd Sd

MF 0.5 V ctg ctgz

θ α= + ⋅ ⋅ −

Što znači da je za drugi član potrebno povećati uzdužnu armaturu. Minimalna poprečna armatura Asw,min (=maksimalni razmak odabranih spona): Minimalna armatura se mora postaviti čak i onda kad proračun pokaže da ona nije potrebna. Postoje dva uvjeta za odabir minimalne armature. Potrebno je proračunati najveći razmak po oba kriterija i odabrati manji. 1. uvjet: Asw,min = ρmin⋅sw⋅bw⋅sinα, gdje je ρw,min – minimalni koeficijent armiranja poprečne armature ovisno o kakvoći betona i čelika

Klasa betona Vrsta čelika B 220 B 400 B 500

C 12/15 i C 20/25 0.0016 0.0009 0.0007 C 25/30 i C 35/45 0.0024 0.0013 0.0011 C 40/50 i C 50/60 0.0030 0.0016 0.0013

Tablica 3.3 Minimalni koeficijent armiranja ρmin greda poprečnom armaturom, prema Eurokodu 2.

sw,max = sw,min

min w

Abρ ⋅

(3.80)

2. uvjet: Najveći razmaci spona u smjeru glavne armature, ovisno o veličini računske poprečne sile

Broj

Računska poprečna sila Vsd

Maksimalni razmak spona u smjeru glavne vlačne armature sw max

1 Vsd ≤ 0.2⋅VRd2 0.8⋅d ≤ 30 cm 2 0.2⋅VRd2 < Vsd ≤ 0.67⋅VRd2 0.6⋅d ≤ 30 cm 3 0.67⋅VRd2 < Vsd ≤ VRd2 0.3⋅d ≤ 20 cm

Tablica 3.4 Najveći razmaci spona u smjeru glavne armature, ovisno o veličini računske poprečne sile.


32

Slika 3.23 Poprečna vertikalna armatura grede.

Slika 3.24 Širine pukotina u rebru ovisno o načinu armiranja.

3.8 Dimenzioniranje presjeka na moment torzije Naprezanje elemenata samo momentima torzije vrlo je rijetko u konstrukcijama. Torzijske momente obično prate momenti savijanja s normalnim silama i bez njih, te poprečne sile. U skladu s tim provjera nosivosti elemenata provodi se za:

naprezanje momentom torzije; naprezanje momentom torzije i momentom savijanja; naprezanje momentom torzije i poprečnom silom; naprezanje momentom torzije, momentom savijanja i poprečnom silom.

S obzirom na značenje, a potom i daljnje tretiranje, razlikuju se:

kompatibilna (sekundama) i ravnotežna (primarna) torzija.

Kompatibilna je torzija ona torzija u armiranobetonskim konstrukcijama koja nastaje zbog monolitnog spoja između elemenata, a nije prijeko potrebna za ravnotežu, pa se za granično stanje nosivosti može zanemariti. Zbog naprezanja torzijom u elementima nastaju dugotrajne plastične deformacije, te raspucavanje, što znatno smanjuje torzijsku krutost. Posljedica je toga znatno smanjenje momenta torzije ili njegovo potpuno iščezavanje i odgovarajući porast momenata savijanja shodno uvjetima ravnoteže.

Torzija u elementima A-C i B-D Torzija u elementu A-B


33

Slika 3.25 Primjeri kompatibilne torzije.

Ravnotežna se torzija u konstrukciji pojavljuje da bi uvjeti ravnoteže bili zadovoljeni. Ta torzija djeluje istim intenzitetom za naponsko stanje I (bez pukotina) i za naponsko stanje II (pojava pukotina), a za konstantno opterećenje, tj. ne smanjuje se opadanjem torzijske krutosti. Ako je u pitanju ravnotežna torzija, proračun na torziju mora uvijek biti proveden.

Torzija u elementu A-B Torzija u gredi T-presjeka

Slika 3.26 Primjeri ravnotežne torzije. Lom grede opterećene torzijskim momentom nastupa preko vitoperne plohe. Torzija izaziva posmična naprezanja koja čine glavna vlačna i glavna tlačna naprezanja. Za preuzimanje momenta torzije potrebno je osigurati i uzdužnu i poprečnu armaturu. Spone za preuzimanje torzije moraju se preklapati preko jedne stranice te u uglovima obavezno imati uzdužnu armaturu. Razmak uzdužnih šipki ne bi smio biti veći od 20cm.

Slika 3.27 Dijagrami posmičnih naprezanja od momenta torzije za neke poprečne presjeke.

Prilikom proračuna elemenata naprezanih torzijom potrebno je zadovoljiti sljedeće uvjete:

TSd ≤ TRd1

TSd ≤ TRd2

TSd ≤ TRd3

TRd1 – nosivost tlačnih štapova


34

TRd2 – nosivost poprečne armature

TRd3 – nosivost uzdužne armature

Slika 3.28 Površina Ak

cd k

Rd12 ' f A tTctg tgν ⋅ ⋅ ⋅

=Θ + Θ

(3.81)

ckf' 0,7 0,7 0.7 0,35200

ν ν ⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ − ≥⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.82)

1Rd2 swt k ywd wtT 2 A A f ctg / s= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Θ (3.83)

1Rd3 slt k yld kT 2 A A f tg / u= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Θ (3.84)

Srednji dio punog presjeka ne pridonosi nosivosti na torziju pa se zanemaruje u proračunu.

t = A/u ≥ 2c - debljina stijenke zamišljenog ili stvarnog šupljeg presjeka.

Ak - površina unutar srednje konture presjeka uključujući i šupljinu kod cjevastih presjeka. uk - opseg jezgre površine Ak. Izjednačavanjem djelovanja i nosivosti dobit će se razmak spona za preuzimanje torzije, te potrebna površina uzdužne armature.

TSd = TRd2 Razmak spona za preuzimanje momenta torzije:

1swt k ywd k

wTSd

2A A f ctg usT 8

⋅ ⋅ ⋅ Θ= ≤ (3.85)

TSd = TRd3 (3.86) Potrebna uzdužna armatura za preuzimanje momenta torzije:

Sd kslT

k yld

T uA2A f tg

⋅=

⋅ ⋅ Θ (3.87)

Kada na gredu istovremeno djeluju i poprečne sile i moment torzije, posebno se računaju razmaci od poprečnih sila (sw,V), posebno od torzije (sw,T), te se konačni razmak spona nalazi koristeći sljedeći izraz:

VSd→sw,V – razmak spona za poprečnu silu

TSd→sw,T – razmak spona za moment torzije


35

( )w,V w,T

ww,V w,T

s ss

s s⋅

=+

(3.88)

Slika 3.29 Dijagram torzije oblikom odgovara dijagramu poprečnih sila.

Torzijska armatura sastoji se od zatvorenih i za kraću stranicu preklopljenih spona te uzdužnih sipki jednoliko raspoređenih po opsegu spone.

Slika 3.30 Uzdužna i poprečna armatura za preuzimanje momenta torzije.

3.9 Proračun ploča na proboj

Proboj ploča može nastati od koncentriranog opterećenja ili ležajne reakcije koja djeluje na razmjerno maloj površini, kao npr. kod ravnih ploča koje su direktno oslonjene na stupove. EC2 daje dva uvjeta kada je nužan proračun na proboj:

1. D ≤ 3,5d (za kružni stup) 2. u ≤ 11d (za pravokutni stup)

D – promjer stupa

u – opseg stupa d – statička visina ploče iznad stupa Kod proračuna probojne sile za međukatu ploču u obzir se uzima samo reakcija dotičnog kata.

Probojna sila je razlika sila u stupovima:

VSd=VSd1-VSd2


36

Slika 3.31 Probojna sila je razlika sila u stupovima.

Za proračun proboja nema potpune i pouzdane teorije, stoga se proračuni baziraju na podacima eksperimentalnih istraživanja.

Kada je:

vSd ≤ vRd1 (3.89)

nije potreban proračun ploče na proboj, jer je vRd1 granično posmično naprezanje po jedinici duljine kad još nije potrebna armatura za preuzimanje posmičnih naprezanja. vRd1 se odnosi na pojavu prve pukotine u betonu.

vRd1=�Rd·k(1,2+40�1)d (3.90)

k = 1,6-d > 1,0 (3.91)

1 1x 1yρ ρ ρ= ⋅ (3.92)

Koeficijenti armiranja u dva međusobno okomita smjera

s1x1x

x x

Ab d

ρ = , s1y1y

y y

Ab d

ρ = (3.93)

�Rd je posmično naprezanje koje može preuzeti beton

C 12/16 16/20 20/25 25/30 30/37 35/45 40/50 45/55 50/60

�Rd 0,18 0,22 0,26 0,30 0,34 0,37 0,41 0,44 0,48 Tablica 3.5 Posmično naprezanje koje može preuzeti beton“�Rd”(N/mm2)

vSd = (VSd/ucr).βp naprezanje na kritičnom presjeku (kN/m), gdje je VSd = proračunska sila probijanja u stupu; VSd = 1,35 Vg + 1,50 Vq ucr = kritični opseg; za pravokutni stup a/b: ucr = 2(a+b)+2.(1,5.d).π β = korekcijski faktor koji uzima u obzir ekscentrično djelovanje sile proboja u odnosu na kritični presjek. β = 1,0 za simetrično djelovanje sile u odnosu na kritični presjek β = 1,15 za srednje stupove i nesimetrično djelovanje β = 1,40 za rubne stupove β = 1,50 za kutne stupove


37

Slika 3.32 Korekcijski faktor β.

Slika 3.33 Kritični opseg.

b1.5d

a1

.5d

1.5

d3

d+

a

3d+b1.5d

Slika 3.34 Kritični opseg pravokutnog stupa.

Kritični opseg unutarnjeg pravokutnog stupa a/b sastoji se od opsega stupa i opsega kruga radijusa 1.5d, te se može izračunati prema izrazu:

( )cru 2 a b 3 d π= ⋅ + + ⋅ ⋅

1,5 d

slobodni rubovi

1,5 d

Slika 3.35 Kritični opseg.


38

Slika 3.36 Kritični opseg. Vrijednosti a1 i b1, potrebne za proračun kritičnog opsega, moraju zadovoljiti sljedeće uvjete:

1

1

aa 2b

5,6d b

⎧⎪≤ ⎨⎪ −⎩

i 1

bb

2,8d

⎧⎪≤ ⎨⎪⎩

k r it ičn a p lo š t in a

β β h d

k r it ičn i o p s e g

p lo ča

k r it ičn i p re s je k

β d f h f

p lo ča te m e lja

1 ,5 d f 1 ,5 d f

1 ,5 d

1 ,5 d

k r it ičn i p re s je k

z a a > h f te m e lj tre b a p ro m a tra t i k a o p lo ču

β = a rc tg (2 /3 ) = 3 3 ,7 °

a < 2 h f

β

Slika 3.37 Probojna ploha.

Kada je

vRd1≤ vSd ≤ vRd2 (3.94)

potrebna armatura dobiva se iz:

sw yd,wSd Rd1

cr

A f sinv v

uα⋅ ⋅

= + ∑ (3.95)

Ukupna površina poprečne armature: Sd Rd1

sw cryd,w

v vA uf sinα

−= ⋅

⋅∑ (3.96)

Minimalna površina poprečne armature: crit load

sw,min w,minA AA 0.6

sinρ

α−

= ⋅∑ (3.97)

Acrit -površina ploče unutar kritičnog opsega

Aload –površina djelovanja opterećenja (npr. površina stupa)

w,minρ - minimalni koeficijent armiranja poprečnom armaturom grednih elemenata tablica 3.3.

Ukoliko je vSd>vRd2, gdje je vRd2=1,6vRd1 granično posmično naprezanje po jedinici duljine koje se bazira na tlačnom naprezanju betona, dolazi do drobljenja betona i zato kako bi se vSd smanjio ili vRd povećao potrebno je :

• povećati razred betona • povećati statičku visinu presjeka d • povećati uzdužnu armaturu.


39

Slika 3.38 Sustav poprečne armature protiv proboja.

Slika 3.39 Vertikalna poprečna armatura protiv proboja.

Slika 3.40 Kosa poprečna armatura protiv proboja.


40

3.10 Vitki elementi naprezani ekscentričnom tlačnom silom Vitki elementi opterećeni centričnom ili ekscentričnom tlačnom silom već u početku opterećenja nisu ravni, kako je projektom predviđeno, već su iskrivljeni. Početne krivine mogu biti geometrijskog ili statičkog porijekla. Geometrijske krivine (imperfekcije) koje su posljedica netočne izvedbe ili nekoga drugog uzroka uzima se da prate oblik izvijanja centrički naprezanih elemenata. Statičke krivine, koje su posljedica djelovanja momenta savijanja uzduž osi elementa, ovise o promjeni statičkih veličina po dužini elementa, o načinu priključenja elementa (rubni uvjeti), prisutnosti poprečnog opterećenja i vitkosti elementa. Progibi koji su posljedica tih djelovanja mogu biti znatni i ne smiju se zanemarivati. Stabilnost konstrukcije i elementa mora se promatrati na deformiranom sustavu (teorija II. reda). Pod dugotrajnim opterećenjem nastaju viskozne plastične deformacije (puzanje) u betonu koje utječu na povećanje progiba elementa pa tako i na porast momenata. Dimenzioniranje po metodi graničnih stanja mora biti takvo da deformirani sustav pod računskim opterećenjem bude u stabilnom stanju i da računske vrijednosti reznih sila ne premaše odgovarajuće računske vrijednosti nosivosti.

Slika 3.41 Dijagram interakcije za razne vitkosti λ.

Proračun reznih sila po teoriji II. reda sastoji se u pronalaženju tih veličina na deformiranom sustavu. Progibna krivulja elementa dobiva se integracijom deformacija poprečnih presjeka na diferencijalnim razmacima po dužini elementa.

Utjecaj vitkosti elementa potrebno je uzeti u obzir ako je 0lim

min

Li

λ λ= ≤ .

Granična vitkost računa se prema:

lim

25

15 sd

λν

⎧⎪≤ ⎨⎪⎩

νSd = Nsd/(fcd⋅Ac) - bezdimenzijska vrijednost uzdužne sile NSd > 0.7 NSd,m - računska uzdužna sila u promatranom stupu NSd,m - srednja računska uzdužna sila u jednom stupu promatranoga kata Ac - površina presjeka stupa fcd - računska čvrstoća betona. Eurocodeom 2 dopuštaju se pojednostavnjene metode proračuna pomičnih okvira po teoriji II. reda ako se radi o pravilnim okvirima, a to su oni kojih su stupovi i grede približno jednake krutosti i da im srednja vitkost stupova bude manja od 50 ili 20 sdν .


41

3.10.1 Približan proračun prema EC2

Slika 3.42 Mogući primjeri djelovanja ekscentrične tlačne sile.

Ukupni ekscentricitet bit će: etot=e0+ea+e2 ea = ν1⋅L0/2 - ekscentricitet zbog imperfekcija L0 =β⋅Lcol - dužina izvijanja promatranog elementa (β se dobije pomoću nomograma ili približnih izraza) e0 = MSd/NSd - ekscentricitet po teoriji I. reda e2 - dodatni ekscentricitet zbog deformiranja elementa

1 min1/(100 )tothν ν= ≥ htot - ukupna visina građevine od temelja ili podrumskog zida νmin=1/400 - za pridržane sustave νmin=1/200 - za nepridržane sustave. Za stupove s promjenjivim ekscentricitetom e0 (sl. 3.42), a konstantnog presjeka i armature po dužini, koristi se zamjenjujuća vrijednost za ekscentricitet, od kojih se bira veća:

e0 = 0.6e02 + 0.4e01; |e02| > |e01| ili e0 = 0.4e02

Dodatni ekscentricitet zbog deformiranja elemenata pravokutnih i okruglih presjeka može se izračunati upotrebom metode "Stup-model". Nosivi sustav dan je na slici 3.43.


42

Slika 3.43 Stup-model

Pod djelovanjem uzdužne sile i momenta savijanja sustav se deformira. Maksimalni moment savijanja na deformiranom stupu bit će na dnu stupa. Prema ovome modelu dodatni ekscentricitet dobiva se po izrazu:

( )22 1 00.1 1/e K L r= ⋅ ⋅ ⋅

K1 - korekcijski faktor za postupni prijelaz od graničnog stanja nosivosti (λ < 25) na problem izvijanja (λ > 25) l/r - zakrivljenost dobivena iterativnom metodom ili približnim postupkom. Korekcijski faktor se izračuna po izrazu: K1 = λ/20 - 0.75 za 15 < λ < 35, K1 = 1.0 za λ > 35. Približni izraz za određivanje zakrivljenosti glasi:

l/r = 2K2 ⋅εyd/(0.9d) gdje je: εyd = fyd/Es - računska deformacija u čeliku d - statička visina presjeka K2 = (Nud - Nsd)/(Nud - NbaI) < 1 - faktor dobiven upotrebom pojednostavnjenog dijagrama interakcije Nud =0.85⋅fcd⋅Ac +fyd⋅ (As1 + As1) - nosivost na središnji tlak Nbal =0.4⋅fcd⋅Ac Približno se može uzeti K2 = 1, što je na strani sigurnosti. Puzanje betona utječe na povećanje ekscentriciteta, osobito pomičnih sustava i može se približno uzeti preko dodatnog momenta savijanja:

0.1I F IGM Mϕ γΔ = ⋅ ⋅ gdje je MIG moment od stalnog opterećenja dobiven po teoriji I. reda, a γ F= 1.1 za hiperstatičke sustave i γ F = l.2 za statički određene sisteme. Računske rezne sile na deformiranom sustavu bit će:

IISd SdN N= IISd Sd tot IM N e M ϕ= ⋅ + Δ


43

4 LITERATURA

[1] Tehnički propis za betonske konstrukcije, NN 101/05 [2] HRN ENV 1991-1 EUROKOD 1: Osnove projektiranja i djelovanja na konstrukcije –

1. dio: Osnove projektiranja, Državni zavod za normizaciju i mjeriteljstvo, 2005. [3] HRN ENV 1992-1-1 EUROKOD 2: Projektiranje betonskih konstrukcija – 1.1 dio:

Opća pravila i pravila za zgrade, Državni zavod za normizaciju i mjeriteljstvo, 2004. [4] Jure Radić i suradnici: Betonske Konstrukcije – Priručnik, Hrvatska sveučilišna

naklada, Sveučilište u Zagrebu – Građevinski fakultet, SECON HNDK, Andris, Zagreb, 2006.

[5] Jure Radić i suradnici: Betonske Konstrukcije – Riješeni primjeri, Hrvatska sveučilišna naklada, Sveučilište u Zagrebu – Građevinski fakultet, Andris, Zagreb, 2006.

[6] Ivan Tomičić: Betonske konstrukcije, DHGK, Zagreb, 1996.

Documents

Granična stanja nosivosi betonskih konstrukcija