of 81 /81
SVEUČILIŠTE U SPLITU GRAĐEVINSKO-ARHITEKTONSKI FAKULTET Jure Radnić Alen Harapin OSNOVE BETONSKIH KONSTRUKCIJA INTERNA SKRIPTA Split, 2007.

Osnove betonskih konstrukcija

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Osnove betonskih konstrukcija

SVEUČILIŠTE U SPLITU GRAĐEVINSKO-ARHITEKTONSKI FAKULTET

Jure Radnić Alen Harapin

OSNOVE BETONSKIH KONSTRUKCIJA

INTERNA SKRIPTA

Split, 2007.

Page 2: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 2

SADRŽAJ:

1 Osnove pojmovi o Armiranom betonu...................................................................................... 4 1.1 Općenito ................................................................................................................................ 4

2 Osnove proračuna AB konstrukcija.......................................................................................... 5 2.1 Općenito ................................................................................................................................ 5 2.2 Osnovne pretpostavke...........................................................................................................7 2.3 Radni dijagram betona........................................................................................................... 8 2.4 Radni dijagram čelika ............................................................................................................ 9 2.5 Koeficijenti sigurnosti ........................................................................................................... 10 2.6 Klase okoliša........................................................................................................................ 11

3 Dimenzioniranje AB konstrukcija prema Graničnim stanjima nosivosti ................................. 13 3.1 Minimalna i maksimalna armatura u presjeku ..................................................................... 13 3.2 Jednostruko armirani pravokutni presjek opterećen momentom savijanja .......................... 13

3.2.1 Teoretske postavke ...................................................................................................... 13 3.2.2 Slučaj 1 ......................................................................................................................... 16 3.2.3 Slučaj 2 ......................................................................................................................... 17 3.2.4 Slučaj 3 ......................................................................................................................... 19 3.2.5 Slučaj 4 ......................................................................................................................... 21

3.3 Dvostruko armirani pravokutni presjek opterećen momentom savijanja ............................. 22 3.4 Dimenzioniranje T i Γ presjeka ............................................................................................ 26 3.5 Kratki elementi opterećeni centričnom tlačnom silom.......................................................... 31 3.6 Kratki elementi opterećeni centričnom vlačnom silom......................................................... 31 3.7 Dimenzioniranje pravokutnog presjeka na moment savijanja i uzdužnu silu....................... 32

3.7.1 Uzdužna vlačna sila – postupak Wuczkowskog ........................................................... 32 3.7.2 Uzdužna tlačna sila – postupak Wuczkowskog ............................................................ 33 3.7.3 Uzdužna tlačna/vlačna sila – dimenzioniranje pomoću dijagrama interakcije .............. 38

3.8 Dimenzioniranje okruglog presjeka naprezanih momentom savijanja i uzdužnom silom.... 41 3.9 Dimenzioniranje presjeka na Poprečnu silu......................................................................... 43

3.9.1 Općenito ....................................................................................................................... 43 3.9.2 Postupak.......................................................................................................................43 3.9.3 Standardna metoda ...................................................................................................... 44 3.9.4 Metoda slobodnog odabira nagiba tlačnih štapova ...................................................... 45 3.9.5 Minimalna (konstruktivna) armatura ............................................................................. 46

3.10 Dimenzioniranje presjeka na Moment torzije....................................................................... 50 3.10.1 Općenito ....................................................................................................................... 50 3.10.2 Postupak.......................................................................................................................51 3.10.3 Zajedničko djelovanje Momenta torzije i Poprečne sile ................................................ 52

Page 3: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 3

3.10.4 Proračun ploča na proboj.............................................................................................. 57 3.10.5 Koso savijanje............................................................................................................... 57 3.10.6 Vitki elementi naprezani ekscentričnom tlačnom silom ................................................ 57

4 Dimenzioniranje presjeka prema Graničnim stanjima uporabe ............................................. 58 4.1 Općenito .............................................................................................................................. 58 4.2 Granično stanje naprezanja................................................................................................. 58 4.3 Granično stanje pukotina ..................................................................................................... 59

4.3.1 Općenito ....................................................................................................................... 59 4.3.2 Minimalna armatura ...................................................................................................... 59 4.3.3 Dokazni postupak bez kontrole širine pukotina ............................................................ 60 4.3.4 Proračun širine pukotina ............................................................................................... 60

4.4 Granično stanje progiba....................................................................................................... 64 4.4.1 Općenito ....................................................................................................................... 64 4.4.2 Dokaz graničnog stanja progibanja .............................................................................. 65

5 PRILOZI ................................................................................................................................. 72 Prilog 1: Tablice za dimenzioniranje pravokutnih presjeka prema graničnim stanjima sloma ..... 73 Prilog 2: Tablice za dimenzioniranje T i Γ presjeka...................................................................... 74 Prilog 3: Tablice za proračun pravokutnih križno armiranih ploča opterećenih jednolikim

kontinuiranim opterećenjem.......................................................................................... 75 Prilog 4: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih pravokutnih presjeka...................... 76 Prilog 5: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih pravokutnih presjeka...................... 77 Prilog 6: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih pravokutnih presjeka...................... 78 Prilog 7: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih kružnih presjeka............................. 79 Prilog 8: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih kružnih presjeka............................. 80 Prilog 9: Armaturne tablice........................................................................................................... 81

Page 4: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 4

1 OSNOVE POJMOVI O ARMIRANOM BETONU

1.1 Općenito

Beton je umjetni kamen, dakle materijal koji, kao i svaki kamen ima veliku tlačnu ali malu vlačnu čvrstoću. U kombinaciji s armaturom dobiva se novi materijal – armirani beton, koji objedinjuje sve dobre karakteristike oba osnovna materijala. Efikasno djelovanje tih dvaju, po mehaničkim karakteristikama različitih materijala, omogućeno je sljedećim:

− Beton tokom svog stvrdnjavanja čvrsto prianja uz čelik (armaturu), tako da pri djelovanju vanjskih sila oni zajedno sudjeluju u nošenju. Prianjanje čelika i betona glavni je faktor njihovog zajedničkog sudjelovanja u nošenju.

− Beton i čelik imaju približno jednake temperaturne koeficijente. Betonu, ovisno o agregata temperaturni koeficijent je: C1107.0104.1 55

co−− ⋅−⋅=α , a čeliku: C1102.1 5

co−⋅=α ,

zbog čega u kombinaciji ova dva materijala dolazi do neznatnog unutrašnjeg naprezanja pri temperaturnim promjenama.

− Beton štiti čelik od korozije, ako je dovoljno kompaktan, zbog bazičnog karaktera kemijskih reakcija i obilnog lučenja Ca(OH)2.

Kombinacijom betona i čelika u obliku armiranog betona postiže se dobro iskorištenje obaju materijala, pri čemu beton u prvom redu prima tlačna, a čelik vlačna naprezanja.

Page 5: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 5

2 OSNOVE PRORAČUNA AB KONSTRUKCIJA

2.1 Općenito

Pod pojmom graničnog stanja presjeka odnosno konstrukcije, podrazumijeva se ono stanje pri kojem presjek odnosno konstrukcija gubi sposobnost da se odupre vanjskim utjecajima ili pak dobiva nedopušteno velike deformacije ili lokalna oštećenja, čime prestaje ispunjavati postavljene kriterije u pogledu nosivosti, trajnosti i funkcionalnosti. Prema tome, konstrukcija (ili jedan njen dio) smatrat će se nepodobnom za predviđenu uporabu ako je prekoračeno bar jedno od graničnih stanja. Ovakav pristup, zasnovan na teoriji pouzdanosti konstrukcija, zahtijeva da se odabere ograničeni skup stanja za opisivanje ponašanja konstrukcije. Takva se stanja obično nazivaju graničnim stanjima pri kojima konstrukcija zadovoljava uvjete za koje je projektirana.

Općenito, uobičajeno je da se granična stanja dijele u dvije velike grupe:

a) granično stanje koje odgovara maksimalnoj nosivosti, a postiže se:

− lomom materijala u kritičnom presjeku ili dosezanjem znatnijih deformacija;

− otkazivanjem nosivosti konstrukcije praćeno pojavom tzv. plastičnih zglobova, gdje se formira mehanizam loma kod statički neodređenih nosača (kod ploča se formiraju tzv. linije loma);

− dovođenjem konstrukcije ili elementa konstrukcije koje promatramo kao kruta tijela u stanje gubitka ravnoteže;

− izvijanjem u elastičnom ili plastičnom području;

− zamorom materijala (npr. za mostove i nosače kranskih staza);

− nestabilnošću uslijed velikih pomaka i deformacija.

b) granična stanja upotrebljivosti, a postižu se:

− graničnim stanjem deformacija vezano za upotrebljivost i izgled elementa i konstrukcije u cjelini - proračun deformacija;

− graničnim stanjem pukotina - proračun pukotina.

− graničnim stanjem naprezanja – kontrola naprezanja.

Bitno je napomenuti da se još uvijek često proračun konstrukcija vrši po teoriji elastičnosti (linearna teorija), dok se dimenzioniranje vrši po metodi graničnih stanja. Dakle, očiti je nesklad takvog postupka jer, naime, nedjeljiva je nelinearna ovisnost naprezanje-deformacija za armirano betonski presjek od preraspodjele unutarnjih sila u statički neodređenoj konstrukciji ("plastifikacija" presjeka i "plastifikacija" sistema).

Metoda graničnih stanja promatra stanje deformacija i naprezanja neposredno pred slom presjeka. Da bi se mogla odrediti nosivost presjeka neposredno pred slom, valja poznavati i stanja naprezanja koja prethode graničnome.

Greda od armiranog betona opterećena koncentriranom silom u sredini raspona ima različite stupnjeve iskorištenosti u raznim presjecima zavisno od momentnog dijagrama. Idući od ležajeva prema sredini raspona vide se tri različita stanja naprezanja, poznata u armiranom betonu kao stanja naprezanja I, II i III (crtež 1).

Page 6: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 6

F

R

I Ia II III

SREDINAPRESJEKA

Bez pukotina Sitne pukotine Pukotine predslom

1/2 l

n.o. n.o. n.o.

M M M M I Ia II III

d

Crtež 1 - Stanja naprezanja AB grede

Za stanje I, naprezanja tlaka i vlaka su mala, pa je opravdano pretpostaviti da je raspodjela naprezanja linearna. Kraj stanja I (Ia) označava da je vlačna čvrstoća betona pred iscrpljenjem, pa raspodjela naprezanja u vlačnoj zoni ide po krivulji dok je raspodjela tlačnih naprezanja još uvijek linearna. Stanje naprezanja II karakteristično je po tome što u vlačnoj zoni nastaju pukotine i vlačna se zona isključuje iz nosivosti, a raspodjela tlačnih naprezanja ima oblik krivulje. Stanje naprezanja III (stanje neposredno pred slom) karakteristično je po tome što raspodjela tlačnih naprezanja ima oblik krivulje, a u vlačnoj zoni, kao i u zoni II, nastaju pukotine koje su još veće i dosežu neutralnu os. Tlačna zona se smanjuje i neutralna os putuje prema gore.

Način sloma armirano betonskih elemenata ovisi o postotku armiranja, o djelovanju unutrašnjih sila i o mehaničkim karakteristikama betona i armature.

Općenito slom presjeka može nastati:

1. uslijed popuštanja armature i to na 2 načina:

− nedovoljnim armiranjem (ρ < ρmin) tako da prilikom prijelaza iz faze I u fazu II dolazi do naglog povećanja naprezanja u armaturi, plastifikacije armature, formiranja većih pukotina i loma armature. Slom nastaje trenutno. Da se takav slom ne dogodi, potrebno je presjek armirati minimalnom armaturom;

− iscrpljenošću armature, kod čega se slom presjeka ne događa odmah poslije pojave pukotina, već mu prethode sve veće pukotine i naglašene deformacije armature u vlačnoj zoni (duktilan slom);

2. uslijed popuštanja betona nastaje neduktilan slom. Takav slom nastaje kod jako armiranih presjeka, pri čemu naprezanje u čeliku ne doseže granicu popuštanja. Slom nastaje iznenadno bez naglašenih pukotina i većih deformacija, osobito za betone visokih kvaliteta;

3. uslijed istodobnog popuštanja betona i armature nastaje tkz. balansirani slom, koji je karakteriziran prethodnom pojavom naglašenih deformacija i pukotina.

Ako postoji mogućnost slobodnog izbora presjeka, preporučuje se dimenzioniranje uz pretpostavku istodobne iscrpljenosti armature i betona, tj uz potpuno iskorištenje obaju materijala ili samo čelika.

Page 7: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 7

2.2 Osnovne pretpostavke

Elementi konstrukcija kod dimenzioniranja trebaju zadovoljiti uvjete: − da postoji dovoljna sigurnost na lom, − da je zadovoljen uvjet ograničenja pukotina za radna opterećenja (uvjet trajnosti), − da ukupne deformacije, s utjecajem puzanja, skupljanja i temperature, ne izazovu

nepovoljne utjecaje na konstrukciju u eksploataciji (uvjet uporabljivosti).

U proračunu se po pravilu izračuna jedno granično stanje, koje se smatra mjerodavnim, a zatim se, za usvojenu geometriju poprečnih presjeka i kvaliteta materijala, dokazuje da su i ostala granična stanja zadovoljena.

U velikom broju slučajeva, u inženjerskoj praksi, najkritičnije je stanje granične nosivosti - loma. Stoga se detaljan proračun - dimenzioniranje karakterističnih poprečnih presjeka nosača sprovodi prema teoriji granične nosivosti, a zatim se daje dokaz odnosno provjera ispunjenosti uvjeta koje traže granična stanja upotrebljivosti.

Međutim, zavisno od namjene objekta, okolne sredine, primijenjenog sistema konstrukcije i sl., može se dogoditi da ne bude (uvijek) mjerodavno stanje loma, već jedno od dva granična stanja upotrebljivosti. Tako, na primjer, u jako agresivnim sredinama, gdje se u toku eksploatacije dopuštaju vrlo male širine pukotina u betonu, može biti najkritičnije granično stanje pukotina, pa kao takvo i mjerodavno za proračun. Kod vitkih AB konstrukcija velikih raspona može pak biti mjerodavno granično stanje deformacija, koje se kod savijenih elemenata svodi na granično stanje progiba. Uvjeti koje ovo granično stanje traži moraju se poštivati radi osiguranja funkcionalnosti konstrukcije, posebno radi osiguranja kompatibilnosti deformacija (progiba) konstrukcije sa opremom, pregradnim zidovima, oblogama, izolacijama; zatim izbjegavanja nepovoljnih psiholoških efekata, itd.

Proračun prema graničnim stanjima dakle obuhvaća proračune i kontrole ponašanja konstrukcija i to:

a) granično stanje loma: − proračun statičke ravnoteže konstrukcije (gdje se konstrukcija promatrana kao kruto tijelo

provjerava na klizanje, izvijanje, prevrtanje, isplivavanje, odizanje oslonaca...); − proračun unutarnjih sila koje vladaju u konstrukciji bilo linearnom teorijom (teorijom

elastičnosti) ili transformacijom konstrukcije u mehanizme loma (proračun teorije plastičnosti);

− proračun granične nosivosti kritičnih presjeka za djelovanje momenata savijanja i uzdužnih sila, poprečnih sila, momenata torzije, lokalnih naprezanja, probijanja, adhezije i sl.;

− proračun graničnog stanja loma uslijed zamora materijala (za posebne elemente konstrukcija).

b) granično stanje u eksploataciji: − dokaz razmaka i otvora pukotina u vlačnoj zoni betona; − dokaz maksimalnih deformacija i progiba za upotrebljivost konstrukcije.

Proračun po graničnoj nosivosti lomu vrši se na osnovu sljedećih pretpostavki:

− presjeci i nakon deformiranja ostaju ravni (vrijedi hipoteza Bernoulli-a), iz čega proističe da je raspored deformacija po visini presjeka pravolinijski;

− nosivost betona u vlačnoj zoni se ne uzima u obzir. Vlačnu silu prima armatura;

− prianjanje betona i čelika nije narušeno sve do samog loma konstrukcije. Dakle deformacije betona i armature su iste za istu udaljenost od neutralne osi presjeka;

− poznata je veza naprezanje-deformacija za armaturu i beton, čime je određena veličina i raspored tlačnih naprezanja po visini tlačnog dijela presjeka.

Page 8: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 8

2.3 Radni dijagram betona

Eksperimentalna istraživanja su pokazala da stvarni oblik veze između naprezanja σc i deformacije εc za beton ovisi o nizu faktora: vrsti opterećenja, stanju naprezanja u elementu (jednoosno, dvoosno ili višeosno), kvaliteti betona, brzini nanošenja opterećenja, dužine trajanja opterećenja, obliku poprečnog presjeka nosača, količine armature u tlačnoj zoni presjeka, gustoći vilica itd.

Za potrebe proračuna-dimenzioniranja betonskih i armirano betonskih presjeka potrebno je iznaći analitičku vezu između naprezanja σc i deformacija εc betona, koja će s jedne strane biti vrlo jednostavna i primjenjiva u praksi, a s druge što vjernije opisivati stvarnu vezu. Ova analitička veza, koja se u literaturi naziva radni dijagram betona (RDB), u pravilnicima raznih zemalja poprima čitav niz oblika: parabole drugog ili trećeg stupnja, pravokutnika, parabole+pravokutnika i sl.

U našoj zemlji, a prema prijedlogu EC 2, usvojen je radni dijagram betona oblika parabola+pravokutnik (crtež 2).

σc

εc[‰]

α fcd

fck

2.0 ‰ 3.5 ‰

( ) ccck

c 44f εε−=σ

Crtež 2 – Radni dijagram betona

Računski radni dijagram betona je dakle parabola:

( ) cccd

c 44f

εε−α

=σ pri ‰0.20 c ≤ε≤ ()

tj pravac

cdc fα=σ pri ‰5.30.2 c ≤ε< ()

gdje je:

− fcd - računska tlačna čvrstoća betona, koja se dobiva iz karakteristične tlačne čvrstoće

Karakteristika betona C 12/15 C 16/20 C 20/25 C 25/30 C 30/37 C 35/45 C 40/50 C 45/55 C 50/60 fck

(MPa) Čvrstoća na valjku 12.0 16.0 20.0 25.0 30.0 35.0 40.0 45.0 50.0

fc,cub (MPa) Čvrstoća na kocki 15.0 20.0 25.0 30.0 37.0 45.0 50.0 55.0 60.0

fct,m (MPa)

Srednja vlačna čvrstoća 1.6 1.9 2.2 2.6 2.9 3.2 3.5 3.8 4.1

τRd (MPa)

Posmična čvrstoća 0.18 0.22 0.26 0.30 0.34 0.37 0.41 0.44 0.48

Ecm (MPa)

Početni modul elastičnosti 26000.0 27500.0 29000.0 30500.0 32000.0 33500.0 35000.0 36000.0 37000.0

U tabeli su također dane i vrijednosti početnog modula elastičnosti te vlačne čvrstoće za pojedine

klase betona, izračunate po izrazima

[ ] [ ]

( ) [ ] [ ]MPaf;MPaf3.0f

MPaf;MPa8f9500E

ck32

ckm,ct

ck3

ckcm

⋅≈

+⋅= ()

Page 9: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 9

2.4 Radni dijagram čelika

Idealna veza između naprezanja i deformacija za čelik, kao računski model za proračun-dimenzioniranje armirano betonskih presjeka, koja se u literaturi naziva radni dijagram čelika (RDČ), uzima se u obliku bilinearnog dijagrama (crtež 3). Maksimalno (granično) naprezanje čelika fyk jednako je granici tečenja (razvlačenja). Dakle usvaja se da je granična nosivost armature po naprezanjima dostignuta kada naprezanje u armaturi bude jednako granici razvlačenja.

±σs

εs[‰]

fyk

20.0 ‰

fyd

Crtež 3 – Radni dijagram čelika

Dakle smatra se da je dostignuta granična nosivost presjeka po vlačnoj uzdužnoj armaturi znatno prije no što čelik uđe u zonu očvršćivanja. To je iz razloga što već pri deformacijama od 5 ‰ do 20 ‰ armirano betonski nosači se toliko deformiraju da se praktički iscrpljuje nosivost presjeka - deformacije rastu iako se vanjska sila ne mijenja (armatura "teče"). Pri prekoračenju deformacija od 20 ‰ dolazi do značajnih rotacija presjeka i do znatne redukcije tlačne zone što ima za posljedicu drobljenje i lom betona u tlaku.

U tablici su date mehaničke karakteristike i uvjeti za pojedina svojstva čelika za armiranje, koji u stvari predstavljaju tražene kvalitete za pojedina svojstva.

Šipkasta armatura

(nHRN EN 10080-2, nHRN EN 10080-3 i nHRN EN 10080-4)

Mrežasta armatura (nHRN EN 10080-5)

Naziv i oznaka (broj) čelika B 500A (1.0438)

B 500B (1.0439)

B 450C (1.04…)

B 500A (1.0438)

B 500B (1.0439)

B 450C (1.04…)

Nazivni promjer, d (mm) Namot: 4-16 Šipke: 6-40

Namot: 6-16 Šipke: 6-40 Namot: 6-16 5-16 6-16 6-16

Granica razvlačenja fyk (MPa) ≥ 500 ≥ 500 ≥ 450 ≥ 500 ≥ 500 ≥ 450

Omjer vlačne čvrstoće i granice razvlačenja ≥ 1.05 ≥ 1.08 ≥ 1.15

≤ 1.35 ≥ 1.05 ≥ 1.08 ≥ 1.15 ≤ 1.35

Page 10: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 10

2.5 Koeficijenti sigurnosti

Metoda graničnih stanja je semiprobabilistička metoda u kojoj se na principu vjerojatnoće intenziteta opterećenja definiraju reprezentativne vrijednosti. Tim se vrijednostima pridružuju koeficijenti sigurnosti, pa se dobivaju računske vrijednosti. Željeni stupanj sigurnosti postiže se dakle preko koeficijenata sigurnosti. Zavisno o kakvom se opterećenju radi imamo i različite koeficijente sigurnosti. Koeficijenti sigurnosti variraju prema tome da li se radi o stalnom (vlastita težina, težina stalne opreme...), promjenjivom (korisno opterećenje, snijeg, vjetar...) ili specijalnom opterećenjenju (utjecaji temeperature, puzanja i skupljanja betona, seizmički udari...).

Koeficijent sigurnosti, u biti, služi nam da "pokrijemo" neke netočne pretpostavke koje smo uveli u račun, kao što su:

− Netočnost procjene stalnog i pokretnog opterećenja; − Netočnost određivanja čvrstoća i deformacija materijala; − Netočnost usvojenog statičkog sistema u odnosu na stvarnu konstrukciju; − Odstupanje računskih radnih dijagrama σ−ε od stvarnih za pojedine materijale; − Tolerantne greške proračuna; − Greške određivanja kritičnih presjeka kod dimenzioniranja konstrukcije; − Utjecaj puzanja i skupljanja betona na konačnu čvrstoću, kao i utjecaj nejednolike

temperature; − Neke netočnosti kod izvođenja (tolerantna odstupanja vertikalnosti elemenata, netočnost

dimenzija presjeka, itd.); − Netočnost u položaju armature, naročito odstupanje u veličini zaštitnog sloja u odnosu na

projektiranu statičku visinu presjeka; − Moguću koroziju čelika, koja utječe na smanjenje nosivosti; − Zanemarivanje prostornog djelovanja konstrukcije i zanemarivanje prostornog stanja

naprezanja na čvrstoće;

Zavisno od deformacije betona i čelika definiraju se područja za određivanje stanja naprezanja, odnosno jedinstvenog koeficijenta sigurnosti, prema crtežu 4.

ab

c

d

ef

g h

12

3

4

5

Vlak Tlak

A

C

B2d1d

d

As1

As2

20.0‰ 3.0‰

3.5‰2.0‰

Crtež 4 – Dijagram deformacija AB presjeka

1. Centrični i ekscentrični vlak u fazi malog ekscentriciteta u području 1 omeđeni su linijama a

i b. Cijeli betonski presjek je vlačno opterećen. Ukupnu vlačnu silu prima armatura. Točka A je točka rotacije presjeka.

2. Između linija deformacija b i c, u području 2, dolaze slučajevi čistog savijanja i savijanja sa uzdužnom silom (±N). Neutralna os uvijek se nalazi u presjeku, a po položaju ide i do tlačnog ruba. Mogući položaji linija deformacije b i c imaju rotaciju u točki A. Samo u slučaju linije c beton je potpuno iskorišten.

Page 11: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 11

3. Slučajevi čistog savijanja i savijanja sa uzdužnom silom mogu biti omeđeni i linijama c i d, u području 3. Beton je u ovom području uvijek iskorišten do čvrstoće (fcd). Presjeci su jače armirani za liniju deformacije d. Mogući položaji linije deformacija imaju za rotaciju točku B.

4. Između linija d i f u području 4, spadaju svi slučajevi složenog savijanja sa ekscentričnom tlačnom silom. Vlačna armatura, As1, u pravilu nije uvijek iskorištena kod loma zbog malih deformacija čelika. Točka rotacije linija deformacije je točka B. Za deformacije armature:

sydv1s Ef=ε<ε lom nastaje po betonu, prije nego što čelik dostigne granicu razvlačenja fyd. Naprezanja u čeliku nisu iskorištena između linija e i f, dok su iskorištena između linija d i e. Linija f predstavlja granicu kod koje je εc=3.5‰ i εc=0‰. U području iznad ove linije (prema liniji d) presjeci se računaju na složeno savijanje po velikom ekscentricitetu.

5. Područje 5 određeno je linijama g i h, a odnosi se na slučajeve ekscentrične tlačne sile u fazi malog ekscentriciteta. Neutralna linija nalazi se uvijek izvan presjeka. U presjeku se javljaju samo tlačna naprezanja. Moguća točka rotacije linija deformacije je točka C. Lom uvijek nastaje po betonu. Za krajnje tlačno vlakno betona εc= 2.0-3.5‰, naprezanja su praktično na granici gnječenja, dok su naprezanja u armaturi na suprotnom rubu od σs= 0 do σs= fyd. Maksimalna deformacija tlačne armature iznosi 2.0‰.

2.6 Klase okoliša

Beton u eksploataciji može biti izložen različitim djelovanjima. Prema uvjetima u kojima se beton nalazi propisani su minimalni tehnološki zahtjevi u vezi sastava betona, karakteristične tlačne čvrstoće, minimalnog zaštitnog sloja, vodocementni omjer i sl. prema kojima treba odabirati i projektirati klasu betona.

Razredi izloženosti i minimalne vrijednosti dane su u tablici.

Razred Opis okoliša

Informativni primjer moguće pojave razreda izloženosti

Najmanji razred tlačne

čvrstoće betona

Minim. Zaštitni

sloj cmin

(mm)

Maksim. v/c

omjer

Min. količina cementa

Ostali zahtjevi

1. Nema rizika od oštećenja

X0 Bez rizika djelovanja

Elementi bez armature u neagresivnom okolišu (npr. Nearmirani temelji koji nisu izloženi smrzavanju i odmrzavanju, nearmirani unutarnji elementi)

C 20/25 15 - - -

2. Korozija armature uzrokovana karbonitizacijom

XC1 Suho ili trajno vlažno

Elementi u prostorijama obične vlažnosti zraka (uključujući kuhinje, kupaonice, praonice rublja u stambenim zgradama); elementi stalno uronjeni u vodu

C 20/25 20 0.65 260 -

XC2 Vlažno, rijetko suho

Dijelovi spremnika za vodu; dijelovi temelja C 30/37 35 0.60 280 -

XC3 Umjerena vlažnost

Dijelovi do kojih vanjski zrak ima stalni ili povremeni pristup (npr. Zgrade otvorenih oblika); prostorije s atmosferom visoke vlažnosti (npr. Javne kuhinje, kupališta, praonice, vlažni prostori zatvorenih bazena za kupanje,…)

C 30/37 35 0.55 280 -

XC4 Cikličko vlažno i suho

Vanjski betonski elementi izravno izloženi kiši; elementi u području vlaženja vodom (slatkovodna jezera i/ili rijeke,…

C 30/37 40 0.50 300 -

3. Korozija armature uzrokovana kloridima koji nisu iz mora XD1 Suho ili

trajno vlažno Područja prskanja vode s prometnih površina; privatne garaže C 30/37 55 0.55 300

XD2 Vlažno, rijetko suho

Bazeni za plivanje i kupališta sa slanom vodom; elementi izloženi industrijskim vodama koji sadrže kloride

C 30/37 55 0.55 320

XD3 Cikličko vlažno i suho

Elementi izloženi prskanju vode s prometnih površina na koja se nanose sredstva za odleđivanje; parkirališne ploče bez zaštitnog sloja

C 35/45 55 0.45 320

Page 12: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 12

4. Korozija armature uzrokovana kloridima iz mora

XS1

Izloženi soli iz zraka, ali ne u direktnom dodiru s morskom vodom

Vanjski elementi u blizini obale C 30/37 55 0.50 300 -

XS2 Uronjeno Stalno uronjeni elementi u lukama C 35/45 55 0.45 320 -

XS3 U zonama plime i prskanja vode Zidovi lukobrana i molova C 35/45 55 0.45 340 -

5. Djelovanje smrzavanja i odmrzavanja, sa li bez sredstava za odleđivanje

XF1

Umjereno zasićeno vodom bez sredstava za odleđivanje

Vanjski elementi C 30/37 - 0.55 300

XF2

Umjereno zasićeno vodom sa sredstvom za odleđivanje ili morska voda

Područja prskanja vode s prometnih površina, sa sredstvom za odleđivanje (ali drukčije od onog kod XF4); područje prskanja morskom vodom

C 25/30 - 0.55 300

XF3

Jako zasićeno vodom bez sredstava za odleđivanje

Otvoreni spremnici za vodu; elementi u području kvašenja vodom (slatkovodna jezera i/ili rijeke) C 30/37 - 0.50 320

XF4

Jako zasićeno vodom sa sredstvom za odleđivanje ili morska voda

Prometne površine tretirane sredstvima za odleđivanje; pretežno vodoravni elementi izloženi prskanju vode s prometnih površina na koja se nanose sredstva za odleđivanje; parkirališne ploče bez zaštitnog sloja); elementi u području morske plime; mjesta na kojima može doći do struganja u postrojenjima za tretiranje voda iz kanalizacije

C 30/37 - 0.45 340

Agregat prema HRN EN 12620

s dovoljnom otpornošću

na smrzavanje;

Minimalna količina

zraka 4.0%

6. Beton izložen kemijskom djelovanju

XA1 Slabo kemijski agresivan okoliš

Spremnici u postrojenjima za tretiranje voda iz kanalizacije; spremnici tekućih umjetnih gnojiva

C 30/37 - 0.55 300 -

XA2

Umjereno kem. agresivan okoliš; konstrukcije u marinama

Betonski elementi u dodiru s morskom vodom; elementi u agresivnom tlu

C 35/45 - 0.50 320

XA3 Jako kemijski agresivan okoliš

Kemijski agresivne vode u postrojenjima za tretiranje otpadnih voda; spremnici za silažu i korita (žlijebovi) za hranjenje životinja; rashladni tornjevi s dimnjacima za odvođenje dimnih plinova

C 35/45 - 0.45 360

Sulfatno otporni cement

7. Beton izložen habanju

XM1 Umjereno habanje Elementi industrijskih konstrukcija izloženi prometu vozila s pneumatskim gumama na kotačima

C 30/37 25 - -

XM2 Znatno habanje

Elementi industrijskih konstrukcija izloženi prometu viljuškara s pneumatskim ili tvrdim gumama na kotačima

C 30/37 45 - -

XM3 Ekstremno habanje

Elementi industrijskih konstrukcija izloženi prometu viljuškara s pneumatskim gumama ili čeličnim kotačima; hidrauličke konstrukcije u vrtložnim (uzburkanim) vodama (npr. Bazeni za destilaciju); površine izložene prometu gusjeničara

C 35/45 50 - -

Manje maks. zrno agregata

Page 13: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 13

3 DIMENZIONIRANJE AB KONSTRUKCIJA PREMA GRANIČNIM STANJIMA NOSIVOSTI

3.1 Minimalna i maksimalna armatura u presjeku

Slom slabo armiranih presjeka, kao što je prije istaknuto, nastaje trenutno. Da bi spriječili takav slom potrebno je presjek armirati minimalnom armaturom.

Minimalna vlačna armatura određuje se iz uvjeta sprečavanja krtog loma, tj. iz uvjeta da ukupnu vlačnu silu u betonu kod pojave pukotina preuzme vlačna armatura. Osim toga ova armatura smanjuje širinu pukotina kod loma betona.

EC-2 utvrđuje jedinstveni minimalni postotak armiranja za presjeke opterećenje dominantno na savijanje: %1.0min,l =ρ

Maksimalna vlačna armatura u presjeku određuje se iz uvjeta da kapacitet rotacije pri lomu bude dovoljan da bi se mogla izvršiti redistribucija momenata duž nosača. Plastifikacija armature se mora izvršiti prije iscrpljenja nosivosti betona da do sloma ne bi došlo drobljenjem betona u tlaku.

EC-2 utvrđuje jedinstveni maximalni postotak armiranja za presjeke opterećenje dominantno na savijanje: %0.4max,l =ρ

3.2 Jednostruko armirani pravokutni presjek opterećen momentom savijanja

3.2.1 Teoretske postavke U presjeku opterećenom momentom savijanja javlja se stanje deformacije-naprezanja kakvo je

prikazano na crtežu 5.

Neutralna os

d-x

b1d 1

s1A

h

2

d

sdM

d-d

s1ε Fs1

2

εc2

cF

0.85 fcd

x=ξ*

d

z=ζ*

d

A

B

Crtež 5 - Naprezanja i deformacije jednostruko armiranog pravokutnog AB presjeka

Linija deformacije je pravac jer vrijedi Bernoullieva hipoteza ravnih presjeka. Naprezanje u betonu je određeno radnim dijagramom betona (parabola+pravokutnik) - crtež 2, a naprezanje u armaturi po radnom dijagramu čelika – crtež 3.

Za dimenzioniranje presjeka koristi se uvjetom ravnoteže koji se za ovaj slučaj može iskazati

∑∑

⇒=

⋅⋅⇒=

s1c

s1csd

F=F 0H

zF=zF=M 0M (3.1)

gdje su: − iisd MM ∑ γ= - računska vrijednost utjecaja (računski moment);

Page 14: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 14

− cF - računska sila u betonu (tlačna sila); − s1F - računska sila u armaturi (vlačna sila); − z - krak unutrašnjih sila; − x - udaljenost neutralne osi od tlačnog ruba presjeka; − d - udaljenost težišta vlačne armature od tlačnog ruba presjeka, statička visina presjeka; − b, h - dimenzije presjeka (širina i visina); − 1d - udaljenost težišta vlačne armature od ruba presjeka.

Tlačna sila u betonu za opći poprečni presjek može se izraziti kao integral naprezanja po površini poprečnog presjeka:

dA FA

cb ∫ σ= (3.2)

Za pravokutni poprečni presjek kod kojeg je širina (b) konstantna izraz 3.2 se transformira u:

cdv

x

0cc f b x =dx bF αασ= ∫ (3.3)

gdje je αv koeficijent punoće RDB-a, ovisan o stupnju iskorištenosti betona, a predstavlja odnos površine RDB-a i površine pravokutnika ( xfcd ⋅ ).

( )

‰5.3‰2 3

2 3

‰2‰0612

2cc2

c2v

2c2c2c

v

≤ε<ε

−ε=α

≤ε<ε−ε

=α (3.4)

Vlačna sila u armaturi dobiva se umnoškom površine armature sa naprezanjem u čeliku sa:

yd1s1s f AF = (3.5)

Položaj neutralne osi x može se lako izračunati iz geometrijskih odnosa (crtež 5):

d d= x dx

2c1s

2c

2c1s2cξ=

ε+εε

⇒ε+ε

(3.6)

gdje je: − ξ - koeficijent položaja neutralne osi.

Krak unutrašnjih sila (z) također se može lako izračunati:

( ) ddk1dkdxkdz aaa ⋅ζ=⋅ξ⋅−=⋅ξ⋅−=⋅−= (3.7)

gdje su: − z - krak unutrašnjih sila; − ζ - koeficijent kraka unutrašnjih sila; − ka - koeficijent položaja tlačne sile betona.

( )( )

( ) ‰5.3‰2232

243k

‰2‰064

8k

2c2c2c

2c2ca

2c2c

2ca

≤ε<−εε

+−εε=

≤ε<ε−

ε−=

(3.8)

Unutrašnji reaktivni moment (računska nosivost presjeka) može se izraziti kao umnožak unutrašnje sile i kraka:

dfbd85.0zF=M cdvcsd ⋅ζ⋅⋅⋅⋅ξ⋅α⋅=⋅ (3.9)

tj.

Page 15: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 15

cd

2sd

vsd fdbM=85.0

⋅⋅ζ⋅ξ⋅α⋅=µ (3.10)

gdje su: − b - širina pravokutnog presjeka; − d - statička visina presjeka; − cdf - računska čvrstoća betona; − sdµ - bezdimenzionalna vrijednost momenta savijanja.

Potrebna površina armature dobit će se iz:

yd

sds1yds1sd fd

MA;dfA=M⋅⋅ζ

=⋅ζ⋅⋅ (3.11)

Na isti način može se postaviti jednadžba preko sume horizontalnih sila:

cd

yd

cd

yds1v

yds1cdv

s1c

ff

ff

bdA85.0

fA=fbd85.0

F=F 0N

⋅ρ=⋅⋅

=ξ⋅α⋅=ω

⋅⋅⋅⋅ξ⋅α⋅

⇒=∑ (3.12)

gdje su: − ω - mehanički koeficijent armiranja; − ρ - stvarni koeficijent armiranja;

Kod praktičnog rješavanja pojedinih zadataka dimenzioniranja armirano betonskih presjeka, niz uvedenih koeficijenata se očitava iz tablica. Jedne takve tablice dane su u prilogu 1, a njihovo a njihovo praktično korištenje biti će prikazano na konkretnim primjerima koji se javljaju u praksi.

Page 16: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 16

3.2.2 Slučaj 1 Postupak

Poznate su dimenzije betonskog presjeka, kvaliteta materijala i računsko opterećenje. Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature.

Iz izraza (3.10). odredi se bezdimenzionalna vrijednost momenta savijanja:

µsdsdM

bd= 2 fcd

te se iz tablica (prilog 1) za odabranu deformaciju armature εs1 očitaju vrijednosti εc2, ξ i ζ. Potrebna površina armature dobiva se prema izrazu (3.11).

AM

ssd

1 =ζ d fyd

Numerički primjer

Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost težišta vlačne armature od ruba presjeka d1=5 cm. Element je izrađen iz betona klase C 30/37 (klasa okoliša XC2), armiran s B 500B. Element je opterećen računskim opterećenjem Msd=260 kNm. Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature.

s1A

sdM

b = 40

d =

5d

= 55

h =

60

x =

10.6

7c

1

materijal:

C 30/37 ; fck = 30.0 MPa

MPa0.205.10.30ff cckcd ==γ=

B 500B ; fyk = 500.0 MPa

MPa8.43415.10.500ff sykyd ==γ=

opterećenje

kNm0.260Msd =

geometrija

cm60hcm40b

==

cm55560dhd

cm0.5d

1

1

=−=−=

=

107.00.25540

100260f bd

M2

cd2sd

sd =⋅⋅

⋅==µ

iz tablica ⇒ εs1 = 10.0 ‰; εc2 = 2.4 ‰; ζ = 0.925; ξ = 0.194

cm67.1055194.0dx =⋅=⋅ξ=

2

yd

sd1s cm 75.11

48.4355925.0100260

fd MA =

⋅⋅⋅

= ⇒ odabrano 6∅16 (As=12.06 cm2)

Page 17: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 17

s1A

3.5

0.8

1.6

5.1

30.8

1.6

4.56

1.6

4.56

1.6

4.56

1.6

4.56

1.6

4.56

1.60.8

340

3.2.3 Slučaj 2 Postupak

Poznate su dimenzije betonskog presjeka b/d i kvaliteta materijala. Potrebno je odrediti moment nosivosti i potrebnu površinu armature. (Nepoznato nam je As1, εs1, εc2 i moment nosivosti).

Moment nosivosti presjeka je onaj moment za kojega su oba materijala (beton i čelik) u potpunosti iskorišteni. Dakle εc2 =3.5 ‰ a εs1=3-20 ‰.

Izborom εs1=3 ‰ dobiva se veliki moment nosivosti i više armature, a izborom εs1=20 ‰ mali moment nosivosti i malo armature

Za pretpostavljene deformacije iz tablica se očitaju koeficijenti µsd i ζ. Izrazima (3.10) i (3.11) dobivamo tražene veličine.

cd2

lim,sdlim,Rd f bdM µ=

fd

MA

yd

lim,Rd1s ζ

=

Numerički primjer

Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost težišta vlačne armature od ruba presjeka d1=5 cm. Element je izrađen iz betona klase C 30/37 (klasa okoliša XC2), armiran s B 500B. Potrebno je odrediti moment nosivosti i potrebnu površinu armature.

s1A

sdM

b = 40

d =

5d

= 55

h =

60

c

1

materijal:

C 30/37 ; fck = 30.0 MPa

MPa0.205.10.30ff cckcd ==γ=

B 500B ; fyk = 500.0 MPa

MPa8.43415.10.500ff sykyd ==γ=

Page 18: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 18

geometrija

cm60hcm40b

==

cm55560dhd

cm0.5d

1

1

=−=−=

=

Pretpostavimo: εs1 = 20.0 ‰ i εc2 = 3.5 ‰

iz tablica ⇒ µsd,lim = 0.096; ζlim = 0.938; ξ lim = 0.149

kNm32.2320.25540096.0f bdM 2cd

2sdlim,Rd =⋅⋅⋅=µ=

cm19.855149.0dx lim =⋅=⋅ξ=

2

ydlim

lim,Rd1s cm 36.10

48.4355938.010032.232

fd M

A =⋅⋅⋅

=

Pretpostavimo: εs1 = 3.0 ‰ i εc2 = 3.5 ‰

iz tablica ⇒ µsd,lim = 0.288; ζlim = 0.776; ξ lim = 0.538

kNm96.6960.25540288.0f bdM 2cd

2sdlim,Rd =⋅⋅⋅=µ=

cm59.2955538.0dx lim =⋅=⋅ξ=

2

ydlim

lim,Rd1s cm 56.37

48.4355776.010096.696

fd M

A =⋅⋅⋅

=

U tablici su dani odnosi momenta nosivosti i uzdužne armature za još neke deformacije čelika: εs1 εc2 ξlim ζlim µRd,lim x MRd,lim As1

3.0 3.5 0.538 0.776 0.288 29.59 696.96 37.56

5.0 3.5 0.412 0.829 0.235 22.65 568.23 28.67

10.0 3.5 0.259 0.892 0.159 14.26 385.16 18.05

15.0 3.5 0.189 0.921 0.120 10.41 290.24 13.17

20.0 3.5 0.149 0.938 0.096 8.19 232.32 10.36

s1A

b = 40

d =

5d

= 55

h =

60

1

=3.5‰εc2

εs1

20 ‰ 15 ‰ 10 ‰ 5 ‰ 3 ‰

8.19

10.4

114

.26

22.6

529

.60

Page 19: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 19

3.2.4 Slučaj 3 Postupak

Poznati su kvaliteta materijala i računsko opterećenje. Potrebno je odrediti dimenzije betonskog presjeka i potrebnu površinu armature. (Nepoznato nam je: b, h, As1, εs1, εc2).

Unaprijed se odabere širina presjeka b, te se izračunavanjem izraza (3.10) po d odredi potrebna visina presjeka.

cdlim,sd

sdpot

cd2sd

lim,sd f bMd;

f bdM

µ≥=µ

te se za odabrano d, potrebna površina armature dobiva prema izrazu (3.11)

fd

MAyd

sd1s ζ

=

Numerički primjer

Potrebno je odrediti optimalni betonski presjek, za računski moment Msd=300 kNm.. Element je izrađen iz betona klase C 30/37 (klasa okoliša XC2), armiran s B 500B. Potrebno je odrediti moment nosivosti i potrebnu površinu armature.

s1A

sdM

b = 40

d =

5d

= 55

h =

60

c

1

materijal:

C 30/37 ; fck = 30.0 MPa

MPa0.205.10.30ff cckcd ==γ=

B 500B ; fyk = 500.0 MPa

MPa8.43415.10.500ff sykyd ==γ=

Pretpostavimo: εs1 = 10.0 ‰ i εc2 = 3.5 ‰

iz tablica ⇒ µsd,lim = 0.159; ζlim = 0.892; ξ lim = 0.259

cdlim,sd

sdpot f b

Mdµ

b (cm) d (cm)

10.0 97.1

20.0 68.7

30.0 56.1

40.0 48.6

50.0 43.4

60.0 39.7

70.0 36.7 0.0

20.0

40.0

60.0

80.0

100.0

120.0

0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0

h (cm)

b

Page 20: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 20

Za presjeke koji su opterećeni momentom savijanja povoljan odnos dimenzija je d/b = 1.5-2.0.

cm60hcm35b

od

od

=

=

cm55560dhd

cm0.5d

1

1

=−=−=

=

142.00.25535

100300f bd

M2

cd2sd

sd =⋅⋅

⋅==µ

iz tablica ⇒ εs1 = 10.0 ‰; εc2 = 3.1 ‰; ζ = 0.904; ξ = 0.237

cm04.1355237.0dx =⋅=⋅ξ=

2

yd

sd1s cm 88.13

48.4355904.0100300

fd MA =

⋅⋅⋅

= ⇒ 7∅16 (As=14.07 cm2)

s1A

3.50.8

3.5

3.5

0.8

1.6

5.1

352.53

1.6 1.60.8

1.61.6 1.6 1.61.6

2.532.532.532.532.53

Armatura nije dobro odabrana jer je mali razmak između šipki.

21s cm 88.13A = ⇒ 6∅18 (As=15.27 cm2)

s1A

3.50.8

3.5

3.5

0.8

1.8

5.2

35

0.81.8

3.12

1.8

3.12

1.8

3.12

1.8

3.12

1.8

3.12

1.8

Ova armatura je bolje odabrana.

Page 21: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 21

3.2.5 Slučaj 4 Postupak

Poznate su dimenzije betonskog presjeka (b/h), površina armature i kvaliteta materijala. Potrebno je odrediti moment nosivosti. (Nepoznato nam je: Msd).

Uz pretpostavku deformacija armature εs1 = 20.0 ‰, nađe se mehanički koeficijent armiranja (izraz 3.12):

cd

yds1

ff

bdA

⋅⋅

te nakon što se iz tablica (prilog 1) očitaju koeficijenti limsd,µ ili limζ moment nosivosti se odredi prema jednom od sljedećih izraza

ydlim1slim,Rd

cd2

limsd,lim,Rd

fd AMilifdbM

ζ=

µ=

Važno je napomenuti da se na ovaj način dobiva najmanji moment nosivosti. Odabirom manjih deformacija

Numerički primjer

Potrebno je odrediti optimalni betonski presjek, za računski moment Msd=300 kNm.. Element je izrađen iz betona klase C 30/37 (klasa okoliša XC2), armiran s B 500B. Potrebno je odrediti moment nosivosti i potrebnu površinu armature.

s1A

sdM

b = 40

d =

5d

= 55

h =

60

c

1

materijal:

C 30/37 ; fck = 30.0 MPa

MPa0.205.10.30ff cckcd ==γ=

B 500B ; fyk = 500.0 MPa

MPa8.43415.10.500ff sykyd ==γ=

Pretpostavimo: εs1 = 10.0 ‰ i εc2 = 3.5 ‰, i b=60 cm

iz tablica ⇒ µsd,lim = 0.159; ζlim = 0.892; ξ lim = 0.259

cm65.392.060159.0

100300f b

Mdcdlim,sd

sdpot =

⋅⋅⋅

Page 22: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 22

3.3 Dvostruko armirani pravokutni presjek opterećen momentom savijanja

Dvostruko armirani presjeci su oni presjeci koji posjeduju vlačnu i tlačnu armaturu (crtež 6). Dvostruko armirani presjeci upotrebljavaju se kada je računski moment Msd veći od momenta nosivosti MRd,lim kojeg presjek može preuzeti bez tlačne armature.

Neutralna os

sdN

d-x

b1d 1

s1A

h

2

d

d

sdM

s2A

2

d-d

s1ε Fs1

s2ε

2

εc2s2F

cF

0.85 fcd

x=ξ*

d

z=ζ*

d

Crtež 6 - Naprezanja i deformacije dvostruko armiranog pravokutnog AB presjeka

U dvostruko armiranom presjeku utjecaj tlačne armature na njegovu nosivost može se uzeti u obzir ako je ona povezana sponama na razmaku: sw ≤ 15∅ (∅ - promjer šipke tlačne armature) i ako je zadovoljen uvjet x ≥ 2d2 (x - udaljenost neutralne osi od tlačnog ruba presjeka , d2 -udaljenost težišta tlačne armature od ruba presjeka). Time se tlačna armatura osigurava od izvijanja!

Za betone razreda ≤C 35/45 prema normi HRN EN 1992-1-1 najveća dopuštena granična vrijednost koeficijenta položaja neutralne osi iznosi ξlim=0.45. S tim u vezi mogu se izračunati i ostali parametri:

.2520=;.8130=;.450=

‰.2784=;‰.53=

limsd,limlim

s1c2

µζξ

εε (3.13)

Prema tome najveći moment savijanja koji jednostruko armirani presjek može preuzeti je:

( )cd2

cd2

lim,sdlim,Rd f bd252.0f bdM ⋅=µ= (3.14)

Za betone razreda ≥C 40/50 prema normi HRN EN 1992-1-1 najveća dopuštena granična vrijednost koeficijenta položaja neutralne osi iznosi ξlim=0.35. S tim u vezi mogu se izračunati i ostali parametri:

.2060=;.8540=;.350=

‰.56=;‰.53=

limsd,limlim

s1c2

µζξ

εε (3.15)

Prema tome najveći moment savijanja koji jednostruko armirani presjek može preuzeti je:

( )cd2

cd2

lim,sdlim,Rd f bd206.0f bdM ⋅=µ= (3.16)

Limitirajući moment preuzimaju beton i vlačna armatura, dok razliku do stvarnog momenta preuzimaju dodatna vlačna i tlačna armatura. Prema tome potrebna armatura će se izračunati prema izrazima:

( ) fddMM

fd M

Ayd2

lim,Rdsd

ydlim

lim,Rd1s −

−+

ζ= - ukupna vlačna armatura (3.17)

( ) ddMM

A2s2

lim,Rdsd2s σ−

−= - tlačna armatura (3.18)

Page 23: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 23

Gdje je σs2 tlačno naprezanje u armaturi. Pri deformaciji v2s ε≤ε uzima se da je yd2s f=ε a za

v2s ε>ε , sa se izračunava iz izraza:

ξ−

−ξε=σ

1dd

E2

2ss2s (3.19)

gdje je:

− 2sε - vlačna deformacija čelika promatrana kao apsolutna vrijednost,

− Es - modul elastičnosti čelika ( GPa200Es = ),

− εv - Granična deformacija pri kojoj dolazi do tečenja armature (= syd Ef ).

Numerički primjer 1

Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost težišta vlačne i tlačne armature od ruba presjeka d1=d2=5 cm. Element je izrađen iz betona klase C 30/37 (klasa okoliša XC2), armiran s B 500B. Element je opterećen računskim opterećenjem Msd=760 kNm. Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature.

s1A

sdM

b = 40

d =

5d

= 55

c

1

cs2A

d =

52

materijal:

C 30/37 ; fck = 30.0 MPa

MPa0.205.10.30ff cckcd ==γ=

B 500B ; fyk = 500.0 MPa

MPa8.43415.10.500ff sykyd ==γ=

opterećenje

MPa0.760Msd =

geometrija

cm60hcm40b

==

cm55560dhd

cm0.5dd

1

21

=−=−=

==

314.00.25540

100760f bd

M2

cd2sd

sd =⋅⋅

⋅==µ

Vidljivo je da izračunati sdµ veći od maksimalnog kojeg možemo očitati iz tablica. Presjek je potrebno dvostruko armirati. Računamo moment nosivosti:

.2520=;.8130=;.450=

‰.2784=;‰.53=

limsd,limlim

s1c2

µζξ

εε

kNm8.6092.05540252.0f bd252.0f bdM 2cd

2cd

2lim,sdlim,Rd =⋅⋅⋅=⋅=µ=

Page 24: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 24

Vlačna armatura:

( )( )

( )2

yd2

lim,Rdsd

ydlim

lim,Rd1s

cm27.3891.636.31

48.435551008.6090.760

48.4355.81301008.609

fddMM

fd M

A

=+=

=⋅−

⋅−+

⋅⋅⋅

=−−

=

s1A

s2A

d =

52

x =

24.7

5

ε = 3.5 ‰c2

ε = 2.79 ‰s2

cm75.245545.0dx lim =⋅=⋅ξ=

‰79.25.375.24

0.575.24 xdx

dxx 2c2

2s2

2s2c =⋅−

=ε−

=ε⇒−ε

( ) 1000200000

8.434Ef

s

yd500 Bv ⋅==ε (‰) = 2.17 ‰

yds2v2s f =σ⇒ε>ε

( )( )

( )2

yd2

lim,Rdsd2s cm91.6

48.435551008.6090.760

fddMM

A =⋅−

⋅−=

−−

=

21s cm 27.38A = ⇒ odabrano 5∅32 (As=40.21 cm2)

22s cm 91.6A = ⇒ odabrano 3∅20 (As=9.42 cm2)

s1A

3.5 3.850.8

3.5

3.5

0.8

3.2

5.9

40

3.20.8

3.2

3.85

3.2

3.85

3.2

3.85

3.2

s2A

3.5

0.8

25.

33

Krivo su pretpostavljene veličine d1 i d2, pa ponavljamo proračun.

cm60hcm40b

==

cm54660dhd

cm5.5dcm0.6d

1

2

1

=−=−===

kNm9.5872.05440252.0f bd252.0f bdM 2cd

2cd

2lim,sdlim,Rd =⋅⋅⋅=⋅=µ=

Vlačna armatura:

( )( )

( )2

yd2

lim,Rdsd

ydlim

lim,Rd1s

cm96.3816.880.30

48.435.5541009.5870.760

48.4354.81301009.587

fddMM

fd M

A

=+=

=⋅−

⋅−+

⋅⋅⋅

=−−

=

Tlačna armatura

( )( )

( )2

yd2

lim,Rdsd2s cm16.8

48.435.5541009.5870.760

fddMM

A =⋅−

⋅−=

−−

=

Vidljivo je da se armatura nije značajno promijenila. Vrijede odabrane šipke.

Page 25: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 25

Numerički primjer 2

Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost težišta vlačne armature od ruba presjeka d1=6 cm, a udaljenost težišta tlačne armature od ruba presjeka d2=12 cm. Element je izrađen iz betona klase C 30/37 (klasa okoliša XC2), armiran s B 500B. Element je opterećen računskim opterećenjem Msd=760 kNm. Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature.

s1A

sdM

b = 40

d =

5d

= 55

c

1

cs2A

d =

12

2

materijal:

C 30/37 ; fck = 30.0 MPa

MPa0.205.10.30ff cckcd ==γ=

B 500B ; fyk = 500.0 MPa

MPa8.43415.10.500ff sykyd ==γ=

opterećenje

MPa0.760Msd =

geometrija

cm60hcm40b

==

cm54660dhd

cm0.12dcm0.6d

1

2

1

=−=−===

314.00.25540

100760f bd

M2

cd2sd

sd =⋅⋅

⋅==µ

kNm9.5872.05440252.0f bd252.0f bdM 2cd

2cd

2lim,sdlim,Rd =⋅⋅⋅=⋅=µ=

Vlačna armatura:

( )( )

( )2

yd2

lim,Rdsd

ydlim

lim,Rd1s

cm22.4042.980.30

48.4312541009.5870.760

48.4354.81301009.587

fddMM

fd M

A

=+=

=⋅−

⋅−+

⋅⋅⋅

=−−

=

s1A

s2A

d =

12

2

x =

24.7

5

ε = 3.5 ‰c2

ε = 1.80 ‰s2

cm75.245545.0dx lim =⋅=⋅ξ=

‰80.15.375.24

0.1275.24 xdx

dxx 2c2

2s2

2s2c =⋅−

=ε−

=ε⇒−ε

( ) 1000200000

8.434Ef

s

yd500 Bv ⋅==ε (‰) = 2.17 ‰

MPa6.3600018.0200000E 2sss2v2s =⋅=ε⋅=σ⇒ε>ε

( )( )

( )2

2s2

lim,Rdsd2s cm36.11

06.3612551009.5870.760

ddMM

A =⋅−

⋅−=

σ−−

=

Page 26: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 26

21s cm 22.40A = ⇒ odabrano 5∅32 (As=40.21 cm2)

22s cm 36.11A = ⇒ odabrano 4∅20 (As=12.57 cm2)

s1A

3.5 3.850.8

3.5

3.5

0.8

3.2

5.9

40

3.20.8

3.2

3.85

3.2

3.85

3.2

3.85

3.2

s2A

3.5

0.8

25.

33

Napomena: Ovim postupkom se praktički može odrediti armatura za bilo koji zadani moment Msd. No, potrebno je uvijek imati na umu da ukupni postotak armature u presjeku ne prijeđe maksimalnu dopuštenu vrijednost.

%2.24060

57.1221.404060AA

AA 2s1s

c

sll =

⋅+

=⋅+

==ρ

Maksimalna vrijednost količine armature za presjeke naprezanje savijanjem je (prema EC2) ρl,max=4%, što je više od dobivene vrijednosti, te zaključujemo da je presjek ispravno dimenzioniran. Međutim, ovaj postotak armature je praktično prevelik za dani presjek, te je potrebno povećati presjek i/ili smanjiti opterećenje.

3.4 Dimenzioniranje T i Γ presjeka

T presjecima nazivamo one presjeke čija tlačna zona ima oblik slova "T", crtež 7.

Neutralna os

d-x

b1d 1

s1A

h

2

d

d

sdM

s2A x2

zd-d

s1ε Fs1

s2ε

2

εc2s2F

cF

0.85 f cdbeff

fh

*

w

Crtež 7 – T - presjek

Dakle, osim oblika, da bi presjek bio T presjek mora biti ispunjen i uvjet da je x>hf . Ako je x<hf tlačna zona betona ima pravokutni oblik, pa se presjek i proračunava kao pravokutni dimenzija beff/d. Osim toga nosač oblika T presjeka može se u statičkom smislu tretirati kao T nosač samo ako rebro i

Page 27: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 27

ploča rade zajednički, tj ako je u presjecima 1-1 i 2-2 osigurana čvrsta veza između rebra i ploče, sposobna primiti posmičnu silu.

Općenito, u proračunu T presjeka primjenjuju se dva postupka u zavisnosti od odnosa beff/bw. Načelno, ako je beff>5bw primjenjuje se pojednostavljeni proračun, koji je za praksu dovoljno točan, a nalazi se na strani sigurnosti. Pri tome se pretpostavlja da ukupnu tlačnu silu prima samo ploča, i da ova sila djeluje u srednjoj ravnini ploče, tj. da je krak unutrašnjih sila z=(d-hf/2). Dakle, zanemaruje se tlačna sila koju prima dio rebra između neutralne osi i donje ivice ploče

Neutralna os

d-x

b1d 1

s1A

h

2

d

d

sdM

x2

s1ε Fs1

s2εεc2

cF

0.85 fcdbeff

fh

*

w

z =

d - h

/2

f

Crtež 8 – "T" presjek s odnosom beff/bw>5

Koristeći uvjete ravnoteže, dobiva se izraz za potrebnu površinu presjeka vlačne armature.

( ) ydf

sd1s f2/hd

MA−

= (3.20)

U praksi se najčešće pretpostave-usvoje dimenzije presjeka, a zatim se određuje armatura. Pri tom se, u pravilu, ne ide na potpuno iskorištavanje betona, jer bi to dalo neracionalne, previše armirane presjeke. Dakle granična nosivost ovakvih presjeka dostiže se po armaturi (10-20 ‰). S obzirom na veliku nosivost ploče, tlačna računska armatura je u pravilu nepotrebna i ekonomski neopravdana.

Izuzetno kada aktivna širina ploče beff nije mnogo veća od širine rebra bw, a T presjek izložen savijanju s velikom tlačnom silom, može se javiti potreba i za tlačnom računskom armaturom.

Ako je beff≤5bw, obično se ne zadovoljavamo prethodnim, pojednostavljenim postupkom proračuna T presjeka, posebno ako je nosač T presjeka većeg raspona i opterećenja. Tada primjenjujemo točniji postupak u kojem ne zanemarujemo doprinos tlačnog dijela rebra. Točniji postupak primjenjujemo i onda kada je beff>5bw ako je x >>hf. To će se dogoditi kod presjeka opterećenih na savijanje s velikom tlačnom silom. Tada se doprinos nosivosti presjeka velike tlačne zone rebra ne smije zanemariti.

U praksi se dimenzioniranje T presjeka svodi na dimenzioniranje zamjenjujućeg presjeka širine bi. Širina bi određuje se iz uvjeta da se, pri jednakim položajima neutralne osi, dobiju jednake tlačne sile u zadanom i zamjenjujućem presjeku.

Polazišna osnova nam je pravokutni presjek širine jednake širini ploče.

Nakon izračunavanja koeficijenta µsd i očitavanja koeficijenta ξ, određujemo položaj neutralne osi (3.6), pri čemu se mogu pojaviti dvije mogućnosti:

− neutralna os prolazi kroz ploču ili njenim donjim rubom. Takav presjek proračunavamo kao pravokutni dimenzija beff/d, dakle za očitani ζ određujemo armaturu prema (3.11).

− neutralna os siječe rebro.

Page 28: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 28

Neutralna os

sdN d-x

b1d 1

s1A

h

2

d

dsdM

s2A x2

zd-d

s1ε Fs1

s2ε

2

εc2s2F

cF

0.85 f cd

beff

fh

*

bi

w Crtež 9 – Zamjenjujući "T" presjek

Širinu fiktivnog T presjeka bi možemo odrediti iz izraza:

effbi bb ⋅λ= (3.21)

pri čemu se koeficijent λb može izračunati iz formule (3.22) ili dovoljno točno očitati iz tablica danih u prilogu 2, što u praksi predstavlja uobičajeni postupak.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ξ

−αα

−=λ ∗w

efff

v

vb b

b1d

h11 (3.22)

pri čemu su: − vα - koeficijent punoće radnog dijagrama betona za deformaciju 2cε ; − ∗αv - koeficijent punoće radnog dijagrama betona za deformaciju ∗εc ;

Nakon pronalaženja aktivne širine bi zamjenjujućeg T presjeka provodi se dimenzioniranje kao za pravokutni presjek poznatih dimenzija bi/d. Dobivene nova vrijednost ξ uspoređuje se sa starom, pa nastane li razlika, postupak se ponavlja.

Na ovaj način T presjek je zamijenjen s pravokutnim presjekom pa se mogu koristiti sva pomoćna sredstva za proračun pravokutnih presjeka (tablice, dijagrami i sl.)

Numerički primjer 1

Zadan je betonski presjek dimenzija prema slici. Element je izrađen iz betona klase C 25/30 (klasa okoliša XC2), armiran s B 500B. Element je opterećen računskim opterećenjem Msd=700 kNm. Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature.

sdM

b = 40w

s1A

d =

95

c

d =

5

h =

100

1

h =

15

f

b = 150effmaterijal:

C 25/30 ; fck = 25.0 MPa

MPa7.165.10.25ff cckcd ==γ=

B 500B ; fyk = 500.0 MPa

MPa8.43415.10.500ff sykyd ==γ=

opterećenje

MPa0.700Msd =

Page 29: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 29

početni presjek: beff/d = 150/95:

031.067.195150

100700f db

M2

cd2

eff

sdsd =

⋅⋅⋅

==µ

iz tablica ⇒ εs1 = 10.0 ‰; εc2 = 1.0 ‰; ζ = 0.968; ξ = 0.091

cm0.15hcm65.895091.0dx f =<=⋅=⋅ξ= − neutralna os siječe ploču!

2

yd

sd1s cm 51.17

48.4395968.0100700

fd MA =

⋅⋅⋅

= ⇒ odabrano 6∅20 (As=18.85 cm2)

Numerički primjer 2

Zadan je isti betonski presjek kao u prethodnom primjeru, ali opterećen računskim opterećenjem Msd=3000 kNm.

početni presjek: beff/d = 150/95:

133.067.195150

1003000f db

M2

cd2

eff

sdsd =

⋅⋅⋅

==µ

iz tablica ⇒ εs1 = 10.0 ‰; εc2 = 2.9 ‰; ζ = 0.910; ξ = 0.225

cm0.15hcm38.2195225.0dx f =>=⋅=⋅ξ= − neutralna os siječe rebro!

⇒ Potrebno je odrediti aktivnu širinu fiktivnog T presjeka.

Aktivnu širinu očitavamo iz Tablice u Prilogu 2, prethodno izračunavši parametre:

75.340

150bb

w

eff == , 16.09515

dhf == , 225.0=ξ

Te iz tablice očitamo λb:

91.0b =λ

Fiktivna širina je:

cm 5.13615091.0bb effbi =⋅=⋅λ=

dhf bbeff

0.550 0.525 0.500 0.475 0.450 0.425 0.400 0.375 0.350 0.325 0.300 0.275 0.250 0.225 0.200 0.175 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 0.025 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

dx=ξ λb

0.550 0.525 0.500 0.475 0.450 0.425 0.400 0.375 0.350 0.325 0.300 0.275 0.250 0.225 0.200 0.175 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 0.025 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

0.550 0.513 0.489 0.464 0.437 0.413 0.386 0.362 0.335 0.309 0.284 0.259 0.232 0.207 0.181 0.155 0.130 0.103 0.078 0.052 0.026 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

0.550 0.513 0.487 0.461 0.436 0.409 0.383 0.357 0.330 0.303 0.276 0.249 0.221 0.194 0.166 0.139 0.111 0.083 0.056 0.028 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99

0.550 0.513 0.487 0.460 0.434 0.407 0.379 0.351 0.323 0.295 0.266 0.237 0.208 0.178 0.149 0.119 0.090 0.060 0.030 0.99 0.98 0.98 0.98 0.98 0.98 0.98 0.98

0.550 0.512 0.485 0.459 0.431 0.403 0.374 0.345 0.315 0.285 0.254 0.223 0.192 0.160 0.129 0.097 0.065 0.032 0.98 0.97 0.97 0.97 0.96 0.96 0.96 0.96

0.550 0.512 0.485 0.457 0.428 0.399 0.368 0.337 0.306 0.273 0.240 0.207 0.173 0.139 0.105 0.070 0.035 0.97 0.96 0.95 0.94 0.94 0.94 0.94 0.93

0.550 0.511 0.483 0.454 0.425 0.394 0.362 0.329 0.295 0.260 0.224 0.188 0.151 0.114 0.076 0.038 0.96 0.94 0.93 0.92 0.91 0.91 0.91 0.90

0.550 0.510 0.481 0.451 0.420 0.388 0.354 0.318 0.281 0.243 0.204 0.164 0.124 0.083 0.042 0.95 0.92 0.90 0.89 0.88 0.88 0.87 0.87

0.550 0.509 0.479 0.448 0.415 0.381 0.344 0.305 0.265 0.223 0.180 0.136 0.091 0.046 0.93 0.90 0.87 0.86 0.85 0.84 0.84 0.83

0.550 0.508 0.477 0.444 0.409 0.372 0.331 0.289 0.244 0.198 0.150 0.101 0.051 0.91 0.87 0.84 0.83 0.81 0.80 0.80 0.79

0.550 0.507 0.473 0.439 0.401 0.360 0.316 0.268 0.218 0.166 0.112 0.056 0.90 0.84 0.81 0.79 0.78 0.76 0.76 0.75

0.550 0.505 0.469 0.432 0.391 0.345 0.295 0.241 0.184 0.125 0.063 0.88 0.82 0.78 0.75 0.74 0.72 0.71 0.70

0.550 0.502 0.464 0.423 0.378 0.326 0.268 0.206 0.140 0.071 0.86 0.79 0.74 0.72 0.70 0.68 0.67 0.66

0.550 0.499 0.457 0.412 0.360 0.299 0.232 0.158 0.081 0.84 0.76 0.71 0.68 0.65 0.64 0.62 0.61

0.550 0.494 0.448 0.397 0.335 0.262 0.181 0.093 0.82 0.73 0.68 0.64 0.61 0.59 0.58 0.57

0.550 0.488 0.435 0.374 0.298 0.208 0.108 0.80 0.70 0.64 0.60 0.57 0.55 0.53 0.52

0.550 0.479 0.418 0.342 0.243 0.127 0.78 0.67 0.60 0.56 0.53 0.51 0.49 0.48

0.550 0.467 0.392 0.288 0.154 0.76 0.64 0.58 0.53 0.49 0.47 0.45 0.43

0.550 0.449 0.347 0.192 0.74 0.62 0.54 0.49 0.45 0.42 0.40 0.38

0.550 0.420 0.252 0.72 0.59 0.50 0.45 0.41 0.38 0.36 0.34

0.550 0.351 0.71 0.56 0.47 0.41 0.37 0.34 0.31 0.29

0.550 0.69 0.53 0.43 0.37 0.33 0.29 0.27 0.25

Page 30: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 30

⇒ Analiziramo novi presjek: bi/d = 136.5/100

146.067.1955.136

1003000f db

M2

cd2

i

sdsd =

⋅⋅⋅

==µ

iz tablica ⇒ εs1 = 10.0 ‰; εc2 = 3.2 ‰; ζ = 0.901; ξ = 0.242

⇒ Ponovno je potrebno odrediti aktivnu širinu fiktivnog T presjeka (ξ = 0.242):

Te iz tablice očitamo λb:

88.0b =λ

Fiktivna širina je:

cm 0.13215088.0bb effbi =⋅=⋅λ=

⇒ Analiziramo novi presjek: b/d = 132.0/100

151.067.195132

1003000f db

M2

cd2

i

sdsd =

⋅⋅⋅

==µ

iz tablica ⇒ εs1 = 10.0 ‰; εc2 = 3.3 ‰; ζ = 0.898; ξ = 0.248

pošto je promjena ξ mala, zadovoljavamo se dobivenim rezultatom.

2

yd

sd1s cm 87.80

48.4395898.01003000

fd MA =

⋅⋅⋅

= ⇒ odabrano 6∅20 (As=18.85 cm2)

Da smo prihvatili da je zadani presjek vitak (beff>5bw):

( ) ( )2

ydf

sd1s cm 85.78

48.43215951003000

f2hdMA =

⋅−⋅

=−

=

Napomena uz primjer 2: Potrebna površina armature je korektno izračunata danim formulama, međutim postava ove armature u presjek bi bila prilično nezgodna.

%5.010015087.80

AA

c

1ss =

⋅==ρ

dhf bbeff

0.550 0.525 0.500 0.475 0.450 0.425 0.400 0.375 0.350 0.325 0.300 0.275 0.250 0.225 0.200 0.175 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 0.025 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

dx=ξ λb

0.550 0.525 0.500 0.475 0.450 0.425 0.400 0.375 0.350 0.325 0.300 0.275 0.250 0.225 0.200 0.175 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 0.025 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

0.550 0.513 0.489 0.464 0.437 0.413 0.386 0.362 0.335 0.309 0.284 0.259 0.232 0.207 0.181 0.155 0.130 0.103 0.078 0.052 0.026 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

0.550 0.513 0.487 0.461 0.436 0.409 0.383 0.357 0.330 0.303 0.276 0.249 0.221 0.194 0.166 0.139 0.111 0.083 0.056 0.028 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99

0.550 0.513 0.487 0.460 0.434 0.407 0.379 0.351 0.323 0.295 0.266 0.237 0.208 0.178 0.149 0.119 0.090 0.060 0.030 0.99 0.98 0.98 0.98 0.98 0.98 0.98 0.98

0.550 0.512 0.485 0.459 0.431 0.403 0.374 0.345 0.315 0.285 0.254 0.223 0.192 0.160 0.129 0.097 0.065 0.032 0.98 0.97 0.97 0.97 0.96 0.96 0.96 0.96

0.550 0.512 0.485 0.457 0.428 0.399 0.368 0.337 0.306 0.273 0.240 0.207 0.173 0.139 0.105 0.070 0.035 0.97 0.96 0.95 0.94 0.94 0.94 0.94 0.93

0.550 0.511 0.483 0.454 0.425 0.394 0.362 0.329 0.295 0.260 0.224 0.188 0.151 0.114 0.076 0.038 0.96 0.94 0.93 0.92 0.91 0.91 0.91 0.90

0.550 0.510 0.481 0.451 0.420 0.388 0.354 0.318 0.281 0.243 0.204 0.164 0.124 0.083 0.042 0.95 0.92 0.90 0.89 0.88 0.88 0.87 0.87

0.550 0.509 0.479 0.448 0.415 0.381 0.344 0.305 0.265 0.223 0.180 0.136 0.091 0.046 0.93 0.90 0.87 0.86 0.85 0.84 0.84 0.83

0.550 0.508 0.477 0.444 0.409 0.372 0.331 0.289 0.244 0.198 0.150 0.101 0.051 0.91 0.87 0.84 0.83 0.81 0.80 0.80 0.79

0.550 0.507 0.473 0.439 0.401 0.360 0.316 0.268 0.218 0.166 0.112 0.056 0.90 0.84 0.81 0.79 0.78 0.76 0.76 0.75

0.550 0.505 0.469 0.432 0.391 0.345 0.295 0.241 0.184 0.125 0.063 0.88 0.82 0.78 0.75 0.74 0.72 0.71 0.70

0.550 0.502 0.464 0.423 0.378 0.326 0.268 0.206 0.140 0.071 0.86 0.79 0.74 0.72 0.70 0.68 0.67 0.66

0.550 0.499 0.457 0.412 0.360 0.299 0.232 0.158 0.081 0.84 0.76 0.71 0.68 0.65 0.64 0.62 0.61

0.550 0.494 0.448 0.397 0.335 0.262 0.181 0.093 0.82 0.73 0.68 0.64 0.61 0.59 0.58 0.57

0.550 0.488 0.435 0.374 0.298 0.208 0.108 0.80 0.70 0.64 0.60 0.57 0.55 0.53 0.52

0.550 0.479 0.418 0.342 0.243 0.127 0.78 0.67 0.60 0.56 0.53 0.51 0.49 0.48

0.550 0.467 0.392 0.288 0.154 0.76 0.64 0.58 0.53 0.49 0.47 0.45 0.43

0.550 0.449 0.347 0.192 0.74 0.62 0.54 0.49 0.45 0.42 0.40 0.38

0.550 0.420 0.252 0.72 0.59 0.50 0.45 0.41 0.38 0.36 0.34

0.550 0.351 0.71 0.56 0.47 0.41 0.37 0.34 0.31 0.29

0.550 0.69 0.53 0.43 0.37 0.33 0.29 0.27 0.25

Page 31: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 31

Moguća armatura bila bi 8∅36 (As1=81.43 cm2), pa skica armature jasno pokazuje da je potrebno ponoviti proračun s novom vrijednosti d1≈10.0 cm.

3.50.8

3.5

3.5

0.8

3.6

9.7

40

3.60.8

5.67

3.6

3.6

3.6

Težište armature

5.67

3.6

5.67

3.6

3.5 Kratki elementi opterećeni centričnom tlačnom silom

Pošto je beton materijal koji posjeduje veliku tlačnu čvrstoću, često nema potrebe za armiranjem kratkih elemenata opterećenih centričnom tlačnom silom. Kratkim elementima smatramo one elemente kod kojih nema pojave izvijanja.

Potrebna armatura u presjeku, uz poznate dimenzije, proračunava se po izrazu:

cdyd

cdcsdreq,s f85.0f

f85.0ANA⋅−

⋅⋅−= (3.23)

Ako je vrijednost req,sA negativna, armatura nije potrebna i tada se postavlja minimalna armatura.

Važno je napomenuti da bi presjeci opterećeni na centrični tlak u svakom slučaju trebali biti minimalno armirani. Pojava armature, posebno veće količine, u takvim presjecima ukazuje na iscrpljenost betona i nedostatne dimenzije presjeka.

3.6 Kratki elementi opterećeni centričnom vlačnom silom

Elementi naprezani na centrični vlak mogu se proračunavati na dva načina:

1. Ako monolitnost betona nije važna i u njemu mogu nastati pukotine, sve sile vlaka preuzima armatura

yd

sdreq,s f

NA = (3.24)

2. Ako treba paziti na trajnu monolitnost betona, što znači da beton konstrukcije ne smije imati pukotina, tada:

1

ssm,ctcRdsd

fAfANN

γ⋅+⋅

=≤ (3.25)

pri čemu su: − iisd NN ∑ γ= - računska vrijednost utjecaja (računska uzdužna sila); − RdN - računska nosivost; − cA - ukupna površina betonskog presjeka;

Page 32: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 32

− mct,f - srednja vlačna čvrstoća betona (tablica u poglavlju 2.4); − sf - stvarna čvrstoća čelika; − 1γ - koeficijent sigurnosti od pojave pukotina: 1.2-1.5 i ovisi o važnosti konstrukcije;;

Stvarno naprezanje u armaturi nalazi se iz uvjeta da su relativne deformacije betona εc i čelika εs u trenutku nastanka pukotina jednake (uvjet monolitnosti):

ssscm

m,ctcs Ef;

Ef

ε⋅==ε=ε

Prema pokusima opasnost od pojave pukotina u betonu nastaje kada relativna deformacija betona dosegne vrijednost εc = 0.1‰.

Iz izraza (3.25) može se odrediti potrebna količina armature za zadani betonski presjek odnosno potrebna površina betonskog presjeka za zadani koeficijent armiranja.

Ovdje je također važno napomenuti da je generalno potrebno izbjegavati armiranog betonske elemente opterećene na centrični vlak. Takve elemente je znatno ekonomičnije izvesti iz čelika ili nekog drugog materijala (npr. karbonska vlakna i sl.).

3.7 Dimenzioniranje pravokutnog presjeka na moment savijanja i uzdužnu silu

3.7.1 Uzdužna vlačna sila – postupak Wuczkowskog

Kada na pravokutni presjek osim momenta savijanja Msd djeluje i uzdužna vlačna sila Nsd govorimo o ekscentričnom vlaku ili savijanju s uzdužnom vlačnom silom. Primjer takvog slučaja prikazan je na crtežu 10.

Neutralna os

sdN d-x

b1d 1

s1A

h

2

d

d

sdM

s2A

2

d-d

s1ε Fs1

s2ε

2

εc2s2F

cF

0.85 fcd

x=ξ*

d

z=ζ*

d

Crtež 10 – Pravokutni presjek opterećen momentom savijanja i tlačnom silom

Dimenzioniranju presjeka pristupa se tako da se sila prebaci u težište vlačne armature, crtež 11.

Neutralna os

sdN

d-x

b1d 1

s1A

h

2

d

d

sdsMs2A

2

d-d

s1ε Fs1

s2ε

2

εc2s2F

cF

0.85 fcd

x=ξ*

d

z=ζ*

d

d-h /

2

Crtež 11 – Prebacivanje sile u težište vlačne armature

Page 33: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 33

Računski moment savijanja s obzirom na vlačnu armaturu bit će:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅−=

2hdNMM sdsdsds (3.26)

Moment nosivosti (najveći moment savijanja koji jednostruko armirani presjek može preuzeti) je:

cd2

lim,sdlim,Rd f bdM µ= (3.27)

Pa se potrebna armatura može dobiti po slijedećim izrazima:

( ) fN

fddMM

fd M

Ayd

sd

yd2

lim,Rdsd

ydlim

lim,Rd1s +

−−

= - ukupna vlačna armatura (3.28)

( ) ddMM

A2s2

lim,Rdsd2s σ−

−= - tlačna armatura (3.29)

gdje je

− σs2 tlačno naprezanje u armaturi (izraz 3.19)

Kada je računski moment Msd nije veći od momenta nosivosti MRd,lim, prethodni izrazi za potrebnu količinu armature se reduciraju:

f

N fd

MAyd

sd

yd

sd1s +

ζ= - ukupna vlačna armatura (3.30)

0A 2s = - tlačna armatura (3.31)

3.7.2 Uzdužna tlačna sila – postupak Wuczkowskog

U slučaju kada na pravokutni presjek osim momenta savijanja Msd djeluje i uzdužna tlačna sila Nsd govorimo o ekscentričnom tlaku ili savijanju s uzdužnom tlačnom silom. Primjer takvog slučaja prikazan je na crtežu 12.

Neutralna os

sdN d-x

b1d 1

s1A

h

2

d

d

sdM

s2A

2

d-d

s1ε Fs1

s2ε

2

εc2s2F

cF

0.85 fcd

x=ξ*

d

z=ζ*

d

Crtež 12 – Pravokutni presjek opterećen momentom savijanja i tlačnom silom

Dimenzioniranju presjeka također se pristupa tako da se sila prebaci u težište vlačne armature, crtež 13.

Page 34: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 34

Neutralna os

sdN

d-x

b1d 1

s1A

h

2

d

d

sdsMs2A

2

d-d

s1ε Fs1

s2ε

2

εc2s2F

cF

0.85 fcd

x=ξ*

d

z=ζ*

d

d-h /

2

Crtež 13 – Prebacivanje sile u težište vlačne armature

Računski moment savijanja s obzirom na vlačnu armaturu bit će:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+=

2hdNMM sdsdsds (3.32)

Moment nosivosti (najveći moment savijanja koji jednostruko armirani presjek može preuzeti) je:

cd2

lim,sdlim,Rd f bdM µ= (3.33)

Pa se potrebna armatura može dobiti po slijedećim izrazima:

( ) fN

fddMM

fd M

Ayd

sd

yd2

lim,Rdsd

ydlim

lim,Rd1s −

−−

= - ukupna vlačna armatura (3.34)

( ) ddMM

A2s2

lim,Rdsd2s σ−

−= - tlačna armatura (3.35)

gdje je

− σs2 tlačno naprezanje u armaturi (izraz 3.19)

Kada je računski moment Msd nije veći od momenta nosivosti MRd,lim, prethodni izrazi za potrebnu količinu armature se reduciraju:

f

N fd

MAyd

sd

yd

sd1s −

ζ= - ukupna vlačna armatura (3.36)

0A 2s = - tlačna armatura (3.37)

Page 35: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 35

Numerički primjer 1

Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost težišta vlačne armature od ruba presjeka d1=5 cm. Element je izrađen iz betona klase C 30/37 (klasa okoliša XC2), armiran s B 500B. Element je opterećen računskim opterećenjem Msd=260 kNm i Nsd=-120 kN (tlačna sila). Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature.

s1A

sdM

b = 40

d =

5d

= 55

h =

60

x =

10.6

7c

1

sdN

x =

11.3

3

materijal:

C 30/37 ; fck = 30.0 MPa

MPa0.205.10.30ff cckcd ==γ=

B 500B ; fyk = 500.0 MPa

MPa8.43415.10.500ff sykyd ==γ=

opterećenje

kNm0.260Msd =

kN0.120Nsd −= (tlačna sila)

geometrija

cm60hcm40b

==

cm55560dhd

cm0.5d

1

1

=−=−=

=

Moment s obzirom na težište vlačne armature

kNm0.290260.055.00.1200.260

2hdNMM sdsdsds =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

Moment nosivosti za εs1 = 10.0 ‰ ( 159.0lim,sd =µ )

sds2

cd2

cd2

lim,sdlim,Rd MkNm8.3842.05540159.0f bd159.0f bdM >=⋅⋅⋅=⋅=µ=

120.00.25540

100290f bd

M2

cd2sds

sd =⋅⋅

⋅==µ

iz tablica ⇒ εs1 = 10.0 ‰; εc2 = 2.6 ‰; ζ = 0.919; ξ = 0.206

cm33.1155206.0dx =⋅=⋅ξ=

0.0A

cm 44.1076.220.13 48.43

0.12048.4355919.0

100290 f

N fd

MA

2s

2

yd

sd

yd

sd1s

=

=−=−⋅⋅

⋅=−

ζ=

21s cm 44.10A = ⇒ odabrano 6∅16 (As=12.06 cm2)

Kao usporedba mogu se navesti rezultati za čisto savijanje (djelovanje samog momenta) iz točke 3.2.2.

Položaj neutralne osi: cm67.10xsav = < cm33.11x tl,exc =

Potrebna armatura: 2sav,1s cm 75.11A = > 2

tl,exc,1s cm 44.10A =

Page 36: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 36

Numerički primjer 2

Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost težišta vlačne armature od ruba presjeka d1=5 cm. Element je izrađen iz betona klase C 30/37 (klasa okoliša XC2), armiran s B 500B. Element je opterećen računskim opterećenjem Msd=260 kNm i Nsd=120 kN (vlačna sila). Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature.

s1A

sdM

b = 40

d =

5d

= 55

h =

60

x =

9.57

c

1

sdN

x =

11.3

3

materijal:

C 30/37 ; fck = 30.0 MPa

MPa0.205.10.30ff cckcd ==γ=

B 500B ; fyk = 500.0 MPa

MPa8.43415.10.500ff sykyd ==γ=

opterećenje

kNm0.260Msd =

kN0.120Nsd = (vlačna sila)

geometrija

cm60hcm40b

==

cm55560dhd

cm0.5d

1

1

=−=−=

=

Moment s obzirom na težište vlačne armature

kNm0.230260.055.00.1200.260

2hdNMM sdsdsds =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

Moment nosivosti za εs1 = 10.0 ‰ ( 159.0lim,sd =µ )

sds2

cd2

cd2

lim,sdlim,Rd MkNm8.3842.05540159.0f bd159.0f bdM >=⋅⋅⋅=⋅=µ=

095.00.25540

100230f bd

M2

cd2sds

sd =⋅⋅

⋅==µ

iz tablica ⇒ εs1 = 10.0 ‰; εc2 = 2.1 ‰; ζ = 0.934; ξ = 0.174

cm57.955174.0dx =⋅=⋅ξ=

0.0A

cm 06.1376.230.10 48.43

0.12048.4355934.0

100230 f

N fd

MA

2s

2

yd

sd

yd

sd1s

=

=+=+⋅⋅

⋅=−

ζ=

21s cm 06.13A = ⇒ odabrano 7∅16 (As=14.07 cm2)

Kao usporedba mogu se navesti rezultati za čisto savijanje (djelovanje samog momenta) iz točke 3.2.2. i rezultati iz prethodnog primjera:

Položaj neutralne osi: cm57.9x vl,exc = < cm67.10xsav = < cm33.11x tl,exc =

Potrebna armatura: 2vl,exc,1s cm 06.13A = > 2

sav,1s cm 75.11A = > 2tl,exc,1s cm 44.10A =

Page 37: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 37

Numerički primjer 3

Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost težišta vlačne armature od ruba presjeka d1=5 cm. Element je izrađen iz betona klase C 30/37 (klasa okoliša XC2), armiran s B 500B. Element je opterećen računskim opterećenjem Msd=360 kNm i Nsd=-240 kN (tlačna sila). Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature.

s1A

sdM

b = 40

d =

5d

= 55

h =

60

c

1

sdN

s2A

materijal:

C 30/37 ; fck = 30.0 MPa

MPa0.205.10.30ff cckcd ==γ=

B 500B ; fyk = 500.0 MPa

MPa8.43415.10.500ff sykyd ==γ=

opterećenje

kNm0.360Msd =

kN0.240Nsd −= (tlačna sila)

geometrija

cm60hcm40b

==

cm55560dhd

cm0.5d

1

1

=−=−=

=

Moment s obzirom na težište vlačne armature

kNm0.420260.055.00.2400.360

2hdNMM sdsdsds =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

Moment nosivosti za εs1 = 10.0 ‰ ( 159.0lim,sd =µ )

sds2

cd2

cd2

lim,sdlim,Rd MkNm8.3842.05540159.0f bd159.0f bdM <=⋅⋅⋅=⋅=µ=

presjek je dvostruko armiran

iz tablica ⇒ εs1 = 10.0 ‰; εc2 = 3.5 ‰; ζ = 0.892; ξ = 0.259

( )( )

( ) 48.430.240

48.435551008.3840.420

48.4355.89201008.384

fN

fddMM

fd M

Ayd

sd

yd2

lim,Rdsds

ydlim

lim,Rd1s −

⋅−⋅−

+⋅⋅

⋅=−

−−

=

21s cm14.1452.562.104.18A =−+= ⇒ odabrano 5∅20 (As=15.71 cm2)

s1A

s2A

d =

52x

= 14

.25 ε = 3.5 ‰c2

ε = 2.27 ‰s2

cm25.1455259.0dx lim =⋅=⋅ξ=

‰27.25.325.14

0.525.14 xdx

dxx 2c2

2s2

2s2c =⋅−

=ε−

=ε⇒−ε

( ) 1000200000

8.434Ef

s

yd500 Bv ⋅==ε (‰) = 2.17 ‰

yds2v2s f =σ⇒ε>ε

( )( )

( )2

yd2

lim,Rdsds2s cm62.1

48.435551008.3840.420

fddMM

A =⋅−

⋅−=

−−

=

⇒ odabrano 2∅12 (As=2.26 cm2)

Page 38: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 38

3.7.3 Uzdužna tlačna/vlačna sila – dimenzioniranje pomoću dijagrama interakcije

Pravokutni presjeci pri djelovanju momenta savijanja i uzdužne tlačne ili vlačne sile mogu se također proračunati pomoću dijagrama interakcije. Dijagrami su napravljeni za različite vrste armature i za različite omjere d1/h (d2/h) i za različite omjere As2/As1. Dijagrami za armaturu B500, simetričnu armaturu (As2=As1) i tri odnosa d1/h (d2/h) prikazani su u prilozima 4, 5 i 6.

Postupak je vrlo jednostavan. Za proračunate bezdimenzionalne vrijednosti:

cd

sdsd

cd2sd

sd

fhbN

fhbM

⋅⋅=ν

⋅⋅=µ

(3.38)

u dijagramima interakcije se očita mehanički koeficijent armiranja ω, te se proračuna potrebna armatura prema izrazima

s1s2

yd

cd

yd

cdcs1

AA

ffhb

ffAA

=

⋅⋅⋅ω=⋅⋅ω= (3.39)

Numerički primjer 1

Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost težišta armatura od ruba presjeka d1=d2=5 cm. Element je izrađen iz betona klase C 30/37 (klasa okoliša XC2), simetrično armiran s B 500B. Element je opterećen računskim opterećenjem Msd=260 kNm i Nsd=-120 kN (tlačna sila). Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature.

s1A

sdM

b = 40

d =

5d

= 55

h =

60

c

1

sdN

As2

d =

52

materijal:

C 30/37 ; fck = 30.0 MPa

MPa0.205.10.30ff cckcd ==γ=

B 500B ; fyk = 500.0 MPa

MPa8.43415.10.500ff sykyd ==γ=

opterećenje

kNm0.260Msd =

kN0.120Nsd −= (tlačna sila)

geometrija

cm60hcm40b

==

083.0605hd

cm0.5dd

1

21

===α

==

Koristimo dijagram: α=0.075 (prilog 5)

090.0

0.26040100260

f bhM

025.00.26040

120f bh

N

2cd

2sd

sd

cd

sdsd

=⋅⋅

⋅==µ

=⋅⋅

==ν

Page 39: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 39

ν

µ

b

d 1

s1A

hd

sdMs1A

sdN

d 2

ω=0.05

0.100.15

0.200.25

0.300.35

0.400.45

0.500.55

0.60

0.65

0.700.75

0.80

0.85

0.90

0.95

1.00

075.0hdhd0.1AA

500B

21

1s2s

===β==α

yd

cd2s1s

cd2sd

sd

cd

sdsd

ffhbAA

fhbM

fhbN

ω==

ω=0.05

0.100.15

0.200.2530

Očitano 090.0=ω

Armatura

2s1s2

2s1

cm94.9AA

cm94.948.430.2604009.0A

==

=⋅⋅⋅=

Vidljivo je da je armatura izračunata na ovakav način znatno veća nego armatura izračunata postupkom Wuczkowskog, iako je sama vlačna armatura (As1) nešto manja:

2s2s1Wuctot,sl,

2s2s1dijtot,sl,

cm44.100.044.10AAA

cm88.1994.994.9AAA

=+=+=

=+=+=

U slučaju da je moment alternirajući (mijenja smjer), vidljivo je da bi ukupna armatura tada bila manja.

Page 40: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 40

Numerički primjer 2

Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost težišta armatura od ruba presjeka d1=d2=5 cm. Element je izrađen iz betona klase C 30/37 (klasa okoliša XC2), simetrično armiran s B 500B. Element je opterećen računskim opterećenjem Msd=860 kNm i Nsd=-420 kN (tlačna sila). Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature.

s1A

sdM

b = 40

d =

5d

= 55

h =

60

c

1

sdN

As2

d =

52

materijal:

C 30/37 ; fck = 30.0 MPa

MPa0.205.10.30ff cckcd ==γ=

B 500B ; fyk = 500.0 MPa

MPa8.43415.10.500ff sykyd ==γ=

opterećenje

kNm0.860Msd =

kN0.420Nsd −= (tlačna sila)

geometrija

cm60hcm40b

==

083.0605hd

cm0.5dd

1

21

===α

==

Koristimo dijagram: α=0.075

300.0

0.26040100860

f bhM

088.00.26040

420f bh

N

2cd

2sd

sd

cd

sdsd

=⋅⋅

⋅==µ

=⋅⋅

==ν

ν

µ

b

d 1

s1A

hd

sdMs1A

sdN

d 2

ω=0.05

0.100.15

0.200.25

0.300.35

0.400.45

0.500.55

0.60

0.65

0.700.75

0.800.85

0.90

0.95

1.00

075.0hdhd0.1AA

500B

21

1s2s

===β==α

yd

cd2s1s

cd2sd

sd

cd

sdsd

ffhbAA

fhbM

fhbN

ω==

ω=0.05

0.100.15

0.200.25

0.300.35

0.400.45

0.500

Očitano 31.0=ω

Armatura

2s1s2

2s1

cm22.34AA

cm22.3448.430.2604031.0A

==

=⋅⋅⋅=

Page 41: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 41

3.8 Dimenzioniranje okruglog presjeka naprezanih momentom savijanja i uzdužnom silom

Određivanje potrebne armature za elemente okruglog presjeka najlakše je sprovesti pomoću dijagrama interakcije.

Na sličan način kao za pravokutne presjeke izrađeni su dijagrami za dimenzioniranje kružnih presjeka. Dijagrami, izrađeni za armaturu B500 simetrično raspoređenu po opsegu, te za odnose

85.0rrs ==ϕ i 90.0rrs ==ϕ , priloženi su u prilozima 7 i 8.

Neutralna os

sdN

d 1

sA

d=2r

sdM

s,maxε

εc2

r

rs

Crtež 14 – Kružni presjek opterećen momentom savijanja i tlačnom silom

Dijagram se koristi na sličan način kao i dijagram za pravokutne presjeke. Dakle, za proračunati odnos: rrs=ϕ , proračunaju se bezdimenzionalne vrijednosti:

cdc

sdsd

cdc

sdsd fA

N;fAr

M⋅

=ν⋅⋅

=µ (3.40)

te se iz dijagrama interakcije očita mehanički koeficijent armiranja ω i proračuna ukupna potrebna armatura prema izrazu:

yd

cdcs f

fAA ⋅⋅ω= (3.41)

Proračunatu armaturu je potrebno jednoliko raspodijeliti po opsegu.

Numerički primjer

Okrugli betonski stup dimenzija d=50 cm (udaljenost težišta armatura od ruba presjeka d1 =4 cm), izrađen je iz betona klase C 40/50 (klasa okoliša XC2), simetrično armiran s B 500B. Stup je opterećen računskim opterećenjem Msd=160 kNm i Nsd=-320 kN (tlačna sila). Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature.

sdM

sdN

5044 42

sA

materijal: C 40/50 ; fck = 40.0 MPa MPa7.265.10.40ff cckcd ==γ= B 500B ; fyk = 500.0 MPa MPa8.43415.10.500ff sykyd ==γ=

opterećenje kNm0.160Msd = kN0.320Nsd −= (tlačna sila)

Page 42: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 42

geometrija

cm21drr

cm25r

1s =−==

84.02521rr

cm0.4d

s

1

===ϕ

=

Koristimo dijagram: 85.0=ϕ (prilog 7)

122.067.2255.1963

100160f rA

M

061.067.25.1963

320f A

Ncm5.196325rA

cdc

sdsd

cdc

sdsd

222c

=⋅⋅

⋅==µ

=⋅

−==ν

=π⋅=π=

ν

µ

ω=0.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.600.65

0.700.750.800.850.900.95

1.00

sA

rsdN

sdMsr

c

cd

sdsd

cd

sdsd

rA

fM

fN

π=

0.85rr500B

sϕ ==

cA

cA r

yd

cd2s1s f

fAA ω==

2

cA

ω=0.050.10

0.15

Očitano 010.0=ω

Armatura

2

yd

cdcs

cm1.1248.43

67.25.1963100.0

ffAA

=⋅⋅=

=⋅⋅ω=

Odabrana simetrična armatura:

12∅12 As=13.57 cm2

%7.05.1963

13.57AA

c

s ===ρ

5044 42

sA =12Ø12

Page 43: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 43

3.9 Dimenzioniranje presjeka na Poprečnu silu

3.9.1 Općenito Poprečne sile se proračunavaju prema poboljšanoj Mörsch-Ritterovoj analogiji rešetke. Po toj

metodi pretpostavlja se da jedan dio poprečne sile prihvaća beton i uzdužna armatura nakon razvoja dijagonalnih pukotina u betonu, a ostatak poprečne sile se prihvaća vertikalnim sponama (stremenovima) i/ili kosom armaturom (Standardna metoda).

Po drugoj metodi – Metodi slobodnog odabira nagiba tlačnih štapova, koja se kao alternativa predlaže s EC2, nosivost betona se ne uzima u obzir, već se uzima blaži kut nagiba tlačnih dijagonala od 45°, čime se postižu uštede na poprečnoj armaturi, ali se povećava uzdužna armatura, izravno ili preko pomaka dijagrama vlačnih sila prilikom raspodijele armature.

hdz

swswsw

l

Vwd

F

Vwd

F

VRd1

Crtež 15 – Model Mörsch-Ritterove rešetke

3.9.2 Postupak Uvjet nosivosti na poprečne sile:

Rdsd VV ≤ (3.42)

gdje je:

− Vsd – računska poprečna sila

− VRd – računska nosivost na poprečne sile

Računska armatura za prihvaćanje poprečnih sila (tj. glavnih kosih vlačnih naprezanja) neće biti potrebna ako je zadovoljen uvjet:

( )[ ] db15.0402.1kVV wcplRd1Rdsd ⋅⋅σ⋅+ρ⋅+⋅⋅τ=≤ (3.43)

gdje je:

− τRd – računska čvrstoća na djelovanje glavnih kosih naprezanja

− 1d6.1k ≤−= - korekcijski faktor (d u metrima)

− ρl – koeficijent armiranja uzdužnom armaturom (As/Ac) < 0.02 (2.0%)

− bw – najmanja širina presjeka u vlačnoj zoni

− d – statička visina presjeka

− σcp = Nsd/Ac – središnje naprezanje (+ za tlak, - za vlak)

− Nsd – računska uzdužna sila u presjeku

− Ac – površina betonskog presjeka

Za presjek u kojem je zadovoljen izraz 3.43, računska poprečna armatura nije potrebna, ali je uvijek potrebno postaviti minimalnu (konstruktivnu) poprečnu armaturu.

Page 44: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 44

Ako na presjek istovremeno s poprečnim silama djeluje i moment torzije, tada se uzima 0.0V 1Rd = , i cjelokupnu poprečnu silu preuzima armatura.

Nosivost tlačnih štapova biti će zadovoljena ako je:

d9.0bf5.0zbf5.0VV wcdwcd2Rdsd ⋅⋅⋅⋅ν⋅≈⋅⋅⋅ν⋅=≤ (3.44)

pri čemu je:

− 5.0200f7.0 ck ≥−=ν – redukcijski faktor (fck u N/mm2)

Tablica Karakteristika betona: Karakteristika betona C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60

fck (MPa)

Čvrstoća na valjku 12 16 20 25 30 35 40 45 50

fc,cub (MPa)

Čvrstoća na kocki 15 20 25 30 37 45 50 55 60

τRd (MPa)

Posmična čvrstoća 0.18 0.22 0.26 0.30 0.34 0.37 0.41 0.44 0.48

Ako u elementu djeluje uzdužna tlačna sila, potrebno je reducirati nosivost tlačnih štapova:

2Rdcd

eff,cp2Rdred,2Rd V

f1V67.1V ≤⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ−⋅⋅= (3.45)

pri čemu je:

− cs

2syksdeff,cp AAfN ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛γ

−=σ - tlačno naprezanje u betonu

Ako nije zadovoljen uvjet 1Rdsd VV ≤ potrebno je proračunati računsku armaturu za prijem poprečnih sila.

Vsd0 VRd2VRd1 Vsd

Konstrukcijska poprecnaarmatura

Proracun poprecnearmature

Nedopuštenopodrucje

Vwd

Crtež 16 – Područja poprečnih sila

3.9.3 Standardna metoda Standardna metoda proračuna presjeka na djelovanje poprečnih sila pretpostavlja nagib tlačnih

štapova u betonu od 45°.

Poprečna armatura (stremenovi, vilice, spone) se proračunava iz uvjeta:

w

d,ywswwd

wd1Rd3Rdsd

szmfA

V

VVVV⋅⋅⋅

=

+=≤ (3.46)

gdje je:

− Asw – površina jedne grane spone

− m – reznost spona

Page 45: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 45

− z – krak unutrašnjih sila (z ≈ 0.9 d)

− sw – razmak spona

− fyw,d – računska granica popuštanja poprečne armature

Nosivost kose armature može se izračunati po izrazu:

( ) α⋅α+⋅⋅⋅

= sinctg1s

zfAV d,ywsw

wd (3.47)

gdje je:

− s – razmak kose armature mjeren uzduž osi elementa

− α – kut nagiba kosih šipki prema osi nosača (crtež 17)

αΘ

s s s

Crtež 17 – Kutovi kod proračuna poprečnih sila

3.9.4 Metoda slobodnog odabira nagiba tlačnih štapova Ovaj postupak dopušta veću slobodu rasporeda armature od normalnog postupka, što dovodi do

racionalnijeg razmještaja poprečne armature, ali može dovesti do povećanja uzdužne vlačne armature. Ovaj se postupak preporuča kad je element istodobno napregnut poprečnim silama i torzijom.

Nagib tlačnih štapova prema uzdužnoj osi (Θ) bira se u granicama:

5.2tg4.02.688.21 ≤Θ≤⇒≤Θ≤ oo - Kada se glavna uzdužna armatura vodi do ležaja

0.2tg5.04.636.26 ≤Θ≤⇒≤Θ≤ oo - Kada se glavna uzdužna armatura postupno prekida u polju

Kod elemenata s vertikalnom poprečnom armaturom (sponama), nosivost na poprečne sile dobiva se iz izraza:

Θ⋅⋅⋅⋅

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅ν⋅≤

⋅⋅Θ⋅

⋅⋅⋅==

Θ+Θ⋅⋅⋅ν=

ctgV

mzfAs

f21

sbfmA

:uvjetuz;ctgs

mzfAVV

tgctgzbfV

Sd

d,ywsww

cdww

d,ywsw

w

d,ywswwd3Rd

wcd2Rd

(3.48)

Page 46: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 46

Vsd0 VRd2Vsd

Proracun poprecnearmature

Nedopuštenopodrucje

Vwd

Kod elemenata s kosom poprečnom armaturom, nosivost na poprečne sile:

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α−

α⋅⋅ν⋅≤

⋅⋅

α⋅α+Θ⋅⋅⋅

==

Θ+α+Θ

⋅⋅⋅⋅ν=

cos1sinf

21

sbfA

:uvjetuz

sinctgctgs

zfAVV

ctg1ctgctgzbfV

cd

ww

d,ywsw

d,ywswwd3Rd

2wcd2Rd

(3.49)

Da bi se ustanovila najmanja količina poprečne armature za mala i srednja posmična naprezanja, gornje granice za ctg Θ, bit će u običnom slučaju mjerodavne za dimenzioniranje. Za veća posmična naprezanja najveću vrijednost za ctg Θ (što odgovara najmanjoj količini poprečne armature) može se naći izjednačavanjem vrijednosti proračunskih poprečnih sila VSd i VRd2.

Nakon raspucavanja nosača, sila u donjem pojasu bit će:

( )α−Θ⋅⋅+= ctgctgV21

zMF Sd

Sds (3.50)

te je za drugi član potrebno povećati uzdužnu armaturu u polju.

3.9.5 Minimalna (konstruktivna) armatura Ukupna poprečna armatura (spone) ne smije biti manja od minimalne:

m

bsA wwminmin,sw

⋅⋅ρ= (3.51)

Tablica 4.1 - Minimalni postoci armiranja Klasa betona C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60

ρmin 0.0007 0.0011 0.0013

Tablica 4.2 - Maksimalni razmaci spona

Broj Računska poprečna sila Vsd Maksimalni razmak spona u smjeru

glavne vlačne armature sw,max Maksimalni razmak vertikalnih krakova

spona u poprečnom smjeru sp,max

1 Vsd ≤ 0.2 VRd2 0.8 d; 30 cm 1.0 d; 80 cm

2 0.2 VRd2 ≤ Vsd ≤ 0.67 VRd2 0.6 d; 30 cm 0.6 d; 30 cm

3 Vsd > 0.67 VRd2 0.3 d; 20 cm 0.3 d; 20 cm

gdje je:

− d – statička visina presjeka

Page 47: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 47

b

ddh

1

s p,max s p,max s p,maxs w,max s w,max s w,max s w,max s w,max

Numerički primjer

Potrebno je dimenzionirati ab gredu, l=8.0 m, dimenzija 30×80 cm, udaljenost težišta armatura od ruba presjeka d1 =7 cm. Greda je izrađena iz betona klase C 30/37 i armirana s B 500B.

Greda je opterećena opterećenjem prema skici. Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature.

G, Q g, q

1.0 7.08.0

30

73 807

s1A

beton:

C 30/37 fck = 30.0 MPa MPa0.205.10.30ff cckcd ==γ= τRd = 0.34 MPa

armatura:

B 500B fyk = 500.0 MPa MPa8.43415.10.500ff sykyd ==γ=

Opterećenje:

kN5.1540.675.10.4035.1QGS

'mkN3.270.115.10.835.1qgskN0.67Q;'mkN0.11qkN0.40G;'mkN0.8g

qg

qg

=⋅+⋅=⋅γ+⋅γ=

=⋅+⋅=⋅γ+⋅γ=====

Page 48: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 48

G, Qg, q

1.0 7.08.0

30

73 807

3.3

244.4217.1

62.6

128.5

230.8

302.4

R =244.4 kN R =128.5 kN

V (kN)sd

M (kNm)sd

s1Aa b

a bc d

Nosač je prvo potrebno dimenzionirati na moment savijanja.

095.00.27330

10040.302fdb

M2

cd2sd

sd =⋅⋅⋅

==µ

iz tablica ⇒ εs1 = 10.0 ‰; εc2 = 2.1 ‰; ζ = 0.934

2

yd

sd1s cm20.10

48.4373934.030240

fdMA =

⋅⋅=

ζ=

Odabrana armatura prikazana je na skici:

30

737

s15Ø16 (A =10.05 cm )2

s2Ø14 (A =3.08 cm )2

s22Ø14 (A =3.08 cm )2

Za proračun nosača na poprečne sile koristi se standardna metoda proračuna.

00675.0803021.16

AA

cm21.1608.325.10A

c

sl

2s

=⋅

==ρ

=⋅+=

∑∑

Page 49: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 49

Dio poprečne sile koju preuzima beton i uzdužna armatura:

( )[ ]

( )[ ]kN5.109V

73300.015.000675.0402.10.1034.0V0.0AN

0.1k0.187.073.06.1d6.1kdb15.0402.1kV

1Rd

1Rd

csdcp

wcplRd1Rd

=

⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅=

==σ=⇒<=−=−=

⋅⋅σ⋅+ρ⋅+⋅⋅τ=

Dio poprečne sile koju mogu preuzeti tlačne dijagonale:

( ) kN1.1084739.0300.255.05.0V

55.05.055.0200307.0

200f7.0

zbf5.0V

2Rd

ck

wcd2Rd

=⋅⋅⋅⋅⋅=

=ν⇒>=−=−=ν

⋅⋅⋅ν⋅=

{ }{ }

0011.0cm0.30s0.30;8.43736.0min

cm0.30;d6.0minsV23.0V23.01.10844.244VV

kN4.244VV

min

max,w

max,w

2Rdsd2Rdmax,sd

a,sdmax,sd

=⇒=⋅

=⋅=

=⇒≈=

==

Maksimalni razmak spona:

300011.0

A2b

Ams sw

wmin

sww ⋅

⋅=

⋅ρ⋅

Profil Površina (Asw) (cm2) Razmak (sw) (cm)

∅6 0.28 17.0

∅7 0.38 23.0

∅8 0.50 30.3

G, Qg, q

1.0 7.08.0

3.3

244.4217.1

62.6

230.8

302.4

R =244.4 kN

V (kN)sd

M (kNm)sd

a

ac d

∅10 0.79 47.9

Odabrane spone ∅7/20, B 500B

( )

Rda,sd

w

d,ywsw1Rdwd1RdRd

2d,yw

s

ykd,yw

VV

kN1.2186.1085.10920

739.048.4338.025.109

szfAm

VVVV

cmkN48.43MPa8.43415.1

500f

B500B;f

f

>

=+=⋅⋅⋅⋅

+

⋅⋅⋅+=+=

===

⇒γ

=

Odabrane spone zadovoljavaju na cijelom nosaču osim kod ležaja a.

Page 50: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 50

244.4

217.1

62.6

V =218.1 kNRd

( ) cm09.165.1094.244

739.048.4338.02VV

zfAms

1Rdsd

d,ywswpot,w =

−⋅⋅⋅⋅

=−

⋅⋅⋅≤

Odabrane spone ∅7/15, B 500B

Prikaz armature nosača:

1.0 7.0

8.0

30

73 80

7

s1A

Ø7/15 Ø7/20

3.10 Dimenzioniranje presjeka na Moment torzije

3.10.1 Općenito Kod betonskih konstrukcija, s obzirom na značenje, a potom i daljnje tretiranje, razlikujemo

kompatibilnu (sekundarnu) i ravnotežnu (primarnu) torziju.

Kompatibilna torzija je ona koja nastaje kod monolitnih spojeva elemenata, nije nužno bitna za ravnotežu, pa se za granično stanje nosivosti može zanemariti. Naime, konstrukcija u graničnom stanju doživljava velike deformacije i pukotine što znano smanjuje torzijsku krutost, te kompatibilna torzija iščezava. Može se reći da konstrukcija koja je ispravno dimenzionirana na momente savijanja, poprečne sile i ostale utjecaje je sigurna i na djelovanje kompatibilne torzija.

Nasuprot tome primarna torzija nastaje kao posljedica zadovoljavanja uvjeta ravnoteže. Zanemarivanjem primarne torzije dolazi do sloma konstrukcije, te stoga ona ne smije biti zanemarena.

Dva karakteristična primjera za primarnu i sekundarnu torziju prikazani su na crtežu 18.

Primarna torzija Sekundarna torzija

Crtež 18 – Primjer primarne (ravnotežne) i sekundarne (kompatibilne) torzije

Page 51: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 51

3.10.2 Postupak Proračun elemenata naprezanih torzijom provodi se uporabom modela oblika prostorne rešetke.

Puni presjeci zamjenjuju se šupljim presjecima debljine t. Nagib tlačnih štapova slobodno se odabire u granicama navedenim pri proračunu na poprečne sile.

t

t /2

Ak

Kontura u

Kontura uk

c

Crtež 19 – Presjek opterećen momentom torzije

Uvjet nosivosti na moment torzije:

Rdsd TT ≤ (3.52)

gdje je:

− Tsd – računski moment torzije

− TRd – računska nosivost na torziju

Nosivost tlačnih štapova biti će zadovoljena ako je:

Θ+Θ

⋅⋅⋅ν′⋅=≤

tgctgtAf2TT kcd

1Rdsd (3.53)

gdje je:

− 35.0200f7.07.0 ck ≥⎟

⎞⎜⎝

⎛ −⋅=ν′ – - redukcijski faktor (fck u N/mm2)

− t=A/u – debljina stjenke zamjenjujućeg šupljeg presjeka

− Ak – površina unutar srednje konture šupljeg presjeka

− u – opseg vanjske konture

− A – ukupna površina presjeka

TSd0 TRd1Tsd

Proracun poprecnearmature

Nedopuštenopodrucje

TRd3TRd2

Crtež 20 – Područja momenata torzije

Page 52: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 52

Površina poprečne armature za prihvaćanje momenta torzije određuje se iz uvjeta:

w

d,ywksw2RdSd sctgfAA2TT Θ

⋅⋅⋅⋅=≤ (3.54)

Površina uzdužne armature za prihvaćanje momenta torzije određuje se iz uvjeta:

k

d,ylksl3RdSd utgfAA2TT Θ

⋅⋅⋅⋅=≤ (3.55)

gdje je:

− Asw – presjek spone koja obuhvaća presjek na razmaku sw

− Asl – površina svih uzdužnih šipki

− fyw,d, fyl,d – računske granice popuštanja poprečne i uzdužne armature

Uzdužne šipke treba raspodijeliti po opsegu. U svakom kutu treba postaviti jednu šipku, a ostale jednoliko raspodijeliti po opsegu, s tim da razmak između njih ne bude veći od 35.0 cm.

Kada su poznate armature Asw i Asl, te kut Θ i nosivost TRd2, moraju biti zadovoljene i sljedeće jednadžbe:

d,ylk

sld,yw

w

swk2Rd

d,ylk

sl

d,yw

w

sw2

fuAf

sAA2T

fuA

fsAtg

⋅⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅=Θ

(3.56)

3.10.3 Zajedničko djelovanje Momenta torzije i Poprečne sile Pri istodobnom djelovanju poprečne sile i momenta torzije valja zadovoljiti uvjet:

zbf5.0V:uz;1VV

TT

wcd2Rd

2

2Rd

Sd2

1Rd

Sd ⋅⋅⋅ν′⋅=≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ (3.57)

Poprečna armatura se posebno određuje za svako djelovanje te superponira.

Pri simultanom djelovanju momenta savijanja i momenta torzije valja posebno za svako naprezanje izračunati uzdužnu armaturu, samo što se one u vlačnoj zoni od savijanja zbrajaju, a u tlačnoj redovito nije potrebno dodavati onu zbog naprezanja torzijom, jer je ona često manja od konstruktivne.

Kad istodobno djeluju moment torzije i veliki moment savijanja (sandučasti presjeci), može biti kritično glavno naprezanje u tlačnoj zoni od savijanja, pa valja zadovoljiti uvjet:

cd2Sd

2SdSd

2 f85.022

⋅≤τ+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ σ−

σ=σ (3.58)

gdje je:

− tbz

MSdSd ⋅⋅

=σ – Računsko normalno tlačno naprezanje koje se uvrštava s predznakom +

− tA2

T

k

SdSd ⋅⋅

=τ – Računsko posmično naprezanje uzrokovano torzijom

Page 53: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 53

Spone za prihvaćanje torzije moraju biti zatvorene i preklopljene po kraćoj stranici. Uvjeti za minimalnu armaturu i maksimalne razmake spona su isti kao i kod proračuna na poprečne sile.

Numerički primjer 1

Isti presjek kao kod proračuna na poprečne sile, opterećen momentom torzije Tsd=20.0 kNm

30

7380

7

s15Ø16 (A =10.05 cm )2

s2Ø14 (A =3.08 cm )2

s22Ø14 (A =3.08 cm )2

687

5

224 4

beton:

C 30/37 fck = 30.0 MPa MPa0.205.10.30ff cckcd ==γ= τRd = 0.34 MPa armatura:

B 500B fyk = 500.0 MPa

MPa8.43415.10.500ff sykyd ==γ=

Nosivost tlačnih štapova:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

kNcm8.110kNcm5.11080T45tg45ctg

91.1013190.2385.02tgctg

tAf2T

45

cm131991.108091.1030thtbA

cm91.10220

2400uAt

cm22080302hb2ucm24008030hbA

385.0200307.07.0

200f7.07.0

tgctgtAf2T

1Rd

kcd1Rd

2k

2

ck

kcd1Rd

==

=+

⋅⋅⋅⋅=

Θ+Θ⋅⋅⋅ν′⋅

=

=−⋅−=−⋅−=

===

=+⋅=+⋅==⋅=⋅=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅=⎟

⎞⎜⎝

⎛ −⋅=ν′

Θ+Θ⋅⋅⋅ν′⋅

=

oo

o

Page 54: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 54

Odabrane spone ∅10 (Asw=0.79 cm2):

cm74.212000

187.20131979.02T

ctgfAA2s

sctgfAA2TT

Sd

d,ywkswpot,w

wd,ywksw2RdSd

=⋅⋅⋅⋅

=

Θ⋅⋅⋅⋅≤

Θ⋅⋅⋅⋅=≤

Odabrana poprečna armatura: ∅10/20. Uzdužna armatura:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )2

d,ylk

kSdsl

k

kd,ylksl2RdSd

cm08.3148.4313192

36.1762000tgfA2

uTA

cm36.17691.108091.10302thtb2uu

tgfAA2TT

=⋅⋅⋅

⋅=

Θ⋅⋅⋅⋅

=

=−+−⋅=−+−⋅=

Θ⋅⋅⋅⋅=≤

Odabrana uzdužna armatura: 8∅10 (Asl=6.28 cm2).

Numerički primjer 2

Pretpostavimo da na gredu zadanu kod numeričkog primjera za poprečne sile, djeluje i moment torzije. Koristimo metodu slobodnog odabira nagiba tlačnih štapova. Odaberimo Θ=45°.

kN1.108411739.0300.255.0

tgctgzbfV

50.055.0200307.0

200f7.0

0.0V

wcd2Rd

ck

1Rd

=+⋅

⋅⋅⋅=Θ+Θ

⋅⋅⋅ν=

>=−=−=ν

=

Ukupnu poprečnu silu, u ovom slučaju potrebno je preuzeti armaturom. Odabrani profil spona: ∅10. Presjek uz ležaj a:

cm47.181

4.244739.048.4379.02s

ctgs

mzfAVV

w

w

d,ywswwd3Rd

=⋅⋅⋅⋅⋅

=

Θ⋅⋅⋅⋅

==

Odabrane spone uz ležaj a: ∅10/18. Kontroliramo zadani uvjet:

55.0191.0

0.255.021

183048.43279.0

⋅⋅≤⋅⋅⋅

Ostali presjeci duž nosača:

kN5.1800.1s

739.048.4379.02ctgs

mzfAV

ww

d,ywswwd =⋅

⋅⋅⋅⋅=Θ⋅

⋅⋅⋅=

Odabrane spone na ostalom dijelu nosača: ∅10/25

Page 55: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 55

Presjek (element) smo dosad dimenzionirali odvojeno na moment savijanja, poprečnu silu i torziju. U slučaju da sva tri djelovanja su istovremena armaturu je potrebno sumirati.

Uzdužna armatura:

2Ø14

Msd

"+"

Tsd

2Ø14

5Ø16

2Ø10

2Ø10

2Ø10

2Ø10

"="2Ø10

2Ø10

2Ø10

6Ø16

Ukupno

− U gornjoj zoni i sredini presjeka armatura od savijanja je konstruktivna, a armatura od

torzije je računska. Usvaja se armatura od torzije.

− U donjoj zoni obje armature (i od savijanja i od torzije su računske. Potrebno ih je zbrojiti.

5∅16 (As=10.05 cm2); 2∅10 (As=1.57 cm2)

6∅16 (As=12.06 cm2) > 5∅16+2∅10

Poprečna armatura:

1.0 7.0Ø10/18 Ø10/25

sdV

8.0Ø10/20

sdT"+"

Ukupno"="

1.0 7.0Ø10/9.5 Ø10/11.1

Spone na prvih 1 m grede:

cm5.920182018

ssss

sT,wV,w

T,wV,wwt

=+⋅

=

=+⋅

Spone na ostalom dijelu grede:

cm1.1120252025

ssss

sT,wV,w

T,wV,wwt

=+⋅

=

=+⋅

Page 56: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 56

Kontrola zajedničkog djelovanja poprečne sile i momenta torzije

1129.08.7584.244

8.1100.20

kN8.758V7.0VkN1.1084V;kN4.244V

kNm8.110T;kNm0.20T

1VV

TT

222Rd2Rd

2RdSd

1RdSd

2

2Rd

Sd2

1Rd

Sd

≤=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=⋅=′==

==

≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

Page 57: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 57

3.10.4 Proračun ploča na proboj

3.10.5 Koso savijanje

3.10.6 Vitki elementi naprezani ekscentričnom tlačnom silom

Page 58: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 58

4 DIMENZIONIRANJE PRESJEKA PREMA GRANIČNIM STANJIMA UPORABE

4.1 Općenito

Ako graničnim stanjima nosivosti osiguravamo da konstrukcija i njeni elementi u graničnom stanju imaju dovoljnu nosivost, graničnim stanjima uporabe osiguravamo da ta konstrukcija bude i upotrebljiva, pri čemu uzimamo u obzir uvjete okoliša i vrstu i karakter opterećenja. Primjerice, ako konstrukcija ima preveliki progib i/ili značajne pukotine, bez obzira na što sigurnost konstrukcije nije ugrožena, korištenje takve konstrukcije neće biti ugodno, te je bitno smanjena njena vrijednost.

U nastavku će biti obrađena tri granična stanja uporabe koja obrađuje i EC-2, to su:

− Granično stanje naprezanja

− Granično stanje pukotina

− Granično stanje progiba

4.2 Granično stanje naprezanja

Prekomjerno naprezanje betona i/ili čelika pod opterećenjem u eksploataciji utječe preko raspucavanja i plastičnog deformiranja na trajnost i uporabljivost armiranobetonskih i prednapetih konstrukcija. Da bi se izbjegle negativne posljedice, prema EC-2 ograničavaju se naprezanja, i to:

U Betonu:

− Pod rijetkom kombinacijom opterećenja

ckc f6.0≤σ (4.1)

− Pod kvazistalnom kombinacijom opterećenja

ckc f45.0≤σ (4.2)

U Čeliku:

− Pod rijetkom kombinacijom opterećenja

yks f8.0≤σ (4.3)

− Pod naprezanjem izazvanim samo indirektnim djelovanjem (prinudne deformacije)

yks f0.1≤σ (4.4)

− U čeliku za prednaprezanje nakon svih gubitaka pod rijetkom kombinacijom djelovanja

pkp f75.0≤σ (4.5)

Ograničenjem naprezanja sprječava se slabljenje tlačne zone otvaranjem poprečnih mikropukotina nastalih poprečnim vlačnim naprezanjima (sile cijepanja) i plastifikacija betona.

Izrazima (5.3) i (5.5) želi se spriječiti prekomjerno istezanje čelika, a time i široke pukotine.

Za određivanje naprezanja koristi se linearna raspodjela naprezanja u betonu i čeliku (linearna teorija), te konstantan odnos modula elastičnosti (Es/Ec=15). Kada uvjeti ograničenja naprezanja nisu ispunjeni, potrebno je pojačati presjek i/ili armaturu, ili poduzeti druge mjere.

Page 59: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 59

4.3 Granično stanje pukotina

4.3.1 Općenito Raspucavanje armiranobetonskih konstrukcija ograničava se kako bi se spriječile šetne posljedice

za trajnost građevine. Pukotine nastaju kada vlačna naprezanja izazvana savijanjem, torzijom, poprečnim silama i uzdužnom vlačnom silom, pojedinačno ili zajednički, prijeđu vlačnu čvrstoću betona.

Kada nema posebnih zahtjeva na raspucavanje (npr. vodonepropusnost) armiranobetonskih sustava, može se uzeti za normalne klase onečišćenja, za armirano betonske konstrukcije wg=0.3 mm, a za prednapete konstrukcije wg=0.2 mm.

Za proračun graničnih stanja pukotina primjenjuju se kvazistalna i/ili česta kombinacija opterećenja.

4.3.2 Minimalna armatura Armiranobetonske i prednapete elemente valja uvijek armirati u području vlačnih naprezanja

barem minimalnom armaturom za ograničenje širina pukotina, osobito ako se očekuje indirektno djelovanje izazvano spriječenošću slobodnog skupljanja ili prinudnim deformacijama (popuštanje ležaja).

Kako raspodjela vlačnih naprezanja po visini presjeka utječe na raspucavanje elementa, valja razlikovati:

− Promjenjivu raspodjelu izazvanu momentom savijanja (postoji vlačna i tlačna zona),

− Jednoliku raspodjelu izazvanu vlačnom silom ( cijeli presjek naprezan na vlak).

Minimalna armatura može se izračunati po izrazu:

s

cteff,ctcmin,s

AfkkAσ

⋅⋅⋅= (4.6)

gdje je:

− kc – koeficijent kojim se uzima u obzir raspodjela naprezanja po visini presjeka pri pojavi prve pukotine (kc=1.0 za centrični vlak; kc=0.4 za savijanje)

− k – korekcijski koeficijent (k=0.8 kod spriječenih deformacija; k=1.0 za prinudne deformacije)

− fct,eff – vlačna čvrstoća betona pri pojavi prve pukotine

− Act – vlačna površina neposredno prije pojave pukotine

− σs – naprezanje u armaturi neposredno nakon pojave pukotine

Granično stanje pukotina nije potrebno kontrolirati kod ploča, ako debljina ploče ne prelazi 200 mm, te kada je ploča armirana u skladu s preporukama u vezi površine i rasporeda armature potrebnom za nosivost.

Za elemente armirane minimalnom armaturom, dobivenom po prethodno prikazanom izrazu, granično stanje pukotina biti će zadovoljeno ako promjeri šipaka i razmaci šipki budu manji od graničnih. Naprezanja u čeliku (σs) odgovara onom pri određivanju minimalne armature, a proračunava se za kvazistalnu kombinaciju opterećenja.

Page 60: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 60

4.3.3 Dokazni postupak bez kontrole širine pukotina Armirano betonske i prednapete ploče naprezane savijanjem nije potrebno kontrolirati na granično

stanje širina pukotina ako ukupna debljina ploče ne prelazi 20 cm, te kada je korektno proračunata i armirana prema graničnim stanjima nosivosti.

Za elemente armirane minimalnom armaturom, izračunatom prema izrazu (4.6) granično stanje širina pukotina biti će zadovoljeno ako promjeri šipki i razmaci među njima odgovaraju onima danim u tablicama priloženim u nastavku.

Osnovni odnos raspona i efektivna debljina presjeka (l/h), sortirani su u tablici:

Konstrukcijski sustav Jače napregnut beton

Slabije napregnut beton

1. Prosta greda; Samostojeće ploče koje nose u jednom ili dva smjera (ploče koje se nastavljaju)

18 25

2. Krajnji raspon kontinuiranog nosača ili ploče koja nosi u dva smjera a nastavlja se preko jedne stranice

23 32

3. Unutarnji raspon kontinuiranog nosača ili ploče koja nosi u 1 smjeru ili 2 smjera i koja se nastavlja

25 35

4. Ploče oslonjene na stupove bez greda (bazirano na duljem rasponu) 21 30

5. Konzole 7 10

Maksimalni promjeri šipki i njihovi maksimalni razmaci za različite nivoe naprezanja u čeliku, sortirani su u tablici:

Maksimalni razmak šipki (mm) Naprezanje u armaturi (MPa)

Maksimalni promjer šipke

φ (mm) Savijanje Vlak 160 200 240 280 320 360

32 25 20 16 12 10

300 250 200 150 100 50

200 150 125 75 - -

Visoke grede (grede visine 60 cm i više), kod kojih je glavna armatura skoncentrirana u donjem dijelu vlačne zone valja armirati po visini hrpta kako bi se ograničile širine pukotina i po visini grede. Površinu ove armature se može izračunati po izrazu (4.6), s tim da se uzme k=0.5, a σs=fyk. Promjeri i razmaci šipki se odabiru prema priloženim tablicama. Ovu armaturu je potrebno dobro povezati sponama.

4.3.4 Proračun širine pukotina Kada nisu zadovoljeni uvjeti iz tablica ili kada se želi točniji dokaz graničnog stanja pukotina,

proračunava se računska (karakteristična) vrijednost širine pukotina i uspoređuje s graničnom vrijednošću.

gk ww ≤ (4.7)

Računska širina pukotine, prema EC-2, može se prognozirati pomoću izraza:

smrmk sw ε⋅⋅β= (4.8)

gdje je:

− β – odnos računske i srednje širine pukotina (β=1.7 za vanjsko opterećenje; β=1.3 za neizravno opterećenje)

− σrm – srednji razmak pukotina

− εsm – srednja deformacija armature

Page 61: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 61

Srednja deformacija armature određuje se po izrazu:

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

⋅β⋅β−⋅σ

=ζ⋅σ

=ε2

s

sr21

s

s

s

ssm 1

EE (4.9)

gdje je:

− ζ – koeficijent raspodjele

− σs – naprezanje u vlačnoj armaturi na mjestu pukotine

s

sd

s

sds

A3xd

MAz

M

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

≈⋅

=σ (4.10)

− σsr – naprezanje u vlačnoj armaturi na mjestu pojave prve pukotine

6hbfM;

AzM 2

ctmcrs

crsr

⋅⋅=

⋅=σ (4.11)

− β1 – koeficijent kojim se uzima u obzir vrsta armature (β1=1.0 - rebrasta armatura, β1=0.5 - glatka armatura)

− β2 – koeficijent kojim se uzima u obzir trajanje opterećenja (β2=1.0 – kratkotrajno opterećenje, β2=0.5 – dugotrajno opterećenje ili promjenjivo s čestim udjelom)

Srednji razmak pukotina određuje se po izrazu:

[ ]mmkk25.050sr

21rm ρφ

⋅⋅⋅+= (4.12)

gdje je:

− φ – promjer šipke u mm

− ρr – djelotvorni koeficijent armiranja glavnom vlačnom armaturom

− k1 – koeficijent kojim se uzima u obzir prionjivost čelika i betona (k1=0.8 - rebrasta armatura, k1=1.6 - glatka armatura

− k2 – koeficijent kojim se uzima u obzir utjecaj raspodjele deformacija (k2=0.5 – savijanje, k2=1.0 – vlak)

− Ac,eff – sudjelujuća vlačna zona presjeka

h

b

dd 1 2.

5 d 1

Grede

Ac,eff

Ploce

Težištearmature

d 1h d

c Manja vrijednost od2.5 (c+φ/2) ili(h-x)/3

Ac,eff

Crtež 21 – Primjeri za određivanje sudjelujuće vlačne zone presjeka

Page 62: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 62

Numerički primjer

Potrebno je odrediti granično stanje pukotina za gredu prikazanu na crtežu. Beton C40/50. d

=4

1 b=30 cm

h=44

cm

d=40

cm

A =3Ø16s1

A =3Ø12s2 x

d =

42

sdM =43.90 kNm

materijal: C 40/50 ; fck = 40.0 MPa MPa7.265.10.40ff cckcd ==γ= B 500B ; fyk = 500.0 MPa MPa8.43415.10.500ff sykyd ==γ=

opterećenje: kNm90.43Msd = geometrija:

cm0.40dhd

cm4d;cm0.44hcm0.30b

1

1

=−=

===

Prognozna širina pukotine:

smrmk sw ε⋅⋅β=

β=1.7 - odnos računske i srednje širine pukotina

Proračun srednje deformacije armature:

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

⋅β⋅β−⋅σ

=ζ⋅σ

=ε2

s

sr21

s

s

s

ssm 1

EE

cm50.803.671.54030211

3003.671.5

Andb211

bAnx

1S

1S =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⋅⋅⋅

++−⋅⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⋅⋅⋅

++−⋅⋅

=

MPa9.195cmkN59.19

03.635.840

4390

A3xd

MAz

M2

s

sd

s

sds ==

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

≈⋅

( )

( ) ( )

MPa2.151cmkN12.15

03.6409.03388

03.635.840

3388

A3xd

MAz

M

kNm88.33kNcm0.33886443035.0M

MPa5.30.403.0f3.0f

MPa0.40f;f3.0f;6hbfM;

AzM

2

s

cr

s

crsr

2

cr

3232ckm,ct

ck32

ckm,ct

2

m,ctcrs

crsr

==⋅⋅

=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

≈⋅

==⋅

⋅=

=⋅=⋅=

=⋅≈⋅

⋅=⋅

kPa0.200000000GPa0.200Es == - modul elastičnosti armature

0.11 =β - Rebrasta armatura

5.02 =β - Dugotrajno opterećenje

322

s

sr21

s

ssm 10688.0

9.1952.1515.00.11

0.2000009.1951

E−⋅=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅−⋅=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

⋅β⋅β−⋅σ

Page 63: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 63

Proračun srednjeg razmaka pukotina:

[ ]mmkk25.050sr

21rm ρφ

⋅⋅⋅+=

mm16=φ - Promjer najdeblje šipke

8.0k1 = - Rebrasta armatura

5.0k2 = - Savijanje

0201.01030

03.6AA

eff,c

sr =

⋅==ρ - Djelotvorni koeficijent armiranja glavnom vlačnom armaturom

4 =2.5

*d

=10

cm1

d 1b=30

mm6.1290201.0165.08.025.050kk25.050s

r21rm =⋅⋅⋅+=

ρφ

⋅⋅⋅+=

Prognozna širina pukotine:

mm3.0wmm151.06.12910688.07.1sw g3

smrmk =<=⋅⋅⋅=ε⋅⋅β= −

Page 64: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 64

4.4 Granično stanje progiba

4.4.1 Općenito Deformiranje elemenata i konstrukcija dozvoljava se u određenim granicama i pod uvjetom da ne

izazove oštećenja u samom sustavu i drugim nosivim elementima. Pod pojmom deformiranje (izobličenje) podrazumijeva se deformacija, progib, zakrivljenost, pomak, uvrtanje i promjena nagiba. Najčešća analiza je analiza progiba.

Preporučene vrijednosti maksimalnih vertikalnih progiba prikazane su u tablici: Konstrukcija δmax δ2

krovovi L/200 L/300

pristupačni krovovi za drugu namjenu osim održavanja L/250 L/300

stropovi L/250 L/300

stropovi/krovovi sa žbukom ili drugim krhkim završnim slojevima ili nesavitljivim pregradama L/250 L/250

stropovi koje podupiru stupovi (osim ako je progib uzet u obzir u sklopu proračuna za granično stanje nosivosti) L/400 L/500

kada δmax može narušiti izgled zgrade L/250 −

δ0= nadvišenje

δ1= progib od kratkotrajnog opterećenja

δ2= progib od vremenskih efekata

δmax= maksimalni (ukupni) progib

Kontrolu progiba nije potrebno provoditi uvijek. EC2 propisuje da kontrolu graničnog stanja uporabe nije potrebno provoditi kada vitkost elementa na savijanje (leff/d) ne prelazi vrijednosti naznačene u tablici.

Vrijednosti naznačene u tablici valja umanjiti:

− Za grede T presjeka kojima je beff/bw>3 s faktorom: 0.8;

− Za sve elemente, osim ravnih ploča, raspona preko 7 m, koji nose pregradno ziđe, s faktorom: 7/leff.

− Za ravne ploče, raspona preko 8.5 m, s faktorom: 8.5/leff.

Također, kada je stvarno naprezanje u čeliku manje od 250.0 MN/m2, vrijednosti u tablici treba korigirati s nepovoljnijim od dva faktora:

prov,s

req,syk

3s

3

AA

f

400f;250f⋅

= (4.13)

gdje je As,prov postojeća, a As,req potrebna površina armature.

Upotreba ove tablice je na strani sigurnosti. Kod većih vitkosti i kada se ne može zadovoljiti uvjet za primjenu tablice potrebno je provesti dokaz graničnog stanja deformiranja.

Page 65: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 65

4.4.2 Dokaz graničnog stanja progibanja Potrebno je dokazati da je progib izazvan opterećenjem manji od graničnog:

gk ν≤ν (4.14)

Za elemente pretežno naprezane na savijanje vrijedi sljedeći izraz:

( ) III 1 ν⋅ζ−+ν⋅ζ=ν (4.15)

gdje je:

− ν – ukupni progib

− ζ – koeficijent raspodjele (već primjenjivan kod proračuna pukotina); za neraspucali element z=0.0

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

⋅β⋅β−=ζ2

s

sr211

− νI, νII – odgovarajuće vrijednosti progiba za neraspucali (homogeni) i potpuno raspucali element

Page 66: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 66

Za elemente konstantne visine koristi se pojednostavljena metoda prema kojoj se izračuna zakrivljenost na mjestu maksimalnog momenta, a progib se tada izračuna prema izrazu:

tot

2tot r

1Lk ⋅⋅=ν (4.16)

gdje je:

− k – koeficijent ovisan o statičkom sustavu i opterećenju (vidi tablicu)

− L – raspon elementa

− rtot – ukupna zakrivljenost elementa, prema izrazu

csmmtot r1

r1

r1

+= (4.17)

− rm – zakrivljenost zbog opterećenja i puzanja

− rcsm – zakrivljenost zbog skupljanja

Tablica koeficijenata k za pojednostavljeni proračun progiba:

Page 67: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 67

Srednja zakrivljenost zbog opterećenja i puzanja sastoji se od zakrivljenosti u stanju naprezanja I i stanju naprezanja II:

( )IIIm r11

r1

r1

⋅ζ−+⋅ζ= (4.18)

Zakrivljenost za stanje naprezanja I proračunava se prema izrazu:

Ieff,c

Sd

I IEM

r1

⋅= (4.19)

gdje je:

− II – moment tromosti presjeka u stanju I (neraspucalo stanje)

Približne vrijednosti vlačne čvrstoće betona i modula elastičnosti mogu se odrediti izrazima:

[ ] [ ]

( ) [ ] [ ]MPaf;MPaf3.0f

MPaf;MPa8f9500E

ck32

ckm,ct

ck3

ckcm

⋅≈

+⋅= (4.20)

Puzanje betona može se uzeti u obzir preko korigiranog modula elastičnosti, nakon očitanja trajnog koeficijenta puzanja (

∞ϕ t,t0

) iz pravilnika:

ϕ+=

t,t

cmeff,c

00.1

EE (4.21)

Zakrivljenost za stanje naprezanja II:

IIeff,c

Sd

IIg

1s

II IEM

ydr1

⋅=

−ε

= (4.22)

gdje je:

− yIIg – udaljenost neutralne osi od gornjeg ruba poprečnog presjeka za stanje II

− εs1 – relativna deformacija armature, koja se izračunava po izrazu:

1s

sds

s

s1s Az

M;E ⋅

=σσ

=ε (4.23)

Moment nastanka prve pukotine određuje se prema izrazu:

( ) 32ckm,ct

2

m,ctcr f3.0f;6hbfM ⋅≈

⋅⋅= (4.24)

Te, ako je Mcr>Msd, tada se koeficijent raspodjele z uzima jednak 0, bez obzira na proračunatu vrijednost, jer je nosač u elastičnom stanju.

Zakrivljenost zbog skupljanja za stanje naprezanja I i II iznose:

II

IIecs

II,cslI

Iecs

I,csl IS

r1;

IS

r1 ⋅α⋅ε

=⋅α⋅ε

= ∞∞ (4.25)

gdje je:

− SI, SII – statički moment površine armature za stanje naprezanja I, tj. II,

− II, III – momenti tromosti poprečnog presjeka za stanje naprezanja I, tj. II,

− εcs∞ – relativna deformacija zbog skupljanja u beskonačnosti (iz tablica)

− αe – omjer modula elastičnosti čelika i betona, prema:

Page 68: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 68

( ) ( )∞==α==α t zaEE;0t za

EE

eff,c

se

cm

se (4.26)

Numerički primjer

Potrebno je izračunati granično stanje progiba za nosač prikazan na crtežu.

M = 0 kNmA

M = 57.5 kNmB

M = 43.9 kNmFL=460 cm

Granični progib:

cm 84.1250460

250L

lim ===ν

Beton: C 40/50; fck=40.0 MPa

( ) ( ) MPa5.30.403.0f3.0f

MPa3500084095008f9500E3232

ckm,ct

33ckcm

=⋅=⋅=

≈+⋅=+⋅=

Čelik: B500B; Es=200.0 GPa

71.50.350.200

EE

cm

seI ===α

tot

2tot r

1Lk ⋅⋅=ν

( ) ( ) 091.031.11.01104.01.01485k

31.19.435.570.0MMM FBA

=⋅−⋅=β⋅−⋅=

=+=+=β

Presjek u polju:

4d 1

b=30

40

A =3Ø16s1

A =3Ø12s2

4d 2

As1 = 3∅16 =6.03 cm2

As2 = 2∅12 =2.26 cm2

4

223

2

12s

2

21seI

3

I

cm8.2282968.153360.212960

42

4426.242

4403.671.512

4430

d2hAd

2hA

12bhI

=+=

=⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅+

⋅=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅α+=

cm100000549.0

83.2282960.35000.4390

IEM

r1

cmkN0.3500mGN0.35EE

kNcm0.4390kNm90.43M0.1M0.1MM

Ieff,c

Sd

I

22cmeff,c

qgFSd

=⋅

=⋅

=

===

==⋅+⋅==

cm50.803.671.54030211

3003.671.5

Abd211

bAx

1seI

1seI =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⋅⋅⋅

++−⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⋅α++−

⋅α=

Page 69: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 69

( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]4

2223

222s

21seI

23

II

cm 03.4056778.3442525.6141

45.826.25.84003.671.5250.850.830

1250.830

dxAxdA2xbx

12bxI

=+=

−⋅+−⋅⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅+

⋅=

−⋅+−⋅⋅α+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+=

MPa9.195cmkN59.19

03.635.840

4390

A3xd

MAz

M2

1s

sd

1s

sd1s ==

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

≈⋅

4d 1

b=30

h =

44 c

md

= 40

cm

A =3Ø16s1

A =3Ø12s2 x

4d 2 cF

s1F

d - x

/3

0009795.0200000

9.195Es

1s1s ==

σ=ε

cm100003110.0

5.8400009795.0

ydr1

IIg

1s

II=

−=

−ε

=

Alternativno:

cm100003092.0

03.405670.35000.4390

IEM

r1

IIeff,c

Sd

II=

⋅=

⋅=

( )

( ) ( )

MPa2.151cmkN12.15

03.635.840

3388

A3xd

MAz

M

kNm88.33kNcm0.33886443035.0M

MPa5.30.403.0f3.0f

MPa0.40f;f3.0f;6hbfM;

AzM

2

s

cr

s

crsr

2

cr

3232ckctm

ck32

ckctm

2

ctmcrs

crsr

==⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

≈⋅

==⋅

⋅=

=⋅=⋅=

=⋅≈⋅

⋅=⋅

( ) ( )cm10000131.000003110.0702.0100000549.0702.0

r11

r1

r1

702.09.1952.1515.00.111

cm100003110.0

r1

cm100000549.0

r1

IIIm

22

s

sr21

II

I

=⋅−+⋅=⋅ζ−+⋅ζ=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅−=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

⋅β⋅β−=ζ

=

=

cm 84.1cm16.00000131.00.360091.0r1Lk

cm0.360L091.0k

lim2

tot

20t,tot =ν<=⋅⋅=⋅⋅=ν

==

=

Page 70: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 70

Ako uključimo puzanje:

Presjek u polju: 4d 1

b=30

40

A =3Ø16s1

A =3Ø12s2

4d 2

As1 = 3∅16 =6.03 cm2

As2 = 2∅12 =2.26 cm2

42.193.100.200

EE

GPa3.104.21

0.351

EE

eff,c

seII

t,t

cmeff,c

===α

≈+

=ϕ+

=∞=

4

223

2

12s

2

21seI

3

I

cm34.26512134.521610.212960

42

4426.242

4403.642.1912

4430

d2hAd

2hA

12bhI

=+=

=⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅+

⋅=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅α+=

cm10000161.0

34.2651210.10300.4390

IEM

r1

kNcm0.4390kNm90.43M0.1M0.1MM

Ieff,c

Sd

I

qgFSd

=⋅

=⋅

=

==⋅+⋅==

cm20.1403.642.19

403021130

03.642.19 A

bd211b

Ax1seII

1seII =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⋅⋅⋅

++−⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⋅α++−

⋅α=

( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]4

2223

222s

21seII

23

II

cm 29.11114741.8251488.28632

420.1426.220.144003.642.19220.1420.1430

1220.1430

dxAxdA2xbx

12bxI

=+=

−⋅+−⋅⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅+

⋅=

−⋅+−⋅⋅α+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+=

)MPa9.195(MPa4.206cmkN64.20

03.63

2.1440

4390

A3xd

MAz

M2

1s

sd

1s

sd1s ==

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

≈⋅

001032.0200000

4.206Es

1s1s ==

σ=ε

cm10000400.0

2.1440001032.0

ydr1

IIg

1s

II=

−=

−ε

=

cm10000383.0

29.1111470.10300.4390

IEM

r1

IIeff,c

Sd

II=

⋅=

⋅=

( )

( ) ( )

MPa0.159cmkN90.15

03.63

2.1440

3388

A3xd

MAz

M

kNm88.33kNcm0.33886443035.0M

MPa5.30.403.0f3.0f

MPa0.40f;f3.0f;6hbfM;

AzM

2

s

cr

s

crsr

2

cr

3232ckctm

ck32

ckctm

2

ctmcrs

crsr

==⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

≈⋅

==⋅

⋅=

=⋅=⋅=

=⋅≈⋅

⋅=⋅

Page 71: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 71

( ) ( )cm10000232.00000400.0703.010000161.0703.0

r11

r1

r1

703.04.2060.1595.00.111

cm10000400.0

r1

cm10000161.0

r1

IIIm

22

s

sr21

II

I

=⋅−+⋅=⋅ζ−+⋅ζ=

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅⋅−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

⋅β⋅β−=ζ

=

=

cm 84.1cm27.00000232.00.360091.0r1Lk

cm0.360L091.0k

lim2

tot

2t,tot =ν<=⋅⋅=⋅⋅=ν

==

∞=

Page 72: Osnove betonskih konstrukcija

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 72

5 PRILOZI

Prilog 1: Tablice za dimenzioniranje pravokutnih presjeka prema graničnim stanjima sloma

Prilog 2: Tablice za dimenzioniranje T i Γ presjeka

Prilog 3: Tablice za proračun pravokutnih križno armiranih ploča opterećenih jednolikim kontinuiranim opterećenjem

Prilog 4: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih pravokutnih presjeka, β=0.05

Prilog 5: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih pravokutnih presjeka, β=0.075

Prilog 6: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih pravokutnih presjeka, β=0.10

Prilog 7: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih kružnih presjeka, ϕ=0.85

Prilog 8: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih kružnih presjeka, ϕ=0.90

Prilog 9: Armaturne tablice

Page 73: Osnove betonskih konstrukcija

Prilog 1: Tablice za dimenzioniranje pravokutnih presjeka prema graničnim stanjima sloma Lom preko armature εs1=20.0 ‰

εc2 [‰]

εs1 [‰] ξ=x/d ζ=z/d ω1 µsds

0.1 20.0 0.005 0.998 0.000 0.000 0.2 20.0 0.010 0.997 0.001 0.001 0.3 20.0 0.015 0.995 0.002 0.002 0.4 20.0 0.020 0.993 0.003 0.003 0.5 20.0 0.024 0.992 0.005 0.005 0.6 20.0 0.029 0.990 0.007 0.007 0.7 20.0 0.034 0.988 0.009 0.009 0.8 20.0 0.038 0.987 0.011 0.011 0.9 20.0 0.043 0.985 0.014 0.014 1.0 20.0 0.048 0.983 0.017 0.017 1.1 20.0 0.052 0.982 0.020 0.020 1.2 20.0 0.057 0.980 0.023 0.023 1.3 20.0 0.061 0.978 0.026 0.026 1.4 20.0 0.065 0.977 0.030 0.029 1.5 20.0 0.070 0.975 0.033 0.033 1.6 20.0 0.074 0.973 0.037 0.036 1.7 20.0 0.078 0.971 0.041 0.039 1.8 20.0 0.083 0.970 0.044 0.043 1.9 20.0 0.087 0.968 0.048 0.046 2.0 20.0 0.091 0.966 0.052 0.050 2.1 20.0 0.095 0.964 0.055 0.053 2.2 20.0 0.099 0.962 0.059 0.056 2.3 20.0 0.103 0.960 0.062 0.060 2.4 20.0 0.107 0.958 0.066 0.063 2.5 20.0 0.111 0.957 0.069 0.066 2.6 20.0 0.115 0.955 0.073 0.069 2.7 20.0 0.119 0.953 0.076 0.073 2.8 20.0 0.123 0.951 0.080 0.076 2.9 20.0 0.127 0.949 0.083 0.079 3.0 20.0 0.130 0.947 0.086 0.082 3.1 20.0 0.134 0.945 0.090 0.085 3.2 20.0 0.138 0.944 0.093 0.088 3.3 20.0 0.142 0.942 0.096 0.090 3.4 20.0 0.145 0.940 0.099 0.093 3.5 20.0 0.149 0.938 0.102 0.096

Lom preko armature εs1=10.0 ‰ εc2 [‰]

εs1 [‰] ξ=x/d ζ=z/d ω1 µsds

0.1 10.0 0.010 0.997 0.000 0.000 0.2 10.0 0.020 0.993 0.002 0.002 0.3 10.0 0.029 0.990 0.004 0.003 0.4 10.0 0.038 0.987 0.006 0.006 0.5 10.0 0.048 0.984 0.009 0.009 0.6 10.0 0.057 0.981 0.013 0.013 0.7 10.0 0.065 0.977 0.017 0.017 0.8 10.0 0.074 0.974 0.022 0.021 0.9 10.0 0.083 0.971 0.027 0.026 1.0 10.0 0.091 0.968 0.032 0.031 1.1 10.0 0.099 0.965 0.038 0.037 1.2 10.0 0.107 0.962 0.044 0.042 1.3 10.0 0.115 0.959 0.050 0.048 1.4 10.0 0.123 0.956 0.056 0.054 1.5 10.0 0.130 0.953 0.062 0.059 1.6 10.0 0.138 0.950 0.069 0.065 1.7 10.0 0.145 0.947 0.075 0.071 1.8 10.0 0.153 0.944 0.082 0.077 1.9 10.0 0.160 0.941 0.088 0.083 2.0 10.0 0.167 0.938 0.094 0.089 2.1 10.0 0.174 0.934 0.101 0.094 2.2 10.0 0.180 0.931 0.107 0.099 2.3 10.0 0.187 0.928 0.113 0.105 2.4 10.0 0.194 0.925 0.119 0.110 2.5 10.0 0.200 0.922 0.125 0.115 2.6 10.0 0.206 0.919 0.130 0.120 2.7 10.0 0.213 0.916 0.136 0.125 2.8 10.0 0.219 0.913 0.142 0.129 2.9 10.0 0.225 0.910 0.147 0.134 3.0 10.0 0.231 0.907 0.153 0.138 3.1 10.0 0.237 0.904 0.158 0.143 3.2 10.0 0.242 0.901 0.163 0.147 3.3 10.0 0.248 0.898 0.168 0.151 3.4 10.0 0.254 0.895 0.173 0.155 3.5 10.0 0.259 0.892 0.178 0.159

Lom preko armature εs1=5.0 ‰ εc2 [‰]

εs1 [‰] ξ=x/d ζ=z/d ω1 µsds

0.1 5.0 0.020 0.993 0.001 0.001 0.2 5.0 0.038 0.987 0.003 0.003 0.3 5.0 0.057 0.981 0.007 0.007 0.4 5.0 0.074 0.975 0.012 0.011 0.5 5.0 0.091 0.969 0.018 0.017 0.6 5.0 0.107 0.963 0.025 0.024 0.7 5.0 0.123 0.958 0.032 0.031 0.8 5.0 0.138 0.952 0.041 0.039 0.9 5.0 0.153 0.947 0.050 0.047 1.0 5.0 0.167 0.942 0.059 0.056 1.1 5.0 0.180 0.937 0.069 0.064 1.2 5.0 0.194 0.931 0.079 0.074 1.3 5.0 0.206 0.926 0.089 0.083 1.4 5.0 0.219 0.922 0.100 0.092 1.5 5.0 0.231 0.917 0.110 0.101 1.6 5.0 0.242 0.912 0.121 0.110 1.7 5.0 0.254 0.907 0.131 0.119 1.8 5.0 0.265 0.902 0.142 0.128 1.9 5.0 0.275 0.898 0.152 0.136 2.0 5.0 0.286 0.893 0.162 0.145 2.1 5.0 0.296 0.888 0.172 0.152 2.2 5.0 0.306 0.883 0.181 0.160 2.3 5.0 0.315 0.879 0.190 0.167 2.4 5.0 0.324 0.874 0.199 0.174 2.5 5.0 0.333 0.870 0.208 0.181 2.6 5.0 0.342 0.865 0.216 0.187 2.7 5.0 0.351 0.861 0.224 0.193 2.8 5.0 0.359 0.857 0.232 0.199 2.9 5.0 0.367 0.852 0.240 0.205 3.0 5.0 0.375 0.848 0.248 0.210 3.1 5.0 0.383 0.844 0.255 0.216 3.2 5.0 0.390 0.840 0.263 0.221 3.3 5.0 0.398 0.836 0.270 0.226 3.4 5.0 0.405 0.832 0.277 0.230 3.5 5.0 0.412 0.829 0.283 0.235

Lom preko armature εs1=3.0 ‰ εc2 [‰]

εs1 [‰] ξ=x/d ζ=z/d ω1 µsds

0.1 3.0 0.032 0.989 0.001 0.001 0.2 3.0 0.063 0.979 0.005 0.005 0.3 3.0 0.091 0.969 0.011 0.011 0.4 3.0 0.118 0.960 0.019 0.018 0.5 3.0 0.143 0.951 0.028 0.026 0.6 3.0 0.167 0.943 0.038 0.036 0.7 3.0 0.189 0.935 0.050 0.046 0.8 3.0 0.211 0.927 0.062 0.058 0.9 3.0 0.231 0.920 0.075 0.069 1.0 3.0 0.250 0.913 0.089 0.081 1.1 3.0 0.268 0.906 0.102 0.093 1.2 3.0 0.286 0.899 0.117 0.105 1.3 3.0 0.302 0.892 0.131 0.117 1.4 3.0 0.318 0.886 0.145 0.129 1.5 3.0 0.333 0.880 0.159 0.140 1.6 3.0 0.348 0.874 0.173 0.152 1.7 3.0 0.362 0.868 0.187 0.162 1.8 3.0 0.375 0.862 0.201 0.173 1.9 3.0 0.388 0.856 0.214 0.183 2.0 3.0 0.400 0.850 0.227 0.193 2.1 3.0 0.412 0.844 0.239 0.202 2.2 3.0 0.423 0.839 0.251 0.210 2.3 3.0 0.434 0.833 0.262 0.218 2.4 3.0 0.444 0.828 0.273 0.226 2.5 3.0 0.455 0.822 0.283 0.233 2.6 3.0 0.464 0.817 0.293 0.240 2.7 3.0 0.474 0.812 0.303 0.246 2.8 3.0 0.483 0.807 0.313 0.252 2.9 3.0 0.492 0.802 0.322 0.258 3.0 3.0 0.500 0.798 0.331 0.264 3.1 3.0 0.508 0.793 0.339 0.269 3.2 3.0 0.516 0.789 0.347 0.274 3.3 3.0 0.524 0.784 0.355 0.279 3.4 3.0 0.531 0.780 0.363 0.283 3.5 3.0 0.538 0.776 0.371 0.288

Lom preko betona εc2=3.5 ‰ εc2 [‰]

εs1 [‰] ξ=x/d ζ=z/d ω1 µsds

3.5 20.0 0.149 0.938 0.102 0.096 3.5 19.5 0.152 0.937 0.105 0.098 3.5 19.0 0.156 0.935 0.107 0.100 3.5 18.5 0.159 0.934 0.109 0.102 3.5 18.0 0.163 0.932 0.112 0.104 3.5 17.5 0.167 0.931 0.115 0.107 3.5 17.0 0.171 0.929 0.117 0.109 3.5 16.5 0.175 0.927 0.120 0.112 3.5 16.0 0.179 0.925 0.124 0.114 3.5 15.5 0.184 0.923 0.127 0.117 3.5 15.0 0.189 0.921 0.130 0.120 3.5 14.5 0.194 0.919 0.134 0.123 3.5 14.0 0.200 0.917 0.138 0.126 3.5 13.5 0.206 0.914 0.142 0.130 3.5 13.0 0.212 0.912 0.146 0.133 3.5 12.5 0.219 0.909 0.151 0.137 3.5 12.0 0.226 0.906 0.155 0.141 3.5 11.5 0.233 0.903 0.161 0.145 3.5 11.0 0.241 0.900 0.166 0.149 3.5 10.5 0.250 0.896 0.172 0.154 3.5 10.0 0.259 0.892 0.178 0.159 3.5 9.5 0.269 0.888 0.185 0.165 3.5 9.0 0.280 0.884 0.193 0.170 3.5 8.5 0.292 0.879 0.201 0.176 3.5 8.0 0.304 0.873 0.209 0.183 3.5 7.5 0.318 0.868 0.219 0.190 3.5 7.0 0.333 0.861 0.229 0.198 3.5 6.5 0.350 0.854 0.241 0.206 3.5 6.0 0.368 0.847 0.254 0.215 3.5 5.5 0.389 0.838 0.268 0.224 3.5 5.0 0.412 0.829 0.283 0.235 3.5 4.5 0.438 0.818 0.301 0.246 3.5 4.0 0.467 0.806 0.321 0.259 3.5 3.5 0.500 0.792 0.344 0.272 3.5 3.0 0.538 0.776 0.371 0.288 3.5 2.5 0.583 0.757 0.401 0.304 3.5 2.0 0.636 0.735 0.438 0.322 3.5 1.5 0.700 0.709 0.482 0.341 3.5 1.0 0.778 0.676 0.535 0.362 3.5 0.5 0.875 0.636 0.602 0.383

ζ⋅ξ⋅α⋅=µ=⋅⋅

=µ vRdcd

2sd

sd 85.0fdb

Mbd

ffA

fdMA

yd

cd11s

yd

sd1s

⋅⋅ω=

⋅⋅ζ=Neutralna os

d-x

b1d 1

s1A

h

2

d

d

sdM

s2A

2

d-d

s1ε Fs1

s2ε

2

εc2s2F

cF

0.85 fcd

x=ξ*

d

z=ζ*

d

Page 74: Osnove betonskih konstrukcija

Prilog 2: Tablice za dimenzioniranje T i Γ presjeka

Neutralna os

sdN d-x

b1d 1

s1A

h2

d

d

sdM

s2A x2

zd-d

s1ε Fs1

s2ε

2

εc2s2F

cF

0.85 f cd

beff

cεfh

*

b i

w

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ξ

−αα

−=λ ∗w

efff

v

vb b

b1d

h11

dhf bbeff

0.550 0.525 0.500 0.475 0.450 0.425 0.400 0.375 0.350 0.325 0.300 0.275 0.250 0.225 0.200 0.175 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 0.025 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

dx=ξ λb

0.550 0.525 0.500 0.475 0.450 0.425 0.400 0.375 0.350 0.325 0.300 0.275 0.250 0.225 0.200 0.175 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 0.025 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

0.550 0.513 0.489 0.464 0.437 0.413 0.386 0.362 0.335 0.309 0.284 0.259 0.232 0.207 0.181 0.155 0.130 0.103 0.078 0.052 0.026 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

0.550 0.513 0.487 0.461 0.436 0.409 0.383 0.357 0.330 0.303 0.276 0.249 0.221 0.194 0.166 0.139 0.111 0.083 0.056 0.028 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99

0.550 0.513 0.487 0.460 0.434 0.407 0.379 0.351 0.323 0.295 0.266 0.237 0.208 0.178 0.149 0.119 0.090 0.060 0.030 0.99 0.98 0.98 0.98 0.98 0.98 0.98 0.98

0.550 0.512 0.485 0.459 0.431 0.403 0.374 0.345 0.315 0.285 0.254 0.223 0.192 0.160 0.129 0.097 0.065 0.032 0.98 0.97 0.97 0.97 0.96 0.96 0.96 0.96

0.550 0.512 0.485 0.457 0.428 0.399 0.368 0.337 0.306 0.273 0.240 0.207 0.173 0.139 0.105 0.070 0.035 0.97 0.96 0.95 0.94 0.94 0.94 0.94 0.93

0.550 0.511 0.483 0.454 0.425 0.394 0.362 0.329 0.295 0.260 0.224 0.188 0.151 0.114 0.076 0.038 0.96 0.94 0.93 0.92 0.91 0.91 0.91 0.90

0.550 0.510 0.481 0.451 0.420 0.388 0.354 0.318 0.281 0.243 0.204 0.164 0.124 0.083 0.042 0.95 0.92 0.90 0.89 0.88 0.88 0.87 0.87

0.550 0.509 0.479 0.448 0.415 0.381 0.344 0.305 0.265 0.223 0.180 0.136 0.091 0.046 0.93 0.90 0.87 0.86 0.85 0.84 0.84 0.83

0.550 0.508 0.477 0.444 0.409 0.372 0.331 0.289 0.244 0.198 0.150 0.101 0.051 0.91 0.87 0.84 0.83 0.81 0.80 0.80 0.79

0.550 0.507 0.473 0.439 0.401 0.360 0.316 0.268 0.218 0.166 0.112 0.056 0.90 0.84 0.81 0.79 0.78 0.76 0.76 0.75

0.550 0.505 0.469 0.432 0.391 0.345 0.295 0.241 0.184 0.125 0.063 0.88 0.82 0.78 0.75 0.74 0.72 0.71 0.70

0.550 0.502 0.464 0.423 0.378 0.326 0.268 0.206 0.140 0.071 0.86 0.79 0.74 0.72 0.70 0.68 0.67 0.66

0.550 0.499 0.457 0.412 0.360 0.299 0.232 0.158 0.081 0.84 0.76 0.71 0.68 0.65 0.64 0.62 0.61

0.550 0.494 0.448 0.397 0.335 0.262 0.181 0.093 0.82 0.73 0.68 0.64 0.61 0.59 0.58 0.57

0.550 0.488 0.435 0.374 0.298 0.208 0.108 0.80 0.70 0.64 0.60 0.57 0.55 0.53 0.52

0.550 0.479 0.418 0.342 0.243 0.127 0.78 0.67 0.60 0.56 0.53 0.51 0.49 0.48

0.550 0.467 0.392 0.288 0.154 0.76 0.64 0.58 0.53 0.49 0.47 0.45 0.43

0.550 0.449 0.347 0.192 0.74 0.62 0.54 0.49 0.45 0.42 0.40 0.38

0.550 0.420 0.252 0.72 0.59 0.50 0.45 0.41 0.38 0.36 0.34

0.550 0.351 0.71 0.56 0.47 0.41 0.37 0.34 0.31 0.29

0.550 0.69 0.53 0.43 0.37 0.33 0.29 0.27 0.25

Page 75: Osnove betonskih konstrukcija

Prilog 3: Tablice za proračun pravokutnih križno armiranih ploča opterećenih jednolikim kontinuiranim opterećenjem

2xxx lqkM ⋅⋅= ; 2

xax

ax lqkM ⋅⋅=

2yyy lqkM ⋅⋅= ; 2

yby

by lqkM ⋅⋅=

q – jednoliko raspodijeljeno opterećenje Poissonov koeficijent = 0.15

upeti rubslobodno oslonjeni rub

Shema 1

q

q

l y

l x

M x

M y

Shema 2

q

q

l y

l x

M x

M y M x

a

xy ll xk yk xk yk axk

0.50 0.0079 0.0991 0.0084 0.0908 -0.0305 0.55 0.0103 0.0923 0.0109 0.0826 -0.0362 0.60 0.0131 0.0857 0.0135 0.0747 -0.0421 0.65 0.0162 0.0792 0.0162 0.0670 -0.0479 0.70 0.0194 0.0730 0.0192 0.0599 -0.0537 0.75 0.0230 0.0669 0.0221 0.0533 -0.0594 0.80 0.0269 0.0611 0.0249 0.0472 -0.0650 0.85 0.0307 0.0577 0.0277 0.0417 -0.0703 0.90 0.0344 0.0507 0.0304 0.0369 -0.0750 0.95 0.0383 0.0462 0.0330 0.0327 -0.0797 1.00 0.0423 0.0423 0.0354 0.0291 -0.0840 1.10 0.0500 0.0353 0.0399 0.0288 -0.0917 1.20 0.0575 0.0293 0.0438 0.0180 -0.0980 1.30 0.0644 0.0244 0.0471 0.0143 -0.1032 1.40 0.0710 0.0204 0.0500 0.0115 -0.1075 1.50 0.0722 0.0173 0.0524 0.0094 -0.1109 1.60 0.0826 0.0146 0.0544 0.0076 -0.1136 1.70 0.0874 0.0124 0.0561 0.0062 -0.1160 1.80 0.0916 0.0107 0.0572 0.0052 -0.1184 1.90 0.0954 0.0091 0.0586 0.0044 -0.1203 2.00 0.0991 0.0079 0.0594 0.0037 -0.1213

Množitelj 2xlq ⋅ 2

ylq ⋅ 2xlq ⋅ 2

ylq ⋅ 2xlq ⋅

Shema 3

q

q

ly

lx

Mx

MyMx

aMxa

Shema 4

q

q

ly

l x

M x

M y Mx

a

M y b

xy ll xk yk axk xk yk a

xk byk

0.50 0.0088 0.0835 -0.0297 0.0040 0.0570 -0.0205 -0.1189 0.55 0.0113 0.0738 -0.0350 0.0054 0.0543 -0.0249 -0.1148 0.60 0.0137 0.0647 -0.0400 0.0072 0.0514 -0.0294 -0.1104 0.65 0.0166 0.0563 -0.0450 0.0092 0.0483 -0.0341 -0.1057 0.70 0.0187 0.0489 -0.0497 0.0114 0.0451 -0.0390 -0.1008 0.75 0.0212 0.0423 -0.0540 0.0139 0.0418 -0.0442 -0.0957 0.80 0.0233 0.0363 -0.0578 0.0164 0.0385 -0.0496 -0.0905 0.85 0.0254 0.0313 -0.0612 0.0191 0.0354 -0.0548 -0.0852 0.90 0.0274 0.0270 -0.0644 0.0217 0.0324 -0.0598 -0.0798 0.95 0.0292 0.0232 -0.0677 0.0243 0.0295 -0.0648 -0.0745 1.00 0.0309 0.0201 -0.0699 0.0269 0.0269 -0.0699 -0.0699 1.10 0.0335 0.0151 -0.0741 0.0319 0.0221 -0.0787 -0.0608 1.20 0.0357 0.0113 -0.0770 0.0365 0.0182 -0.0869 -0.0530 1.30 0.0374 0.0088 -0.0793 0.0406 0.0148 -0.0937 -0.0462 1.40 0.0386 0.0068 -0.0811 0.0442 0.0122 -0.0993 -0.0405 1.50 0.0396 0.0053 -0.0815 0.0473 0.0100 -0.1041 -0.0358 1.60 0.0404 0.0042 -0.0825 0.0499 0.0081 -0.1082 -0.0317 1.70 0.0410 0.0034 -0.0830 0.0521 0.0066 -0.1116 -0.0282 1.80 0.0414 0.0028 -0.0832 0.0540 0.0055 -0.1143 -0.0252 1.90 0.0416 0.0023 -0.0833 0.0556 0.0046 -0.1167 -0.0226 2.00 0.0417 0.0019 -0.0833 0.0570 0.0040 -0.1189 -0.0205

Množ. 2xlq ⋅ 2

ylq ⋅ 2xlq ⋅ 2

xlq ⋅ 2ylq ⋅ 2

xlq ⋅ 2ylq ⋅

Shema 5

q

q

ly

lx

Mx

MyMx

aMxa

Myb

Shema 6

q

q

ly

l x

M x

M y M x

a Mxa

M y b

M y b

xy ll xk yk axk b

yk xk yk axk b

yk 0.50 0.0045 0.0550 -0.0203 -0.1135 0.0024 0.0405 -0.0143 -0.0833 0.55 0.0062 0.0514 -0.0247 -0.1078 0.0033 0.0394 -0.0172 -0.0817 0.60 0.0081 0.0476 -0.0291 -0.1021 0.0046 0.0378 -0.0206 -0.0794 0.65 0.0101 0.0436 -0.0336 -0.0964 0.0061 0.0360 -0.0242 -0.0767 0.70 0.0122 0.0398 -0.0381 -0.0906 0.0079 0.0339 -0.0280 -0.0737 0.75 0.0145 0.0359 -0.0427 -0.0845 0.0098 0.0315 -0.0320 -0.0704 0.80 0.0169 0.0323 -0.0471 -0.0781 0.0103 0.0293 -0.0360 -0.0668 0.85 0.0191 0.0289 -0.0513 -0.0720 0.0139 0.0269 -0.0400 -0.0631 0.90 0.0211 0.0257 -0.0551 -0.0661 0.0160 0.0247 -0.0440 -0.0593 0.95 0.0232 0.0228 -0.0586 -0.0603 0.0181 0.0224 -0.0480 -0.0554 1.00 0.0252 0.0202 -0.0617 -0.0546 0.0202 0.0202 -0.0515 -0.0515 1.10 0.0287 0.0158 -0.0676 -0.0467 0.0242 0.0164 -0.0585 -0.0449 1.20 0.0316 0.0123 -0.0722 -0.0399 0.0287 0.0131 -0.0643 -0.0388 1.30 0.0340 0.0096 -0.0757 -0.0341 0.0306 0.0105 -0.0690 -0.0336 1.40 0.0359 0.0075 -0.0782 -0.0293 0.0332 0.0084 -0.0728 -0.0291 1.50 0.0374 0.0060 -0.0800 -0.0254 0.0353 0.0066 -0.0757 -0.0254 1.60 0.0386 0.0048 -0.0814 -0.0221 0.0369 0.0053 -0.0779 -0.0223 1.70 0.0395 0.0039 -0.0825 -0.0193 0.0383 0.0042 -0.0797 -0.0198 1.80 0.0402 0.0031 -0.0834 -0.0171 0.0392 0.0035 -0.0812 -0.0176 1.90 0.0408 0.0026 -0.0842 -0.0154 0.0399 0.0028 -0.0824 -0.0158 2.00 0.0412 0.0022 -0.0847 -0.0141 0.0405 0.0024 -0.0833 -0.0143

Množ. 2xlq ⋅ 2

ylq ⋅ 2xlq ⋅ 2

ylq ⋅ 2xlq ⋅ 2

ylq ⋅ 2xlq ⋅ 2

ylq ⋅

Page 76: Osnove betonskih konstrukcija

Prilog 4: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih pravokutnih presjeka

ν

µ

b

d 1

s1A

hd

sdMs1A

sdN

d 2

ω=0.05

0.100.15

0.200.25

0.300.35

0.400.45

0.500.55

0.60

0.65

0.700.75

0.80

0.85

0.90

0.95

1.00

05.0hdhd0.1AA

500B

21

1s2s

===β==α

yd

cd2s1s

cd2sd

sd

cd

sdsd

ffhbAA

fhbM

fhbN

ω==

Page 77: Osnove betonskih konstrukcija

Prilog 5: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih pravokutnih presjeka

ν

µ

b

d 1

s1A

hd

sdMs1A

sdN

d 2

ω=0.05

0.100.15

0.200.25

0.300.35

0.400.45

0.500.55

0.60

0.65

0.700.75

0.800.85

0.90

0.95

1.00

075.0hdhd0.1AA

500B

21

1s2s

===β==α

yd

cd2s1s

cd2sd

sd

cd

sdsd

ffhbAA

fhbM

fhbN

ω==

Page 78: Osnove betonskih konstrukcija

Prilog 6: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih pravokutnih presjeka

ν

µ

b

d 1

s1A

hd

sdMs1A

sdN

d 2

ω=0.05

0.100.15

0.200.25

0.300.35

0.400.45

0.500.55

0.600.65

0.70

0.750.80

0.850.90

0.95

1.00

10.0hdhd0.1AA

500B

21

1s2s

===β==α

yd

cd2s1s

cd2sd

sd

cd

sdsd

ffhbAA

fhbM

fhbN

ω==

Page 79: Osnove betonskih konstrukcija

Prilog 7: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih kružnih presjeka

ν

µ

ω=0.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.600.65

0.700.750.800.850.900.95

1.00

sA

rsdN

sdMsr

c

cd

sdsd

cd

sdsd

rA

fM

fN

π=

0.85rr500B

sϕ ==

cA

cA r

yd

cd2s1s f

fAA ω==

2

cA

Page 80: Osnove betonskih konstrukcija

Prilog 8: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih kružnih presjeka

ν

µ

sA

rsdN

sdMsr

ω=0.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.600.650.700.750.800.850.900.951.00

c

cd

sdsd

cd

sdsd

rA

fM

fN

π=

0.90rr500B

sϕ ==

cA

cA r

yd

cd2s1s f

fAA ω==

2

cA

Page 81: Osnove betonskih konstrukcija

Prilog 9: Armaturne tablice

Promjer

∅ Masa TABLICA ŠIPKASTE ARMATURE

površina presjeka As [cm2] za komada: Promjer

∅ [mm] [kg/m] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 [mm]

5 0.154 0.20 0.39 0.59 0.79 0.98 1.18 1.37 1.57 1.77 1.96 2.16 2.36 2.55 2.75 2.95 5 6 0.222 0.28 0.57 0.85 1.13 1.41 1.70 1.98 2.26 2.54 2.83 3.11 3.39 3.68 3.96 4.24 6 7 0.302 0.38 0.77 1.15 1.54 1.92 2.31 2.69 3.08 3.46 3.85 4.23 4.62 5.00 5.39 5.77 7 8 0.395 0.50 1.01 1.51 2.01 2.51 3.02 3.52 4.02 4.52 5.03 5.53 6.03 6.53 7.04 7.54 8

10 0.617 0.79 1.57 2.36 3.14 3.93 4.71 5.50 6.28 7.07 7.85 8.64 9.42 10.21 11.00 11.78 10 12 0.888 1.13 2.26 3.39 4.52 5.65 6.79 7.92 9.05 10.18 11.31 12.44 13.57 14.70 15.83 16.96 12 14 1.208 1.54 3.08 4.62 6.16 7.70 9.24 10.78 12.32 13.85 15.39 16.93 18.47 20.01 21.55 23.09 14 16 1.578 2.01 4.02 6.03 8.04 10.05 12.06 14.07 16.08 18.10 20.11 22.12 24.13 26.14 28.15 30.16 16 18 1.998 2.54 5.09 7.63 10.18 12.72 15.27 17.81 20.36 22.90 25.45 27.99 30.54 33.08 35.63 38.17 18 20 2.466 3.14 6.28 9.42 12.57 15.71 18.85 21.99 25.13 28.27 31.42 34.56 37.70 40.84 43.98 47.12 20 22 2.984 3.80 7.60 11.40 15.21 19.01 22.81 26.61 30.41 34.21 38.01 41.81 45.62 49.42 53.22 57.02 22 25 3.853 4.91 9.82 14.73 19.63 24.54 29.45 34.36 39.27 44.18 49.09 54.00 58.90 63.81 68.72 73.63 25 28 4.834 6.16 12.32 18.47 24.63 30.79 36.95 43.10 49.26 55.42 61.58 67.73 73.89 80.05 86.21 92.36 28 30 5.549 7.07 14.14 21.21 28.27 35.34 42.41 49.48 56.55 63.62 70.69 77.75 84.82 91.89 98.96 106.03 30 32 6.313 8.04 16.08 24.13 32.17 40.21 48.25 56.30 64.34 72.38 80.42 88.47 96.51 104.55 112.59 120.64 32 36 7.990 10.18 20.36 30.54 40.72 50.89 61.07 71.25 81.43 91.61 101.79 111.97 122.15 132.32 142.50 152.68 36 40 9.865 12.57 25.13 37.70 50.27 62.83 75.40 87.96 100.53 113.10 125.66 138.23 150.80 163.36 175.93 188.50 40

UZDUŽNO NOSIVE MREŽE “R-mreže” Profil šipki

[mm] Razmak

[mm] Površina [cm2/m]

Dimenzije [cm] Masa Tip

mreže Uzd. Pop. Uzd. Pop. Uzd. Pop. Duž. Šir. [kg/m2]

R 131 5.0 4.2 150 250 1.31 0.56 600 215 1.50 R 139 4.2 4.2 100 250 1.39 0.56 600 215 1.55 R 166 4.6 4.2 100 250 1.66 0.56 600 215 1.76 R 188 6.0 4.2 150 250 1.88 0.56 600 215 1.96 R 196 5.0 4.2 100 250 1.96 0.56 600 215 2.00 R 257 7.0 5.0 150 250 2.57 0.78 600 215 2.72 R 283 6.0 4.6 100 250 2.83 0.66 600 215 2.77 R 335 8.0 5.0 150 250 3.35 0.78 600 215 3.33 R 385 7.0 5.0 100 250 3.85 0.78 600 215 3.68 R 424 9.0 6.0 150 250 4.24 1.13 600 215 4.34 R 503 8.0 6.0 100 250 5.03 1.13 600 215 4.89 R 524 10.0 6.0 150 250 5.24 1.13 600 215 5.15 R 636 9.0 6.0 100 250 6.36 1.13 600 215 5.95 R 785 10.0 6.0 100 250 7.85 1.13 600 215 7.35

OBOSTRANO NOSIVE MREŽE “Q-mreže”

Profil [mm]

Razmak [mm] Površina Dimenzije

[cm] Masa Tip mreže

Uzd. i Pop. Uzd. i Pop. [cm2/m] Dužina Širina [kg/m2] Q 131 5.0 150 1.31 600 215 2.12 Q 139 4.2 100 1.39 600 215 2.20 Q 166 4.6 100 1.66 600 215 2.64 Q 188 6.0 150 1.88 600 215 3.06 Q 196 5.0 100 1.96 600 215 3.07 Q 226 6.0 125 2.26 600 215 3.63 Q 257 7.0 150 2.57 600 215 4.16 Q 283 6.0 100 2.83 600 215 4.48 Q 335 8.0 150 3.35 600 215 5.45 Q 385 7.0 100 3.85 600 215 6.10 Q 424 9.0 150 4.24 600 215 6.81 Q 503 8.0 100 5.03 600 215 8.03 Q 636 9.0 100 6.36 600 215 10.08 Q 785 10.0 100 7.85 600 215 12.46

POPREČNO NOSIVE MREŽE “T-mreže” Profil šipki

[mm] Razmak

[mm] Površina [cm2/m]

Dimenzije [cm] Masa Tip

mreže Uzd. Pop. Uzd. Pop. Uzd. Pop. Duž. Šir. [kg/m2] T 257 5.0 7.0 250 150 1.31 0.56 240 600 2.72 T 378 5.0 8.5 250 150 3.85 0.78 240 600 3.62 T 524 6.0 10.0 250 150 7.85 1.13 240 600 5.15

215

600

215

600

OBOSTRANO NOSIVE "Q-mreže"

UZDUŽNO NOSIVE "R-mreže"

600

240

POPRECNO NOSIVE "T-mreže"