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FLUIDODINÂMICA EM SISTEMAS PARTICULADOS
Giulio Massarani Programa de Engenharia Química
COPPE/Universidade Federal do Rio de Janeiro
2º Edição
2001
Ao amigo José Teixeira Freire
SUMÁRIO
Prefácio 7
Capítulo 1 Fluidodinâmica da Partícula Sólida 9
1. Equação do Movimento da Partícula 9
2. A Força Resistiva Fluido-Partícula 14
Efeito da presença de fronteiras rígidas 20
Influência da concentração de partículas 23
3. O Movimento Acelerado da Partícula 29
4. Dinâmica da Partícula em Fluido Não-Newtoniano 31
Problemas 34
Bibliografia 39
Capítulo 2 A Decantação 41
1. A Trajetória da Partícula 41
2. Separação Sólido-Fluido na Fenda de Seção Retangular 45
3. O Conceito Sigma e a Especificação de Centrífugas 47
4. Ciclones a Gás e Hidrociclones 48
Problemas 56
Bibliografia 63
Capítulo 3 Escoamento de Fluidos em Meios Porosos 65
1. Equações da Continuidade e de Movimento para o Fluido 65
A força resistiva m 67
A tensão extra τ 68
A equação de Darcy 68
2. Propriedades Estruturais da Matriz Porosa 69
A determinação experimental de parâmetros estruturais 69
O modelo capilar 70
3. Escoamento em Meios Porosos: Aplicações Clássicas 76
A perda de carga no meio poroso 76
O escoamento compressível 78
O escoamento transiente 78
4. O Escoamento Bifásico em Meios Porosos 78
Equação de Darcy-Buckingham 79
Generalização da Forma Quadrática de Forchheimer 80
Problemas 83
Bibliografia 98
Capítulo 4 Fluidodinâmica em Sistemas particulados Expandidos 101
1. Equações da Continuidade e do Movimento 101
2. Caracterização dos Meios Expandidos 105
3. O Elo entre a Fluidodinâmica de Partículas e a Teoria de Misturas 107
4. Transporte Hidráulico e Pneumático de Partículas 109
Transporte vertical homogêneo: partículas "grandes" 110
Transporte hidráulico homogêneo 112
Problemas 113
Bibliografia 121
Capítulo 5 Escoamento em Meios Porosos Deformáveis 123
1. Equações da Continuidade e do Movimento 123
2. Teoria da Filtração com Formação de Torta 127
Equacionamento da filtração plana com formação de torta 128
A teoria simplificada da filtração 131
3. A Sedimentação Contínua 133
Problemas 136
Bibliografia 150
Índice Onomástico 151
PREFÁCIO
Primeira Edição (Ed. UFRJ, 1997) Entre as múltiplas facetas que os Fenômenos de Transporte em Sistemas Particulados oferecem, tanto do ponto de vista científico como numa larga gama de aplicações tecnológicas, este livro trata apenas dos aspectos fluidodinâmicos da questão.
Inicialmente, nos primeiros capítulos, os sistemas em que a fase dispersa é diluída são analisados a partir da fluidodinâmica da partícula isolada; efeitos como aqueles causados pela interação entre partículas são levados em conta através de modificações do problema inicial.
Para contornar a dificuldade aparentemente intransponível na descrição geométrica do conjunto de partículas que compõe o sistema denso, os capítulos seguintes utilizam uma Teoria de Misturas com base na Mecânica do Contínuo. A formulação é estabelecida a partir das leis de conservação aplicadas às fases fluida e particulada, e mais um conjunto de informações que caracterizam o sistema, as denominadas equações constitutivas.
A poderosa formulação via Teoria de Misturas, com os seus teoremas, acarreta, no primeiro impacto, o desconforto causado pela perda do referencial “partícula” na “estrutura amorfa do contínuo”. No cálculo da queda de pressão no escoamento em duto, problema clássico na Mecânica dos Fluidos, leva-se em conta, por acaso, a estrutura molecular da matéria? Da mesma forma, na Teoria de Misturas os detalhes da estrutura do Sistema Particulado escapam pela luneta usada ao revés; as propriedades do sistema são medidas em experiências simples e os resultados expressos de modo generalizado através das equações constitutivas, tal como na Mecânica dos Fuidos o escoamento laminar em tubo capilar fornece informações sobre a reologia do fluido.
Não há como negar, o desafio em ministrar por uma centena de vezes a disciplina de Sistemas Particulados, quer na forma de Operações Unitárias para os estudantes da graduação ou no enfoque de Fenômenos de Transporte para os pós-graduados, foi sempre a busca de uma teoria que procura amalgamar e correlacionar os diferentes temas. Assim, por exemplo, o escoamento em meios porosos, a filtração com formação de torta e o espessamento, guardadas algumas poucas peculiaridades, podem e devem ser tratados dentro de um mesmo arcabouço; os resultados alcançados na fluidização homogênea levam à reologia da suspensão e ao projeto das linhas de tranporte hidráulico; a dinâmica da partícula no campo centrífugo permite analisar o desempenho de ciclcones e de centrífugas.
A cena repete-se anualmente desde 1973, sempre em outubro, na atmosfera acolhedora do anfiteatro universitário. Entre os veteranos circulam os debutantes tensos. O evento nasceu Encontro sobre o Escoamento em Meios Porosos (ENEMP) e só recentemente, a partir da 23ª versão, passou a ser Congresso Brasileiro em Sistemas Particulados. Pois é sobretudo neste foro que os últimos resultados são disseminados entre os grupos participantes; esta Fluidodinâmica procura respeitosamente preservar e ordenar um pouco da memória dos Encontros.
Rio de Janeiro, Outubro de 1996 Giulio Massarani
Versão da Segunda Edição A realização desta Versão foi concretizada graças ao incentivo e ao apoio desta generosa população que trabalha no Laboratório de Sistemas Particulados: Christine Lamenha Luna, Cláudia Miriam Scheid, Flavia Pereira Puget, João Francisco A. Vitor, Marcel Vasconcelos Melo, Marcelo Guilherme G. Mazza, Marcos Roberto T. Halasz e Sílvia Cristina A. França.
Rio de Janeiro, Julho de 2001 Giulio Massarani
7
Capítulo 1 Fluidodinâmica da Partícula Sólida
1. Equação do Movimento da Partícula A fluidodinâmica em sistemas particulados pode ser estudada tomando como ponto de partida a fluidodinâmica da partícula isolada. A determinação das propriedades do todo pela extrapolação do comportamento de um elemento da estrutura complexa é intuitiva e didática, embora, na maioria das situações, esta estratégia exija um grande esforço de imaginação combinando a um procedimento matemático complicado e duvidoso. O capítulo 1 procura reunir o conhecimento comum que diz respeito à fluidodinâmica da partícula, consolidado na literatura a partir do trabalho pioneiro de Stokes sobre a interação fluido newtoniano-partícula esférica rígida no movimento relativo lento. C.R. Stokes, "On the Effect of the Internal Friction of Fluids on the Motion of Pendulums", Trans. Cambridge Phil. Soc., 9,8 (1850). A fluidodinâmica da partícula pode ser descrita através de um conjunto de equações que inclui a equação do movimento da partícula, as equações da continuidade e movimento para o fluido, a condição de aderência na interface fluido-partícula e mais as equações constitutivas para o fluido e as condições limites pertinentes ao problema específico. A análise limita-se à fluidodinâmica da partícula rígida, incluindo-se nesta categoria não apenas as partículas sólidas como também gotas e bolhas de dimensões diminutas. A partícula tem massa , densidade uniforme , volume V e a superfície em contato com o fluido é S . As equações que seguem são estabelecidas em base a um referencial inercial.
mP ρS P P
Equação do movimento da partícula
. (1) m dSP S C FS S PP
( )a T n= +∫ ρ V b
Equações da continuidade e movimento para o fluido
∂ρ∂
ρFF Ft
+ div( )v 0= (2)
ρ∂∂
ρFF
F F Ftv v v T b+
= +( )grad div . F (3)
Condição de aderência sobre a superfície da partícula . (4) ( ) ( )v vF Q s C QC
= + ×ω r
9
Nestas equações, em relação à partícula, ( e ( são respectivamente a velocidade e a aceleração de seu centro de massa, ω a velocidade angular e r o vetor posição do ponto Q sobre a superfície da partícula em relação ao centro de massa. Quanto ao fluido, ρsão respectivamente a densidade, o campo de velocidades e o tensor tensão que atua sobre esta fase. b é a intensidade do campo exterior.
)vs C )as C
QC
F F F,v T e
A força de interação fluido-partícula pode ser decomposta na força resistiva l e no empuxo, l - ρ (5) =∫ dS
PS FnT bPFV
sendo nula a força resistiva quando a velocidade relativa entre as fases for nula. A equação do movimento da partícula toma a forma l + (6) =CsP )(m a bPFS V)( ρ−ρ A análise limita-se, deste ponto em diante, ao movimento de translação da partícula, para atender às necessidades do próximo capítulo sobre a separação sólido-fluido em sistemas diluidos. Mesmo neste caso relativamente simples, as expressões analíticas conhecidas para representar a força resistiva restringem-se a algumas configurações caracterizadas pela forma regular da partícula e pelo movimento relativo partícula-fluido suficientemente lento, o regime de Stokes, quando a equação do movimento para o fluido, equação (3), pode ser linearizada. Os resultados reunidos na tabela (1), alcançados através das equações (1) a (5), são em maioria exatos ou encerram alguma sorte de aproximação, preservando, no entanto, a forma analítica do resultado (Berker, 1963). Trata-se de um repertório clássico de soluções que forma a base para o estudo da fluidodinâmica da partícula. Os resultados mostram que: a) A força resistiva exercida pelo fluido sobre a partícula depende das dimensões e forma da partícula; b) A força resistiva depende do campo de velocidades do fluido não pertubado pela presença da partícula; c) A força resistiva é influenciada pela presença de contornos rígidos e pela presença de outras partículas; d) No movimento acelerado da partícula a força resistiva depende da história da aceleração da partícula.
10
Tabela 1 - Força resistiva fluido-partícula no movimento de translação da partícula no regime de Stokes. O fluido é newtoniano e tem viscosidade µ. uF é o campo de velocidades do fluido não perturbado pela presença da partícula e vs é a velocidade de translação da partícula (Berker, 1963).
Descrição uF vS l Esfera fixa com diâmetro D, escoamento permanente.
( )( ) ( )u Uu u
F x
F y F z
== =
∞
0
=vS 0
πµl x ∞= DU3
Translação retilínea e uniforme de esfera com diâmetro D, fluido inicialmente em repouso
uF = 0
( )v vS x = = =( ) ( )v vS y S z 0
3l x Dvπµ−=
Elipsóide fixo, semi-eixos a, b, c, escoamento permanente.
xa
yb
zc
2
2
2
2
2
2 1+ + =
( )( ) ( )u Uu u
F x
F y F z
== =
∞
0
=vS 0
l x ∞πµ= U'D3
D abcao o
'=+
323 2
πψ α
ψ π α πo o o oabc du
uabc du
a u= =
+
∞ ∞∫ ∫2 2 2∆ ∆
,( )
u
[ ]∆u a u b u c u= + + +( )( )( )/2 2 2 1 2
Esfera fixa com diâmetro D, escoamento permanente do fluido não pertubado pela presença da partícula resultante do campo de pressões piezométricas P.
uF
=vS 0 l C
3CF )P grad(
8D)(D3 π
+πµ= u ,
onde C denota a posição do centro de massa da partícula
Tabela 1 (cont.) - Força resistiva fluido-partícula no movimento de translação da partícula no regime de Stokes. O fluido é newtoniano e tem viscosidade µ. u é o campo de velocidades do fluido não perturbado pela presença da partícula e vs é a velocidade de translação da partícula (Berker, 1963).
F
Descrição uF vs l
Translação retilínea e uniforme da esfera com diâmetro D em presença de duas paredes planas paralelas. O fluido está inicialmente em repouso.
uF = 0
v
0)v()v()v(
zSyS
xS==
=
l x
++πµ−=
21 h1
h1D
3291Dv3
Translação retilínea e uniforme da esfera com diâmetro D ao longo do eixo do tubo com diâmetro Dt. O fluido está inicialmente em repouso.
uF = 0
v
0)v()v()v(
zSyS
xS==
=
l x
+πµ−=
tDD1,21Dv3
h1 h2x
v
fluido
Dt
v
Tabela 1 (cont.) - Força resitiva fluido-partícula no movimento de translação da partícula no regime de Stokes. O fluido é newtoniano e tem viscosidade µ. u é o campo de velocidades do fluido não perturbado pela presença da partícula e v é a velocidade de translação da partícula (Berken, 1963).
F S
Descrição uF vs l
Translação retilínea e uniforme das esferas 1 e 2 com diâmetro D1 e D2. O fluido está inicialmente em repouso.
f
v
2
q2
h
v
f1
q1
φ
uF = 0
v v( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
v
v v
v v
S x S x
S y S y
S z S z
1 2
1 2
1 2
0
0
= =
= =
= =
f D v Dh
f D v Dh
q q D D vh
1 12
2 21
1 2 1 2
3 1 38
3 1 38
98
= −
= −
= =
πµ
πµ
πµφcos
Esfera em translação retilínea não uniforme e com velocidade inicial nula. O fluido está inicialmente em repouso.
uF = 0
(( ) ), ( )( ) ( )v v t vv v
S x
S y S z
= == =
0 00
∫ ττ−
τπµρ
πµ+ρπ
t o
2/12
F3
dtddv
)(D23+
Dv3dtdvD
121
=-lx =
Na situação em que a partícula apresenta forma irregular e fora do regime de Stokes, não parece haver outra alternativa senão a de tratar a força resistiva de modo empiríco, procurando generalizar os resultados clássicos (Bird et al., 1960, p.193):
l vuvuvu
−−
⋅⋅−ρ⋅ D2
F c21A= , (7)
onde A é uma área característica, o coeficiente de arraste cujo valor numérico depende da definição de A, é a velocidade do fluido não perturbado pela presença da partícula na posição do centro de massa desta partícula, e v a velocidade de translação da partícula. Considera-se na equação (7) que a força resistiva e a velocidade relativa
cDu
(8) U u v= − tenham a mesma direção, o que implica em admitir que a forma da partícula apresenta um certo grau de regularidade. Nestas condições, a equação do movimento da partícula toma a forma
m A cP S F D S F Pa U U= + + −12
ρ ρ ρ( )V b . (9)
2. A Força Resistiva Fluido-Partícula O estudo da fluidodinâmica da partícula requer o conhecimento da reologia do fluido e das propriedades físicas da partícula expressas pela densidade, dimensão e forma. Entre as múltiplas possibilidades conhecidas na caracterização da partícula e para melhor usufruir um grande número de dados experimentais disponíveis na literatura, adotam-se neste texto o diâmetro volumétrico como dimensão característica e a esfericidade φ na caracterização da forma da partícula (Allen, 1981).
DP
O diâmetro volumétrico é definido como sendo o diâmetro da esfera com o mesmo volume que a partícula,
D VP P=
6 1 3
π
/. (10)
O valor desta propriedade para partículas de forma irregular pode ser determinado com o auxílio da picnometria clássica ou, na situação em que as partículas são diminutas, através da análise granulométrica realizada no Coulter Counter (Allen, 1981). A esfericidade é definida como sendo o cociente entre a superfície da esfera com o mesmo volume que a partícula e a superfície , SP . (11) φ π= D SP
2 / P
14
A esfericidade é um fator de forma empírico que pode ser determinado por permeametria, técnica que será apresentada em detalhes no capítulo 3. É a partícula esférica que apresenta o maior valor da esfericidade, φ=1; as partículas que ocorrem usualmente, como aquelas resultantes dos processos de moagem, apresentam a esfericidade na faixa de 0,5 a 0,7. O coeficiente de arraste c , presente na equação que define a força resistiva fluido-partícula, equação (7), pode ser calculado através da medida da velocidade terminal da partícula , isto é, a velocidade constante atingida pela partícula quando lançada no fluido inicialmente em repouso. Definindo a área característica desta equação como sendo a área da seção transversal da esfera de diâmetro ,
D
vt
DP (12) A DP= π 2 4/ resulta no campo gravitacional, a partir das equações (8) e (9).
U vz t= − = −0 vt (13)
c D gvD
S F P
F t=
−43 2
( )ρ ρρ
. (14)
vt Um grande número de experiências conduzidas com partículas isométricas, isto é, partículas esféricas ou na forma de poliedros regulares (tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro e dodecaedro), parecem indicar que o valor do coeficiente de arraste depende apenas do número de Reynolds,
Re =D vP t Fρ
µ (15)
e da esfericidade (Pettyjohn e Christiansen, 1948). Generalizande este resultado,
c D bU
fDS F P
F=
−=
43 2 1
( ) ( ,ρ ρρ
φRe ) (16)
Re =D UP Fρ
µ (17)
b = = =b U u, U − v
)
, )
. (18) A partir da equação (16): (19)
Re Re= f cD22( ,φ
(20) Re / Re= f cD3( φ
15
onde os grupos adimensionais são assim calculados cDRe / Re2 cDe
c bDD
F S F PRe23
243
=−ρ ρ ρµ
( ) (21)
c bUD
S F
F/ ( )Re =
−43 2 3
ρ ρ µρ
. (22)
Cabe ressaltar que a correlação expressa pela equação (16) é o ponto de partida para o estabelecimento das equações (19) e (20) e que pode ser utilizada com vantagem no estudo da dinâmica da partícula em fluido não newtoniano pelo fato da viscosidade estar presente apenas no número de Reynolds. A equação (19) presta-se para o cálculo de U , pois não inclui esta variável; analogamente, a equação (20) deve ser utilizada no cálculo de já que não inclui esta variável. Nestas duas últimas situações, U e são calculados a partir do número de Reynolds.
cDRe2
DP/ReDc DP
As correlações apresentadas nas tabelas (2) a (4) referem-se à fluidodinâmica da partícula isométrica isolada em fluido newtoniano. Embora a tabela (3) inclua a partícula esférica, recomenda-se neste caso, para maior precisão, a utilização da tabela (2). A tabela (4) fornece diretamente as expressões para a velocidade relativa fluido-partícula e para o diâmetro da partícula quando prevalece o regime de Stokes ou o de Newton , isto é, quando
ou . As correlações das tabelas (2) e (3) foram estabelecidas através do Método das Duas Assíntotas de Churchill (1983). Re < 0 5, 10 2 103 < < ×Re 5
n , (23) y x y x y xo
n n( ) [ ( ) ( )] /= + ∞1
onde referem-se, respectivamente, aos regimes de Stokes e Newton, e o “valor ótimo” de n é determinado a partir de dados experimentais, dentro de algum critério estatístico.
y x xo ( ) ( ) ye ∞
Entre outras correlações apresentadas na literatura para a fluidodinâmica da partícula isométrica, cabe mencionar as de Concha e Barrientos (1986) e Haider e Levenspiel (1989). Estas correlações, baseadas essencialmente nos dados experimentais de Pettyjohn e Christiansen (1948), são de complexidade e precisão equivalentes àquelas apresentadas na tabela (3). Em algumas situações foram levantadas correlações específicas para descrever a fluidodinâmica da partícula não-isométrica (Concha e Christiansen, 1986), porém, na falta destas, utilizam-se os resultados relativos à partícula isométrica, caracterizando a forma da partícula não-isométrica através da esfericidade.
16
Tabela 2 - Fluidodinâmica da partícula esférica isolada: Correlações de Coelho & Massarani (1996) com base nos dados de Lapple & Shepherd (1940) e Pettyjohn & Christiansen (1948).
Re < ×5 104
Correlação
n
Valor Médio e Desvio Padrão
n/1
nn
D 43,024c
+
=
Re
0,63
( )( )
, ,expcc
D
D cor= ±1 00 0 09
Re Re Re2 2=
+
− − −
c cDn
Dn n
24 0 43
2 1
,
/ /
0,95
( )( )
, ,expReRe cor
= ±1 00 0 06
ReRe Re
=
+
24 0 432 1
c cD
n
D
n n
/,/
/ /
0,88
( )( )
, ,expReRe cor
= ±1 00 0 09
Re Re Re2= =−
=−D U bD b
UP F
DF S F P
DS F
F
ρµ
ρ ρ ρµ
ρ ρ µρ2 3, ( ) , / ( ) c c4
343
3
2
17
Tabela 3 - Fluidodinâmica da partícula isométrica isolada: Correlações de Coelho & Massarani (1996) com base nos dados de Pettyjohn & Christiansen (1948).
0 65 1 5 104, < ≤ < ×φ e Re
Correlação
n
Valor Médio e Desvio Padrão
cK
KD
nn
n
=
+
24
12
1
Re
/
0,85
( )( )
, ,expcc
D
D cor= ±1 00 0 13
Re Re Re2 2=
+
− − −
K c cK
Dn
Dn n
1
2
2 1
24
/ /
1,2
( )( )
, ,expRR
e
e cor= ±1 00 0 10
ReRe Re
=
+
24
1
22
1
K cK
cD
n
D
n n
( / ) /
/ /
1,3
(Re)(Re)
, ,exp
cor= ±100 014
Re = =−
=−D U bD b
UP F
DF S F P
DS F
F
ρµ
ρ ρ ρµ
ρ ρ µρ2 3, Re ( ) , / Re ( ) c c2
3
243
43
K K1 10 20 843 5 31 4 88= =, log ( , , ,φ / 0,065) φ −
18
Tabela 4 - Fluidodinâmica da partícula isométrica isolada: Cálculo da velocidade e do diâmetro da partícula (Pettyjohn & Christiansen, (1948).
0 65 1, < ≤φ
Variável a Ser Estimada
Regime de Stokes
Re < 0 5,
Regime de Newton 10 5 103 4< < ×Re
cD
24
1K Re
K2
U
( )ρ ρ
µS F− bK D1
2
18p
4
3 2
1 2( ) /ρ ρ
ρS F p
F
bDK
−
Dp
18
1
1 2µ
ρ ρU
bKS F( )
/
−
3
42
2ρρ ρ
F
S F
K Ub( )−
K K1 10 20 843 5 31 4 88= =, log ( , , ,φ / 0,065) φ −
19
Exemplo
Deseja-se estudar a possibilidade de separar o minério A do minério B através da elutriação com corrente ascendente de água.
Propriedades do minério A: ρ φ SA A= =2 2 0 703, / ,g cm e
SB B= =3 2 0 853, / ,g cm e
0149 0 595, ,< <D mmP
mms
m
smm
m
Água
A+B
A+B
A
Propriedades do minério B: ρ φ Faixa granulométrica da mistura A+B: , correspondendo às peneiras 28/100 # Tyler.
A velocidade de elutriação de água (20ºC) que permite recuperar a maior quantidade possível do produto A puro é igual à velocidade terminal da menor partícula de B, isto é,
. Resulta da tabela 3, utilizando as propriedades de B: , e, deste último, .
DPB = 0149,Re ,= 2 93
cD Re ,2 95 2=u v cmF tB= = 197, /
Conhecida a velocidade de elutriação, é possível calcular o diâmetro da maior partícula de A presente no produto arrastado. A tabela (3) leva aos seguintes resultados utilizando as propriedades de A: c , e, deste último, . D / ,Re = 2 05 Re ,= 3 97 D mPA = 0 202, Em conclusão, a velocidade de elutriação leva a um produto de topo constituido de A puro na faixa granulométrica ; o produto de fundo é constituido de uma mistura de A e de B . Cabe salientar que esta análise trata apenas das condições de separabilidade dos componentes A e B na elutriação e nada informa sobre a cinética de separação. Pode-se esperar que as partículas maiores de A sejam arrastadas muito lentamente e que as partículas menores de B sedimentem também muito lentamente.
u cm= 197, /149 0 202, < <DP
595, mm0 ,
)0< <D 0(0 202, P ( )149 0 595, ,< <D mP
Efeito da presença de fronteiras rígidas Resultados analíticos reunidos na tabela (1) evidenciam que a fluidodinâmica da partícula é influenciado pela presença de fronteiras rígidas, resultando uma redução na velocidade terminal em relação à velocidade terminal da partícula isolada, v . ∞
20
Almeida (1995) estudou experimentalmente o movimento da partícula isométrica ao longo do eixo principal de um tubo cilíndrico com diâmetro , resultando a figura (1) e as correlações empíricas apresentadas na tabela (5). Cabe ressaltar que as correlações clássicas de Francis (1933), regime de Stokes, e de Munroe (1888), regime de Newton, válidas para esferas, podem ser utilizadas também para partículas isométricas.
Dt
vt
Dt
Francis (1933)
Almeida (1995)
Munroe (1888)
10310210110-1
10-210-2
0,2= 0,5
Re =∞
0,3
D pD t
0,4
0,5
0,60,70,80,9
10
0,050,1
0,3
0,2
β=
0,4
vtv∞
µD vp ∞ρF
Figura 1 - Efeito de parede na velocidade terminal da partícula isométrica (Almeida, 1995).
21
Tabela 5 - Efeito de parede na fluidodinâmica da partícula isométrica em fluido newtoniano (Almeida, 1995): . 5,0D/D0 e 165,0 tP ≤<≤φ<
Re∞∞=
D vP Fρµ
k vv
D DPt
P t= =∞
, / β
< 0,1 (Francis, 1933)
kP =−
−
11 0 475
4β
β,
0 1 103, −
kAP B=
+ ∞
101 Re
A e= = × −−8 91 117 10 0 2812 79 3, , , ,, β β B
> 103 (Munroe, 1888)
kP = −1 3 2β /
Re =−
=24 0 85
1
3 54
21K
ec KD
n n n
,
/( ),
β n , para 35<Re
2tF
PFSD
vgD)(
34c
ρ
ρ−ρ=
K1 10 20 8430 065
5 31 4 88= =, log,
, , ,φφ K −
22
Exemplo
Deseja-se planejar uma experiência que consiste na medida da velocidade terminal limitando, com a escolha adequada do diâmetro do cilindro de testes, o efeito de parede a 5%,
isto é, k vvP
t= >∞
0 95, . A partícula tem diâmetro . Utilizando as correlações de
Francis e Munroe, tabela (5),
D mP = 5 m
Regime de Stokes : ; D D mmt P t/ ,> >41 205 D
Regime de Newton: . D D mmt P t/ ,> >8 40 D Os resultados evidenciam que o efeito da parede e bem mais agudo no regime de Stokes que no regime de Newton. Influência da concentração de partículas
V
, )
Um grande número de dados experimentais apresentados na literatura evidencia que a velocidade terminal de uma partícula tem seu valor substancialmente reduzido pela presença de outras partículas. Esta redução, tanto mais sensível quanto maior a concentração de sólidos, é da ordem de 5% para concentrações de apenas 2%, como mostra a equação de Einstein (Govier e Aziz, 1972, p. 98). , (24) v v ct / / ,∞ = +1 1 2 5( ) onde v é a velocidade terminal da partícula isolada e a fração volumétrica da fase sólida na suspensão.
∞ cV
O efeito da presença da fase particulada na fluidodinâmica de suspensões é comumente expresso através de correlação do tipo (Richardson e Zaki, 1954). , (25) U v f/ Re∞ ε= ∞( onde U é o módulo da velocidade relativa fluido-partícula, U = −v u , Re∞ o número de Reynolds referente à velocidade terminal da partícula isolada,
Re∞∞=
D vP Fρµ
,
ε, a porosidade, é a fração volumétrica de fluido na suspensão, . ε = −1 cV
23
As correlações referentes à equação (25) podem ser determinadas através da experimentação conduzida na sedimentação em batelada e na fluidização homogênea: no primeiro caso U v , onde v é a velocidade da frente de sedimentação; no segundo caso
, sendo a vazão de fluido e a A área da seção transversal de fluidização (Barnea e Mizrahi, 1973). A experimentação torna-se imprecisa quando a faixa granulométrica das partículas sólidas é extensa e quando a concentração de sólidos é reduzida, inferior a 5% em volume, resultando nas duas situações uma interface fluido-suspensão pouco nítida por problemas de segregação de partículas.
= / ε) QU Q AF= / (ε F
A maioria das correlações apresentadas na literatura referem-se a amostras com partículas "arredondadas", em faixa granulométrica "estreita" representada por um diâmetro médio que possivelmente não caracteriza a fluidodinâmica da suspensão. Como conseqüência da caracterização incompleta do sistema particulado, as correlações da literatura podem diferir substancialmente entre si. São apresentadas na tabela (6) as correlações de Richardson e Zaki (1954) para partículas arredondadas, a de Politis e Massarani (1989) para partículas irregulares e outras resultantes dos dados experimentais reunidos por Concha e Almendra (1978). Na figura (2) é feita a comparação entre os resultados de Richardson e Zaki (1954) e Almendra (1979) para partículas arredondadas: as maiores discrepâncias ocorrem quando a porosidade é elevada e na região intermediária entre os regimes de Stokes e Newton.
24
Tabela 6 - Influência da concentração de partículas na fluidodinâmica de suspensões.
A. Correlação de Richardson e Zaki (1954) para partículas arredondadas:
U v nn/ (∞ ∞= =ε , R n )e
Re∞ < 0,2 0,2-1 1-500 > 500
n
3,65
4 35 10 03, Re ,
∞− −
4 45 10 1, Re ,
∞− −
1,39
B. Correlação de Politis e Massarani (1989) para partículas irregulares (areia, hematita, itabirito, dolomita e quartzo, 0,47<φ<0,80).
U v/ , Re, Re ,
∞ ∞= <∞−
ε5 93 0 14700 9,5 < .
O diâmetro médio é a média aritmética da abertura das peneiras de corte. C. Correlações empíricas estabelecidas com base nos dados experimentais reunidos por Concha e Almendra (1978) (Massarani e Santana, 1994)
Re , , , ,, , ,
, ,,
Re ,Re
, , ,
, , , ,
Re , , ,
,
,
∞∞
∞∞ ∞
−
−
∞∞
< =−
< ≤< <
< < =+
< <
= = −
> × =
0 2 0 834 8 3 8
0 5 0 90 9 1
1 500 11
0 5 0 95
0 28 0 35 0 33
2 10 0 095 2 29
3 94
5 96
3
Uv
Uv A
A BUv
B
εε
εε
ε
ε ε
ε εexp( ), 0,5 < < 0,95.
25
0
0,2
0,4
0,6
0,8
ε = 0,95
0,95
0,900,90
0,80
0,800,700,70
0,600,60
1U/v∞
103
Richardson e ZakiAlmendra
Re∞
10410210110-110-2
Figura 2 - Influência da concentração de partículas na fluidodinâmica de suspensões: comparação entre os resultados de Richardson e Zaki (1954) e Almendra (1979).
26
Outra estratégia que pode ser adotada na análise de fluidodinâmica de suspensões consiste em considerar o comportamento isolado de uma partícula no seio da mistura sólido-fluido, mistura esta caracterizada pela densidade e viscosidade ρSusp e µSusp(Govier e Aziz, 1972, p.98; Massarani e Santana, 1994). Assim, no regime de Stokes, tabela (4),
U18
DgK)(v
Susp
2P1SuspS ε=
µ
ρ−ρ= . (26)
Sendo
v gK DS F∞ =
−( )ρ ρµ
12
18P (27)
e , (28) ρ ρ ε ρ ρS Susp S F− = −( ) resulta, combinando as equações (25) a (28),
µµ
µSusp (= =∞
∞U vf
// Re ,ε) . (29)
Finalmente, cabe indagar em que medida podem estar relacionados entre si os resultados clássicos da fluidodinâmica nos meios de densos, estabelecidos no contexto da Teoria de Misturas, e os da fluidodinâmica de suspensões estabelecidos a partir do comportamento da partícula isolada. O assunto será abordado nos capítulos 3 e 4. Demonstra-se, por exemplo, que no regime de Stokes
U D gPS F= ⋅ ⋅
−⋅ −
136 1
2 2
µφβ
εε
ρ ρ( ) ( ) (30)
ou, de modo equivalente,
cD = ⋅ ⋅−
⋅43
36 1 12 2β
φε
ε Re, (31)
sendo β ε ε= − <3 82 1 0 977 21, / ( ) ,, e .
27
Exemplo
Deseja-se calcular a porosidade no transporte vertical ascendente, em duto com diâmetro , de partículas sólidas com as seguintes propriedades: diâmetro
, densidade ρ e esfericidade
D ct = 51,
mm
m
DP = 1 S g cm= 3 3/ φ = 0 75, . a) O fluido é água e as vazões de fluido e sólido são
respectivamente Q .
( /ρ µF g cm= 1 3 e = 0,9cP)
h Q m hF S= = 33 3/ /e m15 b) O fluido é ar a 20ºC e 1 atm e as
vazões de fluido e sólido são respectivamente .
( , /ρ µF g cm= × ×−1 2 10 3 3 e = 1,8 10 cP)-2
Q m h Q m hF S= =39 9 1 323 3, / , /e A porosidade no transporte vertical pode ser calculada resolvendo a equação (25),
U QA
QA
v fF S= −−
= ∞ ∞ε εε
( )( ,
1Re )
m
,
onde é a área da seção transversal do duto. Uma estimativa do valor da porosidade pode ser alcançada a partir do conhecimento das vazões de cada fase,
A c= 20 4 2,
αε
ε εε
ε ε=
+=
+ −=
+ −
QQ Q
u Au A v A v
u
F
F S ( ) ( )1 1. (32)
Quando vu
tende a 1, ε tende a α.
Na solução deste exemplo admite-se que as correlações de Richardson e Zaki (1954), tabela (6), sejam válidas apesar das partículas não serem arredondadas. 2Re∞Dc
(eq. 21)
Re∞ (tab. 3)
n (tab. 6)
v∞ (cm/s)
α (eq. 32)
ε (eq. 25)
u (cm/s)
v (cm/s)
uv
Trans. Hidráulico
3,23x104
134
1,73
12,1
0,833
0,829
246
239
1,03
Trans. Pneumático
1,45x105
295
1,52
443
0,968
0,921
592
228
2,60
28
O fato da densidade e viscosidade da água serem muito maiores do que estas propriedades para o ar explica os resultados esperados de que a velocidade de deslizamento
é muito menor no primeiro caso do que no segundo. u v− 3. O Movimento Acelerado da Partícula O movimento retilínio acelerado de uma esfera no seio de um fluido newtoniano, regime de Stokes, foi estudado no final do século passado por Basset (Berker, 1963, p.241). No caso da queda livre da partícula partindo do repouso em fluido inicialmente estagnado a força resistiva toma a forma indicada na tabela (1):
l ττ−
τπµρ+µπ+ρ
= ∫ dtddv
)(D23)t(vD3
dtdvV
2t 0
2/1F
2P
F . (33)
O primeiro termo do segundo membro da equação fornece o valor da força resistiva que o fluido ideal em escoamento potencial exerce sobre a partícula; o segundo termo exprime o resultado clássico de Stokes para o movimento retilíneo e uniforme de uma esfera em fluido viscoso; o terceiro termo evidencia a ação “hereditária” do fluido sobre a partícula, pois explicita o fato de que a força resistiva depende da história da aceleração da partícula. Substituindo a equação (33) na equação do movimento da partícula, equação (6), resulta a equação integro-diferencial
ρρ
ρ ρ π µ πµρ ττ
τSF
P S F P FV dvdt
V g D v t D
dvdt
d+
= − − −−∫2
3 32
2 1 20
( ) ( ) ( ) /
t, (34)
que pode ser resolvida analiticamente por diferentes técnicas (Clift et al., 1979, p. 285; Hackenberg, 1991). O resultado expresso pela equação (34) mostra que a aceleração inicial da partícula
a S F
S F( ) (0 2
2=
−+
ρ ρρ ρ
g) , (35)
tende ao valor da intensidade do campo gravitacional g quando ρS >> ρF e que esta aceleração é nula no caso limite em que as densidades do fluido e da partícula forem iguais entre si. Desprezando o efeito da história da aceleração da partícula, a integração da equação (34) fornece
vv v D
tt
t S F−=
+
exp( )
362 2
µρ ρ
, (36)
onde v é a velocidade terminal da partícula t
29
v gDt
S F=−( )ρ ρ
µ
2
18 .
Exemplo
O diâmetro da esfera sólida de densidade em queda livre no ar
e na água ( , no limite de validade do regime de Stokes,
ρS g cm= 3 3/
/ρF g cm= 1( , / ,ρ µS g cm P= × = ×− −1 2 10 18 103 3 4 e ) 0 2, )µ P= −13
Re∞ = =Dvt Fρ
µ0 5, ,
é de respectivamente 43µm e 77µm. Para os sistemas assim definidos, a integração da equação (34) e a equação (36) conduzem à figura (3) (Hackenberg, 1991). Pode-se observar que o regime permanente é atingido em fração de segundo, sendo que a água leva a uma resposta mais rápida inicialmente e mais retardada ao final. O efeito da história da aceleração da partícula é importante no caso da água e desprezível no caso do ar.
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8água
ar
Eq. (34)
Eq. (36) arágua
1
v/vt
t (s)0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14Figura 3 - Movimento acelerado das esferas com densidade e diâmetro em ar e em água .
3 3g cm/ D m= 43µD = 77µm (Re , )∞ = 0 5
Face às evidentes dificuldades tanto na abordagem teórica quanto experimental, a literatura evidencia uma grande carência de informações relativas ao movimento acelerado da
30
partícula fora do regime de Stokes e quando estas não são esféricas (Marchildon e Gauvin, 1979; Renganathan et al., 1989). Na situação em que ρS >> ρF, Renganathan et al. (1989), em abordagem empírica, consideram a queda livre da partícula como descrita pela equação do movimento
m dvdt
V g D c vP P S D
F= −ρπ ρ2 2
4 2 (37)
em que o coeficiente de arraste c f preserva a forma funcional das correlações alcançadas no movimento estabelecido, .
D = (Rec fD =
)
λ*
∞ ∞( )Re 4. Dinâmica da Partícula em Fluido Não Newtoniano Os estudos teóricos relativos ao escoamento de fluidos não newtonianos nas vizinhanças de esferas rígidas restringem-se aos casos em que prevalece o regime de Stokes. Neste sentido, cabe mencionar os trabalhos de Caswell (1962, 1970). A estratégia usada neste capítulo e nos seguintes consiste em estender a formulação clássica sobre a dinâmica da partícula sólida em fluidos newtonianos para contemplar também uma classe ampla de fluidos não newtonianos: o elo de ligação é a viscosidade efetiva µef que pode ser calculada através da tensão cisalhante S, uma propriedade material do fluido, e da taxa de deformação característica λ∗ , uma propriedade cinemática de escoamento (Massarani e Silva Telles, 1978), (38) µ λef S= ( ) /*
A taxa de distensão característica λ∗ pode ser determinada empiricamente através da medida experimental da velocidade da partícula com o auxílio, por exemplo, das relações
apresentadas nas tabelas (3), (5) e (6) na seguinte seqüência: cD × Re
v c D bv
D v
St D
S F P
F tef
P t F→ =−
→ → = →=
43 2
( )
( ) /
*
* *
ρ ρρ
µρ
λ
µ λRe
Reef
a partir
deλ
.
A propriedade cinemática λ pode ser representada do modo, *
Dv* α=λ (39)
onde v* e D* são respectivamente uma velocidade e dimensão características e α um fator de configuração adimensional. Estão reunidos na tabela (7) os resultados obtidos para a dinâmica da partícula isolada e nos casos em que são levados em conta os efeitos de parede e de concentração.
31
Tabela 7 - Dinâmica da partícula sólida em fluido não-newtoniano
Descrição
Taxa de Distensão λ∗
Referência
Partículas esféricas e não esféricas isoladas P
2Dv)62,346,1385,8(39,0 −φ+φ− Laruccia
(1990)
Deslocamento da partícula esférica ao longo do eixo principal do tubo )5,0D/D(
Dve39,0
t
81,6
<=β
⋅β
Almeida (1995)
Efeito de concentração na fluidodinâmica de partículas )9,0(
DU19
P<ε
⋅φε
ε−
Silva Telles e Massarani (1979)
Exemplo
Reômetro de Stokes para fluidos não newtonianos
Deseja-se determinar a relação para um fluido não newtoniano através da medida da velocidade de deslocamento de esferas neste fluido. Diâmetro do tubo,
. Densidade do fluido, ρ . Dados:
S S= ( )λ
D mt = 20 m 3F cm/g15,1=
Dt
v
Exp. nº
ρS (g/cm³)
D (cm) β v
(cm/s) 1 2,55 0,20 0,10 0,72 2 2,55 0,50 0,25 3,61 3 3,98 0,30 0,15 3,78 4 3,98 0,50 0,25 8,87 5 7,60 0,30 0,15 9,85 6 7,60 0,50 0,25 22,3
32
Resulta:
Exp. nº λ*( )s−1 (tab. 7)
cD (eq. 14)
Re (tab.5)
)P(
vD FPef Re
ρ=µ
)cm/dyn(
)(S2
*ef
* λµ=λ
1 2,77 614 0,056 2,96 8,20 2 15,1 61,1 0,957 2,17 32,8 3 13,6 67,6 0,606 2,15 29,2 4 38,0 20,5 2,94 1,73 65,7 5 35,6 22,7 1,86 1,83 65,2 6 95,5 7,38 8,75 1,47 140
O resultado pode ser expresso de modo conveniente através de
, válido para . 280,0 cm/dyn 65,3S λ= 1s1002 −<λ<
33
Problemas: Fluidodinâmica da Partícula Sólida
1. Foram os seguintes os resultados obtidos na elutriação de 25 g de um pó industrial com água a 30°C, numa vazão de 37 cm3/min:
Elutriador Diâmetro do tubo (cm)
Massa recolhida (g)
1 3,0 4,62 2 4,0 6,75 3 6,0 7,75 4 12,0 4,42
Determinar a distribuição granulométrica da amostra em termos do diâmetro de Stokes, sabendo-se que a densidade do sólido é 1,8 g/cm3. Resposta:
Elutriador Diâmetro (cm) Velocidade do fluido (cm/s)
DP (µm)
X
1
3,0
8,72×10-2
44,9
0,815
2
4,0
4,91×10-2
33,7
0,545
3
6,0
2,18×10-2
22,4
0,235
4
12,0
5,45×10-3
11,2
0,058
34
2. Calcular a velocidade de sedimentação de uma suspensão de partículas em querosene. Propriedades do fluido: densidade 0,9 g/cm3 e viscosidade 2,3 cP. Propriedades das partículas: densidade 2,3 g/cm3, diâmetro médio 0,8 mm, esfericidade 0,8. Concentração de sólidos na suspensão: 260 g/l de suspensão. Resposta: Porosidade da suspensão: 0,887. Velocidade terminal da partícula isolada: 7,71 cm/s Velocidade de sedimentação da suspensão: 5,25 cm/s.
3. Os seguintes dados foram obtidos em ensaios de sedimentação de partículas de Al2O3 em água, a 25°C: c gAl O cm( /2 3
3 de suspensão) 0,041 0,088 0,143 0,275 0,435 v cm min( / ) 40,5 38,2 33,3 24,4 14,7 A densidade das partículas é 4,0 g/cm3 e a esfericidade é estimada em 0,7. a) Determinar, pela extrapolação dos dados, a velocidade terminal das partículas à diluição infinita e, a partir deste valor, calcular Dp (diâmetro da esfera de igual volume que a partícula);
b) Comparar os resultados experimentais com as estimativas segundo a correlação empírica de Richardson & Zaki. Resposta: Dados experimentais: v min R= − + =223 267 0 9962ε cm / ( , ) . Velocidade terminal calculada por extrapolação dos dados experimentais: 43,3 cm/min. Diâmetro volumétrico das partículas: 72 µm. ε 0,990 0,978 0,964 0,931 0,891
v cm min( / ) 40,5 38,2 33,3 24,4 14,7
v v cm min= ∞ε4 43, ( / ) 41,4 39,2 36,8 31,5 25,9
4. Michael e Bolger (IEC Fundam., 1, 24, 1962) desenvolveram um método que permite a caracterização de partículas floculadas (diâmetro e densidade médios, grau de floculação e velocidade de sedimentação dos flocos). Uma vez determinada experimentalmente a velocidade de sedimentação da suspensão v a diferentes concentrações co, os parâmetros desejados podem ser estimados através do seguinte sistema de equações: (Correlação de Richardson e Zaki) v v kco= −∞ ( ) ,1 4 65
35
vD gfl fl F
∞ =−2
18( )ρ ρ
µ (Equação de Stokes)
ρ ρρ ρ
ρfl FS
Sk− =
− F (Balanço de massa),
onde v - velocidade de sedimentação da interface lodo-líquido clarificado no ensaio em
batelada;
v∞ - velocidade terminal do floco à diluição infinita;
k - volume de flocos por unidade de massa de sólido seco (fornece o grau de floculação);
co - concentração em massa de sólido seco por unidade de volume de supensão;
Dfl - diâmetro médio dos flocos;
ρ fl - densidade média dos flocos;
ρF - densidade do fluido;
ρS - densidade do sólido seco;
g - aceleração da gravidade;
µ - viscosidade do fluido.
Calcular as propriedades caracaterísticas ( dos flocos de hidróxido de cálcio de uma suspensão aquosa (agente de floculação: alúmen) sabendo-se que a 25ºC:
, , )v D k fl fl∞ e ρ
c g cmo ( / )3 6×10-3 8×10-3 10×10-3 12,5×10-3 15×10-3 20×10-3 25×10-3 30×10-3
v cm min( / ) 4,77 4,32 3,65 3,04 2,33 2,08 1,37 0,30. A densidade do sólido seco é 2,20 g/cm3. Resposta: v∞ = 7,89 cm/min e k = 14,7 cm3/g (1ª equação). ρ fl = 1,037 g/cm3 (3ª equação). Dfl = 256 µm (2ª equação).
5. Determinar as respectivas velocidades de elutriação para separar pó de diamante nas faixas 0-1 µm, 1-2 µm, 2-3 µm (diâmetro da esfera de igual volume que a partícula). A densidade
36
do diamante é 3,5 g/cm3 e a esfericidade das partículas 0,7. O fluido de arraste é água a 20ºC. (P.Grodzinski, “Diamond Technology”, NAG Press Ltd., Londres, 2ª edição, p. 349, 1953). Resposta: Faixa granulométrica (µm) 0-1 1-2 2-3 Velocidade de elutriação (cm/h) 0,427 1,71 3,84.
6. Uma mistura finamente dividida de galena e calcário na proporção 1:4 em massa é sujeita à elutriação com corrente ascendente de água com velocidade de 0,5 cm/s. A distribuição granulométrica dos dois materiais é a mesma: Dp (µm) 20 30 40 50 60 70 80 100 100X 15 28 43 54 64 72 78 88. Calcular a percentagem de galena no material arrastado e no produto de fundo. Galena: densidade 7,5 g/cm3 e esfericidade das partículas 0,8. Calcário: densidade 2,7 g/cm3 e esfericidade das partículas 0,7. Temperatura da água: 20ºC. Resposta:
Análise granulométrica da alimentação 27,2
pD6,441
1X
+
= , Dp em µm.
Material c guD
S F
F/ ( )Re =
−43 2 3
ρ ρ µρ
Re
Diâmetro Crítico, µm
% Massa Arrastada
Calcário 178 0,395 73,8 0,76 Galena 680 0,196 39,2 0,43
% galena na alimentação : 20,0 % galena no produto de fundo: 37,3 % galena no produto de topo : 12,4.
7. O separador de poeira opera em 3 compartimentos, como mostra o esquema abaixo representado. Estimar a faixa granulométrica das partículas retidas em cada compartimento sabendo-se que a vazão de gás (ar a 20ºC e 1 atm) é 140 m3/min, a densidade das partículas é 3 g/cm3 e sua esfericidade 0,75.
37
Resposta:
Compartimento L m( ) v H um s
t = /( / )
L cg
vDS F
F t/ ( )Re =
−43 2 3
ρ ρ µρ
Re DP
m( )µ
Faixa Granulométrica
( )µm 1 1,5 0,390 8,27 1,84 72,2 >72,2 2 3 0,195 66,2 0,640 49,2 49,2-72,2 3 4,5 0,130 223 0,347 40,0 40,0-49,2
8. Dimensionar um rotâmetro tronco de cone-esfera para medir a vazão de água (20ºC) na faixa de 1 a 3 m3/h. O flutuador é uma esfera de aço com 1 cm de diâmetro e densidade 7,7 g/cm3. Que faixa de vazões este mesmo rotâmetro mediria se o fluido fosse ar a 20ºC e 1 atm? Resposta: A altura h não influencia o desempenho do rotâmetro. Pode ser da ordem de 20 cm por questão de comodidade e precisão na leitura da escala do aparelho. Faixa de vazão de ar: 30,4 a 97,8 m3/h.
38
Bibliografia Allen, T., “Particle Size Measurement”, Chapman & Hall, Londres, 3¦ edição, 454 p. (1981). Almendra, E.R., “Velocidade de Sedimentação de Sistemas Particulados”, Tese de M.Sc., Programa de Eng. Metalúrgica e de Materiais, COPPE/UFRJ, 88 p. (1979). Almeida, O.P., “Estudo do Efeito de Fronteiras Rígidas Sobre a Velocidade Terminal de Partículas Isométricas”, Tese de M.Sc., Programa de Eng.Química, COPPE/UFRJ, 86p.(1995). Barnea, E. e Mizrahi, J., “A Generalized Approach to the Fluid Dynamics of Particulate Systems. Part I. General Correlation for Fluidization and Sedimentation in Solid Multiparticle Systems”, Chem. Engineering J., vol. 5, 171-189 (1973). Berker, R., “Intégration des Équations du Mouvement d'un Fluid Visqueux Incompressible”, Handbuch der Physik (Flügge, S., Ed.), vol. VIII/2, Spring-Verlag, Berlin, 384 p. (1963). Bird, R.B., Stewart, W.E. e Lightfoot, E.N., “Transport Phenomena”, J. Wiley, N.Iorque, 780 p.(1960). Caswell, B. e Schwarz, W.H., “The Creeping Motion of a Non-Newtonian Fluid Past a Sphere”, J. Fluid Mech., vol. 13, 417-426 (1962). Caswell, B., “The Effect of Finite Boundaries on the Motion of Particles in Non-Newtonian Fluids”, Chem. Engr. Science, vol. 25, 1167-1176 (1970). Churchill, S.W., “The Development of Theoretically Based Correlations for Heat and Mass Transfer”, Rev. Latino Am. Transf. Cal. Mat., vol. 7, 207-229 (1983). Clift, R., Grace, J.R. e Weber, M.E., “Bubbles, Drops, and Particles”, Academic Press, N. Iorque, 380 p. (1979). Coelho, R.M.L. e Massarani, G., “Fluidodinâmica de Partículas: Ainda sobre Correlações em Base aos Dados Experimentais de Pettyjohn e Christiansen”, Relatório LSP/COPPE 1/96 (1996). Concha, F. e Barrientos, A., “Settling Velocities of Particulate Systems. 4. Settling of Nonspherical Isometric Particles”, Int. J. Mineral Processing, vol. 18, 297-308 (1986). Concha, F. e Christiansen, A., “Settling Velocities of Particulate Systems. 5. Settling Velocities of Suspensions of Particles of Arbitrary Shape”, Int. J. Mineral Processing, vol 18, 309-322 (1986). Francis, A.W., “Wall Effect in Falling Ball Method for Viscosity”, Physics, vol. 4, 403-406 (1933).
39
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40
Capítulo 2 A Decantação
1. A Trajetória da Partícula O processo de separação sólido-fluido conduzido a partir de suspensões diluidas - a decantação - pode ser analisado através do estudo da trajetória das partículas no interior do equipamento de separação (Brauer, 1982). Considera-se nesta análise que: a) As partículas sejam caracterizadas individualmente através do diâmetro volumétrico
e da esferacidade φ ; DP b) A distribuição de tamanhos das partículas, isto é, a análise granulométrica, seja expressa por , sendo X a fração em massa das partículas com diâmetro menor que
; X X DP= ( )
DP c) O campo de velocidades do fluido não pertubado pela presença das partículas seja
; u u x= ( ) d) Os efeitos da aceleração e concentração de partículas sejam desprezíveis no comportamento dinâmico destas partículas. Como visto no capítulo anterior, a equação do movimento de translação da partícula é expressa por 0 = l (+ (1) bPF V)ρ−ρS
l vuUU −=ρ= ,c2A
DF U (2)
c f D UD
P F= =( , ), ,Re φρ
µ Re U U= . (3)
Nestas equações ρ e µ são respectivamente a densidade e a viscosidade do fluido, ρ a densidade das partículas, l a força resistiva que o fluido exerce sobre a partícula, A e V a área projetada ( e V o volume ( da partícula, b a intensidade do campo exterior, o coeficiente de arraste, u, v e U respectivamente a velocidade do fluido, a velocidade da partícula e a velocidade relativa fluido-partícula.
F
DP2
S
P
/ )π 4 P / )πDP3 6
cD
Seja a situação simples em que se deseja determinar o diâmetro da partícula que percorre a trajetória assinalada na figura (1) representando uma fenda retangular com
41
dimensões B, H e L. Na situação de maior interesse tecnológico H<<B, o que equivale a considerar o escoamento como ocorrendo entre placas paralelas. O efeito da aceleração da partícula não é levado em conta.
B L
H uv
x
yh
(corte transversal) (corte longitudinal)
Figura 1 - Fluidodinâmica da partícula na fenda de seção retangular Equação do movimento da partícula:
Componente na direção x A c U u vF D x x, ( 02
0= −ρ ) + ;
Componente na direção y A c U v V gF D y S F P, ( ) ( 02
0= + − −ρ ρ )ρ
x
y
Resulta da primeira equação que e , portanto, v ux =
[ ]U u v v vx x y= − + + =( ) ( )/2 2 1 2
0 .
Substituindo este resultado na segunda equação, vem
v V gA c
yS F P
F D
=−
( )
/
ρ ρ
ρ2
1 2
que representa, segundo a equação (14) do primeiro capítulo, a velocidade terminal da partícula isolada, v . Portanto, desprezando o efeito da aceleração da partícula: t Na direção do escoamento do fluido, ; v ux x= Na direção normal ao escoamento do fluido, v v . y t= Voltando à figura da fenda de seção retangular, pela composição do movimento da partícula
42
hv
Lut h
= , (4)
onde u h é a velocidade média do fluido em 0 . Portanto, ≤ ≤y h
vh u
Lth= e c g
vDS F
F t/ ( )Re =
−43 2 3
ρ ρ µρ
que permite calcular Re (tabela 2 do capítulo 1) e dele o valor do diâmetro da partícula desejado. A situação mais desfavorável para a captura da partícula corresponde à posição h=H, a espessura de separação da câmara. O diâmetro crítico especifica as condições limites de separabilidade no equipamento em análise: partículas com diâmetros maior que são coletadas com eficiência de 100% independentemente da posição em que ingressam na câmara de separação. A equação (4) toma a forma
Dpc
Dpc
Hv
Lut
= , (5)
a equação de projeto para a separação de partículas na fenda de seção retangular.
Exemplo O sedimentador lamelado é constituido por um conjunto de fendas com seção retangular em que a espessura de separação em cada fenda H/n é muito menor que o comprimento L. A inclinação das lamelas, da ordem de 40º , permite a retirada contínua por gravidade das partículas depositadas nestas lamelas.
L HH/n
θ
Suspensão
43
A velocidade terminal da partícula com diâmetro crítico é, analogamente à equação (5),
Dpc
vH u
L HH u
Lt =+
≅cos sen cos θ θ θ
.
Sendo Q BH u= a vazão de suspensão que alimenta o sedimentador lamelado, resulta a equação de projeto , v Q At = / *
onde é a área projetada das n lamelas ativas no plano horizontal. A nBL cos * = θ
r/ e
Exemplo Deseja-se determinar o tempo consumido para que uma partícula se desloque, num campo centrífugo, da posição radial r até a parede do equipamento de separação.
Fluido
Ω
vθvr
r
v
Na situação representada na figura, os componentes da velocidade do fluido são
e (Bird et al., 1960, p.96) e do campo centrífugo b , sendo ê a velocidade angular da carcaça cilíndrica. Desprezando a aceleração da partícula, resulta da equação do movimento:
ur = 0 u rθ = Ω b vr = θ2
θ = 0
v drdt
v V bA c
r tS F P r
F D
= = =−
( )
/
ρ ρ
ρ2
1 2
(6)
, (7) v u rθ θ= = Ω
44
onde v é a velocidade terminal da partícula no campo centrífugo. A integração da equação (6) para a partícula esférica e regime de Stokes leva ao valor do tempo desejado,
t
2FS D)(
18tΩρ−ρ
µ= .ln(R/r) (8)
2. Separação Sólido-Fluido na Fenda de Seção Retangular O projeto e a análise do desempenho do equipamento de separação sólido-fluido podem ser realizados em base aos seguintes resultados: a) Equação que relaciona o diâmetro de corte D∗ às propriedades físicas do sistema particulado, às dimensões do equipamento e às condições operacionais; b) Função eficiência individual de coleta relativa à partícula com diâmetro D, (9) η η= ( / *D D ) que depende da configuração do equipamento, do regime de escoamento do fluido e da dinâmica da partícula; c) Função eficiência global de coleta que depende da distribuição granulométrica do conjunto de partículas, , X X D= ( )
η η= ∫0
1( / )*D D dX ; (10)
d) Equação que relaciona queda de pressão e vazão de fluido no equipamento de separação. O diâmetro de corte pode ser especificado de diferentes formas; neste texto é definido como sendo o diâmetro das partículas que são coletadas com eficiência de 50% no equipamento de separação. Na análise da separação sólido-fluido em camada delgada ( conduzida no equipamento representado na figura (1) serão consideradas as seguintes hipóteses:
)H B<<
a) As partículas estão igualmente distribuidas na alimentação, x , independentemente do valor do diâmetro. Portanto, a eficiência de coleta da partícula com diâmetro D que percorre a trajetória assinalada na figura é
= 0
, (11) η( ) /D h= H estando o diâmetro de corte associado a h H . = / 2
45
b) O escoamento de fluido na fenda é laminar, resultando (Bird et al., 1960, p.62)
u u yH
yH
= −
62
(12)
H2/H
h 0 h
uu uHh
Hh
31
21u6udy
h1u
==
−== ∫ (13)
Q HB u BH pL
= = −
112
3
µ∆ , (14)
onde Q é a vazão de fluido e a queda de pressão no equipamento. ∆p c) Prevalece o regime de Stokes para as partículas sólidas (capítulo 1, tabela 4)
v K gDt
S F=−
1
2
18( )ρ ρ
µ (15)
. K1 100 843 0 065= , log ( / , )φ Combinando as equações (4), (11), (13) e (15) resulta
η( )( / )
( )
( ) * *D hH
hH
L vu
L vu
hH
hH
DD
t D
h
t D= = = = −
−12 2
12
112
12
13
1 2. (16)
Portanto, a função eficiência individual de coleta η η para o equipamento em questão, dentro das hipóteses consideradas, é
= ( / *D D )
( ) , /
, /
**
*
3 2 12
2
1 2
22
− =
≤
= ≥
η η
η
DD
D
D
D
D . (17)
A relação entre o diâmetro de corte D*, as propriedades físicas do sistema particulado, as dimensões do equipamento e as condições operacionais pode ser estabelecida combinando as equações (4) e (15)
D QBLK g S F
*/
( )=
−
9
1
1 2µρ ρ
. (18)
46
Cabe ainda mencionar que quando o escoamento de fluido é turbulento, u Q Bh ≅ / ,H resultando da equação (16) a denominada “eficiência teórica” do equipamento de separação (Perry e Green, 1984, p.20-86):
η
η
=
≤
= ≥
12
2
1 2
2DD
D
D
**
*
, /
, /
D
D . (19)
3. O Conceito Sigma e a Especificação de Centrífugas A trajetória da partícula assinalada no esquema da centrífuga tubular, figura (2), permite especificar o valor D do diâmetro das partículas que são coletadas com eficiência de 100%. Para facilitar a análise, considera-se que as partículas sejam esféricas e que prevaleça o regime de Stokes.
R
fluidou
v
fluidou
L
z
QR0
Figura 2 - Esquema da centrífuga tubular
47
Resulta da composição do movimento da partícula com diâmetro crítico, utilizando a equação (8),
D)(
18
)RR(QL
uLt
FS20
2Ωρ−ρ
µ=
−π
== ln ( )R/R 0
ou, explicitando a vazão de líquido,
)R/R(nlg
L)RR(18
gD)(Q0
220
22FS
⋅Ω−π
⋅µ
ρ−ρ= . (20)
Este último resultado mostra que a capacidade da centrífuga pode ser expressa pelo produto de dois termos, um que caracteriza o sistema particulado (a velocidade terminal da partícula no campo gravitacional) e o outro que caracteriza a configuração, as dimensões e rotação da centrífuga, o fator sigma: . (21) Q vt= Σ A equação (21) constitui a base para a especificação da centrífuga para uma dada tarefa, conhecendo o desempenho de uma centrífuga de laboratório, ambas do mesmo tipo, operando com a mesma suspensão (Svarovsky, 1981):
Q QΣ Σ
=
1 2
. (22)
4. Ciclones a Gás e Hidrociclones A separação de particulas no interior do ciclone é efetuada pela ação do campo centrífugo resultante da configuração do equipamento e do modo com que a suspensão o alimenta. O estudo da fluidodinâmica da partícula no ciclone vem recebendo contribuições teóricas significativas, o que faz prever que em futuro próximo o projeto e a análise do desempenho deste equipamento deixem de ser fundamentalmente empíricos: Leith e Licht (1972), Bloor et al. (1980), Mothes e Löffler (1985), Barrientos e Concha (1992). Tal como foi abordado no item 2 deste capítulo, procura-se estabelecer para ciclones com diferentes configurações as equações que fornecem a relação entre diâmetro de corte, propriedades físicas do sistema, dimensões do equipamento e condições operacionais, a função eficiência de coleta relativa à partícula de diâmetro D, a expressão para a eficiência global de coleta e a equação que relaciona vazão e queda de pressão no ciclone. Cabe ressaltar que a configuração do ciclone caracteriza-se por uma relação específica entre suas dimensões, expressa usualmente em termos do diâmetro da parte cilíndrica do equipamento,
. Dc
48
Serão estudados neste item os ciclones a gás nas configurações Lapple e Stairmand e os hidrociclones nas configurações Rietema e Bradley. Enquanto que os ciclones Lapple e Stairmand são amplamente utilizados na indústria, os hidrociclones Rietema e Bradley recebem o rótulo de equipamento de pesquisa e são distintos daqueles disponíveis comercialmente (Pereira e Massarani, 1995).
As configurações Estão especificadas na figura (3) as configurações dos ciclones a gás Lapple e Stairmand, e na figura (4) as configurações dos hidrociclones Rietema e Bradley.
Diâmetro de corte na separação centrífuga
DD
K DQ
f R g cc
c
S FL
* /
( )( ) (=
−
⋅ ⋅
µρ ρ
1 2
v )
L
v0 5
, (23)
onde é o diâmetro da parte cilíndrica do ciclone, K um parâmetro que depende da configuração, µ e Q são a viscosidade e a vazão de fluido que alimenta o ciclone, f é um fator de correção que leva em conta o fato de que uma fração das partículas sólidas é coletada no "underflow" sem a ação do campo centrífugo (efeito "T") e g um fator que leva em conta a concentração volumétrica de sólidos na alimentação, c (Massarani, 1991).
Dc
v O fator f está relacionado ao quociente entre as vazões de fluido no "underflow"e na alimentação, , RL (24) f R ARL( ) = +1 , (25) R B D DL u c
C= ( / ) e os parâmetros A, B, e C relacionados à configuração do ciclone, e D respectivamente os diâmetros do "underflow" e da parte cilíndrica do equipamento.
Du c
Para partículas arredondadas o fator g pode ser expresso através da seguinte equação empírica: . (26) g c c cv v( ) / [ , ( ) , ( )] ,= − − −1 4 8 1 3 8 12
Os ciclones a gás operam com suspensões mais diluidas do que os hidrociclones e freqüentemente a descarga de sólido é feita de modo intermitente a partir do barril acoplado ao "underflow" do equipamento. Por estas razões, considera-se que para os ciclones a gás f e g não influenciam o valor do diâmetro de corte, equação (23), ou seja, . f g= = 1 Os valores dos parâmetros de configuração A, B, C e K estão reunidos na tabela (1), cuja validade está restrita às condições operacionais assinaladas na própria tabela.
49
Bc
Hc
Do
Du
Dc
c
Lc
Zc
S
Ciclone
Lapple Stairmand B Dc c/ 0,25 0,20 D Do c/ 0,50 0,50 H Dc c/ 0,50 0,50 L Dc c/ 2 1,50 S Dc c/ 0,62 0,50 Z Dc c/ 2 2,50 D Du c/ 0,25 0,37
50
Figura 3 - Configuração dos ciclones a gás Lapple e Stairmand
DiDo
Du
θ
Dc
L1
L
Hidrociclone
Rietema Bradley D Di c/ 0,28 1/7 D Do c/ 0,34 1/5 L Dc/ 5 - L Dc1 / - 1/2 / Dc 0,40 1/3
θ 10º-20º 9º
Figura 4 - Configuração dos hidrociclones Rietema e Bradley
51
l
l
Tabela 1 - Parâmetros de configuração do ciclone e condições operacionais recomendadas. Configuração K
(eq. 23) A
(eq. 24) B
(eq. 25) C
(eq. 25) β
(eq. 32) u Re* *ou * D / Du c
Lapple 0,095 - - - 315 5 20< <u m / s 0,25 Stairmand 0,041 - - - 400 10 30< <u m / s 0,37 Rietema 0,039 1,73 145 4,75 1200 5 103 5 104× < < ×Re 0,10-0,30 Bradley 0,016 1,73 55,3 2,63 7500 3 103 2 104× < < ×Re 0,07-0,15
*u é a velocidade média do fluido na seção de entrada do ciclone, u QB Hc c
=
**Re , onde uc é a velocidade média do fluido na seção cilíndrica do
ciclone,
=D uc c Fρ
µ
u . QDc
c=
π / 4
Função eficiência individual de coleta no campo centrífugo A eficiência individual de coleta relativa à partícula com diâmetro D pode ser expressa pelas correlações empíricas: Ciclones Lapple e Stairmand
η( / ) ( / )( / )
**
*D D D DD D
=+
2
21; (27)
Hidrociclones Rietema e Bradley
η( / ) exp( / )exp( / )
**
*D D D DD D
=−
+5
5 146 .1 (28)
Conhecida a distribuição granulométrica das partículas, , é possível estabelecer o valor da eficiência global de coleta no campo centrífugo,
X X D= ( )
(29) ∫ η=10
dXI
e a eficiência global alcançada no ciclone, incluindo o efeito "T", η = − +( )1 R I RL L , (30) sendo R o quociente entre as vazões de fluido no "underflow" e na alimentação. L A integração da equação (29) para a situação bastante comum em que a distribuição granulométrica pode ser representada pelo modelo de Rosin-Rammler-Bennet,
52
, (31) X D e D D n( )
'( / )= − −1 toma a forma (Massarani, 1991): Ciclones Lapple e Stairmand
I
nn
n D DDD
= +− +
⋅
1110 118
181 0 322
,,
, , ( ' / )
'* * ; (32)
Hidrociclones Rietema e Bradley
I
nn
n D DDD
= +− +
⋅
1130 138
1 44 0 279
,,
, , ( ' / )
'* * . (33)
Cabe ressaltar que na equação (31) X é a fração em massa das partículas com diâmetro menor que D e que D' e n são os parâmetros do modelo, respectivamente o diâmetro da partícula que corresponde a e a dispersão. X = 0 632,
A relação vazão - queda de pressão A expressão clássica que relaciona vazão e queda de pressão na Mecânica dos Fluidos, regime turbulento estabelecido, é utilizada também para os ciclones,
βρ
=−∆puF c
2 2/ (34)
u QDc
c=
π 2 4/, (35)
sendo a queda de pressão medida entre o "overflow" e a alimentação. O valor de β depende da configuração do ciclone, como mostra a tabela (1).
Exemplo
O diâmetro de corte na operação do ciclone A separação sólido-fluido no ciclone pode ser considerada, numa análise grosseira, como acorrendo em camada delgada, num campo centrífugo com intensidade constante. O diâmetro de corte está associado à metade da espessura de separação, isto é, a B . D*
c / 2
53
Dc
Do
trajetória dapartícula
Vista superior dociclone
Bc
Admitindo que as partículas sejam esféricas e que prevaleça o regime de Stokes, resulta que o tempo de residência do fluido e da partícula com diâmetro D* é dado por
VQ
BD b
a c
S F=
−/
( ) *2
18
2ρ ρµ
r (36)
b r ur = =Ω2 Ω (37)
Ω =2πNV Q
e
a / . (38)
Nestes resultados, V é o volume que o fluido ocupa no ciclone (pode se formar no hidrociclone um nucleo de ar no interior do equipamento), u e Q respectivamente a velocidade média na seção de entrada e a vazão de fluido, e Ne o número de espiras de fluido que se formam no interior do ciclone. Combinando as equações (36) a (38):
a
D BN u
c
e S F
*/
( )=
−
92
1 2µ
π ρ ρ. (39)
No caso particular do ciclone Lapple, verifica-se por simples visualização que . Lembrando que para esta configuração
Ne ≅ 5
u QB H
QDc c c
= = 8 2 ,
vem para a equação (37),
DD
K DQc
c
S F
* /
( )=
−
µρ ρ
1 2
54
K = 0 095, . resultados que confirmam a equação (23) e o valor do parâmetro de configuração K, tabela (1).
Exemplo Deseja-se especificar uma bateria de ciclones Lapple para operar com 100 de gás carregado com cinzas de carvão. Densidade das partículas de carvão, ρ .
São as seguintes as propriedades do gás: ρ µ A bateria deve funcionar com descarga de sólida intermitente e deseja-se uma eficiência global de coleta superior a 85%. Distribuição granulométrica das partículas
3m min/
S g c= 2 3, /
, cPe .
m3
035F g cm= × =−4 43 10 03 3, /
X e D= − −1 37 7 1 5( / , ) ,, . D em µm
m
s
nm s
Cálculo do diâmetro de corte
Resulta da equação (32), fazendo . I D m = ′ = = =0 85 37 7 1 5 6 0, , , , ,µ µe : n D*
Estimativa de e do número de ciclones em paralelo Dc
Fazendo na equação (39) u , como recomendado na tabela (1), e lembrando
que , vem que o diâmetro da parte cilíndrica do ciclone é dado por
. Portanto, sendo , resulta que o número de ciclones na bateria é
m= 15 0, /
Q uDc12 8= /
8/DHB 2ccc =⋅
D cm49 6,c = . N Q Q= =/ ,1 3 6
Novo cálculo de considerando 4 ciclones em paralelo Dc A vazão em cada ciclone é . Vem da equação (23) que
, o que leva a uma velocidade u , valor este dentro da faixa recomendada para a operação do ciclone Lapple.
Q Q m mi134 25= =/ /m= 14 5, /D cc = 48
Cálculo da potência do soprador
Considerando apenas a perda de carga nos ciclones, a potência requerida para a separação é dada pela equação
P Q pE
=∆ 1
75 (40)
55
com P em cv, a vazão total Q em m³/s e a queda de pressão num ciclone em mm de coluna de água. E é a eficiência elétrica do motor, da ordem de 0,5 para motores de baixa potência. Resulta das equações (34) e (40) e da tabela (1): P c
∆p1
v
, )
3
= 2 .
Conclusões A unidade: bateria com 4 ciclones Lapple em paralelo, diâmetro da parte cilíndrica Dc= 48 cm. Capacidade da unidade: 100 de ar carregado com cinzas de carvão
. 3m min/
( , ,′ = =D m n37 7 15µ Eficiência global de coleta de partículas: 85%. Potência do soprador, considerando apenas as perdas nos ciclones: 2 cv.
Problemas: Decantação
1. Calcular o diâmetro da menor partícula que é coletada com eficiência de 100% na câmara de poeira abaixo esquematizada. Propriedades físicas do fluido: densidade 1 e viscosidade 1 . 2 10 3, /× − g cm 8 10 2, × − cP
Propriedades físicas das partículas: densidade e esfericidade 0,7. 2 5 3, /g cmDimensões da câmara: , sendo a distância entre as lamelas de 10 (a espessura das lamelas é desprezível).
m1622 ×× cm
Vazão de suspensão na alimentação: 4 m3/s. Considerar as seguintes situações diferentes: a) A suspensão tem concentração volumétrica em sólido inferior a 0,2%;
b) Esta concentração é de 5%.
---- "Trajetória crítica"da menor partícula coletada com eficiência de 100%.
56
Resposta: Velocidade terminal da menor partícula coletada com eficiência de 100%: . 0 625, /cm sDiâmetro da menor partícula coletada com eficiência de 100%, diluição infinita: . 9 74, µmIdem, 5% em volume de sólido: 11,0 µm.
2. Uma suspensão diluída de cal em água contém areia como produto indesejável. Determinar, na operação a 25ºC: a) A vazão de alimentação para a separação completa da areia no tanque com dimensões 0 ; 3 3 4, × × m
b) O percentual de cal perdida na separação da areia. Faixa granulométrica de areia: 70 . 250< <D mp µDistribuição granulométrica das partículas de cal: D mp (µ ) 20 30 40 50 60 70 80 100 100X 15 28 48 54 64 72 78 88. Densidade da cal e da areia, respectivamente, . 2 2 2 6 3, , / e g cmEsfericidade das partículas de cal e de areia, respectivamente, 0,6 e 0,8.
Resposta: Capacidade do sistema para a separação completa de areia: 175 m3/h. Diâmetro da maior partícula de cal no produto: 83,5 µm. % de cal perdida na separação da areia: 18,8.
3. Foi conduzido no laboratório um ensaio de separação de argila (densidade 2,64g/cm3) de uma suspensão aquosa em centrífuga tubular. Propriedades do fluido: densidade 1g/cm3, viscosidade 1cP. Dimensões da centrífuga de laboratório: Ro = 1,1cm; R = 2,2cm e L = 20 cm.
57
Número de rotações da centrífuga de laboratório: 20000 rpm. Vazão de suspensão da centrífuga de laboratório que permite obter um classificado satisfatório: 28,8 L/h. Determinar a capacidade de uma centrífuga industrial operando com a mesma suspensão a 15000 rpm. Suas dimensões são: Ro = 5,21cm; R = 8,16cm e L = 73,4cm.
(Svarovski, L., “Solid-Liquid Separation”, Butterworths, Londres, 2ª edição, p. 196, 1981). Resposta: Fator Σ para a unidade de laboratório: 1,42×103 cm2. Fator Σ para a unidade industrial: 4,22×104 cm2. Capacidade da unidade industrial: 856 L/h.
4. A Companhia Chalboud do Brasil adquiriu uma bateria de ciclones com as dimensões especificadas na figura para coletar partículas de um fluxo de ar a 70ºC e 1 atm. A densidade das partículas é 1,05 g/cm3. Verificar a validade da seguinte especificação fornecida pelo fabricante do equipamento: partículas com diâmetro maior que 20 µm são coletadas com eficiência superior a 95% quando a velocidade do ar na seção de alimentação do ciclone é 15 m/s.
58
Resposta: Os ciclones fornecidos estão praticamente na configuração Lapple, podendo-se esperar uma eficiência de coleta para as partículas de 20 µm de apenas 90%.
5. O ferro-velho "Dois Irmãos" da Pavuna dispõe de um conjunto de 3 ciclones em paralelo na configuração Lapple, estado de conservação razoável. O diâmetro dos ciclones é 20 in. Estimar: a) A capacidade do conjunto para u = 15 m/s;
b) O diâmetro da partícula que é coletada com eficiência de 95%;
c) A potência do soprador a ser usado na operação. Considerar que o gás tenha as propriedades físicas do ar a 200ºC e 1 atm e que as partículas sólidas tenham densidade 3 g/cm3. Resposta: Capacidade da bateria de ciclones: 87 m3/min. Diâmetro da partícula coletada com eficiência de 95%: 20 µm. Potência do soprador: ~3cv (eficiência 0,5).
6. Deseja-se estudar o desempenho de uma bateria constituída por 2 ciclones Lapple em série com respectivamente 63,6 cm e 45 cm de diâmetro no tratamento de 27,7 m3/min de gás contendo 3% em volume de sólido. Propriedades do gás: densidade 1,1x10-3 g/cm3 e viscosidade 1,7x10-2 cP.
59
Propriedades das partículas sólidas: densidade 2,5 g/cm3 e distribuição granulométrica dada por
X D= − −
117 3
1 5
exp,
,,
D em mµ .
Pede-se: a) A eficiência global de coleta do sistema;
b) A potência do soprador para o serviço. Resposta: Diâmetro de corte relativo ao 1º ciclone, concentração volumétrica em sólido 0,03: 6,42 µm. Diâmetro de corte relativo ao 2º ciclone, concentração volumétrica em sólido considerada como nula: 3,48 µm.
Eficiência global de coleta o 1º ciclone: . 690,0dX)D/D(10 1 =η ∗∫
Eficiência global de coleta o 2º ciclone: . 162,0dX)1(10 21 =ηη−∫
(η e η são as eficiências individuais de coleta em cada ciclone) 1 2Eficiência global do sistema: 85,2%. Potência do soprador: ~3cv (eficiência 0,5).
7. Uma usina em Campos, RJ, pretende secar bagaço de cana com o gás de chaminé proveniente da caldeira (propriedades do ar a 210ºC e 1 atm). Especificar a bateria de ciclones Lapple para a recuperação de finos secos sabendo-se que a vazão de gás é 140 m3/min e que as partículas maiores que 40 µm devem ser coletadas com eficiência superior a 95%. A densidade do bagaço seco é 1,55 g/cm3. Resposta: Bateria constituída por 2 ciclones em paralelo com diâmetro 1 m.
8. Especificar a bateria de ciclones Lapple para operar com 100 m3/min de ar (520ºC e 1 atm) contendo cinzas de carvão. A eficiência de coleta deve ser superior a 80%. Determinar também a potência do soprador para a operação. A densidade das partículas sólidas é
e a distribuição granulométrica é dada por 2 3 3, /g cm D(µm) 5 10 15 20 30 40 100X 12 27 48 63 80 88.
60
Resposta:
Distribuição granulométrica: X D= − −
1215
1 35
exp,
,
, D em µm.
Diâmetro de corte para uma eficiência de coleta de 80%: 4,31 µm. Bateria de 10 ciclones Lapple em paralelo com diâmetro 30 cm. Potência do soprador: ~2cv (eficiência 0,5).
9. Estuda-se a possibilidade de reduzir o teor de cinzas de um carvão através da separação em hidrociclone operando em fase densa. A alimentação contém 2 partes de carvão para 1 de cinzas, em massa. A concentração volumétrica de carvão e cinzas na alimentação é de 5%. Carvão e cinzas apresentam a mesma distribuição granulométrica,
−−=
35,1
5,21Dexp1X , D em µm.
Estimar o teor em cinzas do concentrado de carvão ("overflow") que deve ser obtido numa bateria de hidrociclones em paralelo com 2 in de diâmetro, nas configurações (a) Bradley e (b) Rietema operando a uma queda de pressão de 45 psi. Fornecer também a capacidade de cada hidrociclone. Densidade do carvão e cinzas, respectivamente, 1,25 e 2,10 g/cm3. Propriedades do fluido: densidade 1,21 g/cm3 e viscosidade 2,7 cP. Resposta: Fixando a relação entre os diâmetros de descarga "underflow" e da parte cilíndrica do hidrociclone em 0,15, na operação a 45 psi:
Configuração Bradley Rietema Capacidade por hidrociclone ( /m h3 ) 1,90 4,74
Relação % vazões "overflow"/ alimentação 62,3 98,2 % carvão no "underflow" 58,8 41,1 % carvão no "overflow" 75,4 75,6 % do carvão da alimentação perdido pelo "underflow" 46,4 16,0
10. Deseja-se avaliar a possibilidade da utilização de uma bateria de hidrociclones Rietema no beneficiamento do minério M. A suspensão aquosa a ser tratada contém 120 g/l de suspensão do minério M e 45 g/l de suspensão de argila, produto indesejável. Temperatura de operação: 30ºC.
61
Dentro da faixa de condições operacionais recomendadas para o hidrociclone Rietema, fornecer um "quadro desempenho" do sistema de separação contemplando: queda de pressão, capacidade, percentual de partículas com diâmetro maior que 15 µm no "underflow" e as perdas de "grossos" pelo "overflow".
Diâmetro dos ciclones: 5 cm. Densidade do minério e da argila: 2,7 e 2,1 g/cm3. Distribuição granulométrica de minério e de argila:
−−=
5,1
M 21Dexp1X e
−−=
2,1
A 5,3Dexp1X , D µm.
Dentro da faixa de condições operacionais recomendadas para o hidrociclone Rietema, fornecer um "quadro desempenho" contendo: queda de pressão, capacidade, teor de minério no produto do "underflow" e o percentual de minério perdido na operação. Resposta: Fixando a relação entre os diâmetros de descarga do "underflow" e da parte cilíndrica do hidrociclone em 0,20:
∆patm( )
Q
(m3/h) DM
* (µm)
DA*
(µm)
% Minério no "underflow"
% Minério da alimentação perdido
pelo "overflow"
1 2,88 14,8 18,4 88,9 37,3 2 4,08 12,5 15,5 88,6 33,4 3 5,00 11,2 14,0 88,0 31,0 4 5,77 10,5 13,0 87,8 29,6
11. Deseja-se avaliar a possibilidade da utilização de uma bateria de hidrociclones Rietema na separação pelo "underflow" das partículas com diâmetro maior que 15 µm, para posterior operação de moagem, de uma suspensão de minério em água. O diâmetro dos ciclones é 5 cm. Densidade do minério: 2,7 g/cm3. % volumétrica em sólidos da alimentação: 6,6. Distribuição granulométrica das partículas sólidas na alimentação:
−−=
5,1
21Dexp1)D(X , D em µm.
62
Viscosidade da água: 0,8cP.
Bibliografia Barrientos, A. e Concha, F., “Phenomenological Model of Classification in Conventional Hydrocyclones”. Cap. 21 em “Comminution - Theory and Practice” (Kawatra, K., Ed.) American Institute of Mining, Metallurgical and Petroleum Engineers, N. Iorque, 287-305 (1992). Bird, R.B., Stewart, W.E. e Lightfoot, E.N., “Transport Phenomena”, J. Wiley, N. Iorque, 780 p. (1960). Bloor, M.I.G., Ingham, D.B. e Larerack, S.D., “An Analysis of Boundary Layer Effects in Hydrocyclone”, Int. Conf. on Hydrocyclones, Cambridge, Inglaterra, 49-62 (1980).
63
Resposta: As distribuições granulométricas da alimentação,"underflow" e “overflow” estão relacionadas entre si através das seguintes equações resultantes de balanço de massa
[ ])D(Xu)D(Xa1
1)D(Xu
dXa)R1()D(XaR1)D(Xu)D(Xa
0LL
⋅η+⋅η−
=
⋅η⋅−+⋅⋅
η= ∫
onde: η - Eficiência global de separação pelo “underflow”;
Xa , Xu e Xo - Fração em massa das partículas de diâmetro menor que D na alimentação, no "underflow" e no “overflow”;
RL - Relação entre as vazões volumétricas de líquido no "underflow" e de alimentação;
η - Eficiência individual de coleta pelo “undeflow” relativa às partículas com diâmetro D (inclui apenas a separação centrífuga).
Fixando a relação entre os diâmetros de descarga do "underflow" e da parte cilíndrica do hidrociclone em 0,20, resultando RL = 0.07:
∆patm( )
Q
(m3/h)
*D
(µm)
η
Xu(D)
D = 15µm
Xo(D)
D = 15µm
% D > 15µm
no "underflow"
% D > 15µm da alimentação
perdido pelo "overflow"
1 2,88 14,8 0,629 0,155 0,959 84,5 2,8 2 4,08 12,5 0,668 0,200 0,963 80,0 2,2 3 5,00 11,2 0,692 0,235 0,943 79,5 3,2 4 5,70 10,5 0,707 0,256 0,929 74,4 3,8
Brauer, H., “Movement of Single Particles in Various Flow Fields”, em “Advances in Transport Processes, vol. II” (Mujumdar, A.S. e Mashelkar, R.A., Eds.), Wiley Eastern Limited, N. Deli, 352-432 (1982). Leith, D. e Licht, W., “The Collection Efficiency of Cyclone Type Particle Collectors. A New Theoretical Approach”, AICHE Symposium Serie, vol. 68, nº 126, 196-106 (1972). Massarani, G., “Projeto e Análise do Desempenho de Ciclones e Hidrociclones 2”. Caderno de Engª Química, RBE, vol. 8, nº2, 83-93 (1991). Mothes, H. e Löffler, F., “Motion and Deposition of Particles in Cyclones”, Ger. Chem. Eng., nº 8, 223-233 (1985). Pereira, C.M.S. e Massarani, G., “Análise do Desempenho de Hidrociclones”, XXIII ENEMP,Maringá, PR, 690-694 (1995). Perry, R.H. e Green, D.W., “Perry's Chemical Engineering Handbook”, McGraw-Hill, N. Iorque, 6ª edição (1984). Svarovsky, L., “Solid-Liquid Separation”, Butterworths, Londres, 2ª edição, 556 p. (1981).
64
Capítulo 3 Escoamento de Fluidos em Meios Porosos
1. Equações da Continuidade e do Movimento para o Fluido A fluidodinâmica da partícula isolada constituia nos capítulos anteriores o ponto de partida na análise dos sistemas diluidos. A utilização desta mesma estratégia no estudo de sistemas densos em partículas oferece, no entanto, dificuldade de tal ordem de grandeza que tornaria, por exemplo, a simples estimativa da relação vazão e queda de pressão no escoamento em meios porosos um problema transcendental. Como conhecer a posição de cada partícula num sistema particulado tridimensional e como estabelecer as interações interparticulares e com o fluido em escoamento? Adota-se neste capítulo, bem como nos próximos, um modelo matemático com base numa extensão da Mecânica do Contínuo para contemplar as misturas. As leis básicas de conservação, que formam o núcleo da Teoria do Transporte em misturas, foram estabelecidas por Truesdell (1957) e generalizadas mais tarde por Kelly (1964). Partindo destas equações e na expressão do crescimento da entropia na forma da desigualdade de Clausius-Duhem, diversos autores desenvolveram uma Teoria de Misturas capaz de descrever diferentes fenômenos como a difusão molecular, as reações químicas e o escoamento de fluidos em meios porosos (Crochet e Naghdi, 1966; Müller, 1971; Silva Telles e Fernandes, 1973). As partículas sólidas constituem uma matriz porosa indeformável neste capítulo. Para um referencial fixo à matriz, as equações da continuidade e do movimento para o fluido, na forma integral, podem ser escritas do modo.
∂∂
ερ ρεt
dV dSV SR R
∫ ∫+ ⋅( ) u n 0=
u
(1)
, (2) ∫∫ ∫∫ ερ+−=ερ
RVRS RVRVdVdV*dSdV gmTnu
onde SR e VR são respectivamente a superfície e o volume da região R que encerra matriz porosa e fluido, ρ a densidade do fluido, ε a porosidade da matriz (fração volumétrica ocupada pelo fluido), u a velocidade intersticial do fluido, T o tensor tensão que atua na fase fluida, m* a força exercida pelo fluido sobre a matriz porosa (por unidade de volume do sistema) e g a intensidade do campo exterior. A velocidade superficial do fluido q, utilizada amplamente em substituição à velocidade intersticial u, é medida desconsiderando a presença da matriz porosa. Confundindo os conceitos de porosidade volumétrica e superficial, . (3) q = ε
65
A força de interação fluido-partícula m* pode ser decomposta na força resistiva m e no empuxo, (4) m m* ( )= − −1 ε ρg A parte isotrópica do tensor tensão que atua sobre o fluido no meio poroso é a pressão p, , (5) T = − +p1 τ sendo τ a tensão extra. As equações da continuidade e do movimento tomam a seguinte forma diferencial:
∂∂
ερ ρt
div( ) ( )+ q 0= (6)
ερ∂∂
ρu u u m gt
p+
= − −( )grad grad + div + τ . (7)
São formulados em seguida hipóteses constitutivas que, apesar de sua simplicidade, parecem compatíveis com o conhecimento comum pertinente ao escoamento isotérmico de um fluido homogêneo através de meios indeformáveis: a força resistiva m e a tensão extra τ são, para um dado sistema matriz porosa-fluido, função da velocidade superficial q relativa a um referencial fixo à matriz, (8) m f q= ( ) (9) τ = G q( ) As funções f e G não são inteiramente arbitrárias pois devem satisfazer a segunda lei da termodinâmica e o princípio da invariança às mudanças de referencial. A primeira leva, por exemplo, a 10) f ( )0 = 0
)
e a segunda, no caso dos meios isotrópicos, que f e G são funções isotrópicas, isto é, para todo o tensor ortogonal Q (11) f Qq Qf q( ) (= . (12) G Qq QG q Q( ) ( )= T
Teoremas de representação para estas funções são conhecidos e conduzem aos resultados (Smith, 1971): ( )m q= β q (13)
66
( ) ( )τ = +α α1 2q q q1 ⊗ q (14) As equações (11) e (12) mostram que as funções escalares α1, α2 e β são, para um dado sistema matriz porosa-fluido, função do módulo da velocidade superficial q e que esta e a força resistiva m têm a mesma direção.
A força resistiva m A experimentação conduzida nos últimos 150 anos, desde o trabalho pioneiro de Henry Darcy (1856, apêndice D), fornece para a força resistiva m a seguinte equação constitutiva:
mq
q= +
µ ρµk
c k1 , (15)
onde µ é a viscosidade do fluido newtoniano, k e c são parâmetros que dependem apenas de fatores estruturais da matriz porosa quando não ocorrem interações físico-químicas entre matriz e fluido (Massarani, 1989, p. 37). k é a permeabilidade do meio poroso, com dimensão L2, e c é um parâmetro adimensional. A equação (15), a forma quadrática de Forchheimer, é válida para o escoamento viscoso em meios isotrópicos homogêneos ou heterogêneos, isto é, meios em que k e c são, respectivamente, constantes ou variáveis com a posição no sistema (Massarani, 1967). A equação é válida também em condições não isotérmicas, verificando-se a variação da viscosidade e da densidade do fluido ao longo do escoamento (Massarani, 1969). A extensão da equação (15) para contemplar o escoamento de uma classe ampla de fluidos não-newtonianos pode ser feita substituindo µ pela viscosidade efetiva, (16) µ λef S= ( ) /* λ*
k)t(
1,12/1
* q⋅
ε=λ , (17)
onde S é a função tensão cisalhante (uma propriedade material do fluido), λ a taxa de distensão característica (uma propriedade cinemática do escoamento) e t um fator estrutural da matriz porosa com valor da ordem de 2,5 (Silva Telles e Massarani, 1979).
*
Na situação em que o escoamento de fluido na matriz porosa é lento,
c kρ
µq
<< 1, (18)
a forma quadrática expressa pela equação (15) recai na forma linear
67
m =µk
q
q
(19)
amplamente conhecida como "lei" de Darcy, e o escoamento darcyano está associado à validade desta "lei". Cabe ainda assinalar que a ocorrência na natureza de meios anisotrópicos leva ao interesse pelo estudo do escoamento nestes meios. A "lei" de Darcy toma a forma , (20) m R= µ onde R é o tensor resistividade (Ferrandon, 1948; Silva Telles e Massarani, 1975).
A tensão extra τ O conhecimento atual sobre a tensão extra τ é extremamente escasso. Silva Telles e Fernandes (1973) constataram através de um número limitado de experiências que na equação (14) é praticamente nulo para fluidos newtonianos podendo, no entanto, atingir valores significativos no caso de certas soluções poliméricas não-newtonianas. Na falta de informação sobre α , admite-se provisoriamente que nos casos usuais
α2
1 ( )τ = α1 q 1 . (21)
A equação de Darcy
Seja a situação comum em que o meio poroso isotrópico e homogêneo é percolado por um fluido newtoniano. Resulta das equações (3), (7), (15) e (21):
( )[ ]ερε
∂∂ ε
α1 1
2q q q q m gt
+
= − − − +( )grad grad p 1 ρ (22)
mq
q= +
µ ρµk
c k1 . (15)
No caso em que o escoamento é uniforme, isto é, quando o campo de velocidades q é uniforme, a equação do movimento (22) toma a forma (23) 0 = − − +grad p m ρg
conhecida como equação de Darcy e utilizada indiscriminadamente na literatura sobre a fluidodinâmica em meios porosos (Scheidegger, 1963; Bear, 1972). A utilização da equação de Darcy é satisfatória mesmo na situação em que o escoamento de fluido é acelerado: o termo de aceleração na equação (22) pode tomar valores significativos face ao termo resistivo
68
m apenas quando as partículas são grandes, com diâmetro da ordem de alguns milímetros (Massarani, 1989, p. 45). No escoamento incompressível a equação de Darcy toma a forma . (24) − =grad P m sendo P é a pressão piezométrica do fluido (25) P p h= + ρg e h a distância (positiva na direção contrária a g) do ponto em questão medida a partir de um plano horizontal de referência. No escoamento incompressível, sendo válida a "lei"de Darcy,
− =grad P µk
q (26)
que combinada à equação da continuidade, equação (6), leva ao resultado clássico da hidráulica subterrânea (Polubarinova-Kochina, 1962) . (27) ∇ =2 0P 2. Propriedades Estruturais da Matriz Porosa Como evidenciado no item anterior, a porosidade, a permeabilidade e o fator c são os parâmetros que caracterizam a matriz porosa na percolação de um fluido homogêneo através deste meio.
A determinação experimental de parâmetros estruturais A porosidade pode ser determinada com o auxílio da picnometria simples, sendo necessária a picnometria com vácuo nas medidas com meios consolidados que apresentam porosidade reduzida. A permeabilidade e o fator c são determinados experimentalmente por permeametria através de um conjunto de medidas de vazão e queda de pressão efetuadas com a amostra
amostra
P1
Q
P2
zL
Permeâmetro
69
A equação de Darcy, equação (23), toma a forma
− = +dpdz
qk
c qk
µ ρ 2 (28)
na configuração do permeâmetro. A integração desta equação leva aos seguintes resultados para os casos em que o escoamento é incompressível ou compressível e isotérmico de um gás perfeito: Escoamento incompressível,
qk
ckL
pq1 ρ
+µ
=
∆− , (29)
Escoamento isotérmico de gás ideal,
.ppP ,2pp
RTM
2
qG
Gk
ckL
pG
12221 −=∆
∆
−=ρ+ρ
=ρ
ρ=
+µ
=
∆−
ρ
(30)
As formas lineares (29) e (30) permitem calcular com facilidade os valores de k e c.
O modelo capilar Apesar de sua simplicidade, o modelo capilar permite carrelacionar qualitativamente a permeabilidade com alguns parâmetros estruturais da matriz porosa. A idéia de modelar o meio poroso através de um feixe de dutos nasceu da analogia evidente entre a equação (26), válida para o escoamento darcyano no meio poroso,
− =dPdz k
qµ (26)
e a equação clássica da Mecânica dos Fluidos
− =dPdz R
uh
µβ2 /
(31)
válida para o escoamento laminar e incompressível em dutos retilíneos. Na equação (31) u é a velocidade média do fluido, Rh o raio hidráulico do duto, isto é, a razão entre a área da seção de escoamento e o perímetro de molhamento, e β um fator adimensional que depende da forma da seção transversal do duto, como mostra a tabela (1).
70
Associando a velocidade u do fluido no duto à velocidade intersticial q/ε no meio poroso, resulta das equações (26) e (31) a relação entre a permeabilidade e o raio hidráulico da matriz porosa . (32) k Rh= ε β2 / O raio hidráulico depende da porosidade e da superfície específica do meio poroso:
.S
=
poroso meio do Volumeporoso) meio do to(Comprimen )molhamento de (Perímetro
poroso meio do Volumeporoso) meio do to(Comprimen )escoamento de seção da (Área
=
molhamento de Perímetroescoamento de seção da Área=R
V
h
ε
=
=
(33)
A superfície específica da matriz porosa depende da distribuição granulométrica e dos fatores de forma B associado à superfície das partículas e C ao volume: (34) X X D= ( ) (35) S BD V CDp p= =2 , 3
onde X(D) é a fração em massa das partículas da amostra com diâmetro menor que D. Deste modo, para a massa m de partículas com densidade ρ , S
S
BD mCD
dX
mBC
dXD
V
s
s
= =
=⋅
−
= −∫
∫
Superfície da matriz porosaVolume do meio saturado com o fluido
2
30
1
0
1
1
1
/
/ ( )
ρ
ρε
ε
(36)
71
Tabela 1 - Escoamento laminar e incompressível em dutos retilíneos: fator de forma β (Berker, 1963)
Seção Transversal do Duto Fator β Observações Círculo
a
2
—
Região anular entre circunfe-
rências coaxiais
aaα
[ ])/1(n/1(1
)1(222
2
αα−−α+
α−
l
0 12 3
≤ <≤ <
αβ
—
Elipse aα
a
( )
,
14
0 12 2
2 2
2+
< ≤≤ <
α π
αβ
E
46
d
E k
k
= +
= −
∫ ( sen )
( )
//
/
1
1
2 2 1 20
2
2 1 2
φ φ
α
π
Retângulo
aαa
161 2( )+ α f
378,110<β≤
≤α≤
f tg amn
m n an
= −+
= +=
∞
∑163
10242 1
2 1 2
5 50π
α
π α
( )( )
( ) / ( )
Cardióide y
xθ
xy sen sen
= += +
cos cosθ α θθ α θ
22
2 1 21 4 1 4 2
2 2 3
2 2 4π α
α α α( )
( )( )+
+ + − I 2
23,22120
≤β≤<α≤
I d= −+
∫ 1 4
4 120
1 2αα
θ θπ
cos/
72
Definindo o diâmetro médio de Sauter do modo
D dXD
= ∫10
1/
, (37)
resulta para a superfície específica
S BC DV = − ⋅ ⋅( )1 1
ε . (38)
De modo coerente com os capítulos anteriores, a dimensão da partícula é especificada pelo diâmetro volumétrico Dp e sua forma através da esfericidade φ , (39) πDp
3 6/ = Vp
.partícula da lsuperficia Área
D diâmetro com esfera da lsuperficia Área p=φ (40)
Portanto, (41) B C= =π φ π/ , / 6 resultando:
SDV
p=
−6 1( εφ
) (42)
RS
Dh
V
p= =−
ε φ ε
ε
( )( )6 1
(43)
e, finalmente,
k R Dh p= =−
εβ
φ ε
β ε
2 2 3
236 1
( )
( ) (44)
D dXDp
p= ∫1
0
1/
. (45)
O último resultado, conhecido na literatura como equação de Blake-Kozeny ou Kozeny-Carman, permite correlacionar, no contexto do modelo capilar, a permeabilidade com as propriedades das partículas e a porosidade do meio. A experimentação indica que o valor do parâmetro estrutural β está compreendido entre 4 e 5 para meios com porosidade até 50%,
73
como mostra a figura (1). Para meios expandidos o valor de β aumenta significativamente com a porosidade quando ε > 0,75 (Massarani e Santana, 1994). O modelo capilar pode fornecer também informações qualitativas referentes ao fator c. Neste caso, a analogia é estabelecida entre as equações que descrevem o escoamento a altas vazões no meio poroso e no duto retilíneo:
− =dPdz
ck
qρ 2 (46)
2
hu
R8f
dzdP ρ
=− (47)
onde f é o fator de atrito no duto. Associando a velocidade u do fluido no duto à velocidade intersticial q/ε no meio poroso, resulta das equações (32), (33) e (42)
c =Ω
ε3 2/ , (48)
sendo Ω um parâmetro adimensional a ser determinado experimentalmente,
(49) .cm10k10
50,035,014,0:(1952) Ergun
246 −<<<ε<
=Ω
Massarani (1989, p. 52): 0,13 0,1000,37
00,01
0
=
k
Ωkk
kk
+
< < =< <
−
− −
0 98
6 2
9 3 20 15 0 75 1010 10
,
, , .ε cmk cm
(50)
A equação de Ergun (1952), extensamente utilizada na literatura de Engenharia Química, é a expressão da equação de Darcy, equação (28), na qual a permeabilidade e o fator c são representados por
k
D
PL
qD
pqD
p
p p
=−
=
− =−
+−
( )
( ), / ,
( )( )
,( )
/φ ε
εε
εε
µφ
εε φ
2 3
23 2
2
3 2 3
2
150 10 14
150 1 1 751
e c
∆. (51)
74
0,30
3,2
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
Fato
r β
0,32 0,34 0,36 0,38 0,40 0,42 0,46 0,48 0,50
Porosidade, ε
1/16"placas
prismas1/4"cilíndros
1/8"cilíndros
1/32" placas
cubos
0,44
Figura 1 - Fator estrutural β (Coulson e Richardson, 1977, p. 12)
A literatura referente ao modelo capilar é riquíssima e não carece certamente de imaginação. No início, o meio poroso era representado por um simples feixe de tubos retilíneos de um mesmo diâmetro; mais tarde, o modelo foi se sofisticando: uma trança de tubos com seção elítica variável. A passagem, por exemplo, da representação através do feixe de tubos retilíneos para a configuração na forma de trança levou, no caso arbitrário do duto de seção circular, ao "conceito" de tortuosidade, t, (52) t = =β β β/ tubo 0 5, que exprime o aumento do comprimento da trança quando retificada. O grande mérito do modelo capilar está na possibilidade de fornecer, através de uma analogia simples, resultados qualitativos que, complementados com a experimentação em meios porosos, permitem correlacionar a estrutura do meio com suas propriedades macroscópicas. A necessidade da experimentação vem do fato de que a estrutura da matriz porosa é diferente daquela que um conjunto de tubos pode oferecer mesmo em configurações complexas.
Exemplo Deseja-se estimar o valor da permeabilidade e do fator c para o meio poroso constituído por partículas que apresentam a seguinte análise de peneiras
Sistema Tyler (peneira nº)
Diâmetro médio da abertura D# (mm)
Massa retida (g)
Fração em massa retida ∆X
- 35 + 48 0,359 47,6 0,33 - 48 + 65 0,254 52,8 0,36 - 65 + 100 0,180 45,2 0,31
Total 145,6 1,00
75
A porosidade do meio é da ordem de 42% e a esfericidade das partículas é 0,78; confunde-se, neste cálculo aproximado, os valores do diâmetro médio de peneiras D# e do diâmetro volumétrico D . p Cálculo do diâmetro médio de Sauter, equação (46)
D dXD
XD
mmp
p p ii
= ≅
=+ +
=
∫ ∑
1 1 10 33
0 3590 36
0 2540 310 180
0 246
0
1
∆ ,,
,,
,,
, .
Cálculo da permeabilidade, equação (44), com β ≅ 4,5
k D cmp=−
= × −( )( )
,φ εβ ε
2 3
27 2
36 15 01 10 .
Cálculo do fator c, equação (50), com k c0
6 210= − m
=
g
. [ ]c = +0,13( / ) 0,10( / )00,37
00,01k k k k
0 98 3 2 1 01, // ,ε
3. Escoamento em Meios Porosos: Aplicações Clássicas A maioria dos problemas relativos ao escoamento de fluido em meios porosos pode ser resolvida a partir da forma simplificada da equação do movimento expressa pela equação de Darcy, (23) 0 = − −grad p + m ρ
mq
q= +
µ ρµk
c k1 , (15)
A equação de Darcy não leva em conta a aceleração do fluido na percolação através da matriz porosa, o que parece ser aceitável na maioria dos problemas de interesse tecnológico, quando a permeabilidade é inferior a 10 (Massarani, 1989, p. 45). 5− cm2
A perda de carga no meio poroso
No escoamento unidirecional e incompressível, as equações (15) e (23) levam à equação da perda de carga no meio poroso,
- ∆ρ
= (53) Pg
Wg
Lg k
c qk
qA
MP ρµ ρ
= +
76
expressa em termos da altura de coluna de fluido que escoa no meio. Na equação (53) W é a energia dissipada devido ao atrito por unidade de massa de fluido.
A
Exemplo Deseja-se calcular o valor do desnível H para que a vazão de água na coluna de ionização seja 4m3/h (30ºC). A perda de carga na tubulação é 7,52m de coluna de água. Dimensões da coluna: diâmetro Dc = 30cm e altura L = 100cm. Propriedades do meio poroso: porosidade ε = 0,42 , permeabilidade k = 4 x 10-6 cm2 e fator c = 0,40.
O balanço de energia entre 2 pontos da instalação leva a (Perry e Green, 1984, p. 5-20)
∆∆
pg
z Wg
WgA
i iρ+ = −
∑ , (54)
equação que encerra, respectivamente, a carga de pressão, a carga de altura, a carga da bomba e a perda de carga na tubulação e no equipamento que compõe a montagem (inclui as colunas de recheio). No caso em estudo, entre os pontos 1 e 2 assinalados na figura,
∆p Wg
= 0 e = 0 por não contar a instalação com uma bomba:
HW
gA
i i
=
∑ . (55)
Perda de carga no meio poroso
água de coluna de m70,3qkqc
kgL
gW
coluna) na lsuperficia velocidade( s/cm57,1A/Qq
MP=
ρ+
µρ
=
==
77
Cálculo do desnível H
H Wg
Wg
mA A
MP=
+
= + =
tubo7 52 3 70 11 22, , ,
O escoamento compressível A permeametria com gases foi analisada anteriormente neste capítulo, resultando a equação (30) para o caso do escoamento isotérmico e unidimensional de gás ideal. Situações mais complexas, como as que ocorrem nos secadores de grãos, podem ser também abordadas partindo da equação de Darcy, com o conhecimento das equações de estado para o fluido. Os problemas (8) e (16), incluidos no final deste capítulo, tratam, respectivamente, da expansão adiabática e do escoamento isotérmico radial de gás ideal através da matriz porosa.
O escoamento transiente Os problemas (9) e (11) propostos no final deste capítulo tratam do escoamento em meios porosos sujeito a uma carga de líquido variável. A formulação nestes casos parte da equação do movimento para o fluido à qual se associa, através das condições de contorno, o balanço de massa transiente para o volume de fluido que alimenta o sistema. 4. O Escoamento Bifásico em Meios Porosos As equações da continuidade o do movimento apresentadas neste capítulo podem ser estendidas para contemplar a situação em que os poros da matriz são ocupados por 2 fluidos imiscíveis:
∂∂
ε ρ ρt
si i i i( ) ( )+ div q 0=
,
)
(55)
. (56) 0 = − − + =grad p ii m gi iρ , 1 2 Nestas equações si é a saturação expressa pela fração volumétrica de poros ocupada pela fase i, (57) s s1 2 1+ = e mi é a força resistiva (por unidade de volume de meio poroso) exercida pelo fluido i sobre a matriz porosa e sobre o outro fluido. O índice i = 1 denota o fluido que "molha" a matriz porosa, isto é, aquele que preferencialmente recobre a superficie sólida. As pressões na equação (56) estão relacionadas entre si através da pressão capilar (Bear, 1972, p. 441).
pipc
(58) p p p sc2 1 1− = (
78
que depende, dentro do ciclo embebição-drenagem, da natureza dos fluidos e de fatores estruturais da matriz porosa. Como conseqüência, na situação em que é constante ao longo do escoamento
s1
. grad grad p 1 = p2 No rasto das formas constitutivas para a força resistiva , seja , por hipótese, para uma dada tríade fluido1 - fluido2 - matriz porosa
mi
. (59) m m q qi i s= ( , , ), ,1 1 2 1 2 i = A função mi não é inteiramente arbitrária, pois deve satisfazer a segunda lei da termodinâmica e o princípio da invariança às mudanças de referencial. A primeira conduz à conclusão óbvia que ; mi s( , , )1 0 0 0= o segundo implica que para meios isotrópicos mi seja uma função isotrópica e que portanto (Smith, 1971) , (60) m q qi i i i= + +Λ Ω Λ Ω Λ Ω1 1 2 2 3( ) ( ) ( )grad s1 sendo, para uma tríade específica, Ω = ⋅ ⋅ ⋅s1 1 2 1 1 2 1 2 1q q q q q q, , , , ,grad grad grad s s 1 s
1
(61)
Equação de Darcy-Buckingham Na situação em que prevalece o escoamento lento das fases, a força resistiva, equação (60) toma a forma linear
(62) m q qi i i is s s= + +
= =α α α
α α1 1 1 1 1 2 3 1
12 21 0( ) ( ) ( )
,grad s
que combinada à equação do movimento, equação (56), leva aos resultados:
[q111 1
1= − + −
αα
( )sgrad (s )grad 1 31 1 1 1p s ]gρ (63)
[q222 1
2 32 1 1 21
= − + −α
α( )
( )s
sgrad grad p s ]gρ . (64)
Seja o caso da percolação de água em solos não saturados em que o gradiente de concentração de água é dominante face ao gradiente de pressão exercido sobre esta fase (Tobinaga e Freire, 1980). Resulta da equação (63)
79
q g
1 1 1 1
111 1
131 1
11 1
= −
= =
K sg
D s
K s gs
s ss
( ) ( )
( )( )
( ) ( )( )
grad s
, Dρα
αα
, (65)
conhecida na literatura como equação de Darcy-Buckingham. A condutividade hidráulica K e o coeficiente de difusão D dependem da estrutura da matriz porosa.
Generalização da Forma Quadrática de Forchheimer Nas condições em que o gradiente de saturação não é significativo, a generalização da equação quadrática de Forchheimer para o escoamento bifásico toma a seguinte forma, a partir da equação (60):
[ ][ ]
m q q q
q qi i i i
i i i
s s s
s s s
= + + +
+ + + =
γ γ γ
δ δ δ
1 1 2 1 1 3 1 2 1
1 1 2 1 1 3 1 2 2 1 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) , , iq (66)
O resultado é compatível com as tradições da Engenharia de Reservatório, através das equações de Muskat, e com os dados experimentais relativos ao escoamento bifásico na coluna de recheio utilizada nas operações de absorção, destilação e extração (Tobinaga, 1979). Sendo o escoamento dos fluidos lento, a experimentação indica que apenas os coeficientes γ são significativos, δ11 12e
γµ
11 11
1 1( )
( )s
kk s= (67)
δµ
12 12
2 1( )
( )s
kk s= (68)
onde k é a permeabilidade da matriz porosa e ki (s1) a permeabilidade relativa da fase i que depende, no ciclo de embebição-drenagem, da estrutura desta matriz porosa (Scheidegger, 1963, p. 222). As equações de Muskat são as equações do movimento para o escoamento bifásico lento em meios porosos. Resulta das equações (56), (66) a (68):
qii
ii
kk s= − −
( )(1
µρgrad pi g) . (69)
A operação das colunas de recheio, amplamente utilizadas nos processos de transferência de massa entre fases, caracteriza-se pelo escoamento bifásico em altas vazões através de meios com permeabilidade e porosidade elevadas. Estudos conduzidos por Tobinaga (1979) no escoamento concorrente gás-líquido levou aos seguintes resultados:
80
2/12
32
2232
2/11
31
1121
23
2
22
212
13
1
21
111
k)s(s1
k)s(s1
k)s()s1(
k)s()s1(
ρ⋅
ε
ε−β=δ
ρ⋅
ε
ε−β=γ
µ⋅
ε
ε−α=δ
µ⋅
ε
ε−α=γ
sendo que os coeficientes αi e βi dependem da estrutura da matriz porosa. Os coeficientes γ31, δ11, δ21, δ31 são aparentemente pouco importantes na formulação das equações. O valor da queda de pressão na operação em contra-corrente da coluna de recheio é geralmente estimado através de correlações empíricas, como aquela apresentada na figura (2) (Catálogo DC-11, Norton Chemical Process Products, 1977). O problema (13) da coletânea reunida no final do capítulo trata da estimativa da queda de pressão numa coluna operando com selas intalox de cerâmica, 1½".
81
Figura 2 - Queda de pressão no escoamento bifásico contracorrente em coluna recheada (Norton, DC-11, 1977)
C - 10,8
F - Fator de forma
G - Velocidade mássica do gás (kg/m2.s)
L - Velocidade mássica do líquido (kg/m2.s)
v - Viscosidade cinemática do líquido (cSt).
ρG - Densidade do gás (kg/m3).
ρL - Densidade do líquido (kg/m3)
10
6
4
2
1
0,6
0,4
0,2
0,1
0,060,04
0,02
0,01
0,01 0,02 0,04 0,06 0,1 0,2 0,4 0,6 1
4
8
21
40
125
linha de inundação83
2 4 6 10
L ( )1/2ρG
ρLG
CG
F ν
2
GG
L
0,1
()
ρρ
ρ -
Parâmetro: queda depressão em mm água/m
de recheio
Fator de forma F Recheio Material Dimensão nominal (in)
1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 1 1¼ 1½ 2 3 3½ Hy-pak Metal 43 18 Super Intalox Cerâmica 60 30 Super Intalox Plástico 33 21 16 Anel Pall Plástico 97 52 40 24 16 Anel Pall Metal 70 48 33 20 16 Intalox Cerâmica 725 330 200 145 92 52 40 22 Anel Raschig Cerâmica 1600 1000 580 380 255 155 125 95 65 37 Anel Raschig Metal 1/32” 700 390 300 170 155 115 Anel Raschig Metal 1/16” 410 290 220 137 110 83 57 32 Sela Berl Cerâmica 900 240 170 110 65 45
82
Problemas: Escoamento de Fluido em Meios PorosoS
1. Determinar os valores da permeabilidade e do fator c a partir dos dados experimentais obtidos por permeametria. a) Meio de areia artificialmente consolidado com 5% de araldite.
Granulometria da areia: -14+20 # Tyler. Fluido: água (densidade 1 g/cm3 e viscosidade 1,18 cP). Comprimento do meio: 2,1 cm. Área da seção de escoamento: 16,8 cm2. Porosidade do meio: 0,37. Dados de velocidade superficial e queda de pressão:
q cm s( / ) 6,33 7,47 10,2 12,7 15,2 17,7 20,3 23,9 −∆p cmHg( ) 4,69 6,24 10,4 15,2 21,2 28,0 35,9 48,9. b) Meio não consolidado de areia.
Granulometria da areia: −35+48 # Tyler. Fluido: ar a 25ºC e pressão atmosférica na descarga. Comprimento do meio: 33,4 cm. Área da seção de escoamento: 5,57 cm2. Porosidade do meio: 0,44. Dados de velocidade mássica e queda de pressão:
G g cm s( / )2 1,59×10-3 5,13×10-3 9,49×10-3 12,3×10-3 22,4×10-3 44,6×10-3 70,3×10-3 −∆p cm( água) 6,40 20,8 38,6 50,3 92,5 197 321. Em relação ao segundo caso, estimar os valores da permeabilidade e do fator c pelas correlações da literatura. Considerar que a esfericidade da areia seja 0,70.
83
Resposta: a) Permeabilidade: 6,9×10−6 cm2. Fator c: 1,10.
b) Permeabilidade: 1,29×10−6 cm2. Fator c: 0,75 Valores estimados (caso b):
k D=
−= × −( )
( ),φ ε
ε
2 3
26 2
170 11 02 10 cm
81,0k
k10,0k
k13,0c 2/398,001,0
037,0
0 =ε
+
= , k . 0
6 210= − cm
2. Especificar a bomba centrífuga para a unidade de tratamento de água constituída por um filtro de carvão (A), coluna de troca catiônica (B) e coluna de troca aniônica (C). Capacidade da instalação: 6 m3/h. A tubulação tem 35 m de comprimento (aço comercial, 1½"# 40) e conta com uma válvula globo (aberta) e 12 joelhos de 90º. O desnível entre os pontos 1 e 2 é praticamente nulo. Temperatura de operação: 25ºC.
Especificação das colunas:
Coluna Altura de recheio (cm) Diâmetro (cm) A 50 50 B 90 55 C 90 55
84
Especificação do recheio:
Coluna Granulometria Esfericidade Porosidade
A
# Tyler −35+48 (30%) −48+65 (40%) −65+100 (30%)
0,60
0,42
B Dp = 0,45 mm 0,85 0,37
C Dp = 0,70 mm 0,85 0,38
Resposta: Perda de carga na tubulação incluindo acidentes: 4,45 m. Perda de carga nas colunas:
Coluna
Velocidade superficial
(cm/s)
Diâmetro médio (cm)
Permeabilidade (cm2)
Fator c
Perda de carga
(m) A 0,849 2,45×10−2 2,80×10−7 1,16 14,7 B 0,702 4,5×10−2 1,10×10−6 1,03 5,71 C 0,702 7×10−2 2,97×10−6 0,820 2,17
Especificação da bomba: Vazão, 6 m3/h; carga, 27 m; potência, 2cv.
3. Calcular a vazão de água que a bomba centrífuga Minerva (5cv) fornece à instalação abaixo esquematizada constituída por uma coluna recheada, 25 m de tubulação de aço de 1½” (#40), válvula gaveta (1/4 fechada), válvula de retenção e 7 joelhos de 90º. Desnível entre os pontos 1 e 2: -3m. Temperatura de operação: 25ºC.
A coluna recheada: diâmetro 20 cm e altura 1 m. O recheio: diâmetro médio e esfericidade das partículas 450 µm e 0,85; porosidade do leito 0,38.
85
Curva característica da bomba: Vazão (m3/h) 0 2 4 6 8 10 12 14 Carga (m) 53,9 53,9 53,3 52,2 50,6 46,7 41,7 32,8. Resposta: Perda de carga na tubulação incluindo acidentes: 7,26×10−2 Q2 m de coluna de água, com a vazão Q expressa em m3/h. Desnível entre os pontos 2 e 1: 3 m. Propriedades do meio poroso: permeabilidade 1,23×10−6 cm2 e fator c 0,97. Perda de carga na coluna recheada: 6,62 Q+0,701 Q2 m de coluna de água, com a vazão Q expressa em m3/h. Carga da instalação: 3+6,62 Q+0,774 Q2 m de coluna de água, com a vazão Q expressa em m3/h. Vazão fornecida pela bomba: 4,7 m3/h (compatibilidade entre as cargas da bomba e da instalação).
4. Estimar a capacidade (m3/m2h) do filtro de areia abaixo esquematizado operando com água a 20ºC. A primeira camada, com porosidade 0,37, é constituída de areia com a seguinte granulometria:
Sistema Tyler % em massa −14+20 20 −20+28 60 −28+35 20
A segunda camada, com porosidade 0,43, é constituída de brita com 1,3 cm de diâmetro. A esfericidade da areia e da brita pode ser considerada como sendo 0,7.
86
Resposta: Propriedades do leito de areia: diâmetro médio das partículas 0,70 mm, permeabilidade 1,80×10−6 cm2 e fator c 0,94. Propriedades do leito de brita: permeabilidade 1,19×10−3 cm2 e fator c 0,38. Capacidade do filtro: 15,1 m3/m2h.
5. Estimar o tempo consumido na percolação de 100L de óleo através de um leito de carvão ativo com porosidade 0,42. A pressão de ar comprimido é 7 atm manométricas. Propriedades do óleo: densidade 0,85 g/cm3 e viscosidade 35 cP. Dimensões do leito de carvão ativo: diâmetro 30 cm e altura 50 cm. Propriedades das partículas de carvão: esfericidade 0,6 e granulometria.
Sistema Tyler % em massa −35+ 48 15 −48+ 65 65 −65+100 20
Resposta: Propriedades do leito de carvão: diâmetro médio das partículas 245 µm, permeabilidade 2,8×10−7 cm2 e fator c 1,16. Vazão de óleo que percola o leito de carvão: 4,78 L/min. Tempo consumido na percolação de 100L de óleo: 21 min.
6. Calcular a queda de pressão no reator catalítico em leito fixo sabendo que opera isotermicamente a 550ºC e que a pressão na descarga do reator é 1,5 atm. A porosidade do leito é 0,44. Vazão mássica de gás com propriedades do nitrogênio: 200 kg/h. Dimensões do leito de catalisador: diâmetro 30 cm e altura 40 cm. Propriedades das partículas de catalisador: esfericidade 0,65 e distribuição granulométrica dada por
3
pD1231
1X
+
= , Dp em µm.
87
Resposta: Propriedades do leito de catalisador: diâmetro médio das partículas 102 µm, permeabilidade 7,08×10−8 cm2 e fator c 1,56. Queda de pressão no reator: 8,08 atm.
7. Um conversor secundário de ácido sulfúrico tem 2,3 m de diâmetro e opera com 3 camadas de catalisador, perfazendo um total de 1,35 m de altura. As partículas de catalisador são cilindros eqüiláteros com diâmetro 9,5 mm. A porosidade do leito é 35%. Calcular a queda de pressão no conversor sabendo-se que a velocidade mássica de gás é . 2 6 103 2, /× kg m hA alimentação é feita a 400ºC, resultando uma temperatura na descarga de 445ºC. A pressão na descarga do conversor é 1 atm. Composição do gás:
SO3 SO2 O2 N2 Alimentação (% molar) 6,6 1,7 10,0 81,7 Descarga (% molar) 8,2 0,2 9,3 82,3
(Coulson, J.M. e Richardson, J.F.; "Chemical Engineering", Pergamon Press, Londres, 2ª edição, vol. 2, p. 737, 1968). Resposta: O escoamento será considerado como sendo isotérmico a 423ºC. Massa molecular média 32,6. A viscosidade da mistura será considerada como sendo a do nitrogênio a 423ºC e 1 atm: 0,033 cP. Propriedades do leito de catalisador: diâmetro e esfericidade 1,09 cm e 0,87, permeabilidade 5,42×10−4 cm2 e fator c 0,54. Queda de pressão no conversor: 40,6 cm de coluna de água.
8. Análise da expansão adiabática de um gás perfeito através de um meio poroso aberto à atmosfera. Estabelecer a relação entre pressão no reservatório de volume V e o tempo, admitindo que o escoamento no meio poroso seja darcyano e que a viscosidade do fluido possa ser considerada como sendo uma constante no processo em questão. Condições iniciais no reservatório: pressão e temperatura . p To o
88
Resposta: Expansão adiabática de gás perfeito: , constante, p T p T Ca
oa
o− −= =
onde a c c . cp v= −( ) / pEquação do movimento do fluido escoando no meio poroso, forma integrada:
Ga
MCR
k p pL
aatm
a=
−⋅ ⋅ ⋅
−− −12
2 2
µ, onde L é o comprimento do meio poroso.
Balanço de massa de gás no reservatório:
− = − ⋅ ⋅ −GA a VMCR
p dpdt
a( )1 , onde A é a área da seção de escoamento.
Combinando os resultados, resulta por integração:
11 2( )( )− −
⋅ =a a
AktLv
Ipatmµ
, onde dx1x
xI atmp/op
atmp/p a2
a
∫−
=−
−.
Exemplo: Expansão adiabática de ar, a = 0,286,
89
9. O filtro abaixo esquematizado recebe uma vazão constante Q de líquido newtoniano. Estabelecer a relação entre a velocidade superficial de fluido que escoa através do meio poroso e o tempo de percolação. Estabelecer também o tempo em que ocorrerá o transbordamento do filtro. O escoamento no meio poroso pode ser considerado darcyano. Na condição inicial o meio poroso está saturado com líquido e l = l o
Resposta: Forma integrada da equação do movimento do líquido escoando no meio poroso:
(l-L)ρg/L )t(qkµ
= , onde q é a velocidade superficial do fluido.
Balanço de massa na camada de líquido:
=− qAQ dl/dt.
Combinando os resultados e integrando com a condição inicial l(0) = l 0, obtém-se a relação entre a espessura de líquido l e o tempo de percolação t:
l +αβ
= (lO )texp() α−αβ
−
αρ
µ=
k gL
, β α . = −QA
L
Substituindo o resultado na equação que fornece o balanço de massa na camada de líquido, resulta a relação entre a velocidade superficial q e o tempo de percolação:
+=AQq ( lO )t( exp ) α−α
αβ
−
90
O transbordamento do líquido no filtro se dará quando QA
L> α , no tempo T correspondente a
l H = :
ln1=T−
αβ
−αβ
α
10. Comparar os vaobtidos por Silva Teaquosa de NatrosoConsiderar o escoamPropriedades do fluipor: λ( )s−1 0 S(dyn/cm2) 0 Propriedades do mporosidade 0,38. Dados experimentaisatravés do meio poro q(cm/s) 0,275−∆p(cmHg ) 7,63 Resposta: Relação entre a velo q(cm/s) 0,2
λ* ) = q (s-1
k 23
“Modelo reológico” Cálculo da viscosida q(cm/s) 0,
µλ
λ= S( P
* )* ( ) 0,
−∆pexp (cmHg)
)
7, −∆psim (cmHg 7,
lO
H, H > lO.
lores estimados de queda de pressão com os resultados experimentais lles e Massarani (RBF, 9, 2, 535, 1979) para o escoamento de solução
l através de um meio poroso de areia artificialmente consolidada. ento como sendo darcyano.
do: densidade 1 g/cm3 e relação taxa de distensão - tensão cisalhante dada
150 300 500 700 900 1100 1300 1500 44,5 70,3 98,5 123 145 166 185 203
eio poroso: comprimento 2,0 cm, permeabilidade 1,4×10−6 cm2,
de velocidade superficial do fluido e de queda de pressão no escoamento so:
0,524 1,07 1,63 11,6 18,4 24,8
cidade superficial do fluido e a taxa de distensão característica:
75 0,524 1,07 1,64
2 443 904 1380
para . 232 1380 1 631 0 66 2< < =−λ λ s dyn: , /,S cmde efetiva e estimativa da queda de pressão:
275 0,524 1,07 1,63
256 0,205 0,161 0,140
63 11,6 18,4 24,8
91 11,7 18,7 24,8.
91
11. Análise do dreno vertical darcyano. Estabelecer a relação entre a vazão de água que percola através do dreno e o tempo de percolação, sabendo-se que as paredes são porosas e que no tempo inicial a altura de líquido é ho.
Resposta: Equação do movimento do fluido escoando através da parede porosa:
.
RRn
ghkQ
dzdQ
RRn
21
k=gz)-(h
gz)-(h=pdzdQ
r21
k=
drdp
1
2
21
2
l
l
µ
ρπ=
⋅⋅π
⋅µ
ρ
ρ∆−
⋅π
⋅µ
−
Balanço de massa de fluido no poço:
.
RR
n R
gtk + h1 =
h1
dtdh R = )t(Q
1
221
o
21
lµ
ρ∴
π−
92
Relação entre vazão de fluido e o tempo de percolação:
2
1
2210
1
2
RRlnR
gtk1
1
RRln
gkQ
µ
ρ+
⋅µ
ρπ=
h
12. Análise do dreno-aleta darcyano. Estabelecer a relação entre a capacidade do dreno e as propriedades e dimensões do meio poroso.
Resposta: Expressões para a vazão no dreno:
( ) ( ) .drr k2 = dz k R2 = QR
or,oz
PL
oR,zr
P ∫∫ ∂∂
∂∂ −
µπ−
µπ
93
Formulação do campo de pressões piezométricas:
=
∂∂
ρ+=
ρ−==
∂∂
=∂
∂+
∂∂
∂∂
0zP , gHp)r,o(P
gzp)R,z(P , 0rP
0z
PrPr
rr1
r,Latm
atmo,z
2
2
O campo de pressões piezométricas:
( ))R(I)r(I
zsen 21n2 sen
HL
g2gHp)r,z(Pno
non
1n2nn
atm λλ
λ
λ
π
−
+λ
ρ−ρ+= ∑
∞
=,
( ) ,...3,2,1=n,1-2nL2nπ=λ
Capacidade do filtro:
( )
−π
−π
−
π
−−π
+µ
ρ ∑
∞
LR
2)1n2(I
LR
2)1n2(I
1n21
21n2sen
1n22
LHLk
LRg
o
1
1=n
2= 8Q .
13. Uma coluna de absorção opera com 680 kg/h de gás e 9000 kg/h de líquido, fluxos em contracorrente. Os fluidos têm as propriedades do ar e da água a 20ºC e 1 atm. Diâmetro da coluna: 0,42 m. Recheio: Intalox 1½", cerâmica. Calcular a queda de pressão na coluna sabendo que a altura de recheio é 9 m. Resposta: A queda de pressão na fase gasosa é 75,4 cm de coluna de água. 14. Um resfriador de partículas pode operar nas configurações abaixo assinaladas. Calcular a vazão de ar fornecida pelo compressor radial Minuano nestas duas situações. As partículas são esferas com diâmetro 0,5 mm e a porosidade do leito é 0,40. Dimensões do equipamento: 30×30×60 cm. Propriedades do ar a 20ºC e 1 atm.
Queda de pressão na tubulação de 2": ∆ . p u = 3 Fρ < >2
2
94
Curva característica do compressor: Q(m3/min) 1 2 3 4 C(mm água) 1870 1200 600 0.
S
G
30
Configuração 1
3030
S
G
30
Configuração 2
(cotas em cm)
Resposta: Propriedades do meio poroso: permeabilidade 2,61×10−6 cm2, fator c 0,78. Queda de pressão na tubulação: cm água, com a vazão expressa em m3/min. 2Q 21,1p =∆−
Queda de pressão no resfriador, 1ª configuração: cm água, com a vazão expressa em m3/min.
− = +∆p Q19 1 1 49 2, , Q
Queda de pressão no resfriador, 2ª configuração: cm água, com a vazão expressa em m3/min.
2Q 9,11Q7,76p +=∆−
Vazão na 1ª configuração: 2,75 m3/min (meios em paralelo) Vazão na 2ª configuração: 1,55 m3/min (meios em série)
15. O problema de Dupuit. Desprezando os efeitos de capilaridade, estimar a vazão de líquido newtoniano que percola, em escoamento darcyano, a parede porosa. A largura da parede é B.
95
Resposta: Seja o caso particular em que ( . Nesta situação, a posição da interface ar-líquido pode ser expressa por uma reta.
)H H1 2− << L
q k dPdx
= − ⋅µ
)ghp(dxdkBhQ atm ρ+⋅
µ⋅−=
.2
HHLgk
BQ 2
122 −
⋅µρ
−=
16. Estabelecer a relação entre a vazão mássica W (M/θ) e a queda de pressão no escoamento permanente e isotérmico de um gás perfeito através da configuração abaixo esquematizada.
Resposta: Equação do movimento do fluido escoando no meio poroso:
qqkc1kdr
dp0
µρ
+µ
−−=
rLG2qrL2W π=ρπ=
22
2
r1
)L2(W
kc
r1
Lk2W
drdp
⋅π
⋅+⋅πµ
=ρ−
96
−
π⋅+
πµ
=∆−ρ212
2
1
2R1
R1
)L2(W
kc
RR
nLk2W)p( l
onde
∆
−=
+
=ρ2pp
RTM
2pp
RTM
221 , . 12 ppP −=∆
97
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99
Capítulo 4 Fluidodinâmica em Sistemas Particulados Expandidos
1. Equações da Continuidade e do Movimento A formulação para descrever a fluidodinâmica em sistemas particulados expandidos, como acorre na fluidização, sedimentação livre e transporte de partículas, pode ser estabelecida a partir das equações da continuidade e do movimento para cada fase e mais as equações constitutivas. Analogamente ao capítulo anterior (Massarani, 1989, p. 84): Equações da continuidade,
∂∂
ερ ερt F F F( ) ( )+ div v 0= (1)
[ ] [ ]∂∂t S(1 ) div (1 )S S− + − =ε ρ ε ρ v 0 ; (2)
Equações do movimento,
ερ∂∂
ρFF
F F Ftp
vv v m g+
= − − +( )grad grad (3)
( ) ( ) ( )(1− +
= + + −ε ρ∂∂
ε ρ ρSS
S S S Stv
v v T m ggrad div ) F1 - ; (4)
Equações constitutivas,
SFF
FF = ,Ukc
1k
vvUUm −ε
µερ
+µ
= (5)
. (6) ( )TS Sp= − ε 1 Nestas equações, ε é a porosidade da matriz (fração volumétrica ocupada pelo fluido),
e ρ a densidade do fluido e do sólido, v e a velocidade intersticial das fases fluida e sólida, p e a pressão no fluido e no sólido, m a força resistiva que o fluido exerce sobre a matriz sólida (por unidade de volume de sistema particulado), g a intensidade do campo exterior e T a tensão exercida sobre a fase sólida.
ρF S F vSpS
S A força resistiva m foi amplamente estudada na literatura e, como conseqüência, o resultado expresso pela equação (5) mostra-se satisfatório nas situações usuais (Massarani, 1989). A experimentação torna-se, no entanto, particularmente difícil quando a porosidade do sistema alcança valores nas proximidades de 1, como ocorre no transporte pneumático diluído.
101
O panorama em relação à tensão T exercida sobre a fase sólida é bastante complexo face às dificuldades na realização de ensaios fundamentais em Mecânica dos Sólidos. A forma constitutiva expressa pela equação (6), apesar da simplicidade, é utilizada com resultados satisfatórios na fluidodinâmica dos meios expandidos e no estudo da filtração e sedimentação unidimensional com formação de substratos deformáveis (Massarani, 1989, p. 86; Gidaspow, 1994, p. 31). Como conseqüência, na situação em que a porosidade é constante,
S
. (7) div grad pSTS = − =( )ε 0 Formas complexas para a tensão nos sólidos se fazem necessárias quando se trata do estudo de um leito deslizante de partículas, como ocorre na descarga de um silo e na operação dos leitos recirculante e de jorro (Gidaspow, 1994, p. 31). As equações do movimento para as fases fluida e sólida podem tomar formas diferentes segundo as tradições de cada "escola" e as peculiaridades dos temas abordados, o que acarreta um certo desconforto na tentativa de compatibilizar os resultados da literatura. As equações (3) e (4) apresentadas neste texto satisfazem o conhecimento comum e os resultados experimentais conhecidos, não tendo sido assinalado qualquer contra-exemplo. a) A equação (3) conduz na estática ao resultado bem conhecido . 0 = − +grad p ρF g b) A equação (3) leva à definição da força resistiva m quando prevalece o escoamento uniforme, m g= − +grad p ρF e dela resultam, a partir das medidas de queda de pressão e vazão, os parâmetros estruturais k e c da equação (5). c) A integração da equação (3) completa, incluindo o termo da aceleração do fluido na matriz porosa, conduz para os escoamentos incompressíveis convergente ou divergente efetuados em calota esférica porosa aos resultados (Massarani, 1974): Escoamento convergente,
ρπ ε
αµ
πα
ρπ
αF F F F F FQR
p p QkR
c Qk R
2
204
41 0
0
2
203
3
81
21
121( ) ( ) ( ) (− = − − − − − ); (8)
Escoamento divergente,
− − = − − − − −ρ
π εα
µπ
αρ
παF F F F F FQ
Rp p
QkR
c Qk R
2
204
40 1
0
2
203
3
81
21
121( ) ( ) ( ) ( ) . (9)
102
Nestas equações QF é a vazão volumétrica de fluido, os raios menor e maior da calota e . A Figura (1) mostra que os dados experimentais confirmam a validade das equações (8) e (9) e, portanto, a validade da equação do movimento para o fluido, equação (3).
R0 Re 1α = R0 / R1
d) A fluidização de um sistema particulado tem inicio quando no escoamento de fluido a força resistiva iguala o peso aparente de sólido por unidade de volume, . (10) m S F= − −( )( )1 ε ρ ρ g
distribuidor
Lε
z
QF
Este resultado bem conhecido pode ser resgatado também a partir da equação do movimento para o sólido, equação (4), e da forma constitutiva para T , equação (6), considerando que na fluidização incipiente a porosidade seja uniforme. De modo equivalente, a combinação das equações do movimento para as fases leva, no caso da fluidização, ao resultado
S
− = − −∆PL
gS F( )( )1 ε ρ ρ (11)
onde P é a pressão piezométrica no fluido.
103
Eq. (8)
Eq. (9)
Resultados experimentais
12001000800600400200
10
30
50
70
90
110
Que
da d
e pr
essã
o, m
m d
e ca
rga
de á
gua
Q
p
Vazão de fluido (cm /s)3
Figura 1 - Escoamento acelerado de fluido (ar a 27,5ºC) em matriz porosa
(Massarani, 1974). ( , , , , , , , ,R mm mm cm024 5 35 5 0 37 0 55= = = × = R k = c1
-41,1 10ε )
104
2. Caracterização dos Meios Expandidos Seja abordada a situação em que os campos de velocidades da fases fluida e sólida e a distribuição de porosidades são uniformes, como deve acorrer na fluidização homogênea, na sedimentação livre e no transporte hidráulico vertical de partículas. A equação do movimento para a fase sólida, equação (4), toma a forma
µ ε ρ εε ρ ρF F
S FkU c
kU+ = − −
22 1( )( )g , (12)
sendo a velocidade relativa U, respectivamente,
U QAF=
ε (fluidização homogênea) (13)
ε
= SvU (sedimentação livre) (14)
U QA
QA
F S= −−ε ε( )1
(transporte vertical homogêneo). (15)
Nestes resultados, Q são as vazões volumétricas de fluido e de sólido, A a área da seção transversal de escoamento e vS a velocidade de deslocamento da interface líquido-suspensão na sedimentação livre.
QF e S
As relações entre porosidade, permeabilidade e fator c, parâmetros estruturais presentes na equação (12), podem ser determinadas com facilidade através da fluidização com líquido conduzida em duto de seção constante: o aumento da vazão de líquido acima das condições de fluidização mínima acarreta uma expansão uniforme do leito, como mostram os resultados obtidos por Gubulin e Massarani (1977) na fluidização de areia ( com água (20ºC, velocidade superficial 2,04 cm/s),
# )− +28 35 Tyler
Distância ao distribuidor (cm) 10 20 30 40 50 60 70 Porosidade média na seção (raios gama) 0,821 0,820 0,824 0,822 0,826 0,821 0,830.
F g
Agrupando os parâmetros estruturais ε, k e c nos termos φ1 e φ2 , resulta da equação (12): . (16) µ φ ε ρ φ ε ε ρ ρF F SU U1 2
2 1( ) ( ) ( )( )+ = − − onde φ ε ε φ ε ε1 2
2( ) / , ( ) /= =k c k .
105
A fluidização conduzida com líquido de viscosidade elevada (velocidade relativa U reduzida) leva a φ1 ; conhecido este termo, a fluidização com água leva φ2. As funções φ1 e φ2 para sistemas específicos constituidos por cilindros equiláteros, esferas de vidro e areia estão representadas na figura (2). Cabe ainda ressaltar que a fluidodinâmica em meios expandidos fornece valiosas informações sobre a dependência na porosidade do parâmetro β da equação de Kozeny-Carman apresentada no capítulo anterior,
kDp=
−
( )
( )
φ ε
β ε
2 3
236 1 (17)
βφ ε
εφ ε=
−
( )( )
( )D p
2 2
2 136 1
, (18)
onde Dp é o diâmetro médio de Sauter relacionado à distribuição granulométrica das partículas e φ é a esfericidade destas partículas. Os dados experimentais reunidos por Restini (1977), Santana e Massarani (1974) e Massarani e d'Ávila (1974) mostram, para partículas com diferentes formas, que o valor de β mantem-se constante para porosidades de até 75% e cresce de forma acentuada à medida que a porosidade aumenta.
106
φ ε2( )φ ε1( )
(cm )-1(cm )-2
102
60
30
10
6
3
10,5 0,6 0,7 0,8 0,9 ε
6-102
103
3-103
6-103
104
3-104
6-104
105
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 ε Figura 2 - Funções φ1 e φ2 para cilindros equiláteros com diâmetro 1,14 mm Ο (Restini, 1977), esferas de vidro com diâmetro 0,58 mm • (Santana e Massarani, 1974) e areia com diâmetro 0,20 mm (Massarani e d`Ávila, 1974). 3. O Elo Entre a Fluidodinâmica de Partículas e a Teoria de Misturas O resultado expresso pela equação (16) permite estabelecer o elo de ligação entre a fluidodinâmica em meios porosos e a fluidinâmica de partículas. O capítulo 1 fornece para a partícula isolada:
107
18,185,0
2
85,0
12F
pFSD K
ReK24
v
gD)(34c
+
=
ρ
ρ−ρ=
∞∞ (19)
Re
, log ( / , ), , ,
∞∞=
= =
D v
K
p Fρ
µφ φ1 10 20 843 0 065 5 31 4 88 K .−
(20)
Nestas equações, cD e Re são o coeficiente de arraste e o número de Reynolds da partícula com diâmetro volumétrico , v∞ a velocidade terminal da partícula isolada movimentando-se no fluido com densidade ρF e viscosidade µF e φ é a esfericidade da partícula.
∞Dp
Combinando as equações (16), (19) e (20):
µ φ ε ρ φ ε εµ
ρ
ψ ε ψ ε
F FF
F pD
D
U UD
c
Uv
Uv
c
1 22
2
32
1 2
2
34
1
34
( ) ( ) ( )
( ) ( )
+ = −
+
=
∞
∞∞
∞∞
∞
Re
Re Re Re2 2
(21)
sendo
ψ εε
εψ ε
εε1
2
2
2
1 1( ) ( )=
−=
−
Dk
cD
kp p e .
O coeficiente de arraste é função do número de Reynolds, equação (19), e portanto, vem da equação (21) que
Uv
f∞
∞= ( ,Re ε) . (22)
Este resultado, o mesmo apresentado no capítulo 1 como correlação empírica do tipo Richardson e Zaki, estabelece o elo de ligação entre a fluidodinâmica da partícula e a fluidodinâmica em meios porosos.
Exemplo
A influência da porosidade no valor do parâmetro β presente na equação de Kozeny - Carman, equação (17), pode ser estabelecida com o auxílio de dados obtidos na fluidização homogênea:
ψ εε
εβ εε φ
1
2
2 2136 1( ) ( )
=−
=−D
kp .
108
Seja a situação em que as partículas são esféricas e Re∞< 0,2. Neste caso,
cU vD = =
∞
24 181Re
,( / )
ψ .
e, em base aos dados reunidos por Concha e Almendra (Tabela 6C do capítulo 1),
Uv∞
=< ≤
− <
0 83 0 5 0 94 8 3 8 0 9 1
3 94, , ,, , , ,
,ε εε ε <
,.
Resulta para partículas esféricas:
β
εε
ε
εε ε
ε
=−
< ≤
− −< <
−0 60
10 5 0 9
2 1 4 8 3 80 9 1
1 94
2
, , ,
( )( , , ), , .
,
,
O valor do parâmetro β cresce com o aumento da porosidade a partir de ε = 0,80 , ε 0,6 0,7 0,8 0,9 0,95 0,98 β 4,06 4,01 4,64 7,36 11,9 26,6.
4. Transporte Hidráulico e Pneumático de Partículas
O transporte de partículas sólidas por arraste em fluido conduz, de um modo geral, à formação de um campo de porosidades heterogêneo na seção transversal de escoamento da mistura sólido-fluido. Em algumas situações, no entanto, dependendo da natureza do problema em estudo, a formulação para o transporte de partículas pode ser substancialmente simplificada considerando que a mistura comporta-se como um fluido homogêneo (Santana, 1982; Gidaspow, 1994): a) Transporte pneumático vertical em fase densa (fluidização incipiente) ou em fase diluída (porosidade superior a 95%); transporte hidráulico vertical sem restrições; b)Transporte hidráulico em qualquer configuração no caso em que as partículas são pequenas, verificando-se o critério empírico de Newitt
1V
gDv1800Ne
3M
<= ∞ . (23)
Na equação (23) D é o diâmetro do tubo, v∞ a velocidade terminal das partículas no fluido de arraste e VM a velocidade da mistura sólido-fluido,
109
V Q QAM
S F=+ , (24)
onde são a vazão volumétrica de fluido e de sólido e A a área da seção transversal de transporte.
QS Qe F
A diferença entre as formulações para os casos (a) e (b) reflete a dificuldade na medida das propriedades reológicas da suspensão constituida por partículas relativamente grandes (caso a) e pelo fato de que nesta situação o valor da velocidade relativa fluido-partícula no transporte pneumático pode ser significativamente maior que zero. Como conseqüência, o valor da porosidade no transporte depende da fluidodinâmica do sistema particulado. Apesar destas considerações, há o concenso bem cristalizado na literatura de que o projeto e o estabelecimento das condições operacionais das linhas de transporte hidráulico e pneumático não podem prescindir de estudos conduzidos em unidade piloto bem instrumentada (Krauss, 1980; Wasp, 1983). Transporte vertical homogêneo: partículas "grandes" Os efeitos causados pela aceleração do sistema particulado não são considerados e o transporte é, por exemplo, vertical ascendente.
L
p2
p1
S F
z
Equação do movimento para a mistura homogênea:
− = +∆pL
fVD
gM MM
2
2ρ
ρ (25)
M
MMMM Re ),D/e,Re(ff
µρ
==DV (26)
ρ ερ ε ρ ε ρ ρ ρM F S S F= + − = − − +( ) ( )( )1 1 F (27) Equação do movimento para o fluido no sistema particulado, equação (16), que permite calcular a porosidade no transporte:
.
)1(AQ
AQU
g))(1(U)(U)(
SF
FS2
2F1F
ε−−
ε=
ρ−ρε−=εφρ+εφµ (28)
Nestas equações, ρM e µM são a densidade e a viscosidade da mistura sólido-fluido e f o fator de atrito na interação fluidodinâmica entre a mistura e a parede do duto onde ocorre o transporte.
110
A comparação entre os valores do gradiente de pressão calculados através da equação (25) e os valores resultantes da experimentação conduzida no transporte pneumático em fase densa (Santana, 1982), no transporte pneumático em fase diluida (Ferreira et al., 1996) e no transporte hidráulico (Restini, 1977) parecem indicar que a viscosidade e o fator de atrito da mistura podem ser expressos pela viscosidade e o fator de atrito do fluido, este último representado pela equação clássica
1 2 0 27 6 8110
0 9
feD M
= − +
log , ,,
Re, (29)
onde e/D é a rugoridade relativa do duto. Do ponto de vista da compatibilidade entre as formulações apresentadas neste capítulo, cabe ressaltar que a combinação das equações do movimento para as fases fluida e sólida, equações (3) e (4), leva à parcela da interação sólido-fluido no gradiente de pressão total,
ggg))(1(Lp
MFFSSF
ρ=ρ+ρ−ρε−=
∆− ,
resultado este incluído na equação (25).
Exemplo
São comparados na tabela os valores experimentais e calculados do gradiente de pressão no transporte hidráulico vertical de cilindros equiláteros de plástico
com água a 30ºC (Restini, 1977). Tubulação de PVC, 1". Os resultados mostram, neste pequeno conjunto de dados, que a formulação proposta permite estimar o gradiente de pressão com erro da ordem de 7%.
( , , , /D mm g cp S= =1 14 1 77 3 ρ )m
Dados e resultados experimentais
Resultados calculados
WF ( / )g s
WS ( / )g s
(1)
εexp expL
p
∆
−
( / )dyn cm2
(2)
εcal
(3) fV
DM M2
2ρ
( /dyn cm2 )
ρM g
( /dyn cm3 )
(4)
−
∆pL cal
( /dyn cm2 ) 137 59,4 0,773 1138 0,780 14,7 1150 1160 984 239 0,875 1260 0,876 208 1075 1283 2004 654 0,845 1677 0,843 422 1100 1522 1310 177 0,920 1246 0,928 305 1035 1340 1348 92,0 0,975 1251 0,962 147 1010 1154
111
(1) Medida experimental da porosidade obtida pela técnica de atenuação de raios gama. (2) Porosidade calculada com o auxílio da equação (16) e dados experimentais de φ φapresentados na figura (2).
1 2 e
(3) Fator de atrito calculado através da equação (29). (4) Gradiente de pressão calculado através da equação (25). Transporte hidráulico homogêneo Depedendo das condições fluidodinâmicas, o transporte hidráulico de partículas "pequenas" (Ne<1, equação 23) pode ser formulado do mesmo modo que o escoamento de fluidos homogêneos com características não-newtonianas (Massarani e Silva Telles, 1992). O balanço global de energia entre dois pontos da instalação leva a:
∆∆
p g z W WM
Aρ
+ = − (30)
W f L VD
A M=∑( ) 2
2 (31)
ef
MMM
9,0
M10
DV ,81,6De27,0log2
f1
µρ
=
+−= Re
Re
VQ Q
AMF S
M F=+
= + −, ( ρ ερ ε ρ1 S)
ε =+
QQ Q
F
F S (velocidade relativa entre as fases nula).
A viscosidade efetiva da suspensão, , depende da natureza da mistura, através da relação entre taxa de distensão (λ) e tensão cisalhante (S), e das condições de escoamento,
µef
D
V40,6 M* =λ (taxa de distensão característica) (32)
. (33) µ λef S= ( ) /* λ*
Nas equações (30) e (31), W são, respectivamente, a energia (por unidade de massa de suspensão) fornecida pela bomba instalada e a energia dissipada por atrito no escoamento; (ΣL) é o comprimento equivalente total da instalação, incluindo dutos e acidentes. Cabe ainda ressaltar que a expressão para a taxa de distensão característica, equação (32), tem natureza empírica e que o procedimento sugerido para o cálculo da viscosidade efetiva independe do tipo do “modelo reológico” associado à suspensão.
W A e
Finalmente, cabe mencionar que a Samarco (1977) opera no Brasil com a mais extensa instalação conhecida no mundo para o transporte de minério de ferro. O mineroduto liga a
112
Mina de Germano (MG) à Usina de Pelotização de Ponta do Ubu (ES), numa extensão de 396 km, dutos com 50 cm de diâmetro: 12 milhões ton/ano de concentrados finos são transportados na forma de uma polpa contendo 65% em massa de sólidos. Em relação à reologia destas suspensões, Coelho et al. (1981) mostraram que a concentração de sólidos e a taxa de distensão afetam o valor da viscosidade efetiva, como mostra a figura (3). O problema (12) da coletânea reunida no final do capítulo trata da estimativa do valor da potência de bombeamento necessária para a operação do mineroduto da Samarco.
5000
ε= 0,86
ε= 0,73
ε= 0,62
400030002000100000
2
4
6
8
Taxa de distensão (s )-1
µ/µ
efF
Figura 3 - Viscosidade efetiva de suspensão de minério de ferro em água (Coelho et al., 1981).
Problemas: Fluidodinâmica em Sistemas Particulados Expandidos
1. Os seguintes dados resultaram da fluidização com ar de dolomita em tubo com 10 cm de diâmetro:
Vazão de Ar (L/min)
Queda de Pressão (cm de coluna de água)
Altura do Leito (cm)
21,3 74,4 57,3 17,2 73,0 55,3 14,3 71,7 54,3 11,4 69,3 51,2
9,54 67,6 50,2 7,20 51,0 50,2 5,30 37,6 50,1 3,20 22,7 50,0
Propriedades físicas das partículas: densidade 2,6 g/cm3, diâmetro médio de peneira 0,18 mm, esfericidade 0,60. Massa de partículas sólidas, 5380g. Fluidização com ar a 20ºC e 1 atm. Pede-se:
113
a) Determinar através dos dados experimentais a porosidade e a velocidade na fluidização mínima;
b) Verificar o resultado clássico da fluidização; − =∆p W A/ onde ∆ é a queda de pressão no leito, W é peso aparente da fase sólida e A a área de seção de fluidização;
p
c) Estimar o valor da velocidade na fluidização mínima a partir da equação válida para o escoamento darcyano de fluido,
q D gfm
fm
fm
p S F=−
⋅−φ ε
ερ ρ
µ
2 3 2
170 1( )( )
onde φ é a esfericidade das partículas sólidas, ε a porosidade na fluidização mínima e fm D diâmetro médio das partículas.
p
Resposta: a) Porosidade na fluidização mínima: 0,475. Velocidade na fluidização mínima: 2,02 cm/s. b) Valor estimado para a queda de pressão na fluidização: 67,2 cm de coluna de água. Através dos dados experimentais: 68,5 cm de coluna de água. c) Valor estimado para a velocidade na fluidização mínima: 2,00 cm/s. Através dos dados experimentais: 2,02 cm/s
2. Sobreiro (“Um Estudo de Fluidização a Altas Pressões”, Tese de M.Sc., COPPE/UFRJ, 1980) estudou experimentalmente a influência da pressão na fluidização de partículas esféricas de vidro com ar a 20ºC:
Pressão (atm)
Porosidade na Fluidização Mínima
Velocidade na Fluidização Mínima (cm/s)
1 0,502 0,147 5 0,491 0,143 10 0,483 0,146 15 0,483 0,147 20 0,480 0,147 25 0,476 0,145 30 0,476 0,145 35 0,472 0,146
Sabendo-se que o diâmetro médio das partículas é 30,4 µm, estimar pela equação apresentada no problema anterior os valores da velocidade de fluidização mínima e comparar com os resultados experimentais. A densidade das partículas de vidro é 2,43 g/cm3.
114
Resposta:
Pressão (atm)
Porosidade na Fluidização
Mínima (exp.)
Velocidade na Fluidi-zação Mínima (exp.)
(cm/s)
Densidade do ar
(g/cm3)
Velocidade na Fluidi-zação Mínima (cm/s)
(estimada)
1 0,502 0,147 1,2×10−3 0,183 5 0,491 0,143 6×10−3 0,167 10 0,483 0,146 12×10−3 0,156 15 0,483 0,147 18×10−3 0,156 20 0,480 0,147 24×10−3 0,152 25 0,476 0,145 30×10−3 0,146 30 0,476 0,145 36×10−3 0,146 35 0,472 0,146 42×10−3 0,141
3. Deseja-se projetar um sistema de fluidização destinado à secagem de produto químico. Diâmetro do secador: 30 cm. Carga de sólido: 39 kg. Propriedades das partículas: diâmetro médio 90 µm, esfericidade 0,8 e densidade 2,1 g/cm3. Estimativa do valor da porosidade na fluidização mínima: 0,48. Para uma velocidade superficial de ar 2 vezes maior que a de fluidização mínima, estimar: a) A altura do distribuidor formado por esferas de aço com diâmetro 200 µm tal que a queda de pressão através deste seja 10% da queda de pressão no leito fluidizado; porosidade, 0,38. b) A potência do soprador para o serviço. As propriedades do ar devem ser calculadas a 150ºC e 1 atm. Resposta: Estimativa do valor da velocidade de fluidização mínima, admitindo o escoamento como sendo darcyano: 0,56 cm/s. Cálculo da queda de pressão no leito fluidizado: 54,1 cm de carga de água. Cálculo da altura do distribuidor: 7,1 cm. Potência do soprador muito baixa, inferior a 0,1 cv.
4. Estimar o valor da porosidade no transporte hidráulico vertical de dolomita, fluxos concorrentes: a) ascendente, e b) descendente. Vazão mássica de água e de sólido: 116 ton/h e 110 ton/h. Características das partículas: diâmetro médio 254 µm, esfericidade 0,7 e densidade 2,7 g/cm3.
115
Diâmetro da tubulação: 5". Temperatura do fluido: 30ºC. Resposta: Cálculo da velocidade terminal da partícula isolada: c ,
. DRe∞ =2 504 Re∞ = 9 67, ,
v cm∞ = 3 24, / s Porosidade no transporte hidráulico, empregando a expressão de Richardson e Zaki: - Ascendente,
254 89 31
3 46ε ε
−−
=, , ε ε . 2 50 0 739, ,→ =
- Descendente,
89 31
254 3 46, ,−
− =ε ε
ε ε . 2 50 0 741, ,→ =
Pode-se notar que a velocidade relativa fluido-partícula é, neste caso, praticamente nula pois
89 31
254 0,−
− =ε ε
→ = ε 0 740, .
5. Seja o transporte pneumático vertical ascendente de alumina em tubo liso de 1,27 cm de diâmetro interno. Calcular o gradiente de pressão no transporte sabendo que a vazão mássica das fases fluida e sólida é de respectivamente 0,0514 g/s e 8,42 g/s. O transporte ocorre em fase densa com porosidade da ordem daquela de fluidização mínima, no caso 0,48 (Santana, 1982). Propriedades das partículas sólidas: densidade 3,97 g/cm3, diâmetro médio 0,20 mm e esfericidade 0,7. O gás de arraste tem as propriedades do ar a 20ºC e 3,3 atm. Resposta: Gradiente de pressão no transporte pneumático, equação (25): 2,03×103 dyn/cm3.
6. Estimar a faixa de velocidades superficiais do fluido (solução polimérica em xileno) entre a fluidização mínima e o arraste de partículas. Propriedades do fluido: densidade 0,87 g/cm3, e relação tensão cisalhante-taxa de distensão dada por
116
S =+
1000442
λλ
dyn/cms2, com λ em s−1,
determinada experimentalmente para λ < . 120 1s−
Propriedades das partículas: densidade 2,7 g/cm3, diâmetro volumétrico 0,32 mm e esfericidade 0,78. Porosidade na fluidização mínima: 0,47. Resposta: Velocidade do fluido na fluidização mínima, escoamento darcyano: 2,05 cm/h, com taxa de distensão característica 0,491s−1 e viscosidade efetiva 2,26 P. Velocidade terminal da partícula isolada, regime de Stokes: 148 cm/h, com taxa de distensão característica 0,75s-1 e viscosidade efetiva 2,26 P. Conclusão: A velocidade do fluido pode variar entre 2,05 e 148 cm/h. 7. A coluna de resina troca-iônica é lavada por meio de uma corrente ascendente de água que acarreta uma expansão do leito e o conseqüente arraste das impurezas retidas. Estimar o valor da velocidade superficial do fluido tal que a altura do leito expandido seja o dobro daquela do leito fixo. A resina é constituída por partículas esféricas com diâmetro 0,3 mm e densidade 1,12 g/cm3. A porosidade do leito na fluidização mínima é estimada em 44%. A lavagem é feita a 25ºC. Resposta: Cálculo da porosidade do leito na lavagem: . M AH A Hfm s fm s fm= − = − → =( ) ( ) ( ) ,1 1 2ε ρ ε ρ ε 0 72 Velocidade superficial do líquido na lavagem, usando a Forma Quadrática de Forchheimer: 9,13×10−2 cm/s ( , ,k cm= × =−2 52 10 0 235 2 c ).e
8. Uma suspensão de minério finamente dividido em água tem o seguinte comportamento reológico: Taxa de distensão ( 0 3 10 50 100 200 300 600 )s−1
Tensão cisalhante (g/cms2) 0 1,54 4,90 20,4 33,2 53,9 71,9 116. Calcular o tempo necessário para carregar com a suspensão um caminhão com 10 m3 de capacidade. A tubulação é de aço comercial e tem 2" de diâmetro (#40) e comprimento equivalente total 25 m. Densidade da suspensão: 1,3 g/cm3.
117
118
Resposta: Formulação (equações 30 a 33): Fator de atrito, ; velocidade da mistura, ; taxa de distensão
caracaterística, ; ; viscosidade efetiva, ; vazão de suspensão, Q m
f = × −2 88 10 2,1* s528 −=λ
s/cm429VM =
)s50 1−>(cm/dyn32,1S 70,0 λλ=
M = 0 56 3, / min.µef P= 0 203, Tempo para carregar o caminhão: 18 min.
9. Seja o transporte hidráulico de dolomita, 65/100 # Tyler, densidade 2,8 g/cm3 e esfericidade das partículas 0,59. O transporte é feito a 30ºC em tubulação de aço, 4" de diâmetro: 1500 m na horizontal e 150 m na vertical ascendente. A perda de carga nos acidentes pode ser estimada em 20% das perdas nos dutos. Vazão mássica de sólido, 8 ton/h. Calcular:
a) A vazão de água sabendo que a velocidade da mistura deve ser 20% superior àquela de deposição das partículas;
b) A potência da bomba para o serviço. Transporte vertical (equações 25 a 29). Transporte horizontal (Santana, 1982): Velocidade crítica da mistura, abaixo da qual ocorre o depósito de partículas,
077,0
p46,0
F
S3/1VMC D
D1gDc 34,6V
−
ρρ
= (34)
Gradiente de pressão,
38,1
F
S23,0
p2/32
M
FV
FT 1D
DgDV385
Lpc
Lp
Lp
−
ρρ
=
∆−
∆−−
∆− −
(35)
onde c é a concentração volumétrica de sólidos. V Resposta: Velocidade crítica da mistura, V ; velocidade da mistura no transporte,
; vazão de água, Q ; vazão de mistura Q ; carga da bomba, 300 m de coluna de suspensão com densidade ρ ; potência da bomba (eficiência 0,7), 115 cV.
cMC = 189 /mF = 63 4 3, /
m sm s h hV cM = 227 / mM = 66 2 3, /
g cm1 08 3, /M =
10. Calcular a vazão de água e a potência de bombeamento requeridas para o transporte hidráulico de 40 ton/h de areia na instalação abaixo esquematizada. Os dutos são de aço com diâmetro 5" e o sistema deve operar com uma velocidade de mistura 20% maior que a velocidade crítica de deposição. A perda de carga nos acidentes pode ser estimada em 25% daquela proporcionada pelos dutos. Temperatura no bombeamento: 30ºC. Densidade e esfericidade da areia: 2,6 g/cm3 e 0,78. Distribuição granulométrica da areia:
# Tyler Fração Retida −35+48 0,30 −48+65 0,40
−65+100 0,30
Resposta: A solução deste problema é obtida através da formulação indicada no problema anterior. Conclusões: vazão de água, 126 m3/h; vazão da mistura areia-água, 151 m3/h; concentração volumétrica de sólido no transporte, 10,2%; potência da bomba, 50 cv (eficiência 0,6).
119
11. Especificar o diâmetro da tubulação e estimar a potência de bombeamento no transporte de 80 m3/h de uma suspensão 2% em massa de polpa de papel em água. A instalação deve ter 2,5 km de dutos e a descarga encontra-se a 30 m acima do nível de alimentação. Propriedades da suspensão: densidade, 1,02 g/cm3; dados reológicos. Taxa de distensão ( ) 0 5 10 50 100 300 500 s−1
Tensão cisalhante (dyn/cm2) 0 1,39 2,65 10,2 16,0 32,6 45,4. A velocidade de carga nos acidentes pode ser estimada em 15% da perda de carga nos dutos. Resposta: Diâmetro da tubulação: 5", o que leva à velocidade de mistura de 175 cm/s. Cálculo da taxa de distensão característica e da viscosidade efetiva: respectivamente, 87,1 s−1 e 0,168 P (S = 0,8λ0,65 dyn/cm2, 50<λ<500 s−1). Potência da bomba: carga da bomba, 130 m de suspensão; potência, 60 cv (eficiência 0,65).
12. Estimar a potência de bombeamento no transporte hidráulico de 12 milhões de toneladas/ano de minério de ferro. A polpa tem 65% de minério, em massa. Densidade do minério de ferro: 4,8 g/cm3. Tubulação: 400 km de dutos de aço, 48 cm de diâmetro interno; a descarga está 1000 m abaixo da alimentação. A instalação funciona 340 dias/ano. Dados reológicos da suspensão: Taxa de distensão ( 0 3 7 10 30 50 100 200 )s−1
Tensão cisalhante (dyn/cm2) 0 0,151 0,348 0,488 1,33 2,11 3,96 7,45 (Dados semelhantes aos do mineroduto da Samarco que opera entre a Mina de Germano e o Terminal de Ponta de Ubú). Resposta: Velocidade da mistura: 169 cm/s. Cálculo da taxa de distensão característica e da viscosidade efetiva: respectivamente, 22,3 s−1 e 4,54×10−2 P (S = 0,060 λ0,91 dyn/cms2, 5 ). 200< < −λ s 1
Potência da bomba: carga da bomba, 674 m de carga de suspensão com densidade 2,07 g/cm3; potência, 7600 cv (eficiência 0,75).
120
Bibliografia
Coelho, G.L.V., Santana, C.C. e Massarani, G., "Reologia de Suspensões de Minério de Ferro", Anais do IX ENEMP, Salvador, BA, vol.2, 27-38 (1981). Ferreira, M.C., Silva, E.M.V. e Freire, J.T., "Mean Voidage Measurements and Fluid Dynamics Analysis in a Pneumatic Bed with a Spouted Bed Type Solid Feeding System", Brazilian Journal of Chemical Engineering, vol. 13, nº 01, 29-39 (1996). Gidaspow, D., "Multiphase Flow and Fluidization: Continuum and Kinetic Theory Descriptions", Academic Press, Boston, 467 p. (1994). Gubulin, J.C. e Massarani, G., "Emprego da Radiação Gama em Sistemas Particulados", 2º Congresso Brasileiro de Eng. Química, S. Paulo (1977). Krauss, M.N., "Pneumatic Conveying of Bulk Materials", McGraw-Hill, N.Iorque, 2º edição, 371 p. (1980). Massarani, G., "Efeito da Aceleração no Escoamento Através de Meios Porosos", Anais do II ENEMP, Rio Claro, SP, 47-55 (1974). Massarani, G. e d'Ávila, J.S., "Transporte Vertical de Partículas Sólidas", Anais do II ENEMP, Rio Claro, S.P., 33-47 (1974). Massarani, G., "Aspectos da Fluidodinâmica em Meios Porosos", Revista Brasileira de Engenharia, Número Especial, 96 p. (1989). Massarani, G. e Silva Telles, A., "Escoamento de Soluções e Suspensões Não Newtonianas em Dutos", Anais do XX ENEMP, S. Carlos, S.P. 27-33 (1992).
SAMARCO, "O Maior Mineroduto do Mundo", Construção Pesada, ano 7, julho, 19-22(1977). Santana, C.C. e Massarani, G., "Força Resistiva no Escoamento em Meios Porosos de Alta Porosidade", Unimar, vol. 1, 49-58 (1974). Santana, C.C., "Transporte Hidráulico e Pneumático de Partículas", em "Tópicos Especiais de Sistemas Particulados" (Freire, J.T. e Jubulin J.C. editores), UFSCar, S.Paulo, 217-278 (1982).
Restini, C.V., "Transporte Vertical de Partículas Sólidas II: Análise Experimental", Tese de M. Sc., PEQ/COPPE, Programa de Engenharia Química, COPPE/UFRJ, 57 p. (1977).
Wasp, E.J., "Slurry Pipelines", Scientific American, novembro, 48-55 (1983).
121
Capítulo 5 Escoamento em Meios Porosos Deformáveis
1. Equações da Continuidade e do Movimento As operações de filtração e espessamento de suspensões levam à formação de tortas e de sedimentos que se caracterizam por exibirem uma variação de porosidade ao longo de sua estrutura, causada pela percolação de fluido. Tal como nos capítulos anteriores, a formulação para a fluidodinâmica em meios deformáveis pode ser estabelecida a partir das equações da continuidade e do movimento para cada fase e mais as equações constitutivas do sistema (Silva Telles e Massarani; 1989; Massarani et al., 1993): Equações da continuidade
∂∂
ερ ερt F F F( ) ( )+ div v 0= (1)
∂∂
ε ρ ε ρt F S[( ) ] ( ) ]1 1− + − =div[ vS 0 (2)
Equações do movimento
gmvvvFFF
FF pivd)grad(
tρ+−−=
+
∂∂
ερ (3)
( ) ( ) ( )(1− +
= + + − −ε ρ∂∂
ε ρ ρSS
S S S Ftv v v T m ggrad grad ) S 1 (4)
Equações constitutivas
m U U v= =µ
εFFk
, v− S
S
S
(5)
. (6) T T FS = ( ) Nestas equações, ε é a porosidade em um ponto da matriz (fração volumétrica ocupada pelo fluido), a densidade do fluido e do sólido, vF e vS a velocidade intersticial das fases fluida e sólida, p a pressão no fluido, m a força resistiva que o fluido exerce sobre a matriz sólida (por unidade de volume de sistema particulado), g a intensidade do campo exterior, TS a tensão exercida sobre a fase sólida e FS o gradiente de deformação.
ρ ρF e
123
A equação da continuidade para a fase sólida pode ser escrita em termos do gradiente de deformação (7) ( *) ( ) det(*1 1− = −ε ρ ε ρS S F ),S onde ε* e ρ denotam, respectivamente, a porosidade e a densidade na configuração de referência. Sendo a densidade do sólido constante,
S*
det *FS =−−
11
εε
. (8)
A força resistiva expressa pela equação (5) é válida nas condições em que o escoamento é lento, situação que prevalece tanto na filtração quanto no espessamento. Nesta equação, µF é a viscosidade do fluido, k(ε) a permeabilidade na matriz porosa e U a velocidade relativa fluido-partícula. A forma constitutiva expressa pela equação (6) considera que a matriz porosa comporta-se como um material elástico não-linear. Nos casos comuns de filtração, espessamento ou adensamento pode-se considerar que o meio poroso se submeta a uma deformação plana segundo um dada direção, por exemplo ao longo do eixo-z,
(9) x Xy Yz Z Z t
=== +
γ ( , ),
sendo x, y e z a posição de uma partícula que na configuração de referência ocupava a posição X, Y e Z. Resulta das equações (8) e (9), admitindo que o meio seja inicialmente homogêneo,
FS z t
z t
( , )*
( , )
.=−
−
1 0 00 1 00 0 1
1ε
ε
(10)
Portanto, os componentes de Ts na deformação plana são:
T T T
T f
T j
xx yy zz
zz
ij
= ≠
=−−
= ≠
11
0
εε*
. , i
(11)
A função da equação (11) define a pressão sobre os sólidos f pS (12) f pS= − ( )ε
124
e, como conseqüência, a equação do movimento para a fase sólida pode ser escrita da seguinte maneira quando os efeitos de aceleração não são considerados e a deformação do meio é plana:
0 1= − + + − −ddz
pk
U gSF
z S F( ) ( )( ) .εµ
ε ε ρ ρ z
ε
(13)
Os estudos relacionados às aplicações clássicas envolvendo a filtração com formação de torta, a expressão mecânica e a sedimentação contínua defrontam-se com dois grandes desafios: de um lado, a dificuldade experimental no levantamento do perfil de porosidades e da dependência entre a porosidade, pressão nos sólidos e permeabilidade, de outro lado, a solução de um requintado sistema de equações diferenciais não lineares ao qual estão associados condições de salto e contornos móveis. Do ponto de vista tecnológico, o projeto do equipamento de separação industrial não pode ainda prescindir de ensaios de bancada conduzidos diretamente com a suspensão a ser tratada, e o “scale-up”, estabelecido através de teorias simplificadas, é basicamente uma regra-de-três entre capacidade e área de separação.
Exemplo
Damasceno (1992) desenvolveu uma técnica para a determinação das relações entre porosidade, pressão nos sólidos e permeabilidade nas condições que prevalecem no espessamento contínuo. Nesta técnica, o sedimento formado no interior de um frasco de Mariotte se submete a um processo de deformação causado pela percolação lenta do líquido. Uma vez conhecido o perfil de porosidades (método da atenuação de raios gama) é possível calcular a partir da equação (4), em duas etapas, pS ( ) ( )ε ke
1ª etapa:
Uz
p z g z dz
p p
z
S S F z
L
S S
==
= − −
=∫
0
1
ε ε
ρ ρ ε
ε
( ) ( )
( ) ( ) [ ( )]
( );
experimental
2ª etapa:
− ==
= −⋅ + − −
=
εε ε
µ
εε
ε ρ ρ
ε
U Q Az
k Q Adpd
ddz
g
k k
z F
F F
SS F
/( ) ( )
( / )
( )( )
( ).
experimental
1
(14) (15)
água
sedimento
placa porosa
L
Frasco deMariottex
z
125
Nestas equações, Q é a vazão de líquido que percola o sedimento e A é a área da seção transversal de percolação. Considera-se na equação (14), por falta de melhor informação, que a pressão nos sólidos na interface líquido-suspensão seja nula, isto é, .
F
p LS ( ) = 0 Estão reunidos na figura (1) alguns resultados obtidos com uma suspensão aquosa de carbonato de cálcio (diâmetro médio das partículas da ordem de 18µm).
Z (cm)30
Q /A = 1,25x10 cm/sF-4
201000
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
1-ε
1-ε 1-ε
1-ε0,08
0,20 0,30
p = 7,0 -1 Pas [( ) ]8,4
)-4,1
0,150,100,0500
500
250
750
1000
1250
1500
P (P
a)
1-ε0,08
0,140,110
-10
cm2
cm
10-9
k(
) k = 1,15x (
10-8
10-8
0,18 0,22
2
s
Figura 1 - Suspensão aquosa de CaCO3: relações entre porosidade, pressão nos sólidos e
permeabilidade.
126
2. Teoria da Filtração com Formação de Torta A denominada “teoria científica da filtração” foi desenvolvida nos últimos 40 anos pelas escolas ilustres de Frank M. Tiller (Universidade de Houston, Estados Unidos) e Mompei Shirato (Universidade de Nagoya, Japão). Esta teoria leva à “teoria simplificada”, base para o projeto e análise do desempenho de filtros. Seja a filtração plana como esquematizada na figura (2)
meiofiltrante
filtrado
P(- t)lm, p(0,t) p( ,t)l
torta
suspensãosólido-líquido
l(t) lmz
Figura 2 - Filtração plana com formação de torta
Considerando que o líquido e as partículas sólidas sejam incompressíveis, a combinação das equações (1) e (2) da continuidade leva ao resultado
∂∂
ε εz
q q
q v
F S
F F S
( )
( )
+ =
= = −
0
1 , q vS
0
(16)
que permite, por integração, relacionar as velocidades das fases líquida e sólida, , (17) q z t q t q z tS F F( , ) ( , ) ( , )= −0 sendo na interface torta-meio filtrante. q tS ( , )0 = Sendo a velocidade superficial da fase sólida positiva em qualquer ponto da torta compressível, a equação (17) informa que a velocidade superficial do fluido é maior junto ao meio filtrante do que na interface suspensão torta, q>)t,0(qF F(l,t),
127
resultado que, apesar de correto, suscitou discussões na literatura quando apresentado pela primeira vez (Tiller, 1961). A combinação das equações (3) e (13) do movimento leva à relação entre as pressões nas fases líquida e sólida. Desconsiderando a aceleração das fases e a influência do campo exterior,
(18)
sendo a pressão no sólido
)t,z(p)t,p)t,z(p
0)pp(zS
S
−=
=+∂∂
0)t,pS =
Equacionamento • Equação da cont
∂ε∂
∂∂tqzF=
• Equação do mov
0 = − +∂∂pz
sendo a viscosidad • Equação que cor
p)t,z(pS = • Equações consti p pS S= ( )ε . k k= ( )ε • Relação entre a e
∫ρ
ρ= t
0F qC
onde C é a concent
l(
na interface torta-suspensão. Portanto, dentro das hipóteses consideradas,
l( na filtração resulta apenas da queda de pressão no líquido.da filtração plana com formação de torta
inuidade para a fase líquida:
(19)
imento para a fase líquida e equações (5) e (17):
01
− = − + −−
−
µε
∂∂
µε
ε εkv v p
z kq q t qF
F SF F F F( ) ( , ) (20)
e do fluido conhecida.
relaciona as pressões nas fases:
) . (18) t,x(p)t, −
l(tutivas referentes ao sistema particulado:
(21)
(22)
spessura da torta e o tempo de filtração:
, (23)
l
l ∫
∫ερ+
ε−
0FF
0S
dzdt)t,0(
dz)1(
ração de sólidos na suspensão a ser filtrada,
128
C = =massa de sólido na suspensaomassa de líquido na suspensao
massa de sólido na tortamassa de filtrado + massa de líquido na torta
~~ .
• Equação do movimento do fluido no meio filtrante:
)t,(p)t,0(p F
m
m µ−−
f)t,qF =
(f)t,p0)0(
1==
sendo o valor do co • Relação vazão-q
• Condições limite
Silva Telleestudaram a operanesta simulação é para a pressão noresistência oferecid Concentraç Condições constante com valo Propriedade
ε
ε
=
= −
= ×
= ×
0 72
1 0 1
4 2 1
2 21
,
,
,
,
k
k
Os resultadsólidos, porosidade
l
(24) )t,0(qk Fm=
l
. (25) )]t,(p)t,p[ m −
mprimento e da permeabilidade do meio filtrante conhecidos.
ueda de pressão fornecida pelo sistema de bombeamento de suspensão:
l(
)t
s:
s çãa ds sa
ão
opr 4
s
−
31
0
10
os e
l(
(pou m−
et al. (1o de filtrae similarólidos, r
pelo meio
da suspen
eracionai atm.
da torta (S
− −
0 082
11 2
9 0 43
,
,,
,
p
cm
p c
S
S
apresent permeab
l −
).t(f)t, 2=
l(l
l/
/ .
Exemplo
973), fazendo uso da mesma formulação aqui apresentada, ção de uma suspensão aquosa de caulim. A técnica utilizada idade, resultando uma equação diferencial ordinária não linear esolvida por técnica numérica. Não é considera na análise a filtrante.
são: 333g de sólido/L de água.
s: a filtração é conduzida a 30ºC, sob a queda de pressão
hirato et al., 1964):
≤
≥
≤
≥
10
10
10
10
4 2
4 2
4 2
2 4 2
/
/
,
,
p dyn cm
p dyn cm
p dyn cm
m p dyn cm
S
S
S
S
ados nas figuras (3) fornecem as distribuições de pressão nos ilidade ao longo da torta compressível formada na operação de
129
filtração. As figuras mostram também o resultado óbvio de que as maiores taxas de produção de filtrado são alcançadas no inicio do processo, quando a torta ainda é delgada. A estratégia da operação com formação de tortas delgadas é utilizada, por exemplo, na filtração industrial conduzida no filtro rotativo a vácuo.
torta incompressível
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
z/l
0,8
0,6
0,4
0,2
1
0,4
0,5
0,3
0,2
0,1
0,4
0,5
0,3
0,2
0,1
0,75 k(cm
)2
4x10-11
3x10-11
2x10-11
1x10-11
torta incompressível
torta incompressível0,70
0,65
0,60
0 0,2 0,4 0,6 0,8 100,55
00
2 4 6 8Tempo de filtração t,min
Espe
ssur
a da
torta
,cml
100
ε
z/l
ss
p (z
,t)/p
(0,t)
Volu
me
de fi
ltrad
opo
r uni
dade
de
área
v, c
m/c
m3
2
Figura 3 - Filtração de suspensão aquosa de caulim ( )∆p atm= 4 .
130
A teoria simplificada da filtração O ponto de partida para o estabelecimento da “teoria simplificada da filtração” é admitir que a velocidade superficial do sólido na torta seja substancialmente menor do que aquela do líquido, resultando da equação (17), , (26) q q tF F= ( ) isto é, que a velocidade do líquido é apenas função do tempo de filtração. Esta hipótese, aceitável quando a torta é moderadamente compressível, permite reduzir a complexidade da solução do problema. A equação do movimento para o fluido na torta toma a seguinte forma a partir das equações (18), (20) e (26):
∂∂
∂∂
µz
p z tz
p z tk
q tSF
F( , ) ( , ) ( ).= − = (27)
Na próxima etapa procura-se correlacionar os resultados da filtração com as condições operacionais expressas pela queda de pressão no filtro. Seja M a massa de sólido seco que compõe a torta, dM A dzS= −ρ ε( )1 , onde A é área da superfície de filtração. Vem da equação (27),
dMAq)(dM
Aq
k)1(1dp FFFF
SS
µεα=
µ⋅
ε−ρ=− ,
sendo α a resistividade local (L/M),
αρ ε ε
=−1
1S k( ) ( ).
Integrando:
, (28)
l ∫ −µ
=−
=α
−0
)t,0(p)t,(pFFS Mq)t,0(p)t,pdp
, a l
α
−>=α<
∫− S)t,0(p)t,(p
0dp)t,0(p)t,p
A torta e o meio filtexpressão para a queda de pr(24) e (28),
l(
>α< Aresistividade média relativa à queda de pressão . )t,0(p)t,p −
l(rante são meios porosos percolados em série essão no filtro pode ser estabelecida combinan
131
l(
pelo fluido. A do as equações
, (29) l l FFmm qRAMp)t,(p)t,(p µ
+>α<=∆=−−
mmm k/R = , a resistência do meio filtrante (1/L).
l A velocidade superficial do fluido e a massa de sólido seco na torta estão relacionadas ao volume de filtrado V, ao tempo t, à área de filtração A e à concentração de sólidos na suspensão, C:
qA
dVdtF = 1 (30)
C mVF
~−ρ
. (31)
A equação da filtração resulta da combinação das equações (29) a (31),
dtdV A p
V CA
R fF Fm P=
< >+
< >=µ α ρ
α( )
, (∆
∆ ) . (32)
Na maioria das situações de interesse industrial a filtração é conduzida sob queda de pressão constante:
tV A p
V CA
RF Fm=
< >+
µ α ρ( )∆ 2
. (33)
Exemplo
A equação (33) permite calcular a resistividade média da torta e a resistência do meio filtrante a partir das medidas de volume de filtrado e tempo de filtração obtidas na operação sob queda de pressão constante. A figura (4) refere-se à filtração de uma supensão aquosa de talco conduzida em unidade de bancada do filtro COPPE (Massarani, 1985). Confirmando um resultado clássico, a resistividade média da torta aumenta com a queda de pressão e a resistência do meio filtrante é praticamente constante:
< >= ×
= × −
α 2 17 10
4 11 10
10 1 05
9 1
, ( ) /
, .
,∆ ∆p cm g , p
R cmm
atmem
132
10
9
8
7
6
5
40 5 10 15 20V( )l
t/v (s
/ ) l 11∆p=5atm
∆p=8atm
∆p=11atm
Figura 4 - Desempenho do filtro COPPE: suspensão aquosa de talco, (Massarani, 1985).
A c= 670 2m
3. A Sedimentação Contínua Do ponto de vista da separação sólido-líquido, o projeto do sedimentador contínuo está basicamente relacionado ao cálculo da área da seção de sedimentação e da altura do equipamento. Tal como na filtração, face às dificuldades e incertezas no estabelecimento das equações constitutivas para as lamas compressíveis, o projeto do sedimentador acaba se baseando nos ensaios em batelada conduzidos diretamente com a suspensão a ser tratada. Neste sentido, o procedimento clássico desenvolvido por Kynch leva a resultados satisfatórios quando a lama é moderadamente compressível (Damasceno, 1992; Damasceno e Massarani, 1993). A conexão entre o ensaio de proveta e o projeto de sedimentadores contínuos é abordada nos problemas (12) a (15) reunidos no final do capítulo. A utilização de unidade piloto contínua pode ser de grande valia na determinação direta da capacidade máxima de sedimentação do sistema em estudo. Avalia-se, neste caso, a relação entre a vazão de alimentação e a altura da região de compactação que se forma no fundo do sedimentador. A figura (5), referente à sedimentação de suspensão aquosa de carbonato de cálcio, mostra que a capacidade de sedimentação pode ser aumentada quando o ponto de alimentação é deslocado da supefície do sedimentador (configuração tradicional) para o fundo do equipamento (França, 1996). O aumento registrado na capacidade de sedimentação é de 0,39 a 0,52 m3/m2h.
133
140 Alimentação no topoAlimentação a 12 cm do fundo
120
100
80
60
40
20
00,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50
Vazão de alimentação (m /m h)3 2
Altu
ra d
a re
gião
de
com
pact
ação
(cm
)
Figura 5 - Sedimentação contínua de suspensão aquosa de carbonato de cálcio. Concentração volumétrica de sólido na alimentação e no lodo: 1,3 e 6,7% (França, 1996). Cabe mencionar que a relação entre a altura da região de compactação e a capacidade do sedimentador pode ser estabelecida pela combinação das equações da continuidade e do movimento, equações (1), (2) e (13), uma vez conhecidas as equações constitutivas para a região mencionada (Tiller e Chen, 1988):
L dp
g qk
S
S FS
S=− − −
−−
−
∫
( )( )( ) ( )
[ ( )]
ρ ρ εµ
ε ε ε
ε
1 11
11 0
0
0
p, (34)
conhecendo-se . ε ε( ), ( ) ( )0 p kS Sp k= =e ε
134
alimentação
extravasante
lama
Lz
Nesta equação, qS é o fluxo volumétrico de sólido. A capacidade máxima do sedimentador está associada ao comprimento infinito da região de compactação. Do ponto de vista científico, os problemas relacionados à sedimentação contínua vão muito além das dificuldades relativas à solução do sistema de equações diferenciais não lineares estabelecido a partir das equações de conservação e das equações constitutivas para as condições que prevalecem no sedimentador. A operação de protótipos contínuos parece indicar, por exemplo, que o estado de equilíbrio atingido no regime permanente, com as interfaces entre as diferentes regiões estáticas, depende do procedimento adotado na partida da operação. Em algumas situações, o equilíbrio rompe-se sem causa aparente e a região de compactação atinge rapidamente o extravasante que antes se apresentava límpido (França, 1996).
135
Problemas: Escoamento em Meios Porosos Deformáveis
1. Deseja-se filtrar uma suspensão aquosa de carbonato de cálcio (23,5 g de sólido/L de água) com o auxílio da bomba centrífuga Worthington 1¼ FT214, 5 cv. Pede-se: o volume de filtrado e a espessura da torta em função do tempo de filtração. A área filtrante é 1 m2. a) Propriedades físicas do sistema: densidade do fluido, 1 g/cm3; densidade do carbonato de cálcio, 2,7 g/cm3; viscosidade da água, 0,90 cP.
b) Propriedades da torta e do meio filtrante:
Queda de Pressão (atm)
Porosidade Média da Torta
Resistividade Média da Torta
(cm/g)
Resistência do Meio Filtrante
(cm−1) 0,46 0,73 1,11x1010 8,52×108 1,10 0,72 1,47×1010 9,02×108 1,92 0,69 1,61x1010 10,3×108 2,47 0,67 1,74x1010 10,2×108 3,34 0,65 1,85×1010 10,4×108 4,60 0,60 2,23×1010 10,1×108 5,70 0,59 2,36×1010 10,3×108
c) Curva característica da bomba: Q(m3/h) 2,0 3,6 8,4 11 13 15 20 C(m água) 68 67 66 63 60 55 35. Resposta: Curva característica da bomba (Q em m3/h): C = 68m, Q ≤ 9 m3/h C = 64,7+1,52Q - 0,149Q2 m de coluna de água Q > 9 m3/h. (35) Propriedades da torta em função da queda de pressão de filtração: cm/g (∆p em atm), (36) < >= ×α 1 38 1010 0 29, ( ,∆p) (∆p em atm). (37) < >= −ε 0 744 0 0292, , ∆p Resistência do meio filtrante: 109 cm−1. Formulação: Resulta da equação (33) da filtração que
136
V AC
A pQ
R pF
m=< >
−
=
µ α ρµ ρ
∆∆, gCF . (38)
O tempo de filtração e a espessura da torta correspondentes ao volume V de filtrado são dados por
t dVQ
V= ∫0 , (39)
l [ ] A1Vc
S
Fρ>ε<−
ρ= . (40)
Q
(m3/h) C
(eq.35) (m)
∆p (atm)
< α > (eq.36) (cm/g)
>ε< (eq.37)
1/Q (h/m3)
V (eq.38)
(l)
t (eq.39)
(s)
l (eq.40) (mm)
17,7 44,9 4,49 2,13×1010 0,61 0,0565 0 0 0 15,0 54,0 5,40 2,25×1010 0,59 0,0667 7,8 1,7 0,2 10,0 65,0 6,50 2,37×1010 0,55 0,100 27,8 7,7 0,5 7,0 68,0 6,80 2,41×1010 0,55 0,143 49,6 17,3 1,0 5,0 68,0 6,80 2,41×1010 0,54 0,200 77,4 30,4* 1,5 3,0 68,0 6,80 2,41×1010 0,54 0,333 140 81,1* 2,7 1,0 68,0 6,80 2,41×1010 0,54 1,00 458 788* 8,7 0,3 68,0 6,80 2,41×1010 0,54 3,33 1570 9180* 29,7
A tabela mostra que após apenas 17,3 s, correspondendo ao volume de filtrado de 49,6L, a filtração prossegue a queda de pressão constante. Nesta situação, desprezando a resistência oferecida pelo meio filtrante,
(t t CA p
V VF− =< >
−0 22
02
2µ α ρ
∆)
, e
,
onde . Os valores do tempo de filtração assinalados na tabela foram calculados através desta última equação.
t s0 17 3= L6,49V0 =
2. Foram obtidos os seguintes resultados na filtração de uma suspensão aquosa de carbonato de cálcio (50 g de sólido/L de água) em filtro-prensa piloto operando com apenas um quadro, dimensões nominais 6×6×1¼ in (valores efetivos 15,1×15×3,2 cm), a 25ºC e queda de pressão 2,72 atm. Determinar a resistividade e porosidade médias da torta, <α> e <ε>, e a resistência do meio filtrante Rm a partir dos dados reunidos na tabela que se segue. A densidade do carbonato de cálcio é 2,7 g/cm3 e a relação entre massa de torta e massa de torta seca é 1,60.
137
Tempo de Filtração (s)
Volume de Filtrado (L)
18,0 0,700 40,7 1,70 108 3,70 160 4,70 321 7,70 467 9,70 550 10,7 638 11,7 833 13,7 943 14,7 1084 15,7 1215 16,7 1425 17,7 1702 2344 19,7
Resposta:
18,7
A representação gráfica de t/V em função do volume de filtrado
120,0
80,0
40,0
0,00,0 4,0 8,0 12,0 16,0 20,0
V(L)
Área de filtração: 456 cm2
∆p= 2,72 atm
t/V(s
/L)
mostra que a teoria simplificada da filtração é válida e que: A resistividade média da torta é 7,34×109 cm/g;
A resistência do meio filtrante é 2,78x109 cm−1;
O volume de filtrado e o tempo de filtração correspondentes ao quadro cheio (final da
reta) são respectivamente 14 . s920e5, L
138
A porosidade média da torta pode ser calculada a partir da relação entre a massa de torta no final da filtração e a massa de torta seca: 0,62. A relação entre os volumes de filtrado e de torta, que depende da natureza do sistema, concentração de sólidos na alimentação e da pressão de operação, pode ser calculada através do gráfico ou por meio da expressão para a concentração de sólidos na alimentação:
[ ] [ ]Cv
V v Vv
t S
F t F
S
Ft
F
=− < >
+ < >=
− < >
+ < >
1 1ε ερρ ε ρ
ρ
ρ ε ρ.
Neste problema, V/vt é aproximadamente 20.
3. Foram obtidos os seguintes dados em filtro rotativo de laboratório com 3000 cm2 de superfície filtrante, operando a uma queda de pressão de 0,73 atm.
Rpm do tambor Vazão de filtrado (L/min)
1,17×10−2 0,370 5,00×10−2 0,719 12,0×10−2 0,897 36,7×10−2 1,30 57,0×10−2 1,47
Concentração de sólidos na alimentação: 55g de sólido/L de líquido. Ângulo de imersão do tambor: 80º. Relação entre massa de torta e massa de torta seca: 1,85. Propriedades do filtrado: densidade 1 g/cm3 e viscosidade 1,1 cP. Densidade do sólido: 3,1 g/cm3. Determinar a resistividade e a porosidade médias da torta e a resistência do meio filtrante. Resposta: Resistividade média da torta: 1,97x1010 cm/g. Resistência do meio filtrante: 1,37x109 cm−1. Porosidade média da torta: 0,725.
4. Especificar o filtro-prensa com quadros de metal para a filtração de 10 m3/h da suspensão do problema (2). Condições operacionais: 25ºC e 2,72 atm. 1º caso: a torta não requer lavagem.
2º caso: a lavagem deve ser efetuada com volume 2 vezes maior que o volume de torta. Considerar nas duas situações que o tempo de desmantelamento, limpeza e montagem do filtro seja de 20 min.
139
Dados provenientes do Catálogo 59 da T. Shriver & Company (Harrison, N.J., Estados Unidos): Dimensões recomendadas para placas e quadros
Área total de filtração (ft2)
Dimensão nominal dos elementos (in)
5−35 12 30−100 18 75−250 24 150−450 30 250−700 36
500−1100 43 ¼ >1000 48 e 56
Área filtrante efetiva por quadro
Dimensão nominal Área filtrante efetiva por quadro (ft2) dos elementos (in) Metal Madeira
12 1,7 0,9 18 3,9 2,3 24 7,0 4,8 30 10,5 7,3 36 15,6 10,5
43¼ 22,2 15,1 48 28,8 19,7 56 - 28,4
Resposta: O índice 1 denota a unidade de laboratório e 2 a unidade industrial. Produção de filtrado na unidade industrial:
( )
( ) d2
2tt
P++
= f
f
t
V. (40)
l Tempo de filtração na unidade industrial (espessura do quadro, e): t BV Af f= 2 2/
140
( )( ) 1
2
1f
2f
2
f
1
f
t
fee
A/VA/V
,AeV2
AeV2
vV
=
=
= (42)
( ) ( )( )
( ) ( )1f
2
1
21f2
1f
22f
2f teet
A/V
A/Vt
=
= . (43)
Tempo de lavagem da torta na unidade industrial aparelhada com placas de lavagem (placas com "três botões"):
final da filtração
ll
l
==
dtdV
41
tV
Q
. (44) l ll
. (45) l
( ) t2ff
t v/VtVv8t , =β
β=
( ) ( )
Volume de filtrado por ciclo completo na unidade industrial:
[ ]PtttV d2f2f ++= Área de filtração da unidade industrial:
( )( )A AV
Vee
f
f2 1
2
1
1
2= . (46)
Resulta do problema (2) na filtração a ∆ atm e 25ºC: espessura do quadro e cm, área de filtração cm2, tempo de filtração, s; volume de filtrado,
L; relação entre volume de filtrado e volume de torta, .
p = 2 72, 1 3 2= ,A1 456= ( ) 920t 1f =
Vf( ) 5,14V 1f = ( ) 20v/ 1t = Produção de filtrado na unidade industrial: P . h/L9820 =
141
a) A torta não requer lavagem:
e2 (in)
( )t f 2 , eq. (43) (min)
( )t tf d2 + (min)
( )Vf 2 , eq. (45) (L)
A2, eq. (46) (m2)
1 9,79 29,8 4877 19,2 1¼ 15,3 35,3 5777 18,2 1½ 22,0 42,0 6874 18,0 1¾ 30,0 50,0 8183 18,4
2 39,2 59,2 9689 19,0 3 88,1 108 17676 23,2
Solução possível: área filtrante, 18m2; espessura dos quadros, 1½ in; dimensão nominal dos elementos, 30 in; número de quadros, 19. b) A torta requer lavagem
le2 (in)
( )t f 2, eq. (43) (min)
t , eq. (44) (min)
d2f tt)t( +(min)
( )Vf 2, eq. (45) (L)
A2, eq. (46) ( )m2
1 9,79 7,83 37,6 6154 24,2 1 ¼ 15,3 12,2 47,5 7774 24,4 1 ½ 22,0 17,6 59,6 9755 25,6 1 ¾ 30,0 24,0 74,0 12111 27,2
2 39,2 31,4 90,6 14828 29,1 3 88,1 70,5 179 29296 38,4
l+
Solução possível: área filtrante, 25,6m2; espessura dos quadros, 1½ in; dimensão nominal dos elementos, 30 in; número de quadros, 27.
5. Especificar o filtro rotativo a vácuo a partir dos dados obtidos em filtro-folha de laboratório com suspensão aquosa de carbonato de cálcio, 50 g de sólido/L de suspensão. Densidade do carbonato de cálcio: 2,7 g/cm3. Queda de pressão no filtro: 600 mm Hg. Temperatura de operação: 28ºC. Produção de filtrado: 10000 L/h. Resultados obtidos no filtro-folha operando com a mesma suspensão, nas mesmas condições operacionais indicadas e área filtrante 133 cm2: Tempo de filtração para se obter uma torta com 6 mm de espessura (volume de filtrado 950 cm3), 163 s; Tempo de lavagem da torta (volume de água de lavagem 160 cm3), 130 s; Tempo de secagem (obtém-se um produto com 81% de sólido em massa), 150 s; Tempo estimado para a descarga da torta e limpeza do meio filtrante, 10 s.
142
Dimensões padrões de filtros a vácuo Dorr-Oliver
Diâmetro Área da superfície do filtro, ft2 do tambor, Comprimento, ft
ft 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 6 8 10 12
76 113 151 200
189 250 310
226 300 372 456
350 434 532
400 496 608
558 684
620 760
836
912
(Perry, H.R. e Chilton, C.I., "Manual de Engenharia Química", 5ª edição traduzida, Guanabara Dois, Rio de Janeiro, p. 19-72, 1980) Resposta: Sendo o tempo de um ciclo completo 453 s, resulta que a rotação do tambor deve ser 0,132 rpm. A fração submersa é 163/453 e, portanto, o ângulo de imersão é 130º. Produção de filtrado por unidade de área filtrante: 570 (L/m2h). Especificação do filtro considerando um fator de segurança de 20% no cálculo da área: diâmetro do tambor, 6 ft; comprimento do tambor 12 ft.
6. Deseja-se filtrar uma suspensão altamente viscosa em filtro-folha, a pressão constante. A adição do solvente MK-X acarreta uma diminuição na viscosidade do filtrado levando ao valor , µ = −0 63 4 48, ,F P onde F é a fração volumétrica do solvente no filtrado. Filtrando em cada ciclo o volume original de suspensão, determinar o valor de F que conduz ao ciclo mais curto. Desprezar a resistência do meio filtrante e admitir que o solvente não afete a densidade do filtrado. Resposta:
Equação da filtração: t B cVA p
= =< >
µα ρ2
22, B
∆.
Volume de filtrado por ciclo: V V , onde V0 é o volume de filtrado isento de solvente.
( F= −0 1/ )
V Concentração de sólido na suspensão a ser filtrada: C F , onde M é a massa de sólido seco na torta.
( ) M= −1 0/
Valor de F que conduz ao ciclo mais curto: 0,82.
143
7. A usina de beneficiamento de caulim Cellini de Mar de Espanha, MG, opera com uma bateria de filtros-prensa constituída por 210 quadros de 30 in (área filtrante efetiva por quadro 10,5 ft2) e 2 in de espessura. A produção de torta é de 5,8 ton/h, sendo, para cada ciclo, o tempo de filtração 55 min e o de desmantelamento, limpeza e montagem 20 min. O Sr. Cellini deseja aumentar a produção em 30% e, ao mesmo tempo, melhorar a qualidade de seu produto através da lavagem da torta com um volume de líquido de lavagem igual ao de torta. Sabe-se ainda, através de experiências conduzidas em laboratório, que nas condições operacionais a relação entre os volumes de filtrado e de torta é 9. Considerar que nas novas instalações o tempo de desmantelamento, limpeza e montagem é também de 20 min e que a operação do sistema aumentado se fará à mesma queda de pressão que no sistema inicial. Resposta: Usando o mesmo procedimento apresentado no problema (4), resulta que o número de quadros adicionais é 242.
8. O ferro-velho de Maria da Graça dispõe de um filtro-prensa Shriver de metal, completo: placas e quadros de 30", 20 quadros de 2" de espessura (área filtrante por quadro, 10,5 ft2). Determinar a capacidade do filtro operando com uma suspensão aquosa de carbonato de bário (70 g de sólido/L de água) a 30ºC e com uma queda de pressão de 65 psi. A lavagem da torta, realizada nas mesmas condições que na filtração, deve empregar um volume de água de lavagem 1,5 vez o volume de torta. O filtro está aparelhado com placas de “3 botões”. O tempo de desmantelamento, limpeza e montagem é estimado em 20 min. Testes de laboratório conduzidos a 30ºC e 65 psi em um único quadro com 1¼" de espessura e área filtrante de 456 cm2 levaram aos seguintes resultados: Tempo de filtração e volume de filtrado na situação de quadro cheio, 18 min e 14L; Relação entre massa de torta e massa de torta seca, 1,5. A densidade do carbonato de bário é 4,1 g/cm3. Resposta: Porosidade média da torta: 0,67. Relação volume de filtrado-volume de torta: 19,2. Volume de filtrado produzido em um ciclo completo da unidade industrial: 9,52×103 L. Tempo de filtração por ciclo: 46,1 min. Tempo de lavagem da torta: 28,8 min. Produção de filtrado: 6020 L/h. Produção de sólido seco: 421 kg/h.
9. Deseja-se filtrar uma suspensão em filtro de tambor rotativo a vácuo de 2 m de diâmetro e 2 m de comprimento. A suspensão apresenta 18% em massa de sólido e as propriedades físicas do sistema são: densidade do fluido 1 g/cm3, viscosidade do fluido 0,8 cP e densidade do sólido 2,3 g/cm3.
144
O filtro industrial deve operar com uma queda de pressão de 25 in Hg, com um ângulo de submersão de 145º. A espessura final da torta deve ser de 5 mm. Pede-se: a) O número de rotações por minuto do cilindro;
b) A produção de filtrado. Ensaios de laboratório conduzidos com esta mesma suspensão em filtro-folha de 200 cm2 de área filtrante, queda de pressão de 25 in Hg, levaram a tortas com 63% de porosidade e à seguinte relação entre tempo de filtração e volume de filtrado: Tempo de filtração (min): 1 2 Volume de filtrado (cm3): 300 440. Resposta: Volume de filtrado por ciclo: 297L. Tempo de filtração por ciclo: 345s. Rpm do tambor: 0,174. Produção de filtrado: 3100 L/h. 10. Calcular a área do filtro gravitacional para o tratamento de uma suspensão aquosa de rejeito industrial de pequena fábrica da Baixada Fluminense. O filtro tem 1m de altura. Critério: O tempo de filtração deve conduzir à produção máxima,
PV
t tdPdt
f
f d f=
+= , 0 .
Capacidade: 500 kg de sólido/dia (10 horas de operação). Propriedades do sistema: densidade do fluido 1 g/cm3, viscosidade do fluido 0,8 cP, densidade do sólido 1,9 g/cm3. Concentração da suspensão: 70 g de sólido/L de água. Propriedades da torta: porosidade 0,6 e permeabilidade 8×10-9 cm2. Tempo de desmantelamento do filtro, retirada da torta e montagem: 30 min. A torta é pouco compressível e a resistência do meio filtrante pode ser desprezada em relação à resistência da torta.
145
Resposta: O tempo ótimo de filtração é igual ao tempo de desmantelamento limpeza e montagem do filtro. Portanto, o tempo ótimo do ciclo é 60 min. Volume de filtrado por ciclo: 714 L. Área de filtração: 1,14 m2. Espessura da torta no final do ciclo: 6 cm.
11. No filtro concentrador contínuo e pressurizado Hirondelle a superfície filtrante fica submersa na suspensão e a torta é dela retirada por meio de raspador rotativo de 2 facas. Sabendo-se que o filtro opera a pressão constante, estabelecer a relação entre a concentração da suspensão espessada e: a capacidade do filtro, a pressão de operação, propriedades da alimentação, características da torta, dimensões do elemento filtrante e velocidade do raspador.
146
Resposta:
12 2P A p
P CAN
RFm=
< >+
µ α ρ∆
,
onde P é a produção de filtrado ( )θ/L3 , N o número de rotações por unidade de tempo e C a concentração média da suspensão no interior da carcaça do filtro.
12. Calcular o diâmetro e a altura do sedimentador Dorr-Oliver para operar com 30 m3/h de suspensão aquosa de cal. Dados: concentração de sólido na alimentação 0,08 g/cm3 de suspensão, concentração de sólido no lodo 0,25 g/cm3 de suspensão, densidade da cal 2,2 g/cm3 e temperatura 25ºC. Ensaio de aproveta a 25ºC (0,08 g/cm3 de suspensão): Distância da interface clarificada ao fundo da 40 32,8 25,5 18,8 14,2 11,2 9,6 6,6 5,2 4,0 proveta, z (cm) Tempo de sedimentação, 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 θ (min)
147
Cálculo da capacidade (método de Kynch) e da altura do sedimentador (Damasceno e Massarani, 1993): Ensaio de proveta
tr
tmin
ponto crítico
z0
c za 0cl
z
t
z0z(t)
t >0
Capacidade de projeto
FA
ztmin
=proj.
0 .
Altura da região de compactação (balanço de massa)
F
FS
S
rac A
tFc34H
ρ−ρρ−ρ
ρ= .
l
Nomenclatura A - Área da seção transversal do sedimentador ( . )L2
c - Concentração de sólido na suspensão (M sólido/L3 suspensão). F - Vazão de suspensão na alimentação (L3/θ). Hc - Altura da região de compactação ( . )Lt - Tempo de sedimentação ( . )θtmi - Tempo assinalado na curva de sedimentação ( . )θtr - Tempo de resistência da partícula sólida na região de compactação ( . )θ
148
z - Distância entre a interface inferior da região clarificada e a base da proveta ( . )Lρ - Densidade da fase ( / . )M L3
Índices: a - Alimentação do sedimentador; F - Líquido; l - Lodo que deixa o sedimentador; S - Sólido.
Resposta: Diâmetro do sedimentador: 6,1 m. Altura do sedimentador: 1,3 m, incluindo 0,6 m para a separação do “extravasante” e 0,45 m levando em conta a inclinação do fundo. 13. A indústria de papel Bananal Paulista estuda a possibilidade da utilização de um sedimentador Dorr-Oliver com 23 m de diâmetro e 3 m de altura para o tratamento de licor negro. Calcular a capacidade do sedimentador para as seguintes condições operacionais: 6,7 g/L a concentração de sólidos na alimentação e 19 g/L a concentração de sólidos no lodo. Densidade do sólido, 2,8 g/cm3. Temperatura: 25ºC. Ensaio de proveta a 25ºC (6,7 g/L de suspensão): z(cm) 30 26,5 23,2 16,6 13,5 12,4 11,2 10,4 10,2 θ(min) 0 2,5 5 10 15 20 30 50 70. Resposta: A altura do sedimentador não é o fator limitante; a capacidade recomendada é da ordem de 160 m3/h de alimentação. 14. Deseja-se estimar a capacidade de um sedimentador lamelado no tratamento de uma suspensão floculenta de hidróxido de alumínio: concentração inicial 4,5 g/L e concentração final 22 g/L. O sedimentador funciona em contacorrente com 30 lamelas ativas, 1,80x2,00 m, espassamento 6 cm e inclinação de 60º com a horizontal. Ensaio de proveta (4,5 g/L de suspensão): z(cm) 35 32,2 27,4 20,6 16,2 11,2 8,5 6,4 5,0 4,2 θ(min) 0 3 7 13 18 25 30 35 40 45.
149
O procedimento para o cálculo da área de sedimentação do sistema lamelado é o mesmo do sedimentador Dorr-Oliver, devendo-se considerar a soma das áreas projetadas das lamelas ativas na horizontal. Resposta: Área de sedimentação: 54 m2. Capacidade do sedimentador lamelado: 35 m3/h de alimentação.
Bibliografia
Damasceno, J.J.R., “Uma Contribuição ao Estudo do Espessamento Contínuo”, Tese de D.Sc., Programa de Eng. Química, COPPE/UFRJ, 176 p. (1992). Damasceno, J.J.R. e Massarani, G., “Projeto e Análise do Desempenho de Sedimentadores Contínuos”, Ciência & Engenharia/UFU, ano 2, nº 2, 61-76 (1993). França, S.C.A., “Operação de Espessadores Não-Convencionais”, Tese de M.Sc., Programa de Engª Química, COPPE/UFRJ, 53 p. (1996). Massarani, G., “Filtração”, Revista Brasileira de Tecnologia, número especial, 69 p. (1985). Massarani, G., Silva Telles, A. e Damasceno, J.J.R., “Evaluation of the Compression-Permeability Behavior of Sediments Subjected to Small Deformations”, Anais do 6th World Filtration Congress, Nagoya, Japão, maio, 91-95 (1993). Shirato, M., Sambuichi, M. e Murase, T., “Hydraulic Pressure Distribution in Filter Cakes Under Constant Pressure Filtration”, Memoir of the Faculty of Engineering, Nagoya University, vol. 16, nº 1 e 2, 68-79 (1964). Silva Telles, A., Cohen, B.M., Massarani, G. e Leite, M.S., “Filtração a Pressão Constante”, Anais do I ENEMP, Rio de Janeiro, 7 p. (1973). Silva Telles, A. e Massarani, G., “Compactação de Meios Deformáveis: Uma Descrição Segundo a Mecânica do Contínuo”, Anais do X ABCM, Rio de Janeiro, dezembro, vol. 2, 13-16 (1989). Tiller, F.M., “Theory of Filtration”, IEC, vol. 53, nº 7, 529-537 (1961). Tiller, F.M. e Chen, W., “Limiting Operating Conditions for Continuous Thickners”, Chem. Engng. Sci., vol. 43, nº 7, 1695-1704 (1988).
150
Índice Onomástico
Allen, T. 14
Almeida, O.P. 21, 32
Almendra, E.R. 24, 26
Ávila, d’, J.S. 106
Aziz, K. 23, 27
Barnea, E. 24
Barrientos, A. 16, 48
Bear, J. 68, 78
Berker, R. 10, 29, 72
Bird, R.B. 14, 44, 46
Bloor, M.I.G. 48
Bolger, J.C. 35
Brauer, H. 41
Caswell, B. 31
Chen, W. 134
Christiansen, A. 16
Christiansen, E.B. 15
Churchill, S.W. 16
Clark, N.N. 31
Clift, R. 29
Coelho, G.L.V. 113
Coelho, R.M.L. 17
Cohen, B.M. 129
Concha, F. 16, 24, 48
Coulson, J.M. 75, 88
Crochet, M.J. 65
Damasceno, J.J.R. 96, 125, 133, 148
Darcy, H. 67
Ergun, S. 74
Fernandes, R.C. 65, 68
Ferrandon, J. 68
Ferreira, M.C. 111
França, S.C.A. 133, 135
Francis, A.W. 21
Freire, J.T. 79, 111
Gauvin, W.H. 31
Gidaspow, D. 102, 109
Govier, G.W. 23, 27
Grace, J.R. 29
Green, D.W. 47, 77
Grodzinski, P. 37
Gubulin, J.C. 105
Hackenberg, C.M. 29
Haider, A. 16
Inghan, D.B. 48
Kelly, P.D. 65
Krauss, M.N. 110
Lapple, C.E. 17
Larerack, S.D. 48
Laruccia, M.B. 32
Leite, M.S. 129
Leith, D. 48
Levenspiel, O. 16
Licht, W. 48
Lightfoot, E.N. 14, 44, 46
Löffler, F. 48
151
Marchildon, E.K. 31
Massarani, G. 17, 24, 25, 31, 49, 67, 68,
69, 73, 74, 76, 91, 101, 102,
104, 105, 106, 112, 113,
123, 129, 132, 133, 148
Michaels, A.S. 35
Mizrahi, J. 24
Mothes, H. 48
Müller, I. 65
Munroe, B. 21
Murase, T. 127
Naghdi, P.M. 65
Norton Chem. Proces. Products 81
Pereira, C.M.S. 49
Perry, R.H. 47, 77
Pettyjohn, E.S. 15
Politis, T. 24
Polubarinova-Kochina, P.Ya. 69
Renganathan, K. 31
Restini, C.V. 106, 111
Richardson, J.F. 23, 28, 75, 88
Samarco 112
Sambuichi, M. 129
Santana, C.C. 27, 73, 105, 109, 111, 113
Scheidegger, A.E. 68, 80
Schwarz, W.H. 31
Shepherd, C.B. 17
Shirato, M. 129
Silva, E.M.V. 111
Silva Telles, A. 31, 65, 67, 68, 91, 112,
123, 129
Smith, G.F. 68
Sobreiro, L.E.L. 114
Stewart, W.E. 14, 44, 46
Stokes, C.R. 9
Svarovski, L. 48, 58
Tiller, F.M. 128, 134
Tobinaga, S. 79, 80
Truesdell, C. 65
Turton, R. 31
Wasp, E.J. 110
Weber, M.E. 29
Zaki, W.N. 23, 28
152
