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Corso di FluidodinamicaAnno accademico 2012/2013

Prof. Tommaso [email protected]. 081 7685184

MATERIALE DIDATTICOGasdinamica, Giovanni M. Carlomagno, ed. Liguori, 2009

Appunti e Slides dal sito www.docenti.unina.itwpage.unina.it/astarita

RICEVIMENTO ALLIEVIMartedì 16:00-18:00

Mercoledì 16:00-18:00 (X piano - p.le Tecchio 80)

STUDIO DI UN FENOMENO FISICO

Descrizione del fenomeno

Identificazione delle ipotesi e delle approssimazioni

Modellazione del fenomeno e individuazione delle variabili

Applicazione dei principi e delle leggi fisiche

Scrittura delle equazioni che governano il fenomeno

Risoluzione delle equazioni con le condizioni al contorno

Verifica della qualità e della validità dei risultati

LEGGI FONDAMENTALI DELLA TERMODINAMICA CLASSICA

Legge zero 0 > T I legge L δ Q δdEt −−−−=

II legge S;δ+ Sδ=dS ie

0 Sδ ; Q/T δS ie ≥≥≥≥ = δδδδ

Postulato di Nernst 0= S lim0T →→→→

SISTEMA TERMODINAMICO

Un sistema termodinamicoΣΣΣΣ si può definire in termini di unvolume dicontrollo VVVV (formulazione Euleriana) o di una massa di controllo(formulazione Langrangiana).

Formulazione euleriana

VVVV è fisso nel tempo

VVVV può essere pluri o semplicemente connesso

D sono superfici chiuse, materiali, o fittizie

La massa contenuta in VVVV è, in generale, funzione del tempo

L'estensioneè fissata in termini del volumedel sistemaVVVV

Formulazione lagrangiana

è fissa nel tempo.

Le dimensioni di VVVV, (forma e locazione) possono variare nel tempo.

La superficie D delimitante il volume VVVVoccupato dalla massa di controllo varia (in forma e dimensioni) nel tempo.

La connessione di VVVV può variare nel tempo.

L'estensionedel sistema e fissata in termini della massa del sistema

ESEMPI DI SCELTA DEL SISTEMA DI CONTROLLO

Formulazione Euleriana(sistema a volume costante;il tratto di condotto rigido)

Formulazione Lagragiana(sistema a massa costante;

il gas nel palloncino deformabile)

GRANDEZZE ESTENSIVE

∑∑∑∑n

1= iitot G= G

Una grandezza G si dice estensiva se il suo valore, in un sistemain cui èdistribuita in modo uniforme, è linearmente proporzionale all'estensionedel sistema stesso.

SeG è funzione solo di altre grandezze estensiveG = f(Gi ); (i = 1, 2, .., k),essa è una funzioneomogenea di primo gradonelleGi

G gode inoltre dellaproprietà di additività

Sono grandezze estensive: il volume, la massa, il numero di moli, la quantitàdi moto, l'energia cinetica, l'entropia, l'energia interna, etc

Una funzione si dice omogenea di grado αααα se, moltiplicando le variabili da cui dipende per uno stesso fattore ββββ > 0, essa risulta moltiplicata per ββββ αααα ; ad esempio: f(ββββx, ββββy) = ββββ αααα f (x,y); y = x2 →→→→ y(ββββx) = β ) = β ) = β ) = β 2x2.

UNIFORMITÀ DI UNA GRANDEZZA ESTENSIVA

Il concetto di distribuzioneuniforme di una grandezza estensivarappresenta il grado di omogeneità con il quale la grandezza estensiva èdistribuita all’interno di un sistema

Definizione ingegneristica diuniformità: Dato un sistema di volumeVVVV , losi suddivida in un numero arbitrarion di sottosistemi (conn interopositivo) ciascuno di volume∆∆∆∆VVVV = VVVV /n. Il valore di una qualsiasigrandezza estensivaG in ciascuno dei sottosistemi sarà pari a∆∆∆∆Gi (i = 1, ..,n) e in generale diverso da sottosistema a sottosistema.

Indicando rispettivamente con∆∆∆∆Gmax e ∆∆∆∆Gmin il valore massimo e il valoreminimo deglin valori ∆∆∆∆Gi, la massima differenza tra i valori dei∆∆∆∆Gi neidiversi sottosis-temi potrà quindi essere individuata dalla quantità:

minmax GGG = ∆∆∆∆∆∆∆∆δδδδ −−−−L’uniformità del sistema sarà senz’altro assicurata se,qualunque sia ilvalore di n, cioé la suddivisione fatta, è sempre verificata la condizione:

∑∑∑∑ →→→→∆∆∆∆ 0 iGG /δδδδ

GRANDEZZE INTENSIVE

Una grandezza intensiva I è una grandezza il cui valore (in un sistemauniforme) non dipende dall'estensione del sistema stesso.

Una grandezza intensiva èomogenea di grado zerodi grandezze estensive.

La temperatura, la pressione e la velocità di un fluido sono esempi digrandezze intensive

GRANDEZZE SPECIFICHE

Una grandezza specifica è una grandezza estensiva riferita all'unità diestensione infinitesima.

Una grandezza estensivaG si può rendere specifica rispetto a qualsiasi altragrandezza estensivaG' di riferimento che caratterizzi l'estensione delsistema.

Nella maggior parte dei casiG' si identifica con lamassa, o con ilvolume.

GRANDEZZE SPECIFICHEG riferita all'unità di massasi indicherà cong (densità massica di G).

G riferita all'unità di volumecong+ (densità volumetrica di G).

Tutte le grandezze specifiche riferite all'unità di massasi indicano con lalettera minuscolacorrispondente a quella (maiuscola) con la quale si indica lagrandezza estensiva.

Per le grandezze specifiche riferite all'unità di volume, alla lettera minuscolasi appone l'apice+.

Fa eccezione la densità volumetrica di massa, o più sinteticamente densità di massa(massa riferita all'unità di volume), che si indica con la lettera greca ρρρρ .

Ad esempio, la grandezza estensiva entropia si indica conS, l'entropia perunità di massa conse quella per unità di volume cons+.

Valgono le relazioni:

ρg = g++++ ; +g v= g ; ρρρρ1

= v

ρ= ∆

∆

0∆ lim

V

→VVVV

GRANDEZZE SPECIFICHE

Le dimensioni di una grandezza specifica sono:

[ ] [ ]

G g ≡ [ ] [ ]

3 L

gG≡+

Le grandezze specificheg e g+ conservano lostesso ordine tensorialedelle grandezze dalle quali vengono derivate.

La densità, il volume specifico, l'energia cinetica, per unità di massa o perunità di volume del fluido, sono esempi di grandezze specifiche.

La velocità, già indicata come grandezza intensiva, se intesa come quantitàdi moto per unità di massa, rappresenta anch’essa una grandezza specifica.

;

GRANDEZZE SCALARI, VETTORIALI, TENSORIALI

Una grandezza scalare(o, più semplicemente, unoscalare) è descritta ecaratterizzata in modo completo, in un prescelto sistema di unità di misura, daun numero (positivo o negativo).

Le grandezze scalari sonoinvarianti rispetto ad una qualunque trasformazionedel sistema delle coordinate di riferimento. Esempi sono: la massa, il volume, latemperatura, la densità, il volume specifico, la pressione in un fluido in quiete.

Uno scalare è anche definito come untensore di ordine zero.

Una grandezza vettoriale(o, un vettore) è descritta e caratterizzata in modocompleto da un valore numerico e da una direzione orientata.

Una grandezza vettoriale può essere considerata come somma di tre vettoridiretti secondo tre direzioni di riferimento prefissate, le cui intensità vengonochiamatecomponenti(3 scalari) della grandezza stessa

Se le direzioni prefissate sono costanti per ogni punto dello spazio, il sistema diriferimento si dice cartesiano e, se in particolare queste direzioni sonomutuamente ortogonali, il sistema viene dettocartesiano ortogonale


Una grandezza vettoriale è dettaassolutase essa è invariante rispetto alsistema di riferimento; non saranno ovviamente tali le sue componenti.

Esempi di grandezze vettoriali,non necessariamente assolute, sono: leforze applicate, la velocità, l'accelerazione, la quantità di moto,la velocitàangolare, etc.

Un vettore è anche definito come untensore di ordine unoe vienegeneralmente indicato con una sottolineaturaV.

Una grandezza tensoriale del secondo ordine(o, più semplicemente, untensore) è una grandezza fisica associata agli enti geometrici punto,direzione orientata e giacitura orientata(ovvero punto e due direzioniorientate, potendosi rappresentare la giacitura con la direzione normale allagiacitura stessa). Essa viene generalmente indicata con due sottolineature.


In uno spazio a 3 dimensioni ci sono 3 giaciture indipendenti (pianicoordinati), per cui un tensore hatre componenti vettoriali(non assolute)associate a ciascuna delle tre giaciture.

Alternativamente, poiché in uno spazio a 3 dimensioni ci sono 3× 3 = 9coppie indipendenti di direzioni di riferimento (coppie coordinate), iltensore hanove componenti scalari(anche esse non assolute), associate aciascuna delle coppie coordinate.

Tutte le grandezze associate ad un punto ed a due direzioni orientate sonograndezze tensoriali del secondo ordine che vengono indicate con unadoppia sottolineatura.

Analogamente a quanto detto per i vettori, iltensore assolutoè unagrandezza invariante rispetto al sistema di riferimento, ma non sono tali lesue componenti (nè le vettoriali, nè le scalari)

Esempi di tensori sono gli sforzi superficiali, i momenti di inerzia etc..

FLUSSO DI UNA GRANDEZZA ESTENSIVA

Una delle caratteristiche più essenziali (ai fini termodinamici)delle grandezzeestensive è che esse (e solo esse) possono fluire (possono cioè esserescambiatetra il sistema e il suo ambiente).

Si definisceflusso di una grandezza estensiva G in un punto, lagrandezza che dà, in intensità e direzione, la quantità di G che fluisceperunità di superficie e per unità di tempo.

Associata al concetto di flusso è quindi una direzione orientata riconoscibiledalla direzione secondo la quale la grandezza fluisce. Pertanto, se la gran-dezzaG è un tensore di ordinek, il flusso di G è un tensore di ordinek + 1.

Esempio: ilflusso di massaè unvettore(tensore di ordineuno) essendo lamassaunoscalare(tensore di ordinezero), il flusso di quantità di motoè untensore delsecondo ordineessendo laquantità di motounvettoree così via.

GΦΦΦΦ


Le dimensioni del flusso sono: [ ] [ ]tL2

G

ΦG ≡

Nella definizione di flusso è insito il concetto ditrasporto di unagrandezza, e quindi di velocità, come può del resto dedursi dalledimensioni stesse del flusso infatti

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]][[[[ ]]]]VgtLLG

Φ+

G

≡≡≡≡≡≡≡≡3

[V] ≡ dimensioni di una velocità

Il flusso può essere comunque espresso comeprodotto della densitàvolumetrica della grandezza G per una opportuna velocità W.

W g ρ = Wg = Φ+

G

Il flusso dipende, in generale, dal sistema di riferimento.


Introducendo lavelocità V di una particella elementare(più propriamente lavelocitàV del centro di massa di una particella elementare) è possibile effet-tuare una importantescomposizionedel flusso di una grandezza estensivaG.

La precedente relazione opera unascomposizione del flusso totaledi G,[misurato in un sistema di riferimento galileiano (ΩΩΩΩ,ξξξξ,ηηηη,ζζζζ)] in due parti:

a) un flusso convettivo o macroscopicoche risulta pari al prodottodella densità volumetrica (ρρρρ g) di G per la velocità di massaV della particellaelementare anch'essa misurata nel sistema di riferimento (ΩΩΩΩ,ξξξξ,ηηηη,ζζζζ). Essorappresenta laG che si accompagna alla massa che fluisce;

b) un flusso diffusivo o microscopicoche rappresenta la differenzatra il flusso totale e quello macroscopico e che risulta diverso da zero se iltrasporto della grandezzaG non è dovuto unicamente al trasporto convettivo(il quale è associato al moto del centro di massa della particella), ma ad unfenomeno didiffusionedella grandezzaG (pressione, flusso di calore, ecc.).

GG J +Vg ρ= Φ

PRODUZIONE DI UNA GRANDEZZA ESTENSIVA

Una grandezza estensiva, oltre a fluire può, in generale, essereprodotta(in senso algebrico), cioè può esserecreata o distrutta(ad es. reazionichimiche)

La produzione di una grandezza estensiva può, ovviamente, variare dapunto a punto del sistema ed, in ogni punto, da istante a istante

Si definisce quindi laproduzione di una grandezza estensiva G in unpunto la quantità di G che si crea o si distrugge per unità di volume eper unità di tempo nel punto considerato.

Se la produzione di una grandezza è sempre identicamente nulla, si diceche la stessa siconservao, equivalente mente, che la grandezza èconservativa

Le dimensioni della produzione sono: [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]tL

Gg+

3 ≡≡≡≡&

PRODUZIONE DI UNA GRANDEZZA ESTENSIVA

Si può definire anche laproduzione diG per unità di massa e unità ditempo che sarà indicata con:

g ρ= g &&+++++g v= g &&

A titolo di esempio, si noti che la produzione della quantità di moto ha ledimensioni:

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]][[[[ ]]]]atLV

ρρρρ≡≡≡≡

3

(dove con [a] sono state indicate le dimensioni di un'accelerazione) per cuiessa ha le dimensioni di una forza per unità di volume.

Le dimensioni tensoriali della produzione sono le stesse di quelle dellagrandezzaG da cui essa è derivata.

;

IL CAMMINO LIBERO MEDIO MOLECOLARE E L'IPOTESI DEL CONTINUO

La materia , pur apparendo macroscopicamente continua , è di fatto costituitada un numero elevatissimo di particelle discrete , che si chiamano molecole .

Nel famoso libro sulla teoria cinetica dei gas , scritto nel 1940, Sir J.Jeans dice:

“Un uomo, ogni volta che inspira o espira, scambia con l'ambiente circa 400cm3

di aria. Come si vedrà poi, ogni singolo respiro contiene circa 1022 molecole. Èstato stimato che tutta l'atmosfera della terra è costituita da circa 1044 molecole.

Quindi, una molecola sta, rispetto al numero di molecole contenute in unrespiro, nello stesso rapporto con il quale queste ultime stanno rispetto alnumero di molecole contenute in tutta l'atmosfera”. 1044 : 1022 = 1022 : 1

Se si suppone che l'ultimo respiro (e cioè, l’espirazione , dopo che è statopugnalato) di Giulio Cesare, al giorno d'oggi (dopo circa 2000 anni), si sia com-pletamente disperso nell'atmosfera, statisticamente un individuo ogni volta cheinspira , immette nei suoi polmoni una molecola di questa sua espirazione .

Inoltre, poiché i nostri polmoni contengono circa 2 litri di aria, verosimilmenteognuno di noi ha nei suoi polmoni circa 5 molecole dell'ultim o respiro diGiulio Cesare!


Un gas, macroscopicamente continuo , è quindi costituito da un elevatis-simo numero di molecole.

Una mole di gas (e cioè una massa di gas in grammi pari al numero cheesprime la massa molecolare del gas ) contiene un numero di AvogadroN = 6.023x1023 di molecole (ad es.: 4g di He, 28g di N2, 32g di O2, ecc.).

Una mole di gas , a temperatura e pressione normali (T = 0°C; p = 1ata),occupa circa 22.4litri .

Perciò, a 20°C e p = 1ata, 400cm3 di aria contengono ≈1022 molecole.

Per l'aria in condizioni normali, la distanza ∆ tra le molecole è pari a circa10 volte il loro diametro equivalente . ∆ = (22.4 x 10 -3/N)1/3 = 3.3 x 10 -9m.

Le molecole si muovono continuamente , piuttosto indipendentemente l'unadall'altra salvo che negli istanti in cui urtano tra loro (nell’aria in condizioninormali, ogni molecola subisce circa 7 miliardi di urti al secondo ).

La traiettoria delle molecole tra due urti consecutivi può essereconsiderata abbastanza rettilinea , poiché le forze intermolecolari (tra lemolecole) sono molto deboli salvo che durante gli urti .


Infatti, ciò garantisce che in sia presente un elevato numero dimolecole e che in esista un numero elevato di .

Il cammino libero medio molecolare è definito come la distanzamedia percorsa dalla molecola tra due urti consecutivi .

Poiché gli urti tra le molecole sono quelli mediante i quali essescambiano sia energia, che quantità di moto, il cammino libero mediomolecolare è una grandezza molto importante in fluidodinam ica .

Cammino libero medio molecolare

Validità dell’ipotesi di continuità del sistema

Difatti, come si vedrà, per l’aria in condizioni normali = 7.2x10-8m, uncubetto di lato contiene circa 104 molecole, quantità già molto elevata.

λ

L’ipotesi del continuo comporta che nel sistema esista, comunque, unvolumetto molto più piccolo del volume di controllo in esame( ) ma molto più grande del cubo del cammino libero mediomolecolare ( ).

λ 3

STIMA DEL CAMMINO LIBERO MEDIO MOLECOLARE

Infatti, due molecole entrano in collisione quando i loro centri sono a unadistanza inferiore al loro diametro d e cioè quando il centro della molecolaurtata entra nella cosiddetta sezione d’urto di quella presa in considerazione.

La molecola percorrerà nel tempo una traiettoria di lunghezza mediamente pari a .

Il rapporto tra lo spazio percorso ed il numero di urti (numero di molecolecontenute nel volume spazzato) rappresenta il cammino libero medio dellamolecola , qui stimato con l'approssimazione che tutte le altre molecolesiano ferme :

La velocità media di una molecola sia pari a .

Nel percorrere questo spazio la molecola entrerà incollisione con tutte le altre molecole contenute nelvolume da essa spazzato , le quali, se siindica con n il numero di molecole presente per unitàdi volume, risultano pari a .

; a = approssimato

CAMMINO LIBERO MEDIO MOLECOLARE

Una più esatta espressione delcammino libero medio molecolareè laseguente:

n2d

1=

ππππλλλλ

2

Il cammino libero medio molecolare consente di introdurre un numeroadimensionale (in quanto rapporto di due lunghezze), chiamato numero diKnudsen Kn, definito come

LKn /= λλλλ

REGIMI DI MOTO

Per Knδδδδ <10-2, il moto può essere considerato continuo , nel qualcaso la velocità del fluido in prossimità della parete risulta ug ualea quella della parete stessa (ipotesi di continuità ). Se la parete èferma, anche il fluido è fermo.

Per 10-2 < Knδδδδ <10-1, si può continuare a considerare il moto continuonel campo di moto, ma la velocità del fluido alla parete può esserediversa da quella della parete (slip flow ).

Per 10-1 < Knδδδδ < 3, il regime di moto è detto di transizione . Il regimedi transizione risulta molto complesso da trattare.

Per Knδδδδ > 3, si passa al regime di molecole libere . In quest'ultimoregime, gli effetti degli urti tra le molecole e la superficie solida diun corpo sono predominanti rispetto a quelli dovuti agli urt i tra lemolecole stesse (modello newtoniano).

Valutazione del cammino libero medio molecolare

d = 3.4 x 10-10m

mean free path

Valutazione del cammino libero medio molecolare

7.2 x 10-8m

LOGICA DEL BILANCIO

Dato un campo di moto di un fluido, legrandezze incognitenecessarie acaratterizzarlo sono di due tipi:

termodinamiche

cinematiche

Le incognite fondamentali sono costituite da tutte le grandezze estensive (ad es. la massa , l'energia totale tE , l'entropia S, la quantità di moto V) e

per ciascuna di queste grandezze si può formulare un'equazione del bilancio.

LOGICA DEL BILANCIO

Detta G una qualunque grandezza estensiva, il bilancio di questa grandezza nel sistema ΣΣΣΣ può essere espresso mediante una formulazione a blocchi:

Variazione di G in Σ

=

Interazione con

l'ambiente esterno via

D

+

Produzione

per cause interne in

V

Equazione formale del bilancio

LOGICA DEL BILANCIO

Variazione di G in Σ

= Interazione

con l'ambiente esterno via D

Equazione formale della conservazione

Se la grandezza G è conservativa l’equazione del bilancio diventa:

FORMULAZIONE DEL BILANCIO

( ) ( ) ( ) ( )tdtrtdtrgGt tG= , g ,r = , = VVVV ∫∫

+

ρ

∫VVVV VVVV

dgdtd

= ρdt

dGt

( )∫∫ =+

VVVVVVVVVVVVVVVV

tG&&&& = = dgdgG ρ

La portata elementare della grandezza estensivaG cheattraversadD è data dalla quantità:

( ) dDΦdDΦ = n nGG ⋅

) (

dDΦ nGD

⋅∫Portata totale

GΦ

Variazione di G

Produzione

Interazione con l'esterno

FORMULAZIONE DEL BILANCIO

(((( ))))∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫⋅⋅⋅⋅−−−−VVVV VVVV

VVVVVVVV D G dgdDnΦdg

dtd

+ = &ρρρρρρρρ

GG JVg Φ + = ρ

(((( ))))[[[[ ]]]](((( ))))∫∫∫∫ ∫∫∫∫

∫∫∫∫ ∫∫∫∫

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅−−−−

D G

D s

dgdDnJ

dDnVVgdgdtd

V = +

+ +

VVVV

VVVVVVVV

&ρρρρ

ρρρρρρρρ

Se la superficieD del sistemaΣΣΣΣ non è fissa rispetto al sistema diriferimento in cui è valutata laV, ma è dotata di una velocità

sV

( ) GsG JVVg +−ρ = Φ

Variazione di G ProduzioneInterazione con l'esterno

BILANCIO DELL'ENTROPIA PER UN SISTEMA CHIUSO(II PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA )

Per sistemi puramente meccanici (con scambi di energia che avvengonosolo nel modo lavoro) non si scambia anche entropia;

Per i sistemi aperti non esiste un modo univoco di definire il flusso dientropia: quando fluisce la massa, fluiscono simultaneamente l'entropia el'energia;

Per un sistema chiuso, il flusso di entropia è associato al solo flussodienergia nel modo calore;

Il sistema è chiuso quindi: (((( )))) 0====⋅⋅⋅⋅−−−− nVV s

(((( ))))∫∫∫∫ ∫∫∫∫⋅⋅⋅⋅−−−−D s dsdDnJ

dtdS

+ = VVVV

VVVV&ρρρρ


T

J= J q

sRicordando che:

∫∫∫∫ ∫∫∫∫

⋅⋅⋅⋅−−−−D

q dsdDnT

J

dtdS

VVVV

VVVV& + = ρρρρ

dtdsdDnT

JdS

D

q + =

⋅⋅⋅⋅−−−− ∫∫∫∫ ∫∫∫∫VVVVVVVV

&ρρρρ SSdS ie δδδδδδδδ + =

dtdDn T

JS

D

q

e =

⋅⋅⋅⋅−−−− ∫∫∫∫δδδδ [ ] dtdsS = ∫VVVV VVVV

&ρδ i

;


Trasformazione adiabatica. Se in tutti i punti della superficie del sistema si verifica:

0 = nT

J q ⋅⋅⋅⋅ 0= Seδδδδ

Trasformazione reversibile. Si dice reversibile una trasformazione durante la quale si verifica che:

0 = s& 0 = Siδδδδ

Trasformazione isoentropica. Se l'entropia del sistema si mantiene costante durante la trasformazione, questa è detta isoentropica, infatti:

dS = 0 S = cost.

BILANCIO DELL'ENTROPIA PER UN SISTEMA CHIUSO

a) Una trasformazione adiabatica e reversibile è necessariamente anche isoentropica:

Seδδδδ = Siδδδδ = 0 dS = 0

b) Una trasformazione isoentropica non è necessariamente adiabatica, e/o reversibile, potendo essere:

dS = 0 con Seδδδδ = – Siδδδδ ≤ 0

e cioè l'entropia prodotta viene riversata nell'ambiente. c) una trasformazione adiabatica e isoentropica è necessariamente anche reversibile:

Seδδδδ = dS = 0 Siδδδδ = 0

d) una trasformazione adiabatica non è necessariamente isoentropica, e/o reversibile, potendo essere:

Seδδδδ = 0 con dS = Siδδδδ ≥ 0

e cioè la variazione di entropia è dovuta alla sua produzione. e) una trasformazione isoentropica e reversibile è necessariamente anche adiabatica:

Siδδδδ = dS = 0 Seδδδδ = 0

f) una trasformazione reversibile non è necessariamente isoentropica, e/o adiabatica, potendo essere:

Siδδδδ = 0 con dS = Seδδδδ ≠ 0

e cioè la variazione di entropia è dovuta agli scambi con l'ambiente.

BILANCIO DELL'ENTROPIA PER UN SISTEMA CHIUSOa) Una trasformazioneadiabatica e reversibileè necessariamente anche isoentropica:

b) Una trasformazione isoentropicanon è necessariamente adiabatica, e/o reversibile, potendo essere:

e cioè l'entropia prodotta viene riversata nell'ambiente.

c) Una trasformazione adiabatica e isoentropicaè necessariamente anche reversibile:

d) Una trasformazione adiabaticanon è necessariamente isoentropica, e/o reversibile, potendo essere:

e cioè la variazione di entropia è dovuta alla sua produzione.

e) Una trasformazione isoentropica e reversibileè necessariamente anche adiabatica:

f) Una trasformazione reversibilenon è necessariamente isoentropica, e/o adiabatica, potendo essere:

e cioè la variazione di entropia è dovuta agli scambi con l'ambiente.

Seδδδδ = Siδδδδ = 0 dS = 0

dS = 0 con Seδδδδ = – Siδδδδ ≤ 0

Seδδδδ = dS = 0 Siδδδδ = 0

Seδδδδ = 0 con dS = Siδδδδ ≥ 0

Siδδδδ = dS = 0 Seδδδδ = 0

Siδδδδ = 0 con dS = Seδδδδ ≠ 0

Formulazione Euleriana

(sistema a volume costante)

Formulazione Lagragiana

(sistema a massa costante)

RAPPRESENTAZIONE EULERIANA / LAGRANGIANA

Il sistema di riferimento rispetto al quale si scriveranno tuttele equazionisarà in generaleinerziale.

RAPPRESENTAZIONE LAGRANGIANA O MATERIALE

La particella nel generico istante di tempo si può rappresentare come funzione della sua posizione iniziale or e del tempo t:

Scelto un sistema di coordinate rispetto alle quali si intende studiareil motodel fluido, si supponga chele varie particelle di fluido(masse elementari difluido) rimangano distinte sul piano macroscopico nel loro moto.

(((( ))))trrr o, ====

Le coordinate che specificano il vettore posizione iniziale or delle particelle di fluido vengono generalmente indicate come coordinate materiali o lagrangiane; esse unite alla variabile tempo formano l'insieme delle variabili indipendenti per la descrizione lagrangiana del moto.

RAPPRESENTAZIONE EULERIANA

Si supponga che la trasformazione inversa di quella lagrangiana esista e cheessa si può scrivere formalmente come:

(((( ))))trrr oo ,=

Le coordinate che specificano il vettore posizioner si chiamano coordinatespaziali o euleriane; esse unite alla variabile tempo formano l'insieme dellevariabili indipendenti per la descrizioneeulerianadel moto.

DERIVATE SOSTANZIALE E LOCALERISPETTO AL TEMPO

(((( ))))ooo z,y,x

e (x,y,z) sono, nell'ordine, le coordinate materiali di una

particella e le coordinate spaziali di un punto in un sistema di riferimento che, per semplicità di trattazione, si suppone cartesiano ortogonale

La derivata materiale o sostanziale (lagrangiana) rispetto al tempo di una generica grandezza g si indica con Dg /Dt; essa rappresenta la rapidità con la quale varia la grandezza g misurata da un osservatore che si muove a cavallo di una particella elementare.

(((( )))) (((( ))))tzyxgtrgg oooo ,,,, ==

(((( )))) (((( ))))tzyxgtrgg ,,,, ==

La derivata spaziale o locale (euleriana) rispetto al tempo di una generica grandezza g si indica con ∂∂∂∂ g/∂∂∂∂ t; essa rappresenta la rapidità con la quale varia la grandezza g in un punto fisso rispetto al sistema di coordinate di riferimento.

DERIVATA SOSTANZIALELa variazione nel tempo ∆∆∆∆ t della generica grandezza g(x,y,z,t),

relativa alla particella considerata, può essere approssimata dai termini del primo ordine dello sviluppo in serie di Taylor:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) =tz,y,x,gt ∆+t∆z,z∆y,y∆x,xg=g ∆ part −−−−++++++++++++

z ∆z g

+y ∆y g

x ∆x g

t ∆t g

y,tx,z,tx,z,ty,r

++++

++++

====∂∂∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂∂∂∂∂

e dividendo per ∆∆∆∆ t:

t ∆z ∆

z g

+t ∆y ∆

y g

+t ∆x ∆

x g

t g

=t ∆g ∆

part

++++

∂∂∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂∂∂∂∂

∆∆∆∆ t →→→→ 0 wz g

+v y g

+u x g

t g

=t D

Dg∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ + g V

t g

=t D

Dg ∇⋅+∂

∂→→→→→

TEOREMA DEL TRASPORTO

(((( )))) (((( ))))∫∫∫∫∫∫∫∫ VVVV VVVVVVVVVVVV

0000

= = dtrdtr o ,, ρρρρρρρρ

La generica grandezza estensiva totale associata ad

∫∫∫∫

= dgG

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) VVVVVVVV0000VVVV VVVV

dt,rgt,rdt,rgt,rG oo = ∫∫ −∆ ρρ

La variazione di G nell'intervallo di tempo ∆ t

( ) [ ] = ot

tdgdgG

−∆ ∫∫ VVVVVVVV

0000VVVV VVVV ρρ

( )oo tttt

dgdgdgdgG

−

−

+

∆ ∫∫∫∫ ∩∩∩∩

VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV ----VVVVVVVVVVVVVVVVVVVV ----VVVV oooooooo

o

o

o

=

ρρρρ

( )oo tttt

dgdgdgdgG

−

+

−

∆ ∫∫∫∫ ∩∩∩∩

VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV ----VVVVVVVVVVVV ----VVVVVVVVVVVVVVVVVVVV oooooooo

o

o

o

=

ρρρρ


Dividendo per ∆∆∆∆ t e passando al limite per ∆∆∆∆ t → 0

( )t

G

∆∆ ∫

=/ d

dtd

gDtDG→

t ∆lim

t ∆lim

DtDG

0 t ∆

0 t ∆

o

o

tt

tt

dgdg

dgdg

−

+

−

∫∫

∫∫

∩∩

→

∩∩

→

VVVVVVVV

VVVVVVVV

VVVVVVVV ----VVVVVVVVVVVV ----VVVV

VVVVVVVV VVVVVVVV

oooooooo

o

o

o

+

=

ρρ

ρρ


Per ∆∆∆∆ t → 0 si ha οV ∩∩∩∩VVVV →→→→ VVVV →→→→ οV ed il primo limite del secondo membro

o

o

o

∫∫∫

=

−

∩∩

→ VVVV

VVVVVVVV VVVVVVVV

VVVV

VVVVVVVV

ott dg

dt

ddgdg

o ρρρ

t ∆lim

0 t ∆


t ∆lim

t ∆lim

DtDG

0 t ∆

0 t ∆

o

o

tt

tt

dgdg

dgdg

−

+

−

∫∫

∫∫

∩∩

→

∩∩

→

VVVVVVVV

VVVVVVVV


VVVVVVVV VVVVVVVV

oooooooo

o

o

o

+

=

ρρ

ρρ


La quantità di G che attraversa la superficie dD nel tempo ∆∆∆∆t si può scrivere tdDnVg dg ∆∆∆∆⋅⋅⋅⋅≅≅≅≅ ρρρρρρρρ VVVV

t ∆lim

t ∆lim

DtDG

0 t ∆

0 t ∆

o

o

tt

tt

dgdg

dgdg

−

+

−

∫∫

∫∫

∩∩

→

∩∩

→

VVVVVVVV

VVVVVVVV


VVVVVVVV VVVVVVVV

oooooooo

o

o

o

+

=

ρρ

ρρ

dDnVgdgdg

ott

o

o

⋅=

−

∫∫∫ ∩∩

→ D0 t ∆ t ∆lim ρ

ρρ VVVVVVVVVVVVVVVV ----VVVVVVVVVVVV ----VVVV oooooooo


dDnVgdgDt

DG

o

o + = ⋅∫∫ Ddt

d ρρ VVVVVVVV

( ) VVVVVVVVVVVVVVVV oooo

dVgdgDt

DG + =

o

∫∫ ⋅∇

ρρdtd

In definitiva:

e facendo uso del teorema della divergenza:

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Corso di Fluidodinamica - wpage.unina.itwpage.unina.it/astarita/Fluidodinamica/Flu_1_Introduz.pdf · di moto, l'energia cinetica, l'entropia, l'energia interna, etc Una funzione si