Fluidodinamica fondamenti

  • View
    44

  • Download
    2

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Fluidodinamica

Text of Fluidodinamica fondamenti

17. Dinamica dei uidi1. IntroduzionevvPOxyzrr

Fig. 17.1Latto di moto di un sistema continuo pu` o essere studiatoassegnando, in ogni istante, la velocit` a posseduta da una gene-rica particella del sistema, intendendo per particella un elementoche comprenda un numero di molecole sucientemente grande,in modo che la risultante delle velocit` a termiche sia nulla, matale da potere ritenere che le forze agenti siano applicate in ununico punto. Per individuare una tale particella, si pu` o assumerela posizione P0 che essa occupa allistante t0; allora latto di motodel sistema, note le posizioni iniziali r0 di ogni particella, `e datodal vettore velocit` a, funzione di r0 e del tempo t:v(r0, t).Il punto di vista assunto `e forse il pi` u spontaneo e viene chiamatopunto di vista lagrangiano. Peraltro, trattandosi di un sistema amolte particelle, `e praticamente impossibile formulare e risolvere ilproblema in questi termini. Tuttavia, latto di moto di un sistemacontinuo pu` o essere assegnato, ponendosi da un altro punto divista: il punto di vista euleriano. Esso consiste nellassegnare, inogni istante t, la velocit`a v che possiede una particella imprecisata,la quale, in quellistante, transita per un determinato punto P delcampo del moto, individuato dal vettore posizione r, gura 1.Perci`o latto di moto `e dato dal vettore velocit` a:v(r, t).Il punto di vista lagrangiano implica la descrizione storica dellavelocit`a di ogni particella; viceversa il punto di vista eulerianodescrive, in ogni istante, la distribuzione delle velocit` a nei puntidel campo di movimento. Lequazione precedente fornisce dun-que la velocit` a, a un certo istante, della particella che transitaper P e denisce cos` latto di moto allistante considerato. Se, inparticolare, latto di moto non dipende dal tempo, cio`e la velo-cit`a di ogni particella che transita per P `e la stessa, il moto sidice stazionario. Nel seguito adotteremo sempre il punto di vistaeuleriano.442 Capitolo 17 - Dinamica dei uidiIn conformit` a con le propriet` a dei campi vettoriali, descrittenel paragrafo 7-IV, nel campo euleriano delle velocit` a, deniamolinea di usso una linea che, in ogni suo punto e ad ogni istante, haper tangente il vettore velocit` a della particella di uido che tran-sita in tale punto. La linea di usso si riferisce a un certo istante epu` o cambiare col tempo. Se il moto `e stazionario le linee di ussosono chiamate linee di corrente o, se non sussistono ambi-guit` a, ancora linee di usso. La loro congurazione evi-dentemente non muta nel tempo. Linsieme delle linee diusso passanti per i punti di una linea chiusa, determinaun tubo di usso il quale, nel caso di moto stazionario, `efermo ed assume lo stesso ruolo di un tubo reale allin-terno del quale scorre il uido, gura 2.vnl2l1Fig. 17.2Prenderemo in considerazione essenzialmente uidi privi diviscosit`a, il cui eetto complica notevolmente il formalismo mate-matico e sar`a esaminato in alcuni casi specici. In particolare, perquanto riguarda i gas, assumendo che il moto si svolga in condi-zioni isoterme o adiabatiche e sia sucientemente lento, occorretener conto della legge di compressibilit` a, facilmente ricavabiledallequazione di stato. Per i liquidi, essendo molto piccolo il coef-ciente di compressibilit` a, con buona approssimazione, si assu-mer`a costante la densit`a.2. Equazione di continuit`aNella Meccanica classica la massa non varia durante il moto;se il sistema `e isolato linvariabilit` a della massa `e in accordo conlintuizione; se non `e isolato la massa pu` o variare, come si `edescritto in alcuni problemi del capitolo IX. In questi casi, con-siderato un sistema pi` u esteso, si verica solo un trasferimentodi massa da una parte allaltra del sistema complessivo; la con-servazione della massa `e sempre vericata e costituisce una leggefondamentale della Meccanica classica.Nel caso di un sistema continuo, detta la densit` a, la massadel sistema sar`am =_VdV,e linvariabilit` a della massa, principio di conservazione della mas-sa, si traduce nellequazionedmdt = 0.Da questa equazione discende che detto V il volume occupato adun certo istante da una porzione di uido, sempre formato daglistessi elementi materiali, vale la relazione:ddt_VdV = 0.2. Equazione di continuit`a 443Durante il moto, in generale possono variare sia V che , ma nonvaria lintegrale precedente, che esprime linvariabilit` a della massadella porzione di uido. Ne segue che la variazione di densit` a `elegata alla variazione di volume del corpo.Consideriamo, nellintorno di un punto del uido, un elementodi volume dV ; si haddt( dV ) = 0, ddtdV + ddt(dV ), (1)in cui il secondo termine rappresenta la velocit` a di deformazionedellelemento considerato. Ma la variazione relativa di volumedellelemento, equazione (34)-XV, `e uguale alla somma degli ele-menti diagonali del tensore delle deformazioni,

xx + yy + zz = sxx + syy + szzdunque la velocit` a di deformazione dellelemento considerato `edata daddt(dV ) = ddt_sxx + syy + szz_dV =_vxx + vyy + vzz_dV.Pertanto la (1) diventa:ddtdV + _vxx + vyy + vzz_dV = 0,ovveroddt + v = 0. (2)Nella precedente la derivata di rispetto al tempo `e relativa allostesso elemento materiale che viene seguito nei vari istanti. Ci`osignica che, ponendosi dal punto di vista lagrangiano e ritenendo funzione del vettore r0 e del tempo, la derivata di che comparenella (2), `e semplicemente la derivata rispetto a t, mantenendosso r0. Se invece ci si pone dal punto di vista euleriano e siconsidera la densit` a come funzione della posizione r e del tempo t,la densit` a dipende dal tempo sia direttamente che indirettamente,attraverso le coordinate cartesiane x, y, z, che variano col temponel moto dellelemento materiale al quale si riferiscono. Perci` o laderivata della densit` a rispetto al tempo, equazione (2), `e:ddt = t + xvx + yvy + zvz.Sostituendo nella (2) si ottiene:t + xvx + yvy + zvz + _vxx + vyy + vzz_ = 0,444 Capitolo 17 - Dinamica dei uidiche in termini pi` u concisi si scrive:t + ( v) = 0, ( v) = t, (3)pi` u adatta a rappresentare il principio di conservazione della mas-sa, dal punto di vista euleriano. La (3) costituisce lequazione dicontinuit` a in termini locali ed esprime il principio di conservazionedella massa.ABzyxOdzdxdyFig. 17.3Lequazione di continuit` a, dal punto di vista euleriano, pu` oessere ricavata con considerazioni pi` u intuitive, attraverso il bilan-cio di materia che attraversa un elemento di volume del uido. Siconsideri, gura 3, un cubo elementare dV = dxdydz e siano vx,vy, vz, le componenti della velocit` a e la densit` a del uido, fun-zioni di x, y, z e del tempo t. Il volume di uido che entra attraver-so la faccia A, ortogonale allasse x, nel tempo dt, `e vx(A)dydzdt,quindi la sua massa `e (A)vx(A)dydzdt. Analogamente, la massaelementare che esce attraverso la faccia opposta B, `e data da(B)vx(B)dydzdt. Limitandosi a variazioni del primo ordine siha(B) = (A) + xdx, vx(B) = vx(A) + vxx dx;quindi(B)vx(B) =_(A) + xdx__vx(A) + vxx dx_.Trascurando gli innitesimi del secondo ordine, si ha:(B)vx(B) = (A)vx(A) +_(A)vxx + vx(A)x_dx= (A)vx(A) + (vx)x dx.Pertanto la massa netta che esce dal cubo elementare risulta(B)vx(B)dy dz dt (A)vx(A)dy dz dt = (vx)x dxdy dz dt.Considerando le altre due coppie di facce, la massa totale dm cheesce dal cubo elementare risulta:dm =_(vx)x + (vy)y + (vz)z_dxdy dz dt.Ma la massa elementare contenuta nel cubo, allistante t `edxdydz, quindi la sua diminuzione nellintervallo dt `edm = tdt dxdy dz.Si osservi che la divergenza del prodotto di uno scalare per un vettore `e data da ( v) = v + ( v).3. Distribuzione delle velocit`a 445Uguagliando le due espressioni, si ottiene:(vx)x + (vy)y + (vz)z = t,ossia: ( v) = t.Se il moto `e stazionario v e variano col punto, ma nello stessoposto non variano nel tempo, /t = 0, quindi lequazione dicontinuit` a diventa: ( v) = 0.Questa equazione indica che il usso entrante nellelemento `euguale al usso uscente. Infatti, per il teorema della divergenza,paragrafo 7-VI, in termini niti si ha_V ( v)dV =_S v ndS = 0,dove S `e la supercie chiusa che racchiude una porzione di uido divolume V ed n la normale allelemento di supercie dS, orientataverso lesterno.Consideriamo un tubo di usso di un uido in moto staziona-rio. Una porzione di uido sia delimitata da due sezioni normaliS1, S2 e dalla parete laterale del tubo di usso. Supponendo chetali sezioni siano sucientemente piccole, in modo che le velocitav1 e v2 possano essere ritenute uniformi, si ha1v1S12v2S2 = 0, 1v1S1 = 2v2S2.Il usso attraverso la supercie laterale `e nullo poiche la velocit`a`e ortogonale alla normale orientata. Questa relazione esprimeancora lequazione di continuit` a relativamente al caso particolareesaminato. Se inoltre il uido `e incompressibile, = cost, si hav1S1 = v2S2.Si denisce portata P il volume di uido che attraversa la sezioneS nellunit` a di tempo:P = Sv; (4)essa si misura in m3/s. Nel moto stazionario la portata `e costante.3. Distribuzione delle velocit`aIn un sistema continuo, come un mezzo elastico o un uido,paragrafo 4-XV, lo spostamento di ogni particella `e funzione dellesue coordinate. Consideriamo un elemento di uido nellintornodi un punto P0; lo spostamento elementare di una particella inquesto intorno, limitandosi a variazioni del primo ordine, `e dato446 Capitolo 17 - Dinamica dei uididal vettore innitesimos = s0 + ds,dove s0 `e lo spostamento elementare di P0. Ricordando le conclu-sioni conseguite al paragrafo citato, tale spostamento si esprimenel modo seguente:s = s0 + 12s r +TSr, (5)dove r `e il vettore innitesimo che individua la posizione dellaparticella rispetto a P0 e TS il tensore delle deformazioni. In altritermini lo spostamento innitesimo `e costituito da un termine ditraslazione, un termine di rotazione e un